เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนจริง

1 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แผนผังแสดงความสัมพันธ์จ านวนชนิดต่างๆ 1. ระบบจ านวนจริง ระบบจ านวนจริง จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจ านวนข้างต้นเป็นเซตของจ านวนต่าง ๆ ที่ควรต้องรู้ ดังนี้ จ านวนตรรกยะ เป็นจ านวนที่เขียนได้ในรูป a b โดย a และ b ต่างก็เป็นจ านวนเต็ม และ b 0 หรือ ทศนิยมซ้ าได้ (เซตที่เกิดจากการยูเนียนกันของเซตของจ านวนเต็มกับเซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จ านวนเต็ม) จ านวนตรรกยะเป็นจ านวนที่ใช้กันทั่วไป แยกได้ดังนี้ 1. เซตของจ านวนนับ หรือ เซตของจ านวนธรรมชาติ คือ N {1, 2,3,...} ถ้า a และ b เป็นจ านวนนับ a จะเท่ากับหรือไม่เท่ากับ b ก็ตาม a+b เป็นจ านวนเสมอ เรียกสมบัติของเซต ของจ านวนนับนี้ว่า สมบัติปิดของการบวก นั่นคือ ถ้า a N และ b N แล้ว a b N

2 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 2. เซตของจ านวนเต็ม I ประกอบด้วย เซตของจ านวนเต็มบวก เซตของจ านวนเต็มลบ และเซตของศูนย์ เซตของจ านวนเต็มบวก I คือ เซตที่ประกอบด้วย .................................................................. N I .............................................................................................. เซตของจ านวนเต็มลบ I คือ เซตที่ประกอบด้วย ................................................................... I ................................................................................................ เซตของศูนย์ 0 I คือ เซตที่ประกอบด้วย ...................................................................... 3. เซตของเศษส่วนที่ไม่ใช่จ านวนเต็ม คือ จ านวนที่อยู่ในรูปเศษส่วนของจ านวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ 4. เซตของทศนิยมบางประเภท คือ จ านวนที่อยู่ในรูปทศนิยมซ้ า เช่น 2 1 เขียนแทนด้วย 0.5000... หรือ 0.5 6 5 เขียนแทนด้วย 0.8333... หรือ 0.83 27 28 เขียนแทนด้วย 1.037037037 ... หรือ 1.037 3 12 เขียนแทนด้วย 4.000... หรือ 4 ข้อสังเกต 1. ระบบจ านวนตรรกยะมีสมบัติปิดการบวก และสมบัติปิดการคูณ 2. จ านวนเต็มทุกจ านวนเป็นจ านวนตรรกยะ เพิ่มเติมเซตที่ควรรู้ เซตของจ านวนคู่ คือ จ านวนเต็มที่มี 2 เป็นตัวประกอบ หรือ จ านวนเต็มที่ 2 หารลงตัว เรียกว่า จ านวนคู่ ถ้าเขียนเซต จะได้ E 2n n I เซตของจ านวนคี่ คือ จ านวนเต็มที่ไม่ใช่จ านวนเต็มคู่ เรียกว่า จ านวนคี่ หรือ จ านวนเต็มที่ 2 ไป หารแล้วเหลือเศษ 1 ถ้าเขียนเซตจะได้ E 2n 1 n I 2n 1 n I เซตของจ านวนเฉพาะบวก คือ จ านวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ 1 และไม่มีจ านวนเต็มบวกอื่นใดหารลงตัว นอกจาก 1 และตัวมันเอง ได้แก่ ................................................................... เป็นต้น จ านวนอตรรกยะ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นจ านวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจ านวนเต็ม หรือ ทศนิยมซ้ าได้ เช่น 2, 3, 5, 7, หรือ (ซึ่งมีค่า 3.14159265...) เป็นต้น ถ้าน าเซตตรรกยะและเซตอตรรกยะมายูเนียนกันจะได้เป็น เซตของจ านวนจริง R

3 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แบบฝึกทักษะที่ 1 1. จงพิจารณาจ านวนต่อไปนี้ว่าเป็นจ านวนนับ จ านวนเต็ม จ านวนตรรกยะ หรือจ านวนอตรรกยะ โดยเขียน เครื่องหมาย ลงในช่องว่างให้ถูกต้อง ข้อ จ านวน N I Q Q R ข้อ จ านวน N I Q Q R 1 0 11 0.333… 2 2 3 12 2 2 3 22 7 13 1.14123... 4 3.1416 14 27 3 5 4 1 15 2 ( 5) 6 1 ( 8) 16 5 5 7 6 1 17 1.010010001 8 7 22 18 1.73205... 9 0.09 19 3 64 10 12 3 20 0 5 2. จงพิจารณาข้อความในแต่ละต่อไปนี้ ถ้าเป็นจริงให้ท าเครื่องหมาย เป็นเท็จให้ท าเครื่องหมาย ............1) 3.999... ไม่เป็นจ านวนเต็ม ............2) 3 27 ไม่เป็นจ านวนจริง ............3) 4 16 เป็นจ านวนอตรรกยะ ............4) 0 เป็นจ านวนอตรรกยะ ............5) 0 เป็นจ านวนจริง ............6) ทศนิยมไม่ซ้ าบางจ านวนเป็นจ านวนอตรรกยะ ............7) x เป็นจ านวนจริง เมื่อ x เป็นจ านวนจริง ............8) ถ้า a เป็นจ านวนอตรรกยะ แล้ว a เป็นจ านวนอตรรกยะ ............9) มีจ านวนเต็มลบที่น้อยที่สุดที่มากกว่า -3 ............10) มีจ านวนตรรกยะที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 0

4 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 2. สมบัติของจ านวนจริง สมบัติของจ านวนจริง ใช้ในส าหรับการน าไปอ้างอิงในการพิสูจน์เกี่ยวกับการเท่ากันของจ านวนอื่น ๆ สมบัติของการเท่ากันของจ านวนจริง ถ้า a , b และ c เป็นจ านวนจริงใด ๆ แล้ว ข้อที่ สมบัติ นิยาม 1 สมบัติการสะท้อน (Reflexive Proprety) a a 2 สมบัติการสมมาตร (Symtric Property) ถ้า a b แล้ว b a 3 สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) ถ้า a b และ b c แล้ว a c 4 สมบัติการบวกด้วยจ านวนเท่ากัน ถ้า a b แล้ว a c b c 5 สมบัติการคูณด้วยจ านวนเท่ากัน ถ้า a b แล้ว ac bc ระบบจ านวนจริงสอดคล้องกับสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณ เรียกว่า สัจพจน์เชิงพีชคณิต มีสมบัติดังนี้ ถ้า a , b และ c เป็นจ านวนจริง จะได้ว่า สมบัติ การบวก การคูณ สมบัติปิด 1. a b R 6. ab R หรือ a b R สมบัติการสลับที่ 2. a b b a 7. ab ba สมบัติการเปลี่ยนหมู่ 3. a b c a b c 8. ab c a bc สมบัติการมีเอกลักษณ์ 4. a 0 a 0 a เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์การบวก 9. a 1 a 1 a เรียก 1 ว่า เอกลักษณ์การคูณ สมบัติการมีตัวผกผัน 5. a ( a) 0 ( a) a เรียก –a ว่าตัวผกผันการบวก หรือ อินเวอร์สการบวกของ a 10. ถ้า a 0 แล้ว 1 1 a a 1 a a เรียก 1 a ว่า ตัวผกผันการคูณ หรือ อินเวอร์สการคูณของ a สมบัติการแจกแจง 11. a(b c) ab ac และ (a b)c ac bc

5 บทที่ 3 จ ำนวนจริง สมบัติปิดของระบบจ านวนจริง สมบัติปิด หมายถึง สมบัติภายใต้การด าเนินการอย่างใดอย่างหนึ่ง และเมื่อสมาชิกของเซตด าเนินการอย่าง นั้นแล้วได้ผลลัพธ์เป็นสมาชิกของเซตเดิม ซึ่งสมบัติปิดนี้มีทั้งสมบัติปิดการบวก สมบัติปิดการคูณ สมบัติปิดการลบ และสมบัติปิดการหาร (เมื่อตัวหารไม่เป็นศูนย์) ขึ้นอยู่กับจ านวนนั้นเป็นจ านวนประเภทใด (เนื่องจากเราสามารถ สร้างความหมายของการลบและการหารในรูปของการบวกและการคูณได้) 1. สมบัติปิดการบวก ถ้า a R และ b R แล้ว a b R ตัวอย่างที่ 1 1) ถ้า 1 2 R และ 3 2 R จะพบว่า 1 3 2 2 2 ซึ่ง 2R 2) ถ้า 3R และ 2R จะพบว่า 3 2 R สรุปว่า ........................................................................................................................................ 2. สมบัติปิดการคูณ ถ้า a R และ b R แล้ว ab R ตัวอย่างที่ 2 1) ถ้า 3 2 R และ 2 5 R ดังนั้น 3 2 6 2 5 10 ซึ่ง 6 10 R 2) ถ้า 1 2 R และ 5R ดังนั้น 1 5 5 2 2 ซึ่ง 5 2 R สรุปว่า ........................................................................................................................................ นอกจากการใช้เครื่องหมาย , , , แล้ว เราอาจจะสร้างเครื่องหมายพิเศษโดยก าหนดกติกาเกี่ยวกับ เครื่องหมายขึ้นเองได้ ตัวอย่าง 1 ถ้า a, b R ถ้า a*b a b 4 จงหา (2*4)*6 มีค่าเท่าใด วิธีท า จาก (2*4)*6 = (2+4+4)*6 = 10*6 = 10+6+4 = 20 ดังนั้น (2*4)*6 = 20

6 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่าง 2 จงหาผลคูณ 1 75 15 3 วิธีท า โดยการเปลี่ยนการแสดงจ านวนคละให้อยู่ในรูปการบวกของจ านวนเต็มและเศษส่วนแท้ จะได้ 1 1 75 15 75 15 3 3 ----- โดยใช้สมบัติการแจกแจง 1 (75 15) 75 3 1,125 25 1,150 ดังนั้น ผลคูณคือ 1,150 ทฤษฎีบทที่ส าคัญในระบบจ านวนจริง จากสมบัติของระบบจ านวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณข้างต้น เราสามารถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ก าหนดให้ a, b, c และ d เป็นจ านวนจริงใด ๆ ทบ.1 (กฎการตัดออกส าหรับการบวก) ถ้า a c b c แล้ว a b ถ้า a b a c แล้ว b c ทบ.2 (กฎการตัดออกส าหรับการคูณ) ถ้า ac bc และ c 0 แล้ว a b ถ้า ab ac และ a 0 แล้ว b c ทบ.3 การคูณด้วยศูนย์ a a 0 0 0 ทบ.4 การคูณด้วยจ านวนลบ a a ( 1) และ ( ) a a ( )( ) ( ) ( ) a b ab a b a b ab ทบ.5 ผลคูณเท่ากับศูนย์ ถ้า ab 0 แล้ว a 0 หรือ b 0 ทบ.6 การลบจ านวนจริง a b a b ( )

7 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ทบ.7 การหารจ านวนจริง 1 ( ) a a b b เมื่อ b 0 ทบ.8 การแจกแจงส าหรับการลบ a b c ab ac ( ) ( ) ( )( ) ( ) a b c ac bc a b c ab ac ทบ.9 การคูณทั้งเศษและส่วน a ac b bc เมื่อ b 0 และ c 0 ทบ.10 การบวกเศษส่วน a c ad bc b d bd เมื่อ b 0 และ d 0 ทบ.11 การคูณเศษส่วน a c ac b d bd เมื่อ b 0 และ d 0 ทบ.12 อินเวอร์สการคูณของเศษส่วน ถ้า a 0 แล้ว 1 a 0 1 b c c b เมื่อ b 0 และ c 0 ทบ.13 เศษส่วนซ้อน a b a c bc และ a ac b b c a b ad c bc d เมื่อ b 0 และ c 0 และ d 0

8 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แบบฝึกเสริมทักษะ 1. จงบอกสมบัติของจ านวนจริงที่ท าให้สมการหรือข้อความต่อไปนี้เป็นจริง 1.1 1 1 (2 7) (2 7) 3 3 สมบัติ ………………………………………………………. 1.2 ( 6) 0 6 สมบัติ ………………………………………………………. 1.3 1 x x สมบัติ ...................................................... 1.4 2 ( ) 3( ) 2 ( ) 3( ) c d c d c d c d สมบัติ ...................................................... 1.5 7( 3) เป็นจ านวนจริง สมบัติ ...................................................... 1.6 ( )( ) ( ) ( ) x y a b x y a x y b สมบัติ ...................................................... 1.7 1 5 1 5 สมบัติ ...................................................... 1.8 1 1 5 9 2 5 9 2 2 2 สมบัติ ...................................................... 1.9 1 1 0 7 7 สมบัติ ...................................................... 1.10 2 ( 1) 2 (1 ) m m สมบัติ ..................................................... 2. เซตที่ก าหนดให้มีคุณสมบัติของจ านวนจริงข้อใดบ้าง โดยท าเครื่องหมาย ข้อ เซตของ สมบัติปิด การบวก การลบ การคูณ การหาร 1 จ านวนนับ 2 จ านวนเต็มลบ 3 จ านวนเต็ม 4 ศูนย์ 5 จ านวนจริง 6 จ านวนตรรกยะ 7 จ านวนอตรรกยะ 8 จ านวนที่หารด้วย 2 ลงตัว 9 1,3,5 10 1,0,1

9 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 3. จงหาอินเวอร์สการบวกและอินเวอร์สการคูณของจ านวนต่อไปนี้ ข้อ จ านวน อินเวอร์สการบวก อินเวอร์สการคูณ 1. -4 2. 5 3. 5 4. 2 7 5. 5 6. -1.245 7. 8. 8 7 9. 3 5 10. 5 2 3 4. จงพิจารณาจ านวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ ถ้าเป็นจริงให้เขียนเครื่องหมาย ถ้าเป็นเท็จให้เขียนเครื่องหมาย ............ 1) จ านวนตรรกยะมีสมบัติของการบวกและการหาร ............ 2) จ านวนตรรกยะมีสมบัติปิดของการหาร ............ 3) การบวกและการลบมีสมบัติในระบบจ านวนนับ ............ 4) การคูณและการหารมีสมบัติปิดในระบบจ านวนเต็ม ............ 5) เซตของจ านวนอตรรยะมีสมบัติปิดภายใต้การบวก ............ 6) เซตของจ านวนอตรรกยะมีสมบัติปิดภายใต้การคูณ ............ 7) เซตของจ านวนคู่มีสมบัติปิดส าหรับการหาร ............ 8) 1,0,1 มีสมบัติส าหรับการคูณ ............ 9) จ านวนตรรยะมีสมบัติปิดของการหารด้วยตัวหารที่ไม่เท่ากับศูนย์ ............ 10) เซตของจ านวนที่หารด้วย 5 ลงตัว มีสมบัติปิดส าหรับการบวกและการหาร ............ 11) ถ้า a, b R และ a * b = a + b + 15 แล้ว R มีสมบัติปิดส าหรับการด าเนินการ ............ 12) ระบบจ านวนเต็มมีสมบัติสลับที่ภายใต้การคูณ ............ 13) จ านวนตรรกยะมีสมบัติการจัดหมู่ภายใต้การคูณ ............ 14) เซต I 0 ไม่มีเอกลักษณ์การบวก

10 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ............ 15) เซต I 0 ไม่มีเอกลักษณ์การคูณ ............ 16) ถ้า a + b = 0 แล้ว b มีอินเวอร์สการบวก ............ 17) ถ้า ab = 0 แล้ว b คือ อินเวอร์สการคูณของ a ………….. 18) ถ้า q เป็นอินเวอร์สการบวกของ p และ 2p – q = 3 แล้ว p = 1 ………….. 19) อินเวอร์สการคูณของ 2 5a b คือ 2 5 b a เมื่อ a , b 0 …………. 20) อินเวอร์สการคูณของ 3 2 คือ 3 2 5.เติมเหตุผลที่พิสูจน์ว่า “ถ้า a เป็นจ านวนจริง และ a 7 16 แล้ว a 9 ” 1) a 7 16 (.....................................................................................) 2) a 7 ( 7) 16 ( 7) (.....................................................................................) 3) a 7 ( 7) 16 ( 7) (.....................................................................................) 4) a 0 16 7 (.....................................................................................) 5) a 16 7 (.....................................................................................) 6) a 9 (.....................................................................................) 6. เติมเหตุผลที่พิสูจน์ว่า “ x y z xy xz ( ) เมื่อก าหนดให้ xy, และ z เป็นจ านวนจริง” 1) xy, และ z เป็นจ านวนจริง (.....................................................................................) 2) y z y z ( ) (.....................................................................................) 3) x y z x y z ( ) ( ) (.....................................................................................) 4) x y z xy x z ( ) ( ) (.....................................................................................) 5) x y z xy xz ( ) ( ) (.....................................................................................) 6) x y z xy xz ( ) (.....................................................................................)

11 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 3. การแก้สมการพหุนามที่มีตัวแปรเดียว การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามในรูปผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ ากว่าตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป หรือเขียนพหุนามที่ ก าหนดให้ในรูปที่ง่ายกว่า พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว เป็นพหุนามที่เขียนได้อยู่ในรูป 2 ax bx c เมื่อ abc , , เป็นค่าคงตัวที่ a 0 และ x เป็นตัวแปร 1. การแยกตัวประกอบของ 2 x bx c เมื่อ bc, เป็นค่าคงตัวที่ c 0 ท าได้โดย 1) หาจ านวน m และ n ที่ mn c และ m n b 2) จะได้ว่า 2 x bx c x m x n ( )( ) ตัวอย่าง 2 x x 8 7 ........................................ 2 x x 5 6 ........................................ 2. การแยกตัวประกอบของ 2 ax bx c เมื่อ abc , , เป็นค่าคงตัวที่ a c, 0 ตัวอย่าง 2 4 16 9 .................................... x x ........ 2 3 5 2 ..................................... x x .......... สูตรส าหรับการแยกตัวประกอบของพหุนาม ข้อตกลง น = หน้า ล = หลัง 1. พหุนามในรูปก าลังสองสมบูรณ์ (Perfect square) จะแยกตัวประกอบ ดังนี้ (น + ล)2 = น 2 + 2นล + ล2 (น - ล)2 = น 2 – 2นล + ล2 2. พหุนามในรูปผลต่างก าลังสอง (Difference of square) จะแยกตัวประกอบ ดังนี้ น 2 – ล 2 = (น – ล)(น + ล) 3. พหุนามในรูปผลบวกก าลังสาม (Sum of cube) จะแยกตัวประกอบ ดังนี้ น 3 + ล3 = (น + ล)(น2 -นล + ล2 ) 4. พหุนามในรูปผลลบก าลังสาม (Differece of cube) จะแยกตัวประกอบ ดังนี้ น 3 - ล 3 = (น - ล)(น2 +นล + ล2 ) 5. พหุนามในรูปก าลังสามสมบูรณ์ (Perfect cube) จะแยกตัวประกอบ ดังนี้ (น + ล)3 = น 3 + 3น2ล + 3นล2 + ล3 (น - ล)3 = น 3 - 3น2ล + 3นล2 - ล 3

12 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แบบฝึกเสริมทักษะ 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) x 3x 2 2) 2 2x 3x 3) 3 2 5x 15x 4) 3 5 12x 8x 5) 15xy 35x 6) 2 2 2 x y 4xy 7) 2 2 3x y 2xy 8) x y 2xy 3xy 2 2 9) 3 2 2 x x 10) 8 15 2 x x 11) 2 x x 21 20 12) 8 15 2 x x 13) 9 20 2 x x 14) 3 4 2 x x 15) 7 18 2 x x 16) 7 18 2 x x 17) 2 35 2 x x 18) 2 x x 8 20 19) 2 x x 6 8 20) 2 x x 8 16 21) 2 x x 3 4 22) 2 x x 11 12 23) 2 x x 3 18 24) 2 x x 2 15 25) 2 x x 2 3 26) 2 x x 11 12 27) 2 x x 9 18 28) 2 x x 10 24 29) 2 x x 7 10 30) 2 x x 9 8

13 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 2. จงหาผลคูณ 1) ( 1)( 1) x x 2) ( 3)( 3) x x 3) ( 5)( 5) x x 4) (2 3)(2 3) x x 5) (3 1)(3 1) x x 6) (5 4)(5 4) x x 7) (5 4)(5 4) x x 8) (3 1)(3 1) x x 9) (2 1)(3 2) x x 10) (4 2)( 4) x x 3. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 1) 2 x x 25 2) 3 2 x x 4 3) 4 x x 9 4) 2 15 25 x x 5) 2 81x x 6) 2 14 49 x x 7) 5 2 13 65 x x 8) 3 2 5 15 x x 9) 3 2 88 11 x x 10) 2 x x 3 4 11) 2 x x 10 25 12) 2 x x 14 49 13) 2 4 4 1 x x 14) 2 4 4 1 x x 15) 2 2 4 4 x xy y 16) 2 9 12 4 y y 17) 2 25 10 1 a a 18) 2 9 12 4 y y

14 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 4. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 1) 3 x 8 2) 3 x 8 3) 3 8 27 m 4) 6 3 x y 64 5) 6 3 x y 64 6) 3 8 27 m 7) 3 x 215 8) 3 x 216 9) 3 3 y x 8 10) 6 6 64 8 x y 5. ถ้า x 4x 21 x px q 2 เมื่อ p และ q เป็นจ านวนใดๆ แล้ว 2 p 3q มีค่าเท่าใด 6. ถ้า 3x 14x 5 ax bcx d 2 เมื่อ a ,b, c และ d เป็นจ านวนใดๆ แล้ว a b cd มีค่าเท่าใด 7. ถ้า x 8x p 2 เป็นพหุนามที่เป็นก าลังสองสมบูรณ์ แล้ว p มีค่าเท่าใดต่อไปนี้ 8. ถ้า 9x 12x c 2 เป็นพหุนามที่เป็นก าลังสองสมบูรณ์ แล้ว c มีค่าเท่าใดต่อไปนี้

15 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 4. การแก้สมการพหุนามก าลังสองตัวแปรเดียว การแก้สมการก าลังสองตัวแปรเดียวที่อยู่ในรูปทั่วไป คือ 0 2 ax bx c เมื่อ abc , , เป็นค่าคงตัวที่ a 0 คือ การหาค าตอบของสมการ หลักการ : การแก้สมการพหุนามก าลังสองตัวแปรเดียว โดยท าสมการให้อยู่ในรูปก าลังสองสมบูรณ์ ดังนี้ ใช้สูตร 2 2 2 4 4 4 , 2 2 2 b b ac b b ac b b ac x x x a a a 1) ถ้า 2 b ac 4 0 แล้ว ค าตอบจะเป็นจ านวนจริง และมี 2 ค าตอบ 2) ถ้า 2 b ac 4 0 แล้ว ค าตอบจะเป็นจ านวนจริง และมี 1 ค าตอบ 3) ถ้า 2 b ac 4 0 แล้ว ค าตอบจะไม่เป็นจ านวนจริง แบบฝึกเสริมทักษะและความเข้าใจ 1. จงค าตอบของสมการต่อไปนี้ โดยการแยกตัวประกอบ 1) 4 1 0 2 x x 2) 2 2 0 2 x x 3) 10 0 2 x x 4) 18 81 0 2 x x 5) 2 x x 14 48 0 6) 2 9 16 0 x 7) 2 4 8 3 0 x x 8) 2 25 0 x 9) 2 4 16 15 0 x x 10) 2 36 64 0 x

16 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 2. จงหาค าตอบของสมการต่อไปนี้ โดยใช้สูตร 1) 2 x x 4 21 0 5) 2 x x 6 4 0 2) 2 x x 4 2 0 6) 2 x x 10 2 0 3) 2 x x 4 7) 2 5 1 0 x x 4) 2 3 2 3 0 x x 8) 2 2 4 1 x x

17 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 3. ให้ m และ n เป็นค าตอบของสมการ 10 27 0 2 x x จงหาค่าของ m n 4. ให้ m และ n เป็นค าตอบของสมการ 5 8 4 0 2 x x จงหาค่าของ mn 5. ถ้า a และ b เป็นค าตอบของสมการ 5 3 x x แล้ว a b ab มีค่าเท่าใด *6. จากสมการ 3 0 2 kx x k ถ้าสมการมีค าตอบเป็นจ านวนจริง โดยผลบวกของค าตอบของสมการเท่ากับ ผลคูณของค าตอบของสมการ แล้ว k มีค่าเท่าใด

18 บทที่ 3 จ ำนวนจริง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว พหุนามตัวแปร x เขียนในรูป a x a x ... a x a0 0 n 1 n 1 n 1 n n เมื่อ 1 1 0 an , an , ... , a , a เป็นค่าคง ตัว x เป็นตัวแปร และ n เป็นจ านวนเต็มบวกหรือศูนย์ ถ้า an 0 จะเรียกสมการพหุนามนี้ว่า พหุนามดีกรี (degree) n ดังนั้น สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ a x a x ... a x a0 0 n 1 n 1 n 1 n n และสามารถหาค าตอบ ของสมการได้ ดังนี้ หลักการ : การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว 1. ให้แยกตัวประกอบและใช้หลักการ “ถ้า A และ B เป็นจ านวนจริง และ AB = 0 แล้ว A = 0 หรือ B = 0” ตัวอย่าง จงหาเซตค าตอบของสมการ 3 2 3 2 12 8 0 x x x วิธีคิด 3 2 3 2 12 8 x x x 3 2 (3 2 ) (12 8) x x x 2. ใช้ ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder theorem) “ เมื่อ 1 2 1 2 1 0 ( ) ... n n n n n n p x a x a x a x a x a โดยที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก 1 2 1 0 , , ,..., , n n n a a a a a เป็นจ านวนจริง ซึ่ง 0 n a ถ้าหารพหุนาม p x( ) ด้วยพหุนาม x c เมื่อ c เป็นจ านวนจริง แล้วเศษเหลือจะ เท่ากับ p c( )” ตัวอย่าง 1 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 2 9 4 1 x x ด้วย x 1 ให้ 2 p x x x ( ) 9 4 1 โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p x( ) ด้วย x 1 จะได้เศษเหลือคือ 2 p(1) 9(1) 4(1) 1 12 ตัวอย่าง 2 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 2 9 4 1 x x ด้วย x 2 ให้ 2 p x x x ( ) 9 4 1 โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p x( ) ด้วย x 2 จะได้เศษเหลือคือ 2 p( 2) 9( 2) 4( 2) 1 27

19 บทที่ 3 จ ำนวนจริง Know that it’s not damaged. Why not do it? ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor theorem) “เมื่อ 1 2 1 2 1 0 ( ) ... n n n n n n p x a x a x a x a x a โดยที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก 1 2 1 0 , , ,..., , n n n a a a a a เป็นจ านวนจริง ซึ่ง 0 n a ถ้าหารพหุนาม p x( ) จะมี x c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ p c( ) 0 ตัวอย่าง 1 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3 2 x x x 5 2 8 ด้วย x 2 ให้ 3 2 p x x x x ( ) 5 2 8 จะได้ 3 2 p(2) (2) 5(2) 2(2) 8 8 20 4 8 0 ดังนั้น x 2 เป็นตัวประกอบของ 3 2 x x x 5 2 8 ตัวอย่าง 2 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3 2 x x x 5 2 8 ด้วย x 1 ให้ 3 2 p x x x x ( ) 5 2 8 จะได้ 3 2 p( 1) ( 1) 5( 1) 2( 1) 8 3 5 ( 2) 8 2 ดังนั้น x 1 ไม่เป็นตัวประกอบของ 3 2 x x x 5 2 8

20 บทที่ 3 จ ำนวนจริง การแยกตัวประกอบของพหุนาม p x( ) เมื่อสัมประสิทธิ์น าเป็น 1 ส าหรับพหุนาม 1 2 1 2 1 0 ( ) ... n n n n n n p x a x a x a x a x a โดยที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก 1 2 1 0 , , ,..., , n n n a a a a a เป็นจ านวนเต็ม ซึ่ง 1 n a สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม p x( ) ด้วยวิธีดังนี้ 1. หาตัวประกอบ c ของ 0 a ที่ท าให้ p c( ) 0 2. น า x c ไปหาร p x( ) ผลหารจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ ากว่าดีกรีของพหุนาม p x( ) อยู่ 1 3. ถ้าผลหารในข้อ 2 ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 และสามารถแยกตัวประกอบต่อไปได้อีก ก็แยกตัวประกอบของ ผลหารนั้นตามขั้นตอนในข้อ 1 และข้อ 2 ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 3 2 x x x 5 2 8 ให้ 3 2 p x x x x ( ) 5 2 8 เนื่องจากจ านวนเต็มที่หาร 8 ลงตัว คือ 1, 2, 4, 8 พิจารณา 3 2 p(2) (2) 5(2) 2(2) 8 8 20 4 8 0 จากนั้นน า x 2 ไปหาร 3 2 x x x 5 2 8 ได้ผลเป็น 2 x x 3 4 ดังนั้น 3 2 x x x 5 2 8 2 ( 2)( 3 4) x x x ( 2)( 4)( 1) xxx ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 4 3 2 x x x x 2 3 3

21 บทที่ 3 จ ำนวนจริง การแยกตัวประกอบของพหุนาม p x( ) เมื่อสัมประสิทธิ์น าไม่เป็น 1 ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ “เมื่อ 1 2 1 2 1 0 ( ) ... n n n n n n p x a x a x a x a x a โดยที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก 1 2 1 0 , , ,..., , n n n a a a a a เป็นจ านวนจริง ซึ่ง 0 n a ถ้า k x m เป็นตัวประกอบของพหุนาม p x( ) โดยที่ m และ k เป็นจ านวนเต็ม ซึ่ง m 0 และ ห.ร.ม.ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m หาร n a ลงตัว และ k หาร n a ลงตัว” มีวิธีดังนี้ 1. หา k m ที่ ห.ร.ม.ของ m และ k เท่ากับ 1 โดยพิจารณา m และ k จากตัวประกอบของ n a และ 0 a ตามล าดับ 2. ทดสอบว่า 0 k p m หรือไม่ 2.1 ถ้า 0 k p m แล้ว k x m เป็นตัวประกอบของ p x( ) 2.2 ถ้าไม่มี k m ที่ท าให้ 0 k p m แสดงว่า พหุนาม p x( ) ไม่มีตัวประกอบที่เป็นพหุนามดีกรีหนึ่ง ในรูป k x m 3. น า k x m ซึ่งเป็นตัวประกอบของ p x( ) ไปหารพหุนาม p x( ) ผลหารจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ ากว่าดีกรี ของพหุนาม p x( ) อยู่ 1 4. ถ้าผลหารในข้อ 3 ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 และสามารถแยกตัวประกอบต่อไปได้อีก ก็แยกตัวประกอบของ ผลหารนั้นตามขั้นตอนในข้อ 1, 2 และ 3 ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 3 2 12 6 5 3 x x x ให้ 3 2 p x x x x ( ) 12 6 5 3 เนื่องจากจ านวนเต็มที่หาร -3 ลงตัว คือ 1, 3 และจ านวนเต็มที่หาร 12 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ดังนั้น จ านวนตรรกยะ k m ที่ท าให้ 0 k p m ได้แก่ 1 3 1 3 1 1 1, 3, , , , , , 2 2 4 4 6 12 พิจารณา 1 2 p จะได้ 3 2 1 1 1 1 12 6 5 3 2 2 2 2 p 8 16 5 3 0 12 4 2 นั่นคือ 1 2 x เป็นตัวประกอบของ 3 2 12 6 5 3 x x x

22 บทที่ 3 จ ำนวนจริง จากนั้นน า 1 2 x ไปหาร 3 2 12 6 5 3 x x x ได้ผลเป็น 2 12 22 6 x x นั่นคือ 3 2 2 1 12 6 5 3 12 22 6 2 x x x x x x 1 2 (6 11 3) 2 x x x (2 1)(3 1)(2 3) x x x ตัวอย่าง จงแก้สมการ 3 2 6 11 6 1 x x x จากสมการ 3 2 6 11 6 1 x x x จะได้ 3 2 6 11 6 1 0 x x x ให้ p x( ) ………………………………………………………………………………………. จะได้ p(.....) ………………………………………………………………………………. ดังนั้น .................... เป็นตัวประกอบของ 3 2 6 11 6 1 0 x x x นั่นคือ p x( ) …………………………………………………………………………………….……………….. = ................................................................................................... เนื่องจาก 3 2 6 11 6 1 0 x x x จะได้ ……………………………………………………………….. ดังนั้น ………………………………………………………………………………………………………………………. นั่นคือ เซตค าตอบของสมการ คือ ........................................................................ แบบฝึกเสริมทักษะ 1. ก าหนด p x( ) และ c ดังต่อไปนี้ จงหาเศษเหลือเมื่อหาร p x( ) ด้วย x c 1) 4 p x x x c ( ) 3 5, 2 2) 3 2 p x x x x c ( ) 2 2, 1 3) 3 2 p x x x x c ( ) 2 7 5 4, 3 4) 3 2 p x x x c ( ) 6 13 4, 2 5) 3 2 p x x x x c ( ) 2 4 6 4, 2 6) 4 3 2 p x x x x x c ( ) 3 2 2, 1

23 บทที่ 3 จ ำนวนจริง การหารสังเคราะห์ สมมติให้ p x( ) แทน พหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร p x( ) ด้วย x c เมื่อ c 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ มีวิธีการดังต่อไปนี้ 1) เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p x( ) โดยเขียนเรียงล าดับก าลังของ x จากมากไปหาน้อย และ พจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้น เท่ากับ 0 2) เขียน c เป็นตัวหาร 3) จ านวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3 4) น า c คูณกับจ านวนแรกของแถวที่ 3 น าผลคูณที่ได้มาใส่ในต าแหน่งที่สองของแถวที่ 2 5) บวกจ านวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในต าแหน่งที่สอง น าผลบวกใส่ในต าแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3 6) น า c มาคูณกับจ านวนในต าแหน่งที่สองของแถวที่ 3 น าผลคูณใส่ในต าแหน่งที่สามของแถวที่ 2 7) บวกจ านวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในต าแหน่งที่สาม น าผลบวกใส่ในต าแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3 ท าเช่นนี้เรื่อย ๆ ไป จนหมดทุกต าแหน่ง แล้วจะได้ว่า จ านวนแต่ละจ านวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจ านวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งจะเป็น พหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p x( ) อยู่ 1 จ านวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร ตัวอย่าง จงหาผลเมื่อหาร 2 x x 6 8 ด้วย x 1 วิธีท า ในที่นี้ x a x x 1 ( 1) จะได้ a 1 -1 1 -6 8 -1 7 1 -7 15 ตอบ ผลหารเมื่อหาร 2 x x 6 8 ด้วย x 1 คือ x 7 เศษ 15 ตัวอย่าง จงหาผลเมื่อหาร 4 2 2 5 3 x x x ด้วย x 3

24 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แบบฝึกเสริมทักษะ 1. จงหาผลหารและเศษโดยใช้การหารสังเคราะห์ 1) 3 ( 3 5) x x ด้วย ( 1) x 2) 4 3 ( 2 8) x x ด้วย ( 1) x 3) 3 2 (2 2 2 3) x x x ด้วย ( 2) x 4) 4 3 2 ( 2 3 3) x x x x ด้วย ( 1) x 5) 4 2 (2 3 5) x x ด้วย ( 3) x 6) 4 2 ( 5) x x ด้วย ( 1) x

25 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 2. จงหาค าตอบของสมการต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ 1) 3 2 2 3 1 0 x x 2) 3 2 4 13 4 12 0 x x x 3) 3 6 13 4 0 x x 4) 4 3 2 2 13 28 23 6 x x x x ด้วย ( 1) x

26 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 5. เศษส่วนของพหุนาม ให้ p x( ) และ q x( ) เป็นพหุนาม โดยที่ q x( ) 0 จะเรียก ( ) ( ) p x q x ว่า เศษส่วนของพหุนาม ที่มี p x( ) เป็น ตัวเศษ และ q x( ) เป็น ตัวส่วน เช่น 1 x เมื่อ x 0 , 2 2 2 x x เมื่อ 2 x 2 0 ตัวอย่าง จงเขียนเศษส่วนของพหุนามในรูปผลส าเร็จ 1) 2 2 6 2 x x x x วิธีท า 2 2 6 ( 2)( 3) 2 ( 2)( 1) x x x x x x x x 3 1 x x เมื่อ x 2 เรียก 3 1 x x ว่า เศษส่วนของพหุนามในรูปผลส าเร็จ ของ 2 2 6 2 x x x x 2) 2 4 8 3 6 x x x Start Up Exercise ลองท าดู 1) 2 1 1 x x 2) 3 1 1 x x 3) 2 2 4 9 2 3 x x x 4) 3 2 4 3 2 1 4 4 1 x x x x x x

27 บทที่ 3 จ ำนวนจริง การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนามมีหลักเกณฑ์เช่นเดียวกับการคูณและการหารเศษส่วนของจ านวนเต็ม ดังนี้ 1) เมื่อ p x q x r x ( ), ( ), ( ) และ s x( ) เป็นพหุนาม โดยที่ q x( ) 0 และ s x( ) 0 จะได้ว่า ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x r x p x r x q x s x q x s x 2) 1) เมื่อ p x q x r x ( ), ( ), ( ) และ s x( ) เป็นพหุนาม โดยที่ q x r x ( ) 0, ( ) 0 และ s x( ) 0 จะได้ว่า ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x r x p x s x q x s x q x r x ตัวอย่าง 1 2 2 4 3 2 x x x x x วิธีท า 2 2 4 2 ( 2) 3 2 ( 3)( 2) x x x x x x x x x x 2 2 3 x x เมื่อ x 2 ตัวอย่าง 2 2 1 1 x x x 4 วิธีท า 2 1 1 1 4 ( 4) 1 x x x x x x 1 x 4 เมื่อ x 0 Start Up Exercise ลองท าดู 1) 2 2 3 10 2 4 2 x x x x x 2) 2 2 1 1 x x x x 3) 2 2 2 2 3 4 2 6 x x x x x x x 4) 2 3 10 5 2 2 x x x x x 5) 3 3 2 2 1 1 1 1 x x x x x x 6) 2 2 3 2 2 8 16 x x x x x เขียนเฉพำะตัวส่วนที่ตัดหำยไป

28 บทที่ 3 จ ำนวนจริง การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนามมีหลักเกณฑ์เช่นเดียวกับการบวกและการลบเศษส่วนของจ านวนเต็ม ดังนี้ 1) เมื่อ p x q x ( ), ( ) และ s x( ) เป็นพหุนาม โดยที่ q x( ) 0 จะได้ว่า ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x r x p x r x q x q x q x หรือ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x r x p x r x q x q x q x 2) ถ้าเศษส่วนของพหุนามที่น ามาบวกหรือลบกันมีส่วนที่ไม่เท่ากันจะต้องท าตัวส่วนให้เท่ากันแล้วจึงใช้ข้อ 1) ตัวอย่าง 1 2 4 3 3 3 x x x x วิธีท า 2 4 3 (2 4) ( 3) 3 3 3 x x x x x x x 3 1 3 x x เมื่อ x 3 ตัวอย่าง 2 1 1 x x 1 วิธีท า 1 1 1 1 ( 1) ( 1) x x x x x x x x 2 1 ( 1) x x x เมื่อ x 0 ตัวอย่าง 3 1 2 4 4 x x x วิธีท า ตัวอย่าง 2 1 1 x x 1 Start Up Exercise ลองท าดู 1) 1 1 1 x x x 1 2 2) 2 2 1 6 5 6 x x x x x x

29 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 3) 2 2 1 3 1 2 x x x x 4) 2 2 2 5 4 5 6 4 x x x x 6. สมการเศษส่วนของพหุนาม สมการเศษส่วนของพหุนาม คือ สมการที่สามารถจัดอยู่ในรูปให้ ( ) 0 ( ) p x q x เมื่อ p x( ) และ q x( ) เป็น พหุนาม โดยที่ q x( ) 0 จะได้ว่า จ านวนจริง c เป็นค าตอบของสมการนี้ ก็ต่อเมื่อ แทน x ในสมการด้วย c แล้ว ได้สมการเป็นจริง กล่าวคือ ( ) 0 ( ) p c q c ดังนั้น เซตค าตอบของสมการ ( ) 0 ( ) p x q x คือ เซตของจ านวนจริง x ซึ่ง p x( ) 0 และ q x( ) 0 ตัวอย่าง 1 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2 4 3 0 3 3 x x x x วิธีท า 2 4 3 0 3 3 x x x x 2 4 ( 3) 0 3 x x x 2 4 3 0 3 x x x 3 1 0 3 x x จะได้ 3 1 0 x และ x 3 0 นั่นคือ 1 3 x โดยที่ x 3 ดังนั้น 1 3 x จะได้ เซตค าตอบของสมการ คือ 1 3

30 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่าง 2 จงหาเซตค าตอบของสมการ ( 1) 2 ( 1)( 3) ( 1)( 3) x x x x x x วิธีท า ( 1) 2 0 ( 1)( 3) ( 1)( 3) x x x x x x 2 2 0 ( 1)( 3) x x x x ( 1)( 2) 0 ( 1)( 3) x x x x จะได้ ( 1)( 2) 0 x x และ ( 1)( 3) 0 x x นั่นคือ x 1 หรือ x 2 โดยที่ x 1 และ x 3 ดังนั้น x 2 จะได้ เซตค าตอบของสมการ คือ 2 ตัวอย่าง 3 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2 2 2 1 0 3 10 2 15 x x x x x x วิธีท า 2 2 2 1 0 3 10 2 15 x x x x x x 2 1 0 ( 2)( 5) ( 3)( 5) x x x x x ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) 0 ( 2)( 5) ( 3) ( 5)( 3) ( 2) x x x x x x x x x x ( 2)( 3) ( 1)( 2) 0 ( 2)( 3)( 5) x x x x x x x ( 2) ( 3) ( 1) 0 ( 2)( 3)( 5) x x x x x x ( 2)(2 2) 0 ( 2)( 3)( 5) x x x x x จะได้ ( 2)(2 2) 0 x x และ ( 2)( 3)( 5) 0 x x x นั่นคือ x 1 หรือ x 2 โดยที่ x 2 , x 3 และ x 5 ดังนั้น x 1 จะได้ เซตค าตอบของสมการ คือ 1 ระวัง !! ตัด ( 1) x ไม่ได้นะจ๊ะ เนื่องจากเป็นสมการจะท าให้ ค าตอบหายไป

31 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่าง 4 น้ าท างานอย่างหนึ่งเสร็จในเวลา 2 ชั่วโมง ถ้าฝนช่วยท าด้วย งานนั้นจะเสร็จในเวลา 1 ชั่วโมง 30 นาที ถ้าฝนท างานชิ้นนี้คนเดียวจะเสร็จในเวลาเท่าใด วิธีท า ให้ฝนท างานคนเดียวได้งาน 1 หน่วย เสร็จในเวลา x ชั่วโมง ดังนั้น ในเวลา 1 ชั่วโมง ฝนท างานคนเดียวได้งาน 1 x หน่วย เนื่องจากในเวลา 2 ชั่วโมง น้ าท างานได้งาน 1 หน่วย ดังนั้น ในเวลา 1 ชั่วโมง น้ าท างานได้งาน 1 2 หน่วย ในเวลา 1 ชั่วโมง น้ าและฝนช่วยกันท างาน จะได้งาน 1 1 2 2 2 x x x หน่วย ดังนั้น งาน 1 หน่วย น้ าและฝนช่วยกันท างานเสร็จในเวลา 2 2 x x ชั่วโมง จากโจทย์ น้ าและฝนช่วยกันท างานเสร็จในเวลา 1 3 1 2 2 ชั่วโมง ดังนั้น 2 3 2 2 x x 2 3 0 2 2 x x 4 3( 2) 0 2( 2) x x x 6 0 2( 2) x x จะได้ x 6 0 และ 2( 2) 0 x นั่นคือ x 6 โดยที่ x 2 ดังนั้น x 6 จะได้ เซตค าตอบของสมการ คือ 6 ดังนั้น ฝนท างานชิ้นนี้คนเดียวจะเสร็จในเวลา 6 ชั่วโมง

32 บทที่ 3 จ ำนวนจริง Start Up Exercise ลองท าดู จงหาเซตค าตอบของสมการต่อไปนี้ 1) ( 1) 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) x x x x x x 2) 1 0 1 x x x x 3) 2 1 6 3 x x x 4) 1 4 1 x x 1 5) 2 2 1 1 1 1 x x x x x 1 6) 2 1 1 6 x x 1 1 5

33 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 7) 2 1 1 2 1 6 x x x 8) 2 2 1 1 2 x x x x x 1 1 3 7. การไม่เท่ากันของจ านวนจริง สมบัติไตรวิภาค (Trichotomy Property) ถ้า a และ b เป็นจ านวนจริงใด ๆ แล้ว a b แล้ว a b หรือ b a จะเป็นจริงเพียงอย่างหนึ่งอย่างใดเท่านั้น (ทั้งสามประการจะเกิดขึ้นได้เพียงอย่างเดียวและเกิดขึ้นพร้อมกันไม่ได้) บทนิยาม a b หมายถึง a b 0 a b หมายถึง a b 0 หรือ b a 0 a b หมายถึง a b และ a b a b หมายถึง a b และ a b abc หมายถึง a b และ b c abc หมายถึง a b และ b c abc หมายถึง a b และ b c abc หมายถึง a b และ b c

34 บทที่ 3 จ ำนวนจริง สมบัติที่ส าคัญของการไม่เท่ากัน ให้ abc , , และ d เป็นจ านวนจริง สมบัติของการไม่เท่ากัน ตัวอย่าง 1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c 4 3 และ 3 2 แล้ว 4 2 2. สมบัติการบวกด้วยจ านวนที่เท่ากัน ถ้า a b แล้ว a c b c 3 2 ดังนั้น 3 1 2 1 3. สมบัติการคูณจ านวนที่เท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์ กรณี 1 ถ้า a b และ c 0 แล้ว ac bc กรณี 2 ถ้า a b และ c 0 แล้ว ac bc 4 3 และ 2 0 ดังนั้น 4(2) 3(2) 4 3 และ 2 0 ดังนั้น 4( 2) 3( 2) 4. สมบัติการตัดออกส าหรับการบวก ถ้า a c b c แล้ว a b 4 2 3 2 แล้ว 4 3 5. สมบัติการตัดออกส าหรับการคูณ กรณี 1 ถ้า ac bc และ c 0 แล้ว a b กรณี 2 ถ้า ac bc และ c 0 แล้ว a b 4(2) 3(2) แล้ว 4 3 โดยที่ 2 0 4( 2) 3( 2) แล้ว 4 5 โดยที่ 2 0 6. การบวก ถ้า a b และ c d แล้ว a c b d การลบ ถ้า a b และ c d แล้ว a c b d การคูณ ถ้า 0 a b และ 0 c d แล้ว ac bd ถ้า a b 0 และ c d 0 แล้ว ac bd การหาร ถ้า 0 a b และ 0 c d แล้ว a b d c ถ้า a b 0 และ c d 0 แล้ว a b d c ถ้า 2 3 และ 4 5 แล้ว 2 4 3 5 ถ้า 2 3 และ 4 5 แล้ว 2 5 3 4 ถ้า 0 2 3 และ 0 4 5 แล้ว 2(4) 3(5) 3 2 0 และ 5 4 0 แล้ว ( 3)( 5) ( 2)( 4) 0 2 3 และ 0 4 5 แล้ว 2 3 5 4 3 2 0 และ 5 4 0 แล้ว 3 2 4 5

35 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แบบฝึกเสริมทักษะ(การวิเคราะห์) ก าหนดให้ abc , , และ d เป็นจ านวนจริง จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงหรือเป็นเท็จ 1) ถ้า a b แล้ว 2 2 a b 2) ถ้า a b 0, 0 และ a b แล้ว 1 1 a b 3) ถ้า a b แล้ว a b 4) ถ้า a 0 และ b 0 แล้ว ab 0 5) ถ้า a 0 และ b 0 แล้ว ab 0 6) ถ้า a 0 แล้ว 1 0 a

36 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 8. อสมการพหุนามตัวแปรเดียว ช่วง สัญลักษณ์แทนสับเซตของจ านวนจริงที่ส าคัญอีกอย่างหนึ่ง คือ ช่วงจะมีประโยชน์ในการน าไปใช้เขียนแทน เซตค าตอบของสมการ อีกรูปแบบหนึ่ง ซึ่งมี 2 แบบ คือ ช่วงจ ากัด และช่วงอนันต์ บทนิยาม ก าหนดให้ a และ b เป็นจ านวนจริง ซึ่งมี 2 แบบ คือ ช่วงจ ากัด และช่วงอนันต์ ช่วง เส้นจ านวน 1. ช่วงเปิด ( , ) a b หมายถึง x a x b EX 3 4 : 3 x x และ x 4 2. ช่วงปิด a b, หมายถึง x a x b EX 3 4 x 3. ช่วงครึ่งเปิด ( , ] a b หมายถึง x a x b EX 3 4 x 4. ช่วงครึ่งเปิด [ , ) a b หมายถึง x a x b EX 3 4 x 5. ช่วง ( , ) a หมายถึง x x a EX x 4 6. ช่วง ( , ) a หมายถึง x x a EX x 4 7. ช่วง ( , ) a หมายถึง x x a EX x 4 8. ช่วง ( , ] a หมายถึง x x a EX x 4 9. ช่วง ( , ) หมายถึง x x R

37 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่าง 1 จงหาช่วงที่เกิดจาก 1,3 2, 4 วิธีท า การหายูเนียนของช่วงที่เป็นจ านวนจริง โดยใช้เส้นจ านวน ดังรูป แบบฝึกเสริมทักษะ 1. จงเขียนช่วงต่อไปนี้ในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไข พร้อมทั้งแสดงกราฟของช่วงบนเส้นจ านวน ช่วง กราฟของช่วงบนเส้นจ านวน เซตแบบบอกเงื่อนไข 1) [-3,1) 2) ( 2, ) 3) [4,7] 4) ( 3,0) 5) ( , 3) 6) [1, ) 7) ( 1, 4] 8) ( ,1] 9) ( 10, 8) 10) [2.5, 4]

38 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 2. ก าหนดให้ A 3,6 และ B 4,6 จงหา 1) A B 2) A B 3) A B 4) B A 5) A 6) B 3. ก าหนดให้ A x x B x x C x x 3 7 , 4 5 , 4 8 จงหา 1) A B C 2) A B 3) A B C 4) B A 5) C B 6) A C B C

39 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 9. อสมการ การแก้อสมการ (Inequality) คือ การหาค าตอบของอสมการ เซตค าตอบของอสมการ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นจ านวนจริง โดยที่จ านวนเหล่านี้ เมื่อน ามาแทนค่าตัวแปรใน อสมการแล้วได้อสมการเป็นจริง เทคนิค : การแก้อสมการพื้นฐาน ก าหนดให้ x, a, b เป็นจ านวนจริง กรณี a 0 กรณี a 0 1) ถ้า ax b 0 จะได้ b x a หรือ 2) ถ้า ax b 0 จะได้ b x a 1) ถ้า ax b 0 จะได้ b x a หรือ 2) ถ้า ax b 0 จะได้ b x a Ex 3 5 0 x จะได้ 5 3 x หรือ 3 5 0 x จะได้ 5 3 x Ex 3 5 0 x จะได้ 5 3 x หรือ 3 5 0 x จะได้ 5 3 x ข้อควรระวัง 1. ถ้าน าจ านวนลบมาคูณหรือหารทั้งอสมการ จะมีผลต่อเครื่องหมายของอสมการโดยจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย ของอสมการ ดังนี้ จาก > ให้เปลี่ยนเป็น < จาก < ให้เปลี่ยนเป็น > ให้เปลี่ยนเป็น < จาก ให้เปลี่ยนเป็น > 2. ถ้าน าจ านวนบวกมาคูณหรือหาร จะไม่มีผลต่อเครื่องหมายของอสมการ 3. การย้ายข้างเปลี่ยนบวกไปเป็นลบ หรือลบไปเป็นบวก หรือเพิ่มเข้าและลบออกทั้งสองข้าง จะไม่มีผลต่อการ เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการ 4. ห้ามคูณหรือหารทั้งอสมการด้วยตัวแปรที่ยังไม่ทราบค่าว่าเป็นจ านวนบวกหรือลบ เพราะว่าเรายังไม่รู้ว่าต้อง เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการหรือไม่

40 บทที่ 3 จ ำนวนจริง เทคนิค : การแก้อสมการ (ที่ควรรู้) ส าหรับอสมการที่อยู่ในรูปของคูณกันของสองวงเล็บขึ้นไป สามารถแก้อสมการโดยใช้เส้นจ านวนได้ ดังนี้ 1. นับจ านวน x แล้วน าไปขีดบนเส้นจ านวน ( ถ้ามี 2 ตัว ขีด 2 ขีด, ถ้ามี 3 ตัว ขีด 3 ขีด) ตัวอย่าง x x x ( 2)(2 6) 0 มี x ตัว ขีด 3 ขีดบนเส้นจ านวน 2. ให้แต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์ แล้วหาค่า x แล้วน าไปใส่บนเส้นจ านวน ตัวอย่าง x x x 0, 2 0, 2 6 0 6 2, 3 2 x x 3. ให้ใส่เครื่องหมาย +, -, +, -,... โดยเริ่มจากทางขวาสุดไปทางซ้าย 4. ให้ดูเครื่องหมายจากโจทย์ 4.1) ถ้าเป็นเครื่องหมาย < ให้พิจารณาเส้นจ านวนที่มีเครื่องหมายลบ (ช่วงเปิด) 4.2) ถ้าเป็นเครื่องหมาย > ให้พิจารณาเส้นจ านวนที่มีเครื่องหมายบวก (ช่วงเปิด) 4.3) ถ้าเป็นเครื่องหมาย ให้พิจารณาเส้นจ านวนที่มีเครื่องหมายลบ (ช่วงปิด) 4.4) ถ้าเป็นเครื่องหมาย ให้พิจารณาเส้นจ านวนที่มีเครื่องหมายลบ (ช่วงเปิด) ตัวอย่าง x x x ( 2)(2 6) 0 เซตค าตอบของอสมการ คือ ( ,0) (2,3) ตัวอย่างที่ 1 จงหาค าตอบของอสมการ คือ 2 4 x วิธีท า

41 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่างที่ 2 จงหาค าตอบของอสมการ 2 2 4 6 x ตัวอย่างที่ 3 จงหาค าตอบของอสมการ 2 5 2 6 x ตัวอย่างที่ 4 จงหาค าตอบของอสมการ 9 1 21 1 3 x x x

42 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่างที่ 5 จงหาค าตอบของอสมการ 2 x x 2 15 0 ตัวอย่างที่ 6 จงหาค าตอบของอสมการ 2 2 5 12 0 x x ตัวอย่างที่ 7 จงหาค าตอบของอสมการ 2 3 10 8 0 x x

43 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่างที่ 8 จงหาค าตอบของอสมการ 2 1 x x 3 2 ตัวอย่างที่ 9 จงหาค าตอบของอสมการ ( 3)( 7) 0 2 x x x ตัวอย่างที่ 10 จงหาค าตอบของอสมการ 8 2 x x x 2 2 0

44 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แบบฝึกเสริมทักษะ จงหาค าตอบของอสมการต่อไปนี้ 1. 3 1 2 1 x x 2. 4 7 2( 1) y y 3. 2(3 1) 3( 1) y y 4. 4 (3 ) 3 (3 2 ) x x x 5. 2 x x 6 0 6. 2 2 7 3 0 x x

45 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 7. 2 12 7 x x 8. 2 4 1 1 x x 9. 6 1 4 x x 10. 1 1 x x 1 4 11. 2 2 2 3 10 6 0 2 15 x x x x x x 12. 3 4 x x 1 2 0

46 บทที่ 3 จ ำนวนจริง 10. ค่าสัมบูรณ์ เมื่อก าหนดให้ a เป็นจ านวนจริง ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนจริง a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนจ านวนจริง a บนเส้นจ านวน บทนิยาม ก าหนดให้ a เป็นจ านวนจริงใดๆ a เมื่อ a 0 a 0 เมื่อ a 0 a เมื่อ a 0 สมบัติที่ส าคัญของค่าสัมบูรณ์ เมื่อก าหนดให้ x y , เป็นจ านวนจริง 1. x 0 5. x x y y 2. x x 6. 2 2 x x x 3. x y y x 7. x y x y 4. xy x y 8. x y x y การแก้สมการค่าสัมบูรณ์(เป้าหมาย คือ ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ให้ได้) การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ ต้องก าจัดค่าสัมบูรณ์ออกไปก่อน ซึ่งสามารถท าได้โดยใช้นิยามค่าสัมบูรณ์หรือ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ ซึ่งมีรูปแบบดังนี้ แบบที่ 1 ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นตัวแปร ข้างนอกค่าสัมบูรณ์เป็นตัวเลข 1) x a 0, 0 x a หรือ x a 2) x 0 x 0 3) x a a , 0 ไม่มีจ านวนจริงใด x ใด ๆ ที่เป็นค าตอบของสมการ

47 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตค าตอบของสมการ x 4 7 ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2 x x 4 3 1 แบบที่ 2 ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นตัวแปร ข้างนอกค่าสัมบูรณ์เป็นตัวแปร x y x y หรือ x y แต่ต้องตรวจค าตอบทุกครั้ง ซึ่ง y 0 โดยการน าค าตอบ x ที่ได้มาไปแทนใน y ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2 5 7 x x

48 บทที่ 3 จ ำนวนจริง ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตค าตอบของสมการ 5 3 4 1 x x แบบที่ 3 ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นตัวแปร ข้างนอกค่าสัมบูรณ์เป็นค่าสัมบูรณ์ x y x y หรือ x y ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตค าตอบของสมการ x x 8 4 3

49 บทที่ 3 จ ำนวนจริง แบบที่ 4 ข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นตัวแปร ข้างนอกค่าสัมบูรณ์เป็นค่าสัมบูรณ์ x x x 0 x x x 0 ตัวอย่างที่ 6 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2 5 2 5 x x ตัวอย่างที่ 7 จงหาเซตค าตอบของสมการ 4 3 3 4 x x แบบฝึกเสริมทักษะ จงหาค่าของจ านวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. 2 5 0 x 2. 6 2 5 0 x