โครงงานการออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วยโปรแกรม GSP

การออกแบบลวดลายกระเบื้องดว้ ยโปรแกรม GSP

โดย
นายภานุพงศ์ หาญยงิ่ รหัสนกั ศึกษา 61191400104
นางสาวกรองแกว้ คำนนท์ รหสั นักศกึ ษา 61191400111

รายงานนเี้ ป็นส่วนหน่ึงของรายวชิ า 4094902 โครงงานคณติ ศาสตร์
หลกั สูตรครศุ าสตรบณั ฑติ สาขาวิชาคณิตศาสตร์
มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั สรุ ินทร์
ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2564



การออกแบบลวดลายกระเบ้ืองด้วยโปรแกรม GSP

โดย
นายภานพุ งศ์ หาญยง่ิ รหัสนกั ศึกษา 61191400104
นางสาวกรองแกว้ คำนนท์ รหัสนกั ศึกษา 61191400111

อาจารย์ทป่ี รึกษา
อาจารย์อรุณธดิ า สเี ชียงหา

รายงานนี้เป็นสว่ นหนึง่ ของรายวิชา 4094902 โครงงานคณติ ศาสตร์
หลกั สตู รครุศาสตรบณั ฑติ สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์
มหาวิทยาลยั ราชภฏั สุรินทร์
ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2564

โครงงานฉบับนี้เสนอต่อคณะกรรมการ สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสาขาวิชาสถิติประยุกต์
คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภฏั สุรินทร์

โดย นายภานุพงศ์ หาญยิง่
นางสาวกรองแก้ว คำนนท์

ชอ่ื เร่อื ง การออกแบบลวดลายกระเบอื้ งดว้ ยโปรแกรม GSP
คณะกรรมการที่ปรึกษาโครงงาน และคณะกรรมการสอบได้พิจารณาโครงงานฉบับนี้แล้ว
เห็นสมควรรับเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรครุศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตร์
มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั สุรนิ ทร์

.................................................................................กรรมการสอบ
(อาจารยอ์ รณุ ธิดา สีเชยี งหา)

.................................................................................กรรมการสอบ
(อาจารย์ ดร.ประฎชิ ญา สรอ้ ยจติ ร)

.................................................................................อาจารยท์ ปี่ รึกษา
(อาจารย์พนดิ า คำแปล)

สาขาวิชาคณิตศาสตร์และสาขาวิชาสถิติประยุกต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร์ อนุมัติให้รับโครงงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตร
ครศุ าสตรบัณฑิต สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ มหาวทิ ยาลัยราชภัฏสุรินทร์

.................................................................................
( อาจารย์ ดร.ประฎชิ ญา สรอ้ ยจิตร )
ประธานหลักสตู ร
ผอู้ นุมัติโครงงานคณติ ศาสตร์

วนั ท.ี่ ........เดอื น........................พ.ศ.........................

ก

ชอื่ โครงงาน : การออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วยโปรแกรม GSP
ช่ือผู้จดั ทำ : นายภานุพงศ์ หาญยิง่
นางสาวกรองแกว้ คำนนท์
อเี มล : [email protected]
หลกั สตู ร : ครศุ าสตร์บณั ฑิต สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์และ
เทคโนโลยี มหาวิทยาลยั ราชภัฏสรุ ินทร์
ทปี่ รึกษาโครงงาน : อาจารยอ์ รุณธดิ า สเี ชียงหา
ระยะเวลาในการดำเนินงาน : ภาคเรียนที่ 1/2564

บทคดั ย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่องการออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วยโปรแกรม GSP มี
วัตถุประสงค์เพื่อออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วยโปรแกรม GSP และเพื่อศึกษาความพึงพอใจของ
นกั ศึกษาทม่ี ีต่อลวดลายกระเบ้ือง ลวดลายกระเบ้ืองดว้ ยโปรแกรม GSP จากการศกึ ษาทำให้สามารถ
ออกแบบลวดลายต่างๆ ได้ในการออกแบบโดยใช้โปรแกรม GSP ประกอบไปด้วย 3 ลายด้วยกัน
โครงงานนผ้ี ูจ้ ดั ทำไดส้ รา้ งโครงงานข้ึน ประกอบการสำรวจความพึงพอใจของกล่มุ ตัวอย่าง เครือ่ งมือที่
ใชใ้ นการเกบ็ ข้อมูล คือ แบบสอบถามความพึงพอใจท่มี ีตอ่ ลายจากโปรแกรม GSP แบบประเมนิ ความ
พึงพอใจที่มีต่อชิ้นงานจากโครงงาน เรื่องการออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วยโปรแกรม GSP แล้ว
วิเคราะห์ข้อมลู โดยใช้แบบสอบถาม แบบประเมิน และเอกสารท่ีเกี่ยวข้องวิเคราะหโ์ ดยหาค่าร้อยละ
ค่าเฉลยี่ และค่าส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน (S.D.)

ผลจากการสำรวจความพึงพอใจของโครงงาน เรื่องการออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วย
โปรแกรม GSP นกั ศกึ ษามหาวทิ ยาลยั ราชภัฏสุรินทร์ พบว่า ผ้ตู อบแบบสอบถามความพึงพอใจท่ีมีต่อ
ลาย ด้วยโปรแกรม GSP กลุ่มตัวอย่างจำนวน 50 คน จำแนกตามลำดับความพึงพอใจที่มีต่อลาย
ท้งั หมด คือ ลายที่ 1 จำนวน 13 คน (รอ้ ยละ 26) ลายที่ 2 จำนวน 21 คน (รอ้ ยละ 42) และลายท่ี
3 จำนวน 16 คน (ร้อยละ 32) และ ผตู้ อบแบบประเมินความพงึ พอใจต่อช้ินงานโครงงาน เรื่องการ
ออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วยโปรแกรม GSP ศึกษากลุ่มตัวอย่าง 100 คน ในระดับความพึงพอใจ
มากท่สี ุด ค่าเฉลีย่ 4.78 เม่อื พจิ ารณาเปน็ รายข้อ พบว่าผูต้ อบแบบสอบถามมีความพึงพอใจมากท่ีสุด
ทุกข้อ โดย 5 อันดับแรก ได้แก่ ชิ้นงานมีความสวยงาม/มีความคิดสร้างสรรค์ ค่าเฉลี่ย 4.94 ใช้
โปรแกรม GSP ออกแบบลายกระเบื้องได้สวยงามและเหมาะสม ค่าเฉลี่ย 4.90 ชิ้นงานมีขนาดที่
เหมาะสม ค่าเฉลี่ย 4.88 ความพอใจในภาพรวมของชิ้นงาน ค่าเฉลี่ย 4.87 สามารถสร้างลายเพ่ือ
เพิม่ มลู ค่าของกระเบือ้ งได้ ค่าเฉลี่ย 4.81 ตามลำดบั

ข

กติ ติกรรมประกาศ

โครงงานคณิตศาสตร์ เร่อื งการออกแบบลวดลายกระเบอ้ื งดว้ ยโปรแกรม GSP ฉบบั นี้สำเร็จ
ลุล่วงไปได้ด้วยดีด้วยความสนับสนุนจากอาจารย์ที่ปรึกษาโครงงาน และความร่วมมือจากนักศึกษา
มหาวทิ ยาลัยราชภัฏสรุ ินทร์ทไ่ี ดม้ ีส่วนร่วมในการตอบแบบสอบถามความพึงพอใจตอ่ ชิน้ งานโครงงาน
การออกแบบลวดลายกระเบื้องดว้ ยโปรแกรม GSP ที่ทำให้โครงงานฉบับนี้เสร็จสมบูรณ์

อน่งึ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง การออกแบบลวดลายกระเบอ้ื งด้วยโปรแกรม
GSP ในครั้งนี้ ขอขอบคุณสาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติประยุกต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั สุรินทร์ และทกุ ท่านทใี่ ห้คำแนะนำตลอดจนการให้แนวคดิ ตา่ งๆ ในการออกแบบ
โครงงาน เรอื่ งการออกแบบลวดลายกระเบอ้ื งด้วยโปรแกรม GSP

สุดท้ายนี้หวังว่าโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่องการออกแบบลวดลายกระเบื้องด้วยโปรแกรม
GSP และการพน่ ทรายลงไปให้เกิดลายบนกระเบื้องของผ้ทู ่สี นใจตอ่ ไป

นายภานุพงศ์ หาญยิ่ง
นางสาวกรองแก้ว คำนนท์

ค

สารบญั

หน้า

บทคดั ย่อ ............................................................................................................................................. ก
กิตติกรรมประกาศ .............................................................................................................................. ข
สารบญั ................................................................................................................................................ ค
สารบัญ (ต่อ).........................................................................................................................................ง
สารบญั ตาราง...................................................................................................................................... จ
สารบัญภาพ......................................................................................................................................... ฉ
สารบญั ภาพ (ตอ่ ) ................................................................................................................................ ช
สารบัญภาพ (ตอ่ ) ................................................................................................................................ ซ
สารบญั ภาพ (ตอ่ ) ............................................................................................................................... ฌ
สารบญั ภาพ (ตอ่ ) ............................................................................................................................... ญ
สารบัญภาพ (ต่อ) ................................................................................................................................ฏ

บทนำ.................................................................................................................................... 1
1.1 ทม่ี าและความสำคญั ..................................................................................................... 1
1.2 วัตถุประสงคข์ องการศึกษา............................................................................................ 2
1.3 ขอบเขตการศกึ ษาโครงงาน........................................................................................... 2
1.4 นิยามศพั ทเ์ ฉพาะ........................................................................................................... 2
1.5 ประโยชนท์ ค่ี าดวา่ จะได้รับ ............................................................................................ 3
เอกสารทีเ่ ก่ียวขอ้ ง ................................................................................................................ 4
2.1 สมการทางคณิตศาสตร์ ................................................................................................. 4
2.2 การแปลงทางเรขาคณิต............................................................................................... 13
2.3 โปรแกรม Geometer's Sketchpad (GSP) ............................................................... 17
2.4 กระเบ้อื ง...................................................................................................................... 32
2.5 การพน่ ทราย................................................................................................................ 35
2.6 การวดั ความพึงพอใจ................................................................................................... 39
2.7 งานวิจยั และเอกสารท่เี กี่ยวข้อง................................................................................... 41
วิธีการดำเนนิ งาน ................................................................................................................ 43
3.1 ขนั้ ตอนการดำเนินงาน................................................................................................. 43

ง

สารบญั (ต่อ)

หน้า

3.2 วสั ดุอปุ กรณ์................................................................................................................. 67
3.3 สถานท่ีและระยะเวลา ................................................................................................. 67
3.4 ปฏทิ ินการดำเนินงาน .................................................................................................. 68
ผลการดำเนนิ การวิเคราะห์ข้อมลู ........................................................................................ 69
4.1 ผลการดำเนนิ งาน........................................................................................................ 69
บทท่ี 5 สรปุ และข้อเสนอแนะ ........................................................................................................ 74
5.1 สรปุ ผลการดำเนนิ งาน................................................................................................. 74
5.2 อภิปรายผลโครงงาน.................................................................................................... 74
5.3 ปัญหาทพี่ บจากการสรา้ งช้นิ งาน.................................................................................. 75
5.4 ประโยชน์ท่ีได้รับจากการดำเนนิ งาน............................................................................ 75
5.5 ขอ้ เสนอแนะ................................................................................................................ 75
บรรณานุกรม..................................................................................................................................... 76
ภาคผนวก ..........................................................................................................................................77

จ

สารบญั ตาราง

หนา้

ตารางท่ี 2.1 สรา้ งตารางความสัมพันธ์ ............................................................................................... 5
ตารางท่ี 2.2 ตารางสมการพาราโบลา ............................................................................................... 8
ตารางท่ี 2.3 ส่วนประกอบของเมนแู ฟ้ม.......................................................................................... 23
ตารางที่ 2.4 ส่วนประกอบของเมนูแฟ้ม (ตอ่ ).................................................................................. 24
ตารางท่ี 2.5 สว่ นประกอบของเมนูแก้ไข......................................................................................... 24
ตารางท่ี 2.6 สว่ นประกอบของเมนแู กไ้ ข (ต่อ)................................................................................. 25
ตารางท่ี 2.7 สว่ นประกอบของเมนูแสดงผล.................................................................................... 26
ตารางท่ี 2.8 สว่ นประกอบของเมนสู ร้าง ......................................................................................... 27
ตารางท่ี 2.9 ส่วนประกอบของเมนูการแปลง .................................................................................. 28
ตารางท่ี 2.10 ส่วนประกอบของเมนูการวดั .................................................................................... 29
ตารางท่ี 2.11 สว่ นประกอบของเมนูกราฟ ...................................................................................... 30
ตารางท่ี 3.1 ปฏิทินการดำเนินงาน.................................................................................................. 68
ตารางที่ 4.1 รอ้ ยละของผตู้ อบแบบถามความชอบตอ่ ลายท่ีไดจ้ ากโปรแกรม GSP จำแนกตาม

ความชอบต่อชิน้ งาน ในแต่ละลาย ............................................................................ 69
ตารางท่ี 4.2 จำนวนและร้อยละของผ้ตู อบแบบสอบถามจำแนกตามเพศ ........................................ 71
ตารางที่ 4.3 จำนวนและรอ้ ยละของผูต้ อบแบบสอบถามจำแนกตามชว่ งช้ันปี................................ 71
ตารางท่ี 4.4 จำนวนและร้อยละของผตู้ อบแบบสอบถามจำแนกตามคณะ...................................... 72
ตารางท่ี 4.5 ความพงึ พอใจตอ่ โครงงานเรอื่ ง การออกแบบลวดลายกระเบื้องดว้ ยโปรแกรม GSP... 73

ฉ

สารบญั ภาพ

หน้า

รปู ที่ 2.1 สมการกำลังสอง ax2 + bx + c = 0......................................................................... 4
รปู ที่ 2.2 กราฟสมการเชิงเสน้ 2 ตวั แปร............................................................................................. 5
รปู ท่ี 2.3 เรขาคณิตของวงกลม.......................................................................................................... 6
รูปท่ี 2.4 สมการพาลาโบลา................................................................................................................ 6
รปู ที่ 2.5 พาราโบลาหงายพาราโบลาซงึ่ มีจุดยอดท่ีจุด (0,0) และแกนของรปู ทับแกน Y..................... 7
รูปท่ี 2.6 พาราโบลาเปิดขวาพาราโบลาซ่งึ มจี ุดยอดทจี่ ดุ (0,0) และแกนของรูปทับแกน X................. 7
รูปท่ี 2.7 วงกลมหนึ่งหนว่ ยฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ.................................................................................... 8

รปู ท่ี 2.8 กรณี   0 หมุนทวนเขม็ นาฬกิ า ................................................................................ 9
รูปที่ 2.9 กรณี   0 หมุนตามเข็มนาฬิกา................................................................................. 9
รปู ที่ 2.10 กราฟ y = sinx เมื่อ −2  x  5 .............................................................. 10

2
รูปท่ี 2.11 กราฟ y = cos x เมอ่ื −2  x  2 ............................................................. 11
รปู ที่ 2.12 กราฟ y = tanx เม่อื −2  x  2 ............................................................. 11
รปู ท่ี 2.13 กราฟ y = cot x เมือ่ −2  x  2 ............................................................. 12
รปู ท่ี 2.14 กราฟ y = sec x เมอื่ กราฟเสน้ ทึบ............................................................................. 12
รูปที่ 2.15 กราฟ y = cosec x เมื่อกราฟเส้นทบึ ......................................................................... 13
รูปท่ี 2.16 สามเหล่ียม ABC.............................................................................................................. 14
รูปที่ 2.17 การสะทอ้ น ..................................................................................................................... 15
รปู ท่ี 2.18 เส้นสะทอ้ นไมข่ นานแกน X และไม่ขนานกบั แกน Y........................................................ 16
รูปท่ี 2.19 การหมนุ .......................................................................................................................... 17
รูปที่ 2.20 เปิดโปรแกรมโดยการดับเบิ้ลคลิกไอคอน ท่ีอยู่หนา้ DESKTOP จะปรากฏ ........................ 20
รปู ที่ 2.21 กล่องเครอื่ งมอื การใช้งานโปรแกรม GSP ........................................................................ 20
รปู ท่ี 2.22 ลักษณะเครื่องมือลกู ศร ................................................................................................... 20
รูปที่ 2.23 ลกั ษณะเคร่ืองมอื ลงจดุ ................................................................................................... 21
รปู ที่ 2.24 ลักษณะเครอื่ งมอื วงเวียน................................................................................................ 21
รปู ที่ 2.25 ลักษณะเครือ่ งมอื เขียนเสน้ ในแนวตรง ............................................................................ 22

ช

สารบญั ภาพ (ต่อ)

หน้า

รูปที่ 2.26 ลกั ษณะเครื่องมือสร้างข้อความ....................................................................................... 22
รปู ที่ 2.27 ลักษณะเคร่ืองมือกำหนดเอง........................................................................................... 23
รูปท่ี 2.28 การใชเ้ มนูแฟ้ม................................................................................................................ 23
รูปที่ 2.29 การใช้เมนแู กไ้ ข............................................................................................................... 24
รูปท่ี 2.30 การใชเ้ มนูแสดงผล.......................................................................................................... 25
รูปที่ 2.31 การใชเ้ มนูสรา้ ง ............................................................................................................... 27
รปู ที่ 2.32 การใชเ้ มนกู ารแปลง........................................................................................................ 28
รปู ที่ 2.33 การใช้เมนูการวัด............................................................................................................. 29
รปู ที่ 2.34 การใช้เมนูกราฟ .............................................................................................................. 30
รปู ท่ี 2.35 การใช้เมนูกราฟสร้างกรดิ เชิงข้ัว...................................................................................... 31
รปู ท่ี 2.36 การใช้เมนูกราฟสร้างกรดิ จตั รุ ัส....................................................................................... 31

รปู ท่ี 2.37 การเขียนกราฟของฟังกช์ ัน f ( x) = x .................................................................31

รูปที่ 2.38 กราฟของฟงั ก์ชนั f ( x) = x ................................................................................31

รูปที่ 2.39 กระเบอ้ื งดนิ เผา............................................................................................................... 33
รูปที่ 2.40 กระเบื้องเซรามกิ ............................................................................................................. 33
รูปที่ 2.41 กระเบื้องโมเสค ............................................................................................................... 34
รูปท่ี 2.42 กระเบอ้ื งแกว้ .................................................................................................................. 34
รูปท่ี 2.43 กระเบ้อื งพอร์ซเลน.......................................................................................................... 35
รูปท่ี 2.44 กระเบือ้ งแกรนิตโต้.......................................................................................................... 35
รูปที่ 2.45 เคร่ืองพ่นทรายแบบเป็นตู้ ............................................................................................... 37
รูปท่ี 2.46 เครอ่ื งพน่ ทรายขนาดใหญ่แบบอัตโนมัติ.......................................................................... 37
รปู ที่ 2.47 เครื่องพ่นทรายแรงดันสงู ................................................................................................. 38
รปู ที่ 2.48 ตวั อย่างการติดสติกเกอร์เพอ่ื สร้างลาย............................................................................ 38
รปู ที่ 2.49 การขัดผิวโลหะด้วยวธิ ีการพ่นทราย ................................................................................ 39
รปู ท่ี 2.50 เครอ่ื งปมั๊ ลม .................................................................................................................... 39
รูปที่ 3.1 โปรแกรม GSP................................................................................................................... 43

ซ

สารบญั ภาพ (ตอ่ )

หน้า

รปู ท่ี 3.2 แถบเครอ่ื งมือกราฟ........................................................................................................... 43
รปู ที่ 3.3 กล่องใส่สมการ .................................................................................................................. 44
รูปที่ 3.4 กราฟจากเสน้ ของสมการที่ 1............................................................................................. 44
รูปท่ี 3.5 กราฟจากเสน้ ของสมการที่ 2............................................................................................ 44
รปู ที่ 3.6 กราฟจากเส้นของสมการที่ 3............................................................................................. 44
รูปท่ี 3.7 กราฟจากเสน้ ของสมการที่ 4............................................................................................. 44
รปู ที่ 3.8 กราฟจากเส้นของสมการที่ 5 - 6....................................................................................... 45
รปู ที่ 3.9 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี 7 – 10.................................................................................... 45
รูปท่ี 3.10 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 45
รปู ที่ 3.11 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 45
รูปท่ี 3.12 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 45
รูปท่ี 3.13 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 45
รปู ที่ 3.14 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 46
รปู ท่ี 3.15 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 46
รปู ที่ 3.16 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี 33 ........................................................................................ 46
รูปท่ี 3.17 กราฟจากเส้นของสมการที่ 34 ........................................................................................ 46
รูปที่ 3.18 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี 35 ........................................................................................ 46
รปู ที่ 3.19 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี 36 ........................................................................................ 46
รปู ท่ี 3.20 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 47
รูปที่ 3.21 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 47
รูปท่ี 3.22 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 47
รูปที่ 3.23 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 47
รูปท่ี 3.24 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 47
รูปท่ี 3.25 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 47
รูปที่ 3.26 กราฟจากเสน้ ของสมการทงั้ หมด .................................................................................... 48
รปู ท่ี 3.27 กราฟจากเสน้ ของสมการทั้งหมดเมอ่ื จำลองการพ่นทราย............................................... 48
รปู ท่ี 3.28 การใช้สมบตั กิ ารสะท้อน หรอื การเลื่อนขนาน................................................................. 48

ฌ

สารบญั ภาพ (ต่อ)

หน้า

รปู ท่ี 3.29 กราฟจากเส้นของสมการท่ี 1 .......................................................................................... 49
รูปที่ 3.30 กราฟจากเส้นของสมการท่ี 2 .......................................................................................... 49
รูปท่ี 3.31 กราฟจากเสน้ ของสมการที่ 3 .......................................................................................... 49
รปู ท่ี 3.32 กราฟจากเสน้ ของสมการที่ 4 .......................................................................................... 49
รูปที่ 3.33 กราฟจากเส้นของสมการที่ 5 .......................................................................................... 49
รูปที่ 3.34 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี 6 .......................................................................................... 49
รูปท่ี 3.35 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 50
รูปท่ี 3.36 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 50
รปู ที่ 3.37 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 50
รูปท่ี 3.38 กราฟจากเส้นของสมการท่ี 25 ........................................................................................ 50
รปู ที่ 3.39 กราฟจากเสน้ ของสมการที่ 26 ........................................................................................ 50
รปู ท่ี 3.40 กราฟจากเส้นของสมการท่ี 27-28 .................................................................................. 50
รูปที่ 3.41 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 51
รูปที่ 3.42 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 51
รปู ที่ 3.43 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 51
รูปท่ี 3.44 กราฟจากเสน้ ของสมการที่ 37 ........................................................................................ 51
รูปท่ี 3.45 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี 38 ........................................................................................ 51
รูปที่ 3.46 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 51
รปู ท่ี 3.47 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 52
รูปที่ 3.48 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 52
รูปท่ี 3.49 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 52
รปู ที่ 3.50 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 52
รปู ที่ 3.51 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 52
รูปท่ี 3.52 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 52
รปู ที่ 3.53 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 53
รูปที่ 3.54 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 53
รูปท่ี 3.55 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 53

ญ

สารบญั ภาพ (ต่อ)

หน้า

รปู ที่ 3.56 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 53
รปู ที่ 3.57 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 53
รูปที่ 3.58 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 53
รูปที่ 3.59 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 54
รปู ที่ 3.60 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 54
รปู ที่ 3.61 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 54
รปู ท่ี 3.62 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 54
รูปที่ 3.63 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 54
รปู ที่ 3.64 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 54
รปู ท่ี 3.65 กราฟจากเส้นของสมการทง้ั หมด .................................................................................... 55
รูปที่ 3.66 กราฟจากเสน้ ของสมการทง้ั หมดเมอื่ จำลองการพ่นทราย ............................................... 55
รูปที่ 3.67 การใช้สมบัติการสะท้อน หรือการเลือ่ นขนาน................................................................. 55
รูปที่ 3.68 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี 1 – 8.................................................................................... 56
รปู ท่ี 3.69 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 56
รูปที่ 3.70 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 56
รปู ที่ 3.71 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 56
รปู ท่ี 3.72 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 56
รูปที่ 3.73 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 56
รูปท่ี 3.74 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 57
รูปที่ 3.75 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 57
รปู ท่ี 3.76 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 57
รปู ที่ 3.77 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 57
รูปที่ 3.78 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 57
รปู ท่ี 3.79 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 57
รปู ท่ี 3.80 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 58
รูปท่ี 3.81 กราฟจากเส้นของสมการที่.............................................................................................. 58
รูปท่ี 3.82 กราฟจากเส้นของสมการท่ี.............................................................................................. 58

ฎ

สารบญั ภาพ (ตอ่ )

หน้า

รูปท่ี 3.83 กราฟจากเสน้ ของสมการที่.............................................................................................. 58
รูปท่ี 3.84 กราฟจากเสน้ ของสมการท่ี.............................................................................................. 58
รูปท่ี 3.85 กราฟจากเสน้ ของสมการทง้ั หมด .................................................................................... 58
รปู ท่ี 3.86 กราฟจากเส้นของสมการทงั้ หมดเม่อื จำลองการพน่ ทราย ............................................... 59
รปู ท่ี 3.87 การใช้สมบตั ิการสะทอ้ น หรอื การเลือ่ นขนาน................................................................. 59
รูปที่ 3.88 ลายท่ี 1 จากการออกแบบลวดลายกระเบื้องดว้ ยโปรแกรม GSP .................................... 60
รปู ท่ี 3.89 ลายท่ี 2 จากการออกแบบลวดลายกระเบอื้ งด้วยโปรแกรม GSP .................................... 60
รปู ท่ี 3.90 ลายท่ี 3 จากการออกแบบลวดลายกระเบอื้ งดว้ ยโปรแกรม GSP .................................... 61
รูปที่ 3.91 ขน้ั ตอนท่ี 4.1 .................................................................................................................. 62
รูปที่ 3.92 ข้ันตอนที่ 4.2 .................................................................................................................. 62
รปู ที่ 3.93 ขั้นตอนที่ 4.3 .................................................................................................................. 62
รูปที่ 3.94 ขน้ั ตอนที่ 4.4 .................................................................................................................. 63
รูปท่ี 3.95 ขนั้ ตอนท่ี 4.5 .................................................................................................................. 63
รปู ที่ 3.96 ขั้นตอนที่ 4.6 .................................................................................................................. 63
รูปที่ 3.97 ขั้นตอนที่ 4.7 .................................................................................................................. 64
รปู ท่ี 3.98 ขนั้ ตอนที่ 4.8 .................................................................................................................. 64
รูปท่ี 3.99 ขั้นตอนท่ี 4.9 .................................................................................................................. 65
รปู ท่ี 4.1 ลายที่ได้คะแนนแบบสอบถามความชอบมากท่สี ุด............................................................. 71

1

บทนำ

1.1 ที่มาและความสำคญั
คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญต่อการดำเนินชีวิตประจำในทุกยุคทุกสมัยเนื่องจาก

คณิตศาสตร์ช่วยให้มนุษย์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ อย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถ
วิเคราะห์สถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดคะเน วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหาได้
อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างมีประสิทธิภาพ
กระทรวงศึกษาธกิ าร (2560 : 1)

คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาด้านวิทยาศาสตร์ และศาสตร์อื่นๆ อันเป็น
รากฐานในการพัฒนาทรัพยากรมนุษย์ของชาติให้มีคุณภาพและพัฒนาเศรษฐกิจของประเทศให้
ทัดเทียมกบั นานาชาติ นอกจากคณติ ศาสตร์จะชว่ ยในการดำเนนิ ชวี ิตประจำวันแล้ว เรายงั สามารถใช้
ความรู้คณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้ในการออกแบบลวดลายต่าง ๆ ในชีวิตประจำวันได้ด้วย ทั้งนี้ยัง
สามารถใช้ในการออกแบบลวดลายบนกระเบื้องได้อกี ดว้ ย

เชษฐ (2561) กล่าวว่า กระเบอ้ื ง ถอื ได้ว่าเป็นวัสดุสำคัญที่จะช่วยในการปพู ื้นบ้าน ติดผนัง
ซึ่งได้รับความนิยมมาอย่างยาวนาน กระเบื้องยังสามารถนำมาใช้ในการนำมาเพิ่มเสน่หข์ องตัวบ้าน
โดยกระเบื้องมีลวดลายที่แตกต่างกันมากมายหลายรูปแบบ เราจึงอยากที่จะนำเสนอการออกแบบ
ลวดลายบนกระเบื้อง โดยการใช้ชื่อโครงงาน การออกแบบลวดลายกระเบือ้ งด้วยโปรแกรม GSP ซึ่ง
การจัดทำโครงงานนี้เป็นการใช้สมการทางคณิตศาสตร์ เช่น สมการตรีโกณมิติ สมการพาลาโบลา
สมการวงกลม สมการเชิงเส้น ผสมผสานกระบวนการคิด และจัดวางลวดลายต่าง ๆ เข้าด้วยกัน
เพ่อื ให้ได้ลวดลายใหม่ๆ ทน่ี ่าสนใจ ดัง้ น้นั เราจงึ นำคณติ ศาสตร์มาประยกุ ต์ใชใ้ นการออกแบบลวดลาย
กระเบอ้ื งดว้ ยโปรแกรม GSP โดยใชว้ ธิ กี ารพน่ ทรายทำให้เกิดลวดลาย

การพ่นทราย เป็นกระบวนการขัดผิวชิ้นงานด้วยเครื่องพ่นทราย โดยมีแรงดันจากปั๊มลม
เป็นแรงขบั เคลอ่ื นทรายใหไ้ ปกระทบผิวของช้นิ งาน ทำใหข้ ดั ผวิ ไดร้ วดเร็ว เขา้ ถึงทกุ ซอกทุกมุม ซง่ึ การ
พน่ ทรายไมใ่ ช่การพน่ เพื่อให้ทรายไปติดท่ีผิวช้ินงาน แตเ่ ปน็ การเอาทรายไปขัดผิว การพ่นทรายจะให้
ผิวด้านเท่านั้น ไม่สามารถขัดให้เงาใสได้ ดังนั้นวิธีการพ่นทรายเหมาะแก่การนำมาทำลวดลายบน
กระเบอ้ื ง เพราะทำใหข้ ัดผวิ ได้รวดเร็ว เขา้ ถึงทกุ ซอกทกุ มุม ดีกว่าการขัดดว้ ยมือ

เสรี สขุ โยธนิ (2553) กล่าวว่า โปรแกรม Geometer's Sketchpad (GSP) เป็นโปรแกรมท่ี
เกี่ยวกับความรู้เชิงคณิตศาสตร์สามารถสร้างกราฟ หรือรูปเรขาคณิตต่าง ๆ สำหรับใช้ในการศึกษา
เรขาคณิต, พีชคณิต, กราฟ และแคลคูลัส สามารถใช้เป็นสื่อการสอนสำหรับผู้สอนใหน้ ักเรียนเข้าใจ

2

และมองเห็นภาพได้มากขึน้ นอกจากนยี้ งั สามารถนำมาใช้ในการออกแบบลวดลายต่าง ๆ โดยการนำ
สมการทางคณติ ศาสตรม์ าประยุกต์ใช้ในรูปแบบต่างๆ ไดอ้ ีกดว้ ย

คณะผู้จัดทำจึงเกิดความคิดสร้างสรรค์ ทำโครงงานสิ่งประดิษฐ์ซึ่งนำความรู้เกี่ยวกับ
สมการทางคณิตศาสตร์ มาประยุกต์ใช้ในการออกแบบลวดลายบนกระเบื้อง ด้วยโปรแกรม (GSP)
โดยใช้วิธีการพ่นทรายทำให้เกดิ ลวดลาย ดงั นั้นคณะผูจ้ ดั ทำจึงได้คดิ ออกแบบการทำลวดลายใหม่ๆ ท่ี
เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ และยังสามารถนำกระเบื้องที่มีลวดลาย ไปต่อยอดและดัดแปลงให้เป็น
รูปแบบที่สามารถใช้ประโยชน์ในด้านอื่นๆได้ จึงจัดทำโครงงานการออกแบบลวดลายบนกระเบื้อง
ด้วยโปรแกรม (GSP) ทีส่ อดคลอ้ งกับคณิตศาสตร์น้ขี ึ้นมา

1.2 วัตถปุ ระสงคข์ องการศกึ ษา
1.2.1 เพือ่ ออกแบบลวดลายกระเบอื้ งด้วยโปรแกรม GSP
1.2.2 เพอ่ื ศกึ ษาความพงึ พอใจของนกั ศกึ ษาทม่ี ีตอ่ ลวดลายกระเบ้ือง

1.3 ขอบเขตการศกึ ษาโครงงาน
1.3.1 เนอื้ หา
เป็นการนำความรู้ จากสมการทางคณิตศาสตร์ เช่น สมการตรีโกณมิติ สมการ

พาลาโบลา สมการวงกลม สมการเชิงเส้น การแปลงทางเรขาคณิต และโปรแกรม Geometer’s
Sketchpad (GSP) มาประยุกตใ์ ช้ในการออกแบบลวดลายบนกระเบื้อง

1.3.2 ประชากร
นกั ศกึ ษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั สุรนิ ทร์

1.3.3 กลมุ่ ตัวอย่าง
นกั ศกึ ษามหาวทิ ยาลยั ราชภัฏสุรินทร์ จำนวน 100 คน

1.3.4 สถานท่ี
107 หมู่ 1 ตำบลนอกเมอื ง อำเภอเมือง จังหวัดสุรนิ ทร์ 32000

1.3.5 ระยะเวลาในการดำเนินการ
7 กรกฎาคม 2564 - 22 กันยายน 2564

1.4 นิยามศัพท์เฉพาะ
1.4.1 กระเบ้ือง วัสดสุ ำหรับปพู ้ืน ตดิ ผนัง ได้รบั ความนยิ มมาอย่างยาวนาน ถือได้ว่าเป็น

วัสดุสำคัญที่ช่วยเพิ่มเสน่ห์ให้กับบ้าน ในปัจจุบันกระเบื้องถูกนำมาพัฒนาให้มีลวดลายใหม่ๆ เพื่อ
ตอบสนองความตอ้ งการของผู้ทีต่ อ้ งการนำไปใชง้ าน

3

1.4.2 การพ่นทราย คอื กระบวนการขัดผวิ ช้ินงานด้วยเครอ่ื งพ่นทราย โดยมแี รงดันจาก
ปม๊ั ลมเป็นแรงขบั เคลื่อนทรายใหไ้ ปกระทบผิวของชน้ิ งาน ทำให้ขดั ผวิ ได้รวดเร็ว เขา้ ถึงทุกซอกทุกมุม
ดกี ว่าการขดั ดว้ ยมือ เราสามารถเลอื กใหผ้ วิ ของชน้ิ งานหยาบหรอื ละเอียดไดต้ ามต้องการโดยการเลือก
ขนาดของเมด็ ทรายท่ีใช้

1.4.3 โปรแกรม GSP หรือในชื่อเต็มก็คือ เดอะจีโอเมเตอส์สเกตช์แพด (The
Geometer's Sketchpad) นีเ้ ป็นโปรแกรมท่ีเกี่ยวกบั ความรู้และองคป์ ระกอบต่าง ๆ เชิงคณิตศาสตร์
แทบทุกชนิด ไม่ว่าจะเป็นเรื่องเรขาคณิต (Geometry) พีชคณิต (Algebra) ตรีโกณมิติ
(Trigonometric) กราฟ(Graph) สถิติ (Statistics) แคลคูลัส (Calculus) รวมถึงการใช้สตู รคำนวนณ
ต่าง ๆ ได้อย่างละเอียด สามารถใช้เป็นสื่อการสอนสำหับอาจารย์ในการสอนให้นักเรียนเข้าใจใน
หลักสูตรต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ในการใช้งานและสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับสิ่งอื่นๆ ใน
ชีวิตประจำวันได้ดีมากยิ่งขึ้น ยังเป็นโปรแกรมที่สามารถออกแบบลวดลายต่าง ๆ ซึ่งมคี วามโดดเด่น
และสวยงามที่มีความรู้และองค์ประกอบต่าง ๆ เชิงคณิตศาสตร์ โปรแกรม GSP ที่เกี่ยวข้องกับ
โครงงานนี้ คือ ใช้ในการออกแบบลวดลายบนกระเบ้ือง โดยใช้ความรู้ เรื่อง สมการทางคณิตศาสตร์
การหมุน การสะท้อน การเลอื่ นขนาน มาช่วยในการออกแบบลวดลายให้สวยงาม

1.5 ประโยชน์ทค่ี าดว่าจะไดร้ ับ
1.5.1 สามารถนำความรู้ทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการออกแบบลวดลาย ด้วยโปรแกรม

GSP อกี มากมาย และนำลายไปใชก้ ับผลงานประดิษฐ์ตา่ ง ๆ
1.5.2 ได้เรียนรู้การใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ GSP ไปใช้ในการออกแบบลวดลายบน

กระเบอ้ื ง
1.5.3 ได้รับความรู้ และทกั ษะในการพ่นทรายลงบนกระเบื้อง และสามารถปฏิบัตไิ ด้
1.5.4 ใช้เวลาว่างให้เกิดประโยชน์ เกิดความเพลิดเพลิน และมีเจตคติที่ดีต่อวิชา

คณติ ศาสตร์

4

เอกสารทีเ่ กี่ยวขอ้ ง

การจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ในครั้งนี้ คณะผู้จัดทำได้ศึกษาเอกสารที่เกี่ยวข้อง เพื่อเปน็
แนวทางในการทำโครงงาน และเป็นข้อมูลสำคัญทีจ่ ะนำไปสูผ่ ลสำเร็จของโครงงาน ซึ่งมีรายระเอียด
ดังต่อไปนี้

1. ความรู้เกีย่ วกบั เรื่อง สมการทางคณติ ศาสตร์
2. ความรเู้ กยี่ วกับเรอื่ ง การแปลงทางเรขาคณิต
3. ความรเู้ กีย่ วกับเรอื่ ง โปรแกรม Geometer's Sketchpad (GSP)
4. ความรู้เกย่ี วกับเรื่อง กระเบ้อื ง
5. ความรู้เก่ียวกบั เรือ่ ง การพ่นทราย
6. ความร้เู กย่ี วกบั เรอื่ ง การวัดความพงึ พอใจ
7. งานวจิ ัยและเอกสารทเ่ี กยี่ วขอ้ ง
2.1 สมการทางคณติ ศาสตร์
2.1.1 สมการกำลังสอง

ไพรวัล ดวงตา (2556) กล่าวว่า ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการค
วอดราติก) คือ สมการของพหุนามตัวแปรเดียว ทม่ี ีดกี รีเท่ากบั 2 รปู แบบ ท่ัวไปของสมการกำลังสอง

รูปท่ี 2.1 สมการกำลงั สอง ax2 + bx + c = 0
เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็น
สัมประสิทธิ์ของ x2, x ตามลำดับ ส่วน c คือสมั ประสิทธิ์คงตัวบางคร้ัง เรยี กวา่ พจน์อิสระหรอื พจน์คง
ตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทเี ซียนได้รปู เส้นโค้งพาราโบลา
สมการกำลังสองใด ๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2
คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวน
เชิงซ้อน สามารถคำนวณไดจ้ ากสูตร

5

x = −b  b2 − 4ac
2a

ซง่ึ เคร่อื งหมายบวกและลบเปน็ การแทนความหมายของท้งั สองคำตอบ ไดแ้ ก่

x+ = −b + b2 − 4ac ; x− = −b − b2 − 4ac
2a 2a
ดังนน้ั ค่าของสมการจะเทา่ กบั ฟวิ ชน่ั ของสมการ

2.1.2 สมการเชงิ เส้น
สมการเชิงเส้น หมายถึง สมการใด ๆ ที่มีตัวแปร 1 ตัว หรือ 2 ตัว หรือ 3 ตัว

แตก่ ำลงั ของตัวแปรนั้น ๆ ต้องเป็นหนง่ึ เสมอ เช่น aX + bY + cZ = d

สมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร (Linear equation with two variable) คือ สมการที่มีตัวแปร
2 ตัว เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณกันของตัวแปร รูปทั่วไปคือ
Ax + By + C = 0 เมื่อ A,B,C เป็นค่าคงที่ A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ เช่น 2x + 5y = 6

คำตอบสมการเชงิ เสน้ 2 ตวั แปรนิยมเขียนในรูปคู่อนั ดับ (x, y) เชน่ (4, 8) จะได้ว่า x=4, y=8
กราฟของสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร มหี ลักการเขียนกราฟดงั น้ี
1. จัดรูปสมการที่กำหนดให้อยู่ในรูป y = ax + b เมื่อ a, b เป็นค่าคงท่ีใด ๆ

และ x, y เปน็ ตวั แปรท่ีกำหนดให้
2. สร้างตารางความสมั พันธข์ องคา่ x กบั คา่ y จาก 1. สมมตวิ า่ คา่ x เพียง 3 ค่า

ตารางท่ี 2.1 สร้างตารางความสัมพนั ธ์

x x1 x2 x3

y = ax+b y1 y2 y3

3. นำคอู่ ันดบั (x1 , y1), (x2 , y2), (x3 , y3) มาลงจดุ ในกราฟแลว้ ลากเส้นผ่านจุดท้ัง 3
จะไดก้ ราฟของสมการเชงิ เส้น 2 ตัวแปรตามตอ้ งการเชน่

รปู ท่ี 2.2 กราฟสมการเชงิ เสน้ 2 ตวั แปร

6

2.1.3 สมการวงกลมทีม่ จี ุดศนู ย์กลาง (0,0)
2.1.4.1 บทนยิ ามเชงิ เรขาคณติ ของวงกลม
วงกลม (Circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุด ๆ หนึ่งท่ี

ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดตรึงที่อยู่กับที่นี้เรียกว่าจุดศูนย์กลาง (Center) ของวงกลมและ
ระยะทางคงตวั ดังกล่าวเรียกวา่ รศั มี (Radius) ของวงกลม

รูปที่ 2.3 เรขาคณติ ของวงกลม
เมื่อรู้จักนิยามหรือความหมายของวงกลมในเชิงเรขคณิตแล้วต่อไปเราก็จะไปดูรูปร่าง
หน้าตาของสมการวงกลมกันครับ หน้าตาของสมการวงกลมก็จะเปน็ แบบน้ี
2.1.4.2 รปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลม

สมการของวงกลมทมี่ จี ุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k) และรศั มยี าว r หน่วย คอื
(x−h)2 + (y−k)2 = r2 สมการนีเ้ รยี กว่า รูปแบบมาตรฐาน ของสมการวงกลม

2.1.4 พาราโบลา
2.1.5.1 นยิ ามของสมการพาราโบลา
(1) พาราโบลา คือ เซตของจดุ บนพื้นระนาบซึ่งมรี ะยะหา่ งจากจุดคงที่

เทา่ กบั ระยะทห่ี า่ งจากเส้นคงที่

รปู ท่ี 2.4 สมการพาลาโบลา
(2) จุดคงท่ี คือ จุดโฟกัส (Focus)
(3) เส้นตรงทค่ี งท่ี คอื เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)

7

(4) เส้นลาตัสเลกตัม (Latus Rectum) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุด
โฟกสั และตง้ั ฉากกับแกนของรปู

(5) แกนของรูปหรือแกนสมมาตร คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและ
ผา่ นจุดโฟกัส

(6) คอร์ดของพาราโบลา คือ เส้นตรงที่ลากเชื่อมจุด 2 จุด ที่ต่างกัน
ของพาราโบลาและคอร์ดที่ลากผา่ นจุดโฟกัส เรียกวา่ Focul ส่วนคอร์ดที่ลากผ่านจุดโฟกัสด้วย และ
ต้งั ฉากกบั แกนของรปู ดว้ ย เรยี กวา่ ลาตสั เรกตัม (Latus Recrum)

ข้อสังเกต จากสมการจะต้องมีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยู่ในรูปกำลังสอง และอีกตัวหนึง่ ยก
กำลงั หน่ึง และอย่ทู ี่เทอมที่บวกลบกัน กราฟท่ไี ด้จงึ จะเปน็ กราฟพาราโบลา

2.1.5.2 รูปแบบของพาราโบลาทมี่ ีจุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ีจ่ ดุ (0,0)

รปู ท่ี 2.5 พาราโบลาหงายพาราโบลาซง่ึ มีจดุ ยอดทจี่ ุด (0,0) และแกนของรูปทบั แกน y

รูปท่ี 2.6 พาราโบลาเปดิ ขวาพาราโบลาซงึ่ มจี ุดยอดทีจ่ ดุ (0,0) และแกนของรปู ทบั แกน x

8

2.1.5.3 ตารางสมการพาราโบลา

ตารางที่ 2.2 ตารางสมการพาราโบลา

x2 = 4cy รปู สมการ x2 = 4cx

V (0, 0) จุดยอด V (0, 0)
F (0, c)
F (0, c) จดุ Focus X = -c
4c
Y = -c สมการเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ รปู ตะแคงขวา (เปิดขวา)
รูปตะแคงซา้ ย (เปดิ ซ้าย)
4c ความยาวเสน้ ลาตัสเรกตมั (c, 2c) , (c, -2c)
รูปหงาย (เปิดบน) ถ้า c > 0

รูปคว่ำ (เปิดล่าง) ถ้า c < 0

(-2c, c) , (2c, c) จดุ ปลายเสน้ ลาตสั เรกตัม

2.1.5 ฟังก์ชันตรโี กณ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม

ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยาม
ด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลม
หนึ่งหน่วย หรอื นยิ ามในรูปทั่วไปเช่น อนกุ รมอนันต์ หรอื สมการเชิงอนุพันธ์ รปู สามเหลี่ยมที่นำมาใช้
จะอย่ใู นระนาบแบบยุคลิด ดังนน้ั ผลรวมของมมุ ทุกมุมจงึ เทา่ กบั 180° เสมอ

วงกลมหนึ่งหน่วย หมายถึง วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0 , 0) และมีรัศมียาวหนึ่งหน่วย

 เขียนความสัมพนั ธ์ได้ คอื (x,y) R  R | x2 + y2 = 1

รปู ท่ี 2.7 วงกลมหนึ่งหนว่ ยฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

9

ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนง่ึ หน่วย

รณชัย มาเจรญิ ทรพั ย (ม.ป.ป) กลา่ วว่า ถา้  เป็นจำนวนจริงใดๆ จดุ ปลายส่วน
โค้งที่เริ่มวัดระยะจากจุด (1, 0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยเป็นระยะ | | หน่วยคือ

P( ) โดยตกลงเงอ่ื นไขการวัด ดงั น้ี

1. ถ้า   0 ให้วดั ส่วนโคง้ จากจุด (1, 0) ไปในทิศทวนเขม็ นาฬิกา
2. ถ้า   0 ให้วัดส่วนโค้งจากจดุ (1, 0) ไปในทิศตามเข็มนาฬกิ า
3. ถ้า | |  2 แสดงวา่ วัดสว่ นโคง้ เกนิ 1 รอบ

รปู ที่ 2.8 กรณี   0 หมนุ ทวนเขม็ นาฬกิ า

รูปท่ี 2.9 กรณี   0 หมุนตามเขม็ นาฬิกา

2.1.5.1 กราฟของฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ
ฟังกช์ นั ตรีโกณมิตทิ ุกฟงั ก์ชันเปน็ ฟังก์ชันทเ่ี ปน็ คาบ กลาวคือ เม่ือแบ่ง

แกน X ออกเป็นช่วงย่อยโดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมี
ลกั ษณะเหมอื นกัน เรียกความยาวของช่วงย่อยทส่ี ัน้ ทส่ี ุดท่ีมีสมบตั ิดังกล่าว คาบของฟังกช์ ันฟังก์ชันท่ี

10

เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและต่ำสุด เราเรียกค่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอม
ปลิจดู

(1) กราฟของฟังก์ชันไซน์

เน่ืองจาก sine = (x,y) | y = sinx หรือเขียน y = sinx

กราฟของ y = sinx มีแอมปลจิ ดู เท่ากับ 1 และ 1 คาบยาว 2 เขียนกราฟได้ ดังน้ี

รปู ท่ี 2.10 กราฟ y = sinx เม่อื −2  x  5
2
ข้อสังเกต

กราฟของ y = sinx

1. เป็นกราฟตอ่ เนอื่ ง

2. โดเมนของฟังก์ชัน คือ เซตของจำนวนจริงและเรนจ ของฟังก์ชันคือ

 x | − 1  x  1

3. กราฟผ่านจุด (0, 0) เสมอ

(2) กราฟของฟงั กช์ นั โคไซน์

 เน่ืองจาก cosine = (x,y) | y = cos x หรือเขียน y = cos x

กราฟของ y = cos x มแี อมปลิจดู เทากบั 1 และ 1 คาบยาว 2

เขียนกราฟได้ ดังน้ี

11

รูปท่ี 2.11 กราฟ y = cos x เมื่อ −2  x  2

ข้อสงั เกต
กราฟของ y = cos x

1. เป็นกราฟตอ่ เน่ือง
2. โดเมนของฟังกช์ ัน คอื เซตของจำนวนจริงและเรนจของฟงั ก์ชนั คอื

 x | − 1  x  1

3. กราฟผ่านจดุ (0, 1)

(3) กราฟของฟงั กช์ ันแทนเจนต์

 เนื่องจาก tangent =
(x,y) | y = tanx และ x   + n, nI
2
หรอื เขียน y = tanx

กราฟของ y = tanx ไม่มแี อมปลจิ ดู 1 คาบยาว  เขยี นกราฟได้ ดังนี้

รปู ที่ 2.12 กราฟ y = tanx เม่ือ −2  x  2

ข้อสงั เกต

1. กราฟของฟงั ก์ชนั แทนเจนตไ์ ม่เปน็ กราฟต่อเนือ่ ง

 2. โดเมนของฟังก์ชนั คอื
xR | x  (2n + 1)  , nI
และเรนจ์ของฟังกช์ ันเป็นเซตของจำนวนจรงิ 2

(4) กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์

 เน่อื งจาก cotangent = (x,y) | y = cot x และ x  n, nI

หรือเขยี น y = cot x
กราฟของ y = cot x ไม่มีแอมปลิจูด 1 ควบ ยาว 

12

เขยี นกราฟได้ ดังนี้

รูปท่ี 2.13 กราฟ y = cot x เม่อื −2  x  2

ขอ้ สงั เกต
1. กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ไม่เปน็ กราฟต่อเน่ือง

 2. โดเมนของฟังก์ชัน คือ xR | x  n, nI เรนจ์ของฟังก์ชันเป็น

เซตของจำนวนจรงิ

(5) กราฟของฟงั กช์ นั เซกแคน

 เนื่องจาก 
secant = (x,y) | y = sec x และ x  n + 2 , nI

หรอื เขียน y = sec x

กราฟของ y = sec x ไม่มีแอมปลิจูด 1 คาบ ยาว 2

เขียนกราฟได้ ดงั นี้

รูปที่ 2.14 กราฟ y = sec x เม่อื กราฟเสน้ ทึบ

ขอ้ สงั เกต
1. กราฟของฟงั ก์ชันเซกแคนเปน็ กราฟไม่ตอ่ เนือ่ ง

13

 2. โดเมนของฟังก์ชัน คือ
xR | x  (2n + 1)  , nI เรนจ์ของ
2
 ฟังกช์ นั คือ x | x  −1 หรือ x  1

(6) กราฟของฟงั ก์ชันโคเซกแคน

 เนอ่ื งจาก cosecant = (x,y) | y = cosec x และ x  n, nI

หรอื เขียน y = cosec x

กราฟของ y = cosec x ไม่มีแอมปลจิ ดู 1 คาบ ยาว 2

เขยี นกราฟได้ ดังน้ี

รปู ท่ี 2.15 กราฟ y = cosec x เมื่อกราฟเสน้ ทบึ

ขอ้ สงั เกต
1. กราฟของฟงั กช์ ันโคเซกแคนเปน็ กราฟไม่ตอ่ เนอ่ื ง

 2. โดเมนของฟังก์ชัน คือ xR | x  n, nI และเรนจ์ของฟังก์ชัน
 คือ x | x  −1 หรือ x  1

2.2 การแปลงทางเรขาคณติ
(วุฒิพงษ์ รักแม่, 2558) การแปลงทางเรขาคณิต เป็นเรื่องที่เกี่ยวกับการย้ายวัตถุจาก

ตำแหน่งหนึง่ ไปยงั อีกตำแหนง่ หนึ่ง โดยอาจมีการเปลีย่ นแปลงขนาด รูปร่าง หรือตำแหนง่ ให้ต่างไป
จากเดิมหรือไม่ก็ได้ ตัวอย่างของการแปลงที่เราเคยพบเช่น รถยนต์ซึ่งเดิมอยู่บนทางลาดย้ายเข้าไป
จอดในช่องจอดรถ การหมุนของเขม็ ยาวของนาฬิกา จากปลายเข็มยาวชี้ที่ตัวเลข 12 ไปชี้ที่ตัวเลข 6
หรือลกู โปง่ ท่ีมีอากาศอัดอย่เู มื่อปลอ่ ยอากาศออกทำให้ลูกโปง่ เคลื่อนท่ีออกไปและตกลงเม่ืออากาศท่ี
อยใู่ นลกู โปง่ ดันออกมาจนไม่มีแรงดนั สิ่งเหล่านเ้ี ก่ยี วขอ้ งกับการแปลงทงั้ สนิ้ สิง่ สำคัญของการแปลง

14

คอื จุดทุกจดุ ของวัตถุท่ีอยู่ที่เดมิ (หรือขนาดเดิม) จะต้องมกี ารส่งไปยงั วัตถทุ ต่ี ำแหน่งใหม่ (หรือขนาด
ใหม)่ ทกุ จุด จดุ ตอ่ จุด

ในทางเรขาคณิตก็มีการแปลงที่กล่าวถึงความเกี่ยวข้องกันระหว่างรูปเรขาคณิตก่อนการ
แปลงและรปู เรขาคณติ หลังการแปลง เราเรยี กรปู เรขาคณิตกอ่ นการแปลงว่า รปู ต้นแบบ และเรียกรูป
เรขาคณติ หลังการแปลงวา่ ภาพท่ีได้จากการแปลง

การแปลงทางเรขาคณิตที่เป็นพื้นฐานมีทั้งหมด 4 แบบ คือ การเลื่อนขนาน การสะท้อน
การหมุน และการย่อ/ขยาย แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแปลงทางเรขาคณิต 3 แบบ ได้แก่ การเลื่อน
ขนาน การสะท้อน และการหมุน การแปลงทางเรขาคณติ ท้งั สามแบบนี้จะได้ภาพท่มี รี ปู รา่ งเหมือนกัน
และขนาดเดียวกันกับรปู ตน้ แบบเสมอ

2.2.1 การเลอ่ื นขนาน
การเล่อื นขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณติ ทีม่ ีการเลื่อนจุดทกุ จุด

ไปบนระนาบตามแนวเสน้ ตรงในทศิ ทางเดียวกันและเปน็ ระยะเท่ากันตามทีก่ ำหนด

รปู ท่ี 2.16 สามเหลี่ยม ABC
รปู ลูกกุญแจจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตามลูกศรโดยที่รูปร่างและขนาดไม่เปล่ียนแปลง จาก
รปู จะเห็นว่า AM และ BN ยาวเทา่ กนั และขนานกนั
สมบัติของการเลอื่ นขนาน

(1) รปู ทไี่ ด้จากการเลอ่ื นขนานกบั รูปต้นแบบเทา่ กันทุกประการ
(2) จุดแต่ละจุดที่สมนัยกันบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานกับรูปต้นแบบจะมี

ระยะหา่ งเทา่ กนั
(3) ภายใตก้ ารเลอื่ นขนาน จะไมม่ ีการเปลี่ยนแปลงรปู รา่ งและขนาดของรปู ตน้ แบบ
2.2.2 การสะท้อน
การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเส้นตรง l ที่ตรึงเส้นหนึ่งเป็นเส้น
สะท้อน แตล่ ะจุด P บนระนาบจะมีจดุ P' เปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนจุด P โดยท่ี

15

2.2.2.1 ถ้าจดุ P ไมอ่ ยูบ่ นเสน้ ตรง l แลว้ เส้นตรง l จะแบง่ คร่งึ และตงั้ ฉากกบั
PP'

2.2.2.2 ถ้าจดุ P อยู่บนเส้นตรง l แลว้ จุด P และจดุ P' เป็นจดุ เดยี วกัน
สมบตั ขิ องการสะท้อน

(1) รูปต้นแบบกับภาพที่ได้จากการสะท้อน สามารถทับกันได้สนิทโดยต้องพลิกรูป
หรือกล่าวว่า รปู ต้นแบบและภาพท่ีได้จากการสะท้อนเทา่ กันทุกประการ

(2) ส่วนของเสน้ ตรงท่ีเชื่อมจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบ กับจดุ ทีส่ มนยั กันบนภาพที่ได้
จากการสะท้อนจะขนานกัน

รปู เรขาคณิตที่สามารถหารอยพับและพับรูปทงั้ สองข้างของรอยพบั ใหท้ ับกนั สนิทไดเ้ รยี กว่า
รูปสมมาตรบนเสน้ และเรยี กรอยพับนวี้ ่า แกนสมมาตร รูปสมมาตรบนเส้นแตล่ ะรูปอาจมีจำนวนแกน
สมมาตรไมเ่ ทา่ กัน

เส้นสะท้อน (แกนสมมาตร) จะแบง่ คร่งึ และต้ังฉากกบั สว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอื่ มระหว่างจดุ แต่
ละจุดบนรปู ต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะทอ้ นทีส่ มนัยกนั

สรปุ ไดว้ า่ รปู ทีเ่ กดิ จากการสะทอ้ นก็คอื รปู สมมาตรบนเส้น โดยมเี สน้ สะทอ้ นคือแกน
สมมาตร

รูปที่ 2.17 การสะท้อน
ถ้าเส้นสะท้อนเป็นแกน Y พิกัดของภาพที่เกิดจากการสะท้อน คือการเปลี่ยนเครื่องหมาย
ของสมาชิกตัวหนา้ เป็นเครอื่ งหมายตรงขา้ มทุกจุดของรูปตน้ แบบ ส่วนสมาชิกตวั หลงั ใหค้ งเดมิ ไว้
ถ้าเส้นสะท้อนเปน็ แกน X พิกัดของภาพที่เกิดจากการสะท้อน คือการเปลี่ยนเครื่องหมาย
ของสมาชกิ ตัวหลังเป็นเครอื่ งหมายตรงขา้ มทุกจดุ ของรปู ต้นแบบ ส่วนสมาชิกตัวหน้าใหค้ งเดมิ ไว้
ถ้าเส้นสะท้อนขนานแกน X หรือแกน Y ให้นับช่องตารางหาระยะระหว่างจุดที่กำหนด
ให้กับเส้นสะท้อนซึ่งภาพของจุดน้ันจะอยู่หา่ งจากเส้นสะท้อนเป็นระยะทีเ่ ท่ากันกับระยะทีน่ ับได้เม่อื
ไดภ้ าพของจดุ นนั้ แล้วจงึ หาพิกดั

16

ถา้ เสน้ สะท้อนไม่ขนานแกน X และไม่ขนานกับแกน Y แต่เปน็ เส้นในแนวทแยง ให้ลากเส้น
ตรงผา่ นจุดที่กำหนดให้และตั้งฉากกบั เส้นสะทอ้ น ภาพของจุดที่กำหนดให้จะอย่บู นเสน้ ตั้งฉากท่ีสร้าง
ข้นึ และอยหู่ ่างจากเส้นสะท้อนเปน็ ระยะเท่ากันกับจุดที่กำหนดให้อยู่ห่างจากเสน้ สะท้อน เมื่อได้ภาพ
ของจุดนน้ั แล้วจงึ หาพกิ ดั

รูปท่ี 2.18 เสน้ สะทอ้ นไมข่ นานแกน X และไม่ขนานกับแกน Y
2.2.3 การหมุน
การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O เปน็ จุดที่ตรงึ อยู่จุดหน่ึงเรียกว่า O
วา่ จดุ หมนุ แต่ละจุด P บนระนาบ มจี ุด P' เปน็ ภาพทีไ่ ดจ้ ากการหมนุ จุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่
กำหนดด้วยมุมท่ีมีขนาด K โดยที่

2.2.3.1 ถ้าจดุ P ไม่ใช่จดุ O แลว้ OP = OP^' และขนาดของ การหมนุ
เทา่ กบั K

2.2.3.2 ถา้ จดุ P เปน็ จุดเดยี วกนั กบั จุด O แล้ว P เป็นจุดหมุน
สมบตั ขิ องการหมุน

(1) สามารถเลื่อนรูปต้นแบบทับภาพที่ได้จากการหมุนได้สนิท โดยไม่ต้องพลิกรูป
หรือกลา่ ววา่ รูปตน้ แบบกับภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมนุ เทา่ กันทกุ ประการ

(2) สว่ นของเส้นตรงบนรูปตน้ แบบและภาพทีไ่ ด้จากการหมุนสว่ นของเส้นตรงน้ันไม่
จำเป็นตอ้ งขนานกันทุกคู่ หรืออาจกลา่ วได้ว่า จดุ บนรปู ตน้ แบบและภาพท่ีได้จาก
การหมนุ จดุ นัน้ แตล่ ะค่อู ย่บู นวงกลมเดียวกนั และมีจดุ หมนุ เป็นจดุ ศนู ย์กลาง แต่
วงกลมเหลา่ นี้ไมจ่ ำเป็นตอ้ งมรี ศั มยี าวเทา่ กนั

ลักษณะของการหมุน
การหมนุ จะหมุนทวนเข็มหรอื ตามเขม็ นาฬิกาก็ได้ จดุ หมุนจะเปน็ จดุ ทีอ่ ยบู่ นรปู หรอื นอก

รูปก็ได้ โดยท่จี ุดแต่ละจดุ บนรูปต้นแบบเคลื่อนทรี่ อบจุดหมุนดว้ ยขนานของมุมท่ีกำหนด

17

รูปท่ี 2.19 การหมนุ

2.3 โปรแกรม Geometer's Sketchpad (GSP)
2.3.1 ประวตั แิ ละความเปน็ มาของโปรแกรม
มหาวิทยาลัยหัวเฉียวเฉลิมพระเกียรติ (2558) โปรแกรม Geometer’s

Sketchpad (GSP) เป็นโปรแกรมคณิตศาสตร์ที่ผลิตจากประเทศสหรัฐอเมริกา เป็นโปรแกรมที่มี
ประสิทธิภาพโปรแกรมหนึ่ง สามารถนำไปใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ได้หลายวิชา เช่น วิชาเรขาคณิต
พีชคณิต ตรีโกณมิติ และแคลคูลัสโปรแกรม GSP เป็นสื่อเทคโนโลยีที่ช่วยให้ผู้เรียน มีโอกาสเรียน
คณิตศาสตร์โดยการสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง (Constructivist Approach) และเป็นการเรียนโดย
เนน้ ผเู้ รียนเป็นสำคัญ (Learner-Centered Learning) โปรแกรม GSP เป็นส่ือที่ชว่ ยให้ผู้เรียนพัฒนา
ทกั ษะของการนึกภาพ (Visualization) ทักษะของกระบวนการแก้ปญั หา (Problem Solving Skills)
นอกจากน้ี การใชโ้ ปรแกรม GSP ในการเรียนการสอนคณิตศาสตรเ์ ป็นการบูรณาการสาระท่เี กี่ยวข้อง
กับความรู้คณิตศาสตร์ และทักษะด้านเทคโนโลยีเข้าดว้ ยกันทำให้ผู้เรียนมีโอกาสพัฒนาพหปุ ัญญา อัน
ได้แก่ ปัญญาทางภาษา ด้านตรรกศาสตร์ ด้านมิติสัมพันธ์ และด้านศิลปะ ด้วยเหตุผลดังกล่าว
โปรแกรม GSP จึงไดร้ บั รางวัลยอดเยี่ยมหลายรางวัล อาทิ เชน่ Best Educational Software of All
Time จ า ก Stevens Institute of Technology Survey of Mentor Teachers แ ล ะ Most
Valuable Software for Students จาก National Survey of Mathematics Teachers, USA.

GSP เป็นโปรแกรมมิติใหม่ของการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรียนสนุก เข้าใจง่าย ที่ครูสามารถ
นำไปใช้เป็นเครื่องมือเพื่อช่วยให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์มีประสิทธิภาพและน่าสนใจมาก
สามารถนำเสนอภาพเคลื่อนไหว (Animation) มาใช้อธิบาย เนื้อหาที่ยากๆ เช่น ทฤษฎีทาง
คณิตศาสตร์ (เรขาคณติ พีชคณิต ตรีโกณมติ ิ แคลคูลสั ), ฟสิ ิกส์ (กลศาสตร์ และอนื่ ๆ ) ให้เป็นรูปธรรม
ให้นักเรียนได้เรียนรู้และเข้าใจง่าย และโปรแกรมยงั เน้นให้ผู้เรียนฝึกปฏิบัติด้วยตวั เองได้ นอกจากน้ี
ยังสามารถนำไปใชใ้ นการจดั กจิ กรรมการเรียนการสอนวชิ าอ่ืนๆ เช่น วิทยาศาสตร์ ศิลปะ อย่างไม่มี
ข้อจำกัด ใน เนื้อหาการแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง รูปแบบเดิม นักเรียนจะใช้ไม้บรรทัดวัดความยาว
หรือและใช้วงเวียนแบ่งครึง่ เส้นตรง โดยตั้งตน้ ที่จุดเริม่ ต้นของเส้นตรง กางวงเวียนให้เลยจุดกึ่งกลาง

18

แลว้ วาดเสน้ โคง้ จากน้นั ตั้งตน้ ทจ่ี ุดสิ้นสุดของเสน้ ตรงอีกด้าน แล้วลากเส้นโคง้ โดยวิธีเดียวกัน เพื่อหา
จุดตัด เป็นเส้นจุดกึ่งกลางของเส้นตรง หากใช้โปรแกรม GSP ก็ใช้วิธีการแบ่งคร่ึงของเส้นตรงโดยยึด
หลักการเดยี วกนั ได้คดิ เหมือนกนั ไดล้ งมอื ปฏิบตั ิเชน่ กัน แต่กลับทำได้รวดเร็วกว่ามาก

การแสดงใหน้ ักเรียนเห็นว่า รูปสามเหลยี่ มไม่ว่าจะเปน็ รูปสามเหล่ยี มลกั ษณะใดจะมีผลรวม
ของขนาดของมุมภายในเป็น 180 องศา เสมอ โปรแกรม GSP จะช่วยได้ดีมาก โดยครูสร้างรูป
สามเหลี่ยมขึ้นมาหนึ่งรูป กำหนดให้โปรแกรมแสดงขนาดของมุมภายในทั้ง 3 มุมของรูปสามเหลี่ยม
และให้โปรแกรมหาผลรวมของขนาดของมุมทั้งสาม จากนั้นครูสามารถปรับเปลี่ยนลักษณะของรูป
สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นนั้น ให้เป็นแบบต่างๆ โปรแกรมจะแสดงให้เห็นว่า ขนาดของมุมทัง้ สามของรูป
สามเหล่ยี มเปลี่ยนไป แตผ่ ลรวมของขนาดของมุมท้งั สามยงั คงเท่ากับ 180 องศาเสมอ หรือการแสดง
ให้เห็นวา่ เส้นตรงเส้นหนึง่ ตดั เส้นขนานคู่หน่งึ ทำให้ขนาดของมมุ ภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น
ตดั รวมกันเทา่ กับ 180 องศา โปรแกรม GSP จะชว่ ยใหก้ ารสอนเร่ืองน้ีทำได้ง่าย และสะดวกรวดเร็ว
ขึ้น โดยครูสร้างเส้นขนานคู่หนึ่ง และเส้นตรงหนึ่งเส้นให้ตัดเส้นขนานคู่ที่สร้างขึ้น แล้วกำหนดให้
โปรแกรมแสดงขนาดของมุมภายในที่อยบู่ นขา้ งเดียวกันของเสน้ ตดั และใหแ้ สดงผลรวมของขนาดของ
มุมภายในคู่นั้น ซึ่งจะได้เท่ากับ 180 องศา หลังจากนั้นครูสามารถปรับเปลี่ยนลักษณะของเส้น
คขู่ นาน หรอื เส้นตัด ให้มลี กั ษณะตา่ งๆ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในกย็ ังคงเปน็ 180 องศา

โปรแกรมนี้ทำให้ครูและนักเรียนมีเวลาในการเรียนการสอนมากขึ้น เพราะไม่ต้องเสีย
เวลานานในการสร้างรูป เรขาคณิตจำนวนมากเพ่อื พิสจู นท์ ฤษฎตี า่ งๆ อกี ทงั้ ยงั ทบทวนไดง้ ่ายและบ่อย
ขึ้น การสอนด้วยโปรแกรม GSP ยังทำให้นักเรียนเรียนได้สนุก เข้าใจได้เร็ว และน่าตื่นเต้น
นอกจากน้ัน การใช้ GSP สร้างสื่อการสอนและใบงาน ยังทำได้รวดเร็วและแม่นยำกว่าใช้โปรแกรม
ไมโครซอฟตอ์ อฟฟิศอื่นๆ

GSP สามารถสร้าง เกมสนุกๆ ทางคณิตศาสตร์ ได้มากมาย ดังที่ปรากฏในหนังสือ 101
Project Ideas for The Geometer's Sketchpad ยกตัวอย่างเช่น เด็กๆ จะได้สนุกกับการสร้าง
ใบหน้าคนจากเส้นโค้ง เส้นตรง วงกลม สี่เหลี่ยม ที่แสดงอารมณ์ปกติและอารมณ์โกรธ และทดลอง
สร้างภาพด้วยตัวเอง นอกจากนั้น สำหรับนักออกแบบโปรแกรม GSP ยังใช้สร้างแผนภาพ รูปร่าง
รูปทรงสามมติ ิได้มากมาย

โปรแกรม Geometer's Sketchpad (GSP) เป็นมิติใหม่ของการเรียนรู้คณิตศาสตร์อย่าง
สนุก เข้าใจง่าย และเป็นรปู ธรรม เส้นแต่ละเส้น โค้งแต่ละโค้ง มุมแต่ละมุม รูปทรงหลากหลายแบบ
เสริมสรา้ งประสิทธภิ าพให้แกเ่ ยาวชนท้งั ดา้ นความคดิ และจนิ ตนาการ

อย่างไรก็ตาม โปรแกรม GSP นั้นเป็นเพียงเครื่องมืออันทรงคุณค่า สิ่งสำคัญที่สุดก็คือ
วิธีการ ที่ต้องใช้ให้เป็น ให้เกิดประโยชน์สูงสุด ครูจะต้องเข้าใจ และเตรียมการสอน เพื่อให้
คณิตศาสตร์ในใจเดก็ ไทยงอกงามและเติบโต

19

2.3.2 คุณสมบัตขิ องโปรแกรม
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2548 : 2 - 4) กล่าวว่า

The Geometer’s Sketchpad เป็นโปรแกรมอเนกประสงค์ ขอบเขตของการใช้ข้ึนอย่กู ับจนิ ตนาการ
ของผู้ใชต้ ัวอย่างทีส่ ามารถทำไดโ้ ดยใช้ Sketchpad

(1) การสำรวจและการสอนทฤษฎีบททางเรขาคณิต
ในหนังสือเรขาคณิตมักเต็มไปด้วยทฤษฎีบท สัจพจน์บทแรก บทตั้ง

(lemma) และบทนิยาม ซึ่งมีหลากหลายอยา่ งทยี่ ากที่การเข้าใจ หรือแมจ้ ะเขา้ ใจกไ็ ม่ลกึ ซึ้ง วิธที ีจ่ ะให้
เข้าใจทฤษฎีบทที่ยาก ๆ หรือวิธีการสอนเรื่องยากในชั้นเรียน คือ การใช้ Sketchpad สร้าง
แบบจำลองต่าง ๆ

(2) การนำเสนอในชน้ั เรยี น
แบบร่างที่นำเสนอเป็นเอกสารของ Sketchpad ที่ได้ออกแบบไว้

สำหรับการนำเสนอไปยังภาพกราฟิกที่สวยงาม เคลื่อนไหวได้ มีปุ่มแสดงการทำงานต่าง ๆ และมี
เนื้อหาได้หลายหน้า ครูสามารถใช้ Sketchpad ให้เป็นเคร่อื งมอื ท่จี ะชว่ ยใหก้ ารสอนมีประสิทธิภาพ
ถึงแม้ว่าจะไม่สามารถสอนในห้องปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ได้ทุกวัน แต่ก็สามารถนำงานมาสาธิตใน
ห้องเรยี นที่มคี อมพวิ เตอร์เพียงเคร่ืองเดียวพร้อมเคร่อื งฉาย LCD ไดน้ อกจากน้นี ักเรียนยังสามารถนำ
งานท่สี รา้ งในแบบรา่ งมาเสนอในชั้นเรยี น หรือทำรายงานตลอดจนทำแฟม้ ผลงานต่าง ๆ ได้

(3) การศึกษารูปตา่ ง ๆ จากหนังสือเรียน
เมื่อเราชำนาญในการใช้ Sketchpad แล้วจะพบว่าในการสร้างรูปต่าง

ๆ บนจอคอมพิวเตอร์ จะใช้เวลาน้อยกว่าการสร้างด้วยมือ นอกจากนั้นในการสร้างรูปด้วย
Sketchpad ยังได้เปรียบตรงที่สามารถทำให้รูปนั้นเคลื่อนไหวได้ และสำรวจการเปลี่ยนแปลงได้
ดงั นั้นควรพิจารณาใช้ ในการสรา้ งและศึกษารูปในหนงั สือเรยี นและในการทำการบ้าน

(4) ใช้ Sketchpad ในรายวชิ าต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์
Sketchpad เป็นเครื่องมือที่จะเป็นอย่างยิ่งในรายวิชาต่าง ๆ ของ

คณิตศาสตร์ไม่ว่าจะเป็นนักเรียนหรือครูเช่นในพีชคณิต สามารถใช้สำรวจความชันและสมการของ
เสน้ ตรง สำรวจสมบตั พิ าราโบลา และหัวข้ออน่ื ๆ ท่สี ำคัญอีกลายหัวข้อ ในวิชา algebra และ pre –
calculus ทั้งนักเรียนและครูสามารถสำรวจการเคลื่อนไหวของวงศข์ องฟังกช์ ันดว้ ยการใชค้ าสั่งต่าง
ๆ จากเมนกู ราฟ ใชก้ บั วชิ าตรโี กณมติ ใิ นวิชาแคลคูลัส ใช้สำรวจอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน ด้วยการสร้างเส้น
สัมผัสเส้นโค้งและใช้คำสั่งอนุพันธ์ หรือ สำรวจปริพันธ์โดยการสร้างพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
นอกจากน้ี Sketchpad ยังสามารถใช้ประโยชน์ในวิชาคณิตศาสตร์ ระดับวิทยาลัย เช่นวิชา non-
Euclidean geometry หรือหวั ขอ้ ตา่ ง ๆ ในวชิ าคณติ ศาสตรช์ ัน้ สงู

20

2.3.3 เรม่ิ ต้นกับโปรแกรม GSP

รูปท่ี 2.20 เปิดโปรแกรมโดยการดบั เบิ้ลคลิกไอคอน ที่อยหู่ น้า Desktop จะปรากฏ

2.3.4 กล่องเครือ่ งมือ
เมื่อเปิดโปรแกรม GSP จะพบกล่องเครื่องมือที่อยู่ทางดา้ นซ้ายมือของหน้าจอ

ซง่ึ มที ้ังหมด 6 ชนดิ ด้วยกนั ดงั ภาพ หากเราตอ้ งการใช้เครอ่ื งมอื ชนดิ ใดก็คลกิ เลอื กทีป่ ่มุ ของเคร่ืองมือ
น้ันๆ หรอื ใชล้ กู กลิง้ บนเมาส์ เลอ่ื นเพือ่ เลือกเครอื่ งมือทต่ี ้องการก็ได้

รูปที่ 2.21 กลอ่ งเครื่องมอื การใชง้ านโปรแกรม GSP
(1) เครอ่ื งมือลกู ศร

เครื่องมือลูกศรจะมีเครื่องมือให้เลือกใช้ 3 ชนิดด้วยกัน ได้แก่
เครอ่ื งมือลูกศรเล่ือน เครื่องมือลกู ศรหมนุ และเคร่อื งมือลูกศรย่อขยาย วธิ กี ารจะเลือกเคร่ืองมอื ลูกศร
ชนดิ ต่างๆ นั้น ทำได้โดยการคลิกเมาส์ซา้ ยทีป่ ุ่มเคร่อื งมือลูกศรค้างไว้จะเกิดปุม่ ทางด้านขวามือ ข้ึนมา
อีก 3 ปุ่มด้วยกัน หากตอ้ งการใช้เครื่องมือลูกศรชนดิ ใด ก็เล่ือนลกู ศรไปยงั ป่มุ นน้ั แล้วปลอ่ ยมือ จะได้
เครือ่ งมอื ลูกศรตามท่เี ราตอ้ งการ ซ่ึงแต่ละเครื่องมือมี รายละเอียดการใช้งานท่ีแตกตา่ งกัน

รปู ท่ี 2.22 ลกั ษณะเครื่องมือลกู ศร

21

(2) เคร่อื งมอื ลงจุด
เครือ่ งมอื ลงจุดเป็นเครือ่ งมือท่ีใช้สรา้ งจุดต่างๆ ในงานของเรา ไมว่ ่าจะ

เป็นจดุ อิสระทีส่ ามารถเคลอื่ นทีไ่ ดอ้ ยา่ งอิสระคอื เราสามารถย้ายจุดนั้นไปที่ใดก็ได้บนหนา้ งาน หรือจะ
เป็นจุดบนวัตถุหรือชิ้นงานต่างๆ ที่สร้างขึ้นมาก่อนหน้าแล้วก็ได้โดยจุดเหล่านี้จะขึ้นอยูก่ ับวัตถุหรอื
ชนิ้ งานท่จี ดุ นน้ั อยู่ ซงึ่ จุดเหลา่ น้ีจะไมส่ ามารถเคลื่อนที่ออกจากวัตถหุ รือช้นิ งานท่จี ุดนัน้ อยู่ได้นั่นคือจะ
เคล่ือนทไี่ ดเ้ ฉพาะอยบู่ นวัตถหุ รือชนิ้ งานท่เี ราสร้างขน้ึ เท่านั้น รวมไปถงึ การสร้างจดุ ตัดของวตั ถุ 2 ช้ิน
กส็ ามารถใชเ้ ครื่องมือน้ไี ด้

รูปท่ี 2.23 ลกั ษณะเครื่องมือลงจดุ
(3) เครื่องมือวงเวยี น

เครื่องมือวงเวียนเป็นเครื่องมือที่ใช้สร้างวงกลม โดยวงกลมจะมี
ส่วนประกอบหลักๆ อยู่ 2 ส่วนด้วยกัน คือ จุดศูนย์กลางและจุดบังคับรัศมีหากเรากดเลือกปุ่ม
เครื่องมือวงเวียน แล้วนําไป สร้างวงกลม จุดแรกที่เราได้จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม หากเรา
ต้องการให้จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมอยู่ตรงไหนก็ให้เลื่อนลูกศรไปยังตำแหนง่ นน้ั แล้วคลิกเมาส์ซ้าย 1
ครง้ั เพอื่ วางจุด จากนัน้ ใหเ้ ล่อื นลกู ศรออกจะเกิดวงกลมรัศมตี ามระยะห่างที่เราเลอื่ น ลกู ศร ออกจาก
จุดศูนย์กลาง หากไดร้ ศั มีตามตอ้ งการแล้วใหค้ ลกิ เมาสซ์ า้ ยอกี 1 คร้งั ก็ จะไดว้ งกลมตามตอ้ งการ

รปู ท่ี 2.24 ลักษณะเคร่อื งมอื วงเวียน
(4) เครอื่ งมือเขียนเส้นในแนวตรง

22

เครือ่ งมือเขยี นเส้นในแนวตรงจะมีเครือ่ งมอื ใหเ้ ลือกใช้ 3 ชนิดด้วยกัน
เช่น เครื่องมือสร้างส่วนของเส้นตรง เครื่องมือสร้างรังสี และเครื่องมือสร้างเส้นตรง วิธีการเลือก
เครื่องมือชนิดต่างๆ นั้น ก็ทำได้เช่นเดียวกันกับการเลือกเครื่องมือ ลูกศร ซึ่งแต่ละเครื่องมือมี
รายละเอียดการใช้งานแตกต่างกัน

รปู ที่ 2.25 ลกั ษณะเคร่ืองมอื เขียนเส้นในแนวตรง
(5) เครื่องมือสร้างข้อความ

เครื่องมือสร้างข้อความเป็นเครื่องมือสำหรับการแสดงชื่อวัตถุที่เรา
สร้างขน้ึ มา เช่น จุด ส่วนของ เสน้ ตรง รังสี เสน้ ตรง วงกลม วธิ ีการคือคลกิ เลือกกล่องเครื่องมือในปุ่ม
ท่ี 5 จะเกดิ เป็นรูปมือสีขาวข้นึ นํารูปมือนี้ไปชี้ยงั ตำแหนง่ หรอื วตั ถทุ ต่ี ้องการต้ังชื่อ รูปมอื จะ เปล่ียนสี
กลายเปน็ รปู มอื สีดำจากนั้นใหเ้ ราคลกิ เมาสซ์ ้าย 1 ครัง้ จะปรากฏช่ือของ วตั ถขุ ึ้น โดยท่ีโปรแกรมจะ
ตั้งชื่อให้เองโดยอัตโนมัติตามชนิดของวัตถุ เช่น ถ้าวัตถุคือ จุด จะตั้งชื่อว่า A ถ้าวัตถุเป็นส่วนของ
เส้นตรงจะตั้งชื่อว่า j เป็นต้น และเรายัง สามารถซ่อนชื่อของวัตถุเหลานั้นได้โดยทำการคลิกซ้ำไปท่ี
เดิมทเี่ ราทำการตัง้ ช่ือ ชอ่ื ของวัตถุตา่ งๆ กจ็ ะถูกซ่อนไป

รูปท่ี 2.26 ลักษณะเครอื่ งมือสร้างขอ้ ความ
(6) เครื่องมือกำหนดเอง

เคร่อื งมือกำหนดเองเป็นเครอื่ งมือสดุ ทา้ ยในกล่องเคร่ืองมอื เอาไว้เก็บ
ชิ้นงานหรือวตั ถุท่ีเราสร้างขึน้ มา ซึ่งบางชิ้นงานเราจะต้องใชว้ ัตถุเดียวกนั ซ้ำๆ กัน หลายครั้งหากเรา
เก็บวตั ถทุ ีเ่ ราสร้างขนึ้ ไว้ในเคร่อื งมือน้ีเราก็จะสามารถเรียกใช้ เครือ่ งมือน้ีเพอ่ื ใหส้ ร้างวัตถุต่างๆ ได้ใน

23

เวลาทร่ี วดเรว็ ขึน้ ไมต่ ้องไปเสยี เวลาสร้างวัตถุ น้ันๆ ใหม่ และในตัวโปรแกรมเองก็จะมีเคร่ืองมือให้ใช้
เช่น ส่วนของเส้นตรงที่มีหัว ลูกศรอยู่ตรงปลายของเส้นตรง ซึ่งเราสามารถเรียกใช้ได้เลย วิธีการใช้
เครื่องมือนี้จะ กล่าวเพียงแค่ข้ันพื้นฐานเท่านั้นคือการเก็บวัตถุไว้ในเครื่องมือ และการเรียกใช้
เคร่อื งมอื น้ันๆ

รปู ท่ี 2.27 ลกั ษณะเครื่องมือกำหนดเอง
2.3.5 การใชเ้ มนูแฟม้

รปู ที่ 2.28 การใชเ้ มนูแฟ้ม

ตารางท่ี 2.3 ส่วนประกอบของเมนแู ฟม้

ช่อื เมนู ทางลดั หนา้ ที่
สรา้ งแฟม้ เอกสารใหม่
แฟม้ ใหม่ Ctrl + N เปิดเอกสารที่มีอยู่แลว้
บนั ทึกชอื่ แฟม้
เปิด... Ctrl + O บนั ทึกช่ือแฟ้มให้เป็นช่อื อ่ืน
ปดิ แฟม้ ที่ทำงานอยู่
บันทึก Ctrl + S เปน็ การเพม่ิ /ลบจำนวนหนา้ ในแฟม้ และเป็นการ
คัดลอก/ลบเครองมือ
บนั ทกึ เป็น… ตั้งค่าหน้ากระดาษของแฟม้ งาน

ปิด Ctrl + W

ทางเลือกเอกสาร...

ต้งั คา่ หนา้ กระดาษ...

24

ตารางที่ 2.4 สว่ นประกอบของเมนูแฟ้ม (ตอ่ )

ชอ่ื เมนู ทางลดั หนา้ ท่ี

ตวั อย่างก่อนพิมพ์… ดูตัวอยา่ งแฟ้มก่อนพิมพอ์ อกเคร่ืองพมิ พ์

พมิ พ์… พิมพแ์ ฟ้มงาน

จบการทำงาน Ctrl + Q จบการทำงานของโปรแกรม

2.3.6 การใชเ้ มนแู ก้ไข

รปู ที่ 2.29 การใช้เมนแู กไ้ ข

ตารางที่ 2.5 สว่ นประกอบของเมนูแก้ไข

ชอ่ื เมนู ทางลัด หน้าที่ ใช้กบั วตั ถุ
ใช้ไดเ้ ลย
ทำย้อนกลบั Ctrl + Z ยกเลกิ การทำกอ่ นหน้านี้ ใชไ้ ดเ้ ลย
วตั ถทุ ุกชนิด
เลกิ ทำยอ้ นกลบั Ctrl + R ยอ้ นกลบั ไปทำท่ีได้ยกเลกิ ไป วตั ถทุ ุกชนดิ
วตั ถทุ ถี่ กู ตดั หรือ
ตดั Ctrl + X ตัดส่ิงท่ีเลือก คัดลอก
วัตถุทกุ ชนดิ
คัดลอก Ctrl + C คัดลอกสิง่ ท่ีเลอื ก

วางรปู Ctrl + V วางสิ่งทต่ี ดั หรือคัดลอก

ลบลา้ ง Del ลบวตั ถทุ ี่เลอื ก

25

ตารางท่ี 2.6 สว่ นประกอบของเมนูแกไ้ ข (ตอ่ )

ช่อื เมนู ทางลดั หนา้ ที่ ใช้กบั วัตถุ

ปุ่มแสดงการทำงาน ปุ่มสำหรบั สร้างคำสัง่ ให้ทำงานตามที่ เลอื กวตั ถุให้

- ซอ่ น เราตอ้ งการ เหมาะสมกับ การ

- การเคลอื่ นไหว ทำงาน

- การเคลื่อนท่ี

- การนาํ เสนอ

- เชื่อมโยง

- เล่อื นหน้าจอ

เลือกทงั้ หมด Ctrl + A เลือกวัตถุทั้งหมด วตั ถทุ กุ ชนดิ

เลือกตัวแม่ Ctrl + U เลือกวัตถุแมข่ องส่งิ ทเ่ี ราเลือก วัตถทุ กุ ชนิด

เลอื กตัวลกู Ctrl + D เลอื กวตั ถุลกู ของสงิ่ ที่เราเลอื ก วัตถุทุกชนดิ

แยก/รวม แยกหรือรวมวตั ถุ 2 ชนิ้ วัตถุ 2 ชิน้

แกไ้ ขขอ้ กาํ หนด Ctrl + E แก้ไขขอ้ กําหนด วตั ถุทเ่ี หมาะสม

สมบตั ิ Alt + ? คณุ สมบัติของวัตถุ วัตถทุ ุกชนดิ

ค่าพึงใจ ตงั้ คา่ ของการแสดงผลของโปรแกรม ใช้ได้เลย

2.3.7 การใช้เมนูแสดงผล

รูปที่ 2.30 การใช้เมนูแสดงผล

26

ตารางท่ี 2.7 สว่ นประกอบของเมนูแสดงผล

ชื่อเมนู ทางลดั หน้าที่ ใช้กบั วตั ถุ

เส้น กำหนดชนดิ ของเสน้ เปน็ เส้นประ วตั ถตุ รง วงกลม เสน้

, เสน้ บาง หรือเสน้ หนา โค้ง

สี กำหนดสีให้กบั วัตถุ วตั ถทุ กุ ชนดิ

ข้อความ กำหนดแบบอกั ษรของขอ้ ความ ขอ้ ความ

ซอ่ น ... Ctrl + H ซ่อนหรอื แสดงวัตถุ วัตถุทกุ ชนดิ รวมถึง

ข้อความ

แสดงสง่ิ ที่ซอ่ นไว้ท้ังหมด แสดงสง่ิ ทซี่ อ่ นไว้ทงั้ หมด วัตถุทุกชนิดทีซ่ อ่ นอยู่

แสดงปา้ ย Ctrl + K แสดงชือ่ ของวตั ถุ วัตถทุ ุกชนิด

กำหนดชื่อ Alt + / ต้ังช่อื ของวตั ถุ วัตถทุ กุ ชนดิ

รอย Ctrl + T สร้างร่องรอยทางเดินของวตั ถุ วตั ถุทกุ ชนิด

ลบรอย Ctrl + B ลบรอ่ งรอยทางเดนิ ของวตั ถุ รอ่ งรอยที่เกดิ ข้นึ

เคลื่อนไหว Alt + ทำใหว้ ตั ถุเคลอ่ื นไหว วตั ถุทกุ ชนิด

เพมิ่ อัตราเรว็ Alt + ] เพมิ่ ความเรว็ ในการเคลอื่ นไหว วตั ถทุ ก่ี าํ ลังเคลอ่ื นไหว

ลดอัตราเร็ว Alt + [ ลดความเรว็ ในการเคล่ือนไหว วตั ถทุ ก่ี ําลงั เคลื่อนไหว

หยดุ การเคลื่อนไหว หยดุ การเคล่อื นไหว วัตถทุ ่กี ําลังเคลอ่ื นไหว

แสดงแถบรปู แบบอักษร Shift + แสดงเครื่องมอื ในการจดั การ เรียกใช้ได้เลย

Ctrl + T ข้อความ

แสดงคำสั่งควบคุมการ แสดงเคร่ืองมือในการทำวตั ถุ เรยี กใช้ไดเ้ ลย

เคลอื่ นไหว เคลือ่ นไหว

ซ่อนกลอ่ งเครื่องมือ แสดงหรอื ซ่อนกลอ่ งเครือ่ งมอื เรียกใชไ้ ด้เลย

ทางด้านซา้ ยมือ

27

2.3.8 การใช้เมนสู รา้ ง

รูปที่ 2.31 การใช้เมนสู รา้ ง

ตารางท่ี 2.8 สว่ นประกอบของเมนสู รา้ ง

ชื่อเมนู ทางลดั หน้าท่ี ใช้กับวัตถุ
วัตถทุ ุกชนิด
จุดบนออ็ บเจกต์ สร้างจุดบนวตั ถุทเี่ ลือก ส่วนของเส้นตรง
วัตถุ 2 ชิน้
จุดก่ึงกลาง Ctrl + M สรา้ งจดุ ก่งึ กลาง จดุ 2 จุด
จดุ 2 จดุ
จดุ ตดั Ctrl + I สรา้ งจุดตดั ของวัตถุ 2 ช้นิ จดุ 2 จดุ
จดุ 1 จุด วตั ถุตรง 1 เสน้
สว่ นของเสน้ ตรง Ctrl + L สรา้ งสว่ นของเสน้ ตรง จดุ 1 จดุ วตั ถุตรง 1 เสน้
จดุ 3 จดุ
รงั สี สร้างรังสี จดุ 2 จุด

เสน้ ตรง สรา้ งเสน้ ตรง จุด 1 จดุ ส่วนของ
เสน้ ตรง 1 เสน้
เส้นขนาน สร้างเสน้ ขนาน จดุ 3 จดุ
จุด 3 จุด
เส้นตงั้ ฉาก สร้างเสน้ ต้งั ฉาก เสน้ รอบวงหรือจดุ ยอดรปู
เหล่ยี ม
เส้นแบ่งครึ่งมม สรา้ งเส้นแบง่ ครึ่งมมุ วัตถุ 2 ชนิ้

วงกลมที่สร้างจากจดุ สรา้ งวงกลม

ศูนยก์ ลางและจุดอืน่

วงกลมทีส่ รา้ งจากจดุ สรา้ งวงกลม

ศนู ย์กลางและรศั มี

สว่ นโค้งบนวงกลม สร้างสว่ นโค้งบนวงกลม

สว่ นโค้งผา่ นจดุ สามจุด สรา้ งส่วนโค้ง

บริเวณภายใน Ctrl + P สรา้ งบริเวณภายในรูปปิด

โลคัส สรา้ งเส้นทางเดนิ ของวตั ถุ

28

2.3.9 การใชเ้ มนกู ารแปลง

รปู ที่ 2.32 การใช้เมนกู ารแปลง

ตารางที่ 2.9 สว่ นประกอบของเมนกู ารแปลง

ชื่อเมนู หนา้ ที่ ใชก้ ับวตั ถุ

ระบุจุดศูนยก์ ลาง กำหนดจดุ ให้เปน็ จุดศูนย์กลาง จดุ

ระบเุ สน้ สะทอ้ น กำหนดเสน้ ใหเ้ ป็นเส้นสะทอ้ น วัตถุตรง

ระบุมมุ กำหนดมุม จดุ 3 จดุ

ระบอุ ัตราสว่ น กำหนดอตั ราส่วน จดุ 3 จุดหรือสวนของเส้นตรง 2 เสน้

ระบุเวกเตอร์ กำหนดขนาดและทิศทางของการ จุด 2 จดุ

แปลง

ระบุระยะทาง กำหนดระยะทางการแปลง ระยะทาง

เลอื่ นขนาน เล่อื นวัตถุต้นแบบ วตั ถทุ ุกชนิด

หมุน หมุนวตั ถตุ น้ แบบ วัตถุทกุ ชนิด

ยอ่ /ขยาย ย่อ/ขยายวัตถตุ น้ แบบ วตั ถุทกุ ชนดิ

สะทอ้ น สะท้อนวตั ถุต้นแบบ วัตถทุ กุ ชนดิ

ทำซ้ำ ทำซำ้ เดิมเปน็ จำนวนคร้ัง วตั ถุทุกชนดิ

ตอ่ เน่ืองกนั

2.3.10 การใชเ้ มนูการวัด
เมนกู ารวัดเป็นเมนูทปี่ ระกอบดว้ ยคำส่ังสำหรับการวัด ทั้งหมด โดยที่ระยะหรือ

มมุ ตา่ งๆ ทเ่ี ราวัดได้ จากวัตถหุ รอื ชิ้นงานเหล่าน้จี ะมีขนาดเท่ากับระยะหรอื มมุ ของวตั ถนุ ั้นๆ จริง เม่ือ
เราสั่งพมิ พ์ชิ้นงานหรือวตั ถุ ของเราทางเครื่องพมิ พ์สามารถวดั ได้ตามอัตราส่วนทีป่ รากฏทางหน้าจอ
วิธีการใชค้ ำส่งั เหลา่ นี้ก็ยงั คง เหมอื น การใชค้ ำสั่งอ่นื ๆ โดยจะต้องเลือกวัตถุให้ถูกต้องกับคำส่ังแต่ละ
คำสัง่ เมนูการวดั มสี ว่ นประกอบดงั แสดงใน ตารางนี้

29

รปู ท่ี 2.33 การใช้เมนูการวัด

ตารางที่ 2.10 สว่ นประกอบของเมนูการวดั

ชอื่ เมนู หน้าที่ ใช้กับวัตถุ

ความยาว ใช้วัดความยาวของส่วนของ สว่ นของเสน้ ตรง

เส้นตรง

ระยะทาง ใช้วดั ระยะทาง จดุ 2 จดุ , จุดกับเสน้ ตรง

เส้นรอบรปู ใช้วัดเสน้ รอบรูป รูปทรงปดิ หรือพ้ืนที่เซกเตอร์

เส้นรอบวง ใชว้ ัดเส้นรอบวง วงกลม

มุม ใชว้ ัดมมุ จดุ 3 จดุ

พนื้ ที่ ใช้วัดพืน้ ที่ รูปปดิ หรือวงกลม

มมุ ของสว่ นโคง้ ใช้วดั มุมที่รองรับส่วนโค้ง ส่วนโค้ง

ความยาวส่วนโคง้ ใช้วดั ความยาวสว่ นโคง้ วงกลมหรอื ส่วนโค้ง

รัศมี ใชว้ ัดรัศมี วงกลมหรอื ส่วนโค้ง

อัตราส่วน ใช้วดั อัตราส่วน สว่ นของเส้นตรง 2 เสน้ หรอื จุด 3 จุด

ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

คํานวณ เครอื่ งมือสำหรบั การคาํ นวณ ใชไ้ ดต้ ลอดเวลา

พกิ ัด ใช้วดั คอู่ ันดบั ของจุด จดุ ตั้งแต่ 1 จดุ

พกิ ัดท่ี 1 (x) ใช้วดั ค่า x ของคู่อนั ดบั จุดตง้ั แต่ 1 จดุ

พิกัดท่ี 2 (y) ใช้วดั ค่า y ของค่อู นั ดับ จุดต้ังแต่ 1 จุด

ระยะระหวา่ งพิกัด ใชว้ ัดระยะทางระหว่างจุด 2 จุด จุด 2 จดุ

ความชนั ใชว้ ดั ความชนั สว่ นของเสน้ ตรง, รงั สี, เส้นตรงตัง้ แต่ 1

เส้น

สมการ ใชห้ าสมการ เสน้ ตรงตั้งแต่ 1 เส้น

30

2.3.11 การใช้เมนูกราฟ

รปู ท่ี 2.34 การใช้เมนูกราฟ

ตารางท่ี 2.11 สว่ นประกอบของเมนูกราฟ ใช้กบั วตั ถุ
ชอ่ื เมนู หนา้ ท่ี กำหนดระนาบ XY เขียน แกน X แกน Y
กำหนดระนาบ X ,Y ใดเป็นระนาบหลัก
กำหนดระบบพกิ ดั กำหนดรปู แบบของเส้นกรดิ
ระบรุ ะบบพิกดั - กรดิ เชิงขว้ั
รูปแบบกรดิ - กรดิ จัตุรัส
- กรดิ สีเ่ หล่ียมมมุ ฉาก ุ
ซอ่ นกริด Ctrl + F ซ่อนกรดิ หรอื แสดงกริด
สแนพจุด Ctrl + G กําหนดใหโ้ ปรแกรมคํานวณจุดเปน็ จำนวนเตม็
ลงจดุ สร้างจดุ คู่อันดับที่ต้องการ
พารามิเตอรใ์ หม่ สรา้ งตัวแปรใหม่
ฟงั ก์ชันใหม่ สร้างฟงั กช์ นั ใหม่แตย่ งั ไมว่ าดกราฟ
เขียนกราฟฟังก์ชนั ใหม่ สรา้ งฟงั กช์ นั ใหมแ่ ลว้ วาดกราฟ
อนุพนั ธ์ หาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั
สร้างตาราง นาํ คา่ ของฟงั ก์ชนั ต่างๆ มาเขยี นเป็นตาราง
เพ่มิ ขอ้ มูลในตาราง เพมิ่ ขอ้ มูลในตาราง
ลบขอ้ มูลในตาราง ลบขอ้ มลู ในตาราง

31

รปู ที่ 2.35 การใช้เมนูกราฟสร้างกริดเชงิ ขั้ว
รปู ท่ี 2.36 การใชเ้ มนูกราฟสร้างกริดจัตรุ สั

การเขยี นกราฟฟังก์ชัน f ( x) = x

รูปที่ 2.37 การเขียนกราฟของฟังกช์ ัน f ( x) = x
รปู ที่ 2.38 กราฟของฟงั กช์ ัน f ( x) = x

32

2.3.13 ขอ้ ดแี ละข้อจำกัดของโปรแกรม
(1) ขอ้ ดขี องโปรแกรม
1.1 ใช้สร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ที่มีปฏิสัมพันธ์ได้

หลากหลายตั้งแต่การค้นหาในระดับพื้นฐานซึ่งเกีย่ วกับรูปร่างและจำนวนไปจนถึงภาพวาดขั้นสงู ท่มี ี
ความซบั ซอ้ น และเคลอ่ื นไหวได้

1.2 ช่วยเสริมแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับพีชคณิต
ตรีโกณมิติ แคลคลู ัสและเรื่องอน่ื ๆ

1.3 สามารถอธิบายหลักการคณิตศาสตร์ การตอบปัญหา
และกระตุน้ ใหน้ ักเรียนสรา้ งข้อคาดการณ์ โดยฝึกทำเองบนเครอื่ งคอมพิวเตอร์

1.4 สร้างภาพทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนสำหรับใช้ในการทำ
รายงาน หรือในงานทไี่ ดร้ ับมอบหมาย

(2) ขอ้ จำกดั ของโปรแกรม
ตอ้ งใชร้ ว่ มกบั คอมพิวเตอร์ ใช้ไฟฟ้า และถา้ นักเรียนไม่มีพื้นฐานการ

ใช้คอมพวิ เตอร์จะใช้งานโปรแกรม GSP ไม่ไดห้ รอื ใช้งานไมค่ ลอ่ ง

2.4 กระเบือ้ ง
(ออนไลน์ : ม.ป.ป.) สำหรับงานรับเหมาก่อสร้างอาคารบ้านเรือน สิ่งที่จะต้องทำความ

เข้าใจอันดับแรกๆ คือเรื่องของการปูพื้นซึ่งเป็นรากฐานสำคัญในการก่อสร้าง และเมื่อพูดถึงพ้ืนของ
บา้ นที่ดี เราควรจะตอ้ งมาใส่ใจถึงรายละเอียดกับการเลือกกระเบื้องปูพ้ืนกนั ให้มาก เพราะเป็นส่ิงท่ีผู้
อยู่อาศัยต้องใช้งานอยู่ทุกวัน โดยการเลือกกระเบ้ืองปูพื้นมีวัสดุให้เลือกใชห้ ลากหลายประเภท แถม
แต่ละประเภทยังมีข้อดีข้อเสียที่แตกต่างกัน หากใครยังไม่แน่ใจว่างานแบบไหนเหมาะกับกระเบื้อง
ประเภทใด ควรมาทำความเขา้ ใจกบั บทความน้ี จะได้เลือกกระเบอ้ื งปพู ื้นที่ถูกใจเราและเหมาะสมกับ
การใช้งาน ประเภทของกระเบอ้ื ง มที ง้ั หมด 6 ประเภท ไดแ้ ก่

2.4.1 กระเบอื้ งดนิ เผา
เป็นรูปแบบพืน้ ที่นิยมในสมัยโบราณ เกิดจากการนำเอาดนิ ไปเผาจนแข็งตัว มีสี

น้ำตาล ให้ความรู้สึกอบอุ่น เป็นธรรมชาติ เก็บความชืน้ ได้ดี ระบายความร้อนได้เรว็ ทำให้เย็นสบาย
ผวิ ด้าน ไม่มีตะไครน่ ำ้ เกาะ จึงไมล่ ื่น ท้งั ยังมีราคาถูก มีทัง้ แบบเคลือบเงาและไม่เคลือบ เหมาะกับการ
ทำพื้นตกแต่งสปา รีสอร์ต แต่มีข้อเสียคือ การทำความสะอาดจะยากโดยเฉพาะกับดินเผาที่ไม่ได้
เคลอื บ เพราะคราบส่ิงสกปรกจะฝังลึก จงึ เปน็ ภาระในการตอ้ งทำความสะอาดบอ่ ยๆ นอกจากน้ียังผุ
กรอ่ นและแตกหักงา่ ย

33

รปู ที่ 2.39 กระเบ้ืองดนิ เผา
2.4.2 กระเบ้ืองเซรามกิ

เกิดจากการนำกระเบื้องดินเผาไปเผาในเตา 1-2 รอบ มีทั้งแบบเคลือบและไม่
เคลอื บ ซง่ึ เมื่อเคลือบแลว้ จะทำให้เกดิ ลวดลายสวยงาม มีสสี ันและดีไซน์ใหเ้ ลือกมากมายหากเทียบกับ
ประเภทอืน่ ๆ มคี วามแน่นและแขง็ แรง อัตราการซมึ นำ้ สงู แบ่งออกเป็นแบบปพู ้ืนและปูผนัง ดงั นัน้ จงึ
ต้องเลือกซอ้ื ให้ถกู ประเภทเพอื่ ป้องกันความเสียหายที่อาจเกิดขนึ้ เพราะแบบปูผนงั จะรับนำ้ หนักไดไ้ ม่
ดี กระเบอ้ื งเซรามกิ มรี าคาไม่สูงมาก ข้ึนอยู่กบั ลวดลายและขนาด ข้อเสียคอื ไม่ทนตอ่ การขีดข่วน และ
รองน้ำหนักมากๆ ไมไ่ ด้ ถ้าเปน็ แบบเคลือบเมือ่ เปียกน้ำจะล่นื ไดง้ ่ายและหากรอ้ื ถอนแล้วไม่สามารถปู
ใหม่ได้ เหมาะสำหรับหอ้ งครวั หากใช้กับหอ้ งน้ำต้องเป็นแบบด้านเท่านนั้

รปู ท่ี 2.40 กระเบื้องเซรามกิ
2.4.3 กระเบ้ืองโมเสค

เป็นกระเบื้องชิ้นเล็กๆ เนื้อทำจากแก้ว เซรามิก หรือหิน นำมาเรียงต่อกัน ซ่ึง
ปัจจุบันส่วนมากจะเกาะอยู่บนตาข่ายที่รองไว้ด้านลา่ ง เพื่อให้ประหยัดเวลาและง่ายต่อการติดตั้ง ดู
นา่ รกั มีสสี นั สวยงาม สสี นั ไมต่ กงา่ ย นยิ มนำมาใช้ตกแต่ง มคี ณุ สมบัตแิ ข็งแรง มนั วาว การดูดซมึ น้ำต่ำ
จึงกนั นำ้ ได้ดี มีร่องจำนวนมากใหน้ ้ำไหลผ่าน แต่โมเสคจะมีข้อเสียตรงท่ีราคาต่อแผ่นค่อนข้างสูงกว่า
กระเบื้องชนิดอื่นๆมาก หากใช้เยอะก็จะทำให้ต้นทุนสูงตามไปด้วย และทำความสะอาดยาก
โดยเฉพาะร่องยาแนว เหมาะสำหรับทำพื้นเล็กๆ และโค้งมน เช่น ห้องนำ้ หรือสระว่ายน้ำ ลักษณะ
ตาขา่ ยดา้ นหลังของกระเบอ้ื งโมเสค

34

รปู ที่ 2.41 กระเบ้ืองโมเสค
2.4.4 กระเบื้องแกว้

ทำจากโมเสคที่นำไปเคลือบแก้วใหม้ ีความมันวาว จึงรกั ษาลวดลายบนแผ่นให้อยู่
ได้นานมากข้ึน มีความใส โปร่งแสง ลวดลายสวยงามหลากหลาย ได้รับความนิยมในหมู่นักออกแบบ
แต่มีข้อเสียตรงท่มี ีชิ้นเลก็ ทำใหป้ ูยากและมรี าคาสูง รองรบั น้ำหนกั และแรงกระแทกไดน้ ้อย และไม่ทน
ต่อการขีดข่วน เหมาะสำหรับใช้ในห้องน้ำ แต่ไม่แนะนำใหใ้ ช้สำหรับพื้น เพราะถ้าเกดิ ความเสียหาย
หรอื แตกขน้ึ มาอาจจะบาดได้

รูปที่ 2.42 กระเบ้ืองแกว้
2.4.5 กระเบ้อื งพอรซ์ เลน

คำว่าพอร์ซเลนคือชื่อดินชนิดหนึ่ง ซึ่งเป็นการนำดินเซรามิคไปผสมกับแร่ต่างๆ
เพื่อเพ่มิ ความแข็งแรงใหก้ บั กระเบื้อง ซ่ึงกระเบือ้ งชนดิ นี้จะเป็นกระเบื้องทนี่ ิยมมากในปัจจุบันสำหรับ
การปูพื้น เนื่องจากจะมีความแข็งแรงทนทานมาก และสามารถพิมพ์ลายต่างๆลงไปบนผิวของ
กระเบ้อื งได้ เช่น ลายหนิ อ่อน หรอื ลายไม้ ทำให้สามารถนำไปตกแตง่ บ้านได้อย่างหลากหลาย

35

รูปท่ี 2.43 กระเบอ้ื งพอรซ์ เลน
2.4.6 กระเบอ้ื งแกรนิตโต้

ผลิตจากผงหินแกรนิตที่นำมาอัดขึ้นรูปแผ่นกระเบื้องและผ่านความร้อนสูงถึง
1,300 องศาเซลเซียส จงึ ทำให้กระเบื้องชนดิ นีม้ ีความทนทานสงู เทียบเทา่ หินแกรนติ ตดิ ตั้งงา่ ย ทั้งยัง
มีการเคลือบเงา ทำให้พื้นดูมันเงา กว้างขวางมากขึ้น มีสีสันและขนาดให้เลือกหลากหลาย ทำความ
สะอาดคราบต่างๆ ไดง้ า่ ย จึงเหมาะกับการทำพื้นห้องครวั อย่างมาก แตห่ อ้ งอืน่ ๆ กน็ ำไปใช้ได้เช่นกัน
ท้งั ยังเหมาะมากตอ่ การนำไปสร้างพื้นในอาคารทีม่ คี นพลกุ พลา่ นมากๆ

รูปที่ 2.44 กระเบ้อื งแกรนติ โต้
2.5 การพ่นทราย

Blast Master (ม.ป.ป.) กล่าวว่า การพ่นทราย คอื กระบวนการขัดผวิ ชิน้ งานด้วยเครื่อง
พ่นทราย โดยมีแรงดันจากปั๊มลมเป็นแรงขับเคลื่อนทรายให้ไปกระทบผิวของชิ้นงาน ทำให้ขัดผิวได้
รวดเร็ว เข้าถึงทุกซอกทุกมุม ดีกว่าการขัดด้วยมือ เราสามารถเลือกให้ผิวของชิ้นงานหยาบหรือ
ละเอียดไดต้ ามต้องการโดยการเลือกขนาดของเมด็ ทรายท่ใี ช้