จำนวนและพีชคณิต

48

พหนุ ำม

49 พหนุ ำม

นิพจนท์ ่ีอยู่ในรปู เอกนาม หรือเขียนในการดาเนนิ การต่างๆ(+,-,x,÷)
ตั้งแตส่ องเอกนามข้นึ ไป

เอกนาม คือ นิพจน์ทส่ี ามารถเขียนใหอ้ ย่ใู นรูปการคูณของตวั แปรต้ังแต่
หนง่ึ ตวั ข้นึ ไปและเลขชกี้ าลงั ของตัวแปรเปน็ ศนู ย์หรือเต็มบวก เช่น 2x ,
-2^2 ในกรณีที่เอกนามคลา้ ยกัน จะเรยี กวา่ พจน์ทีค่ ลา้ ยกนั และ
สามารถรวมพจนท์ ่คี ลา้ ยใหเ้ ขา้ ด้วยกนั เพ่ือไมใ่ หม้ ีพจนท์ ี่คลา้ ยกันได้

กำรบวกพหุนำม

ทาได้โดยนาพหุนามมาเขยี นในรูปการบวกและถา้ มีพจนท์ ่คี ลา้ ยกัน ให้
นามาบวกกันดว้ ย

การบวกพหุนามแบง่ ได้เปน็ 2 รูปแบบ คือ

1.การบวกในแนวนอน 2.การบวกในแนวตั้ง

ตัวอย่าง
1.การบวกในแนวนอน
1.1. ผลบวกของ ( -12x+15) และ 5x

จัดรูปได้ ( -12x+5x )+15
จะได้ -7x+15

1.2. ผลบวกของ ( 9y-4 ) และ ( -5y+2 )
จัดรูปได้ ( 9y-5y ) + ( -4+2 )
จะได้ 4y-2

50

1.3. ผลบวกของ ( 3z²+7xy+9z ) และ ( -7z²+2x-2xy )
จดั รปู ได้ ( 3z²-7z² ) + ( 7xy-2xy ) + 9z + 2x
จะได้ -4z²+5xy+9z+2x

2.การบวกในแนวต้ัง 2.2 ผลบวกของ ( 9xz² + 35 ) กับ
2.1 ผลบวกของ 32x² + 9 กบั 6x² (10xz² +25 )
วธิ ที า 32x² + 9 วิธีทา 9xz² + 35

+ +
5x² + 0 10xz²+ 25
37x² + 9 19xz² + 50

2.3 ผลบวกของ ( 21z² + 19xy² + 10 ) กบั (5x² +
20xy² + 9z² )
วธิ ที า 21z² + 19xy² + 10

+
9z² + 20xy² + 0 + 5x²
30z² + 39xy² + 5x² +10

51
กำรลบพหนุ ำม

ทาไดโ้ ดยนาพหนุ ามมาเขยี นในรปู การบวกและถ้ามีพจน์ที่คลา้ ยกนั ให้
นามาลบกนั ด้วย
การลบพหุนามแบ่งได้เปน็ 2 รูปแบบ คอื
1.การลบในแนวนอน 2.การลบในแนวตั้ง

ตัวอยา่ งเช่น
1.การลบในแนวนอน
1.1. ผลลบของ 6x กบั (4x + 7)

จดั รปู ได้ ( 6x – 4x ) – 7
จะได้ 2x – 7

1.2.ผลลบของ (–14y – 1) กบั (6y -12)
จดั รูปได้ (-14y – 6y ) -1 + 12
จะได้ -20x +11

1.3. ผลลบของ (15xy² - 6x² + 9y ) กับ ( 8xy² - 7yx +2y )
จดั รูปได้ (15xy² - 8xy²) - 6x² - (9y+2y) – 7xy
จะได้ 7xy² - 6x² + 7y

52

2.1.การลบในแนวต้งั
1.1.ผลลบของ (28x – 15) กบั 5x
วิธีทา 28x – 15

-
5x - 0
23x – 15

1.2 ผลลบของ (15xy -2) กบั (9xy -4)
วิธที า 15xy - 2

-
9xy - 4
6xy + 2

1.3. ผลลบของ ( 6xz² + 8y – 25x ) กบั ( 7y + 24x - 18z )
วธิ ที า 6xz² + 8y – 25x

-
0 + 7y + 24x - 18z
6xz² + y - 49x - 18

53
กำรคูณพหุนำม

ในการหาผลคณู ของจานวนใดๆ เราสามารถใช้สมบตั กิ ารสลับที่ สมบัติการเปลีย่ น
กลุม่
และสมบตั กิ ารแจกแจง มาหาผลคณู ของจานวนนนั้ ๆได้
สมบัตกิ ารแจกแจง คือ a (b + c) = (a×b) + ( a×c)
สมบตั ิการสลบั ที่ คอื a× b = b × a
สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุม่ คอื (a×b) ×c = a × (b × c)
การหาผลคณู ของพหนุ ามกับพหนุ าม มีหลกั เกณฑด์ งั นี้" การหาผลคณู ของพหุนาม
กบพหุนาม ทาไดโ้ ดยการคูณแตล่ ะพจน์ของพหุนามหน่ึงกบั ทกุ ๆ พจน์ ของอกี พหุ
นามหนง่ึ แล้วนาผลคณู เหลา่ นน้ั มาบวกกัน
การคูณพหนุ าม มี 2 รปู แบบ คอื
1.การคณู ในแนวนอน 2.การคณู ในแนวต้งั
การคณู พหุนาม แบง่ ไดเ้ ปน็ 3 หัวขอ้ ดงั นี้
1.การคณู กนั ระหวา่ งเอกนามและเอกนาม
2.การคูณกันระหวา่ งเอกนามและพหนุ าม
3.การคณู กนั ระหว่างพหนุ ามและพหนุ าม

กำรคูณกันระหวำ่ งเอกนำมและเอกนำม
ทาได้โดยนาค่าคงตัวของแตล่ ะเอกนามมาคณู กันและนาตวั แปรในแตล่ ะเอก
นามมาคูณกนั โดยใชส้ มบัติของเลขยกกาลงั

ตัวอย่าง 54
1.การคณู ในแนวนอน
1.1. ผลคูณของ 2x กบั 5x 2.การคูณในแนวตง้ั
1.1. ผลคณู ของ 14x³ กบั 32 x⁴
จัดรปู ได้ 2x * 5x วธิ ีทา 14x³
จะได้ 10x²
*
1.2. ผลคูณของ 15x² กบั 15x² 32 x⁴
จดั รูปได้ 15x² * 15x² 448x⁷
จะได้ 225x²
1.2. ผลคณู ของ 8x² กับ 25x⁴
1.3. ผลคูณของ 20x³ กับ 15x² วธิ ีทา 8x²
จัดรปู ได้ 20x³ * 15x²
จะได้ 300x⁵ *
25x⁴
200x⁶

1.3. ผลคณู ของ 12x⁴ กับ 13x⁴
วธิ ที า 12x⁴

*
13x⁴
156x⁸

55

กำรคูณกนั ระหว่ำงเอกนำมและพหนุ ำม
ทาไดโ้ ดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง(นาเอกนามคณู ทุกพจน์ของพหุนาม)

1.การคูณในแนวนอน 2.การคณู ในแนวตง้ั
1.1. ผลคณู ของ ( 2x ) กบั ( x + 4 ) 1.1.ผลคณู ของ (6x² + 16) กบั (5x³)
วธิ ีทา 7x² + 17
จดั รปู ได้ ( x * 2x ) + (4 * 2x)
จะได้ 2x² + 8x *
5x³
1.2. ผลคูณของ ( 16 ) กับ (2x² + 16 ) 35x⁵ + 85x³
จัดรปู ได้ ( 2x² * 16 ) + (16 * 16 )
จะได้ 32x² + 256

1.3. ผลคณู ของ ( 5x² ) กบั ( 15x3+25x2)
จัดรูปได้ ( 5x2 * 15x3) ( 5x2 * 25x2)
จะได้ 75x5 + 125x4

1.3. ผลคณู ของ (7x - 8y) กบั (5x) 1.2. ผลคณู ของ (2x + 3y) กับ (5y)
วธิ ที า 7x - 8y วธิ ีทา 2x + 3y

* *
5x 5y
35x² - 40xy 10xy + 15y²

56

กำรคูณกันระหว่ำงพหนุ ำมและพหนุ ำม
ทาไดโ้ ดยคณู แตล่ ะพจนข์ องพหนุ ามหนงึ่ กบั ทุกๆพจนข์ องอีกพหนุ ามหนงึ่ แลว้
นาผลคูณมาบวกกนั

1.การคณู ในแนวนอน
1.1. ผลคณู ของ ( x + 2)( x + 4)

จดั รปู ได้ ( x + 2)( x )( x + 2)( -4)
จะได้ 4x² - 2x - 81.2.

1.2.ผลคณู ของ (6x + 2 ) กับ ( 3x² – 5 )
จัดรปู ได้ (6x)( 3x²) + (6x)(-5) + (2)(3x²) + (2)(-5)
จะได้ 18x³ + 6x² - 30x - 10

1.3. ผลคูณของ 7x³ - 5x² - 3x กับ 2x²+ 4x + 6
จัดรปู ได้ (7x³)(2x²) + (7x³)(4x) + (7x³)(6) + (-5x²)(2x²) + (-5x²)(4x)
+ (-5x²)(6) + (-3x)(2x²) + (- 3x)(4x) + (- 3x)(6)
จะได้ 15x⁵ + 18x⁴ + 16x³ - 42x² -18x

57 1.2. ผลคูณของ (x² + 5x + 3 ) กับ (
x–5)
2.การคูณในแนวตงั้ วิธีทา x² + 5x + 3
1.1. ผลคณู ของ (5x - 6) กับ (x - 3)
วิธีทา 5x - 6 *
x–5
* x³ + 5x² + 3x
x–3
5x² - 6x +
+ 5x² -25x - 15
+ x³+ 10x² - 25x -15
- 15x + 18
5x² - 21x + 18

1.3. ผลคณู ของ ( 3x² + 4x – 2 ) กบั
( -2x²- 3x + 5 )
วิธที า 3x² + 4x – 2

*
2x²- 3x + 5
-6x⁴ - 8x³ + 4x²

+
9x3 - 12x2 + 6x

+
+ 15x2 + 20x – 10
-6x⁴ - 17x³ + 7x² + 26x – 10

58

กำรหำรพหุนำม

การหารพหุนามมี 2 ประเภทคอื
1.การหารยาว
2.การหารสังเคราะห์
การหารพหุนามแบง่ ไดเ้ ปน็ 2 หัวข้อ ดงั นี้
1.การหารพหุนามด้วยเอกนาม
2.การหารพหนุ ามดว้ ยพหนุ าม

1.การหารยาว

ความสมั พนั ธ์ของการหารยาว คือ ตวั ตง้ั ตัวหาร ผลหารและ เศษ ตัวตง้ั =
(ตัวหาร × ผลหาร) + เศษ

59

2.การหารสงั เคราะห์
วิธีการหารสังเคราะห์
สมมตใิ ห้ p(x) แทนพหุนามท่มี ดี กี รีมากกวา่ หรอื เท่ากบั 1
ถ้าต้องการหาร p(x) ดว้ ย x – c เมอ่ื c ≠ 0 ดว้ ยวธิ กี ารหารสังเคราะห์ จะมี
วธิ กี ารดงั ตอ่ ไปน้ี
1.เขียนสมั ประสทิ ธิข์ องพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขยี นเรยี งลาดบั กาลงั ของ x
จากมากไปหานอ้ ย และพจนใ์ ดไม่มีถอื วา่ สัมประสทิ ธิ์ของพจน์นน้ั เท่ากับ 0
2.เขยี น c เปน็ ตัวหาร
3.จานวนแรกในแถวท่ี 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4.นา c คูณกบั จานวนแรกของแถวท่ี 3 นาผลคณู ทไ่ี ด้มาใสใ่ นตาแหนง่ ทส่ี อง
ของแถวที่ 2
5.บวกจานวนในแถวที่ 1 และแถวท่ี 2 ในตาแหนง่ ทส่ี อง นาผลบวกใส่ใน
ตาแหนง่ เดยี วกันกับแถวท่ี 3
6.นา c มาคูณกับจานวนในตาแหนง่ ทีส่ องของแถวท่ี 3 นาผลคูณใส่ใน
ตาแหนง่ ทส่ี ามของแถวที่ 2
7.บวกจานวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตาแหนง่ ท่ีสาม นาผลบวกใสใ่ น
ตาแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
ทาเช่นนี้เร่ือยๆ ไป จนหมดทกุ ตาแหนง่ แล้วจะได้ว่า
จานวนแตล่ ะจานวนท่ไี ดใ้ นแถวที่ 3 (ยกเว้นจานวนสดุ ท้าย) เปน็ สมั ประสิทธ์ิ
ของของผลหาร ซึ่งจะเปน็ พหุนามทม่ี ดี ีกรนี อ้ ยกว่าดีกรขี อง p(x) อยู่ 1 จานวน
สุดทา้ ยของแถวท่ี 3 เป็นเศษของการหาร

60

กำรหำรพหนุ ำมด้วยเอกนำม
ทาได้โดยนาค่าคงตัวในแตล่ ะเอกนามมาหารกนั และนาตัวแปรในแต่ละ
เอกนามมาหารกัน

1.การหารยาว
1.1. ผลหารของ 6x² + 12x - 72 ทีห่ ารดว้ ย 6x

X+ 2
6x⟌6x² + 12x - 72

6x² + 12x
- 72

ดงั น้ัน ผลหารคือ X + 2 เศษ -72

1.2. ผลหารของ (16x³ – 36x² ) ท่ีหาร
ดว้ ย 4x²

4x – 9
4x²⟌16x³ – 36x²

16x³ – 36x²
0

ดังนัน้ ผลหารคอื 4x-9

61 1.3. ผลหารของ 5x³y² – 30x⁵ y⁴ ทห่ี าร

ดว้ ย 5x³y²
1 – 6x²y²

5x³y²⟌5x³y² – 30x⁵ y⁴
5x³y²– 30x⁵ y⁴
30x⁵ y⁴
0

ดงั น้นั ผลหารคือ 6x²y

กำรหำรพหนุ ำมด้วยพหนุ ำม
ทาไดโ้ ดยใช้วิธกี ารหารยาวหรือหารสงั เคราะห์ โดยเรยี งดีกรหี รอื กาลงั
ตัวแปรจากมากไปหานอ้ ย

1.การหารยาว
1.1. ผลหารของ ( x³ – 2x² – 8x + 15 ) ท่ีหารด้วย (x – 2)

x² – x – 3
x-2⟌x³ – 2x² – 8x + 15

x³ – x²
x² – 8x
x² – 2x
– 6x + 15
– 6x – 6
21 เศษ

ดงั นั้น ผลหารคือ x² – x – 3 เศษ 21

62

1.2. ผลหารของ ( -4x³+37x²-66x+21 ) ทห่ี ารด้วย (-x+7 )
4x²- 9x + 3

-x+7⟌-4x³+37x²-66x+21
4x³+28x²
9x²-66x
9x²-63x
-3x+21
-3x+21
0
ดังนั้น ผลหารคอื 4x²- 9x + 3

1.3. ผลหารของ ( 10x³ - 37x² + 32x – 5 ) ทห่ี ารดว้ ย ( 2x - 5 )
5x² - 6x + 1

2x - 5⟌10x³ - 37x² + 32x – 5
10x³ - 25x²
12x² + 32x
12x² - 30x
2x – 5
2x - 5
0
ดังนั้น ผลหารคือ 5x² - 6x + 1

63

2.การหารสงั เคราะห์
1.1. ผลหารของ ( 3x² - 5x – 2 ) ท่ีหารดว้ ย ( x - 2 )
c = -2 จาก x – c ได้ x – (-2) c = 2
วิธที า 2 3 -5 -2

62
31 0

ดังนัน้ ผลหารคือ 3x + 1

1.2. ผลหารของ (x³ +7x² + 7x -15 ) ท่ีหารด้วย ( x+3 )
c = 3 จาก x – c ได้ x – 3 c = -3
วธิ ที า -3 1 7 7 -15

-3 -12 15
1 4 -5 0
ดงั น้นั ผลหารคือ x² + 4x - 5

1.3. ผลหารของ ( 9x³ - 40x² - 35x + 55 ) ทหี่ ารด้วย ( x- 5 )
c = -5 จาก x – c ได้ x – ( -5 ) c = 5

วิธีทา 5 9 -40 -35 55
45 25 -50

9 5 -10 5
ดงั นั้น ผลหารคือ ( 9x² + 5x - 10 ) +5

64

กำรแยกตัวประกอบพหุนำมดกี รสี อง

65

แยกตวั ประกอบพหุนามดีกรสี อง

พหุนามที่เขียนไดใ้ นรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b, cเปน็ คา่ คงตวั ที่ a ≠ 0 และ
x เปน็ ตวั แปร
ในกรณที ี่ a = 1 และ c ≠ 0 พหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดียวจะอยู่ในรปู
x2 + bx + c ซ่ึงเราสามารถแยกตวั ประกอบได้โดยการหา จานวนเต็มสอง
จานวนท่คี ูณกันไดเ้ ทา่ กับพจน์ท่เี ป็นคา่ คงตัว c และบวกกันได้เท่ากับ
สัมประสิทธิ์ของ x คอื b (จานวนอะไรคูณกนั ได้ c บวกกันได้ b) ถ้าให้ m
และ n เป็นจานวนเตม็ สองจานวน ซง่ึ m*n = c และ m + n = b จะได้ว่า
x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
สาหรบั พหุนามดีกรีสอง เชน่ x2 + 4x 1เราไมส่ ามารถหาจานวนเต็มสอง
จานวนทีค่ ณุ กันเป็น 1 และบวกกนั เป็น 4 ได้ ดังนน้ั จึงไมส่ ามารถเขียนพหุ
นาม x2 + 4x + 1 ใหอ้ ยใู่ นรูปการคูณของพหนุ ามดกี รีหนงึ่ ทมี่ สี มั ประสทิ ธ์ิ
เป็นจานวนเต็มได้ แต่สามารถใชส้ ูตร x = −b± b2−4ac

2a

คาตอบทีไ่ ดม้ ี 2 คาตอบ เมอ่ื b² - 4ac > 0
มี 1 คาตอบ เมอ่ื b² - 4ac = 0
ไม่มีคาตอบ เม่อื b² - 4ac < 0
ในการหาได้ โดยใช้เรียนสมการอยใู่ นรูป ax2 + bx + c โดยท่ี a ≠ 0
กาลังสองสมบรู ณ์
(น + ล)2 = น2 + 2นล + ล2 และ (น - ล)2 = น2 - 2นล + ล2
ผลต่างกาลงั สอง
น2 - ล2 = (น + ล)(น – ล)

66

ตัวอยำ่ ง (น + ล)2 = น2 + 2นล + ล2 1.2 ( 4x² + 8x + 4 )
1.1 ( x² + 6x + 9 ) = ( 2x + 2 )( 2x + 2 )
= ( x + 3 )( x + 3 ) = ( 2x + 2 )²
= ( x +3 )² 1.4 ( 15x - 9 )²
1.3 ( 5x +5 )² = ( 15x )² - 2( 15x )( 9 ) + 9²
= ( 5x )² + 2( 5x )( 5 ) + 5² = ( 255x² - 270x + 108 )
= ( 25x² + 50x + 25 )

ตัวอย่ำง (น - ล)2 = น2 - 2นล + ล2 1.2 ( 4x² - 12x + 9 )
1.1 ( x² - 4x + 4 ) = ( 2x – 3 )( 2x – 3 )
= ( x – 2 )( x - 2 ) = ( 2x -3 )²
= ( x - 2 )² 1.4 ( 12x - 6 )²
1.3 ( 7x - 5 )² = ( 12x )² - 2( 12x )( 6 ) + 6²
= ( 7x )² - 2( 7x )( 5 ) + 5² = ( 144x² - 144x + 36 )
= ( 49x² - 50x + 25 )

67

ตัวอย่ำง น2 - ล2 = (น + ล)(น – ล) 1.2 49x² – 25
1.1 x² – 9 = ( 7x )² - 5²
= x² - 3² = ( 7x – 5 )( 7x +5 )
= ( x - 3 )( x – 3 ) 1.4 ( 2001 )² – ( 1999 )²
1.3 (3x-2)² – (x+5)² = ( 2001 – 1999 )( 2001 + 1999 )
= [(3x – 2)+(x+5)][(3x-2) – (x+5)] = 8,000
= (4x + 3)(2x – 7)

1.1 x² – 12x +11
a = 1 , b = -12 , c = 11

x = −(−2)± (−2)²−4(2)(−40)

2(2)

x = 12± 144−44

2

x = 12± 100

2

x = 12+10 , 12−10

22

x = 22 , 2

22

x = 11 , 1

ตรวจสอบว่า สมการมี 2 คาตอบจากสูตร b² - 4ac > 0
(-2)² - 4(2)(-40) > 0
144 – 44 > 0

68

1.2 2x² – 2x - 40
a = 2 , b = -2 , c = -40
x = −(−2)± (−2)²−4(2)(−40)

2(2)

x = 2± 4+320

4

x = 2± 324

4

x = 2+18 , 2−18

44

x = 20 , −16

44

x = 5 , -4

ตรวจสอบวา่ สมการมี 2 คาตอบจากสูตร b² - 4ac > 0
(-2)² - 4(2)(-40) > 0
4 + 324 > 0
324 > 0
ดงั นัน้ สมการนม้ี ี 2 คาตอบ

69

กำรแยกตวั ประกอบพหุนำม
ดีกรสี ูงกวำ่ สอง

70
กำรแยกตวั ประกอบของพหุนำมดีกรีสงู กวำ่ สอง

จะใชห้ ลักการของสามเหลย่ี มปาสคาล ในการเขียนสตู ร กาลัง n สมบูรณ์
(n คอื จานวนเต็มบวกใดๆ) ดังน้ี
(น + ล)3 = น3 + 3น2ล + 3นล2 + ล3
(น - ล)3 = น3 - 3น2ล + 3นล2 - ล3 เปน็ ต้น
ผลตา่ งและผลบวก กาลงั มากกวา่ 2
เชน่ กาลงั 3
น3 - ล3 = (น - ล)(น2 + นล + ล2)
น3 + ล3 = (น + ล)(น2 - นล + ล2)

71 1.2 ( m + 5)3
= (m + 5)(m2 – (m)(5) + 52)
ตัวอยา่ งผลต่างและผลบวกกาลงั 3 = m3 + 15m2 +75m + 125
1.1 a3 + 6a2 + 12a + 8 1.4 ( n – 7 )3
= (a)3 + 3(a)2(2) + 3(a)(2)2 + (2)3 = (n - 7)(n2 + (n)(7) + 72)
= (a + 2)3 = n3 – 21n2 + 147x -343
1.3 b3 - 9b2 + 27b – 27
= (b)3 - 3(b)2(3) + 3(b)(3)2 - (3)3
= (b - 3)3



คณะผูจ้ ัดทำ

1.ด.ช.กฤษฏพ์ิ ัฒน์ บตุ รโยธี เลขที่ 1
2.นายธนายุ สงา่ งาม เลขท่ี 4
3.ด.ช.ปภังกร จนิ าพรรณ์ เลขท่ี 7
4.ด.ช.ปวริศว์ ดอนดีไพร เลขท่ี 8
5.นายภูศนะ มานสั นนท์ เลขที่9
6.นายอธิยตุ ทดั เท่ยี ง เลขท่ี13
7.ด.ช.จิรภัทร ปตั ตะแวว เลขที่ 14
8.ด.ญ.จิรภญิ ญา คะระนนั ท์ เลขท่ี 18
9.ด.ญ.ชนิสรา กนั ทอง เลขที่ 28
10.ด.ญ.ธนภรณ์ เอมใจ เลขที่ 30
11.ด.ญ.พรชนก ศรีสขุ เลขที่ 32
12.ด.ญ.วโรชา เพชรไทย เลขท่ี35
13.ด.ญ.ศนชิ ญา ชา้ งเผอื ก เลขที่ 36