49 3 (a) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar yang bertaburan normal dengan min 44 dan sisihan piawai 10. Cari X is a continuous random variable that is normally distributed with a mean of 44 and a standard deviation of 10. Find (i) skor-z apabila X = 56.4, TP 2 BT ms.174–175 the z-score when X = 56.4, (ii) nilai k apabila P(Z k) = 0.9107. TP 2 BT ms.176–177 the value of k when P(Z k) = 0.9107. [4 markah/marks] (b) Analisis menunjukkan kebarangkalian murid dari kelas 5 Akasia lulus dalam ujian Matematik Tambahan ialah 0.83. Jika kelas itu mempunyai 23 orang murid lelaki dan 17 orang murid perempuan, cari nilai TP 2 BT ms.162 The analysis shows that the probability of the students from class 5 Akasia passes in an Additional Mathematics test is 0.83. If the class has 23 boys and 17 girls, find the value of (i) min/ the mean, (ii) varians/ the variance, (iii) sisihan piawai/ the standard deviation. [6 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) (iii) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 49 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
50 4 (a) Dalam satu tinjauan yang dijalankan di sebuah sekolah, didapati bahawa 30% daripada murid di sekolah itu menggunakan Internet semasa mengulang kaji. TP 4 BT ms.163–164 In a survey conducted in a school, it is found that 30% of the students in the school use the Internet during their revisions. (i) Satu sampel yang terdiri daripada 10 orang murid dipilih secara rawak dari sekolah itu. Hitung kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 3 orang murid menggunakan Internet semasa mengulang kaji. A sample consists of 10 students is randomly selected from the school. Calculate the probability that at least 3 students use the Internet during their revisions. (ii) Jika varians murid yang menggunakan Internet semasa mengulang kaji ialah 189, cari bilangan murid di sekolah itu. If the variance of the students who use the Internet during their revisions is 189, find the number of students in the school. [6 markah/marks] (b) Jisim bijirin yang diisikan ke dalam kotak oleh sebuah mesin adalah bertaburan normal. Diberi 8.53% daripada kotak tersebut berjisim lebih daripada 62.2 kg dan 2.81% daripada kotak tersebut berjisim kurang daripada 41.3 kg. Cari min dan sisihan piawai bagi taburan itu. TP 4 BT ms.180–181 The masses of cereals filled into the boxes by a machine are normally distributed. It is given that 8.53% of the boxes have masses more than 62.2 kg and 2.81% of the boxes have masses less than 41.3 kg. Find the mean and the standard deviation of the distribution. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 50 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
51 5 (a) Dalam satu bancian yang dijalankan di sebuah bandar, didapati bahawa 18% daripada penduduk ialah warga emas. TP 4 BT ms.163–164 In a census conducted in a town, it is found that 18% of the population are senior citizens. (i) Jika satu sampel yang terdiri daripada 8 orang penduduk dipilih secara rawak dari bandar itu, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya dua orang penduduk ialah warga emas. If a sample consists of 8 people is randomly chosen from the town, find the probability that at least two of them are senior citizens. (ii) Jika varians bagi bilangan warga emas ialah 130, berapakah bilangan penduduk di bandar itu? If the variance of the number of senior citizens is 130, what is the number of population in the town? [5 markah/marks] (b) Jisim pekerja di sebuah kilang bertaburan normal dengan min 66.56 kg dan varians 43.56 kg2 . Jika 180 orang pekerja berjisim antara 50 kg dengan 70 kg, cari bilangan pekerja di kilang itu. The masses of the workers in a factory are normally distributed with a mean of 66.56 kg and a variance of 43.56 kg2 . If 180 workers have masses between 50 kg and 70 kg, find the number of workers in the factory. TP 4 BT ms.180–181 [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 51 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
52 ZON KBAT 1 Didapati bahawa 70% daripada calon lulus dalam satu ujian Matematik. TP 4 BT ms.163–164 It is found that 70% of the candidates passed a Mathematics test. (a) Jika satu sampel yang terdiri daripada 8 orang calon dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa 50% daripada mereka lulus ujian itu. If a sample consists of 8 candidates is chosen at random, find the probability that 50% of them passed the test. (b) Cari bilangan minimum calon yang mesti dipilih supaya kebarangkalian bahawa sekurangkurangnya seorang calon lulus ujian itu melebihi 0.90. KBAT Mengaplikasi Find the minimum number of candidates that must be chosen so that the probability that at least one candidate passed the test is more than 0.90. Jawapan/Answer: (a) (b) 2 Dalam satu latihan menembak, kebarangkalian tembakan Amir mengena sasaran ialah p. In a shooting practice, the probability that Amir’s shots hitting the target is p. TP 4 BT ms.163–164 (a) Cari nilai p dan bilangan percubaan supaya min dan varians tembakan yang mengena sasaran masing-masing ialah 12 dan 4. KBAT Mengaplikasi Find the value of p and the number of trials so that the mean and the variance the shots hitting the target are 12 and 4 respectively. (b) Jika Amir melakukan 6 tembakan, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu tembakan mengena sasaran. If Amir has taken 6 shots, find the probability that at least one shot hit the target. Jawapan/Answer: (a) (b) 05_PT SPM Add Math F5_2023.indd 52 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
53 Kertas 1 / Paper 1 Bahagian A / Section A 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut Trigonometric Ratios of Any Angle 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda Addition Formulae and Double Angle Formulae 1 Diberi sin q = k, dengan keadaan k ialah pemalar dan 90° q 180°. Cari dalam sebutan k Given sin q = k, where k is a constant and 90° q 180°. Find in terms of k (a) kosek q/ cosec q, TP 3 BT ms.193–194 (b) sin 2q. TP 3 BT ms.218 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 Diberi bahawa sin A = 5 13 dan kos B = 4 5 , dengan keadaan A ialah sudut cakah dan B ialah sudut tirus. It is given that sin A = 5 13 and cos B = 4 5 , where A is an obtuse angle and B is an acute angle. Cari/ Find (a) kot A/cot A, TP 3 BT ms.193–194 (b) kos (A + B)/ cos (A + B). TP 3 BT ms.217 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Bidang Pembelajaran: Trigonometri Fungsi Trigonometri Trigonometric Functions BAB 6 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 53 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
54 3 Diberi tan A = 3 4 dan tan B = 7 24, dengan keadaan A ialah sudut tirus dan B ialah sudut refleks. Given tan A = 3 4 and tan B = 7 24, where A is an acute angle and B is a reflex angle. Cari/ Find (a) kos A/ cos A, TP 3 BT ms.193–194 (b) sin (A − B). TP 3 BT ms.217 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 4 Diberi sin q = m, dengan keadaan m ialah pemalar dan 0° q 90°. Cari dalam sebutan m Given sin q = m, where m is a constant and 0° q 90°. Find in terms of m (a) tan q, TP 3 BT ms.193–194 (b) sin 2q. TP 3 BT ms.218 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 54 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
55 5 Diberi kos A = – 12 13 dan tan B = 3 4 , dengan keadaan A ialah sudut cakah dan B ialah sudut tirus. Given cos A = – 12 13 and tan B = 3 4 , where A is an obtuse angle and B is an acute angle. Cari/ Find (a) tan A, TP 3 BT ms.193–194 (b) kos (A − B)/ cos (A – B). TP 3 BT ms.217 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 6.4 Indentiti Asas Basic Identities 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri Application of Trigonometric Functions 6 (a) Diberi kos q = m, cari tan2 q./ Given cos q = m, find tan2q. TP 3 BT ms.212 [2 markah/marks] (b) Selesaikan kot x + 2 sek x = 0 untuk 0° x 360°. TP 3 BT ms.222–224 Solve cot x + 2 sec x = 0 for 0° x 360°. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 55 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
56 Bahagian B / Section B 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri Application of Trigonometric Functions 7 (a) Selesaikan persamaan 3 sin x sek x – kos x = 0 untuk 0° x 360°. TP 3 BT ms.222–224 Solve the equation 3 sin x sec x – cos x = 0 for 0° x 360°. [4 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan 15 – sin q – 4 sin 30° = 15 kos2 q untuk 0° q 360°. TP 3 BT ms.222–224 Solve the equation 15 – sin q – 4 sin 30° = 15 cos2 q for 0° q 360°. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 8 (a) Selesaikan 3 kos 2x = 8 sin x – 5 untuk 0° x 360°. TP 3 BT ms.222–224 Solve the equation 3 cos 2x = 8 sin x – 5 for 0° x 360°. [4 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan 1 tan x + 2 kos x = 0 untuk 0° x 360°. TP 3 BT ms.222–224 Solve the equation 1 tan x + 2 cos x = 0 for 0° x 360°. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 56 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
57 9 (a) Selesaikan persamaan 2 tan x kos x − 1 kot x = 0 untuk 0° x 360°. TP 3 BT ms.222–224 Solve the equation 2 tan x cos x − 1 cot x = 0 for 0° x 360°. [4 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan 2 tan2 α − 5 tan α + 2 = 0 untuk 0° x 360°. TP 3 BT ms.222–224 Solve the equation 2 tan2 α − 5 tan α + 2 = 0 for 0° x 360°. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Kertas 2 / Paper 2 Bahagian A / Section A 1 (a) Buktikan bahawa kosek2 x – 2 sin2 x – kot2 x = kos 2x. TP 3 BT ms.212, 218 Prove that cosec2 x – 2 sin2 x – cot2 x = cos 2x. [2 markah/marks] (b) (i) Lakar graf bagi y = kos 2x untuk 0 x 2p. TP 3 BT ms.204–207 Sketch the graph of y = cos 2x for 0 x 2p. (ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 3(kosek2 x – 2 sin2 x – kot2 x) = x p – 1 untuk 0 x 2p. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. TP 3 BT ms.208–209 Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 3(cosec2 x – 2 sin2 x – cot 2 x) = x p – 1 for 0 x 2p. State the number of solutions. [6 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 57 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
58 2 (a) Lakar graf bagi y = –2 kos x untuk 0 x 2p. TP 3 BT ms.204–207 Sketch the graph of y = –2 cos x for 0 x 2p. [3 markah/marks] (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu graf yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan p x + 2 kos x = 0 untuk 0 x 2p. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. Hence, on the same axes, draw a suitable graph to find the number of solutions for the equation p x + 2 cos x = 0 for 0 x 2p. State the number of solutions. TP 3 BT ms.208–209 [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 3 (a) Lakar graf bagi y = |3 kos 2x | untuk 0 x 2p. TP 3 BT ms.204–207 Sketch the graph of y = |3 cos 2x | for 0 x 2p. [3 markah/marks] (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 – |3 kos 2x | = x 2p untuk 0 x 2p. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. TP 3 BT ms.208–209 Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 2 – |3 cos 2x | = x 2p for 0 x 2p. State the number of solutions. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 58 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
59 4 (a) Lakar graf bagi y = 3 2 kos 2x untuk 0 x 3p 2 . TP 3 BT ms.204–207 Sketch the graph of y = 3 2 cos 2x for 0 x 3p 2 . [3 markah/marks] (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4x 3p – kos 2x = 3 2 untuk 0 x 3p 2 . Nyatakan bilangan penyelesaian itu. TP 3 BT ms.208–209 Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 4x 3p – cos 2x = 3 2 for 0 x 3p 2 . State the number of solutions. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 (a) Lakar graf bagi y = 1 + 3 kos x untuk 0 x 2p. TP 3 BT ms.204–207 Sketch the graph of y = 1 + 3 cos x for 0 x 2p. [3 markah/marks] (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 6π kos x = 4π – 3x untuk 0 x 2p. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. TP 3 BT ms.208–209 Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 6π cos x = 4π – 3x for 0 x 2π. State the number of solutions. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 59 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
60 6 (a) Lakar graf bagi y = –3 sin 3x 2 untuk 0 x 2p. TP 3 BT ms.204–207 Sketch the graph of y = –3 sin 3x 2 for 0 x 2p. [3 markah/marks] (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu graf yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan p x + 3 sin 3x 2 = 0 untuk 0 x 2p. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. TP 3 BT ms.208–209 Hence, on the same axes, draw a suitable graph to find the number of solutions for the equation p x + 3 sin 3x 2 = 0 for 0 x 2p. State the number of solutions. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 7 (a) Buktikan bahawa sin2 q 1 – kos q = 1 + kos q. TP 3 BT ms.213 Prove that sin2 q 1 – cos q = 1 + cos q. [3 markah/marks] (b) Seterusnya, selesaikan persamaan sin2 q 1 – kos q = 3 2 untuk 0° x 360°. TP 3 BT ms.222–223 Hence, solve the equation sin2 q 1 – cos q = 3 2 for 0° x 360°. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 60 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
61 8 (a) Buktikan bahawa sin 2x = kot x(1 – kos 2x). TP 3 BT ms.218 Prove that sin 2x = cot x(1 – cos 2x). [2 markah/marks] (b) (i) Lakar graf bagi y = –sin 2x untuk 0 x 2p. TP 3 BT ms.204–207 Sketch the graph of y = –sin 2x for 0 x 2p. (ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 kot x(1 – kos 2x) = x p – 1 untuk 0 x 2p. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. TP 3 BT ms.208–209 Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 2 cot x(1 – cos 2x) = x p – 1 for 0 x 2p. State the number of solutions. [6 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (i) (ii) ZON KBAT 1 Diberi sin m kos n = r dan kos m sin n = 1 r . Cari nilai sin (m + n) sin (m – n) dalam sebutan r. Given sin m cos n = r and cos m sin n = 1 r . Find the value of sin (m + n) sin (m – n) in terms of r. TP 3 BT ms.216 KBAT Mengaplikasi Jawapan/Answer: 2 Buktikan bahawa 2 kos (p + 45°) kos (p – 45°) = kos 2p. TP 3 BT ms.216 KBAT Mengaplikasi Prove that 2 cos (p + 45°) cos (p – 45°) = cos 2p. Jawapan/Answer: 06_PT SPM Add Math F5_2023.indd 61 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
62 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian C / Section C 1 Seorang tukang kebun ingin menanam pokok bunga ros merah dan pokok bunga ros putih di sebidang tanah berkeluasan 400 m2 . Dia mempunyai peruntukan sekurang-kurangnya RM1 200 untuk membeli anak pokok tersebut. Harga bagi sepohon pokok bunga ros merah ialah RM5 dan keluasan tanah yang diperlukan ialah 0.4 m2 , manakala harga bagi sepohon pokok bunga ros putih ialah RM6 dan keluasan tanah yang diperlukan ialah 0.5 m2 . Bilangan pokok bunga ros putih yang ditanam mesti melebihi bilangan pokok bunga ros merah selebih-lebihnya 150 pohon. Tukang kebun tersebut menanam x pohon pokok bunga ros merah dan y pohon pokok bunga ros putih. TP 4 BT ms.240–243 A gardener wishes to plant red roses and white roses on a piece of land with an area of 400 m2 . He has an allocation at least RM1 200 to buy the sapling of the plants. The price of a red rose plant is RM5 and it needs a space of 0.4 m2 of land, while the price of a white rose plant is RM6 and it needs a space of 0.5 m2 of land. The number of white rose plants that has to be planted must exceed the number of red rose plants by at most 150. The gardener plants x red rose plants and y white rose plants. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x 0 and y 0, that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 200 pohon pokok bunga pada paksi-x dan 2 cm kepada 100 pohon pokok bunga pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 200 flower plants on the x-axis and 2 cm to 100 flower plants on the y-axis, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Berdasarkan graf yang dibina di (b), jawab setiap soalan yang berikut. Based on the graph constructed in (b), answer each of the following questions. (i) Cari bilangan maksimum pokok bunga ros putih jika bilangan pokok bunga ros merah ialah 300. Find the maximum number of white rose plants if the number of red rose plants is 300. (ii) Dalam suatu tempoh tertentu, pokok bunga ros merah dan pokok bunga ros putih masingmasing memberikan keuntungan sebanyak RM4.50 dan RM4.00. Cari keuntungan maksimum yang diperoleh tukang kebun tersebut. In a certain period, a red rose plant and a white rose plant yields a profit of RM4.50 and RM4.00 respectively. Find the maximum profit earned by the gardener. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Rujuk graf di halaman 63 / Refer to the graph on page 63. Pakej Elektif: Aplikasi Sains Sosial Pengaturcaraan Linear Linear Programming BAB 7 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 62 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
63 Graf untuk Soalan 1 (b) Graph for Question 1 (b) 2 cm 2 cm (c) (i) (ii) 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 63 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
64 2 Puan Aida memperuntukkan RM2 500 untuk membeli x buah buku rujukan Fizik dan y buah buku rujukan Biologi untuk perpustakaan sekolah. Harga bagi sebuah buku rujukan Fizik dan sebuah buku rujukan Biologi masing-masing ialah RM25 dan RM20. Bilangan buku rujukan Fizik yang dibeli mestilah sekurang-kurangnya 20 buah dan bilangan buku rujukan Biologi yang dibeli mestilah sekurangkurangnya 10 buah lebih daripada buku rujukan Fizik. TP 4 BT ms.240–243 Puan Aida allocates RM2 500 to buy x copies of Physics reference book and y copies of Biology reference book for the school library. The price of a Physics reference book and a Biology reference book are RM25 and RM20 respectively. The number of Physics reference books bought must be at least 20 copies and the number of Biology reference books bought must be at least 10 copies more than the Physics reference books. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x 0 and y 0, that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 20 buah buku pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 20 books on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), find (i) bilangan maksimum buku rujukan Biologi yang dibeli, the maximum number of Biology reference books bought, (ii) kos minimum untuk membeli buku-buku itu. the minimum cost to buy the books. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Rujuk graf di halaman 65 / Refer to the graph on page 65. (c) (i) (ii) 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 64 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
65 Graf untuk Soalan 2 (b) Graph for Question 2 (b) 2 cm 2 cm 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 65 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
66 3 Sebuah kolej menawarkan dua kursus, iaitu Statistik dan Pengurusan Perniagaan. Bilangan pelajar bagi kursus Statistik ialah x orang dan bilangan pelajar bagi kursus Pengurusan Perniagaan ialah y orang. Pengambilan pelajar adalah berdasarkan kekangan berikut: TP 4 BT ms.240–243 A college offers two courses, Statistics and Business Management. The number of students in the Statistics course is x and the number of students in the Business Management course is y. The enrolment of the students is based on the following constraints: I Jumlah bilangan pelajar tidak melebihi 80 orang. The total number of students is not more than 80. II Bilangan pelajar bagi kursus Pengurusan Perniagaan tidak melebihi tiga kali bilangan pelajar bagi kursus Statistik. The number of students in the Business Management course is not more than three times the number of students in the Statistics course. III Bilangan pelajar bagi kursus Pengurusan Perniagaan mesti melebihi bilangan pelajar bagi kursus Statistik sekurang-kurangnya 10 orang. The number of students in the Business Management course must exceed the number of students in the Statistics course by at least 10. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x 0 and y 0, that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang pelajar pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 10 students on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), find (i) julat bilangan pelajar bagi kursus Pengurusan Perniagaan jika bilangan pelajar bagi kursus Statistik ialah 20 orang, the range of the number of students in the Business Management course if the number of students in the Statistics course is 20, (ii) jumlah yuran maksimum pada setiap semester yang boleh dikutip oleh kolej itu jika yuran bagi satu semester untuk kursus Statistik dan Pengurusan Perniagaan masing-masing ialah RM700 dan RM800. the maximum total fees in each semester that can be collected by the college if the fees per semester for Statistics course and Business Management course are RM700 and RM800 respectively. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Rujuk graf di halaman 67 / Refer to the graph on page 67. (c) (i) (ii) 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 66 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
67 Graf untuk Soalan 3 (b) Graph for Question 3 (b) 2 cm 2 cm 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 67 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
68 4 Diberi bahawa x dan y masing-masing mewakili bilangan murid Tingkatan Satu dan bilangan murid Tingkatan Tiga yang akan dipilih untuk menyertai lawatan sambil belajar ke sebuah muzium. Pemilihan murid adalah berdasarkan kekangan yang berikut: TP 4 BT ms.240–243 It is given that x and y represent the number of Form One students and the number of Form Three students respectively who will be chosen to participate a study trip to a museum. The selection of the students is based on the following constraints: I Bilangan murid Tingkatan Tiga selebih-lebihnya 150 orang lebih daripada bilangan murid Tingkatan Satu. The number of Form Three students is at most 150 more than the number of Form One students. II Bilangan murid Tingkatan Tiga sekurang-kurangnya 2 3 daripada bilangan murid Tingkatan Satu. The number of Form Three students is at least 2 3 of the number of Form One students. III Jumlah bilangan murid tidak melebihi 400 orang. The total number of students does not exceed 400. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x 0 and y 0, that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 50 orang murid pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 50 students on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Berdasarkan graf yang dibina di (b), jawab setiap soalan yang berikut. Based on the graph constructed in (b), answer each of the following questions. (i) Jika setiap murid Tingkatan Satu dan Tingkatan Tiga masing-masing perlu membayar yuran sebanyak RM20 dan RM30, cari jumlah kutipan yuran maksimum yang dikutip oleh sekolah. If each Form One student and Form Three student has to pay fee RM20 and RM30 respectively, find the total maximum fees collected by the school. (ii) Cari bilangan minimum dan maksimum murid Tingkatan Tiga jika sekolah itu menetapkan untuk memilih hanya 150 orang murid Tingkatan Satu. Find the minimum and maximum number of Form Three students if the school decides to select only 150 Form One students. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Rujuk graf di halaman 69 / Refer to the graph on page 69. (c) (i) (ii) 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 68 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
69 Graf untuk Soalan 4 (b) Graph for Question 4 (b) 2 cm 2 cm 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 69 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
70 5 Pak ayub ingin menanam x batang pokok rambutan dan y batang pokok durian di kebunnya. Bilangan tanaman itu adalah berdasarkan kekangan berikut: TP 4 BT ms.240–243 Pak Ayub wants to plant x rambutan trees and y durian trees in his orchard. The number of plants is based on the following constraints: I Jumlah bilangan pokok tidak melebihi 70 batang. The total number of trees does not exceed 70. II Bilangan pokok rambutan tidak melebihi dua kali bilangan pokok durian. The number of rambutan trees does not exceed twice the number of durians trees. III Bilangan pokok durian mesti melebihi bilangan pokok rambutan selebih-lebihnya 40 batang. The number of durian trees must exceed the number of rambutan trees by at most 40. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x 0 and y 0, that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 batang pokok pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 10 trees on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), find (i) bilangan minimum pokok rambutan yang boleh ditanam jika bilangan pokok durian ialah 50 batang, the minimum number of rambutan trees that can be planted if the number of durian trees is 50, (ii) jumlah kos maksimum bagi penanaman pokok jika harga anak benih bagi sebatang pokok rambutan dan durian masing-masing ialah RM3 dan RM5. the maximum total cost for the tree planting if the price of seedlings for a rambutan tree and a durian tree are RM3 and RM5 respectively. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Rujuk graf di halaman 71 / Refer to the graph on page 71. (c) (i) (ii) 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 70 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
71 Graf untuk Soalan 5 (b) Graph for Question 5 (b) 2 cm 2 cm 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 71 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
72 6 Sebuah kilang menghasilkan dua jenis kerusi, P dan Q. Masa yang diambil untuk menghasilkan sebuah kerusi P ialah 40 jam dan kos bahan yang digunakan ialah RM300, manakala masa yang diambil untuk menghasilkan sebuah kerusi Q ialah 40 jam dan kos bahan yang digunakan ialah RM600. Dalam seminggu, kilang itu dapat menghasilkan x buah kerusi P dan y buah kerusi Q berdasarkan kekangan berikut: TP 4 BT ms.240–243 A factory produces two types of chairs, P and Q. The time taken to produce one unit of chair P is 40 hours and the material cost is RM300, meanwhile the time taken to produce one unit of chair Q is 40 hours and the material cost is RM600. In a week, the factory can produce x units of chair P and y units of chair Q based on the following constraints: I Jumlah pekerja ialah 20 orang dan setiap pekerja bekerja tidak melebihi 22 jam seminggu. Total number of workers is 20 and each worker can only work not more than 22 hours per week. II Jumlah kos bahan tidak melebihi RM4 200. The total material cost is not more than RM4 200. III Kilang itu mesti menghasilkan sekurang-kurangnya 4 buah kerusi P dalam seminggu. The factory must produce at least 4 units of chair P in a week. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x > 0 dan y > 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x > 0 and y > 0, that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 buah kerusi pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 2 units of chairs on both axes, construct and shade the region R that satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang diperoleh di (b), cari Based on the graph obtained in (b), find (i) bilangan maksimum kerusi Q yang dihasilkan dalam seminggu, the maximum number of chair Q produced in a week, (ii) jumlah keuntungan maksimum yang diperoleh dalam seminggu jika keuntungan bagi sebuah kerusi P dan kerusi Q masing-masing ialah RM300 dan RM500. the total maximum profit obtained in a week if the profits from one unit of chair P and chair Q are RM300 and RM500 respectively. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) Rujuk graf di halaman 73 / Refer to the graph on page 73. (c) (i) (ii) 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 72 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
73 Graf untuk Soalan 6 (b) Graph for Question 6 (b) 2 cm 2 cm 07_PT SPM Add Math F5_2023.indd 73 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
74 Kertas 2 / Paper 2 Bahagian C / Section C 1 Rajah 1 menunjukkan kedudukan dan arah gerakan dua objek, A dan B yang bergerak di sepanjang satu garis lurus, masingmasing melalui dua titik tetap, P dan Q. Pada ketika objek A melalui titik tetap P, objek B melalui titik tetap Q. Jarak PQ ialah 30 m. Diagram 1 shows the position and the direction of motion of two objects, A and B that move along a straight line, each passing two fixed points, P and Q simultaneously. The distance of PQ is 30 m. Halaju objek A, vA m s–1, pada masa t saat selepas melalui titik tetap P diberi oleh vA = 6 + 4t – 2t 2 , manakala objek B bergerak dengan halaju malar –3 m s–1. Objek A berhenti seketika di titik R. The velocity of object A, vA m s–1, t seconds after passing through the fixed point P is given by vA = 6 + 4t – 2t 2 , while object B travels with a constant velocity of –3 m s–1. The object A stops instantaneously at point R. [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate TP 4 BT ms.272–273 (a) halaju maksimum, dalam m s–1, bagi objek A, the maximum velocity, in m s–1, of object A, [3 markah/marks] (b) jarak, dalam m, di antara titik P dengan titik R, the distance, in m, between point P and point R, [4 markah/marks] (c) jarak, dalam m, di antara objek A dengan objek B apabila objek A berada di titik R. the distance, in m, between object A and object B when object A is at point R. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) P R Q 30 m A B Rajah 1 / Diagram 1 Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi Kinematik Gerakan Linear Kinematics of Linear Motion BAB 8 08_PT SPM Add Math F5_2023.indd 74 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
75 2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju, v m s–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui titik tetap O diberi oleh v = 5t 2 – 13t – 6. Zarah itu berhenti seketika di titik K. TP 4 BT ms.272–273 A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its velocity, v m s–1, t seconds after passing through the fixed point O is given by v = 5t 2 – 13t – 6. The particle stops instantaneously at point K. [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate (a) pecutan, dalam m s–2, zarah itu di titik K, the acceleration, in m s–2, of the particle at point K, [3 markah/marks] (b) halaju minimum, dalam m s–1, zarah itu, the minimum velocity, in m s–1, of the particle, [3 markah/marks] (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 3 saat yang pertama selepas melalui O. the total distance, in m, travelled by the particle in the first 3 seconds after passing through O. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, v cm s–1, diberi oleh v = 15 + 4t – 3t 2 , dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. TP 4 BT ms.272–273 A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its velocity, v cm s–1, is given by v = 15 + 4t – 3t 2 , where t is the time in seconds after passing through O. [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate (a) halaju awal, dalam cm s–1, zarah itu, the initial velocity, in cm s–1, of the particle, [1 markah/mark] (b) pecutan awal, dalam cm s–2, zarah itu, the initial acceleration, in cm s–2, of the particle, [2 markah/marks] (c) halaju maksimum, dalam cm s–1, zarah itu, the maximum velocity, in cm s–1, of the particle, [3 markah/marks] (d) sesaran, dalam m, apabila zarah itu berhenti seketika. the displacement, in m, when the particle stops instantaneously. [4 markah/marks] 08_PT SPM Add Math F5_2023.indd 75 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
76 Jawapan/Answer: (a) (b) (c) (d) 4 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju awal –8 m s–1. Pecutannya, a m s–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 6 – 2t. A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O with an initial velocity of –8 m s–1. Its acceleration, a m s–2, at t seconds after passing through O is given by a = 6 – 2t. [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate TP 4 BT ms.272–273 (a) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu, the maximum velocity, in m s–1, of the particle, [3 markah/marks] (b) julat masa, dalam saat, apabila halajunya positif, the range of time, in seconds, when the velocity is positive, [3 markah/marks] (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 4 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the particle in the first 4 seconds. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 08_PT SPM Add Math F5_2023.indd 76 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
77 5 Suatu zarah bergerak dari satu titik tetap O pada satu garis lurus dengan halaju awal 4 m s–1. Pecutannya, a m s–2, diberi oleh a = 2 – 4t, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. A particle moves from a fixed point O on a straight line with an initial velocity of 4 m s–1. Its acceleration, a m s–2, is given by a = 2 – 4t, where t is the time in seconds after passing through O. [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate TP 4 BT ms.272–273 (a) nilai t, dalam saat, apabila pecutan sifar, the value of t, in seconds, when the acceleration is zero, [1 markah/mark] (b) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu, the maximum velocity, in m s–1, of the particle, [3 markah/marks] (c) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat untuk seketika, the value of t, in seconds, when the particle is instantaneously at rest, [2 markah/marks] (d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the particle in the first 5 seconds. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) (d) 6 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju, v m s–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = t 2 – 9t + 18. TP 4 BT ms.272–273 A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. The velocity, v m s–1, of the particle at t seconds after passing through O is given by v = t 2 – 9t + 18. [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] (a) Hitung/ Calculate (i) halaju awal, dalam m s–1, zarah itu, the initial velocity, in m s–1, of the particle, [1 markah/mark] (ii) sesaran maksimum, dalam m, zarah itu, the maximum displacement, in m, of the particle, [3 markah/marks] 08_PT SPM Add Math F5_2023.indd 77 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
78 (b) Jika zarah itu berhenti seketika di titik A dan titik B, cari jarak, dalam m, di antara titik A dengan titik B. If the particle stops instantaneously at point A and point B, find the distance, in m, between point A and point B. [2 markah/marks] (c) Lakar graf halaju-masa bagi gerakan zarah itu untuk 0 t 6. Seterusnya, cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 6 saat yang pertama. Sketch a velocity-time graph for the motion of the particle for 0 t 6. Hence, find the total distance, in m, travelled by the particle in the first 6 seconds. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) (c) 7 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesarannya, s m, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 6t – t 2 . A particle moves along a straight line from a fixed point O. Its displacement, s m, at t seconds after passing through O is given by s = 6t – t2 . [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate TP 4 BT ms.272–273 (a) halaju awal, dalam m s–1, zarah itu, the initial velocity, in m s–1, of the particle, [3 markah/marks] (b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, the range of time, in seconds, when the particle moves to the left, [4 markah/marks] (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 4 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the particle in the first 4 seconds. [3 markah/marks] 08_PT SPM Add Math F5_2023.indd 78 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
79 Jawapan/Answer: (a) (b) (c) ZON KBAT 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 4t 2 – 1 3 t 3 . A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its displacement, s m, at t seconds after passing through O is given by s = 4t 2 – 1 3 t 3 . [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate TP 4 BT ms.272–273 (a) sesaran, dalam m, zarah itu dari O apabila zarah berhenti untuk seketika, the displacement, in m, of the particle from O when it is instantaneously at rest, (b) halaju, dalam m s–1, apabila zarah itu melalui titik tetap O sekali lagi, the velocity, in m s–1, when the particle passes through the fixed point O again, (c) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak dengan halaju seragam. KBAT Menilai the value of t, in seconds, when the particle is moving with uniform velocity. Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 08_PT SPM Add Math F5_2023.indd 79 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
80 2 Suatu objek bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutan, a m s−2, objek itu selepas melalui O diberi oleh a = 2t + 1. Halaju objek itu ialah 5 m s−1 apabila t = 1. An object moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its acceleration, a m s–2, at t seconds after passing through O is given by a = 2t + 1. The velocity of the object is 5 m s−1 when t = 1. [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Hitung/ Calculate TP 4 BT ms.272–273 (a) halaju seketika, dalam m s–1, objek itu apabila t = 5, the instantaneous velocity, in m s–1, of the object when t = 5, (b) sesaran seketika, dalam m, objek itu apabila t = 5, KBAT Menilai the instantaneous displacement, in m, of the object when t = 5, Jawapan/Answer: (a) (b) 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui titik tetap O. Halajunya, v m s–1, diberi oleh v = mt2 + nt – 6, dengan keadaan m dan n ialah pemalar dan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Diberi bahawa zarah itu berhenti seketika apabila t = 2 dan pecutannya ialah 2 m s–2 apabila t = 1 2 . A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its velocity, v m s–1, is given by v = mt2 + nt – 6, where m and n are constants and t is the time, in seconds, after passing through O. It is given that the particle stops instantaneously when t = 2 and its acceleration is 2 m s–2 when t = 1 2 . [Anggapkan gerakan ke arah kanan adalah positif.] [Assume the movement to the right is positive.] Cari/ Find TP 4 BT ms.272–273 (a) nilai m dan nilai n, KBAT Mengaplikasi the value of m and of n, (b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan, the range of values of time, in seconds, when the particle moves to the right, (c) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu pada saat kelima. the distance, in m, travelled by the particle during the fifth second. Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 08_PT SPM Add Math F5_2023.indd 80 28/02/2023 2:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
81 Kertas 1 / Paper 1 [80 markah/marks] Masa: 2 jam/ Time: 2 hours Bahagian A / Section A [64 markah/marks] Jawab semua soalan. Answer all questions. 1 Diberi f : x → ax + b dan f 3 (x) = 8x + 7, cari Given f : x → ax + b and f 3 (x) = 8x + 7, find (a) nilai a dan nilai b, the value of a and of b, (b) f 4 (x). [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 2 Fungsi f dan fungsi g ditakrifkan oleh f : x → x + 2 x – 2 , x ≠ 2 dan g : x → mx + c, dengan keadaan m dan c ialah pemalar. Diberi bahawa g–1(3) = f(3) dan gf –1(2) = 7. Cari nilai m dan nilai c. Two functions f and g are defined by f : x → x + 2 x – 2 , x ≠ 2 and g : x → mx + c, where m and c are constants. It is given that g –1(3) = f(3) and gf –1(2) = 7. Find the value of m and of c. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: KERTAS MODEL SPM 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 81 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
82 3 Khalis mempunyai RM800 000. Dia melaburkan kesemua wang itu di sebuah institusi pelaburan yang menawarkan dividen sebanyak 7% setahun. Jumlah pelaburan selepas n tahun diberi oleh persamaan J = p(1 + k)n, dengan keadaan p ialah nilai pelaburan awal dan k ialah kadar pulangan setahun. Cari jumlah pelaburannya selepas 20 tahun. Khalis has RM800 000. He invests all the money in an investment institution which offers a dividend of 7% per annum. The total investment after n years is given by the equation J = p(1 + k)n, where p is the value of initial investment and k is the rate of return per annum. Find his total investment after 20 years. [4 markah/marks] Jawapan/Answer: 4 Nisbahkan penyebut dan permudahkan setiap yang berikut. Rationalise the denominator and simplify each of the following. (a) 1 4 3 , (b) 1 3 2 + 4 3 . [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 5 Selesaikan persamaan logaritma asas e bagi setiap yang berikut. Solve the equation of logarithms base e for each of the following. (a) ln (4x – 3) = 5, (b) 10e3x = 48. [6 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 82 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
83 6 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 5h, k dan h + 4. The first three terms of an arithmetic progression are 5h, k and h + 4. (a) Ungkapkan k dalam sebutan h. Express k in terms of h. (b) Cari sebutan ke-10 bagi janjang itu dalam sebutan h. Find the 10th term of the progression in terms of h. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 7 (a) Maklumat berikut merujuk hasil tambah sebutan bagi suatu janjang geometri. The following information refers to the sum of the terms of a geometric progression. 0.484848 ... = 0.48 + v + w + … dengan keadaan v dan w ialah pemalar. where v and w are constants. Tentukan/ Determine (i) nilai v dan nilai w, the value of v and of w, (ii) nisbah sepunya janjang itu. the common ratio of the progression. [3 markah/marks] (b) Cari bilangan sebutan bagi janjang geometri 4, 8, 16, … , 2 048. Seterusnya, hitung hasil tambah janjang geometri itu. Find the number of terms of the geometric progression 4, 8, 16, … , 2 048. Hence, calculate the sum of the geometric progression. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 83 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
84 8 Diberi suatu siri geometri 1 + 4 + 16 + 64 + 256. Cari Given a geometric series 1 + 4 + 16 + 64 + 256. Find (a) hasil tambah 10 sebutan pertama, the sum of the first 10 terms, (b) nilai n dengan keadaan Sn = 5 461. the value of n where Sn = 5 461. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 9 (a) Diberi dv dt = 6t – 4 dan v = 30 apabila t = 2, ungkapkan v dalam sebutan t. Given dv dt = 6t – 4 and v = 30 when t = 2, express v in terms of t. [3 markah/marks] (b) Diberi d dx [f(x)] = 3g(x), cari ∫ g(x) dx. Given d dx [f(x)] = 3g(x), find ∫ g(x) dx. [2 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 84 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
85 10 Rajah 1 menunjukkan sembilan keping kad huruf. Diagram 1 shows nine letter cards. C E M E R L A N G Rajah 1 / Diagram 1 Satu kod tujuh huruf akan dibentuk dengan menggunakan semua kad itu tanpa ulangan. Cari bilangan kod tujuh huruf berlainan yang dapat dibentuk jika A seven letter code is to be formed by using all the letter cards without repetition. Find the number of different seven letter codes that can be formed if (a) tiada syarat dikenakan, there are no conditions, (b) kod itu berakhir dengan huruf konsonan, the code ends with a consonant, (c) kod itu bermula dengan huruf vokal dan berakhir dengan huruf konsonan. the code begins with a vowel and ends with a consonant. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 11 Seramai 50 orang murid menyertai larian merentas desa. Masa yang diambil untuk menamatkan larian adalah bertaburan normal dengan min 20 minit dan sisihan piawai 10 minit. Peserta tidak akan diberi sebarang mata jika masa yang diambil untuk menamatkan larian melebihi 28 minit. There are 50 students participating in a cross-country running. The time taken to complete the run is normally distributed with a mean of 20 minutes and a standard deviation of 10 minutes. The participants will not be given any point if the time taken to complete the run exceeds 28 minutes. (a) Jika seorang peserta dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa peserta itu tidak mendapat sebarang mata. If a participant is randomly selected, find the probability that the participant does not get any point. (b) Sijil diberikan kepada 8 orang peserta pertama yang menamatkan larian kurang daripada t minit. Cari nilai t. Certificates were awarded to the first 8 participants who complete the run less than t minutes. Find the value of t. [6 markah/marks] 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 85 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
86 Jawapan/Answer: (a) (b) 12 (a) Selesaikan persamaan 2 tan2 q – tan q – 3 = 0 untuk 0° q 360°. Solve the equation 2 tan2 q – tan q – 3 = 0 for 0° q 360°. [3 markah/marks] (b) Selesaikan kos (2q + 30°)= –0.1793 untuk 0° q 360°. Solve cos (2q + 30°) = –0.1793 for 0° q 360°. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 86 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
87 Bahagian B / Section B [16 markah/marks] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. Answer any two questions from this section. 13 Rajah 2 menunjukkan sebuah trapezium OPQR dan titik T yang terletak pada garis lurus PR. Diagram 2 shows a trapezium OPQR and point T lies on the straight line PR. P Q O R T Rajah 2 / Diagram 2 Diberi bahawa O →R = 15b ∼, O →P = 5a ∼ dan O →R = 3P →Q. It is given that O→R = 15b ∼, O →P = 5a ∼ and O→R = 3P →Q. (a) Ungkapkan dalam sebutan a ∼ dan b ∼,/ Express in terms of a∼ and b∼, (i) P →R, (ii) O →Q . [3 markah/marks] (b) Diberi P →T = kP→R dan O →T = mO→Q, dengan keadaan k dan m ialah pemalar. Cari nilai k dan nilai m jika titik-titik O, T dan Q adalah segaris. Given P→T = kP→R and O→T = mO→Q, where k and m are constants. Find the value of k and of m if the points O, T and Q are collinear. [5 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (i) (ii) (b) 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 87 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
88 14 Lengkung y = x3 – 6x2 + 9x + 2 melalui titik A(2, 4) dan mempunyai dua titik pusingan, P(3, 2) dan Q(x, y). The curve y = x3 – 6x2 + 9x + 2 passes through the point A(2, 4) and has two turning points, P(3, 2) and Q(x, y). Cari/ Find (a) kecerunan tangen kepada lengkung itu pada titik A, the gradient of the tangent to the curve at point A, [2 markah/marks] (b) persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A, the equation of the normal to the curve at point A, [3 markah/marks] (c) koordinat Q dan tentukan sama ada Q ialah titik maksimum atau titik minimum. the coordinates of Q and determine whether Q is a maximum point or a minimum point. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 88 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
89 15 Rajah 3 menunjukkan sektor AOB bagi sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 16 cm. Titik C terletak pada garis lurus OB. Diberi bahawa AC = 2OC dan OC = 6 cm. Diagram 3 shows a sector AOB of a circle with centre O and a radius of 16 cm. Point C lies on the straight line OB. It is given that AC = 2OC and OC = 6 cm. q A B C O Rajah 3 / Diagram 3 Hitung/ Calculate (a) nilai q, dalam radian, the value of q, in radians, [3 markah/marks] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, the perimeter, in cm, of the shaded region, [2 markah/marks] (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. the area, in cm2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Jawapan/Answer: (a) (b) (c) KERTAS PEPERIKSAAN TAMAT END OF QUESTION PAPER 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 89 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
90 Kertas 2 / Paper 2 [100 markah/marks] Masa: 2 jam 30 minit Time: 2 hours 30 minutes Bahagian A / Section A [50 markah/marks] Jawab semua soalan. Answer all questions. 1 Diberi lengkung y = 2x(3 – x)4 melalui titik R(2, 4). Given the curve y = 2x(3 – x)4 passes through the point R(2, 4). Cari/ Find (a) kecerunan lengkung itu pada titik R, the gradient of the curve at point R, [4 markah/marks] (b) persamaan normal kepada lengkung itu pada titik R. the equation of the normal to the curve at point R. [3 markah/marks] 2 Diberi bahawa f : x → –x + 4, g : x → mx2 – n dan gf : x → 3x2 – 24x + 3, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. It is given that f : x → –x + 4, g : x → mx2 – n and gf : x → 3x2 – 24x + 3, where m and n are constants. (a) Cari/ Find (i) nilai m dan nilai n, the value of m and of n, (ii) g(5), (iii) fg(4). [5 markah/marks] (b) Seterusnya, lakar graf y = |gf(x)| untuk –1 x 10. Nyatakan julat nilai y. Hence, sketch the graph of y = |gf(x)| for –1 x 10. State the range of the values of y. [2 markah/marks] 3 Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima. Solution by scale drawing is not accepted. Rajah 1 menunjukkan sebuah segi tiga QOR, dengan keadaan O ialah asalan. Titik T terletak pada garis lurus QR. Diagram 1 shows a triangle QOR, where O is the origin. Point T lies on the straight line QR. y x O R(6, 5) Q(3, –4) T Rajah 1 / Diagram 1 (a) Hitung luas, dalam unit2 , segi tiga QOR. Calculate the area, in units2 , of triangle QOR. [3 markah/marks] (b) Diberi titik T membahagi QR dalam nisbah 2 : 1, tunjukkan bahawa koordinat titik T ialah (5, 2). Given point T divides QR in the ratio of 2 : 1, show that the coordinates of point T are (5, 2). [2 markah/marks] 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 90 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
91 (c) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari T sentiasa 4 unit. Tunjukkan bahawa lokus P mempunyai persamaan (x – 5)2 + (y – 2)2 = 16. A point P moves such that its distance from T is always 4 units. Show that the locus of P has the equation (x – 5)2+ (y – 2)2 = 16. [2 markah/marks] 4 Rajah 2 menunjukkan sebuah lukisan yang terdiri daripada dua buah sektor yang sama, PRUS dan QRTS masing-masing berpusat di P dan Q dan berjejari 10 cm. Diberi bahawa kedua-dua bulatan A dan B mempunyai jejari 0.8 cm dan RS = 10 cm. Diagram 2 shows a drawing consisting of two equal sectors, PRUS and QRTS with centre P and Q respectively and have radii of 10 cm. It is given that both small circles A and B have radii 0.8 cm and RS = 10 cm. R Q S A P T U B Rajah 2 / Diagram 2 Hitung luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. Calculate the area, in cm2 , of the shaded region. [Guna/ Use p = 3.142] [7 markah/marks] 5 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik, Sn diberi oleh The sum of the first n terms of an arithmetic progression, Sn is given by Sn = 641 – 3 4 n (a) Ungkapkan sebutan ke-n, Tn dalam sebutan n. Express the nth term, Tn in terms of n. [4 markah/marks] (b) Tentukan sebutan ke berapa dalam janjang itu yang merupakan sebutan pertama yang kurang daripada 4. Determine which term in the progression is the first term that is less than 4. [3 markah/marks] 6 (a) Buktikan bahawa sin 2x = tan x + tan x kos 2x. Prove that sin 2x = tan x + tan x cos 2x. [3 markah/marks] (b) (i) Lakar graf y = 3|kos x | untuk 0 x 2p. Sketch the graph of y = 3|cos x | for 0 x 2p. (ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 6p|kos x| – x = 0 untuk 0 x 2p. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 6p|cos x| – x = 0 for 0 x 2p. State the number of solutions. [5 markah/marks] 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 91 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
92 7 Diberi dy dx = x2 + 5 dan y = 8 apabila x = 3. Cari Given dy dx = x2 + 5 and y = 8 when x = 3. Find (a) y dalam sebutan x. y in terms of x, [3 markah/marks] (b) persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik (3, 8), the equation of the tangent to the curve at point (3, 8), [2 markah/marks] (c) perubahan kecil dalam x yang sepadan apabila y bertambah dengan kadar 3.5 unit per saat apabila x = 3. the small corresponding change in x when y increases at the rate of 3.5 units per second when x = 3. [2 markah/marks] Bahagian B / Section B [30 markah/marks] Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini. Answer any three questions from this section. 8 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Use a graph paper to answer this question. Jadual 1 menunjukkan nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan py = x2 + qx, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Table 1 shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. The variables x and y are related by the equation py = x 2 + qx, where p and q are constants. x 2 3 4 5 6 7 y 5 9 14 20 27 35 Jadual 1 / Table 1 (a) Plot graf y x melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi- y x . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of y x against x, by using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.5 unit on the y x -axis. Hence, draw the line of best fit. [5 markah/marks] (b) Daripada graf yang dibina di 8(a), cari nilai From the graph constructed in 8(a), find the value of (i) p , (ii) q. [5 markah/marks] 9 Rajah 3 menunjukkan dua buah segi tiga, OAB dan OAP. Garis lurus AB bersilang dengan garis lurus OP di S. Diberi bahawa O →A = 6a ∼, O →B = 8b ∼ dan A →P = 2b ∼. Diagram 3 shows two triangles, OAB and OAP. The straight line AB intersects the straight line OP at S. It is given that O→A = 6a ∼, O →B = 8b ∼ and A →P = 2b ∼. B S P A O 8b ∼ 6a ∼ 2b ∼ Rajah 3 / Diagram 3 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 92 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
93 (a) Cari/ Find (i) O →P, (ii) B →A. [2 markah/marks] (b) Diberi O →S = hO →P dan B →S = kB →A, ungkapkan O →S dalam sebutan Given O →S = hO →P and B →S = kB →A, express O →S in terms of (i) h, a ∼ dan b ∼,/ h, a ∼ and b ∼, (ii) k, a ∼ dan b ∼./ k, a ∼ and b ∼. [4 markah/marks] (c) Dengan menggunakan O →S daripada 9(b), cari nilai h dan nilai k. By using O →S from 9(b), find the value of h and of k. [4 markah/marks] 10 Rajah 4 menunjukkan lengkung y = x3 dan normal kepada lengkung itu pada titik A. Diagram 4 shows the curve y = x3 and the normal to the curve at point A. y x O A(1, 1) y = x3 Rajah 4 / Diagram 4 Hitung/ Calculate (a) persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A, the equation of the normal to the curve at point A, [3 markah/marks] (b) luas rantau yang dibatasi oleh lengkung, garis normal dan paksi-x, the area of the region bounded by the curve, the normal line and the x-axis, [3 markah/marks] (c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau di 10(b) diputarkan melalui 360° pada paksi-x. the generated volume, in terms of p, when the region in 10(b) is rotated through 360° about the x-axis. [4 markah/marks] 11 (a) Kebarangkalian sebiji oren yang rosak dipilih dari sebuah gerai buah-buahan ialah 1 5 . The probability of a rotten orange being picked from a fruit stall is 1 5 . (i) Jika 7 biji oren dipilih secara rawak dari gerai itu, cari kebarangkalian memilih 3 biji oren yang rosak. If 7 oranges are picked at random from the stall, calculate the probability of picking 3 rotten oranges. (ii) Jika gerai itu menjual 560 biji oren, cari min dan sisihan piawai bagi oren yang rosak. If the stall sells 560 oranges, find the mean and the standard deviation of the rotten oranges. [4 markah/marks] 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 93 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
94 (b) Ketinggian murid di sebuah sekolah adalah bertaburan normal dengan min 155 cm dan sisihan piawai σ cm. The heights of the students in a school are normally distributed with a mean of 155 cm and a standard deviation of σ cm. (i) Diberi bahawa 75% daripada murid itu mempunyai ketinggian kurang daripada 170 cm. Cari nilai σ. It is given that 75% of the students have a height of less than 170 cm. Find the value of σ. (ii) Jika sekolah itu mempunyai 1 200 orang murid, hitung bilangan murid yang mempunyai ketinggian antara 150 cm dengan 160 cm. If the school has 1 200 students, calculate the number of students with a height between 150 cm and 160 cm. [6 markah/marks] Bahagian C / Section C [20 markah/marks] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. Answer any two questions from this section. 12 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran zarah, s m, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 6t 2 – 5t – t 3 . Cari A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = 6t 2 – 5t – t3 . Find (a) masa, dalam saat, apabila zarah itu melalui titik O sekali lagi, the time, in seconds, when the particle passes through point O again, [3 markah/marks] (b) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu, the maximum velocity, in m s–1, of the particle, [4 markah/marks] (c) pecutan seketika, dalam m s–2, zarah itu apabila t = 3. the instantaneous acceleration, in m s–2, of the particle when t = 3. [3 markah/marks] 13 Jadual 2 menunjukkan indeks harga bagi empat bahan, A, B, C dan D, yang digunakan untuk menghasilkan sejenis bahan pencuci. Carta pai dalam Rajah 5 mewakili kuantiti relatif bagi penggunaan bahan itu. Table 2 shows the price indices of four materials, A, B, C and D, used to produce a type of detergent. The pie chart in Diagram 5 represents the relative quantity of the material usage. Bahan Material Harga seunit (RM) Unit price (RM) Indeks harga pada tahun 2021 berasaskan tahun 2019 Price index in the year 2021 based on the year 2019 Tahun 2019 Year 2019 Tahun 2021 Year 2021 A 12 y 150 B x 24 130 C 14 20 z D 10 13 120 Jadual 2 / Table 2 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 94 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
95 D A B C 150° 70° 100° Rajah 5 / Diagram 5 (a) Cari nilai x, y dan z. Find the values of x, y and z. [3 markah/marks] (b) Hitung indeks gubahan bagi kos penghasilan bahan pencuci pada tahun 2021 berasaskan tahun 2019. Seterusnya, tentukan kos penghasilan bahan pencuci pada tahun 2019 jika kos pada tahun 2021 ialah RM300. Calculate the composite index for the cost of making the detergent in the year 2021 based on the year 2019. Hence, determine the cost of making the detergent in the year 2019 if the cost in the year 2021 is RM300. [3 markah/marks] (c) Kos penghasilan bahan pencuci dijangka meningkat sebanyak 30% dari tahun 2021 ke tahun 2023. The cost of making the detergent is expected to increase by 30% from the year 2021 to the year 2023. Hitung/Calculate (i) indeks gubahan pada tahun 2023 berasaskan tahun 2019, the composite index in the year 2023 based on the year 2019, (ii) kos penghasilan bahan pencuci pada tahun 2023. Bundarkan jawapan kepada ringgit terdekat. the cost of making the detergent in the year 2023. Round off the answer to the nearest ringgit. [4 markah/marks] 14 Rajah 6 menunjukkan sebuah sisi empat PQRS. Diagram 6 shows a quadrilateral PQRS. S R Q P 49° 4.8 cm 130° 6 cm 5.4 cm Rajah 6 / Diagram 6 Hitung/ Calculate (a) panjang, dalam cm, bagi PR, the length, in cm, of PR, [4 markah/marks] (b) panjang, dalam cm, bagi PS, the length, in cm, of PS, [2 markah/marks] (c) luas segi tiga PRT, dalam cm2 , jika titik T terletak pada garis lurus PS dengan keadaan RS = RT. the area of triangle PRT, in cm2 , if point T lies on the straight line PS such that RS = RT. [4 markah/marks] 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 95 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
96 15 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Use a graph paper to answer this question. Sebuah syarikat perkhidmatan kiriman hendak menghantar 1 200 bungkusan ke bandar M dengan menggunakan x buah lori dan y buah van. Penghantaran bungkusan itu adalah berdasarkan kekangan yang berikut: A company of courier service wants to deliver 1 200 parcels to town M using x lorries and y vans. The delivery of the parcels is based on the following constraints: I Sebuah lori boleh membawa 200 bungkusan, manakala sebuah van boleh membawa 100 bungkusan. A lorry can carry 200 parcels, while a van can carry 100 parcels. II Bilangan van yang digunakan adalah tidak melebihi empat kali bilangan lori. The number of vans used is not more than four times the number of lorries. III Bilangan van yang digunakan sekurang-kurangnya 3 buah. The number of vans used is at least 3. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x 0 and y 0, that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 1 buah lori pada paksi-x dan 2 cm kepada kepada 2 buah van pada paksi-y, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 1 lorry on the x-axis and 2 cm to 2 vans on the y-axis, construct and shade the region R that satisfies all the above constraints. [4 markah/marks] (c) Berdasarkan graf yang dibina di 15(b), cari jumlah kos pengangkutan maksimum jika kos pengangkutan untuk sebuah lori ialah RM50 dan sebuah van ialah RM30. Based on the graph constructed in 15(b), find the maximum total transportation cost if the transportation cost for a lorry is RM50 and a van is RM30. [3 markah/marks] KERTAS PEPERIKSAAN TAMAT END OF QUESTION PAPER 09_PT SPM Add Math F5_2023.indd 96 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Praktis Topikal SPM: Matematik Tambahan Tingkatan 5 – Jawapan JPB J1 BAB 1 Sukatan Membulat KERTAS 1 BAHAGIAN A 1 Sudut refleks SOR/Reflex angle SOR = (360° – 130°) × π 180° = 230° × 3.142 180° = 4.0148 rad Panjang lengkok/Arc length = 8 × 4.0148 = 32.12 cm 2 (a) s = 8 × 63° × 3.142 180° = 8.80 cm (b) ∠POB = 63° 2 = 31.5° tan 31.5° = PB 8 PB= 4.90 cm PB = PA = 4.90 cm Perimeter kawasan berlorek Perimeter of the shaded region = 4.90 + 4.90 + 8.80 = 18.60 cm 3 (a) q = (360° – 250°) × 3.142 180° = 11 18 × 3.142 = 1.920 rad (b) s = rq 20 = 1.920r r = 10.42 cm 4 (a) Perimeter = s + r + r 26 = rq + 2r rq = 26 – 2r................➀ Luas/Area = 1 2 r2 q 30 = 1 2 r(rq) rq = 60 r .....................➁ Gantikan ➀ ke dalam ➁, Substitute ➀ into ➁, 26 – 2r = 60 r 26r – 2r2 = 60 2r2 – 26r + 60 = 0 r2 – 13r + 30 = 0 (r – 3)(r – 10) = 0 r = 3 atau/or r = 10 Apabila/When r = 3, 3q = 26 – 2(3) 3q = 20 q = 20 3 = 6.67 rad (Abaikan/Ignored) Apabila/When r = 10, 10q = 26 – 2(10) 10q = 6 q = 0.6 rad \ q = 0.6 rad (b) Apabila/When q = 0.6 rad, r = 10 cm 5 (a) ∠ROS = 60° × 3.142 180° = 1.047 rad (b) Luas tembereng berlorek Area of the shaded segment = Luas sektor ROS – Luas segi tiga ROS Area of sector ROS – Area of triangle ROS = 1 2 (72 )(1.047) – 1 2 (7)(7) sin 60° = 25.65 – 21.22 = 4.43 cm2 6 (a) kos/cos q = 5 10 kos/cos q = 0.5 q = 60° = 60° × 3.142 180° = 1.047 rad (b) Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = Luas sektor BOC – Luas ΔAOC Area of sector BOC – Area of ∆AOC = 1 2 × 102 × 1.047 – 1 2 × 102 – 52 × 5 = 52.35 – 21.65 = 30.7 cm2 7 (a) OB = 2BC = 2 × 4 cm = 8 cm OC = 8 cm + 4 cm = 12 cm s = rq 13.2 = 12q q = 13.2 12 = 1.1 rad \ AOB = 1.1 rad (b) Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = Luas sektor ODC – Luas sektor AOB Area of sector ODC – Area of sector AOB = 1 2 × 122 × 1.1 – 1 2 × 82 × 1.1 = 79.2 – 35.2 = 44 cm2 8 (a) s = rq = 14(1.75) = 24.5 cm (b) AOC = 1.75 × 180° 3.142 = 100.25° Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = Luas sektor AOB – Luas ΔAOC Area of sector AOB – Area of ∆AOC = 1 2 × 142 × 1.75 – 1 2 × 14 × 7 × sin 100.25° = 171.50 – 48.22 = 123.28 cm2 9 (a) kos/cos FOG = 8 19 FOG = 65.10° = 65.10° × 3.142 180° = 1.136 rad α = p – 2(1.136) = 0.87 rad (b) 13 = OW(0.87) OW = 14.94 m FG = 192 – 82 = 17.23 m Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = (16 × 17.23) – 2 1 2 × 8 × 17.23 – 1 2 × 14.942 × 0.87 = 275.65 – 137.84 – 97.09 = 40.75 cm2 BAHAGIAN B 10 (a) Panjang lengok PS/Arc length PS = 4(1.24) = 4.96 cm QR2 = 22 + 22 – 2(2)(2) kos/cos 1.24 × 180° 3.142 = 22 + 22 – 2(2)(2) kos/cos 71.04° = 5.40 QR = 2.324 cm Perimeter = 2 + 2 + 4.96 + 2.324 = 11.28 cm (b) Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = 1 2 (4)2 (1.24) – 1 2 (2)(2) sin 71.04° = 9.92 – 1.891 = 8.029 cm2 11 (a) OA2 = 42 + 62 OA= 7.211 cm Luas permukaan kon Surface area of the cone = π(4)(7.211) = 90.63 cm2 90.63 = 1 2 (7.211)2 q q = 90.63 26.00 = 3.486 rad (b) s = 7.211(3.486) = 25.14 cm Perimeter = 7.211(2) + 25.14 = 39.56 cm 12 (a) 1 2 (20)2 q = 300 q = 300 200 = 1.5 rad (b) sAB = 20(1.5) = 30 m AB2 = 202 + 202 – 2(20)(20) kos/cos 1.5 × 180° π AB2 = 800 – 800 kos/cos 85.93° AB2 = 743.22 AB = 27.26 m ∴ Jejari semibulatan Radius of the semicircle = 27.26 ÷ 2 = 13.63 m sACB = π(13.63) = 42.83 m Panjang pagar yang diperlukan Length of the fence needed = 30 + 42.83 = 72.83 m JAWAPAN 10_PT SPM Add Math F5_2023.indd 1 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Penerbit Ilmu Bakti Sdn. Bhd. (732516-M) 2023 J2 J3 (c) Luas kawasan berumput dalam semibulatan Area of the grassy area in semicircle = 300 – 1 2 (20)(20) sin 85.93° = 100.50 m2 Luas kawasan tanaman pokok Area of the tree area = π(13.63)2 2 – 100.50 = 291.86 – 100.50 = 191.36 m2 KERTAS 2 BAHAGIAN A 1 (a) s = rθ 3 = rθ...................................➀ s = rθ 8 = (10 + r)θ .......................➁ Dari/From ➀, θ = 3 r ............➂ Gantikan ➂ ke dalam ➁. Substitute ➂ into ➁. 8 = (10 + r) 3 r 8 = 30 r + 3 30 r = 5 r = 6 Dari/From ➂, θ = 3 6 = 0.5 rad (b) OD = 6 cm + 10 cm = 16 cm θ = 0.5 × 180° π = 28.64° Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = Luas segi tiga OCD – Luas sektor AOB Area of triangle OCD – Area of sector AOB = 1 2 (16)(16)(sin 28.64°) – 1 2 (6)2 (0.5) = 61.35 – 9 = 52.35 cm2 2 (a) sAB = 11(0.6) = 6.6 cm Perimeter sektor AOB Perimeter of the sector AOB = 11+ 11+ 6.6 = 28.6 cm Panjang lengkok PQ/Arc length PQ = 20(θ) 28.6 = 20θ θ = 28.6 20 = 1.43 rad (b) Luas kawasan di luar sektor AOB Area of the region outside the sector AOB = Luas sektor POQ – Luas sektor AOB Area of sector POQ – Area of sector AOB = 1 2 (20)2 (1.43) – 1 2 (11)2 (0.6) = 286 – 36.3 = 249.7 cm2 3 (a) kos/cos q = 12 18 q = 48.19° = 48.19° × p 180° = 0.8412 rad (b) Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = 1 2 (18)2 (0.8412) – 1 2 (18)(12) × sin 48.19° = 136.27 – 80.50 = 55.77 cm2 4 (a) tan q = 5 3 q = 59.04° = 1.031 rad (b) Perimeter kawasan berlorek Perimeter of the shaded region = 8(1.031) + 590° × p 180° + [8 – ( 32 + 52 )] = 8.248 + 7.855 + 2.169 = 18.27 cm (c) Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = 1 2 (8)2 (1.031) – 1 2 (5)2 (1.571) – 1 2 (3)(5) = 32.99 – 19.64 – 7.5 = 5.85 cm2 5 (a) 2r + 2r(0.8α) + r + r(0.5α) + r = 51.5 4r + 1.6rα + 0.5rα = 51.5 4r + 2.1rα = 51.5 r(4 + 2.1α) = 51.5 r = 51.5 4 + 2.1α (b) r = 51.5 4 + 2.1α, α = 3 = 51.5 4 + 2.1(3) = 5 cm BAHAGIAN B 6 (a) ∠POS = 2 × 37° = 74° = 74° × π 180° = 1.292 rad (b) Panjang lengkok PTS/Arc length PTS = 7(1.292) = 9.044 cm Dalam/In ∆PRS, kos/cos 37° = RS 14 RS = 14 × kos/cos 37° RS = 11.18 cm Perimeter kawasan berlorek Perimeter of the shaded region = PR + RS + panjang lengkok PTS/ Arc length PTS = 14 + 11.18 + 9.044 = 34.22 cm (c) Dalam/In ∆PRS, sin 37° = PS 14 PS = 14 × sin 37° PS = 8.425 cm ∠SOR = 180° – 74° = 106° Luas SOR/Area of SOR = 1 2 (7)(7) sin 106° = 23.55 cm2 Luas sektor POST/Area of sector POST = 1 2 (7)(7)(1.292) = 31.65 cm2 Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = 23.55 + 31.65 = 55.20 cm2 7 (a) OP : OQ = 1 : 4 OP OQ = 1 4 OP = 1 4 OQ OP = 1 4 (12) OP = 3 cm kos/cos q = 3 12 q = 75.52° = 75.52° × p 180° = 1.318 rad (b) sQR = 12(1.318) = 15.82 cm PR = 122 – 32 = 11.62 cm Perimeter kawasan berlorek Perimeter of the shaded region = PQ + Panjang lengkok QR/ Arc length QR + RP = (12 – 3) + 15.82 + 11.62 = 36.44 cm (c) Luas sektor ROQ/Area of sector ROQ = 1 2 (12)2 (1.318) = 94.90 cm2 Luas segi tiga OPR Area of triangle OPR = 1 2 (3)(11.62) = 17.43 cm2 Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = 94.90 – 17.43 = 77.47 cm2 8 (a) sin 30° = 15 OA OA = 30 cm \ PA = 30 + 15 = 45 cm s = rq = 4560° × p 180° = 45(1.047) = 47.12 cm (b) AB = 302 – 152 = 25.98 cm Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = 1 2 (45)2 (1.047) – 1 2 (15)2 240° × p 180° – 2 1 2 (15)(25.98) = 1 060.09 – 471.30 – 389.70 = 199.09 cm2 ZON KBAT 1 A B O 4 m q 3 m kos/cos q = 3 4 q = 41.41° AOB = 41.41° × 2 = 82.82° = 82.82° × π 180° = 1.446 rad Luas sektor major AOB Area of major sector AOB = 1 2 (4)2 (6.284 – 1.446) = 38.70 m2 Luas ΔAOB Area of ∆AOB = 1 2 (4)(4) sin 82.82° = 7.937 m2 10_PT SPM Add Math F5_2023.indd 2 28/02/2023 2:20 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.