จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล6

โครงงานคณติ ศาสตร์
เรื่อง จำนวนแบบรปู ไม้ตีฮอกกี้บนสามเหล่ียมปาสกาล

โดย

นายธนัช ภูธร เลขท่ี 4

นางสาวจิรัจฌา พลแก้ว เลขท่ี 14

นางสาววรรณษา สอ่ งกระโทก เลขท่ี 19

ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6/1

เสนอ
คุณครวู ทิ ยา นิลสกลุ

โครงงานนเี้ ป็นส่วนหนึง่ ของรายวิชา คณติ ศาสตร์เพ่ิมพนู ประสบการณ์ ค33204
โรงเรยี นแก่งคอย อำเภอแกง่ คอย จงั หวัดสระบรุ ี
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศกึ ษา 2563

โครงงานคณติ ศาสตร์
เร่ือง จำนวนแบบรปู ไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล

โดย

นายธนชั ภูธร เลขที่ 4
14
นางสาวจิรจั ฌา พลแก้ว เลขท่ี 19

นางสาววรรณษา ส่องกระโทก เลขที่

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6/1

เสนอ
คุณครูวิทยา นิลสกลุ

โครงงานนี้เปน็ ส่วนหน่ึงของรายวชิ า คณิตศาสตร์เพ่มิ พนู ประสบการณ์ ค33204
โรงเรียนแก่งคอย อำเภอแก่งคอย จังหวัดสระบุรี
ภาคเรียนท่ี 2 ปีการศึกษา 2563

ชื่อโครงงาน : จาํ นวนแบบรูปไม้ตีฮอกกีบ้ นสามเหลยี่ มปาสกาล
ประเภทโครงงาน : สรา้ งทฤษฎหี รือสร้างคาํ อธิบาย
สำหรบั : นักเรียนชัน้ มัธยมศึกษาตอนปลาย
ผ้จู ัดทำโครงงาน : นายธนชั ภธู ร เลขที่ 4

อาจารย์ทีป่ รึกษา นางสาวจิรัจฌา พลแก้ว เลขที่ 14
รายวชิ า นางสาววรรณษา สอ่ งกระโทก เลขที่ 19
ปีการศกึ ษา ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6/1

: คณุ ครูวิทยา นิลสกุล
: คณิตศาสตร์เพมิ่ พูนประสบการณ์ ค33203
: 2/2563

บทคดั ย่อ

โครงงานเรื่องจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล มีวัตถุประสงค์ คือ 1 ) เพื่อศึกษา
ความสัมพันธ์ของจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล และ 2 ) เพื่อศึกษาพจน์ทั่วไปของจำนวน
แบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหล่ียมปาสกาล โดยที่มาของโครงงานนี้ได้รบั แรงบันดาลใจจากการศึกษาสมบัตติ ่าง
ๆ บนสามเหลีย่ มปาสกาลหลายประการ คือ จำนวนเฉพาะ มหศั จรรย์ของ 11 ผลรวมของจำนวนในแต่ละแถว
ทฤษฎีบททวินาม ลำดับฟิโบนักชี จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม จำนวนจุดบนวงกลม ความเชื่อมโยงกับ
สามเหลี่ยม Sierpinski วิธีจัดหมู่ และแบบรูปไม้ตีฮอกกี้ ซึ่งสมบัติเหล่านี้มีผู้นำมาศึกษาต่อเพื่อนำไปใช้
ประโยชน์เป็นจำนวนมาก แต่มีเพียงเรื่องแบบรูปไม้ตีฮอกกี้เท่านั้น ที่ไม่ได้รับความนิยมในการนำมาศึกษา
คณะผู้จัดทำจึงมีความสนใจที่จะศึกษา และเสนอแนวคิดใหม่ๆในการสร้างเป็นสูตรการหาจำนวนแบบรูปไม้ตี
ฮอกก้ีบนสามเหลีย่ มปาสกาล

โดยวิธีการศึกษา จะดำเนินการโดยนำข้อมูล หลักการ หรือทฤษฎีต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
มาสนับสนุนอย่างมีเหตุผล ผ่านการวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ของแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล
ทั้งหมด n แถว โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดในการตรวจสอบความสัมพันธ์เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของ

ความสัมพันธ์ที่ได้ และคณะผู้จัดทำได้ใช้วิธีการหาผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิด เพื่อให้ได้มาซึ่งสูตร
สำเร็จในการหาจำนวนแบบรปู ไมต้ ฮี อกก้ีบนสามเหล่ียมปาสกาล คือ an = n2 -3n+ 2

การนำเสนอผลการดำเนินการ คือ นำเสนอในรูปแบบรูปเล่มที่มีการแสดงความสัมพันธ์ของจำนวน
แบบรูปไม้ตฮี อกกี้บนสามเหลีย่ มปาสกาลทั้งหมด n แถว และสูตรสำเร็จในการหาจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกกี้
บนสามเหลย่ี มปาสกาล

กิตตกิ รรมประกาศ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล สำเร็จลุล่วงไปได้ด้วย
ความอนุเคราะห์ และความมีน้ำใจจาก คุณครูวิทยา นิลสกุล ซึ่งได้กรุณาให้คำปรึกษาแนะนำแนวคิด วิธีการ
และเสียสละเวลาอันมีค่าแก้ไขจุดบกพร่องของเนื้อหาด้วยความเอาใจใส่อย่างยิ่ง คณะผู้จัดทำจึง
ขอขอบพระคุณเปน็ อยา่ งสงู ณ โอกาสน้ี

สุดท้ายนี้คณะผู้จัดทำขอขอบพระคุณทุก ๆ ท่านที่ได้สนับสนุนการทำงาน และให้กำลังใจแก่คณะ
ผู้จัดทำเสมอมากระทั่งการศึกษาค้นคว้าโครงงานนี้สำเร็จลลุ ่วงได้ด้วยดี และความดีที่เกิดจากการศึกษาครั้งน้ี
คณะผจู้ ัดทำขอมอบแดบ่ ดิ า มารดา ครู อาจารย์และผู้มพี ระคณุ ทุกท่าน

คณะผู้จดั ทำ

สารบญั หนา้

บทคดั ย่อ 1
กติ ติกรรมประกาศ 1
สารบญั 2
สารบญั ตาราง 2
สารบัญรปู ภาพ 2
บทที่ 1 บทนำ 2
4
ความเปน็ มาและความสำคญั 5
วตั ถปุ ระสงค์ 8
ขอบเขตการศึกษาโรงงาน 9
ประโยชนท์ ่ีคาดวา่ จะไดร้ บั 37
นิยามศพั ทเ์ ฉพาะ 37
บทที่ 2 เอกสารท่ีเกีย่ วขอ้ งกับโครงงาน 37
2.1 สามเหล่ยี มปาสกาล 38
2.2 แบบรปู ไมต้ ีฮอกก้ี
2.3 ความสัมพนั ธ์เวยี นเกิด
บทท่ี 3 วธิ ีดำเนินโครงงาน
3.1 วัสดุ อุปกรณ์และเครื่องมือทีใ่ ชใ้ นการดำเนินโครงงาน
3.2 ขัน้ ตอนการดำเนินโครงงาน
3.3 ปฏทิ นิ การดำเนนิ โครงงาน

สารบญั (ตอ่ ) 40
46
บทที่ 4 ผลการดำเนินโครงงาน 46
บทที่ 5 สรปุ ผล และข้อเสนอแนะ 46
46
5.1 สรปุ ลการศึกษา 47
5.2 ปัญหาและอปุ สรรคในการศึกษา 48
5.3 ข้อเสนอแนะและแนวทางในการพัฒนา
บรรณานกุ รม
ภาคผนวก
ก ภาพการศกึ ษาคน้ ควา้ และการดำเนนิ การทำโครงงาน
ข ประวตั ิผู้จัดทำ

สารบญั ตาราง

ตารางที่ หน้า

ตารางท่ี 1 จำนวนกระตา่ ยจำแนกตามวยั ในแตล่ ะเดือน 11
ตารางที่ 2 ปฏทิ ินการดำเนินโครงงาน 38

สารบญั ภาพ หน้า
ภาพท่ี
8
ภาพที่ 1 ตวั อยา่ งของแบบรูปไมต้ ีฮอกกี้บนสามเหล่ยี มปาสกาล 12
ภาพที่ 2 ปัญหาหอคอยฮานอย1 12
ภาพที่ 3 ปญั หาหอคอยฮานอย2 13
ภาพที่ 4 ปญั หาหอคอยฮานอย3 14
ภาพท่ี 5 ปัญหาหอคอยฮานอย4 41
ภาพท่ี 6 แสดงจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกกใ้ี นแถวท่ี 1 41
ภาพที่ 7 แสดงจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกีใ้ นแถวที่ 2 41
ภาพท่ี 8 แสดงจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้ในแถวที่ 3 42
ภาพท่ี 9 แสดงจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกี้ในแถวท่ี 4 42
ภาพที่ 10 แสดงจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกกี้ในแถวที่ 5 42
ภาพที่ 11 แสดงจำนวนแบบรปู ไม้ตีฮอกกี้ในแถวที่ 6

1

บทท่ี 1
บทนำ

ความเปน็ มาและความสำคัญ

คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์ คิด
อย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างถี่
ถ้วนรอบคอบ ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา และนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้อง
เหมาะสม นอกจากน้ีคณิตศาสตร์ยังเป็นเคร่ืองมือในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและศาสตร์อ่ืน
ๆ คณติ ศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีข้ึน และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้
อย่างมคี วามสุข

โดยทั่วไปแล้วรายวิชาคณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นนามธรรม มีความถูกต้องเที่ยงตรงคงเส้นคงวา มี
ระเบียบแบบแผน มีความเป็นเหตุเป็นผล มีโครงสร้างที่ประกอบด้วย บทนิยาม สัจพจน์ ที่เป็นข้อตกลง
เบื้องต้น จากนั้นจึงใช้การให้เหตุผลที่สมเหตุสมผลสร้างทฤษฎีบทต่าง ๆ ขึ้น โดยแบลส ปาสกาล (Blaise
Pascal) นักคณิตศาสตร์ผู้หนึ่ง ได้สร้างทฤษฎีบททวินามขึ้น ซึ่งเป็นทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญทางคณิตศาสตร์
โดยทฤษฎีบทนี้ได้มาจากการพิจารณาการกระจายทวินาม (a + b)n ซึ่งจะสงั เกตเหน็ ว่าสามารถเขียนแผนภาพ
เฉพาะสัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินามออกมาได้ในลักษณะของตัวเลขที่จัดทรงเป็นรูปสามเหลี่ยม ซ่ึง
เรียกวา่ “สามเหลย่ี มปาสกาล” นอกจากน้ี แบลส ปาสกาล ยงั เปน็ นกั คณติ ศาสตร์คนแรกทไ่ี ดศ้ ึกษาจำนวนชุด
นี้ และพบสมบัติต่าง ๆ บนสามเหลี่ยมปาสกาลหลายประการ คือ จำนวนเฉพาะ มหัศจรรย์ของ 11 ผลรวม
ของจำนวนในแต่ละแถว ทฤษฎีบททวินาม ลำดับฟิโบนักชี จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม จำนวนจุดบนวงกลม
ความเชื่อมโยงกับสามเหลี่ยม Sierpinski วิธีจัดหมู่ และแบบรูปไม้ตีฮอกกี้ ซึ่งสมบัติเหล่านี้มีผู้นำมาศึกษาต่อ
เพื่อนำไปใช้ประโยชน์เป็นจำนวนมาก แต่มีเพียงเรื่องแบบรูปไม้ตีฮอกกี้เท่านั้น ที่ไม่ได้รับความนิยมในการ
นำมาศึกษา อยา่ งไรกต็ ามสมบตั ขิ องไม้ตีฮอกก้ี ยงั คงมีความงดงามซอ่ นอยบู่ นสามเหลย่ี มปาสกาล

คณะผ้จู ดั ทำจึงมคี วามสนใจท่จี ะศึกษา และเสนอแนวคิดใหม่ ๆ ในการอธิบายเร่อื ง แบบรูปไม้ตีฮอกกี้
โดยนำหลักการหรือทฤษฎีต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องมาสนับสนุน อย่างมีเหตุผลและนำเสนอออกมา
ในรูปแบบพจน์ทั่วไปของจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้ บนสามเหลี่ยมปาสกาล ดังนั้นคณะผู้จัดทำจึงจัดทำ
โครงงานคณิตศาสตร์ประเภททฤษฎี เรือ่ ง จำนวนแบบรูปไมต้ ฮี อกก้บี นสามเหล่ยี มปาสกาลขึน้

2

วัตถปุ ระสงค์

1. เพ่ือศึกษาความสมั พันธ์ของจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกบ้ี นสามเหลย่ี มปาสกาล
2. เพ่ือศึกษาพจน์ท่วั ไปของจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกบี้ นสามเหล่ียมปาสกาล

ขอบเขตการศกึ ษาโครงงาน

ขอบเขตด้านเน้ือหาของโครงงาน มดี ังน้ี

1. ความรู้ เรื่อง สามเหลย่ี มปาสกาล ลำดบั และอนกุ รม ของระดับชั้นมัธยมศึกษา เพ่อื นำมาใช้ใน
การศึกษาความสัมพนั ธข์ องจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกก้ีบนสามเหล่ยี มปาสกาล

2. ความรู้ เร่ือง ความสัมพนั ธ์เวยี นเกดิ และการหาผลเฉลยของความสัมพนั ธ์เวียนเกิด เพื่อยืนยัน
ความถูกตอ้ งของพจนท์ ่วั ไปของจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกก้บี นสามเหลยี่ มปาสกาล

ประโยชน์ทีค่ าดวา่ จะไดร้ บั

1. เข้าใจความสัมพนั ธข์ องจำนวนแบบรปู ไม้ตีฮอกกบ้ี นสามเหลีย่ มปาสกาล

2. สามารถหาพจนท์ ่วั ไปในการหาจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกก้ีบนสามเหล่ยี มปาสกาลไดโ้ ดยไมต่ ้องนบั ที
ละรูป

นิยามศัพท์เฉพาะ

1. สามเหลี่ยมปาสกาล หมายถึง สามเหลย่ี มที่มจี ำนวนแรกและจำนวนสุดท้านของแตล่ ะแถวเท่ากับ
1 เสมอ จำนวนใด ๆ ในแต่ละแถว เกดิ จากการบวกของจำนวน 2 จำนวน ท่อี ยูเ่ หนอื จำนวนนั้น ๆ ไปทางซ้าย
และทางขวาของแถวด้านบนท่ีติดกัน ซ่งึ สามเหล่ียมปาสกาลมีลักษณะสมมาตร จำนวนท้ังหมดทอ่ี ยู่ในแถวที่ n

3

มีค่าเทา่ กบั n+1 จำนวน และผลบวกของจำนวนทุกจำนวนในแถวท่ี n มคี า่ เทา่ กบั 2n ซ่ึงสามเหล่ียมน้ีถูกสร้าง
ข้นึ โดยปาสกาล

2. แบบรูปไม้ตีฮอกกี้ หมายถึง รูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาลที่ได้จากการสร้างเส้นทแยงของ
จำนวนในแต่ละแถว โดยเลือกจำนวนที่เริ่มจาก 1 ทแยงเข้าไปภายในรูปสามเหลี่ยมไปสิ้นสุดที่จำนวนใด
จำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าด้ามของไม้ฮอกกี้ โดยไม้ตีฮอกกี้แต่ละรปู จะมีความยาวด้ามตัง้ แต่ 2 ขึ้นไป และมีความ
ยาวได้มากที่สดุ เทา่ กับ n-1 เม่ือ n คือ แถวของสามเหล่ียมปาสกาล ซึ่งผลรวมของจำนวนบนเส้นทแยงท่ีเลือก
จะเทา่ กบั จำนวนทอี่ ยู่ตำ่ กวา่ จำนวนสดุ ทา้ ยทีเ่ ลอื ก ทไ่ี ม่ไดอ้ ยบู่ นเสน้ ทแยงเดียวกนั

3. จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล หมายถึง จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้ที่เป็นไปได้
ทง้ั หมด n แถว บนสามเหลี่ยมปาสกาล

4. พจน์ทั่วไปของจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล หมายถึง สูตรที่ใช้ในการหา
จำนวนแบบรูปไมต้ ฮี อกก้บี นสามเหล่ยี มปาสกาลในแถวที่ n (เม่ือ n คอื แถวของสามเหลีย่ มปาสกาลที่ต้องการ
หา)

4

บทที่ 2
เอกสารที่เกี่ยวขอ้ งกับโครงงาน

ในการจดั ทำโครงงานฉบบั นี้ ผูจ้ ัดทำได้รวบรวมเน้อื หา ความรู้ และทฤษฎีต่าง ๆ ที่เก่ยี วข้องกบั การ
จดั ทำโครงงาน โดยแบ่งเนื้อหาท่ีเก่ียวข้องออกเปน็ 3 ส่วน ซึง่ ได้นำเสนอตามหัวข้อต่อไปนี้

1. สามเหลีย่ มปาสกาล

1.1 ประวัตขิ องปาสกาล
1.2 ผลงานท่ีสำคญั ของปาสกาล
1.3 วธิ ีการสร้างสามเหลย่ี มปาสกาล
1.4 สมบตั ิบนสามเหลีย่ มปาสกาล

2. แบบรปู ไมต้ ีฮอกกี้

2.1 ลกั ษณะของแบบรปู ไม้ตีฮอกกี้

3. ความสัมพนั ธ์เวยี นเกิด

3.1 บทนิยามของความสมั พนั ธ์เวยี นเกิด
3.2 การหาผลเฉลยของความสัมพนั ธเ์ วียนเกดิ

5

1. สามเหลี่ยมปาสกาล

1.1 ประวตั ขิ องปาสกาล

ชุดของจํานวนที่ในปัจจุบันเรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ได้รับความสนใจในการศึกษา จากนัก
คณิตศาสตร์ทั้งในอินเดีย กรีก และจีนก่อนหน้านั้นนานแล้ว แต่ว่า แบลส ปาสกาล เป็นบุคคล แรกที่ค้นพบ
และแสดงให้เห็นความสําคัญและแบบรูปทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยมนี้ และเพื่อให้ เกียรติแก่ปาสกาลซ่ึง
เป็นผูค้ ้นพบ จึงเปน็ ที่มาทท่ี ําให้เรยี กช่ือสามเหล่ยี มน้วี า่ “สามเหลย่ี มปาสกาล”

แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal, ค.ศ. 1623 - 1662) เกิดที่เมือง Chermont มณทล Auverge
ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ค.ศ. 1623 บิดาเป็นนักคณิตศาสตร์ และผู้พิพากษา ปาสกาลได้แสดง
ความเป็นอจั ฉริยะทางคณิตศาสตร์ต้ังแต่เดก็

ในช่วงแรกพ่อของเขาไม่สนับสนุนให้เรียนคณิตศาสตร์ แต่อยากให้เขาสนใจศาสตร์ด้านอื่นบ้ าง
เนื่องจากเกรงว่าปาสกาลจะมีความสนใจทางคณิตศาสตร์อย่างแรงกล้าเหมือนเขา และอยากให้บุตรพัฒนา
พื้นฐานการศึกษาใหก้ วา้ งกวา่ น้ี แตเ่ มอ่ื อายุ 12 ขวบ เขาได้แสดงพรสวรรคด์ ้านเรขาคณติ ออกมาใหเ้ ห็น ดงั น้ัน
ความฝักใฝท่ างคณิตศาสตร์ของเขาจงึ ไดร้ บั การสนับสนุนในเวลาตอ่ มา

เมื่ออายุ 14 ปี เขาได้เข้าร่วมประชุมกับนักคณิตศาสตร์แห่งฝรั่งเศส ซึ่งต่อมาในปี 1666 นัก
คณิตศาสตร์กลุ่มนีไ้ ด้รว่ มกันสถาปนา French Academic

ปาสกาลเป็นคนฉลาดปราดเปรื่องมาก เมื่ออายุเพียง 16 ปี เขาได้เขียนบทความเกี่ยวกับ ภาคตัด
กรวยซงึ่ สร้างความตื่นเตน้ อัศจรรย์ใจให้แกน่ ักคณิตศาสตร์ท้ังหลาย ในผลงานชน้ิ น้มี ที ฤษฎีบท ที่เรารู้จักกันใน
นามทฤษฎีบทของปาสกาล ซึง่ มีสาระสําคัญดังนี้ “สําหรบั รปู หกเหล่ียมทีแ่ นบในภาคตดั กรวย ด้านสองด้านที่
อยู่ตรงข้ามกันบนรูปหกเหล่ียม จะสามารถลากมาตัดกนั ได้ (ด้านตรงกันข้าม ในรูปหกเหลี่ยมมีสามคู่) จุดสาม
จุดทีว่ ัดได้จากการตดั กันนีจ้ ะอยรู่ ว่ มเส้นตรงเดียวกัน”

เม่อื อายุ 18 ปี เขาประดิษฐเ์ ครื่องคํานวณเคร่อื งแรก ๆ ขึ้น ตอนนัน้ เองเขาเร่มิ ปว่ ย กระเสาะกระแสะ
และสาบานกับพระเจ้าว่าเขาจะเลิกทาํ งานด้านคณิตศาสตร์ แต่ 3 ปีต่อมา เขาได้ เขยี นผลงานเรือ่ ง สามเหล่ียม
ปาสกาล (Pascal triangle) และคุณสมบัติของสามเหลี่ยมดังกล่าว ใน คืนวันที่ 23 พฤศจิกายน ค.ศ. 1654
ปาสกาลมีนิมิตที่ชักนําให้เขาอุทิศชีวิตแก่ศาสนา และละทิ้ง คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ทั่วไป ปาสกาลไม่
หวนมาศกึ ษาคณติ ศาสตรอ์ กี เลย ยกเว้นชว่ งประมาณ ค.ศ. 1658–1659

เป็นที่น่าเสียดายอย่างยิ่ง ที่เมื่อเขาประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly และด้วยสุขภาพที่อ่อนแอ เขาได้
เปล่ยี นความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรชั ญา และเสียชวี ติ เมอ่ื อายไุ ด้เพยี ง 39 ปี ไม่เช่นนั้นเขา
คงจะเป็นนกั คณิตศาสตร์ทร่ี งุ่ โรจนท์ ีส่ ุดคนหน่ึงของโลก

6

1.2 ผลงานทสี่ ำคญั ของปาสกาล

ผลงานที่สำคัญของปาสกาล ไดแ้ ก่
1) งานเขยี น Essay pour les coniques (1640) ซึ่งสรปุ ทฤษฎบี ทเก่ยี วกับเรขาคณิต
2) โพรเจกทีฟ ท่เี ขาได้พัฒนามาแล้วเมอื่ อายุได้ 16 ปี
3) รเิ ร่มิ พัฒนาทฤษฎีความนา่ จะเปน็ ในปี ค.ศ. 1654 รว่ มกับ Fermat โดยใชว้ ธิ ีทแ่ี ตกตา่ งกนั
4) ศกึ ษาเสน้ โค้ง Cycloid
5) งานเขียน Traite du traingle arithmetique (1665) ซึ่งเกี่ยวกับสามเหลี่ยมปาสกาล (Pascal
triangle)

1.3 วธิ ีกาสรา้ งสามเหลีย่ มปาสกาล

สามเหลยี่ มปาสกาล เกิดจากการพิจารณาการกระจายทวนิ าม (a + b)n เม่ือ n เปน็ จำนวนเต็มบวกหรอื
ศูนย์ จะได้

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a +b
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
(a + b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b2
(a + b)4 = a4 +4a3b +6a2b2 +4ab3 +b4
(a + b)5 = a5 +5a4b+ 10a3b2+10a2b3 +5ab4 +b5
(a + b)6 = a6 +6a5b+15a4b2+ 20a3b3+15a2b4 +6ab5 +b6
เราจะเหน็ วา่ สามารถเขยี นแผนภาพเฉพาะสมั ประสทิ ธิข์ องการกระจายทวินาม (a + b)2
เมอ่ื n เปน็ จำนวนเตม็ บวกหรือศูนย์ ได้ดังแผนภาพที่เรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ดังตอ่ ไปน้ี

7

n=0 1

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

n=4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1

จากสามเหล่ยี มปาสกาล ทำใหท้ ราบว่า

1) จำนวนแรกและจำนวนสุดทา้ นของแต่ละแถวเท่ากบั 1 เสมอ
2) จำนวนใด ๆ ในแตล่ ะแถว เกิดจากการบวกกันของ 2 จำนวน ทอ่ี ยูเ่ หนอื นนั้ ๆ ไปทางซ้ายและ

ขวาของแถวดา้ นบนที่ตดิ กัน
3) สามเหล่ียมปาสกาลมลี กั ษณะสมมาตร
4) จำนวนทง้ั หมดท่ีอยใู่ นแถวท่ี n มคี า่ เทา่ กับ n+1 จำนวน
5) ผลบวกของจำนวนทุกจำนวนในแถวที่ n มคี า่ เท่ากับ 2n

1.4 สมบตั ิบนสามเหลี่ยมปาสกาล

แม้ว่าจะมีนักคณิตศาสตรช์ าติต่าง ๆ ได้ศึกษาเซตของจำนวนบนสามเหลี่ยมปาสกาลชุดนี้มา
ก่อนหน้าปาสกาลแล้วก็ตาม แต่ว่าแต่ละท่านก็ศึกษาเพียงบางส่วนเท่านั้น ปาสกาลเป็นนัก
คณิตศาสตรค์ นแรกทีศ่ กึ ษาจำนวนชดุ นีไ้ ดค้ รบถ้วน ซึง่ สมบัติต่าง ๆ ที่ปาสกาลค้นพบ มดี ังต่อไปนี้
1) ผลรวมของจำนวนในแตล่ ะแถว
2) จำนวนเฉพาะ
3) มหศั จรรย์ของ 11
4) ลำดับฟิโบนกั ชี
5) จำนวนเชงิ รปู หลายเหล่ียม, จำนวนเชิงสามเหล่ียม, จำนวนเชิงสเ่ี หล่ยี ม
6) จำนวนจดุ บนวงกลม
7) ความเชือ่ มโยงกับสามเหลี่ยม Sierpinski
8) วิธจี ดั หมู่

8

9) ทฤษฎบี ททวินาม
10) แบบรปู ไม้ฮอกก้ี

2. แบบรปู ไมต้ ีฮอกกี้

2.1 ลกั ษณะของแบบรปู ไม้ตฮี อกก้ี

ถ้าสรา้ งเสน้ ทแยงของจำนวนในแต่ละแถว โดยเลอื กจำนวนที่เร่มิ จาก 1 ทแยงเขา้ ไปภายในรูปสามเหลี่ยม
ไปสิ้นสุดที่จํานวนใดจํานวนหนึ่ง ผลรวมของจํานวนบนเส้นทแยงที่เลือก จะเท่ากับจํานวนที่อยู่ต่ำกว่าจํานวน
สดุ ทา้ ยท่ีเลอื ก ท่ีไมไ่ ด้อยบู่ นเสน้ ทแยงเดยี วกนั ดังตัวอย่างต่อไปน้ี

1 + 6 + 21 + 56 =84, 1 + 7 + 28 + 84 + 210 + 462 + 924 = 1716 และ 1 + 12 = 13

ดังภาพตัวอย่างต่อไปนี้

ภาพที่ 1 ตวั อย่างของแบบรปู ไม้ตีฮอกกีบ้ นสามเหลี่ยมปาสกาล
ทม่ี า : https://coolaun.com/math/pascal_tri/hockey/

9

3. ความสมั พนั ธ์เวยี นเกดิ

3.1 บทนยิ ามของความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิด

เนื่องจากสิ่งที่เรียกว่า ความสัมพันธ์เวยี นเกิด และ ลําดับ มีความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกันอย่างยิ่ง เราจึง
ขอเริ่มหัวขอ้ นี้ ดว้ ยการพิจารณาลาํ ดบั 3 ลาํ ดบั ต่อไปนี้

S1 :2, 4, 6, 8, …
S2 :1, 4, 9, 16, 25, …
S3 :2, 4, 8, 16, 32, …
จากลาํ ดบั ข้างต้น เราสามารถเขียนพจนท์ ่วั ไปของลําดับ S1, S2 และ S3 ไดด้ งั น้ี
S1 :2(1), 2(2), 2(3), 2(4), …, 2n, …
S2 :12, 22, 32, 42, 52, …, n2, …
S3 :21, 22, 23, 24, …, 2n, …

นั่นคือ สําหรับลําดับ S1 :an = 2n เมื่อ n 1 สําหรับลําดับ S2 :an = n2 เมื่อ n 1 และสําหรับลําดับ S3 :an
= 2n เมื่อ n 1 ลําดับที่มีรูปแบบในลักษณะที่เราสามารถเขียนพจน์ทั่วไปคือ an ในรูปที่เกี่ยวข้องกับ n ได้
อยา่ งชัดเจนเชน่ น้ี เรยี กวา่ รูปแบบชดั เจน (explicit formula) แต่เมอื่ เรา พิจารณาลําดบั ตอ่ ไปนี้ คือ

S :1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
จากลําดบั S นี้ เรายังไมส่ ามารถมองเห็นรปู แบบชัดเจนของพจน์ทั่วไปของลําดับนี้ได้ในทันที แต่อย่างไรก็ตาม
เมื่อเราสังเกตดี ๆ เราก็จะเห็นความสัมพันธ์ของแต่ละพจน์และหารูปแบบ ความสัมพันธ์ของพจน์ทั่วไปของ
ลาํ ดับนไ้ี ด้ดังน้ี คอื

พจนท์ ่ี 3 เปน็ 2 = 1+1 = พจน์ที่ 1 + พจนท์ ี่ 2
พจนท์ ี่ 4 เปน็ 3 = 1+2 = พจนท์ ี่ 2 + พจนท์ ี่ 3
พจน์ที่ 5 เปน็ 5 = 2+3 = พจน์ที่ 3 + พจน์ท่ี 4
ดังน้ันเราจึงสรปุ รูปแบบของพจน์ท่ัวไปของลำดับชุดนไ้ี ด้เป็น

10

fn = fn-1 + fn-2 เมอื่ n  3
โดยมี f1 = 1 และ f2 = 2
ลาํ ดับชดุ น้ีมีชือ่ ว่า ลำดบั ฟิโบนกั ชี (Fibonaci sequence) ซงึ่ เป็นชอื่ นักคณิตศาสตรช์ าวอติ าลี คือ
ลโี อนาโด พซิ ซาโน ฟิโบนกั ชี (Leonardo Pisano Fibonaci)

จากลําดับนี้เราจะสามารถคาํ นวณพจน์ที่ n เมื่อ n  3 ในรูปทั่วไปของพจน์ก่อนหน้าสองพจน์ ตาม
สมการ (1) เนื่องจาก fn ถูกนยิ ามโดยอาศัยพจน์ก่อนหนา้ สองพจน์ เราจงึ เรียกสมการ (1) ว่า สมการเวียนเกิด
หมายถึง สมการที่แสดงให้เห็นว่าพจน์ปัจจุบันสามารถกําหนดได้ในรูปของพจน์ก่อนหน้า ส่วนค่าที่กําหนดให้
อย่างชดั เจนในขน้ั เรมิ่ ต้น ในสมการ (2) เราเรียกว่า เงือ่ นไขเร่มิ ต้น เมื่อสมการเวยี นเกดิ มาประกอบกับเง่ือนไข
เริ่มต้น จะเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดหนึ่ง ซึ่งความสัมพันธ์เวียนเกิดหนึ่ง จะเป็นตัวกําหนดลําดับหนึ่งชุดที่
สอดคล้องกัน นั่นคือ เรามีวิธีบอกลําดับชุดหนึ่ง ได้หลายวิธี เช่น เขียนในรูปที่บอกพจน์เริ่มต้นบางพจนใ์ ห้พอ
เข้าใจว่า พจน์ถัดไปและพจน์ทั่วไปคืออะไร หรือบอกในรูปชัดแจ้งของพจน์ท่ี n หรือบอกในรูปแบบ
ความสัมพนั ธเ์ วยี นเกดิ กไ็ ด้

บทนยิ าม ความสมั พันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) สาํ หรบั ลาํ ดบั a0, a1, …, an, … คอื สมการที่แสดง
ความสมั พนั ธข์ องพจน์ an กับบางพจน์ก่อนหน้า an-1, an-2, …, an-k ในรปู แบบ ทแี่ น่นอนสําหรับทุกจํานวนเต็ม
n เมื่อ n  k และ k  0 พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น เงื่อนไขเริ่มต้น สําหรับความสัมพันธ์เวียนเกิด คือ ค่าท่ี
กาํ หนดให้อยา่ งชัดเจนในบางพจน์ของ a0, a1, …, ak-1

ตวั อยา่ งของความสมั พันธ์เวียนเกิดท่ีเก่าแก่ท่สี ดุ ในโลกอนั หนึ่ง คือ ลำดบั ฟโิ บนักชี ทม่ี สี มการเวยี นเกดิ
และเงื่อนไขเรม่ิ ตน้ ดังสมการ (1) และ (2) ตามลำดบั โดยมีที่มาจากปัญหา ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้

ตวั อยา่ ง 1 ลำดับฟิโบนกั ชี: ปัญหาของลําดบั ฟโิ บนกั ชีมีอยู่ว่า

“เมอื่ ตอนเร่มิ ตน้ ของปี บนเกาะแห่งหนึ่ง มีกระต่ายเพ่ิงเกดิ ใหมเ่ พียงหนึ่งคู่ตา่ งเพศกนั ท้ังนี้กระต่ายอ่อนจะใช้
เวลาเตบิ โตเปน็ กระต่ายเต็มวยั พร้อมใหก้ ำเนดิ กระตา่ ยคู่ใหม่เม่ืออายุครบ 2 เดือน จากน้ัน กระต่ายเต็มวัยแต่
ละคู่จะให้กำเนิดกระต่ายคู่ใหม่ต่างเพศกันทกุ ๆ เดือน สมมติว่าไม่มีการตายเกิดข้ึน เมื่อสิ้นปีจะมีกระต่ายบน
เกาะนท้ี งั้ หมดกีค่ ่”ู

11

วิธีทำ เราจะใช้หลักการ ค่อย ๆ คิด โดยเริ่มจากต้นเดือนมกราคม เราพบว่ามีกระต่ายที่เพิ่งเกิดแค่ 1 คู่ ไม่มี
กระต่ายเต็มวัย ไม่มีกระต่ายที่มีอายุ 1 เดือน รวมแล้วมีกระต่ายแค่ 1 คู่ หลังจากนั้น 1 เดือน เป็นต้นเดือน
กุมภาพันธ์ เราพบว่าไม่มีกระต่ายเพิ่งเกิด ไม่มีกระต่ายเต็มวัย แต่มีกระต่ายที่มีอายุ 1 เดือน 1 คู่ รวมแล้วมี
กระต่ายแค่ 1 คู่ หลังจากนั้นอีก 1 เดือน เป็นต้นเดือนมีนาคม มีกระต่ายเต็มวัย(อายุ 2 เดือน) 1 คู่ ไม่มี
กระตา่ ยที่มอี ายุ 1 เดือน แต่จะมีกระต่ายอ่อนเพ่ิงเกดิ ใหม่ 1 คู่ รวมแลว้ มกี ระตา่ ย 2 คู่ เราใชห้ ลักการคิดเช่นนี้
ตอ่ ไปสาํ หรบั ทกุ เดอื นจนถึงสินปี จะได้ตวั เลขจาํ นวนกระตา่ ยใน แต่ละเดอื น ดังตารางที่ 1

ตารางท่ี 1 จำนวนกระต่ายจำแนกตามวยั ในแต่ละเดือน

ตน้ เดือน กระตา่ ยเต็มวัย (ค)ู่ กระต่าย 1 เดือน กระตา่ ยเพ่ิงเกดิ (คู่) รวม (ค)ู่
(ค)ู่
มกราคม 0 0 1 1
กมุ ภาพนั ธ์ 0 1 0 1
มีนาคม 1 0 1 2
เมษายน 1 1 1 3
พฤษภาคม 2 1 2 5
มิถนุ ายน 3 2 3 8
กรกฎาคม 5 3 5 13
สงิ หาคม 8 5 8 21
กนั ยายน 13 8 13 34
ตุลาคม 21 13 21 55
พฤศจิกายน 34 21 34 89
ธันวาคม 55 34 55 144

นอกจากนั้นแล้ว เรายังพบความสัมพันธ์แบบนี้ในการนับกลีบดอกไม้หรือการนับตาสัปปะรด ได้
เช่นกัน ซึ่งกล่าวได้ว่า ที่ไหนมีการเจริญเติบโตแบบธรรมชาติ ที่นั้นก็จะมีลําดับฟิโบนักชี ตัวอย่างของ
ความสมั พนั ธเ์ วยี นเกดิ ท่มี ชี ือ่ เสยี งโดง่ ดังมากในยโุ รปอกี ตวั อย่างหนงึ่ คือ ปญั หาหอคอยฮานอย

12

ตัวอยา่ ง 2 ปญั หาหอคอยฮานอย: ปัญหามอี ย่วู า่ “ให้เสา 3 ตน้ ปักบนกระดานแผน่ หนึ่ง และมีแผ่นกลมที่มีรู
ตรงกลาง รัศมีต่างกัน 64 แผ่น วางซ้อนกันทั้งหมดบนเสาที่ 1 ในลักษณะที่เรียงตามขนาด รัศมี จากใหญ่ไป
เลก็ เมอ่ื นับจากขา้ งลา่ งข้นึ ข้างบน ถ้าต้องการย้ายแผน่ กลมท้ังหมดจากเสาที่ 1 ไปยัง อีกเสาหนง่ึ โดยมเี งือ่ นไข
ว่า ถ้าแผ่นกลมหนึ่งวางบนเสาใด แผ่นกลมอีกแผ่นที่จะวางทับได้จะต้องมี ขนาดเล็กกว่าเท่านั้น และการขน
ย้ายแผ่นกลมจากเสาหนึ่งไปยังอีกเสาหนึ่ง ทำได้แค่ครั้งละ 1 แผ่น เท่านั้น เราจะต้องทำการเคลื่อนย้ายเป็น
จำนวนอย่างน้อยกี่ครั้ง (เราสามารถย้ายบางแผ่นไปไว้ยังเสา อีกเสาเป็นการชั่วคราวได้ แต่การย้ายนั้นต้อง
เป็นไปตามเงือ่ นไขเท่านนั้ )”

ภาพที่ 2 ปัญหาหอคอยฮานอย 1
ที่มา : สุพัชระ คงนวน (2554)
วิธีทำ ให้ Cn แทน จํานวนครั้งในการเคลื่อนย้ายแผ่นกลมจํานวน n แผ่น ถ้าเราสังเกตโดยลองย้าย แผ่นกลม
จากจาํ นวนน้อย ๆ ก่อน กรณีมีแผน่ กลมจาํ นวน 1 แผน่ ทาํ การยา้ ย 1 ครง้ั กเ็ สรจ็ ตามภาพที่ 3 นั่นคอื C1 =1

ภาพที่ 3 ปัญหาหอคอยฮานอย 2
ที่มา : สุพชั ระ คงนวน (2554)

13

เมื่อมีแผ่นกลมเป็นจํานวน 2 แผน่ เราพบว่า เราต้องทาํ การย้ายแผน่ ท่รี ศั มีเลก็ กว่า (เรียกวา่ แผน่ แรก) คร้ังท่ี 1
ไปไว้ยงั เสาทส่ี อง นบั เป็นจํานวนหนงึ่ ครง้ั และยา้ ยแผน่ ล่างทม่ี ีรศั มโี ตกว่า (เรยี กว่า แผน่ ทส่ี อง) ไปยังเสาที่สาม
นับเป็นจํานวน 1 ครั้ง และทําการย้ายแผ่นแรกที่อยู่บนเสาที่สองไปวางทับ แผ่นที่สอง ซึ่งอยู่บนเสาที่สามอีก
ครั้ง นับว่าเป็นการย้ายแผ่นแรกนี้เป็นครั้งที่สอง สรุปรวมจํานานครั้งของการย้ายเป็นจํานวน 3 ครั้ง นั่นคือ
C2 = 2C1 + 1 = 3

ภาพท่ี 4 ปัญหาหอคอยฮานอย 3
ทม่ี า : สพุ ัชระ คงนวน (2554)

เม่อื มแี ผน่ กลมเปน็ จาํ นวน 3 แผน่ เราพบวา่ เราต้องทําการยา้ ยแผ่นทอ่ี ยบู่ นสุดทร่ี ัศมเี ล็กสดุ (เรยี กว่าแผ่นแรก)
ครั้งที่ 1 ไปไว้ยังเสาที่สอง นับเป็นจํานวน 1 ครั้ง และย้ายแผ่นล่างที่มีขนาดโต ขึ้นมา (เรียกว่าแผ่นทีส่ อง) ไป
ยังเสาท่สี าม นับเป็นจํานวน 1 ครงั้ และทาํ การย้ายแผ่นแรกที่อยู่บนเสา ทีส่ องไปวางทับแผ่นท่ีสองที่อยู่บนเสา
ทส่ี ามอกี คร้ังนับว่าเป็นการย้ายแผน่ แรกน้ีเป็นคร้งั ที่สอง ซง่ึ เปน็ จาํ นวนครั้งเท่ากับทีเ่ ราทาํ การย้ายที่มี 2 แผ่น
คอื C2 นัน่ เอง และย้ายแผ่นที่สามทโี่ ตสดุ ไปยังเสาที่ สองเป็นจาํ นวน 1 ครง้ั ทนี ี้ก็เท่ากับวา่ แผ่นท่โี ตท่ีสุดได้ถูก
นําไปวางบนเสาอันใหม่เรียบร้อยแล้ว ที่เหลือ ก็เหมือนเป็นการย้ายแผ่นกลมจํานวนสองแผ่นจากเสาที่สามให้
มาวางทับบนเสาตน้ ทีส่ องให้ได้นัน่ เอง กค็ อื จํานวน C2 อกี ครง้ั สรปุ รวมจํานวนคร้ังของการยา้ ยเปน็
C3 = 2c2 + 1

14

ภาพที่ 5 ปัญหาหอคอยฮานอย 4
ท่ีมา : สพุ ชั ระ คงนวน (2554)

ดังนั้น ในการนับจํานวนครั้งของการย้ายนี้ เราจะต้องหาความสัมพันธ์เวียนเกิดของจํานวน ครั้งของการย้าย
แผ่นกลมจํานวน n แผ่น ซึ่งขึ้นอยู่กับจํานวนครั้งในการย้ายแผ่นกลมเป็นจํานวนที่ น้อยกว่าอยู่ 1 แผ่น คือ
จาํ นวน n−1 แผ่น
ถา้ n = 1; C1 = 1 ครงั้
ถ้า n = 2; C2 = ยา้ ยแผ่นแรก 2 คร้งั + ยา้ ยแผน่ ทีส่ อง 1 ครั้ง = 3 ครัง้
ถ้า n = 3; C3 = ย้าย 2 แผ่นแรกไปวางอีกเสาหน่ึง 1 รอบ + ย้ายแผ่นท่สี าม 1 คร้ัง + ย้าย 2 แผน่ แรก
กลับมาวางทบั ขา้ งบน = 2C2 + 1 ครง้ั
ถา้ n = 4; C4 = 2C3 + 1 คร้งั
ทาํ ตอ่ ไปเรอื่ ย ๆ สาํ หรับ n ใด ๆ เราก็จะได้ Cn= 2Cn-1 + 1

ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่มีประโยชน์อย่างมากอีกแบบหนึ่ง คือ การคิดอัตราดอกเบี้ยแบบดอก ทบต้น ดัง
ตัวอย่างท่จี ะกล่าวตอ่ ไปนี้

15

ตัวอย่าง 3 มาลีฝากเงินกับธนาคารแห่งหน่ึงแบบประจาํ 6 เดือน ได้ดอกเบี้ยในอัตรา 5% ต่อปี (แบบดอกทบ
ตน้ ) กาํ หนดให้ An แทนจํานวนเงินเม่อื ฝากครบปที ี่ n จงหาความสมั พันธ์ระหวา่ ง An กับ An-1

วธิ ที ำ ให้ Anแทน จํานวนเงนิ เมอ่ื ฝากครบปที ่ี n

ถา้ n=1; A1 = A0 + 5 A0
100

=  105  A0
 100 

= (0.15) A0

A2 = A1 + 5 A1
100

=  105  A1
 100 

= (1.05) A1

A3 = A2 + 5 A2
100

=  105  A2
 100 

= (1.05) A2

ทำตอ่ ไปเร่ือย ๆ สำหรบั n ใด ๆ เรากจ็ ะได้ An =1.05An−1;n 1

ดังนั้นต่อจากนี้ไป หากผู้อ่านได้มีโอกาสคํานวณผลประโยชน์เกี่ยวกับ การเงิน การลงทุน ซึ่ง เกี่ยวข้อง
กบั การคดิ ดอกเบ้ยี แบบดอกทบตน้ แบบน้ี หรือการกูเ้ งนิ ทมี่ ีการคิดดอกเบี้ยแบบลดต้นลด ดอก ทา่ นสามารถนํา
ความรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์เวียนเกิดนี้ไปใช้ได้ เรื่องนี้ก็เป็นตัวอย่างที่เห็นได้ชัด อีกเรื่องหนึ่งของการนํา
คณติ ศาสตร์ไปใชก้ บั ชีวิตประจําวัน

16

ตามที่เราได้กล่าวในตอนเริ่มต้นหัวข้อนี้ว่า ความสัมพันธ์เวียนเกิดกับลําดับนั้น มีความสัมพันธ์
สอดคล้องกนั ซึง่ เราจะไดเ้ ห็นในตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่าง 4 จงหาความสัมพันธ์เวียนเกิด อันประกอบด้วยสมการเวียนเกิดและเงื่อนไขเริ่มต้นสําหรับ ลําดับ

S : 0, 2,8, 26,...,3n −1,...

วิธีทำ จากลําดับที่ให้มา เรามีพจน์ท่ี n คือ an = 3n −1 สําหรับ n = 0, 1, 2, 3,… โดยมีพจน์แรก คือ a0 =
0 และเม่อื เราพยายามหาพจน์ถัดไป คอื a1 ในรูปที่สมั พันธ์ กบั a0

โดยลองเขียน a1 = 2 = 30 + 2 = 3a0 + 2 และทำนองเดยี วกัน เราจะไดว้ ่า

a2 = 8 = 3 2 + 2 = 3a1 + 2, a3 = 26 = 38 + 2 = 3a2 + 2 และ

a4 = 80 = 326 + 2 = 3a3 + 2 จรงิ เราจึงไดว้ า่ ความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิดของลำดบั นี้ คอื

an = 3an−1 + 2, เมอื่ n 1 โดยมเี ง่ือนไขเริ่มต้น คือ a0 = 0

ตัวอย่าง 5 จงหาพจน์ที่ 5 ของความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิด an = 7an−1 + 5 เมอื่ n 1, a0 = 5

วธิ ีทำ ในการหาพจนท์ ่ี 5 ของความสมั พันธเ์ วียนเกดิ น้ี จะเหน็ วา่ ถ้าเราตอ้ งการหา a3 กต็ อ้ งทราบ a4 ก่อน
และการท่ีจะทราบ a4 กต็ ้องทราบ a3 , a2 และ a1 มาก่อนเปน็ ลำดับ ดงั นี้

a1 = 7a0 + 5 = 7(5) + 5 = 40,
a2 = 7a1 + 5 = 7(40) + 5 = 285,
a3 = 7a2 + 5 = 7(285) + 5 = 2000,
a4 = 7a3 + 5 = 7(2000) + 5 = 14005,
a5 = 7a4 + 5 = 7(14005) + 5 = 98040,

จากตวั อย่างท่ี 5 จะเห็นได้วา่ การหาค่าของพจนท์ ี่ 5 กต็ อ้ งอาศยั ค่าของพจนท์ ่ี 4, 3, 2, 1 ตามลำดับ
ซึ่งหากเราต้องการหาค่าของพจน์สูง ๆ เราก็ต้องเสียเวลาในการคำนวณพจน์ก่อนหน้าเป็นจำนวนมาก แต่ถ้า
หากเราสามารถทราบได้ว่า พจน์ an สัมพันธ์โดยตรงกับ n อย่างไร โดยที่ไม่จําเป็นต้องคํานวณผ่านพจน์ก่อน
หน้า ก็จะประหยัดเวลาได้มากทีเดียว หากเราสังเกต จะเห็นว่า ความสัมพันธ์เวียนเกิด และลําดับนั้นมีความ
เกี่ยวข้องกัน คือ หากกําหนดลําดับหนึ่งมาให้ เราสามารถ หาความสัมพันธ์เวียนเกิดสําหรับลําดับนั้นได้ และ
หากมีความสัมพันธ์เวียนเกิดมาให้ เราก็สามารถหา ลําดับที่สอดคล้องได้เช่นกัน ในการพยายามหาพจน์ an
ของลาํ ดับ ทส่ี อดคล้องสําหรบั ความสัมพันธ์

17

เวียนเกิด เราต้องการหารูปแบบของพจน์ an ที่สัมพันธ์โดยตรงกับ n วิธีการพยายามหาพจน์ an สัมพันธ์
โดยตรงกบั n นั้น เราเรียกว่า การหาผลเฉลยของสมการเวียนเกดิ นน่ั เอง

3.2 การหาผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกดิ

การหาผลเฉลยของความสัมพนั ธ์เวยี นเกดิ สาํ หรับสําดับ S : a0,a1,a3,...,an,... คอื การหาสูตรชดั แจ้ง
(explicit formula) สำหรบั พจนท์ วั่ ไป คือ an โดยทพ่ี จน์ an น้นั ไมป่ รากฏพจน์ ai
เมื่อ 1 i  n −1 อีกต่อไป ในที่นี้เราจะกล่าวถึง วิธีการทำซ้ำ (iteration) และ วิธีการซึ่งมีลักษณะเฉพาะ
บางวธิ ี เชน่ วธิ ีทใี่ ช้กบั ความสัมพันธ์เวยี นเกดิ เชงิ เสน้ ทีม่ สี มั ประสิทธิเ์ ป็นคา่ คงท่ี

วธิ กี ารทำซ้ำ

สำหรับวิธีทำซ้ำนี้ เราจะเริ่มจากการนำสมการเวียนเกิด คือ an ซึ่งอยู่ในรูปของพจน์ก่อนหน้า คือ
an−1,an−2,...a0 มาพิจารณา จะเห็นว่า ทางขวามือของสมการจะปรากฏพจน์ an−1,...ซึ่งเราก็ใช้สมการเวียน
เกิดเพื่อแทน an−1 ด้วยพจน์ก่อนหน้า คือ an−2 ,... อีกที จากนั้นจะเห็นว่า ทางขวามือของสมการจะ
ปรากฏพจน์ an−2,... จากนั้นเราก็ใช้สมการเวียนเกิด เพื่อแทน an−2 ด้วยพจน์ก่อนหน้า คือ an−3,...อีกที
จากน้ันจะเห็นวา่ ทางขวามือสมการจะปรากฏพจน์ an−3,... ทำซ้ำ ๆ เชน่ น้ไี ปเรอ่ื ย ๆ จนทางขวามืออยู่ในรูป
ของพจน์ที่เป็นเง่ือนไขเริ่มตน้ ซึ่งเราทราบค่าท่ีชัดเจนอยู่แลว้ เราจึงไดส้ ูตรชัดแจ้งสำหรบั an ซึ่งเราจะเรยี กวา่
ผลเฉลยของสมการเวียนเกิด ทีเ่ ราต้องการ

ตัวอย่างที่ 6 จงหาสูตรชัดแจ้งของลำดับ S : a0,a1,a3,...,an,... ซึ่งนิยามโดยความสัมพันธ์เวียน
เกิด

an = an−1 + 5; สำหรบั n  2 (3)

ทีม่ ีเง่ือนไขเร่ิมต้น คือ a1 = 2

วิธีทำ จากสมการ (3) ยงั ไมอ่ ย่ใู นรูปแบบชดั แจง้ เพราะยงั ไม่ทราบค่าของ an−1 แต่เราทราบว่า

an−1 = a(n−1)−1 + 5 = an−2 + 5n; สำหรับ n  2

ดงั นั้นหากเรานำ an−1 ทไ่ี ดไ้ ปแทนในสมการ (3) เราจะได้

18

an = an−2 + 2(5); สำหรับ n  2 (4)

แตเ่ ราทราบว่า

an−2 = a(n−2)−1 + 5 = an−3 + 5; สำหรับ n  2

ดงั นัน้ หากเรานํา an−2 ที่ได้ ไปแทนในสมการ (4) เราจะได้

an = an−3 + 5 + 2(5) = an−3 + 3(5); สําหรับ n  2 (5)

ทาํ เชน่ นต้ี ่อไปเรือ่ ย ๆ ในกรณที ่ัว ๆ ไป จะได้

an = an−k + 5 + (k −1)(5) = an−k + k(5); สําหรบั n 1
จากท่เี รามเี งือ่ นไขเร่ิมต้น a1 = 2 ดังนนั้ เราจะตอ้ งทําตอ่ ไปเรอ่ื ย ๆ จนกระทั่ง n− k =1
ดังน้ัน k = n−1 ท้ายทส่ี ดุ เราจะได้รูปแบบทชี่ ดั แจง้ สาํ หรบั ความสัมพันธเ์ วยี นเกิดทต่ี อ้ งการ คอื

an = a1 + (n −1)(5)

= 2 + (n −1)(5)
= 5n − 5 + 2

an = 5n − 3; สำหรบั n 1

ตัวอยา่ ง 7 จงหาสูตรชดั แจ้ง สําหรบั ปญั หาหอคอยฮานอย ซ่งึ มีความสัมพนั ธ์เวยี นเกิด คือ

cn = 2cn +1; สําหรบั n  2 (6)

และเงอ่ื นไขเร่มิ ต้น คือ c1 =1

วธิ ีทำ จากสมการ (6) ยงั ไมอ่ ยู่ในรปู แบบชดั แจง้ เพราะเรายงั ไม่ทราบคา่ ของ cn−1แต่เราทราบว่า

cn−1 = 2c(n−1)−1 +1 = 2c(n−2) +1; สาํ หรบั n  2

ดังนน้ั หากเรานํา cn−1 ทีไ่ ด้ไปแทนในสมการ (6) เราจะได้

cn = 2(2c(n−2) +1) +1 = 22  c(n−2) + 2 +1; สําหรับ n  2 (7)

แต่เราทราบวา่

19

cn−2 = 2c(n−2)−1 +1 = 2c(n−3) +1; สาํ หรบั n  2

ดงั นนั้ หากเรานาํ cn−2 ท่ไี ดไ้ ปแทนในสมการ (7) เราจะได้

cn = 22  (2c(n−3) +1) + 2 +1 = 23  c(n−3) + 22 + 2 +1; สําหรับ n 1

ทําตอ่ ไปเชน่ นเ้ี รอ่ื ย ๆ จนไดก้ รณีทว่ั ๆ ไป คอื

cn = 22 (cn−k ) + 2k−1 + ... + 22 + 2 +1; สําหรบั n  2

เน่อื งจากเรามเี งอ่ื นไขเร่ิมต้น คอื c1 =1 ดงั นน้ั เราจะทาํ ต่อไปเรอ่ื ย ๆ จนกระทง่ั n− k =1 ดังนั้น k = n−1
สดุ ทา้ ยเราจะได้รปู แบบทช่ี ัดแจ้งสาํ หรบั ความสัมพันธ์เวยี นเกดิ คือ

cn = 2n−1  (c1) + 2(n−1) + ... + 22 + 2 +1 สําหรบั n 1
= 2n−1  (1) + 2(n−1)−1 + ... + 22 + 2 +1

cn = 2n−1 + 2n−2 + ... + 22 + 2 +1 = 2n+1 −1;

ในกรณีที่พจน์ปัจจุบันของความสัมพันธ์เวียนเกิด ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าแค่พจน์เดียว การ หาคําตอบโดย
วิธีการทําซ้ำจะใช้ได้ดี แต่ในกรณีที่พจน์ปัจจุบันขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้ามากกว่าหนึ่งพจน์ ดังเช่น ในสมการ
เวยี นเกิด

an = 7an−1 −12an−2 + 6

การหาคําตอบโดยวธิ ีการทําซ้ำก็จะมีความยุ่งยาก แต่อย่างไรก็ตามเราก็พอที่จะมวี ิธี นนั่ คอื วิธีการหา คําตอบ
ของสมการเวียนเกิดอันเป็นวิธีการเฉพาะอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งใช้ได้กับสมการเวียนเกิดที่มีรูปแบบ เฉพาะ ดังนั้นใน
ส่วนนี้เราจําเป็นจะต้องรู้จักสมการเวียนเกิดที่มีรูปแบบเฉพาะในลักษณะนั้นก่อน แต่ ลําดับแรกนี้จะให้ผู้อ่าน
รู้จัก อันดบั ของสมการเวียนเกดิ ก่อน

บทนิยาม อันดับ (order) ของสมการเวียนเกิด คือ ผลต่างระหว่างเลขดัชนีบอกลําดับที่โตที่สุดกับ เลขดัชนี
บอกลําดับเล็กที่สุดในสมการเวยี นเกิด

20

ตัวอย่างการดอู นั ดับ เช่น สมการเวียนเกดิ

an+3 + 5an+2 + 4an+1 + an = cos(n)

มีอันดับเปน็ 3 เพราะว่าเลขดชั นที ่โี ตที่สุด คือ n+3 และเลขดัชนีทีเ่ ล็กที่สุด คือ n
ดงั น้นั อนั ดบั ของความสัมพนั ธเ์ วียนเกดิ น้ี จึงเปน็ (n + 3) − n = 3

an = 7an−1 − 2an−1an−2 มอี ันดบั เปน็ n − (n − 2) = 3

ความสมั พนั ธ์เวียนเกดิ เชงิ เสน้ เอกพันธ์

บทนิยาม ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัวที่อันดับ k (linear
homogeneous recurrence relation of order k) คอื ความสมั พนั ธเ์ วียนเกิด ซงึ่ มีสมการอยใู่ นรปู

an = c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ... + ckan−k , ck  0 (8)

เม่ือ ci คือ สัมประสิทธ์คิ งที่ สาํ หรับ 1 i  k

ข้อสังเกต คําวา่ เชิงเสน้ ในท่ีนี้ คอื เชิงเสน้ ในตวั แปร ai ต่าง ๆ สาํ หรับ 0  i  n ตัวอยา่ งของ ความสัมพันธ์
เวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงที่ เช่นความสัมพันธ์ Sn = 2Sn−1 และ ลําดับฟิโบนักชี
f = fn−1 + fn−2 ซึ่งมีอันดับเป็น 1 และ 2 ตามลําดับ ส่วนตัวอย่างของความสัมพันธ์ เวียนเกิดที่ไม่เป็นเชิง
เส้นเอกพนั ธ์ท่มี สี ัมประสิทธเ์ิ ปน็ คา่ คงท่ี เชน่

an = 2an−1an−2 , (9)

an = 2n + 2an−1, (10)

an = 8nan−1 (11)

เนื่องจากในสมการ (9) มีพจน์ an−1an−2 ไม่เป็นเชิงเส้น เพราะมีพจน์ท่ี ai ต่าง ๆ คูณกันอยู่ ส่วน สมการ
(10) มพี จน์ 2n ซ่งึ ไม่เอกพันธ์ เราจะเรยี กว่าเป็นความสมั พนั ธเ์ วยี นเกดิ เชงิ เสน้ ไม่เอกพนั ธ์ และสมการ (11) มี
สัมประสิทธิ์ของ an−1 เป็น 8n ซึ่งไม่เป็นค่าคงที่ เราจะเรียกว่า ความสัมพันธ์ เวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธ์ที่มี
สัมประสทิ ธ์ิไม่เป็นค่าคงท่ี

21

ก่อนที่เราจะเห็นวิธีการหาค่าคําตอบที่จะใช้กับความสัมพันธ์เวียนเกิดชนิดนี้ เราลองวิเคราะห์ กันก่อนว่า
จํานวนประเภทใดบ้างที่จะสามารถเป็นคําตอบหรือวา่ ผลเฉลยของสมการเวียนเกิดได้บ้าง ความสัมพันธ์เวียน
เกิดจะเกี่ยวกับการนับสิ่งต่าง ๆ ในชีวิตประจําวัน ดังนั้น ผลเฉลยของความสัมพันธ์ เวียนเกิดนั้น ควรจะต้อง
เป็นจํานวนจริง ในสมการเวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงท่ี มีความหมายว่า พจน์ปัจจุบัน
คอื an อยใู่ นรูปของการบวกหรอื ลบกันของจาํ นวนเทา่ ของพจน์ก่อน หน้า ดงั นัน้ ส่งิ ท่ีนา่ สนใจจะเป็นไปได้ คือ
จําพวกคา่ คงท่ียกกาํ ลัง เราลองพจิ ารณาการหาคําตอบของ ความสัมพนั ธ์เวียนเกดิ จากตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอยา่ ง 8 กําหนดความสมั พันธเ์ วยี นเกิด an = 2an−1;n 1,a0 =1 ซง่ึ เปน็ ความสัมพนั ธเ์ วียนเกิด เชงิ เสน้
เอกพนั ธอ์ นั ดบั 1 และมีความหมายวา่ พจนป์ จั จบุ ันเปน็ 2 เทา่ ของพจน์กอ่ นหนา้ หรือ ค่า ปัจจบุ นั ลบ 2 เท่า
ของค่าก่อนหน้าแลว้ เป็นศูนย์ มีแนวโน้มวา่ สงิ่ ท่เี ป็นจรงิ ไดน้ ั้น ควรจะอยใู่ นรูป ค่าคงทย่ี กกําลงั

ถา้ t เป็นจํานวนจรงิ ใด ๆ ทไี่ ม่เปน็ ศูนย์ และถ้าให้ an = tn สาํ หรับ n  0 และจาก an = 2an−1
เราจะไดว้ ่า tn = 2tn−1 นนั่ คือ tn = 2tn−1 = 0 หรือ tn−1(t − 2) = 0 แต่ t  0 ดงั นน้ั เราจะ

ได้วา่ t = 2 น่ันคือ an = 2an−1 จรงิ ดังนน้ั เราจึงไดว้ า่ ลําดับ S :1,2,22,23,... เปน็ ผล เฉลย

หนึง่ ของความสัมพันธเ์ วียนเกิด an = 2an−1;n 1,a0 =1

ในส่วนตอ่ จากนี้ไป เราจะขยายแนวคิดใหค้ รอบคลุมกรณที ่ัว ๆ ไปสําหรบั การหาผลเฉลยของ
ความสมั พนั ธ์เวยี นเกดิ เชงิ เสน้ ที่มีสัมประสิทธ์ิเป็นคา่ คงท่มี ากขึน้ โดยบางครัง้ ในการกลา่ วถึง ความสัมพนั ธ์
เวยี นเกดิ เราอาจกล่าวถงึ เฉพาะสมการเวียนเกิด โดยละการกล่าวถึงเงื่อนไขเร่ิมตน้ บ้าง ดังทฤษฎีบทต่าง ๆ
ตอ่ ไปนี้

ทฤษฎบี ท กาํ หนดความสัมพันธเ์ วยี นเกดิ เชงิ เส้นเอกพนั ธท์ ี่มีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ ค่าคงท่ี

an = c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ... + ckan−k , ck  0 (12)

และให้ t เป็นจาํ นวนจรงิ ทีไ่ ม่เปน็ ศูนย์แล้วจะไดว้ า่ ลาํ ดับ tn จะเป็นคําตอบของความสัมพันธ์ เวียนเกิด
0

(12) ก็ตอ่ เมื่อ

tn − c1t n−1 − c2t n−2 − c3t n−3 − ... − ckt n−k = 0 (13)

การพสิ จู น์ จากสมการเวียนเกดิ (12) นําสมการนี้มาเขยี นใหม่เปน็

22

an − c1an−1 − c2an−2 − c3an−3 −... − ckan−k = 0 (14)

ถา้ ให้ t n  เป็นคาํ ตอบของความสัมพันธเ์ วยี นเกดิ (14) เราจึงได้ว่า an = tn,t 0 และ
0

an−1 = tn−1, an−2 = tn−2,..., an−k = tn−k เมอื่ แทนลงในสมการ (14) เราจงึ ได้สมการ

tn − c1t n−1 − c2t n−2 − c3t n−3 − ... − ckt n−k = 0

ในทางกลับกนั ถา้ ให้ t เป็นจํานวนจรงิ ทไี่ ม่เปน็ ศูนย์ และหากสอดคลอ้ งกบั สมการ

tn − c1t n−1 − c2t n−2 − c3t n−3 − ... − ckt n−k = 0

ดังนัน้ tn = c1tn−1 − c2tn−2 − c3tn−3 − ... − cktn−k = 0

น่นั คอื an = tn  เป็นคาํ ตอบของความสัมพนั ธเ์ วียนเกิด (12)
0

ขอ้ สังเกต จากสมการเวยี นเกิด

an − c1an−1 − c2an−2 − c3an−3 −... − ckan−k = 0

เมอ่ื tn เปน็ คําตอบเราจงึ ไดว้ า่
0

tn − c1t n−1 − c2t n−2 − c3t n−3 − ... − ckt n−k = 0

( ) แต่t n−k t k − c1t k−1 − c2t k−2 − c3t k−3 − ... − ck = 0; t0

เราจงึ ไดส้ มการท่ีสมมูลกัน คือ tk − c1tk−1 − c2tk−2 − c3tk−3 −...− ck = 0 (12)
บทนิยาม สําหรับความสัมพันธ์เวียนเกดิ เชงิ เส้นเอกพันธ์ทีม่ ีสัมประสทิ ธ์เิ ปน็ คา่ คงท่ี

an = c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ... + ckan−k , ck  0

เราจะเรยี กสมการ

tk − c1tk−1 − c2tk−2 − c3t k−3 − ... − ck = 0 (15)
(12)
วา่ เปน็ สมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) ของสมการเวยี นเกดิ

ทฤษฎีบท ให้ (16)

an = c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ... + ckan−k ,

23

เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธ์อันดับ k เมื่อสัมประสิทธิ์ ck  0 แ ล ะ c1,c2,...,ck เป็นค่าคงท่ี
และให้

tk − c1tk−1 − c2tk−2 − c3t k−3 − ... − ck = 0

เป็นสมการลกั ษณะเฉพาะของสมการ (16)

1. ถ้า r เป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะข้างต้น แล้ว ลําดับ an = rn  ก็จะเป็นคําตอบ หนึ่งของ
n=0

สมการ (16)

2. ถ้าลําดับ sn  และ  pn  ต่างก็เป็นคําตอบของสมการ (16) และสําหรับค่าคงท่ี b และ d ใด
n=0 n=0

ๆ แล้ว ลาํ ดบั bsn + dpn กจ็ ะเปน็ คําตอบของสมการ (16) ด้วย
n=0

3. ถ้า r1,r2,...,rk เป็นรากที่แตกต่างกันของสมการลักษณะเฉพาะข้างต้น แล้ว จะมี b1,b2,...,bk ซึ่งจะ
คาํ นวณไดจ้ ากเงือ่ นไขเรมิ่ ต้น แล้วทําใหค้ าํ ตอบของสมการ (16) อยใู่ นรปู an = b1r1n + b2r2n +...+ bkrkn

4. ถ้า r เป็นรากซ้ำ โดยซ้ำเป็นจํานวน m ครั้งของสมการลักษณะเฉพาะข้างต้น แ ละ
an = rn, an = nrn, an = n2rn,..., an = nm−1rn ตา่ งก็เป็นคําตอบของสมการ (16)

5. ให้ a0 = d0, a1 = d1,..., an−1 = dn−1 เป็นเงื่อนไขเริ่มต้นของความสัมพันธ์เวียนเกิด (16)
เมื่อ d0 , d1,..., dn−1 เป็นค่าคงที่ ถ้า r1,r2,...,rl เป็นรากที่แตกต่างกัน l รากของสมการ
ลักษณะเฉพาะข้างต้น แต่ละรากมีจํานวนซ้ํากันเป็น m1,m2,...,ml ตามลําดับ และ m1 + m2 +...+ ml = k
แล้ว จะมีค่าคงท่ี cij ซึ่งจะคํานวณได้จากเงื่อนไขเริ่มต้น ทําให้ คําตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิด (16) อยู่ใน
รปู

an = (c10 + c11n + ... + c1m1 nm1−1)r1n + (c20 + c21n + ... + c2m2 nm2 −1)r2n + ... + (cl0 + cl1n + ... + clml nml −1)rln , n = 0,1, 2,...

ต่อจากนี้ไป เราจะได้แสดงตวั อย่างการนําข้อสรุปตามทฤษฎีบทท่ีกล่าวมาฝึกประยุกต์ใช้เพื่อ หาผลเฉลย
ของความสมั พันธเ์ วียนเกิดแบบเชงิ เส้นเอกพันธท์ ่ีมีสัมประสิทธ์คิ งทใ่ี นแบบต่าง ๆ

24

ตวั อยา่ ง 9 จงหาคาํ ตอบของความสมั พันธเ์ วียนเกดิ เชงิ เส้นเอกพันธ์

an = 7an−1 −10an−2; สาํ หรบั n  2

ท่ีมีเง่อื นไขเริม่ ตน้ a0 = 2,a1 = 6
วธิ ที ำ จากสมการเวยี นเกดิ an = 7an−1 −10an−2
หรือเขียนใหม่เป็น an − 7an−1 +10an−2 = 0
ซ่งึ จะมสี มการลักษณะเฉพาะ คือ

t2 − 7t +10 = 0,

(t − 2)(t − 5) = 0

จากสมการลกั ษณะเฉพาะ เรามรี ากท่ีเปน็ จํานวนจริงแตกตา่ งกนั 2 ราก คอื t = 2,t = 5

ดงั น้ันจะมีคา่ คงที่ c1,c2 ทท่ี ําให้คําตอบอย่ใู นรูป

an = c15n + c2 2n , สาํ หรบั n  0 (18)

เน่อื งจาก เรามี a0 = 2,a1 = 6 เม่ือเราแทนค่า n = 0 ลงในสมการ (18) จะได้

an = c150 + c2 20 = c1 + c2 = 2

แทนคา่ n =1ลงในสมการ (18) จะได้

an = c151 + c2 21 = 5c1 + 2c2 = 6,

แกส้ มการหาคา่ c1,c2 จะได้ c1 = 2 และ c2 = 4
3 3

ดังนั้น คาํ ตอบของความสมั พันธเ์ วยี นเกดิ นี้ คือ

an = 2 5n + 4 2n , สาํ หรับ n  0
3 3

25

ตวั อยา่ ง 10 จงหาคําตอบของความสมั พนั ธเ์ วยี นเกดิ เชงิ เส้นเอกพนั ธ์
an = 5an−1 − 8an−2 + 4an−3; สาํ หรับ n  3

พร้อมเงอื่ นไขเรม่ิ ต้น a0 = 0,a1 = 2,a2 =10
วิธีทำ จากสมการเวียนเกดิ

an = 5an−1 − 8an−2 + 4an−3

หรือเขยี นใหมเ่ ปน็

an − 5an−1 + 8an−2 − 4an−3 = 0

มสี มการลักษณะเฉพาะ คือ

t3 − 5t2 + 8t − 4 = 0,
(t −1)(t2 − 4t + 4) = 0,

(t −1)(t − 2)(t − 2) = 0

นน่ั คอื เรามีรากทเ่ี ปน็ จาํ นวนจรงิ แตกตา่ งกนั 2 ราก คอื t =1ไมซ่ ้ํา และ t = 2ซํา้ กนั 2 ครง้ั

ดังนัน้ จะมคี ่าคงที่ c1,c2 และ c3 ทีท่ ําให้คําตอบของสมการเวยี นเกิดอยู่ในรปู

an = c11n + c2 2n + c3n2n สาํ หรับ n  0 (19)

เนื่องจากเรามี a0 = 0เม่ือเราแทนค่า n = 0 ลงในสมการ (19) จะได้

a0 = c110 + c2 20 + c3(0)20 = c1 + c2 = 0,

จากท่ีเรามี a1 = 2แทนคา่ n =1ลงในสมการ (19) จะได้

a1 = c111 + c2 21 + c3(1)21 = c1 + 2c2 + 2c3 = 2,

และจากท่ีเรามี a2 =10แทนคา่ n = 2 ลงในสมการ (19) จะได้

a2 = c112 + c2 22 + c3(2)22 = c1 + 4c2 + 8c3 = 10,

แก้สมการหาคา่ c1,c2 และ c3 จะได้ c1 = 2,c2 = −2 และ c3 = 2
ดงั นัน้ คําตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิดนคี้ ือ

an = 2 1n − 2  2n + 2 − 2n+1 + n2+1, สําหรบั n  0

26

ตัวอยา่ ง 11 จงหาคาํ ตอบของความสมั พนั ธเ์ วยี นเกิดเชงิ เส้นเอกพนั ธ์ ทีเ่ ป็นความสัมพนั ธ์เวียนเกิด ฟโิ บนักชี

fn = fn−1 + fn−2; สาํ หรับ n  3

พรอ้ มเงอ่ื นไขเริม่ ต้น f1 =1, f2 = 2
วธิ ีทำ จากสมการเวียนเกิด

fn = fn−1 + fn−2

เขียนใหมเ่ ป็น

fn − fn−1 − fn−2 = 0

ซึง่ จะมสี มการลกั ษณะเฉพาะ คอื

t2 −t −1= 0

รากของสมการนค้ี อื

t = 1+ (−1)2 − 4(1)(−1) = 1 1+ 4 = 1 5
2(1) 2 2

นั่นคือเรามีรากที่เป็นจํานวนจริงแตกต่างกัน 2 ราก คือ t = 1+ 5 และ t = 1− 5 ดังนั้น จะมี ค่าคงท่ี

22

c1,c2 ท่ที ําใหค้ าํ ตอบอยู่ในรูป

fn = c1 1+ 5 n + c2 1− 5 n ,n 1 (20)
   
 2   2 

เนือ่ งจากเรามี f1 =1, f2 = 2เมื่อเราแทนค่า n =1ลงในสมการ (20) จะได้

f1 = c1 1+ 5 1 + c2 1− 5 1 = c1 1 + 5  + c2 1 − 5 =1
     2   
 2   2     2 

แทนค่า n = 2 ลงในสมการ (20) จะได้

f2 = c1 1 + 5 2 + c2 1 − 5 2 = c1  3 + 5  + c2  3 − 5  = 2
 2   2   2   2 
       

แก้สมการหาคา่ c1,c2 , จะได้ c1 = 1+ 5 และ c2 = −1+ 5
2 5 25

27

ดังนนั้ คําตอบของความสมั พันธเ์ วยี นเกิดน้ี คือ

= 1+ 5 1+ n −1 + 1 −  n
2  2 
fn  5  + 5  5 , n  1
5 
2 5 2 

ดังนั้น ถึงตอนนี้ปัญหาจํานวนคู่ของกระต่ายบนเกาะ เราก็สามารถที่จะหาจํานวนคู่ของ กระต่ายเมื่อสิ้นปีได้
อยา่ งง่ายดาย โดยแค่เปลยี่ นเงือ่ นไขเริ่มต้นเป็น f2 =1และแมจ้ ะถามจํานวนคู่ ของกระตา่ ยเมื่อสิ้นปีท่ีเท่าไหร่
เรากย็ อมได้

ความสัมพันธ์เวยี นเกดิ เชงิ เสน้ ไมเ่ อกพันธ์

บทนิยาม ความสมั พันธเ์ วียนเกิดเชงิ เสน้ ไมเ่ อกพันธ์ท่ีมสี ัมประสิทธ์ิเปน็ คา่ คงท่ี คือ ความสมั พันธ์ที่ มีสมการ

อ ย ู ่ ใ น ร ู ป แ บ บ an + c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ...+ ckan−k = f (n), (21)
เมือ่ ci เป็นค่าคงที่ ,ck  0 และ f (n) เป็นฟังกช์ ันค่าจรงิ ของจํานวนนบั n

ตวั อยา่ ง 12 ตวั อย่างของความสมั พันธ์เวยี นเกิดเชงิ เสน้ ไมเ่ อกพนั ธ์ เชน่

1. an = −3an−1 + 4,
2. an + 5an−2 + 6an−2 = 3n ,
3. an − an−1 = n
ทฤษฎบี ท กําหนดความสมั พนั ธ์เวยี นเกิดเชงิ เส้นไม่เอกพนั ธ์

an + c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ... + ckan−k = f (n), (22)

ที่มสี ัมประสิทธิ์ ci เป็นค่าคงท่ี โดยที่ ck  0 และ f (n) เปน็ ฟงั ก์ชนั ค่าจริงของจาํ นวนนับ n ถ้า rn เป็นคําตอบ
เฉพาะของสมการ (22) แล้วคําตอบของสมการ (22) จะอยู่ในรูป rn + sn เมื่อ sn เป็น คําตอบของสมการเชิง
เสน้ เอกพันธ์ทีส่ อดคลอ้ งซึง่ คอื

an + c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ... + ckan−k = 0

ดังนั้น ขั้นตอนในการหาคําตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นไม่เอกพันธ์ มี 2 ขั้นตอน ดังน้ี
คือ

28

1. หา sn จากสว่ นทีเ่ ป็นสมการเชิงเสน้ เอกพนั ธท์ ี่สอดคลอ้ ง

an + c1an−1 + ... + ckan−k = 0

2. หาคาํ ตอบเฉพาะ rn ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ (22)

โดยการลองให้ rn เป็นฟังก์ชนั ที่คล้ายกบั f (n) แตต่ ดิ ค่าคงทไี่ มท่ ราบคา่ ทที่ ําให้

rn + c1rn−1 +...+ ckrn−k = f (n) เปน็ จรงิ

ในความเป็นจริงแล้ว ไม่มีวิธีการใดที่สามารถใช้หาคําตอบของความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น ไม่
เอกพันธ์ได้โดยทั่วไป แต่อย่างไรก็ตาม เราก็พอที่จะมีเทคนิค ที่จะหาคําตอบสําหรับบางรูปแบบเป็น กรณี
เฉพาะไป ดงั เชน่ ความสมั พนั ธเ์ วียนเกดิ ทม่ี ีสมการในรูปแบบต่อไปนี้

c0an + c1an−1 + ... + ck an−k = bn p(n) (23)

เมื่อ b เปน็ ค่าคงที่ และ p(n) เปน็ พหุนามในตวั แปร n

เรามีตัวอย่างในการพิจารณาดคู ่าของ b และพหนุ าม p(n) เชน่

1. ถา้ เรามสี มการเวียนเกดิ

an + 5an−1 − 3an−2 = 2n (n2 + 3n + 2),

นน่ั คือ เรามี b = 2 และ p(n) = n2 + 3n + 2
2. หรอื สําหรบั สมการเวยี นเกิด

an = 7an−1 −12an−2 + 6,

จัดรปู แบบใหมเ่ ราก็จะได้

an − 7an−1 +12an−2 = 6

นั่นคอื เรามี b =1และ p(n) = 6

เราพอทจ่ี ะสรปุ หลกั การในการหาคําตอบเฉพาะ rn เม่อื f (n) = b2 p(n) ไดด้ งั น้ี
1. ถ้า f (n) อยู่ในรูปแบบ cb2 เมื่อ c เป็นค่าคงที่ซึ่งทราบค่าแล้ว ลองให้ rn = dbn เมื่อ d เป็นค่าคงที่

ใด ๆ ที่ เราจะต้องหาต่อไป และเราจะไดค้ า่ d จากการแทน rn ในสมการเวยี น เกดิ (23)

29

2. ถ้ า f (n) อ ยู่ ใ น รู ป แ บ บ พ หุ น า ม p(n) = cknk เ+ ck−1nk−1 + ...+ c1n + c0 มื่ อ c0,...,ck
เป็น ค่าคงที่ ลองให้ rn = dknk + dk−1nk−1 +...+ d1n + d0 เมื่อ d0,..., dk เป็นค่าคงที่ใด ๆ ที่เราจะต้องหา
ตอ่ ไป และเราจะได้ค่าคงท่ีเหลา่ นี้จากการแทน rn ในสมการ เวียนเกดิ (23)

3. ถ ้ า f (n) อ ย ู ่ ใ น ร ู ป แ บ บ bn (cknk + ck−1nk−1 +...+ c1n + c0) ล อ ง ใ ห้
rn = bn(dknk + dk−1nk−1 +...+ d1n + d0) และเราจะได้ค่าคงที่เหล่านี้จากการแทน rn ในสมการเวียนเกิด
(23)

ตัวอยา่ ง 13 จงหาคําตอบของความสัมพันธเ์ วียนเกดิ (24)

an = 7an−1 −12an−2 + 6, n  3

เม่อื เงอื่ นไขเรมิ่ ตน้ คือ a1 = 2,a2 = 8
วิธีทำ จากสมการ (24) จดั รปู แบบใหมไ่ ด้ดังน้ี

an − 7an−1 +12an−2 = 6

ซงึ่ สมการนี้ มีสมการเชิงเสน้ เอกพันธ์ทสี่ อดคลอ้ งดงั น้ี

an − 7an−1 +12an−2 = 0 (25)

และจากส่วนที่เปน็ ฟังก์ชัน f (n) = 6 = (1)n (6) ถ้าเราเทียบกบั รูปแบบ bn p(n) หมายความว่า เรามี b =1
แ]t p(n) = 6 เปน็ พหนุ ามดกี รี 0 ดังนัน้ ในการหาคําตอบสมการเวยี นเกดิ น้ี กระทาํ ได้ ดังน้ี

1. หาคาํ ตอบ sn จากสว่ นทีเ่ ปน็ เอกพนั ธต์ ามสมการ (25) ซ่งึ จะมีสมการลกั ษณะเฉพาะคือ

t2 − 7t +12 = 0,

(t − 3)(t − 4) = 0

จะได้ t = 3,t = 4 ดงั นน้ั จะมคี า่ คงที่ c1,c2 ทท่ี ําให้ sn = c13n + c2 4n

2. หาคาํ ตอบเฉพาะ rn ท่สี อดคล้องกบั สมการ (24)

rn − 7rn−1 +12rn−2 = 6

เน่ืองจาก f (n) อยใู่ นรูป bn p(n), p(n) เป็นพหุนามดกี รี 0 จงึ กําหนดให้ rn = d0
ดังน้ัน rn−1 = d0 และ rn−2 = d0 นาํ ไปแทนในสมการขา้ งต้นจะได้

d0 − 7d0 +12d0 = 6

30

6d0 = 6; d0 =1

น่นั คอื rn =1

ดังน้นั คาํ ตอบของสมการเวียนเกิดน้ี คือ

an = sn + rn = c13n + c2 4n +1, สําหรับ n  1
นําเงือ่ นไขเริม่ ตน้ a1 = 2,a2 = 8 แทนในคาํ ตอบที่ได้มา เราจะไดว้ ่า

2 = c131 + c2 41 +1; 3c1 + 4c2 = 1

8 = c132 + c2 42 +1; 9c1 +16c2 = 7

แก้สมการหาคา่ คงที่ จะได้ c1 = −1,c2 =1ดังนั้นคาํ ตอบของสมการเวยี นเกิดน้ี คือ

an = (−1)3n + 4n +1 เมอ่ื n  1

ตวั อย่าง 14 จงหาคาํ ตอบของสมการเวยี นเกิด

an − 3an−1 = 2n +1, n  1 (26)

เมื่อเงื่อนไขเริ่มตน้ คอื a0 = 2
วิธีทำ

1. หาคาํ ตอบ sn จากสว่ นทเ่ี ปน็ สมการเชิงเสน้ เอกพนั ธ์ คือ สมการ

an − 3an−1 = 0

ซึ่งจะมีสมการลกั ษณะเฉพาะ คอื

(t − 3) = 0

จะได้ t = 3 ดังนัน้ จะมี c ท่ที ําให้ snc3n
2. หาคําตอบเฉพาะ rn ทีส่ อดคล้องกับสมการ (26) จะไดว้ ่า

rn − 3rn−1 = 2n +1

กาํ หนดให้ rn = An + B ดงั นน้ั rn−1 = A(n −1) + B นําไปแทนในสมการข้างต้นจะได้

[ An + B] − 3[A(n−1) + B] = 2 n+1

[−2 A]n+[3A− 2 B] = 2 n+1

−2 A = 2; A = −1

3(−1) − 2 B = 1; B = −2

นนั่ คอื rn = −n − 2
ดงั นนั้ คาํ ตอบของสมการเวียนเกิดน้ี คือ

31

an = sn + rn = c3n − n − 2

นาํ เงือ่ นไขเรม่ิ ต้น a0 = 2แทนในคําตอบที่ไดม้ า เราจะไดว้ ่า

2c30 − 0 − 2;c = 4

ดังนั้นคาํ ตอบของสมการเวียนเกดิ น้ี คือ
an = (4)3n − n − 2 เม่อื n  0

ตวั อย่าง 15 จงหาคาํ ตอบของสมการเวียนเกดิ (27)

an − 2an−1 = 3n , n  1

เมอ่ื เง่ือนไขเร่มิ ต้น คือ a0 = −1

วธิ ที ำ

1. หาคาํ ตอบ sn จากสว่ นทเี่ ป็นสมการเชิงเสน้ เอกพนั ธท์ ส่ี อดคล้อง คือ สมการ

an − 2an−1 = 0

ซ่ึงจะมสี มการลักษณะเฉพาะ คอื

(t − 2) = 0

จะได้ t = 2 ดังนน้ั จะมี c ท่ีทําให้ sn = c2n
2. หาคําตอบเฉพาะ rn ทีส่ อดคล้องกับสมการ (27) จะได้วา่

rn − 2rn−1 = 3n

กําหนดให้ rn = A3n ดังนัน้ rn−1 = A3n−1นาํ ไปแทนในสมการข้างตน้ จะได้

[A3n ] − 2[ A3n−1] = 3n

3A3n−1 − 2 A3n−1 = 33n−1
3A − 2A = 3; A = 3

นัน่ คอื rn = 3(3n )
ดงั นน้ั คาํ ตอบของสมการเวียนเกิดน้ี คอื

an = sn + rn = c2n + 3(3n )

นาํ เง่ือนไขเร่มิ ต้น a0 = −1แทนในคาํ ตอบท่ีได้มา เราจะได้ว่า

−1 = c20 + 3(30 ); c = −4

ดงั นั้นคาํ ตอบของความสัมพันธ์เวยี นเกิดนี้ คือ
an = −4(2n ) + 3(3n ) เมอื่ n  0

32

แตส่ ําหรบั บางความสัมพันธ์เวยี นเกดิ การให้ rn คลา้ ยกับพจนข์ อง f (n) แลว้ แทนหา สัมประสทิ ธ์ิ
นัน้ อาจไม่

ประสบผลสาํ เร็จเสมอไป ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

ตัวอยา่ ง 16 จงหาคาํ ตอบของความสมั พันธเ์ วียนเกิด

an − an−1 = n, n  1 (28)

เมื่อเงื่อนไขเรม่ิ ตน้ คอื a0 = 0
วิธที ำ

1. หาคําตอบ sn จากส่วนทเี่ ปน็ สมการเชิงเส้นเอกพันธ์ คือ สมการ

an − an−1 = 0

ซึง่ จะมีสมการลกั ษณะเฉพาะคอื t −1= 0 จะได้ t =1
ดังน้ันจะมี c ที่ทาํ ให้

sn = c1n = c

2. หาคําตอบเฉพาะ rn ที่สอดคล้องกบั สมการ (28) จะไดว้ ่า rn − rn−1 = n
ถ้าให้ rn = An + B ดังนนั้ rn−1 = A(n −1) + b นาํ ไปแทนในสมการขา้ งตน้ จะได้

[An + B] −[A(n −1) + B] = n

[A − A]n +[B + A − B] = n

0n + (A) = n ซง่ึ เป็นไปไม่ได้

น่ันคอื เราหาคาํ ตอบ rn ไม่ได้หากกําหนด rn = An + Bเหตุการณเ์ ชน่ นี้ จะเกดิ ขน้ึ เม่ือมี บางสว่ น
ของ

คาํ ตอบใน rn ซา้ํ กับบางส่วนของคาํ ตอบใน sn เราจะมวี ิธแี กไ้ ขอย่างไร ให้ลองศึกษาจาก ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีแลว้
ค่อยดวู ิธีแก้ไขเมื่อต้องหาคาํ ตอบของสมการในลกั ษณะเชน่ นี้ ในสว่ นถดั ไป

ทฤษฎีบท กําหนดความสัมพันธ์เวยี นเกิดเชงิ เส้นไมเ่ อกพันธ์ ที่มีสมการเปน็ (29)

an + c1an−1 + ... + ck an−k = bn p(n)

33

ที่มี p(n) เป็นพหุนามในตัวแปร n และมีดีกรี m สมการเวียนเกิดเชิงเส้นไม่เอกพันธ์ (29) นี้ สามารถสร้าง
สมการเชงิ เสน้ เอกพันธท์ ม่ี สี มการลกั ษณะเฉพาะ เปน็

(tk + c1tk−1 + ... + ck )(t − b)m+1 = 0 (30)

นอกจากนั้นแลว้ คาํ ตอบของสมการเวียนเกิดเชิงเส้นไม่เอกพันธ์ (29) กจ็ ะเป็นคาํ ตอบของสมการเวียน เกิดเชิง
เสน้ เอกพันธ์ที่มีสมการลกั ษณะเฉพาะตามสมการ (30) ข้างตน้ ด้วย

ความหมายของทฤษฎีบทนี้ คือ หากเราใช้การหาผลเฉลยส่วนที่เป็นคําตอบเฉพาะ rn โดย สร้าง

พจน์ให้คล้ายกบั f (n) = bn p(n) โดยให้  rn = bn d0 + d1n + d2n + ...dmnm

เปรียบเสมือนสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ที่สอดคล้องของสมการนี้มีราก คือ t = bซ้ํากัน m +1คร้ัง
ดังนั้นการหาผลเฉลยของสมการเวียนเกิดเชงิ เส้นไม่เอกพันธ์ตามสมการ (29) มันก็เหมือนกับการ หาผลเฉลย
ของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ซ่ึงมีสมการลกั ษณะเฉพาะ คือ

(tk + c1tk−1 + ... + ck )(t − b)m+1 = 0

และหากเมื่อเราหารากทั้งหมดของสมการ (30) นี้ เราก็จะได้ระมัดระวังในการสร้างคําตอบ
สําหรับแต่ละรากให้แตกต่างกันให้ครบ ซึ่งหมายความว่าเราได้สร้างคําตอบในส่วนของ rn ให้แตกต่าง จาก
คาํ ตอบใน sn แลว้

ดังนั้นเมื่อเรามีสมการเวยี นเกิดเชิงเส้นไม่เอกพันธ์ เราก็หาตามขั้นตอนของเรา คือ หา sn และ rn
ตามที่กล่าวไปในหวั ข้อก่อนหน้าน้ี เพียงแต่ต้องระวังเวลาท่ีสร้าง rn ต้องไม่ให้มีส่วนใดส่วน หนึ่งในคําตอบ rn
ซ้ํากับส่วนใดส่วนหนึ่งในคําตอบ sn เพราะหากมีบางส่วนของ f (n) ทางขวามือ ซ้ํากับบางส่วนของคําตอบ
เชิงเส้นเอกพันธ์ที่สอดคล้อง sn เมื่อเราสร้างรูปแบบคําตอบเฉพาะ rn คือ ตามฟังก์ชัน f (n) ทําให้เราไม่
ประสบความสาํ เรจ็ ในการหาคาํ ตอบ rn

ตวั อยา่ ง 17 จงหาคําตอบของความสมั พันธ์เวียนเกิด (31)
an + 2an−1 − 3an−2 = 3n (n +1), n  2 เง่ือนไขเร่ิมตน้ a0 = 0, a1 =1

วธิ ที ำ
1. หาคาํ ตอบ sn จากสว่ นท่เี ปน็ สมการเชิงเสน้ เอกพนั ธ์ คอื สมการ

an + 2an−1 − 3an−2 = 0

34

ซง่ึ จะมสี มการลกั ษณะเฉพาะ คือ

t2 + 2t − 3 = 0

(t + 3)(t−1) = 0

จะได้ t = −3,1ดงั นน้ั จะมี c1,c2 ที่ทาํ ให้ sn = c1(−3)n + c2
2.หาคําตอบเฉพาะ rn ท่สี อดคล้องกับสมการ (31) จะไดว้ า่ rn + 2rn−1 − 3rn−2 = 3n(n +1)
กาํ หนดให้ rn = 3n ( An + B) = An3n + B3n ไม่มสี ว่ นใดที่ซำ้ ากับสว่ นใดของคาํ ตอบใน sn

ดังนัน้ rn−1 = 3n−1 ( A(n −1) + B), และ rn−2 = 3n−2 ( A(n − 2) + B) นําไปแทนในสมการ ขา้ งต้น

จะได้

3n ( An + B) + 2 3n−1 ( A(n −1) + B) − 3 3n−2 = ( A(n − 2) + B) = 3n (n +1)
9( An + B) 3n−2 + 6 ( A(n −1) + )B  3n−2 − 3 ( A(n − 2) + )B  3n−2 = 9 (n )+1 3n−2

12An + 12B = 9n + 9

12A = 9; A= 3
4

12B = 9; B=3
4

น่นั คือ rn = 3n  3 n + 3  = 3 (n +1)3n
 4 4 
4

ดงั นัน้ คาํ ตอบของความสมั พันธเ์ วยี นเกดิ นี้ คอื

an = sn + rn = c1 ( −3)n + c2 + 3 (n + 1)3n
4

นาํ เง่อื นไขเร่ิมต้น คอื a0 = 0,a1 =1แทนในคําตอบท่ีไดม้ า เราจะไดว้ ่า

0 = c1 ( −3)0 + c2 + 3 (0 +1)30; c1 + c2 = −3
4 4

1 = c1 ( −3)1 + c2 + 3 (1+1)31; −3c1 + c2 = −5
4 4

ดงั น้ันคําตอบของความสมั พนั ธ์เวียนเกิดนี้ คือ

35

an = 1 (−3)n + −7 + 3 (n + 1) 3n เม่อื n  0
8
8 4

ตวั อย่างตอ่ ไปนี้ จะเป็นตวั อย่างท่ีมีบางสว่ นของคําตอบใน rn ซำ้ กบั คําตอบใน sn ที่เราเคย เจอปญั หา
มาแล้ว ในตัวอยา่ งที่ 36 ในครัง้ นี้ เราจะแสดงวธิ กี ารแกป้ ญั หา วา่ เราจะหาคําตอบได้ อย่างไร

ตวั อยา่ ง 18 จงหาคําตอบของความสัมพนั ธเ์ วยี นเกิด

an − an−1 = n, n  1 (32)

เมือ่ เงื่อนไขเร่มิ ต้น คือ an = 0
วธิ ีทำ

1. หาคําตอบ sn จากสว่ นท่ีเปน็ สมการเชิงเสน้ เอกพนั ธ์ คือ สมการ

an − an−1 = 0

ซึง่ จะมีสมการลกั ษณะเฉพาะ คือ

(t −1) = 0
จะได้ t =1ดงั นน้ั จะมี c ทท่ี ําให้ sn = c1n = c
2. หาคําตอบเฉพาะ rn ทส่ี อดคล้องกับสมการ (32) จะได้ว่า

rn − rn−1 = n

ถ้ากําหนดให้ rn = An + Bจะมบี างส่วน คือ คา่ คงที่ใน rn ท่ซี าํ้ กับค่าคงที่อย่ใู นคาํ ตอบ sn
ดังนน้ั เราจะต้องกําหนดใหม่ ให้ rn = n( An + B) = An2 − Bn ซ่ึงไม่มีสว่ นใดซ้ํากับ คําตอบใน sn

แลว้ ดังนน้ั rn−1 = A(n −1)2 + B (n −1) นาํ ไปแทนในสมการขา้ งตน้ จะได้

 An2 − Bn −  A( n −1)2 + B ( n − 1) = n


2An +B − A = n

2A = 1; A= 1
2

B − A = 0; B=1
2

นั่นคอื rn = 1 n2 +1n
2 2

ดงั นน้ั คําตอบของความสัมพนั ธ์เวยี นเกดิ นี้ คอื

an = sn + rn = c + 1 n2 + 1 n
2 2

36

นาํ เงื่อนไขเริ่มต้น a0 = 0แทนในคาํ ตอบที่ได้มา เราจะได้

0 = c + 1 (0)2 + 1 (0); c = 0
22

ดงั นน้ั คําตอบของความสัมพนั ธเ์ วยี นเกดิ น้ี คือ

an = 1 n2 + 1 n = n2 + n เมือ่ n  0
2 2 2

อยา่ งไรกต็ าม ผู้อ่านจะเหน็ วา่ ไมม่ ีวธิ ีการใด ท่ีเป็นวิธีทั่วไป ทจี่ ะใช้หาคาํ ตอบของ ความสัมพนั ธ์
เวียนเกิดได้ทุกแบบ ทุกประเภท เราต้องดวู ธิ ที ีเ่ หมาะสมในแต่ละประเภท นอกจากวิธีที่ กล่าวในหวั ข้อนี้แลว้
เรายงั มีเทคนิค และวธิ กี ารที่จะช่วยใหเ้ ราหาคําตอบของความสมั พนั ธ์เวียนเกิดได้ อีก

37

บทที่ 3
วธิ ดี ำเนินโครงงาน

ในการจดั ทำโครงงาน จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกก้ีบนสามเหล่ียมปาสกาล ผจู้ ัดทำมีวธิ กี ารดำเนนิ
โครงงานตามข้ันตอนต่อไปน้ี

3.1 วัสดุ อุปกรณแ์ ละเครื่องมือทใี่ ช้ในการดำเนินโครงงาน

3.1.1 Microsoft Word
3.1.2 Adobe Photoshop

3.2 ข้ันตอนการดำเนินโครงงาน

3.2.1 ศกึ ษาข้อมูล เอกสาร และทฤษฎเี ก่ยี วกบั คณติ ศาสตรต์ า่ ง ๆ
3.2.2 เลอื กหวั ขอ้ โครงงานท่สี นใจ
3.2.3 เสนอหัวขอ้ โครงงานตอ่ อาจารย์ท่ีปรึกษาโครงงาน เพอื่ ขอคำแนะนำ
3.2.4 ศึกษาเอกสารและทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง ได้แก่ สามเหลี่ยมปาสกาล แบบรูปไม้ตีฮอกก้ี
ความสัมพันธ์เวียนเกดิ และการหาผลเฉลยของความสมั พนั ธ์เวยี นเกิด
3.2.5 จดั ทำโครงรา่ งโครงงาน เพ่อื นำเสนอต่ออาจารย์ทปี่ รึกษาโครงงาน
3.2.6 จัดทำโครงงาน จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล โดยนำข้อมูลจาก
การศกึ ษามาวเิ คราะห์ และสรา้ งเป็นสูตรการหาจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกก้ีบนสามเหลยี่ มปาสกาล
3.2.7 ตรวจสอบความถกู กตอ้ งของโครงงาน

38

3.2.8 นำเสนอรายงานความก้าวหน้าต่ออาจารย์ที่ปรึกษาเป็นระยะ ๆ ทั้งนี้เมื่อได้รับ
คำแนะนำจากอาจารย์ที่ปรกึ ษากน็ ำมาปรบั ปรุงแก้ไขให้ถกู ต้อง

3.2.9 จดั ทำเล่มโครงงานฉบบั สมบูรณ์ และนำโครงงานไปจดั นทิ รรศการ
3.2.10 นำเสนอโครงงานต่อหน้าอาจารย์ที่ปรึกษาและผู้ที่สนใจ เพื่อนำไปศึกษาและพัฒนา
ตอ่ ยอด

3.3 ปฏทิ ินการดำเนินโครงงาน

ตารางที่ 2 ปฏิทนิ การดำเนนิ โครงงาน ระยะเวลาดำเนินงาน

ลำดับที่ กิจกรรม 14 กนั ยายน 2563
1. Plan (P) วางแผน 24 กันยายน 2563
1) ศึกษาข้อมูล เอกสาร และทฤษฎีเกี่ยวกับ 27 กนั ยายน 2563
คณิตศาสตร์ต่าง ๆ
2) เลอื กหวั ขอ้ โครงงาน
3) เสนอหัวข้อต่ออาจารย์ที่ปรึกษาเพื่อขอ
คำแนะนำ

2. Do (D) ดำเนินการ

1) ศึกษาเอกสารและทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง ได้แก่ 29 กนั ยายน - 4 ตลุ าคม

สามเหลี่ยมปาสกาล แบบรูปไม้ตีฮอกกี้ 2563

ความสมั พันธ์เวยี นเกิด

2) ศกึ ษาแบบรูปไม้ตีฮอกก้บี นสามเหลีย่ มปาสกาล 6-11 ตุลาคม 2563

3) ศึกษาการพิสูจน์โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด 12 ตลุ าคม 2563

และการหาผลเฉลยของความสัมพนั ธเ์ วียนเกิด

4) เขียนโครงร่างโครงงาน 13-18 ตุลาคม 2563

5) เสนอโครงรา่ งโครงงานตอ่ อาจารย์ทปี่ รกึ ษา 19 ตลุ าคม 2563

6) จดั ทำโครงงาน 20 ตุลาคม 2563

3. Check ตรวจสอบความถูกตอ้ งของโครงงาน 39
(C)
26 ตุลาคม 2563
4. Action นำโครงงานไปจดั นิทรรศการ 2 พฤศจิกายน 2563
(A)

40

บทท่ี 4
ผลการดำเนนิ โครงงาน

ในการดำเนินโครงงานจำนวนแบบรปู ไม้ตฮี อกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล ครั้งนี้ผูจ้ ัดทำได้ผลการศึกษา
ดงั ต่อไปนี้

การหาจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกกบี้ นสามเหล่ยี มปาสกาล

1. กำหนดเง่อื นไขเบื้องตน้

แบบรปู ไม้ตีฮอกกี้ คือ รปู ไมต้ ีฮอกก้ีบนสามเหลีย่ มปาสกาลที่ไดจ้ ากการสรา้ งเส้นทแยง ของจํานวนใน
แต่ละแถว โดยเลือกจาํ นวนทเี่ ริ่มจาก 1 ทแยงเข้าไปภายในรูปสามเหลยี่ มไปสน้ิ สุดท่ี จาํ นวนใดจาํ นวนหน่ึง ซึ่ง
เรียกว่าด้ามของไม้ตีฮอกกี้ โดยไม้ตีฮอกกี้แต่ละรูปจะมีความยาวด้ามตั้งแต่ 2 ขึ้นไป และมีความยาวได้มาก

ท่ีสดุ เทา่ กบั n−1 เมอื่ n คือ แถวของสามเหล่ียมปาสกาล ซ่งึ ผลรวมของจาํ นวนบนเส้นทแยงทีเ่ ลือกจะเท่ากับ
จาํ นวนท่อี ยตู่ ำ่ กว่าจํานวนสดุ ทา้ ยที่เลือก ทีไ่ มไ่ ดอ้ ยูบ่ นเสน้ ทแยงเดยี วกนั

n=0
n = 0n = 1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n = 10

n = 11
n = 12

ภาพที่ 1 ตวั อยา่ งของแบบรูปไมต้ ีฮอกกีบ้ นสามเหล่ียมปาสกาล n = 13

ท่ีมา : https://coolaun.com/math/pascal_tri/hockey/

41

2. วธิ ีการหาจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล

ให้ an แทน จำนวนแบบรูปไม้ตฮี อกก้ีทเี่ ปน็ ไปได้ท้ังหมดบนสามเหลย่ี มปาสกาลบนแถวท่ี n
พจิ ารณาแถวที่ 1 พบว่า

ภาพท่ี 6 แสดงจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกก้ีในแถวท่ี 1
จากภาพท่ี 6 จะไดว้ า่ ความยาวด้านที่มากท่สี ุด คอื n-1 = 1-1 = 0 ซงึ่ ไมเ่ กดิ ไมต้ ฮี อกกี้ ดังน้ัน a1 = 0

พิจารณาแถวที่ 2 พบวา่

ภาพที่ 7 แสดงจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกก้ใี นแถวท่ี 2
จากภาพท่ี 7 จะได้ว่า ความยาวดา้ นทมี่ ากท่สี ดุ คอื n-1 = 2-1 =1 ซง่ึ ไมเ่ กิดไม้ตีฮอกกี้ ดังนน้ั a2 = a1 + 0

พิจารณาแถวท่ี 3 พบว่า

ภาพที่ 8 แสดงจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกีใ้ นแถวท่ี 3

จากภาพท่ี 8 จะไดว้ า่ ความยาวดา้ นท่มี ากที่สุด คือ n-1 = 3-1 = 2 ซ่ึงเกิดไม้ตีฮอกกี้ ดงั นน้ั a3 = 0+2 = 2
นน่ั คือ a3 = a2 + 2