สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ก

คำนำ

การจดั การเรียนรใู้ นรายวิชาคณติ ศาสตร์ พบว่านักเรยี นมีปญั หาในเร่ือง การประยุกต์ของ
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สาเหตเุ นื่องมาจากนักเรียนเห็นวา่ เนอื้ หาไม่นา่ สนใจ แล้วยังมองไม่เห็น
ว่าจะสามารถนาไปใชป้ ระโยชน์ในชวี ติ ประจาวันอะไรได้บา้ ง ในการแก้ปญั หา โดยวธิ ีการใช้แบบฝกึ
ทกั ษะ ซึง่ จดั ทาเปน็ ชดุ ฝึกทักษะในเรอ่ื ง การประยุกตข์ องสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว ได้จัดทาข้นึ
จานวน 4 ชดุ ได้แก่

ชดุ ที่ 1 ทบทวนการแก้สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว
ชดุ ท่ี 2 การแกป้ ัญหาเกี่ยวกบั จานวน
ชุดท่ี 3 การแกป้ ัญหาเกีย่ วกับอตั ราส่วนและรอ้ ยละ
ชดุ ท่ี 4 การแกป้ ัญหาเกีย่ วกับอตั ราเร็ว
สาหรบั ชุดฝกึ ทักษะการประยุกต์ของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ชุดที่ 1 ทบทวนการแก้
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สามารถนาไปใช้ประโยชนไ์ ด้หลายอยา่ ง เชน่ ใช้เปน็ สือ่ ประกอบการจดั
กจิ กรรมการสอนของครู ใชเ้ ปน็ ส่ือประกอบการเรียนของนักเรยี น ใช้เป็นเอกสารในการสอนซ่อม
เสริมสาหรับนกั เรยี นทมี่ ปี ัญหาทางการเรียน และยังสามารถใชป้ ระกอบการแนะนาของเพ่อื นครไู ด้
อกี ด้วย
หวังเป็นอยา่ งย่งิ ว่า ชดุ ฝึกทักษะ ชดุ ที่ 1 ทบทวนการแก้สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว เล่มน้ี
จะเกิดประโยชนต์ อ่ การพัฒนาการเรยี นรูข้ องนกั เรยี น ยกระดบั ผลสัมฤทธทิ์ างการเรยี นกลุ่มสาระ
การเรียนรคู้ ณิตศาตรเ์ ปน็ แบบอยา่ งที่ดีสาหรบั ครผู สู้ อนและผูส้ นใจที่จะพฒั นาสอ่ื การเรียนการสอน
ใหม้ ีประสทิ ธภิ าพตอ่ ไป

วรญั ชยา หงษอ์ ่อน

ข

สำรบัญ

หน้า

คาชแี้ จงสาหรับครู........................................................................................................... 1
คาช้ีแจงสาหรบั นกั เรยี น.................................................................................................. 2
ผลการเรียนร้ทู ค่ี าดหวงั ................................................................................................... 3
จดุ ประสงค์การเรยี นรู้..................................................................................................... 3
แบบทดสอบก่อนเรียน..................................................................................................... 5
เอกสารแนะนาบทเรยี นท่ี 1............................................................................................ 10
แบบฝกึ ทักษะที่ 1........................................................................................................... 14
เอกสารแนะนาบทเรยี นที่ 2............................................................................................ 20
แบบฝึกทกั ษะที่ 2........................................................................................................... 22
แบบทดสอบหลงั เรยี น..................................................................................................... 24
ภาคผวก
กระดาษคาตอบ................................................................................................................ 30
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น............................................................................................. 31
เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1................................................................................................... 32
เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2................................................................................................... 36
เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น............................................................................................... 40
เกณฑ์การให้คะแนน......................................................................................................... 41
เกณฑ์การประเมิน............................................................................................................ 42
ตารางบนั ทึกคะแนน......................................................................................................... 43
บรรณานกุ รม..................................................................................................................... 44

1

คำชแี้ จงสำหรบั ครู

1. ความมุ่งหมายในการใชแ้ บบฝกึ ทักษะ
1. เพ่อื พัฒนาผลสมั ฤทิท์ างการเรียน เร่อื ง การประยกุ ต์ของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

รายวชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน รหัสวชิ า ค22102 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2
2. เพ่ือเปน็ การใช้สอ่ื ประกอบการเรยี นรู้ เรอ่ื ง การประยุกต์ของสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว

รายวิชาคณติ ศาสตร์พื้นฐาน รหสั วชิ า ค22102 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2
3. เพ่ือเปน็ แบบฝึกประกอบการเรียนรู้ เร่อื ง การประยุกต์ของสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

รายวิชาคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหสั วิชา ค22102 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2
4. เพื่อใหน้ กั เรียนสามารถเรียนรู้และฝกึ ปฏบิ ตั ิดว้ ยตนเอง

2. เนื้อหา แบบฝึกทกั ษะนี้ได้จัดทาลาดบั เน้ือหาจากงา่ ยไปยาก มจี านวน 4 ชดุ ดงั นี้
ชุดท่ี 1 ทบทวนการแก้สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว
ชดุ ที่ 2 การแก้ปัญหาเกยี่ วกับจานวน
ชดุ ที่ 3 การแกป้ ัญหาเกีย่ วกับอัตราส่วนและรอ้ ยละ
ชดุ ท่ี 4 การแกป้ ัญหาเกย่ี วกับอตั ราเร็ว

3. ครคู วรชี้แจงให้นกั เรียนเข้าใจถงึ จดุ มุ่งหมายในการทาแบบฝกึ ทักษะ ขัน้ ตอน กฎ กติกา ในการใช้
อย่างละเอยี ด ก่อนทาแบบฝกึ ทักษะ
4. นักเรียนแตล่ ะคนใช้เวลาทาแบบฝกึ ไม่เท่ากนั ขน้ึ อยู่กับความสามารถ ครูควรชแี้ นะ และให้
กาลังใจ
5. ครูคอยสงั เกตพฤตกิ รรมของนกั เรยี นขณะทากจิ กรรม เพือ่ บันทกึ การเปล่ียนแปลงพฤตกิ รรมของ
นกั เรยี น
6. เมือ่ นกั เรียนปฏิบัติจนครบทกุ ข้ันตอน ครูประมวลผล สรุปผล เพอ่ื ให้ทราบถงึ พัฒนาการนักเรียน
และเพ่ือจัดกจิ กรรมเสรมิ ของนกั เรียนที่ไมผา่ นเกณฑต์ ่อไป

2

คำช้ีแจงสำหรับนักเรยี น

ขอ้ ตกลงกำรใชช้ ุดฝกึ ทกั ษะ
ในการเรียนรู้ตามชุดฝกึ ทกั ษะ เรอื่ ง การประยุกตข์ องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว ชดุ ท่ี 1

ทบทวนการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เป็นการเรียนรู้ท่ีนกั เรียนต้องศึกษาด้วยตนเอง โดยการ
เรียนรแู้ บบคคู่ ิด นกั เรยี นแต่ละค่จู ะต้องช่วยเหลอื ซึง่ กนั และกัน ควรมีความซื่อสัตยต์ ่อตนเอง โดย
ไม่ดเู ฉลยกอ่ น เท่ากับวา่ นักเรยี นลอกคาตอบ ซงึ่ จะทาให้นกั เรยี นไม่ได้อะไรเลย ในการทาชุดฝึก
ทกั ษะการตอบผิดไม่ใช่ เรือ่ งนา่ อาย แต่จะชว่ ยให้นกั เรียนมีความเขา้ ใจในบทเรียนมากยิ่งขึน้

คำแนะนำกำรใชช้ ุดฝึกทักษะ
1. นักเรียนนงั่ ประจาคตู่ ามท่ีกาหนดให้
2. นกั เรียนแตล่ ะคนศกึ ษาผลการเรียนรทู้ ีค่ าดหวัง และจุดประสงค์การเรียนรู้ ให้เข้าใจ

ถึงการเรยี นร้ชู ดุ ฝึกทกั ษะนี้
3. นักเรยี นแตล่ ะคนศกึ ษาเอกสารแนะนาบทเรียน โดยครคู อยชแ้ี นะ
4. นกั เรียนแต่ละคนทาแบบฝกึ ทกั ษะ และแต่ละคชู่ ว่ ยเหลือซง่ึ กันและกนั คนเก่ง

ช่วยเหลือคนอ่อน
5. แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1 ข้อที่ 1 ถึงข้อท่ี 5.4 และแบบฝึกทกั ษะที่ 2 ข้อที่ 1 ถึงข้อท่ี 3

ใหน้ กั เรยี นทาในช่วั โมงเรียน สว่ นข้อท่ี 5.5 ถึงข้อที่ 5.8 ในแบบฝึกทักษะที่ 1 และข้อท่ี 4 ใน
แบบฝึกทักษะท่ี 2 ใหน้ ักเรียนทาเปน็ การบา้ นในสมดุ แบบฝกึ หดั ส่งให้ครูตรวจนอกเวลาเรียนเพอ่ื
เสริมความร้คู วามจาทค่ี งทน

6. เมื่อทาแบบฝึกทกั ษะเสร็จ ช่วยกันตรวจคาตอบจากเฉลยแบบฝึกทักษะ และช่วยกนั
แกไ้ ขเมื่อมคี าตอบผดิ แลว้ บันทกึ คะแนนไว้ พร้อมประเมินผล ในตารางบันทึกคะแนน
ตามเกณฑก์ ารให้คะแนน และเกณฑก์ ารประเมนิ ท้ายชุดฝึกทกั ษะน้ี

7. เน่ืองจากชุดฝึกน้ีเป็นการศึกษาด้วยตนเองนักเรยี นจึงควรมคี วามซอ่ื สัตย์
8. ในการศึกษาชดุ ฝึก นกั เรียนสามารถเรยี นรู้ร่วมกับผู้อ่ืนได้

3

มำตรฐำนกำรเรียนรู้

มาตรฐาน ค 4.2 ใชน้ พิ จน์ สมการ อสมการ กราฟ และตวั แบบเชิงคณติ ศาสตร์
(mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณต์ ่างๆ ตลอดจนแปลความหมาย
และนาไปใช้แกป้ ญั หา

ตวั ช้ีวดั

ค 4.2 ม.3/1 ใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกบั อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี วในการแกป้ ัญหา พรอ้ มท้งั ตระหนักถึง
ความสมเหตสุ มผลของคาตอบ

ค.6.1 ม.1-3/4 ใชภ้ าษาและสญั ลักษณ์ทางคณติ ศาสตรใ์ นการสอ่ื สาร การสอ่ื ความหมาย
และการนาเสนอไดอ้ ยา่ งถูกต้องและชัดเจน

ผลกำรเรยี นรทู้ ี่คำดหวงั

1. แกส้ มการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี วอย่างงา่ ยโดยใชส้ มบัติของการเทา่ กันได้
2. แก้โจทย์ปัญหาเกยี่ วกบั สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียวได้
3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคาตอบทไ่ี ด้ในสถานการณ์ต่าง ๆ

จุดประสงค์กำรเรยี นรู้

ด้ำนควำมรู้
1. นักเรยี นสามารถเขยี นสมการทีม่ ตี วั แปรและไมม่ ตี ัวแปรได้
2. นักเรียนสามารถเขียนคาตอบของสมการได้
3. นักเรยี นสามารถบอกสมบัติของการเทา่ กนั ได้
4. นักเรียนสามารถแกส้ มการได้

ด้ำนทกั ษะ / กระบวนกำร
นักเรียนสามารถใช้วิธกี ารที่หลากหลาย แก้สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี วได้

4

ด้ำนคณุ ลกั ษณะ
1. ความรบั ผิดชอบ
2. มคี วามมรี ะเบียบวนิ ัย
3. ความซ่ือสตั ย์
4. ความตั้งใจเรียน
5. ความตรงต่อเวลา

ส่ือ / อุปกรณ์
1. คาช้แี จงการใชช้ ดุ ฝึกทักษะ
2. เอกสารแนะนาบทเรียน
3. แบบฝกึ ทักษะ
4. เกณฑก์ ารให้คะแนน
5. ตารางบนั ทึกคะแนน

กำรวัดและประเมนิ ผล
1. สงั เกตจากการทากจิ กรรม
2. ตรวจแบบฝึกทักษะระหว่างเรียน
3. นักเรียนทาแบบฝึกทักษะผ่านเกณฑ์ไม่ต่ากวา่ รอ้ ยละ 75

5

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

รำยวชิ ำ คณติ ศำสตรพ์ ืน้ ฐำน รหสั วิชำ ค22102 ชัน้ มัธยมศกึ ษำปีท่ี 2

เรื่อง กำรประยุกตข์ องสมกำรเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว (ทบทวนกำรแก้สมกำรเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว)

คำชแ้ี จง

1. แบบทดสอบฉบบั นี้เป็นแบบปรนยั ชนดิ เลือกตอบ 4 ตวั เลอื ก

2. มขี อ้ สอบท้ังหมด 20 ข้อใชเ้ วลาในการทาข้อสอบ 40 นาที

3. ใหน้ ักเรยี นเลอื กคาตอบท่ีถูกทีส่ ดุ เพยี งข้อเดียว แล้วทาเครื่องหมายกากบาท (  )

ลงในกระดาษคาตอบท่ีแจกให้

ตวั อยำ่ งคำตอบ

ขอ้ 0. 5 x + 6 = 16 คา่ ของ x คอื ข้อใด

ก. 2

ข. 3

ค. 4

ง. 5

วธิ ตี อบ จากตัวอยา่ งจะเหน็ ว่าขอ้ ก เป็นคาตอบที่ถกู ต้อง ให้ทาเครอื่ งหมายกากบาท (  ) ลง

ในช่อง ก ดังตวั อย่าง

ข้อ ก ตวั เลอื ก ง
ขค

0

4. หากนกั เรียนต้องการแกไ้ ขกระดาษคาตอบใหม่ ให้ทาเครื่องหมาย ( = ) ทบั ข้อท่ี

ไมต่ ้องการ แลว้ จงึ ทาเครื่องหมายกากบาท (  ) ทับตัวเลือกคาตอบท่ตี อ้ งการดังน้ี

ข้อ ก ตัวเลอื ก ง
ขค

0 

5. ถ้านกั เรียนไมเ่ ลือก หรอื เลือกมากกวา่ 1 คาตอบ จะไมน่ บั คะแนนให้ในข้อนั้น

6. หา้ มทาเคร่ืองหมายหรอื ขีดขอ้ ความใด ๆ ลงแบบทดสอบฉบบั นี้

7. หา้ มลงมือทาขอ้ สอบก่อนทีจ่ ะไดร้ ับคาสงั่ จากครูผคู้ ุมสอบ

8. ห้ามทาการคัดลอก หรือนาแบบทดสอบฉบบั น้ีออกจากหอ้ งสอบเดด็ ขาด

9. หากแบบทดสอบไมช่ ัดเจน ขอ้ สอบไม่ครบ ขาดหาย หรือมปี ญั หาอน่ื ใดใหย้ กมือ

ข้นึ เพ่ือขอเปลีย่ นแบบทดสอบฉบับใหม่

6

ขอ้ 1. ประโยคภาษาในข้อใดต่อไปนี้ เปน็ สมการทม่ี ตี ัวแปร
ก. คร่งึ หน่งึ ของเงินย่สี ิบบาทเทา่ กับสบิ สองบาท
ข. สองเทา่ ของส่ีมากกวา่ เจ็ด
ค. ผลบวกของ a และ 5
ง. สห่ี ารดว้ ย x เท่ากบั 3

ข้อ 2. ประโยคใดเปน็ สมการ
ก. จานวนซึ่งมากกวา่ 3 อยู่ 5
ข. แปดมากกวา่ สาม
ค. ห้าลบสองน้อยกวา่ ส่ี
ง. สองเทา่ ของหนงึ่ มากกวา่ –12

ข้อ 3. ประโยคสัญลักษณใ์ นข้อใดเป็นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ก. 3 x – 5y < 10
ข. x + 9y = 21
ค. 25 x  100
ง. x + 3 = 5

ข้อ 4. จานวนทแี่ ทนคา่ y ในสมการ 5(y – 3) = 3(y – 5) แล้วทาให้สมการเป็นจริงคือข้อใด
ก. 0
ข. 1
ค. 3
ง. 5

ข้อ 5. จานวนใดทนี่ ามาแทนคา่ y ในสมการ y + 16 = 30 แลว้ ทาให้สมการเป็นจริง
ก. 4
ข. 24
ค. 14
ง. –4

ข้อ 6. ถา้ a + 5 = 7 แลว้ a – 4 เท่ากับจานวนใด
ก. –7
ข. –3
ค. –2
ง. –1

ข้อ 7. ให้ a และ b เป็นจานวนใด ๆ และ a = b แลว้ b = a สมบัตนิ ้ี เรยี กวา่ อะไร
ก. สมบตั ิถา่ ยทอด
ข. สมบัตขิ องความเทา่ กัน
ค. สมบัติสมมาตร
ง. สมบตั ิการสลับท่ี

7

ขอ้ 8. ให้ a b และ c แทนจานวนใด ๆ ถ้า a = b และ b = c ดังน้ัน a = c สมบตั นิ ้เี รียกวา่
อะไร ก. สมบตั ิถา่ ยทอด

ข. สมบัติการสลับท่ี
ค. สมบตั ิความเทา่ กัน
ง. สมบัติสมมาตร

ข้อ 9. จงพิจารณาแกส้ มการ 2 (3 x + 1 ) = 10

5

จาก 2 ( 3 x + 1 ) = 10

5

จะได้ 3 x + 1 = 25
จะได้ 3 x = 24
ดงั นัน้ x = 8
การแกส้ มการขา้ งบนนี้ ขอ้ ใดใชส้ มบตั ิของการเทา่ กนั ตามลาดบั ได้ถูกตอ้ ง
ก. สมบตั กิ ารคณู สมบัติการคณู และสมบัติการบวก
ข. สมบัติการบวก , สมบตั กิ ารคูณ และสมบตั ิการคูณ
ค. สมบัติการบวก , สมบตั ิการบวก และสมบตั กิ ารคูณ
ง. สมบัตกิ ารคูณ สมบัตกิ ารบวก และสมบัตกิ ารคณู
ข้อ 10. คาตอบของสมการ 2 x – 6 = 12 เทา่ กับเทา่ ไร
ก. 3
ข. 9
ค. 12
ง. 36
ข้อ 11. ถา้ 7a = 35 แลว้ 2a เทา่ กับจานวนใด
ก. 5
ข. 10
ค. 15
ง. 20
ขอ้ 12. ถ้า 2 x – 8 = 6 แล้ว 4 x – 7 มีค่าเทา่ กับเท่าไร
ก. –11
ข. 21
ค. 35
ง. 37
ข้อ 13. จานวนในขอ้ ใดเป็นคาตอบของสมการ (4 + x ) + (5 + x ) = x + 5
ก. – 5
ข. 0
ค. – 4
ง. 5

8

ขอ้ 14. ถา้ a  2 1 แล้ว a มีคา่ เท่าไร

2 4

ก. –2
ข. 4

ค. 5

2

ง.  9

2

ข้อ 15. ถ้า m  2  5 แล้ว m มีค่าเทา่ กบั เท่าไร

6

ก.  7

6

ข. 6

7

ค. 2 5

6

ง. 7

6

ข้อ 16. คาตอบของสมการ 2x 1 7 ตรงกบั ข้อใด

ก. 2.5
ข. – 2.5
ค. 4.5
ง. – 4.5
ข้อ 17. คาตอบของสมการ 8x  4 5  3x  2 ตรงกับขอ้ ใด

ก. 5
ข. – 5

ค. 3 9

11

ง.  3 9

11

ข้อ 18. คาตอบสมการ 3 x  8  6 ตรงกับข้อใด

ก. – 16 4
ข. 16
ค. – 1
ง. 0

9

ข้อ 19. จานวน – 1 เป็นคาตอบของสมการในข้อใด

ก. 25  7x 18

ข. 25  7x 18

ค. 10 1 9x

ง. 10  1  9x

ขอ้ 20. คาตอบของสมการ x  x  6  3 (x 15) ตรงกับขอ้ ใด
5 12 10

ก. 240

ข. – 240

ค. 300

ง. – 300

10

เอกสำรแนะนำบทเรยี นท่ี 1

เร่อื ง ทบทวนกำรแกส้ มกำรเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

5 x + 2 = 37 ( เป็นสมการมี x เปน็ ตวั แปร )
9 + 5 = 1 ( เป็นสมการไม่มีตวั แปร )

สมการท่ีมีตัวแปรและมรี ูปทวั่ ไปเป็น a x + b = 0 เมอื่ a , b เปน็ คา่ คงตัวและ a  0
เรียกว่า สมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว
ต่อไปนี้เปน็ ตัวอย่างสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว

2 =0 +3 =0
– 0.8y –1.4 = 0 3 –5=0

คำตอบ สมกำร คือ จำนวนท่ีแทนตวั แปรในสมกำรแล้วทำใหส้ มกำรเปน็
จรงิ

กำรแกส้ มกำร คือ กำรหำคำตอบของสมกำร

คำตอบของสมกำรเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี วจะมเี พียงคำตอบเดยี ว

2x –5 = 0 มี 5 เป็นคาตอบ

y= 0 2
x –7 = 7
มี 0 เป็นคาตอบ

มี 14 เป็นคาตอบ

11

สมบัตกิ ำรเทำ่ กนั

1. สมบตั สิ มมำตร

ถ้า a = b แล้ว b = a เม่ือ a และ b แทนจานวนจรงิ ใดๆ เช่น
1.1 a + b = c หรือ c = a + b
1.2 – 3 = 2 + 7 หรือ 2 + 7 = – 3

2. สมบตั ิถ่ำยทอด

ถ้า a = b และ b = c แลว้ a = c เม่ือ a , b และ c แทนจานวนจรงิ ใด ๆ เช่น
2.1 ถา้ = 5 + 7 และ 5 + 7 = 12 แล้ว = 12
2.2 ถา้ = – 3y = 0.5 แลว้ = 0.5

3. สมบัติกำรบวก

ถา้ a = b แล้ว a + c = b + c เม่ือ a , b และ c แทนจานวนจรงิ ใดๆ เชน่
3.1 ถา้ a = 5 แล้ว a + 3 = 5 + 3
3.2 ถ้า + 7 = 2 แล้ว + 7 + (– 7 ) = 2 + ( – 7 )

4. สมบตั กิ ำรคูณ

ถา้ a = b แล้ว ca = cb เมอ่ื a , b และ c แทนจานวนจริงใดๆ เช่น
4.1 ถา้ m + 1 = 2n แลว้ 3 ( m + 1 ) = 3 ( 2n )

4.2 . ถา้ – 3 = 15 แล้ว แลว้ =

12

ทบทวนกำรแกส้ มกำรเชิงเส้นตวั แปรเดียว

ตวั อยำ่ งที่ 1 จงแก้สมการ x + 5 = 8

2

วิธีทำ x + 5 = 8

2

นา – 5 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ x + 5 + (– 5 ) = 8–5
3
2

x=

2

นา 2 มาคูณท้งั สองข้างของสมการ

จะได้ x x 2 = 3x2
x=6
2

ตรวจสอบ แทน x ด้วย 6 ในสมการ x+5= 8

2

จะได้ 6 + 5= 8

2

8 = 8 เปน็ สมการทีเ่ ปน็ จรงิ

ดังน้ัน 6 เปน็ คาตอบของสมการ x +5= 8
ตอบ 6
2

13

ตัวอย่ำงที่ 2 จงแกส้ มการ 5 x + 7 = 52
52
วิธีทำ 5 x + 7 =
52 + (– 7 )
นา – 7 มาบวกท้ังสองขา้ งของสมการ 45

จะได้ 5 x + 7 + (– 7 ) = 45  1
5x = 5

นา 1 มาคณู ท้ังสองข้างของสมการ 9

5

จะได้ 5x  1 =
5

x=

ตรวจสอบ แทนคา่ x ด้วย 9 ในสมการ 5 x + 7 = 52 เป็นสมการท่ีเป็นจริง
จะได้ (5 x 9 ) + 7 = 52
45 + 7 = 52
52 = 52
ดังนนั้ 9 เป็นคาตอบของสมการ 5 x + 7 = 52

ตอบ 9

14

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนตอบคาถามให้ถูกต้องสมบูรณ์

1. จงนาสมบัติการเทา่ กันเกี่ยวกบั สมบตั ิสมมาตรหรือสมบัตกิ ารถ่ายทอดเติมประโยคให้สมบูรณ์
ถูกต้อง

1.1 7 + 3 = 10 ดังน้นั ......................................................................................................
1.2 x – 5 = 11 ดงั นนั้ .....................................................................................................
1.3 5 x – 3 = x + 8 ดังนน้ั ............................................................................................
1.4 3 x – b = 5 x + a ดังน้นั .......................................................................................
1.5 ให้ x = y และ y = z ดังนนั้ ......................................................................................
1.6 ให้ 5a + 6a = ( 5 + 6 ) a และ ( 5 + 6 ) a = 11a ดังนัน้ .......................................
1.7 ให้ – 3b – 5b = ( –3 –5 ) b และ ( –3 –5 ) b = –8b ดงั นั้น...............................
1.8 3 x + 2y = 4 x – y และ 4 x – y = 5 ดงั น้นั .........................................
1.9 ให้ a – b = 2 + 3 และ 2 + 3 = 5 ดงั นัน้ .................................................
1.10 ให้ x + 1 = 2 x + 3 ดงั นน้ั 2 x + 3 = .....................................................
1.11 ให้ 4 + 2 = 6 ดังน้นั ..................................... = 4 + 2
1.12 ให้ a = 1 × w และ 1 × w = k ดงั นนั้ a = ....................................................
1.13 ให้ x = a + b และ a + b = 9 ดงั นน้ั x = ..................................................
1.14 ให้ a = 8 ดังน้ัน a + 3 = ..................................................................................
1.15 ให้ m = n ดงั นนั้ 5m = ....................................................................................

15

2. จงหาจานวนมาแทนตวั แปร แลว้ เขยี นลงในชอ่ ง  เพื่อทาให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจริง

2.1 x – 3 =5 ตอบ
2.2 x =2 ตอบ
= –8 ตอบ
5 =0 ตอบ
= 72 ตอบ
2.3 2y = – 20 ตอบ
2.4 x – 1 = 4y ตอบ
= 3z –8 ตอบ
5 = 27 ตอบ

2.5 x + 5 x = –1 ตอบ

2.6 2 x

2.7 3y

2.8 6 + 5z

2.9 b3

2.10 x

8

3. จงตรวจสอบวา่ จานวนในวงเล็บ [ ] ของสมการแต่ละข้อเป็นคาตอบของสมการน้ันหรือไม่

แลว้ เขยี นเคร่อื งหมาย  ลงในชอ่ ง  ทีก่ าหนดให้

3.1 x + 5 = 8 [3]  เป็น  ไมเ่ ปน็

3.2 6 – y = 2 [– 4 ]  เป็น  ไมเ่ ปน็

3.3 3 x – 2 = 15 [ 5 ]  เป็น  ไมเ่ ป็น

3.4 5 (2 x – 3) = –5 [ 1 ]  เป็น  ไม่เปน็

3.5 2 (3 x + 5) – 10 = 0 [0]  เป็น  ไม่เปน็

3.6 a = 1 [6]  เป็น  ไมเ่ ป็น

6

3.7 b = 6 [–18]  เป็น  ไมเ่ ป็น

3

3.8 3c = – 3 [–1 ]  เป็น  ไม่เปน็
 เป็น  ไม่เปน็
4 4

3.9 7m = 12 + 3m [–3 ]

3.10 1 ( 16 – 5 x ) = 3 [2]  เป็น  ไมเ่ ป็น

2

16

4. จงใชส้ มบตั กิ ารเทา่ กนั ดาเนนิ การคดิ คานวณเพ่ือใหจ้ านวนดา้ นซ้ายของสมการมีตวั แปร x
ตัวเดียว ดงั ตัวอยา่ ง

ตัวอยำ่ ง x – 2 = 5
ตอบ นา 2 มาบวกทง้ั สองขา้ งของสมการ

ตวั อย่ำง 3 x = 6
ตอบ นา 1 มาคณู ท้งั สองข้างของสมการ

3

4.1 x + 5 = 12 ตอบ นา มา ทั้งสองข้างของสมการ
4.2 x – 4 =3 ตอบ นา มา ท้งั สองข้างของสมการ
=6 ทั้งสองข้างของสมการ
4.3 x ตอบ นา มา
= –3 ทง้ั สองขา้ งของสมการ
3 ตอบ นา มา
=9 ทั้งสองขา้ งของสมการ
4.4 x ตอบ นา มา
=5 ทง้ั สองข้างของสมการ
5 = 20 ตอบ นา มา ทัง้ สองข้างของสมการ
=9 ตอบ นา มา ทั้งสองขา้ งของสมการ
4.5 3x = –7 ตอบ นา มา ทั้งสองขา้ งของสมการ
=6 ทง้ั สองข้างของสมการ
2 ตอบ นา มา
ตอบ นา มา
4.6 x + 3

2

4.7 15 + x

4.8 x

5

4.9 – x

4.10 – 2 x

17

5. จงแก้สมการต่อไปน้แี ละแสดงวธิ ตี รวจสอบคาตอบ ตรวจสอบคำตอบ

ขอ้ ท่ี
5.1 x + 5 = 42

5.2 x - 1  3

24

ข้อที่ 18
ตรวจสอบคำตอบ

5.3 5 =8

x
6

5.4 5 x = 3 x + 4

5.5 11 – 3 x = –4

ขอ้ ท่ี 19
5.6 3 + x – 9 = 18 ตรวจสอบคำตอบ

5.7 x  5 19

7

5.8 5 ( x – 3) = 30

20

เอกสำรแนะนำบทเรยี นท่ี 2

เรอ่ื ง ทบทวนกำรแกส้ มกำรเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว (ต่อ)

ตวั อย่ำงที่ 1 จงแก้สมการ 8x = 6 x + 22

3 5

วธิ ีทำ จากสมการ 8 = 6 x + 22

x
35

นา – 6 x มาบวกท้ังสองขา้ งของสมการ

5

จะได้   6 x + 8 x =   6 x + 6 x + 22
5 3 5 5

  6  8  x =   6  6  x  22
 5 3  5 5

22 = 22

x
15

นา 15 มาคูณทง้ั สองขา้ งของสมการ

จะได้ 15 × 22 x = 15 × 22

15

22 x = 330

นา 1 มาคูณท้ังสองขา้ งของสมการ

22

จะได้ 22 x  1 = 330  1

22 22

x = 15

ตรวจสอบ แทน x ดว้ ย 15 ในสมการ 8 = 6 x + 22

x
35

จะได้ 8 × 15 =  6 15  22

3 5 

8 × 5 = 18 + 22

40 = 40 เป็นสมการทเี่ ปน็ จริง

ดงั น้ัน 15 เปน็ คาตอบของสมการ 8 = 6 x + 22
ตอบ 15
x
35

21

ตวั อย่ำงที่ 2 จงแก้สมการ 23 ( x – 2 ) = 9 x + 8

วธิ ีทำ จากสมการ 23 ( x – 2 ) = 9 x + 8

จะได้ 23 x – 46 = 9 x + 8

นา 46 มาบวกท้งั สองข้างของสมการ

จะได้ 23 x – 46 + 46 = 9 x + 8 + 46
23 x = 9 x + 54
นา –9 x
จะได้ มาบวกทั้งสองขา้ งของสมการ
23 x + (– 9 x ) = 9 x + 54 + (– 9 x )
14 x = 54

นา 1 มาคูณทั้งสองขา้ งของสมการ

14

จะได้ 14x  1 = 54  1

14 14

x = 27

7

หรอื x = 3 6

7

ตรวจสอบ แทนค่า x ดว้ ย 27 ในสมการ 23 ( x – 2 ) = 9 x + 8

7

จะได้ 23  27  2 = 9x  27   8

7   7

23  27  14  = 243 + 8
7 7

23 × 13 = 243 + 56

7 77

299 = 299 เป็นสมการที่เป็นจรงิ

77

ดงั นนั้ 27 เป็นคาตอบของสมการ 23( x – 2 ) = 9 x + 8

7

ตอบ 27 หรอื 3 6

77

22

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2

จงแก้สมการต่อไปนี้ พรอ้ มทั้งแสดงวธิ ีตรวจสอบคาตอบ
1. จงแก้สมการ x + 2 = 2 x – 1

55 3

2. จงแก้สมการ 5 ( x – 7 ) = – 3 ( 2 x – 3 )

23

3. จงแกส้ มการ – 3 ( 2y – 4 ) = – ( y + 3 )

4. จงแก้สมการ 5(x 1) – 2  3x = 37

2 33

24

แบบทดสอบหลงั เรยี น

รำยวิชำ คณิตศำสตร์พื้นฐำน รหัสวิชำ ค22102 ชัน้ มัธยมศึกษำปีที่ 2

เรอื่ ง กำรประยุกต์ของสมกำรเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว (ทบทวนกำรแก้สมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว)

คำชีแ้ จง

1. แบบทดสอบฉบับนีเ้ ปน็ แบบปรนยั ชนดิ เลือกตอบ 4 ตัวเลอื ก

2. มขี ้อสอบทงั้ หมด 20 ข้อใช้เวลาในการทาข้อสอบ 40 นาที

3. ใหน้ กั เรียนเลอื กคาตอบท่ีถูกทส่ี ุดเพียงข้อเดียว แลว้ ทาเครอื่ งหมายกากบาท (  )

ลงในกระดาษคาตอบท่แี จกให้

ตวั อย่ำงคำตอบ

ข้อ 0. 5 x + 6 = 16 ค่าของ x คือข้อใด

ก. 2

ข. 3

ค. 4

ง. 5

วิธีตอบ จากตัวอยา่ งจะเหน็ วา่ ขอ้ ก เป็นคาตอบที่ถูกต้อง ใหท้ าเครอ่ื งหมายกากบาท (  ) ลง

ในช่อง ก ดงั ตัวอยา่ ง

ขอ้ ก ตัวเลือก ง
ขค

0

4. หากนกั เรยี นตอ้ งการแก้ไขกระดาษคาตอบใหม่ ให้ทาเครอ่ื งหมาย ( = ) ทบั ขอ้ ท่ี

ไมต่ ้องการ แลว้ จึงทาเคร่อื งหมายกากบาท (  ) ทับตวั เลือกคาตอบทีต่ อ้ งการดงั นี้

ขอ้ ก ตัวเลอื ก ง
ขค

0 

5. ถา้ นักเรียนไมเ่ ลือก หรอื เลอื กมากกว่า 1 คาตอบ จะไมน่ ับคะแนนให้ในข้อนนั้

6. หา้ มทาเคร่ืองหมายหรอื ขีดขอ้ ความใด ๆ ลงแบบทดสอบฉบบั น้ี

7. หา้ มลงมอื ทาขอ้ สอบก่อนท่ีจะได้รบั คาสัง่ จากครูผ้คู ุมสอบ

8. ห้ามทาการคัดลอก หรอื นาแบบทดสอบฉบบั น้ีออกจากหอ้ งสอบเดด็ ขาด

9. หากแบบทดสอบไมช่ ดั เจน ขอ้ สอบไม่ครบ ขาดหาย หรอื มีปัญหาอื่นใดให้ยกมือ

ข้ึนเพ่ือขอเปลีย่ นแบบทดสอบฉบับใหม่

25

ขอ้ 1. ประโยคภาษาในข้อใดตอ่ ไปนี้ เปน็ สมการที่มีตัวแปร
ก. ครึง่ หนึง่ ของเงินยี่สบิ บาทเท่ากับสิบสองบาท
ข. สองเทา่ ของส่มี ากกว่าเจ็ด
ค. ผลบวกของ a และ 5
ง. ส่หี ารด้วย x เทา่ กบั 3

ขอ้ 2. ประโยคใดเป็นสมการ
ก. จานวนซง่ึ มากกว่า 3 อยู่ 5
ข. แปดมากกว่าสาม
ค. ห้าลบสองนอ้ ยกว่าส่ี
ง. สองเท่าของหนง่ึ มากกว่า –12

ข้อ 3. ประโยคสญั ลักษณใ์ นข้อใดเป็นสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
ก. 3 x – 5y < 10
ข. x + 9y = 21
ค. 25 x  100
ง. x + 3 = 5

ขอ้ 4. จานวนทแ่ี ทนคา่ y ในสมการ 5(y – 3) = 3(y – 5) แลว้ ทาให้สมการเปน็ จริงคือข้อใด
ก. 0
ข. 1
ค. 3
ง. 5

ข้อ 5. จานวนใดทีน่ ามาแทนคา่ y ในสมการ y + 16 = 30 แลว้ ทาให้สมการเปน็ จรงิ
ก. 4
ข. 24
ค. 14
ง. –4

ขอ้ 6. ถ้า a + 5 = 7 แล้ว a – 4 เท่ากับจานวนใด
ก. –7
ข. –3
ค. –2
ง. –1

ข้อ 7. ให้ a และ b เป็นจานวนใด ๆ และ a = b แล้ว b = a สมบัตนิ ้ี เรยี กวา่ อะไร
ก. สมบัติถา่ ยทอด
ข. สมบัติของความเท่ากัน
ค. สมบัตสิ มมาตร
ง. สมบตั ิการสลบั ที่

26

ขอ้ 8. ให้ a b และ c แทนจานวนใด ๆ ถา้ a = b และ b = c ดังน้ัน a = c สมบตั นิ ้ีเรยี กว่า
อะไร ก. สมบัติถา่ ยทอด

ข. สมบตั ิการสลับท่ี
ค. สมบัติความเท่ากนั
ง. สมบตั ิสมมาตร

ข้อ 9. จงพิจารณาแก้สมการ 2 (3 x + 1 ) = 10

5

จาก 2 ( 3 x + 1 ) = 10

5

จะได้ 3 x + 1 = 25
จะได้ 3 x = 24
ดังน้ัน x = 8
การแก้สมการข้างบนนี้ ข้อใดใชส้ มบัติของการเท่ากันตามลาดบั ไดถ้ ูกต้อง
ก. สมบัตกิ ารคูณ สมบตั กิ ารคณู และสมบัติการบวก
ข. สมบัติการบวก , สมบัติการคณู และสมบัติการคูณ
ค. สมบัติการบวก , สมบตั ิการบวก และสมบัติการคูณ
ง. สมบตั กิ ารคณู สมบัติการบวก และสมบัตกิ ารคูณ
ข้อ 10. คาตอบของสมการ 2 x – 6 = 12 เท่ากับเทา่ ไร
ก. 3
ข. 9
ค. 12
ง. 36
ข้อ 11. ถา้ 7a = 35 แลว้ 2a เทา่ กับจานวนใด
ก. 5
ข. 10
ค. 15
ง. 20
ขอ้ 12. ถ้า 2 x – 8 = 6 แล้ว 4 x – 7 มีคา่ เท่ากับเท่าไร
ก. –11
ข. 21
ค. 35
ง. 37
ข้อ 13. จานวนในข้อใดเปน็ คาตอบของสมการ (4 + x ) + (5 + x ) = x + 5
ก. – 5
ข. 0
ค. – 4
ง. 5

27

ข้อ 14. ถ้า a  2 1 แลว้ a มคี ่าเทา่ ไร

2 4

ก. –2
ข. 4

ค. 5

2

ง.  9

2

ข้อ 15. ถ้า m  2  5 แลว้ m มคี ่าเท่ากับเท่าไร

6

ก.  7

6

ข. 6

7

ค. 2 5

6

ง. 7

6

ขอ้ 16. คาตอบของสมการ 2x 1 7 ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 2.5
ข. – 2.5
ค. 4.5
ง. – 4.5
ข้อ 17. คาตอบของสมการ 8x  4 5  3x  2 ตรงกับขอ้ ใด

ก. 5
ข. – 5

ค. 3 9

11

ง.  3 9

11

ข้อ 18. คาตอบสมการ 3 x  8  6 ตรงกบั ข้อใด

ก. – 16 4
ข. 16
ค. – 1
ง. 0

28

ข้อ 19. จานวน – 1 เป็นคาตอบของสมการในขอ้ ใด

ก. 25  7x 18

ข. 25  7x 18

ค. 10 1 9x

ง. 10  1  9x

ขอ้ 20. คาตอบของสมการ x  x  6  3 (x 15) ตรงกบั ข้อใด
5 12 10

ก. 240

ข. – 240

ค. 300

ง. – 300

29

ภำคผนวก

30

กระดำษคำตอบ

รำยวชิ ำ คณิตศำสตรพ์ ้ืนฐำน รหสั วชิ ำ ค22102 ช้นั มัธยมศกึ ษำปีท่ี 2
เรื่อง กำรประยกุ ต์ของสมกำรเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว (ทบทวนกำรแก้สมกำรเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว)

ตัวเลอื ก ตวั เลอื ก ตวั เลือก
ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

1 11 21

2 12 22

3 13 23

4 14 24

5 15 25

6 16 26

7 17 27

8 18 28

9 19 29

10 20 30

31

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

รำยวชิ ำ คณติ ศำสตรพ์ ้ืนฐำน รหัสวิชำ ค22102 ชนั้ มัธยมศึกษำปีที่ 2
เรือ่ ง กำรประยกุ ต์ของสมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว (ทบทวนกำรแกส้ มกำรเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว)

ตวั เลอื ก ตัวเลอื ก ตวั เลือก
ขอ้ ก ข ค ง ขอ้ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

1  11  21

2 12  22

3  13  23

4  14  24

5  15  25

6  16  26

7  17  27

8  18  28

9  19  29

10  20  30

32

เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 1

เฉลยข้อท่ี 1 เฉลยขอ้ ที่ 2
1.1 10 = 7 + 3 2.1 8
1.2 11 = x – 5 2.2 10
1.3 x + 8 = 5 x – 3 2.3 –4
1.4 5 x + a = 3 x – b 2.4 1
1.5 x = z
1.6 5a + 6a = 11a 5
1.7 –3b – 5b = –8b
1.8 3 x + 2y = 5 2.5 12
1.9 a – b = 5 2.6 –10
1.10 x + 1 2.7 0
1.11 6 2.8 –7
1.12 k 2.9 3
1.13 9 2.10 8
1.14 8 + 3 หรือ 11
1.15 5n เฉลยขอ้ ที่ 4
4.1 นา –5 มา บวก ทั้งสองข้างของสมการ
เฉลยขอ้ ท่ี 3 4.2 นา 4 มา บวก ท้ังสองข้างของสมการ
3.1  เป็น  ไมเ่ ป็น 4.3 นา 3 มา คูณ ทงั้ สองข้างของสมการ
3.2  เป็น  ไม่เป็น 4.4 นา –5 มา คูณ ทง้ั สองข้างของสมการ
3.3  เป็น  ไม่เป็น 4.5 นา 2 มา คณู ทงั้ สองขา้ งของสมการ
3.4  เป็น  ไมเ่ ป็น
3.5  เป็น  ไมเ่ ปน็ 3
3.6  เป็น  ไม่เป็น
3.7  เป็น  ไมเ่ ปน็ 4.6 นา  3 มา บวก ทง้ั สองข้างของสมการ
3.8  เป็น  ไม่เป็น
3.9  เป็น  ไม่เปน็ 2
3.10  เป็น  ไมเ่ ป็น
4.7 นา –15 มา บวก ทง้ั สองขา้ งของสมการ
4.8 นา 5 มา คณู ทั้งสองขา้ งของสมการ
4.9 นา –1 มา คูณ ทัง้ สองขา้ งของสมการ
4.10 นา  1 มา คูณ ทงั้ สองขา้ งของสมการ

2

33

เฉลยข้อที่ 5

5. จงแก้สมการต่อไปนีแ้ ละแสดงวธิ ีตรวจสอบคาตอบ

ข้อที่ ตรวจสอบคำตอบ

5.1) x + 5 = 42 5.1) แทน x ด้วย 37

วธิ ที า นา – 5 บวกทงั้ สองขา้ งของสมการ ในสมการ x + 5 = 42

จะได้ x + 5 + (– 5) = 42 + (–5) จะได้ 37 + 5 = 42

x = 37 42 = 42 เปน็ สมการทเี่ ปน็ จริง

ตอบ 37 ดังนน้ั 37 เปน็ คาตอบของสมการ x +5=42

5.2) x – 1  3 5.2) แทน x ด้วย 5 ในสมการ x – 1  3

24 4 24

วธิ ที า นา 1 มาบวกทงั้ สองข้างของสมการ จะได้ 5 – 1  3

2 4 24

จะได้ x – 1 + 1 = 3 + 1 3 = 3 เป็นสมการท่ีเปน็ จรงิ
22 42
44
x = 5 หรือ 1 1
ดังนน้ั 5 เป็นคาตอบของสมการ
44
4
ตอบ 5 หรือ 11
x – 13
44
24

5.3) 5 x = 8 5.3) แทน x ด้วย 48 ในสมการ 5 x = 8

6 56

วธิ ีทา นา 6 มาคณู ท้งั สองขา้ งของสมการ จะได้  5  48  = 8

5  6  5 

จะได้  5  6 x = 8   6  8 = 8 เปน็ สมการท่ีเป็นจริง
 6  5  5
ดังน้นั 48 หรือ 9 3 เป็นคาตอบของ
x = 48 หรอื 9 3
55
55
สมการ 5 x = 8
ตอบ 48 หรือ 9 3
6
55

34

ขอ้ ที่ ตรวจสอบคำตอบ

5.4) 5 x = 3 x + 4 5.4)

วธิ ีทา นา –3 x มาบวกทัง้ สองขา้ งของสมการ แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ 5 x = 3 x + 4

จะได้ 5 x + (– 3 x ) = 3 x + 4 + (– 3 x ) จะได้ 5 2  3 2 4

2x = 4 10 = 10 เป็นสมการทเ่ี ปน็ จริง

นา 1 มาคูณท้งั สองขา้ งของสมการ ดงั นัน้ 2 เปน็ คาตอบของสมการ
5x = 3x + 4
2

จะได้ 2x  1 = 4  1

22

x =2

ตอบ 2

5.5) 11 – 3 x = –4 5.5) แทน x ดว้ ย 5 ในสมการ 11 –3 x = – 4
วิธีทา นา –11 มาบวกทัง้ สองขา้ งของสมการ จะได้ 11– 3(5) = – 4

จะได้ 11–3 x + (–11) = –4 + (– 11) – 15 = – 4
– 3 x = – 15 – 4 = – 4 เปน็ สมการท่เี ปน็ จรงิ

นา  1 มาคณู ท้ังสองขา้ งของสมการ ดังนนั้ 5 เป็นคาตอบของสมการ
11– 3 x = –4
3

จะได้  3x    1  =  15    1 
 3  3

x= 5

ตอบ 5

5.6) 3 + x – 9 = 18 5.6) แทน x ด้วย 24 ในสมการ 3+ x – 9 = 18
วิธที า นา 9 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 3 + 24 – 9 = 18
จะได้ 3 + x – 9 + 9 = 18 + 9
18 = 18 เปน็ สมการที่เป็นจรงิ
3 + x = 27 ดงั นน้ั 24 เป็นคาตอบของสมการ
นา –3 มาบวกทั้งสองขา้ งของสมการ
จะได้ 3 + x + (–3 ) = 27 + (– 3) 3 + x – 9 = 18

x = 24
ตอบ 24

35

ข้อที่ ตรวจสอบคำตอบ
5.7) แทน x ดว้ ย 98 ในสมการ
5.7) x  5 19
x  5 19
7 7

วธิ ีทา นา – 5 มาบวกท้ังสองขา้ งของสมการ จะได้ 98 + 5 = 19

จะได้ x + 5 + (– 5 ) = 19 + ( – 5 ) 7

7 14 + 5 = 19
19 = 19 เปน็ สมการที่เป็นจริง
x = 14
ดงั นั้น 98 เปน็ คาตอบของสมการ
7
x  5  19
นา 7 มาคณู ท้งั สองข้างของสมการ 7

จะได้ x  7 = 14  7
= 98
7

x

ตอบ 98

5.8) 5 ( x – 3) = 30 5.8) แทน x ดว้ ย 9 ในสมการ 5 ( x –3) = 30
5 x – 15 = 30 จะได้ 5(9 – 3) = 30

วิธที า นา 15 มาบวกทง้ั สองข้างของสมการ 45 – 15 = 30
จะได้ 5 x – 15 + 15 = 30 + 15 30 = 30 เปน็ สมการทเ่ี ปน็ จริง

5 x = 45 ดงั น้ัน 9 เป็นคาตอบของสมการ
5 ( x – 3) = 30
นา 1 มาคณู ทงั้ สองข้างของสมการ

5

จะได้ 5x 1  = 45   1 

5 5

x =9
ตอบ 9

36

เฉลยแบบฝึกทกั ษะท่ี 2

เฉลยข้อที่ 1

1. จงแกส้ มการ x + 2 = 2 x – 1

3 53

วิธีทำ x+2= 2x–1
3 53
นา ค.ร.น. ของ 5 และ 3 คือ 15 มาคณู ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ 15  x  2  = 15  2 x  1 
 3 5 3

15 x + 15 × 2 = 15 × 2 x – 15 × 1

3 53

15 x + 10 = 6 x – 5
นา – 6 x มาบวกท้ังสองข้างของสมการ
จะได้ 15 x + 10 + ( – 6 x ) = 6 x – 5 + ( – 6 x )

9 x + 10 = – 5
นา – 10 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 9 x + 10 + ( – 10 ) = – 5 + ( – 10 )

9 x = – 15

นา 1 มาคณู ทั้งสองขา้ งของสมการ 9x  1 = 15 1

9 99

จะได้ x = –5

ตรวจสอบ แทนค่า x = – 5 ในสมการ 3

3 x+2 = 2x–1

3 53

จะได้ – 5 + 2 = 2 ×   5  – 1

3 3 5  3 3

–3 = –2–1

3 33

– 3 = – 3 เปส็ มการที่เปน็ จรงิ

33

ดงั นน้ั – 5 เปน็ คาตอบของสมการ x+2 = 2 –1

3 x
35 3
ตอบ – 5

3

37

เฉลยข้อท่ี 2

2. จงแกส้ มการ ( x – 7 ) = – 3 ( 2 x – 3 )
วิธที ำ 5 ( x – 7 ) = – 3 ( 2 x – 3 )

5 x – 35 = – 6 x + 9

นา 6 x บวกทั้งสองขา้ งของสมการ

จะได้ 5 x – 35 + 6 x = –6x +9+6x
9
11 x – 35 =

นา 35 บวกท้ังสองข้างของสมการ

จะได้ 11 x – 35 + 35 = 9 + 35

11 x = 44

นา 1 มาคณู ทง้ั สองข้างของสมการ

11

จะได้ 11x  1 = 44  1
11 11

x= 4
5(x –7) = –3(2x –3)
ตรวจสอบ แทนค่า x ด้วย 4 ในสมการ 5(4–7) = –3(2×4–3)

จะได้

5(4–7) = –3(8–3)

20 – 35 = – 24 + 9

– 15 = – 15 เปน็ สมการที่เปน็ จรงิ

ดังน้นั 4 เปน็ คาตอบของสมการ 5 ( x – 7 ) = – 3 ( 2 x – 3 )
ตอบ 4

38

เฉลยข้อที่ 3

3. จงแกส้ มการ – 3 ( 2y – 4 ) = –(y+3)

วิธที ำ จากสมการ – 3 ( 2y – 4 ) = – ( y + 3 )

จะได้ – 6y + 12 = – y – 3

นา 6y มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ – 6y + 12 + 6y = – y – 3 + 6y

12 = – 3 + 5y

นา 3 มาบวกทัง้ สองขา้ งของสมการ 12 + 3 = – 3 + 5y + 3
จะได้

15 = 5y

นา 1 มาคูณทงั้ สองข้างของสมการ

5

จะได้ 15  1 = 5y  1

55

3= y

ตรวจสอบ แทนค่า y ดว้ ย 3 ในสมการ – 3 ( 2y – 4 ) = – ( y + 3 )

จะได้ – 3 ( 2 × 3 – 4 ) = – ( 3 + 3 )

–3(6–4) = –6

– 18 + 12 = – 6

– 6 = – 6 เปน็ สมการที่เปน็ จรงิ

ดังนน้ั 3 เป็นคาตอบของสมการ – 3 ( 2y – 4 ) = – ( y + 3 )

ตอบ 3

39

เฉลยข้อที่ 4

4. จงแกส้ มการ 5(x 1) – 2  3x = 37

23 3

วธิ ที ำ 5(x 1) – 2  3x = 37
23 3

นา ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คอื 6 มาคูณทง้ั สองขา้ งของสมการ

6  5 ( x  1 )  2  3x  = 6 × 37
2 3 3

6  5 ( x  1 )   6  2  3x  = 74

 2  3

15 ( x + 1 ) – 2 ( 2 – 3 x ) = 74
15 x + 15 – 4 + 6 x = 74
21 x + 11 = 74

นา – 11 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 21 x + 11 + ( – 11 ) = 74 + ( – 11 )

21 x = 63

นา 1 มาคูณทั้งสองขา้ งของสมการ

21

จะได้ 21x  1 = 63  1

21 21

x =3

ตรวจสอบ แทนค่า x เทา่ กบั 3 ในสมการ 5(x 1) – 2  3x = 37
23 3

จะได้ 5 (3  1) – 2  (3 3) = 37

23 3

10    7  = 37
3 3

10 + 7 = 37

33

37 = 37 เปน็ สมการท่เี ปน็ จรงิ

33

ดงั นั้น 3 เปน็ คาตอบของสมการ 5 ( x 1) – 2  3x = 37
23 3

ตอบ 3

40

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

รำยวชิ ำ คณติ ศำสตรพ์ ้ืนฐำน รหัสวิชำ ค22102 ชนั้ มัธยมศึกษำปีที่ 2
เรือ่ ง กำรประยกุ ต์ของสมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว (ทบทวนกำรแกส้ มกำรเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว)

ตวั เลอื ก ตวั เลือก ตวั เลือก
ขอ้ ก ข ค ง ขอ้ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

1  11  21

2 12  22

3  13  23

4  14  24

5  15  25

6  16  26

7  17  27

8  18  28

9  19  29

10  20  30

41

เกณฑ์กำรให้คะแนน

แบบฝกึ ทักษะที่ 1

ข้อท่ี 1 มี 15 ข้อย่อย เขียนตอบได้ถูกต้องใหค้ ะแนนขอ้ ละ 1 คะแนน รวม 15 คะแนน
ข้อท่ี 2 มี 10 ข้อย่อย เขียนตอบได้ถูกต้องให้คะแนนขอ้ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน
ข้อที่ 3 มี 10 ข้อย่อย เขยี นตอบได้ถกู ต้องใหค้ ะแนนข้อละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน
ข้อท่ี 4 มี 10 ข้อย่อย เขยี นตอบได้ถูกต้องให้คะแนนข้อละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน
ขอ้ ท่ี 5 มี 8 ขอ้ ย่อย ในแตล่ ะขอ้ ย่อยมีเกณฑ์การให้คะแนน ดังนี้

1) เขียนแก้สมการไดถ้ ูกต้องให้คะแนนข้อละ 2 คะแนน รวม 16 คะแนน
2) เขียนตรวจสอบคาตอบได้ถกู ต้องให้คะแนนขอ้ ละ 1 คะแนน รวม 8 คะแนน
รวมทั้งหมด 24 คะแนน

แบบฝกึ ทักษะที่ 2

ขอ้ ที่ 1 ขน้ั ท่ี 1 เขียนการทาความเข้าใจปัญหาได้ถกู ต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขนั้ ที่ 2 เขียนการวางแผนแก้ปญั หาได้ถกู ต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขน้ั ท่ี 3 เขียนการดาเนินการตามแผนที่วางไวไ้ ด้ถูกต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ข้นั ที่ 4 เขยี นตรวจสอบคาตอบได้ถกู ต้องให้คะแนน 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

ขอ้ ที่ 2 ขั้นท่ี 1 เขียนการทาความเข้าใจปญั หาได้ถกู ต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขั้นที่ 2 เขยี นการวางแผนแก้ปัญหาได้ถูกต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขั้นท่ี 3 เขียนการดาเนินการตามแผนทว่ี างไวไ้ ดถ้ ูกต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขั้นที่ 4 เขยี นตรวจสอบคาตอบได้ถูกต้องให้คะแนน 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

ขอ้ ท่ี 3 ขั้นท่ี 1 เขียนการทาความเข้าใจปัญหาได้ถกู ต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขน้ั ที่ 2 เขยี นการวางแผนแกป้ ญั หาได้ถูกต้องใหค้ ะแนน 3 คะแนน
ขน้ั ที่ 3 เขยี นการดาเนินการตามแผนท่วี างไว้ไดถ้ ูกต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขั้นท่ี 4 เขยี นตรวจสอบคาตอบได้ถูกต้องให้คะแนน 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

ข้อท่ี 4 ขน้ั ที่ 1 เขยี นการทาความเข้าใจปัญหาได้ถกู ต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขน้ั ท่ี 2 เขียนการวางแผนแก้ปัญหาได้ถูกต้องใหค้ ะแนน 3 คะแนน
ขั้นท่ี 3 เขยี นการดาเนนิ การตามแผนทว่ี างไวไ้ ดถ้ ูกต้องให้คะแนน 3 คะแนน
ขนั้ ที่ 4 เขียนตรวจสอบคาตอบได้ถกู ต้องให้คะแนน 1 คะแนน
รวม 10 คะแนน

42

ร้อยละของคะแนน เกณฑ์กำรประเมนิ ระดบั คุณภำพ
ต่ำกวำ่ 50 ปรบั ปรุง
50 – 74 ผลกำรประเมนิ พอใช้
75 – 84 ไม่ผา่ น ดี
85 ขึน้ ไป ผา่ น ดมี ำก
ผ่าน
ผ่ำน

43

ตำรำงบันทึกคะแนน

ช่ือ – สกลุ ........................................................................ชั้น...................เลขที.่ ................

ข้อท่ี คะแนนเตม็ แบบฝึกทักษะที่ 1 กำรประเมนิ ผล
คะแนนที่ได้
1 15 ผลกำรประเมนิ
2 10 คะแนน คิดเป็นรอ้ ยละ □ ผ่ำน □ ไม่ผำ่ น
3 10
4 10 แบบฝึกทกั ษะที่ 2 ระดับคุณภำพ
5.1 – 5.4 12 คะแนนทไี่ ด้ □ ปรับปรงุ
5.5 – 5.8 12 □ พอใช้
รวม 69 คะแนน คิดเป็นร้อยละ □ ดี
□ ดมี ำก
ข้อที่ คะแนนเต็ม
กำรประเมินผล
1 10
2 10 ผลกำรประเมิน
3 10 □ ผำ่ น □ ไมผ่ ่ำน
4 10
รวม 40 ระดับคณุ ภำพ
□ ปรับปรุง
รวมทั้งชุด 109 □ พอใช้
□ ดี
□ ดมี ำก

ผลกำรประเมิน
□ ผ่ำน □ ไม่ผำ่ น

ระดบั คุณภำพ
□ ปรับปรงุ
□ พอใช้
□ ดี
□ ดมี ำก

44

บรรณำนุกรม

โชคชัย สริ หิ าญอุดม . สำระกำรเรียนรู้พนื้ ฐำนคณติ ศำสตร์ แบบฝึกหัดคณติ ศำสตร์ ม.1 เล่ม 2.
รำยวชิ ำพื้นฐำน กรุงเทพฯ : เดอะบุ๊คส์, 2553.

โชคชัย สิริหาญอุดม . สำระกำรเรียนรพู้ ืน้ ฐำนคณติ ศำสตร์ แบบฝึกหดั คณิตศำสตร์ ม.2 เล่ม 2.
รำยวชิ ำพ้ืนฐำน กรงุ เทพฯ : เดอะบุ๊คส์, 2554.

นพพร แหยมแสง .สำระกำรเรียนรู้พน้ื ฐำนคณิตศำสตร์ หนังสือเรยี นคณติ ศำสตร์ ม.2 เลม่ 2.
กรุงเทพฯ : แมค็ , 2554.

วาสนา ทองการณุ . สำระกำรเรียนรู้พน้ื ฐำนคณิตศำสตร์ คณติ ศำสตร์ ม.2 เล่ม 2. รำยวชิ ำ
พนื้ ฐำน กรุงเทพฯ : เดอะบุ๊คส์, 2554.

สเุ ทพ จันทรส์ มบูรณ์กลุ .สื่อรำยวชิ ำคณิตศำสตรพ์ ืน้ ฐำน ม.1 เล่ม 2. กรงุ เทพฯ : เดอะบุ๊คส์,
2553.

สเุ ทพ จนั ทรส์ มบรู ณ์กุล .สอ่ื รำยวชิ ำคณิตศำสตร์พนื้ ฐำน ม.2 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบุ๊คส์,
2554.

สพุ จน์ ภญิ โญภสั สรสริ .ิ สำระกำรเรียนรู้พ้นื ฐำนคณิตศำสตร์ คณิตศำสตร์ชว่ งชน้ั ที่ 3. ม.2 ภำค
เรียนท่ี 2 กรุงเทพฯ : หจก. สามลดา, 2555.

. คูม่ ือครสู ำระกำรเรียนรู้พืน้ ฐำนคณติ ศำสตร์ เลม่ 2 กลุ่มสำระกำรเรียนรู้
คณิตศำสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษำปที ี่ 2 ตามหลักสตู รมธั ยมศกึ ษาตอนตน้ พุทธศกั ราช 2544.
กรงุ เทพฯ : โรงพิมพค์ ุรสุ ภาลาดพร้าว, 2554.

. หนังสือเรียนสำระกำรเรยี นรู้พื้นฐำนคณิตศำสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสำระกำรเรียนรู้
คณติ ศำสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษำปที ี่ 2 ตามหลกั สูตรการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน พุทธศักราช 2544.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว, 2555.

. หนงั สือเรียนสำระกำรเรียนรู้พ้นื ฐำนคณิตศำสตร์ เล่ม 2 กลมุ่ สำระกำรเรยี นรู้
คณติ ศำสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษำปีท่ี 1 ตามหลักสตู รการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2544.
กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2553.

. คูม่ ือครูรำยวิชำพ้นื ฐำน คณติ ศำสตร์ เลม่ 2 ชั้นมธั ยมศึกษำปีท่ี 3 กลุ่มสำระกำร
เรยี นร้คู ณิตศำสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : สกสค., 2555.

45

. หนังสอื เรียนรำยวิชำพื้นฐำน คณติ ศำสตร์ เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษำปีที่ 3 กลุ่มสำระ
กำรเรียนรู้ คณติ ศำสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : สกสค., 2554.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนงั สือเรียนสำระกำรเรียนรู้พ้ืนฐำน
คณติ ศำสตร์ เลม่ 2 กลุ่มสำระกำรเรยี นรู้คณติ ศำสตร์ ช้ันมัธยมศึกษำปที ่ี 3. กรุงเทพมหานคร :
ครุ สุ ภาลาดพรา้ ว, 2553.

. คู่มอื ครสู ำระกำรเรียนรพู้ ื้นฐำนคณติ ศำสตร์ เล่ม 2 กลมุ่ สำระกำรเรียนร้คู ณิตศำสตร์
ชนั้ มัธยมศึกษำปีท่ี 3. กรุงเทพมหานคร : คุรสุ ภาลาดพรา้ ว, 2553.