จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล6

42

พจิ ารณาแถวท่ี 4 พบว่า

ภาพที่ 9 แสดงจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกใี้ นแถวที่ 4
จากภาพที่ 9 จะได้ว่า ความยาวดา้ นท่ีมากที่สดุ คือ n-1 = 4-1 = 3 ซึง่ เปิดไม้ตฮี อกก้ี ดงั น้ัน a4 = 2+4 = 6
นัน่ คือ a4 = a3 + 4

พจิ ารณแถวที่ 5 พบวา่

ภาพที่ 10 แสดงจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกก้ใี นแถวที่ 5
จากภาพที่ 10 จะไดว้ า่ ความยาวดา้ นท่ียาวที่สุด คอื n-1 = 5-1 = 4 ซึ่งเกิดไมต่ ีฮอกก้ี ดังน้ัน a5 = 6+6 =12
นั่นคอื a5 = a4 + 6

พจิ ารณาแถวที่ 6 พบว่า

ภาพท่ี 11 แสดงจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกใี้ นแถวท่ี 6

จากภาพท่ี 11 จะไดว้ ่า ความยาวดา้ นท่ีมากทส่ี ุด คือ n-1 = 6-1 = 5 ซึ่งเกดิ ไม้ตฮี อกก้ี ดงั นัน้ a6 = 12+8 =
20 นน่ั คอื a6 = a5 + 8

43

พจิ ารณาแถวที่ n พบว่า ความยาวดา้ นท่มี ากทส่ี ดุ คือ n-1 ซงึ่ เกิดไม้ตฮี อกก้ี ที่พิจารณาจากจำนวน
แบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล ในแถวท่ี 1 ถงึ 6 พบวา่

แถวที่ 1 มีจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกท้ี ั้งหมด เทา่ กบั 0 รูป น่ันคือ a1 = 0
แถวที่ 2 มีจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกกที้ ั้งหมด เท่ากับ 0 รูป น่ันคือ a2 = a1 + 0
แถวท่ี 3 มีจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกี้ท้ังหมด เทา่ กบั 2 รปู น่ันคอื a3 = a2 + 2
แถวท่ี 4 มีจำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้ทั้งหมด เท่ากบั 6 รูป นั่นคอื a4 = a3 + 4
แถวที่ 5 มจี ำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกก้ที ั้งหมด เทา่ กบั 12 รปู นนั่ คอื a5 = a4 + 6
แถวท่ี 6 มีจำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกท้ี ้ังหมด เทา่ กับ 20 รูป น่ันคอื a6 = a5 + 8

.
.
.
เพราะฉะนนั้ แถวที่ n มจี ำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกก้ีทัง้ หมด เทา่ กบั an = an-1+fn เมอื่ fn คือ จำนวนไม้
ตีฮอกก้ีท่เี กิดข้ึนใหม่บนสามเหลี่ยมปาสกาล โดยไม่มีความสมั พนั ธก์ ับจำนวนไม้ตฮี อกกท้ี ่ีเกดิ ขน้ึ บน an-1
พจิ ารณา fn พบวา่ เป็นลำดบั ดังต่อไปน้ี 0, 0, 2, 4, 6, 8, … ซ่ึงลำดบั ดังกลา่ วไมใ่ ชท่ งั้ ลำดบั เลขคณิตหรอื
เรขาคณิต จึงทำใหน้ ำมาพิจารณาดงั ต่อไปน้ี
f1 = 0
f2 = 0 + 2(0) = 0 + 2(2-2)
f3 = f2 + 2(1) = f2 + 2(3-2)
f4 = f2 + 2(2) = f2 + 2(4-2)
f5 = f2 + 2(3) = f2 + 2(5-2)
f6 = f2 + 2(4) = f2 + 2(6-2)
.

.
.

44

fn = f2 + 2(n-2)
เน่ืองจาก f2 = 0 จงึ ทำใหร้ ู้ว่า fn = 2(n-2)

สรปุ ไดว้ า่ แถวที่ n มจี ำนวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกี้ทั้งหมด เท่ากับ an-1 + 2(n-2) รปู นน่ั คือ
an = an-1 + 2(n-2)

จากการศึกษาบทนิยามความสัมพันธเ์ วยี นเกิดเชงิ เส้นไม่เอกพันธ์ทม่ี สี ัมประสทิ ธิ์เปน็ ค่าคงท่ี กล่าวว่า
ความสัมพนั ธท์ ี่มสี มการอยใู่ นรปู แบบ

an + c1an−1 + c2an−2 + c3an−3 + ... + ck an−k = f (n)

เม่ือ Ci เป็นคา่ คงท,ี่ Ck  0และ f(n) เป็นฟังกช์ นั ค่าจริงของจำนวนนับ n

จากความสัมพันธ์ที่ได้ คือ an = an−1 + 2(n− 2) เป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของพจน์ an กับ
พจน์ก่อนหนา้ ในรูปแบบทแี่ น่นอนสาํ หรับทุกจํานวนเต็ม n

เมือ่ an แทน จาํ นวนแบบรูปไมต้ ีฮอกกท้ี เี่ ปน็ ไปได้ทงั้ หมดบนสามเหลยี่ มปาสกาลบนแถวท่ี n

an-1 แทน จํานวนแบบรปู ไมต้ ฮี อกกที้ ี่เปน็ ไปไดท้ ้งั หมดบนสามเหล่ยี มปาสกาลบนแถวท่ี n - 1

ซง่ึ an = an−1 + 2(n− 2) สามารถจัดอยู่ใน an − an−1 = an−1 + 2(n− 2) ……..(A) ได้ จากสมการ (A)
จะเห็นได้ว่า c1 = −1 0 และ fn = 2(n − 2) ซึ่งสอดคล้องกับบทนิยามข้างต้น จึง ทําให้ได้ว่า
ความสมั พันธ์ท่ีได้ คือ ความสมั พันธเ์ วียนเกดิ เชิงเสน้ ไม่เอกพันธ์ท่ีมีสัมประสิทธิ์เปน็ ค่าคงท่ี และเน่ืองจากแบบ
รูปไม้ตีฮอกกี้จะเกิดบนสามเหลี่ยมปาสกาลได้ ตั้งแต่แถวที่ 3 ขึ้นไป ดังนั้น an = an−1 + 2(n− 2) เมื่อ
n=3,4,5,…

จากความสัมพันธ์ที่ได้ หากเราต้องการหาค่าของพจน์สูง ๆ เราจะต้องเสียเวลาในการคํานวณพจน์
ก่อนหน้าเป็นจํานวนมาก แต่ถ้าหากเราสามารถทราบพจน์ an ที่สัมพันธ์กับ n โดยไม่จําเป็นต้องคํานวณพจน์

45

ก่อนหน้าจะทําให้ประหยัดเวลาการคํานวณ ซึ่งวิธีการหารูปแบบของ an ที่สัมพันธ์กับ n เรียกว่า การหาผล
เฉลยของสมการเวียนเกดิ

ความสัมพันธ์ an = an−1 + 2(n− 2) เมื่อ n=3,4,5,… เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นไม่เอกพันธ์
โดยกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นคือ a2 = 0สามารถหาผลเฉลยของสมการเวียนเกิด ได้ดังนี้ จากความสัมพันธ์เวียน
เกดิ an = an−1 + 2(n− 2) , n  3เมอื่ เงอ่ื นไขเริม่ ตน้ คอื a2 = 0-------(1)

วิธที ำ จากความสมั พันธ์สามารถจัดรปู แบบใหม่ได้ดังนี้ an − an−1 = 2n − 4

1. หาคำตอบ sn จากส่วนที่เป็นสมการเชิงเอกพันธ์ คือ สมการ an − an−1 = 0 ซึ่งจะมีสมการ
ลักษณะเฉพาะคอื (t-1)=0 จะได้ c=1 ดงั นน้ั c ทท่ี ำให้ sn = c1n = c

2. หาคำตอบเฉพาะ rn ทส่ี อดคล้องกับสมการ (1) จะได้วา่ rn − rn−1 = 2n − 4
ถ้ากำหนดให้ rn = An + B จะมีบางส่วน คือ ค่าคงที่ใน rn ที่ซ้ำกับค่าคงที่อยู่ในคำตอบ sn ดังนั้น
จะต้องกำหนดใหม่ ให้ rn = n(An + B) = An2+ Bn ซึง่ ไม่มีส่วนใดซำ้ กับคำตอบใน sn แล้ว
ดังนัน้ rn−1 = A(n−1)2 + B(n−1) นำไปแทนในสมการข้างต้นจะได้

 An2 + Bn −  A(n−1)2 + B(n−1) = 2n − 4
An2 + Bn −  An2 − 2An + a + Bn − B = 2n − 4

2An + B − A = 2n − 4

เทยี บสัมประสทิ ธจ์ิ ะได้ว่า

2a = 2; A = 1
B − A = −4; B −1 = −4; B = −3

น่ันคอื rn = n2 − 3n
ดังนั้น คำตอบของความสัมพนั ธ์เวียนเกิดน้ี คอื an = sn + rn = c + n2 − 3n
นำเงอื่ นไขเริม่ ตน้ a2 = 0 แทนในคำตอบที่ได้มา จะได้วา่

0 = c + (2)2 − 3(2);c = 2

ดังนั้นผลเฉลยของสมการเวียนเกดิ คือ an = n2 − 3n + 2

สรุปได้ว่า แถวที่ n มีจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกก้ที ง้ั หมด เทา่ กับ an = n2 −3n + 2 รูป

46

บทที่ 5
สรุปผล และข้อเสนอแนะ

5.1 สรปุ ผลการศึกษา

การจัดทําโครงงาน เรื่อง จํานวนของแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาสกาล มีวัตถุประสงค์ คือ 1)
เพอื่ ศึกษาความสัมพันธ์ของจํานวนแบบรูปไม้ตฮี อกก้ีบนสามเหล่ียมปาสกาล และ 2) เพอื่ ศกึ ษาพจน์ทั่วไปของ
จาํ นวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลยี่ มปาสกาล ซึ่งคณะผจู้ ัดทําไดศ้ ึกษาเอกสาร คู่มือ รวมถึงแหล่งเรยี นรู้จาก
อินเตอร์เน็ตเกี่ยวกับสามเหลี่ยมปาสกาล ลักษณะของแบบรูปไม้ตีฮอกกี้ และสูตรในการหาพจน์ทั่วไป โดย
เครื่องมือที่ใช้ในการดําเนินโครงงานคือโปรแกรม Microsoft Word และ Adobe Photoshop ทําให้เข้าใจ
ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น และสามารถมองเห็นความสัมพันธ์ของ จํานวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยมปาส
กาลได้ชัดเจนมากยิ่งขึ้น และได้ออกมาเป็นเป็นพจน์ทั่วไป ในการหาจํานวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลี่ยม
ปาสกาลได้ คอื an = n2 – 3n + 2 โดยไม่ต้องนบั ที ละรปู

5.2 ปญั หาและอปุ สรรคในการศึกษา

1. มีข้อมูลเก่ยี วกบั เร่ืองสามเหลี่ยมปาสกาลให้ศึกษาน้อย
2. ระยะเวลาในการทำงานของสมาชกิ ในกลุม่ แต่ละคนไม่ตรงกนั จงึ ทำให้การดำเนนิ งานเลอื่ นออกไป

5.3 ข้อเสนอแนะและแนวทางในการพัฒนา

การศกึ ษาความสัมพันธ์ของจำนวนแบบรปู ไมต้ ีฮอกก้บี นสามเหลี่ยมปาสกาลในแตล่ ะแถวที่ n ท่ี
ผ้จู ัดทำได้ศึกษา เปน็ เพยี งความสัมพันธ์รูปแบบหนง่ึ เทา่ น้ัน ยงั สามารถหารปู แบบอื่นได้อีก

47

บรรณานกุ รม

กิตตกิ ร นาคประสิทธ์ิ และโกสมุ กรที อง. (2549). สนุกคิดคณติ ศาสตร์ = The joy of
mathematics กรุงเทพฯ: สารคดี.

ครอู ัน๋ . (9 กันยายน 2553). แบบรปู ไม้ตีฮอกก.้ี สืบค้นเม่ือ 26 กันยายน 2563. จาก
https://coolaun.com/math/pascal_tri/hockey/

ธิดาสิริ ภัทรากาญจน์. (2549). คณติ คิดสนกุ = คณิตศาสตรร์ อบตัวเรา. (พมิ พ์ครงั้ ที่ 6). กรุงเทพฯ :
สำนักพิมพ์แห่งจฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั .

สุพชั ระ คงนวน. (2554). คณิตศาสตร์ดีสครีต Discrete Mathematics. กรุงเทพฯ : สำนักพมิ พ์
มหาวทิ ยาลัยธรรมศาสตร์.

48

ภาคผนวก

49

ภาคผนวก ก
ภาพการศกึ ษาคน้ คว้า และการดำเนินโครงงาน

50

ภาพการศึกษาค้นควา้ และดำเนินโครงงาน

51

ภาคผนวก ข
ประวัตผิ จู้ ัดทำ

52

ชอื่ -นามสกลุ นายธนชั ภูธร
ชอ่ื เลน่ อัม้
ชือ่ โครงงาน จำนวนแบบรปู ไม้ตีฮอกก้ีบนสามเหล่ียมปาสกาล
ระดับชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6/1
วนั /เดือน/ปี 20 สงิ หาคม 2545
สถานท่ีเกดิ โรงพยาบาลสระบุรี
ที่อยปู่ จั จุบัน 52 หมู่ 5 ตำบลชำผกั แพว อำเภอแก่งคอย จังหวดั สระบรุ ี 18110
Facebook iamaaumi tampnell
ประวตั กิ ารศึกษา ระดบั ประถมศึกษา โรงเรยี นวดั โคกกรุง
ระดบั มธั ยมศึกษา โรงเรียนแกง่ คอย

53

ชื่อ-นามสกุล นางสาวจริ ัจฌา พลแกว้
ช่อื เล่น แตงโม
ชอ่ื โครงงาน จำนวนแบบรปู ไม้ตีฮอกก้บี นสามเหล่ียมปาสกาล
ระดับชั้น มัธยมศกึ ษาปีที่ 6/1
วัน/เดอื น/ปี 12 พฤศจิกายน 2545
สถานทเี่ กิด โรงพยาบาลสระบรุ ี
ท่ีอย่ปู ัจจบุ นั 14/2 ซอย 15 ถนนสดุ บรรทัด ตำบลปากเพรยี ว อำเภอเมือง จงั หวดั สระบรุ ี 18000
Facebook Chiratcha Polkaew
ประวัตกิ ารศึกษา ระดับประถมศึกษา โรงเรยี นวัดนาบญุ
ระดบั มธั ยมศึกษา โรงเรียนแก่งคอย

54

ช่ือ-นามสกลุ นางสาววรรณษา ส่องกระโทก
ชื่อเล่น มะนาว
ชือ่ โครงงาน จำนวนแบบรูปไม้ตีฮอกกี้บนสามเหลย่ี มปาสกาล
ระดบั ช้ัน มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6/1
วนั /เดอื น/ปี 16 มถิ นุ ายน 2545
สถานท่เี กดิ โรงพยาบาลครบุรี
ทอ่ี ย่ปู ัจจุบนั 153 หมู่ 8 ตำบลสองคอน อำเภอแกง่ คอย จังหวดั สระบรุ ี 18110
Facebook Wannasa Songkrathok
ประวตั ิการศึกษา ระดับประถมศึกษา โรงเรียนวัดโคกกรุง
ระดับมัธยมศึกษา โรงเรียนแกง่ คอย

55