THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
§2: DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Bài 1: Xét dấu thương tích các nhị thức bậc nhất:
a. f (x) (x 4)(x 1) b. f (x) (3x 1)(3 5x)
c. f (x) (2x 5)(1 2x) d. f (x) (4x 5)(2 4x)
e. f (x) 4x 3 f. f (x) x 5
x 1 x 5
g. f (x) x h. f (x) (x 3)(4 2x)
3x 2
(x 3)(3 2x)
i. f (x) x(4 3x) j. f (x) (x 5)(2 6x)
2x 3 3 2x
k. f (x) x(4 3x)(x 1) l. f (x) x 2(x 2)
x 2
(3x 1)(5x 2)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a. (3x 6)(2x 1) 0 b. (2x 3)(x 7) 0
c. (2x 1)(3 x) 0 d. (x 1)2(3x 4) 0
e. 3x 2 0 f. x 0
5x 1 9 3x
g. 1 2 0 h. 3 4 0
3x 1 1 2x 1x x 3
i. x 3 1 j. x 4 7
2x 3 5x
k. 4 1 l. 1 1 2
3 2x x 8 x 1 x 2 x 3
m. 1 1 2 n. 2 1 2
x 1 1 2x 4x 1 2x 1 4 x x 3
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 1
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
§3: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Bài 1: Xét dấu các biểu thức sau:
a. f (x) 4x 2 5x 9 b. f (x) 3x 2 x 2
c. f (x) x 2 3x 11 d. f (x) x 2 9
e. f (x) x 2 4x 4 f. f (x) 2x 2 5x 7
g. f (x) x 2 2x 1 h. f (x) x 2 6x 9
i. f (x) 4x 2 4x 3 j. f (x) 2x 2 4x 7
k. f (x) x 2 2x 2 l. f (x) 2x 2 5x 3
x 3 4x
m. f (x) x 2 x 1 n. f (x) x 2 3x 4
2x 3 x 2 5x 6
o. f (x) 2x 2 5x 12 p. f (x) 2 x 2
3x 2 4x 1 x 2 3x
q. f (x) (x 2)2(2x 4) x2 x 3
x 2 5x 6 r. f (x)
x 2 4x 5
Bài 2: Định m để hàm số:
a. f (x) 3x 2 mx m 0 với mọi x.
b. f (x) x 2 3mx m 2 0 với mọi x.
c. f (x) 3mx 2 mx m 1 0 với mọi x.
d. f (x) (m 1)x 2 2mx 2m 0 với mọi x.
e. f (x) (m 2)x 2 2x 4 0 vô nghiệm
f. f (x) mx 2 6mx 8m 10 0 vô nghiệm
g. f (x) (m 4)x 2 (m 4)x 2m 1 0 vô nghiệm
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 2
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
h. f (x) mx 2 4mx 1 có nghĩa với mọi x.
i. f (x) (m 1)x 2 3mx 2 có tập xác định là D .
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a. x 2 3x 2 b. x 2 10x 25 0
c. 3 (2x 3)2 0 d. x 3 5x 2 3x 3
e. 2x 3 4x 2 5x 7 f. x 2 3x 10 0
4x 6
g. x 2 5x 4 0 h. x 2 7x 12 1
x 3 2x 3
i. x 2 2x 4 2 j. 2x 2 5x 9 2
x 3 x2 4
k. x 2 1 l. 3x 2 4x 9 1
2x 2 3x 2 3x 2 4x 2
m. 2x 4 0 n. x 5
x 1 2x 3
o. 1 3 2x p. 3 1 4x
x 2 1 2x
q. x 2x 1 r. 2x 3 3x 5
2 x 3 2x 3x 5 2x 3
s. x 1 x t. x 8 1
x 4 x 3
Bài 4: Giải hệ bất phương trình:
a. xx 2 4x 3 0 b. xx 2 x 50
2 6x 8 0 2 6x 1 0
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 3
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
xxx32242xxx 0 41x2 x 25x 60
1 4x 2 12x
c. 3 0 d. 5 0
Bài 5: Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu:
a. mx2 mx m 2 0
b. mx 2 (m 1)x m 1 0
c. 2m2 m 1 x 2 2x m 0
Bài 6: Định m để phương trình
a. mx 2 2(m 1)x m 2 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
b. m2 1 x 2 mx 1 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
c. (m 1)x 2 2(m 2)x m 2 0 có 2 nghiệm âm phân biệt.
d. m2x2 mx 6 0 có 2 nghiệm âm phân biệt.
Bài 7: Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa:
a. x 2 2x m2 2m 0 x1 2 x2
b. (m 1)x 2 2mx m 0 3 x1 x2
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 4
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT- BẬC HAI
Một số bất phương trình thường gặp
A B AA B A B A B
B A B
A B AAB 0 A B ABAB 0
0 0
B2
0
B2
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a. x 2 4 1 2x b. x 2 3x 2 x 2 2x
c. x 8 x 2 3x 4 d. x 2 1 2x 0
e. x 2 4x 3 x 2 4x 5 f. 2x 2 5x 3 0
g. x 2 3x 2 x 2 2x h. x 2 4x 1
x2 x 2
i. x 2 4x 5 4x 17 j. x 2 5x 4 1
x2 4
k. x 6 x 2 5x 9 l. x 1 x 2 3
m. x 2 2x 3 2 2x 1 n. x 3 x 1 2
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a. 3x x 2 4 x b. 8 x 2 x 2
c. x 2 2x 15 x 3 d. x 2 x 12 8 x
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 5
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
e. x 2 x 12 7 x f. x 2 4x 21 x 3
g. x 2 3x 10 x 2 h. 3x 2 13x 4 x 2
i. 2x 6x 2 1 x 1
j. x 3 7 x 2x 8
k. (x 3)(8 x) 26 x 2 11x
l. (x 5)(x 2) 3 x(x 3) 0
m. (x 1)(x 4) 5 x 2 5x 28
n. 3x 2 5x 7 3x 2 5x 2 1
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a. x 2 8x 12 x 4 b. 5x 2 61x 4x 2
c. 2 x 4x 3 2 d. 3(4x 2 9) 2x 3
x 3x 2 3
e. (x 3) x 2 4 x 2 9 f. 9x 2 4 3x 2
5x 2 1
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 6
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG
GIÁC
§1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Đổi radian các góc (cung) có số đo:
a. 300; 450; 600; 900;1200;1500;1800
b. 150; 750;1350;2250; 2700;
c. 22030 '; 67030 ';10030 '15 '';18020 ' 12 ''
Bài 2: Đổi ra độ các góc (cung) có số đo
a. ; ; 7 ; 3 ; 11 ; 3 ;
64 6 4 6 2
b. ; ; 0, 75;1, 75;1, 48;2,15
18 36
Bài 3: Cho đường tròn có bán kính R 4 . Tìm độ dài cung tròn có số
đo:
a. ; 2 ; ;1;2, 5;
437
b. 1050;2250;120030 '; 60015 '12 ''
Bài 4: Trên đường tròn lượng giác xác định vị trí điểm M biết số đo
AM lần lượt là:
a. ; 5 ; 7 ; 3 ; 8 ; 17 ; 13 ; 2 k2 k Z ;
6 6 44 3 6 3 3
b. 300;1350; 3900;900;1200;11000;1500 k 3600 k Z
c. k 2 k Z ; k k Z
3 2
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 7
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
§2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Công thức lượng giác cơ bản
sin2 cos2 1
1 tan2 1 với k, k Z
cos2 2
1 cot2 1 với k, k Z
sin2
tan .cot 1 với k , k Z
2
Bài 1: Xác định dấu của các biểu thức sau:
a. A = sin 500. cos(3000) b. B = sin 2150. tan 21
7
c. C = cot 3 . sin 2 d. D = cos 4 .sin .cot 9
5 3 535
Bài 2: Cho 00 900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a. A = sin( 900) b. B = cos( 450)
c. C = cos(2700 ) d. D = cos(2 900)
Bài 3: Cho 0 . Xét dấu của các biểu thức sau:
2
a. A = cos( ) b. B = tan( )
c. C = sin 2 d. D = cos 3
5 8
Bài 4: Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a. A = sin A sin B sinC b. B = sin A.sin B.sinC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 8
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. C = cos A .cos B .cos C d. D= tan A tan B tan C
222 222
Bài 5: Tính các giá trị lượng giác của góc, biết:
a. sin 2 , b. cos 4 , 3 2
32 52
c. cos 5 , d. tan 4 , 3
72 32
e. cot 3, 3 f. tan 7 , 0
2 32
g. sina 4 , 2700 a 3600 h. cos 2 , 0
5 52
i. sina 5 , a j. sin 1 , 3
13 2 32
k. tana 3, a 3 l. tan 2,
2 2
m. cot150 2 3 n. cot 3, 3
2
Bài 6: Cho tan 3 , tính giá trị các biểu thức
a. A 2 sin 3 cos b. B 3 sin 5 cos
4 sin 3 cos 5 sin3 4 cos3
Bài 7: Cho cot 3 , tính giá trị các biểu thức
5
a. A sin cos b. B sin . cos
sin cos sin2 cos2
c. C 3 sin2 12 sin cos 10 cos2
3 sin2 sin cos 2 cos2
Bài 8: Tính giá trị các biểu thức
a. A sin2 cos2 biết cot 3 .
sin2 2 cos2
b. B 2 sin2 cos2 1 biết tan 1 .
2 sin2 3 cos2 4
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 9
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. C cot tan biết sin 3 , 0 .
cot tan 52
d. D sin 3 cos biết sin 4 , 3 2 .
tan 52
e. E 4 cot 3 biết cos 1 , 3 .
1 5 sin 32
f. F sin 3 cos biết tan 3 .
cos 2 sin
Bài 9: Cho tan cot m . Hãy tính
a. tan2 cot2 b. tan cot c. tan3 cot3
Bài 10:Cho sin cos m . Hãy tính:
a. sin cos b. sin cos c. sin3 cos3
d. sin4 cos4 e. sin6 cos6
Bài 11: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin4 x cos4 x 1 2 cos2 x
b. sin4 x cos4 x 1 2 cos2 x.sin2 x
c. sin6 x cos6 x 1 3 sin2 x. cos2 x
d. sin8 x cos8 x 1 4 sin2 x.cos2 x 2 sin4 x.cos4 x
e. cot2 x cos2 x cos2 x.cot2 x
f. tan2 x sin2 x tan2 x.sin2 x
g. 1 sin x cos x tan x (1 cos x)(1 tan x)
h. sin2 x. tan x cos2 x.cotx 2 sin x.cos x tan x cotx
i. sin x cos x 1 2 cos x
1 cos x sin x cos x 1
j. 1 sin2 x 1 tan2 x
1 sin2 x
Bài 12: Chứng minh các đẳng thức sau:
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 10
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
a. tana. tanb tana tanb
cota cotb
b. sina cosa 1 cot2 a
sina cosa cosa sina 1 cot2 a
c. 1 sin2 a cos2 a sina.cosa
1 cota 1 tana
d. sin2 a sina cosa sina cosa
sina cosa tan2 a 1
e. 1 cosa 1 (1 cosa)2 2 cota
sin a sin2 a
f. tan2 a . 1 cot2 a 1 tan4 a
1 tan2 a cot2 a tan2 a cot2 a
g. 1 sina 1 sin a 2 4 tan2 a
1 sina 1 sin a
h. tan2 a tan2 b sin2 a sin2 b
tan2 a. tan2 b sin2 a.sin2 b
i. sin2 a tan2 a tan6 a
cos2 a cot2 a
j. tan3 a 1 cot3 a tan3 a cot3 a
sin2 a sina. cosa cos2 a
Bài 14: Rút gọn các biểu thức sau:
a. (1 sin2 x) cot2 x 1 cot2 x
b. (tan x cot x)2 (tan x cot x)2
c. cos2 x cos2 x.cot2 x
sin2 x sin2 x. tan2 x
d. (x. sin a y. cosa)2 (x. cosa y. sin a)2
e. sin2 x tan2 x
cos2 a cot2 x
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 11
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
f. sin2 x cos2 x cos4 x
cos2 x sin2 x sin4 x
g. sin2 x(1 cotx) cos2 x(1 tan x)
h. 1 cos x 1 cos x ; x (0, )
1 cos x 1 cos x
i. 1 sin x 1 sin x ; x ;
1 sin x 1 sin x 2 2
j. cos x tan2 x sin2 x ; x 2 ; 3
2
Bài 15: Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a. 3(sin4 x cos4 x) 2(sin6 x cos6 x )
b. 3(sin8 x cos8 x) 4(cos6 x 2 sin6 x) 6 sin4 x
c. (sin4 x cos4 x 1)(tan2 x cot2 x 2)
d. cos2 x. cot2 x 3 cos2 x cot2 x 2 sin2 x
e. sin4 x 3 cos4 x 1
sin6 x cos6 x 3 cos4 x 1
f. tan2 x cos2 x cot2 x sin2 x
sin2 x cos2 x
g. sin6 x cos6 x 1
sin4 x cos4 x 1
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 12
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau: và - Cung bù nhau: và
cos cos sin sin
sin sin cos cos
tan tan tan tan
cot cot cot cot
Cung phụ nhau: và Cung hơn kém : và
2 22
sin cos sin cos
2 2
tan cot cos2 sin
2
cos sin tan 2 cot
2
cot2 tan cot tan
2
Cung hơn kém : và
sin sin cos cos
tan tan cot cot
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 13
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 1: Cho tan x 1 2, 32 < x < 2
a. Tính tan x, cotx, sin x, cos x .
b. Tính cot 2 x , tan 5 x, sinx 3, cos72 x
2
Bài 2: Cho sin 3 3 0
2 5 2
a. Tính sinx , cosx , tanx , cotx.
b. cot x, tan52 x , sin(x 3), cos 72 x
2
Bài 3: Rút gọn:
a. sin cos cot2 tan 3
2 2
b. cos 5 sin 3 tan . cot 32
2 2
c. cot 2.cos 3 cos 6 2 sin
2
2 cos 2 sin 2 tan
d. cot sin 2 cos ;
2
e. cos 9 cos 6 cos 11 16
5 5 5
tan
sin 6 5
5
Bài 4: Chứng minh:
a. tan100. tan 200... tan 700. tan 800 1
b. cos200 cos400...cos1600 cos1800 1
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 14
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. tan 500 tan 750 tan 2300 tan 2550
d. cos200 cos400 sin 1100 sin 1300
e. sin 250 sin 650 sin 1550 sin1150
f. sin 750 sin 650 cos1650 cos2050 0
g. sin 1680 sin 1920 cot120 2
sin 780
Bài 5: Rút gọn:
a. sin(3280).sin 9580 cos(5080). cos(10220)
cot 5720 tan(2120 )
b. sin(2340) cos 2160 . tan 360
sin 1440 cos1260
cot 440 tan 2260 cos4060
c. cot170.cot730
cos3160
d. cos100 cos 200 cos 300 cos1900 cos 2000 cos 2100
e. cos2 100 cos2 200 cos2 300 ... cos2 1800
f. sin 200 sin 400 sin 600 ... sin 3400 sin 3600
g. cot 50 cot100...cot 800.cot 850
Bài 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. sin B sin(A C ) b. cos(A B) cosC
c. sin A B cos C d. cos(B C) cos(A 2C)
22
f. cos 3A B C sin 2A
e. cos(A B C) cos 2C 2
g. sin A B 3C cosC
h. tan A B 2C cot 3C
2 22
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 15
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
§3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1: Công thức cộng
cosa b cosa cosb sina sinb
cosa b cosa cosb sina sinb
sin a b sina cosb sinb cosa
sina b sina cossb sinb cosa
tan a b tana tanb
1 tana tanb
tan a b tana tanb
1 tana tanb
Bài 1. Tính cos x biết sin x 12 , (3 < x < 2)
3 13 2
Bài 2. Tính:
a. tan khi sin 3,
3 5 2
b. cos 3 khi sin 12 , 3 2
13 2
c. cos(a b). cos(a b) khi cosa 1 , cosb 1
34
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 16
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
d. sin(a b), cos(a b), tan(a b) khi sin a 8 , tanb 5 và a,
17 12
b là các góc nhọn.
Bài 3. Tính tana tanb, tana, tanb khi 0a, b , a b và
24
tana. tanb 3 2 2 . Từ đó suy ra a, b
Bài 4. Cho 2 góc nhọn , có tan 1 , tan 1 . Tính tan
23
Bài 5. Cho 2 góc nhọn x và y thoả : xtan xy.
4
3 2 2
tan y
a. Tính tan x y; tan x tan y
b. Tính tanx , tany
c. Tính x và y.
Bài 6. Tính tan x biết sin x 40 và < x < 3
4 41 2
Bài 7. Tính tan theo tan . Áp dụng: Tính tan15o
4
Bài 8. Tính:
a. A sin 20o cos 10o sin10o cos 20o
b. B tan 25o tan 20o
1 tan 25o. tan 20o
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 17
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. C 1 tan 15o
1 tan 15o
d. D sin 15o 3 cos 15o
e. F tan 225o cot 81o.cot 69o
cot261o tan 201o
f. A cos x cos x cos x cosx 3
3 4 6 4
Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a. A = sin2 20o sin2 100o sin2 140o
b. B = cos2 10o cos110o cos2 130o
c. C = tan 20o. tan 80o tan 80o. tan140o tan 140o. tan 20o
d. D = tan10o. tan 70o tan 70o. tan 130o tan130o. tan 190o
e. E = cot225o cot 79o. cot 71o
cot259o cot 251o
f. F = cos2 75o sin2 75o
g. G = 1 tan 15o
1 tan 150
h. H = tan150 cot150
Bài 10. Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
a. A cos2 x cos2 3 x cos2 3 x
b. B sin2 x sin2 23 x sin2 23 x
Bài 11. Rút gọn biểu thức sau:
a. cosa b sina. sinb
A cosa b sina.sinb ;
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 18
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
b. sin a b sin a b
B sin a b sin a b
c. sin a b 2 cosa sinb
C 2 cosa cosb cosa b
d. D sin 45o x cos 45o x ;
sin 45o x cos 45o x
e. 2 sin a b
E cosa b cosa b tgb ;
f. F cos(x y) cos(x y) sin2 x
Bài 12. Chứng minh các đẳng thức:
a. sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
b. sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
c. 1 tan x tan x
1 tan x 4
d. 1 tan x tan 4 x
1 tan x
e. cota b cota. cotb 1
cota cotb
Bài 13: Chứng minh:
a. cosa b. cos a b cos2 a sin2 b cos2 b sin2 a
b. sin a b. sin a b sin2 a sin2 b cos2 b cos2 a
c. sin a b.cosa b sina cosa sinb cosb
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 19
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
d. sin 4 a sin a 2 sina
4
e. cosa. sin b c cosb.sin c a cosc.sin a b 0
f. sin2 a b sin2 b 2 sin a bsinb cosa sin2 a
g. tan a b tana tanb tana. tanb. tan a b
h. tana tanb tana tanb 2 tana. tanb
tana b tana b
i. tan a b tan b cos a b 1 tana. tanb
tan a b tan b cos a b 1 tana. tanb
Bài 14: Chứng minh rằng:
a. Nếu a b thì 1 tana1 tanb 2
4
b. Nếu sin 2 2 sin thì tan 3 tan
c. Nếu sinx = 2sin(x+y) thì tan x y sin y
cos y 2
Bài 15: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
b. cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
c. sin A cos B cos C sin B sin C
2 22 22
d. cos A sin B cos C cos B sin C
2 2 2 22
e. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
f. tan A tan B tan B tan C tan C tan A 1
22 22 22
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 20
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
g. cot A cot B cot C cot A .cot B .cot C
2 2 2 222
h. cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
Vấn đề 2: Công thức nhân đôi – hạ bậc
Công thức nhân đôi
sin 2a 2 sina cosa
cos 2a cos2 a sin2 a 2 cos2 a 1 1 2 sin2 a
tan 2a 2 tana
1 tan2 a
Công thức hạ bậc
cos2 a 1 cos 2a ; sin2 a 1 cos 2a ;
22
tan2 a 1 cos 2a
1 cos 2a
Bài 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a , biết:
a. sina 0, 6 và a 3 b. sina 3 và a
2 52
c. cosa 5 và a d. tana 4 và a 3 .
13 2 32
e. tana 2 f. cosa 1 và 3 a 2
42
g. sina cosa 1 và 3 a
24
Bài 2: Cho cosa 5 với a 3 .
13 2
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 21
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Tính sin 2a, cos 2a, cot4 a, sin 300 a .
Bài 3: Cho sin 2a 4 a .
5 4 2
Tính sina, cos 2a, cos 4a, tan 2a.
4
Bài 4: Cho sin 2a 5 2 a . Tính sina, cosa.
9
Bài 5: Cho cos 2a 3 3 a . Tính sina, cosa, tana .
5 4
Bài 6: Tính các giá trị biểu thức sau:
a. A sin .cos .cos .cos
24 24 12 6
b. B sin .cos .cos .cos
12 12 6 3
c. C 2 cos2 750 1
d. D 1 2 sin2 750
e. E cos150 sin 150 cos150 sin 150
f. F cos750 sin 750 cos750 sin 750
tan 7
g. G 8
1 tan2
8
h. H 1 cot2 1050
cot 750
Bài 7: Tính các giá trị của biểu thức:
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 22
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
a. A cos 20o.cos 40o.cos 60o.cos 80o
b. B sin10o.sin 50o.sin 70o
c. C cos .cos 4 . cos 5
77 7
d. D cos100.cos 500.cos 700
e. E sin 6o.sin 42o.sin 66o. sin 78o
f. G cos 2 .cos 4 . cos 8 . cos 16 . cos 32
31 31 31 31 31
g. H sin 5o.sin15o.sin 25o.... sin 75o.sin 85o
h. I cos100.cos 200.cos 300...cos 700.cos 800
i. K 96 3 sin . cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
j. L cos .cos 2 . cos 3 .cos 4 . cos 5 . cos 6 .cos 7
15 15 15 15 15 15 15
k. M sin . cos .cos
16 16 8
Bài 8: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. cos3 a. sina sin3 a. cosa sin 4a
4
b. sin3 a cos3 a 1 sin 2a
sina cosa 2
c. tan 2a 1 1 2 sin2 a
cos2a 1 sin 2a
d. cosa sina cosa sina 2 tan 2a
cosa sin a cosa sina
e. 1 tan a 1 1 tan a 1 sin 2a
cosa cosa cos2a
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 23
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
f. sin 2a 2 sina tan2 a
sin 2a 2 sina 2
g. 1 sin a 2 sin2 a2
4
h. 1 sin2 a 1
2 cot4 a. cos2 a
4
4 a2 . 1 cos2 a
sin2 a
i. tan 1
j. tan a 1 sin 2a
4 cos 2a
k. cos a cot a2
1 sina 4
l. sin 3a 4 sin a. sin(600 a).sin(600 a)
m. cos3a 4cosa.cos(600 a).cos(600 a)
n. tan3a tana. tan(600 a). tan(600 a)
Bài 9: Tính các giá trị biểu thức:
a. A sina nếu tan a 2
3 2 cosa 2
b. B tan 2a sin 2a nếu tana 2
tan 2a cos 2a 15
c. C 2 sin 2a cos2a nếu tan a 1
tan 2a cos 2a 22
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 24
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Vấn đề 3: Công thức biến đổi tích thành tổng – tổng
thành tích
Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a cosb 1 cos a b cos a b
2
sin a sinb 1 cos a b cos a b
2
sin a cos b 1 sin a b sin a b
2
Công thức biến đổi tổng thành tích
cosa cosb 2 cos a b cos a b
22
cosa cosb 2 sin a b sin a b
22
sina sinb 2 sin a b cos a b
22
sina sinb 2 cos a b sin a b
22
Bài 1: Biến đổi thành tổng:
a. 2 sin(a b).cos(a b) b. 2 cos(a b).cos(a b)
c. 4 sin 3x.sin 2x.cos x d. 4 sin 13x . cos x.cos x
22
e. sin(x 30o ). cos(x 30o )
g. 2 sin x.sin 2x.sin 3x. f. sin . sin 2
55
h. 8 cosx.sin 2x.sin 3x
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 25
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
i. sin x . sin x . cos 2x
6 6
j. 4 cos(a b).cos(b c).cos(c a)
Bài 2: Biến đổi thành tích:
a. 2 sin 4x 2 b. 3 4 cos2 x
c. 1 3 tan2 x d. sin 2x sin 4x sin 6x
e. 3 4 cos 4x cos 8x f. sin 5x sin 6x sin 7x sin 8x
g. 1 sin 2x cos 2x tan 2x h. sin2(x 90o ) 3 cos2(x 90o )
i. cos x sin x 1 j. cos 5x cos 8x cos 9x cos12x
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a. A cos 7x cos 8x cos 9x cos10x
sin 7x sin 8x sin 9x sin 10x
b. B sin 2x 2 sin 3x sin 4x
sin 3x 2 sin 4x sin 5x
c. C 1 cos x cos 2x cos 3x
cos x 2 cos2 x 1
d. D sin 4x sin 5x sin 6x
cos 4x cos 5x cos 6x
Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. A cos cos 2
55
b. B tan tan 7
24 24
c. C sin2 70o. sin2 50o. sin2 10o
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 26
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
d. D sin2 17o sin2 43o sin17o.sin 43o
e. E 1 2 sin 70o
2 sin 10o
f. F 1 3
sin 10o cos 10o
g. G tan 80o cot10o
cot 25o cot 75o tan 25o tan 75o
h. H tan 90 tan 270 tan 630 tan 810
Bài 5: Tính các giá trị biểu thức:
a. sin sin 7 sin 13 sin 19 sin 25
30 30 30 30 30
b. 16. sin10o.sin 30o.sin 50o.sin 70o.sin 90o
c. cos 24o cos 48o cos 84o cos12o
d. cos 2 cos 4 cos 6
777
e. cos cos 2 cos 3
77 7
f. cos cos 5 cos 7
99 9
g. cos 2 cos 4 cos 6 cos 8
5555
h. cos cos 3 cos 5 cos 7 cos 9
11 11 11 11 11
Bài 6: Chứng minh rằng:
a. tan 9o tan 27o tan 63o tan 81o 4
b. tan 20o tan 40o tan 80o 3 3
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 27
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. tan 10o tan 50o tan 60o tan 70o 2 3
d. tan 30o tan 40o tan 50o tan 60o 8 3 . cos 20o
3
e. tan 20o tan 40o tan 80o tan 60o 8 sin 40o
f. tan6 20o 33 tan4 20o 27 tan2 20o 3 0
Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. cotx tan x 2 tan 2x 4 cot 4x
b. 1 2 sin2 2x 1 tan 2x
1 sin 4x 1 tan 2x
c. 1 tan6 x 3 tan2 x 1
cos6 x cos2 x
d. tan 4x 1 sin 2x cos 2x
cos 4x sin 2x cos 2x
e. tan 6x tan 4x tan 2x tan 2x. tan 4x. tan 6x
f. sin 7x 1 2 cos 2x 2 cos 4x 2 cos 6x
sin x
g. cos 5x. cos 3x sin 7x. sin x cos 2x. cos 4x
Bài 8: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. sin A sin B sinC 4 cos A cos B cos C
222
b. cos A cos B cosC 1 4 sin A sin B sin C
222
c. sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A.sin B.sinC
d. cos 2A cos 2B cos 2C 1 4 cos A.cos B.cosC
e. cos2 A cos2 B cos2 C 1 2 cos A. cos B.cosC
f. sin2 A sin2 B sin2 C 2 2 cos A.cos B. cosC
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 28
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
§3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
I- Định lý hàm cos:
a2 b2 c2 2bc.cos A
b2 a2 c2 2ac.cos B
c2 a2 b2 2ab.cosC
Hệ quả:
cos A b2 c2 a2
2bc
cos B a2 c2 b2
2ac
cosC a2 b2 c2
2ab
II- Định lý hàm sin:
a b c 2R
sin A sin B sinC
Hệ quả:
sin A a ; sin B b ; sinC c
2R 2R 2R
III- Công thức đường trung tuyến:
ma2 b2 c2 a2
2 4
m 2 a2 c2 b2
b 2 4
mc2 a2 b2 c2
2 4
IV- Công thức tính diện tích:
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 29
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
S 1 aha 1 bhb 1 chc
2 2 2
S 1 ab sinC 1 bc sin A 1 ac sin B
2 22
S abc
4R
S pr
S p(p a)(p b)(p c)
Chú ý: Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800
Bài 1. Cho tam giác ABC có a=7, b=8, c=6. Tính đường cao ha, trung
tuyến mb, R, r, sinB, cosC .
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, góc BAC có số đo 600.
Tính cạnh BC, diện tích tam giác ABC, đường cao BH, trung tuyến
CM, đường phân giác trong góc A, bán kính đường tròn nội tiếp, bán
kính đường tròn ngoại tiếp, cosB, sin C.
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB=10, BC=17, trung tuyến BM= 21 .
2
Tính đường cao AH.
Bài 4. Cho tam giác ABC có a=21, b=17, c=10. Gọi N là điểm trên
cạnh BC sao cho BN=15. Tính độ dài AN, độ dài phân giác trong AE
của góc A.
Bài 5. Tính cos A, cos B, cosC, ma,mb,mc,R,r,S,ha,hb,hc biết:
a. a 5,b 7,c 8
b. a 7,b 24,c 23
c. a 16,b 14,c 10
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 30
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
d. a 8,b 10,c 13
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB=5a, AC=6a, BC=7a. Gọi M là trung
điểm AC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM.
Bài 7. Cho tam giác ABC thỏa a 2b cosC . Chứng minh rằng tam
giác ABC cân.
Bài 8. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a. a b. cosC c. cos B
b. sinC sin A. cos B sin B. cos A
c. b2 c2 a(b. cosC c. cos B)
d. (b2 c2). cos A a.(c. cosC b. cos B)
e. ha 2R sin B.sinC
f. ma2 mb2 mc2 3 (a2 b2 c2)
4
g. S = 1 (b2 c2 a2) tan A
4
h. S = 2R2sinAsinBsinC
Bài 9. Cho tam giác ABC có bc a2 . Chứng minh rằng:
a. sin B.sinC sin2 A b. hb.hc ha2
Bài 10.Cho ABC có b c 2a . Chứng minh:
a. 2 1 1 b. sin B sinC 2 sin A
ha hb hc
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 31
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 11.Cho tam giác ABC có cos A 5 , D thuộc BC sao cho
9
ABC DAC , DA 6 , BD 16 . Tính chu vi tam giác ABC.
3
Bài 12.Cho tam giác ABC vuông tại B , kéo dài AC về phía C một
đoạn CD AB 1 , góc CBD 300 . Tính AC.
Bài 13. Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AQ và CP là hai đường cao
và PQ 2 2 , SABC 9SBPQ . Tính cos B và bán kính đường tròn
ngoại tiếp của tam giác ABC .
Bài 14.Cho tam giác ABC có góc A bằng 600 , bán kính đường tròn
ngoại tiếp bằng 7 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 3 . Tính
3
chu vi và diện tích của tam giác.
b3 c3 a3 a2
Bài 15.Cho tam giác ABC thỏa bca . Hỏi tam giác ABC
a 2b cos C
là tam giác gì?
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 32
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
§1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Đường thẳng d đi qua M xo;yo và có vectơ chỉ phương
có phương trình tham số: yx xo u1t
yo u2t
u
u1; u2
Đường thẳng d đi qua M xo;yo và có vectơ pháp tuyến
n a;b có phương trình tổng quát: ax by c 0 với
c axo byo hay a x xo b y yo 0
Đường thẳng d đi qua M xo;yo và có hệ số góc k có
phương trình y yo k x xo . Ta có k u2 với
u1
u1 0 .
Khoảng cách d M; axo byo c
a2 b2
Góc giữa hai đường thẳng
a b1 1 a2b2
cos d1;d2 n1.n2 a12 a22 b12 b22
n1 n2
Bài 1. Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường
thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M (1;2) và có vectơ pháp tuyến n (3;2) .
b. d đi qua M(1;2) và có vectơ chỉ phương u (1;1) .
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 33
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. d đi qua 2 điểm M(1;2), N(3; 0) .
d. d qua M(2; 5) và song song với : 2x 3y 1 0
e. d qua M(2; 5) và song song với : yx 1 t .
3 2t
f. d qua M(2;1) và vuông góc với : x 3y 2 0 .
g. d qua M (2;3) và vuông góc với : yx 1 2t .
3t
h. d qua M(3;4) và có hệ số góc k 2 .
i. Đường thẳng d qua M(1;2) và song song với trục Oy.
j. Đường thẳng d qua M(3;1) và song song với trục Ox.
Bài 2. Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường
thẳng d trong các trường hợp sau:
a. d đi qua M(2;1) và có vectơ pháp tuyến n (4; 3) .
b. d đi qua M(5;2) và có vectơ chỉ phương u (2;3) .
c. d đi qua 2 điểm M(1; 4), N(3;5).
d. d qua M(0; 3) và song song với : x y 5 0 .
e. d qua M (3;7) và song song với : yx 2 3t .
1 5t
f. d qua M (2;5) và vuông góc với : 2x 5y 3 0
g. d qua M(2;2) và vuông góc với : yx 1 2t .
3t
h. d qua M(2;3) và có hệ số góc k 3 .
2
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 34
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 3. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d : 2x y 3 0 :
A(2;1), B(0; 3), C(1; 5), D(3;5), E(2;1),M (3;3) .
Bài 4. Cho đường thẳng : yx 1 2t .
3 t ,t
a. Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng ứng với
t 0;t 1;t 2;t 1;t 3 .
b. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng :
A(0;1), B(1; 3), C(3;2), D(1;2) .
Bài 5. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d khi biết:
a. d : xy 1 2t t b. d : yx 3t t
3t , 2 4t,
c. d : xy 2t 2t, t d. d : yx 3
3 2 t,t
Bài 6. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d khi biết :
a. 2x 3y 5 0 b. x 4y 7
c. y 2x 3 d. y 2
Bài 7. Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau:
a. 2x – 3y + 4 = 0 b. x + 3 = 0
c. 2y – 4 = 0 d. 4x + 3y – 1 = 0
e. yx 2 t f. yx 4 2t
5 3t 5t 1
Bài 8. Trong mp Oxy, cho ABC với A(0;1), B(1; 3),C (3;2)
a. Viết phương trình tham số và tổng quát các cạnh AC, BC.
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 35
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
b. Viết phương trình tham số và tổng quát đường trung tuyến AM,
đường cao AH.
c. Viết phương trình tham số và tổng quát đường trung trực của
cạnh AC.
d. Viết phương trình tham số và tổng quát các đường trung bình
của ABC .
Bài 9. Trong mp Oxy, cho ABC với A(1;1),B(1;3),C (3;2)
a. Viết phương trình tham số và tổng quát các cạnh AC, BC.
b. Viết phương trình tổng quát các đường trung tuyến AM, BN.
Tìm toạ độ trọng tâm G.
c. Viết phương trình tổng quát các đường cao AH, BK. Tìm toạ độ
trực tâm I
d. Viết phương trình tổng quát các đường trung trực của các cạnh
AC, AB. Tìm toạ độ giao điểm O của các đường trung trực này.
e. Viết phương trình tham số và tổng quát các đường trung bình
của ABC .
Bài 10.Lập phương trình ba cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC biết
trung điểm các cạnh lần lượt là M(1;1), N(1;3), P(3;2)
Bài 11.Lập phương trình 3 đường trung trực của tam giác ABC biết
trung điểm các cạnh AB, BC, AC lần lượt là
M(1; 0), N(4;1), P(2; 4)
Bài 12.Cho điểm M(1;2). Hãy lập phương trình đường thẳng qua M và
chắn trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Bài 13.Cho tam giác ABC, biết AB : x 3y 11 0 , hai đường cao
AH : 3x 7y 15 0 , BH : 3x 5y 13 0 . Tìm phương
trình đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác ABC.
Bài 14.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5),
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình
lần lượt là: d1 : 5x 4y 1 0;d2 : 8x y 7 0
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 36
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 15.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) ,
đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình
lần lượt là: d1 : 2x 7y 23 0;d2 : 7x 4y 5 0
Bài 16.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2
đường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là:
d1 : 2x y 1 0;d2 : x 1 0
Bài 17.Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: d1 : x y 2 0
d2 : x 2y 5 0 và trực tâm H(2;3). Lập phương trình cạnh
thứ 3
Bài 18.Phương trình 2 cạnh của một tam giác là:d1 : 3x y 24 0
d2 : 3x 4y 96 0 và trực tâm H 0; 332 . Lập phương trình
cạnh thứ 3
Bài 19.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3),
phương trình đường cao hạ từ A và trung tuyến từ C lần lượt là:
d1 : 3x 2y 3 0;d2 : 7x y 2 0
Bài 20.Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam
giác ABC biết trung điểm của BC là M(2;3), phương trình (AB):
x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0
Bài 21.Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam
giác ABC biết trọng tâm G 43 ; 23 và phương trình
AB : x – 3y 13 0 ; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0
Bài 22.Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d)
và xác định toạ độ điểm M1 đối xứng với M qua (d)
a. M (6; 4);(d) : 4x 5y 3 0
b. M(1; 4);(d) : 3x 4y 4 0
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 37
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. M (3; 5); (d) yx 1 2t
3 4t
Bài 23.Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác định toạ độ
điểm K đối xứng với H qua BC
a. A(0;3); B(3;0); C(-1;-1) b. A(-2;1); B(2;-3); C(5;0).
Bài 24.Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đt(d) qua điểm
I
a. I (3;1);(d) : 2x y 3 0 b. I (1;1);(d) : 3x 2y 1 0
c. I (1; 3);(d) : yx 2t d. I (0;2);(d) : yx 3 t
1 2t 5 4t
Bài 25. Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đường thẳng
(d) qua đường thẳng ( ) biết:
a. (d) : x 2y 1 0;() : 2x y 3 0
b. (d) : 2x 3y 5 0;() : 5x y 4 0
c. (d) : 5x y 6 0;() : x 1 y 3
2 3
d. (d) : 2x y 3 0;() : yx 1 2t
3t
Bài 26.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3);
phương trình 2 đường phân giác trong xuất phát từ B và C lần
lượt là dB : x y 0;dc : 2x y 8 0
Bài 27.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(-4;3);
B(9;2) và phương trình phân giác trong xuất phát từ C là
(d) : x y 3 0
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 38
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 28.Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC: x 4y 8 0
và phương trình 2 đường phân giác trong xuất phát từ B và C
lần lượt là: d3 : y 0;dc : 5x 3y 6 0
Bài 29.Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau. Tìm toạ độ
giao điểm khi hai đường thẳng cắt nhau.
a. d1 : 4x 10y 1 0 và d2 : x y 2 0 .
b. d1 : 12x 6y 10 0 và d2 : 2x y 5 0 .
c. d1 : 4x 5y 6 0 và d2 : xy 6 5t .
6 4t
d. d1 : yx 5t và d2 : xy 4 2t .
3 2t 7 3t
e. d1 : yx 1t và d2 : yx 2 3t
2 2t 4 6t
Bài 30.Cho d1 : 4x y 1 0 và d2 : x 4y 6 0 .
a. Chứng minh rằng d1 và d2 vuông góc với nhau.
b. Tìm toạ độ giao điểm của d1 và d2 .
Bài 31.Cho d1 : kx y k 0 d2 : 1 k2 x 2ky 1 k2 0 .
Chứng minh rằng:
a. Đường thẳng (d1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k.
b. Đường thẳng (d1) luôn cắt (d2). Xác định toạ độ của chúng
Bài 32.Tính số đo góc tạo thành bởi hai đường thẳng d1 và d2 trong
các trường hợp sau:
a. d1 : x 3y 0 d2 : x 10 0
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 39
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
b. d1 : x 2y 5 0 d2 : 3x y 0
c. d1 : x 2y 4 0 d2 : x 3y 1 0
d. d1 : 2x y 10 0 d2 : x 3y 9 0
e. d1 : 3x 2y 1 0 d2 : y x t 5t
7
y xt xt
1
f. d1 : 3 t d2 : y xt
2 2 9
1 t
5 5
Bài 33.Cho 1 : 3x y 7 0 và 2 : mx y 1 0 . Tìm m để
1, 2 30 .
Bài 34.Cho đường thẳng d : 3x 2y 1 0
a. Tính góc tạo bởi d và trục Ox.
b. Lập phương trình đường thẳng d qua A(4; 3) và hợp với d góc
450
Bài 35.Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và tạo với ( ) một
góc biết:
a. M(1;2);() : x 2y 3 0; 45
b. M(2; 0);() : xy 1 3t 45
1 t;
c. M(2;1);() : 3x 2y 1 0; 30
d. M(4;1);() Oy; 30
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 40
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 36.Cho ABC đều, biết: A(2; 6) và BC : 3x 3y 6 0 . Viết
phương trình các cạnh còn lại.
Bài 37.Lập phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD biết A(1;1)
, ABD 60 và phương trình cạnh BD : 2x y 4 0
Bài 38.Cho d1 : 2x y 2 0 và d2 : 2x 4y 7 0 . Viết phương
trình đường thẳng qua điểm M (3;1) cùng với d1; d2 tam giác cân
có đỉnh là giao điểm của d1; d2 .
Bài 39.Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong các
trường hợp :
a. M (3; 5) và d : 4x 3y 1 0 .
b. M(1;2) và d : 3x 4y 26 0 .
c. M(1; 2) và d : yx 1 12t .
1 5t
d. M(3;5) và d : yx 2 4t .
5 3t
Bài 40.Tính bán kính đường tròn (O) trong các trường hợp :
a. Đường tròn (O) có tâm I(1;1) và tiếp xúc với đường thẳng
d : 5x 12y 26 0 .
b. Đường tròn (O) có tâm I (2;2) và tiếp xúc với đường thẳng
d : 4x 3y 10 0 .
c. Đường tròn (O) có tâm I (3;1) và tiếp xúc với đường thẳng
d : xy 4 5t .
1 12t
Bài 41.Trong mp Oxy, cho ABC với A(1;1),B(1;3),C (3;2)
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 41
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
a. Tính độ dài đường cao AH của ABC . Từ đó tính diện tích
ABC .
b. Tính độ dài đường cao CK của ABC . Từ đó tính diện tích
ABC .
Bài 42.Cho đường thẳng d : yx 2 2t . Tìm điểm M thuộc d và cách
3t
điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
Bài 43.Tìm điểm M thuộc d : x 3y 2 0 và cách điểm A(2;1)
một khoảng bằng 1.
Bài 44.Cho đường thẳng (D) : 3x y 6 0 .
a. Tìm những điểm nằm trên (D) và cách điểm A(1;2) một
khoảng bằng 5.
b. Tìm những điểm nằm trên (D) và cách đường thẳng
D : x 2y 2 0 một khoảng bằng 5 .
Bài 45.Viết phương trình đường thẳng (D) song song với đường thẳng
D : 3x 4y 12 0 và cách điểm A(2; 3) một đoạn bằng 2.
Bài 46.Lập phương trình đường thẳng d song song với
: 3x 4y 1 0 và cách khoảng bằng 1.
Bài 47.Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều
hai điểm A(1;2),B(5; 4) .
Bài 48.Tìm M thuộc trục tung và cách đều 2 đường thẳng:
3x – 4y + 6 = 0 và 4x – 3y – 9 = 0.
Bài 49.Cho đường thẳng : yx 2 2t .
3 t
a. Tìm M trên và cách điểm I (2; 0) một khoảng bằng 10.
b. Tìm điểm C trên sao cho tam giác ABC cân tại C, biết
A(2; 5),B(4;1).
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 42
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
c. Tìm điểm D trên sao cho khoảng cách từ D đến đường
d : x 2y 4 0 bằng 6.
Bài 50.Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai
đường thẳng 1 : 2x 4y 7 0 và 2 : x 2y 3 0 .
Bài 51.Cho tam giác ABC có phương trình AB : 3x 4y 1 0
AC : 4x 3y 7 0 . Viết phương trình đường phân giác trong
của góc A.
Bài 52.Cho đường thẳng : x y 2 0 và điểm A(2; 0) .
a. Chứng minh A và O(0; 0) nằm cùng phía với .
b. Tìm điểm O’ đối xứng với O qua .
c. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng OA
qua .
d. Tìm điểm M nằm trên sao cho độ dài đường gấp khúc OAM
là ngắn nhất.
Bài 53.Cho đường thẳng : x 4y 7 0 và 2 điểm A(1;2), B(5;2).
a. Chứng minh rằng A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng .
b. Tìm điểm B’ đối xứng với B qua .
c. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng AB
qua .
d. Tìm điểm M trên sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 43
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
§2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn:
Phương trình chính tắc đường tròn (C) tâmI(a;b), bán kính R:
(C): (x a)2 (y b)2 R2
Phương trình tổng quát đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R:
(C): x 2 y2 2ax 2by c 0
(Điều kiện:a2 b2 c 0 ) và R = a2 b2 c
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
1. Phương trình tiếp tuyến tạiM(x0;y0) :
: VqutpatMIM(x 0;y0) a;y0 b)
(x
0
: (x0 a)(x x0) (y0 b)(y y0) 0
2. Điều kiện tiếp xúc: là tiếp tuyến d(I, ) R
Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình
đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a. x 2 y2 2x 10y 23 0
b. x 2 y2 6x 5y 10 0
c. x 2 y2 6x 7y 25 0
d. x 2 y2 6x 8y 100 0
e. x 2 y2 4x 6y 12 0
f. 2x 2 2y2 4x 8y 2 0
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 44
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 2. Cho phương trình x 2 y2 2mx 4my 6m 1 0 .
a. Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn.
b. Với điều kiện m ở câu a hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn
theo m.
Bài 3. Cho phương trình x 2 y2 4mx 2my 9 m2 m 1 0
2
a. Chứng minh rằng (1) luôn là phương trình đường tròn với mọi giá
trị m.
b. Tìm tâm và bán kính đường tròn trên.
Bài 4. Viết phương trình đường tròn (C) biết :
a. (C) có tâm I(1;1) và đi qua điểm M(3;2) .
b. (C) có tâm I (3;2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x 4y 9 0
c. (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5; 3) .
d. (C) đi qua hai điểm A(0;1), B(1; 0) và có tâm I nằm trên đường
thẳng d : x y 2 0 .
e. (C) đi qua 3 điểm A(1; 4), B(4; 0), C(2;2) .
Bài 5. Viết phương trình đường tròn (C) biết :
a. (C) có tâm I(1;1) và đi qua điểm M(3;2) .
b. (C) có tâm I(2;1) và tiếp xúc với 3x 4y 7 0
c. (C) có đường kính AB với A(3;2),B(5; 4) .
d. (C) đi qua hai điểm A(2;1), B(1;2) và có tâm I nằm trên đường
thẳng d : 2x y 3 0 .
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 45
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
e. (C) đi qua 3 điểm A(2; 3), B(1;2), C(3;2) .
Bài 6. Viết phương trình đường tròn (C) biết (C):
a. Tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua A(2;1)
b. Tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm thuộc 3x 5y 8 0
c. Tiếp xúc với trục hoành tại A(6; 0) và đi qua B(9; 9)
d. Tiếp súc với : x y 1 0 và qua A(1; 0) và B(1;2)
e. Đi qua A1;2 và tiếp xúc với 3x 4y 2 0 tại điểm
B 2;1
f. Có bán kính bằng 1, tiếp xúc với trục hoành và có tâm thuộc
đường thẳng x y 3 0
g. Tiếp xúc với : 3x 4y 31 0 tại A1;7 và có r 5
h. Đi qua A4;2 và tiếp xúc với hai đường thẳng
d1 : x 3y 2 0 và d2 : x 3y 18 0
i. Đi qua A2; 3 và tiếp xúc với hai đường thẳng
d1 : 3x 4y 1 0 và d2 : 4x 3y 7 0
j. Có tâm nằm trên d1 : 3x 4y 26 0 và tiếp xúc với hai
đường thẳng d1 : 3x 4y 1 0 và d2 : 4x 3y 7 0
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1 ; 2), B(5 ; 3), C(-1 ; 0).
a. Tìm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tâm và tính bán
kính của đường tròn đó.
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 46
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
b. Viết phương trình đường tròn qua A, C và có tâm trên Ox.
c. Viết phương trình đường tròn qua A, B và có tâm trên Oy.
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
(C ) : x 12 y 22 25 tại điểm M(4 ;2) thuộc (C)
Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường tròn
(C ) : x 2 y2 4x 6y 3 0 ,biết rằng( d) song song với
đường thẳng( ∆) : 3x y 2011 0
Bài 10.Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn
(C ) : x 2 y2 4x 2y 0 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(3;-2)
Bài 11.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương
trình: x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Viết phương trình các tiếp tuyến
với (T) đi qua điểm M (5;-3).
Bài 12.Cho phương trình đường tròn (C) : x2 y2 4x 6y 12 0 .
Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) trong các
trường hợp:
a. Tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) tại điểm M(2; 0) .
b. Tiếp tuyến d đi qua điểm M (3;1) .
c. Tiếp tuyến d song song với đường thẳng : 3x 4y 5 0 .
d. Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng : 3x 4y 2 0 .
Bài 13.Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 2y 1 0 . Viết phương
trình tiếp tuyến d của đường tròn (C):
a. Tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) tại điểm M(0;1).
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 47
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
b. Tiếp tuyến d đi qua điểm M(2; 3) .
c. Tiếp tuyến d song song với đường thẳng : 3x 4y 5 0 .
d. Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng : 3x 4y 2 0 .
Bài 14.Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 7y 17 0 . Viết phương
trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) :
a. d tiếp xúc với (C) tại M (2;1)
b. d vuông góc với : 3x 4y 1 0
c. d đi qua A(2; 6)
Bài 15.Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 2y 1 0 và A(1; 3)
a. Chứng minh: A nằm ngoài đường tròn
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ qua A.
c. Gọi T1;T2 là 2 tiếp điểm ở câu b. Viết phương trình T1T2 và tính
diện tích tam giác AT1T2
Bài 16.Trong Oxy cho hai đường tròn C1 : x 2 y2 2x 4y 0
C2 : x 2 y2 4x 2y 4 0
a. Lập phương trình tiếp tuyến với C1 tại giao điểm của C1 với
các trục tọa độ.
b. Từ A(1;2) vẽ các tiếp tuyến đến với C2 . Lập phương trình
đường thẳng đi qua hai tiếp điểm đó.
c. Lập phương trình tiếp tuyến chung giữa C1 và C2
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 48
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 17.Cho phương trình đường tròn (C) (x 4)2 y2 4 và E(4;1) .
Tìm M Oy sao cho từ M kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến MA, MB với
A, B là 2 tiếp điểm sao cho đt (AB) đi qua E.
Bài 18.Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 8y 5 0 . Xác định m để
đường thẳng d : x (m 1)y m 0 tiếp xúc với (C)
Bài 19.Cho đường tròn (C) : x2 y2 6x 4y 8 0 và điểm
A121 ; 9 . Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) theo
2
một dây cung có độ dài bằng 10
Bài 20.Cho đường tròn (C ) : (x 3)2 (y 2)2 8 và A(2; 3)
a. Chứng minh A nằm trong (C)
b. Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) theo một dây
cung dài nhất.
c. Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) theo một dây
cung ngắn nhất.
d. Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) theo dây cung
MN 8 10
5
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 49
THPT PHẠM VĂN SÁNG NĂM HỌC 2020 - 2021
§3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
I. Định nghĩa:
Cho 2 điểm F1; F2 thỏa F1F2 2c c 0
M (E ) MF1 MF2 2a (a c 0)
II. Phương trình chính tắc: (E) : x 2 y2 1 (a,b 0)
a2 b2
III. Các tính chất:
1. Tiêu điểm : F1(c;o), F2(c;o) .
2. Tiêu cự : F1F2 2c .
3. Đỉnh trục lớn: A1(a ; 0), A2(a ; 0) .
4. Đỉnh trục bé : B1(0;b), B2(0;b) .
5. Độ dài trục lớn: A1A2 2a .
6. Độ dài trục bé : B1B2 2b .
7. Tâm sai : e c 1 .
a
8. Bán kính qua tiêu điểm : MMFF12 a e.xM
a e.xM
9. Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở: yx a
b
10. Phương trình đường chuẩn x a a2
ec
Bài 1. Xác định tiêu cự, tiêu điểm, các đỉnh, độ dài 2 trục, tâm sai, các
đường chuẩn của Elip sau :
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 – HỌC KỲ II Trang 50
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
toan10-hk2
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search