เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เซต

เอกสารประกอบการกเรียน
เรื่อง เซต

ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เรื่อง เซต

SET

เซต (Sets) เปน็ คาในทางคณติ ศาสตรท์ ี่ไม่นยิ ามความหมาย เช่น เซตของสระในภาษาอังกฤษ
“คาอนิยาม” เราใชเ้ ซต บง่ บอกถึงกลมุ่ หมู่ เหลา่ ฝงู ชดุ หมายถึง กลุม่ ของอกั ษร a, e, i, o และ u
สารบั คณะ คาเหลา่ นีแ้ สดงถงึ การรวบรวมสง่ิ ของหรอื อะไรก็
ไดท้ ่ีรวมกนั เป็นกล่มุ ๆ โดยมีคณุ สมบัตบิ างอยา่ งร่วมกนั และ เซตของจานวนนับทนี่ อ้ ยกว่า 10
คณุ สมบัติเหล่าน้ที าใหท้ ราบได้ว่าสง่ิ ใดบา้ งอยู่ในเซต และสงิ่ หมายถึง กลุม่ ของตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
ใดบ้างไมอ่ ยใู่ นเซต เราเรียกสงิ่ ท่อี ยู่ในเซตวา่ สมาชกิ ของเซต 8 และ 9 สง่ิ ทอ่ี ยใู่ นเซต เรียกวา่ สมาชิก
(element หรอื members)

(Element)
ตวั อย่างที่ 1 พิจารณาเซตต่อไปนี้ข้อใดเป็นเซต

1. นกั เรยี นชั้น ม.4/3 2. นกั เรยี นชน้ั ม.4/3 ทห่ี นา้ ตาดี

3. นกั ฟตุ บอลทีมแมนยทู ่เี ลน่ ฟตุ บอลเก่ง 4. เมด็ ทรายในทะเลภเู ก็ต

การเขียนเซต

การเขียนเซต การเขียนเซตอาจเขยี นได้สองแบบ คือ
1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular From) โดยเขยี นสมาชกิ ทุกตวั ของเซตลงใน

เคร่อื งหมาย
วงเลบ็ ปกี กา { } และใช้เครือ่ งหมายจลุ ภาค ( , ) คน่ั ระหวา่ งสมาชิกแตล่ ะตัว
1.1 ถ้ามีสมาชกิ ของเซตน้อย ใหเ้ ขยี นครบทกุ ตวั เชน่
A = ………………………………………………… , B = …………………………………………………
1.2 ถ้าสมาชกิ ของเซตมมี าก และทราบตัวสดุ ทา้ ย เช่น
C = ………………………………………………….
1.3 ถ้าสมาชิกของเซตมีมากจนไมส่ ้ินสดุ เชน่
D = ………………………………………………….. , E = …………………………………………………….
F = …………………………………..…………….
ตวั อยา่ งที่ 2 เซตของจานวนนบั ท่นี อ้ ยกวา่ 7 เขยี นแทนด้วย ……………………………..……….………

เซตของพยญั ชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนดว้ ย ……………………………………………
เซตของจานวนคู่ตัง้ แต่ 2 ถงึ 10 เขียนแทนด้วย ………………………..…………………

ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ นนั้ จะใชจ้ ุดสามจดุ ( . . . ) เพอ่ื แสดงวา่ มสี มาชกิ อ่นื ๆ
ซงึ่ เปน็ ทเี่ ขา้ ใจกนั ท่วั ไปวา่ มีอะไรบา้ งท่อี ยใู่ นเซต

1

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 เร่อื ง เซต

2. เขียนเซตแบบบอกเง่ือนไข (Builder Form) ใชต้ ัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซตแลว้
บรรยายสมบตั ขิ องสมาชกิ ทอ่ี ยใู่ นรปู ของตวั แปร โดยเคร่ืองหมาย “|”แทนคาวา่ “โดยท”ี่

ตัวอย่างที่ 3 A = {x | x เปน็ สระในภาษาองั กฤษ }
อา่ นว่า………………………………………………………………….
B = {x | x เปน็ เดือนแรกและเดือนสดุ ท้ายของปี }
อ่านว่า………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงเขียนเซตต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรปู แบบบอกเงื่อนไข
1. A = {ก,ข,ค,ง,จ,…ฮ} เขียนแบบบอกเงอื่ นไขได้
A = …………………………………………………………………….
2. B = {2,4,6,8,10} เขยี นแบบบอกเงอื่ นไขได้
B = …………………………………………………………………….

3. C = {1, 1 , 1 , 1 , } เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้

234

C = …………………………………………………………………….

ตัวอยา่ งท่ี 5 ใหน้ กั เรียนเติมคาตอบในช่องว่างใหส้ มบรู ณ์

เซต แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเง่อื นไข
{ x | x เป็นเดอื นทีม่ ี 28 วนั }
1. เซตของเดอื นท่ีมี 28 วัน {กมุ ภาพนั ธ์}
{x | x เป็นเลขโดดใน 100}
2. เซตของจานวนเตม็ บวกท่นี อ้ ย {x | x เป็นพยญั ชนะในคาว่า “กาบ”}

กวา่ 50 {x  R | x2  x  2  0}

3. เซตของจานวนเตม็ ลบ {x | x เป็นเซตของจานวนเฉพาะที่น้อยกวา่

4. {a, b, c, . . . , z} 20 }

5. {2, 3, 5, 7, 11, 13}

6. {5, 4, 3, 2, . . .}

7.

8.

9.

10.

2

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรอ่ื ง เซต

Worksheet1 ความหมายของเซต
และการเขยี นเซต

ชอื่ - นามสกุล………………………………………………………….ชั้น ม.4/……….……. เลขที่…………………

คาชีแ้ จง ให้นักเรยี นเตมิ คาตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนใ้ี หถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์
ตอนที่ 1 จงพจิ ารณาเซตต่อไปน้ี โดยทาเคร่ืองหมาย  หน้าข้อท่ใี ชเ้ ซตไดถ้ ูกตอ้ ง
และทาเครอ่ื งหมาย  หน้าขอ้ ที่ใช้เซตไม่ถูกต้อง

_____1. เซตของจานวนเฉพาะ _____2. เซตของคนดี
_____3. เซตของนางสาวไทยปี พ.ศ.2555-2560 _____4. เซตของเพลงท่ไี พเราะ
_____5. เซตของสบทู่ มี่ กี ล่ินหอม _____6. เซตของภาพท่สี วยงาม
_____7. เซตของจงั หวัดทขี่ ้ึนตน้ ดว้ ย “สมุทร” _____8. เซตของจาํ นวนเต็มบวก
_____9. เซตของนกั ร้องเกาหลที ่ีหลอ่ ทส่ี ดุ _____10. เซตของนกั เรยี น ม.4

ตอนท่ี 2 จงตอบคาถามต่อไปน้ี

ขอ้ ที่ คําถาม คําตอบ
1. จงเขยี นเซตต่อไปนแี้ บบแจกแจงสมาชิก

1.1 เซตของจานวนเต็มบวกท่ีหาร 5 ลงตวั ……………………………………………………………………

1.2 เซตของจังหวัดในประเทศไทยทข่ี ้ึนต้นดว้ ยพยญั ชนะ “ม” ………………………………………………........................

1.3 เซตของจานวนคู่บวกที่นอ้ ยกวา่ 20 .............................................................................

1.4 เซตของจานวนเตม็ ทม่ี ากกวา่ 2 แตน่ อ้ ยกวา่ 10 .............................................................................

1.5 เซตของพยัญชนะในคาวา่ MATHEMATICS .........……………………………………………………………

1.6 เซตของจานวนเตม็ ลบที่มากกวา่ -100 ……………………………………………………………………

1.7 เซตของจานวนเตม็ ทสี่ อดคลอ้ งกบั สมการ + 2= 5 ………………………………………………….....................

1.8 เซตของจานวนเตม็ ทส่ี อดคล้องกบั สมการ 2 − 4 = 0 ............................................................................

1.9 เซตของจานวนที่สอดคลอ้ งกับสมการ x2  5x  4  0 .........……………………………………………………………

1.10 เซตของจานวนเตม็ ทสี่ อดคลอ้ งกับสมการ 2 > 0 ……………………………………………………………………

1.11 { x | x  4 และ เปน็ จานวนเต็ม} ………………………………………………….....................

1.12 { x | x เป็นจานวนสีของธงชาติไทย} ...........................................................................

1.13 { x | x เปน็ จานวนนับที่นอ้ ยกว่าและหาร 10 ลงตัว} ………………………………………………………………….

1.14 { x | x เปน็ เลขโดดของจานวน 13,513,007} ………………………………………………………………….

3

วิชาคณติ ศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรอ่ื ง เซต

ขอ้ ท่ี คาถาม คาตอบ

1.15 { x | x  3n 1, n  1, 2,3, 4 } ………………………………………………….....................
1.16 { y | y  2n , เปน็ จานวนนบั } .............................................................................
1.17 { x | x เปน็ จานวนเตม็ ทอี่ ยู่ระหว่าง 0 กับ 1} .............................................................................
1.18 { x | x เป็นจานวนเตม็ ตง้ั แต่ 1 กับ 7} ............…………………………………………………………
1.19 { x | x เปน็ จานวนเต็มลบทอ่ี ยรู่ ะหวา่ ง -5 กับ 1} ……………………………………………………………………
1.20 { x | x เป็นจานวนเต็มลบและ 2x  8} ………………………………………………….....................

2. จงเขียนเซตต่อไปน้แี บบบอกเง่ือนไขของสมาชิก ……………………………………………………………………
2.1 A = {2, 4, 6, 8, 10} ………………………………………………….....................
2.2 B = {1, 3, 5, . . . , 99} .............................................................................
2.3 C = {1, 2, 3, . . . } .............................................................................
2.4 D = {1, 4, 9, 16, . . .} ............…………………………………………………………
2.5 E = {1, 3, 5, 7, . . .} ……………………………………………………………………
2.6 F = {ตะวันออก,ตะวนั ตก,เหนอื ,ใต้} ………………………………………………….....................
2.7 G = {100,101,102,103} .............................................................................
2.8 H = {กุมภาพันธ์} .............................................................................
2.9 I = {10,20,30,. . .} ............…………………………………………………………
2.10 J = { 2,11 ,11 ,11 ,11 ,... }

2345

4

วิชาคณิตศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรื่อง เซต

สญั ลกั ษณแ์ ทนเซต

ในการเขยี นเซตโดยทวั่ ไปจะแทนเซตดว้ ยอักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C
และแทนสมาชกิ ของเซตด้วยตัวพมิ พ์เล็ก เช่น a, b, c เชน่

A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถงึ A เป็นเซตของกาลงั สองของจานวนนบั หกจานวนแรก

เซตของจานวนชนิดต่างๆท่ีควรทราบ
I  แทน เซตของจานวนเต็มบวก จะได้ I   {1, 2,3, }
I  แทน เซตของจานวนเตม็ ลบ จะได้ I   {1, 2,3, }
I แทน เซตของจานวนเตม็ จะได้ I  { , 2, 1,0,1, 2,3, }
 แทน เซตของจานวนนบั จะได้     
 แทน เซตของจานวนเฉพาะทเ่ี ปน็ บวก จะได้    
Q แทน เซตของจานวนตรรกยะ คือ จานวนท่ีเขียนเป็นเศษสว่ นได้ เชน่ จานวนเต็ม เศษส่วนแท้ ทศนิยม
R แทนเซตของจานวนจรงิ

สมาชิกของเซต

จะใช้สัญลักษณ์ “  ” แทนคาวา่ “เปน็ สมาชกิ ”หรอื “อยใู่ น”

และจะใชส้ ัญลกั ษณ์ “  ” แทนคาวา่ “ไมเ่ ป็นสมาชิกของ” หรอื “ไมอ่ ยูใ่ น”

เช่น A = {1, 2, 3, 4}

จะได้วา่ 1 เปน็ สมาชิกของ A หรืออยใู่ น A เขยี นแทนดว้ ย 1  A

3 เปน็ สมาชิกของ A หรอื อยู่ใน A เขียนแทนด้วย 3  A

5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไมอ่ ยใู่ น A เขียนแทนดว้ ย 5  A

7 ไม่เปน็ สมาชกิ ของ A หรอื ไมอ่ ย่ใู น A เขียนแทนดว้ ย 7  A
ตวั อยา่ งท่ี 6 จงเตมิ  หรอื  ลงในชอ่ งวา่ ง

1. 0____ N
2. 1____ P
3. 0 ____ {x I |x  0}
4. 2 ____ {x  N | x2  4}
5. 0 ____ {x I |x2  0}
6. e ____ {x |x เปน็ สระในคาว่า “apple”}
7.  ____ เซตของจานวนจรงิ ท่อี ยรู่ ะหวา่ ง 3 กับ 6
8. เสอื ดาว ____ {เสอื }

5

วิชาคณติ ศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรื่อง เซต

จานวนสมาชกิ ของเซต ใช้ n(A) แทนคาว่า “จานวนสมาชิกของเซต A” ซึ่งจะนับสมาชิกท่ี

แตกต่างกันถา้ สมาชิกซา้ กันจะนบั เป็นตัวเดยี ว

เชน่ A  1, 2, 3, 4 และ n(A)  4

ตวั อย่างที่ 7 ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้มจี านวนสมาชกิ กี่ตวั และมีอะไรบา้ ง

1. A  {1, 2,3, 2, 2,1} n(A)  ………………………….

2. B  {123} n(A)  ………………..……….

3. C  {1,{1},{{1, 2}}} n(A)  ………………………….

4. D {x | x เป็นเซตของพยญั ชนะในคาวา่ mangosteen }

n(A)  ……………………………………..

ตวั อย่างท่ี 8 จงบอกจานวนสมาชิกของเซตตอ่ ไปน้ี

1. A  {1234}
2. B  {3, 4,6,8}
3. C  {a, b,c,de,f,gh,ijk}

4. D  {x I | x อยรู่ ะหวา่ ง 10 และ 20}
5. E {x | x เป็นจานวนเต็มบวกทน่ี อ้ ยกวา่ 10}

6

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรอื่ ง เซต

Worksheet2 สมาชิกของเซต

ช่อื - นามสกลุ ………………………………………………………….ช้ัน ม.4/……….……. เลขท่ี…………………

ตอนที่ 1 จงเตมิ  หรือ  ลงในชอ่ งวา่ ง
1.1 0____ เซตของจานวนเตม็ ลบท่นี ้อยกวา่ 1
1.2 ก ____ เซตของพยญั ชนะในคาวา่ “มกราคม”
1.3  ____ เซตของจานวนจรงิ ทีอ่ ยรู่ ะหวา่ ง 3 กบั 4
1.4 -2____เซตของจานวนเตม็ บวกทสี อดคล้องกบั สมการ x2  4
1.5 0____ เซตของจานวนเต็มบวกทสี่ อดคลอ้ งกบั สมการ x2  0
1.6 1____ เซตของจานวนเฉพาะ
1.7 0____ เซตของจานวนนบั
1.8 -1 ____ เซตของจานวนเตม็ ลบทมี่ คี ่านอ้ ยทสี่ ุด
1.9 มดแดง ____ เซตของมด
1.10 1____ {3,2,1,0}

ตอนท่ี 2 จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดต่อไปน้ี ถูกหรือผดิ โดยทาเคร่ืองหมาย  หนา้ ข้อทถ่ี ูกและทาเครอ่ื งหมาย
 หน้าข้อที่ผิด

2.1 _____ 6{5,6,7}
2.2 _____ 20  เซตของจานวนคู่ทอี่ ยรู่ ะหว่าง 20 และ 30
2.3 _____ สามเหล่ยี มมมุ ฉาก เซตของสามเหลยี่ ม
2.4 _____ 4.53เซตของจานวนจรงิ ท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 3 กบั 5
2.5 _____ นกกระจอกเทศ  เซตของนก
2.6 _____ 3  {1,2,3,4,5 }
2.7 _____ รถไฟฟ้า  {รถ}
2.8 _____ 15  เซตของจานวนเฉพาะ
2.9 _____ โลก  เซตของระบบสรุ ยิ ะ
2.10_____ 3  เซตของจานวนจริงทีอ่ ยรู่ ะหว่าง 1กบั 2

7

วิชาคณิตศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 เรอื่ ง เซต

ตอนที่ 3 จงบอกจานวนสมาชกิ ของเซตต่อไปน้ี

คาถาม คาตอบ

3.1 A  {1, 2,3} ………………………………………………………………………….

3.2 B  {2,{2},{1, 2},3} ………………………………………………………………….………

3.3 C  {3, 4,{2,{5}},6,7} …………………………………………………………………………

3.4 D  {x   | 2 x1 มคี า่ นอ้ ยกวา่ 10} ………………………………………………………………………….
………………………………………………………………….………
I …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….
3.5 E {x I | x เปน็ จานวนเฉพาะคี่ และมคี า่ ………………………………………………………………….………
…………………………………………………………………………
น้อยกวา่ 20} ………………………………………………………………………….

3.6 G {x | x เปน็ จานวนเตม็ บวกที่นอ้ ยกว่า 10}

3.7 F  {a,ab,abc,abcd, b,c}

3.8 H  {x  N | x2  3x 4  0}

3.9 I  {x | x(x2 1)(x 2)  0}

3.10 J  {x  N | x2  5}

8

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 เร่ือง เซต

ชนดิ ของเซต

ชนดิ ของเซต แบ่งออกเปน็

1. เซตจากัด (finite sets) หมายถึง เซตทส่ี ามารถบอกจานวนสมาชิกทีแ่ ตกตา่ งกนั ในเซตได้

เปน็ จานวนเต็มบวก หรอื ศนู ย์ เช่น {1,2,3, … 20}

เซตวา่ ง หมายถงึ เซตท่ีไมม่ สี มาชิก เซตวา่ งเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ “{ }” หรือ “ ”

ข้อสงั เกต ……………………………………………………………………………..

2. เซตอนันต์ (infinite sets) หมายถึง เซตท่ีไม่ใช่เซตจากัด คอื ไมส่ ามารถบอกจานวนสมาชิก

ทแ่ี น่นอนได้ เช่น1,2,3,..., เซตของจานวนเตม็ ทหี่ ารดว้ ย 3 ลงตัว, เซตของจุดบนเสน้ ตรง

ตวั อยา่ งท่ี 9 ใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาเซตท่กี าหนดให้ทางซ้ายมอื ของตารางว่าเปน็ เซตชนดิ ใด

เซต เซตวา่ ง เซตจากดั เซตอนนั ต์

1. {1, 2,3, } …………………. …………………. ………………….
……………….… ……………….… ……………….…
2. {x  I | x x  1} ……………..….. ……………..….. ……………..…..
…………………. …………………. ………………….
3. {x | x x 1}
4. {x | x เปน็ จานวนจริงระหว่าง 5 กบั 8}

5. {x | x เป็นจานวนเต็มระหวา่ ง 5 กับ 8} …………………. …………………. ………………….

6. {y  I | 2 y1  0} }} ………………….. ………………….. …………………..
7. {y  R | 2 y1  0} ………………….. ………………….. …………………..
8. {x  I | x2  0} ………………….. ………………….. …………………..
9. {1, 2,{3, 4,5}} ………………….. ………………….. …………………..
10. {2,{2},{2, 4},{2, 4,6, …………………… …………………… ……………………

ตวั อย่างที่ 10 จงพจิ ารณาและเตมิ คาลงในชอ่ งว่าง

เซต จานวนสมาชกิ ของเซต ชนิดของเซต

1. {1, 2,3, 4,9} ………………………………… …………………………………
2. {2, 4,6,8, ,50} ………………………………… …………………………………
3. {1, 2,3, } ………………………………… …………………………………
4. {x | x เป็นจานวนเตม็ ระหวา่ ง 5 กบั 7} ………………………………… …………………………………
5. {x | x เป็นจานวนเตม็ ระหว่าง 5 กับ 6} ………………………………… …………………………………
6. {a, b,c, , z} ………………………………… …………………………………
7. {x I | x2  0} ………………………………… …………………………………
8. {x  I | x2  0} ………………………………… …………………………………

9

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เร่อื ง เซต

Worksheet3 ชนดิ ของเซต

ช่ือ - นามสกุล………………………………………………………….ช้นั ม.4/……….……. เลขท่ี…………………

ขอ้ ท่ี คาถาม คาตอบ
1. เซตต่อไปนเี้ ป็นเซตจากัดหรอื เซตอนนั ต์
………………………………………………………………
1.1 {1, 2,3, ,10} ………………………………………………………………
1.2 {} ………………………………………………………………
1.3 {R} ………………………………………………………………
1.4 {x | x เป็นจานวนค่ี } ………………………………………………………………
1.5 {x | x เป็นจานวนเตม็ ทมี่ ากกว่า 0} ………………………………………………………………
1.6 {x | x เป็นจานวนคู่ท่ีน้อยกวา่ 1,000} ………………………………………………………………
………………………………………………………………
1.7 {x | x  1 , โดยที่ n เป็นจานวนนบั } ………………………………………………………………
………………………………………………………………
n ………………………………………………………………
………………………………………………………………
1.8 {x | x  1 , โดยท่ี n เปน็ จานวนนบั ท่นี อ้ ยกวา่ 999}
………………………………………………………………
n ………………………………………………………………
………………………………………………………………
1.9 {x | x เปน็ จานวนเต็มท่ีหารด้วย 3 ลงตัว } ………………………………………………………………
1.10{x | x เป็นจานวนเต็มท่ีหารด้วย 3 ลงตัวและมคี ่าไมเ่ กิน 200} ………………………………………………………………
………………………………………………………………
2. เซตตอ่ ไปนีเ้ ซตใดเปน็ เซตวา่ ง ………………………………………………………………
2.1 สระในคาว่า “WOMAN” ………………………………………………………………
2.2 เซตของจานวนเตม็ ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ x  8  8 ………………………………………………………………
2.3 เซตของจานวนเตม็ ทส่ี อดคล้องกบั สมการ x2  5  0 ………………………………………………………………
2.4 เซตของจานวนเตม็ ทสี่ อดคล้องกบั สมการ x  x  x x
2.5 เซตของจานวนเฉพาะทลี่ บด้วย 1 หารดว้ ย 2 ลงตัว
2.6 เซตของตวั ประกอบของ 1,000
2.7 เซตของพยัญชนะในคาวา่ “MISSISSIPI”

2.8 D  {x  I | x  1 1 และ y  I  และ y  3 }

y

2.9 {{}}
2.10 เซตของจานวนนับทน่ี ้อยกว่า -1

10

วิชาคณติ ศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรอื่ ง เซต

เซตทเ่ี ทา่ กนั และเซตเทยี บเทา่ กัน

จงเติมตารางโดยใสเ่ ครอื่ งหมาย  เมอื่ เซตแตล่ ะคมู่ ีสมาชกิ เหมือนกันทกุ ตัว
เซต A เซต B สมาชกิ เหมือนกนั ทุกตัว

{4,3, 2} {2, 4,3}
{2, 3, 5, 5} {1,3, 2,5}
{a, b, c} {a, b, c, a}
{a, b, c} {2,5, 7}
{1, 2,3, } {1, 2,3, ,100}
{2, 4, 6, ,100} {2, 4, 6, ,100}
{1,3,5, ,99} {2, 4, 6, ,100}
{a,{b}} {a, b}
{{a, b}} {a, b}

เซตแต่ละค่ทู ม่ี สี มาชกิ เหมอื นกนั ทกุ ตวั เรียกว่า ………………………………………………………………………………..
เซตแต่ละคูท่ มี่ ีจานวนสมาชกิ เทา่ กันทกุ ตวั เรียกว่า ……………………………………………………………………………
เซตที่เท่ากัน (equal set)

เซต A เท่ากบั เซต B กต็ ่อเมื่อ ทั้งสองเซตมสี มาชกิ เหมือนกนั ทุกตัว เขียนแทนด้วย A = B
แต่ ถ้ามีสมาชกิ อย่างนอ้ ย 1 ตัว ของเซต A ไม่เปน็ สมาชิกของเซต B แลว้ เซต A ไมเ่ ทา่ กบั เซต B

เขียนแทนดว้ ย A ≠B
เช่น A = {1,2,3} , B = {3,1,2}  A = B

A = {3,5,7,9} , B = {x | x = 2n+1 และ n I และ 1 x  4}  A = B
A = {2,3,4} ; n(A) = 3 , B = {234} ; n(B) = 1  A ≠ B เพราะอย่างนอ้ ย n(A) ≠ n(B)
ตวั อยา่ งท่ี 11 เซตต่อไปนี้ เซตใดบา้ งเปน็ เซตทเ่ี ทา่ กนั

1. ให้ U คือเซตของอักษรไทย
A {xU | x แทนพยัญชนะในคาวา่ “กรรมการ”}
B {xU | x แทนพยญั ชนะในคาวา่ “มรรคา”}
C {xU | x แทนพยญั ชนะในคาวา่ “มกราคม”}
D {xU | x แทนพยญั ชนะในคาว่า “รากไม”้

2. E {7,14,21, ,343} , F {x | x  7n และ n N และ n  50 }

3. K {n I | n  25} , L {mI | m  25}

11

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 เรอื่ ง เซต

เซตเทียบเทา่ กนั (equivalent set)
เซตเทียบเท่ากนั คือ เซต A เทียบเท่ากบั เซต B หมายถึง กต็ อ่ เมอ่ื เซต A และ เซต B มีจานวน
สมาชิกเทา่ กนั หรอื เซต A สามารถจับคู่แบบหนึง่ ตอ่ หน่ึงได้พอดี
เชน่ A = {a, b, c} , B = {1,2,3}  A เทยี บเทา่ กบั B แต่ A ≠ B
A = {-1, 0, 1} , B = {-1,1,0}  A เทียบเทา่ กับ B และ A = B
A = {2, 4, 6} , B = {0,8}  A ไม่เทียบเท่ากับ B และ A ≠ B
ขอ้ สงั เกต 1. ถา A และ B เปนเซตจากดั เรยี กวา A เทยี บเทากบั B เมอ่ื n(A) = n(B)

2. ถา A และ B เปนเซตอนนั ต เรยี กวา A เทยี บเทากบั B เม่ือสามารถนาสมาชกิ ทกุ ตัว

ของ A และ B มาจับคกู นั แบบหน่งึ ตอหน่ึงได

ตวั อยา่ งที่ 12 จงพิจาณาว่าเซตท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ีเซตใดบา้ งทเ่ี ท่ากนั หรือเทยี บเทา่ กนั
1. A {1,3,5,7} , B {7,3,1,5}
………………………………………………………...
2. C {2,4,6} , D {4,6,2,6}
………………………………………………………...
3. A  {x I |1 x  4} , B  {x  I | x2  4  0} , C  {x  I | x2  5x 6  0}
………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. X {x | x เป็นจานวนเต็มค่ที นี่ อ้ ยกว่า 10} , Y {1,3,5,7,9}
………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. ให้ U เป็นเซตของอกั ษรไทย

C {xU | x แทนพยญั ชนะในคาวา่ “ซอกซอน”}
D {xU| x แทนพยัญชนะในคาวา่ “ซ้อนกัน”}

………………………………………………………………………………………………………..………………………………
6. E {x Q | 2x 6  0} , F  {x  I | 4  x 1}
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………

12

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 เร่ือง เซต

Worksheet4 เซตที่เทา่ กันและเซตเทยี บเทา่ กัน

ชอ่ื - นามสกลุ ………………………………..……………………………………….ชั้น ม.4/……….……. เลขท่ี…………………

1. พจิ ารณาเซตตอ่ ไปนี้เป็นเซตเท่ากันหรือไม่
1.1 A  {x I | x 10 และหารดว้ ย 2 ลงตัว } , B  {x |1  x 10}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................
1.2 M  {x | x2  x  0} , N  {x | x1  0}

ตอบ ……………………………………………………......................................................................................................................................

1.3 P  {x | x1 2 และ y  I  และ y  6}

y

Q  {3, 2,11 ,11 ,1 2}
345

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................
1.4 R  {x | x N และ x2  81} , S  {9,9}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................
1.5 A  {x | x 2  2  y โดยที่ x  y}

B  {x | x 2  2x}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................

1.6 P  {x | x  1}

x

Q  {x | x  x}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................
1.7 C  {y  N | y เป็นตวั ประกอบของ 40}

D  {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................

1.8 S  x | x x 
y 

y 

R  {x | x2 | x |}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................
1.9 A  {x  I | x2  10}

B  {0, 1, 2, 3}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................
1.10 A  {x | x เปน็ เลขโดดที่ใช้ในระบบเลขฐานสบิ }

B  {y | 0  y  10}

ตอบ …………………………………………………………................................................................................................................................

13

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เร่อื ง เซต

สับเซต (Subsets)

บทนิยาม เซต A เปน็ สับเซตของ B กต็ อ่ เมอ่ื สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B

A เปน็ สับเซตของ B เขยี นแทนด้วย A  B

เชน่ A  {3, 4} , B  {1, 2,3, 4,5} จะได้ A  B

เซต A ไม่เป็นสบั เซตของ B ก็ตอ่ เม่อื มีสมาชกิ อย่างน้อยหนง่ึ ตัวของเซต A ทไี่ ม่เป็นสมาชิกของ B

A ไม่เป็นสบั เซตของ B เขยี นแทนด้วย A  B

เช่น A  {1,2} , B  {1,3,5} จะได้ A  B และ B  A

ตัวอยา่ งที่ 13 จงเติมเคร่อื งหมาย  และ  ลงในช่องว่างให้สมบรู ณ์

กาหนดให้ A  {1}, B  {1,3}, C  {1,5,9}, D  {1, 2,3, 4,5}, E  {1, 2,5,7,9}, F  {1, 2,3, ,9}

1.  ________ A 2. A ________B 3. B ________C

4. B ________ E 5. C ________D 6. C ________E

7. D ________ E 8. D ________F 9. B ________B

10. F ________ E 11. F ________D 12.  ________F

วิธีการสรา้ งสบั เซต

การสรา้ งสบั เซต เมอ่ื กาหนดเซตจากดั ใดมาให้ จะสามารถสรา้ งสบั เซตของเซตน้ันเรม่ิ จาก

1. สับเซตทีม่ สี มาชิกเทา่ กบั สมาชิกเดิมทงั้ หมด n ตัว

2. สับเซตทมี่ ีสมาชกิ เพียง n-1 ตวั

3. สับเซตทไ่ี มม่ ีสมาชิก นัน้ คอื เซตวา่ ง 

ตวั อยา่ งที่ 14 U {2} จงหาสับเซตของเซตท้งั หมดของเซต U
วิธที า เซตทม่ี สี มาชกิ 1 ตัว ไดแ้ ก่ ……………………………………….

เซตทม่ี ีสมาชิก 0 ตัว ได้แก่ ……………………………………….
สบั เซตท้งั หมดของเซต U คือ ……………………………………………………………………………………..………………….

ตัวอย่างท่ี 15 A {1,2} จงหาสบั เซตของเซตท้ังหมดของเซต A
วิธีทา เซตทีม่ สี มาชิก 2 ตัว ได้แก่ ……………………………………….

เซตท่ีมสี มาชิก 1 ตวั ไดแ้ ก่ ……………………………………….
เซตทม่ี สี มาชิก 0 ตัว ไดแ้ ก่ ……………………………………….
สับเซตท้ังหมดของเซต A คอื ……………………………………………………………………………………..………………….

14

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 เรือ่ ง เซต

ตวั อย่างท่ี 16 B {2,3,5} จงหาสบั เซตของเซตท้ังหมดของเซต B

วิธีทา เซตท่มี สี มาชกิ 3 ตัว ได้แก่ ……………………………………….

เซตทม่ี ีสมาชกิ 2 ตัว ได้แก่ ……………………………………….

เซตทีม่ สี มาชิก 1 ตวั ไดแ้ ก่ ……………………………………….

เซตทมี่ สี มาชกิ 0 ตัว ไดแ้ ก่ ……………………………………….

สบั เซตท้ังหมดของเซต B คอื …………………………………………………………………………………..…………………….

ตัวอยา่ งท่ี 17 C {{1},{2},{1,2}} จงหาสบั เซตของเซตทง้ั หมดของเซต C

วธิ ีทา เซตทม่ี ีสมาชิก 3 ตวั ไดแ้ ก่ ………………………………….……………….

เซตทม่ี ีสมาชิก 2 ตวั ไดแ้ ก่ ………………………………………………….

เซตท่ีมสี มาชิก 1 ตวั ไดแ้ ก่ …………………………..…………………….

เซตทม่ี สี มาชิก 0 ตัว ไดแ้ ก่ ……………………………..………………….

สับเซตทง้ั หมดของเซต C คอื …………………………………………………………………………………..…………………….

ตวั อยา่ งที่ 18 D {1,{1},{{1}}} จงหาสบั เซตของเซตทัง้ หมดของเซต D

วิธที า เซตท่มี สี มาชกิ 4 ตัว ไดแ้ ก่ ………………………………………………….

เซตทม่ี ีสมาชิก 3 ตวั ได้แก่ ………………………………………………….

เซตทม่ี สี มาชกิ 2 ตัว ไดแ้ ก่ ……………………………….………………….

เซตท่มี สี มาชกิ 1 ตวั ได้แก่ ………………………………………………….

เซตทมี่ ีสมาชิก 0 ตัว ไดแ้ ก่ ………………………………………………….

สับเซตทงั้ หมดของเซต D คือ …………………………………………………………………………………..…………………….

ตัวอย่างท่ี 19 E {1,3,5,7} จงหาสบั เซตของเซตทงั้ หมดของเซต E

วิธีทา เซตท่มี สี มาชกิ 4 ตัว ไดแ้ ก่ ………………………………………………….

เซตทม่ี ีสมาชกิ 3 ตวั ได้แก่ ………………………………………………….

เซตทม่ี สี มาชิก 2 ตวั ได้แก่ ……………………………….………………….

เซตท่ีมสี มาชกิ 1 ตัว ได้แก่ ………………………………………………….

เซตทม่ี สี มาชิก 0 ตวั ไดแ้ ก่ ………………………………………………….

สับเซตทงั้ หมดของเซต E คอื …………………………………………………………………………………..……………………

จานวนซับเซต ให้ A เปน็ เซตใดๆ n(A) แทน จานวนสมาชกิ ของเซต A แลว้ และ n(A)= k
จานวนสบั เซตท้ังหมดของเซต A  2n(A)  2k

15

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรือ่ ง เซต

ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั สบั เซต

กาหนด A,B และ C เป็นเซตใดๆ แลว้

1. A  A

2. A

3. ถ้า A  B และ B  A แลว้ A  B

4. ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C

5. ถ้า A  B แลว้ n(A)  n(B)

สับเซตแท้ (proper subset)

บทนยิ าม สับเซตแท้ (proper subset) ของ A คือ สบั เซตทงั้ หมดของ A ยกเว้นตัวมันเอง (ยกเว้น A)
เขียนแทนดว้ ย A  B

ข้อสงั เกต เก่ยี วกบั สับเซตแท้
1. เซตท่ีไม่มสี บั เซตแท้ คือ ……………………………..

2. จานวนสบั เซตแท้ = 2k 1 (ลบออกจากตัวมนั เอง 1 ตัว) สับเซต
3. A เป็นสบั เซตแทข้ อง B ก็ตอ่ เมอื่

(a) A  B
และ (b) n(A) < n(B)

4. A ไม่เป็นสบั เซตแท้ของ A (ตัวมนั เอง ไมเ่ ปน็ สบั เซตแท้ ของตวั มนั เอง)

ตัวอย่างท่ี 20 กาหนด A {,1,2,3,{},{1},{1,2}} จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ตอ่ ไปนี้ ถกู หรอื ผดิ

_______1.{1,2}  A _______6.{2,{2}}  A

_______1.{1,2}  A _______6.{2,{2}}  A

16

วิชาคณิตศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรอื่ ง เซต

Worksheet5 สับเซต

ชือ่ - นามสกลุ ………………………………..……………………………………….ชัน้ ม.4/……….……. เลขท่ี…………………

ตอนท่ี1

คาช้แี จง จงพจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้ วา่ ถูกหรือผดิ ใส่  หน้าข้อถูกและ ใส่  หนา้ ขอ้ ผิด

1. กาหนดให้ U  {1, 2,3, 4} 2. กาหนดให้ D  {a, b,c} 3. กาหนดให้ A  {3,{1,3}, 4}

1.1 ______ 3 U 2.1 ______ a  D 3.1 ______ {1,3} A

1.2 ______ 4 U 2.2 ______{a, b} D 3.2 ______ {3} A

1.3 ______ {2}U 2.3 ______   D 3.3 ______ {3}  A

1.4 ______ {2,3}U 2.4 ______ c  D 3.4 ______ {3, 4}  A

1.5 ______ {0, 4}  U 2.5 ______{b}  D 3.5 ______ {3,{1,3}} A

1.6 ______   U 2.6 ______ {a, b,c}  D 3.6 ______ {4}  A

1.7 ______ {0, 2,3, 4} U 2.7 ______    3.7 ______ {1,3}  A

1.8 ______ {0, 2, 3, 4}  U 2.8 ______   {a, b,c} 3.8 ______ A  {3,{1,3}, 4}

2.9 ______ D  {a, b,c} 3.9 ______   A

2.10 ______ D   3.10 ______ {{3}}  A

ตอนท่ี 2 คาตอบ
ข้อ คาถาม
4. จงหาสบั เซตท้ังหมดของเซตตอ่ ไปน้ี …………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………..…..……………………
4.1 {1} ……………………………………………………………………….……………………………
4.2  …………………………………………………………………….……………………………...
4.3 {} ……………………………………………………………………………………………………
4.4 {,{}} ………………………………………………………………………………………….…………
4.5 {{}} ……………………………………………………………………………………….…………...
4.6 {{1, 2},1} …………………………………………………………………………………….………………
4.7 {{1,{2, 4}}} …………………………………………………………………………….………………………
4.8 {2,{3,{5}},6} …………………………………………………………………………………………………….
4.9 {{,{}}}
4.10 {2,{1, 2},{2}}

5. จงหาจานวนสบั เซตแท้ของเซตทม่ี สี มาชิก 4 ตัว = …………………………………………………………………………………

17

วิชาคณติ ศาสตร์ 1 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรื่อง เซต

เพาเวอรเ์ ซต (Power sets)

บทนยิ าม ถา้ A เป็นเซตใดใด เพาเวอรเ์ ซตของ A คอื เซตทีป่ ระกอบดว้ ยสมาชกิ ที่เป็นสบั เซตทัง้ หมดของ A
1.) ใช้ “P(A)” แทน เพาเวอร์ของเซต A
2.) นยิ าม P(A) โดยภาษาคณิตศาสตร์ คือ P A {x | x  A}

หลักการเขยี นเพาเวอรเ์ ซต
1.) เขียนสบั เซตก่อน
2.) เขียนเครอื่ งหมายปกี กาคลมุ หวั ทา้ ย

เชน่ กาหนดให้ A {1,2,3} เซตของสบั เซตทั้งหมดของ A หรือ เพาเวอรเ์ ซตของ A คือ

{,{1},{2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3},{1, 2,3}}

ตวั อย่างที่ 21 H {2} จงหาเพาเวอรเ์ ซตทง้ั หมดของเซต H

P H  …………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อย่างท่ี 22 A {1,2} จงหาเพาเวอรเ์ ซตทง้ั หมดของเซต A

P A  …………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อย่างที่ 23 B {2,3,5} จงหาเพาเวอรเ์ ซตทง้ั หมดของเซต B

P B  ……………………………………………………………………………………………………………………..……………………

ตวั อยา่ งท่ี 24 C {{1},{2},{1,2}} จงหาเพาเวอรเ์ ซตทงั้ หมดของเซต C

P C  …………………………………………………………………………………………………………………………….……………

ตวั อย่างที่ 25 D {1,{1},{{1}}} จงหาเพาเวอร์เซตทงั้ หมดของเซต D

P D  …………………………………………………………………………………………………………………………………….……

ตัวอยา่ งที่ 26 E {1,3,5,7} จงหาเพาเวอรเ์ ซตทง้ั หมดของเซต E
PE  …………………………………………………………………………………………………………………………………………

การตรวจสอบการเปน็ สมาชกิ และ สับเซต ของ Power sets
การตรวจสอบการเปน็ สมาชกิ หรือการเปน็ สบั เซต นอกจากจะใช้วิธกี ารแจกแจงสมาชกิ ของ P(A)

แล้วอาจใชว้ ิธีตอ่ ไปน้ี ตรวจสอบก็ได้ เช่น A {a,b}
1.) ใสป่ ีกกา ครอบสมาชกิ ของ A หน่งึ ชน้ั จะเป็นสมาชิกของ P(A)
a  A และ {a}P(A)
2.) ใสป่ ีกกา ครอบสมาชิกของ A สองช้ัน จะเป็นสบั เซต P(A)

a  A  {a} P(A)  {{a}} P(A)

18

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 เรื่อง เซต

สมบตั ิของ Power sets
กาหนด A และ B เปน็ เซตจากัด
1.) ถา้ n(A) = k แลว้  n [P(A)]= 2n(A) = 2k

 n [(P(P(A))] = 22k

2.) P(A) จะไม่มีโอกาสเปน็ เซตวา่ ง ไมว่ ่า A จะเปน็ เซตใดๆ กต็ าม P(A)  
3.) P(A) เสมอ
4.) AP(A) เสมอ
5.) สมาชิกของ P(A) ตอ้ งเปน็ เซต เทา่ นนั้

Power set กบั subset 4.) ถ้า A = B แลว้ P(A) = P(B)
5.)   P(A) เสมอ
ทฤษฎบี ท กาหนด A และ B เปน็ เซตใดใด 6.) {A}  P(A) เสมอ และ {P(A)}  P[P(A)]
1.) ถ้า A  B แลว้ P(A)  P(B)
2.) ถา้ P(A)  P(B) แล้ว A  B
3.) ถ้า A  B แลว้

ตัวอยา่ งท่ี 27 กาหนด A {,1,2,3,{},{0},{0,2}} จงพิจารณาว่าข้อตอ่ ไปน้ี ถกู หรอื ผิด เพราะอะไร

1.   P(A) ตอบ……………………………………………………………………………………………………….

2. {}  P(A) ตอบ………………………………………………………………………………………….……………

3. {} P(A) ตอบ………………………………………………………………………………….……………………

4. {{}} P(A) ตอบ………………………………………………………………………………………….……………

5. {0, 2} P(A) ตอบ………………………………………………………………………………………….……………

6. {0, 2}  P(A) ตอบ………………………………………………………………………………….……………………

7. {{0,2}}P(A) ตอบ…………………………………………………………………………………….…………………

8. {{0,2}} P(A) ตอบ…………………………………………………………………………………………….…………

9. {{},2}P(A) ตอบ……………………………………………………………………………………….………………

10. {{},2} P(A) ตอบ…………………………………………………………………………………………..……………

11. {1,2,3}P(A) ตอบ……………………………………………………………………………………………..…………

12. {,{0,2}} P(A) ตอบ……………………………………………………………………………………..…………………

13. {,2,4}P(A) ตอบ………………………………………………………………………………..………………………

14. {{1,2,},{}} P(A) ตอบ………………………………………………………………………………………………………

15. {, 2} P(A) ตอบ………………………………………………………………………………………………………

19

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรื่อง เซต

Worksheet6 เพาเวอร์เซต

ชื่อ - นามสกุล………………………………..……………………………………….ชัน้ ม.4/……….……. เลขท่ี…………………

ตอนท่ี 1 คาช้ีแจง จงพจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี วา่ ถกู หรอื ผิด ใส่  หนา้ ข้อถกู และ ใส่  หน้าข้อผิด

1. กาหนด A {1,2,3,{1,2},{1,2,3}} จงพจิ ารณาว่าข้อต่อไปนถ้ี ูกหรือผดิ

1.1 _____ เซต A เปน็ เซตอนันต์ 1.6 _____ {1,2,3, }A
1.2 _____ {1,2}A 1.7_______{1,2,3, } A

1.3 _____ {1,2}  A 1.8 _____ {1,2}P(A)

1.4 _____ {1,2,3}A 1.9 _____ {1,2,3}P(A)

1.5 _____ {1,2,3}  A 1.10 _______ P(A) เปน็ เซตอนนั ต์

ตอนที่ 2

คาถาม คาตอบ

1. จงหาเพาเวอร์เซตของแต่

ละเซตตอ่ ไปนี้ …………………………………………………………………………………………………………

1.1 {5} …………………………………………………………………………………………………………

1.2 {} …………………………………………………………………………………………………………

1.3  …………………………………………………………………………………………………………

1.4 {{,{}}} …………………………………………………………………………………………………………

1.5 P() …………………………………………………………………………………………………………

1.6 {{}} …………………………………………………………………………………………………………

1.7 {1,{1, 2,3, }} …………………………………………………………………………………………………………

1.8 {,{1,2},{}} …………………………………………………………………………………………………………

1.9 {{a, b},a, b} …………………………………………………………………………………………………………

1.10 {{1, 2,3, }}

2. จงเขยี นเพาเวอรเ์ ซตของเซตทีก่ าหนดใหด้ งั ต่อไปน้ี
2.1 A  {2}
P(A) = …………………………………………….. P(P(A)) = ……………………………………………………………..
2.2 B  
P(B) = …………………………………………….. P(P(B)) = ……………………………………………………………..
2.3 C  {,{}}
P(C) = ……………………………………………..

20

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 เร่อื ง เซต

เอกภพสมั พทั ธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์(Relative Universe) คอื เซตทก่ี าหนดขึน้ เพ่ือจะกาหนดขอบเขตของสง่ิ ทีเ่ ราสนใจ
จะกล่าวถงึ สงิ่ ใดนอกเหนอื จากเอกภพสมั พัทธไ์ ม่ได้ เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ U

การเขยี นเซตแทนดว้ ยแผนภาพ  แผนภาพเวนนแ์ ละออยเลอร์
1.) สาหรับ U คอื (เอกภพสมั พทั ธ์) ใหเ้ ขยี นแทนด้วย สเ่ี หลีย่ มผนื ผา้

2.) สาหรบั เซต A, B, C ใดๆ ให้เขียนแทนดว้ ยรปู วงกลม หรอื รูปวงรี หรอื รปู ปิดใดๆ
AB

3.) เม่ือกาหนด U และเซต A , B ในข้อเดียวกัน (เขียนเซตต่างๆ ใหอ้ ยู่ภายในกรอบของ U )
A BU

รูปแบบความสมั พนั ธระหวางเซตเมือ่ เขียนลงบนแผนภาพเวนน-ออยเลอร์
 เซตที่ไมมสี มาชกิ รวมกนั เลย (disjoint sets)

ถ้าเซตท้งั สองเซต ไม่มีสว่ นซ้ากัน จะวาดออกมาได้เป็นสองวง แยกออกจากกนั
AB

 เซตท่ีมีสมาชิกรวมกนั ( intersecting sets )

ถ้าเซตทงั้ สองเซต มีบางส่วนซา้ กัน จะวาดออกมาได้เปน็ สองวงท่ีมสี ่วนซ้อนกนั

AB

สมาชิกท่มี ใี น A สมาชิกทีม่ ใี น B
แต่ไมม่ ีใน B แต่ไมม่ ใี น A

มีสมาชิกร่วมกันสองเซต

21

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรือ่ ง เซต

 ความสมั พันธท่ี A ทง้ั หมดเปนสมาชกิ ใน B และ B ทั้งหมดเปนสมาชิกใน A
จะวาดออกมาได้เปน็ วงหนึ่งอยขู่ า้ งในอีกวง
AB
BA

ตวั อย่างที่ 28 กาหนด U {2,4,6,8,10,12}, A {2,8,12} , B {6,8,10}
จงเขียนเซตดังกล่าวดว้ ยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

วิธที า พิจารณาเซต A และ B ท่มี ีสมาชิกรว่ มกนั คอื ……. ดงั นนั้ สามารถเขียนแผนภาพได้ดงั นี้

……. ……. ……

ตัวอยา่ งท่ี 29 กาหนด U {1,2,3,4, ,10}, A {1,3,4,5,7} , B {5,6,7,8} , C {3,5}
จงเขียนเซตดงั กล่าวด้วยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

วิธที า พจิ ารณาเซต A , B และ C ที่มสี มาชกิ รว่ มกนั คือ ……. ดังน้นั สามารถเขยี นแผนภาพไดด้ งั นี้

U

………. ……….

………..

22

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 เรอ่ื ง เซต

การดาเนินการระหวางเซต

การดาเนนิ การระหวา่ งเซต (Operation of set)

ในหัวขอ้ น้ีเราจะศึกษาถึงการาเซตตัง้ แต่ 2 เซตขนึ้ ไปมาสร้างเป็นเซตขน้ึ มาใหม่หนง่ึ เซต มาเชื่อม
กนั ด้วย operation ทางเซต โดยมี 4 ชนิด คอื

1. ยูเนียน (Union)
2. อินเตอรเ์ ซกชัน (Intersection)
3. คอมพลเี มนต์ (Complement)
4. ผลตา่ ง (Difference)

การยเู นยี น (Union)

บทนยิ าม ยเู นียนของเซต A และเซต B คือ เซตทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชกิ ซงึ่ เป็นสมาชกิ ของเซต
A หรอื ของเซต B หรอื ของทัง้ สองเซต ยเู นียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A B

A B {x | x  A หรือ x  B หรือ x เปน็ สมาชิกของท้ังสองเซต}

ดูในแง่แผนภาพ A B คอื เอาพ้ืนท่ขี องวง A และพ้ืนทีข่ องวง B

ตัวอยา่ งแผนภาพและแรเงา A B

AB A B B
A

A B
B A

ตัวอยา่ งท่ี 30 กาหนด A {1,7} , B {2,3,5,8} , C {4,5,7,8,9} จงหา A B

1. A  B = …………………………….. 4. (AB)C = …………………………….………….

2. B A = …………………………….. 5. A(BC) = …………………………….………….

3. BC = …………………………….. 6. B = ………………………………………………..

23

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 เร่อื ง เซต

ตัวอยา่ งท่ี 31 กาหนด A {1,2} , B {2,3} จงหา P(A B) และ P(A)  P(B)

1. หา A  B = ……………………………..

จะได้ P(A B) = ……………………………………………………………………………………….

2. จาก A จะไดว้ ่า P(A) = ……………………………………………………………………………..

จาก B จะได้ว่า P(B) = ……………………………………………………………………….……..

ดังนน้ั P(A)  P(B) = ……………………………………………………………………………………….

ขอ้ สงั เกต จากตัวอยา่ งของ Union (∪) จะไดว้ ่า

1. มีสมบัตกิ ารสลบั ที่  ………………………………………………..

2. มีคณุ สมบัตกิ ารจดั หมู่  ………………………………………………..

3. ถา้ A  B แล้วจะได้ A  B  B

4. A  A  B, B  A  B,

5. AU  ……………

6. A  …………….

7. P(AB)  ……………………………………..

อนิ เตอรเ์ ซกชัน (Intersection)

บทนยิ าม อินเตอรเ์ ซกชันของเซต A และเซต B คอื เซตทป่ี ระกอบด้วยสมาชกิ ซึ่งเปน็ สมาชิกของเซต A
และ ของเซต B อนิ เตอร์เซกชันของเซต A และเซต B เขยี นแทนดว้ ย A B

A B  {x | x  A และ x  B}

ดใู นแง่แผนภาพ A B คอื เอาพื้นทขี่ องวง A และวง B ทีซ่ า้ กนั
ตัวอย่างแผนภาพและแรเงา A B

AB B A
A B

A, B BA B

A

C
24

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 4 เรื่อง เซต

ตวั อย่างที่ 32 กาหนด A {1,4,7}, B {2,3,5,8} , C {4,5,7,8,9} จงหา

1. A  B = …………………………….. 6. A(BC) = …………………………….………….

2. BC = …………………………….. 7. A(BC) = …………………………….………….

3. CB = …………………………….. 8. (AB)(AC) = …………………………………

4. (AB) C = …………………….. 9. (AB) (AC) = …………………………………

5. A (BC) = ……………………… 10. B = ………………………………………………..

ตัวอย่างท่ี 33 กาหนด A {1,3,5,7}, B {2,3,5,8} , C {4,5,7,8,9}

จงหา (A BC) A และ (A BC) A

1. ABC = …………………………….…… 2. ABC = …………………………………..………

(ABC) A = ……………………………… (A BC) A = …………………………………………

ตวั อยา่ งท่ี 34 กาหนด A {1,2} , B {2,3} จงหา P(A B) และ P(A)  P(B)

1. หา A  B = ……………………………..

จะได้ P(A B) = …………………………………………………………….…………………………….

2. จาก A จะได้ว่า P(A) = …………………………………………………..……………………………..

จาก B จะได้วา่ P(B) = …………………………………………..……………………………….……..

ดงั นน้ั P(A)  P(B) = ……………………………………………………………………………………….

ขอ้ สงั เกต จากตัวอยา่ งของ Intersection (∩) จะไดว้ ่า

1. มีสมบตั กิ ารสลบั ท่ี  ………………………………………………..

2. มีคณุ สมบัตกิ ารจดั หมู่  ………………………………………………..

3. มสี มบตั กิ ารกระจาย คอื ………………………………………………………………………………………………………

เช่น A(BC) = ………………………………… และ A(BC) = …………………………………………..

4. ถา้ A  B แลว้ จะได้ A  B  A

5. A  B A , A  B B,

6. AU  ………………………………

7. A  ……………………………….

8. P(AB)  …………………………….

25

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 เร่อื ง เซต

คอมพลเี มนต์ (Complement)

บทนยิ าม คอมพลเี มนต์ของเซต A ซึ่งเป็นสบั เซตของเอกภพสัมพัทธ์ U คือเซตทป่ี ระกอบไปด้วยสมาชกิ
ซึ่งเปน็ สมาชกิ ของ U แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชกิ ของ A เขยี นแทนดว้ ย A อา่ นว่า เอไพรม์

A {x | xU แต่ x  A}

ตวั อยา่ งแผนภาพ complement

A A B A, B

A B A A
A AB
B
A

A B (A B)

ตัวอย่างท่ี 35 กาหนด A {1,3,5,7}, B {2,3,5,8} จงหา

1. A = …………………………………………….. 6. AB = …………………………………..………….

2. (A) = ……………………………………..….. 7. A  B = …………………………………..………….
3. ((A)) = ……………………………..……….. 8. AB = ………………………………………………..

4. AA = …………………………….…………. 9. A  B = ………………………………………….…..

5. AA = …………………………….…………. 10.  = …………………………………………..………..

ข้อสังเกต จากตวั อยา่ งของ complement จะไดว้ ่า

1. ( n )  A ,n  I เป็นจานวนคู่ 6. U  ...........
A , n  I เป็นจานวนค่ี 7.  = ………
(A))

2. A  A

3. A  A

4. มีสมบัตกิ ารกระจายคอมพลีเมนต์เขา้ ไปใน ยูเนียนและอนิ เตอรเ์ ซกชั่น

เชน่ A  B = ………………………………………….. และ A  B = …………………………………………..
5. ถ้า A  B แล้วจะได้ B  A

26

วิชาคณติ ศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 เร่ือง เซต

ผลต่าง (Difference)

บทนิยาม ผลต่างระหว่างเซต A และ เซต B คือเซตทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชกิ ของเซต A ซึ่งไม่เป็น
สมาชกิ ของเซต B ผลตา่ งของเซต A และเซต B เขยี นแทนดว้ ย A  B อา่ นว่า A ลบ B

A  B = {x|x  A และ x  B}
B  A = {x|x  B และ x A}

ตัวอย่างแผนภาพ A – B และ B – A

A BA B AB

A-B  A
B

A BA B BB
AA
B-A 

ตัวอยา่ งที่ 36 กาหนด A {1,3,5}, B {2,3,4} , C {1,5,6} จงหา

1. A  B = ……………………………….….. 7. A  = …………………………….…………….….

2. B A = …………………………..…….. 8. C(AB) = …………………………….………….

3. BC = ……………………..………….. 9. C(AB) = ………………………………….……..

4. C B = …………………..……….……. 10. (C A)(C B) = ………………………………..

5. AB = ………………………….….…. 11. (C A)(C B) = …………………………………

6. A = …………………………….…..

ข้อสังเกต จากตวั อยา่ งจาก ผลตา่ ง จะไดว้ ่า

1. A  B ไม่จาเป็นตอ้ งเทา่ กับ B A ซงึ่

A  B B  A ก็ต่อเมอ่ื …………………… และจะได้ว่า A  B B  A = ………………...….

2. มสี มบตั กิ ารกระจาย คือ ………………………………………………………………………………….……..

เช่น C(AB) = …………………………… และ C(AB) = …………………………………….

3. A  B = …………………..

4. U  A  ……………. และ A  U  ………………

5.  A  ……………. และ A    ………………

27

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 เรือ่ ง เซต

สรุปสมบตั ขิ องเซตกบั Operation AU=U
ให้ A,B และ C เปน็ สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ AU  A
A A A
1. กฎการมเี อกลกั ษณ์ (Identity Laws) AB  B A
A  (B C)  (A B)  C
A  A A  (B C)  (A B)  (A C)
A  (B C)  (A B)  (A C)
A  A(A B)  A
(A B)  A B
2. กฎไอเดมโพเทม (Idempotem Laws)
U  
A A A A  A  U

3. กฎการสลับที่ (Communitive Laws) AB  B A
A A
AB  B A
A  A  A และ A  A  A
4. กฎการเปล่ียนกลุ่ม (Associative Laws)
AB  B
A  (B C)  (A B)  C B  A

5. กฎการแจกแจง (Distributive Laws)

A  (B C)  (A B)  (A C)

A  (B C)  (A B)  (A C)

6. Absorption Laws

A(A B)  A

7. De Morgens Laws

(A B)  A  B
(A B C )  A B C
(A B C )  A B C

8. Complement

  U
A  A  
(A)  A

9. ผลต่าง (Difference)

A  B  A  B  B  A

A A
AU  

10. สับเซต (subset)
ถ้า A  B แลว้

AB  A
AB 

11. เซตว่าง (empty sets)

A B   แล้ว A   และ B  
A  B   แล้ว A   หรอื B  

28

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เร่อื ง เซต

Worksheet7 การดาเนนิ การระหวา่ งเซต

ช่ือ - นามสกลุ ………………………………………………………….ช้นั ม.4/……….……. เลขท่ี…………………

ตอนท่ี 1 : แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

1. จากแผนภาพทก่ี าหนด จงหาเซตต่อไปน้ี

U

AC B 1. A = ………………………………………………………

35 2. B = ………………………………………………………
3. C = ………………………………………………………
14 6

82 79

2. จากสงิ่ ทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ี จงเขยี นแผนภาพเซตเหลา่ นัน้ เมอื่ กาหนด U เป็นเซตของจานวนนับ

2.1 A= { 1,2,3,4, … ,10} 2.2 U= { 1,2,3,4, … ,10}

B = {1,3,5,7,9} A= {1,3,5,7,9} , B = {1,3,5}

2.3 U= { 1,3,5,7,9,11,13} 2.4 U= { 1,3,5,7,9,11,13}
A = {1,7,11} , B = {5, 7, 9} A = {1,5,11} , B = {3, 7, 9}

29

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 เรอื่ ง เซต

2.5 U= { 1,2,3,4, … ,10} 2.6 U= { 1,2,3,4, … ,10}
A= {1,3,5,9 } , B = {2,3,5,10}, A= {2,5,6,8,9 } , B = {3,5,7,8},
C= {2,4,8} C= {4,5,7,9}

2.7 U= { 1,2,3,4, … ,10} 2.8 U= { 1,2,3,4, … ,10}
A= {1,3,4,5,7,8} , B = {4,5,6,8,9}, C= {4,5,8} A= {6,8,9 } , B = {1,3,4,5,7},
C= {4,5,8} C= {2,4,5,6,8,9}

3. จงเขยี นเซตให้สอดคลอ้ งกบั แผนภาพ และเตมิ สญั ลกั ษณ์  หรอื  ให้ถูกต้อง
3.1 3.2

A = …………………………………………. A = …………………………………………….
B = …………………………………………. B = …………………………………………….
U = ……………………………………………….. C = ……………………………………………….
A…………B , A…………..U C…………….A , C…………………B

30

วิชาคณิตศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรือ่ ง เซต

3.3 3.4

A = …………………………………………. A = ……………………………………………..
B = …………………………………………. B = ……………………………………………….
A……………B , B……………..A C = ………………………………………………..
C…………A , C…………B
3.5 B…………A , C…………..U

3.6

A = …………………………………………. A = ……………………………………………..
B = …………………………………………. B = ……………………………………………….
C = …………………………………………. C = ………………………………………………..
U = ……………………………………………….. U = ………………………………………………..
B…………A , C…………..A A…………B , B…………..U , C…………U

4. จงแรเงาลงในพน้ื ที่ใหถกู ตอง 4.2 13 เป็นสมาชิกของเซตใด
4.1 พดุ เดลิ้ เปน็ สมาชิกของเซตอะไร
จานวนเฉพาะ เลขคี่
สนุ ขั แมว

จานวนจริง

31

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เร่อื ง เซต

4.3 1 วัน เปน็ สมาชิกของเซตใด 4.4 1 เปน็ สมาชิกของเซตใด

7

3600 วนิ าที 9600 นาที เศษส่วน ทศนิยมซ้า

24 ชว่ั โมง จานวนเตม็

ตอนที่ 2 : การดาเนนิ การระหวา่ งเซต

ขอ้ คาถาม คาตอบ
1. ถ้า A  {,{}} และ B  {,{,{}}} จงหา
……………………………………………………………………………….
1.1 A B ……………………………………………………………………………….
1.2 A  P(A) …………………………………………………………..…………………..
1.3 P(A)  P(B) ………………………………………………………….…………………..
1.4 P(A B) ……………………………………………………………………………….
1.5 {} A
2. กาหนดให้ A,B และ C เป็นเซตใดๆ จงพจิ ารณาว่าข้อความ ……………………………………………………………………………….
ต่อไปนี้ถกู หรือผิด ……………………………………………………………………………….
2.1   A  A …………………………………………………………..…………………..
2.2   A P(A) ………………………………………………………….…………………..
2.3 ถา้ A  A B แล้ว B  A B ……………………………………………………………………………….
2.4 ถา้ A  B และ A  C แล้ว A  B  C
2.5 ถ้า B  A และ C  A แล้ว B  C  A

3. กาหนด A  {1,{1},{1, 2}} และ B  {{1},} จงหา

3.1 P(A)  P(B) ……………………………………………………………………………….
3.2 A  P(B) ……………………………………………………………………………….
3.3 P(A)  A …………………………………………………………..…………………..
3.4  {A} ………………………………………………………….…………………..
3.5 {A}{B,1} ……………………………………………………………………………….

32

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรื่อง เซต

4. กาหนดให้ A,Bและ C เปน็ เซตใดๆ จงพิจารณาว่าข้อ

ตอ่ ไปน้ถี กู หรือผิด

4.1 ถ้า A  B แลว้ A  B  A ……………………………………………………………………………….

4.2 ถ้า A  B และ BC แลว้ A  C ……………………………………………………………………………….

4.3 ถา้ A  B และ P(A)  P(B)  P(A) …………………………………………………………..…………………..

4.4 ถ้า A B เปน็ เซตจากดั แลว้ B(A B) เป็นเซตจากัด ………………………………………………………….…………………..

4.5 ถ้า A  B หรือ A  C แลว้ A  BC ……………………………………………………………………………….

4.6 ถ้า A B  A B แล้ว B  A ……………………………………………………………………………….

4.7 ถ้า A B  B C แลว้ A  C ……………………………………………………………………………….

5. จงแรงเงาแผนภาพแทนเซตที่กาหนดให้ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 5.2 (A B)  C
5.1 A  (A B) AB

AB

5.3 A  (B C) 5.4 B  (A C)

5.5 (A C)  B 5.6 A  (B C)

33

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เรื่อง เซต

5.7 (A B)  (C A) 5.8 (A B)  (A C)

ขอ้ คาถาม คาตอบ
6. ให้ U {0,1,2,{2},{1,2}},A {0,1,2}, B {1,2,{2}}
……………………………………………………………………………….
จงพจิ ารณาว่าข้อตอ่ ไปน้ีถูกหรือผิด ……………………………………………………………………………….
6.1 (A  B) - A=B ……………………………………………………………………………….
6.2 (A B)  (A B)  A B
6.3 A  (A B)  A B

7. ถ้า A  B C  {1, 2,3, ,10} , A  {1,3,5, 7,9} , B  {1, 4,5,9,10} และ

(A B)  C  {1,5,9}

จงหาเซต C
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. กาหนดให้ U ={2, 3, 4,5,6,7,8,9}, A  {5,6,7} , B  {6,7,8,9} และ C  {2,3, 4,5} จงหา

8.1 P(A)  P(A) 8.2 P(A)  P(C)

…………………………………………………………. ……………………………………………………………

………………………………………………………… ……………………………………………………………

8.3 P(A)  P(B) 8.4 P(C A)  P(C B)

…………………………………………………………. …………………………………………………………

………………………………………………………… ……………………………………………………………

8.5 P(A)  P(B)  P(C)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

34

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 เรือ่ ง เซต

9. กาหนดให้ U ={1, 2, 3, ,8}, A  {1, 2,3, 4} , B  {4,5,6,7} และ C  {4,5,8} จงหา

5.1 A  B 5.2 A  (B C)

…………………………………………………………. ………………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………………

5.3 (A B)  C 5.4 A  (B C)

…………………………………………………………. ………………………………………………………………

………………………………………………………… ………………………………………………………………

5.5 A  (B C) 5.6 A  (B C)

…………………………………………………………. ………………………………………………….……………

………………………………………………………… ……………………………………………….………………

5.7 (B C)  (B C) 5.8 B  (B C)

…………………………………………………………. ……………….………………………………………………

………………………………………………………… ……………………………………………….………………

5.9 A  (A B C) 5.10 (A C)  (B A)

…………………………………………………………. …………………………………………………………………

……………………………………………….………… …………………………………………………………………..

35

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 เรอื่ ง เซต

จานวนสมาชิกของเซตจากดั

การหาจานวนสมาชิกของเซต สามารถทาไดส้ องวธิ ี คอื
1. หาโดยใชแ้ ผนภาพ
2. หาโดยใชส้ ตู รการหาจานวนสมาชิกของเซต

การหาโดยใช้แผนภาพ

หลกั การโดยทว่ั ไป

1. เขยี นแผนภาพแทนเซตตา่ งๆ

2. การเขยี นตัวเลขแสดงจานวนสมาชิกของเซต ให้ยดึ หลกั ดงั น้ี

2.1 ถ้ารู้วา่ จานวนสมาชกิ ส่วนใดส่วนหนง่ึ ของเซต ก็ให้เขยี นลงในส่วนน้ันไดเ้ ลย

2.2 ถา้ ตัวเลขนน้ั แสดงปรมิ าณครอบคลุมพนื้ ที่หลายสว่ นใหเ้ ขียนเลขน้ันไวน้ อกแผนภาพกอ่ น

3. บางครงั้ พื้นทบ่ี างสว่ นไม่ทราบปรมิ าณของสมาชิก อาจสมมตุ ิใหเ้ ป็น x, y

4. การแกป้ ญั หาบางครงั้ อาจมกี ารแกส้ มการ เพอ่ื หาค่า x, y

แผนภาพแบบ 2 วง

ตัวอยา่ งท่ี 37 ถ้า n(A) 10 , n(B)  8 และ n(A B)  5 แล้ว จงหา n(A  B)

วิธีทา เขียนแผนภาพ

A = 10 B=8

…….. ……. ..…… ดังนัน้ n(A  B)  ……………………. #

ตวั อย่างที่ 38 ถ้า n(A)  5 , n(B)  7 และ n(A  B) 10 แลว้ จงหา n(A B)

วิธที า เขียนแผนภาพ

ให้ A  B  x จะไดว้ ่า A = 5 B=7

…… x …….

จากแผนภาพจะได้  n(A  B)  ………………… #
n(A B) = .........................

…..…………… = ………………………
…..……..…… = ………………………

36

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรอื่ ง เซต

ตวั อยา่ งท่ี 39 ถา้ U เป็นเอกภพสมั พัทธ์ A และ B เปน็ เซตใดๆ ที่อยใู่ นเอกภพสัมพทั ธ์

ถา้ n(U) 100 , n(A)  50 , n(B)  40 และ n(A  B)  20 จงหา

วธิ ีทา U =100

A = ….. B = ……

…..

1. n(A B) = …………………………………………………………..
2. n(A B) = …………………………………………………………..
3. n(B A) = ……………………………………………………………
4. n(A B) = n(A B) = …………………………………………..
5. n(A B)  n(A B) = ……………………………………………
6. n(A B)  n(A B) = …………………………………………

ตัวอยา่ งที่ 40 ถา้ A และ B เปน็ เซตจากดั ทอ่ี ยใู่ นเอกภพสมั พทั ธ์ U
ถา้ n(U)  20 , n(A) 10 , n(B)  8 และ n(A B)  5 แล้ว จงหา

วิธที า

1. n(A B) = ……………………………………………………….………………….
= ………………………………………………………..…………………..
= ………………………………………………………………………………

2. n(A B) = ………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………
= ……………………………………………………………………………….

3. n(B A) = ………………………………………………………………………………..
= ………………………………………………………………………………..
= ………………………………………………………………………………..

37

วิชาคณติ ศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 เร่ือง เซต

4. n(A B) = …………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………..

= ………………………………………………………………………………..

5. n(A B) = n(A B)

= …………………………………………………………………….…………..

= …………………………………………………………………….….………..

6. n(A B) = ………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………..……….

7. n(B) = ………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………………….

8. n(A B) = n(A B)

= ………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………..……

ตัวอยา่ งที่ 41 ถา้ U เปน็ เอกภพสมั พทั ธ์ A,B และ C เปน็ เซตใดๆ ที่อยใู่ นเอกภพสัมพทั ธ์
ถ้า n(U) 100 , n(A)  45 , n(B)  40 , n(C)  35, n(A B)  10 , n(AC)  14 ,
n(B C)  12 และ n(A B C) 1 จงหา n(ABC)
วิธที า กาหนดให้ …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….………………….….……………
………………………………………………………………………………….………………………………………..…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….………………….….……………
………………………………………………………………………………….………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………………………….………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………...

38

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4 เรือ่ ง เซต

แผนภาพแบบ 3 วง

ตัวอยา่ งท่ี 42 ถา้ U เปน็ เอกภพสัมพัทธ์ A,B และ C เปน็ เซตใดๆ ทอ่ี ยใู่ นเอกภพสัมพทั ธ์

ถ้า n(U)  200 , n( A B C)  80 , n(A)  40 , n(B)  30 และ n(C  (A  B))  35

จงหา n(AB) , n(A B) และ n(A B)

วธิ ีทา กาหนดให้ …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………….………………….…….…………
………………………………………………………………………………….………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….…………………….….…………
……………………………………………………………………………………….…………………………………..…………

การหาโดยใชส้ ตู รสาเรจ็

หลกั การทาโดยทัว่ ไป
1. อา้ งอิงสูตรการหาจานวนสมาชิก จากนั้นแทนค่าสง่ิ ทีเ่ ราทราบ แล้วหาคาตอบ
2. ในบางครง้ั การแกส้ มการ อาจมีการผสมผสานระหว่างการใช้แผนภาพและการใชส้ ตู ร
สูตรการหาจานวนสมาชกิ ของเซตจากดั

ให้ A และ B เปน็ เซตจากัด
n(A) แทน จานวนสมาชิกของเซต A
n(B) แทน จานวนสมาชิกของเซต B

1. n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B)
2. n(A B)  n(A)  n(B)  n(A B)
3. n(A B)  n(A)  n(A B)
4. n(A)  n(U)  n(A)
5. n(A B C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A B)  n(B C)  n(C A)  n(A B C)

หมายเหตุ

n(U)  n(A B C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A B)  n(B C)  n(C A)  n(A B C)

39

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรอ่ื ง เซต

Worksheet8 จานวนสมาชกิ ของเซต

ชือ่ - นามสกุล………………………………………………………….ช้ัน ม.4/……….……. เลขท่ี…………………

1. กาหนดให้ A, B เปน็ สับเซตของ U และ n(U) 100 โดยท่ี n(A B)  40 , n(A)  30 และ

n(A B)  90

จงหา

1.1 n(A B) 1.2 n(A B)

……………………………………………………………... ….…………………………………………………………………

……………………………………………………………… ….…………………………………………………………………

1.3 n(A B) 1.4 n(B A)

……………………………………………………………... ….……….…………………………………………………………

……………………………………………………………… ….………………………………….…………….…………………

1.5 n(B  A)

……………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………………

2. ให้ A, B เปน็ สบั เซตของ U โดยที่ n(U)  80 , n(A B)  40 , n(A)  30 และ

n(A B) 10 จงหา

40

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 เรอื่ ง เซต

2.1 n(B A) 2.2 n(A B)
……………………………………………………………... ..……………….……………………………………………………
……………………………………………………………… ………………………………………………………………………
2.3 n(A B) 2.4 n(A B)
……………………………………………………………... …………………………………………………………………….
……………………………………………………………… ………………………………………………………………………
2.5 n(A B)
………………………………………………………………
……………………………………………………………….

3. ให้ A, B และ C เปน็ สบั เซตของ U โดยที่ n(U)  200 , n(A B C)  5 , n(A B)  7 และ
n(A B)  6 , n(B C)  8 , n(A B C)  60 , n(A)  140 , n(B)  150 จงหา

3.1 n(C) 3.2 n(A B C)
……………………………………………………………... …..…………………………….…………….….…………………
……………………………………………………………… ……………………………………………………………………..
3.3 n(A (B C))
……………………………………………………………... 3.4 n(A (B  C))
……………………………………………………………… ……………………………………….……………………………
3.5 n((A B)  (B C)) ………………………………………………..……………………
……………………………………………………………...
……………………………………………………………… 3.6 n((A C)  (B C))
3.7 n(C ((A B)  C)) ……………………………………………………………………
……………………………………………………………... ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………
3.8 n((A B)  C)
…………………………….……………………..………………
…………………………………………………..…………………

41

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 เรอ่ื ง เซต

4. ให้ A, B และ C เปน็ สบั เซตของ U โดยที่ n() 150 , n(A (B C))  10 ,
n(B (A C))  5 และ n(C (A B))  10 , n(A B C)  80 , n(A B C)  145 ,
n(A B)  7 , n(B)  40 จงหา

4.1 n((A C)  B) 4.2 n(A (B C))
……………………………………………………………... …………………………………………….………………………
……………………………………………………………… …………………………….………………………………………
4.3 n(B  (AC))
……………………………………………………………... 4.4 n(A (B  C))
……………………………………………………………… …………………………………………………………………….
4.5 n((A B)  (B C)) ……………………………………………………………………

……………………………………………………………… ….…………………………………………………………

42

วิชาคณติ ศาสตร์ 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรื่อง เซต

การหาจานวนสมาชกิ ของเซต
แบบโจทย์ปัญหา

ลักษณะโจทยแ์ บบนี้จะเกี่ยวข้องกบั ชวี ิตประจาวนั มาให้ ในการแก้ปญั หามักจะนาข้อความนัน้ ๆ มา
แปรสภาพใหเ้ ป็นแผนภาพ พร้อมท้งั อา่ นและแปลความหมายของสว่ นต่างๆมาในรูปแบบของขอ้ ความ

การแปลความหมายของแผนภาพประเภท 2 วง
ตัวอย่างที่ 43 จากการสารวจนกั เรยี นกลุม่ หนงึ่ จานวน 50 คน เกย่ี วกบั วิชาท่ีชอบ ปรากฏวา่ ชอบ

คณิตศาสตร์ 10 คน ชอบภาษาไทย 20 คน และชอบทง้ั คณิตศาสตร์และภาษาไทย 5 คน จงหาจานวนนักเรียนท่ี
1. จานวนนักเรยี นท่ชี อบคณิตศาสตรอ์ ยา่ งเดยี ว
2. จานวนนกั เรียนท่ชี อบภาษาไทยอยา่ งเดยี ว
3. จานวนนักเรยี นที่ไมช่ อบคณติ ศาสตรห์ รอื ไม่ชอบวิชาภาษาไทย
4. จานวนนกั เรยี นท่ไี มช่ อบทง้ั สองวชิ า
วิธีทา เขียนแผนภาพแทนขอ้ ความ

A = ……………………………………..
B = ………………………………………

Tip!!! หาส่วนที่แคบที่สดุ กอ่ นให้ได้วา่ มสี มาชิกก่ตี ัว

ข้นั แรก : หา A B = ………………… จากนน้ั เราจะได้บริเวณทเ่ี หลอื วา่ แตล่ ะบรเิ วณจะมีสมาชิกเท่าไร
ขนั้ สอง : เรม่ิ ตอบคาถามของโจทยไ์ ด้ โดยใช้แผนภาพและการแปลความหมาย

ตอบคาถาม
1. ชอบคณิตศาสตร์เพียงอยา่ งเดยี ว = …………………………………………………………………………………………
2. ชอบภาษาไทยอยา่ งเดยี ว = ………………………………………………………………………………..……………….
3. ไมช่ อบคณิตศาสตรห์ รือไมช่ อบวชิ าภาษาไทย = ………………………………………………………………………
4. ไม่ชอบท้งั สองวิชา = ………………………………………………………………………………………….…………….……….

43

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 เร่อื ง เซต

ตัวอยา่ งท่ี 44 จากการสารวจนกั เรียนกลมุ่ หนง่ึ จานวน 100 คน นกั เรียน 60 คนชอบวิชาฟสิ กิ ส์

นกั เรียน 30 คนชอบวชิ าเคมี นกั เรยี นท่ีไมช่ อบท้งั สองวชิ า 30 คน จงหาจานวนนักเรยี นท่ีชอบท้ังฟสิ กิ ส์และเคมี

วิธที า เขียนแผนภาพแทนข้อความ

A = ………………………………
B = ...................................

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

44

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เรอื่ ง เซต

ตัวอย่างท่ี 45 จากการสอบถามนกั เรียนกลุ่มหนึง่ จานวน 50 คน เกยี่ วกบั กฬี าท่ชี อบปรากฏวา่ ชอบ

ฟุตบอล 32 คน ชอบเทนนิส 25 คน และชอบท้ังฟตุ บอลและเทนนสิ 17 คน จงหาจานวนนกั เรียนที่

1. ชอบฟตุ บอลเพยี งอย่างเดียว 6. ชอบกฬี าอยา่ งนอ้ ย 1 ชนิด

2. ชอบเทนนสิ อย่างเดียว 7. ชอบกีฬาอย่างมาก 1 ชนดิ

3. ชอบฟตุ บอลหรือเทนนสิ 8. ชอบฟุตบอลแต่ไม่ชอบเทนนสิ

4. ไม่ชอบฟตุ บอลและเทนนสิ 9. ไม่ชอบฟตุ บอลหรือไม่ชอบเทนนสิ

5. ชอบกีฬาประเภทเดียว

วิธที า เขยี นแผนภาพแทนข้อความ

A = ……………………………………..
B = ………………………………………

Tip!!! หาสว่ นท่ีแคบทีส่ ุดก่อนให้ได้วา่ มีสมาชกิ กีต่ วั
ข้ันแรก : หา A B = …………………… จากนัน้ จะได้บรเิ วณทเ่ี หลือว่าแต่ละบรเิ วณจะมสี มาชิกเท่าไร
ขนั้ สอง : เร่ิมตอบคาถามของโจทยไ์ ด้ โดยใช้แผนภาพและการแปลความหมาย
ตอบคาถาม

1. ชอบฟุตบอลเพยี งอยา่ งเดยี ว = ……………………………………………………………………………………………….……….
2. ชอบเทนนสิ อยา่ งเดยี ว =…………………………………………………………………………………………..…….………
3. ชอบฟตุ บอลหรอื เทนนสิ = …………………………………………………………………………….…..……….…….………
4. ไม่ชอบฟตุ บอลและเทนนสิ = …………………………………………………………………………..…………….…….……….
5. ชอบกีฬาประเภทเดยี ว = …………………………………………………………………………………….….….….……….

…………………………………………………………………………..………………...….…………
6. ชอบกีฬาอยา่ งน้อย 1 ชนดิ = ……………………………………………………………….…………….……..………………….

………………………………………………………………………………………….……..…………
7. ชอบกีฬาอย่างมาก 1 ชนิด = ……………………………………….………………………………………….….…….………….

…………………………………………………….…………………………..……….………..………
8. ชอบฟุตบอลแตไ่ มช่ อบเทนนสิ = …………………………………………………………………….……..………….……...……….

……………………………………………………………………………………….…………………
9. ไมช่ อบฟตุ บอลหรอื ไม่ชอบเทนนสิ = ………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………..………..…………………….……………

45

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 เรื่อง เซต

การแปลความหมายของแผนภาพประเภท 3 วง

ตวั อย่างท่ี 46 จากการสัมภาษณ์นกั เรียนชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 จานวน 110 ของโรงเรียนแหง่ หนง่ึ

เก่ยี วกบั กฬี าทีน่ กั เรยี นชอบ ปรากฏผลดังน้ี

ชอบฟตุ บอล 25 คน

ชอบบาสเกตบอล 45 คน

ชอบวอลเลย์บอล 48 คน

ชอบฟุตบอลและบาสเกตบอล 6 คน

ชอบฟุตบอลและวอลเลย์บอล 10 คน

ชอบบาสเกตบอลและวอลเลยบ์ อล 8 คน

ไมช่ อบกฬี าใดเลยในสามประเภทนี้ 11 คน

จงหาจานวนนกั เรยี นทช่ี อบกีฬาท้ังสามประเภท

วธิ ที า เขยี นแผนภาพจากโจทยไ์ ดด้ งั น้ี

A = ………………………
B = .............................
C = …………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..……………………………………..…………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

46

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 เรื่อง เซต

ตวั อยา่ งท่ี 47 นักเรียนหอ้ งหนึ่งมีนกั เรยี น 8 คนทไ่ี มช่ อบเทีย่ วพทั ยา มนี กั เรยี น 6 คนไมช่ อบไปเทยี่ ว

เชยี งใหม่ มนี กั เรยี น 5 คนท่ไี มช่ อบเทยี่ วภูเก็ต มีนักเรยี น 4 คนไม่ชอบไปเท่ียวทง้ั พทั ยาและเชยี งใหม่ มีนักเรยี น 3

คนไมช่ อบไปเทยี่ วทง้ั พทั ยาและภูเก็ต มนี กั เรียน 2 คนไมช่ อบไปเที่ยวท้ังภเู กต็ และเชียงใหม่ มนี ักเรียน 1 คนไม่

ชอบไปเที่ยวทงั้ สามแหง่ และมนี กั เรยี น 35 คนชอบไปเที่ยวท้งั สามแหง่ จานวนนกั เรียนในหอ้ งนี้ ตรงกบั ขอ้ ใด

ต่อไปน้ี

วิธีทา เขยี นแผนภาพจากโจทย์ไดด้ งั นี้

A = ………………………………
B = ...................................
C = ………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

47

วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรอื่ ง เซต

ตวั อย่างท่ี 48 ในการสารวจนักเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 ของโรงเรียนแหง่ หนึง่ จานวน 69 คน ซ่งึ ต้อง

ลงทะเบยี นเรยี น อยา่ งนอ้ ย 1 วิชา พบว่า นกั เรียนลงทะเบยี นเรยี นวชิ าคณิตศาสตร์ 30 คน วิชาภาษาองั กฤษ 27

คน วชิ าภาษาไทย 41 คน วิชาคณิตศาสตร์และวชิ าภาษาอังกฤษ 19 คน วชิ าภาษาอังกฤษและวิชาภาษาไทย 7

คน วชิ าคณิตศาสตรแ์ ละวิชาภาษาไทย 8 คน จงหา

1. จานวนนกั เรยี นทล่ี งทะเบยี นเรยี นวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พียงวชิ าเดียว

2. จานวนนักเรยี นที่ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาองั กฤษเพยี งวชิ าเดียว

3. จานวนนกั เรยี นท่ีลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาไทยเพียงวชิ าเดยี ว

4. จานวนนกั เรยี นที่ลงทะเบยี นเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์และวิชาภาษาองั กฤษแตไ่ มล่ งทะเบยี นเรียนวชิ าภาษาไทย

5. จานวนนกั เรียนท่ีลงทะเบยี นเรยี นวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาไทยแตไ่ มล่ งทะเบียนเรยี นวชิ าภาษาอังกฤษ

6. จานวนนกั เรียนทล่ี งทะเบียนเรยี นวิชาภาษาอังกฤษและวชิ าภาษาไทยแตไ่ ม่ลงทะเบยี นเรียนวิชาคณิตศาสตร์

7. จานวนนักเรยี นที่ลงทะเบียนทงั้ 3 วิชา

8. จานวนนกั เรยี นที่ไมล่ งทะเบียนเรยี นวิชาใดเลยในสามวชิ านี้

9. จานวนนักเรยี นทลี่ งทะเบยี นเรียนวิชาเดียว

10. จานวนนกั เรยี นทล่ี งทะเบยี นเรียนทงั้ 2 วชิ า

11. จานวนนกั เรียนทล่ี งทะเบยี นเรยี นอยา่ งนอ้ ย 1 วิชา

12. จานวนนกั เรียนทล่ี งทะเบยี นเรยี นอย่างมาก 1 วิชา

วิธีทา เขียนแผนภาพจากโจทย์ไดด้ งั น้ี

A = ………………………………
B = ...................................
C = ………………………………

Tip ควรเรม่ิ หาจากวงเล็กทสี่ ดุ คอื n(A  BC) ก่อน ดังน้ี
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

48

วชิ าคณิตศาสตร์ 1 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 เรื่อง เซต

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

49