จำนวนและพีชคณิต

จำนวนและพชี คณติ

คำนำ

สอ่ื การเรียนการสอนเลม่ นเ้ี ปน็ สว่ นหนงึ่ ของวชิ า ทกั ษะ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ค20206 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 3 โดยมี
จุดประสงคเ์ พอ่ื การศกึ ษาหาความรทู้ ่ไี ดจ้ ากเร่อื ง จานวนและพชี คณติ

ส่อื การเรียนการสอนนมี้ เี นอื้ หาเกย่ี วกบั จานวนจรงิ (จานวนเตม็ เลขยก
กาลงั ทศนิยมและเศษสว่ น ฯลฯ) อตั ราส่วน สัดสว่ น และร้อยละ สมการ
เชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว สมการกาลงั สองตวั
แปรเดยี ว ระบบสมการและความสมั พันธ์เชิงเสน้ กราฟของฟงั ก์ชัน
กาลงั สอง พหนุ าม การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง การแยกตัว
ประกอบพหนุ ามดกี รสี งู กวา่ สอง ตลอดจนการประยกุ ต์ใช้

คณะผู้จัดทาได้เลอื กหวั ขอ้ นี้ในการทาสอื่ การเรียนการเรยี น
การสอน เนือ่ งจากเป็นเร่ืองที่น่าสนใจ รวมถึงเป็นเรื่องทจ่ี าเป็น คณะ
ผูจ้ ดั ทาจะตอ้ งขอขอบคุณ คณุ ครู กัญจน์นภา สุขลอ้ ม ผใู้ ห้ความรู้ และ
แนวทางในการศกึ ษา เพือ่ นๆทกุ คนที่ใหค้ วามช่วยเหลอื มาโดยตลอด
คณะผจู้ ัดทาหวังวา่ ส่ือการเรียนการสอนเลม่ นี้จะใหค้ วามรู้ และประโยชน์
แก่ผู้อ่านทุก ๆ ท่าน

คณะผู้จัดทำ

สำรบญั

เรอ่ื ง หนา้

จานวนจรงิ 1
อัตราส่วน สัดส่วน และรอ้ ยละ 6
สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว 13
อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว 19
สมการกาลังสองตัวแปรเดียว 24
ระบบสมการและความสมั พนั ธ์เชิงเส้น 28
กราฟของฟังก์ชั่นกาลังสอง 36
พหนุ าม 48
การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง 64
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี ูงกวา่ สอง 69

1

จำนวนจรงิ

2

จำนวนจริง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

จานวนจรงิ จานวนทไ่ี มใ่ ช่จานวนเตม็

จานวนเต็มลบ

จานวนเต็มศูนย์

จานวนเตม็ บวก
( จานวนนับ )

จานวนจรงิ ประกอบดว้ ย จานวนอตรรกยะ และ จานวนตรรกยะ
จานวนอตรรกยะ คือ จานวนทไี่ ม่สามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรปู เศษสว่ นของ
จานวนเตม็ หรอื ทศนยิ มซ้าได้ ยกตวั อย่างเชน่ √2, √3,√5 หรอื ค่า ¶ เปน็ ตน้
จานวนตรรกยะ คือ จานวนทีส่ ามารถเขยี นใหอ้ ยู่ในรูปเศษส่วนของจานวน
เตม็ หรือ ทศนิยมซ้าได้ยกตัวอย่างเช่น 1/2, 1/3, 2/5 เป็นต้น

3

จานวนเตม็ คือจานวนทเี่ ป็นตัวเลขเต็ม หรอื ตวั เลขที่ไมม่ ที ศนยิ ม ตัว
เลขทีเ่ ราใช้นับ ยกตวั อยา่ งเช่น 1, 2, 3, 4 รวมไปจนถึงค่าท่ีติบลบของ
จานวนนับนแ้ี ละศนู ย์ เชน่ 0, -1, -2, -3, -4 ….

จานวนตรรกยะท่ีไมใ่ ชจ่ านวนเตม็ ความหมายของจานวนน้ีคอื ตวั เลข
เขียนในรปู ของทศนิยมซ้าได้โดยทไ่ี มไ่ ดเ้ ป็นเลขจานวนเตม็ เช่น 1/2=0.5
หรือ 1/3 = 0.333… (สามซา้ )

จานวนเตม็ แบ่งย่อยได้สามหมวดคอื จานวนเตม็ ลบ จานวนเตม็ บวก และ
จานวนเตม็ ศูนย์
จานวนเตม็ ลบ คือ จานวนนบั ตั้งแต่ -1 และลดลงทลี ะหนง่ึ เปน็ ตน้ ไปไม่ท่ี
สิน้ สดุ ได้แก่ -1, -2 , -3 ,-4,…..
จานวนเตม็ ศูนย์ คือ ศนู ย์ หรอื 0
จานวนเต็มบวก คือ จานวนนับ ต้ังแต่ 1 และเพม่ิ ทลี ะหนงึ่ เป็นต้นไปไม่
ส้นิ สุด ได้แก่ 1 , 2 , 3 , 4 ,...

สมบัติของจำนวนจรงิ
สมบัตขิ องจานวนจริงมมี าก ในทีน่ ี้จะนาเสนอเฉพาะทค่ี ดิ วา่ สาคญั
ถา้ ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ แล้ว จะไดว้ ่าจานวนจริงจะมสี มบัติ
ดงั ตอ่ ไปนี้

1. สมบัตปิ ดิ การบวก: a+ b จะต้องเป็นจานวนจรงิ เสมอ

2. สมบัติการเปลีย่ นหมขู่ องการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c

3. สมบัติการมเี อกลักษณก์ ารบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยทีเ่ ราเรยี ก 0
ว่าเอกลกั ษณ์ของการบวก

4. สมบตั กิ ารมอี ินเวริ ์สของการบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยท่ี (-a)
เปน็ อนิ เวอรส์ การบวกของ a

4

5.สมบตั ิปดิ ของการคณู : a คูณ b หรอื ab จะต้องมผี ลลพั ธเ์ ปน็ จานวนจรงิ
เสมอ

6.สมบตั ิการเปลย่ี นหมู่ของการคูณ: a(bc) = (ab) c

7.สมบัติการมเี อกลกั ษณก์ ารคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยทเี่ ราเรยี ก 1 วา่
เอกลกั ษณข์ องการคูณ

8.สมบัติการมอี นิ เวริ ส์ ของการคณู : a a-1 = 0 = a-1 a โดยท่ี a-1เป็นอิน
เวริ ส์ การคูณของ a

9.สมบตั ิการแจกแจงทางซา้ ย: a(b + c) = ab + ac

นอกจากสมบัตขิ องจานวนจริง ยงั มที ฤษฎบี ทเบอื้ งต้นสาหรบั จานวนจรงิ

ถา้ ให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จะได้วา่

1.ถา้ a+c = b+c แลว้ a = b

2.ถา้ c ≠ 0 และ ac =ab แลว้ a =

3.เมอื่ c > 0 แลว้ จะไดว้ ่า

- ถ้า a > b แลว้ ac > bc - ถ้า a < b แล้ว ac < bc

- ถา้ ac > bc แล้ว a > b - ถา้ ac < bc แล้ว a < b

4. เมื่อ c < 0 แลว้ จะได้ว่า

- ถา้ a > b แล้ว ac < bc - ถา้ a < b แลว้ ac > bc

- ถา้ ac > bc แลว้ a < b - ถา้ ac < bc แลว้ a > b

5. ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรือ b = 0

6. ถา้ a < b และ c < d แล้ว a – d < b – c

5

สมบตั ิกำรเทำ่ กนั ของจำนวนจริง
กาหนด a, b, c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ
1.สมบตั ิการสะท้อน a = a
2. สมบัตกิ ารสมมาตร ถา้ a = b แลว้ b = a
3. สมบตั ิการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัตกิ ารบวกด้วยจานวนทเ่ี ทา่ กัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคณู ดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กัน ถา้ a = b แลว้ ac = bc
สมบัตกิ ำรบวกในระบบจำนวนจริง
กาหนด a, b, c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ
1. สมบัตปิ ิดการบวก a + b เป็นจานวนจรงิ
2. สมบตั กิ ารสลบั ที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลีย่ นกลุม่ การบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

น่ันคอื ในระบบจานวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลกั ษณ์การบวก
5. อนิ เวอรส์ การบวก a + ( -a ) = 0 = ( –a ) + a

ในระบบจานวนจรงิ จานวน a จะมี –a เปน็ อนิ เวอรส์ ของการบวก
สมบัตกิ ำรคณู ในระบบจำนวนจริง
กาหนดให้ a, b, c, เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ
1. สมบตั ิปดิ การคณู ab เป็นจานวนจรงิ
2. สมบตั ิการสลบั ท่ีของการคูณ ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนกลมุ่ ของการคณู a(bc) = (ab)c
4. เอกลกั ษณ์การคณู 1 · a = a = a · 1

ในระบบจานวนจรงิ มี 1 เปน็ เอกลกั ษณ์การคณู
5. อินเวอรส์ การคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0

ในระบบจานวนจริง จานวนจริงa จะมี a-1เป็นอินเวอร์สการคณู ยกเว้น0
6. สมบัตกิ ารแจกแจง a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

6

อตั รำส่วน สดั ส่วน และร้อยละ

7 อตั รำส่วน สดั ส่วน และรอ้ ยละ

อัตรำส่วน

เปน็ ความสมั พนั ธข์ องจานวนท่ีเขียนเพ่ือแสดงการเปรยี บเทยี บ
ปรมิ ำณสองปรมิ ำณ ซงึ่ อาจจะมีหน่วยเดยี วกนั หรอื หนว่ ยต่างกันก็ได้ ใช้
สัญลักษณ์ a : b เขียนแทน อัตราสว่ นปริมาณ a ต่อปริมาณ b ซ่งึ แต่ละ
จานวนในอตั ราสว่ นเปน็ จานวนบวกเท่านน้ั

เรียก a ว่าจานวนแรก หรือจานวนท่หี นง่ึ ของอตั ราสว่ น
เรียก b ว่าจานวนหลงั หรอื จานวนท่สี องของอตั ราสว่ น

เช่น อัตราสว่ นแปง้ ตอ่ นา้ ตาล คือ 4:1 คอื ใสแ่ ปง้ 4 ส่วน ใส่นา้ ตาล 1 สว่ น

แป้ง(ส่วน) 4 8 12 16 20

น้ำตำล(ส่วน) 1 2 v 3 4 5

จะได้เปน็ 4:1,8:2 ,12:3 ,16:4,20:5 หรอื 4 , 8 , 12 ,16 , 20

12 3 4 5

อัตราสว่ นจานวนนา้ 1 ขวดตอ่ ราคานา้ 15 บาท คอื 1:15 คือ นา้ 1 ขวด
ราคา 15 บาท

จำนวนน้ำ 1 2 3 4 5

(ขวด)

รำคำ (บำท) 15 30 45 60 75

จะได้เป็น 1:15,2:30,3:45,4:60 , 5:75 หรือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5

15 30 45 60 75

8

หลักกำรคูณ
เม่ือคูณแต่ละจานวนในอัตราสว่ นใดด้วยจานวนเดียวกนั โดยท่จี านวนนนั้

ไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์ จะไดอ้ ตั ราสว่ นใหม่ทเ่ี ท่ากบั อตั ราสว่ นเดิม
หลักกำรหำร

เมือ่ หารแตล่ ะจานวนในอตั ราสว่ นใดดว้ ยจานวนเดยี วกนั โดยที่จานวนน้ัน
ไมเ่ ท่ากับศนู ย์ จะไดอ้ ัตราส่วนใหม่ท่เี ท่ากับอตั ราสว่ นเดิม
สรปุ ได้วำ่

อัตราส่วนสองอัตราสว่ นใด ๆ ทีท่ าใหเ้ ปน็ อัตราส่วนอย่างต่าแลว้ จะได้
อตั ราส่วนทัง้ สองทีม่ ีคา่ เท่ากนั เรียกวา่ อตั ราสว่ นทีเ่ ทา่ กัน

ตวั อยำ่ งโจทยป์ ญั หำที่ใชห้ ลกั กำรคูณและหลกั กำรหำร
สหกรณ์แหง่ หน่ึงขายดินสอในราคาโหลละ 60 บาท เจนนตี่ ้องการซื้อดนิ สอ
72 แทง่ เจนน่ตี ้องจ่ายเงนิ เท่าไร
สชุ าตติ อ้ งการซอ้ื ดนิ สอในราคาเดียวกนั บ้างแต่มเี งนิ เพียง 20 บาท ถ้าสหกรณ์
ยอมขายปลีกใหใ้ นราคาเดยี วกัน
สุชาตจิ ะซ้อื ดินสอได้ก่ีแทง่

วธิ ีทำ สหกรณข์ ายดนิ สอในราคาโหลละ 60 บาท
เขียนอตั ราส่วนของจา้ นวนดนิ สอเปน็ แทง่ ต่อราคาเปน็ บาทเปน็ 12 : 60
เจนน่ีต้องการซอ้ื ดินสอ 72 แทง่
จะได้12 : 60 = 12 = 12×5 = 72

60 60×5 360

ดังน้ัน เจนนีต่ อ้ งจา่ ยเงิน 360 บาท
สุชาติต้องการซอ้ื ดินสอในราคาเดยี วกันกบั เจนนี่ แต่มเี งนิ เพยี ง 20 บาท จะได้
12 : 60 = 12 = 12÷3 = 4

60 60÷3 20

ดังน้นั สชุ าตซิ ้ือดินสอได้ 4 แท่ง
ตอบ เจนน่ีจ่ายเงิน 360 บาท และสชุ าติซอื้ ดนิ สอได้ 4 แทง่

9

อัตรำสว่ นของจำนวนหลำยๆจำนวน

เชน่ โตโน่มีนา้ หนักเป็น 61 กโิ ลกรมั ริทมีน้าหนักเปน็ 55 กิโลกรัม และกันมี
นา้ หนักเปน็ 62 กโิ ลกรัม จะสามารถเขียนอตั ราสว่ นของน้าหนกั ของโตโน่ต่อ
น้าหนักของริทตอ่ นา้ หนกั ของกนั จะไดเ้ ปน็ นา้ หนกั ของโตโน่ตอ่ นา้ หนักของริท
ตอ่ น้าหนกั ของกนั เท่ากับ61:55 : 62
สรุป อัตราส่วนท่ีแสดงการเปรียบเทยี บจานวนท่มี ากกวา่ สองจานวนข้ึนไป
เรยี กวา่ อัตราสว่ นของจานวนที่เทา่ กนั หลายๆจานวน

ตวั อยำ่ งโจทยป์ ัญหำของอตั รำสว่ นของจำนวนหลำยๆจำนวน

สระวา่ ยน้าของมินน่ีมอี ตั ราสว่ นของความกวา้ งต่อความยาวเปน็ 5 : 9 และ
ความสูงต่อความยาวเปน็ 4 : 5 จงเขียนอตั ราส่วนของความกว้างต่อความ
ยาวต่อความสงู อัตราสว่ น สดั ส่วน และรอ้ ยละ
วิธที ำ อตั ราสว่ นของความกว้างต่อความยาว เปน็ 5 : 9
อัตราสว่ นของความสงู ต่อความยาว เปน็ 4 : 5
จะต้องท้าความยาวซง่ึ เปน็ ตัวร่วมให้เท่ากันกอ่ น โดยการหา ค.ร.น. ของ 5
และ 9 คอื 45
จะได้ อัตราส่วนของความกวา้ งต่อความยาวเปน็ 5 × 5 : 9 × 5 = 25 : 45
อัตราสว่ นของความสงู ต่อความยาวเปน็ 4 × 9 : 5 × 9 = 36 : 45
ดังนนั้ อัตราสว่ นของความกวา้ งต่อความยาวต่อความสงู เปน็ 25 : 45 : 36

10

สดั ส่วน

สดั สว่ นคือตัวเลขสองจานวนทแ่ี สดงความสมั พนั ธข์ องจานวน 2 จานวน

เม่อื จานวนใดจานวนหนง่ึ เปลย่ี นไปอกี จานวนหน่งึ ก็จะเปลี่ยนตามในสดั สว่ นที่

กาหนด หรอื ประโยคสัญลักษณท์ ี่แสดงการเทา่ กันของ 2 อตั ราส่วน

เชน่ 4 , 8 จะเห็นไดว้ ่าจานวนทง้ั 2 จานวนน้ี เปน็ อตั ราส่วนท่เี ทา่ กนั 4 = 8
12 12
ซึง่ ประโยคที่แสดงการเทา่ กันของอัตราสว่ นสองอัตราสว่ น เรียกว่า สัดส่วน

จงหาค่า x ในสัดส่วน 5 = จงหาค่า x ในสดั ส่วน 6 =

8 64 24 576

วธิ ีทำ วธิ ที ำ

วิธีท1ี่ เนอื่ งจาก 5 = 5×8 = 40 วธิ ที 1่ี เน่อื งจาก 6 = 6∗24 = 144

8 8×8 64 24 24∗24 576

จะได้ 40 = จะได้ 144 =

64 64 576 576

ดงั นน้ั คา่ ของ x คอื 40 ดงั น้นั ค่าของ x คอื 144

วธิ ที 2ี่ 5 = วธิ ที 2่ี 6 =

8 64 24 576

x = 5∗64 x = 6∗576

8 24

x = 40 x = 144

11

ร้อยละ

ร้อยละ หรือ เปอร์เซน็ ต์เป็นอตั ราส่วนแสดงการเปรยี บเทียบปริมาณใด
ปริมาณหน่ึงต่อ 100 การเขียนอัตราสว่ นใดให้อยู่ในรปู ร้อยละ จะตอ้ ง
เขียนอตั ราส่วนนน้ั ใหอ้ ยใู่ นรูปทมี่ ี จานวนหลังของอตั ราสว่ นเปน็ 100 แลว้
จะได้จานวนแรกของอัตราส่วนเปน็ ค่ารอ้ ยละท่ีต้องการ

เชน่ ร้อยละ 20 หรือ 20% เขียนแทนด้วย 20 : 100 หรอื 20
100

สรปุ ร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ เปน็ อัตราสว่ นแสดงการเปรียบเทยี บปรมิ าณ
ใดปรมิ าณหน่งึ ตอ่ 100

การเขยี นอตั ราส่วนให้อยู่ในรปู ร้อย การเขยี นรอ้ ยละใหเ้ ป็นทศนยิ มทาได้
ละ จะตอ้ งเขยี นอัตราส่วนนัน้ ให้อยู่ โดยเขยี นใหอ้ ยู่ในรปู อัตราสว่ นท่ีอยู่
ในรูปท่ีมีจานวนหลงั ของอตั ราสว่ น ในรปู เศษสว่ นทีม่ ีจานวนแรกเป็นคา่
เปน็ 100 แลว้ จะไดจ้ านวนแรกของ ของร้อยละและจานวนหลงั เปน็ 100
อตั ราสว่ นเป็นคา่ ของร้อยละที่ ก่อน แล้วจงึ หาคา่ ของทศนิยม
ต้องการ
เช่น 15% เปลยี่ นให้อย่ใู นรปู รอ้ ยละ
เชน่ 1.5 เปลี่ยนใหอ้ ยู่ในรูปรอ้ ยละ
จะได้ 15% = 15 = 0.15
จะได้ 1.5 = 1.5
100
1
165% = 165 = 1.65
= 1.5 ×100
100
1×100
0.1% = 0.1 = 0.001
= 150
100
100

= 150%

12

ตัวอย่างการคานวณรอ้ ยละ

30% ของ 60 เท่ากับเทา่ ไร

วิธีทา 30% ของ 70 หมายความวา่ ถ้ามี 30 ส่วน ใน 100 สว่ น แลว้ จะมี
กส่ี ว่ นใน 70 สว่ น

ใหม้ ี x สว่ น ใน 60 สว่ น เขียนสัดสว่ นได้ ดงั นี้

จะได้ ได้ 30 =

100 70

30 × 70 = 100 × x

= 70 ×30

100

x = 18

หรือ

= 30 × 60

100

x = 21

ดังนั้น 30% ของ 70 เทา่ กับ 21

13

สมกำรเชงิ เส้นตวั แปรเดียว

สมกำรเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว 14

คือ สมการท่มี ตี วั แปรเพียงตัวแปรเดยี ว ถา้ ยงั ไมเ่ ข้าใจเก่ยี วกับตัวแปร
สามารถกลับไปทบทวนในเรือ่ ง พหุนาม โดยสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว
ตอ้ งมตี ัวแปรที่มดี กี รหี นง่ึ เทา่ นัน้

สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว จะอยใู่ นรปู
Ax + B = 0

เม่อื A ≠ 0 และ a , b เป็นค่ำคงทม่ี ี x เป็นตวั แปร

หลักในกำรทำโจทย์

ทาใหเ้ ป็นผลสาเร็จโดยการจดั รูปใหต้ ัวแปรและคา่ คงท่อี ยูค่ นละข้างกัน

ขอ้ ควรระวัง ถา้ ต้องการถอดวงเล็บ ( ) , [ ] ควรถอดทีละวงเล็บและควร
ระวัง เครือ่ งหมายลบหนา้ วงเลบ็ เวลาทตี่ ้องถอดวงเล็บใหก้ ระจาย
เครือ่ งหมายลบเขา้ ไปในทกุ จานวนด้วย

ตัวอยา่ งที่
1.1 จงแกส้ มการ 12 = 3(x-3)

12 = 3x-9 (สมบัติการแจกแจง)
12+9 = 3x-9+9 (สมบตั กิ ารบวก)
21(1) = 3x(1) (สมบตั กิ ารคณู )

33

7 = x (ตาตอบของสมการ)

15

1.2 จงแกส้ มการต่อไปน้ี 4x+2(x+1) = -10 ( ใชส้ มบตั กิ ารแจกแจงในการแก้
โจทย์ )

4x + 2x + 2 = -10

จดั รูปใหต้ ัวแปรกับคา่ คงท่ีอยู่คนละข้างจะเหน็ ได้วา่ เราต้องการ ย้าย 2จากฝง่ั
ซา้ ยไปฝั่งขวา

วิธที ี่ 1 ใชส้ มบัติการบวก โดยบวก (-2) เขา้ ไปทง้ั สองขา้ ง

4x + 2x + 2+ (-2) = -10+(-2)

4x + 2x = -12
6x = -12

วิธที ่ี 2 เพอื่ ความรวดเร็วในการย้ายข้าง ใหส้ ลับเครอ่ื งหมายเปน็ ตรงขา้ มก็ได้
แตว่ ธิ ีน้ีไม่ใช่วธิ ีที่ถูกต้องทางคณติ ศาสตร์ เป็นการลดรูปจากวิธีแรกใหเ้ รว็ ขนึ้

4x + 2x +2 = -10
จากท่ี 2 บวกอยเู่ ปลย่ี นไปเป็น ลบ

4x + 2x = -10 -2
6x = – 12

ต้องการค่า x ยา้ ยขา้ งใหเ้ หลอื x วิธีที่ 2 เพือ่ ความรวดเร็วในการยา้ ย
เพยี งตวั เดยี ว ข้าง ให้สลบั เคร่ืองหมายเปน็ ตรง
ข้าม
วธิ ีที่ 1 ใช้สมบัติการคณู โดยคณู
ดว้ ย 1 เข้าไปทั้งสองข้าง 6x = – 12

6 6 ท่คี ณู อย่เู ปล่ียนไปเป็น หาร

6x(1) = – 12(1) x = −12

66 6

x = -2 x=-2

1.3 จงหาคา่ x ของสมการ x + ( x+1 ) + ( x+2 ) = 48 16

x + ( x+1 ) + ( x+2 ) = 48 x = 45
3x+3 = 48
3
3x+3-3 = 48-3
X = 15

3x = 45

พ่อมีเงินอยูจ่ านวนหนงึ่ แบ่งให้ลกู คนโตไป 1 ของจานวนเงนิ ทม่ี อี ย่แู ละแบ่ง

5

ให้ลูกคนเล็กอีก 50 บาท ปรากฏว่าเงนิ ทลี่ กู ท้งั สองคนไดร้ ับรวมเป็นเงนิ 250

บาท จงหาจานวนเงินทีพ่ อ่ มอี ยู่ทั้งหมด

วิธีทำ กาหนดให้จานวนเงนิ ท่พี อ่ มีอย่ทู ั้งหมด x บาท

แบ่งให้ลูกคนโต 1 ของจานวนเงนิ ที่พ่อมีเงนิ คดิ เปน็ 1 x บาท

55

แบง่ ให้ลกู คนเลก็ อีก 50 บาท

ปรากฏว่าลกู ทงั้ สองได้รบั เงินรวมกนั 250 บาท

ได้สมการเปน็ 1 x + 50 = 250 บาท

5

1 x + 50 – 50 = 250 – 50

5

1 x = 200

5

x = 200 × 5

x = 1,000

ตรวจสอบ ลกู ทัง้ สองคนไดร้ ับเงินรวมกันเทา่ กบั (1 × 1000) + 50 = 250บาท

5

ซงึ่ เป็นจรงิ

ดังน้นั จานวนเงินที่พอ่ มีเงนิ อยู่เท่ากับ 1,000 บาท

17

1.2 วนิ ัยขบั รถจากกรงุ เทพไปบา้ นเพื่อนท่ีตา่ งจงั หวัด โดยขับรถช่วงแรกได้ 1

3

ของระยะทางท้งั หมด จึงหยุดพกั ช่วงทสี่ องขับรถไดอ้ กี 5 ของระยะทางที่

8

เหลือแล้วจึงหยุดพกั ถา้ วนิ ยั ขบั รถชว่ งสุดทา้ ยได้ระยะทาง 80 กิโลเมตร

ระยะทางจากกรงุ เทพฯไปบ้านเพอื่ นวนิ ยั เท่ากับกี่

วิธีทำ ใหร้ ะยะทางจากกรงุ เทพไปบา้ นเพอ่ื นเทา่ กับ x กิโลเมตร

ช่วงแรกขับไดร้ ะยะทาง 1 ของระยะทางทง้ั หมด นน่ั หมายถงึ

3

ชว่ งแรกขับไดร้ ะยะทางเทา่ กบั 1 x กิโลเมตร

3

ช่วงทสี่ องขบ้ ได้ระยะทาง 5 ของระยะทางท่เี หลอื

8

เนื่องจากชว่ งแรกขับได้ 13x กิโลเมตร ดังนั้นระยะทางท่เี หลือคอื 2x

3

จึงได้ว่าชว่ งท่ีสองขับรถได้ 5 × 2x = 5 กิโลเมตร
8 12
3

ช่วงทส่ี ุดท้ายขบั รถได้ 80 กิโลเมตร ดังนนั้ ระยะทางจากกรงุ เทพฯไปบา้ นเพื่อน

เป็นไปได้สมการเป็น + 5 + 80 = x 80 = ( x * 12 ) - 9

3 12 12 12

( x 4 ) + 5 + 80 = x 80 = 12 - 9

3 4 12 12 12

4 + 5 + 80 = x 80 = 3

12 12 12

9 + 80 = x 3 = 80

12 12

80 = x - 9 x = 80 ∗12

12 3

x = 320

ดังนัน้ ระยะทางจากกรุงเทพฯไปบ้านเพ่ือนเท่ากับ 320 กิโลเมตร

18

1.3 บตั รสาหรบั ผ้เู ข้าชมพพิ ธิ ภัณฑส์ ัตว์นา้ แหง่ หนง่ึ คดิ ราคาเขา้ ชมสาหรบั
ผใู้ หญค่ นละ 180 บาท เดก็ คนละ 60 บาท ถ้าวนั นม้ี เี ด็กเขา้ มาชมจานวน 250
คน และขายบัตรไดเ้ งนิ ทง้ั หมด 45600 บาท แสดงว่าวนั นม้ี ผี ู้ใหญเ่ ขา้ มาชม
พิพธิ ภัณฑส์ ตั ว์น้าแห่งนกี้ ี่คน
วิธีทำ กาหนดให้มีผูใ้ หญ่เข้ามาชมจานวน x คน
ดงั น้ันเก็บเงินจากผใู้ หญจ่ ากการท่ีผู้ใหญเ่ ขา้ ชมจานวน 180x บาท
มีเด็กเข้าเข้าชมจานวน 250 คน
ดังนั้นเก็บเงินจากการทเ่ี ด็กเขา้ ชมได้จานวน 250×60=15000 บาท
ขายบัตรได้เงนิ ท้ังหมด 45600 บาท จงึ ได้สมการเปน็
ไดส้ มการเปน็ 180x + 15,000 = 45,600

180x + 15,000 = 45,600
180x = 45,600 – 15,000
180x = 30,600
x = 30,600

180

x = 170
ดงั น้นั จะไดว้ ่ามีผู้ใหญ่เขา้ ชมจานวน 170 คน

19

อสมกำรเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

20

อสมกำร

อสมการคอื คอื ประโยคสัญลกั ษณ์ทีก่ ล่าวถึงความสัมพนั ธ์ของจานวน โดยมี
สัญลกั ษณ์ <, >, ≤, ≥ , ≠ บอกความสมั พันธร์ ะหวา่ งจานวน

คาตอบของอสมการ คอื จานวนทแี่ ทนตัวแปรในอสมการแล้วทาให้อสมการ
เปน็ จรงิ

สญั ลักษณแ์ ทนความสมั พนั ธร์ ะหว่างจานวนสองจานวน ได้แก่

< แทนความความสมั พันธ์ น้อยกวา่

> แทนความความสมั พนั ธ์ มากกวา่

≥ แทนความความสมั พนั ธ์ มากกวา่ หรือเทา่ กบั

≤ แทนความความสมั พนั ธ์ นอ้ ยกว่าหรอื เท่ากบั

= แทนความความสมั พันธ์ เทา่ กับ

≠ แทนความความสมั พันธ์ ไมเ่ ท่ากบั

ในการแกอ้ สมการนนั้ มหี ลกั ในการแกอ้ สมการโดยใช้คณุ สมบตั ิการไมเ่ ท่ากัน
ดงั ตอ่ ไปนี้ ได้แก่

1.คุณสมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนเท่ากัน

2.คุณสมบัติการลบด้วยจานวนเทา่ กนั

3.คณุ สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนจรงิ บวก

4.คุณสมบัตกิ ารคณู ด้วยจานวนจรงิ ลบ

21

อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว คอื อสมการทม่ี ตี วั แปรเพยี งตัวเดยี ว และ
เลขชก้ี าลงั ของตวั แปรเปน็ หน่ึง สัญลกั ษณแ์ สดงความสมั พันธ์ แทน
ความสมั พนั ธ์

กราฟแสดงคาตอบของอสมการ

เราจะเลือกใชจ้ ุดทบึ (•) และจุดโปร่ง (°) แทนสัญลกั ษณอ์ สมการ ดังนี้

มากกว่า (>) ใช้จดุ โปรง่ นอ้ ยกว่า (<) ใช้จดุ โปร่ง

ไม่ท่ากบั (≠) ใชจ้ ดุ โปร่ง มากกวา่ หรือเท่ากบั (≥) ใช้จดุ ทึบ

นอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กับ (≤) ใช้จุดทึบ

กำรแกอ้ สมกำรเชงิ เส้นตัวแปรเดียว

สมบัตขิ องการบวกไมเ่ ท่ากนั

1. ถา้ a > b แล้ว a + c > b + c สมบัตกิ ารคณู ไมเ่ ทา่ กนั

2. ถ้า a > b แลว้ a - c > b - c 1. ถา้ a > b แล้ว a c > b c เม่อื c > 0
3. ถา้ a < b แล้ว a + c < b + c 2. ถา้ a < b แลว้ a c < b c เม่อื c > 0
4. ถา้ a < b แลว้ a - c < b – c 3. ถ้า a > b แลว้ a c < b c เมอ่ื c < 0
4. ถา้ a < b แลว้ a c > b c เมื่อ c < 0
5. ถา้ a > b แล้ว a c = b c เมือ่ c = 0
6. ถา้ a < b แลว้ a c = b c เมื่อ c = 0

ตัวอยำ่ ง 22
1.1 7(x+3) -5 ≤ 4x+8
วิธที า 7(x+3) -5 ≤ 4x + 8 1.2 8 - 3 < 23

7x + 21 -5 ≤ 4x + 8 5
7x + 16 ≤ 4x + 8
7x - 4x ≤ 8 – 16 วิธที ำ จาก 8 - 3 < 23
3x ≤ -8
x ≤−8 5

3 - 3 < 23 - 8

1.1 5

- 3 < 15

5

x < 15∗5

3

x > -25

−8
3

1.2

-25

วธิ กี ำรทำโจทยอ์ สมกำร มขี ้ันตอนดังน้ี
1. อา่ นโจทย์ให้ดี แล้วกาหนดตวั แปรเปน็ คาตอบทโี่ จทย์ตอ้ งการหา
2.นาขอ้ มูลที่อ่านไดจ้ ากโจทยม์ าเขยี นเปน็ ประโยคสญั ลกั ษณ์
3.ใช้หลักการแกอ้ สมการจากสมบตั ิการไมเ่ ทา่ กนั

23

ตัวอย่ำง : สมศรีมเี หรยี ญบาทและเหรยี ญสลงึ คดิ เปน็ เงิน 20 บาท นบั ดูมี
จานวนเหรยี ญมากกวา่ 50 เหรียญ แต่ไมถ่ ึง 60 เหรียญ อยากทราบวา่
สมศรีมเี หรยี ญบาทไดก้ เี่ หรียญ

วธิ ที า เงินบาท เงินสลึง รวม
x 20-x 20
ขอ้ มูล x 4(20-x) X+4(20-x)
มลู ค่า (บาท)
จานวนเหรียญ

จากโจทย์ มจี านวนเหรยี ญมากกวา่ 50 แต่ไมถ่ ึง 60 เหรียญ
จะได้วา่ 50 < x+4(20-x) < 60

50 < x+80-4x < 60

50 < 80-3x < 60

50-80 < 80-3x-80 < 60-80

-30 < -3x < -20
คูณด้วย -1 ทั้งสมการเพือ่ เปลี่ยนเครอ่ื งหมาย

30 > 3x > 20

1(30) > 1(3x) > 1(20)

3 33

10 > x > 20

3

10 > x > 62

3

62 10

3

เนอ่ื งจาก x เปน็ จานวนเหรยี ญ ตอ้ งเปน็ เลขจานวนเต็ม ดงั น้ัน x ไดแ้ ก่ 7,8,9

ตอบ สมศรีอาจมเี หรียญบาทได้ 7,8 หรอื 9 เหรียญ

24

สมกำรกำลงั สองตัวแปรเดยี ว

25

สมกำรกำลงั สองตัวแปรเดยี ว

สมการกาลงั สอง คอื สมการที่เขียนในรปู ท่ัวไปได้เปน็ ax2 + bx + c =
0 เม่อื a, b, c เปน็ คา่ คงตัวและ a ไม่เทา่ กบั 0

การแกส้ มการกาลงั สอง หมายถงึ การคานวณเพอื่ หาคา่ ของตัว
แปร ซ่งึ จะไดค้ า่ ตัวแปร 2 ค่า โดยคา่ ทัง้ สองอาจเท่ากนั หรือไม่เท่ากนั ก็ได้ คา่
ของตวั แปรทไี่ ดบ้ างครั้งเรยี กวา่ รากของสมการ หรอื คาตอบของสมการ

วธิ กี ารแก้สมการ ขัน้ ตอนแรกใหจ้ ัดขวามอื ของเครือ่ งหมาย
เทา่ กับใหเ้ ปน็ 0 แล้วการคานวณจะมไี ด้ 3 วธิ ี คอื โดยวธิ ใี ช้สตู ร การแยกตวั
ประกอบ และวธิ ีกาลังสองสมบรู ณ์

กำรแก้สมกำรกำลงั สองโดยวิธที ำใช้สตู ร

สตู รท่เี ราจะใชใ้ นการแกส้ มการกาลงั คอื = − ± 2−4

2

ถา้ เรอยากรู้ว่าสมการน้นั มกี ค่ี าตอบโดยเราสามารถพิจารณา 2 − 4

2 − 4 > 0 แสดงวา่ สมการมี 2 คาตอบ
2 − 4 = 0 แสดงว่าสมการมี 1 คาตอบ
2 − 4 < 0 แสดงวา่ ไมม่ คี าตอบในระบบสมการ

กำรแก้สมกำรกำลังสองโดยวิธีกำรแยกตวั ประกอบ(factors)
สมมติวา่ แยกตัวประกอบพหุนามไดเ้ ปน็ (x + a)(x + b) = 0 เราสามารถ
สรุปได้ว่า x + a = 0 หรือ
x + b = 0 โดยท่ี d และ e เป็นค่าคงตัว
ตัวอยำ่ ง

(x – 4)(x + 3) = 0 ดังนนั้ x -4 = 0 ⇒ x = 4 หรือ x +3 = 0 ⇒ x = -3
(2x + 3)(3x + 6) = 0 ดงั นน้ั 2x +3 = 0 ⇒ x = - 3 หรอื x + 2 = 0 ⇒ x = -2

2

26

กำรแกส้ มกำรกำลังสองโดยวิธกี ำลงั สองสมบรู ณ์
1. ทาสมั ประสทิ ธิ์ของ x2 ให้เปน็ 1 ก่อน
2. จดั ให้พจนอ์ สิ ระ คอื พจน์ที่ไมม่ ี x อยูท่ างขวามือของเครอ่ื งหมายเทา่ กับ
3. ใหบ้ วกด้วยกาลงั สองของครง่ึ หนงึ่ ของสมั ประสทิ ธิ์ของ x ทงั้ สองขา้ ง
ของเครอ่ื งหมายเท่ากับ
4. ทางด้านซ้ายมอื ของเครอื่ งหมายเทา่ กับใหเ้ ขียนเปน็ รปู สองพจนย์ ก
กาลงั สอง

ตัวอยำ่ งกำรแกส้ มกำรกำลงั สองโดยวิธที ำใช้สูตร

12x2+24x+9 =0 ตรวจคาตอบ
a = 12 , b = 24 , c = 9 2 − 4 > 0

− ± 2 − 4 (24)2−4(12)(9) > 0
= 2 144 > 0

−(24) ± 242 − 4(12)(9) 144 > 0 สมการมี 2 คาตอบ
= 2(12)
หรือ
−(24) ± 576 − 432) 12x2+24x+9 =0
= 24
12 (−1 ) 2+24 (−1 ) +9 = 0
−(24) ± 144
= 24 22

−(24) ± 12 3-12+9 = 0
= 24
0=0
−24 + 12 −24 − 12 12 (−3 ) 2+24 (−3 ) +9 = 0
= 24 24
22
−1 −3
= 2 2 24-36+9 = 0

0=0

ดงั น้ัน คาตอบของสมการน้ี คือ −1และ −3

22

27

ตัวอยำ่ งกำรแกส้ มกำรกำลงั สองโดยวธิ กี ำรแยกตัวประกอบ
3x2+48x+144 = 0

(3x+12)(x+12) = 0
x = −12 , -12

4

x = -4, -12

ตรวจคาตอบ

3(-4)2+48(-4)+144 = 0 3(-12)2+48(-12)+144 = 0
48-192+144 = 0 432-576+144 = 0
0=0 0=0

ตวั อยำ่ งกำรแกส้ มกำรกำลงั สองโดยวิธกี ำลังสองสมบรู ณ์

2x2+12x+4 = 0 ตรวจคาตอบ

x2+6x+2 = 0 2(-3+√7) 2+12(-3+√7 )+4 = 0
(x+3)2-9+2 = 0 32-12√7 - 192-√7 +4 = 0
0=0
(x+3)2-7 = 0
2(-3+√7) 2+12(-3+√7 )+4 = 0
x = -3±√7
x = -3+√7 , -3-√7

32+12√7 – 36-12√7 +4 = 0
0=0

28

ระบบสมกำร
และควำมสมั พันธเ์ ชงิ เสน้

29

ระบบสมกำรและควำมสมพันธ์เชิงเส้น

สมการหลาย ๆ สมการท่กี าหนดไวใ้ นกลมุ่ ของสมการทมี่ ีตวั แปรมากกวา่ 1
ตัว และกาลังของตัวแปรมคี า่ ตั้งแต่ 1 ข้นึ ไป ถ้ามี 2 ตัวแปรจะต้องมอี ยา่ ง
นอ้ ย 2 สมการ จึงจะสามารถหาคาตอบองระบบสมการได้ เรียกระบบของ
สมการดังกกลา่ ว่า ระบบสมการ 2 ตัวแปร

1.หน้าตาของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรอยูใ่ นรปู ท่วั ไป คือ
Ax + By + C = 0 เมอ่ื A, B, C เปน็ ค่าคงตัว และ A, B ไมเ่ ป็น 0 พร้อมกนั
กราฟของสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรดังกลา่ วจะเป็นเสน้ ตรง

30

สาหรับคู่อนั ดับ (x, y) ใด ๆ จะเปน็ คอู่ นั ดบั ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ 3x
- 2y = 4 กต็ อ่ เมอื่ แทนคา่ x และ y ของแตล่ ะคู่อนั ดบั นั้น ในสมการ 3x -
2y = 4 แลว้ ทาให้สมการเปน็ จรงิ เราเรยี กคู่อนั ดบั เหลา่ นนั้ วา่ คาตอบของ
สมการ 3x - 2y = 4

คูอ่ ันดับ (x, y) คาตอบเหล่านน้ั จะเปน็ พกิ ัดของจุดท่อี ยูบ่ นเสน้ ตรง
3x - 2y = 4 ในทางกลบั กันค่อู นั ดบั (x, y) ท่ีเป็นพิกดั ของจดุ ท่อี ยบู่ น
เส้นตรง 3x - 2y = 4 กจ็ ะเปน็ คาตอบของสมการ 3x - 2y = 4 ด้วย

เนอ่ื งจากคอู่ นั ดบั ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ 3x - 2y = 4 มมี ากมายไม่
จากัด ดงั น้ัน สมการ 3x - 2y = 4 จงึ มคี าตอบมากมายไมจ่ ากัดด้วย

โดยทั่วไปเราเรยี กคู่อนั ดบั (x, y) ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการเชิงเสน้ สอง
ตัวแปร Ax + By + C = 0 วา่ คาตอบของสมการและกราฟแสดงคาตอบ
ของอสมการ Ax + By + C = 0 จะเป็นเสน้ ตรงเราเรยี กเสน้ ตรงน้วี า่
เสน้ ตรง Ax + By + C = 0

31

ตวั อยำ่ ง
3x – y = 3 ---------①
2x + y = 2 ---------②

เราเรียกชุดของสมการท้งั สองท่พี ิจารณาคาตอบรว่ มกันว่า ระบบ
สมการเชิงเส้นสองตวั แปร
ให้ a, b, c, d, e และ f เปน็ จานวนจริง ท่ี a, b ไมเ่ ปน็ 0 พร้อมกนั และ c, d
ไม่เป็น 0 พร้อมกนั ระบบทีป่ ระกอบด้วยสมการ

ax + by = e cx + dy = f
เรียกวา่ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ทมี่ ี x และ y เป็นตัวแปร
โดยท่ี a และ c เปน็ สมั ประสทิ ธข์ิ อง x

b และ d เปน็ สัมประสทิ ธิข์ อง y
คาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คอื คูอ่ ันดับ (x, y) ที่สอดคล้อง
กับสมการท้ังสองของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร คือ คู่อนั ดับ (x, y) ท่ี
ค่า x และค่า y ทาใหไ้ ดส้ มการเปน็ จรงิ ทง้ั 2 สมการ

32

2.กราฟของเส้นตรง 2 เสน้ มีโอกาสเกดิ ขน้ึ ก่ีกรณี?
กราฟของเสน้ ตรง 2 เสน้ มีโอกาสเกดิ ขึ้น 3 กรณี คอื

2.1 ตดั กัน

สมการมี 1 คาตอบ 2.2 ขนานกนั
2.3 ทับกนั สมการไม่มีคาตอบ

สมการมี 2 คาตอบ

33

ตวั อยา่ ง
1.1 x+y = 23 ---------①

4x-y = 19 ---------②
แกส้ มการหาคา่ ของ x และ y ดว้ ยวิธกี ารเขียน x ในเทอม y

x+y = 23
y = 23-x

เม่อื เขียน x ในเทอม y แลว้ แทนเข้าในสมการที่ 2 เพอื่ หาค่า x
4x-(23-x) = 19
4x-x = 19+23
3x = 42
x = 42

3

x = 14
เมอ่ื ได้คา่ x แลว้ นาคา่ x แทนในสมการที่ 1 เพื่อหาคา่ y

x+y = 23
14+y = 23

y = 11
กราฟท่ีได้จากสมการชุดนี้ มีลักษณะกราฟทีต่ ัดกัน
ดังน้นั คาตอบของสมการนีม้ ีเพยี งคาตอบเดียว

34

ตวั อย่าง
1.1 x+y = 23 ---------①

4x-y = 19 ---------②
แกส้ มการหาคา่ ของ x และ y ดว้ ยวิธกี ารเขียน x ในเทอม y

x+y = 23
y = 23-x

เม่อื เขยี น x ในเทอม y แลว้ แทนเขา้ ในสมการท่ี 2 เพอื่ หาคา่ x
4x-(23-x) = 19
4x-x = 19+23
3x = 42
x = 42

3

x = 14
เม่ือไดค้ ่า x แล้ว นาค่า x แทนในสมการที่ 1 เพื่อหาคา่ y

x+y = 23
14+y = 23

y = 11
กราฟท่ีไดจ้ ากสมการชุดนี้ มลี กั ษณะกราฟท่ตี ดั กัน
ดังนน้ั คาตอบของสมการนี้มีเพยี งคาตอบเดียว

35

ตวั อยา่ ง
1.1 x+y = 23 ---------①

4x-y = 19 ---------②
แกส้ มการหาคา่ ของ x และ y ดว้ ยวิธกี ารเขียน x ในเทอม y

x+y = 23
y = 23-x

เม่อื เขียน x ในเทอม y แลว้ แทนเข้าในสมการที่ 2 เพอื่ หาค่า x
4x-(23-x) = 19
4x-x = 19+23
3x = 42
x = 42

3

x = 14
เมอ่ื ได้คา่ x แลว้ นาคา่ x แทนในสมการที่ 1 เพื่อหาคา่ y

x+y = 23
14+y = 23

y = 11
กราฟท่ีได้จากสมการชุดนี้ มีลักษณะกราฟทีต่ ัดกัน
ดังน้นั คาตอบของสมการนีม้ ีเพยี งคาตอบเดียว

36

กรำฟของฟงั กช์ ่ันกำลังสอง

37
กรำฟของฟงั กช์ ัน่ กำลงั สอง

ฟงั ก์ชนั กาลังสองเป็นฟังก์ชนั ท่ีอยใู่ นรปู y = ax2 + bx +c เมือ่ a ,b,c

เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ และ a ≠ 0 ซง่ึ กราฟของฟงั กช์ นั กาลงั

สอง เรยี กว่า พำรำโบลำ

1. y = 2x2 + 3x – 10 เม่ือ a = 2 , b = 3 และ c = -1

2. y = x2 + 1 เมื่อ a = 1 , b = 0 และ c = 1

3. y = -x2 + 2x + 1 เม่อื a = -1 , b = 2 และ c

1.กรำฟของฟงั กช์ ันกำลงั สอง ทีก่ ำหนดดว้ ยสมกำร y = ax2 เม่อื a ≠ 0
กราฟของฟังก์ชนั กาลังสอง มชี ่อื เรียกว่า พาราโบลา ซึง่ ลักษณะของ

กราฟของฟังก์ชนั ข้ึนอยู่กบั ค่าของ a,b และ c และเม่ือ a เปน็ บวกหรือลบจะ
ทาให้ได้กราฟเป็นเสน้ โคง้ หงายหรอื ควา่ และกราฟของฟงั กช์ นั กาลงั สองที่
กาหนดดว้ ยสมการy = ax2 เมื่อ a ≠ 0 เมอื่ a,> 0 และ ชนดิ ควา่ เมื่อ a < 0

สรปุ ลกั ษณะของกราฟท่ีกาหนดดว้ ยสมการ y = ax2 เมือ่ a ≠0
- เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดต่าสดุ อยทู่ ่ี (0, 0)
- เม่ือ a < 0 ไดพ้ าราโบลาคว่า จดุ สูงสุดอย่ทู ่ี (0, 0)
- แกนสมมาตรคือ แกน Y หรือเส้นตรง X = 0
- สมการแกนสมมาตรคอื X = 0
- เมอื่ a > 0 คา่ ตา่ สดุ คือ 0 และ เมื่อ a < 0 คา่ สงู สดุ คอื 0
- | a | ยิ่งมากกราฟยงิ่ แคบ

ตวั อย่าง 38
1.1 y = 15x2 = 15(x – 0)2+ 0
1.2 y = -10x2 = -10(x – 0)2+ 0
a = 15 a = -10
พาราโบลาหงาย พาราโบลาคว่า
มจี ุดต่าสุดที่ (0, 0) มีจดุ สูงสุดที่ (0, 0)
คา่ ต่าสุดท่ี y = 0 ค่าตา่ สุดท่ี y = 0
สมการแกนสมมาตร x = สมการแกนสมมาตร x = 0
จุดตดั แกน x = 0 จดุ ตัดแกน x = 0
จุดตัดแกน y = 0 จุดตดั แกน y = 0

39

2.กรำฟทกี่ ำหนดดว้ ยสมกำร y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 และ k ≠ 0
กราฟท่กี าหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k

เม่อื a ≠ 0 และ k ≠ 0 จะเปน็ กราฟพาราโบลาท่มี จี ดุ วกกลบั หรอื
จุดสูงสดุ หรือจุดตา่ สดุ อยู่ที่ (0, k) และแกนสมมาตรคอื แกน Y

สรุป ลกั ษณะของกราฟทีก่ าหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k
- ถา้ a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย จุดตา่ สุดอยทู่ ี่ (0, k) ค่าต่าสดุ = k
- ถ้า a < 0 ได้พาราโบลาคว่า จุดสงู สดุ อยูท่ ี่ (0, k) ค่าสงู สุด = k
- แกนสมมาตรคอื แกน y หรอื เส้นตรง x = 0 สมการแกนสมมาตร
คือ x = 0
- ถา้ k > 0 จุดวกกลบั อยเู่ หนือแกน X
- ถา้ k < 0 จุดวกกลับอย่ใู ต้แกน X
- ถา้ a, k มเี ครอื่ งหมายเหมอื นกนั กราฟไมต่ ัดแกน X
- ถา้ a, k มเี ครือ่ งหมายตา่ งกนั กราฟจะตัดแกน X

40

ตวั อย่าง

1.1 y = 5x2+50 = 5(x – 0)2+ 50 1.2 y = -12x2-40 = -10(x – 0)2 -60

a = 5 , k = 50 a = -12 , k = -40

พาราโบลาหงาย พาราโบลาควา่

มีจดุ ต่าสดุ ท่ี (0,50) มจี ดุ สงู สดุ ท่ี (0,-40)

ค่าต่าสดุ ท่ี y = 50 ค่าตา่ สดุ ท่ี y = -40

สมการแกนสมมาตร x = 0 สมการแกนสมมาตร x = 0

จดุ ตดั แกน x = ไมม่ ีจุดตดั แกน x จุดตดั แกน x = ไม่มจี ุดตัดแกน x

จุดตัดแกน y = (0, 50) จุดตัดแกน y = (0,-40)

41

3. กรำฟของ y = a(x – h)2 เม่ือ a ≠ 0 และ h > 0
3.1) กราฟท่ีกาหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0

จะเป็นกราฟพาราโบลาท่ีมีจดุ วกกลบั หรอื จดุ สูงสดุ หรอื จุดตา่ สดุ
อยู่ที่ (h, 0) และแกนสมมาตรคือเสน้ ตรง x = h
3.2) กราฟของ y = a(x – h)2 เม่ือ a ≠ 0 และ h < 0
ถ้า h < 0 จะไดส้ มการใหม่เป็น y = a(x – (-h))2 = a(x + h)2

สรปุ ลักษณะของกราฟทีก่ าหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2
- ถา้ a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย จดุ ตา่ สดุ อยทู่ ี่ (h, 0) ค่าต่าสดุ = 0
- ถ้า a < 0 ไดพ้ าราโบลาควา่ จดุ สงู สุดอยทู่ ี่ (h, 0) ค่าสงู สุด = 0
- แกนสมมาตรคอื เส้นตรง x = h สมการแกนสมมาตรคอื x = h
- h > 0 แกนสมมาตรอยทู่ างซา้ ยของแกน Y
- h < 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน Y

42

ตวั อยา่ ง

1.1 y = 2(x – 1)2+ 0 1.2 y = -3(x + 4)2 + 0

a=2,h=1 a = -3 , h = -4

พาราโบลาหงาย พาราโบลาคว่า

มจี ุดต่าสดุ ที่ (1,0) มีจุดสงู สุดที่ (-4,0)

คา่ ต่าสุดท่ี y = 0 ค่าตา่ สุดท่ี y = 0

สมการแกนสมมาตร x = 1 สมการแกนสมมาตร x = -4

จดุ ตัดแกน x = (1,0) จุดตดั แกน x = (-4,0)

จดุ ตัดแกน y = (0,2) จดุ ตัดแกน y = (0,-48)

43

4. กรำฟของฟงั กช์ นั กำลงั สองที่กำหนดด้วยสมกำร y = a(x – h)2 + k
เมอื่ a ≠ 0 , h ≠ 0 และ k ≠ 0
เปน็ พาราโบลาท่ีมีจดุ วกกลบั หรือจดุ สงู สุดหรอื จุดต่าสุดอยู่ที่ (h, k) และมี
แกนสมมาตรคอื เสน้ ตรง x = h

สรุป ลักษณะของกราฟท่กี าหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
- เมอื่ a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย จุดต่าสุดอยู่ที่ (h, k) คา่ ต่าสุด = k
- เม่อื a < 0 ไดพ้ าราโบลาควา่ จดุ สูงสดุ อยู่ท่ี (h, k) คา่ สูงสุด = k
- ถ้า k > 0 จุดวกกลับอยูเ่ หนือแกน X
- ถ้า k < 0 จุดวกกลับอยู่ใตแ้ กน X
- แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h สมการแกนสมมาตรคอื x = h
- ถา้ h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซา้ ยมอื ของแกน Y
- ถา้ h < 0 แกนสมมาตรอยทู่ างขวามือของแกน Y
- ถา้ a และ k มเี ครื่องหมายเหมอื นกันกราฟไม่ตัดแกน X
- ถ้า a และ k มีเครื่องหมายตา่ งกันกราฟตดั แกน X

ตวั อยา่ ง 44

1.1 y = 4(x + 3)2- 25 1.2 y = -4(x + 2)2 - 5
a = -4, h = -2 , k = -5
8 16 พาราโบลาคว่า
มจี ุดสูงสุดที่ (-2,5)
a = -7, h = -3 , k = - 25 ค่าต่าสดุ ท่ี y = -5
สมการแกนสมมาตร x = -2
8 16 จุดตดั แกน x = ไม่มจี ดุ ตัดแกนx
จุดตดั แกน y = (0,-21)
พาราโบลาหงาย

มจี ุดต่าสุดที่ (3,25)

8 16

คา่ ต่าสุดท่ี y = 25

16

สมการแกนสมมาตร x = 3

8

จุดตัดแกน x = (-1,0) (1,0)

4

จุดตดั แกน y = (0,-1)

45

5. กรำฟทก่ี ำหนดดว้ ยสมกำร y = ax2 + bx + c เมอ่ื a ≠ 0
การเขียนกราฟควรจดั สมการใหอ้ ยูใ่ นรูป y = a(x – h)2 + k จะทาใหเ้ ขยี น
กราฟได้ง่ายข้นึ
จากสมการ y = ax2 + bx + c สามารถเปลย่ี นให้อย่ใู นรูป y = a(x – h)2 + k
ได้โดยใช้ความรู้เรอ่ื งกาลังสองสมบรู ณ์

Proof y = ax2 + bx + c

2 + +



+ 2 − 2 +

2 4

+ 2 + 4 − 2

2 4

+ + 4 − 2
2 4
เทียบ − 2 +
= ℎ

ℎ, = − , 4 − 2

2 4

46

ตวั อย่าง
1.1 y = 3x2 - 12x + 9
หา (h,k) โดยการทาให้เป็น y = a(x – h)2 + k
3[(x2-4x+3)]
3[(x-2)2-4+3]
3[(x-2)2-1]
3(x-2)2- 3
a = 2 , h = 2 , k = -3
พาราโบลาหงาย
มีจดุ ตา่ สดุ ที่ (2,-3)
ค่าตา่ สดุ ท่ี y = -3
สมการแกนสมมาตร x = 2
จุดตดั แกน x = (1,0) (3,0)
จุดตดั แกน y = (0,9)

47

1.2 y = 2(x – 1)2+ 0
หา (h,k) โดยใช้สตู ร ℎ, = − , 4 − 2

2 4

a = -4 , b = 4 , c = 3

ℎ, = − 4 , 4(−4)(3)−(4)2
2(−4) 4(−4)

4 −48 + 16
ℎ, = − −8 , −16

1
ℎ, = 2 , 4

a = -4 , h = 1 , k = 4 มีจดุ ต่าสดุ ที่ (1,4)

2 2

พาราโบลาคว่า สมการแกนสมมาตร x = 1

ค่าต่าสุดท่ี y = 4 2
จดุ ตัดแกน x = (1,0) (3,0)
จดุ ตัดแกน y = (0,3)
22