บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

บทที่ 5

เรอื่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง

มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2

ทบทวนความรู้
ก่อนเรียน

ทบทวนความรกู้ อ่ นเรยี น

นิพจนท์ ีส่ ามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรปู การคูณของค่าคงตวั กับตัวแปรต้ังแต่หนึ่งตวั ขึ้น
ไป และเลขชีก้ าลังของตวั แปรแตล่ ะตวั เปน็ ศูนยห์ รอื จานวนเตม็ บวก เรยี กว่า

เอกนาม

นพิ จน์ท่ีอยู่ในรปู เอกนาม หรือเขยี นอยใู่ นรูปการบวกของเอกนามต้ังแต่สองเอก

พจน์นามขึน้ ไปได้ เรยี กว่า พหนุ ามและเรยี กแตล่ ะเอกนามในพหุนามวา่

ทบทวนความรูก้ อ่ นเรียน

พหนุ ามทไ่ี มม่ ีพจน์ที่คลา้ ยกนั เรียกว่า พหุนามในรปู ผลสาเร็จเรียกดกี รสี งู สดุ

ของพจนข์ องพหนุ ามในรปู ผลสาเรจ็ วา่ ดกี รขี องพหนุ าม เช่น

2x – 3 เป็นพหนุ ามในรูปผลสาเร็จ ท่ีมีดีกรขี องพหุนามเทา่ กับ 1
5x2 - 2x + 7 เป็นพหุนามในรูปผลสาเรจ็ ที่มดี ีกรีของพหนุ ามเท่ากับ 2
4x3+ 8x2– 5x -1เปน็ พหนุ ามในรปู ผลสาเรจ็ ท่มี ีดกี รีของพหุนามเท่ากบั 3

ทบทวนความรู้กอ่ นเรยี น

ตัวประกอบของจานวนนบั ใด คอื จานวนนบั ทห่ี ารจานวนนบั นั้นลงตัว เชน่

ตวั ประกอบทั้งหมดของ 20 คือ 1, 2, 4, 5 , 10 และ 20
ตวั ประกอบท้ังหมดของ 30 คือ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30
และ 1, 2, 5, 10 เป็นตวั ประกอบของท้งั 20 และ 30 จงึ เรยี ก 1, 2, 5, 10 ว่า

ตัวประกอบรว่ มหรอื ตัวหารร่วมของ 20 และ 30

ทบทวนความร้กู อ่ นเรยี น

ตัวประกอบทเ่ี ป็นจานวนเฉพาะ เรยี กวา่ ตวั ประกอบเฉพาะ เชน่

2 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 20
2, 3 และ 5 เปน็ ตวั ประกอบเฉพาะของ 30

การแยกตวั ประกอบของจานวนนบั ใด คือประโยคทแี่ สดงการเขยี นจานวนนับน้นั
ในรูปการคณู ของตัวประกอบเฉพาะ
42 = 2 x 7 x 3

ทบทวนความรู้กอ่ นเรียน

ตวั ประกอบร่วมท่ีมากท่สี ดุ หรอื ตัวหารรว่ มมาก (ห.ร.ม.) ของจานวน

นบั ตั้งแตส่ องจานวนขึน้ ไป คือจานวนนับทีม่ ากท่ีสดุ ท่หี ารจานวนนับเหลา่ น้ันได้
ลงตวั เช่น
ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 คือ 10
ห.ร.ม. ของ 16 และ 24 คือ 8

ความสัมพนั ธ์ของการคูณและการหาร

ตวั ต้ัง ÷ ตวั หาร = ผลหาร ผลหาร × ตวั หาร = ตัวต้ัง

จึงกล่าวได้ว่า พหนุ ามแตล่ ะตวั ทีอ่ ยทู่ างซา้ ยของเคร่อื งหมายเท่ากบั จะหารพหนุ ามท่อี ยู่
ทางขวาไดล้ งตวั

3 + 18 = 3( + 6) 3 − 2 2 = 2( − 2)

การเขียนพหุนามที่กาหนดให้ ให้อยู่ในรูปการคณู ของพหุนามตั้งแตส่ องพหนุ ามขน้ึ ไป โดยที่แต่
ละพหุนามหารพหนุ ามท่กี าหนดใหไ้ ดล้ งตวั ดังขา้ งตน้ เป็นตวั อย่างของ การแยกตวั ประกอบ

การเขยี นพหุนามทก่ี าหนดให้ ในการคูณกันของตัวประกอบของพหนุ ามตง้ั แตส่ องพหนุ าม
ข้นึ ไปเรียกวา่ การแยกตัวประกอบของพหุนาม

ในการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามซ่ึงสมั ประสทิ ธข์ิ องแต่ละพจนแ์ ละค่าคงตัวเปน็ จานวน
เตม็ อาจทาไดโ้ ดยวธิ หี น่งึ วิธใี ดวิธหี น่ึงต่อไปน้ี หรือทัง้ สองวธิ ีผสมกนั

1. ใช้สมบตั ิการแจกแจงโดยนา ห.ร.ม. ของค่าสมั บรู ณข์ องสัมประสทิ ธ์ขิ องแตล่ ะพจนใ์ นพหนุ าม
ออกมาเปน็ ตวั ประกอบตวั หน่งึ ของพหนุ ามท่ีกาหนดให้

2. เขยี นพหนุ ามที่กาหนดให้ในรปู การคณู กนั ของพหุนามทมี่ ดี กี รีตา่ กว่า จนกระท่งั ไมส่ ามารถ
แยกตัวประกอบต่อไปน้ีอีกโดยทีพ่ หุนามท่ีเป็นตัวประกอบนั้น มีสัมประสทิ ธิ์ของแต่ละพจน์และ
คา่ คงตัวเปน็ จานวนเต็ม

5.1 การแยกตวั ประกอบ
ของพหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิ

การแจกแจง

สมบัตกิ ารแจกแจงกลา่ วว่า ถา้ a, b และ c แทนจานวนเต็มใดๆ แล้ว

a(b + c) = ab + ac หรอื (b + c)a = ba + ca

เราสามารถเขยี นสมบัตกิ ารแจกแจงขา้ งตน้ ใหม่ เป็นดังน้ี

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ถ้า a, b และ c เป็นพหนุ ามเราก็สามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจงขา้ งตน้ ได้ดว้ ย และเรยี ก
a วา่ ตัวประกอบรว่ ม ของ ab และ ac หรอื ตวั ประกอบร่วมของ ba และ ca

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 10 − 5

10 − 5 = 5(2 − 1)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ −8 + 2

−8 + 2 = 2(−4 + 1)

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 6 − 21

6 − 21 = 3(2 − 7 )

ตัวอยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 15 2 − 35

15 2 − 35 = 5(3 2 − 7 )
= 5 (3 − 7 )

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 6 2 3 + 9 3

6 2 3 + 9 3 = 3(2 2 3 + 3 3 )
= 3 2(2 3 + 3 )
= 3 2 (2 2 + 3 )

ตัวอยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 3 2 − 2

3 2 − 2 = (3 − 2)

ตัวอยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 8 2 + 4

8 2 + 4 = 4(2 2 + )
= 4(2 2 + )
= 4 (2 + )
= 4 (2 + 1)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 24 3 + 40 7 − 64 2

24 3 + 40 7 − 64 2 = 8(3 3 + 5 7 − 8 2)

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 5 3 + 3 7 − 7 2 2

5 3 + 3 7 − 7 2 2 = (5 2 + 3 7 − 7 2)

ตวั อยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 3 − 3 + ( − 3 )

3 − 3 + ( − 3 ) = − 3 (3 + )

ตัวอยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 7 + − 2( + )

7 + − 2( + ) = + (7 − 2)
= 5 +

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 20 5 9 4 + 16 3 7 5 − 24 6 5 10

20 5 9 4 + 16 3 7 5 − 24 6 5 10
= 4(5 5 9 4 + 4 3 7 5 − 6 6 5 10)
= 4 3(5 2 9 4 + 4 7 5 − 6 3 5 10)
= 4 3 5(5 2 4 4 + 4 2 5 − 6 3 10)
= 4 3 5 4(5 2 4 + 4 2 − 6 3 6)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 14 11 6 8 + 63 7 9 6 + 42 5 10 9

14 11 6 8 + 63 7 9 6 + 42 5 10 9
= 7(2 11 6 8 + 9 7 9 6 + 6 5 10 9)
= 7 5(2 6 6 8 + 9 2 9 6 + 6 10 9)
= 7 5 6(2 6 8 + 9 2 3 6 + 6 4 9)
= 7 5 6 6(2 6 2 + 9 2 3 + 6 4 3)

ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 3 2 − 5 + 3

3 2 − 5 + 3 = (3 − 5 + 2 )

ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2 − 10 + 3 − 15

2 − 10 + 3 − 15 = 2 ( − 5 ) + 3 ( − 5 )
= ( − 5 )(2 + 3 )

5.2 การแยกตัวประกอบ
ของพหนุ ามดกี รีสอง
ตวั แปรเดียว

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในรปู + +
เม่ือ , เปน็ จานวนเต็ม และ = 0

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 30 2 − 35

30 2 − 35 = 5(6 2 − 7 )
= 5 (6 − 7)

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 18 2 − 12

18 2 − 12 = 6 (3 2 − 2 )
= 6 (3 − 2)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 48 + 36 2

48 + 36 2 = 12(4 + 3 2)
= 12 (4 + 3 )

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ −22 2 − 55

−22 2 − 55 = −11(2 2 + 5 )
= −11 (2 + 5)

ตัวอยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 9 + 63 2

9 + 63 2 = 9( + 7 2)
= 9 (1 + 7 )

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ −39 2 + 13

−39 2 + 13 = 13(−3 2 + )
= 13 (−3 + 1)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 28 + 42 2

28 + 42 2 = 14(2 + 3 2)
= 14 (2 + 3 )

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องในรปู + +
เมือ่ , เปน็ จานวนเต็ม และ ≠ 0

ในกรณีทั่วไปเราสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2 + + เม่อื ,
เป็นจานวนเตม็ และ ≠ 0 ได้ ถา้ เราสามารถหาจานวนเต็มสองจานวนทีค่ ณู กนั ไดเ้ ท่ากบั พจน์ที่
เป็นค่าคงตวั คอื และบวกกันไดเ้ ทา่ กับสมั ประสิทธ์ขิ อง คอื

ถา้ ให้ และ เปน็ จานวนเตม็ สองจานวน ซ่ึง = และ + =
จะได้ว่า 2 + + = ( + )( + )

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 3 + 2

2 + 3 + 2 = ( + 2)( + 1)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2 + 5 + 6

2 + 5 + 6 = ( + 2)( + 3)

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 9 + 20

2 + 9 + 20 = ( + 4)( + 5)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 13 + 30

2 + 13 + 30 = ( + 3)( + 10)

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − 7 + 12

2 − 7 + 12 = ( − 3)( − 4)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − 10 + 21

2 − 10 + 21 = ( − 3)( − 7)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − 17 + 60

2 − 17 + 60 = ( − 5)( − 12)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − 18 + 32

2 − 18 + 32 = ( − 2)( − 16)

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − 10 − 11

2 − 10 − 11 = ( − 11)( + 1)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − − 20

2 − − 20 = ( − 5)( + 4)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − 4 − 32

2 − 4 − 32 = ( − 8)( + 4)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2 − 3 − 54

2 − 3 − 54 = ( − 9)( + 6)

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 2 − 15

2 + 2 − 15 = ( − 3)( + 5)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 16 − 80

2 + 16 − 80 = ( − 4)( + 20)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 2 + 5 − 36

2 + 5 − 36 = ( − 4)( + 9)

ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2 + − 30

2 + − 30 = ( − 5)( + 6)

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป + +
เมอื่ , เป็นจานวนเตม็ และ ≠ 1, ≠ 0

เพอื่ ความสะดวกในการหาขอ้ สรุปของวิธีการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2 + +
เราเรียก 2 วา่ พจนห์ นา้ เรยี ก ว่าพจนก์ ลาง และเรียก วา่ พจนห์ ลัง

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 3 2 + 17 + 10

3 2 + 17 + 10 = (3 + 2)( + 5)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2 2 + 13 + 21

2 2 + 13 + 21 = (2 + 7)( + 3)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 7 2 + 38 + 15

7 2 + 38 + 15 = (7 + 3)( + 5)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 3 2 + 11 + 10

3 2 + 11 + 10 = (3 + 5)( + 2)

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 3 2 − 7 − 6

3 2 − 7 − 6 = (3 + 2)( − 3)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 5 2 − 34 − 7

5 2 − 34 − 7 = (5 + 1)( − 7)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 3 2 − 7 − 6

3 2 − 7 − 6 = (3 + 2)( − 3)

ตวั อยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 3 2 − − 2

3 2 − − 2 = (3 + 2)( − 1)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2 2 − 11 + 14

2 2 − 11 + 14 = (2 − 7)( − 2)

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 3 2 − 14 + 15

3 2 − 14 + 15 = (3 − 5)( − 3)

ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 2 2 − 7 − 9

2 2 − 7 − 9 = (2 − 9)( + 1)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 7 2 + 31 − 20

7 2 + 31 − 20 = (7 − 4)( + 5)

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 10 2 + 19 + 6

10 2 + 19 + 6 = (5 + 2)(2 + 3)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 21 2 + 38 + 5

21 2 + 38 + 5 = (7 + 1)(3 + 5)

ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 6 2 − − 2

6 2 − − 2 = (3 − 2)(2 + 1)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 8 2 + 2 − 15

8 2 + 2 − 15 = (4 − 5)(2 + 3)

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของ 8 2 − 34 + 21

8 2 − 34 + 21 = (4 − 3)(2 − 7)

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 12 2 − 43 + 35

12 2 − 43 + 35 = (3 − 7)(4 − 5)

5.3 การแยกตัวประกอบ
ของพหุนามดีกรีสองทเี่ ป็น

กาลงั สองสมบรู ณ์

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 2 + 10 + 25

2 + 10 + 25 = ( + 5)( + 5)

หรือ = ( + 5)2

จากตัวอยา่ งการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามขา้ งตน้ จะเห็นวา่ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รี
สองจะไดต้ วั ประกอบเป็นพหนุ ามเดยี วกนั ทมี่ ดี กี รีเปน็ หน่งึ จงึ เขยี นการแยกตวั ประกอบของแตล่ ะพหุ
นามดีกรีสองข้างต้นได้เปน็ กาลังสองของพหนุ ามดีกรหี น่งึ เรยี กพหุนามดีกรีสองทม่ี ีลกั ษณะเชน่ น้วี า่
พหุนามดกี รสี องที่เปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 2 + 14 + 49

2 + 14 + 49 = 2 + 2 7 + 72
= ( + 7)( + 7)
= ( + 7)2

ถ้าให้ เปน็ พจนห์ นา้ และ 7 เป็นพจน์หลงั จะเขียนความสัมพนั ธ์ดงั นี้
(พจน์หน้า)2 + 2(พจนห์ น้า) (พจน์หลัง) + (พจนห์ ลงั )2 = (พจนห์ นา้ + พจน์หลงั )2

ตวั อยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 2 − 14 + 49

2 − 14 + 49 = 2 − 2 7 + 72
= ( − 7)( − 7)
= ( − 7)2

ถ้าให้ เป็นพจน์หนา้ และ 7 เป็นพจน์หลงั จะเขยี นความสัมพนั ธ์ดงั นี้
(พจนห์ นา้ )2 − 2(พจน์หนา้ ) (พจนห์ ลงั ) + (พจนห์ ลงั )2 = (พจนห์ นา้ − พจน์หลงั )2

ตัวอยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 9 2 + 12 + 4

9 2 + 12 + 4 = (3 )2+2 2 3 + 22
= (3 + 2)(3 + 2)
= (3 + 2)2

ถา้ ให้ 3 เป็นพจนห์ น้า และ 2 เปน็ พจนห์ ลงั จะเขียนความสมั พันธ์ดงั น้ี
(พจน์หน้า)2 + 2(พจนห์ นา้ ) (พจนห์ ลัง) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ + พจนห์ ลงั )2

ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 9 2 − 12 + 4

9 2 − 12 + 4 = (3 )2−2 2 3 + 22
= (3 − 2)(3 − 2)
= (3 − 2)2

ถา้ ให้ 3 เปน็ พจนห์ น้า และ 2 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสมั พันธ์ดงั น้ี
(พจน์หนา้ )2 − 2(พจน์หน้า) (พจน์หลงั ) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ − พจน์หลงั )2

ในกรณที ั่วไปถ้า A แทนพจนห์ นา้ และ B แทนพจนห์ ลัง จะแยกตวั
ประกอบพหุนามดีกรีสองทเ่ี ปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ไดต้ ามสูตรดังนี้

2 + 2 + 2 = ( + )2

2 − 2 + 2 = ( − )2