06 ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

6

รวบรวมและจดั ทำโดย

นำยศวิ ะกลู วะชะโก
ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐำนะ –
กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์

โรงเรียนเมืองพลพิทยำคม อำเภอพล จังหวดั ขอนแกน่
องคก์ ำรบรหิ ำรสว่ นจังหวดั ขอนแกน่

ชดุ กิจกรรมคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความนา่ จะเปน็ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6 1

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 ชุดน้ี จัดทำขึ้นเพื่อส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒนาทักษะวิชาคณิตศาสตร์เกี่ยวกับ ความน่า
จะเป็น เกิดความคิดรวบยอดจากเน้ือหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้เกิดทักษะ
การคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง
ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของ
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เน้ือหาในชุดกิจกรรม
การเรียนรู้ชุดท่ี 6 เน้นให้นักเรียน รู้จักความน่าจะเป็น และกฎบางประการ
ซ่ึงประกอบดว้ ย คำแนะนำสำหรับนักเรียน คำแนะนำสำหรับครู จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
ใบความรู้ และแบบทดสอบระหว่างเรียนชุดที่ 6

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 1

ชุดท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

คำนำ

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความน่าจะเป็น โดยใช้รปู แบบการจดั การเรยี นรู้
แบบวัฏจักรการเรียนรู้ (4MAT) ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 ชดุ น้ี จัดทำขึ้นเพ่ือสง่ เสริมและสนบั สนนุ ให้ผูเ้ รยี น
ทุกคน มคี วามสามารถในการเรียนรู้และพฒั นาทกั ษะวชิ าคณิตศาสตร์เร่ืองความนา่ จะเปน็ เกิดความคิด
รวบยอดจากเนื้อหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วย
ตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐาน
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 มีทั้งหมด 6 ชุด
ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ชุดที่ 6 เรอื่ ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ ประกอบด้วย
เน้ือหา ดงั น้ี

6.1) ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์
6.2) ความน่าจะเป็น (วิธเี รยี งสบั เปลี่ยน, วิธีจดั หมู่)
6.3) กฎบางประการของความน่าจะเป็น

โดยเนื้อหาประกอบดว้ ย คำแนะนำในการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ จดุ ประสงค์
การเรียนรู้ ใบความรู้ บัตรกิจกรรม และแบบทดสอบระหว่างเรียน โดยเนื้อหาแต่ละเรื่องมีตัวอย่าง
ประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน พรอ้ ม
ท้ังตรวจคำตอบที่ถูกตอ้ งของชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ได้ดว้ ยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 จะช่วยเสริมทักษะเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และกฎบางประการ
ของความน่าจะเป็นและเหมาะสมกับผู้เรียนทุกคน เหมาะสมสำหรับครูที่จะนำไปจัดการเรียนการสอน
และสอนซ่อมเสริมไดอ้ ย่างดี

นายศิวะกลู วะชะโก
ตำแหนง่ ครู วิทยฐานะ -

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 2

ชดุ ท่ี 6 เรือ่ ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

คำแนะนำการใช้

คำแนะนำสำหรบั นกั เรยี น

1. นักเรยี นอา่ นจุดประสงคก์ ารเรยี นรกู้ อ่ นศกึ ษาชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์
2. นกั เรยี นศึกษาเนอ้ื หาสาระ ใบความรู้ ตัวอย่างให้ครบตามที่กำหนดไว้
3. หลงั จากศกึ ษาใบความรูแ้ ล้วนักเรียนทำบัตรกิจกรรมโดยใช้เวลาตามท่กี ำหนด
4. นักเรียนตรวจคำตอบจากเฉลยบัตรกจิ กรรมแล้วบันทกึ ผลคะแนน
5. นกั เรยี นต้องมีความซ่ือสัตย์ตอ่ ตนเองไม่ดูเฉลยกอ่ นทำบตั รกจิ กรรม

คำแนะนำสำหรบั ครู

ควรดำเนนิ กจิ กรรมการเรียนการสอนโดยใช้ชดุ กิจกรรม ควบคูก่ ับแผนการจัดการเรียนรู้

1. ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความนา่ จะเป็น ใชเ้ วลาจดั กิจกรรม 17 ช่ัวโมง
2. แจง้ ใหน้ กั เรียนอ่านจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ กอ่ นศึกษาจากชุดกิจกรรมการเรียนรู้

วิชาคณิตศาสตร์
3. แจง้ ใหน้ ักเรียนทำกิจกรรมด้วยความรอบคอบและรบั ผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย
4. ให้นักเรียนศกึ ษาเน้อื หาสาระ ใบความรู้ ตวั อย่างในชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์

ให้ครบตามท่ีกำหนดไว้ ครคู อยให้คำแนะนำและสรุปเน้ือหาสาระทสี่ ำคัญ
5. ใหน้ ักเรียนทำบัตรกิจกรรมหลงั เรยี น โดยใชเ้ วลาตามท่ีกำหนด
6. ให้นักเรียนตรวจคำตอบจากการทำบัตรกิจกรรมหลงั เรยี นในเฉลยทา้ ยชุดกิจกรรม

การเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์แลว้ บนั ทึกผลคะแนนบัตรกจิ กรรมทีไ่ ด้ไว้
7. ในกรณีทีน่ ักเรียนทำคะแนนจากบตั รกจิ กรรมหลังเรยี นได้ไมถ่ งึ รอ้ ยละ 80 ครผู สู้ อนให้

นกั เรียนยอ้ นกลับไปศกึ ษาเอกสารอีกคร้ัง แล้วทำขอ้ สอบใหไ้ ดค้ ะแนนตามเกณฑท์ ่ีกำหนด
8. นำคะแนนที่ได้จากการทำบัตรกจิ กรรมฯ และจากการทดสอบมาวเิ คราะห์และประเมนิ ผล

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 3

ชุดท่ี 6 เรอื่ ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

สารบัญ

เร่อื ง หน้า

คำนำ 1
คำแนะนำการใช้ 2
สารบัญ 3
มาตรฐานการเรยี นร/ู้ ตัวชวี้ ดั /จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 4
6.1 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 6
6
ใบความรู้ท่ี 6.1 ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ 15
บตั รกจิ กรรมที่ 6.1 ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ 18
6.2 ความนา่ จะเปน็ (วิธีเรยี งสบั เปลี่ยน, วิธจี ดั หมู่) 18
ใบความรู้ท่ี 6.2 ความน่าจะเปน็ (วิธีเรยี งสบั เปลี่ยน, วิธจี ัดหมู่) 23
บัตรกิจกรรมท่ี 6.2 ความน่าจะเปน็ (วิธเี รยี งสับเปล่ียน, วิธีจดั หมู่) 25
6.3 กฎบางประการของความนา่ จะเป็น 25
ใบความรู้ที่ 6.3 กฎบางประการของความน่าจะเป็น 34
บัตรกจิ กรรมที่ 6.3 กฎบางประการของความนา่ จะเป็น 36
แบบทดสอบระหวา่ งเรยี นชดุ ท่ี 6 ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ 40
เฉลยบตั รกจิ กรรมที่ 6.1 ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ 43
เฉลยบัตรกจิ กรรมท่ี 6.2 ความน่าจะเป็น (วธิ เี รียงสับเปล่ียน, วธิ ีจดั หมู่) 45
เฉลยบตั รกิจกรรมท่ี 6.3 กฎบางประการของความนา่ จะเป็น 48
เฉลยแบบทดสอบระหวา่ งเรียนชดุ ท่ี 6 ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ 49
บรรณานุกรม

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 4

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวช้ีวัด/จุดประสงค์การเรียนรู้

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 5 การวเิ คราะหข์ ้อมูลและความน่าจะเป็น
มาตรฐาน ค 5.2 ใชว้ ิธกี ารทางสถิตแิ ละความรู้เกี่ยวกับความนา่ จะเปน็ ในการคาดการณ์

ได้อยา่ งสมเหตุสมผล
มาตรฐาน ค 5.3 ใช้ความรเู้ กยี่ วกับสถติ ิและความน่าจะเปน็ ชว่ ยในการตดั สนิ ใจ

และแกป้ ญั หา
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การใหเ้ หตุผล การสื่อสาร

การสือ่ ความหมายทางคณิตศาสตรแ์ ละการนำเสนอ การเชอื่ มโยง
ความรูต้ า่ งๆ ทางคณิตศาสตรแ์ ละเชอ่ื มโยงคณิตศาสตรก์ บั ศาสตรอ์ น่ื ๆ
และมีความคดิ รเิ ริม่ สรา้ งสรรค์

ตัวช้ีวัด

ค 5.2 ม.4-6/2 อธิบายการทดลองสมุ่ เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ และนำผลท่ี
ได้ไปใช้คาดการณ์ในสถานการณ์ที่กำหนดให้

ค 5.3 ม.4-6/2 ใช้ความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเปน็ ชว่ ยในการตัดสนิ ใจและแก้ปญั หา
ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปญั หา การให้เหตผุ ล การสอ่ื สาร การสอ่ื ความหมาย

ทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรตู้ า่ งๆ ทางคณิตศาสตร์และ
เชอื่ มโยงคณิตศาสตรก์ บั ศาสตรอ์ นื่ ๆ และมคี วามคิดริเริม่ สร้างสรรค์

ชุดกิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 5

ชุดท่ี 6 เรอ่ื ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. นักเรียนสามารถบอกความหมายของความน่าจะเป็นของเหตุการณไ์ ด้
2. นักเรียนสามารถหาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ กี่ ำหนดใหไ้ ด้
3. นกั เรียนสามารถใช้วิธเี รยี งสับเปลีย่ นของสง่ิ ของ n สิ่งแบบเสน้ ตรง

เพื่อหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ได้
4. นกั เรยี นสามารถใช้วธิ เี รียงสับเปลยี่ นของสิ่งของ n สง่ิ แบบวงกลม

เพ่อื หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้
5. นกั เรียนสามารถใช้วิธีจัดหมูเ่ พอ่ื หาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ได้
6. นกั เรียนสามารถหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E1 หรือ E2 ซง่ึ เปน็

เหตกุ ารณ์ทเี่ กิดรว่ มกัน ( E1  E2   ) ได้
7. นกั เรยี นสามารถหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ E1 หรอื E2 ซึ่งเป็น

เหตุการณท์ ่ีไม่เกิดรว่ มกัน ( E1  E2 =  ) ได้
8. นกั เรียนสามารถใชก้ ฎบางประการของความนา่ จะเป็นเพื่อหาความนา่ จะเป็น

ของเหตกุ ารณ์ได้

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 6

ชุดท่ี 6 เร่ือง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

6.1 ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์
ใบความรู้ท่ี 6.1 ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์

ในชีวิตประจำวัน ทุกคนคงเคยไดย้ นิ และได้ใชค้ ำวา่ “ความน่าจะเปน็ ” “โอกาส” หรือคำทม่ี ี
ความหมายอยา่ งเดียวกับคำทก่ี ลา่ วข้างตน้ อยู่เสมอๆ เชน่ การโยนเหรียญ 1 ครง้ั

การโยนลูกเต๋า 1 ลกู 1 ครั้ง

แนวคิดของความน่าจะเป็น เป็นการวัดค่าที่เปน็ ตัวเลข สำหรับอธิบายความมีทีท่าว่าจะเกดิ ข้ึน
ของเหตุการณ์ (Event) ความน่าจะเป็นวัดอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 (หรือกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า 0 ถึง
100 เปอร์เซ็นต์) ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีค่าเข้าใกล้ 0 แสดงว่า เหตุการณ์นั้นมีทีท่าว่าจะ
ไม่เกิดสูง ถ้ามีค่าเข้าใกล้ 1 แสดงว่า เหตุการณ์มีทีท่าว่าจะเกิดสูง กล่าวคือ เหตุการณ์มีทีท่าว่าจะเกิด
หรือไม่เกิดมากน้อยเพยี งไรขนึ้ อย่กู ับวา่ ความน่าจะเป็นอย่ใู กล้ 1 หรอื 0

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 7

ชุดท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

ความหมายของความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์

ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณใ์ ด เท่ากับอตั ราสว่ นของจำนวนผลท่ีจะเกิดขึน้ ในเหตกุ ารณ์นน้ั
ต่อจำนวนผลท้งั หมดท่ีอาจเกิดขึน้ ได้

จำนวนผลท่จี ะเกดิ ขนึ้ ในเหตกุ ารณ์น้นั
หรือ ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ใด = จำนวนผลท้งั หมดทีอ่ าจเกดิ ข้ึนได้

เมือ่ ผลทง้ั หมดท่อี าจจะเกิดขน้ึ จากการทดลองสุ่ม แต่ละตวั มีโอกาสเกิดขนึ้ ได้เท่าๆ กัน

กำหนดให้ E เปน็ เหตุการณ์ท่เี ราสนใจ

P(E) เป็นความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์นน้ั

n(S) เปน็ จำนวนสมาชิกทงั้ หมดทเ่ี กดิ ขน้ึ ได้จากการทดลองส่มุ

n(E) เปน็ จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

ดังนั้น P(E) = n(E)
n(S)

ตวั อย่างท่ี 1 ขวดแกว้ ใบหนึ่ง มลี ูกแกว้ อยู่ 10 ลกู เป็นลกู แกว้ สีขาว 7 ลูก ที่เหลอื เปน็ ลกู แก้วสีดำ
เม่ือสุ่มหยิบลกู แกว้ ข้ึนมา 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีขาวเป็นเทา่ ไร
และความน่าจะเป็นทจ่ี ะหยิบได้ลูกแกว้ สดี ำเปน็ เท่าไร

วิธที ำ ในขวดแกว้ มีลูกแก้วสดี ำ 10 – 7 = 3 ลกู

ดงั นน้ั ความน่าจะเปน็ ทีจ่ ะหยบิ ได้ลกู แก้วสีขาว 7
10

และ ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกแกว้ สีดำ 3
10

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 8

ชุดท่ี 6 เรอื่ ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงบอกผลทงั้ หมดท่ีจะเกิดขึน้ จากการทอดลูกเตา๋ 2 ลูกพรอ้ มกนั 1 ครงั้ และ
จงหาความนา่ จะเป็นทีจ่ ะไดผ้ ลบวกของแต้มบนลกู เต๋าทั้งสองเท่ากับ 11

วธิ ีทำ ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ผลทง้ั หมดท่ีจะเกิดข้นึ คอื ขน้ึ แต้ม 1, 2, 3, 4, 5, 6
ดงั รูป

ถา้ ทอดลูกเต๋า 2 ลกู พรอ้ มกัน ผลท้งั หมดที่เกิดขน้ึ สามารถแสดงไดด้ ว้ ยตารางตอ่ ไปนี้

ลกู เตา๋ ลูกที่ 2

123 4 5 6

ลูกเตา๋ ลกู ที่ 1

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

ในตาราง สมาชกิ ตวั หนา้ หมายถึง แต้มของลกู เต๋าลกู ที่ 1 และสมาชิกตวั หลังคือ

แต้มของลูกเตา๋ ลกู ที่ 2

จะเห็นวา่ จำนวนผลทง้ั หมดท่เี กดิ ขน้ึ เทา่ กับ 36

ผลบวกของแตม้ ทงั้ สองเทา่ กับ 11 เมอื่ ลูกเตา๋ ลูกที่ 1 และลกู ที่ 2 ขึน้ หนา้ ตามค่อู นั ดบั

(5, 6) และ (6, 5) ตามลำดบั

ดังนนั้ ความน่าจะเป็นทจ่ี ะได้ผลบวกของแต้มบนลกู เต๋าทั้งสองเท่ากบั 11 คือ

2 = 1
36 18

หมายเหตุ ในการทอดลกู เต๋าสองลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จะเกดิ ผลทัง้ หมดเหมอื นกับ
การทอดลกู เตา๋ หนงึ่ ลกู 2 คร้ัง

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 9

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

ตวั อย่างที่ 3 ในขวดโหลทึบใบหนึง่ มีลกู ปิงปองสีสม้ 3 ลูก และลูกปงิ ปองสีแดง 2 ลกู ถ้าหยิบ
ลูกปิงปอง 2 ลกู โดยหยิบทีละลกู เมอ่ื หยบิ ลูกแรกแล้วใส่คนื กอ่ นท่ีจะหยบิ ลูกท่ีสอง
จงหาผลทเ่ี กดิ ขึ้นท้ังหมด และความน่าจะเป็นท่จี ะหยบิ ไดล้ ูกปงิ ปองทแ่ี ต่ละลกู มีสี
เดียวกนั และเป็นลกู เดยี วกนั

วิธที ำ กำหนดให้
ส1 ส2 ส3 แทนลกู ปิงปองสสี ม้ ลกู ท่ี 1 ลกู ท่ี 2 และลกู ท่ี 3 ตามลำดบั
ด1 ด2 แทนลกู ปงิ ปองสแี ดงลกู ที่ 1 และลูกที่ 2 ตามลำดับ

ดังนน้ั จำนวนผลที่เกดิ ขึ้นทั้งหมดเท่ากับ 25

จำนวนผลทไ่ี ดล้ ูกปงิ ปองแต่ละลกู มสี เี ดียวกันและเป็นลกู เดียวกันเท่ากับ 5

ดงั น้นั ความนา่ จะเป็นทจี่ ะหยิบไดล้ ูกปิงปองที่แต่ละลูกมีสีเดียวกันและเป็นลกู เดียวกัน

เท่ากบั 5 = 1
25 5

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 10

ชดุ ท่ี 6 เรอื่ ง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

ตัวอยา่ งท่ี 4 ในการหยบิ ไพ่ 1 ใบ ออกจากไพ่สำรบั หนง่ึ จำนวนผลทั้งหมดที่จะเกิดขนึ้ เปน็
เท่าไร จงหาความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะไดไ้ พ่หมายเลข 4 โพแดง หรือไพ่หมายเลข 7
ขา้ วหลามตัด

วิธที ำ ไพ่ 1 สำรับ มี 52 ใบ ซึง่ แบง่ เป็น 4 ชุด ชุดละ 13 ใบ ดงั นี้

ผลท้งั หมด คือ A โพดำ, 2 โพดำ, 3 โพดำ, ... , K โพดำ
A โพแดง, 2 โพแดง, 3 โพแดง, ... , K โพแดง
A ขา้ วหลามตดั , 2 ขา้ วหลามตัด, 3 ขา้ วหลามตัด, ... , K ข้าวหลามตดั
A ดอกจิก, 2 ดอกจกิ , 3 ดอกจิก, ... , K ดอกจิก

จำนวนผลท้ังหมดท่ีเกดิ ขนึ้ เท่ากับ 52

จำนวนที่จะหยบิ ไพ่ 1 ใบ ได้ไพห่ มายเลข 4 โพแดง หรอื ไพ่หมายเลข 7 ข้าวหลามตดั

เทา่ กบั 2

ดงั น้ัน ความน่าจะเป็นท่จี ะหยบิ ได้ไพ่หมายเลข 4 โพแดง หรือไพห่ มายเลข 7

ขา้ วหลามตดั เท่ากับ 2 = 1
52 26

ตัวอยา่ งท่ี 5 ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 11

ชดุ ท่ี 6 เรื่อง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

จากการทอดลูกเต๋า 2 ลกู พร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ตอ่ ไปนี้
1) ลูกเต๋าหงายแตม้ เปน็ จำนวนค่ทู ั้งสองลูก
2) ผลรวมของแตม้ บนหนา้ ของลกู เตา๋ ทัง้ สองมากกว่า 10
3) ผลรวมของแต้มบนหน้าของลกู เต๋าท้ังสองเปน็ 15
4) ผลรวมของแต้มบนหนา้ ของลูกเต๋าทั้งสองมากกวา่ 1

วธิ ที ำ ในการทอดลูกเตา๋ 2 ลกู พร้อมกันผลลัพธท์ ่ีเกิดขึน้ ทั้งหมด ดงั นี้

ในการทอดลกู เต๋า 2 ลูกพร้อมกันผลลัพธ์ที่เกิดข้ึนทงั้ หมดเป็นดงั ตาราง

จำนวนผลลัพธ์ทัง้ หมดท่ีเกดิ ขน้ึ เทา่ กับ 36

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 12

ชุดท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

1) เหตุการณ์ที่ลกู เต๋าหงายแต้มเป็นจำนวนคู่ทัง้ สองลูก ไดแ้ ก่ (2, 2), (2, 4) (2, 6),

(4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)

จำนวนเหตุการณ์ที่สนใจทง้ั หมดเทา่ กับ 9

ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ที่ลูกเต๋าหงายแตม้ เป็นจำนวนคู่ทั้งสองลูก เท่ากบั 9 = 1
36 4

2) ผลรวมของแต้มมากกว่า 10 ไดแ้ ก่ (5, 6), (6, 5), (6, 6) 3 = 1
จำนวนเหตกุ ารณท์ ี่สนใจท้ังหมดเท่ากับ 3 36 12

ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ทีผ่ ลรวมของแต้มมากกวา่ 10 เทา่ กบั

3) ผลรวมของแตม้ เท่ากับ 15 ไมม่ ี เพราะผลรวมของแตม้ สูงสุดเท่ากบั 12

จึงไมม่ จี ำนวนเหตุการณ์ทผี่ ลรวมของแตม้ เท่ากบั 15 หรอื จำนวนเหตุการณ์นน้ั

เทา่ กบั 0

ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ท่ผี ลรวมของแตม้ เท่ากับ 15 คือ 0 =0
36

4) ผลรวมของแตม้ มากกว่า 1 ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),

(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5),

(5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

จำนวนเหตกุ ารณท์ ี่สนใจทง้ั หมดเท่ากับ 36

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ผี ลรวมของแต้มมากกวา่ 1 เทา่ กบั 36 =1
36

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 13

ชุดท่ี 6 เรอ่ื ง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

ตวั อย่างท่ี 6 ในถงุ ใบหน่งึ มีลกู บอลขนาดเดยี วกนั แตส่ ตี ่างกันดงั น้ี ลกู บอลสีเขียว 2 ลูก ลกู บอล
สีม่วง 2 ลกู และลกู บอลสฟี า้ 1 ลูก ถ้าเขย่าถุงแลว้ หลบั ตาหยบิ ลูกบอล 2 ลูก
จงหาความนา่ จะเปน็ ท่จี ะได้ลูกบอลสีฟา้ และลกู บอลสีม่วงอยา่ งละลกู เม่ือ
1) หยบิ ทลี ะลูก หยิบแล้วไม่ใสค่ นื
2) หยบิ ทลี ะลกู เมื่อหยบิ ลกู แรกแล้วใสค่ ืนก่อนทจ่ี ะหยิบลกู ที่สอง
3) หยิบสองลกู พรอ้ มกัน

วธิ ีทำ ให้ ข1 ข2 แทน ลูกบอลสีเขยี วลกู ท่ี 1 และลูกที่ 2 ตามลำดับ
ม1 ม2 แทน ลูกบอลสมี ่วงลกู ท่ี 1 และลกู ท่ี 2 ตามลำดับ
ฟ แทน ลูกบอลสีฟ้า

เหตกุ ารณ์ท่ีจะได้ลูกบอลสฟี ้าและสมี ่วง ไดแ้ ก่ (ม1, ฟ), (ม2, ฟ), (ฟ, ม1), (ฟ, ม2)
จำนวนเหตกุ ารณท์ ่ีสนใจทง้ั หมดเท่ากับ 4

1) หยิบทีละลูก หยบิ แล้วไมใ่ ส่คนื ลูกบอลทั้งสองลกู จะไมซ่ ำ้ กนั

จากตารางจำนวนผลท่ีเกดิ ขึ้นทัง้ หมดเท่ากับ 20

ความนา่ จะเปน็ ท่จี ะได้ลกู บอลสฟี า้ และลูกบอลสีม่วงเทา่ กับ 4 = 1
20 5

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 14

ชุดท่ี 6 เร่ือง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

2) หยบิ ทีละลูก หยิบแล้วใส่คนื ลูกบอลทหี่ ยิบคร้งั ที่ 2 อาจจะเป็นลกู เดยี วกบั ลูกบอลที่

หยิบได้ครัง้ ท่ี 1

จากตารางจำนวนผลท่เี กดิ ขน้ึ ทัง้ หมดเทา่ กับ 25

ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะไดล้ กู บอลสีฟา้ และลูกบอลสมี ่วงเทา่ กับ 4
25

3) หยิบสองลูกพร้อมกัน ลกู บอลทั้งสองจะไมซ่ ำ้ กัน และ (ม1, ฟ) ถือเปน็ กรณีเดยี วกัน
กับ (ฟ, ม1)

จากตารางจำนวนผลท่ีเกิดขึ้นท้งั หมดเท่ากับ 10

ความน่าจะเป็นทจ่ี ะหยบิ ไดล้ กู บอลสฟี า้ และลูกบอลสีมว่ งเท่ากับ

2 = 1
10 5

สมบตั ิทสี่ ำคัญของความนา่ จะเป็น
1. ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ E ใดๆ จะมคี า่ ตั้งแต่ 0 ถึง 1 เสมอ

นน่ั คอื 0  P(E)  1
2. ความนา่ จะเป็นของแซมเปลิ สเปซ S มีคา่ เทา่ กับ 1

นัน่ คือ P(S) = 1
3. ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทีเ่ ป็นเซตว่างมคี ่าเท่ากับ 0

นนั่ คอื P() = 0

บัตรกิจกรรมท่ี 6.1 ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 15

ชุดท่ี 6 เรอื่ ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์

ใหน้ กั เรยี นหาความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. ถ้าสมุ่ ครอบครัวทมี่ ีบุตรสองคนมาครอบครวั หน่ึง จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์
ทค่ี รอบครัวนน้ั (5 คะแนน ; ขอ้ ละ 1 คะแนน)

(1) มีบุตรคนแรกเปน็ ชาย บุตรคนที่สองเป็นหญิง
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
......................................................................................................................................

(2) มบี ตุ รเป็นชายอยา่ งนอ้ ย 1 คน
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
......................................................................................................................................

(3) ไมม่ บี ตุ รชายเลย
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
......................................................................................................................................

(4) มีบุตรชาย 1 คน บตุ รหญงิ 1 คน
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
......................................................................................................................................

(5) มบี ุตรหญิง 3 คน
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
......................................................................................................................................

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 16

ชดุ ท่ี 6 เรอื่ ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

2. ในการทอดลกู เตา๋ สองลกู ลกู เต๋าลูกแรกปรากฏผลได้ 6 วิธี และลกู เต๋าลูกทสี่ องปรากฏผล

ไดอ้ ีก 6 วธิ ี ดังน้นั จำนวนวิธีทจี่ ะไดผ้ ลรวมของแตม้ จะเทา่ กับ 6  6 = 36

ดงั แสดงในตารางต่อไปนี้ (2 คะแนน ; ขอ้ ละ 1 คะแนน)

แตม้ ลูกที่ 1 1 2 3 4 5 6
แตม้ ลูกท่ี 2

1 234567

2 345678

3 456789

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

ใหห้ าความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ี่

(1) ผลบวกของแต้มมากกวา่ หรอื เท่ากบั 10

..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

(2) ผลบวกของแต้มหารด้วย 3 ลงตวั

..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 17

ชดุ ท่ี 6 เรื่อง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

3. โยนลกู เต๋า 1 ลูก 1 ครง้ั จงหาความน่าจะเป็น (3 คะแนน ; ข้อละ 1 คะแนน)
3.1 ท่ลี ูกเตา๋ หงายแต้มเปน็ จำนวนท่ี 3 หารลงตัว
3.2 ทล่ี กู เต๋าหงายแตม้ มากกว่า 2
3.3 ทลี่ กู เตา๋ หงายแตม้ เป็นจำนวนเฉพาะ
โยนลกู เตา๋ 1 ลกู 1 ครัง้ จะได้แซมเปลิ สเปซ ดังน้ี
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(S) = 6

3.1 ให้ E1 แทน เหตกุ ารณ์ทลี่ ูกเต๋าหงายแตม้ เป็นจำนวนที่ 3 หารลงตัว
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

3.2 ให้ E2 แทน เหตกุ ารณ์ท่ลี ูกเตา๋ หงายแต้มมากกว่า 2
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

3.3 ให้ E3 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีลูกเต๋าหงายแต้มเป็นจำนวนเฉพาะ
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 18

ชุดท่ี 6 เร่ือง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

6.2 ความนา่ จะเปน็ (วธิ เี รยี งสบั เปลี่ยน, วิธีจัดหมู่)

ใบความรู้ที่ 6.2 ความนา่ จะเป็น (วิธเี รยี งสบั เปล่ียน, วธิ ีจดั หมู่)

วธิ ีเรยี งสบั เปลย่ี นของ n ส่งิ ในแนวเสน้ ตรง

จำนวนวิธีเรยี งสบั เปลย่ี นของ n ส่งิ แตกตา่ งกันทัง้ หมดนำมาจัดเรียงอนั ดบั คราวละ n สง่ิ = n!

จำนวนวิธีเรียงสบั เปลยี่ นของ n สิง่ ที่แตกต่างกนั มาจัดคราวละ r สิ่ง (1≤ r ≤ n) Pn,r = n!
(n −r)!

วธิ ีเรยี งสบั เปลี่ยนสงิ่ ของ n สิ่ง ท่ีไม่แตกตา่ งกันท้ังหมด (มบี างส่ิงซำ้ กนั )

เทา่ กับ n! วิธี
n1!n2!n3!...nk !

วิธีเรยี งสับเปลย่ี นของ n สิง่ แบบวงกลม

จำนวนวิธีเรียงสบั เปลย่ี นส่งิ ของทีแ่ ตกต่างกนั n ส่ิงแบบวงกลม เทา่ กบั (n – 1)! วิธี

จำนวนวธิ เี รียงสบั เปลย่ี นสิ่งของท่ีแตกตา่ งกนั แบบวงกลมใน 3 มติ เิ ท่ากับ (n -1)! วิธี
2

วิธีจัดหมู่ (Combination) คือการนำส่งิ ของจำนวนหนง่ึ จากสง่ิ ของที่มอี ยูม่ าจัดเรียง

โดยไม่ถอื ตำแหน่งหรือลำดบั ของส่งิ ของ (ไมค่ ำนึงว่าจะไดส้ ่ิงของใดมากอ่ นหรือหลัง)

จำนวนวธิ จี ดั หมขู่ องส่งิ ของ n สงิ่ ท่แี ตกต่างกนั คราวละ r สง่ิ (0  r  n)

จำนวนวธิ จี ดั หมูเ่ ท่ากับ n! เขียนแทนดว้ ย Cn,r หรอื  n 
(n − r)!r!  r 

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 19

ชุดท่ี 6 เร่อื ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์

ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ใด เทา่ กบั อัตราสว่ นของจำนวนผลท่ีจะเกิดเหตุการณ์น้นั

ต่อจำนวนผลท้งั หมดที่อาจเกิดข้ึนได้

เม่อื ผลท้งั หมดท่อี าจจะเกิดขึ้นจากการทดลองส่มุ แตล่ ะตวั มโี อกาสเกิดข้ึนไดเ้ ท่าๆ กนั

กำหนดให้ E เปน็ เหตกุ ารณ์ทเ่ี ราสนใจ

P(E) เป็นความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณน์ ้นั

n(S) เปน็ จำนวนสมาชิกท้งั หมดท่ีเกดิ ขึน้ ไดจ้ ากการทดลองสุ่ม

n(E) เป็นจำนวนสมาชกิ ของเหตุการณท์ ีเ่ ราสนใจ

ดงั น้ัน P(E) = n(E)
n(S)

ตวั อยา่ งท่ี 1 กลอ่ งใบหนงึ่ มีลกู แก้วขนาดเดียวกัน 5 ลกู เปน็ สขี าว 2 ลูก และสีแดง 3 ลูก
สุ่มหยบิ ลกู แกว้ มา 2 ลกู จงหาความนา่ จะเปน็ ท่จี ะได้ลกู แก้วสีขาว 1 ลกู
และสแี ดง 1 ลกู

วธิ ีทำ วิธีทจ่ี ะหยบิ ลกู แกว้ 2 ลกู มที ั้งหมด  5  วธิ ี
2

ให้ E เปน็ เหตุการณท์ ่ีจะหยบิ ได้ลกู แกว้ สขี าว 1 ลกู และสแี ดง 1 ลกู

วธิ ีทจ่ี ะหยิบได้ลูกแก้วสขี าว 1 ลกู และสีแดง 1 ลกู มี 12 13 วิธี

ดงั น้นั P(E) = 12 13 = 6 = 3
10 5
 5 
2

น่นั คือ ความนา่ จะเป็นทจี่ ะหยบิ ได้ลูกแกว้ สีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลกู เทา่ กับ 3
5

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 20

ชดุ ท่ี 6 เรือ่ ง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

ตวั อย่างท่ี 2 สมุ่ หยิบไพ่ 4 ใบ จากไพส่ ำรับหนง่ึ ซ่ึงมี 52 ใบ จงหาความนา่ จะเป็น
ของเหตุการณ์ทจ่ี ะ ได้ไพด่ อกเดียวกนั ทงั้ 4 ใบ

2,860 = 44
270,725 4,165

44
4,165

ตวั อยา่ งท่ี 3 ต้องการนำตัวอกั ษรในคำว่า background มาเรยี งเป็นคำทมี่ ี 5 ตัวอักษร
โดยไม่คำนึงถึงความหมาย จงหาความน่าจะเปน็ ที่จะจดั ตัวอกั ษรใหต้ ัวสุดท้าย
เปน็ สระเสมอ

เลือกใสส่ ระได้ 3 ตัว
คอื a, o , u

9,072
3,628,800

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 21

ชุดท่ี 6 เรือ่ ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

ตัวอยา่ งท่ี 4 ขวดโหลใบหน่งึ มลี ูกแกว้ สีขาว 5 ลูก สดี ำ 4 ลูก และสีเขียว 3 ลูก
ถ้าหยบิ ลกู แกว้ 3 ลูก จากโหลใบนอ้ี ย่างส่มุ จงหา
1. ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะหยบิ ได้ลกู แกว้ ทง้ั สามสี
2. ความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะหยิบไดล้ กู แก้วสเี ขียว 1 ลูก

1. ความน่าจะเป็นทจ่ี ะหยิบได้ลูกแกว้ ทัง้ สามสี

2. ความน่าจะเป็นทจ่ี ะหยิบไดล้ กู แก้วสเี ขียว 1 ลกู

ความนา่ จะเป็นที่จะหยบิ ไดล้ กู แก้วสเี ขยี ว 1 ลูกเท่ากบั 27
55

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ 22

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

ตวั อย่างท่ี 5 ขวดโหลใบทห่ี น่ึงมีลกู ปงิ ปองสีขาว 4 ลกู และสเี หลอื ง 3 ลูก ขวดโหลใบที่สอง
มีลกู ปงิ ปองสีขาว 2 ลูก และสเี หลอื ง 1 ลกู สุ่มหยบิ ลูกปงิ ปองโหลละ 1 ลูก
ความน่าจะเปน็ ท่จี ะหยิบไดล้ ูกปงิ ปองสีขาวทงั้ สองลูก เปน็ เทา่ ไร

ดงั นน้ั ความนา่ จะเปน็ ที่จะหยบิ ได้ลกู ปงิ ปองสีขาวทง้ั สองลูก เท่ากับ 8
21

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 23

ชุดท่ี 6 เรอ่ื ง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

บัตรกิจกรรมท่ี 6.2 ความนา่ จะเป็น (วิธเี รียงสบั เปลีย่ น, วธิ ีจัดหมู่)

ให้นกั เรียนหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ตอ่ ไปนี้

1. มีขอ้ สอบปรนัย 20 ข้อ คะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยกำหนดขอ้ 1 – 10 ขอ้ ละ 4 คะแนน
และขอ้ 11 – 20 ขอ้ ละ 1 คะแนน ถ้าหากนกั เรยี นตอบขอ้ ใดถูกต้อง จะไดค้ ะแนนเตม็ ของ
ขอ้ น้ัน แตถ่ ้าตอบผิดหรือไม่ตอบ จะไดค้ ะแนน 0 คะแนน จงหาจำนวนวธิ ีทน่ี ักเรยี น
คนหน่ึงจะทำขอ้ สอบชุดนี้ไดค้ ะแนนรวม 45 คะแนน (3 คะแนน)

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

2. ข้าวสารบรรจถุ งุ แลว้ กองหนึง่ ประกอบดว้ ย ข้าวหอมมะลิ 4 ถงุ ขา้ วเสาไห้ 3 ถุง
ข้าวขาวตาแห้ง 2 ถุง และขา้ วบาสมาติ 1 ถุง สมุ่ หยบิ ข้าวจากกองน้ีมา 4 ถงุ
ความน่าจะเปน็ ที่จะได้ขา้ วครบทุกชนิดเท่ากบั เท่าใด (2 คะแนน)
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 24

ชดุ ท่ี 6 เรื่อง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

3. กิตติและสมาน กบั เพ่ือนๆ รวม 7 คน ไปเทย่ี วต่างจงั หวดั ดว้ ยกัน ในการคา้ งแรม
ทม่ี ีบา้ นพัก 3 หลัง หลังแรกพักได้ 3 คน ส่วนหลังที่สองและหลังที่สามพักได้หลงั ละ 2 คน
ซึง่ แตล่ ะหลังมคี วามแตกตา่ งกนั พวกเขาจึงตกลงทีจ่ ะจบั สลากวา่ ใครจะได้พักท่ีบ้านหลงั ใด
ความนา่ จะเป็นท่กี ิตติและสมานจะไดพ้ ักบา้ นหลังเดียวกนั ในหลังที่หนึง่ หรือหลังทสี่ าม
เท่ากับเท่าใด (2 คะแนน)
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4. โยนเหรียญบาท (เทีย่ งตรง) หนงึ่ เหรียญ จำนวน 10 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็น
ท่ไี ด้หวั อยา่ งน้อย 2 ครั้งตดิ กนั (3 คะแนน)

วิธที ี่ได้ = วิธโี ยนอสิ ระ – วธิ ีโยนท่หี ัวไม่ติดกนั เลย
พจิ ารณาวิธโี ยนอิสระ คือ 210 = 1,024 วิธี
พิจารณาวธิ ีโยนท่ีหวั ไมต่ ดิ กนั เลย
กรณี 1 หัว 0 เหรียญ ได้ ..........................................................................................................
กรณี 2 หวั 1 เหรียญ ได้ ..........................................................................................................
กรณี 3 หวั 2 เหรยี ญ ได้ ..........................................................................................................

..........................................................................................................
กรณี 4 หัว 3 เหรียญ ได้ ..........................................................................................................

..........................................................................................................
กรณี 5 หวั 4 เหรยี ญ ได้ ..........................................................................................................

..........................................................................................................
กรณี 6 หวั 5 เหรียญ ได้ ..........................................................................................................

..........................................................................................................
ดงั นั้น ความนา่ จะเป็นท่ีได้หัวอยา่ งน้อย 2 คร้ังติดกนั คอื

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 25

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

6.3 กฎบางประการของความน่าจะเป็น

ใบความรู้ที่ 6.3 กฎบางประการของความน่าจะเปน็

กฎท่ีสำคัญบางประการของความน่าจะเปน็

กฎขอ้ ท่ี 1 ถ้า E1 และ E 2 เป็นเหตกุ ารณ์ใดๆ ทเ่ี ป็นสบั เซตของแซมเปลิ สเปซ S แลว้
P( E1  E 2 ) = P( E1 ) + P( E 2 ) – P( E1  E 2 )

กฎข้อท่ี 2 ถ้า E1 และ E 2 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกนั แลว้
P( E1  E 2 ) = P( E1 ) + P( E 2 )

กฎขอ้ ท่ี 3 ถ้า E เปน็ เหตุการณ์ใดๆ ทเ่ี ปน็ สับเซตของแซมเปิลสเปซ S แล้ว
P( E) = 1 – P( E )

กฎข้อท่ี 4 ถา้ E1 และ E 2 เป็นเหตุการณใ์ ดๆ ในแซมเปิลสเปซ S แล้ว
P( E1 – E 2 ) = P( E1 ) – P( E1  E 2 )

กฎขอ้ ที่ 5 ถ้า E1 , E 2 และ E 3 เป็นเหตกุ ารณ์ใดๆ ในแซมเปลิ สเปซ S แลว้
P( E1  E 2  E 3 ) = P( E1 ) + P( E 2 ) + P( E 3 ) – P( E1  E 2 )

– P( E 2  E 3 ) – P( E1  E 3 ) + P( E1  E 2  E 3 )

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ 26

ชุดท่ี 6 เรอื่ ง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ E1 หรือ E2 เมื่อ E1  E2 = 
P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) เม่ือ E1  E2 = 

พจิ ารณา การโยนลูกเต๋าสองลกู 1 ครงั้
ถ้าให้ E1 แทน เหตุการณท์ ี่ผลรวมของแตม้ บนหน้าลกู เต๋าที่หงายเท่ากบั 5

 E1 = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2)}
และ E2 แทน เหตกุ ารณท์ ่ีผลรวมของแต้มบนหนา้ ลูกเตา๋ ทหี่ งายเท่ากับ 10

 E2 = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

E1  E2 = {(1, 4), (2, 3), (4, 1), (3, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)}
ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ท่ีผลรวมของแตม้ บนลกู เต๋าทีห่ งายเทา่ กบั 5 หรอื 10

 P( E1  E2 ) = 7
=
= 36
= 4 +3

36
4+3
36 36

P( E1 ) + P( E2 )

ถา้ E1 และ E2 เป็นเหตกุ ารณ์สองเหตกุ ารณ์ท่ไี ม่เกดิ รว่ มกัน ( E1  E2 =  )
แลว้ P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 )

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} , E1 = {3, 9, 15}
และ E2 = {5, 7, 11, 13} จงหา P( E1  E2 )

วธิ ีทำ จาก S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

E1 = {3, 9, 15} , P( E1 ) = 3
8

E2 = {5, 7, 11, 13} , P(E2) = 4
8

 P( E1  E2 ) = P(E1) + P(E2)

= 3+4
88

=7
8

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 27

ชดุ ท่ี 6 เร่ือง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E1 หรอื E2 เมอื่ E1  E2  
P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) – P( E1  E2 ) เมอื่ E1  E2  

พิจารณา การโยนลูกเตา๋ 1 ลกู 1 คร้งั
ถา้ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณ์ที่ลูกเตา๋ ขึ้นแต้มคู่

 E1 = {2, 4 ,6}
และ E2 แทน เหตกุ ารณท์ ี่ลูกเตา๋ ขน้ึ แตม้ เปน็ จำนวนเฉพาะ

 E2 = {2, 3, 5}

จะได้ E1  E2 = {2, 3, 4, 5, 6}
ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าข้ึนแต้มคู่หรือจำนวนเฉพาะ

 P( E1  E2 ) = 5
= 6
= 3 +3-1
=
6
3+3-1
6 66

P( E1 ) + P( E2 ) – P( E1  E2 )

ถา้ E1 และ E2 เปน็ เหตุการณ์สองเหตกุ ารณ์ โดยที่ E1  E2  
แลว้ P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) – P( E1  E2 )

ตวั อย่างท่ี 2 โยนลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครง้ั ถา้ E1 เป็นเหตุการณท์ ีล่ ูกเต๋าหงายแตม้ รวมเป็น 5
และ E2 เปน็ เหตกุ ารณ์ท่ีลกู เต๋าลกู ใดลูกหน่ึงหงายแต้ม 3 จงหา
ความนา่ จะเปน็ ที่ผลรวมของแต้มเป็น 5 หรือลูกเตา๋ ลกู ใดลกู หน่ึงหงายแต้ม 3

วิธีทำ E1 แทน เหตกุ ารณ์ทีล่ กู เตา๋ หงายแตม้ รวมเปน็ 5

 E1 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
E2 แทน เหตุการณ์ที่ลกู เต๋าลูกใดลูกหนง่ึ หงายแต้ม 3

 E2 = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 3),
(6, 3)}

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 28

ชุดท่ี 6 เรอื่ ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

P( E1 ) = n(E1) , n( E1 ) = 4 , n( S ) = 36
=
n(S)
4
36

P( E2 ) = n(E2) , n( E2 ) = 11

n(S)

= 11
36

E1  E2 = {(2, 3), (3, 2)} , n( E1  E2 ) = 2

P( E1  E2 ) = 2
36

จาก P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) – P( E1  E2 )

= 4 + 11 - 2
36 36 36

= 13
36

คอมพลเี มนตข์ องเหตุการณ์ E หาไดจ้ าก P(E) = 1 – P(E) หรอื P(E) + P(E) = 1

พิจารณา S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
E = {3, 9}

P(E) = 2
7

ถา้ ให้ E เปน็ คอมพลเี มนตข์ องเหตุการณ์ E

E = {1, 5, 7, 11, 13}

 P(E) = 5
7
= 7-2
77
= 1- 2
7
= 1 – P(E)

E เปน็ คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S
แลว้ P(E) = 1 – P(E) หรือ P(E) + P(E) = 1

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 29

ชดุ ท่ี 6 เร่อื ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

ตวั อย่างที่ 3 กำหนด S = {a, b, c, d, e, f} และ E = {a, d, f} จงหา P(E)

วิธีทำ จาก S = {a, b, c, d, e, f}
E = {a, d, f}

P(E) = 3
6
=1
2

จาก P(E) = 1 – P(E)
P(E) = 1 – 1

2

=1
2

ตวั อยา่ งที่ 4 ทอดลกู เตา๋ 1 ลกู 1 ครงั้ และให้ E แทนเหตุการณท์ ีล่ กู เตา๋ หงายแต้มเป็น
จำนวนคู่ จงหา P(E)

วิธีทำ  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E เป็นเหตกุ ารณ์ท่ลี กู เตา๋ หงายแต้มเปน็ จำนวนคู่

 E = {2, 4, 6}
P(E) = 3

6

=1
2

จาก P(E) = 1 – P(E)
P(E) = 1 – 1

2

=1
2

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 30

ชดุ ท่ี 6 เร่ือง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

ตัวอยา่ งท่ี 5 โยนลกู เตา๋ 2 ลกู 1 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็น
1. ที่ผลรวมของแต้มเปน็ 7 และลูกเตา๋ ลกู ใดลูกหนง่ึ หงายแตม้ 4
2. ที่ผลรวมของแตม้ เป็น 7 และผลรวมของแต้มเปน็ 11

วิธีทำ 1. ให้ E1 แทน เหตุการณ์ที่ผลรวมของแตม้ บนหน้าลกู เตา๋ ท่หี งายเท่ากับ 7

 E1 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
และให้ E2 แทน เหตกุ ารณท์ ี่ลูกเตา๋ ลกู ใดลกู หน่ึงหงายแต้ม 4

E2 = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (4, 1), (4, 2),
(4 ,3)}

 E1  E2 = {(4, 3), (3, 4)}

จาก P( E1  E2 ) = n(E1  E2)

n(S)

=2
36

=1
18

 ความน่าจะเปน็ ทีผ่ ลรวมของแตม้ เปน็ 7 และลกู เต๋าลกู ใดลกู หนึ่งหงายแต้ม 4

มีคา่ เท่ากับ 1
18
2. ถ้าให้ E3 แทน เหตุการณท์ ีผ่ ลรวมของแตม้ เปน็ 11

 E3 = {(6, 5), (5, 6)}

 E1  E3 =  , n( E1  E3 ) = 0

P( E1  E3 ) = n(E1  E3 )
n(S)

=0
36

=0

 ความนา่ จะเป็นท่ีผลรวมของแต้มเปน็ 7 และผลรวมของแต้มเปน็ 11 มีค่าเท่ากบั 0

สรุป ถา้ E1 และ E2 เปน็ เหตกุ ารณ์สองเหตกุ ารณท์ ่ไี มเ่ กดิ ร่วมกนั แลว้
P( E1  E2 ) = 0

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 31

ชดุ ท่ี 6 เร่ือง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทเี่ ปน็ อิสระต่อกัน

ในการทอดลกู เต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง

ถา้ E1 แทน เหตกุ ารณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกออกแตม้ 1
E2 แทน เหตุการณ์ที่ลกู เต๋าลูกท่ีสองออกแต้ม 1

 E1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}

 P(E1) = 6 =1
36 6

และ E2 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)}

 P(E2) = 6 =1
36 6

E1  E2 = {(1, 1)}

P( E1  E2 ) = 1
36

จะเห็นวา่ P( E1  E2 ) = P( E1 )  P( E2 ) = 1 และการเกิดเหตุการณ์
36

E1 ไม่มีผลต่อการเกิดเหตกุ ารณ์ E2 เราเรียกเหตุการณเ์ ชน่ น้วี า่ เป็นเหตกุ ารณ์ทเ่ี ป็นอิสระต่อกัน

บทนิยาม เหตกุ ารณ์ E1 และเหตุการณ์ E2 เปน็ อิสระต่อกนั เม่ือ
ตัวอยา่ งที่ 6 P( E1  E2 ) = P(E1)  P(E2)

โยนเหรียญ 2 เหรยี ญ 1 ครั้ง ให้ A แทน เหตุการณ์ที่เหรียญแรกออกหัว
และ B แทนเหตุการณ์ท่ีเหรียญที่สองออกหัว จงหา P( A  B )

วิธที ำ S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
 A = {(H, H), (H, T)}
P(A) = 2 = 1

42

B = {(H, H), (T, H)}
 P(B) = 2 = 1

42

แตเ่ หตุการณ์ A และ B เปน็ อสิ ระตอ่ กนั
 P( A  B ) = P(A)  P(B)

= 11
22

=1
4

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 32

ชุดท่ี 6 เรอื่ ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

ตัวอยา่ งท่ี 7 ถุงใบหนึง่ มลี กู บอลสีแดง 2 ลกู และสีดำ 3 ลกู สมุ่ หยิบลูกบอลคร้งั ละลูก
2 ครง้ั โดยใสล่ กู บอลคืนก่อนหยิบคร้งั ทสี่ อง จงหาความนา่ จะเปน็ ที่
สมุ่ หยิบไดล้ กู บอลสดี ำครง้ั แรก และได้ลกู บอลสีแดงในครั้งทสี่ อง

วธิ ีทำ ให้ E1 แทน เหตุการณ์ทห่ี ยบิ ครัง้ แรกได้ลูกบอลสดี ำ
E1 = {B1, B2, B3} , S = {R1, R2, B1, B2, B3}

 P(E1) = 3
5

และ E2 แทน เหตกุ ารณ์ทีห่ ยิบครง้ั ที่สองได้ลูกบอลสแี ดง

 E2 = {R1, R2}

P(E2) = 2
5

แต่เหตุการณ์ E1 และ E2 เปน็ อิสระต่อกัน

P( E1  E2 ) = P(E1)  P(E2)

= 32 = 6

•

55 25

ตวั อย่างท่ี 8 กำหนดให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที่ P(A) = 0.6, P(A− B) = 0.4
และ P( A B ) = 0.9 จงหา P(B)

วธิ ที ำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 33

ชุดท่ี 6 เรอื่ ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

ตวั อย่างท่ี 9 จากการสำรวจคนในหมบู่ ้าน 100 คน พบวา่ มีคนท่ีประกอบอาชพี ทำนา 50 คน

ประกอบอาชพี ทำสวน 60 คน และประกอบอาชีพรับจา้ ง 40 คน ประกอบอาชีพทำนา

และทำสวน 30 คน ประกอบ อาชพี ทำสวนและรบั จ้าง 25 คน ประกอบอาชีพทำนา

และรับจา้ ง 20 คน สมุ่ เลอื กคนมา 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีคนนจ้ี ะประกอบอาชีพ

1) ทำนาหรอื ทำสวน 2) ทำนาหรือรับจ้าง 3) ทำสวนหรือรบั จ้าง

วิธีทำ ให้ A แทน อาชีพทำนา n(A) = 50
ให้ B แทน อาชีพทำสวน n(B) = 60
ให้ C แทน อาชพี รับจา้ ง n(C) = 40
นำขอ้ มลู มาเขียนแผนภาพ จะได้

n(U) = 100

n n nn

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ 34

ชดุ ท่ี 6 เรือ่ ง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

n n nn

n n nn

บัตรกิจกรรมที่ 6.3 กฎบางประการของความนา่ จะเป็น

P( E) = 1 - P( E ) หรอื P( E ) + P( E) = 1

1. ในการขายบตั รเพือ่ ชิงรางวัลเครอื่ งคอมพวิ เตอร์เคร่ืองหนึ่ง บตั รทข่ี ายแตล่ ะใบมีหมายเลขประจำบตั ร
เปน็ เลขห้าหลักต่างๆ กัน โดยท่ีแต่ละหลักเป็นเลขใดเลขหนึง่ ใน (0, 1, 2, 3, 4, 5) หมายเลขรางวัลได้
จากการหมุนวงล้อหา้ วงซ่ึงวางเรยี งกัน ถา้ การหมนุ แตล่ ะวงล้อจะข้นึ เลข 0, 1, 2, 3, 4 หรอื 5 เลขใดเลข
หนงึ่ โดยโอกาสเท่าๆ กนั แลว้ ความนา่ จะเปน็ ทห่ี มายเลขรางวลั จะเปน็ หมายเลขทมี่ ีเลขหลกั ต่างๆ ซ้ำกนั
อยา่ งน้อยสองหลกั มีคา่ เท่าใด (2 คะแนน)
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ E1 หรือ E2 เมื่อ E1  E2   แลว้
P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) – P( E1  E2 ) ได้

ชุดกิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 35

ชดุ ท่ี 6 เร่ือง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

2. โยนลกู เตา๋ 2 ลูก 1 ครง้ั ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเตา๋ หงายแต้มรวมเปน็ 5
และ E2 เป็นเหตุการณ์ท่ลี ูกเต๋าลูกใดลกู หนง่ึ หงายแตม้ 3 จงหาความน่าจะเปน็ ที่ผลรวมของ
แต้มเปน็ 5 หรือลูกเตา๋ ลูกใดลูกหนง่ึ หงายแต้ม 3 (2 คะแนน)
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

3. โยนเหรียญบาท 2 เหรียญ 1 คร้งั ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ทเ่ี หรยี ญหงายก้อยอย่างนอ้ ย 1 เหรยี ญ
และ E2 เป็นเหตุการณท์ ีเ่ หรยี ญหงายหวั อย่างนอ้ ย 1 เหรียญ จงหาความน่าจะเป็นทเี่ หรยี ญจะหงาย
กอ้ ยอยา่ งนอ้ ย 1 เหรยี ญ หรือหงายหวั อย่างน้อย 1 เหรยี ญ (3 คะแนน)
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

เหตุการณ์ E1 หรือ E2 เป็นเหตกุ ารณ์ทีไ่ ม่เกดิ รว่ มกนั ( E1  E2 =  ) แลว้
P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 )

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 36

ชุดท่ี 6 เรือ่ ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

4. โยนลกู เต๋าสองลกู 1 คร้งั ถ้า E1 แทน เหตกุ ารณท์ ี่ผลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเต๋าท่หี งายเท่ากบั 5
และ E2 แทน เหตกุ ารณ์ที่ผลรวมของแตม้ บนหนา้ ลกู เตา๋ ที่หงายเท่ากับ 10 ให้นกั เรยี นหา
ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ท่ีผลรวมของแตม้ บนลูกเตา๋ ท่หี งายเท่ากบั 5 หรอื 10 (3 คะแนน)

.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 37

ชดุ ท่ี 6 เร่ือง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

แบบทดสอบระหว่างเรยี นชุดที่ 6 เรื่อง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนเลือกคำตอบทถี่ ูกตอ้ งเพยี งข้อเดยี วแลว้ ทำเครอื่ งหมาย ()
ลงในกระดาษคำตอบ

1. นำตัวเลข 0 – 3 มาจัดเรยี งเป็นเลขสามหลกั โดยแต่ละหลกั ใช้ตวั เลขไม่ซ้ำกัน
ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะได้จำนวนซึ่งมากกว่า 300 เป็นเท่าไร

ก. 1 ข. 1 ค. 1 ง. 2

3 2 4 3

2. ไพ่ 4 ใบ คือ 3, 3, 3, 3 ปอสุ่มหยบิ ไพ่ 2 ใบพรอ้ มกนั อั๋นสุ่มหยบิ ไพ่ 2 คร้ัง ครงั้ ละ
1 ใบโดยไม่ใส่ไพใ่ บเกา่ คนื กอ่ นจะสุม่ หยบิ ใบใหม่ ความนา่ จะเป็นทป่ี อจะไดไ้ พส่ ีเดียวกนั

ต่างจาก ความนา่ จะเปน็ ที่อ๋ันจะได้ไพ่ ( 3, 3) เป็นเท่าไร

ก. 2 ข. 1 ค. 1 ง. 1

5 4 3 12

3. ทอดลกู เต๋า 2 ลกู พร้อมกันความน่าจะเป็นของข้อใดน้อยท่ีสุด

ก. ลกู เตา๋ ออกแต้มเทา่ กัน ข. ผลรวมแตม้ ของลกู เต๋าเปน็ 6

ค. ลกู เต๋าออกแตม้ 1 อยา่ งน้อย 1 ลูก ง. ผลต่างของแตม้ ของลกู เต๋าเปน็ 6

4. สุม่ ตัวอักษร 1 ตวั ในคำว่า “somethings” ความนา่ จะเปน็ ท่ีจะไดต้ วั อกั ษรทเ่ี ปน็ สระเปน็ เท่าไร

ก. 0.1 ข. 0.2 ค. 0.3 ง. 0.4

5. ความนา่ จะเปน็ ที่จะจดั เรยี งคำที่มี 2 ตัวอักษรและมีความหมายจากอักษร 3 ตัว คอื n, o, t

เป็นเทา่ ใด

ก. 1 ข. 1 ค. 1 ง. 2

6 3 2 3

ชุดกิจกรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ 38

ชุดท่ี 6 เร่ือง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

6. สุ่มเลอื กจุดบนเสน้ จำนวนเตม็ ตงั้ แต่ - 2 ถงึ 3 ออกมา 1 จดุ ความนา่ จะเปน็ ที่จดุ นนั้ ไม่เป็น

จำนวนลบ มีค่าเปน็ เท่าไร

ก. 1 ข. 2 ค. 1 ง. 5

3 3 6 6

7. ตอ้ งการเลือกพนกั งาน 2 คน จากผู้สมคั รซึง่ เป็น ชาย 3 คน หญงิ 3 คน ความน่าจะเปน็
ทจี่ ะได้ชาย 1 คน และ หญิง 1 คน เทา่ กับขอ้ ใด

ก. 3 ข. 2 ค. 4 ง. 7

5 15 15 15

8. โยนลูกเตา๋ 2 ลกู 1 ครง้ั จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ผี ลรวมของแตม้ เปน็ 7 และลูกเตา๋ ลกู ใดลกู หน่งึ
หงายแตม้ 4

ก. 7 ข. 3

10 20

ค. 1 ง. 1

18 15

9. หยบิ ไพ่ 2 ใบ จากไพส่ ำรับหนง่ึ ถ้าหยิบไพใ่ บแรกออกมาแล้วใส่กลับคืนในสำรับตามเดมิ

กอ่ นจะหยิบไพใ่ บที่สอง แล้วจงหาความน่าจะเปน็ ท่ีไพท่ งั้ 2 ใบนนั้ เป็น K

ก. 1 ข. 3
169 ง. 1869
5 169
ค. 169

10. กล่องใบหนงึ่ มีลกู ปิงปองสีขาว 6 ลกู สแี ดง 4 ลูก และสีฟ้า 5 ลูก ถ้าหยบิ ออกมาแบบสุ่มๆ 3 ลกู

โดยหยิบทีละลกู โดยท่แี ต่ละลูกท่หี ยิบออกมาจะต้องนำกลับคนื ในกลอ่ ง แลว้ ความนา่ จะเปน็

ที่จะหยิบลกู ปิงปองออกมาเปน็ สขี าว สแี ดง และสฟี ้า ตามลำดบั ตรงกับข้อใด
1 3
ก. 225 ข. 225

ค. 6 ง. 8
225 225

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 39

ชุดท่ี 6 เร่ือง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบระหว่างเรียน

ชอื่ – นามสกุล ..................................................................... ชัน้ ................. เลขที่ ...........

ข้อที่ ก ข ค ง ข้อที่ ก ข ค ง
16
27
38
49
5 10

สรปุ ผลการเรยี น

ภาระงาน คะแนน คะแนนท่ีได้ ร้อยละของ ผา่ น ไมผ่ า่ น
เต็ม คะแนนที่ได้
บัตรกิจกรรมท่ี 6.1 10
บตั รกจิ กรรมที่ 6.2 10
บัตรกิจกรรมที่ 6.3 10

แบบทดสอบ 10
ระหวา่ งเรยี นชดุ ที่ 6

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 40

ชดุ ท่ี 6 เรื่อง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

เฉลยบตั รกจิ กรรมวชิ าคณติ ศาสตร์ เรอื่ งความน่าจะเป็น
ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 5

ชุดที่ 6

ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 41

ชดุ ท่ี 6 เรือ่ ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

เฉลยบัตรกิจกรรมท่ี 6.1 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ให้นกั เรยี นหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณใ์ นแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

1. ถ้าสุม่ ครอบครวั ท่มี ีบุตรสองคนมาครอบครวั หนง่ึ จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์
ทคี่ รอบครวั นั้น (5 คะแนน ; ขอ้ ละ 1 คะแนน)

หาแซมเปิลสเปซ S = {(ช , ช), (ช , ญ), (ญ , ช), (ญ , ญ)}

n(S) = 4

(1) มบี ตุ รคนแรกเปน็ ชาย บตุ รคนทสี่ องเป็นหญิง

E1 = {(ช , ญ)} , n( E1 ) = 1
n(E1)
ดังนนั้ P(E1) = n(S) 1
=4

(2) มบี ตุ รเปน็ ชายอยา่ งน้อย 1 คน

E2 = {(ช , ช), (ช , ญ), (ญ , ช)} , n( E2 ) = 3
n(E2 )
ดงั น้ัน P(E2 ) = n(S) = 3
4

(3) ไมม่ บี ุตรชายเลย

E3 = {(ญ , ญ)} , n( E3 ) = 1
n(E 3 )
ดังนนั้ P(E3) = n(S) 1
=4

(4) มีบตุ รชาย 1 คน บุตรหญงิ 1 คน

E4 = {(ช , ญ), (ญ , ช)} , n( E4 ) = 2
n(E4 )
ดังนั้น P(E4 ) = n(S) = 2 = 1
4 2
(5) มบี ตุ รหญิง 3 คน

E5 = { } , n( E5 ) = 0
n(E 5 )
ดังนนั้ P(E5) = n(S) =0

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 42

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความนา่ จะเปน็ และกฎบางประการ

2. ในการทอดลูกเตา๋ สองลูก ลกู เต๋าลูกแรกปรากฏผลได้ 6 วิธี และลูกเต๋าลูกที่สองปรากฏผลได้อีก
6 วธิ ี ดังนน้ั จำนวนวิธที จ่ี ะไดผ้ ลรวมของแต้มจะเทา่ กับ 6  6 = 36 ดงั แสดงในตารางต่อไปนี้
(2 คะแนน ; ขอ้ ละ 1 คะแนน)

แตม้ ลูกที่ 1 1 2 3 4 5 6
แตม้ ลูกท่ี 2

1 234567

2 345678

3 456789

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

ให้หาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ที่

(1) ผลบวกของแต้มมากกวา่ หรือเท่ากับ 10

E1 = {(4 , 6), (5 , 5), (5 , 6), (6 , 4), (6 , 5), (6 , 6)}

n( E1) = 6 n(E1)
n(S)
ดงั นัน้ P(E1) = 61
= 36 = 6

(2) ผลบวกของแตม้ หารด้วย 3 ลงตัว

E2 = {(1 , 2), (1 , 5), (2 , 1), (2 , 4), (3 , 3), (3 , 6), (4 , 2), (4 , 5), (5 , 1),

(5 , 4), (6 , 3), (6 , 6)}

n( E2) = 12 n(E2 )
n(S)
ดังน้นั P(E2 ) = 12 1
= 36 = 3

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 43

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

3. โยนลูกเต๋า 1 ลกู 1 ครงั้ จงหาความน่าจะเป็น (3 คะแนน ; ข้อละ 1 คะแนน)
3.1 ท่ีลกู เต๋าหงายแต้มเปน็ จำนวนที่ 3 หารลงตัว
3.2 ที่ลูกเต๋าหงายแต้มมากกวา่ 2
3.3 ที่ลกู เตา๋ หงายแตม้ เป็นจำนวนเฉพาะ
โยนลูกเตา๋ 1 ลูก 1 คร้ัง จะได้แซมเปลิ สเปซ ดังนี้

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(S) = 6

3.1 ให้ E1 แทน เหตุการณ์ที่ลกู เตา๋ หงายแตม้ เป็นจำนวนที่ 3 หารลงตวั

 E1 = {3, 6} , n(E1) = 2

จาก P(E) = n (E)
n (S)

แทนค่า P(E1) = n (E1 )
n (S)

=2 = 1
63

3.2 ให้ E2 แทน เหตุการณ์ท่ีลกู เตา๋ หงายแต้มมากกวา่ 2

 E2 = {3, 4, 5, 6} , n(E2) = 4

 P(E2) = n (E2 )
n (S)

=4 = 2
63

3.3 ให้ E3 แทน เหตุการณ์ที่ลกู เต๋าหงายแต้มเป็นจำนวนเฉพาะ

 E3 = {2, 3, 5} , n(E3) = 3

 P(E3) = n (E3 )
n (S)

=3 =1
6 2

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 44

ชดุ ท่ี 6 เร่อื ง ความนา่ จะเป็น และกฎบางประการ

เฉลยบัตรกิจกรรมท่ี 6.2 ความนา่ จะเป็น (วธิ เี รียงสับเปลยี่ น, วธิ ีจดั หมู่)

ใหน้ ักเรยี นหาความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ต่อไปน้ี

1. มีข้อสอบปรนยั 20 ขอ้ คะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยกำหนดขอ้ 1 – 10 ขอ้ ละ 4 คะแนน และ
ข้อ 11 – 20 ขอ้ ละ 1 คะแนน ถา้ หากนกั เรียนตอบขอ้ ใดถกู ตอ้ ง จะได้คะแนนเต็มของขอ้ นั้น
แต่ถ้าตอบผิดหรอื ไม่ตอบ จะได้คะแนน 0 คะแนน จงหาจำนวนวธิ ีท่นี ักเรียนคนหนงึ่ จะทำขอ้ สอบชดุ น้ี
ได้คะแนนรวม 45 คะแนน (3 คะแนน)

2. ขา้ วสารบรรจุถงุ แล้วกองหนง่ึ ประกอบด้วย ข้าวหอมมะลิ 4 ถุง ข้าวเสาไห้ 3 ถงุ
ขา้ วขาวตาแห้ง 2 ถงุ และข้าวบาสมาติ 1 ถงุ สุ่มหยิบขา้ วจากกองนีม้ า 4 ถงุ
ความนา่ จะเป็นทจี่ ะได้ข้าวครบทกุ ชนิดเท่ากบั เทา่ ใด (2 คะแนน)

พจิ ารณา จำนวนวิธใี นการหยิบถุงข้าวทั้งหมด = 10 = 210
 4 

จำนวนวิธีในการหยบิ ถุงข้าวไดค้ รบทุกชนดิ = 4 3 2
1 1 1
4! 3! 2!
= 3 !1! × 2 !1! × 1!1! = 24

ความน่าจะเปน็ ท่ีจะไดข้ ้าวครบทกุ ชนิดเท่ากับ = 24 = 4
210 35

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 45

ชุดท่ี 6 เร่อื ง ความน่าจะเป็น และกฎบางประการ

3. กติ ตแิ ละสมาน กบั เพอื่ นๆ รวม 7 คน ไปเทยี่ วตา่ งจงั หวดั ด้วยกัน ในการคา้ งแรม

ท่มี ีบ้านพกั 3 หลงั หลังแรกพกั ได้ 3 คน ส่วนหลังท่ีสองและหลงั ท่ีสามพักไดห้ ลงั ละ 2 คน

ซึ่งแตล่ ะหลังมคี วามแตกต่างกัน พวกเขาจึงตกลงท่ีจะจบั สลากว่าใครจะไดพ้ กั ที่บา้ นหลงั ใด

ความนา่ จะเป็นท่ีกิตติและสมานจะไดพ้ กั บา้ นหลังเดียวกนั ในหลงั ที่หน่งึ หรอื หลังท่ีสาม

เท่ากบั เท่าใด (2 คะแนน)

จำนวนวธิ ีท้ังหมดท่ีเป็นไปได้ = 7 4 2 = 210 วธิ ี

3 2 2

แบ่งเหตุการณ์ออกเป็น 2 กรณี

กรณที ี่ 1 ให้กติ ตแิ ละสมานพักหลงั แรก ดังน้นั

จำนวนวธิ ีทจ่ี ัดได้ = 5 4 2 = 30 วิธี
1 2 2

กรณีท่ี 2 ให้กติ ติและสมานพกั หลงั ทส่ี าม ดงั น้ัน

จำนวนวิธีทจี่ ดั ได้ = 5 2 = 10 วธิ ี
3 2

ดงั นั้น ความน่าจะเป็นท่ีกิตติและสมานจะได้พกั บ้านหลังเดยี วกันในหลังที่หน่ึง

หรอื หลงั ที่สาม เท่ากบั = 30 +10 = 4
210 21

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 46

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

4. โยนเหรียญบาท (เที่ยงตรง) หนึ่งเหรียญ จำนวน 10 คร้ัง จงหาความนา่ จะเปน็ ทไ่ี ดห้ ัวอยา่ งน้อย
2 คร้ังติดกัน (3 คะแนน)

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 47

ชุดท่ี 6 เร่ือง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

เฉลยบัตรกิจกรรมท่ี 6.3 กฎบางประการของความนา่ จะเป็น

1. ในการขายบตั รเพอ่ื ชิงรางวลั เคร่ืองคอมพิวเตอร์เครือ่ งหนงึ่ บัตรท่ีขายแตล่ ะใบมหี มายเลขประจำบตั ร
เป็นเลขห้าหลกั ต่างๆ กนั โดยที่แต่ละหลักเป็นเลขใดเลขหนึ่งใน (0, 1, 2, 3, 4, 5)
หมายเลขรางวัลได้จากการหมนุ วงล้อหา้ วงซ่ึงวางเรยี งกนั ถ้าการหมนุ แต่ละวงลอ้ จะขน้ึ เลข
0, 1, 2, 3, 4 หรอื 5 เลขใดเลขหน่ึงโดยโอกาสเท่าๆ กันแลว้ ความน่าจะเปน็ ท่ีหมายเลข
รางวัลจะเปน็ หมายเลขทีม่ ีเลขหลกั ต่างๆ ซ้ำกันอย่างนอ้ ยสองหลกั มคี ่าเท่าใด (2 คะแนน)

สมมุติให้ E แทน เหตกุ ารณ์หมายเลขรางวลั จะเป็นหมายเลขทม่ี ีเลขหลกั ไมซ่ ้ำกันเลย

E แทน เหตุการณ์หมายเลขรางวัลจะเป็นหมายเลขทมี่ ีเลขหลักต่างๆ ซำ้ กนั อย่าง

น้อยสองหลัก

และ S แทน แซมเปิลสเปซ (บัตรท้ังหมดท่ีขายในงาน)

1. จากสถานการณป์ ญั หา จำนวนบัตรทง้ั หมดท่ีขายในงานเทา่ กับ 6  6  6  6  6 ใบ
แสดงว่า n(S) = 6 6  6  6  6

2. จำนวนบัตรทห่ี มายเลขรางวลั จะเป็นหมายเลขที่มเี ลขหลกั ไมซ่ ำ้ กันเลยเท่ากบั 6 543 2 ใบ

แสดงว่า n(E) = 6  5  4  3  2

จากสตู ร P(E) = n(E)
n(S)
65432
P(E) = 65 6  6  6  6
= 54

เนื่องจาก P(E) = 1 - P(E)

= 1 - 5
54
49
จะได้ P(E) = 54

ดังน้ัน ความนา่ จะเป็นท่ีหมายเลขรางวัล จะเปน็ หมายเลขที่มีเลขหลกั ต่างๆ ซ้ำกันอย่างน้อยสองหลกั

เท่ากบั 49
54

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 48

ชดุ ท่ี 6 เรอ่ื ง ความน่าจะเปน็ และกฎบางประการ

2. โยนลูกเตา๋ 2 ลูก 1 ครงั้ ถ้า E1 เปน็ เหตกุ ารณท์ ลี่ กู เตา๋ หงายแต้มรวมเปน็ 5
และ E2 เป็นเหตุการณ์ท่ีลูกเตา๋ ลูกใดลกู หนึ่งหงายแตม้ 3
จงหาความน่าจะเปน็ ท่ีผลรวมของแตม้ เป็น 5 หรอื ลูกเตา๋ ลูกใดลูกหนง่ึ หงายแต้ม 3 (2 คะแนน)

E1 แทน เหตกุ ารณ์ทลี่ กู เต๋าหงายแต้มรวมเป็น 5
 E1 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

E2 แทน เหตกุ ารณ์ที่ลูกเต๋าลูกใดลกู หนึ่งหงายแต้ม 3
 E2 = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 1), (3, 2), (4, 3),

(5, 3), (6, 3)}

จาก P( E1  E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) – P( E1  E2 )

= 4 + 11 - 2
36 36 36

= 13
36

P(E1) = ,n(E1 ) n(E1) = 4, n(S) = 36

n(S)

=4
36

P(E2) = ,n(E 2 ) n(E2) = 11

n(S)

= 11
36

E1  E2 = {(2, 3), (3, 2)} , n( E1  E2 ) = 2

P( E1  E2 ) = 2
36