Rangkuman Mat. SMP

BAB 1

BILANGAN

STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 1

NO LEVEL KOGNITIF BILANGAN
1 PENGETAHUAN DAN Siswa dapat memahami pengetahuan tentang:

PEMAHAMAN  operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya
• Mendeskripsikan  operasi bilangan pecahan dan sifat-sifatnya
• Membuat tabulasi  operasi bilangan berpangkat dan sifat-sifatnya
• Menghitung  operasi bilangan bentuk akar dan sifat-sifatnya
• Menginterpretasi  pola barisan bilangan
• Memprediksi  barisan dan deret
• Menentukan  aritmetika sosial
 perbandingan
2 APLIKASI
• Mengklasiikasi Siswa dapat mengaplikasikan pengetahuan tentang:
• Mengeskperimen data
• Mengonstruk  operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya
• Menyelesaikan masalah  operasi bilangan pecahan dan sifat-sifatnya
 operasi bilangan berpangkat dan sifat-sifatnya
3 PENALARAN  operasi bilangan bentuk akar dan sifat-sifatnya
• Menjelaskan  pola barisan bilangan
• Membedakan  perbandingan
• Menafsirkan  aritmetika sosial
• Menyimpulkan
Siswa mampu menggunakan nalar yang berkaitan
dengan:

 bilangan bulat
 pecahan
 barisan dan deret
 aritmetika sosial
 perbandingan

66

1. Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif. Himpunan
bilangan bulat di tulis dalam bentuk = { …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. Bilangan bulat juga dapat
dinyatakan dalam bentuk garis bilangan dengan arah mendatar sebagai berikut.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Bilangan bulat negatif Bilangan bulat positif

Bilangan nol

Operasi-operasi Hitung Bilangan Bulat
a. Penjumlahan

Penjumlahan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan.
Contoh: - 4 + 7

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Gambar di atas menunjukkan -4 + 7 = 3

b. Pengurangan
Pengurangan merupakan operasi kebalikan (invers) dari penjumlahan.
Pengurangan bilangan a oleh b dapat dituliskan menjadi
a – b = a + (-b)

⇔ a–b= -b+a
c. Perkalian dan Pembagian

Dalam melakukan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat ada hal yang harus diperhati-
kan, yaitu tanda dari kedua bilangan yang akan dikalikan.

Perkalian Tanda Pembagian Tanda

(+) × (+) = (+) (+) : (+) = (+)
(+) × (–) = (–) (+) : (–) = (–)
(–) × (+) = (–) (–) : (+) = (–)
(–) × (–) = (+) (–) : (–) = (+)

d. Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat
Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu jenis operasi hitung.
Misalnya,
+ dan : , – dan : , + dan × , – dan ×
Operasi hitung yang lebih dari satu, tapi sejenis, tidak termasuk operasi hitung campuran.
Langkah-langkah dalam menyelesaikan operasi hitung campuran
1) Operasi hitung paling tinggi adalah operasi hitung dalam tanda kurung, kemudian perkalian
dan pembagian, terendah adalah penjumlahan dan pengurangan.
2) Operasi hitung dengan tingkat lebih tinggi dikerjakan lebih dulu.

67

3) Pengerjaan operasi hitung yang setingkat dimulai dari kiri atau depan.
Contoh:
1) 12 + 7 × 4 = 12 + 28 = 40 (perkalian dikerjakan lebih dulu)
2) 45 × (25 – 16) = 45 × 9 = 405 (di dalam kurung dikerjakan lebih dulu)
3) 115 – 280 : 4 = 115 – 70 = 45 (pembagian dikerjakan lebih dulu)

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hasil dari – 6 + (6 : 2) - ((-3) x 3) adalah … . Pembahasan :
A. 0 Jumlah soal ujian masuk perguruan
B. 3 tinggi = 50 soal.
C. 6 Jumlah soal yang di jawab benar = 36
D. 9 Jumlah soal yang di jawab salah = 8
Jumlah soal yang tidak terjawab
Jawaban: C = 50 – 36 – 8
= 6.
Pembahasan : Skor yang diperoleh peserta
Untuk menyelesaikan soal tersebut, = (36 x 4) + (8 x (-2)) + (6 x 0)
dahulukan menyelesaikan operasi per– = 144 – 16 + 0
kalian dan pembagian terlebih dahulu. = 128.
Jadi Skor yang diperoleh peserta = 128
– 6 + (6 : 2) – ((-3) x 3 )
= –6 +3–9

= 6 3. Diketahui A = −7x + 5 dan B = 2x – 3. Nilai A –

2. Seorang peserta ujian masuk perguruan B adalah …
tinggi menjawab 36 soal dengan benar dan A. −9x + 2
8 soal salah dari 50 soal yang di berikan. Jika B. −9x + 8
setiap jawaban benar diberi skor 4, jawaban C. −5x + 2
yang salah diberi skor -2, dan tidak di jawab D. −5x + 8
diberi skor 0. Skor yang diperoleh peserta
Jawaban: B

tersebut adalah … . Pembahasan :

A. 114 A – B = (−7x + 5) – (2x – 3)

B. 128 = −7x + 5 – 2x + 3

C. 144 = −9x + 8

D. 166 Jadi, A – B = −9x + 8

Jawaban: B

68

4. Hasil dari 17 −(3 × (−8)) adalah …. Besarnya suhu udara yang tercatat pada
A. 49 pukul 22.00 adalah ....
B. 41 A. 20,25° C
C. –7 B. 20,50 C
D. –41 C. 21,50° C
D. 22,25° C
Jawaban : D
Jawaban : C
Pembahasan :
17 – (3 x (-8)) = 17 – (-24) Pembahasan :
= 17 + 24 Diketahui
= 41. Kenaikan suhu = 0,75
Penurunan suhu = 1,5
Jadi nilai dari 17 – (3 x (-8)) = 41. Selisih waktu kenaikan suhu:
13-5 = 8
5. Suhu udara di kota Jakarta pada pukul 05.00 Selisih waktu penurunan suhu:
tercatat 29°C. Suhu udara bertambah rata- 22-13 = 9
rata 0,75°C setiap jam hingga mencapai Rumusnya adalah
puncaknya pada pukul 13.00. kemudian
suhu udara di kota tersebut berangsur- suhu awal+ (selisih waktu kenaikan
angsur turun dengan rata-rata penurunan x kenaikan suhu) - (selisih waktu
suhunya mencapai 1,5°C setiap jam sampai penurunan x penurunan suhu)
dengan pukul 22.00.
= 29 + ( 8 x 0,75) - (9 x 1,5)
= 29 + 6 - 13,5
= 21,5

2. Pecahan

Pecahan mempunyai suatu bentuk umum a dengan b ≠ 0. a disebut sebagai pembilang dan
b
b disebut sebagai penyebut.

a. Mengubah Suatu Pecahan

 Mengubah Bentuk Pecahan Biasa ke Bentuk Pecahan Desimal

Pecahan biasa dapat dinyatakan ke bentuk pecahan desimal dengan mengubah penyebut-

nya menjadi bilangan 10, 100, 1000, …

Banyaknya nol pada penyebutnya sama dengan banyaknya angka di belakang koma pada

pecahan desimal.

Contoh: 3 = 3 × 2 = 6 = 0,6
5 5 × 2 10

69

 Mengubah Bentuk Pecahan Desimal ke Bentuk Pecahan Biasa
Banyaknya angka di belakang koma pada pecahan desimal sama dengan banyaknya nol

pada penyebutnya.

Contoh: 0,6 = 6 = 3× 2 = 3
10 5× 2 5

 Mengubah Bentuk Pecahan Biasa ke Bentuk Persen

Persen artinya per seratus dan ditulis dalam notasi %.

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi persen dapat dilakukan dengan cara mengubah

pecahan tersebut menjadi pecahan dengan penyebut 100 atau mengalikan pecahan terse-

but dengan 100%.

Contoh:
37 = 37%
100

7 = 7×4 = 28 = 28%
25 25 × 4 100

 Mengubah Bentuk Persen ke Bentuk Pecahan Biasa

Contoh: 37% = 37
100

28% = 28 = 7 x 4 = 7
100 25 x 4 25

b. Operasi Hitung pada Pecahan

1) Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan dapat dilakukan jika penyebut pecahan
sama. Jika penyebut pecahan tersebut berbeda, maka harus kita samakan terlebih dahulu.
Contoh:

3+ 1= 4
55 5
3−1=2
55 5
3 + 1 − 2 = 18 + 21 − 28 = 11
7 2 3 42 42 42 42

Penyebutnya berbeda,
maka harus di samakan
dahulu dengan mencari
KPK dari 2, 3, dan 7.

70

2) Perkalian

Operasi perkalian pada pecahan dapat dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan

pembilang, dan penyebut dengan penyebut.

Contoh:

3 × 2 = 3 × 2 = 6
5 3 5 × 3 15

3 × 2 × 1 = 3×2×1 = 6 = 1
5 3 4 5×3×4 60 10

3) Pembagian
Operasi pembagian dua buah pecahan dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan
yang dibagi dengan kebalikan pecahan pembaginya.
Contoh:
7 : 3 = 7 × 2 = 14
5 2 5 3 15

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hasil dari 2 1 :11 −11 adalah …. Jadi, nilai dari 2 1 :11 −11 = 7
55 4 5 5 4 12

A. 15 1 2. Seorang ibu membeli 40 kg beras. Jika rata-
2 rata pemakaian beras setiap hari adalah
4 kg, maka beras tersebut akan habis
B. 15 5
7 digunakan dalam waktu …
7 A. 30 hari
B. 32 hari
C. 12 C. 40 hari
D. 50 hari
5
D. 12 Jawaban: D

Jawaban: D Pembahasan:
Beras tersebut akan habis digunakan dalam
Pembahasan: waktu = 40 : 4
2 1 :11 −11 = 11: 6 − 5
5 5 4 55 4 5
= 40 × 4
= 11× 5 − 5
5 64 5
= 50 hari.
= 11− 5
64

= 22 − 15 = 7
12 12 12

71

3. Anita memiliki pita sepanjang m, kemu- Pembahasan:
dian ia membeli lagi pita sepanjang m. Banyaknya potongan tali = 24 : 3
Anita menggunakan pita miliknya sepan-
jang m untuk membuat bunga. Panjang 4
pita Anita yang tersisa sekarang adalah … = 24 × 4

A. m 3

B. m = 32 potong.

C. m 5. Kebun seluas 800 m2 akan ditanami jagung
1 bagian dan ditanami papaya 3 bagian.
D. m 45
Jadi, sisanya akan ditanami singkong maka
Jawab: D
luas kebun yang ditanami singkong adalah
Pembahasan …
A. 120 m2
Diketahui : Banyaknya Pita yang dimiliki B. 180 m2
C. 200 m2
Anita = 15 1 m + 2 2 m = 18 1 m D. 480 m2
Banyaknya2 pita y3ang dipe6rlukan untuk
(Ujian Nasional 2008/2009)
membuat bunga adalah 9 1 m
Jadi sisa pita yang dipunya4i Anita Jawaban: A

= 18 1 m – 9 1 m  Pembahasan:
64 Luas kebun yang ditanami singkong

= (18 − 9) + 1 − 1 m 1− 1 53
6 4 4
L = − × 800
= (9) +  2 − 3  m
12 12
 
= (9)− 1 m = 20 − 5 − 12 × 800
12 20 20 20

= 8 11 m. =  3  × 800
12 20

4. Andi memiliki seutas tali yang panjangnya = 120 m2

24 m. Jika tali tersebut di potong-potong
dengan panjang masing-masing 3 m, maka

4
banyaknya potongan tali adalah …

A. 36 potong

B. 32 potong

C. 24 potong

D. 18 potong

(Ujian Nasional 2009/2010)

Jawaban: B

72

3. Pangkat dan akar

Perpangkatan suatu bilangan merupakan hasil kali bilangan tersebut sebanyak faktor pangkatnya.
Contoh :
23 = 2 x 2 x 2
(-4)4 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4)
an = a x a x a x a x a x … x a

Sifat – sifat Perpangkatan

a) am x an = am + n

b) am : an = am - n

c) (am )n = am x n

d) (a x b)m = am x bm

e) ( a )m = am
b bm

Akar merupakan kebalikan (invers) dari perpangkatan.
Contoh :

Jika a2 = p , maka p = a

Jika (−3)3 = - 27 , maka 3 −27 = -3

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hasil dari 6 × 8 adalah …. 2. Hasil dari 6,25 + (1,5)2 = ….
A. 3 6 3 125
B. 4 2 A. 0,92

C. 4 3 B. 1

D. 4 6 C. 3

(Ujian Nasional 2011/2012) D. 5

Pembahasan: Jawaban: C
6 × 8 = 6×8
= 48 3. Hasil dari 625 − 3 (−216) + 5 (−243) = ….

= 16 × 3 A. 28
B. 24
=4 3 C. 22
D. 12

Jadi, nilai dari 6 × 8 = 4 3

73

4. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu

bilangan dengan bilangan berikutnya, sedangkan Deret bilangan adalah jumlah beruntun dari suku-

suku barisan tersebut.

a. Barisan Aritmetika dan Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (Un)
dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).
Misalkan suku pertama = a, beda b, maka

U1 U2 U3 U4 Un−1 Un
↓ ↓
↓↓ ↓ ↓ … a + (n − 2)b a + (n −1)b

a a + b a + 2b a + 3b

Rumus suku ke-n barisan Aritmetika Un = a + (n −1).b

Deret Aritmetika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmetika . Jika U1, U2, U3, …,Un adalah
barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmetika . Jumlah n suku pertama
disimbolkan dengan Sn.

Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Sn = 1 n{2a + (n − 1)b} Atau Sn 1 n(a + Un)
2 2

beruntun dari suku-suku barisan tersebut.

b. Barisan Geometri dan Deret Geometri (Deret Ukur)

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika perbandingan untuk setiap suku ke-n

(Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Perbandingan tersebut dinamakan
rasio (r).

Misalkan suku pertama = a, rasio = r, maka

U1 U2 U3 U4 Un−1 Un
↓
↓ ↓ ↓ ↓ …↓

a a.r ar2 ar3 a.r n−2 a.r n−1

Rumus suku ke-n barisan Geometri

Un = a.r n−1

74

Deret Aritmetika adalah bentuk penjumlahaan barisan geometri. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah
barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret geometri. Jumlah n suku pertama
disimbolkan dengan Sn.

Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah :

Sn = a(1− rn ) Jika nilai r < 1
1− r

Atau

Sn = a(rn −1) Jika nilai r >1
r−

c. Barisan Bilangan Lainnya : 12, 22, 32, 42, 52, 62, …
1) Barisan bilangan persegi atau 2, 4, 9, 16, 25, 36
Pola barisan bilangan persegi : n2 , n = bilangan asli

Rumus suku ke-n

2) Barisan bilangan persegi panjang : 1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6, 6×7, …
Pola barisan bilangan persegi
atau 2, 6, 12, 20, 30, 42, …
Rumus suku ke-n
: n× (n +1) , n = bilangan asli

3) Barisan bilangan segitiga

Pola barisan bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, 15, …
: 1 n× (n +1) , n = bilangan asli
Rumus suku ke-n 2

4) Barisan bilangan Fibonacci
Barisan Fibonacci adalah barisan bilangan yang suku berikutnya di peroleh dari menjumlahkan
dua suku sebelumnya.
Contoh :
 2, 4, 6, 10, 16, …
 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

75

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika = 18 – 15
adalah Un = n2 – 2n. Jumlah suku ke-10 dan = 3.
ke-11 barisan itu adalah …
A. 179 Rumus suku-n
B. 189 Un = a + (n–1). b
C. 191
D. 196 Jadi U10 = a + (10–1). b
(Ujian Nasional 2010/2011)
= 12 + 9× 3
Jawaban: A
= 12 + 27

= 39.

Pembahasan: 3. Banyaknya kursi pada baris pertama di
gedung bioskop adalah 20 kursi pada baris di
Dipunyai Un = n2 – 2n. belakangnya lebih banyak 4 buah. Banyaknya
kursi pada baris ke 15 adalah …
Jadi U10 = 102 – 2.10 A. 72
B. 74
= 100 – 20 C. 76
D. 80
= 80. (Ujian Nasional 2008/2009)

Jadi U11 = 112 – 2.11 Jawaban: D
= 121 – 22

= 99.

Jadi U10+ U11 = 80 + 99 = 179

2. Ibu menumpuk gelas masing-masing tingginya Pembahasan:
12 cm. Tinggi tumpukan dua gelas 15 cm Diketahui:
dan tinggi tumpukan tiga gelas 18 cm. Tinggi Banyaknya kursi pada baris pertama = 20
tumpukan 10 gelas adalah … Beda (b) = 4
A. 56 cm
B. 57 cm Rumus suku – n
C. 48 cm Un = a+(n–1). b
D. 39 cm U15 = a+(15–1).b
(Ujian Nasional 2008/2009) = 20 + 14 × 4
= 20 + 56
Jawaban: D = 76.

Pembahasan: Jadi, banyaknya kursi pada baris ke 15
adalah 76.
Diketahui tinggi masing-masing gelas = 12 cm.

tinggi tumpukan 2 gelas (U2) = 15 cm.

tinggi tumpukan 3 gelas (U3) = 18 cm.

Beda (b) = U3 – U2

76

4. Perhatikan gambar pola di bawah. 5. Amuba akan membelah diri menjadi dua setiap

15 menit. Jika mula-mula ada 30 amuba, maka

banyaknya amuba selama 2 jam adalah ….

A. 900

Pola 1 Pola 2 Pola 3 Pola 4 B. 1.800

Banyak lingkaran pada pola ke–20 adalah… C. 3.840

A. 380 D. 7.680

B. 420 (Ujian Nasional

C. 462 2011/2012)

D. 506 Jawaban: C

(Ujian Nasional Pembahasan:
2009/2010) Diketahui:
Jawaban: B Banyaknya Amuba mula-mula (U1) = 30
Banyaknya pembelahan yang terjadi selama
Pembahasan:

Diketahui: 15 menit = 2

Banyaknya lingkaran pada pola ke–1 = 2 Jelas bahwa pola barisan diatas bukan pola

Banyaknya lingkaran pada pola ke–2 = 6 barisan geometri, dengan rasio (r) = 2

Banyaknya lingkaran pada pola ke–3 = 12 Jadi, banyaknya amuba selama 2 jam adalah

Banyaknya lingkaran pada pola ke–4 = 20 Sn = U1× r n–1

Jelas bahwa pola barisan diatas bukan

pola barisan aritmetika ataupun barisan = 30 × 120 −1

2 15

geometri. = 30× 28–1

Pola barisan di atas = 30× 27

U1 U2 U3 U4 Un = 30× 128

↓ ↓ ↓ ↓ … ↓ = 3840.

2 6 12 20 x

↓ ↓ ↓ ↓ … ↓

1x2 2x3 3x4 4x5 nx(n+1)

Rumus suku ke-n
Un= n × (n+1)

Jadi U20 = 20 × 21
= 420

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke 20
adalah 420

77

5. Aritmetika Sosial

a. Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung, dan Rugi.
Dalam suatu kegiatan perdagangan, kita sering mendengar adanya beberapa istilah seperti: harga
penjualan, harga pembelian, untung, rugi, persentase untung, persentase rugi.

 Harga Pembelian (Modal)
Harga pembelian (modal) adalah nilai uang yang harus dibayarkan seseorang untuk membeli
suatu barang.

 Harga Penjualan
Harga penjualan adalah nilai uang yang diterima seseorang sebagai akibat dari penjualan
suatu barang.

 Untung
Untung, jika harga penjualan lebih besar dari harga pembelian.
Besar untung = harga penjualan – harga pembelian

 Rugi
Rugi, jika harga penjualan lebih kecil dari harga pembelian.
Besar rugi = harga pembelian – harga penjualan

 Persentase Untung /Rugi
Persentase untung atau persentase rugi adalah besarnya untung atau rugi yang dinyatakan
dalam bentuk persen.

Persentase Untung / Rugi = Besar Untung /Rugi x 100%

Harga Pembelian

CATTArTikAkNhusus untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan jual beli
 Jika Pedagang Untung

Jual 100 + Untung
Beli 100
 Jika Pedagang Rugi
Jual 100 - Rugi
Beli 100

Contoh:
Harga pembelian sebuah buku tulis Rp5.000,00. Jika buku tulis tersebut hendak dijual
dengan keuntungan 15%. Harga penjualan 100 buku tulis adalah ...
Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut
Harga pembelian sebuah buku adalah = Rp5.000,00
Jadi harga pembelian 100 buku adalah = Rp5.000,00 × 100 = Rp500.000,00.

78

Harga Jual = 100+Untung
harga Beli 100

Harga Jual = 100+15
500.000 100

Harga Jual= 115×500.000
100

Harga Jual= 115×500.000
100

Harga Jual=575.000

Jadi, harga penjualan 100 buku tulis adalah Rp575.000,00.

b. Rabat, Bruto, Tara, Netto, Bunga, dan Pajak
 Rabat / Potongan / Diskon
Rabat / potongan / diskon adalah potongan harga yang di berikan penjual kepada pembeli.
Contoh:
Bu Yanti pergi ke swalayan untuk membelikan tas untuk anaknya. Ia membeli sebuah tas
seharga Rp150.000,00. Jika swalayan tersebut memberikan diskon 20%, maka uang yang
harus dibayarkan Bu Yanti adalah ...
Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut
Harga sebelum diskon = Rp150.000,00
Diskon 20% = 20 × Rp150.000, 00
100
= Rp30.000, 00

Harga setelah diskon = Rp150.000,00 - Rp30.000,00 = Rp120.000,00.
Jadi uang yang harus di bayarkan Bu Yanti adalah Rp120.000,00.
 Bruto / Berat kotor
Bruto / berat kotor adalah berat suatu benda beserta tempatnya.
 Tara / Potongan berat
Tara / potongan berat adalah berat tempat dari suatu benda.
 Netto / Berat bersih
Tara / potongan berat adalah berat suatu benda setelah dikurangan berat tempatnya.
 Bunga Tabungan dan Pajak
Besar bunga = Persentase bunga × Modal
Besar pajak = Persentase pajak × Besar belanja

79

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Andi membeli 10 pasang sepatu seharga A. Rp 442.000,00
B. Rp 460.000,00
Rp400.000,00. Sebanyak 7 pasang sepatu C. Rp 472.000,00
D. Rp 600.000,00
dijual dengan harga Rp50.000,00 per pasang,
(Ujian Nasional 2009/2010)
2 pasang dijual Rp40.000,00 per pasang, dan Jawaban : B

sisanya disumbangkan. Persentase keuntungan Pembahasan :
Uang yang dipinjam = Rp4.000.000,00
yang diperoleh Andi adalah … Waktu angsuran = 10 bulan
Bunga = 1,5% per bulan
A. 7 1 % Besar angsuran tiap bulan = cicilan uang per
2 bulan + bunga per bulan

B. 15%

C. 22 1 %
2

D. 30%

(Ujian Nasional

2010/2011)

Jawaban: A =  Besar Pinjaman  + (Besar Pinjaman× Bunga perbulan)
 Lama Pinjaman 
Pembahasan:
Harga Pembelian 10 pasang sepatu = =  4.000.000  + (4.000.000 ×1,5%)
Rp400.000,00 10
Total hasil penjualan = (7 × 50.000) + (2 × 40.000) = (400.000) + (60.000)

= 460.000 .

Keuntungan = 350.000 + 80.000 Jadi besarnya angsuran yang harus dibayar–
= 430.000 kan tiap bulannya adalah Rp460.000,00
= Total Penjualan – Harga Beli

= 430.000 – 400.000 = 30.000

Persentase Keuntungan = Besar Keuntungan x 100% 3. Pada awal Januari 2009 koperasi“Rasa Sayang”
Harga Pembelian mempunyai modal sebesar Rp25.000.000,00.

= 30.000 × 100% = 7 1 % Seluruh modal tersebut dipinjamkan kepada
400.000 2 anggotanya selama 10 bulan dengan bunga

Jadi, persentase keuntungan yang diperoleh 12% per tahun. Setelah seluruh pinjaman
Andi adalah 7 1 % . dikembalikan, modal koperasi sekarang
adalah …
2 A. Rp27.500.000,00
B. Rp28.000.000,00
2. Seseorang meminjam uang di koperasi C. Rp28.750.000,00
sebesar Rp4.000.000,00, dan diangsur D. Rp30.000.000,00
selama 10 bulan dengan bunga 1,5 % per
bulan. Besar angsuran tiap bulan adalah…

Jawaban: B

80

Pembahasan:

Modalyangdipunyaikoperasi=Rp25.000.000,00 Persentase Keuntungan =

Waktu angsuran = 10 bulan Besar Keuntungan ×100%
Harga Pembelian
Bunga = 12% per tahun

Besar bunga selama 10 bulan = 55.000 × 100%
= 10 × 12% × Modal Koperasi
(180.000 + 40.000)
12
= 55.000 × 100%
= 10 × 12% × Rp25.000.000 220.000
12
= 25%
= Rp 2.500.000.

Jadi, modal yang dipunyai koperasi setelah Jadi, modal persentase keuntungan yang
seluruh pinjaman dikembalikan adalah diperoleh adalah 25%
M = Rp25.000.000 + Rp2.500.000
M = Rp27.500.000. 5. Setelah 9 bulan uang tabungan Susi di
koperasi berjumlah Rp3.815.000,00. Koperasi
4. Budi membeli sepeda seharga Rp180.000,00. member jasa simpanan berupa bunga 12%
Setelah diperbaiki dengan biaya Rp40.000,00, per tahun. Tabungan awal Susi di koperasi
sepeda tersebut dijual dengan harga adalaadalah ....
Rp275.000,00. Persentase keuntungan yang A. Rp3.500.000,00
diperoleh adalah …. B. Rp3.550.000,00
A. 14% C. Rp3.600.000,00
B. 15% D. Rp3.650.000,00
C. 20%
D. 25% (Ujian Nasional 2010/2011)
(Ujian Nasional 2010/2011) Jawaban: A
Jawaban: D
Pembahasan:
Pembahasan:
Harga sepeda Budi = Rp180.000.00 Bunga koperasi selama setahun = 12% .
Biaya perbaikan sepeda budi = Rp40.000,00 Bunga koperasi selama 9 bulan = 9 ×12%
Harga jual sepeda Budi = Rp275.000,00 12
Keuntungan yang diperoleh Budi = = 9 %.
Harga Jual – (Harga Beli + Reparasi)
= Rp275.000 – (Rp180.000 + Rp40.000) Besar uang tabungan Susi selama 9 bulan =
= Rp275.000 – (Rp220.000)
= Rp55.000. Rp3.815.000,00

Besar tabungan Susi =

Modal awal + (Bunga × Modal awal)
⇔ Rp3.815.000,00 =

Modal awal + (9% ×Modal awal)

⇔ Rp3.815.000,00 = 109% × Modal awal

81

⇔ Modal awal = 100 × Rp3.815.000,00 ⇔ x = 20 bulan
⇔ Modal awal 109
= Rp3.500.000,00. Jadi, lamanya menabung kakak adalah
20 bulan.

Jaditabungan awalSusiadalahRp3.500.000,00.

6. Kakak menabung di bank sebesar 7. Ali menabung di bank sebesar Rp.2.000.000,00
Rp800.000,00 dengan suku bunga tunggal 9% dengan suku bunga tunggal 6% pertahun. Pada
setahun. Tabungan kakak saat diambil sebesar saat diambil uang Ali menjadi Rp.2.080.000,00.
Rp920.000,00. Lama menabung adalah …. Lama Ali menabung adalah ….
A. 18 bulan A. 6 bulan
B. 20 bulan B. 7 bulan
C. 22 bulan C. 8 bulan
D. 24 bulan D. 9 bulan
(Ujian Nasional 2011/2012) (Ujian Nasional 2011/2012)
Jawaban: B Jawaban: C

Pembahasan: Pembahasan:
Besar tabungan Kakak di bank adalah Besar tabungan Ali di bank adalah
Rp800.000,00 Rp2.000.000,00
Suku bunga bank selama 1 tahun = 6 %.
Suku bunga bank selama 1 tahum = 9 %.
Besar tabungan Kakak saat di ambil adalah Besar tabungan Ali saat di ambil adalah
Rp920.000,00 Rp2.080.000,00

Jadi besar bunga yang diterima Kakak = Jadi, besar bunga yang di terima Ali
Rp920.000,00 – Rp800.000,00 = Rp120.000,00.
= Rp2.080.000,00 – Rp2.000.000,00
Bunga x bulan =
x a2 + b2 × bunga persen × modal = Rp80.000,00.
12
Bunga x bulan = x × bunga persen × modal
12

Jadi , 80.000 = x × 6 % × 2.000.000,00
12

⇔ 12 × 80.000 = x × 6 % × 2.000.000,00

⇔ 960.000 = x × 120.000

Jadi 120.000 = x × 9 % × 800.000 ⇔ x = 960.000
12 ⇔ 120.000

⇔ 12 × 120.000 = 1xx2××792%00× 800.000 x = 8 bulan
⇔ 1.440.000 =
Jadi, lamanya menabung Ali adalah 8 bulan.

⇔ x = 1.440.000
7.200

82

8. Seorang pedagang membeli satu dus jeruk A. 1,7%
berisi 50 kg dengan harga Rp4.000,00 B. 2%
setiap kg. Setelah dibuka ternyata ada C. 2,5%
jeruk itu busuk sebanyak 6 kg dan sisanya D. 3%
dijual dengan harga Rp4.500,00 setiap kg.
Persentase kerugian pedagang tersebut (Ujian Nasional 2009/2010)
adalah …. Jawaban : B
A. 10%
B. 5% Pembahasan :
C. 2% Besar uang yang di terima Ani di koperasi
D. 1% adalah Rp 800.000,00.
(Ujian Nasional 2011/2012) Lama waktu peminjaman adalah 10 bulan.
Jawaban: A
Besarnya uang yang dibayarkan Ani di koperasi
Pembahasan: adalah Rp 960.000,00.
Jumlah jeruk yang di beli = 50 kg. Jadi besar bunga yang di dibayarkan Ani di
Harga per kg jeruk Rp4.000,00. koperasi = Rp960.000,00 – 800.000,00
Biaya pembelian 1 dos jeruk = 50 × Rp4.000,00
= Rp200.000,00 = Rp160.000,00.
Jumlah jeruk yang di jual = 50 kg – 6 kg = 44
kg. Persentase bunga / bln= Besar bunga ×100%
Harga penjualan jeruk = 44 × Rp4.500,00 = Besar UangPinjaman
Rp198.000,00
Besar Rugi = Besar Pembelian - Penjualan Jadi Persentase bunga/bln =

= Rp200.000,00 - Rp198.000,00 Rp160.000 × 100 %
= Rp2.000,00 Rp800.000

Rp160.000

⇔ Persentase bunga/bln = Rp800.000 × 100 %
⇔ Persentase bunga/bln = 0.2%

Persentase Rugi = Besar Untung /Rugi Jadi, persentase bunga selama 10 bulan =
Harga Pembelian 0,2% × 10 = 2%.

x 100%

10. Perhatikan daftar harga berikut.

Persentase rugi = Rp2000,00 x 100% No Nama Barang Harga Diskon
Rp20.000,00 1 Kemeja Rp50.000,00 10%
2 Celana Panjang Rp75.000,00 15%
Persentase rugi = 10% 3 Jaket Rp125.000,00 20%

9. Ani meminjam uang di koperasi “Sukur Jika Budi membeli 2 kemeja, 1 celana panjang,
Makmur” sebesar Rp800.000,00. Setelah dan 1 jaket. Uang yang harus dibayarkan Budi
10 bulan, ia telah membayar lunas sebesar adalah ….
Rp960.000,00. Persentase bunga setiap A. Rp137.000,00
bulannya adalah ….

83

B. Rp208.750,00 Pembahasan:
C. Rp253.750,00 Jumlah pupuk yang dibeli pak Dono adalah
D. Rp255.000,00 10 karung dengan bruto 7 kuintal.
tara = 3 %
(Ujian Nasional 2008/2009)
Jawaban: C Jadi Netto = Bruto – Tara
⇔ Netto = 7 kuintal – (3% × 7 kuintal)
Pembahasan: ⇔ Netto = 7 kuintal – (0,21 kuintal)
Soal diatas dapat di selesaikan dengan cara ⇔ Netto = 6,79 kuintal.
sebagai berikut:

No Nama Harga Diskon Besarnya 12. Pak Bambang membeli beras 5 karung
Barang diskon dengan harga Rp650.000,00. Pada masing-
masing karung tertulis bruto 50 kg dan tara
1 Kemeja Rp50.000,00 10% Rp5.000,00 1%. Kemudian beras tersebut di jual Pak
Bambang kembali dengan harga Rp2.000,00
2 C e l a n a Rp75.000,00 15% Rp11.250,00 per kg. Jika beras berhasil terjual semua,
Panjang maka besar kerugian yang dialami oleh Pak
Bambang adalah…
3 Jaket Rp125.000,00 20% Rp25.000,00 A. Rp155.000,00
B. Rp150.000,00
Jika Budi membeli 2 kemeja, 1 celana pan- C. Rp170.000,00
jang, dan 1 jaket, maka Uang yang harus D. Rp180.000,00
dibayarkan Budi adalah
= 2 × (50.000 – 5.000) + 1 × (75.000 – 11.250) + Jawaban: A

1 × (125.000 – 25.000) Pembahasan:
= 2 × (45.000) + (63.750) + (100.000)
= 90.000 + 63.750 + 100.000
= 253.750

Jadi besar uang yang harus dibayarkan Budi
adalah Rp253.750,00

Soal di atas dapat diselesaikan dengan cara

11. Pak Dono membeli pupuk sebanyak 10 sebagai berikut:
karung dengan bruto 7 kuintal. Setiap
karung pupuk mempunyai berat yang sama. Jumlah Beras Bruto Tara Netto
Jika taranya 3 %, maka neto setiap karung 1 karung 50 Kg 1% 50-0,5 = 49,5 kg
pupuk adalah…
A. 67,9 kg 0,5kg
B. 69,7 kg
C. 72,1 kg Besar biaya penjualan Beras
D. 73,0 kg = 49,5 kg × Rp2.000 × 5 karung
= Rp 495.000
Jawaban: A
Jadi, besar kerugian yang dialami Pak Bambang
adalah
= Rp650.000 – Rp 495.000
= Rp155.000.

84

6. Skala dan Perbandingan

A. Skala
Skala, yaitu bilangan yang menunjukkan perbandingan antara ukuran gambar (peta, denah)
dengan ukuran sebenarnya. Dengan skala, kita akan lebih mudah dalam menggambarkan sesuatu
yang luas menjadi lebih kecil.

Dirumuskan: skala = Jarak pada peta
Jarak sebenarnya

Penulisan skala contohnya 1 : 250.000 , dan
Sebagai contoh skala 1: 250.000 berarti setiap 1 cm pada jarak peta mewakili 250.000 cm pada jarak
yang sesungguhnya.

Contoh:
Jarak kota A dan kota B dalam peta 4 cm. Hitunglah jarak sebenarnya, jika diketahui skala peta 1 :
500.000

Penyelesaian:
Skala 1 : 500.000 berarti
1 cm pada peta = 500.000 cm jarak sebenarnya
4 cm pada peta = 4 × 500.000 cm

= 2.000.000 cm
= 20.000 m
= 20 km jarak sebenarnya.

B. Perbandingan Senilai
Perbandingan dikatakan senilai jika kedua perbandingan tersebut memiliki harga yang sama.
Contoh:
1) Banyaknya buah yang dibeli dengan jumlah uang yang harus dibayarkan
2) Banyaknya bensin yang dikeluarkan dengan jarak yang ditempuh
3) Jarak dengan kecepatan
Contoh soal:
Dengan 4 liter bensin sebuah mobil dapat menempuh jarak 32 kilometer. Jika jarak yang akan di-
tempuh 56 kilometer, berapa liter bensin yang diperlukan?
Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:

Banyak Bensin Jarah Tempuh
4 liter 32 km
x liter 56 km

Maka berlaku hubungan 4 = 32
χ 56

85

4 = 32
χ 56

χ = 4 × 56
32

χ = 224 = 7
32

Jadi, banyaknya bensin yang diperlukan adalah 7 liter.

C. Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan dikatakan berbalik nilai jika besaran yang satu bertambah besar, besaran yang lain
justru bertambah kecil.
Contoh:
1) Banyaknya sapi dengan banyaknya persediaan yang di punyai
2) Banyaknya pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan

Contoh:
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan selama 32 hari dengan 25 orang pekerja. Agar pekerjaan tersebut
dapat selesai dalam 20 hari, berapakah banyak pekerja yang diperlukan?
Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:

Banyak Pekerja Lamanya

25 pekerja 32 hari

x pekerja 20 hari

Maka berlaku hubungan 25 = 20
χ 32

25 = 20
χ 32

χ = 25 × 32
20

χ = 800 = 40
20

Jadi, banyaknya pekerja yang diperlukan adalah 40 pekerja.

Catatan:
Jika ditanyakan berapa banyaknya tambahan pekerja yang diperlukan, maka tambahannya sebesar =
40 – 25 = 15 pekerja

86

D. Waktu, Jarak, dan Kecepatan
Perbandingan dikatakan berbalik nilai jika besaran yang satu bertambah besar, besaran yang lain
justru bertambah kecil.
Contoh:
1) Sebuah bus berangkat dari Semarang menuju Surabaya dengan kecepatan rata-rata 60 km/
jam. Jarak Semarang ke Surabaya 240 km. Berapa lama perjalanan bus tersebut?
Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:
Diketahui jarak antara Semarang dan Surabaya (S) = 240 km, dan v = 60 km/jam.Yang ditanyakan
adalah waktu (t), maka:
jarak (s)
waktu (t) = kecepatan (v)

= 240 = 4 jam
60

Jadi, lama perjalanan bus adalah 4 jam.

2) Suatu hari Yanti hendak ke rumah nenek dengan bersepeda. Jika jarak antara rumah Yanti ke
rumah nenek adalah 30 km, dan lama perjalanan yang ditempuh adalah 1 1 jam, berapakah
2
kecepatan rata-rata sepeda itu?

Dari soal tersebut diketahui jarak antara rumah Yanti ke rumah nenek adalah 30 km, dan wak-
tu yang diperlukan adalah 1 1 jam. Yang ditanyakan adalah kecepatan (v), maka:

2

Kecepatan(v)= Jarak(S)

Waktu (t)

= 30 3=20 km jam
3
2

Jadi, kecepatan rata-rata sepeda itu adalah 20 km/ jam.

Contoh Soal dan Pembahasan C. 4 orang
D. 2 orang
1. Untuk menyelesaikan suatu pekerjaan selama
72 hari di perlukan pekerja sebanyak 24 orang. (Ujian Nasional 2009/2010)
Setelah dikerjakan 30 hari, pekerjaan dihentikan Jawaban: C
selama 6 hari. Jika kemampuan bekerja setiap
orang sama dan agar pekerjaan tersebut selesai Pembahasan:
sesuai dengan jadwal semula maka banyak Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai beri-
pekerja tambahan yang diperlukan adalah …. kut:
A. 8 orang
B. 6 orang

87

Banyak Lamanya Keterangan 2. Sebuah gedung direncanakan selesai dibangun
Pekerja (T) selama 20 hari oleh 28 pekerja. Setelah di
kerjakan 8 hari, pekerjaan dihentikan selama
Total (X) 72 hari Untuk menyelesaikan 1 4 hari. Jika kemampuan bekerja setiap orang
Kerja 2 24 pekerja sama dan supaya pembangunan gedung
pekerjaan selesai tepat waktu, maka banyaknya pekerja
Kerja 1 24 pekerja yang di perlukan adalah ….
30 hari Untuk menyelesaikan A. 12 orang
0 pekerja
…. pekerjaan
p pekerja
6 hari Pekerjaan berhenti

sementara

(7 2 - 3 0 - 6 ) Pekerjaan harus selesai

hari

⇔ Xtot. Ttot = X1. T1 + X2. T2 B. 14 orang
⇔ 24 × 72 = 24 30 + p × (72 – 30 – 6)
⇔ 1728 = 720 + p × (36) C. 15 orang
⇔ p × (36) = 1728 - 720
D. 16 orang

(Ujian Nasional 2009/2010)

⇔ p × (36) = 1008 Jawaban: B

Pembahasan:

⇔ p = 1008 Jadi banyaknya tambahan pekerja (x)
⇔ 36
x = h − n. tlibur
p = 28. tker ja − tlibur

Jadi, agar pekerjaan dapat selesai tepat waktu = 28 × 4 4
maka di butuhkan 28 pekerja. Jadi kalau tam- 20 − 8 −

bahan perkerja yang di perlukan = 28 – 24 = = 112 = 14 orang
4 pekerja. 8

CARA CEPAT 3. Sebuah bus berangkat dari Jakarta pada hari
Sabtu pukul 17.15 menuju Yogyakarta melalui
Rumus : x = n . tlibur Semarang yang berjarak 560 km. Dari Jakarta
h – tkerja–tlibur ke Semarang bus melaju dengan kecepatan
rata-rata 45 km/jam ditempuh dalam waktu
Keterangan : 10 jam. Di Semarang bus berhenti selama 1
x = banyaknya tambahan pekerja yang di jam, kemudian melaju lagi menuju Yogyakarta
dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Pada hari
butuhkan dan pukul berapa bus itu akan tiba diYogyakarta?
n = banyaknya pekerja awal =24 pekerja A. Hari Sabtu pukul 06.27
h = banyaknya waktu awal = 72 hari B. Hari Minggu pukul 04.27
tlibur = banyaknya waktu libur = 6 hari C. Hari Minggu pukul 06.27
tkerja = banyaknya waktu kerja = 30 hari D. Hari Senin pukul 05.27

Jadi banyaknya tambahan pekerja (x) Jawaban: C

x = h − n. tlibur
tker ja − tlibur

= 24 × 6 6
72 − 30 −

= 144 = 4 orang
36

88

Pembahasan: rata-rata 60 km/jam. Pada saat yang sama Heru
Ilustrasi soal diatas mengendarai sebuah mobil dari kota Tegal ke
kota Semarang dengan kecepatan rata-rata 80
Jakarta Semarang Yogyakarta km/jam . Jika jarak kedua kota tersebut 560 km,
maka mereka akan bertemu pada pukul…
560 km A. 13.00
B. 13.30
Dari Jakarta ke Semarang bus melaju dengan C. 14.00
kecepatan rata-rata (V1) 45 km/jam ditempuh D. 14.30
dalam waktu (t1) 10 jam
Jadi jarak Jakarta ke Semarang = V1 × t1 Jawaban: D
Pembahasan:
= 45 × 10 Karena mereka bertemu di jalan maka waktu
= 450 km. perjalanan Arni = waktu perjalanan Heru. Maka
Jika jarak antara Jakarta ke Yogyakarta = 560
km, maka jarak Semarang ke Yogyakarta Semarang X km Tempat bertemu (560-x) km Tegal
adalah
= 560 km – 450 km = 110 km. 560 km
Waktu yang diperlukan untuk perjalanan
semarang ke Yogya adalah .... t Arni = tHeru
t = Ssmg− yogya SArni = SHeru
Vsmg− yogya V VArni Heru
x = 560 − x
= 110 60 80
50 80x = 33600 − 60x
80x + 60x = 33600
= 11 jam 140x = 33600
5
x = 33600 = 240 km
=2 jam12menit 140

Jadi, waktu yang diperlukan bus untuk pergi Jadi, waktu yang diperlukan Arni untuk me–
dari Jakarta ke Yogyakarta
= 10 jam + 1 jam + 2 jam 12 menit nempuh 240 km adalah
= 13 jam 12 menit.
t = 240 km =4jam
Jika bus berangkat dari Jakarta pada hari sab- 60 km/jam
tu pukul 17.15, maka bus tersebut akan tiba di
Yogyakarta pada hari minggu pukul 06.27. Jika mereka berangkat dari masing-masing
kota pada pukul 10.30, maka mereka akan
4. Dengan mengendarai sepeda motor, Arni bertemu pada pukul 10.30 + 4 jam = 14.30
berangkat dari kota Semarang menuju kota
Tegal pada pukul 10.30 dengan kecepatan

89

CARA CEPAT Jadi berlaku perbandingan
20 = x
Jarak dua kota 25 15
Rumus: waktu (t) = 25x = 20 ×15

V1 +V2 x = 300
Keterangan: 25

t = waktu yang di perlukan = 560 km x = 12

V1 = kecepatan pengendara 1 = 60 km/jam 6 Delapan tahun yang lalu umur Fira 10 tahun.
Sekarang umur Fira dan Bela berbanding 3 :
V2 = kecepatan pengendara 1 = 80 km/jam 4. Umur Bela sekarang adalah ....
A. 21 tahun
waktu (t) = Jarak dua kota B. 24 tahun
V1 + V2 C. 28 tahun
D. 32 tahun
= 560
60 + 80

= 560
140

= 4 jam

5. Sebuah panti asuhan memiliki persediaan beras Jawaban: B
yang cukup untuk 20 orang selama 15 hari. Jika
penghuni panti asuhan itu bertambah 5 orang, Pembahasan:
maka persediaan beras itu akan habis dalam Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai
waktu …. berikut :
A. 20 hari
B. 12 hari Ket. Waktu Bela Fira
C. 10 hari Lampau
D. 8 hari Sekarang x - 8 10
Masa depan x 10 + 8 = 18 tahun
Jawaban: B
……
Pembahasan:
Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai Jika Sekarang umur Fira dan Bela berbanding
berikut.
3:4

Maka berlaku hubungan bahwa 3 = 18
4x
⇔ 3 x = 4 . 18
Banyaknya orang Lamanya persediaan ⇔ 3 x = 72
⇔ x=
20 orang 15 hari ⇔ x = 24.

25 orang x har i

Jadi, umur Bela sekarang adalah 24 tahun.

90

BAB 2

ALJABAR

1. Bentuk Aljabar

A. Operasi Bentuk Aljabar
 Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara
menjumlahkan/mengurangkan suku-suku yang mempunyai bentuk sejenis. Apabila suku-
suku bentuk aljabar tersebut tidak sejenis, maka tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh:
1) Tentukan hasil penjumlahan 3x – 4y + 6 dan x + 8y – 7!
Pembahasan:
(3x – 4y + 6) + (x + 8y – 7) = 3x – 4y + 6 + x + 8y – 7
= 3x + x + 8y – 4y + 6 – 7
= 4x + 4y – 1.
2) Tentukan hasil pengurangan 3x – 4y + 6 dan x + 8y – 7!
Pembahasan:
(3x – 4y + 6) – (x + 8y – 7) = 3x – 4y + 6 – x – 8y + 7
= 3x – x – 4y – 8y + 6 + 7
= 2x – 12y + 13.
3) Bentuk paling sederhana dari 5x2y – 3xy2 – 7x2y + 6xy2 adalah
Pembahasan:
5x2y – 3xy2 – 7x2y + 6xy2 = 5x2y – 7x2y – 3xy2 + 6xy2
= – 2x2y + 3xy2.

 Perkalian Suatu Bilangan dengan Suku Dua
Perkalian suatu bilangan dengan suku dua dapat dilakukan dengan menggunakan hukum
distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan.
Contoh:
Hasil dari 2 (3x – 4y) = ....
Pembahasan:
2 (3x – 4y)= 2 (3x) – 2(4y)
= 6x – 8y

91

 Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Perkalian suatu bilangan dengan suku dua dapat dilakukan dengan menggunakan hukum
distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan.
Contoh:
1) Tentukan hasil dari (x + 2) (x + 3)
Pembahasan:
(x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
2) Tentukan hasil dari (3a + 4b)(a – 2b) = ….
Pembahasan:
(3a + 4b)(a – 2b) = 3a(a – 2b) + 4b(a – 2b)
= 3a2 – 2ab + 4ab – 8b2
= 3a2 + 2ab – 8b2

 Pemfaktoran
Dasar pemfaktoran bentuk aljabar:
a(b + c) = ab + ac → hukum distributif

a) Pemfaktoran Bentuk Selisih Dua Kuadrat

a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Contoh:
4x2 – 25y2 = (2x)2 – (5y)2

= (2x + 5y) (2x – 5y)
b) Pemfaktoran Bentuk x2 + bx – c

x2 + bx – c = (x + p)(x + q)
dimana b = p + q, c = p × q
Contoh:
1) x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2 × 3)

= x2 + 2x + 3x + (2 × 3)
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 3)(x + 2).
2) x2 + 3x – 10 = x2 + (5 – 2)x + (5 × –2)
= x2 + 5x – 2x + (5 × –2)
= x(x + 5) –2(x + 5)
= (x – 2)(x + 5).
c) Pemfaktoran Bentuk Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx – c, dengan a ≠ 1, b dan c ≠ 0
Contoh:
1) 2x2 + 9x + 10 = 2x2 + (4 + 5)x + (5 × 2)

92

= 2x2 + 4x + 5x + (5 × 2)
= 2x(x + 2) + 5(x + 2)

= (2x + 5)(x + 2).

2) 2x2 + 5x + 3 =2x2 + (2 + 3)x + (3 × 1)
= 2x2 + 2x + 3x + (3 × 1)
= 2x(x + 2) + 3(x +1)

= (2x + 3)(x + 2)

B. Pecahan dalam Bentuk Aljabar

 Penjumlahan dan pengurangan Pecahan dalam Bentuk Aljabar
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk pecahan aljabar dapat di lakukan dengan
cara menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.
Contoh:

1) x 2 − x 3 2 =
−1 +

=

=

=

 Perkalian / Pembagian Pecahan dalam Bentuk Aljabar

Contoh:

1) Hasil dari = ….

Pembahasan:

=

= .
adalah ....
=

 Penyederhanaan pecahan
Contoh:
1) Bentuk sederhana dari

93

Pembahasan: adalah ....
=
=.

2) Bentuk sederhana dari
Pembahasan:
=

=

=

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hasil dari (2a – 3) (3a – 4) adalah ... 2. Hasil dari adalah
A. – 6a2 – 12
B. – 6a2 + a – 12 A.
C. 6a2 + 17a – 12 B.
D. 6a2 – 17a + 12 C.
(Ujian Nasional 2008/2009) D.
Jawaban: D
(Ujian Nasional 2008/2009)
Pembahasan: Jawaban: A
Jadi (2a – 3) (3a – 4) = 2a (3a – 4) – 3(3a – 4)
Pembahasan:
(sifat distributif perkalian)
= 6a2 – 8a – 9a + 12 Jadi =
= 6a2 – 17a + 12.

94

= 4. Pemfaktoran dari 4x 2– 9y2 adalah.....
= A. (2x + 9y) (2x – y)
= B. (2x + 3y) (2x – 3y)
=. C. (4x – 9y) (x + y)
D. (x – 3y) (4x + 3y)

(Ujian Nasional 2011/2012)
Jawaban: B

3. Bentuk sederhana dari adalah .... Pembahasan:
A. Jadi 4x 2– 9y2 = (2x)2–(3y)2
B. = (2x–3y)(2x+3y)
C.
D. 5. Pemfaktoran dari 16x 2 – 81y 2 aadalah ....

A. (8x + 9y) (2x + 9y)
B. (4x + 9y) (4x – 9y)
C. (8x – 9y) (2x – 9y)
D. (4x – 9y) (4x – 9y)

(Ujian Nasional 2010/2011) (Ujian Nasional 2011/2012)
Jawaban: C Jawaban: B

Pembahasan: Pembahasan:
Jadi 16x 2 – 81y 2 = (4x ) 2– ( 9y )2
Jadi = = (4x + 9y ) (4x – 9y)

=

=
=
=
=.

95

2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

A. Persamaan Linier Satu Variabel
Persamaan linier satu variabel adalah persamaan linier yang hanya memuat satu variabel.
Contoh:
1) 3x + 5 = 17
2) 2x – 3 = 5

Untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linier satu variabel adalah dengan menyeder-

hanakan bentuk persamaan tersebut dengan cara menentukan bentuk setara/ekuivalen.

Catatan:

Suatu persamaan tetap setara/ekuivalen, jika:

1) kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

2) kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama (bukan bilangan nol).

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x + 5 = 2x + 17

Pembahasan:

⇔ 4x + 5 = 2x + 17 (Tiap ruas dikurangi 5)
⇔ 4x + 5 – 5 = 2x + 17 – 5 (Tiap ruas dikurangi 2x)
⇔ 4x = 2x + 12 (Tiap ruas dibagi 2)
⇔ 4x – 2x = 2x – 2x + 12
⇔ 2x = 12
⇔ x=6

Jadi, HP = {6}

B. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Pertidaksamaan linier satu variabel adalah pertidaksamaan linier yang hanya memuat satu varia-
bel dengan pangkat variabelnya adalah satu. Dalam pertidaksamaan tanda yang sering di pakai: <,
≤ , >, dan ≥.
Contoh:
1) 3x + 5 ≥ 17
2) 2x – 3 < 5

Catatan:
Suatu pertidaksamaan tetap setara/ekuivalen, jika:
a. kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama,
b. kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, dan
c. jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda pertidak–

samaan harus di balik.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x + 5 ≥ 2x + 17

96

Pembahasan: ( Tiap ruas dikurangi 5 )
( Tiap ruas dikurangi 2x )
⇔ 4x + 5 ≥ 2x + 17 ( Tiap ruas dibagi 2 )
⇔ 4x + 5 – 5 ≥ 2x + 17 – 5
⇔ 4x ≥ 2x + 12
⇔ 4x – 2x ≥ 2x – 2x + 12
⇔ 2x ≥ 12
⇔ x ≥ 6

Jadi, HP = {6}

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Nilai dari x – 1 dari persamaan 5x – 1 = 2x + 11 Pembahasan:
adalah ….
A. 3 ⇔ 3x – 6 = x + 10
B. 4
C. 5 ⇔ 3x – x = 10 + 6
D. 6
(Ujian Nasional 2008/2009) ⇔ 2x = 16

Jawaban: A ⇔ x =8

Jadi x + 15 = 8 + 15 = 23.

Pembahasan: 3. Nilai x yang memenuhi persamaan
adalah …
⇔ 5x – 1 = 2x + 11
A.
⇔ 5x – 2x = 11 + 1
B.
⇔ 3x = 12
C.
⇔ 3x = 12

⇔ x =4

Jadi x – 1 = 4 – 1 = 3.

2. Jika 3x – 5 = x + 10, maka nilai x + 15 adalah…. D.
A. 3 (Ujian Nasional 2010/2011)
B. 17 Jawaban: D
C. 19
D. 23 Pembahasan:
⇔
Jawaban: D
( Tiap ruas dikurangi 6 )
⇔ 2(x + 5) = 3(2 x –1)

97

⇔ 2x +10 = 6 x –3 6. Himpunan penyelesaian dari –7p + 8 < 3p – 22,
untuk p bilangan bulat adalah ….
⇔ 13 = 4x

⇔ x= A. {…, –6, –5, –4}
B. {…, 0, 1, 2}
Jadi x = . C. {-2, -1, 0, …}

D. {4, 5, 6, ….}

4. Nilai x yang memenuhi persamaan Jawaban: D

A. – 6 adalah … Pembahasan :
B. – 4 Jawaban: D
C. 4 ⇔ -7p+8 < 3p-22
D. 6 ⇔ 22+8 < 3p+7p
⇔ 30 < 10p
⇔ 3<p

Jadi x = {4, 5, 6, …}.

Pembahasan:

⇔ ( Tiap ruas dikurangi 12 ) 7. Himpunan penyelesaian dari 2x – 4 ≤ 8 – x,

⇔ 30x - 30 = 8x - 60 untuk x ∈ bilangan asli adalah.....

⇔ 60 - 30 = 8x - 3x A. {0, 1, 2, 3}

⇔ 30 = 5x B. {1, 2, 3, 4}

⇔ 6=x C. {1, 2, 3}
D. {2, 3, 4}

Jadi x = 6 (Ujian Nasional 2011/2012)

Jawaban: B

5. Himpunan penyelesaian dari 2x – 3 ≤ –15 + Pembahasan:

6x dengan x bilangan bulat, adalah …. ⇔ 2x – 4 ≤ 8–x
A. {..., –1, 0, 1, 2} ⇔ 2x + x ≤ 8+4
B. { –2, –1, 0, 1, …} ⇔ 3x ≤ 12
C. {3, 4, 5, 6, …} ⇔ x≤4
D. {4, 5, 6, 7, …} Jadi x = {1, 2, 3, 4}

(Ujian Nasional 2007/2008)

Pembahasan: Jawaban: C
8. Himpunan penyelesaian dari 3x – 4 ≤ 2x + 3, x
⇔ 2x – 3 ≤ –15 + 6x ∈ bilangan cacah adalah ....
⇔ – 3+15 ≤ 6x –2x A. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⇔ 12 ≤ 4x
⇔ 3≤x B. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jadi x = {3, 4, 5, 6, …}.
C. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(Ujian Nasional 2011/2012)

98

Jawaban: D

Pembahasan:
⇔ 3x – 4 ≤ 2x +3
⇔ 3x – 2x ≤ 3 + 4
⇔ x ≤7

Jadi x = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 3.

3. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

A. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan yang berbentuk :

a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2

dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real.

B. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Pasangan x dan y yang memenuhi persamaan ax + by = c dinamakan sebagai penyelesian dari
persamaan tersebut.
Cara menentukan solusi dari sistem persamaan linier dua variabel dapat dilakukan dengan be-
berapa metode sebagai berikut.
1) Metode Graik
2) Metode Eliminasi
3) Metode Substitusi
4) Metode Gabungan (eliminasi & substitusi)

Contoh:
Vanesa membeli 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil seharga Rp14.400,00, sedangkan Aulia mem-
beli 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp11.200,00. Berapakah harga 5 buah buku tulis dan 8
buah pensil?
a. Rp13.600,00
b. Rp12.800,00
c. Rp12.400,00
d. Rp11.800,00

Soal di atas dapat diselesaikan dengan cara berikut.
(Penyelesaian dengan metode gabungan)

99

Misalkan : banyak buku tulis adalah x, dan
banyak pensil adalah y,

Jadi model matematikanya adalah 8 x + 6 y = 14.400
6 x + 5 y = 11.200

8x + 6y = 14.400 x 6 48x + 36y = 86.400
6x + 5y = 11.200 x 8 48x + 40y = 89.600 –

⇔ – 4y = – 3.200
⇔ y = 800.

Substitusikan y = 800 ke persamaan 6x + 5y = 11.200
6x + (5 . 800) = 11.200
⇔ 6x + 4.000 = 11.200
⇔ 6x = 7.200
⇔ x = 1.200.

Jadi, harga 1 buku tulis Rp1.200,00,
dan 1 pensil Rp800,00

Jadi, harga 5 buku tulis dan 8 pensil
Z = 5x + 8 y

= (5 . 1.200) + (8 . 800)
= 6.000 + 6.400
= 12.400
Jadi, harga 5 buku tulis dan 8 pensil adalah Rp12.400,00

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Penyelesaian dari sistem persamaan 3x + 2y = Pembahasan:

19 dan 2x – y = 8 adalah x dan y. Nilai -5x + 4y 3x + 2 y = 19
2 x − y = 8
adalah …. Dipunyai :
A. -30
B. -17 Dengan menggunakan metode eliminasi,
C. 10
D. 33 3x + 2 y = 19 x1 3x + 2 y = 19
2 x − y = 8 x2 4 x − 2 y = 16
+

(Ujian Nasional 2008/2009) ⇔ 7x = 35

Jawaban: B ⇔ x = 5.
Substitusikan x = 5 ke persamaan 3x+2y = 19,

100

Jadi 3 . 5 + 2y =19 3. Dua tahun yang lalu umur ayah dibanding
umur ibu 7 : 5. Jika 3 tahun yang akan datang
⇔ 15 + 2y =19 perbandingannya menjadi 4 : 3, maka umur
⇔ 2y=19–15 ayah sekarang adalah... tahun … .
⇔ 2y = 4 A. 38
⇔ y=2 B. 37
Jadi nilai x = 5 dan y = 2 C. 36

Jadi nilai –5.(5) + 4.(2) = – 25 + 8

= – 17.

D. 35

2. Robi dan Bayu berbelanja baju dan celana. Robi Jawaban : A

membeli 2 baju dan 2 celana dengan harga Pembahasan :
Rp350.000,00, sedangkan Bayu membeli 2 baju Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai
dan 1 celana dengan harga Rp200.000,00. Harga berikut :
2 baju adalah … .
A. Rp50.000,00 Ket. Waktu Ayah Ibu
B. Rp75.000,00 2 th Lampau x- 2 y-2
C. Rp1.000.000,00 x y
D. Rp150.000,00 Sekarang x+3 y+3
3 th yg akan datang
(Ujian Nasional 2008/2009)

Jawaban: A Jika Sekarang umur Ayah dan Ibu berbanding

Pembahasan: 7:5
Misalkan : Baju = x
Maka berlaku hubungan bahwa
Celana = y
Model Matematikannya: ⇔ 5x = 7y. (persamaan 1)
⇔ 5x – 7y = 0

2 x + 2 y = 350.000 Jika 3 tahun yang akan datang umur Ayah
2 x + y = 200.000 dan Ibu berbanding 4 : 3

Dengan menggunakan metode eliminasi, Maka berlaku hubungan bahwa

2 x +2 y = 350.000 x1 2x + 2 y = 350.000 ⇔ 3 ( x + 3) = 4 (y + 3)
2 x +y = 200.000 x1 2 x + y = 200.000 −
⇔ 3 x + 9 = 4y + 12

y = 150.000 ⇔ 3x – 4 y = – 9 + 12

Substitusikan y = 150.000 ke persamaan ⇔ 5x – 4 y = 3 (persamaan 2)

2x + y = 200.000,

Jadi 2x + 150.000 = 200.000 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

⇔ 2x = 50.000
⇔ x = 25.000

Jadi nilai x = 25.000 dan y= 150.000

Jadi harga 2 baju = 2 . Rp25.000 = Rp50.000. Jadi, umur Bela sekarang adalah 24 tahun.

101

4 . Penyelesaian dari sistem persamaan 3x + 5y = Substitusikan y = 3 ke persamaan 3x + 5y = –
-9 dan 5x + 7y = -19 adalah x dan y 9
Jadi 3x + 5.3 = – 9
Nilai 4x + 3y adalah … . ⇔ 3x + 15 = – 9
A. – 41 ⇔ 3x = – 9 – 15
⇔ 3x = – 24
B. – 36 ⇔ x =–8

C. – 23 Jadi nilai x = – 8 dan y = 3
Jadi nilai 4x + 3y = 4.( – 8) + 3 . (3)
D. – 12
= – 32 + 9
(Ujian Nasional 2008/2009) = – 23.

Jawaban: C

Pembahasan:

Dipunyai : 3 x + 5 y = −9
5 x + 7y = −19

Dengan menggunakan metode eliminasi,

3x + 5y = −9 x5 15x + 25y = −45
5x + 7y = −19 x3 15x + 21y = −57 −

4y = 12
⇔ y = 3.

3. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek yang dideinisikan dengan jelas. Penulisan nama himpunan
ditulis dengan menggunakan huruf kapital.

A. Keanggotaan Suatu Himpunan
x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;
x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

B. Simbol-Simbol Baku Himpunan
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks

C. Menyatakan Himpunan
Cara menyatakan himpunan
1). Mencacahkan anggotanya (enumerasi)
Himpunan bilangan asli kurang dari 7 : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

102

2). Notasi pembentuk himpunan
Contoh:
A = { x | x ∈, x < 7 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

3). Mendaftarkan anggota-anggotanya.
4). Menggunakan diagram venn.
D. Himpuan Kosong, Himpunan Semesta dan Himpunan Bagian
1). Himpunan kosong (null set).

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Di notasikan dengan “
{} atau φ “.
2). Himpunan semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan. Himpu-
nan semesta biasanya di notasikan dengan “ S “.
3). Himpunan bagian (subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika
setiap unsur A merupakan unsur dari B.
Notasi himpunan bagian : A ⊆ B.
E. Operasi Himpunan
 Irisan Himpunan
Irisan antara himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota A dan juga
menjadi anggota B. Simbol untuk irisan adalah “ ∩ “.
Di tulis A ∩ B, artinya { x | x∈ A dan x ∈ B}.
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah:

Contoh:
Diketahui himpunan
A = {b, u, n, d, a, r}
B = {i, b, u, n, d, a}
Perhatikan gambar dibawah ini:

Maka anggota A dan juga anggota B adalah b, u, n, d, dan a, ditulis:
A ∩ B = {b, u, n, d, a}

103

 Gabungan Himpunan
Irisan antara himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota A maupun ang-
gota B. Simbol untuk Gabungan adalah “ ∪ “.
Di tulis A ∪ B, artinya { x | x∈ A atau x ∈ B}.
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah:

Contoh:
Jika K = {x | 5 ≤ x ≤ 9, x bilangan asli } dan L = { x | 7 ≤ x < 13, x bilangan cacah}, K ∪ L =....
A. {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
B. {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
C. {6, 7, 8, 9, 10}
D. {7, 8, 9, 10}

(Ujian Nasional 2009/2010)
Pembahasan:
Dipunyai K = { x | 5 ≤ x ≤ 9, x bilangan asli }

= { 5, 6, 7, 8, 9 }, dan
L = { x | 7 ≤ x < 13, x bilangan cacah}

= { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }.
Perhatikan diagram venn di bawah ini:

Maka anggota A maupun anggota B adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, dan 13, ditulis :
A ∪ B = { , 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
 Himpunan Selisih (diference)
Himpunan A – B adalah himpunan elemen-elemen yang menjadi anggota A tetapi bukan
merupakan anggota B. Simbol untuk Gabungan adalah “ – “.
Di tulis A – B, artinya { x | x ∈ A dan x ∉ B}.

104

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah:


 Komplemen Himpunan (complement)

Komplemen dari suatu himpunan A adalah elemen-elemen yang menjadi anggota himpu-

nan semesta yang bukan merupakan anggota himpunan A.

Jika A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan S, maka komplemen
dari himpunan A dinotasikan oleh: Ac = { x | x ∈ S dan x ∉A }

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Dari 40 siswa di suatu kelas terdapat 26 siswa Perhatikan diagram venn di bawah ini :

gemar Matematika, 20 siswa gemar IPA, dan n(s) = n(A) + n(B) + n(A∪ B)c – n(A ∩ B)
⇔ 40 = 26 + 20 + 7 – x
7 siswa tidak gemar Matematika maupun IPA. ⇔ 40 = 53 – x
⇔ x = 53 – 40
Banyaknya siswa yang gemar Matematika ⇔ x = 13
n(A ∩ B) = x = 13.
dan IPA adalah … Jadi, banyaknya anggota A dan juga ang-
A. 8 orang gota B adalah 13 orang.
B. 10 orang 2. Jika A = {semua faktor dari 6} maka banyak
C. 13 orang himpunan bagian dari A adalah …..
D. 19 orang A. 4
B. 8
(Ujian Nasional 2007/2008) C. 9
D. 16
Jawaban: A

Pembahasan:
Dipunyai: banyaknya siswa dalam satu kelas
→ n(S) = 40.
banyaknya siswa yang gemar Matematika →
n(A) = 26.
banyaknya siswa yang gemar IPA → n(B) = 20.
banyaknya siswa yang tidak gemar Matema-
tika maupun IPA, n(A∪ B)c = 7.

105

Jawaban : A A. 31 orang
B. 17 orang
Pembahasan : C. 15 orang
Dipunyai A = {semua faktor dari 6} D. 11 orang

A = { 1, 2, 3, 6} Jawaban : B
Jadi n(A) = 4.
Jadi banyaknya himpunan bagian dari A Pembahasan :
adalah 24 = 16. Dipunyai :
banyaknya pelamar yang mengikuti tes
3. Diketahui : → n(S) = 69 orang
A = {x | 1 < x < 20, x bilangan prima}
B = { x | 1 ≤ y ≤ 10, y bilangan ganjil} banyaknya pelamar yang lulus tes wawancara
Hasil dari A ∩ B adalah … → n(A) = 32 orang
A. {3, 5, 7}
B. {3, 5, 7, 9} banyaknya pelamar yang lulus tes tertulis
C. {1, 3, 5, 7} → n(B) = 48 orang
D. {1, 3, 5, 7, 9}
(Ujian Nasional 2008/2009) banyaknya pelamar tidak mengikuti kedua
Jawaban: A tes → n(A ∩ B) c = 6 orang

Perhatikan diagram venn dibawah ini :

Pembahasan:

Diketahui: 32 - x x 48 - x
A = {x | 1 < x < 20, x bilangan prima}

= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } 5

B = {x | 1 ≤ y ≤ 10, y bilangan ganjil} n(s) = n(A) + n(B) + n(A∪ B)c – n(A ∩ B)
= {1, 3, 5, 7, 9} ⇔ 69 = 32 + 48 + 6 – x
⇔ 69 = 86 – x
Maka anggota A dan juga anggota B ⇔ x = 86 – 69
adalah 3, 5, dan 7 ditulis: ⇔ x = 17
A ∩ B = {3, 5, 7} n(A ∩ B) = x = 17.

4. Terdapat 69 orang pelamar yang harus Jadi, pelamar yang diterima sebagai kar–
mengikuti tes tertulis dan tes wawancara agar
dapat diterima sebagai karyawan sebuah yawan adalah 17 orang.

perusahaan. Ternyata 32 orang pelamar lulus
tes wawancara, 48 orang lulus tes tertulis, dan 5. Dari sekelompok anak, 22 anak senang

6 orang tidak mengikuti kedua tes tersebut. membaca, 28 anak senang bermain musik,
Banyak pelamar yang diterima sebagai 20 anak senang membaca dan juga senang
karyawan adalah … bermain musik. Banyak anak dalam kelompok

106

tersebut adalah …. C. 10 siswa
A. 30 orang D. 11 siswa
B. 40 orang
C. 50 orang Jawaban: B
D. 70 orang
Pembahasan:
Jawaban: B Dipunyai: banyaknya siswa → n(S) = 32 siswa
banyaknya siswa yang membawa cangkul →
Pembahasan: n(A) = 16 siswa
Diketahui : banyaknya siswa yang membawa sapu → n(B)
banyaknya anak → n(S) = …? = 20 siswa
banyaknya anak yang suka musik → n(A) = banyaknya siswa yang tidak alat kerja bakti
28 anak → n(A∪ B)c = 5 siswa
Perhatikan diagram venn dibawah ini :
banyaknya anak yang suka membaca → n(B)
= 22 anak 16- x x 20 - x

banyaknya anak yang suka menulis dan mem- 5
baca → n(A ∩ B) = 20 orang n(s) = n(A) + n(B) + n(A∪ B)c – n(A ∩ B)
⇔ 32 = 16 + 20 + 5 – x
Perhatikan diagram venn di bawah ini: ⇔ 32 = 41 – x
⇔ x = 41 – 32
28 - 20 20 22 - 20 ⇔ x = 9.
n(A ∩ B) = x = 9.
5
Jadi, banyaknya siswa yang membawa cang-
n(s) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) kul dan sapu adalah 9 orang.
⇔ n(s) = 28 + 22 – 20
⇔ n(s) = 30 Jadi, banyaknya siswa yang hanya memba-
Jadi, banyaknya anak dalam kelompok terse- wa sapu saja adalah 20 – 9 = 11 orang.
but adalah 30 anak.

6. Dari 32 siswa yang ikut kerja bakti 16 siswa
di antaranya membawa cangkul, 20 siswa
membawa sapu, serta 5 siswa tidak membawa
alat kerja bakti. Banyak siswa yang hanya
membawa sapu tersebut adalah .....
A. 5 siswa
B. 9 siswa

107

5. Relasi, Fungsi, dan Graik

A. Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang mengawankan/memasangkan
setiap anggota A dengan anggota B. Untuk menyatakan suatu fungsi ada 3 cara, yaitu:

1) Diagram Panah

2) Graik kartesius

8 x
7
6
5
4
3
2
1

1 2 34 56 7 8

3) Pasangan Berurutan

B. Fungsi (Pemetaan)
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke Himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota B.

• Himpunan A disebut daerah asal (domain)
Yaitu: {Nana, Rima, Basir, Ririn}

• Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)

108

Yaitu: {Renang, Bola Basket, Bola Volly, Bulutangkis, Sepak Bola}
• Himpunan dari anggota-anggota himpunan B yang mempunyai pasangan di A disebut dae-

rah hasil (range).

Yaitu: {Renang, Bola Basket, Bola Volly, Bulutangkis}

C. Nilai Fungsi

Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk:
f : x → f(x)

Nilai fungsi untuk setiap nilai x yang diberikan dihitung dengan cara mensubstitusikan nilai x pada

rumus fungsi tersebut.

Contoh:
Diketahui f : x  3x + 5, maka nilai dari f(5) adalah
Soal diatas dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut
Diketahui f : x → 3x + 5
⇔ f (x) = 3x + 5
Jadi f (5) = 3. 5 + 5
⇔ f (5) = 15 + 5
⇔ f (5) = 20.
Jadi nilai f (5) = 20.

D. Daerah Hasil Fungsi

Daerah hasil (range) dari suatu fugsi adalah himpunan nilai-nilai fungsi dari setiap anggota daerah

asal (domain)

Contoh:
Diketahui pemetaan f : x → 3x + 5, jika domain f = { x| 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ asli}
Soal diatas dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut
Diketahui f : x → 3x + 5
domain f = { x | 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ asli}

f = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Soal diatas akan lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan tabel

x 1 2345
3x 3 6 9 12 15
5 5555
5
8 11 14 17 20
3x + 5

Jadi, domain dari f adalah {8, 11, 14, 17, 20}

E. Graik Fungsi
Gambar graik fungsi dalam koordinat kartesius dapat diperoleh dengan langkah-langkah berikut.
1) Menentukan daerah hasil fungsi.

109

2) Menentukan pasangan berurutan fungsi tersebut.
3) Menggunakan pasangan berurutan sebagai titik dalam koordinat kartesius.
4) Menghubungkan titik – titik dalam koordinat kartesius tersebut.
F. Jenis-jenis Fungsi
Jenis-jenis fungsi dibagi menjadi 3 yaitu:
1) Fungsi Surjektif

2) Fungsi Injektif

3) Fungsi Bijektif

110

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Diketahui fungsi f(x) = ax + b. Jika f(3) = 1 dan 2. Diketahui fungsi f(x) = ax + b. Jika f(1) = -5 dan
f(-2) = - 9. Nilai f(-5) adalah .... f(3) = -1. Nilai f(9) adalah ...
A. 15 A. 4
B. 5 B. 8
C. –5 C. 11
D. –15 D. 15

Jawaban: D Jawaban: C

Pembahasan: ….. (1) Pembahasan: ….. (1)
Diketahui fungsi f(x) = ax + b Diketahui fungsi f(x) = ax + b
Jika f(3) = 1, maka f(3) = a.3 + b Jika f(1) = -5, makaf(1) = a + b
⇔ 1 = 3a + b ⇔ -5 = a + b

Jika f(-2) = - 9, maka f(-2) = a.(-2) + b Jika f(3) = - 1, maka f(3) = a.(3) + b
⇔ - 1 = 3a + b
⇔ - 9 = -2a + b ….. (2) ….. (2)

Dengan menggunakan metode eliminasi, Dengan menggunakan metode eliminasi,
3a + b = 1
a+b=–5
– 2a + b = – 9 – 3a + b = – 1 –
⇔ 5a = 10 ⇔ - 2a = 10
⇔ a = 2. ⇔ a = 2.

Substitusikan a = 2 ke persamaan 3a + b = 1 Substitusikan a = 2 ke persamaan a + b = -5

3a + b = 1 2 + b = -5

⇔ 3.2 + b = 1 ⇔ b = -7

⇔ 6+b=1 Jadi, nilai a = 2 dan b = -7
⇔ b= – 5.
Jadi, nilai f(x) = ax + b
Jadi, nilai a = 2 dan b = – 5. ⇔ f(x) = 2x – 7

Jadi, nilai f(x) = ax + b Jadi, nilai f(9) = 2x – 7
⇔ f(x) = 2x – 5
⇔ f(9) = 2(9) – 7
Jadi, nilai f(-5) = 2x – 5 ⇔ f(9) = 18 – 7
⇔ f(x) = 2(-5) – 5 ⇔ f(9) = 11.
⇔ f(x) = –10– 5
⇔ f(x) = –15.

111

3. Diketahui A = {2, 5}, dan B = {1, 3, 5}. Banyaknya 5. Jika A = {semua faktor dari 8} maka banyak

pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ..... himpunan bagian dari A adalah ....

A. 5 A. 4

B. 6 B. 8

C. 8 C. 9

D. 9 D. 16

Jawaban: C Jawaban: D

Pembahasan: Pembahasan:

Banyaknya pemetaan dari B ke A Jika banyaknya anggota himpunan A =
adalah n(A)n(B). p atau n(A) = p, maka
Banyaknya himpunan bagian dari A
Diketahui A = { 2, 5} → n(A) = 2 adalah 2p.
dan B = {1, 3, 5} → n(B) = 3
Diketahui A = {semua faktor dari 8}
Banyaknya pemetaan dari B ke A adalah 23 = A = {1, 2, 4, 8} → n(A) = 4
8.
Banyaknya himpunan bagian dari A adalah
4. Ditentukan A = {a, b, c, d} dan B = {1, 2, 3, 4}. 24 = 16.
Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin
dari A ke B adalah… 6. Fungsi g memetakan x→ – (4 – 2x). Bayangan
A. 24 -3 dari fungsi g adalah ....
B. 16 A. 10
C. 8 B. 2
D. 4 C. –2
D. –10
Jawaban: A
Jawaban: D
Pembahasan:
Pembahasan:
Jika banyaknya anggota himpunan A = Diketahui fungsi g memetakan x → –(4 – 2x)
banyaknya anggota himpunan B = n Jadi f(x) = – (4 – 2x)
Banyaknya korespondensi satu-satu A
adalah 1 x 2 x 3 x … x n. = – (4 – 2(-3))
= – (4 + 6)
Diketahui A = {a, b, c, d} → n(A) = 4 = –10.
dan B = {1, 2, 3, 4}. → n(B) = 4
Banyaknya korespondensi satu-satu A

adalah 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

112

5. Persamaan Garis Lurus

A. Bentuk Umum Persamaan Garis
Bentuk umum persamaan garis lurus:
ax + by + c = 0, atau
ax + by = p, atau

y = mx + c
dimana x, y adalah variabel, a, b, c, m, dan p ∈ bilangan bulat.

B. Mencari Persamaan Garis
Untuk mencari persamaan garis dapat dilakukan dengan cara :

1) Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik asal (0, 0)
y = mx

2) Persamaan garis yang bergradien m dan melalui sebuah titik potong dengan sumbu y (0, p)
y = mx + p

3) Persamaan garis yang bergradien m dan melalui sembarang titik potong (x1, y1)
y –y1 = m(x – x1)

4) Persamaan garis yang melalui (x1, y1) dan (x2, y2)
y − y1 x − x1
y2 − y1 = x2 − x1

C. Gradien

Gradien suatu garis lurus ditentukan sebagai berikut.

Garis yang melalui titik (0, 0) dan (x, y) mempunyai gradien m = y
x

Garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)mempunyai gradien m = y2 − y1
x2 − x1

Kedudukan dua buah garis

1) Dua buah saling sejajar,

mempunyai gradien sama m1= m2

2) Dua buah saling tegak lurus,

hasil perkalian gradiennya sama dengan -1 m1= m2=-1

atau m1 = -1
m2

113

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Garis tegak lurus dengan garis yang per– Dipunyai garis dengan persamaannya
samaannya 2x + 3y + 7 = 0. Gradien garis y = 2 x + 9.
adalah...
A. Jika y = ax + b, maka m = a

B. Jika 3y = 2x + 9., maka m1 = -1
Jadi m1 . m2 = –1 m2
C.
2 . m2 = −1
D. 3
3
Jawaban: B m2 = − 2

Pembahasan: Persamaan garis yang bergradien m dan
Dipunyai garis yang persamaannya melalui sembarang titik potong (x1, y1) yaitu
2x + 3y + 7 = 0 y – y1= m(x – x1)

Jika ax + by + c = 0, maka m = Jadi, persamaan garis yang bergradien
3
Jika 2x + 3y + 7 = 0, maka m = m2 = − 2 dan melalui A (–2, –3)
Garis tegak lurus garis 2x + 3y + 7 = 0
Jadi yaitu y – y1= m(x – x1)
⇔
⇔ ⇔ y − (−3) = − 3 .(x − (−2))
2
2. Persamaan garis lurus yang melalui titik
A (–2, –3) dan tegak lurus terhadap garis ⇔ 2y + 6 = (–3) . (x + 2)
dengan persamaan 3y = 2 x + 9 adalah... .
A. 2x + 3y + 13 = 0 ⇔ 2y + 6 = –3x –6
B. 3x + 2y + 12 = 0
C. 2x + 3y – 5 = 0 ⇔ 3x + 2y + 12 = 0.
D. 3x – 2y = 0
CARA CEPAT
Jawaban: B
Persamaan garis lurus yang melalui titik
A(x1, y1) dan tegak lurus terhadap garis
dengan persamaan ax + by + c = 0 adalah

Rumus :

Persamaan garis lurus yang melalui titik
A(–2, –3) dan tegak lurus terhadap garis
dengan persamaan 3y = 2 x + 9.
⇔ 2x – 3y – 9 = 0.

Jadi – 3x – 2y = – 3.(–2) – 2.(–3)
⇔ – 3x – 2y = – 3.(–2) – 2.(–3)
⇔ – 3x – 2y = 6 + 6
⇔ – 3x – 2y – 12 = 0
⇔ 3x + 2y + 12 = 0

Pembahasan:

114