Analisis SPM_Matematik Tambahan Tingkatan 4&5

PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

iii Kandungan Jadual Taburan Normal Piawai v Format SPM Matematik Tambahan vi Rumus vii – viii TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi 1 Zon KBAT 6 Praktis SPM 1 6 Jawapan 10 Bab 2 Fungsi Kuadratik 11 Zon KBAT 20 Praktis SPM 2 20 Jawapan 24 Bab 3 Sistem Persamaan 25 Zon KBAT 29 Praktis SPM 3 29 Jawapan 32 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 33 Zon KBAT 38 Praktis SPM 4 38 Jawapan 41 Bab 5 Janjang 42 Zon KBAT 51 Praktis SPM 5 52 Jawapan 60 Bab 6 Hukum Linear 61 Zon KBAT 69 Praktis SPM 6 71 Jawapan 78 Bab 7 Geometri Koordinat 83 Zon KBAT 91 Praktis SPM 7 92 Jawapan 100 Bab 8 Vektor 101 Zon KBAT 110 Praktis SPM 8 111 Jawapan 120 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-Prelim 3rd.indd 3 17-Feb-23 8:43:21 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

iv Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga 122 Zon KBAT 128 Praktis SPM 9 129 Jawapan 133 Bab 10 Nombor Indeks 134 Zon KBAT 137 Praktis SPM 10 138 Jawapan 144 TINGKATAN 5 Bab 1 Sukatan Membulat 145 Zon KBAT 151 Praktis SPM 1 152 Jawapan 160 Bab 2 Pembezaan 161 Zon KBAT 170 Praktis SPM 2 171 Jawapan 178 Bab 3 Pengamiran 179 Zon KBAT 189 Praktis SPM 3 190 Jawapan 197 Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan 198 Zon KBAT 201 Praktis SPM 4 201 Jawapan 205 Bab 5 Taburan Kebarangkalian 206 Zon KBAT 213 Praktis SPM 5 214 Jawapan 219 Bab 6 Fungsi Trigonometri 220 Zon KBAT 229 Praktis SPM 6 230 Jawapan 233 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 235 Zon KBAT 241 Praktis SPM 7 243 Jawapan 247 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 250 Zon KBAT 256 Praktis SPM 8 257 Jawapan 259 Kertas Model SPM 260 Jawapan 269 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-Prelim 3rd.indd 4 17-Feb-23 8:43:21 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

1 1.1 Fungsi 1 Fungsi ialah suatu hubungan khas dengan keadaan setiap unsur dalam set input dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur dalam set output. 2 Dalam fungsi antara set input (A) dengan set output (B), (a) set input (A) dikenali sebagai domain, (b) set output (B) dikenali sebagai kodomain, (c) unsur-unsur dalam domain dikenali sebagai objek, (d) unsur-unsur dalam kodomain yang dihubungkan dengan objek dikenali sebagai imej, (e) set imej dikenali sebagai julat. Objek Imej Julat Bukan imej Domain Kodomain A B didarab dengan 2 –2 3 4 –4 6 8 9 3 Jika satu fungsi memetakan x kepada x 2 – 2, ia ditulis dengan tatatanda fungsi seperti f : x → x2 – 2 atau f(x) = x 2 – 2. 4 Suatu fungsi adalah tidak tertaktif jika penyebutnya ialah sifar. 5 Nilai mutlak nombor x ialah nilai berangka bagi x dan diwakili dengan |x|. |x| dikenali sebagai modulus bagi x. Contohnya, |–3| = 3 dan |5| = 5. 6 Fungsi nilai mutlak ditakrifkan oleh f(x) jika f(x)  0 |f(x)| =    –f(x) jika f(x)  0 7 Graf bagi fungsi nilai mutlak linear berbentuk V. 1.2 Fungsi Gubahan 1 Jika f ialah fungsi yang memetakan set A kepada set B dan g ialah fungsi yang memetakan set B kepada set C, maka gf ialah satu fungsi gubahan f diikuti dengan g yang memetakan set A terus kepada set C. g[f(x)] = gf(x) gf x A B C f ➤ ➤ f(x) ➤ g 1.3 Fungsi Songsang 1 Jika f : x → y ialah satu fungsi yang memetakan x kepada y, maka fungsi songsangnya diwakili oleh f –1. Fungsi songsang ialah satu fungsi yang memetakan y kembali kepada x. f x y f –1 ➤ ➤ 2 ff –1(x) = f –1f(x) = x 3 (a) Domain bagi f –1 ialah julat bagi f. (b) Julat bagi f –1 ialah domain bagi f. 4 Graf bagi f –1 adalah pantulan bagi graf f pada garis lurus y = x. Fungsi Bidang Pembelajaran: Algebra NOTA EKSPRES Bab 1 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 1 17-Feb-23 8:46:09 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 2 1.1 Fungsi Contoh 1 Gambar rajah anak panah berikut mewakili fungsi f(x) = a x + b. x 1 2 5 a x + b –2 f Cari (a) nilai a dan nilai b, (b) nilai x apabila fungsi f tidak tertakrif, (c) imej bagi 6, (d) objek yang mempunyai imej –5, (e) nilai-nilai k dengan keadaan f(k) = 2k. Penyelesaian (a) Diberi fungsi f(x) = a x + b, f(1) = 2 f(–2) = 5 a 1 + b = 2 a –2 + b = 5 Gantikan x = 1 Gantikan x = –2 a = 2 + 2b a = –10 + 5b a – 2b = 2 ... ➀ a – 5b = –10 ... ➁ ➀ – ➁: 3b = 12 ⇒ b = 4 Daripada ➀: a – 2(4) = 2 ⇒ a = 10 (b) f(x) = a x + b = 10 x + 4 Fungsi f tidak tertakrif apabila penyebut bagi 10 x + 4 ialah 0. Apabila penyebut = 0, x + 4 = 0 x = –4 Maka, fungsi f adalah tidak tertakrif apabila x = –4. (c) f(6) = 10 6 + 4 = 1 Maka, imej bagi 6 ialah 1. (d) f(x) = –5 Objek Imej 10 x + 4 = –5 10 = –5x – 20 5x = –20 – 10 5x = –30 x = –6 Maka, objek yang mempunyai imej –5 ialah –6. (e) Diberi f(k) = 2k, 10 k + 4 = 2k 10 = 2k(k + 4) 10 = 2k2 + 8k 2k2 + 8k – 10 = 0 Persamaan kuadratik dalam bentuk ax2 + bx + c = 0. k2 + 4k – 5 = 0 Persamaan dipermudahkan dengan membahagi 2 keseluruhannya. (k + 5)(k – 1) = 0 k 5 × × k –1 5k + –k k2 k = –5 atau 1 –5 4k Contoh 2 Diberi fungsi nilai mutlak f(x) = |2x – 1|, (a) lakar graf bagi fungsi f(x) untuk domain –2  x  2. Nyatakan julat bagi nilai f(x) yang sepadan, (b) cari nilai x yang mempunyai imej 7. Penyelesaian (a) Sediakan sebuah jadual seperti berikut. x –2 –1 0 1 2 f(x) 5 3 1 1 3 Apabila x = –2, f(x) =|2(–2) – 1| =|–5| = 5 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 2 17-Feb-23 8:46:09 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 3 Nilai x dengan keadaan graf menyentuh paksi-x perlu ditentukan seperti berikut. Pada paksi-x, y = f(x) = 0 |2x – 1| = 0 2x – 1 = 0 x = 1 2 Lakaran bagi graf fungsi f(x) adalah seperti berikut. x O 1 1 2 –1 1 2 3 4 5 –2 2 y ! Perhatian! Perhatikan bahawa graf fungsi nilai mutlak linear sentiasa mempunyai bentuk V. Julat nilai yang sepadan bagi f(x) ialah 0  f(x)  5. Julat nilai bagi f(x) merupakan julat daripada nilai y yang terkecil sehingga nilai y yang terbesar yang dirangkumi oleh graf. (b) Diberi imej bagi fungsi f(x) ialah 7, maka f(x) = 7. f(x) = 7 |2x – 1| = 7 Terdapat dua persamaan yang boleh dibentuk, iaitu 2x – 1 = 7 atau 2x – 1 = –7 x = 4 x = –3 Maka, nilai-nilai x ialah x = 4 atau x = –3. 1.2 Fungsi Gubahan Contoh 3 Fungsi f dan fungsi g masing-masing ditakrifkan oleh f : x → 2x + 4 dan g : x → 1 7 x. (a) Bagi fungsi f, cari nilai x yang memetakan kepada dirinya sendiri. (b) Hitung gf(5). (c) Cari fg. (d) Cari f 2 . Penyelesaian (a) f(x) = x Pemetaan kepada diri sendiri ditulis sebagai f(x) = x. 2x + 4 = x x = –4 Maka, nilai x yang memetakan kepada dirinya sendiri di bawah fungsi f ialah –4. (b) gf(5) = g[2(5) + 4] = g(14) = 1 7 × 14 = 2 (c) fg(x) = f 1 1 7 x2 = 21 1 7 x2 + 4 Gantikan x dalam f(x) = 2x + 4 dengan 1 1 7 x2. = 2x + 28 7 ∴fg : x → 2x + 28 7 Kesilapan Lazim fg(x)= f(x) × g(x) = (2x + 4)1 1 7 x2 = 2x2 + 4x 7 Salah (d) f 2 (x) = ff(x) = f(2x + 4) = 2(2x + 4) + 4 Gantikan x dalam f(x) = 2x + 4 dengan (2x + 4). = 4x + 12 Contoh 4 Diberi fungsi f : x → x – 5, cari fungsi g jika (a) fg : x → x2 + 1, (b) gf : x → 3 x – 2 , x ≠ 2 Penyelesaian (a) fg : x → x2 + 1 fg(x) = x2 + 1 g(x) – 5 = x2 + 1 Gantikan x dalam f(x) = x – 5 dengan g(x). g(x) = x2 + 1 + 5 g(x) = x2 + 6 ∴g : x → x2 + 6 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 3 17-Feb-23 8:46:10 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 4 (b) gf : x → 3 x – 2 gf(x) = 3 x – 2 g(x – 5) = 3 x – 2 Katakan x – 5 = u, x = u + 5 g(u) = 3 (u + 5) – 2 Setiap x digantikan dengan u + 5. g(u) = 3 u + 3 g(x) = 3 x + 3 ∴ g : x → 3 x + 3 , x ≠ –3 1.3 Fungsi Songsang Contoh 5 Diberi fungsi f(x) = x – 2 x + 1 , x ≠ –1 dan fungsi g(x) = 2x – 6, cari (a) g–1(4), (b) f –1, (c) f –1g. Penyelesaian (a) Katakan g–1(4) = u g(u) = 4 2u – 6 = 4 2u = 10 u = 5 ∴g–1(4) = 5 (b) Kaedah 1 Katakan f –1(x) = y f(y) = x y – 2 y + 1 = x Susun semula persamaan supaya y menjadi perkara rumus. y – 2 = x(y + 1) Darab silang y – 2 = xy + x Kembangkan y – xy = x + 2 Kumpulkan semua sebutan y di sebelah kiri persamaan. y(1 – x) = x + 2 Faktorkan y = x + 2 1 – x ∴ f –1(x) = x + 2 1 – x , x ≠ 1 Kaedah 2 Katakan y = x – 2 x + 1 Susun semula persamaan supaya x menjadi subjek formula. y(x + 1) = x – 2 xy + y = x – 2 y + 2 = x – xy x(1 – y) = y + 2 x = y + 2 1 – y f –1(y) = y + 2 1 – y ∴ f –1(x) = x + 2 1 – x , x ≠ 1 (c) f –1g(x) = f –1(2x – 6) Operasi fungsi gubahan g diikuti dengan f –1. = (2x – 6) + 2 1 – (2x – 6) = 2x – 4 7 – 2x , x ≠ 7 2 Contoh 6 Diberi f –1(x) = 1 k – x , x ≠ k dan g(x) = x + 2, cari nilai k jika (a) f(x) = 3x – 1 x , x ≠ 0, (b) ff –1(k2 + 2) = g[(k + 2)2 ]. Penyelesaian (a) f(x) = 3x – 1 x , x = 0 Katakan f –1(x) = y f(y) = x 3y – 1 y = x Susun semula persamaan supaya y menjadi subjek formula. 3y – 1 = xy 3y – xy = 1 y(3 – x) = 1 y = 1 3 – x ∴f –1(x) = 1 3 – x , x ≠ 3 Diberi f –1(x) = 1 k – x , x ≠ k. Maka, dengan perbandingan, k = 3. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 4 17-Feb-23 8:46:10 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 5 (b) ff –1(k2 + 2) = g[(k + 2)2 ] k2 + 2 = (k + 2)2 + 2 k2 + 2 = k2 + 4k + 4 + 2 4k + 4 = 0 k = –1 Bagi sebarang fungsi f(x), ff –1(x) = x adalah sentiasa benar. Oleh itu, ff –1(k2 + 2) = k2 + 2. Contoh 7 Satu fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = –2x + 5 untuk domain 2  x  5. (a) Cari nilai-nilai p jika ff –1(p2 ) = f(p – 5). (b) Cari f –1(x). Seterusnya, lakar garis lurus y = x, y = f(x) dan y = f –1(x) pada satah Cartes yang sama. Apakah hubungan antara graf f(x) dengan f –1(x)? (c) Tentukan julat bagi f(x) yang sepadan dengan domain 2  x  5. Seterusnya, tentukan domain dan julat bagi f –1(x). Apakah kaitan antara domain dengan julat bagi f(x) dan f –1(x)? KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian ff –1(x) = x (a) ff –1(p2 ) = f(p – 5) p2 = –2(p – 5) + 5 p2 = –2p + 10 + 5 p2 + 2p – 15 = 0 (p – 3)(p + 5) = 0 p = 3 atau –5 (b) Katakan f –1(x) = y f(y) = x –2y + 5 = x 2y = 5 – x y = 5 – x 2 y = – 1 2 x + 5 2 Maka, f –1(x) = – 1 2 x + 5 2 y y = x y = f(x) = –2x + 5 y = f –1(x) = – 1 2 x + 5 2 x –2 O 2 –2 2 4 –4 –4 4 Graf bagi f –1 ialah pantulan bagi graf f pada garis lurus y = x. (c) Julat bagi f(x) ialah –5  f(x)  1. Domain bagi f –1(x) ialah –5  x  1. Julat bagi f –1(x) ialah 2  f –1(x)  5. Domain bagi f –1(x) ialah julat bagi f(x). Julat bagi f –1(x) ialah domain bagi f(x). Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 5 17-Feb-23 8:46:11 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 6 1.1 Fungsi 1 Diberi fungsi f(x) = 2x2 + 3x, cari objekobjek yang mempunyai imej 2. 2 Diberi fungsi g(x) = 4x + 7 x – 2 , x ≠ 2, cari objek-objek yang memetakan kepada dirinya sendiri. 3 Diberi fungsi h : x → x – 6 x2 – 4, nyatakan nilai-nilai x apabila fungsi h tidak tertakrif. 4 Gambar rajah anak panah berikut mewakili fungsi f : x → m 2x – k , x ≠ k 2 , dengan keadaan m dan k ialah pemalar. m 2x – k – 4 11 –1 1 3 f x 2 –2 Cari nilai m dan nilai k. Gambar rajah anak panah di bawah mewakili pemetaan y kepada x oleh fungsi f : y → 2y + h dan pemetaan y kepada z oleh fungsi g : y → (y + 1)2 – k. 2 5 7 ➤ ➤ x y z Cari (a) nilai h dan nilai k, (b) fungsi yang memetakan x kepada y, (c) fungsi yang memetakan x kepada z. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian (a) f : y → 2y + h g : y → (y + 1)2 – k f(y) = 2y + h g(y) = (y + 1)2 – k f(2) = 7 g(2) = 5 2(2) + h = 7 (2 + 1)2 – k = 5 h = 3 9 – k = 5 k = 4 (b) Fungsi yang memetakan x kepada y ialah f –1(x). Didapati bahawa f(y) = 2y + 3. Katakan w = 2y + 3, y = w – 3 2 ∴ f –1 : x → x – 3 2 (c) x f –1 gf –1 g y ➤ ➤ ➤ z Maka, fungsi yang memetakan x kepada z ialah gf –1(x). Fungsi gubahan f –1 diikuti oleh g. gf –1(x) = g1 x – 3 2 2 = 1 x – 3 2 + 12 2 – 4 = 1 x – 3 2 2 2 + 2(1)1 x – 3 2 2 + 1 – 4 = x2 – 6x + 9 4 + (x – 3) – 3 = x2 – 6x + 9 4 + x – 6 = x2 – 6x + 9 + 4x – 24 4 = x2 – 2x – 15 4 ∴gf –1 : x → x2 – 2x – 15 4 Kesilapan Lazim Fungsi yang memetakan x kepada z ialah gf –1(x) dan bukannya f –1g(x). Zon KBAT Praktis SPM 1 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 6 17-Feb-23 8:46:12 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 7 5 Diberi fungsi g(x) = 3x2 – 5, cari nilai-nilai t dengan keadaan g(x) = – 7 2 t. 6 Pada paksi yang sama di ruang jawapan, lakar graf bagi fungsi f(x) =|x + 2| untuk domain –3  x  1. y x O 7 Pada paksi yang sama di ruang jawapan, lakar graf bagi fungsi f(x) =|4x – 3| untuk domain –1  x  3. y x O 8 Diberi fungsi f(x) =|3x – 7|, cari nilainilai x yang memuaskan f(x) = 4. 1.2 Fungsi Gubahan 9 Diberi fungsi f(x) = x + 3 x – 1 , x ≠ 1 dan fungsi g(x) = 2x + 5, hitung nilai gf(3). 10 Diberi f(x) =|x| dan g(x) = ! x – 1 , x  1, hitung nilai gf(–26). 11 Diberi fungsi h(x) = (x + 1)2 , hitung nilai h2 (–3). 12 Diberi fungsi f(x) = p – 2x dan fungsi g(x) = 3x2 – 7, cari nilai p jika fg(2) = 4. 13 Fungsi f dan fungsi g masing-masing ditakrifkan oleh f : x → 2x x – 2 , x ≠ 2 dan g : x → x + 4, cari gf. 14 Diberi g : x → x2 – 3, cari g2 . 15 Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → x + 2. Cari fungsi g dengan keadaan fg : x → 1 x – 1, x ≠ 1. 16 Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → x + 2. Cari fungsi g dengan keadaan gf : x → x2 – 3. 17 Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x – 9. Satu lagi fungsi g adalah dengan keadaan fg(x) = 2 3 x. Cari nilai g(–3). 18 Diberi f : x → 4x + k dan g : x → x – 2, cari nilai m dan nilai k jika fg : x → mx + 8. 19 Dalam gambar rajah anak panah berikut, fungsi f : x → x – 1 2 memetakan x kepada y dan fungsi g : y → 3y + 4 memetakan y kepada z. x y z f g Cari fungsi yang memetakan x terus kepada z. 20 Diberi bahawa f(x) = 9 – 2x dan g(x) = ax + b, dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Jika fg(x) = 1 – 6x, cari nilai a dan nilai b. 21 Fungsi g ditakrifkan oleh g : x → x + 3 dan fungsi f pula adalah dengan keadaan fg : x → x2 + 6x + 7. Cari (a) fungsi f, (b) nilai k dengan keadaan f(2k) = 8k + 30. 22 Diberi m(t) = 4t 2 + 4t dan n(t) = 2 + 3t, cari (a) nilai t supaya m(t) = 15, (b) fungsi m(n) dalam sebutan t, (c) nilai bagi m(t) jika n(t) = 17. 23 Diberi fungsi-fungsi f : x → hx + k dan f 2 : x → 25x + 48, cari (a) nilai-nilai h dan nilai-nilai k yang sepadan, (b) nilai x jika f(x) = f(3x + 1), dengan keadaan h . 0. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 7 17-Feb-23 8:46:12 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 8 24 Diberi fungsi f : x → 2x + 5 dan fungsi gubahan gf : x → 2x + 9, (a) ungkapkan fg dalam bentuk yang serupa, (b) cari nilai-nilai k dengan keadaan fg(k2 + 1) = 5k + 27. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 25 Fungsi f dan fungsi g masing-masing ditakrifkan oleh f : x → 4 – x dan g : x → hx2 + k. Jika fungsi gubahan gf diberi oleh gf : x → 2x2 – 16x + 26, cari (a) nilai h dan nilai k, (b) nilai g2 (–1). 26 Fungsi m ditakrifkan oleh m(x) = x – 6. Jika p ialah satu fungsi yang lain dengan keadaan mp(x) = x2 + 8, cari fungsi p. Seterusnya, cari nilai-nilai x yang memuaskan pm(x) = 23. 1.3 Fungsi Songsang 27 Diberi fungsi f : x → 2x – 5, cari f –1(3). 28 Diberi fungsi f : x → x x – 2, x ≠ 2, cari f –1. 29 Diberi fungsi g : x → 4x + 1, cari (g–1)2 . 30 Diberi fungsi f(x) = x + 1 x – 1 , x ≠ 1 dan fungsi g(x) = 4x, cari fg–1(x). 31 Diberi fungsi-fungsi m : x → 1 4 x dan n : x → 2x + 5, cari m–1n–1. 32 Fungsi f dan fungsi g masing-masing ditakrifkan oleh f(x) = x2 + x + 2 dan g(x) = x – 1, cari g–1f(–1). 33 Diberi g–1 : x → x + 3 2x , x ≠ 0, cari g(x). 34 Diberi fungsi f(x) = 2x + p 5 dan fungsi songsangnya f –1(x) = 5x + 3 q , cari nilai p dan nilai q. 35 Diberi fungsi g : x → x k2 – x , x ≠ k 2 dan fungsi songsangnya g–1 : x → 9x x + 1, x ≠ –1, cari nilai-nilai k. 36 Diberi f(x) = x + 2 x , x ≠ 0, cari nilai-nilai k dengan keadaan f –1(3k) = k. KBAT Mengaplikasi 37 Diberi f –1(x) = 1 m – x, x ≠ m dan g(x) = 1 + x, cari (a) f(x) dalam sebutan m, (b) nilai m sekiranya ff –1(m2 – 2) = g[(1 – m) 2 ]. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 38 Diberi fungsi-fungsi f(x) = mx + n, m . 0 dan f 2 (x) = 4x – 9, cari (a) nilai m dan nilai n, (b) (f –1)2 (x). KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 39 Diberi f –1(x) = 4 – px 2 dan g(x) = 2x2 – 4, cari (a) f(x) dalam sebutan p, (b) nilai p dengan keadaan f(x2 ) = 2g(–x). 40 Diberi fungsi f : x → h – kx, cari (a) f –1(x) dalam sebutan h dan k, (b) nilai h dan nilai k jika f –1(8) = –1 dan f(4) = –2. 41 Diberi f(x) = 9x + 4 dan g(x) = 3x + 8, cari (a) fg–1(x), (b) nilai x dengan keadaan gf(–x) = 23. 42 Gambar rajah anak panah berikut menunjukkan pemetaan x kepada y oleh fungsi f : x → a b – x , x ≠ b dan pemetaan z kepada y oleh fungsi g : z → 5 + bz 3z , z ≠ 0. 2 1 x y z –5 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 8 17-Feb-23 8:46:12 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 9 Cari (a) nilai a dan nilai b, (b) fungsi yang memetakan y kepada z, (c) fungsi yang memetakan x kepada z. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 43 Diberi f : x → 3x + 5 x – h , x ≠ h dan fungsi songsangnya f –1 : x → 2x + 5 x – k , x ≠ k cari (a) nilai h dan nilai k, (b) nilai-nilai x supaya f –1(x) = 3x + 1. 44 Diberi fungsi f : x → px + q, g : x → (x – 1)2 – 3 dan fg : x → 3(x – 1)2 – 11, cari (a) nilai g2 (–1), (b) nilai p dan nilai q, (c) gf –1. 45 Diberi fungsi f : x → 2x – m dan fungsi songsangnya f –1 : x → nx + 7 2 , cari (a) nilai m dan nilai n, (b) (i) nilai f(2), (ii) nilai f –1f(2). 46 Satu fungsi f ditakrifkan oleh f : x → k – x 5 + 2x bagi semua nilai x kecuali x = h, dengan keadaan k ialah pemalar. (a) Nyatakan nilai h. (b) Diberi bahawa 1 memetakan kepada dirinya sendiri di bawah fungsi f, cari (i) nilai k, (ii) nilai x yang memetakan kepada dirinya sendiri, selain daripada 1. (iii) nilai f –1(2). KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 47 Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 2x x – 4, x ≠ 4. (a) Cari f 2 dan f –1. Nyatakan nilai x dengan keadaan fungsi itu tidak tertakrif. (b) Seterusnya, cari nilai positif x dengan keadaan f 2 = f –1. KBAT Mengaplikasi 48 Fungsi f ditakrifkan oleh f (x) = 2x – 4 untuk domain 0  x  4. (a) Cari f –1(x). (b) Lakar garis lurus y = x, y = f(x) dan y = f –1(x) pada satah Cartes yang sama. Apakah hubungan antara graf f(x) dengan f –1(x)? (c) Tentukan (i) domain dan julat bagi f(x), (ii) domain dan julat bagi f –1(x). Buat satu kesimpulan tentang kaitan antara jawapan anda di (c)(i) dengan jawapan anda di (c)(ii). KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 49 Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → 3x + 4. Satu lagi fungsi g adalah dengan keadaan gf : x → 9x2 + 24x + 22. Cari (a) fungsi g, (b) nilai-nilai p dengan keadaan g–1(5p) = p, (c) nilai-nilai x jika fg(x) = gf(x). KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 50 (a) Fungsi h ditakrifkan oleh h : x → 12 x – 4 , x ≠ 4. Cari nilai-nilai x yang memetakan kepada diri sendiri. (b) Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → 2 – 2x. Cari (i) f –1, (ii) fungsi g dengan keadaan gf –1 : x → x2 – 4x + 5. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 9 17-Feb-23 8:46:12 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 1 10 1 1 2 atau –2 2 –1 atau 7 3 x = ±2 4 m = 4, k = 7 5 t = 5 6 atau –2 6 (–3, 1) y x (1, 3) 2 –2 O 7 y (3, 9) 3 3 4 (–1, 7) x O 8 x = 3 2 3 atau 1 9 11 10 5 11 25 12 p = 14 13 gf : x → 6x – 8 x – 2 , x ≠ 2 14 g2 : x → x4 – 6x2 + 6 15 g : x → 3 – 2x x – 1 , x ≠ 1 16 g : x → x2 – 4x + 1 17 7 18 m = 4, k = 16 19 gf : x → 3x + 5 2 20 a = 3, b = 4 21 (a) f : x → x2 – 2 (b) k = –2 atau 4 22 (a) t = 1 1 2 atau –2 1 2 (b) 36t2 + 60t + 24 (c) 120 23 (a) h = 5, k = 8 atau h = –5, k = –12 (b) x = – 1 2 24 (a) fg : x → 2x + 13 (b) k = –1 1 2 atau 4 25 (a) h = 2, k = –6 (b) 26 26 p(x) = x2 + 14 x = 3 atau 9 27 4 28 f –1 : x → 2x x – 1, x ≠ 1 29 (g–1)2 (x) = x – 5 16 30 fg–1(x) = x + 4 x – 4 , x ≠ 4 31 m–1n–1 : x → 2x – 10 32 3 33 g(x) = 3 2x – 1, x ≠ 1 2 34 p = –3, q = 2 35 k = ±3 36 k = – 2 3 atau 1 37 (a) f(x) = mx – 1 x (b) m = 2 38 (a) m = 2, n = –3 (b) (f –1)2 (x) = x + 9 4 39 (a) f(x) = 4 – 2x p (b) p = – 1 2 40 (a) f –1(x) = h – x k (b) h = 6, k = 2 41 (a) fg–1(x) = 3x – 20 (b) x = – 1 9 42 (a) a = 2, b = 4 (b) g–1(y) = 5 3y – 4, y ≠ 4 3 (c) g–1 f(x) = 20 – 5x 4x – 10, x ≠ 5 2 43 (a) h = 2, k = 3 (b) x = – 2 3 atau 4 44 (a) –3 (b) p = 3, q = –2 (c) gf –1(x) = x2 – 2x – 26 9 45 (a) m = 7, n = 1 2 (b) (i) –3 (ii) 2 46 (a) h = –2 1 2 (b) (i) k = 8 (ii) x = –4 (iii) – 2 5 47 (a) f 2 (x) = 2x 8 – x , x ≠ 8 f –1(x) = 4x x – 2, x ≠ 2 (b) x = 6 48 (a) f –1(x) = x + 4 2 (b) –2 2 –2 –4 O 4 2 4 x –4 y y = x y = f(x) = 2x – 4 y = f –1(x) = x + 4 2 Graf bagi f –1 adalah pantulan bagi graf f pada garis lurus y = x. (c) (i) Domain bagi f(x) ialah 0  x  4. Julat bagi f(x) ialah –4  f(x)  4. (ii) Domain bagi f –1(x) ialah –4  x  4. Julat bagi f –1(x) ialah 0  f –1(x)  4. Kesimpulan: Domain bagi f –1(x) ialah julat bagi f(x). Julat bagi f –1(x) ialah domain bagi f(x). 49 (a) g(x) = x2 + 6 (b) p = 2 atau 3 (c) x = 0 atau –4 50 (a) x = 6 atau –2 (b) (i) f –1(x) = 2 – x 2 (ii) g(x) = 4x2 + 1 Jawapan Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B1 4th.indd 10 17-Feb-23 8:46:13 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

11 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 1 Punca-punca persamaan kuadratik boleh ditentukan melalui kaedah berikut: (a) penyempurnaan kuasa dua (b) rumus 2 Rumus untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 ialah x = –b ± ! b2 – 4ac 2a 3 Jika x = α dan x = β ialah puncapunca bagi persamaan kuadratik, maka persamaan kuadratik itu boleh dibentukkan seperti berikut. (x – α)(x – β) = 0 x 2 – (α + β)x + αβ = 0 atau x2 – (Hasil tambah punca)x + (Hasil darab punca) = 0 ... ➀ 4 Bagi persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x 2 + b a x + c a = 0 ... ➁, Membandingkan ➀ dan ➁: Hasil tambah punca = – b a Hasil darab punca = c a 5 Ketaksamaan kuadratik boleh diselesaikan melalui kaedah lakaran graf seperti berikut. (a) h k x (x – h)(x – k)  0 (x – h)(x – k)  0 h  x  k h  x  k (b) h k x (x – h)(x – k)  0 (x – h)(x – k)  0 x < h atau x  k x  h atau x  k 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik 1 Jenis-jenis punca bagi suatu persamaan kuadratik boleh ditentukan daripada nilai b2 – 4ac. b2 – 4ac  0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac  0 Puncapunca nyata yang berbeza Puncapunca nyata yang sama Tiada punca nyata b2 – 4ac  0 Punca-punca nyata NOTA EKSPRES Fungsi Kuadratik Bidang Pembelajaran: Algebra Bab 2 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 11 17-Feb-23 8:46:49 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 12 2.3 Fungsi Kuadratik 1 Kedudukan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = ax 2 + bx + c terhadap paksi-x bergantung kepada jenis punca persamaaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0. Jenis punca a adalah positif (a  0) a adalah negatif (a  0) b2 – 4ac  0 (Dua punca nyata yang berbeza) Graf menyilang paksi-x pada dua titik yang berlainan. x x b2 – 4ac = 0 (Dua punca nyata yang sama) Graf menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja. x x b2 – 4ac  0 (Tiada punca nyata) Graf tidak bertemu dengan paksi-x. x x 2 Fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c mempunyai satu nilai maksimum jika pekali x 2 adalah negatif, iaitu a  0, dan satu nilai minimum jika pekali x 2 adalah positif, iaitu a  0. 3 Nilai maksimum atau nilai minimum bagi suatu fungsi kuadratik f(x) = ax 2 + bx + c dapat dicari dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, iaitu dengan mengungkapkan ax 2 + bx + c dalam bentuk verteks a(x – h)2 + k. 4 Apabila a  0 (iaitu tanda di hadapan tanda kurung adalah positif) maka fungsi a(x – h)2 + k mempunyai nilai minimum. Nilai minimum itu ialah k dan ini berlaku apabila x – h = 0, iaitu x = h. Bagi kes a adalah positif (a  0) y x O (h, k) Nilai minimum = k x = h 5 Apabila a  0 (iaitu tanda di hadapan tanda kurung adalah negatif), maka fungsi a(x – h)2 + k mempunyai nilai maksimum. Nilai maksimum itu ialah k dan ini berlaku apabila x – h = 0, iaitu x = h. Bagi kes a adalah negatif (a  0) y x O (h, k) Nilai maksimum = k x = h 6 Langkah-langkah untuk melakar graf fungsi kuadratik ialah: (a) Cari koordinat titik maksimum atau minimum dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. (b) Untuk titik minimum, buat lakaran awal ∪. Untuk titik maksimum pula, buat lakaran awal ∩. (c) Jika lengkung dijangka menyilang paksi-y dan paksi-x berdasarkan Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 12 17-Feb-23 8:46:50 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 13 lakaran awal, cari titik-titik di mana ia menyilang paksi-y dan paksi-x itu. (d) Jika lengkung dijangka akan menyilang paksi-y sahaja dan tidak akan menyilang paksi-x, maka jalan kerja untuk mencari titik-titik di mana ia menyilang paksi-x tidak perlu dilakukan. (e) Lakar lengkung itu selengkapnya dan labelkan dengan jelas koordinat titik maksimum atau minimum dan titik-titik di mana ia menyilang paksi-y dan / atau paksi-x. (f) Lakar dan labelkan persamaan paksi simetri jika dikehendaki oleh soalan. Paksi simetri ialah garis lurus yang selari dengan paksi-y dan melalui titik maksimum atau minimum. Bagi fungsi kuadratik f(x) = ax 2 + bx + c = a(x – p)2 + q, persamaan paksi simetri ialah x = p = – b 2a . 7 (a) Jika satu garis lurus bersilang dengan satu lengkung pada dua titik berlainan, maka b2 – 4ac  0 digunakan. (b) Jika satu garis lurus menyentuh satu lengkung pada satu titik sahaja, maka b2 – 4ac = 0 digunakan. Dalam kes ini, garis lurus itu ialah tangen kepada lengkung itu. Tangen (c) Jika satu garis lurus tidak bertemu dengan lengkung, maka b2 – 4ac , 0 digunakan. 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik Contoh 1 Selesaikan persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah yang dinyatakan. (a) 3x2 + 5x – 2 = 0 (Guna kaedah penyempurnaan kuasa dua) (b) 2x2 – 4x + 1 = 0 (Guna rumus) Penyelesaian (a) 3x2 + 5x – 2 = 0 3x2 + 5x = 2 Tulis semula dalam bentuk ax2 + bx = c. x2 + 5 3 x = 2 3 Bahagi seluruh persamaan dengan 3 supaya pekali x2 menjadi 1. x2 + 5 3 x + 25 36 = 2 3 + 25 36 Tambah 1 1 2 × pekali x2 2 di kedua-dua belah persamaan. 1x + 5 6 2 2 = 49 36 Ungkapkan semua sebutan di sebelah kiri persamaan sebagai kuasa dua sempurna. x + 5 6 = ±! 49 36 x + 5 6 = ± 7 6 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 13 17-Feb-23 8:46:50 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 14 x + 5 6 = 7 6 atau x + 5 6 = – 7 6 x = 7 6 – 5 6 x = – 7 6 – 5 6 x = 1 3 x = –2 (b) 2x2 – 4x + 1 = 0 x = –b ± ! b2 – 4ac 2a x = –(–4) ± ! (–4)2 – 4(2)(1) 2(2) Guna rumus x = 4 ± ! 8 4 x = 4 ± 2.8284 4 x = 4 + 2.8284 4 atau x = 4 – 2.8284 4 x = 1.71 atau x = 0.29 TIP BIJAK Rumus sesuai digunakan apabila (a) persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 sukar untuk difaktorkan kerana nilai-nilai a, b dan c yang amat besar, (b) persamaan kuadratik itu tidak boleh difaktorkan. Contoh 2 Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca – 1 4 dan 3 5 . Penyelesaian Hasil tambah punca = – 1 4 + 3 5 = 7 20 Hasil darab punca = – 1 4 × 3 5 = – 3 20 Persamaan kuadratik yang terbentuk ialah x2 – 7 20 x – 3 20 = 0 20x2 – 7x – 3 = 0 x2 – (Hasil tambah punca)x + (Hasil darab punca) = 0 Contoh 3 Jika α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + 5x – 12 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 1 α dan 1 β . Penyelesaian Punca-punca bagi 2x2 + 5x – 12 = 0 ialah α dan β. Hasil tambah punca = α + β = – b a = – 5 2 Hasil darab punca = αβ = c a = – 12 2 = –6 Punca-punca baharu ialah 1 α dan 1 β . Hasil tambah Hasil darab punca baharu: punca baharu: 1 α + 1 β = β + α αβ 1 1 α21 1 β2 = 1 αβ = – 5 2 –6 = 1 –6 = 5 12 = – 1 6 Maka, persamaan kuadratik baharu dengan punca-punca 1 α dan 1 β ialah x2 – 5 12 x – 1 6 = 0 ⇒ 12x2 – 5x – 2 = 0 x2 – (Hasil tambah punca)x + (Hasil darab punca) = 0 Contoh 4 Salah satu daripada punca-punca persamaan kuadratik x2 + 8 = (p + 1)x ialah dua kali punca yang satu lagi. Cari nilai-nilai p yang mungkin. Penyelesaian x2 + 8 = (p + 1)x x2 – (p + 1)x + 8 = 0 Susun persamaan dalam bentuk am. Maka, a = 1, b = –(p + 1) dan c = 8. Katakan α dan 2α ialah punca-punca persamaan kuadratik itu. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 14 17-Feb-23 8:46:51 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 15 Hasil tambah punca, α + 2α = – b a 3α = – 1 –(p + 1) 1 2 3α = p + 1 α = p + 1 3 ...... ➀ Hasil darab punca, (α)(2α) = c a 2α2 = 8 1 α2 = 4 ...... ➁ Gantikan ➀ ke dalam ➁: 1 p + 1 3 2 2 = 4 1 p2 + 2p + 1 9 2 = 4 p2 + 2p + 1 = 36 p2 + 2p – 35 = 0 (p – 5)(p + 7) = 0 Gunakan pemfaktoran. ∴ p = 5 atau –7 Contoh 5 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan kuadratik 2x2 + 5x – 12  0. Penyelesaian 2x2 + 5x – 12  0 (x + 4)(2x – 3)  0 Gunakan pemfaktoran. Katakan (x + 4)(2x – 3) = 0 ⇒ x = –4 atau 1 1 2 Maka, graf itu akan menyilang paksi-x pada titik-titik (–4, 0) dan 11 1 2 , 02. Rantau di sebelah bawah paksi-x yang perlu dilorekkan kerana ketaksamaan yang diberikan ialah . –4 x 11 2 Maka, julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan kuadratik 2x2 + 5x – 12  0 ialah –4  x  1 1 2 . Contoh 6 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan kuadratik –6x2 – 5x + 6  0. Penyelesaian TIP BIJAK Tukar tanda setiap sebutan supaya pekali x2 berubah daripada negatif kepada positif untuk memudahkan pemfaktoran. Anda diingatkan untuk menyongsangkan arah ketaksamaan. –6x2 – 5x + 6  0 6x2 + 5x – 6 > 0 (2x + 3)(3x – 2)  0 ... * Katakan (2x + 3)(3x – 2) = 0 ⇒ x = – 3 2 atau 2 3 Maka, graf itu akan menyilang paksi-x pada titik-titik 1– 3 2 , 02 dan 1 2 3 , 02. 2 3 – 3 2 x Rantau di sebelah atas paksi-x yang perlu dilorekkan kerana ketaksamaan yang diperoleh pada langkah * ialah . Maka, julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan kuadratik –6x2 – 5x + 6  0 ialah x  – 3 2 atau x  2 3 . Jika soalan menggunakan tatatanda ketaksamaan  (iaitu termasuk tanda ‘sama dengan’), maka jawapan harus juga mempunyai tanda ‘sama dengan’. Gunakan pemfaktoran. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 15 17-Feb-23 8:46:51 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 16 Kesilapan Lazim 6x2 + 5x – 6  0 (2x + 3)(3x – 2)  0 x  – 3 2 atau x  2 3 Salah kerana langkah bagi lakaran graf tidak dilakukan. 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik Contoh 7 Diberi persamaan kuadratik 2x2 – (2 + h)x + 2 = 0 mempunyai puncapunca nyata yang sama, cari nilai-nilai h. Penyelesaian Diberi 2x2 – (2 + h)x + 2 = 0, dengan keadaan a = 2, b = –(2 + h) dan c = 2. Bagi kes ‘punca-punca nyata yang sama’, b2 – 4ac = 0 digunakan. b2 – 4ac = 0 [–(2 + h)]2 – 4(2)(2) = 0 (2 + h)2 – 16 = 0 4 + 4h + h2 – 16 = 0 h2 + 4h – 12 = 0 (h – 2)(h + 6) = 0 Gunakan pemfaktoran. ∴h = 2 atau –6 Contoh 8 Cari julat nilai h jika persamaan kuadratik x(x + h + 3) = –1 mempunyai dua punca nyata yang berbeza. Penyelesaian x(x + h + 3) = –1 x2 + hx + 3x + 1 = 0 x2 + (h + 3)x + 1 = 0 Susun persamaan dalam bentuk am. Maka, a = 1, b = h + 3 dan c = 1. Jika persamaan kuadratik mempunyai dua punca nyata yang berbeza, maka b2 – 4ac  0 (h + 3)2 – 4(1)(1)  0 h2 + 6h + 9 – 4  0 h2 + 6h + 5  0 (h + 5)(h + 1)  0 –5 –1 h Maka, julat nilai h ialah h  –5 atau h  –1. Contoh 9 Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik x2 + kx + 16 = 2(x + k) tidak mempunyai punca nyata. Penyelesaian x2 + kx + 16 = 2(x + k) x2 + kx + 16 = 2x + 2k x2 + kx – 2x + 16 – 2k = 0 x2 + (k – 2)x + 16 – 2k = 0 Susun persamaan dalam bentuk am. Maka, a = 1, b = k – 2 dan c = 16 – 2k. Jika persamaan kuadratik tidak mempunyai punca nyata, maka b2 – 4ac  0 (k – 2)2 – 4(1)(16 – 2k)  0 k2 – 4k + 4 – 64 + 8k  0 k2 + 4k – 60  0 (k + 10)(k – 6)  0 –10 6 k Maka, julat nilai k ialah –10  k  6. 2.3 Fungsi Kuadratik Contoh 10 Ungkapkan fungsi kuadratik f(x) = 2x2 – 3x – 5 dalam bentuk a(x – h)2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. Seterusnya, nyatakan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi tersebut dan nilai x yang sepadan. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 16 17-Feb-23 8:46:51 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 17 Penyelesaian TIP BIJAK Untuk proses ‘melengkapkan kuasa dua’, pekali x2 mestilah 1. Maka, jika pekali x2 bukan 1, maka ia mesti dikecilkan menjadi 1 terlebih dahulu dengan cara pemfaktoran. f(x) = 2x2 – 3x – 5 = 21 x2 – 3 2 x – 5 2 2 Nombor 2 dikeluarkan sebagai faktor untuk mengecilkan pekali x2 kepada 1. = 21 x2 – 3 2 x + 9 16 – 9 16 – 5 2 2 Tambah dan tolak 1 1 2 × pekali x2 2 = 3 1 2 × 1– 3 2 24 2 = 9 16 = 231x – 3 4 2 2 – 9 16 – 5 2 4 Tiga sebutan pertama, iaitu 1 x2 – 3 2 x + 9 162 difaktorkan menjadi kuasa dua sempurna, iaitu 1 x – 3 4 2 2 . = 231x – 3 4 2 2 – 49 164 Jangan lupa darabkan 2 dengan setiap sebutan dalam kurungan pada langkah terakhir. = 21 x – 3 4 2 2 – 49 8 Bentuk a(x – h)2 + k, dengan keadaan a = 2, h = 3 4 dan k = – 49 8 . TIP BIJAK Oleh sebab nombor sebelum kurungan (iaitu a = 2) adalah positif, maka nilai f(x) adalah minimum. ∴ Nilai minimum f(x) = – 49 8 = –6 1 8 apabila x – 3 4 = 0 ⇒ x = 3 4 . Contoh 11 (a) Ungkapkan fungsi kuadratik f(x) = –2x2 + 5x + 3 dalam bentuk a(x – p) 2 + q, dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar. Seterusnya, nyatakan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi itu serta nilai x yang sepadan. (b) Lakar graf fungsi f(x) = –2x2 + 5x + 3. (c) Nyatakan persamaan paksi simetri bagi graf fungsi f(x). (d) Seterusnya, lakar graf untuk fungsi nilai mutlak g(x) = |–2x2 + 5x + 3|. Penyelesaian (a) f(x) = –2x2 + 5x + 3 = –21x2 – 5 2 x – 3 2 2 Nombor –2 dikeluarkan sebagai faktor untuk mengecilkan pekali x2 kepada 1. = –21x2 – 5 2 x + 25 16 – 25 16 – 3 2 2 Tambah dan tolak 1 1 2 × pekali x2 2 = 3 1 2 × 1– 5 2 24 2 = 25 16 = –231x – 5 4 2 2 – 25 16 – 24 164 Tiga sebutan pertama, iaitu 1x2 – 5 2 x + 25 162 difaktorkan menjadi kuasa dua sempurna, iaitu 1x – 5 4 2 2 . = –231x – 5 4 2 2 – 49 164 Jangan lupa darabkan 2 dengan setiap sebutan dalam kurungan pada langkah terakhir. = –21x – 5 4 2 2 + 49 8 TIP BIJAK Oleh sebab angka di depan kurungan (iaitu a = –2) adalah negatif, maka nilai fungsi f(x) adalah maksimum. ∴Nilai maksimum fungsi f(x) = 49 8 = 6 1 8 apabila x – 5 4 = 0 ⇒ x = 5 4 = 1 1 4 . Bentuk a(x – p)2 + q, dengan keadaan a = –2, p = 5 4 dan q = 49 8 . Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 17 17-Feb-23 8:46:52 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 18 (b) Langkah 1 Daripada (a), telah ditentukan bahawa nilai maksimum f(x) ialah 6 1 8 apabila x = 1 1 4 . Oleh itu, titik maksimum graf tersebut ialah 1 1 1 4 , 6 1 8 2 . Lakaran awal graf itu adalah seperti berikut. y x O 111 4 , 61 82 Langkah 2 Kemudian, titik-titik di mana graf itu menyilang paksi-x dan paksi-y hendaklah ditentukan. Pada paksi-x, y = 0. Apabila y = 0, –2x2 + 5x + 3 = 0 2x2 – 5x – 3 = 0 (2x + 1)(x – 3) = 0 x = – 1 2 atau 3 Maka, graf itu menyilang paksi-x pada titik-titik 1– 1 2 , 02 dan (3, 0). Pada paksi-y, x = 0. Apabila x = 0, y = –2(0)2 + 5(0) + 3 = 3 Maka, graf itu menyilang paksi-y pada titik (0, 3). Langkah 3 Lakaran penuh graf itu adalah seperti berikut. 3 y 3 x O 111 4 , 61 82 – 1 2 (c) Persamaan paksi simetri ialah x = 1 1 4 . Paksi simetri ialah garis menegak yang melalui titik maksimum. Kaedah Alternatif Persamaan paksi simetri ialah x = – b 2a = –1 5 2(–2) 2 = 1 1 4 (d) Graf untuk fungsi nilai mutlak g(x) = |–2x2 + 5x + 3| adalah seperti berikut. 3 y 3 x O 111 4 , 61 82 – 1 2 Bahagian graf bagi fungsi f(x) = –2x2 + 5x + 3 yang berada di bawah paksi-x dipantulkan pada paksi-x. Contoh 12 Cari julat nilai t jika graf fungsi kuadratik f(x) = tx2 + 9x + t + 12 bersilang dengan paksi-x pada dua titik yang berbeza. Penyelesaian f(x) = tx2 + 9x + t + 12 dengan keadaan a = t, b = 9 dan c = t + 12. Bagi kes dengan keadaan graf fungsi kuadratik menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza, b2 – 4ac  0 digunakan. b2 – 4ac  0 92 – 4t(t + 12)  0 81 – 4t2 – 48t  0 –4t 2 – 48t + 81  0 4t 2 + 48t – 81 , 0 (2t + 27)(2t – 3) , 0 Susun persamaan dalam bentuk am. Jika tanda setiap sebutan diubah, maka tanda ketaksamaan mesti disongsangkan juga. Gunakan pemfaktoran. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 18 17-Feb-23 8:46:52 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 19 3 2 – 27 2 t Maka, julat nilai t ialah – 27 2  t  3 2 ⇒ –13 1 2  t  1 1 2 . Contoh 13 Cari julat nilai m sekiranya garis lurus y = m(4x + 5) menyilang lengkung y = 4x2 + 12x + 15 pada dua titik yang berbeza. Penyelesaian y = 4x2 + 12x + 15 y = m(4x + 5) y = m(4x + 5) … ➀ y = 4x2 + 12x + 15 … ➁ Gantikan ➁ ke dalam ➀: 4x2 + 12x + 15 = m(4x + 5) 4x2 + 12x + 15 = 4mx + 5m 4x2 + 12x – 4mx + 15 – 5m = 0 4x2 + (12 – 4m)x + 15 – 5m = 0 4x2 + 4(3 – m)x + 15 – 5m = 0 a = 4, b = 4(3 – m), c = 15 – 5m Susun persamaan dalam bentuk am. Jika garis lurus menyilang garis lengkung pada dua titik yang berbeza, b2 – 4ac  0 digunakan. b2 – 4ac  0 [4(3 – m)]2 – 4(4)(15 – 5m)  0 16(3 – m) 2 – 16(15 – 5m)  0 (3 – m) 2 – (15 – 5m)  0 Seluruh ketaksamaan dibahagikan dengan 16. 9 – 6m + m2 – 15 + 5m  0 m2 – m – 6  0 (m + 2)(m – 3)  0 –2 3 m Maka, julat nilai m ialah m  –2 atau m  3. Contoh 14 Diberi fungsi kuadratik f(x) = x2 – tx + t + 3 adalah sentiasa positif, cari julat nilai t. Penyelesaian TIP BIJAK Jika suatu fungsi kuadratik adalah sentiasa positif, grafnya sentiasa berada di sebelah atas paksi-x, iaitu ia tidak menyilang paksi-x. Maka, b2 – 4ac  0 digunakan. x f(x) = x2 – tx + t + 3 a = 1, b = –t, c = t + 3 b2 – 4ac  0 (–t)2 – 4(1)(t + 3)  0 t 2 – 4t – 12  0 (t + 2)(t – 6)  0 t –2 6 Maka, julat nilai t dengan keadaan f(x) = x2 – tx + t + 3 adalah sentiasa positif ialah –2  t  6. Jika suatu fungsi kuadratik adalah sentiasa positif atau sentiasa negatif, b2 – 4ac  0 digunakan dan bukannya b2 – 4ac  0. Kesilapan Lazim Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 19 17-Feb-23 8:46:53 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 20 Cari julat nilai k jika fungsi kuadratik f(x) = 5x2 + 4kx + k2 – 20 adalah sentiasa positif bagi semua nilai x. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian TIP BIJAK Jika suatu fungsi kuadratik adalah sentiasa positif, grafnya sentiasa berada di atas paksi-x, iaitu ia tidak menyilang paksi-x. Maka, b2 – 4ac  0 digunakan. x y = f(x) f(x) = 5x2 + 4kx + k2 – 20 dengan keadaan a = 5, b = 4k dan c = k2 – 20. b2 – 4ac  0 (4k) 2 – 4(5)(k2 – 20)  0 16k2 – 20(k2 – 20)  0 16k2 – 20k2 + 400  0 –4k2 + 400  0 –k2 + 100  0 k2 – 100 . 0 (k + 10)(k – 10) . 0 Seluruh ketaksamaan dibahagi dengan 4. Apabila tanda setiap sebutan diubah, maka tanda ketaksamaan mesti juga disongsangkan. k –10 10 Maka, julat nilai k ialah k  –10 atau k  10. 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 1 Selesaikan persamaan kuadratik k2 – k – 12 = 0 dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. 2 Cari punca-punca persamaan kuadratik 2x2 – 9x + 6 = 0. Nyatakan jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan. 3 Rajah berikut menunjukkan pandangan hadapan bagi empat keping papan dengan lebar yang sama. Jumlah luas permukaan hadapan keempat-empat papan itu ialah 80 cm2 . 26 cm Keempat-empat keping papan itu digunakan untuk menghasilkan sebuah bingkai gambar berbentuk segi empat tepat seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. 26 cm 16 cm Hitung lebar, dalam cm, bagi setiap keping papan itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 4 Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca – 2 3 dan 3 2 . 5 Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca berulang 4. Zon KBAT Praktis SPM 2 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 20 17-Feb-23 8:46:53 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 21 6 Diberi bahawa salah satu punca persamaan kuadratik px2 – px + 2 = 0 ialah dua kali punca yang lain, cari nilai p. 7 Jika salah satu punca persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 ialah dua kali punca yang lain, cari satu ungkapan yang menghubungkan a, b dan c. KBAT Mengaplikasi 8 Jika m dan n ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + 2x – 8 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 2m dan 2n. 9 Salah satu punca persamaan kuadratik x2 – px + 8 = 0 ialah kuasa dua punca yang lain. Cari nilai p. KBAT Mengaplikasi 10 Persamaan kuadratik x2 + kx + 3 = 0 mempunyai punca-punca α dan β. Persamaan kuadratik 2x2 + 2 = 8x + k juga mempunyai punca-punca α dan β. Cari nilai k. KBAT Mengaplikasi 11 Diberi bahawa 2 dan m + 1 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + (n – 2)x + 6 = 0, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Cari nilai m dan nilai n. KBAT Mengaplikasi 12 Diberi bahawa –3 dan k ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 1)(x – 1) = p(1 – 3x), dengan keadaan p ialah pemalar. Cari nilai p dan nilai k. 13 Diberi bahawa p + 1 dan q – 1 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + 3x = 10. Cari nilai-nilai p dan nilainilai q yang sepadan. KBAT Menganalisis KBAT Mengaplikasi 14 Diberi p dan q ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x2 – x – 6 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 2p + 1 dan 2q + 1. 15 Diberi bahawa α and β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + 5x – 2 = 0, cari persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 1 α + 1 dan 1 β + 1 . KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 16 Salah satu daripada punca-punca persamaan kuadratik 3x2 + (p + 1)x + p + 6 = 0 ialah 1 3 kali punca yang satu lagi. Cari nilai-nilai p. 17 Salah satu daripada punca-punca persamaan kuadratik 2kx2 + 1 = kx ialah dua kali punca yang satu lagi. (a) Cari nilai k. (b) Seterusnya, cari punca-punca persamaan kuadratik itu. 18 Diberi bahawa punca-punca persamaan kuadratik kx2 – 5x + k + 1 = 0, k ≠ 0 adalah dalam nisbah 2 : 3, cari nilai-nilai k. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 19 Diberi bahawa k 3 dan k 5 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 15x2 + 16x + m = 0, cari nilai k dan nilai m. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 20 Persamaan kuadratik px2 – (p + 4)x + (2q + 1) = 0, p ≠ 0 mempunyai punca-punca 1 p dan q. (a) Cari nilai p dan nilai q. (b) Dengan menggunakan nilai p dan nilai q di (a), bentukkan satu persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca –p dan 2 3 q. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 21 α 2 dan β 2 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik kx2 + 2m = (k + 5)x. Jika α + β = 7 dan αβ = 12, cari nilai k dan nilai m. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 22 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan 3x2 – 5x – 2  0. 23 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan (x – 1)(x – 2)  6. 24 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan –x2 + 2x + 35  0. 25 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan 10  3x2 – x. 26 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan (x – 1)2  (x – 1)(2x + 3). Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 21 17-Feb-23 8:46:54 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 22 27 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan (x + 3)(1 – 2x)  0. 28 Cari julat nilai x yang memuaskan ketaksamaan xy  2 dan y – 2x + 3 = 0. 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik 29 Tentukan jenis punca bagi persamaan kuadratik 3x2 + 4 = 7x. 30 Tentukan jenis punca bagi persamaan kuadratik 2x2 + 3 = 4x. 31 Tentukan jenis punca bagi persamaan kuadratik 4x2 + 9 = 12x. 32 Cari nilai p sekiranya persamaan kuadratik 4x2 – (4 + p)x + p = 0 mempunyai punca-punca nyata yang sama. 33 Cari nilai-nilai h sekiranya persamaan kuadratik (h + 3)x2 – 3hx + 9 = 0 mempunyai punca-punca nyata yang sama. 34 Sekiranya persamaan kuadratik p2 x2 + 4qx + 25 = 0 mempunyai puncapunca nyata yang sama dengan keadaan p  0 dan q  0, cari p : q. KBAT Mengaplikasi 35 Cari julat nilai t jika persamaan kuadratik x2 + tx + 2t – 3 = 0 mempunyai puncapunca nyata yang berbeza. 36 Cari julat nilai q jika persamaan kuadratik x2 – qx + q + 3 = 0 tidak mempunyai punca nyata. 37 Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik 2x2 + 20 = k(2x + 3) mempunyai dua punca nyata yang berbeza. 38 Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik 3x2 – 3kx + (k2 – k – 3) = 0 tidak mempunyai punca nyata. 39 Cari julat nilai t jika persamaan kuadratik (2t + 1)x2 + 2t = 4 – 3tx mempunyai dua punca nyata yang berbeza. 2.3 Fungsi Kuadratik 40 Jika lengkung y = –x2 + nx – 9 menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja, cari nilainilai n. KBAT Mengaplikasi 41 Cari julat nilai k jika graf fungsi kuadratik f(x) = 2x2 + kx + 2 bersilang dengan paksi-x pada dua titik yang berbeza. 42 Cari julat nilai m jika graf fungsi kuadratik g(x) = x2 + mx + 16 tidak menyilang paksi-x. 43 Nyatakan nilai maksimum bagi fungsi kuadratik f(x) = –3(x – 4)2 – 5 dan persamaan paksi simetrinya. 44 Ungkapkan fungsi kuadratik f(x) = 2x2 + 3x – 4 dalam bentuk a(x – h) 2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. 45 Ungkapkan fungsi kuadratik g(x) = 4 – x – 3x2 dalam bentuk a(x – h) 2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. 46 Dengan mengungkapkan f(x) = 2x2 – 3x + 1 dalam bentuk a(x – h) 2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar, cari nilai minimum f(x). 47 Dengan mengungkapkan g(x) = 3 + 2x – 2x2 dalam bentuk a(x – h)2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar, cari nilai maksimum g(x). 48 Dengan mengungkapkan f(x) = 3x2 – 6x + 8 dalam bentuk a(x – h) 2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar, cari nilai x apabila f(x) mempunyai satu nilai minimum. 49 Dengan mengungkapkan g(x) = –x2 + 3x – 7 dalam bentuk a(x – h) 2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar, cari nilai x apabila g(x) mempunyai satu nilai maksimum. 50 Cari nilai-nilai k sekiranya fungsi kuadratik f(x) = x2 + 2kx + k mempunyai nilai minimum –2. KBAT Mengaplikasi 51 Cari persamaan paksi simetri untuk graf fungsi kuadratik f(x) = 2x2 – 5x + 6. 52 Cari persamaan paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik g(x) = 7 – 2x – 3x2 . Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 22 17-Feb-23 8:46:54 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 23 53 Cari julat nilai k sekiranya fungsi kuadratik f(x) = 2x2 – x + k adalah sentiasa positif. KBAT Mengaplikasi 54 Cari julat nilai h sekiranya fungsi kuadratik g(x) = h + 3x – 5x2 adalah sentiasa negatif. KBAT Mengaplikasi 55 Fungsi f(x) = –x2 + 4kx – 5k2 – 1 mempunyai nilai maksimum –r 2 – 2k, dengan keadaan r dan k ialah pemalar. (a) Dengan penyempurnaan kuasa dua, tunjukkan bahawa r = k – 1. (b) Seterusnya, cari nilai k dan nilai r jika graf fungsi itu bersimetri pada paksi x = r 2 – 1, dengan keadaan k ≠ 0. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 56 Diberi fungsi kuadratik f(x) = 5x – 3 – 2x2 , (a) ungkapkan fungsi kuadratik itu dalam bentuk a(x – p) 2 + q, dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar, (b) tentukan nilai maksimum atau minimum f(x) dan nyatakan nilai x yang sepadan, (c) lakar graf fungsi f(x) itu. 57 Cari nilai maksimum atau minimum fungsi kuadratik f(x) = (2 – 3x)(x + 1) + 2(5x – 1) – 6. Seterusnya, lakar graf bagi fungsi f(x) itu. 58 (a) Lakar graf fungsi f(x) = x2 + 2x – 3 untuk domain –4  x  3. (b) Seterusnya, lakar graf bagi fungsi g(x) = |x2 + 2x – 3| untuk domain –4  x  3 dan nyatakan julat nilai yang sepadan bagi fungsi g(x) untuk domain yang diberi. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 59 Diberi bahawa y = 3 + hx – x2 = –(x – k) 2 + 4, dengan keadaan h  0 dan k  0. (a) Cari nilai h dan nilai k. (b) Cari persamaan paksi simetri lengkung itu. (c) Lakar graf fungsi itu. (d) Jika garis lurus y = mx + 4 ialah tangen kepada lengkung itu, cari nilainilai m yang mungkin. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 60 y = x2 + 2px + 4p mempunyai satu nilai minimum iaitu 4. (a) Cari nilai p yang mungkin. (b) Dengan menggunakan nilai p di (a), lakar graf y = x2 + 2px + 4p. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 61 Rajah menunjukkan lengkung bagi fungsi kuadratik f(x) = –x2 + mx – 6 yang mempunyai titik maksimum Q(2, k). Lengkung itu menyilang paksi-f(x) pada titik P. O P Q(2, k) x f(x) (a) Nyatakan koordinat bagi titik P. (b) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, cari nilai m dan nilai k. (c) Cari julat nilai x dengan keadaan f (x)  –6. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 62 Ungkapkan y = 2x2 + 7x + 3 dalam bentuk verteks. Kemudian, lakar graf y = 2x2 + 7x + 3 untuk domain –4  x  2 dan nyatakan julat bagi y yang sepadan. 63 Fungsi kuadratik f (x) = x2 + (k – 2)x + 16 – 2k, dengan keadaan k ialah pemalar, adalah sentiasa positif apabila p  k  q. Cari nilai p dan nilai q. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 64 Cari julat nilai p jika graf y = x2 – (2p + 4)x tidak menyilang garis lurus y = 1 – 10p. 65 Cari julat nilai m supaya garis lurus y = 2x + m tidak menyilang bulatan x2 + y2 = 4. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 23 17-Feb-23 8:46:54 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 2 24 1 k = –3 atau 4 2 x = 3.69 atau 0.81 3 1 cm 4 6x2 – 5x – 6 = 0 5 x2 – 8x + 16 = 0 6 p = 9 7 2b2 = 9ac 8 x2 + 4x – 32 = 0 9 p = 6 10 k = –4 11 m = 2, n = –3 12 p = 2, k = 1 2 13 p = 1, q = –4 atau p = –6, q = 3 14 x2 – 3x – 10 = 0 15 2x2 – 9x + 5 = 0 16 p = 19 atau –5 17 (a) k = 9 (b) x = 1 3 atau 1 6 18 k = 2 atau –3 19 k = –2, m = 4 20 (a) q = –1, p = –1 1 2 (b) 6x2 – 5x – 6 = 0 21 k = 2, m = 3 22 2 3  x  1 23 x  –1 atau x  4 24 –5  x  7 25 x  –1 2 3 atau x  2 26 –4  x  1 27 x  –3 atau x  1 2 28 x  – 1 2 atau x  2 29 Punca-punca nyata dan berbeza 30 Tiada punca nyata 31 Punca-punca nyata dan sama 32 p = 4 33 h = –2 atau 6 34 2 : 5 35 t  2 atau t  6 36 –2  q  6 37 k  –10 atau k  4 38 k  –2 atau k  6 39 – 4 7  t  4 40 n = ±6 41 k  –4 atau k  4 42 –8  m  8 43 –5, x = 4 44 f(x) = 21x + 3 4 2 2 – 41 8 45 g(x) = –31x + 1 6 2 2 + 49 12 46 21x – 3 4 2 2 – 1 8 ; – 1 8 47 –21x – 1 2 2 2 + 7 2 ; 3 1 2 48 3(x – 1)2 + 5; x = 1 49 –1x – 3 2 2 2 – 19 4 ; x = 1 1 2 50 k = 2 atau –1 51 x = 1 1 4 52 x = – 1 3 53 k  1 8 54 h  – 9 20 55 (b) k = 4, r = 3 56 (a) f(x) = –21x – 5 4 2 2 + 1 8 (b) Nilai maksimum = 1 8 ; x = 1 1 4 (c) y x O –3 1 1 11 4, 1 82 11 2 57 Nilai maksimum = 3 4 y x O –6 1 2 1 11 2, 3 42 58 (a) y (3, 12) (–4, 5) (–1, –4) –3 –3 1 x O (b) y x O 1 3 –3 (3, 12) (–1, 4) (–4, 5) 0  g(x)  12 59 (a) h = 2, k = 1 (b) x = 1 (c) y (1, 4) 3 –1 3 x O (d) m = 0 atau 4 60 (a) p = 2 (b) y x O (–2, 4) 8 61 (a) (0, –6) (b) m = 4, k = –2 (c) 0 < x < 4 62 y = 21x + 7 4 2 – 25 8 f(x) (2, 25) (–4, 7) (0, 3) –3 x 0 1 – 7 4, – 25 8 2 – 1 2 –3 1 8  y  25 63 p = –10, q = 6 64 1  p  5 65 m  –2!5 atau m  2!5 Jawapan Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B2 3rd.indd 24 17-Feb-23 8:46:54 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

25 3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 1 Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah yang terdiri daripada tiga persamaan linear serentak dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut: 3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear 1 Langkah-langkah bagi menyelesaikan persamaan serentak yang melibatkan satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear adalah seperti berikut: Langkah 1: Daripada persamaan linear, satu pemboleh ubah (katakan y) diungkapkan dalam sebutan pemboleh ubah yang satu lagi (katakan x). Langkah 2: Pemboleh ubah itu (y) digantikan ke dalam persamaan tak linear dan satu persamaan kuadratik dalam sebutan pemboleh ubah yang satu lagi (x) akan dibentuk. ➀ Pilih dan gunakan dua persamaan untuk memansuhkan satu pemboleh ubah. ➁ Pilih dan gunakan satu lagi pasangan persamaan untuk memansuhkan pemboleh ubah yang serupa. ➃ Selesaikan persamaan terakhir yang terhasil untuk menentukan nilai pemboleh ubah yang pertama. ➄ Cari nilai bagi pemboleh ubah yang kedua. Lakukannya dengan menggunakan salah satu persamaan yang dihasilkan pada langkah ➀ dan ➁ serta nilai pemboleh ubah yang telah ditentukan pada langkah ➃. ➅ Cari nilai bagi pemboleh ubah ketiga menggunakan salah satu persamaan asal dan dua nilai pemboleh ubah yang telah ditentukan pada langkah ➃ dan ➄. ➂ Guna dua pasangan persamaan yang dihasilkan pada dua langkah awal untuk memansuhkan salah satu daripada dua pemboleh ubah yang masih wujud. Langkah 3: Permudahkan dan selesaikan persamaan kuadratik itu dengan pemfaktoran atau menggunakan rumus kuadratik untuk memperoleh nilai-nilai pemboleh ubah pertama (x). Langkah 4: Dapatkan nilai-nilai bagi pemboleh ubah kedua (y) dengan menggantikan nilainilai bagi pemboleh ubah pertama (x), satu demi satu, ke dalam persamaan linear. 2 Persamaan serentak boleh digunakan untuk menyelesaikan situasi masalah kehidupan harian yang sebenar. Sistem Persamaan Bidang Pembelajaran: Algebra NOTA EKSPRES Bab 3 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 25 17-Feb-23 8:47:36 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 3 26 3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah Contoh 1 Selesaikan persamaan linear serentak berikut: 2x + y + z = 0 ... ➀ 3x + 2y – z = 7 ... ➁ 4x + y – 5z = 22 ... ➂ Penyelesaian Mansuhkan z dengan menambahkan persamaan ➀ dan ➁. ➀ + ➁: 5x + 3y = 7 ... ➃ Mansuhkan z daripada persamaan ➁ dan ➂. 15x + 10y – 5z = 35 ... ➁ × 5 – 4x + y – 5z = 22 ... ➂ ➁ × 5 – ➂: 11x + 9y = 13 ... ➄ Mansuhkan y daripada persamaan ➃ dan ➄. 15x + 9y = 21 ... ➃ × 3 – 11x + 9y = 13 ... ➄ ➃ × 3 – ➄: 4x = 8 x = 2 Gantikan x = 2 ke dalam persamaan ➃. 5(2) + 3y = 7 3y = –3 y = –1 Untuk mencari nilai z, gantikan x = 2 dan y = –1 ke dalam salah satu daripada tiga persamaan asal, katakan persamaan ➀. 2(2) + (–1) + z = 0 z = –3 Contoh 2 Encik Zainal akan bersara. Beliau ialah Guru Tingkatan kelas 4S4 yang terdiri daripada 38 orang murid. Beliau ingin menghadiahkan poskad kepada mereka sebagai kenangan. Daripada sebuah kedai alat tulis, Encik Zainal memilih tiga jenis poskad, iaitu A, B dan C, masing-masing dengan harga yang berlainan. Harga sekeping poskad jenis B ialah purata harga sekeping poskad jenis A dan C. Jika Encik Zainal membeli 20 keping poskad jenis A, 12 keping poskad jenis B dan 6 keping poskad jenis C, maka beliau perlu membayar RM18.10. Jika Encik Zainal membeli 19 keping poskad jenis A dan 19 keping poskad jenis B, maka beliau perlu membayar RM17.10. Jika x, y dan z masing-masing mewakili harga (dalam sen) bagi setiap keping poskad A, B dan C, bentukkan tiga persamaan linear. Seterusnya, selesaikan persamaan linear serentak itu dan nyatakan harga sekeping poskad bagi setiap jenis. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian Harga sekeping poskad jenis B ialah purata harga sekeping poskad jenis A dan C. Persamaannya ialah y = x + z 2 2y = x + z x – 2y + z = 0 … ➀ Jumlah harga bagi 20 keping poskad jenis A, 12 keping poskad jenis B dan 6 keping poskad jenis C ialah RM18.10. Dalam sen Persamaannya ialah 20x + 12y + 6z = 1 810 10x + 6y + 3z = 905 … ➁ Jumlah harga bagi 19 keping poskad jenis A dan 19 keping poskad jenis B ialah RM17.10. Dalam sen Persamaannya ialah 19x + 19y = 1 710 x + y = 90 … ➂ 3x – 6y + 3z = 0 … ➀ × 3 – 10x + 6y + 3z = 905 … ➁ –7x – 12y = –905 … ➃ 7x + 7y = 630 … ➂ × 7 + –7x – 12y = –905 … ➃ –5y = –275 y = – 275 –5 y = 55 Gantikan y = 55 ke dalam persamaan ➃: –7x – 12(55) = –905 –7x = –905 + 660 x = –245 –7 x = 35 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 26 17-Feb-23 8:47:36 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 3 27 Gantikan x = 35 dan y = 55 ke dalam persamaan ➀: 35 – 2(55) + z = 0 –75 + z = 0 z = 75 Maka, harga sekeping poskad jenis A, jenis B dan jenis C masing-masing ialah 35 sen, 55 sen dan 75 sen. 3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear Contoh 3 Selesaikan persamaan serentak berikut: 3x + 2y = 1 3x2 – 5x – y2 – 3y = 0 Penyelesaian Ini adalah satu persamaan linear kerana pemboleh ubah x dan pemboleh ubah y berkuasa satu. 3x + 2y = 1 … ➀ 3x2 – 5x – y2 – 3y = 0 … ➁ Ini adalah satu persamaan tak linear kerana ada pemboleh ubah yang mempunyai kuasa lebih tinggi daripada 1, iaitu x2 dan y2 yang berkuasa dua. Daripada ➀: 2y = 1 – 3x y = 1 – 3x 2 … ➂ Ungkapkan persaman dalam sebutan x. Gantikan ➂ ke dalam ➁: 3x2 – 5x – 1 1 – 3x 2 2 2 – 31 1 – 3x 2 2 = 0 Penggantian dilakukan untuk menjadikan persamaan dalam sebutan x sahaja. 3x2 – 5x – 1 (1 – 3x)2 4 2 – 31 1 – 3x 2 2 = 0 ** 12x2 – 20x – (1 – 3x)2 – 6(1 – 3x) = 0 Seluruh persamaaan didarab dengan 4 untuk memansuhkan pecahan. 12x2 – 20x – (1 – 6x + 9x2 ) – 6 + 18x = 0 12x2 – 20x – 1 + 6x – 9x2 – 6 + 18x = 0 3x2 + 4x – 7 = 0 (x – 1)(3x + 7) = 0 x = 1 atau – 7 3 Satu persamaan kuadratik dibentuk dan diselesaikan. Daripada ➂: Apabila x = 1, y = 1 – 3(1) 2 = –1 Apabila x = – 7 3 , y = 1 – 31– 7 3 2 2 = 4 Nilai-nilai yang sepadan bagi y ditentukan. Maka, penyelesaiannya ialah x = 1, y = –1 atau x = –2 1 3 , y = 4. Kesilapan Lazim Daripada langkah ** 3x2 – 5x – 1 (1 – 3x)2 4 2 – 31 1 – 3x 2 2 = 0 3x2 – 5x – (1 – 3x)2 – 6(1 – 3x) = 0 3x2 – 5x – (1 – 6x + 9x2 ) – 6 + 18x = 0 3x2 – 5x – 1 + 6x – 9x2 – 6 + 18x = 0 –6x2 + 19x – 7 = 0 6x2 – 19x + 7 = 0 Salah kerana sebutan-sebutan 3x2 – 5x tidak didarabkan dengan 4. Tersangkut kerana persamaan kuadratik tidak dapat difaktorkan. TIP BIJAK Adalah satu amalan yang bijak untuk menyemak jawapan dengan menggantikan nilai-nilai x dan y yang diperoleh ke dalam kedua-dua persamaan asal untuk memastikan nilai-nilai itu memuaskan persamaan-persamaan itu. Contoh 4 Selesaikan persamaan serentak berikut: x + 4y = 6 5 x – 2 y + 1 = 0 Penyelesaian x + 4y = 6 … ➀ 5 x – 2 y + 1 = 0 … ➁ Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 27 17-Feb-23 8:47:37 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 3 28 Daripada ➁: 5 x – 2 y + 1 = 0 Semua pecahan harus dimansuhkan. 5y – 2x xy + 1 = 0 5y – 2x + xy xy = 0 5y – 2x + xy = 0 … ➂ Sebuah persamaan tak linear dengan kuasa satu terbentuk. Daripada ➀: x = 6 – 4y … ➃ Gantikan ➃ ke dalam ➂: 5y – 2(6 – 4y) + y(6 – 4y) = 0 5y – 12 + 8y + 6y – 4y2 = 0 19y – 12 – 4y2 = 0 Tanda bagi setiap sebutan diubah supaya pekali y2 adalah positif. Dengan itu, proses pemfaktoran akan menjadi lebih mudah. 4y2 – 19y + 12 = 0 (4y – 3)(y – 4) = 0 y = 3 4 atau 4 Daripada ➃: Apabila y = 3 4 , x = 6 – 41 3 4 2 = 3 Apabila y = 4, x = 6 – 4(4) = –10 Maka, penyelesaiannya ialah x = 3, y = 3 4 atau x = –10, y = 4. Contoh 5 Rajah berikut menunjukkan kepingan aluminium ABCD yang berbentuk segi empat tepat dengan luas 70 cm2 . Satu sukuan bulatan PBC digunting daripada kepingan aluminium itu dan perimeter bahagian aluminium yang tinggal ialah 31 cm. x cm A D C B P y cm Dengan menggunakan π = 22 7 , cari nilai integer x dan nilai integer y. Penyelesaian x cm A D C B P y cm y cm y cm (x + y) cm Luas ABCD = 70 cm2 y(x + y) = 70 xy + y2 = 70 … ➀ Perimeter bahagian aluminium yang tinggal selepas sukuan bulatan PBC dikeluarkan ialah 31 cm. AP + AD + DC + Panjang lengkok PC = 31 Darab keseluruhan persamaan dengan 7 untuk memansuhkan pecahan. x + y + (x + y) + 90 360 × 2 × 22 7 × y = 31 2x + 2y + 11 7 y = 31 14x + 14y + 11y = 217 14x + 25y = 217 … ➁ Daripada ➁: x = 217 – 25y 14 …➂ Gantikan ➂ ke dalam ➀: Darab keseluruhan persamaan dengan 14 untuk memansuhkan pecahan. y1 217 – 25y 14 2 + y2 = 70 y(217 – 25y) + 14y2 = 980 217y – 25y2 + 14y2 = 980 –11y2 + 217y – 980 = 0 11y2 – 217y + 980 = 0 TIP BIJAK Oleh sebab nilai-nilai a, b dan c dalam persamaan kuadratik itu adalah besar, maka amat sukar untuk persamaan kuadratik itu difaktorkan. Maka, adalah lebih mudah untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus kuadratik. y = 217 ± ! (–217)2 – 4(11)(980) 2(11) y = –b ± ! b2 – 4ac 2a y = 217 ± 63 22 y = 12 8 11 atau 7 y = 12 8 11 tidak boleh diterima kerana soalan memerlukan nilai integer y. ∴y = 7 Daripada ➂, apabila y = 7, x = 217 – 25(7) 14 = 3 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 28 17-Feb-23 8:47:37 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 3 29 Rajah berikut menunjukkan dua buah kolam renang mini berbentuk bulatan yang masingmasing berpusat P dan Q. Bulatan-bulatan itu menyentuh antara satu sama lain pada sebidang tanah ABCD berbentuk segi empat tepat dengan panjang 4π m dan lebar y m. Jejari bulatan berpusat P ialah x m. P A D B C Q x m y m 4π m Jika jarak di antara P dengan Q ialah 7 m dan luas rantau berlorek ialah 7π m2 , cari nilai x dan nilai y. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian P A D S B R C Q x m x m (7 – x) m y m 4π m Luas rantau berlorek = 7π m2 4πy – πx2 – π(7 – x) 2 = 7π 4y – x2 – (7 – x)2 = 7 Seluruh persamaan dibahagi dengan π. 4y – x2 – (49 – 14x + x2 ) = 7 4y – x2 – 49 + 14x – x2 – 7 = 0 –2x2 + 14x + 4y – 56 = 0 x2 – 7x – 2y + 28 = 0 … ➀ Seluruh persamaan dibahagi dengan –2. SQR = AD 2(7 – x) = y y = 14 – 2x … ➁ Gantikan ➁ ke dalam ➀: x2 – 7x – 2(14 – 2x) + 28 = 0 x2 – 7x – 28 + 4x + 28 = 0 x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0 x = 0 atau 3 x = 0 tidak diterima. ∴x = 3 Daripada ➁, y = 14 – 2(3) = 8 (a) 2x + y = 2 – z x + z = –2y 3y + 3z = 1 – x (b) x + 2y = z + 2 2x – z = 1 – y 2y + 3z = 14 – x 3 Selesaikan persamaan linear serentak berikut: x 3 + y 6 + z = 1 x + y + 2z = 11 3 3x + 2y = 7 3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 1 Selesaikan setiap persamaan linear serentak berikut: (a) x + y + z = 3 2x + y – z = 3 x + 2y + 3z = 6 (b) x + y + 2z = 3 2x + y – z = 5 3x + 2y + 5z = 8 2 Selesaikan setiap persamaan linear serentak berikut: Zon KBAT Praktis SPM 3 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 29 17-Feb-23 8:47:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 3 30 4 Di sebuah pusat membeli-belah, terdapat tiga pakej promosi, iaitu pakej A, pakej B dan pakej C, yang menawarkan baju, seluar dan tali leher. Bilangan bagi setiap item dan harga promosi bagi setiap pakej ditunjukkan dalam jadual berikut. Pakej Bilangan baju Bilangan seluar Bilangan tali leher Harga (RM) A 3 2 2 256 B 4 1 2 218 C 2 1 3 173 Jika harga bagi sehelai baju, seluar dan tali leher masing-masing ialah RMx, RMy dan RMz, bentukkan tiga persamaan. Seterusnya, selesaikan persamaan linear serentak itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 5 Azman, Gunasegaran dan Chee Meng telah membeli buku akademik bagi tiga subjek di sebuah kedai buku. Jadual berikut menunjukkan bilangan buku yang dibeli oleh mereka bagi setiap subjek. Matematik Bahasa Melayu Bahasa Inggeris Azman 3 2 5 Gunasegaran 2 3 1 Chee Meng 1 5 4 Jumlah bayaran yang dibuat oleh Azman, Gunasegaran dan Chee Meng masingmasing ialah RM267, RM145 dan RM230. Harga bagi sebuah buku Matematik, Bahasa Melayu dan Bahasa Inggeris masing-masing ialah RMx, RMy dan RMz. Bentukkan tiga persamaan linear dan seterusnya, selesaikan persamaan linear serentak itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 6 Tiga syarikat pengangkutan, P, Q dan R, telah membeli petrol RON95, petrol RON97dan diesel daripada sebuah syarikat minyak. Jadual berikut menunjukkan isi padu petrol RON95, petrol RON97 dan diesel yang dibeli oleh setiap syarikat. Syarikat Isi padu (dalam liter) Petrol RON95 Petrol RON97 Diesel P 500 100 200 Q 100 200 500 R 100 600 400 Jumlah bil bagi syarikat P, Q dan R masing-masing ialah RM1 786, RM1 810 dan RM2 592. Harga bagi seliter petrol RON95, petrol RON97 dan diesel masingmasing ialah RMx, RMy dan RMz. Bentukkan tiga persamaan linear dan seterusnya, cari nilai x, nilai y dan nilai z. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 7 Dua buah kumpulan pekerja pergi ke sebuah kedai untuk minum petang. Kumpulan pekerja pertama yang terdiri daripada sepuluh orang pekerja telah memesan lima cawan kopi, dua cawan teh dan tiga gelas jus oren dengan jumlah bayaran RM23.60. Kumpulan pekerja kedua yang terdiri daripada enam orang pekerja memesan tiga cawan kopi, secawan teh dan dua gelas jus oren dengan jumlah bayaran RM14.20. Harga bagi secawan kopi dan tiga gelas jus oren adalah sama dengan harga empat cawan teh. Jika harga bagi secawan kopi, secawan teh dan segelas jus oren masing-masing ialah RMx, RMy dan RMz, bentukkan tiga persamaan linear serentak untuk mewakili situasi yang diberi dan tentukan harga bagi setiap cawan/gelas minuman. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear 8 Selesaikan persamaan serentak: x2 + 2y = 2x + 2y = 6 9 Selesaikan persamaan serentak: 6 x + 4 y = 3x + 2y = 10 10 Selesaikan persamaan serentak: x + y + 2 = 0 2 x – 5 y = 6 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 30 17-Feb-23 8:47:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 3 31 11 Selesaikan persamaan serentak: 3x + 2y = 10 3 x + 2 y = 5 12 Selesaikan persamaan serentak: 2x + 3y = 5 2x + y 3 + 1 = 3 x 13 Diberi persamaan-persamaan berikut: P = 2x + 1 Q = 4x + y R = x2 – 2xy + 3y – x Cari nilai-nilai x dan nilai-nilai y yang sepadan jika P = Q = R. 14 Selesaikan persamaan serentak: m – 2n = –1 mn + n – 3m = 0 Nyatakan jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan. 15 Selesaikan persamaan serentak: 3x + y + 4 = 0 xy + 40 = y2 16 Selesaikan persamaan serentak: 3x + y = 2 x2 + 2y2 + xy = 4 Nyatakan jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan. 17 Rajah berikut menunjukkan poligon ABCDEF yang terbentuk daripada seutas dawai dengan panjang 48 cm. ABC dan FED ialah dua buah segi tiga sama kaki manakala ACDF ialah sebuah segi empat tepat. y cm y cm A B E C D F 12x cm 10x cm 10x cm 10x cm 10x cm Jika luas poligon itu ialah 144 cm2 , cari nilai x dan nilai y. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 18 Rajah berikut menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak berbentuk segi tiga bersudut tegak PQR, dengan keadaan PQ = 4x cm, QR = 3x cm dan tinggi prisma itu ialah y cm. P S U T R 4x cm Q 3x cm y cm Jika hasil tambah panjang semua sisi prisma itu ialah 66 cm dan hasil tambah luas semua permukaannya ialah 192 cm2 , cari nilai-nilai x yang mungkin dan nilainilai y yang sepadan. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 19 Pada rajah berikut, KLMN ialah sekeping kad berbentuk segi empat tepat dengan luas 420 cm2 . Semibulatan KPN digunting keluar daripada kad itu. Perimeter bagi kad yang tinggal ialah 96 cm. 10y cm 7x cm K N P L M Dengan menggunakan π = 22 7 , cari nilai integer x dan nilai integer y. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 20 Encik Chuan mempunyai sebidang tanah berbentuk segi empat tepat di Cameron Highlands. Dia menanam pokok kaktus dan bunga ros di kawasan-kawasan seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. 60 m Ros Kaktus x m y m 20 m Diberi luas kawasan yang ditanam dengan bunga ros ialah 1 840 m2 dan perimeter kawasan berbentuk segi empat tepat yang Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 31 17-Feb-23 8:47:38 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 3 32 ditanam dengan pokok kaktus ialah 96 m, cari nilai x dan nilai y. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 21 Rajah berikut menunjukkan sebuah silinder tertutup dengan tapak berjejari x cm dan tinggi y cm. Diberi jumlah luas permukaan seluruh silinder itu ialah 658π cm2 dan lilitan tapak bulatannya melebihi tingginya sebanyak 4 cm. x cm y cm Dengan menggunakan π = 22 7 , cari nilai x dan nilai y. Seterusnya, hitung isi padu silinder itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 22 Sulaiman menanam sayur-sayuran di atas sebidang tanah yang berbentuk segi tiga bersudut tegak. Sisi yang paling panjang pada tanah itu ialah (2x + 3) m. Dua lagi sisi bagi tanah itu masing-masing ialah x m dan (x + y) m. Dia mengggunakan dawai berduri sepanjang 30 m untuk memagari tanah itu. Cari panjang, dalam m, bagi setiap sisi tanah itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 23 Rajah berikut menunjukkan pelan bagi sebuah taman berbentuk segi empat tepat PQRS. Taman itu terdiri daripada sebuah kolam berbentuk semibulatan PTS dan kawasan berumput PQRST. P Q T S R Diberi bahawa SR = 12y dan QR = 14x. Luas taman berbentuk segi empat tepat PQRS ialah 672 m2 dan perimeter kawasan berumput ialah 120 m. Kolam itu dengan kedalaman seragam mengandungi 123.2 m3 air. Cari kedalaman, dalam m, air di dalam kolam itu dengan keadaan PQ  PS. 3Guna π = 22 7 4 KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 1 (a) x = 0, y = 3, z = 0 (b) x = 2, y = 1, z = 0 2 (a) x = 1, y = –1, z = 1 (b) x = 1, y = 2, z = 3 3 x = 1, y = 2, z = 1 3 4 3x + 2y + 2z = 256 4x + y + 2z = 218 2x + y + 3z = 173 x = 30, y = 68, z = 15 5 3x + 2y + 5z = 267 2x + 3y + z = 145 x + 5y + 4z = 230 x = 32, y = 18, z = 27 6 500x + 100y + 200z = 1 786 100x + 200y + 500z = 1 810 100x + 600y + 400z = 2 592 x = 2.20, y = 2.50, z = 2.18 7 5x + 2y + 3z = 23.6 3x + y + 2z = 14.2 x + 3z = 4y ⇒ x – 4y + 3z = 0 RM2.00, RM2.60, RM2.80 8 x = 0, y = 3 atau x = 2, y = 1 9 x = 2 3, y = 4 atau x = 3, y = 1 2 10 x = 1 2, y = –21 2 atau x = –1 1 3, y = – 2 3 11 x = 2 3, y = 4 atau x = 3, y = 1 2 12 x = 9 10, y = 16 15 atau x = –2, y = 3 13 x = 1 5, y = 3 5 atau x = 2, y = –3 14 m = 3.732, n = 2.366 atau m = 0.268, n = 0.634 15 x = 2 3, y = –6 atau x = –3, y = 5 16 x = 1.159, y = –1.477 atau x = 0.216, y = 1.352 17 x = 1, y = 4 18 x = 1 1 7, y = 126 7 atau x = 2, y = 6 19 x = 2, y = 3 20 x = 40, y = 32 21 x = 7, y = 40, Isi padu silinder = 6 160 cm3 22 5 cm, 12 cm, 13 cm 23 0.9 m Jawapan Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B3 2nd.indd 32 17-Feb-23 8:47:39 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

33 4.1 Hukum Indeks 1 Hukum-hukum indeks ialah: • a m × an = a m + n • a m ÷ an = a m – n • (a m) n = a mn • (ab) n = an bn • 1 a b 2 n = an bn 2 Indeks sifar bermakna a0 = 1, a ≠ 0. 3 Indeks negatif bermakna a–n = 1 an. 4 Indeks pecahan bermakna a 1 n = ! n a dan a m n = 1 ! n a 2 m . 5 Persamaan yang melibatkan indeks dikenali sebagai persamaan indeks. (a) Jika an = bn , maka a = b dengan keadaan a  0, b  0 atau a  0, b , 0. (b) Jika ax = ay , maka x = y dengan keadaan a ≠ 0, a ≠ 1. (c) Jika a m n = b, maka a = b n m dan jika a – m n = b, maka a = b – n m. 4.2 Hukum Surd 1 Bagi sebarang nilai positif a dan b, (a) !a × !b = !ab (b) !a !b = a ! b (c) !a × !a = 1!a 2 2 = a (d) !a + !a = 2!a 2 Menisbahkan penyebut suatu surd bermaksud memansuhkan punca kuasa dua penyebut surd itu. Contohnya, a !b = a !b × !b !b = a !b b 3 Surd konjugat bagi (!a + !b ) ialah 1!a – !b 2 dan sebaliknya. 4 Persamaan surd boleh diselesaikan dengan menguasa dua kedua-dua belah persamaan itu sebanyak dua kali. 4.3 Hukum Logaritma 1 Jika ax = y dengan keadaan a  0, a ≠ 1, maka x ialah logaritma y dalam asas a, iaitu loga y = x. ax = y ⇔ loga y = x 2 loga a = 1 3 loga 1 = 0 4 Hukum-hukum logaritma ialah: • loga xy = loga x + loga y • loga x y = loga x – loga y • loga x n = nloga x 5 aloga x = x 6 Logaritma suatu nombor dalam asas tertentu boleh ditukarkan kepada asas lain dengan menggunakan formulaformula berikut: • loga b = logc b logc a • loga b = 1 logb a 7 Persamaan yang melibatkan logaritma dikenali sebagai persamaan logaritma. (a) Jika loga x = y, maka x = ay . (b) Jika loga x = loga y, maka x = y. Indeks, Surd dan Logaritma Bidang Pembelajaran: Algebra NOTA EKSPRES Bab 4 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 33 17-Feb-23 8:48:17 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 34 4.1 Hukum Indeks Contoh 1 Permudahkan 63n + 2 × 21 – 3n 32 + 3n . Penyelesaian 63n + 2 × 21 – 3n 32 + 3n = (2 × 3)3n + 2 × 21 – 3n 32 + 3n (ab) m = ambm = 23n + 2 × 33n + 2 × 21 – 3n 32 + 3n ap ÷ aq = a p – q = 2(3n + 2) + (1 – 3n) • 3(3n + 2) – (2 + 3n) ap × aq = ap + q = (23 )(30 ) = 8(1) = 8 Contoh 2 Diberi 3 n + 2 – 3 n + 15(3n – 1) = k(3 n ), dengan keadaan k ialah pemalar, cari nilai k. Penyelesaian 3n+ 2 – 3n + 15(3n – 1) = 3n • 32 – 3n + 15(3n • 3–1) ‘Titik’ boleh digunakan untuk mewakili pendaraban dalam Matematik. = 9(3n ) – 3n + 15(3n ) 1 1 3 2 = 9(3n ) – 3n + 5(3n ) = (9 – 1 + 5)(3n ) = (13)(3n ) ∴k = 13 Contoh 3 Selesaikan persamaan 81 273x = 1. Penyelesaian 81 273x = 1 34 (33 )3x = 30 Jadikan kedua-dua belah mempunyai asas yang sama. 34 39x = 30 (am)n = amn 34 – 9x = 30 1 am an 2 = am – n Menyamakan kuasa, 4 – 9x = 0 x = 4 9 a p + q = a p × a q 4.2 Hukum Surd Contoh 4 Nisbahkan penyebut bagi ! 2 – ! 3 ! 2 + ! 3 . Penyelesaian ! 2 – ! 3 ! 2 + ! 3 Darab penyebut dengan konjugat bagi 1! 2 + ! 3 2 iaitu 1! 2 – ! 3 2. = 1 ! 2 – ! 3 ! 2 + ! 3 21 ! 2 – ! 3 ! 2 – ! 3 2 = 1! 2 – ! 3 2 2 1! 2 2 2 – 1! 3 2 2 (a – b)(a + b) = a2 + ab – ba – b2 = a2 – b2 = 1! 2 2 2 – 2! 2 ! 3 + 1! 3 2 2 2 – 3 (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 = 2 – 2! 6 + 3 –1 = –5 + 2! 6 Contoh 5 Selesaikan persamaan ! 2x – 1 – ! x + 3 = 1. Penyelesaian ! 2x – 1 – ! x + 3 = 1 1! 2x – 1 – ! x + 3 2 2 = 12 Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan. 2x – 1 – 2! 2x – 1 ! x + 3 + x + 3 = 1 3x + 1 = 2! x + 3 ! 2x – 1 2! x + 3 ! 2x – 1 = 3x + 1 Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan sekali lagi. 12! x + 3 ! 2x – 1 2 2 = (3x + 1)2 4(x + 3)(2x – 1) = (3x + 1)2 4(2x2 + 5x – 3) = 9x2 + 6x + 1 8x2 + 20x – 12 = 9x2 + 6x + 1 x2 – 14x + 13 = 0 (x – 13)(x – 1) = 0 x = 13 atau 1 ∴x = 13 atau 1 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 34 17-Feb-23 8:48:18 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 35 4.3 Hukum Logaritma Contoh 6 Selesaikan persamaan 3x + 2 – 3x = 16. Penyelesaian 3x + 2 – 3x = 16 3x • 32 – 3x = 16 a p+q = a p × a q 9(3x ) – 3x = 16 8(3x ) = 16 3x = 16 8 Oleh sebab kita tidak dapat menyamakan asas bagi kedua-dua belah persamaan, maka kita perlu mengambil lg bagi kedua-dua belah persamaan. 3x = 2 lg 3x = lg 2 x lg 3 = lg 2 x = lg 2 lg 3 x = 0.6309 TIP BIJAK lg x ialah singkatan bagi log10 x. Langkah-langkah untuk mendapatkan jawapan dengan menggunakan kalkulator bagi soalan lg: Tekan Paparan: log 2 ÷ log 3 = 0.630929753 Contoh 7 Diberi loga x = r dan loga y = s, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan r dan s. (a) loga x3 y4 a 2 (b) loga x a2 y ! 4 Penyelesaian (a) loga x3 y4 a 2 = loga x3 + loga y4 + loga a 2 loga a = 1 loga pqr = loga p + loga q + loga r = 3loga x + 4loga y + 2loga a loga pn = nloga p = 3r + 4s + 2 (b) loga ! x a2 y4 = loga 1 x a2 y4 2 1 2 !u = u 1 2 = loga 1 x 1 2 ay2 2 = loga x 1 2 – (loga a + loga y2 ) loga 1 p q 2 = loga p – loga q = 1 2 loga x – loga a – 2loga y loga pn = n loga p = 1 2 r – 1 – 2s Contoh 8 Diberi log2 3 = h dan log2 5 = k, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan h dan k. (a) log2 270 (b) log2 3.6 Penyelesaian (a) log2 270 = log2 (2 × 33 × 5) 2 270 3 135 3 45 3 15 5 5 1 = log2 2 + log2 33 + log2 5 = 1 + 3h + k (b) log2 3.6 = log2 3 3 5 = log2 1 18 5 2 Tukarkan nombor perpuluhan kepada pecahan tak wajar terlebih dahulu. = log2 1 2 × 32 5 2 = log2 2 + log2 32 – log2 5 loga 1 xy z 2 = loga x + loga y – loga z = 1 + 2 log2 3 – log2 5 loga xn = n loga x = 1 + 2h – k Contoh 9 Tanpa menggunakan kalkulator, hitung nilai 3log4 2 + 2log4 3 – 2log4 6. Penyelesaian TIP BIJAK ‘Tanpa menggunakan kalkulator’ bermakna anda tidak boleh menggunakan butang ‘log’ pada kalkulator. Sebaliknya, anda harus menggunakan hukum-hukum logaritma. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 35 17-Feb-23 8:48:19 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 36 3 log4 2 + 2 log4 3 – 2 log4 6 = log4 23 + log4 32 – log4 62 n loga x = loga xn = log4 8 + log4 9 – log4 36 = log4 1 8 × 9 36 2 loga x + loga y – loga z = loga 1 xy z 2 = log4 2 = log4 4 1 2 = 1 2 log4 4 loga xn = n loga x = 1 2 (1) = 1 2 Contoh 10 Diberi 3 = 2p dan 5 = 2q , ungkapkan log4 1.8 dalam sebutan p dan q. Penyelesaian y = a x ⇒ loga y = x Diberi 3 = 2p , maka log2 3 = p. Diberi 5 = 2q , maka log2 5 = q. log4 1.8 = log4 11 4 5 2 = log4 1 9 5 2 Tukarkan nombor perpuluhan kepada pecahan tak wajar terlebih dahulu. = log2 1 9 5 2 log2 4 loga b = logc b logc a = log2 9 – log2 5 log2 22 logc 1 b a 2 = logc a – logc = b log2 32 – log2 5 log2 22 = 2log2 3 – log2 5 2log2 2 = 2p – q 2 Contoh 11 Diberi log2 k = r dan log3 k = s, ungkapkan logk 12 dalam sebutan r dan s. Penyelesaian loga b = 1 logb a Diberi log2 k = r, maka logk 2 = 1 r . Diberi log3 k = s, maka logk 3 = 1 s . logk 12 = logk (22 × 3) = logk 22 + logk 3 logk ab = logk a + logk b = 2 logk 2 + logk 3 logk an = nlogk a = 21 1 r 2 + 1 s = 2s + r rs Contoh 12 Selesaikan persamaan log3 (2x + 3) = 2 + log3 (2x – 1). Penyelesaian log3 (2x + 3) = 2 + log3 (2x – 1) log3 (2x + 3) – log3 (2x – 1) = 2 log3 1 2x + 3 2x – 1 2 = 2 loga b = c ⇒ b = ac 2x + 3 2x – 1 = 32 2x + 3 = 9(2x – 1) 2x + 3 = 18x – 9 16x = 12 x = 3 4 Kumpulkan sebutan logaritma pada sebelah persamaan dan kumpulkan pemalar pada sebelah yang satu lagi. log3 (2x + 3) = 2 + log3 (2x – 1) log3 2x + log3 3 = 2 + log3 2x – log3 1 log3 2x + 1 = 2 + log3 2x – 0 log3 2x – log3 2x = 2 – 1 0 = 1 Tidak logik Salah Kesilapan Lazim Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 36 17-Feb-23 8:48:19 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 37 Contoh 13 Selesaikan persamaan log3 x = log9 (x + 6). Penyelesaian log3 x = log9 (x + 6) Samakan asas pada kedua-dua belah. log3 9 = log3 32 = 2 loga b = logc b logc a log3 x = log3 (x + 6) log3 9 log3 x = log3 (x + 6) 2 2log3 x = log3 (x + 6) log3 x2 = log3 (x + 6) n loga x = loga xn x2 = x + 6 x2 – x – 6 = 0 (x + 2)(x – 3) = 0 x = –2 atau 3 x = –2 tidak diterima. ∴x = 3 Log bagi suatu nombor negatif tidak tertakrif. Contoh 14 Selesaikan persamaan serentak: 16x = 32(2y ) log2 (4 + 4y) = log2 x + 3 Penyelesaian 16x = 32(2y ) 24x = 25 • 2y Samakan asas pada kedua-dua belah. 24x = 25 + y 4x = 5 + y 4x – y = 5 … ➀ log2 (4 + 4y) = log2 x + 3 log2 (4 + 4y) – log2 x = 3 log2 1 4 + 4y x 2 = 3 loga p – loga q = loga 1 p q 2 4 + 4y x = 23 loga x = y ⇒ x = a y 4 + 4y = 8x 8x – 4y = 4 4x – 2y = 2 … ➁ ➀ – ➁: y = 3 Daripada ➀: 4x – 3 = 5 ⇒ x = 2 4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma Contoh 15 Jumlah wang (RM) yang dilabur di sebuah syarikat kewangan selepas n tahun diberi oleh 150 000(1 + 0.03)n . Hitung bilangan tahun minimum yang diperlukan untuk jumlah wang itu melebihi RM240 000. Penyelesaian 150 000(1 + 0.03)n  240 000 (1.03)n  240 000 150 000 (1.03)n  1.6 lg (1.03)n  lg 1.6 nlg1.03  lg 1.6 n(0.01284)  0.2041 n  0.2041 0.01284 n  15.90 Nilai integer n yang terkecil = 16 Maka, bilangan tahun minimum untuk jumlah wang yang dilabur melebihi RM240 000 ialah 16 tahun. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 37 17-Feb-23 8:48:19 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 38 Diberi loga b = logb c = logc a, tunjukkan bahawa a = b = c. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian Diberi loga b = logb c, lg b lg a = lg c lg b (lg b)2 = (lg a)(lg c) Awas! Adalah salah untuk menulis (lg b)2 sebagai lg b2 . lg b = !(lg a)(lg c) … ➀ Diberi logb c = logc a, lg c lg b = lg a lg c (lg c)2 = (lg a)(lg b) … ➁ Gantikan ➀ ke dalam ➁: (lg c)2 = (lg a)1!(lg a)(lg c)2 (lg c)2 lg a = !(lg a)(lg c) (lg c)4 (lg a)2 = (lg a)(lg c) Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan. (lg c)4 lg c = (lg a) 3 (lg c)3 = (lg a) 3 lg c = lg a ∴c = a Gantikan c = a ke dalam ➀: lg b = !(lg a)(lg c) lg b = !(lg a)(lg a) lg b = (lg a) 2 ! lg b = lg a ∴b = a Maka, a = b = c [Tertunjuk] 4.1 Hukum Indeks 1 Permudahkan 54n + 2 × 25n 56n – 1 . 2 Jika 5n + 2 – 5n + 1 – 5n = p(5n ), dengan keadaan p ialah pemalar, cari nilai p. 3 Jika 56n × 94n × 152n 32n = k 8n , dengan keadaan k ialah integer positif, cari nilai k. KBAT Mengaplikasi 4 Permudahkan 25m × 10m + 1 2m – 1 × 52 + 3m . KBAT Mengaplikasi 5 Selesaikan persamaan 16(83x ) = 1. 6 Cari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan 5x2 – 256 – 2x = 0. 7 Selesaikan persamaan 3m – 1 + 3m – 12 = 0. 8 Selesaikan persamaan 23x = 12 – 23x – 1. 9 Selesaikan persamaan 3x + 2 + 2(3x ) = 11 27 . 10 Selesaikan persamaan 3r – 1 + 3r + 2 = 84. 11 Selesaikan persamaan 272x – 5 = 1 ! 9x + 1 . 12 Diberi 52x = k, 5y = h dan 5y + 2x = 11 + 25x , ungkapkan k dalam sebutan h. 13 Diberi 3p = 7q = 21r , ungkapkan r dalam sebutan p dan q. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis Zon KBAT Praktis SPM 4 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 38 17-Feb-23 8:48:20 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 39 4.2 Hukum Surd 14 Nisbahkan penyebut (a) 2 ! 5 – 1, (b) 1 2 – ! 3 . 15 Nisbahkan penyebut (a) ! 2 + 1 ! 2 – 1, (b) ! 3 – ! 2 ! 3 + ! 2 . 16 Nisbahkan penyebut (a) 3 + ! 2 3 – ! 2 + 3 – ! 2 3 + ! 2 , (b) ! 5 + 1 ! 5 + 2 + ! 5 – 1 ! 5 – 2. 17 Selesaikan persamaan ! x – 2 = ! x – 1. 18 Selesaikan persamaan ! 4x – 9 = 2! x – 1. 19 Selesaikan persamaan ! 3 – 3x – ! 2 – x = 1. 4.3 Hukum Logaritma 20 Jika loga x = u, cari log 1 a x dalam sebutan u. 21 Jika loga 2 = h dan loga 3 = k, ungkapkan log6 12 dalam sebutan h dan k. KBAT Mengaplikasi 22 Diberi a = 3p dan b = 3q , cari log9 a + log27 b dalam sebutan p dan q. KBAT Mengaplikasi 23 Diberi log!x 9 = u, cari log9 x3 dalam sebutan u. KBAT Mengaplikasi 24 Diberi logy 2 = k, cari log4 y dalam sebutan k. KBAT Mengaplikasi 25 Selesaikan persamaan 4t = 23.4. 26 Selesaikan persamaan 2x + 3 – 7 = 0. 27 Selesaikan persamaan 3x • 5x = 8x + 1. 28 Diberi log27 n = 2 3 , cari nilai n. 29 Selesaikan persamaan lg 5 + lg(2s – 1) = lg 3 + lg(s + 2). 30 Selesaikan persamaan log t (t – 2) + logt (t + 5) = 2. 31 Selesaikan persamaan 1 2 logm 9 + 1 4 logm 81 = 2. 32 Selesaikan persamaan log2 (5t – 3) + 2 = log2 4t. 33 Selesaikan persamaan 3 logx 5 + 2 logx 4 – logx 250 = 3. 34 Selesaikan persamaan log4 (1 – x) = 1 2 + log4 3x. 35 Jika 2 – log10 y = 3 log10 x, ungkapkan y dalam sebutan x. 36 Selesaikan persamaan 9log(2x – 1)7 = 7. 37 Selesaikan persamaan 2log3 x = 32. 38 Selesaikan persamaan log49 [log2 (5x – 2)] = 1 2 . 39 Cari nilai-nilai k yang memuaskan persamaan log10 (k2 + 6k + 28) = 2. 40 Selesaikan persamaan log3 r = log9 36. 41 Selesaikan persamaan log2 x – log4 x = –2. 42 Diberi log2 3 = 1.585 dan log2 5 = 2.322, tanpa menggunakan kalkulator, hitung nilai (a) log2 90, (b) log4 113 8 9 2. 43 (a) Diberi log5 3 = 0.683 dan log5 7 = 1.209, tanpa menggunakan kalkulator, hitung nilai (i) log5 4.2, (ii) log7 315. (b) Selesaikan persamaan 9log3 x = 7. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 39 17-Feb-23 8:48:21 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 40 44 Selesaikan setiap persamaan berikut: (a) ! 4x + 1 = 1 8x 2x + 3 (b) log2 x + log4 (4x) = –2 45 Diberi loga xy3 = 9 dan loga x2 y = 8, cari nilai loga ! xy . KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 46 (a) Selesaikan persamaan log!x 54 – log!x 2 = 3. (b) Jika 2a = 5b = 20c , ungkapkan c dalam sebutan a dan b. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 47 Tunjukkan bahawa log2 xy = 2 log4 x + 2 log4 y. Seterusnya, cari nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan serentak berikut: log2 xy = 10 KBAT Mengaplikasi log4 x log4 y = 3 2 KBAT Menganalisis KBAT Menilai 48 (a) Diberi 2 log2 (x + y) = 3 + log2 x + log2 y, tunjukkan bahawa x2 + y2 = 6xy. (b) Tanpa menggunakan kalkulator, selesaikan persamaan berikut: log9 [log3 (3x – 6)] = 5log51 1 2 2 KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 49 Diberi log!x 9 = a dan logy 3 = b, cari log9 xy2 dalam sebutan a dan b. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 50 Selesaikan persamaan serentak berikut: 8x + 1 = 2y log3 y = 2 + log3 (x – 1) 51 (a) Jika 23x = a 4 • 32x , tunjukkan bahawa x = 4 loga 1 8 9 2 . (b) Diberi 2 log5 xy2 = 3 + log5 y – log5 x, tunjukkan bahawa xy = 5. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 52 (a) Diberi log3 t = m dan log5 t = n, ungkapkan logt 45 dalam sebutan m dan n. (b) Selesaikan persamaan log9 (3 – x) = log3 (x – 1). KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 53 (a) Diberi 2 log9 y – 3 log27 x = 2, ungkapkan y dalam sebutan x. (b) Diberi logx a = 2.32 dan logx b = 2.81, cari nilai logab x. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 54 (a) Selesaikan persamaan serentak berikut: 3x – 1 × 243y + 2 = 81 83 – y 23x = 1 (b) Selesaikan persamaan 3 log8 (2x + 14) – 4 log16 (x + 1) = 3. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 55 Selesaikan persamaan log3 (3x + 1) – log3 x2 + log9 x2 = 2. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 56 (a) Selesaikan persamaan 7x2 – 496 – 2x = 0. (b) Ungkapkan 4 + ! 2 2 – ! 2 dalam bentuk a + k! b , dengan keadaan a, b dan k ialah pemalar. (c) Selesaikan persamaan log9 x + logx 9 = 5 2 . KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai 4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma 57 Nilai sebuah rumah di suatu lokasi yang strategik meningkat sebanyak 4% daripada nilai asalnya pada setiap awal tahun. Jika nilai asal rumah itu ialah RM450 000, nilainya, RMp, selepas h tahun diberi oleh p = 450 000(1.04)h . Cari bilangan tahun minimum untuk nilai rumah itu melebihi RM600 000. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 40 17-Feb-23 8:48:21 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 4 41 1 125 2 p = 19 3 k = 15 4 4 5 5 x = – 4 9 6 x = 2 atau –6 7 m = 2 8 x = 1 9 x = –3 10 r = 2 11 x = 2 12 k = 11 h – 11 13 r = pq p + q 14 (a) ! 5 + 1 2 (b) 2 + ! 3 15 (a) 3 + 2! 2 (b) 5 – 2! 6 16 (a) 22 7 (b) 6 17 x = 9 4 18 x = 25 4 19 x = –2 20 –u 21 2h + k h + k 22 3p + 2q 6 23 6 u 24 1 2k 25 t = 2.274 26 x = –0.1926 27 x = 3.308 28 n = 9 29 s = 1 4 7 30 t = 3 1 3 31 m = 3 32 t = 3 4 33 x = 2 34 x = 1 7 35 y = 100 x3 36 x = 5 37 x = 243 38 x = 26 39 k = –12 atau 6 40 r = 6 41 x = 1 16 42 (a) 6.492 (b) 1.989 43 (a) (i) 0.892 (ii) 2.957 (b) 2.646 44 (a) x = – 4 5 (b) x = 1 4 45 2 1 2 46 (a) x = 9 (b) c = ab 2b + a 47 x = 64, y = 16 48 (b) x = 11 49 2b + a ab 50 x = 2, y = 9 52 (a) 2n + m mn (b) x = 2 53 (a) y = 9x (b) 0.1949 54 (a) x = 5, y = –2 (b) x = 1 55 x = 1 6 56 (a) x = 2 atau –6 (b) 5 + 3! 2 (c) x = 3 atau 81 57 8 tahun Jawapan Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B4 2nd.indd 41 17-Feb-23 8:48:21 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

42 5.1 Janjang Aritmetik 1 Janjang aritmetik ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan beza antara setiap sebutan (selepas sebutan pertama) dan sebutan sebelumnya ialah suatu pemalar. Pemalar ini dikenali sebagai beza sepunya. 2 Beza sepunya, d, diberi oleh d = Tn + 1 – Tn dengan keadaan Tn + 1 = sebutan ke-(n + 1) Tn = sebutan ke-n Beza sepunya tidak boleh mengambil nilai 0. 3 Langkah-langkah untuk menentukan sama ada suatu jujukan nombor ialah janjang aritmetik atau bukan adalah seperti berikut: (a) Pilih mana-mana tiga sebutan yang berturutan dalam suatu jujukan nombor, contohnya Tn, Tn + 1 dan Tn + 2. (b) Hitung nilai-nilai Tn + 1 – Tn dan Tn + 2 – Tn + 1. (c) Jika Tn + 1 – Tn = Tn + 2 – Tn + 1, maka jujukan nombor itu ialah janjang aritmetik. (d) Jika Tn + 1 – Tn ≠ Tn + 2 – Tn + 1, maka jujukan nombor itu bukan janjang aritmetik. 4 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Tn = a + (n – 1)d dengan keadaan a = sebutan pertama d = beza sepunya 5 Suatu janjang aritmetik boleh ditulis sebagai a, a + d, a + 2d, a + 3d, … 6 Jika a, b dan c ialah tiga sebutan yang berturutan dalam suatu janjang aritmetik, maka b – a = c – b 2b = a + c b = a + c 2 b ialah min aritmetik bagi a dan c. 7 Hasil tambah n sebutan pertama, Sn , bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n 2 32a + (n – 1)d4 dengan keadaan a = sebutan pertama d = beza sepunya atau Sn = n 2 (a + l) dengan keadaan a = sebutan pertama l = sebutan terakhir 8 Sebutan ke-n bagi suatu janjang aritmetik atau janjang geometri boleh ditentukan dengan menggunakan formula Tn = Sn – Sn – 1 5.2 Janjang Geometri 1 Janjang geometri ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan setiap sebutan (selepas sebutan pertama) diperoleh dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan suatu pemalar. Pemalar itu dikenali sebagai nisbah sepunya. Janjang Bidang Pembelajaran: Algebra NOTA EKSPRES Bab 5 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 42 17-Feb-23 8:48:40 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 5 43 5.1 Janjang Aritmetrik Contoh 1 Rajah berikut menunjukkan satu siri beberapa segi tiga sama kaki dengan tinggi tetap 8 cm. Tapak segi tiga yang pertama ialah b cm dan tapak setiap segi tiga yang berikutnya bertambah sebanyak 2 cm secara berturutan. 8 cm b cm (b + 2) cm (b + 4) cm Tunjukkan bahawa luas, dalam cm2 , siri segi tiga itu membentuk satu janjang aritmetik. Nyatakan beza sepunyanya. Penyelesaian T1 = Luas segi tiga pertama = 1 2 × b × 8 = 4b T2 = Luas segi tiga kedua = 1 2 × (b + 2) × 8 = 4(b + 2) = 4b + 8 2 Nisbah sepunya, r, diberi oleh r = Tn + 1 Tn dengan keadaan Tn + 1 = sebutan ke-(n + 1) Tn = sebutan ke-n Nisbah sepunya tidak boleh mengambil nilai 0 atau 1. 3 Langkah-langkah untuk menentukan sama ada sesuatu jujukan nombor ialah janjang geometri atau bukan adalah seperti berikut: (a) Pilih mana-mana tiga sebutan yang berturutan dalam suatu jujukan nombor, contohnya Tn , Tn + 1 dan Tn + 2. (b) Hitung nilai-nilai Tn + 1 Tn dan Tn + 2 Tn + 1 . (c) Jika Tn + 1 Tn = Tn + 2 Tn + 1 , maka jujukan nombor itu ialah janjang geometri. (d) Jika Tn + 1 Tn ≠ Tn + 2 Tn + 1 , maka jujukan nombor itu bukan janjang geometri. 4 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang geometri diberi oleh Tn = ar n – 1 dengan keadaan a = sebutan pertama r = nisbah sepunya 5 Suatu janjang geometri boleh ditulis sebagai a, ar, ar 2 , ar 3 , ... 6 Jika a, b dan c ialah tiga sebutan berturutan dalam suatu janjang geometri, maka b a = c b b2 = ac b = !ac b ialah min geometri bagi a dan c. 7 Hasil tambah n sebutan pertama, Sn, bagi suatu janjang geometri diberi oleh Sn = a(r n – 1) r – 1 , | r |  1 atau Sn = a(1 – r n ) 1 – r , | r |  1 dengan keadaan a = sebutan pertama r = nisbah sepunya 8 Bagi kes –1 < r < 1, hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri diberi oleh Sn = a(1 – r n ) 1 – r = a 1 – r – ar n 1 – r Apabila n menghampiri infiniti, iaitu apabila n → ∞, r ∞ → 0 dan ar n 1 – r → 0. Maka, S∞ = a 1 – r , –1  r  1 S∞ disebut sebagai hasil tambah ketakterhinggaan. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 43 17-Feb-23 8:48:41 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 5 44 T3 = Luas segi tiga ketiga = 1 2 × (b + 4) × 8 = 4(b + 4) = 4b + 16 T2 – T1 = (4b + 8) – 4b = 8 T3 – T2 = (4b + 16) – (4b + 8) = 8 Oleh sebab T2 – T1 = T3 – T2 = 8 (pemalar), luas, dalam cm2 , siri segi tiga itu membentuk satu janjang aritmetik. Beza sepunya = 8 Contoh 2 Hitung sebutan ke-11 bagi janjang aritmetik 5, 8, 11, … Penyelesaian Tn = a + (n – 1)d T11 = 5 + (11 – 1)(3) d = T2 – T1 = 8 – 5 = 35 = 3 Contoh 3 Hitung bilangan sebutan bagi janjang aritmetik 7, 11, 15, …, 163. Penyelesaian TIP BIJAK Bilangan sebutan dapat dihitung dengan mencari nilai n. Tn = 163 a + (n – 1)d = 163 7 + (n – 1)(4) = 163 d = T2 – T1 = 11 – 7 7 + 4n – 4 = 163 = 4 4n = 160 n = 40 Maka, bilangan sebutan = 40 Contoh 4 Diberi janjang aritmetik –7, –2, 3, …, hitung hasil tambah 15 sebutan pertama. Penyelesaian Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] d = T2 – T1 = –2 – (–7) S = 5 15 = 15 2 [2(–7) + (15 – 1)5] = 15 2 (–14 + 70) = 420 Contoh 5 Hitung hasil tambah semua gandaan 13 antara 270 dengan 420. Penyelesaian Gandaan 13 antara 270 dengan 420 membentuk satu janjang aritmetik: 273, 286, 299, …, 416 Terlebih dahulu, cari bilangan sebutan. Tn = 416 a + (n – 1)d = 416 273 + (n – 1)(13) = 416 273 + 13n – 13 = 416 13n = 416 – 273 + 13 13n = 156 n = 12 Seterusnya, hitung hasil tambah 12 sebutan itu. Sn = n 2 (a + l) Oleh sebab sebutan terakhir sudah diketahui, adalah lebih pantas jika menggunakan formula Sn = n 2 (a + l) berbanding dengan formula Sn = n 2 [2a + (n – 1)d]. = 12 2 (273 + 416) = 4 134 Maka, hasil tambah semua gandaan 13 antara 270 dengan 420 ialah 4 134. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 44 17-Feb-23 8:48:41 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 5 45 Contoh 6 Jika hasil tambah n sebutan pertama janjang aritmetik 4, 7, 10, … ialah 175, cari nilai n. Penyelesaian Sn = 175 n 2 32a + (n – 1)d4 = 175 n 2 32(4) + (n – 1)(3)4 = 175 n 2 (8 + 3n – 3) = 175 n 2 (5 + 3n) = 175 n(5 + 3n) = 350 5n + 3n2 = 350 3n2 + 5n – 350 = 0 n = –b ± ! b2 – 4ac 2a n = –5 ± ! 52 – 4(3)(–350) 2(3) n = –5 ± 65 6 n = 10 atau –11 2 3 n = –11 2 3 tidak diterima. ∴n = 10 Ini adalah kerana n mesti integer positif. Contoh 7 Diberi sebutan ke-9 bagi suatu janjang aritmetik ialah 22 dan hasil tambah 6 sebutan pertama ialah 33, cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, (b) hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-5 hingga sebutan ke-10. Penyelesaian (a) T9 = 22 a + 8d = 22 … ➀ S6 = 33 6 2 (2a + 5d) = 33 3(2a + 5d) = 33 6a + 15d = 33 2a + 5d = 11 … ➁ ➀ × 2 – ➁: 11d = 33 ⇒ d = 3 Daripada ➀: a + 8(3) = 22 ⇒ a = –2 (b) Hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-5 hingga sebutan ke-10 = S10 – S4 = 10 2 32(–2) + 9(3)4 – 4 2 32(–2) + 3(3)4 = 115 – 10 = 105 TIP BIJAK Hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-5 hingga sebutan ke-10 = S10 – S4 . S10 S4 S10 – S4 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8 + T9 + T10                                      Hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-5 hingga sebutan ke-10 = S10 – S5 Salah Kesilapan Lazim Contoh 8 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = 3n(n + 4). Cari (a) sebutan pertama, (b) beza sepunya, (c) sebutan ke-7. Penyelesaian (a) T1 = S1 = 3(1)(1 + 4) Adalah nyata bahawa hasil tambah satu sebutan ialah sebutan pertama itu sendiri. Maka, T1 = S1 . = 15 (b) Cari T2 terlebih dahulu. T2 = S2 – S1 Tn = Sn – Sn – 1 = 3(2)(2 + 4) – 3(1)(1 + 4) = 36 – 15 = 21 Seterusnya, cari beza sepunya. d = T2 – T1 = 21 – 15 = 6 (c) T7 = S7 – S6 Tn = Sn – Sn – 1 = 3(7)(7 + 4) – 3(6)(6 + 4) = 231 – 180 = 51 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 45 17-Feb-23 8:48:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 5 46 Contoh 9 Encik Radzi menyewa sebuah rumah dengan sewa bulanan RM420. Dalam perjanjian, telah dicatatkan bahawa sewa bulanan akan meningkat dengan jumlah yang sama setiap tahun. Pada tahun ke-8, sewa bulanan yang dibayar oleh Encik Radzi ialah RM560. Cari (a) jumlah sewa yang akan bertambah pada setiap tahun, (b) jumlah sewa yang Encik Radzi perlu bayar dari tahun ke-6 hingga tahun ke-12. Penyelesaian (a) Bilangan tahun 1 … 8 Sewa bulanan RM420 … RM560 Sewa tahunan RM5 040 … RM6 720 T8 = 6 720 a + (n – 1)d = 6 720 5 040 + (8 – 1)d = 6 720 5 040 + 7d = 6 720 7d = 1 680 d = 240 Maka, jumlah sewa yang akan bertambah pada setiap tahun ialah RM240. (b) Jumlah sewa yang perlu dibayar oleh Encik Radzi dari tahun ke-6 hingga tahun ke-12 a = 5 040, d = 240 S12 – S5 = 12 2 32(5 040) + 11(240)4 – 5 2 32(5 040) + 4(240)4 = 76 320 – 27 600 = RM48 720 Contoh 10 Seutas dawai dibengkokkan untuk membentuk lengkok-lengkok semibulatan seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. Jejari semibulatan yang terkecil ialah 3 cm dan jejari semibulatan-semibulatan yang berikutnya bertambah sebanyak 2 cm secara berturutan. (a) Jika jejari semi bulatan yang terbesar ialah 41 cm, cari bilangan semibulatan yang dapat dibentuk. (b) Adakah bilangan semibulatan di (a) dapat dibentuk dengan menggunakan seutas dawai sepanjang 360π cm? Penyelesaian Jejari (cm) 3 5 … 41 Panjang lengkok semi bulatan (cm) 3π 5π … 41π (a) Tn = 41 a + (n – 1)d = 41 3 + (n – 1)(2) = 41 3 + 2n – 2 = 41 2n = 40 n = 20 Maka, 20 buah semibulatan dapat dibentuk. (b) Panjang dawai ialah 360π cm. Sn = 360π n 2 [2a + (n – 1)d] = 360π a = 3π d = 5π – 3π = 2π n 2 [2(3π) + (n – 1)(2π)] = 360π n 2 [6 + 2(n – 1)] = 360 Seluruh persamaan dibahagi dengan π. 3n + n(n – 1) = 360 3n + n2 – n – 360 = 0 n2 + 2n – 360 = 0 n = –b ± ! b2 – 4ac 2a n = –2 ± ! 22 – 4(1)(–360) 2(1) n = –2 ± 38 2 n = 18 atau –20 n = –20 tidak diterima. ∴n = 18 Hanya 18 buah semibulatan yang dapat dibentuk. Maka, semibulatan di (a), yang terdiri daripada 20 buah semibulatan, tidak dapat dibentuk. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 46 17-Feb-23 8:48:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 Bab 5 47 5.2 Janjang Geometri Contoh 11 Rajah berikut menunjukkan segi empat sama ABCD dengan panjang sisi a cm. Segi empat sama yang kedua, APQR dilukis dengan P dan R masing-masing ialah titik-titik tengah bagi AB dan AD. Segi empat sama yang ketiga, AKLM dilukis dengan keadaan K dan M masing-masing ialah titik tengah bagi AP dan AR. Segi empat sama yang lain dilukis dengan menggunakan kaedah yang sama. a cm a cm B A M R K P L Q C D Tunjukkan bahawa luas segi empat sama ABCD, APQR dan AKLM (dalam cm2 ) membentuk janjang geometri. Nyatakan nisbah sepunyanya. Penyelesaian T1 = Luas ABCD = a2 T2 = Luas APQR = 1 1 2 a2 × 1 1 2 a2 = 1 4 a2 T3 = Luas AKLM = 1 1 4 a2 × 1 1 4 a2 = 1 16 a2 T2 T1 = 1 4 a2 a2 = 1 4 T3 T2 = 1 16 a2 1 4 a2 = 1 4 Oleh sebab T2 T1 = T3 T2 = 1 4 (pemalar), maka luas segi empat sama ABCD, APQR dan AKLM (dalam cm2 ) membentuk janjang geometri. Nisbah sepunya = 1 4 Contoh 12 Hitung sebutan ke-7 bagi janjang geometri 1 3 , 1 6 , 1 12 , … Penyelesaian Tn = ar n – 1 T7 = 1 1 3 21 1 2 2 7 – 1 r = T2 T1 = 1 2 = 1 1 3 21 1 2 2 6 = 1 192 Contoh 13 Hitung hasil tambah 6 sebutan pertama bagi janjang geometri 729, 243, 81, … Penyelesaian r = T2 T1 = 243 729 = 1 3 Sn = a(1 – r n ) 1 – r Oleh sebab r  1, maka formula Sn = a(1 – rn ) 1 – r digunakan. S6 = 729 31 – 1 1 3 2 6 4 1 – 1 3 = 1 092 Contoh 14 Hitung hasil tambah bagi janjang geometri 2 3 , 1, 1 1 2 , …, 5 1 16. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 47 17-Feb-23 8:48:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.