Tingkatan 4 Bab 5 48 Penyelesaian Hitung bilangan sebutan terlebih dahulu. Tn = 5 1 16 ar n – 1 = 81 16 2 3 1 3 2 2 n – 1 = 81 16 r = 1 2 3 = 3 2 1 3 2 2 n – 1 = 81 16 × 3 2 1 3 2 2 n – 1 = 243 32 1 3 2 2 n – 1 = 1 3 2 2 5 Samakan asas, iaitu 3 2 . n – 1 = 5 n = 6 Seterusnya, cari hasil tambah 6 sebutan pertama. Sn = a(r n – 1) r – 1 Oleh sebab r 1, maka formula Sn = a(r n – 1) r – 1 digunakan. S6 = 2 3 31 3 2 2 6 – 14 3 2 – 1 S6 = 1341 48 Contoh 15 Diberi 6k + 8, 16 dan 2k ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri, cari (a) nilai-nilai k, (b) hasil tambah n sebutan pertama, dengan menggunakan nilai k yang positif. Penyelesaian (a) Oleh sebab 6k + 8, 16 dan 2k ialah tiga sebutan yang berturutan bagi suatu janjang geometri, gunakan idea bahawa nisbah sepunya sentiasa mempunyai nilai yang sama. 16 6k + 8 = 2k 16 2k(6k + 8) = 256 12k2 + 16k = 256 3k2 + 4k = 64 3k2 + 4k – 64 = 0 (3k + 16)(k – 4) = 0 k = – 16 3 atau 4 (b) Apabila k = 4, tiga sebutan pertama ialah 32, 16 dan 8. Sn = a(1 – r n ) 1 – r = 3231 – 1 1 2 2 n 4 1 – 1 2 = 6431 – 1 1 2 2 n 4 Contoh 16 Sebutan ke-3 bagi suatu janjang geometri ialah 24 dan hasil tambah dua sebutan pertama ialah 288. Jika semua sebutan adalah positif, cari (a) sebutan pertama dan nisbah sepunya, (b) hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-4 hingga sebutan ke-8. Penyelesaian (a) T3 = 24 ar 2 = 24 … ➀ S2 = 288 a(r 2 – 1) r – 1 = 288 a(r + 1)(r – 1) r – 1 = 288 a(r + 1) = 288 … ➁ Perhatikan bahawa S2 dipermudahkan kepada bentuk yang termudah dengan melakukan pemfaktoran dan pemansuhan. ➁ ➀ : a(r + 1) ar 2 = 288 24 Perhatikan bahawa bagi janjang geometri, persamaan serentak yang terbentuk diselesaikan dengan menggunakan kaedah pembahagian. r + 1 r 2 = 12 12r 2 = r + 1 12r 2 – r – 1 = 0 (3r – 1)(4r + 1) = 0 r = 1 3 atau – 1 4 r = – 1 4 tidak diterima kerana semua sebutan adalah positif. ∴r = 1 3 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 48 17-Feb-23 8:48:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 49 Daripada ➀, apabila r = 1 3 , a1 1 3 2 2 = 24 ⇒ a = 216 (b) Hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-4 hingga sebutan ke-8 = S8 – S3 = 2163 1 – 1 1 3 2 8 4 1 – 1 3 – 2163 1 – 1 1 3 2 3 4 1 – 1 3 = 323 77 81 – 312 = 11 77 81 TIP BIJAK Hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-4 hingga sebutan ke-8 = S8 – S3 S8 S3 S8 – S3 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8 Contoh 17 Harga sebuah kedai di suatu pusat perdagangan ialah RM220 000. Nilainya meningkat sebanyak 5% setiap tahun. Hitung bilangan tahun minimum yang diperlukan untuk nilainya melebihi RM400 000 untuk kali pertama. Penyelesaian Bilangan tahun 0 1 2 … Tn T1 T2 T3 … Nilai (RM) 220 000 231 000 242 550 … × 1.05 × 1.05 Tn 400 000 arn – 1 400 000 220 000(1.05)n – 1 400 000 1.05n – 1 400 000 220 000 1.05n – 1 1.8182 lg 1.05n – 1 lg 1.8182 Ambil lg ke atas kedua-dua belah persamaan. (n – 1)lg 1.05 lg 1.8182 (n – 1)0.02119 0.2596 n – 1 0.2596 0.02119 n – 1 12.25 n 13.25 Nilai integer n yang terkecil = 14 Maka, bilangan tahun minimum yang diperlukan untuk nilainya melebihi RM400 000 untuk kali pertama ialah 13 tahun. Awas! n = 14. Bilangan tahun minimum yang diperlukan untuk nilainya melebihi RM400 000 untuk kali pertama ialah 14 tahun. Salah Contoh 18 Ibrahim menyimpan 5 sen pada hari pertama, 10 sen pada hari kedua, 20 sen pada hari ketiga dan seterusnya dengan keadaan jumlah wang yang disimpan pada setiap hari ialah dua kali jumlah wang yang disimpan pada hari sebelumnya. Cari bilangan hari minimum untuk hasil tambah wangnya melebihi RM1 000 untuk kali pertama. Penyelesaian × 2 × 2 5 sen, 10 sen, 20 sen, … a = 5, r = 2 Sn 100 000 RM1 000 = 100 000 sen a(r n – 1) r – 1 100 000 5(2n – 1) 2 – 1 100 000 5(2n – 1) 100 000 2n – 1 100 000 5 2n – 1 20 000 2n 20 001 lg 2n lg 20 001 Ambil lg ke atas kedua-dua belah n persamaan. lg 2 lg 20 001 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 49 17-Feb-23 8:48:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 50 n(0.3010) 4.3011 n 4.3011 0.3010 n 14.29 Nilai integer n yang terkecil = 15 Maka, bilangan hari minimum untuk hasil tambah wang melebihi RM1 000 untuk kali pertama ialah 15 hari. Contoh 19 Hitung hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang geometri 24, 12, 6, … Penyelesaian S∞ = a 1 – r = 24 1 – 1 2 r = T2 T1 = 12 24 = 1 2 = 48 Contoh 20 Ungkapkan perpuluhan berulang 0.181818… dalam bentuk hasil tambah ketakterhinggaan bagi suatu janjang geometri. Seterusnya, ungkapkan nombor itu dalam pecahan termudah. Penyelesaian 0.181818… = 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + … = 0.18 1 – 0.01 S∞ = a 1 – r = 0.18 0.99 r = 0.0018 0.18 = 0.01 = 18 99 = 2 11 Contoh 21 Sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 81. Hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang geometri itu ialah 121 1 2 . Cari (a) nisbah sepunya, (b) sebutan pertama yang kurang daripada 1 2 . Penyelesaian (a) S∞ = 121 1 2 a 1 – r = 243 2 81 1 – r = 243 2 243 – 243r = 162 243r = 81 r = 81 243 = 1 3 (b) Tn 1 2 arn – 1 1 2 (81)1 1 3 2 n – 1 1 2 1 1 3 2 n – 1 1 162 lg 1 1 3 2 n – 1 lg 1 1 162 2 (n – 1)lg 1 1 3 2 lg 1 1 162 2 ** (n – 1)(–0.4771) –2.2095 n – 1 . –2.2095 –0.4771 TIP BIJAK Songsangkan arah ketaksamaan apabila pembahagian dengan nombor negatif dilakukan. n – 1 . 4.63 n . 5.63 Nilai integer n yang terkecil = 6 Maka, sebutan pertama yang kurang daripada 1 2 ialah sebutan ke-6. Kesilapan Lazim Daripada langkah ** (n – 1)lg 1 1 3 2 lg 1 1 1622 n – 1 –2.2095 –0.4771 n – 1 4.63 n 5.63 ∴n = 5 Salah kerana arah ketaksamaan tidak disongsangkan apabila pembahagian dengan nombor negatif dilakukan. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 50 17-Feb-23 8:48:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 51 Seutas dawai dengan panjang 78π cm dipotong untuk membentuk 6 bulatan seperti yang ditunjukkan dalah rajah. Jejari bulatanbulatan itu bertambah 1 cm secara berturutan. Cari (a) jejari bulatan yang terkecil, (b) bilangan bulatan yang dapat dibentuk jika panjang dawai yang digunakan ialah 200π cm. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Penyelesaian Terlebih dahulu, sediakan sebuah jadual seperti berikut. Jejari r r + 1 r + 2 … Lilitan 2πr 2π(r + 1) 2π(r + 2) … Sebutan T1 T2 T3 … (a) d = T2 – T1 = 2π(r + 1) – 2πr = 2π Diberi panjang dawai yang digunakan ialah 78π cm, maka S6 = 78π n 2 32a + (n – 1)d4 = 78π 6 2 32(2πr) + 5(2π)4 = 78π 3(4πr + 10π) = 78π 4πr + 10π = 26π 4πr = 16π r = 16π 4π = 4 Maka, jejari bulatan yang terkecil ialah 4 cm. (b) a = 2πr = 2π(4) = 8π Diberi Sn = 200π, n 2 32(8π) + (n – 1)(2π)4 = 200π 8nπ + n(n – 1)π = 200π 8nπ + n2 π – nπ = 200π 7nπ + n2 π = 200π 7n + n2 = 200 Seluruh persamaan dibahagi dengan π. n2 + 7n – 200 = 0 n = –7 ± ! 72 – 4(1)(–200) (2)(1) x = –b ± ! b2 – 4ac 2a = –7 ± ! 849 2 = –18.07 atau 11.07 n = –18.07 tidak diterima. ∴n = 11.07 Maka, bilangan bulatan lengkap yang dapat dibentuk ialah 11. Zon KBAT Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 51 17-Feb-23 8:48:44 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 52 5.1 Janjang Aritmetik 1 Hitung sebutan ke-16 bagi janjang aritmetik 1 3 , 1 2 3 , 3, … 2 Cari sebutan ke-n bagi janjang aritmetik 4, 6 1 2 , 9, … 3 Cari bilangan sebutan bagi janjang aritmetik 4, 1, –2, …, –23. 4 Cari bilangan gandaan 3 antara 20 dengan 110. 5 Bagi janjang aritmetik 5, 8, 11, …, sebutan yang keberapakah sama dengan 320? 6 Diberi 4k, 12 dan 2k2 + 4k ialah tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang aritmetik, cari nilai-nilai k yang mungkin. KBAT Mengaplikasi 7 Sebutan ke-12 dan sebutan ke-17 bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 38 dan 53. Cari beza sepunya. 8 Bagi janjang aritmetik 185, 182, 179, …, cari nilai sebutan negatif yang pertama. KBAT Mengaplikasi 9 Cari hasil tambah 12 sebutan pertama bagi janjang aritmetik –10, –7, –4, … 10 Cari hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang aritmetik 11, 7, 3, … 11 Bagi janjang aritmetik –4, 1, 6, ..., cari hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-6 hingga sebutan ke-14. 12 Cari hasil tambah semua sebutan bagi janjang aritmetik 1 4 , 1 1 2 , 2 3 4 , …, 14. 13 Berapakah sebutan bagi janjang aritmetik 12, 16, 20, … yang perlu diambil untuk hasil tambahnya sama dengan 132? 14 Sebutan pertama dan sebutan terakhir bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah –12 dan 36. Jika hasil tambah semua sebutan ialah 240, cari bilangan sebutan. 15 Sebutan kedua bagi suatu janjang aritmetik ialah 8, manakala hasil tambah enam sebutan pertama ialah 30. Cari beza sepunya. 16 Sebutan ke-3 dan sebutan ke-7 bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 6 dan 26. Cari sebutan ke-11. 17 Hasil tambah enam sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 72, manakala hasil tambah sembilan sebutan pertama ialah 81. Cari beza sepunya. 18 Sebutan ke-3 dan sebutan ke-9 bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 7 dan 31. Cari hasil tambah 12 sebutan pertama. 19 Jika hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n(4n – 7), cari sebutan ke-4. 20 Jika hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n(2n + 3), cari beza sepunya. 21 Seorang pelari jarak jauh mengambil masa 3 minit 45 saat bagi kilometer yang pertama tetapi kelajuannya merosot dengan kadar yang malar dengan keadaan setiap kilometer yang berikutnya memerlukan 12 saat lebih daripada kilometer yang sebelumnya. Cari masa, dalam minit dan saat, yang diambil bagi kilometer yang ke-11. 22 Cari bilangan bulan yang diperlukan untuk membayar hutang sebanyak RM5 800 dengan ansuran bulanan sebanyak RM100 pada bulan pertama dan pada setiap bulan yang berikutnya bertambah sebanyak RM20 secara berturutan. 23 Batu-bata disusun dalam satu barisan yang lurus dengan keadaan panjangnya menokok secara berturutan mengikut janjang aritmetik. Diberi bata yang terpendek mempunyai panjang 0.8 m dan bata yang terpanjang mempunyai panjang 1.25 m. Jika hasil tambah panjang semua bata ialah 20.5 m, hitung bilangan bata yang diperlukan. Praktis SPM 5 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 52 17-Feb-23 8:48:44 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 53 24 Perimeter sebuah heksagon ialah 36 cm. Panjang sisi-sisi heksagon itu membentuk janjang aritmetik. Jika panjang sisi yang terpanjang ialah lima kali panjang sisi yang terpendek, cari panjang sisi yang terpendek. KBAT Mengaplikasi 25 Seutas dawai dengan panjang 176 cm dipotong kepada 20 bahagian dengan keadaan panjang setiap bahagian membentuk janjang aritmetik. Diberi bahawa hasil tambah lima bahagian pertama ialah 14 cm. Cari panjang bahagian yang terpanjang. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 26 Seutas tali dengan panjang 62 m dipotong kepada n bahagian dengan keadaan panjang bahagian-bahagian itu membentuk janjang aritmetik dengan beza sepunya d m. Diberi bahawa panjang sisi terpendek ialah 0.5 m dan panjang sisi perpanjang ialah 3.5 m. Cari nilai n dan nilai d. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 27 (a) Diberi x + 2, 2x dan 2x + 3 ialah tiga sebutan pertama dalam suatu janjang aritmetik, cari (i) nilai x, (ii) hasil tambah 20 sebutan yang berikutnya. (b) Dalam suatu janjang aritmetik, hasil tambah n sebutan pertama diberi oleh Sn = 6n2 + 3n. Cari (i) sebutan ke-n, (ii) beza sepunya. 28 Sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 24. Ia terdiri daripada 23 sebutan. Hasil tambah tiga sebutan terakhir ialah 5 kali hasil tambah tiga sebutan pertama. Cari (a) beza sepunya, (b) hasil tambah 11 sebutan pertama. 29 Hasil tambah 6 sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 39 dan hasil tambah 6 sebutan yang berikutnya ialah –69. Cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, (b) hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-15 hingga sebutan ke-25. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 30 Suatu janjang aritmetik mempunyai 14 sebutan. Hasil tambah 14 sebutan pertama ialah 301, manakala hasil tambah sebutansebutan ganjil (pertama, ketiga, kelima dan seterusnya) ialah 140. Cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, (b) sebutan terakhir. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 31 Suatu janjang aritmetik mempunyai n sebutan. Hasil tambah semua sebutan ialah 300. Jika beza sepunya dan sebutan terakhir masing-masing ialah 2 dan 36, cari nilai-nilai n yang mungkin dan nilainilai yang sepadan bagi sebutan pertama. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 32 Rajah berikut menunjukkan satu siri kon. Jejari tapak setiap kon kekal pada 6 cm. Tinggi kon yang pertama ialah h cm. Tinggi kon yang kedua ialah (h + 1) cm. Tinggi kon yang ketiga ialah (h + 2) cm dan seterusnya dengan keadaan tinggi setiap kon ialah 1 cm lebih daripada tinggi kon sebelumnya secara berturutan. 6 cm 6 cm 6 cm h cm (h + 1) cm (h + 2) cm Tentukan sama ada isi padu (dalam cm3 ) kon-kon itu adalah dalam janjang aritmetik atau janjang geometri. Seterusnya, nyatakan beza sepunyanya atau nisbah sepunyanya. 33 Sebuah bulatan dibahagikan kepada 8 sektor dengan keadaan sudut-sudut yang tercangkum pada pusat bulatan membentuk suatu janjang aritmetik. Diberi sudut sektor yang terkecil ialah 10°, cari (a) beza sepunya dan sudut sektor yang terbesar, (b) hasil tambah sudut bagi 6 sektor yang pertama, (c) luas sektor yang keempat jika luas seluruh bulatan ialah 36π cm2 . Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 53 17-Feb-23 8:48:44 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 54 34 Rajah berikut menunjukkan beberapa sektor bulatan berpusat O. Sudut yang dicangkum pada pusat bulatan ialah π 3 radian. Panjang setiap lengkok menokok sebanyak π cm secara berturutan. O 15 cm π 3 rad Diberi jejari bagi sektor ke-n ialah 84 cm, cari (a) panjang lengkok bagi sektor ke-n, dalam sebutan π, (b) nilai n, (c) hasil tambah panjang lengkok bagi 10 sektor pertama, dalam sebutan π. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 35 Terdapat dua utas dawai. Satu daripada dawai itu ialah 110 cm lebih panjang daripada dawai yang satu lagi. Setiap dawai dipotong dengan keadaan panjang bahagian yang pertama ialah a cm, manakala panjang bahagian-bahagian yang berikutnya berkurangan sebanyak d cm secara berturutan. (a) Jika dawai yang lebih pendek dipotong kepada 15 bahagian, manakala dawai yang lebih panjang dipotong kepada 25 bahagian, ungkapkan a dalam sebutan d. (b) Jika d = 2, hitung nilai a. Seterusnya, cari panjang asal setiap daripada dua dawai itu. (c) Bagi dawai yang lebih panjang, bahagian yang manakah mempunyai panjang 12 cm? 36 Seutas dawai sepanjang 156 cm dipotong untuk membentuk 8 buah segi tiga sama sisi seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. Panjang sisi setiap segi tiga bertambah sebanyak 1 cm secara berturutan. Cari (a) perimeter segi tiga yang terkecil, (b) bilangan segi tiga lengkap yang dapat dibentuk jika panjang asal dawai yang digunakan ialah 756 cm. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 37 Seutas dawai yang panjangnya 100π cm dibengkokkan untuk membentuk 8 buah semibulatan seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. Jejari setiap semibulatan bertambah sebanyak 1 cm secara berturutan. Cari (a) diameter semibulatan yang terkecil, dalam sebutan π, (b) bilangan semibulatan lengkap yang dapat dibentuk jika panjang asal dawai yang digunakan ialah 500π cm. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 38 (a) Empat sudut sebuah sisi empat adalah dalam janjang aritmetik. Diberi sudut yang terbesar ialah empat kali sudut yang terkecil, cari saiz bagi setiap empat sudut itu. (b) Aminah ingin membina sebuah benteng dalam bentuk segi tiga dengan keadaan baris teratas mempunyai 1 ketul bata, baris kedua mempunyai 2 ketul bata, baris ketiga mempunyai tiga ketul bata dan seterusnya. Jika dia mempunyai 250 ketul bata, berapakah baris bata yang dapat dibina dan berapakah baki bata yang tinggal? 39 Rajah berikut menunjukkan pandangan sisi anak-anak tangga. Tinggi setiap blok anak tangga itu ialah 15 cm. Panjang blok yang terletak di bawah sekali ialah 130 cm. Panjang setiap blok yang berikutnya ialah 4 cm kurang daripada blok sebelumnya. 130 cm 4 cm 4 cm 15 cm Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 54 17-Feb-23 8:48:44 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 55 (a) Jika tinggi keseluruhan anak tangga itu ialah 3 m, cari (i) panjang blok yang tertinggi, (ii) hasil tambah panjang semua blok. (b) Cari tinggi maksimum yang mungkin bagi keseluruhan anak tangga itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 40 Dua buah syarikat, Epsilon dan Theta, mula menjual motosikal pada masa yang sama. (a) Epsilon menjual h buah motosikal pada bulan yang pertama dan jualannya meningkat sebanyak k buah motosikal secara berturutan pada bulan-bulan yang berikutnya. Ia menjual 320 buah motosikal pada bulan yang ke-5 dan jumlah jualan motosikal dalam 8 bulan pertama ialah 2 440 buah. Cari nilai h dan nilai k. (b) Theta menjual 160 buah motosikal pada bulan pertama dan jualannya meningkat sebanyak 35 buah secara berturutan pada bulan-bulan yang berikutnya. Jika kedua-dua syarikat itu menjual motosikal dengan bilangan yang sama pada bulan ke-n, cari nilai n. 41 Rajah berikut menunjukkan sebahagian daripada struktur binaan sebuah model bangunan dengan menggunakan kiub bersaiz sama, dengan sisi 3 cm setiapnya. Setiap aras kiub-kiub itu mewakili satu tingkat bangunan itu. Tingkat tertinggi model itu terdiri daripada 1 buah kiub. 3 cm (a) Jika tingkat terbawah model itu terdiri daripada 105 buah kiub, hitung tinggi model itu. (b) Jika kos setiap kiub ialah 90 sen, hitung jumlah kos untuk membina model itu. 42 Empat sudut dalam sebuah sisi empat membentuk janjang arimetik. Diberi sudut yang terbesar ialah tiga kali sudut yang terkecil, cari nilai setiap sudut. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 43 Rajah berikut menunjukkan susunan bagi satu siri silinder yang mempunyai jejari tapak yang malar iaitu 3 cm. Tinggi silinder yang pertama ialah 5 cm, tinggi silinder yang kedua ialah 7 cm dan seterusnya dengan keadaan tinggi setiap silinder yang berikutnya bertambah sebanyak 2 cm secara berturutan. 3 cm 3 cm 3 cm 5 cm 7 cm 9 cm (a) Cari isi padu, dalam cm3 , bagi silinder ke-15, dalam sebutan π. (b) Diberi hasil tambah bagi n silinder yang pertama ialah 1 260π cm3 , cari nilai n. 5.2 Janjang Geometri 44 Hitung sebutan ke-8 bagi janjang geometri 3, –6, 12, –24, … 45 Cari sebutan ke-n bagi janjang geometri 1 2 , 1 4 , 1 8 , … 46 Hitung bilangan sebutan bagi janjang geometri 1 4 , 1 12, 1 36, …., 1 324 . 47 Diberi x + 1, 12 dan 4x + 4 ialah tiga sebutan yang berturutan bagi suatu janjang geometri, cari nilai-nilai x yang mungkin. KBAT Mengaplikasi 48 Bagi janjang geometri 500, 100, 20, …, cari sebutan yang kurang daripada 1 10 untuk kali pertama. KBAT Mengaplikasi 49 Hitung hasil tambah enam sebutan pertama bagi janjang geometri 3, 2, 4 3 , … Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 55 17-Feb-23 8:48:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 56 50 Hitung hasil tambah semua sebutan bagi janjang geometri 2 3 , 2, 6, …, 486. 51 Diberi janjang geometri 27, 9, 3, …, cari hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-5 hingga sebutan ke-8. 52 Cari bilangan sebutan bagi janjang geometri 48, 24, 12, … yang perlu diambil supaya hasil tambahnya sama dengan 95 1 4 . KBAT Mengaplikasi 53 Bagi janjang geometri 3, 6, 12, ..., cari bilangan minimum sebutan yang perlu diambil untuk hasil tambahnya melebihi 1 000. KBAT Mengaplikasi 54 Sebutan ke-2 dan sebutan ke-7 bagi suatu janjang geometri masing-masing ialah 3 dan 32 81 , cari sebutan pertama. 55 Sebutan ke-3 dan sebutan ke-6 bagi suatu janjang geometri masing-masing ialah 27 dan 8. Cari sebutan ke-2. 56 Sebutan ke-2 dan sebutan ke-3 bagi suatu janjang geometri masing-masing iala 1 2 dan 1. Cari hasil tambah tiga sebutan pertama. 57 Dalam suatu janjang geometri, hasil tambah sebutan ke-2 dan ke-3 ialah 12, manakala hasil tambah sebutan ke-3 dan ke-4 ialah 6. Cari nisbah sepunya. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 58 Sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 18 dan hasil tambah tiga sebutan pertama ialah 38. Cari nilai-nilai nisbah sepunya yang mungkin. KBAT Mengaplikasi 59 Panjang sisi-sisi sebuah segi tiga adalah dalam janjang geometri. Panjang sisi yang terpanjang ialah 36 cm. Jika perimeter segi tiga itu ialah 76 cm, cari nilai positif bagi nisbah sepunya. KBAT Mengaplikasi 60 Nilai perlindungan insurans bagi sebuah kereta import baharu yang dibeli pada tahun 2015 ialah RM120 000. Nilai insurans bagi setiap tahun yang berikutnya ialah 5% kurang daripada tahun sebelumnya. Hitung nilai insurans pada tahun 2023. KBAT Mengaplikasi 61 Sebutan ke-3 bagi suatu janjang geometri melebihi sebutan ke-2 sebanyak 6 manakala sebutan ke-4 melebihi sebutan ke-3 sebanyak 2. Cari hasil tambah 5 sebutan pertama. 62 Sebutan ke-2 dan sebutan ke-3 bagi suatu janjang geometri masing-masing ialah m3 4 dan m5 16 . (a) Cari nilai-nilai yang tidak boleh diambil oleh m selain daripada 0. (b) Jika m = 6, cari (i) sebutan pertama dan nisbah sepunya, (ii) hasil tambah semua sebutan daripada sebutan ke-2 hingga sebutan ke-5. 63 Suatu janjang aritmetik dan suatu janjang geometri mempunyai sebutan pertama yang sama. Kedua-dua janjang juga mempunyai nilai beza sepunya dan nilai nisbah sepunya yang sama iaitu 1 3 . Sebutan ke-10 bagi janjang aritmetik itu ialah 12. Sebutan ke-13 bagi janjang aritmetik itu adalah sama dengan hasil tambah n sebutan pertama janjang geometri itu. Cari (a) sebutan pertama kedua-dua janjang, (b) nilai n. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 64 Sebutan pertama dan beza sepunya bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 8 dan d. Diberi sebutan pertama, ke-5 dan ke-21 bagi janjang aritmetik itu membentuk tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri, cari nilai d. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 65 Kien Heng menyusun duit syiling 50 sen seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. Bilangan duit syiling dalam setiap susunan membentuk janjang geometri. 50 sen 50 sen 50 sen Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 56 17-Feb-23 8:48:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 57 Cari (a) bilangan duit syiling dalam susunan ke-7, (b) bilangan susunan lengkap yang dapat dibentuk jika Kien Heng mempunyai 1 500 keping duit syiling. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 66 Rajah berikut menunjukkan lima buah segi empat sama yang dilukis secara berturutan dengan keadaan panjang sisi setiap segi empat sama membentuk suatu janjang geometri. Panjang sisi segi empat sama yang pertama ialah x cm dan nisbah panjang sisi segi empat sama yang keempat kepada panjang sisi segi empat sama yang pertama ialah 125 : 64. x cm (a) Cari nisbah panjang sisi segi empat sama yang kedua kepada panjang sisi segi empat sama yang pertama. (b) Jika 5 buah segi empat sama pertama dibentuk daripada seutas dawai sepanjang 131 5 16 cm, cari nilai x. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 67 Pada 1 Januari 2020, Encik Shamsul telah membuka sebuah akaun simpanan tetap dengan wang RM10 000. Faedah tahunan ialah 5% daripada wang yang ada pada akhir suatu tahun. Ia ditambah masuk ke dalam akaun itu pada awal setiap tahun mulai 1 Januari 2021. Tiada pengeluaran dilakukan. Cari (a) nisbah wang pada 1 Januari 2001 kepada wang pada 1 Januari 2020, (b) tahun apabila jumlah wang melebihi RM25 000 untuk kali pertama dalam akaun simpanan tetap itu selepas faedah dimasukkan. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 68 Seorang pekebun diberi tugas untuk memotong rumput di suatu kawasan seluas 1 000 m2 . Pada hari pertama, dia memotong rumput bagi kawasan seluas 16 m2 . Pada setiap hari yang berikutnya, dia memotong rumput bagi kawasan 1.1 kali luas kawasan yang dia potong pada hari sebelumnya sehingga hari tugasnya selesai. Cari (a) luas kawasan rumput yang dipotong pada hari ke-10, (b) bilangan hari minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan tugasnya. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 69 Sebuah badan kebajikan memberi bantuan kewangan kepada sebuah rumah anakanak yatim pada setiap tahun bermula tahun 2017. Jumlah bantuan yang diberi pada tahun 2017 ialah RM10 000. Pada tahun-tahun seterusnya, 95% daripada bantuan kewangan pada tahun sebelumnya telah diberikan. Cari (a) tahun apabila bantuan kewangan yang diberi ialah RM8 573.75, (b) bilangan tahun yang diperlukan supaya hasil tambah wang yang diberikan melebihi RM70 000 untuk kali pertama. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 70 Shahril mula berkhidmat di sebuah syarikat pada 1 Januari 2015 dengan gaji tahunan RM24 000. Pada setiap bulan Januari bagi tahun-tahun yang berikutnya, syarikat itu menambah gajinya sebanyak 5% daripada gajinya pada tahun sebelumnya. Cari (a) gaji tahunannya, betul kepada RM yang terdekat, pada tahun 2020, (b) nilai minimum n dengan keadaan gaji tahunannya pada tahun ke-n melebihi RM35 000, (c) jumlah gajinya, betul kepada RM yang terdekat, dari tahun 2015 hingga tahun 2020. 71 Rajah berikut menunjukkan satu siri segi tiga bersudut tegak yang serupa. A B C E G b D F h Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 57 17-Feb-23 8:48:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 58 Segi tiga pertama ialah ∆ABC (dengan tapak b dan tinggi h), diikuti oleh ∆ADE, ∆AFG dan seterusnya. Tapak dan tinggi setiap segi tiga ialah dua kali tapak dan tinggi segi tiga sebelumnya. (a) Tunjukkan bahawa luas siri segi tiga itu membentuk satu janjang geometri. Nyatakan nisbah sepunyanya. (b) Diberi b = 6 cm dan h = 3 cm, cari (i) luas segi tiga yang kelapan, (ii) hasil tambah luas empat segi tiga yang pertama. 72 Seutas dawai dipotong kepada n bahagian. Panjang setiap bahagian bertambah dan membentuk suatu janjang geometri. Diberi bahawa panjang dawai bahagian yang ketujuh ialah 8 kali panjang bahagian dawai yang keempat. (a) Hitung nisbah sepunya. (b) Jika jumlah panjang dawai ialah 3 069 cm dan panjang bahagian dawai yang pertama ialah 3 cm, cari (i) nilai n, (ii) panjang, dalam cm, bahagian dawai yang terakhir. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 73 Diberi …, 729, k, 6 561, … ialah sebahagian daripada suatu janjang geometri dan hasil tambah lima sebutan pertama ialah 1 089, cari (a) nisbah sepunya, (b) sebutan pertama, (c) nilai n yang terkecil dengan keadaan sebutan ke-n melebihi 12 000. KBAT Mengaplikasi 74 Jika hasil tambah ketakterhinggaan bagi suatu janjang geometri ialah 64 dan sebutan pertama ialah 16, cari nisbah sepunya. 75 Ungkapkan nombor perpuluhan berulang 0.459459459… sebagai satu pecahan tunggal dalam sebutan terendah. 76 Sebutan ke-2 dan sebutan ke-4 bagi suatu janjang geometri masing-masing ialah 20 dan 12 4 5 . Jika semua sebutan adalah positif, cari hasil tambah ketakterhinggaan janjang itu. KBAT Mengaplikasi 77 Sebutan ke-2 dan hasil tambah ketakterhingggan bagi suatu janjang geometri masing-masing ialah 6 dan 32. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi nisbah sepunya. KBAT Mengaplikasi 78 Diberi 5x – 12, x dan x – 4 ialah tiga sebutan yang berturutan bagi suatu janjang geometri, cari (a) nilai x jika semua sebutan adalah positif, (b) hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang itu, (c) nilai bagi sebutan yang kurang daripada 1 10 untuk kali pertama. 79 P dan Q ialah dua janjang geometri masing-masing dengan nisbah sepunya 1 2 dan 1 3 . Hasil tambah ketakterhinggaan bagi kedua-dua janjang geometri itu adalah sama. Jika sebutan ketiga janjang geometri P melebihi sebutan ketiga janjang geometri Q dengan 11 6 , cari sebutan pertama bagi setiap janjang geometri itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 80 Stanum diekstrak daripada bijih timah. Semasa operasi tahun pertama, bijih itu menghasilkan 20 000 kg stanum. Penghasilan stanum pada setiap tahun yang berikutnya berkurangan sebanyak 8% daripada penghasilan pada tahun sebelumnya. (a) Cari jumlah maksimum stanum yang dapat diekstrak jika perlombongan bijih timah dan pengekstrakan stanum diteruskan dengan cara yang serupa untuk suatu tempoh masa yang amat panjang. (b) Atas sebab-sebab ekonomi, perlombongan bijih timah terpaksa diberhentikan apabila jumlah stanum yang dihasilkan adalah kurang daripada 2 000 kg. Cari bilangan tahun lombong itu telah beroperasi. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 58 17-Feb-23 8:48:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 59 81 Rajah berikut menunjukkan satu set trapezium PQSR, RSUT, TUWV, … Tapak setiap trapezium ialah 2 cm. Panjang SR ialah 9 10 kali panjang QP. Panjang UT ialah 9 10 kali panjang SR. Panjang WV ialah 9 10 kali panjang UT. 2 cm 2 cm 2 cm P Q R S T U V W 100 cm Jika QP = 100 cm, (a) tunjukkan bahawa luas trapeziumtrapezium PQSR, RSUT, TUWV, … (dalam cm2 ) membentuk suatu janjang geometri dan nyatakan nisbah sepunyanya, (b) cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi luas set trapezium itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 82 Syamala menjatuhkan sebiji bola getah dari ketinggian h cm ke lantai. Selepas lantunan pertama, bola itu mencapai ketinggian h1 cm, dengan keadaaan h1 = 0.9h. Selepas lantunan kedua, bola itu mencapai ketinggian h2 cm, dengan keadaan h2 = 0.9h1. Bola itu terus melantun dengan cara yang sama sehingga ia berhenti melantun seperti ditunjukkan dalam rajah berikut. h h2 h1 Diberi h = 100 cm, cari (a) bilangan lantunan apabila ketinggian maksimum bola dari lantai adalah kurang daripada 25 cm untuk kali pertama, (b) jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui oleh bola itu sehingga ia berhenti melantun. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 83 Sebuah telaga minyak menghasilkan 100 000 tong minyak mentah pada tahun pertama operasinya tetapi outputnya menyusut 5% setiap tahun secara berturutan. (a) Cari bilangan tong minyak yang diekstrak pada tahun kelima operasinya. (b) Hitung jumlah bilangan tong minyak yang dapat diekstrak selepas ia beroperasi untuk suatu tempoh masa yang lama. (c) Jika telaga minyak itu ditutup selepas ia beroperasi selama 12 tahun, berapakah jumlah bilangan tong minyak mentah yang telah dihasilkan? KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis 84 Rajah berikut menunjukkan sebahagian daripada satu siri segi empat sama. x cm Panjang sisi bagi siri segi empat sama itu membentuk suatu janjang geometri. Diberi panjang sisi segi empat sama yang pertama ialah x cm dan nisbah panjang sisi segi empat sama ketiga kepada panjang sisi segi empat sama pertama ialah 4 : 9. (a) Cari nisbah panjang sisi segi empat sama kedua kepada panjang sisi segi empat sama pertama. (b) Jika jumlah luas tiga segi empat sama pertama ialah 532 cm2 , cari nilai x. (c) Hitung hasil tambah ketakterhinggaan bagi luas segi empat sama itu. KBAT Mengaplikasi KBAT Menganalisis KBAT Menilai Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 59 17-Feb-23 8:48:46 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 5 60 1 20 1 3 2 1 2(5n + 3) 3 10 4 30 5 T106 6 k = 2 atau –6 7 3 8 –1 9 78 10 13n – 2n2 11 369 12 85 1 2 13 6 14 20 15 –2 16 46 17 –2 18 252 19 21 20 4 21 5 minit 45 saat 22 20 bulan 23 20 bata 24 2 cm 25 16.4 cm 26 n = 31, d = 0.1 27 (a) (i) x = 5 (ii) 890 (b) (i) 12n – 3 (ii) 12 28 (a) 6 (b) 594 29 (a) a = 14, d = –3 (b) –473 30 (a) a = 2, d = 3 (b) 41 31 n = 25, a = –12 n = 12, a = 14 32 Janjang aritmetik d = 12π 33 (a) d = 10°, l = 80° (b) 210° (c) 12.57 cm2 34 (a) 28π cm (b) n = 24 (c) 95π cm 35 (a) a = 11 + 19.5d (b) a = 50 ; 540 cm, 650 cm (c) Bahagian ke-20 36 (a) 9 cm (b) 20 37 (a) 18 cm (b) 24 38 (a) 36°, 72°, 108°, 144° (b) 21 baris, 19 ketul bata 39 (a) (i) 54 cm (ii) 1 840 cm (b) 495 cm 40 (a) h = 200, k = 30 (b) n = 9 41 (a) 81 cm (b) RM1 287.90 42 45°, 75°, 105°, 135° 43 (a) 297π cm3 (b) 10 44 –384 45 1 2n 46 5 47 x = 5 atau –7 48 T7 49 8 17 81 50 7282 3 51 40 81 52 7 53 9 54 4 1 2 55 401 2 56 1 3 4 57 1 2 58 2 3 atau –1 2 3 59 1 1 2 60 RM79 610.45 61 –401 3 62 (a) 2 atau –2 (b) (i) a = 6, r = 9 (ii) 44 280 63 (a) 9 (b) n = 3 64 d = 6 65 (a) 128 (b) 9 66 (a) 5 : 4 (b) x = 4 67 (a) 1.05 (b) Tahun 2039 68 (a) 37.73 m2 (b) 21 hari 69 (a) Tahun 2020 (b) 9 tahun 70 (a) RM30 631 (b) n = 9 (c) RM163 246 71 (a) r = 4 (b) (i) 147 456 cm2 (ii) 765 cm2 72 (a) r = 2 (b) (i) n = 10 (ii) 1 536 cm 73 (a) r = 3 (b) a = 9 (c) n = 8 74 r = 3 4 75 17 37 76 125 77 1 4 atau 3 4 78 (a) x = 6 (b) 27 (c) 2 27 79 ap = 18, aQ = 24 80 (a) 250 000 kg (b) 28 tahun 81 (a) 9 10 (b) 1 900 cm2 82 (a) 14 (b) 1 900 cm 83 (a) 81 451 tong (b) 2 000 000 tong (c) 919 280 tong 84 (a) 2 : 3 (b) x = 18 (c) 583.2 cm2 Jawapan Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B5 3rd.indd 60 17-Feb-23 8:48:46 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
61 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear 1 Garis lurus penyuaian terbaik ialah satu garis lurus yang mempunyai ciri-ciri berikut: (a) Garis lurus itu dilukis agar ia melalui seberapa banyak titik yang mungkin. (b) Bilangan titik yang tidak terletak pada garis lurus yang dilukis harus hampir sama di bahagian atas dan bawah garis lurus. y x O Garis lurus penyuaian terbaik 2 Fungsi tak linear ialah suatu fungsi yang mempunyai satu atau lebih pemboleh ubah, x atau y, yang bukan dalam darjah pertama. 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear 1 Suatu fungsi tak linear yang terdiri daripada pemboleh ubah x dan y (dengan graf garis lengkung) boleh ditukarkan kepada bentuk linear, Y = mX + c, dengan keadaan X dan Y mewakili fungsi-fungsi dalam sebutan x atau y atau kedua-duanya (dengan graf garis lurus). 2 Langkah-langkah untuk mencari nilainilai pemalar dalam fungsi tak linear adalah seperti berikut: (a) Tukar fungsi tak linear dengan pemboleh ubah x dan y kepada bentuk linear Y = mX + c, dengan keadaan X dan Y mewakili fungsi dalam x atau y atau kedua-duanya. (b) Sediakan sebuah jadual bagi nilainilai X and Y. (c) Pilih satu skala yang sesuai supaya graf yang dilukis adalah sebesar yang mungkin dan labelkan keduadua paksi. (d) Plot graf Y melawan X dan lukis garis lurus penyuaian terbaik. (e) Bina segi tiga bersudut tegak dengan keadaan dua daripada bucu terletak pada garis lurus penyuaian terbaik untuk menghitung kecerunan, m, garis lurus itu. X Y O c (x2 , y2 ) (x1 , y1 ) m = ∆y ∆x = y2 – y1 x2 – x1 (f) Tentukan pintasan-Y, c, daripada garis lurus penyuaian terbaik itu. 3 Nilai pemboleh ubah tertentu, sama ada x atau y, boleh ditentukan daripada graf garis lurus penyuaian terbaik atau daripada persamaan garis lurus penyuaian terbaik yang dibentuk. Hukum Linear Bidang Pembelajaran: Algebra NOTA EKSPRES Bab 6 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B6 4th.indd 61 17-Feb-23 8:49:30 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 6 62 6.1 Hubungan dan Tak Linear 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear 6.3 Aplikasi Hukum Linear Contoh 1 Tukar setiap persamaan berikut kepada bentuk linear. Seterusnya, nyatakan kecerunan dan pintasan-Y bagi setiap persamaan linear dalam sebutan a dan b, dengan keadaan a dan b ialah pemalar. (a) y = ax + x2 b (b) y = a ! x + b! x (c) ay = bx + x2 Penyelesaian (a) Kaedah 1 y = ax + x2 b Bukan linear y x = a + x b Seluruh persamaan dibahagikan dengan x. y x = 1 b x + a Bentuk linear Y = mX + c Kecerunan = 1 b Pintasan-Y = a Kaedah 2 y = ax + x2 b Bukan linear y x2 = a 1 x + 1 b Seluruh persamaan dibahagikan dengan x2 . Bentuk linear Y = mX + c Kecerunan = a Pintasan-Y = 1 b (b) Kaedah 1 y = a ! x + b! x Bukan linear y! x = a + bx Seluruh persamaan didarabkan dengan !x . y! x = bx + a Bentuk linear Y = mX + c Kecerunan = b Pintasan-Y = a Kaedah 2 y = a ! x + b! x Bukan linear y ! x = a 1 x + b Seluruh persamaan dibahagikan dengan !x . Bentuk linear Y = mX + c Kecerunan = a Pintasan-Y = b TIP BIJAK Anda hanya perlu menunjukkan salah satu daripada dua kaedah yang telah diterangkan. (c) ay = bx + x2 ay x = b + x Seluruh persamaan dibahagikan dengan x. y x = b a + x a Seluruh persamaan dibahagikan dengan a. y x = 1 a x + b a Bentuk linear Y = mX + c Kecerunan = 1 a Pintasan-Y = b a Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B6 4th.indd 62 17-Feb-23 8:49:31 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 6 63 Contoh 2 Terangkan bagaimana sebuah graf garis lurus (Y = mX + c) dapat dilukis untuk mewakili setiap persamaan yang berikut. Nyatakan Y, X, m dan c. (a) y = pq!x (b) y = 9 p2 (x + q) 2 (c) y = px 2 – qx Penyelesaian (a) y = pq!x log10 y = log10 pq!x log10 y = log10 p + log10 q!x log10 y = log10 p + ! x log10 q log10 y = (log10 q)! x + log10 p Hukum-hukum logaritma Graf log10 y melawan ! x ialah sebuah graf garis lurus. Y = log10 y X = ! x m = log10 q c = log10 p (b) y = 9 p2 (x + q) 2 ! y = ! 9 p2 (x + q) 2 Ambil punca kuasa dua bagi kedua-dua belah persamaan. ! y = 3 p (x + q) ! y = 1 3 p 2x + 3q p Graf ! y melawan x ialah sebuah graf garis lurus. Y = ! y X = x m = 3 p c = 3q p Ambil log bagi kedua-dua belah persamaan. (c) y = px 2 – qx 1 y = 2 – qx px Ambil salingan bagi kedua-dua belah persamaan. 1 y = 2 p 1 1 x 2 – q p Graf 1 y melawan 1 x ialah sebuah graf garis lurus. Y = 1 y X = 1 x m = 2 p c = – q p Contoh 3 Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai sesaran, s m, dan masa, t s, bagi gerakan sebuah objek sedemikian s = ut + 1 2 at 2 , dengan keadaan u ialah halaju awal dan a ialah pecutan objek itu. Masa, t s 1 2 3 4 Sesaran, s m 18.5 34.4 46.5 x Masa, t s 5 6 7 Sesaran, s m 62.5 64.8 66.5 (a) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-t dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi- s t , plot graf s t melawan t. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (b) Daripada graf anda, cari (i) halaju awal, (ii) pecutan, (iii) nilai x. Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B6 4th.indd 63 17-Feb-23 8:49:31 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 6 64 Penyelesaian (a) t 1 2 3 4 5 6 7 s 18.5 34.4 46.5 x 62.5 64.8 66.5 s t 18.5 17.2 15.5 12.5 10.8 9.5 Graf s t melawan t adalah seperti yang ditunjukkan di bawah. O 1 2 3 4 5 6 7 t (s) 18.5 – 9.5 = 9 7 – 1 = 6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 s t (m s–1) Graf s t melawan t Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B6 4th.indd 64 17-Feb-23 8:49:32 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Tingkatan 4 Bab 6 65 TIP BIJAK • Pilih skala yang sesuai supaya graf yang dilukis adalah sebesar yang mungkin, iaitu hampir meliputi keseluruhan kertas graf. • Dicadangkan supaya anda menggunakan pembaris panjang lut sinar supaya anda dapat melihat titik-titik yang diplot dengan jelas bagi menentukan garis lurus penyuaian terbaik. (b) s = ut + 1 2 at 2 s t = u + 1 2 at Seluruh persamaan dibahagikan dengan t. s t = 1 2 at + u Bentuk linear Y = mX + c (i) Halaju awal, u = Pintasan-Y = 20 m s–1 (ii) Kecerunan = – 1 18.5 – 9.5 7 – 1 2 = –1.5 Kecerunan negatif 1 2 a = –1.5 a = –3 Maka, pecutan = –3 m s–2 TIP BIJAK • Jangan ambil nilai-nilai daripada jadual untuk menghitung kecerunan kerana nilai-nilai itu mungkin mempunyai ralat eksperimen dan mungkin terkeluar daripada garis lurus penyuaian terbaik. • Semasa menghitung kecerunan garis lurus, pilih dua titik yang berada sejauh yang mungkin di antara satu sama lain (lebih daripada separuh kertas graf). Semakin jauh jarak di antara dua titik itu, semakin jitu nilai kecerunan yang dihitung. (iii) Daripada graf, apabila t = 4, s t = 14 s 4 = 14 s = 56 Maka, x = 56. Contoh 4 Jadual berikut menunjukkkan nilai-nilai eksperimen bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang dihubungkan oleh persamaan y = 3khx , dengan keadaan h dan k ialah pemalar. x 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.2 3.8 y 24.0 31.7 41.8 55.1 72.8 110.3 167.1 (a) Tukar persamaan y = 3khx kepada bentuk linear. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y, plot graf log10 y melawan x. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (c) Daripada graf anda, cari (i) nilai h dan nilai k, (ii) nilai y apabila x = 3.0. Penyelesaian (a) y = 3khx Bukan linear log10 y = log10 3khx log10 y = log10 3k + log10 hx log10 y = log10 3k + x log10 h log10 y = (log10 h)x + log10 3k Bentuk linear Y = mX + c (b) x 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.2 3.8 y 24.0 31.7 41.8 55.1 72.8 110.3 167.1 log10 y 1.38 1.50 1.62 1.74 1.86 2.04 2.22 Graf log10 y melawan x adalah seperti yang ditunjukkan di halaman seterusnya. (c) (i) Kecerunan = 2.22 – 1.38 3.8 – 1.0 = 0.3 log10 h = 0.3 h = 1.995 Tekan SHIFT log 0.3 = Pintasan-Y = 1.08 log10 3k = 1.08 3k = 12.02 k = 4.01 (ii) Daripada graf, apabila x = 3.0, log10 y = 1.98 y = 95.50 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-F4-B6 4th.indd 65 17-Feb-23 8:49:32 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
260 Kertas 1 Bahagian A Jawab semua soalan dalam bahagian ini. [64 markah] Masa [80 markah] : 2 jam Kertas Model SPM 1 Diberi bahawa f(x) = n – mx, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Cari (a) f –1(x) dalam sebutan m dan n. [2 markah] (b) nilai m dan nilai n dengan keadaan f –1(1) = 1 dan f(2) = –3. [4 markah] 2 Diberi k 3 dan k 5 ialah punca–punca bagi persamaan kuadratik 15x2 – 16x + m = 0, cari nilai m dan nilai k. [5 markah] 3 Ungkapkan fungsi kuadratik f(x) = 2x – 3 – 2x2 dalam bentuk verteks f(x) = a(x – h)2 + k, dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. Seterusnya, lakar graf f(x) = 2x – 3 – 2x2 dan nyatakan persamaan paksi simetri bagi graf itu. [6 markah] 4 Selesaikan persamaan: ! x – ! x – 2 = 1 [4 markah] 5 Selesaikan persamaan serentak: 4x 2y = 2 log10 (2x + 2y) = 1 [5 markah] 6 Koordinat bagi tiga titik, A, B dan C, masing-masing ialah (6, 10), (4, 4) dan (9, 6). (a) (i) Cari luas bagi segi tiga ABC. (ii) Hitung jarak AB. Seterusnya, tentukan jarak tegak lurus dari C ke AB. [3 markah] (b) R(x, y) ialah titik yang bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A sentiasa dua kali jaraknya dari titik C. Cari persamaan lokus bagi titik R. [2 markah] 7 Diberi k – 1, 2k – 2 dan 3k – 1 ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri, cari (a) nilai k dengan keadaan k . 1, [3 markah] (b) hasil tambah semua sebutan daripada sebutan keempat hingga sebutan kesembilan. [3 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 260 17-Feb-23 8:57:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 261 8 Diberi bahawa r ~ = (h + 1)i ~ + 3j ~ dan s ~ = 8i ~ + (h + 3)j ~ . Cari nilai (atau nilai-nilai) h bagi setiap kes yang berikut: (a) r ~ adalah selari dengan s ~, [4 markah] (b) vektor s ~ adalah selari dengan garis lurus 2y = x – 4. [2 markah] 9 Rajah 1 menunjukkan sektor AOB bagi sebuah bulatan berpusat O. PQ ialah garis lurus. A B Q O P θ 20 cm Rajah 1 Diberi OB = 20 cm, OQ : QB = 3 : 2 dan luas segi tiga OPQ = 42.42 cm2 , cari KBAT Mengaplikasi (a) nilai θ, dalam radian, [4 markah] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. [2 markah] [Guna π = 3.142] 10 Diberi bahawa sek x = 1 p, dengan keadaan x ialah sudut tirus. Cari (a) kot x, [2 markah] (b) sin2 x 2 . [3 markah] 11 Diberi e10 4 f(x) dx = 7, cari (a) e 5 4 f(x) dx + e 7 5 f(x) dx + e10 7 f(x) dx, [2 markah] (b) nilai h jika e 4 10 [10f(x) – hx] dx = 182. [3 markah] 12 Garis lurus 4y + x = q ialah normal kepada lengkung y = (x – 1)2 – 3 pada titik A. Cari (a) koordinat titik A, [4 markah] (b) nilai q. [1 markah] Bahagian B Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. [16 markah/marks] 13 Puan Junaidah membeli 3 tin susu tepung bayi, 2 bungkus lampin bayi dan 4 helai baju bayi. Puan Ooi membeli 2 tin susu tepung bayi, 4 bungkus lampin bayi dan 3 helai baju bayi. Puan Kamala membeli 4 tin susu tepung bayi, 3 bungkus lampin bayi dan 2 helai baju bayi. Jumlah bayaran bagi Puan Junaidah, Puan Ooi dan Puan Kamala masing-masing ialah RM480, RM405 dan RM600. Cari harga bagi setin susu tepung bayi, sebungkus lampin bayi dan sehelai baju bayi. [8 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 261 17-Feb-23 8:57:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 262 14 Dalam Rajah 2, garis lurus AB dan garis lurus CD bersilang pada titik M. Persamaan garis lurus AB dan CD masing-masing ialah x + 2y – 7 = 0 dan x – y + 2 = 0. Titik N(0, –3) membahagi tembereng garis PQ dengan nisbah 2 : 1. Koordinat titik P ialah (–4 , –6). y x C A M Q 0 D x – y + 2 = 0 B x + 2y – 7 = 0 P(–4, –6) N(0, –3) Rajah 2 (a) Cari persamaan garis lurus MQ. [5 markah] (b) Titik R(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik M dan titik Q adalah sentiasa sama. (i) Huraikan lokus bagi titik bergerak R. (ii) Seterusnya, cari persamaan lokus bagi titik bergerak R. [3 markah] 15 Rajah 3 menunjukkan sebuah segi tiga OAB. O B P A R Q 2u ∼ 3v ∼ Rajah 3 Garis lurus BR bersilang dengan garis lurus OP di Q. Diberi bahawa O → R = 3v ~ , O → B = 2u ~, O → A = 3O → R dan B → P = 1 4 B → A. (a) Ungkapkan setiap vektor berikut dalam sebutan u ~ dan v ~. (i) B → R, (ii) B → P, (iii) O → P. [3 markah] (b) (i) Diberi B → Q = hB → R, ungkapkan B → Q dalam sebutan h, u~ dan v ~. (ii) Diberi Q → P = kO→ P, ungkapkan Q → P dalam sebutan k, u~ dan v ~. [2 markah] (c) Menggunakan B → Q dan Q → P dalam 15(b), cari nilai h dan nilai k. [3 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 262 17-Feb-23 8:57:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 263 Kertas 2 Bahagian A Jawab semua soalan dalam bahagian ini. [50 markah] Masa [100 markah] : 2 jam 30 minit 1 Rajah 1 menunjukkan dua titik, A dan B pada satu garis lurus dengan keadaan AB = 8.5 m. X Y A 8.5 m B Rajah 1 Dua zarah, X dan Y, bergerak secara serentak masing-masing dari titik A dan titik B. Zarah X bergerak 52 cm pada saat pertama, 50 cm pada saat kedua, 48 cm pada saat ketiga dan seterusnya. Zarah Y bergerak 19 cm pada saat pertama, 18 cm pada saat kedua, 17 cm pada saat ketiga dan seterusnya. Cari KBAT Mengaplikasi (a) jarak, dalam cm, yang dilalui oleh zarah X pada saat kesepuluh, [2 markah] (b) jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui oleh zarah Y dalam 20 saat yang pertama, [2 markah] (c) masa, dalam saat, yang diambil oleh zarah X dan zarah Y untuk bertembung. [4 markah] 2 (a) Diberi bahawa y = x 2x – 4 dan dy dx = 4f(x), dengan keadaan f(x) ialah satu fungsi dalam sebutan x. Cari nilai e 1 0 f(x) dx. [3 markah] (b) Rajah 2 menunjukkan lengkung y = x(x – 2)(x – 3) dan y = x(x – 2). y x 0 y = x(x – 2)(x – 3) y = x(x – 2) Rajah 2 Hitung luas rantau berlorek. [4 markah] 3 (a) Lakar graf y =|sin x| + 1 untuk 0 < x < 2π. [3 markah] (b) Seterusnya, dengan melakar satu garis lurus yang sesuai pada paksi yang sama, tentukan bilangan penyelesaian yang memenuhi persamaan π(|sin x| + 1) – 2π + x = 0 untuk 0 < x < 2π. [4 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 263 17-Feb-23 8:57:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 264 4 Satu jawatankuasa Persatuan Sains yang terdiri daripada 6 orang ahli akan dipilih daripada 5 orang murid perempuan dan 4 orang murid lelaki. (a) Hitung bilangan jawatankuasa berlainan yang dapat dibentuk jika (i) tanpa syarat, [2 markah] (ii) bilangan murid perempuan mesti melebihi bilangan murid lelaki, [4 markah] (b) Cari kebarangkalian bahawa jawatankuasa yang dibentuk mempunyai bilangan murid perempuan melebihi bilangan murid lelaki. [1 markah] 5 Dalam Rajah 3, X mewakili bilangan lampu panjang LED yang mempunyai jangka hayat yang kurang daripada sembilan bulan. P(X = x) x 0 1 2 3 k 9 64 1 64 0 Rajah 33 Diberi bahawa kebarangkalian jangka hayat lampu panjang yang kurang daripada sembilan bulan ialah p. Satu sampel 3 batang lampu panjang dipilih secara rawak. KBAT Mengaplikasi (a) Cari nilai p. [3 markah] (b) Hitung nilai k. [2 markah] (c) Hitung bilangan lampu panjang yang masih berfungsi selepas sembilan bulan jika 20 batang lampu panjang jenama yang sama digunakan. [2 markah] 6 (a) Hitung e2 1 3x3 – 2x5 + 2 x3 dx. [3 markah] (b) Rajah 4 menunjukkan lengkung 3y2 = x – 2, garis lurus y = –1 dan y = 3. y 3y2 = x – 2 x 3 –1 0 2 Rajah 4 Cari luas rantau berlorek. [4 markah] 7 Diberi y = x2 + 2 x2 , tunjukkan bahawa x2 d2 y dx2 + 4x dy dx + 2y – 12x2 = 0. [7 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 264 17-Feb-23 8:57:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 265 Bahagian B Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini. [30 markah] 8 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan py = p2 x + q x, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Nilai-nilai sepadan bagi x dan y yang diperoleh daripada satu eksperimen ditunjukkan dalam Jadual 1. x 2 4 6 8 10 11 y 12.5 17.5 25.0 32.0 40.0 41.0 Jadual 1 Salah satu nilai y tersilap direkodkan. (a) Plot xy melawan x2 , menggunakan skala 2 cm kepada 20 unit pada paksi-x2 dan 2 cm kepada 50 unit pada paksi-xy. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah] (b) Guna graf di 8(a) untuk menjawab soalan-soalan berikut. (i) Tentukan nilai y yang tersilap direkodkan dan nyatakan nilainya yang sebenar. (ii) Cari nilai p dan nilai q. [5 markah] 9 Rajah 5 menunjukkan garis lurus DP yang merupakan normal kepada suatu lengkung pada titik P(4, 12). y x D O P(4, 12) Rajah 5 Fungsi kecerunan lengkung itu ialah – 1 2 x. (a) Cari (i) koordinat titik D, (ii) persamaan lengkung itu. [5 markah] (b) Jika isi padu janaan apabila rantau yang dibatasi oleh garis lurus y = k, paksi-y dan lengkung dikisarkan melalui 360° pada paksi-y ialah 50π unit3 , cari nilai k. [5 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 265 17-Feb-23 8:57:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 266 10 Rajah 6 menunjukkan sektor AOB berpusat O dengan jejari 8 cm. PBCD ialah semibulatan berpusat P dengan jejari 3 cm. A B P D O C Rajah 6 Diberi bahawa garis lurus OA ialah tangen kepada semibulatan PBCD pada titik C. Hitung (a) ∠AOB, dalam radian, [2 markah] (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, [4 markah] (c) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. [4 markah] [Guna π = 3.142] 11 (a) Di Taman Cempaka, anai-anai ditemui di dalam 3 daripada 5 buah rumah. Jika 8 buah rumah dipilih secara rawak, hitung kebarangkalian bahawa (i) tepat 2 buah rumah diserang anai-anai, (ii) lebih daripada 2 buah rumah diserang anai-anai. [5 markah] (b) Jisim murid di sebuah sekolah bertaburan normal dengan min μ kg dan sisihan piawai 12 kg. (i) Seorang murid dipilih secara rawak dari sekolah itu. Kebarangkalian bahawa murid itu mempunyai jisim kurang daripada 45 kg ialah 0.2266. Cari nilai μ. (ii) Seterusnya, hitung kebarangkalian bahawa seorang murid yang dipilih secara rawak mempunyai jisim antara 42 kg dengan 45 kg. [5 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 266 17-Feb-23 8:57:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 267 Bahagian C Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. [20 markah] 12 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, v m s–1, diberi oleh v = t2 – 12t + 20, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas meninggalkan O. [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai arah positif.] (a) Cari (i) halaju awal dan pecutan awal zarah itu, (ii) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, (iii) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan. [6 markah] (b) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu apabila ia berhenti seketika untuk kali kedua. [4 markah] 13 Jadual 2 menunjukkan harga dan indeks harga bagi empat jenis bahan mentah, P, Q, R dan S, yang digunakan oleh sebuah kilang untuk menghasilkan sarung tangan getah. Bahan mentah Harga (RM) per kg Indeks harga pada tahun 2022 berasaskan tahun 2020 Peratusan (%) Tahun 2020 Tahun 2022 P 4.00 x 135 37 Q 2.80 3.22 115 33 R 3.75 3.60 y m S z 7.20 150 14 Jadual 2 (a) Cari nilai x, nilai y dan nilai z. [3 markah] (b) Hitung indeks gubahan bagi harga kos pembuatan sarung tangan getah pada tahun 2022 berasaskan tahun 2020. [3 markah] (c) Diberi bahawa indeks gubahan bagi harga kos pembuatan sarung tangan getah itu meningkat sebanyak 60% dari tahun 2020 ke tahun 2023. Hitung harga kos pembuatan sarung tangan getah itu pada tahun 2023 jika harga kos yang sepadan pada tahun 2022 ialah RM2.00 sekotak. [4 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 267 17-Feb-23 8:57:46 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 268 14 Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima. Rajah 7 menunjukkan sebuah sisi empat PQRS. P S R Q 40° 10.3 cm 15.1 cm 8.5 cm 11.7 cm Rajah 7 (a) Cari (i) ∠PQR, (ii) ∠PRS, (iii) luas, dalam cm2 , sisi empat PQRS. [8 markah] (b) Lakar ∆P'Q'R' yang mempunyai bentuk berbeza daripada ∆PQR dengan keadaan P'R' = PR, Q'R' = QR dan ∠Q'P'R' = ∠QPR. Seterusnya, nyatakan ∠P'Q'R'. [2 markah] 15 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Dalam satu minggu tertentu, Butik Beauty membeli x helai blaus dan y helai skirt berdasarkan kekangan berikut: I Jumlah bilangan blaus dan skirt yang dibeli tidak boleh melebihi 10 helai. II Nisbah bilangan skirt kepada bilangan blaus yang dibeli tidak boleh melebihi 2 : 1. III Harga kos bagi sehelai blaus dan sehelai skirt masing-masing ialah RM60 dan RM40. Modal yang diperuntukkan ialah RM480. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x > 0 dan y > 0 yang memenuhi semua kekangan di atas. [3 markah] (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. [3 markah] (c) Keuntungan daripada jualan sehelai blaus dan sehelai skirt masing-masing ialah RM12 dan RM9. Berdasarkan graf yang dibina di 15(b), jawab soalan-soalan berikut: (i) Jika butik itu membeli 4 helai skirt, cari bilangan minimum dan maksimum blaus yang dibeli. (ii) Cari keuntungan maksimum yang diperoleh jika semua blaus dan skirt yang dibeli habis dijual. [4 markah] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 268 17-Feb-23 8:57:46 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 269 Jawapan Kertas 1 Bahagian A 1 (a) f –1(x) = n – x m (b) n = 5; m = 4 2 k = –2; m = 4 3 –21 x – 1 2 2 2 – 5 2 ; x = 1 2 4 x = 9 4 5 x = 2; y = 3 6 (a) (i) 13 unit2 (ii) 4.111 unit (b) 3x2 + 3y2 – 60x – 28y + 332 = 0 7 (a) k = 3 (b) 1 008 8 (a) h = 3 atau h = –7 (b) h = 1 9 (a) θ = 0.6301 rad (b) 83.60 cm2 10 (a) p 1 – p2 ! (b) 1 – p 2 11 (a) 7 (b) h = 6 12 (a) (3, 1) (b) q = 7 Bahagian B 13 Harga bagi setin susu tepung bayi, sebungkus lampin bayi dan sehelai baju bayi masingmasing ialah RM120, RM30 dan RM15. 14 (a) 2y = –9x + 15 (b) (i) R ialah pembahagi dua sama serenjang bagi MQ. (ii) 36y = 8x + 15 15 (a) (i) –2u ~ + 3v ~ (ii) – 1 2 u ~ + 9 4 v ~ (iii) 3 2 u ~ + 9 4 v ~ (b) (i) 3hv ~ – 2hu ~ (ii) 3 2 ku ~ + 9 4 kv ~ (c) h = 1 2 ; k = 1 3 Kertas 2 Bahagian A 1 (a) 34 cm (b) 190 cm (c) 20 saat 2 (a) – 1 8 (b) 4 unit2 3 (a), (b) y = |sin x| + 1 y = 2 – x π y π 2π x 2 1 0 –1 π 2 3π 2 Bilangan penyelesaian = 2 4 (a) (i) 84 (ii) 34 (b) 17 42 5 (a) p = 3 4 (b) 27 64 (c) 5 batang lampu panjang 6 (a) – 11 12 (b) 36 unit2 7 y = x2 + 2 x2 = x2 + 2x–2 dy dx = 2x – 4x–3 = 2x – 4 x3 d2 y dx2 = 2 + 12x–4 = 2 + 12 x4 x2 d2 y dx2 + 4x dy dx + 2y – 12x2 = x2 12 + 12 x4 2 + 4x12x – 4 x3 2 + 21x2 + 2 x2 2 – 12x2 = 2x2 + 12 x2 + 8x2 – 16 x2 + 2x2 + 4 x2 – 12x2 = 0 [Tertunjuk] Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 269 17-Feb-23 8:57:46 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
Kertas Model SPM 270 Bahagian B 8 (a) x 2 4 6 8 10 11 y 12.5 17.5 25.0 32.0 40.0 41.0 xy 25.0 70.0 150.0 256.0 400.0 451.0 x2 4 16 36 64 100 121 20 40 60 80 100 120 140 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 10 0 400 – 10 = 390 100 x2 xy Salah Incorrect Sebenar Actual (b) (i) Nilai y yang tersilap direkodkan ialah 41.0. Nilai xy yang sepatutnya ialah 480. y = 43.6 (nilai sebenar) (ii) p = 3.9; q = 39 9 (a) (i) (0, 10) (ii) y = – 1 4 x2 + 16 (b) k = 11 10 (a) 0.6436 rad (b) 15.79 cm (c) 4.630 cm2 11 (a) (i) 0.04129 (ii) 0.9502 (b) (i) μ = 54 (ii) 0.0679 Bahagian C 12 (a) (i) Halaju awal zarah itu ialah 20 m s–1. Pecutan awal zarah itu ialah –12 m s–2. (ii) 2 , t , 10 (iii) 0 , t , 6 (b) 104 m 13 (a) x = 5.40; y = 96; z = 4.80 (b) 124.26 (c) RM2.58 14 (a) (i) 56.06° (ii) 40.85° (iii) 129.8 cm2 (b) P' Q' Q R' 40° 56.06° 56.06° 15.1 cm 11.7 cm ∠P’Q’R’ = 123.94° 15 (a) I x + y < 10 II y < 2x III 3x + 2y < 24 (b) 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 4.5 R x y Maksimum (4, 6) y = 2x 3x + 2y = 24 12x + 9y = 54 x + y = 10 (c) (i) xminimum = 2 xmaksimum = 5 (ii) RM102 Ana&Tip(BM) SPM Add Maths-MT 3rd.indd 270 17-Feb-23 8:57:47 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.