analisis estructural GV

Fig. 8.19

Fig. 8.20
247

3. Dividimos la longitud de la viga en 8 partes iguales (figura 8.21) y escribimos para todos los

puntos los valores de x , x − 3 , x − 6 , kx , k(x − 3) , k(x − 6) y las funciones hiperbólicas

(tabla 8.1).

Determinamos los parámetros iniciales para el cálculo de vigas en torsión. En el extremo

izquierdo de la viga se tendrá θ0 =0, B0 =0 y son desconocidos θ ' y L0 . También es
0

desconocido el momento torsor puntual LxB en el apoyo derecho.

Los parámetros desconocidos pueden ser determinados a partir de las condiciones de borde:

a) Si x = 8m ⇒ B=0

b) Si 6m < x ≤ 8m ⇒ L = 0

c) Si x = 6m ⇒ θ=0

Analizamos la condición “a”, utilizando las fórmulas del método de parámetros iniciales para el

bimomento.

− GI t θ ' sh8k + L0 sh8k + Lx sh5k + LxB sh2k + m (ch8k − ch5k) = 0
k 0 k k k k2

− 97,192 .θ ' .41,9765 + L0 .41,9765 + 8,55 .7,9400 + LxB .1,3484 −
0,5538 0 0,5538 0,5538 0,5538

− 3,8535 (41,9885 − 8,0027) = 0
0,55382

De donde:

7366,8833θ ' − 75,7972L 0 − 2,4348LxB + 304,4348 = 0 (a)
0

Luego, analizamos la condición “b”, utilizando las fórmulas para el momento torsor total.

L0 + Lx + LxB + m(3 − 0) = 0

L0 + 8,55 + LxB − 3,8535.3 = 0

L0 + LxB − 3,0105 = 0 (b)

Posteriormente, analizamos la condición “c”, utilizando las fórmulas del método de parámetros

iniciales para el ángulo retorsor.

θ ' L0 Lx m  6 2k 2 32 k 2 − ch6k + ch3k 
0 kGI t kGI t GI t k 2 2 2
sh6k + (6k − sh6k) + (3k − sh3k) + − = 0
k

θ'0 .13,8509 + L0 (3,3228 −13,8509) + 8,55 (1,6614 − 2,5384) −
0,5538 0,5538.97,192 0,5538.97,192

3,8535  36.0,5538 2 9.0,55382 2,7283
97,192.0,55382 2 2
− − −13,8870 + = 0

De donde:

25,0107θ ' − 0,1956L 0 + 0,7680 = 0 (c)
0

Finalmente, resolvemos el sistema de ecuaciones (a), (b) y (c), obteniendo:

248

θ ' = 0,004497rad / m
0

L0 = 4,5014kN.m
LxB = −1,4909kN.m

Comprobamos la veracidad de los resultados obtenidos, reemplazando en las ecuaciones (a), (b)
y (c).
ECUACION (a):

7366,8833.0,004497 − 75,7972.4,5014 − 2,4348.(−1,4909) + 304,4348 ≈ 0

ECUACION (b):

4,5014 −1,4909 − 3,0105 = 0

ECUACION (c):

25,0107.0,004497 − 0,1956.4,5014 + 0,7680 ≈ 0

4. Calculamos los valores del ángulo retorsor (tabla 8.2) y graficamos el diagrama θx (figura 8.21).

θx = θ ' shkx + L0 (kx − shkx) + m k2x2 − k 2 (x − c)2 
0 kGI t GI t k 2  2 − chkx + chk(x − c) +
2
k 

+ Lx [k(x − a) − shk(x − a)]+ LxB [k(x − aB) − shk(x − a B )]
kGI t kGI t

θx = 0,004497 shkx + 4,5014 (kx − shkx) + 8,55 [k(x − 3) − shk(x − 3)]−
0,5538 0,5538.97,192
0,5538.97,192

− 1,4909 [k(x − 6) − shk(x − 6)]− 3,8535 k2x2 − k 2 (x − 3)2 − chkx + chk(x 
0,55382.97,192  2 − 3)
0,5538.97,192 2


Tabla 8.2

-0,1292763

k2x2 − k2 (x − 3)2 − 0,1588483 -0,0276991

Nº de 0,0081203 0,0836304 2 2 [k(x − 3) − [k(x − 6) − θx
punto − shk(x − 3)] − shk(x − 6)]
shkx (kx − shkx) (rad)

− chkx + chk(x − 3)]

0 0,0000000 0,0000000 0,0000000 - - 0,000000
1 0,0047301 -0,0024002 0,0005110 - - 0,002841
2 0,0109494 -0,0201382 0,0084432 - - -0,000746
3 0,0206126 -0,0733439 0,0450108 0,0000000 - -0,007721
4 0,0367614 -0,1933451 0,1523769 -0,0045589 - -0,008766
5 0,0644752 -0,4324528 0,4012359 -0,0382507 - -0,004992
6 0,1124735 -0,8804692 0,9073031 -0,1393099 0,0000000 0,000000
7 0,1958584 -1,6929302 1,8672206 -0,3672414 0,0007950 0,003702
8 0,3408618 -3,1399954 3,6204162 -0,8214046 0,0066699 0,006548

249

5. Luego, determinamos los valores de la medida de alabeo (tabla 8.3), graficando el diagrama θ'x

(figura 8.21).

θ ' = θ ' chkx + L0 (1 − chkx) + m [kc − shkx + shk(x − c)]+ Lx [1− chk(x − a)]+
x 0 GI t GI t
GIt k

+ LxB [1 − chk(x − a B )]
GI t

θ ' = 0,004497chkx + 4,5014 (1 − chkx) − 3,8535 [0,5538.3 − shkx + shk(x − 3)]+
x 97,192
97,192.0,5538

+ 8,55 [1 − chk(x − 3)]− 1,4909 [1 − chk(x − 6)]
97,192 97,192

Tabla 8.3

Nº de 0,0044970 0,0463145 -0,0715932 0,0879702 -0,0153397 θ '
x
punto chkx (1 − chkx) [3k − shkx + [1 − chk(x − 3)] [1 − chk(x − 6)]
+ shk(x − 3)] (rad/m)

0 0,0044970 0,0000000 0,0000000 - - 0,004497
1 0,0052044 -0,0072853 0,0020547 - - -0,000026
2 0,0075491 -0,0314336 0,0172396 - - -0,006645
3 0,0122692 -0,0800453 0,0627872 0,0000000 - -0,004989
4 0,0208490 -0,1684088 0,1634616 -0,0138377 - 0,002064
5 0,0359881 -0,3243265 0,3529688 -0,0597054 - 0,004925
6 0,0624498 -0,5968550 0,6909531 -0,1520389 0,0000000 0,004509
7 0,1085589 -1,0717314 1,2837448 -0,3198772 0,0024129 0,003108
8 0,1888223 -1,8983619 2,3178370 -0,6160289 0,0104110 0,002679

6. Posteriormente, calculamos los valores del bimomento (tabla 8.4) y graficamos el diagrama Bx

(figura 8.21).

Bx = − GIt θ ' shkx + L0 shkx + m [chkx − chk(x − c)]+ Lx shk(x − a) + LxB shk(x − a B )
k 0 k k2 k k

Bx = − 97,192.0,004497 shkx + 4,5014 shkx − 3,8535 [chkx − chk(x − 3)]+
0,5538 0,5538 0,55382

+ 8,55 shk(x − 3) − 1,4909 shk(x − 6)
0,5538 0,5538

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