PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Bab 6 Fungsi Trigonometri 53 – 61 Trigonometric Functions Bab 7 Pengaturcaraan Linear 62 – 73 Linear Programming Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 74 – 80 Kinematics of Linear Motion Kertas Model SPM 81 – 96 Jawapan J1 – J16 Bab 1 Sukatan Membulat 1 – 15 Circular Measure Bab 2 Pembezaan 16 – 23 Differentiation Bab 3 Pengamiran 24 – 33 Integration Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan 34 – 40 Permutation and Combination Bab 5 Taburan Kebarangkalian 41 – 52 Probability Distribution Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) No. 18, Jalan PJS 5/26, Taman Desaria, 46150 Petaling Jaya, Selangor Darul Ehsan. Tel: 03-7783 3233, 7783 5233 Faks: 03-7783 7233 E-mel: [email protected] Laman web: www.penerbitilmubakti.com © Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) 2022 Pertama kali diterbitkan 2022 ISBN 978-967-xxxxxxxxxxx Cetakan: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Semua hak cipta terpelihara. Sebarang bahagian dalam buku ini tidak boleh diterbitkan semula, disimpan dalam cara yang boleh digunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk atau cara, baik secara elektronik, mekanik, gambar, rakaman dan sebagainya, tanpa kebenaran terlebih dahulu daripada Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M). Penyunting: Wan Rahmatul Aishah Wan Mohd Zin Pereka kulit buku: Sarifuddin Yusof Pereka letak: Lim Mei Pheng Teks diset dalam Utopia Std 10/12 poin Dicetak di Malaysia oleh xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx KANDUNGAN 00_PT SPM Add Math F5_2023.indd 2 28/02/2023 2:17 PM Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) No. 18, Jalan PJS 5/26, Taman Desaria, 46150 Petaling Jaya, Selangor Darul Ehsan. Tel: 03-7783 3233, 7783 5233 Faks: 03-7783 7233 Emel: [email protected] Laman web: www.penerbitilmubakti.com © Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) 2023 Pertama kali diterbitkan 2023 ISBN 978-629-7536-94-1 Cetakan: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Semua hak cipta terpelihara. Sebarang bahagian dalam buku ini tidak boleh diterbitkan semula, disimpan dalam cara yang boleh digunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk atau cara, baik secara elektronik, mekanik, gambar, rakaman dan sebagainya, tanpa kebenaran terlebih dahulu daripada Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M). Penyunting: Wan Rahmatul Aishah Wan Mohd Zin Pereka kulit buku: Sarifuddin Yusof Pereka letak: Lim Mei Pheng Teks diset dalam Utopia 10 poin PENERBIT Dicetak di Malaysia oleh Bookmate Sdn. Bhd. ILMU BAKTI SDN. BHD.
1 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan Arc Length of a Circle 1 Rajah 1 menunjukkan sektor major SOR berpusat O dengan jejari 8 cm. Diagram 1 shows a major sector SOR with centre O and a radius of 8 cm. Rajah 1 / Diagram 1 S R O 130° 8 cm Cari panjang lengkok SR, dalam cm. TP 3 BT ms.6–7 Find the arc length SR, in cm. [Guna/ Use π = 3.142] [3 markah/marks] Jawapan/Answer: 2 Rajah 2 menunjukkan sebahagian daripada bulatan berpusat O dan berjejari 8 cm. Tangen di titik A dan B pada lilitan bulatan itu bertemu di titik P dan ∠AOB = 63°. Diagram 2 shows part of a circle with centre O and a radius of 8 cm. Tangents to the circle at point A and B on the circumference of the circle meet at point P and ∠AOB = 63°. [Guna/ Use π = 3.142] Hitung/Calculate (a) panjang lengkok AB, dalam cm, TP 3 BT ms.6–7 the arc length AB, in cm, [2 markah/marks] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. TP 3 BT ms.8–9 the perimeter, in cm, of the shaded region. [3 markah/marks] Bidang Pembelajaran: Geometri Sukatan Membulat Circular Measure BAB 1 Rajah 2 / Diagram 2 63° O 8 cm B A P 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 1 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
2 Jawapan/Answer: (a) (b) 3 Rajah 3 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diagram 3 shows a circle with centre O. Diberi panjang lengkok minor AB ialah 20 cm dan sudut sektor major AOB ialah 250°. TP 3 BT ms.7 Given the minor arc length AB is 20 cm and the angle of the major sector AOB is 250°. [Guna/ Use π = 3.142] Cari/ Find (a) nilai θ, dalam radian,/ the value of θ, in radians, [2 markah/marks] (b) jejari, dalam cm, bulatan itu./ the radius, in cm, of the circle. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) A B 250° O q 20 cm Rajah 3 / Diagram 3 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 2 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
3 4 Rajah 4 menunjukkan sektor POQ bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari r cm. Diagram 4 shows sector POQ of a circle with centre O and radius r cm. Diberi perimeter dan luas sektor POQ masing-masing ialah 26 cm dan 30 cm2 , cari nilai TP 3 BT ms.7 Given the perimeter and the area of the sector POQ are 26 cm and 30 cm2 respectively, find the value of (a) θ, dalam radian,/ θ, in radians, [3 markah/marks] (b) r. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan Area of Sector of a Circle 5 Rajah 5 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 7 cm. Diberi bahawa panjang perentas RS adalah sama dengan jejari bulatan itu. Diagram 5 shows a circle with centre O and a radius of 7 cm. It is given that the length of the chord RS is equal to the radius of the circle. [Guna/ Use π = 3.142] Hitung/Calculate (a) ∠ROS, dalam radian, TP 2 BT ms.4 ∠ROS, in radians, [2 markah/marks] (b) luas tembereng berlorek, dalam cm2 . TP 3 BT ms.15–16 the area, in cm2 , of the shaded region. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) P Q O q r cm Rajah 4 / Diagram 4 Rajah 5 / Diagram 5 R S O 7 cm 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 3 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
4 6 Rajah 6 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm. Diberi OA = AB dan OAC = 90°. Diagram 6 shows a circle with centre O and a radius of 10 cm. Given OA = AB and OAC = 90°. [Guna/ Use π = 3.142] Cari/ Find TP 3 BT ms.15–16 (a) nilai q, dalam radian,/ the value of q, in radians, [2 markah/marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 7 Rajah 7 menunjukkan dua sektor, AOB dan COD berpusat O. Diagram 7 shows two sectors, AOB and COD with centre O. Diberi bahawa OB : BC = 2 : 1 dan panjang lengkok CD ialah 13.2 cm. Cari It is given that OB : BC = 2 : 1 and the arc length CD is 13.2 cm. Find TP 3 BT ms.15–16 (a) AOB, dalam radian,/ AOB, in radians, [2 markah/marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) O A B C 10 cm q Rajah 6 / Diagram 6 A D C B O 13.2 cm 4 cm Rajah 7 / Diagram 7 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 4 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
5 8 Rajah 8 menunjukkan sektor AOB bagi sebuah bulatan berpusat O. Diagram 8 shows sector AOB of a circle with centre O. A O C B 1.75 rad Rajah 8 / Diagram 8 Diberi bahawa OA = 14 cm, AC = 17 cm dan OC = CB. TP 3 BT ms.15–16 It is given that OA = 14 cm, AC = 17 cm and OC = CB. [Guna/ Use π = 3.142] Cari/ Find (a) panjang lengkok AB, dalam cm, the arc length AB, in cm, [1 markah/mark] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat Application of Circular Measures 9 Rajah 9 menunjukkan satu trek lompat jauh. VOW ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O. Diagram 9 shows a long jump track. VOW is a sector of a circle with centre O. 16 m O E F W G H V α Rajah 9 / Diagram 9 Diberi panjang lengkok VW ialah 13 m, EF = 16 m dan OG = 19 m. TP 4 BT ms.20–21 Given the arc length VW is 13 m, EF = 16 m and OG = 19 m. [Guna/ Use π = 3.142] 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 5 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
6 Cari/ Find (a) nilai α, dalam radian, the value of α, in radians, [2 markah/marks] (b) luas, dalam m2 , kawasan berlorek. the area, in m2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan Arc Length of a Circle 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan Area of Sector of a Circle 10 Rajah 10 menunjukkan sektor POS berpusat O. Diagram 10 shows sector POS with centre O. P Q O R 1.24 rad S Rajah 10 / Diagram 10 Diberi bahawa PQ = QO = OR = RS = 2 cm. It is given that PQ = QO = OR = RS = 2 cm. [Guna/ Use π = 3.142] Cari/Find (a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, TP 3 BT ms.6–7 the perimeter, in cm, of the shaded region, [5 markah/marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek, TP 3 BT ms.14 the area, in cm2 , of the shaded region, [3 markah/marks] 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 6 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
7 Jawapan/Answer: (a) (b) 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat Application of Circular Measures 11 Raina membuat sebuah topi berbentuk kon dengan jejari 4 cm dan tinggi 6 cm untuk majlis hari lahir adiknya. Apabila topi itu dibuka dan dibentangkan ia membentuk sektor AOB seperti ditunjukkan dalam Rajah 11. Raina makes a cone-shaped hat with a radius of 4 cm and a height of 6 cm for her sister’s birthday party. When the hat is opened and laid out, it forms a sector AOB as shown in Diagram 11. A O B θ 6 cm 4 cm Rajah 11 / Diagram 11 [Guna/ Use π = 3.142] Diberi ∠AOB = θ rad, cari TP 4 BT ms.20–21 Given ∠AOB = θ rad, find (a) nilai θ, the value of θ, [5 markah/marks] (b) perimeter sektor AOB, dalam cm. the perimeter of sector AOB, in cm. [3 markah/marks] 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 7 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
8 Jawapan/Answer: (a) (b) 12 Rajah 12 menunjukkan sebuah taman di suatu kawasan perumahan. AOB ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O dengan jejari 20 m dan ACB ialah sebuah semibulatan dengan diameter AB. Taman itu terdiri dari kawasan berumput AOB dan dan kawasan tanaman pokok ACB. Diagram 12 shows a park in a residential area. AOB is a sector of a circle with centre O and a radius of 20 m and ACB is a semicircle with a diameter of AB. The park consists of the grassy area AOB and the tree area ACB. Diberi bahawa luas bagi kawasan berumput ialah 300 m2 . TP 4 BT ms.20–21 Given that the area of the grassy area is 300 m2 . [Guna/ Use π = 3.142] Hitung/ Calculate (a) nilai θ, dalam radian, the value of θ, in radians, [2 markah/marks] (b) panjang, dalam m, pagar yang diperlukan untuk memagar kawasan tanaman pokok, the length in, m, of the fence needed to fence up the tree area, [3 markah/marks] (c) luas, dalam m2 , kawasan tanaman pokok. the area in m2 , of the tree area. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) Rajah 12 / Diagram 12 A B O θ C 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 8 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
9 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Rajah 1 menunjukkan sebuah bulatan dan sektor DOC berpusat O. Jejari bulatan ialah r cm. Diagram 1 shows a circle and sector DOC with centre O. The radius of the circle is r cm. Rajah 1 / Diagram 1 A D C B O θ rad Diberi bahawa BC = 10 cm dan panjang lengkok AB dan CD masing-masing ialah 3 cm dan 8 cm. It is given that BC = 10 cm and the arc lengths AB and CD are 3 cm and 8 cm respectively. [Guna/ Use π = 3.142] Cari/ Find TP 3 BT ms.13–15 (a) nilai r dan nilai θ, the value of r and of θ, [3 markah/marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 9 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
10 2 Lengkok AB mencangkum sudut 0.6 radian pada pusat bulatan O dan berjejari 11 cm. Lengkok PQ mencangkum sudut θ pada pusat O dengan keadaan panjang lengkok PQ adalah sama dengan perimeter sektor AOB dan berjejari 20 cm. Jika titik-titik O, A dan P adalah segaris dan sektor AOB berada di dalam sektor POQ, cari TP 3 BT ms.13–15 KBAT Mengaplikasi The arc AB subtends an angle of 0.6 radian at centre O with a radius of 11 cm. The arc length PQ is subtends an angle θ at centre O such that the arc length PQ is equal to the perimeter of the sector AOB and has a radius of 20 cm. If the points O, A and P are in a straight line and the sector AOB is inscribed in the sector POQ, find (a) nilai θ, dalam radian, the value of θ, in radians, [3 markah/marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan di luar sektor AOB. the area, in cm2 , of the region outside the sector AOB. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 3 Rajah 2 menunjukkan sektor POQ berpusat O dan berjejari 18 cm. Titik R berada pada garis lurus OP dengan keadaan OR : OP = 2 : 3. Diagram 2 shows sector POQ with centre O and a radius of 18 cm. Point R lies on the straight line OP such that OR : OP = 2 : 3. O q R P 18 cm Q Rajah 2 / Diagram 2 [Guna/ Use π = 3.142] Hitung/ Calculate (a) nilai q, dalam radian, TP 2 BT ms.4 the value of q, in radians, [3 markah/marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. TP 3 BT ms.13–14 the area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah/marks] 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 10 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
11 Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Rajah 3 menunjukkan sebuah semibulatan SOPR berpusat O dan berjejari 5 cm. PTQ ialah sebuah sektor bulatan berpusat T dan berjejari 8 cm. Diagram 3 shows a semicircle SOPR with centre O and a radius of 5 cm. PTQ is a sector of a circle with centre T and a radius of 8 cm. Diberi bahawa OR adalah berserenjang dengan garis lurus SOP. It is given that OR is perpendicular to the straight line SOP. [Guna/ Use π = 3.142] Hitung/ Calculate (a) nilai q, dalam radian, TP 2 BT ms.4 the value of q, in radians, [2 markah/marks] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, TP 3 BT ms.6–7 the perimeter, in cm, of the shaded region, [3 markah/marks] (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. TP 3 BT ms.13–14 the area, in cm2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) S q T O P Q R 5 cm Rajah 3 / Diagram 3 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 11 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
12 5 Rajah 4 menunjukkan dua sektor, POQ dan MON berpusat O. Perimeter seluruh rajah ialah 51.5 cm. Diagram 4 shows two sectors, POQ and MON with centre O. The perimeter of the whole diagram is 51.5 cm. P Q M N O r cm Rajah 4 / Diagram 4 Diberi ON = r cm, OP = 2ON, MON = 0.5α dan POQ = 0.8α. TP 3 BT ms.9–10 Given ON = r cm, OP = 2ON, MON = 0.5α and POQ = 0.8α. [Guna/ Use π = 3.142] (a) Ungkapkan r dalam sebutan α. Express r in terms of α. [4 markah/marks] (b) Cari nilai r jika α = 3. Find the value of r if α = 3. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 12 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
13 Bahagian B / Section B 6 Dalam Rajah 5, PQRS ialah sebuah segi empat tepat, manakala OPTS ialah sektor bulatan berpusat O dan berjejari 7 cm. O ialah titik tengah PR. In Diagram 5, PQRS is a rectangle, while OPTS is a sector with centre O and has a radius of 7 cm. O is the midpoint of PR. P S T Q O R 37° Rajah 5 / Diagram 5 [Guna/ Use π = 3.142] Hitung/ Calculate (a) ∠POS, dalam radian, TP 2 BT ms.4 ∠POS, in radians, [2 markah/marks] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, TP 3 BT ms.6–7 the perimeter, in cm, of the shaded region, [4 markah/marks] (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. TP 3 BT ms.13–14 the area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 13 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
14 7 Rajah 6 menunjukkan sektor ROQ berpusat O dan berjejari 12 cm. Diagram 6 shows sector ROQ with centre O and a radius of 12 cm. Diberi bahawa titik P berada pada OQ dengan keadaan OP : OQ = 1 : 4. It is given that point P lies on OQ such that OP : OQ = 1 : 4. [Guna/ Use π = 3.142] Hitung/ Calculate (a) nilai θ, dalam radian, TP 2 BT ms.4 the value of θ, in radians, [3 markah/marks] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, TP 3 BT ms.6–7 the perimeter, in cm, of the shaded region, [3 markah/marks] (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. TP 3 BT ms.13–14 the area, in cm2 , of the shaded region. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 8 Rajah 7 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 15 cm berada di dalam sektor PAQ berpusat A. Garis lurus AP dan AQ ialah tangen kepada bulatan yang bertemu di titik A. Diagram 7 shows a circle with centre O and a radius of 15 cm inscribed in sector PAQ with centre A. The straight lines AP and AQ are the tangents to the circle that meet at point A. [Guna / Use π = 3.142] Hitung/ Calculate (a) panjang lengkok PQ, dalam cm, TP 3 BT ms.6–7 the arc length PQ, in cm, [5 markah/marks] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. TP 3 BT ms.13–14 the area, in cm2 , of the shaded region. [5 markah/marks] R Q P O θ Rajah 6 / Diagram 6 P B A C Q O 60° Rajah 7 / Diagram 7 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 14 28/02/2023 2:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
15 Jawapan/Answer: (a) (b) ZON KBAT 1 Seekor kambing sedang meragut rumput di sebuah padang rumput. Kambing itu diikat pada tiang dengan tali sepanjang 4 m dan tiang tersebut berada 3 m dari pagar seperti ditunjukkan dalam Rajah 1. A goat is grazing in a field. The goat is tied to a stake by a rope with a length of 4 m and the stake is 3 m from a fence as shown in Diagram 1. A B Rajah 1 / Diagram 1 Hitung luas, dalam m2 , kawasan padang rumput yang boleh diragut oleh kambing itu. TP 4 BT ms.20–21 Calculate the area, in m2 , of the meadow region that can be grazed by the goat. KBAT Menilai [Guna/ Use π = 3.142] Jawapan/Answer: 01_PT SPM Add Math F5_2023.indd 15 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
16 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama The First Derivative 1 Diberi x = 8 + 2k3 dan dy dk = 12k5 , cari TP 3 BT ms.40–41 Given x = 8 + 2k3 and dy dk = 12k5 , find (a) dx dk, (b) dy dx dalam sebutan x. dy dx in terms of x. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 (a) Diberi y = x(3x + 1)(2x − 3), cari dy dx. TP 3 BT ms.41 Given that y = x(3x + 1)(2x − 3), find dy dx. [2 markah/marks] (b) Diberi bahawa y = 3 2 u5 , dengan keadaan u = 2x – 4. Cari dy dx dalam sebutan x. TP 3 BT ms.43 It is given that y = 3 2 u5 , where u = 2x – 4. Find dy dx in terms of x. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Kalkulus Pembezaan Differentiation BAB 2 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 16 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
17 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua The Second Derivative 3 Cari f ’’(x) bagi setiap fungsi yang berikut. TP 3 BT ms.49–50 Find f’’(x) for each of the following functions. (a) f(x) = 5x2 + 3x + 4, (b) f(x) = x2 – 2 x . [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua The Second Derivative 2.4 Aplikasi Pembezaan Application of Differentiation 4 (a) Cari nilai-nilai x bagi y = x2 – 27 x2 apabila d2 y dx2 = 0. TP 3 BT ms.49–50 Find the values of x for y = x2 − 27 x2 when d2 y dx2 = 0. [3 markah/marks] (b) Diberi fungsi kecerunan lengkung ialah dy dx = 4px + 3, dengan keadaan p ialah pemalar. Jika kecerunan lengkung pada titik (2, 5) ialah 11, cari nilai p. TP 3 BT ms.51–52 Given the gradient function of a curve is dy dx = 4px + 3, where p is a constant. If the gradient of the curve at point (2, 5) is 11, find the value of p. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2.4 Aplikasi Pembezaan Application of Differentiation 5 Diberi persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 3x(x – 2). Cari TP 3 BT ms.59 Given the equation of a curve is y = 3x(x – 2). Find (a) dy dx , (b) nilai x apabila y ialah minimum, the value of x when y is minimum, (c) nilai minimum y. the minimum value of y. [5 markah/marks] 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 17 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
18 Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 6 Diberi titik K(2, –5) terletak pada lengkung y = 2x2 – 5x. Cari Given the point K(2, –5) lies on the curve y = 2x2 – 5x. Find (a) kecerunan tangen kepada lengkung pada titik K, TP 3 BT ms.52 the gradient of the tangent to the curve at point K, (b) persamaan normal kepada lengkung pada titik K. TP 3 BT ms.53 the equation of the normal to the curve at point K. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 7 Diberi persamaan bagi suatu lengkung ialah y = 2x2 – 7x + 3. TP 3 BT ms.52–53 Given the equation of a curve is y = 2x2 – 7x + 3. (a) Cari kecerunan tangen kepada lengkung itu pada titik P(1, 3). Find the gradient of the tangent to the curve at point P(1, 3). (b) Seterusnya, cari persamaan tangen pada titik P. Hence, find the equation of the tangent at point P. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 18 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
19 8 (a) Diberi bahawa y = 8 x2 . Ungkapkan dalam sebutan h, perubahan hampir dalam y apabila x menokok daripada 4 kepada 4 + h. TP 3 BT ms.71 It is given that y = 8 x2 . Express in terms of h, the approximate change in y when x increases from 4 to 4 + h. [3 markah/marks] (b) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 5 – 8 x . Cari perubahan kecil dalam x yang sepadan apabila y menokok daripada 3 kepada 3 + q. TP 3 BT ms.71 The variables x and y are related by the equation y = 5 – 8 x . Find the small corresponding change in x when y increases from 3 to 3 + q. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 9 (a) Sebiji belon berbentuk sfera mengembang pada kadar 90π cm3 s–1, manakala jejarinya pula bertambah pada kadar 2.5 cm s–1 apabila jejarinya ialah k cm. Menggunakan rumus V = 4 3 πj 3 , cari nilai k. TP 4 BT ms.68–69 A spherical balloon expands at a rate of 90π cm3 s–1, while its radius increases at a rate of 2.5 cm s–1 when the radius is k cm. Using the formula V = 4 3 πr3 , find the value of k. [2 markah/marks] (b) Isi padu sebiji belon berbentuk sfera yang bocor menyusut pada kadar π 2 cm3 s−1. Cari kadar perubahan jejari belon apabila jejarinya ialah 1 cm. TP 4 BT ms.68–69 The volume of a spherical balloon that is leaking decreases at a rate of π 2 cm3 s−1. Find the rate of change of its radius when the radius is 1 cm. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 19 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
20 10 Diberi bahawa y = 2x2 − 4x + 6. Apabila x = 2, terdapat perubahan kecil dalam x sebanyak 3%. Cari peratus perubahan dalam y yang sepadan. TP 3 BT ms.71–73 It is given that y = 2x2 − 4x + 6. When x = 2, there is a small change in x by 3%. Find the corresponding percentage of change in y. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: Bahagian B / Section B 2.4 Aplikasi Pembezaan Application of Differentiation 11 (a) Isi padu sebuah sfera menyusut dengan kadar 3.5π cm3 s–1. Cari kadar perubahan jejari sfera apabila jejarinya ialah 5 cm. TP 3 BT ms.68–69 The volume of a sphere decreases at a rate of 3.5π cm3 s–1. Find the rate of change of its radius when the radius is 5 cm. [4 markah/marks] (b) Diberi y = x3 , cari perubahan kecil dalam y yang sepadan apabila x bertambah daripada 5 kepada 5.003. Seterusnya, cari nilai hampir bagi y selepas perubahan dalam x berlaku. TP 3 BT ms.71–73 Given y = x3 , find the small corresponding change in y when x increases from 5 to 5.003. Hence, find the approximate value of y after the change in x has taken place. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 12 (a) Seketul ais berbentuk kubus dengan sisi x cm mencair pada kadar 75.6 cm3 per minit. Cari kadar perubahan x pada ketika x = 5 cm. TP 4 BT ms.68–69 An ice cube with sides measuring x cm melts at a rate of 75.6 cm3 per minute. Find the rate of change of x at the instance when x = 5 cm. [4 markah/marks] (b) Isi padu sebuah sfera bertambah pada kadar 6.4π cm3 s–1. Cari jejari sfera pada ketika jejari itu bertambah dengan kadar 0.4 cm s–1. TP 4 BT ms.68–69 The volume of a sphere increases at a rate of 6.4π cm3 s–1. Find the radius of the sphere at the instance when the radius is increasing at a rate of 0.4 cm s–1. [4 markah/marks] 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 20 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
21 Jawapan/Answer: (a) (b) Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 3x(1 − x)4 dan titik A(2, 6) yang terletak pada lengkung itu. Diagram 1 shows a part of the curve y = 3x(1 − x)4 and point A(2, 6) that lies on the curve. A(2, 6) y O x Rajah 1 / Diagram 1 Cari/ Find TP 3 BT ms.53 (a) kecerunan normal pada titik A, the gradient of the normal at point A, [4 markah/marks] (b) persamaan normal kepada lengkung pada titik A. the equation of the normal to the curve at point A. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 21 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
22 2 Diberi persamaan bagi suatu lengkung ialah y = x2 (2 – x) + 3. Given the equation of a curve is y = x2 (2 – x) + 3. (a) Cari kecerunan tangen kepada lengkung pada x = 2. TP 3 BT ms.52 Find the gradient of the tangent to the curve at x = 2. [2 markah/marks] (b) Cari koordinat bagi semua titik pusingan bagi lengkung itu. TP 3 BT ms.59 Find the coordinates of all the turning points of the curve. [3 markah/marks] (c) Tentukan sama ada setiap titik pusingan ialah titik maksimum atau titik minimum. TP 3 BT ms.59 Determine whether each of the turning points is a maximum point or a minimum point. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 3 Diberi bahawa y = 12 x3 . TP 3 BT ms.72 It is given that y = 12 x3 . (a) Cari nilai dy dx apabila x = 2. Find the value of dy dx when x = 2. [3 markah/marks] (b) Seterusnya, tentukan nilai hampir bagi 12 (2.01)3 . Hence, determine the approximate value of 12 (2.01)3 . [4 markah/marks] 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 22 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
23 Jawapan/Answer: (a) (b) ZON KBAT 1 Fungsi kecerunan bagi suatu lengkung diberi oleh mx2 – nx, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Lengkung itu mempunyai titik pusingan (2, –8) dan kecerunan tangen kepada lengkung di x = –1 ialah 8. The gradient function of a curve is given by mx2 – nx, where m and n are constants. The curve has a turning point (2, –8) and the gradient of the tangent to the curve at x = –1 is 8. Cari/ Find TP 3 BT ms.53 KBAT Mengaplikasi (a) nilai m dan nilai n, the value of m and of n, (b) persamaan normal kepada lengkung pada titik (3, 4). the equation of the normal to the curve at point (3, 4). Jawapan/Answer: (a) (b) 02_PT SPM Add Math F5_2023.indd 23 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
24 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan Integration as the Inverse of Differentiation 3.2 Kamiran Tak Tentu Indefinite Integral 1 (a) Diberi d dx (7x) = g(x), cari ∫ g(x) dx./ Given d dx (7x) = g(x), find ∫ g(x) dx. TP 2 BT ms.83 [1 markah/mark] (b) Diberi bahawa ∫ 4(8 − x)2 dx = p(8 − x)q + c, dengan keadaan p, q dan c ialah pemalar. Cari nilai p dan nilai q. TP 2 BT ms.89 Given that ∫ 4(8 − x)2 dx = p(8 − x)q + c, where p, q and c are constants. Find the value of p and of q. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 3.2 Kamiran Tak Tentu Indefinite Integral 2 Diberi fungsi kecerunan suatu lengkung ialah dy dx = hx – 6, dengan keadaan h ialah pemalar. Jika lengkung itu mempunyai titik pusingan (3, 1), cari TP 3 BT ms.90 Given the gradient function of a curve is dy dx = hx – 6, where h is a constant. If the curve has a turning point (3, 1), find (a) nilai h,/ the value of h, (b) persamaan bagi lengkung itu./ the equation of the curve. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Kalkulus Pengamiran Integration BAB 3 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 24 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
25 3 Diberi ∫ (3x2 + 2) dx = hx3 + 2x + c, dengan keadaan h dan c ialah pemalar. Given ∫ (3x2 + 2) dx = hx3 + 2x + c, where h and c are constants. Cari/ Find TP 3 BT ms.87 (a) nilai h,/ the value of h, (b) nilai c, jika ∫ (3x2 + 2) dx = 10 apabila x = 1. the value of c, if ∫ (3x2 + 2) dx = 10 when x = 1. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 3.3 Kamiran Tentu Definite Integral 4 Diberi ∫ 5 1 m(x) dx = 9, cari TP 3 BT ms.92–94 Given ∫ 5 1 m(x) dx = 9, find (a) nilai bagi ∫ 1 5 m(x) dx,/ the value of ∫ 1 5 m(x) dx, (b) nilai k jika ∫ 5 1 [kx – m(x)] dx = 23. the value of k if ∫ 5 1 [kx – m(x)] dx = 23. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 25 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
26 5 Diberi bahawa ∫ 6 4 q(x) dx = 7, cari TP 3 BT ms.92–94 It is given that ∫ 6 4 q(x) dx = 7, find (a) nilai bagi ∫ 4 6 q(x) dx, the value of ∫ 4 6 q(x) dx, (b) nilai m jika ∫ 6 4 [mx – q(x)] dx = 21. the value of m if ∫ 6 4 [mx – q(x)] dx = 21. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 6 (a) Diberi d dx 5x 7 – x = f(x), cari nilai bagi ∫ 2 0 f(x) dx. TP 3 BT ms.92–94 Given d dx 5x 7 – x = f(x), find the value of ∫ 2 0 f(x) dx. [2 markah/marks] (b) Diberi y = 2x x2 + 1 dan dy dx = g(x), cari nilai bagi ∫ 1 0 2g(x) dx. TP 3 BT ms.92–94 Given y = 2x x2 + 1 and dy dx = g(x), find the value of ∫ 1 0 2g(x) dx. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 26 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
27 7 (a) Rajah 1 menunjukkan lengkung y = f(x) menyilang paksi-x di x = p dan x = q. Diagram 1 shows the curve y = f(x) intersects the x-axis at x = p and x = q. y x y = f(x) O p q Rajah 1 / Diagram 1 Diberi luas rantau berlorek ialah 12 unit2 , cari nilai bagi ∫ q p 4f(x) dx. TP 3 BT ms.97–98 Given the area of the shaded region is 12 units2 , find the value of ∫ q p 4f (x) dx. [2 markah/marks] (b) Cari ∫ k 1 (x + 2) dx dalam sebutan k. TP 3 BT ms.92–94 Find ∫ k 1 (x + 2) dx in terms of k. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 8 Diberi bahawa ∫ 7 2 m(x) dx = 4. Cari nilai bagi TP 3 BT ms.92–94 It is given that ∫ 7 2 m(x) dx = 4. Find the value of (a) ∫ 2 7 m(x) dx, (b) ∫ 7 2 [3 – m(x)] dx. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 27 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
28 9 Diberi ∫ 8 3 f(x) dx = 10 dan ∫ 8 3 [3f(x) − px] dx = 28, cari TP 3 BT ms.92–94 Given that ∫ 8 3 f(x) dx = 10 and ∫ 8 3 [3f(x) − px] dx = 28, find (a) nilai p,/ the value of p, [3 markah/marks] (b) ∫ 8 3 1 2 [f(x) + 6]. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 10 Rajah 2 menunjukkan lengkung y = x2 + 3 bersilang dengan garis lurus y − 5 = −x pada dua titik. Diagram 2 shows the curve y = x2 + 3 intersects the straight line y − 5 = −x at two points. 0 y = x2 + 3 y – 5 = –x y x p q Rajah 2 / Diagram 2 Cari/ Find TP 3 BT ms.103 (a) nilai p dan nilai q, the value of p and of q, [2 markah/marks] (b) luas rantau berlorek yang dibatasi oleh garis lurus dan lengkung itu. the area of the shaded region bounded by the straight line and the curve. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 28 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
29 11 (a) Diberi bahawa ∫ p 2 f(x) dx = 6 dan ∫ p 2 [f(x) + 2] dx = 10, cari nilai p. TP 3 BT ms.92–94 It is given that ∫ p 2 f(x) dx = 6 and ∫ p 2 [f(x) + 2] dx = 10, find the value of p. [3 markah/marks] (b) Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada lengkung xy = 4. Diagram 3 shows part of the curve xy = 4. 3 1 0 x xy = 4 y Rajah 3 / Diagram 3 Hitung isi padu janaan, dalam sebutan p, apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y. TP 3 BT ms.107–108 Calculate the generated volume, in terms of π, when the shaded region is revolved through 360° about the y-axis. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 3.2 Kamiran Tak Tentu Indefinite Integral 12 (a) Cari persamaan bagi lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan dy dx = 4x + 9 dan melalui titik A(2, –3). TP 3 BT ms.90 Find the equation of the curve that has the gradient function dy dx = 4x + 9 and passes through point A(2, –3). [4 markah/marks] (b) Fungsi kecerunan bagi suatu lengkung diberi oleh dy dx = 3x2 – 3x + 2. Jika lengkung itu mempunyai titik pusingan (1, –3), cari persamaan bagi lengkung itu. TP 3 BT ms.90 The gradient function of a curve is given by dy dx = 3x2 – 3x + 2. If the curve has a turning point (1, –3), find the equation of the curve. [4 markah/marks] 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 29 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
30 Jawapan/Answer: (a) (b) 13 (a) Diberi bahawa koordinat titik pusingan bagi suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 4x − 4 x2 ialah (h, 12). Cari nilai h. Seterusnya, cari persamaan bagi lengkung itu. TP 3 BT ms.90 It is given that the coordinates of the turning point of a curve with the gradient function 4x − 4 x2 are (h, 12). Find the value of h. Hence, find the equation of the curve. [4 markah/marks] (b) Diberi bahawa fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah px2 – qx, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Salah satu titik pusingan bagi lengkung itu ialah (2, –8) dan kecerunan tangen kepada lengkung di x = –1 ialah 6. Cari nilai p dan nilai q. TP 3 BT ms.90 It is given that the gradient function of a curve is px2 – qx, where p and q are constants. One of the turning point of the curve is (2, –8) and the gradient of the tangent to the curve at x = –1 is 6. Find the value of p and of q. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 30 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
31 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Rajah 1 menunjukkan rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung y = f(x), paksi-x dan garis lurus x = 4. Diagram 1 shows the shaded region bounded by the curve y = f(x), the x-axis and the straight line x = 4. Diberi bahawa luas rantau berlorek ialah 10 unit2 . TP 3 BT ms.97–98 It is given that the area of the shaded region is 10 units2 . (a) Cari / Find (i) ∫ 4 1 f(x) dx, (ii) ∫ 4 1 [x – 4f(x)] dx, (iii) ∫ 1 4 [x + 3f(x)] dx. [5 markah/marks] (b) Diberi f '(x) = x – 4, cari f(x) dalam sebutan x. Given f' (x) = x – 4, find f(x) in terms of x. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (iii) (b) Bahagian B / Section B 2 Rajah 2 menunjukkan garis lurus y = x + 4 bersilang dengan lengkung y = (x – 2)2 pada titik K dan titik L. Diagram 2 shows a straight line y = x + 4 intersects the curve y = (x – 2)2 at point K and point L. (a) Cari koordinat titik L. TP 3 BT ms.103 Find the coordinates of point L. [2 markah/marks] (b) Hitung/ Calculate (i) luas, dalam unit2 , bagi rantau berlorek R. TP 3 BT ms.103 the area, in units2 , of the shaded region R. (ii) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek S diputarkan melalui 360° pada paksi-x. TP 3 BT ms.107 the generated volume, in terms of π, when the shaded region S is revolved through 360° about the x-axis. [8 markah/marks] y x O K S R y = x + 4 L y = (x – 2)2 Rajah 2 / Diagram 2 y x y = f(x) O x = 4 1 Rajah 1 / Diagram 1 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 31 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
32 Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 3 Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = f(x) yang melalui titik L(1, 6). Garis lurus KL adalah selari dengan paksi-x. Diagram 3 shows a part of the curve y = f(x) that passes through point L(1, 6). The straight line KL is parallel to the x-axis. O y x K L(1, 6) y = f(x) Rajah 3 / Diagram 3 Lengkung itu mempunyai fungsi kecerunan 4x. Cari The curve has a gradient function of 4x. Find (a) persamaan lengkung itu, TP 3 BT ms.90 the equation of the curve, [3 markah/marks] (b) luas, dalam unit2 , bagi rantau berlorek, TP 3 BT ms.103 the area, in units2 , of the shaded region, [4 markah/marks] (c) isi padu janaan, dalam sebutan p, apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-y. the generated volume, in terms of p, when the shaded region is revolved through 360° about the y-axis. TP 3 BT ms.107–108 [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 32 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
33 ZON KBAT 1 Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = (x – 3)(x – 6) bersilang dengan garis lurus y = 2x. Diagram 1 shows a part of the curve y = (x – 3)(x – 6) intersects the straight line y = 2x. Cari luas rantau berlorek. TP 3 BT ms.103 KBAT Mengaplikasi Find the area of the shaded region. Jawapan/Answer: 2 Dalam Rajah 2, garis lurus KL adalah normal kepada lengkung y = x2 + 1 pada titik A(1, 3) dan garis lurus AM adalah selari dengan paksi-y. In Diagram 2, the straight line KL is normal to the curve y = x2 + 1 at point A(1, 3) and the straight line AM is parallel to the y-axis. Cari/ Find TP 3 BT ms.97–98 KBAT Mengaplikasi (a) nilai p, the value of p, (b) luas rantau berlorek. the area of the shaded region. Jawapan/Answer: (a) (b) y x O 3 y = 2x y = (x – 3)(x – 6) Rajah 1/ Diagram 1 O y x A(1, 3) y = x2 + 1 M L(p, 0) K Rajah 2 / Diagram 2 03_PT SPM Add Math F5_2023.indd 33 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
34 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 4.1 Pilih Atur Permutation 1 (a) Berapakah bilangan nombor 3 digit yang dapat dibentuk daripada digit-digit 0, 1, 3, 5, 6 dan 8 dengan keadaan ulangan digit tidak dibenarkan dan nombor itu boleh dibahagi tepat dengan 5? How many 3-digit numbers can be formed from the digits 0, 1, 3, 5, 6 and 8 where repetition of digits is not allowed and the number must be divisible by 5? TP 3 BT ms.129–130 [2 markah/marks] (b) Cari bilangan segi tiga yang dapat dibentuk daripada bucu-bucu sebuah oktagon. TP 2 BT ms.125 Find the number of triangles that can be formed from the vertices of an octagon. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 Suatu kod empat huruf akan dibentuk menggunakan semua huruf dalam perkataan “C E M E R L A N G” tanpa pengulangan huruf. Cari bilangan cara kod yang dapat dibentuk jika susunan TP 3 BT ms.129–130 A four-letter code is to be formed using all the letters in the word “C E M E R L A N G” without repeating any of the letter. Find the number of ways to form the code if the arrangement (a) bermula dan berakhir dengan huruf konsonan, begins and ends with a consonant, [2 markah/marks] (b) bermula dengan huruf vokal dan berakhir dengan huruf konsonan. begins with a vowel and ends with a consonant. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Statistik Pilih Atur dan Gabungan Permutation and Combination BAB 4 04_PT SPM Add Math F5_2023.indd 34 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
35 3 Terdapat dua buah buku rujukan Kimia dan tiga buah buku rujukan Fizik di atas sebuah rak. Hitung bilangan cara berlainan untuk menyusun semua buku itu dalam satu baris jika TP 3 BT ms.129–130 There are two Chemistry reference books and three Physics reference books on a shelf. Calculate the number of different ways to arrange all the books in a row if (a) tiada syarat dikenakan, there are no conditions, [2 markah/marks] (b) semua buku rujukan Fizik disusun bersebelahan antara satu sama lain. all the Physics reference books are arranged next to each other. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Encik Abu bersama isteri dan tiga orang anaknya disusun sebaris untuk sesi foto. Hitung bilangan cara berlainan untuk menyusun mereka jika TP 3 BT ms.129–130 Encik Abu and his wife with three children are to be arranged in a row for a photo shoot. Calculate the number of different ways to arrange all of them if (a) tiada syarat dikenakan, there are no conditions, [2 markah/marks] (b) anak bongsu berdiri di tengah-tengah barisan dan berada di antara Encik Abu dengan isterinya. the youngest child is to stand at the centre of the row and between Encik Abu and his wife. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 04_PT SPM Add Math F5_2023.indd 35 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
36 5 Puan Radziah ingin menyusun tujuh orang murid perempuan duduk di barisan hadapan untuk sesi foto. Cari bilangan cara berlainan murid perempuan boleh duduk jika TP 3 BT ms.129–130 Puan Radziah wants to arrange seven girls to sit in the front row for a photo shoot. Find the number of different ways the girls can be seated if (a) tiada syarat dikenakan, there are no conditions, (b) Aishah dan Mei Lin dipisahkan oleh tiga orang murid perempuan yang lain. Aishah and Mei Lin are separated by three other girls. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 6 Rajah 1 menunjukkan lapan keping kad huruf. Diagram 1 shows eight letter cards. C H A M P I O N Rajah 1/ Diagram 1 Cari bilangan cara menyusun semua huruf tanpa ulangan jika TP 3 BT ms.129–130 Find the number of ways to arrange all the letters without repetition if (a) tiada syarat dikenakan, there are no conditions, (b) kedua-dua huruf di tengah-tengah ialah huruf vokal. both letters in the middle are vowels. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 04_PT SPM Add Math F5_2023.indd 36 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
37 4.2 Gabungan Combination 7 Rajah 2 menunjukkan lima titik ditandakan pada garis lurus PQ dan tiga titik ditandakan pada garis lurus RS. Diagram 2 shows five points marked on the straight line PQ and three points marked on the straight line RS. A B C D E F G H P Q R S Rajah 2/ Diagram 2 Sebuah segi tiga boleh dibentuk dengan menyambungkan mana-mana tiga titik daripada dua garis lurus itu. Cari bilangan segi tiga yang dapat dibentuk jika TP 3 BT ms.135–136 A triangle can be formed by joining any three points from the two straight lines. Find the number of triangles that can be formed if (a) tiada syarat dikenakan, there are no conditions, [1 markah/mark] (b) B dan C ialah dua daripada bucu-bucu segi tiga itu, B and C are two of the vertices of the triangles, [2 markah/marks] (c) A ialah salah satu daripada bucu itu. A is one of the vertices. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 8 Sebuah jawatankuasa yang terdiri daripada tujuh orang murid akan dipilih daripada tujuh orang murid lelaki dan lima orang murid perempuan. Jawatankuasa itu mesti terdiri daripada empat orang murid lelaki dan tiga orang murid perempuan. Cari TP 3 BT ms.135–136 A committee that consists of seven students is to be selected from seven boys and five girls. The committee must consists of four boys and three girls. Find 04_PT SPM Add Math F5_2023.indd 37 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
38 (a) bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk, the number of ways the committee can be formed, [1 markah/mark] (b) bilangan cara ahli jawatankuasa itu boleh disusun dalam satu baris untuk sesi foto jika ketiga-tiga orang murid perempuan duduk bersebelahan. the number of ways the committee members can be arranged in a row for a photo session if three girls are seated together. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 9 Sebuah jawatankuasa yang terdiri daripada lima orang ahli akan dipilih daripada enam orang murid lelaki dan lima orang murid perempuan. Cari bilangan jawatankuasa berlainan yang boleh dibentuk jika A committee that consists of five members are to be chosen from six boys and five girls. Find the number of different committees that can be formed if TP 3 BT ms.135–136 (a) hanya dua orang murid lelaki sahaja yang dipilih, only two boys are selected, [2 markah/marks] (b) bilangan murid lelaki melebihi bilangan murid perempuan. the number of boys is more than the number of girls. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 04_PT SPM Add Math F5_2023.indd 38 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
39 10 Sebuah pasukan bola tampar yang terdiri daripada enam orang murid akan dipilih daripada lapan orang murid Tingkatan 4 dan lima orang murid Tingkatan 5. Hitung bilangan cara pasukan itu boleh dibentuk jika pasukan itu mesti mengandungi TP 3 BT ms.135–136 A volleyball team that consists of six students is to be chosen from a group of eight Form 4 students and five Form 5 students. Calculate the number of ways in which the team can be formed if the team must contain (a) tepat empat orang murid Tingkatan 4, exactly four Form 4 students, [2 markah/marks] (b) tidak lebih daripada dua orang murid Tingkatan 5. not more than two Form 5 students. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 11 Sebuah pasukan audit yang terdiri daripada tujuh orang pekerja perlu dipilih daripada tujuh orang pekerja lelaki dan enam orang pekerja perempuan. Hitung bilangan pasukan audit yang boleh dibentuk jika An audit team of seven employees will be elected from seven male staff and six female staff. Calculate the number of audit teams that can be formed if TP 3 BT ms.135–136 (a) tiada syarat dikenakan, there are no conditions, [2 markah/marks] (b) pasukan itu mengandungi sekurang-kurangnya enam orang pekerja lelaki. it contains at least six male staff. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 04_PT SPM Add Math F5_2023.indd 39 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
40 12 Siti mempunyai enam tin cat warna yang berbeza. TP 3 BT ms.135–136 Siti has six tins of different paint colours. (a) Cari bilangan cara yang berbeza untuk menyusun tiga daripada tin itu dalam satu baris. Find the number of different ways to arrange three of the tins in a row. [2 markah/marks] (b) Siti menghasilkan suatu campuran warna dengan mencampurkan sekurang-kurangnya empat cat warna yang berbeza. Cari bilangan campuran warna berlainan yang boleh dihasilkan. Siti produces a mixture of colours by mixing at least four different paint colours. Find the number of different mixtures that can be made. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) ZON KBAT 1 Berapakah bilangan nombor ganjil berlainan yang lebih besar daripada 30 000 yang boleh dibentuk daripada digit-digit 1, 2, 3, 4 dan 5 dengan keadaan tiada digit yang berulang? How many different odd numbers that are greater than 30 000 can be formed from the digits 1, 2, 3, 4 and 5 without repeating any of the digits? TP 3 BT ms.129–130 KBAT Mengaplikasi Jawapan/Answer: 2 Cari bilangan cara nombor 4 digit yang boleh dibentuk daripada digit-digit 2, 3, 4, 5 dan 6 tanpa ulangan jika nombor itu mesti TP 3 BT ms.129–130 KBAT Mengaplikasi Find the number of ways to form 4-digit numbers from the digits 2, 3, 4, 5 and 6 without repetition if the numbers must be (a) kurang daripada 4 000,/ less than 4 000, (b) nombor-nombor genap. even numbers. Jawapan/Answer: (a) (b) 04_PT SPM Add Math F5_2023.indd 40 28/02/2023 2:18 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
41 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 5.2 Taburan Binomial Binomial Distribution 1 Rajah 1 menunjukkan graf taburan binomial bagi pemboleh ubah rawak diskret X. TP 2 BT ms.159 Diagram 1 shows a binomial distribution graph for the discrete random variable X. Cari/ Find (a) P(X 2), (b) nilai h. the value of h. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 Suatu pemboleh ubah rawak diskret X bertaburan binomial dengan min 6 dan sisihan piawai 2. Jika X~B(n, p), cari nilai TP 2 BT ms.162 A discrete random variable X has a binomial distribution with a mean of 6 and a standard deviation of 2. If X~B(n, p), find the value of (a) p, (b) n. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) P(X = r) 27 64 1 64 h 0 r 0 1 2 3 Rajah 1 / Diagram 1 Bidang Pembelajaran: Statistik Taburan Kebarangkalian Probability Distribution BAB 5 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 41 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
42 3 Dalam suatu tinjauan yang dijalankan di sebuah sekolah memandu, didapati bahawa 3 daripada 7 orang calon lulus ujian memandu. Jika 10 orang calon dipilih secara rawak dari sekolah memandu itu, cari kebarangkalian bahawa TP 4 BT ms.163–164 In a survey carried out in a driving school, it is found that 3 out of 7 candidates pass a driving test. If 10 candidates from the driving school are chosen at random, find the probability that (a) tiada calon yang lulus ujian itu, none of them pass the test, (b) kurang daripada 9 orang calon lulus ujian itu, less than 9 candidates pass the test, (c) at most 4 candidates pass the test. selebih-lebihnya 4 orang calon lulus ujian itu. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 4 Didapati bahawa 98% daripada murid di sebuah kelas menghadiri aktiviti kokurikulum. Satu sampel yang terdiri daripada n orang murid dipilih secara rawak dari kelas itu. Jika kebarangkalian bahawa semua murid menghadiri aktiviti kokurikulum ialah 0.6099, cari TP 4 BT ms.163–164 It is found that 98% of the students in a class attend co-curricular activities. A sample consists of n students is randomly selected from the class. If the probability that all students attend co-curricular activities is 0.6099, find (a) nilai n,/ the value of n, (b) min dan varians bagi bilangan murid yang menghadiri aktiviti kokurikulum. the mean and the variance of the number of students who attend co-curricular activities. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 42 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
43 5.3 Taburan Normal Normal Distribution 5 X ialah suatu pemboleh ubah rawak selanjar yang bertaburan normal dengan min 64 dan varians 9. Cari X is a continuous random variable that is normally distributed with a mean of 64 and a variance of 9. Find (a) skor-z jika X = 69, TP 2 BT ms.173 the z-score if X = 69, (b) P(60 X 69). TP 3 BT ms.174–175 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 6 Jisim betik di dalam sebuah bakul bertaburan normal dengan min 1.65 kg dan sisihan piawai 0.35 kg. Cari TP 4 BT ms.180–181 The masses of papayas in a basket are normally distributed with a mean of 1.65 kg and a standard deviation of 0.35 kg. Find (a) jisim betik apabila skor-z ialah –0.22, the mass of papaya when the z-score is –0.22, (b) peratusan buah betik yang jisimnya lebih daripada 1.6 kg. the percentage of papayas with masses more than 1.6 kg. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 43 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
44 7 Jisim murid di sebuah sekolah bertaburan normal dengan min 43 kg dan sisihan piawai 8 kg. Cari The masses of students in a school are normally distributed with a mean of 43 kg and a standard deviation of 8 kg. Find TP 4 BT ms.180–181 (a) jisim, dalam kg, seorang murid yang mempunyai skor-z bernilai 0.45, the mass, in kg, of a student whose z-score is 0.45, (b) peratusan murid yang mempunyai jisim lebih daripada 40 kg. the percentage of students whose masses are more than 40 kg. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 8 Jika Z ialah suatu pemboleh ubah rawak selanjar bagi taburan normal piawai N(0, 1), cari If Z is a continuous random variable of the standard normal distribution N(0,1), find TP 3 BT ms.174–175 (a) P(0.38 Z 1.65), (b) P(–1.30 Z –0.65). [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 44 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
45 9 Tinggi sekumpulan murid di sebuah sekolah mempunyai taburan normal dengan min 155 cm dan sisihan piawai 6 cm. Hitung kebarangkalian bahawa seorang murid yang dipilih secara rawak daripada kumpulan itu mempunyai tinggi TP 4 BT ms.180–181 The heights of a group of students in a school have a normal distribution with a mean of 155 cm and a standard deviation of 6 cm. Calculate the probability that a student chosen at random from the group has a height of (a) melebihi 162 cm, more than 162 cm, (b) antara 145 cm dengan 167 cm. between 145 cm and 167 cm. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 10 Rajah 2 menunjukkan graf taburan normal piawai bagi suatu pemboleh ubah rawak selanjar X dengan min μ dan sisihan piawai 7. Diagram 2 shows a standard normal distribution graph of a continuous random variable X with a mean μ and a standard deviation of 7. (a) Nyatakan nilai μ. TP 2 BT ms.168 State the value of μ. (b) Jika skor-z bagi k ialah 1.8, cari nilai k. TP 2 BT ms.172 If the z-score for k is 1.8, find the value of k. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) f(x) 54 60 k x Rajah 2 / Diagram 2 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 45 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
46 Bahagian B / Section B 5.3 Taburan Normal Normal Distribution 11 (a) Rajah 3 menunjukkan graf taburan normal piawai bagi pemboleh ubah rawak selanjar X. Diagram 3 shows a standard normal distribution graph for a continuous random variable X. f(x) 0 x 3 7 Rajah 3 / Diagram 3 Diberi min ialah 6 dan sisihan piawai ialah 3, cari luas bagi kawasan berlorek. TP 2 BT ms.178 Given the mean is 6 and the standard deviation is 3, find the area of the shaded region. [4 markah/marks] (b) Rajah 4 menunjukkan graf taburan normal piawai. Diagram 4 shows a standard normal distribution graph. –m 0 z f(z) Rajah 4 / Diagram 4 Jika P(–m Z 0) = 0.3336, cari P(Z –m). TP 2 BT ms.178 If P(–m Z 0) = 0.3336, find P(Z –m). [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 46 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
47 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 Satu kajian yang dijalankan terhadap murid Tingkatan 1 di sebuah sekolah mendapati bahawa kebarangkalian seorang murid menjadi ahli persatuan kadet polis ialah 0.25. TP 4 BT ms.163 A survey conducted on Form 1 students in a school found that the probability of a student being a member of the police cadet society is 0.25. (a) Jika 8 orang murid Tingkatan 1 dipilih secara rawak dari sekolah itu, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 5 orang murid ialah ahli persatuan kadet polis. If 8 Form 1 students are randomly selected from the school, find the probability that at least 5 students are the members of the police cadet society. [3 markah/marks] (b) Bilangan murid Tingkatan 1 ialah 450 orang. Cari min dan sisihan piawai murid yang menjadi ahli persatuan kadet polis. The number of Form 1 students is 450. Find the mean and the standard deviation of the students who are the members of the police cadet society. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bahagian B / Section B 2 (a) Rajah 1 menunjukkan graf taburan normal piawai dengan min μ dan sisihan piawai σ. TP 2 BT ms.178 Diagram 1 shows a standard normal distribution graph with a mean μ and a standard deviation σ. f(z) z –2.1σ 0 σ Rajah 1 / Diagram 1 (i) Cari nilai μ dan nilai σ. Find the value of μ and of σ. (ii) Hitung luas kawasan berlorek. Calculate the area of the shaded region. [4 markah/marks] 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 47 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
48 (b) Dalam satu tinjauan yang dijalankan di sebuah sekolah, didapati bahawa 1 daripada 3 orang murid Tingkatan 5 mendapat gred A dalam Peperiksaan Percubaan Matematik Tambahan. In a survey conducted in a school, it is found that 1 out of 3 Form 5 students obtains grade A in an Additional Mathematics Trial Examination. TP 4 BT ms.163–164 (i) Satu sampel yang terdiri daripada 8 orang murid dipilih secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya seorang daripada mereka mendapat gred A dalam peperiksaan itu. A sample consists of 8 students is picked at random. Find the probability that at least one of them obtained grade A in the examination. (ii) Diberi varians ialah 52, cari bilangan murid Tingkatan 5 di sekolah itu. Given that the variance is 52, find the number of Form 5 students in the school. [6 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 48 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.