2007050014_Arik_E-MODUL

MODUL

Matematika wajib
Trigonometri

Kelas X Semester 2

Oleh :
Arik Sulistyorini, S.Pd

SMA Negeri 1 Bulu Kab. Sukoharjo

1

PENDAHULUAN

A. Dekripsi
Modul ini akan mengajarkan Anda cara membuat perbandingan trigonometri
(sinus, kosinus, dan garis singgung), cara menggunakan perbandingan
trigonometri, cara mencari nilai rasio trigonometri di kuadran yang berbeda, cara
mencari nilai rasio trigonometri pada sudut yang sama, cara menggunakan sinus
dan hukum kosinus, dan bagaimana mencari luas segitiga. Anda juga mempelajari
fungsi trigonometri.

B. Syarat Dasar

Anda harus mengetahui bentuk akar dan eksponen, koordinat Kartesius, teorema
Pythagoras, dan berbagai segitiga untuk mempelajari modul ini.

C. Rambu-Rambu Pemakaian Modul

Berikut adalah langkah-langkah yang harus Anda lakukan untuk mempelajari
modul ini:
1. Bacalah dengan cermat daftar isi dan isi modul, karena mereka akan

mengarahkan Anda selama mempelajari modul ini.
2. Karena materi yang ada sebelumnya adalah untuk pembelajaran trigonometri,

maka modul ini harus dipelajari secara berurutan.
3. Baca contoh soal dengan cermat dan selesaikan semua soal latihan. Jika Anda

mengalami masalah dalam memecahkan masalah, kembali dan tinjau konten
yang relevan.
4. Jawab pertanyaan diskusi dan penilaian dengan seksama dan teliti untuk
meyakinkan bahwa Anda faham akan isinya. Jika Anda mengalami masalah,
kembali dan tinjau konten yang relevan.
5. Baca contoh soal dengan cermat dan selesaikan semua soal latihan. Jika Anda
mengalami masalah dalam memecahkan masalah, kembali dan tinjau konten
yang relevan.

D. Materi Pembelajaran

➢ SUDUT
➢ PERBANDINGAN-PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

2

➢ ATURAN KOSINUS, SINUS DAN LUAS SEGITIGA
➢ IDENTITAS TRIGONOMETRI
➢ PERSAMAAN TRIGONOMETRI
➢ GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

E. Kompetensi Dasar

1. Menjelaskan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

cotangen) pada segitiga siku-siku

2. Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan

sudut-sudut berelasi

F. Indikator
Kompetensi yang diinginkan setelah belajar dengan modul ini, peserta didik akan
mampu:
1. Menghitung rasio trigonometri sebuah sudut dalam segitiga siku-siku.
2. Menentukan rasio trigonometri segitiga siku-siku.
3. Menggunakan rumu-rumus rasio trigonometri sebagai penyelesaian soal.
4. Menentukan nilai trigonometri pada sudut istimewa.
5. Menentukan nilai trigonometri diberbagai kuadran.
6. Menggunakan trigonometri untuk penyelesaian masalah kehidupan sekitar.

3

KEGIATAN BELAJAR 1

SUDUT DAN UKURANNYA

Tahukah kamu sejarah Trigonometri??
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon =
tiga sudut dan metro = ukuran) adalah
cabang Ilmu Matematika yang berkaitan
dengan sudut segitiga dan fungsi
trigonometri antara lain sinus, kosinus, dan
garis singgung. Trigonometri dianggap suatu
bagian dari geometri oleh beberapa orang
tertentu. Tidak mungkin untuk mengatakan
siapa orang pertama yang menegaskan sains
ini sebagai milik mereka, tetapi jelas bahwa
itu sudah ada sejak awal waktu.

Hipparchus (190 SM - 120 SM), seorang fisikawan Yunani di zaman Helenistik,
diperkirakan telah menemukan prinsip tigonometri karena penasaran tentang alam
semesta. Sama seperti rumus sinus yang diciptakan oleh Surya Siddhanta, seorang
matematikawan India yang hidup pada abad ketiga Sebelum Masehi, rumus kosinus
diciptakan oleh Surya Siddhanta. Ilmuwan lain menyempurnakan sebagian besar prinsip
trigonometri.
Sumber : Wikipedia
https://intans777.wordpress.com/sejarah-trigonometri/

4

A. SUDUT

a) Pengertian Sudut
Sebelum memahami pengertian sudut perhatikan macam-macam sudut berikut:

Dari gambar di atas disimpulkan bahwa :
a. Sudut dikatakan sudut lancip ketika besar sudutnya antara 00 dan 900.
b. Sudut dikatakan sudut siku-siku ketika besar sudutnya 900 .
c. Sudut dikatakan sudut tumpul ketika besar sudutnya antara 900 dan 1800.
d. Sudut dikatakan sudut lurus ketika besar sudutnya 1800.

Sudut dicirikan dalam studi geometris sebagai produk rotasi dari sisi asli ke sisi
pusat. Arah rotasi memiliki signifikansi terkait sudut.. Perhatikan gambar berikut:

Keterangan :
a. Jika sudut mempunyai tanda “positif” maka arah sebaliknya dari putaran jarum

jam.
b. Jika sudut mempunyai tanda “negatif” maka arahnya searah putaran arah jarum

jam.
Pada gambar 1.2 ∠AOB bertanda positif jika berputar berlawanan arah jarum

jam. Sedangkangkan ∠BOA bertanda negatif jika berputar serah jarum jam. Hal ini
terlihat pada gambar a dan b gambar 1.2.

5

Sudut sering didefinisikan sebagai luas yang diciptakan oleh satu titik dan dua
sinar yang bertemu di titik awal.

Ingat !

Pada trigonometri dasar bahwa total nilai sudut dalam segitiga sama dengan 1800
dan segitiga sama kaki adalah segitiga dengan dua sisi dengan panjang yang sama.
Segitiga siku-siku salah satu sudutnya adalah 900 dan dua sudut lainnya adalah
sudut lancip yang jumlahnya adalah 900 (yaitu dua sudut lainnya yang disebut sudut
komplementer).

Perhatikan contoh berikut!
Contoh

Perhatikan gambar berikut:

Pertanyaan :

Bagaimana menentukan sudut-sudut yang belum diketahui pada setiap gambar

segitiga di atas?
Penyelesaian…

Langkah I : Coba perhatikan ketiga gambar segitiga di atas

➢ Gambar A : Untuk segitiga △ ABC

diketahui :∠A =350 dan k ∠C =200

Ditanya ∠B=?

kita tahu bahwa ∠A+∠B+∠C=1800, maka:

350+∠B+ 200=1800⇒∠B= 1800- 350- 200=1250

➢ Gambar B : Untuk segitiga siku-siku △ DEF

Diketahui : ∠E=530 dan∠F=900 dan kita tahu bahwa dua sudut D dan E

adalah sudut lancip saling melengkapi, maka:
∠E+∠F+∠D=1800⇒∠D=1800- 900- 530=370

6

➢ Untuk segitiga △ XYZ , sudut yang belum diketahui nilainya disebut dengan sudut
α, tetapi kita tahu bahwa ∠X+∠Y+∠Z=1800,yang dapat kita gunakan untuk
memecahkan α dan kemudian menggunakannya untuk memecahkan∠X, ∠Y, ∠Z
maka:
α+3α+α=1800⟹5α=1800
α=…0⇒ α = 360⇒ X = 360 , Y = 3 × 360 = 1080 , Z = 360
Sehingga nilai ∠X=360, ∠Y=3 × 360=1080, ∠Z=360.

7

Yuukk Mari Berdiskusi…

Pertanyaan :Coba kalian diskusikan dengan teman sebangku kemudian buktikan
bahwa segitiga ABC berikut memiliki sudut 900=∠ACB!

Diketahui bahwa :

α=∠BAC, β=∠ABC sedangkan panjang sisi ̅A̅̅B̅ merupakan diameter dari sebuah

lingkaran.

Pertanyaan : Buktikan bahwa ∠ACB merupakan sudut 900!

Penyelesaian :

(i)Gambarlah garis lurus yang menghubungkan titik O ke titik C. Kemudian namakan

garis tersebut sebagai O̅̅̅C̅ .

Jika sudah ditarik sebuah garis lurus dari titik O ke titik C maka akan terbentuk

suatu ∆OAC dan ∆OBC yang merupakan segitiga sama sisi.

Perhatikan ∆OAC diketahui bahwa ∠CAO = ∠OCA = α. Kemudian ∆OBC

diketahui bahwa ∠OBC = ∠BCO = β. Maka diperoleh ∠ACB = α + β.

(ii) Jika diketahui bahwa ∆ABC memiliki jumlah sudut 1800.Maka buktikan bahwa

∠ACB = 900!

∆ABC = ∠BAC+∠CBA+∠ACB

∆ABC =⋯+⋯+ (….+…)
1800=2(…+⋯)

(…+⋯) =1800

2

∠ACB=…..

Kesimpulan : ………………………………………………………………………………

8

b) Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)
Derajat dan radian didefinisikan sebagai dua satuan paling yang biasa digunakan

untuk menghitung ukuran sudut. Derajat dan radian masing-masing diwakili oleh
tanda "... 0" dan "rad". Secara sederhana, satu putaran penuh sama dengan 3600; satu
derajat adalah sudut yang diciptakan oleh 1/360 putaran penuh. Perhatikan gambar
berikut:

Dari gambar 1.3, Kita mungkin mengatakan hal yang sama untuk modul rotasi
lainnya. Melalui gambar kita belajar keterkaitan hubungan "derajat dan radian":

Jika diketahui r merupakan jari-jari lingkaran maka besar
∠BOA=θ, A̅̅̅B̅= O̅̅̅A̅=̅O̅̅B̅, maka θ= ̅A̅̅B̅=1 radian atau

r

besar sudut BOA = panjang busur AB radian = r radian =

rr

1 radian.
Apabila panjang busur tidak sama dengan r, rumus rasio
besar besar ∠AOB = ̅A̅̅B̅ rad digunakan untuk menghitung

r

jumlah sudut dalam radian.

Sudut satu radian dapat didefinisikan sebagai sebuah sudut dalam lingkaran yang
panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran .

Perhatikan ilustrasi 1.5 berikut:

Tabel 1.5 keterangan ukuran derajat dan radian

9

Sudut Ukuran Derajat Ukuran Radian

00 0
600
3
1800


2700 3
3600 2
2 Dengan

mengingat bahwa 3600 = 2πr rad = 2π maka θ memiliki ukuran sudut 3600 ,

r

sedangkan ukuran radian adalah 2π. Kita dapat tuliskan simbol tersebut dengan 3600

=2π. Sehingga dapat diperoleh rumus:

Hubungan Derajat ke Radian :

=

=


Maka dapat dirumuskan hubungan Derajat ke Radian adalah

= ቀ .
ቁ

Hubungan Radian ke Derajat :
= ↔ =

Maka dapat dirumuskan hubungan Radian ke Derajat adalah


= ( . )

Mengingat bahwa ≈ 3,141592653589793238462643383 …
180 0 180 0

1 rad = ( π .1) = (3,14 .1)
Maka bahwa 1 rad = 57,3270

10

Perhatikan contoh-contoh berikut!

Contoh 1

Pertanyaan : Ubahlah ukuran sudut pada 2 putarandalam bentuk derajat!
Penyelesaian 3
Kesimpulan
: 2 putaran = 2 putaran × 3600 = 2400
3 3

: Sehingga, : 2 putaran= 2400
3

Contoh 2

Pertanyaan : Berapa kali putaran ukuran sudut pada 600!
Penyelesaian
Kesimpulan : 600 = 600 × 1 = 1 putaran
3600 6

: Sehingga,600 = 1 putaran

6

Contoh 3

Pertanyaan : Nyatakan hubungan radian ke derajat, untuk sudut sebesar π rad!
9

Penyelesaian : Dengan rumus = ቀ . maka

ቁ ,

= . = ( ) =
9 ( 9)

Kesimpulan : Sehingga, nilai dari = .


11

Yuukk Mari Berdiskusi…

Perhatikan soal berikut !
Diketahui suatu radar berputar 30 putaran dalam setiap menit.
Pertanyaan :
a. Dalam hubungan derajat ke radian, berapa besar putaran per menit ?
b. Dalam hubungan radian ke derajat, berapa besar putaran per menit ?

Bagaimana langkah
memecahkan soal di
atas yaa???

Coba kerjakan dengan langkah berikut!

Penyelesaian :

Langkah I : Menganalisis Soal

Setiap menit, radar tersebut berotasi sebanyak 60 putaran. Sehingga jika alat
tersebut berotasi sebanyak 30 putaran, artinya dalam 0,5= 1 menit.

2

30 putaran = 1 × 3600 = …0
2

Langkah II : Tentukan rumus

a. Besar putaran dalam hubungan derajat ke radian per detik?

⟺ … = … . ቁ = ⋯
= ቀ . ቁ ቀ

b. Berapa putaran dalam hubungan radian ke derajat ?

= . ⟺ ⋯ = … . = …
( (
) )

Kesimpulan : Jadi pemancar tersebut berputar sebesar …0/menit atau
sebesar … . π rad/menit.

12

Evaluasi 1.1

Coba kalian evaluasi berikut!

1. Ubalah dalam bentuk satuan derajat dan radian!

a. 2 putaran b. 3 putaran c. 3 putaran

5 10 4

2. Ubahlah sudut di bawah ini dalam bentuk derajat!

a. 5 b. 8 c. 7

9 15 10

3. Ubahlah sudut di bawah ini dalam bentuk radian!

a. 360 b. 0,540 c. 600 d. 1350

Akhirnya kamu telah sampai pada tahap evaluasi materi pada kegiatan 1. Ingin
tahu sejauh mana pengetahuan kalian?

Coba kerjakan soal diatas kemudian nilai jawabanmu dengan rumus berikut yaa..

Skor = jumlah skor yang diperoleh × 100%

skor maksimal

Dengan kriteria, jika kamu memperoleh

skor < 75% =

75% < < 85% =

skor 85% = kamu hebat

13

KEGIATAN BELAJAR 2

PERBANDINGAN-PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI

Tahukah kamu penemu trigonometri modern ?
Nama lengkapnya adalah Abu al-Raihan
Muhammad bin Ahmad al-Khawarizmi al-Biruni.
Pada tahun 362 Hijriah, ilmuwan ensiklopedis ini
dilahirkan di kota Khawarizmi, salah satu kota di
provinsi Uzbekistan (973 M). Beliau hidup pada
zaman dengan Abu Nasr Manshur, seorang
astronom terkenal dari Khurasan yang mengenal
Ptolemeus dan Menelaus.

Al-Biruni juga mengajarkan sains secara eksplisit. Al-Biruni adalah seorang sarjana
ensiklopedis yang berpengetahuan luas di berbagai bidang. Al-Biruni, seorang
matematikawan, juga ahli di bidang studi lainnya. Astronomi, geodesi, mekanika, kimia,
genetika, dan farmakologi adalah beberapa spesialisasi ilmiahnya. Prestasi terbesar para
intelektual ini adalah pembentukan dasar-dasar trigonometri.
http://simfatidsiformis.blogspot.com

14

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

1 Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perhatikan konsep berikut:

Teorema Pythagoras merupakan konsep yang perlu
selalu diingat. Pada teorema tersebut kita mengetahui
sisi miring, sisi di samping sudut, dan sisi di depan
sudut. Seperti gambar di samping.

Pythagorean Theorem : The square of the length of the hypotenuse of a right triangle
is equal to the sum of the squares of the lengths of its legs.

Teorema Pythagoras : Kuadrat dari panjang sisi miring darisegitiga sama kaki sama
dengan kuadrat jumlah dari panjang kaki-kakinya.

Teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi miring
B̅J, dan panjang di kedua sisinya yaitu B̅̅̅P̅ dan J̅P, maka dapat dirumuskan dengan:

B̅̅̅J2 = ̅B̅̅P̅2 + J̅̅P̅2 atau z2 = x2 + y2

Pada gambar 2.1 ∆PBJ dapat disebut segitiga siku-siku berturut-turut, yaitu
P̅̅̅B̅, P̅J, J̅B, dan ketiga sudutnya berturut-turut yaitu J, B, dan P adalah mempunyai
sudut 900. Pada gambar ∆PBJ, yang menjadi perhatian adalah sudut lancip pada
segitiga siku-siku, yaitu ∠J dan ∠B. Adapun hubungan perbandingan antara sudut
lancip dan sisi-sisi pada ∆PBJ adalah

15

1. Sinus sudut merupakan rasio antara panjang sisi depan sudut dengan sisi miring, ditulis

sin J = ̅P̅̅B̅ = x
̅B̅̅J z

2. Cosinus sudut merupakan rasio antara panjang sisi samping sudut dengan sisi miring,

cosinus Jditulis cos J = P̅̅̅J = y
̅B̅̅J z

3. Tangen sudut merupakan rasio antara panjang sisi depan sudut dengan sisi samping

sudut, tangen J ditulis tan J = P̅̅̅B̅ = x
̅P̅̅J y

4. Cosecan sudut merupakan rasio antara panjang sisi miring dengan sisi didepan sudut,

cosecan J, ditulis cosec J = ̅B̅̅J = z atau cosec J = 1 .
̅P̅̅B̅ x sin
J

5. Secan sudut merupakan rasio antara panjang sisi miring dengan sisi di samping sudut,

secan J, ditulis sec J = B̅̅̅J = z atausec J = 1 .
̅P̅̅J y cos
J

6. Cotangen sudut merupakan rasio antara sisi di samping sudut dengan sisi di depan

sudut, cotangen J, ditulis cotan J = ̅P̅̅J = y ataucotan J= 1 .
P̅̅̅B̅ x tan
J

Tips Menghafal..

= ⟹



= ⟹



= ⟹



www.google.co.id

16

Yuukk Mari Berdiskusi…

Perintah : Sebelum mempelajari perbandingan, diskusikan dengan teman

sebangkumu kegiatan berikut!

Langkah kerja :

1. Perhatikan gambar ketiga segitiga siku-siku yang sebangun dengan sudut yang

sama besar, tetapi ukuran ketiga sisi berbeda seperti gambar berikut:

2. Tentukan sisi miring/hypotenuse dari ketiga segitiga di atas jika dikethui:

Segitiga A : panjang ̅̅ ̅ ̅ = 3 dan panjang ̅ ̅ ̅ ̅ = 2

Segitiga B : panjang ̅ ̅ ̅ ̅ = 4 dan panjang ̅̅ ̅ ̅ = 3

Segitiga C : panjang ̅ ̅ ̅ ̅ = 12 dan panjang ̅ ̅ ̅ ̅ = 5

3. Tentukan perbandingan dari ketiga segitiga tersebut menggunakan aturan

perbandingan trigonometri sinus, kosinus dan tangent!

Macam segitiga Perbandingan Perbandingan Perbandingan

Sinus Cosinus tangen

Segitiga A …. … …. …. …. …
sin A = … . = … . . cos A = … . = … tan A = … = …

Segitiga B …… …. … ……
Segitiga C sin O = … = . . cos O = … . = … tan O = … = …

…… …… ……
sin R = … . = … cos R = … = … tan R = … . = …

17

Perhatikan Contoh berikut!
Contoh 1

Perhatikan gambar, untuk setiap segitiga siku-siku berikut!

Pertanyaan : Tentukan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku di atas, dengan

memakai teorema phytagoras !

Penyelesaian :

a. Untuk ∆ , teorema phytagoras mengatakan bahwa:
a2 + 42 = 52 ⟹ a2 + 16 = 25 ⟹ a2 = 25 − 16 = 9

sehingga a = √9 = 3
b. Untuk ∆ , teorema phytagoras mengatakan bahwa:

12 + e2 = 22 ⟹ 1 + e2 = 4 ⟹ e2 = 4 − 1 = 3

sehingga e = √3
c. Untuk ∆ , teorema phytagoras mengatakan bahwa:

12 + 12 = z2 ⟹ 1 + 1 = z2 ⟹ z2 = 1 + 1 = 2

sehingga z = √2

Contoh 2

Pada ∆ dengan hipotenusa atau panjang sisi miring dari ∆ABC = 5, panjang sisi
̅B̅̅C̅ = 3, dan panjang sisi A̅̅̅C̅ = 4, maka tentukan keenam perbandingan fungsi

trigonometri pada sudut-sudut lancip A dan B !

Penyelesaian :
Diketahui : A̅̅̅B̅ = 5, panjang sisi ̅B̅̅C̅ = 3, dan panjang sisi A̅̅̅C̅ = 4.

Ditanya : Nilai perbandingan dari keenam fungsi trigonometri ?

Langkah I : Gambar ∆ABC dengan panjang sisi yang telah diketahui.

18

Langkah II :Untuk sudut A keenam fungsi trigonometri adalah

sin A = B̅̅̅C̅ = 3 cos A = ̅A̅̅C̅ = 4 tan A = ̅B̅̅C̅ = 3
̅A̅̅B̅ 5 A̅̅̅B̅ 5 A̅̅̅C̅ 4

A̅̅̅B̅ 5 A̅̅̅B̅ 5 A̅̅̅C̅ 4
cosec A = ̅B̅̅C̅ = 3 sec A = A̅̅̅C̅ = 4 cotan A = ̅B̅̅C̅ = 3

Kemudian untuk pada ∠B panjang sisi A̅̅̅C̅ = 4 adalah

sin B = A̅̅̅C̅ = 4 cos A = B̅̅̅C̅ = 3 tan A = A̅̅̅C̅ = 4
A̅̅̅B̅ 5 ̅A̅̅B̅ 5 B̅̅̅C̅ 3

A̅̅̅B̅ 5 A̅̅̅B̅ 5 B̅̅̅C̅ 3
cosec A = ̅A̅̅C̅ = 4 sec A = B̅̅̅C̅ = 3 cotan A = ̅A̅̅C̅ = 4

Contoh 3
∆ diketahui merupakan segitiga siku-siku dengan nilai cos P = 15 , maka

17

hitunglah sin P + tan P !

Penyelesaian :

Diketahui : cos P = 15

17

Ditanya : sin P + tan P ?

Langkah I :Menggambar ∆ dengan = 15.

17

Langkah II : Menentukan panjang QR
̅P̅̅R̅2 = P̅̅̅Q̅2 + Q̅̅̅R̅2
̅Q̅̅R̅2 = P̅̅̅R̅2 − P̅̅̅Q̅2 ⟺ 172 − 152 = 289 − 225 = 64

Q̅̅̅R̅ = √64 = 8
Langkah III : Menentukan nilai sin P + tan P ?

R̅̅̅Q̅ 8
sin P = P̅̅̅R̅ = 17

̅R̅̅Q̅ 8
tan P = P̅̅̅Q̅ 15
Kesimpulan : Maka sin P + tan P = 8 + 8 = 120+136 = 256 = 1 1

17 15 255 255 255

19

Latihan 2.1

Coba kalian kerjakan dengan benar soal berikut
1. Dalam segitiga PQR, , panjang sisi P̅̅̅Q̅ = 8, dan panjang sisi ̅Q̅̅R̅ = 15. Ruas garis ̅Q̅̅S̅

tegak lurus dengan PR.
Pertanyaan :
a. Hitunglah panjang PR dan tentukan rasio trigonometri untuk sinus, cosinus,

tangent, cotangen, sekan, dan cosecan pada ∠Pdan∠R!
Penyelesaian:
Langkah I : Menggambar segitiga PQR

Langkah II : Menentukan panjang PR
P̅̅̅R̅2 = P̅̅̅Q̅2 + ̅Q̅̅R̅2

P̅̅̅R̅2 = … .2+ …2 ⟺ …2 − …2 = ⋯ − ⋯ = ⋯

P̅̅̅R̅ = √… = ⋯
Langkah III : Mentukan Panjang ̅Q̅̅S̅

Nilai cos P dari ∆PQS Nilai cos R dari ∆RQS, hal ini dikarenakan besar

suatu sudut yang sama adalah sama ( sudut besarnya sama).

Jadi berlaku persamaan:

cos P = ∆PQR = ∆PQS ⟺ P̅̅̅Q̅ = P̅̅S̅ ⟺ … = P̅̅S̅ ⟺ ̅P̅S̅ = ⋯
̅P̅̅R̅ ̅P̅̅Q̅ … …

cos Q = ∆PQR = ∆RQS ⟺ ̅R̅̅Q̅ = R̅̅̅S̅ ⟺ … = ̅R̅̅S̅ ⟺ R̅̅̅S̅ = ⋯
P̅̅̅R̅ ̅R̅̅Q̅ … …

Jika kalian sudah menemukan panjang P̅̅S̅ dan R̅̅̅S̅ maka kalian dapat menemukan

panjang Q̅̅̅S̅, coba kalian kerjakan!

Langkah IV :Menentukan rasio trigonometri untuk sinus, kosinus,

tangent, kotangen, sekan, dan kosekan pada ∠Pdan∠R!

➢ Pada ∠P cos P = … = … tan P = … = …
sin P = … = ….
…… ……
……

20

…… …… ……
cosec P = … = … sec P = … = . . . cotan P = … . = …

➢ Pada ∠Q

sin Q = … = …. cos Q = … = … tan Q = … = …
…… …… ……
…… …… ……
cosec Q = … = … sec Q = … = . . . cotan Q = … . = …

2. Diketahui segitiga XYZ dengan siku-siku di Z, diketahui bahwa = 12. Tentukan

15

nilai tan X dan tan Y!

Penyelesaian :

Langkah I : Menggambar segitiga siku-siku XYZ

Langkah II : Menentukan nilai tan X dan tan Y

Diketahui bahwa = 12, maka sebelum mencari tan X kita cari sin X terlebih

15

dahulu caranya:

= = 12maka dengan menggunakan teorema phytagoras kita akan mencari

15

panjang YZ.

2 = 2 − 2 = 152 − 122 = ⋯ . − ⋯ = ⋯ ⟺ = √… = ⋯

Jika panjang YZ sudah diketahui maka kita dapat tentukan nilai tan X dan tan Y yaitu:
……

tan X = XZ = …

XZ … : Jadi nilai tan X = … dan tan Y =….
tan Y = … = …
Kesimpulan …

Selamat
mencoba

☺

21

Perbandingan Trigonometri pada Sudut Istimewa
2

Pada kegiatan belajar ini akan dikenalkan sudut istimewa yaitu sudut 300,

450, 600, 900, merupakan sudut istimewa di kuadran I. Selanjutnya,

(1200, 1350, 1500, 1800) , (2100, 2250, 2400, 2700 ) dan ( 3000, 3150, 3300, 3600 )

berturut-turut adalah sudut-sudut istimewa di kuadran II, III, IV.

Perhatikan gambar berikut:

Misalkan titik A(x, y) , panjang OA = dan

sudut XOA = α. cermati gambar di disamping

dari segitiga siku-siku yang terdapat di

kuadran I, berlaku:

sin α = y tan α = y

r x

cos α = x

r

Kita dapat memetakan nilai tanda untuk tiga perbandingan trigonometri utama

dengan memperhitungkan semua kombinasi koordinat titik dalam koordinat

Kartesius.. Perhatikan gambar berikut.

Dalam koordinat Kartesius, garis putus-putus pada gambar kombinasi sudut
mewakili proyeksi setiap sumbu. Garis putus-putus pada ilustrasi kuadran II,
misalnya, melambangkan proyeksi sumbu Y, sedangkan garis putus-putus
melambangkan sudut yang besarnya sama.

22

Perhatikan contoh-contoh berikut!

Contoh 1

Diketahui titik-titik berikut:

a. P (3,-4) dan ∠ = . Tentukan tan dan cos !

Penyelesaian:

Langkah I : Menggambar bidang kartesius dengan memperhatikan koordinat

titik P(3,-4) yang jelas terletak di kuadran IV, karena x = 3dan y =

-4. Secara geometris, disajikan pada gambar berikut:

Langkah II : Menentukan nilai r (sisi miring) menggunakan teorema

phytagoras.Karena diketahui x = 3 dan y = -4, dengan

menggunakan teorema phytagoras maka sisi miring diperoleh:
r2 = x2 + y2 = 32 + (−4)2 = 9 + 16 = 25

r = √25 = 5

Kesimpulan : maka tan θ = y = −4 dan cos θ = x = 3
x3 r5

Contoh 2

Pertanyaan : jika diketahui ∠ = 300 yang terletak pada koordinat titik P yaitu

pada titik (√3, 1), maka tentukan nilai perbandingan trigonometri

untuk sinus, kosinus, dan tangent!

Penyelesaian

Langkah I : Menggambar ∠ = 300 yang terletak pada titik P (√3, 1)

23

Langkah II : Diketahui bahwa koordinat titik P di titik (√3, 1) maka berarti bahwa

= √3 , = 1 , dan = 2 . Maka kita dapat menentukan nilai

perbandingan sinus, kosinus dan tangent.

sin 300 = y = 1 cos 300 = x = 2
r 2 r 3 √3

tan 300 =y= √3 = √3

x 1

Tips Menghafal..
Cara mengahafal sudut-sudut untuk sinus dan cosinus pada kuadran I

Cara penggunaan:

Misalkan sin 450 = 1 √ (lihat garis
2

berwarna hijau menunjukan nilai

pada sinus kemudian kalikan dengan

angka yang sesuai dengan sudutnya)

maka: sin 450 = 1 √2
2

Coba kalian buktikan bagaimana mencari nilai-nilai sudut yang lain!

Berbagai cara untuk mempelajari nilai tanda rasio trigonometri di setiap
kuadrannya, salah satu diantaranya dengan bagan rasio trigonometri berikut:



SINUS SEMUA
COSECAN POSITIF

TANGEN COSINUS
COTANGEN SECAN



Bagan untuk mengingat nilai perbandingan
trigonometri

24

Untuk lebih mudah memahami bagan nilai perbandingan trigonometri sebelumnya,

perhatikan keterangan pada tabel 2.1 berikut:

Tabel 2.1 keterangan bagan untuk mengingat nilai perbandingan trigonometri

KUADRAN I KUADRAN II KUADRAN III KUADRAN IV

( ≤ ≤ ) ( < ≤ ) ( < ≤ ) ( < ≤ )

sin (+) sin (+) sin (−) sin (−)

cos (+) cos (−) cos (−) cos (+)
tan (+) tan (−) tan (+) tan (−)
cotan (+) cotan (−) cotan (+) cotan (−)
sec (+) sec (−) sec (−) sec (+)
cosec (+) cosec (+) cosec (−) cosec (−)

Ingat !

Selain dengan bagan dan perbandingan trigonometri, cara mudah mengingat tanda
perbandingan trigonometri di setiap kuadrannya dapat menggunakan jembatatan
pengingat yaitu “SEManis SINta TANpa KOSmetik” yang artinya kuadran I semua
bertanda positif, di kuadran II hanya sinus yang bertanda positif, di kuadran III hanya
tangen yang bertanda positif dan di kuadran IV hanya kosinus yang bertanda positif.

25

Tentunya kalian sudah dapat mengitung nilai perbandingan
trigonometri pada sudut istimewa kan…

Lalu bagaimana cara menghitung nilai perbandingan
trigonometri yang bukan merupakan sudut istimewa yaa??

Coba perhatikan penjelasan berikut!

Cara menghitung nilai perbandingan trigonometri yang bukan merupakan sudut
istimewa dengan menggunakan kalkulator

Dengan menggunkan kalkulator kita dapat menemukan nilai trigonometri pada sudut
yang bukan termasuk sudut-sudut istimewa.

Contoh :
α = (1.243)sin320

Penyelesaian :

Langkah I : pada kalkulator mode ukuran sudut di atur pada posisi “DEG” (degree
atau derajat). Kemudian dengan operasi tersebut diperoleh:

Key operation:

sin 3 2 × 1 (.) 2 4 3 =

Display : 0.6397878255

Tugas Siswa

Coba diskusikan dengan teman satu meja kalian, bagaimana cara membuat tabel nilai
rasio trigonometri untuk sudut-sudut istimewa di kuardan I !

26

Latihan 2.2

Coba kalian kerjakan soal latihan berikut!

1. Jika diketahui ∠ = 600 yang terletak pada koordinat titik R yaitu pada titik (√3, 1),

maka tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sinus, kosinus, dan tangent!

Penyelesaian :

Langkah I : Menggambar ∠ = 600 yang terletak pada titik R(√3, 1).

Langkah II : Diketahui bahwa koordinat titik R di titik maka berarti bahwa =

√3, = 1, dan =?
r2 = x2 + y2 = …2 + …2 = ⋯ + ⋯ = ⋯

r=⋯

Langkah III : Menentukan nilai perbandingan sec, cosec dan cotan.

sec 600 ……
=…=…
… …
cosec 600 = … = …

cotan 600 = … = …
… …

Kesimpulan : …………………………………………………………………………….....

2. Diketahui 0 = −2, terletak di kuadaran III. Tentukan nilai sec, cosec, cotan!

3

Penyelesaian:

Langkah I : Menggambar cos β0 = −2, berarti

3

y = -2 dan r = 3.

27

Maka x = √r2 − y2 = √… .2− … .2 = √… .

Karena terletak di kuadran III maka x bernilai negatif. Sehingga x = −√… .

Langkah II : Menentukan nilai sec, cosec, cotan

sec β0 = 1 …
cos β0 =…

cosec β0 = 1 = …
sin β0 …

cotan β0 = 1 = …
tan β0 …

Kesimpulan : ………………………………………………………………………………………………

3. Pada ∆ABC,jika ∠ABC = 300. ̅C̅̅D̅ merupakan garis tinggi dari C, panjang ruas garis A̅̅̅C̅

= 5p dan panjang ruas garis A̅̅̅D̅ = p√5, maka tentukan panjang ruas garis ̅B̅̅C̅ .

Penyelesaian :

Diketahui :∠ABC = ⋯
A̅̅̅C̅ = ….
Ditanya ̅A̅̅D̅ = …
Langkah I
: Panjang ruas garis B̅̅̅C̅ ?
:Gambar ∆ABC, jika ∠ABC = 300 ,

Seperti gambar di samping.
Langkah II : Menentukan nilai ̅C̅̅D̅
C̅̅̅D̅2 = …2 − … .2 = …2 − … .2 = ⋯
C̅̅̅D̅ = ⋯.

Langkah III : Menentukan panjang ruas garis BC
: Maka panjang ruas garis ̅B̅̅C̅ = …
sin 300 = C̅̅̅D̅
̅B̅̅C̅
…
̅B̅̅C̅ = … = ⋯

Kesimpulan

Selamat
mencoba ☺

28

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut diberbagai Kuadran
3

Untuk sudut yang serupa (sudut di kuadran I sampai IV), ada beberapa rumus
referensi trigonometri. Rumus trigonometri sudut serupa adalah sebagai
berikut:(900 ± ), (1800 ± ), (2700 ± ), (3600 ± ), dan sudut-sudut negatif.
a. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut (900 − ) pada Kuadran I (00< < 900)
Pada gambar berikut diperoleh konsep untuk menetukan sudut-sudut pada kuadran
I. Sudut dengan sudut (900 − ) merupakan sudut yang saling berkomplemenatau
sudut adalah komplemen dari sudut (900 − ) dan sebaliknya.

Perbandingan Trigonometri untuk Sudut ( − )
sin(900 − ) = cos
cos(900 − ) = sin
tan(900 − ) = cotan
cot(900 − ) = tan
sec (900 − ) = cosec
cosec(900 − ) = sec

29

Yuukk Mari Berdiskusi…

Bagaimana ya cara
mendapatkan rumus

perbandingan
trigonometri untuk sudut

(900 − 0)??

Coba kalian diskusikan pada teman sebangku, bagaimana cara mendapatkan rumus
(900 − )??

Perhatikan gambar 2.4 berikut:

Keterangan:
Jika ∠ 1 = dan ∠ 1 = (900 − )
makadi peroleh hubungan perbandingan
trigonometri untuk sudut (900 − ) dan
sudut . Dengan demikian tentukan
perbandingan sudut (900 − ) dan sudut
untuk sinus, cosinus, tangen, cotangen,
secan dan cosecan berikut:

a. sin(900 − ) = x = cos

r

b. cos(900 − ) = … = … .

…

c. tan(900 − ) = … = … . .

…

d. cotan(900 − ) = … = … .

…

e. sec(900 − ) = … = …

…

f. cosec(900 − ) = … = …
…

30

Contoh a.1

Pertanyaan :
Ubahlah perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri sudut
komplemennya!
a. cos 420
b. tan 530

Penyelesaian :
a. cos 420 = cos(900 − 480) = sin 480

jadi, cos 420 = sin 480
b. tan 530 = tan (900 − 370) = cot 370

jadi, tan 530 = cot 530

Contoh a.2

Pertanyaan :
Ubahlah perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri sudut
komplemennya!
a. sin 300
b. sec 450

Penyelesaian :
a. sin 300 = sin (900 − 600) = cos 600

jadi, cos 600 = 1
2

b. sec 450 = sec (900 − 450) = cosec 450

jadi, sec 450 = cosec 450 = √2

31

b. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut (1800 − ) pada Kuadran II (900< < 1800)
c. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut (1800 + ) pada Kuadran III (1800< < 2700)

32

Yuukk Mari Berdiskusi…

Lalu, bagaimana cara
mendapatkan rumus
perbandingan trigonometri
untuk sudut (1800 − )??

Coba cermati dan kembali dikusikan kepada teman sebangku kalian!

Perhatikan gambar 2.6 berikut:

Keterangan:

Jika ∠ 1 = dan ∠ 1 = (1800 − )
maka ∠ 1 = . ∆ 1 sebangun
dengan ∆ 1 dan titik Q merupakan
pencerminan dari titik P terhadap sumbu

Y, sehingga koordinat titik Q diperoleh

(− , ) . Dengan demikian diperoleh

hubungan perbandingan trigonometri
untuk sudut (1800 − ) dan sudut .
Maka tentukan perbandingan sudut
(1800 − ) dan sudut untuk sinus,

cosinus, tangen, cotangen, secan dan

cosecan berikut:

a. sinus(1800 − ) = y = sin

r

b. cosinus(1800 − ) = … = … .

…

c. tangen(1800 − ) = … = … . .

…

d. cotangen(1800 − ) = … = … .

…

e. secan(1800 − ) = … = …

…

f. cosecan(1800 − ) = … = …

…

33

Bagaimana ya cara
mendapatkan rumus

perbandingan
trigonometri untuk sudut

(1800 + )??

Coba kalian diskusikan pada teman sebangku, bagaimana cara mendapatkan rumus
perbandingan trigonometri untuk sudut (1800 + )??

Cermati gambar 2.7 berikut:

Keterangan:
Jika ∠ 1 = dan ∠ 1 = (1800 + )
maka ∠ 1 = . ∆ 1sebangun dengan
∆ 1 , sehingga koordinat titik Q
diperoleh (− , − ) . Dengan demikian
diperoleh hubungan perbandingan
trigonometri untuk sudut (1800 + ) dan
sudut . Maka tentukan perbandingan
sudut (1800 + ) dan sudut untuk sinus,
cosinus, tangen, cotangen, secan dan
cosecan berikut:

a. sinus(1800 + ) = −y = −sin

r

b. cosinus(1800 + ) = … = … .

…

c. tangen(1800 + ) = … = … . .

…

d. cotangen(1800 + ) = … = … .

…

e. secan(1800 + ) = … = …

…

f. cosecan(1800 + ) = … = …

…

34

Perhatikan contoh berikut :
1. Tentukan nilai rasio trigonometri untuk sudut (1800 − ) berikut:

a. tan 1400 = tan(1800 − ) = tan (1800 − 1400) = −tan 400

jadi, tan 1400 = −tan 400

b. sin 1200 = sin (1800 − ) = sin(1800 − 600) = sin 600

jadi, = =
√

c. cos 1350 = cos (1800 − ) = cos(1800 − 450) = −cos 450

jadi, = = √
−

2. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (1800 + ) berikut:
a. cosec 2400 = cosec (1800 + ) = cosec (1800 + 600) = −cosec 600

Jadi cosec 2400 = −cosec 600 = − 2 √3
3

b. tan 2250 = tan(1800 + ) = tan(1800 + 450) = tan 450
jadi, tan 2250 = tan 450 = 1

c. sin 2450 = sin(1800 + ) = sin(1800 + 650) = − sin 650
jadi, sin 2450 = −sin 650 =

Ingat !

a. Untuk sudut (1800 − 0) dapat diperoleh sudut
kuadran II sehingga hanya nilai sinus dan
cosecan yang bernilai positif.

b. Untuk sudut (1800 + 0) dapat diperoleh
sudut kuadran III sehingga hanya perbandingan
tangen dan cotangen yang bernilai positif.

35

d. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut (3600 − ) pada Kuadran IV (2700< < 3600)
e. Rumus Perbandingan Trigonometri pada sudut ( . 3600 + )
36

Yuukk Mari Berdiskusi…

Lalu, bagaimana cara
mendapatkan rumus
perbandingan trigonometri
untuk sudut (3600 − )??

Coba cermati dan kembali dikusikan kepa teman sebangku kalian!

Perhatikan gambar 2.10 dibawah ini:

Keterangan:
Jika ∠ = dan ∠ = (3600 − )
maka ∠ = . ∆ sebangun dengan
∆ , titik Q merupakan pencerminan dari
titik P sehingga koordinat titik Q diperoleh
( , − ) . Dengan demikian diperoleh
hubungan perbandingan trigonometri untuk
sudut (3600 − ) dan sudut . Maka tentukan
perbandingan sudut (3600 − ) dan sudut
untuk sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan
dan cosecan berikut:

a. sin (3600 − ) = −y = −sin

r

b. cos (3600 − ) = … = … .

…

c. tan (3600 − ) = … = … . .

…

d. cotan (3600 − ) = … = … .

…

e. sec (3600 − ) = … = … .

…

f. cosec (3600 − ) = … = …

…

37

Lalu, bagaimana cara
mendapatkan rumus
perbandingan trigonometri
untuk sudut ( . 3600 + )??

Coba cermati dan kembali dikusikan kepa teman sebangku kalian!

Perhatikan gambar 2.11 dibawah ini:

Keterangan:

Jika ∠ = dan ∠ = ( . 3600 +
) dengan k merupakan anggota bilangan
bulat mengakibatkan titik Q berimpit dengan
titik P. Dengan demikian diperoleh hubungan
perbandingan trigonometri untuk sudut
( . 3600 + ) dan sudut . Maka tentukan
perbandingan sudut . (3600 + ) dan sudut
untuk sinus, cosinus, secan dan cosecan
berikut:

a. sin ( . 3600 + ) = y = sin

r

b. cos ( . 3600 + ) = … = … .

…

c. sec ( . 3600 + ) = … = … .

…

d. cosec ( . 3600 + ) = … = …

…

38

Perhatikan contoh berikut:

1. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (3600 − ) berikut:

a. cos 3450 = cos (3600 − 150) = cos 150

jadi, cos 3450 = cos 150

b. sin 2950 = sin(3600 − 650) = −sin 650

jadi, sin 2950 = −sin 650

c. sin 5400 = sin (3600 − 600) = − sin 600

jadi, sin 5400 = −sin 600 = 1
− 2 √3

d. tan 3300 = tan(3600 − 300) = −tan 300

jadi, tan 3300 = −tan 300 = 1
− 3 √3

2. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut ( . 3600 + ) berikut:

a. sin 6600 = sin ((2. 3600) − 600) = − sin 600

Jadi, sin 6600 = −sin 600 = − 1 √3
2

b. tan 4500 = cot ((2. 1800) + 900) = tan (900)

Jadi, tan 4500 = tan 900 = ~ (tidak terdefinisi)

Ingat !

a. sedangkan sudut (3600 − 0) merupakan sudut kuadran IV sehingga
hanya perbandingan cosinus dan secan yang bernilai positif.

b. Untuk periode fungsi trigonometri sinus dan cosinus dengan sudut lebih
besar 3600 dan tangen dan cotangent dengan sudut lebih besar 1800
yaitu
tan 0 = tan ( . 1800 + 0) cotan 0 = cotan ( . 1800 + 0) , Rasio
trigonometri tidak dapat dihitung menggunakan hukum segitiga,
sehingga digunakan persamaan trigonometri dengan rumus di atas
untuk menghitung besarnya rasio trigonometri..

c. Perbandingan trigonometri di tiap kuadran berlaku untuk sudut di atas
3600 (kelipatan dalam fungsi trigonometri) dan k merupakan bilang
bulat.

39

f. Rumus Perbandingan Trigonometri pada Sudut Negatif (- )

Dari penjelasan perbandingan trigonometri di atas diperoleh keterangan bahwa:

1) Untuk mengingat perbandingan trigonometri untuk sudut (1800 ± ) dan sudut
(3600 ± ) dapat dilihat hubungan sebagai berikut:

sin → sin cosec → cosec

cos → cos sec → sec

tan → tan cotan → cotan

2) Untuk mengingat perbandingan trigonometri untuk sudut (900 ± ) dan sudut
(2700 ± ) dapat dilihat hubungan sebagai berikut:

sin → cos cosec → sec

cos → sin sec → cosec

tan → cotan cotan → tan

40

Perhatikan penjelasan berikut:
g. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut (900 + ) pada Kuadran II (900 < < 1800)

h. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut (2700 − ) pada Kuadran III (1800< < 2700).

41

Yuukk Mari Berdiskusi…

Bagaimana ya cara
mendapatkan rumus

perbandingan
trigonometri untuk

sudut(− )??

Coba kalian diskusikan pada teman sebangku, Bagaimana cara mendapatkan rumus
perbandingan trigonometri untuk sudut (− )??
Cermati gambar 2.12 di bawah:

Keterangan:
Jika ∠ = dan ∠ = − maka
∠ 1 = . Sehingga pada gambar tampak
bahwa besar sudut (− ) sama dengan
(3600 − ). Maka tentukan (− )untuk sinus,
cosinus, tangen, cotangen, secan dan cosecan
berikut:

a. sin(− ) = −y = −sin

r

b. cos(− ) = … = … .

…

c. tan(− ) = … = … . .

…

d. cotan(− ) = … = … .

…

e. sec(− ) = … = …

…

f. cosec(− ) = … = …

…

42

Bagaimana ya cara
mendapatkan rumus

perbandingan
trigonometri untuk sudut

(900 + )??

Coba kalian diskusikan pada teman sebangku, bagaimana cara mendapatkan rumus
perbandingan trigonometri untuk sudut (900 + )??

Cermati gambar 2.13 di bawah ini:

a. sin(900 + ) = x = cos Keterangan:

r Jika ∠ 1 = dan ∠ 1 = (900 + )
maka ∠ = . ∆ 1 sebangun
b. cos(900 + ) = … = … . dengan ∆ 1, sehingga koordinat titik Q
diperoleh (− , ) . Dengan demikian
… diperoleh hubungan perbandingan
trigonometri untuk sudut (900 + ) dan
c. tan(900 + ) = … = … . . sudutv. Maka tentukan perbandingan
sudut (900 + ) dan sudut untuk sinus,
… cosinus, tangen, cotangen, secan dan
cosecan berikut:
d. cotan(900 + ) = … = … .

…

e. sec(900 + ) = … = …

…

f. cosec(900 + ) = … = …

…

43

Lalu, bagaimana cara
mendapatkan rumus
perbandingan trigonometri
untuk sudut (2700 − )??

Coba cermati dan kembali dikusikan kepa teman sebangku kalian!
Cermati gambar 2.14 berikut:

Keterangan:
Jika ∠ 1 = dan ∠ 1 = (2700 − )
maka ∠ 1 = . ∆ 1 sebangun dengan
∆ 1sehingga koordinat titik Q diperoleh
(− , − ) . Dengan demikian diperoleh
hubungan perbandingan trigonometri untuk
sudut (2700 − ) dan sudut . Maka
tentukan perbandingan sudut (2700 − ) dan
sudut untuk sinus, cosinus, tangen,
cotangen, secan dan cosecan berikut:

a. sin (2700 − ) = −x = −cos

r

b. cos (2700 − ) = … = … .

…

c. tan (2700 − ) = … = … . .

…

d. cotan (2700 − ) = … = … .

…

e. sec (2700 − ) = … = … .

…

f. cosec (2700 − ) = … = …

…

44

g. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut pada Kuadran IV (2700< < 3600)

Perhatikan contoh berikut :

1. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (− ) berikut:

a. cos(− ) = (−400) = cos 400

Jadi, cos (−400) = cos 400

b. tan (− ) = (−600) = −tan 600

jadi, tan (−600) = −tan 600 = −√3
2. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (900 + ) berikut:

a. sin 1200 = sin (900 + ) = (900 + 300) = cos 300

Jadi, sin 1200 = cos 300 = 1 √3

2

b. cos 1350 = cos (900 + ) = (900 + 450) = −sin 450

Jadi, cos 1200 = −sin 450 = − 1 √2
2

3. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (2700 − ) berikut:

a. sec 1100 = sec (2700 − ) = (2700 − 1600) = −cosec 1 600

Jadi, sec 1100 = −cosec 1600

b. sec 2400 = cosec (2700 − ) = (2700 − 300) = −sec 300

Jadi, cosec 2400 = −sec 300 = − 2 √3
3

45

4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (2700 + ) berikut:

a. tan 3300 = tan (2700 + ) = (2700 + 600) = −cotan 600

Jadi, tan 3300 = −cotan 600 =-1 √3

3

b. sin 3000 = sin (2700 + ) = (2700 + 300) = −cos 300

Jadi, sin 300 = −cos 300 = −1 √3

2

Ingat !

a. Untuk sudut (900 + 0) merupakan sudut di kuadran II,
dan ingat bahwa hanya nilai sinus dan cosecan yang
berharga positif untuk semua sudut yang berada di
kuadran II dan yang lainnya negatif.

b. sudut (2700 − 0)merupakanvsudut kuadran III
sehingga hanya nilai tangen dan cotangen yang bernilai
positif.

c. sudut (2700 + 0) merupakan sudut kuadran IV
sehingga hanya nilai cosinus dan secan yang bernilai
positif.

Latihan 2.3

Coba kalian kerjakan soal-soal berikut dengan benar.
1. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam perbandingan trigonometri

sudut komplemennya!
a. cotan 280
b. cos 160
2. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri berikut:
a. tan 1280
b. cos 1500
c. secan 1580

46

d. sin 2100
3. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri dari:

a. tan(−1320)
b. sin 2140
c. tan 2660
d. sin 4050

Evaluasi 2.1

Kerjakan evaluasi berikut!
1. Tentukan panjang sisi ̅ ̅ ̅ ̅ pada segitiga ABC berikut!

2. Tentukan panjang sisi ̅̅ ̅ ̅ pada segitiga PQR berikut!

3. Dari soal nomor 2 jika sudah menemukan panjang sisi ̅̅ ̅ ̅ , kemudian tentukan

perbandingan trigonometri untuk sinus, cosinus, tangen, cotangen, sekan dan

cosekanpada ∠ !

4. Suatu ∆ dengan sudut siku-siku di C memiliki panjang sisi AB = r, dan panjang

sisi BC = p dan nila 3 − = 5. Jika ∠ = 300dan ∠ = 600, maka tentukan

panjang sisi AC!
5. Sebuah segitiga PQR siku-siku di Q, dan diketahui nilai cos R = 20. Maka tentukan

25

nilai tan !

tan

6. Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut!

a. sin 1500

b. tan 1200

c. sec 3150

d. cos (− 1500)

47

e. sin 4050

Akhirnya kamu telah sampai pada tahap evaluasi materi pada kegiatan 2. Ingin
tahu sejauh mana pengetahuan kalian?

Coba kerjakan soal diatas kemudian nilai jawabanmu dengan rumus berikut yaa..

Skor = jumlah skor yang diperoleh × 100%

skor maksimal

Dengan kriteria, jika kamu memperoleh

skor < 75% = belajar kembali

75% < < 85% =

skor 85% = kamu hebat

48

Yuukk Mari Berdiskusi…

Dalam kehidupan sehari-hari, pemanfaatan definisi perbandingan trigonometri memiliki
banyak keuntungan, terutama pada pemasalahan yang berkaitan segitiga siku-siku
dengan panjang sisi dan sudut siku-siku. Menghitung ketinggian atau jarak dalam situasi
terapan seperti gambar 4.1, 4.2, dan 4.3 adalah salah satu kelebihan trigonometri. Lihat
contoh berikut untuk lebih jelasnya.

Contoh 1

Pesawat terbang pada 600 meter di atas permukaan laut (dpl). Jika sudut yang dibuat
oleh pesawat terhadap menara adalah 60 derajat, ada menara pengawas di
belakangnya yang mengawasi pesawat tersebut. Hitung ketinggian pesawat dari
menara!
Penyelesaian :

600 m 60o
x

Langkah I : Menentukan jarak pesawat ke menara

tan 600 =
600


√3 = 600

√3× 600 = ↔ = 600√3

Kesimpulan : Jadi jarak pesawat ke menara yaitu 600√3 .

49

Contoh 2

Dani mendapat tugas untuk mengetahui ketinggian pohon yang berada 8 meter di
depannya dan terlihat dari jarak 600 meter, seperti yang terlihat di bawah ini. Hitung
tinggi pohon serta rasio sin, cos, tan, sec, cosec, dan cotan.

r Tinggi pohon = x
600
Tinggi dani
8m

Penyelesaian :
: Menentukan tinggi pohon dengan perbandingan trigonometri.
Langkah I
: Menentukan nilai perbandingan pada sin, cos, sec, cosec.
tan 600 = cos 600 = …
…
… …
= … = ⋯
sec 600 = …
Langkah II
…
sin 600 = …
: ……………………………………………………………………………
…

cosec 600 = …

…

Kesimpulan

50