เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย_2563

เอกสารประกอบการสอน

คำนำ

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย เป็นเอกสารท่ีจัดทำข้นึ เพื่อ
ประกอบกจิ กรรมการเรยี นการสอน ในรายวิชา เรขาคณติ ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานุกูล
จังหวดั ชลบรุ ี

ความร้ใู นเรอ่ื ง เรขาคณิตวเิ คราะหแ์ ละภาคตัดกรวย เปน็ พ้ืนฐานทม่ี คี วามสำคัญอย่างมากในทาง
คณติ ศาสตร์ท่ีจะใชใ้ นการต่อยอด ความรู้ทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ภาคตัดกรวยไมเ่ พยี งแต่เป็นเส้น
โคง้ ที่สวยงาม แต่ยังสามารถนำไปใชป้ ระโยชนไ์ ด้หลายด้าน เช่น การจำลองวถิ ขี องวัตถภุ ายใต้แรงโน้มถ่วง การ
อธบิ ายวงโคจรของดาวเคราะหร์ อบดวงอาทิตย์ การผลิตกล้องโทรทรรศน์ชนิดสะทอ้ นแสง การออกแบบจาน
รับสง่ สัญญาณในระบบโทรคมนาคม การออกแบบอปุ กรณ์ทางการแพทย์ที่อาศยั การสะทอ้ นของคล่ืน

เอกสารประกอบการสอนฉบับนี้จดั ทำข้ึน ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาข้นั พืน้ ฐาน พ.ศ. 2551
(ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) และหลกั สตู รสถานศึกษาโรงเรียนชลกนั ยานุกูล ประกอบดว้ ยเนื้อหา ความรู้พ้นื ฐานที่
ควรทราบเก่ียวกับ เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ตัวอยา่ ง และข้อควรระวังต่างๆ เพ่ือสง่ เสริมให้ผู้เรียน
ได้ฝึกฝนทักษะการแกโ้ จทยท์ างคณิตศาสตรใ์ นรปู แบบตา่ งๆ เพื่อเตรยี มพร้อมผ้เู รียนในการนำความรู้พ้ืนฐาน
ไปประยุกต์ใช้ และการศึกษาตอ่ ในระดับที่สงู ขึน้

ทิวา มรี ตั น์
เมษายน 2563

สารบัญ หนา้
1
จดุ ม่งุ หมายและเนอ้ื หาบทเรียน 2
เรขาคณติ วิเคราะห์ 2
4
โพรเจกชนั 8
ระยะทางระหว่างจุดสองจุด 10
จุดกงึ่ กลางของส่วนของเส้นตรง 14
ความชันของเสน้ ตรง 15
เส้นขนาน 18
เส้นตัง้ ฉาก 23
ความสัมพันธซ์ ง่ึ มกี ราฟเปน็ เส้นตรง 27
ระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรงกบั จุด 28
ภาคตดั กรวย 35
วงกลม 43
วงรี 51
พาราโบลา 62
ไฮเพอร์โบลา
บรรณานุกรม

รายวิชา เรขาคณิต ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ูล

เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย

จุดม่งุ หมาย
1. หาระยะทางระหว่างจุดสองจุด และหาจุดกง่ึ กลางของส่วนของเสน้ ตรง
2. หาความชันของเสน้ ตรง และใชค้ วามชันในการอธบิ ายเกี่ยวกบั เส้นขนาน และเส้นต้ังฉาก
3. เขียนกราฟและหาสมการเสน้ ตรง
4. หาระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรงกบั จุด และระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน
5. เขียนกราฟและหาสมการวงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา
6. ใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกับเรขาคณิตวิเคราะหแ์ ละภาคตดั กรวยในการแก้ปัญหา

เนอ้ื หาบทเรยี น
1. ความร้เู บ้อื งต้นเก่ยี วกับเรขาคณิตวเิ คราะห์

1.1 ระยะห่างระหวา่ งจุดสองจุด
1.2 จุดก่งึ กลางของส่วนขอวเสน้ ตรง
1.3 ความชนั ของเสน้ ตรง
1.4 เสน้ ขนาน
1.5 เส้นตัง้ ฉาก
1.6 ความสมั พนั ธซ์ ่ึงมีกราฟเปน็ เสน้ ตรง
1.7 ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงกับจดุ
2. ภาคตัดกรวย
2.1 วงกลม
2.2 วงรี
2.3 พาราโบลา
2.4 ไฮเพอร์โบลา
2.5 การเลอ่ื นกราฟ

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 1

รายวิชา เรขาคณติ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวเิ คราะหเ์ ป็นการเชื่อมโยงความรรู้ ะหว่างพีชคณิตเรขาคณิต และเรขาคณิตเขา้ ดว้ ยกนั ซง่ึ
การแก้ปัญหาทางพชี คณิตบางปัญหาอาจนำความร้ทู างเรขาคณิตมาช่วยแกป้ ัญหา หรอื การแกป้ ญั หาทาง
เรขาคณิตบางปญั หา กอ็ าจนำความรู้ทางพีชคณิตมาช่วยแก้ปญั หาซึ่งทำใหเ้ รขาคณติ วเิ คราะห์พัฒนาไปอย่าง
รวดเรว็

โพรเจกชนั (Projection)

- โพรเจกชันของจุด
ให้ P เปน็ จุดๆหน่ึงบนระนาบ และ L เป็นเส้นตรงเส้นหนึ่งบนระนาบเดียวกัน
โพรเจกชันของจุด P บนเสน้ ตรง L ทำได้โดยการลากเส้นตรงจากจุด P มาตั้งฉากกับเสน้ ตรง L
เรียกจุด P’ ว่า เปน็ โพรเจกชันของจดุ P บนเส้นตรง L (ดังรูป)

P

L

P’ Y

ตัวอย่างท่ี 1 กำหนดจดุ P(-2,4) และ Q(3,-2) จงหา P(-2,4)
1. โพรเจกชนั ของ P ลงบนแกน X
2. โพรเจกชนั ของ P ลงบนแกน Y X
3. โพรเจกชันของ Q ลงบนแกน X
4. โพรเจกชนั ของ Q ลงบนแกน Y

Q(3,-2)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 2

รายวิชา เรขาคณติ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

ตวั อย่างที่ 2 กำหนดจุด P(8,10) จงหา Y
1. โพรเจกชนั ของ P ลงบนเสน้ x = -5
2. โพรเจกชนั ของ P ลงบนเส้นตรง y = 2 X

สรปุ ได้ว่า
1. จุดโพรเจกชันของ (a,b) ลงบนแกน X คอื
2. จุดโพรเจกชนั ของ (a,b) ลงบนแกน Y คือ
3. จดุ โพรเจกชันของ (a,b) ลงบนเสน้ ตรง x = m คอื
4. จดุ โพรเจกชันของ (a,b) ลงบนเสน้ ตรง y = n คอื

- โพรเจกชันของส่วนของเส้นตรง

โพรเจกชันของส่วนของเสน้ ตรงที่เชื่อมระหว่างจุด P และจุด Q บนเส้นตรง Lหมายถงึ ส่วนของ

เสน้ ตรงบนเสน้ ตรง L ทเ่ี กดิ จากการลากจุดปลายของส่วนของเสน้ ตรง PQ มาต้ังฉากกบั เสน้ ตรง L

โพรเจกชันของสว่ นของเสน้ ตรง PQ บนเส้นตรง L มี 3 ลักษณะ ดังน้ี

1. สว่ นของเสน้ ตรง PQ ไม่ขนานกับเส้นตรง L

Q P'Q' เปน็ โพรเจกชนั ของ PQ บนเส้นตรง L
P

L จะเห็นวา่ P'Q' ส้นั กว่า PQ

P’ Q’

2. ส่วนของเส้นตรง PQ ขนานกับเส้นตรง L

PQ

P'Q' เปน็ โพรเจกชนั ของ PQ บนเส้นตรง L
จะเห็นวา่ P'Q' ยาวเทา่ กบั PQ

L
P’ Q’

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 3

รายวิชา เรขาคณิต ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ูล

3. สว่ นของเสน้ ตรง PQ ตง้ั ฉากกบั เส้นตรง L

P

Q P’ เปน็ โพรเจกชนั ของ PQ บนเสน้ ตรง L

L
P’

ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนด A(3,2) และ B(5,-4) ถ้า A’B’ เป็นโพรเจกชนั ของส่วนของเสน้ ตรง AB บนแกน Y
จงหาพิกัดของ A’ และ B’

☺☺☺☺☺

1. ระยะทางระหว่างจุดสองจดุ

ระยะทางระหว่าง P1(x1,y1) กับ P2(x2,y2) เขยี นแทนดว้ ยย P1P2 หรอื P1P2 สามารถแบ่งออกได้
เป็น 3 กรณี คอื

กรณี 1 จดุ ทง้ั สองอยู่ในแนวขนานแกน X
Y

P1 (x1,y1) P2 (x2,y1) จะได้ระยะหา่ งระหว่างจดุ P1 กบั P2 คือ

X P1P2 หรอื P1P2 = x1 − x2

กรณี 2 จดุ ทงั้ สองอยู่ในแนวขนานแกน Y จะไดร้ ะยะหา่ งระหวา่ งจุด P1 กับ P2 คอื
P1P2 หรอื P1P2 = y1 − y2
Y
P2 (x1,y2)

P1 (x1,y1)
X

กรณี 3 จุดทงั้ สองไม่อยู่ในแนวทข่ี นานแกน X และแกน Y

Y จากภาพ จะไดร้ ะยะห่างระหว่างจดุ P1 กบั P2 โดย

P2 (x2,y2) ใชค้ วามรเู้ รือ่ ง ทฤษฎีบทพทิ าโกรัส คอื

P1 (x1,y1) Q (x2,y1) P1P2 หรือ P1P2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
X

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 4

รายวิชา เรขาคณิต ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

ดงั น้นั จงึ สรปุ เป็นทฤษฎีบทได้ดังน้ี

ทฤษฎีบท
ให้ P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เปน็ จุดในระนาบ
P1P2 หรือ P1P2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

ตัวอย่างที่ 4 จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ แต่ละคตู่ ่อไปน้ี

1. (0,0) และ (3,0) 2. (-6,4) และ (-6,17) 3. (2,5) และ (9,5)

4. (0,0) และ (-2,5) 5. (3,-2) และ (5,0) 6. (-4,7) และ (6,7)
. 8. (0,s) และ (t,0) 9. (0, s+t) และ (s+t,0)

7. (0,0) และ (s,t)

ตัวอยา่ งที่ 5 กำหนดใหจ้ ุด P เปน็ จุดบนแกน X ซ่งึ อย่หู า่ งจากจดุ P1(1,-2) และ P2(3,5) เปน็ ระยะทาง
เท่ากัน จงหาพิกดั ของจุด P บนแกน X

ตวั อยา่ งที่ 6 กำหนด A(a,0) ซ่งึ อยูห่ า่ งจากจุด B(4,-5) เป็นระยะทาง 13 หนว่ ย จงหาค่า a

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5 5

รายวิชา เรขาคณิต ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ลู

ตัวอย่างท่ี 7 รปู สามเหล่ียมรูปหนง่ึ มจี ุด A(4,2) , B(4,8) และ C(8,2) เป็นจุดยอด
จงหาพน้ื ท่ีของรูปสามเหลี่ยมน้ี

ตัวอย่างที่ 8 จงหาความยาวของเสน้ รอบรูปของรูปสามเหลยี่ ม ABC ซ่ึงมพี ิกัดดังน้ี A(0,-1) , B(8,7)
และ C(4,3)

ตัวอยา่ งที่ 9 จงแสดงวา่ จุด (1,1) , (-1,-1) และ (-4,2) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก

ตัวอย่างที่ 10 รปู สามเหลีย่ มรูปหนง่ึ มจี ุด (6,8) , (4,6) และ (-2,-2) เปน็ จุดยอด รปู สามเหลี่ยมนี้เป็น
รปู สามเหล่ียมหน้าจว่ั หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

ตวั อยา่ งท่ี 11 วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยทู่ ี่จุด (-4,7) และผา่ นจดุ (6,7) จงหารัศมขี องวงกลมนี้

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 6

รายวชิ า เรขาคณิต ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

ตวั อย่างท่ี 12 วงกลมวงหน่ึงมีจุดศนู ย์กลางอยทู่ จ่ี ุด (-5,6) และมีแกน X เปน็ เส้นสัมผสั
จงหารศั มีของวงกลมนี้

ตวั อยา่ งท่ี 13 วงกลมวงหนง่ึ มีจุดปลายเส้นผ่านศนู ยก์ ลางอยู่ทจี่ ดุ A(3,2) และ B(7,10)
จงหารัศมีของวงกลมน้ี

ตัวอย่างที่ 14 จดุ (0,0) , (8,18) และ (12,27) อยบู่ นเส้นตรงเดียวกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด และบอกเง่ือนไข
ท่ีทำให้จดุ P1, P2, และ P3 ใดๆ อยบู่ นเส้นตรงเดียวกัน

ตวั อย่างที่ 15 รถสองคันวง่ิ ออกจากสี่แยกพร้อมกัน คนั แรกม่งุ หนา้ ไปทางทิศเหนือ คันท่ีสองมุ่งหน้าไปทาง
ทศิ ตะวนั ออก รถท้ังสองคันวิ่งด้วยความเรว็ คงท่ี 60 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง
จงหาวา่ เม่อื เวลาผา่ นไป 3 ช่ัวโมง รถทง้ั สองคันอยู่ห่างกันกี่กิโลเมตร

☺☺☺☺☺ 7

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

รายวิชา เรขาคณิต ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

2. จดุ ก่งึ กลางของส่วนของเส้นตรง

ให้ P(x,y) เปน็ จุดก่ึงกลางของสว่ นของเส้นตรง P1P2 โดยท่จี ุด P1 มพี กิ ดั เป็น (x1,y1) และจุด P2 มี
พกิ ัดเปน็ (x2,y2) สามารถหาพิกัดของจดุ ก่งึ กลางของส่วนของเส้นตรง P1P2 ได้ดงั น้ี

Y

P2 (x2,y2) จากภาพเมื่อใชค้ วามรเู้ ร่ืองสามเหลี่ยมคล้าย จะสามารถ
P(x,y)
หาพิกดั (x,y) ของจดุ P ได้ จากสตู ร
P1 (x1,y1) A (x,y1) B (x2,y1) x x1 x2 และ y y1 y2

X 22
ดังนัน้ จงึ สามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทไดด้ งั นี้

ทฤษฎบี ท

กำหนดจุด P1 (x1, y1) และ P2 (x2 , y2 ) ถ้าจุด P(x, y) เป็นจุดกง่ึ กลางของ
x1 x2 และ y y1 y2
สว่ นของเส้นตรง P1P2 แลว้ x 2 2

ตัวอยา่ งท่ี 16 จงหาจดุ กึง่ กลางของสว่ นของเสน้ ตรงท่ีเชื่อมระหวา่ งจดุ แต่ละคู่ต่อไปนี้

1. (-3,5) และ (4,-1) 2. (2,3) และ (8,9) 3. (-2,5) และ (4,11)

4. ( 1 , 2) และ (3,-1) 5. (3, 25) และ (-3,-9) 6. (5,-2) และ (-3,6)
2

ตวั อยา่ งที่ 17 จุด M เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง PQ จงหาพิกดั ของจุด P ถ้าจุด M มีพิกัด (1,2)
และจดุ Q มพี ิกัดเปน็ (3,4)

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 8

รายวชิ า เรขาคณิต ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

ตัวอย่างที่ 18 จุด(-3,8) และ (8,6) เป็นจุดปลายของเสน้ ผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงหนึง่
จงหาพกิ ัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมวงน้ี

ตวั อย่างที่ 19 จงหาความยาวของส่วนของเสน้ ตรงทเี่ ชือ่ มจดุ (4,5) กบั จุดกง่ึ กลางของสว่ นของเส้นตรงทีม่ ี
จดุ ปลายเป็นจดุ (1,6) และ (-3,4)

ตัวอยา่ งที่ 20 กำหนด A(6,10) , B(4,9) และ C(0,3) เปน็ จดุ ยอดของรปู สามเหลีย่ ม ABC
จงหาพกิ ดั ของจดุ ปลายทงั้ สามของเส้นมธั ยฐาน

ตัวอยา่ งที่ 21 กำหนด A(4,10) , B(6,2) และ C(2,3) เปน็ จุดยอดของรปู สามเหลี่ยม
จงหาความยาวของเสน้ มัธยฐานแต่ละเสน้

ตัวอยา่ งท่ี 22 ให้ A(-4,3) , B(4,5) , C(8,11) และ D(-8,7) เป็นจดุ ยอดของรปู ส่เี หล่ียม และ P, Q, R, และ S
เป็นจดุ ก่ึงกลางของดา้ น AB, BC, CD และ DA ตามลำดบั จงหาความยาวของเส้นรอบรูป
ของรูปสี่เหล่ยี ม PQRS

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 9

รายวิชา เรขาคณติ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ลู

ตวั อย่างที่ 23 จงหาจดุ ทแี่ บ่งส่วนของเส้นตรง A(6,5) และ B(2,1) ออกเป็น 4 สว่ น เทา่ ๆกนั

ตัวอย่างท่ี 24 กำหนดให้ A(2,7) และ B(-5,6) เป็นจุดปลายของส่วนของเส้นตรง จงหาพิกัดของจุดบน
สว่ นของเสน้ ตรงน้ี ซ่งึ อยูห่ ่างจากจดุ A เปน็ ระยะทาง 3 เท่าของระยะทางระหว่าง A และ B
4

☺☺☺☺☺

3. ความชันของเสน้ ตรง ให้ P1 (x1, y1) เป็นจุดในระนาบ (ดงั ภาพ) จะสามารถ
ลากเสน้ ตรงผ่านจุด P1 ไดห้ ลายเส้น แต่ถ้าให้ P2 (x2 , y2 )
Y เป็นอกี จุดหนึง่ ในระนาบจะมเี สน้ ตรงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุด

X P1 และ P2 ดังน้นั ถา้ กำหนดจุดสองจุด จะลากเส้นตรงผ่าน
จดุ ทัง้ สองจดุ น้ี ไดเ้ พยี งเส้นเดียว นอกจากนี้ ถ้ากำหนดจุดให้

เพียงจุดเดยี วและความชนั ก็จะสามารถลากเวน้ ตรงผ่านจุด

น้นั และมคี วามชน้ั ตามที่กำหนดใหไ้ ดเ้ พียงเส้นเดยี วเชน่ กนั

ความชนั ของเส้นตรงจะแทนด้วยจำนวนจรงิ ดังบทนยิ าม

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 10

รายวชิ า เรขาคณติ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ลู

บทนิยาม

ให้ l เป็นเสน้ ตรงทผี่ า่ นจดุ P1 (x1, y1) และ P2 (x2 , y2 ) โดยท่ี x1 x2
ความชันของเสน้ ตรง l คือ m y1 y2

x1 x2

* ความชนั m อาจเขยี นไดเ้ ป็น m y2 y1 ทั้งน้เี ป็นเพราะ y1 y2 y2 y1
x2 x1 x1 x2 x2 x1

ถา้ x1 = x2 แลว้ เสน้ ตรงจะขนานกบั แกน Y หรอื ตัง้ ฉากกับแกน X และหาความชันของเส้นตรงน้ี

ไมไ่ ด้ เนอื่ งจากไมน่ ิยามความชันของเสน้ ตรงเมื่อ x1 = x2

ตวั อยา่ งที่ 25 จงหาความชันของเสน้ ตรงที่ผ่านจุดสองจุดต่อไปนี้

1. (0,0) และ (4,3) 2. (0,0) และ (-6,-9) 3. (5,4) และ (8,6)

4. (-2,-6) และ (3,-1) 5. (3,-8) และ (-5,7) 6. (t+1,s) และ (2t,s-3)

ตวั อยา่ งท่ี 26 จงหาค่า x ที่ทำให้เสน้ ตรงผา่ นจดุ P และ Q มีความชนั เทา่ กับ m ทก่ี ำหนดให้

1. P(5,4) , Q(2,x) และ m = 3 2. P(4,x) , Q(-3,1) และ m = 3
2

3. P(x.10) , Q(-5,10) และ m = 0 4. P(1,x) , Q(4,3) และ m= 4
3

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5 11

รายวิชา เรขาคณิต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

ตัวอยา่ งที่ 27 ถา้ เสน้ ตรงผา่ นจดุ P(3,-2) และ Q(3x-2,4x) และความชัน -3 จงหาคา่ x

ตวั อย่างท่ี 28 จงหาความชนั ของด้านของรปู สามเหลยี่ มซ่งึ มจี ุด A(2,10) , B(5,7) และ C(2,4) เปน็ จดุ ยอด

ตัวอย่างที่ 29 จงพจิ ารณาวา่ จุด A(0,4) , B(3,-2) , C(-2,8) อยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกันหรอื ไม่
ตวั อย่างที่ 30 จงหาคา่ a ทท่ี ำให้ จดุ A(a,1) , B(-a,2a) และ C(2,a) อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกัน

ตวั อย่างที่ 31 กำหนดให้ P(-6,4) , Q(1,4) , R(-1,-1) และ S(-8,-1) เป็นจดุ ยอดของรปู ส่เี หล่ียม
จงหาความชนั ของส่วนของเส้นตรงแต่ละเสน้ ที่แบ่งรูปสเ่ี หลี่ยมนีอ้ อกเปน็ รูปสามเหล่ียม
สองรูปที่มีพื้นที่เทา่ กัน

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 12

รายวชิ า เรขาคณิต ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

ตวั อยา่ งที่ 32 กำหนดให้ A(-6,-2) , B(2,-2) , C และ D เป็นจดุ ยอดของรูปส่ีเหล่ียมคางหมู มีดา้ น
AB เปน็ ฐานทย่ี าวเป็นสองเทา่ ของด้านคูข่ นาน DC มมี ุม A เปน็ มุมฉาก และมีพ้ืนที่
24 ตารางหนว่ ย จงหาความชันท่ีเป็นไปไดท้ ั้งหมดของดา้ น BC

ข้อควรจำ
ความชันบอกลักษณะของเสน้ ตรง ดงั น้ี
1. ถา้ m = 0 เส้นตรงจะขนานกับแกน X
2. ถา้ หาคา่ ความชนั ไม่ได้ เส้นตรงจะขนานกับแกน Y
3. m > 0 เสน้ ตรงทำมุมแหลมกบั แกน X (มุมวัดจากแกน X ทางดา้ นบวก

โดยวัดทวนเข็มนาฬิกา) ถ้าค่าความชนั ย่งิ มาก เสน้ ตรงย่ิงชันมาก
4. m < 0 เล้นตรงทำมุมป้านกับแกน X (มุมวดั จากแกน X ทางดา้ นบวก

โดยวดั ทวนเข็มนาฬิกา) ถ้าค่าความชนั ยงิ่ นอ้ ย (ตดิ ลบมากๆ) เส้นตรงยิ่งชนั มาก

☺☺☺☺☺

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 13

รายวชิ า เรขาคณิต ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

4. เสน้ ขนาน

ให้ l 1 และ l 2 เป็นเสน้ ตรงท่ไี ม่ขนานกบั แกน Y และมีความช้ันเท่ากบั m1 และ m2 ตามลำดับ
ถา้ l 1 ขนาน l 2 แลว้ จะได้ m1 = m2 สรปุ เป็นทฤษฎบี ท ดังนี้

ทฤษฏีบท
เสน้ ตรงสองเสน้ ที่ไมข่ นานกบั แกน Y จะขนานกัน กต็ ่อเม่ือ
ความชนั ของเส้นตรงทง้ั สองเทา่ กัน

ตวั อยา่ งที่ 33 จงแสดงวา่ เส้นตรงทผี่ ่านจุด A(4,5) และ B(1,2) ขนานกับเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ C(2,8) และD(-2,4)

ตัวอย่างท่ี 34 ถา้ เสน้ ตรงผ่านจดุ (4,6) และ (a-2,3) ขนานกับเส้นตรงทผ่ี ่านจุด (2,4) และ (-5,1) จงหาคา่ a

ตวั อยา่ งท่ี 35 จดุ A(1,2) , B(6,7) และ C(-3,4) อย่บู นเส้นตรงเดียวกันหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
ตวั อย่างที่ 36 จงหาคา่ b ทีท่ ำให้จุด (b,6) , (-1,4) และ (-4,2) อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกนั

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 14

รายวชิ า เรขาคณติ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ูล

ตัวอยา่ งที่ 37 จุด A(-4,1) , B(-5,-4,) , C(1,-2) และ D(x,y) เปน็ จดุ ยอดของรูปสเ่ี หลีย่ มดา้ นขนาน ABCD
จงหาพิกดั ของจดุ D

ตวั อยา่ งที่ 38 จงแสดงวา่ จดุ A(-6,6) , B(6,6,) , C(12,0) และ D(6,-6) เป็นจดุ ยอดของรูปสีเ่ หลยี่ มคางหมู

ตัวอย่างที่ 39 กำหนดให้ P(-3,2) , Q(1,6) , R(5,4) และ S(3,0) เป็นจดุ ยอดของรูปส่ีเหล่ียม PQRS
จงแสดวา่ จุดก่ึงกลางของด้านท้งั ส่ีของรูปสี่เหล่ียมน้ีเป็นจุดยอดของรปู สี่เหลี่ยมดา้ นขนาน

☺☺☺☺☺

5. เส้นตั้งฉาก

ให้ l 1 และ l 2 เปน็ เส้นตรงทไี่ มข่ นานกบั แกน Y และมีความชั้นเท่ากบั m1 และ m2 ตามลำดบั
ถา้ l 1 ตงั้ ฉาก l 2 แล้วจะได้ m1m2 = -1 สรุปเป็นทฤษฎีบท ดงั นี้

ทฤษฎบี ท
เสน้ ตรงสองเสน้ ท่ีไม่ขนานแกน Y จะตั้งฉากกัน กต็ ่อเม่ือ
ผลคณู ของความชันของเส้นตรงทงั้ สองเทา่ กับ – 1

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 15

รายวิชา เรขาคณติ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

ตวั อยา่ งที่ 40 จงพิจารณาว่าเส้นตรงทีก่ ำหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ตี ง้ั ฉากกนั หรอื ไม่
1. เส้นตรงที่ผา่ นจดุ (0,0) และ (5,7) กบั เสน้ ตรงท่ผี า่ นจดุ (6,-3) และ (-1,2)

2. เส้นตรงที่ผา่ นจดุ (2,3) และ (-4,-1) กบั เสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (1,2) และ (5,8)

ตวั อย่างที่ 41 ใหเ้ สน้ ตรง l มคี วามชนั เท่ากบั 3 เส้นตรงทต่ี ัง้ ฉากกบั l จะมีความชนั เทา่ ใด
4

ตวั อยา่ งที่ 42 จงหาความชนั ของเส้นตรงซ่งึ ตั้งฉากกบั เสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (3,4) และ (-3,-4)

ตวั อยา่ งที่ 43 เส้นตรงทีผ่ ่านจุด A(k,7) และ B(-3,-2) ตง้ั ฉากกับเสน้ ตรงซ่ึงผา่ นจุด C(3,2) และ D(1,-4)
จงหาคา่ ของ k

ตัวอย่างที่ 44 รูปสามเหลี่ยม ABC ท่ีมีจดุ A(2,6) , B(4,1) และ C(-1,-2) เป็นจดุ ยอด
เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉากหรือไม่

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 16

รายวิชา เรขาคณติ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

ตวั อยา่ งที่ 45 จงหาคา่ a ทท่ี ำให้รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก เม่ือ A(1,3) , B(-3,a)
และ C(5,-1)

ตัวอย่างที่ 46 จุด (2,5) , ( 2,9) , (6,9) และ (6,5) เปน็ จดุ ยอดของรปู สี่เหลีย่ ม จงแสดงวา่ เส้นทแยงมุมทงั้ สอง
ของรูปสเ่ี หล่ียมนีต้ ้ังฉากซ่งึ กนั และกนั

ตวั อย่างที่ 47 จงแสดงว่าจุด (2,1) , (6,4) ,(3,8) และ (-1,5) เปน็ จดุ ยอดของรปู ส่ีเหล่ียมจัตรุ ัส
และหาพื้นที่ของรูปส่ีเหล่ยี มน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 48 กำหนดจดุ A(-5,4) , B(4,9) , C(9,0) และ D(0,-5) จงพิจารณาว่า รูปสีเ่ หลยี่ ม ABCD
เปน็ รูปส่ีเหล่ยี มดา้ นเทา่ หรอื รปู ส่ีเหลย่ี มจัตรุ ัส

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 17

รายวิชา เรขาคณิต ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

ตวั อย่างท่ี 49 กำหนดจดุ A(6,8) , B(5,4) , C(3,6) และ D(4,10) จงพิจารณาวา่ รูปสีเ่ หลยี่ ม ABCD
เป็นรูปสีเ่ หลยี่ มดา้ นขนานหรือรปู สีเ่ หลย่ี มมมุ ฉาก

☺☺☺☺☺

6. ความสมั พันธ์ซงึ่ มกี ราฟเป็นเสน้ ตรง(สมการของเสน้ ตรง)

การเขยี นความสมั พนั ธ์ซึง่ มีกราฟเปน็ เส้นตรงน้นั บางครง้ั เราอาจเขยี นสน้ั ๆ เฉพาะสมการท่ีเปน็
เง่ือนไขซ่ึงแสดงความสัมพนั ธ์ระหว่าง x และ y และเรียกสมการนัน้ วา่ สมการเสน้ ตรง

ดังนน้ั จากความสมั พันธ์ { (x, y) x y y1 m(x x1) } ซง่ึ มีกราฟเปน็ เสน้ ตรงที่มีความ

ชนั m และผ่านจุด (x1, y1) อาจเขียนสั้น ๆ ในรปู ของสมการเส้นตรงได้ คือ y y1 m(x x1) y1
จากสมการ y y1 m(x x1) เมื่อนำมากระจายและจดั รปู ใหมจ่ ะได้ y mx mx1
เน่อื งจาก mx1 และ y1 ตา่ งก็เปน็ คา่ คงตวั ถา้ ให้ c mx1 y1จะเขียนสมการไดด้ ังนี้

y mx + c เม่อื c เปน็ คา่ คงตัว

ถา้ แทน x ด้วย 0 จะได้ y c แสดงว่าเส้นตรงนผี้ ่านจุด (0,c) ซงึ่ เป็นจุดที่อยู่บนแกน Y

ดงั นน้ั สมการ y mx + c มกี ราฟเป็นเสน้ ตรงทม่ี ีความชนั m และตัดแกน Y ทจ่ี ดุ (0,c)

สรุป สมการเสน้ ตรงมี 3 รปู แบบ ดงั นี้ คือ 0
1) เสน้ ตรงท่ขี นานกับแกน X มีสมการเป็น y b

2) เสน้ ตรงท่ขี นานกบั แกน Y มสี มการเปน็ x a

3) เส้นตรงทีไ่ ม่ขนานกบั แกน X และแกน Y มสี มการเป็น y mx + c
จะเหน็ วา่ สมการท้ังสามรปู แบบ แตล่ ะแบบจะเป็นกรณหี น่งึ ของสมการ Ax + By + C

โดยที่ A และ B ไมเ่ ปน็ ศนู ย์พรอ้ มกนั

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5 18

รายวิชา เรขาคณติ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

นัน่ คอื เส้นตรงทุกเสน้ ในระบบพกิ ดั ฉากจะมสี มการอยู่ในรูป Ax + By + C 0 โดยท่ี

A และ B ไม่เป็นศนู ย์พร้อมกัน

ในทางกลบั กันเราจะแสดงได้ว่ากราฟของสมการในรปู ดงั กล่าว เปน็ เส้นตรง

เม่อื พจิ ารณาสมการ Ax + By + C 0 จะเหน็ ว่ามีกรณที ่เี ปน็ ไปไดด้ ังน้ี

1) เมื่อ A 0 และ B 0 จากสมการ Ax + By + C 0 จะได้ y C
B
ซึ่งมกี ราฟเป็นเสน้ ตรงทข่ี นานกับแกน X และตัดแกน Y ท่ีจุด (0, C )
B C
A
2) เม่อื A 0 และ B 0 จากสมการ Ax + By + C 0 จะได้ x

ซงึ่ มีกราฟเป็นเส้นตรงท่ขี นานกับแกน Y และตัดแกน X ที่จดุ ( C ,0)
A

3) เมื่อ A 0 และ B 0 จากสมการ Ax + By + C 0 จะได้ y A x C
B B
A C
ซง่ึ มกี ราฟเป็นเสน้ ตรงที่ความชันเท่ากบั B และตัดแกน Y ทจี่ ุด (0, B )

น่ันคอื กราฟของสมการ Ax + By + C 0 เม่อื A และ B ไมเ่ ป็นศูนย์พร้อมกันจะเป็นเส้นตรง

และเรียกสมการในรปู น้ีว่า รูปทว่ั ไปของสมการเสน้ ตรง

ขอ้ สงั เกต :
ถา้ เสน้ ตรงตัดแกน X ท่จี ุด (a,0) จะเรยี ก a วา่ ระยะตัดแกน X ( X – intercept )
ถา้ เส้นตรงตัดแกน Y ที่จุด (0,b) จะเรียก b ว่า ระยะตัดแกน Y ( Y – intercept )

ตัวอยา่ งท่ี 50 จงหาความชนั ของเส้นตรงทม่ี ีสมการ 2x – 3y = 4 และจุดทีเ่ ส้นตรงนต้ี ดั แกน X และแกน Y

ตวั อยา่ งที่ 51 จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมกี ราฟเป็นเส้นตรงตามเง่ือนไขทีก่ ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี

1. ขนานกับแกน X และอยูเ่ หนอื แกน X เปน็ ระยะ 3 หน่วย
7

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 19

รายวชิ า เรขาคณติ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

2. ขนานกับแกน Y และอยทู่ างซ้ายแกน Y เป็นระยะ 2 หนว่ ย
3

3. ขนานกับแกน X และอยู่ห่างจากจุด (0,3) เปน็ ระยะ 4 หนว่ ย

4. ขนานกบั แกน Y และอย่หู ่างจากจุด (-2,0) เป็นระยะ 5 หน่วย

ตัวอยา่ งที่ 52 จงบอกความชนั ระยะตัดแกน X (x-intercept) และระยะตดั แกน Y (y-intercept)

ของกราฟแต่ละสมการต่อไปน้ี

สมการ ความชนั ระยะตัดแกน X ระยะตัดแกน Y

1. 2x – 3y = 7

2. 5x + 4y – 2 = 0

3. x – 4y + 5 = 0

4. 3x + 2y + 7 = 0

5. 5x – y – 11 = 0

6. 3 x 4 y 24
4 3

7. x – y = 0

8. 2y + 3 = 0

9. x = 4

10. 3(y – 1)= -2(x – 2)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 20

รายวชิ า เรขาคณติ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ูล

ตวั อยา่ งท่ี 53 จงหาความสัมพันธซ์ ึ่งมกี ราฟเป็นเสน้ ตรง โดยมเี งือ่ นไขต่อไปนี้

1. มีความชนั 3 และผา่ นจุด (2,1) 2. ผ่านจดุ (-2,1) และ (4,8)
4

ตัวอยา่ งที่ 54 จงแสดงว่าเสน้ ตรง 3y = 2x – 6 ขนานกบั เสน้ ตรง y = 2 x 1
3

ตัวอยา่ งที่ 55 จงแสดงว่าเสน้ ตรง 2x + y = 8 ตงั้ ฉากกับเสน้ ตรง y = 1 x 5
2

ตวั อยา่ งท่ี 56 จงหาสมการของเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด (7,5) และขนานกบั เส้นตรง x + 2y + 12 = 0

ตวั อย่างที่ 57 จงหาสมการของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด (3,2) และตั้งฉากกบั เส้นตรง 3x – 2y +12 = 0

ตวั อย่างที่ 58 จงหาความสัมพันธ์ซง่ึ มีกราฟเปน็ เสน้ ตรงท่ี
1. ผา่ นจดุ (-1,-3) และตง้ั ฉากกับเส้นตรงท่ีผา่ นจุด (2,5) และ (3,-4)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 21

รายวชิ า เรขาคณิต ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

2. ผา่ นจดุ (-1,0) และขนานกับเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ (1,2) และ (-3,4)

3. จุดทกุ จุดบนเส้นตรงอยหู่ ่างจากจดุ (6,0) และ (2,0) เปน็ ระยะเท่ากัน

ตวั อย่างท่ี 59 จงหาพิกัดของจดุ ตัดของเสน้ ตรง 2x – 3y + 1 = 0 และ x + y – 2 = 0

ตวั อย่างท่ี 60 จงหาสมการเสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ ตัดกนั ของเสน้ ตรง 2x + 3y – 3 = 0 กับเสน้ ตรง
3x – 2y – 11 = 0 และผา่ นจุด (2,1)

ตวั อย่างที่ 61 จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีตั้งฉากกับเสน้ ตรง 4x + y – 1 = 0 และผ่านจดุ ตดั กนั ของ
เสน้ ตรง 2x – 5y – 17 = 0 กับเสน้ ตรง 3x + 2y + 3 = 0

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 22

รายวิชา เรขาคณติ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

ตวั อยา่ งที่ 62 จงหาสมการเสน้ ตรงที่มคี วามชัน 3 และทำให้เกิดรูปสามเหล่ียมท่ีลอ้ มรอบด้วยแกน X
4

และ แกน Y และเสน้ ตรงนี้ มีพ้ืนท่ี 24 ตารางหน่วย

ตัวอย่างท่ี 63 ให้ (0,0) , (4,0) และ (x,y) เป็นจดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี ม ท่ีมพี ้ืนท่ี 4 ตารางหนว่ ย
จงหาว่า (x,y) เปน็ คอู่ นั ดับใดได้บา้ ง

☺☺☺☺☺

7. ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงกบั จดุ

ให้ P เป็นจุดใดๆที่ไม่อยู่บนเส้นตรง l และ P’ เป็นจดุ บน

P เส้นตรง l ดงั รปู PP’ จะเปน็ ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรง l กับจดุ
P ถ้ากำหนดสมการของเสน้ ตรง l และพิกัดจดุ P สามารถหา

ระยะห่างระหว่างเส้นตรง l กับจุด P ได้

P’ ในกรณีทั่วไป ถ้า l เป็นเสน้ ตรงที่มสี มการเปน็
Ax + By + C = 0 เมอ่ื A, B, C เปน็ ค่าคงตวั โดยที่ A, B ไมเ่ ป็น

ศนู ยพ์ ร้อมกัน P(x1,y1) เป็นจุดท่ีอยู่ภายนอกเส้นตรง l และ d
เปน็ ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรง l กบั จดุ P จะสรปุ เปน็ ทฤษฎีบทได้

ดงั นี้

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 23

รายวชิ า เรขาคณติ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

ทฤษฎีบท
ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรง Ax + By + C = 0 กบั จุด (x1, y1) เม่ือ A, B และ C
เปน็ ค่าคงตวั ท่ี A และ B ไม่เป็นศนู ยพ์ ร้อมกนั คือ d Ax1 By1 C
A2 B2

ถา้ ตอ้ งการหาระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรง l 1 ซง่ึ 1
ขนานกบั เสน้ ตรง l 2 ทำไดโ้ ดยการเลือกจุดใดจุดหน่งึ 2
บนเส้นตรง l 1 และหาระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรง l 2

กับจุดนน้ั (หรือเลือกจุดใดจดุ หน่งึ บนเส้นตรง l 2 แล้วหา
ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง l 1 กับจดุ นั้น) หรอื อาจหาโดย
ใช้ทฤษฎบี ทต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท
ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเสน้ ตรง Ax + By + C2 = 0
เมื่อ A, B, C1, และ C2 เปน็ ค่าคงตัวที่ A และ B ไมเ่ ป็นศูนย์พรอ้ มกนั คือ
d C1 C2
A2 B2

ตัวอยา่ งท่ี 64 จงหาระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงกับจุดในแตล่ ะข้อ ต่อไปน้ี

1. 3x 4y 5 0 ; (2, 3) 2. 8x 6y 2 0 ; (0,6)

3. 2x 3y 13 ; (0,0) 4. y 2 3 (x 4) ; (8,3)
4

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 24

รายวิชา เรขาคณิต ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ูล

5. y 3 ; (4,4) 6. x 2 ; (3, 1)

ตัวอย่างท่ี 65 จงหาระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงที่ขนานกันในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้
1. 8x 6y 4 0 และ 8x 6y 5 0

2. 4x 3y 6 0 และ 20x 15y 30 0

3. x 3y 2 0 และ 6x 18y 12

4. 6x 8y 5 0 และ y 6 x 7
8 8

ตัวอย่างที่ 66 จงหาสมการเสน้ ตรงที่ขนานกับเสน้ ตรง 5x +12y – 2 = 0 และอยู่ห่างจากเสน้ ตรงนี้ 3 หน่วย

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 25

รายวิชา เรขาคณิต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

ตัวอยา่ งที่ 67 จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีขนานกับเส้นตรง 6x – 8y + 2 = 0 และอยู่หา่ งจากจุด (-2,5) เป็นระยะ
5 หนว่ ย

ตวั อยา่ งท่ี 68 จงหาสมการของเสน้ ตรงทตี่ ง้ั ฉากกับเส้นตรง 12y = 5x + 4 และอยูห่ า่ งจากจุด (3,3) เป็น
ระยะ 1 หน่วย

ตัวอย่างที่ 69 ถ้าเส้นตรง 6x + 8y – 2 = 0 เปน็ เสน้ ตรงทอี่ ยู่กึ่งกลางระหว่างเส้นคู่ขนานค่หู น่ึงซึ่งอยู่หา่ งกนั
10 หนว่ ย จงหาสมการของเส้นคขู่ นานนี้

ตวั อย่างท่ี 70 กำหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC โดยมี A(3,2) , B(-1,1) และ C(-3,4) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลีย่ ม
ถ้าให้ด้าน AB เป็นฐาน จงหาความสูงของสามเหลี่ยมนี้

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 26

รายวชิ า เรขาคณิต ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

ภาคตดั กรวย

การศกึ ษาภาคตัดกรวยสามารถศกึ ษาไดห้ ลายแนวทาง ในท่ีนี้จะศกึ ษาภาคตดั กรวยโดยใชว้ ิธีทาง
เรขาคณติ วิเคราะห์

ภาคตดั กรวย คอื รูปในระนาบทเี่ กิดจากการตดั กนั ของระนาบกับกรวยกลมตรง (right circular
cone) หรือเรียกสนั้ ๆ ว่า กรวย ภาคตัดกรวยที่เราจะศึกษากนั เกดิ จากระนาบทไ่ี ม่ผ่านจุดยอดของกรวยดงั
แสดงในรปู

เมือ่ ระนาบต้ังฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข้างเดยี ว ไดภ้ าคตดั กรวยท่ีเรียกว่า
วงกลม (circle)

เม่อื ระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวยแต่ทำมมุ แหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่กวา่ α ซ่ึงเป็น
มุมระหว่างเสน้ ตรง a และเสน้ ตรง b ระนาบจะตดั กรวยข้างเดียวได้ภาคตดั กรวยทเี่ รียกวา่ วงรี (ellipse)

เมอ่ื ระนาบขนานกบั ตัวก่อกำเนิดของกรวย ระนาบจะตดั กรวยข้างเดียว ได้ภาคตดั กรวยท่ีเรยี กว่า
พาราโบลา (parabola)

และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตดั กรวยสองขา้ งได้ภาคตัดกรวยทเ่ี รยี กว่า
ไฮเพอร์โบลา (hyperbola)

วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา

ถา้ ระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตดั ของระนาบกบั กรวยจะกลายเปน็ จดุ หรือเสน้ ตรงหนึ่งเส้น
หรือเสน้ ตรงสองเส้นตดั กัน ซึ่งเรียกลักษณะดังกล่าววา่ ภาคตดั กรวยลดรูป (degenerate conics)

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 27

รายวชิ า เรขาคณิต ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

1. วงกลม

บทนยิ าม
วงกลม คือ เซตของจดุ ทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุดๆ หน่ึงท่ีตรงึ อยู่กับที่เปน็ ระยะคงตัว
จุดที่ตรึงอยู่กับที่นเี้ รียกวา่ จุดศนู ยก์ ลาง (center) ของวงกลม และส่วนของเส้นตรงท่ีมี
จดุ ศูนย์กลางและจดุ บนวงกลมเป็นจุดปลายเรียกว่า รศั มี (radius) ของวงกลม

Y จากรปู วงกลมมจี ดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่จุด C(h,k)
และรศั มยี าว r หน่วย จะมีสมการท่มี ีกราฟเปน็ รูป
P (x,y) วงกลมนไ้ี ดโ้ ดย สมมุตวิ า่ P(x,y) เปน็ จุดใดๆ บน
r วงกลม เน่อื งจากระยะทางระหว่าง P(x,y) และ
O C (h,k) C(h,k) เท่ากับ r น่ันคือ PC = r จากสตู รระยะทาง
ระหวา่ งจุดสองจุด จะได้
X (x h)2 (y k)2 r

นั่นคอื (x h)2 (y k)2 r2 เปน็ สมการ

ของวงกลมที่ต้องการ

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม
สมการวงกลมท่ีมีจุดศนู ย์กลางอย่ทู ่ี (h,k) และรัศมยี าว r หน่วย คือ
(x h)2 (y k)2 r2

สมการน้ีเรยี กว่า รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมทีม่ ีรศั มียาว r หนว่ ย และจดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่จุดกำเนิด (0,0) คือ
x2 y2 r2

นอกจากการเขยี นสมการวงกลมในรปู มาตรฐานแล้ว ยังสามารถเขียนสมการวงกลมในรูปอืน่ ได้อีก
โดยนำสมการรูปแบบมาตรฐานมาจดั รปู ใหม่ จะได้ x2 y2 ax by c 0 ในกรณีท่ีสมการนี้มี
กราฟเปน็ รูปวงกลม จะเรียกสมการนวี้ า่ รปู แบบท่ัวไปของสมการวงกลม

วงกลมทมี่ ีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่จุดกำเนิดและรัศมยี าว 1 หนว่ ย เรยี กว่า วงกลมหนง่ึ หน่วย
(unit circle) และมีสมการเปน็ x2 y2 1

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 5 28

รายวิชา เรขาคณิต ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ูล

ตัวอย่างที่ 1 จงหาจุดศูนย์กลางและรศั มีของวงกลมทมี่ สี มการเปน็ (x 2)2 (y 3)2 16

ตวั อย่างท่ี 2 จงเขยี นรปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรศั มยี าว 5 หน่วยและจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (0,0)

ตัวอยา่ งที่ 3 จงเขยี นรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมยี าว 3 หน่วยและจุดศูนย์กลางอยทู่ ี่ (2,-1)

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหารปู แบบมาตรฐานและรูปแบบทัว่ ไปของสมการวงลม ที่มีเง่ือนไขตอ่ ไปนี้

ที่ จดุ รศั มี สมการรปู แบบมาตรฐาน สมการรูปแบบท่วั ไป

ศนู ย์กลาง (หน่วย)

1. (0,0) 3

2. (0,0) 1
3. (1,2) 2

2

4. (-2,1) 3

5. (2,-3) 3
2

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 29

รายวชิ า เรขาคณติ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาสมการของวงกลมท่ีมจี ดุ (3,2) เปน็ จุดศนู ย์กลาง และมเี ส้นรอบวงยาว 8 หนว่ ย

ตวั อย่างที่ 6 จงหาสมการของวงกลมทม่ี จี ดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ่จี ุด (2,2) และสัมผสั แกน Y

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงหาสมการของวงกลมที่มีจุด (1,-3) เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง และมแี กน X เปน็ เส้นสมั ผสั

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาสมการของวงกลมทม่ี ีจุด (2,6) และ (-4,2) เปน็ จุดปลายของเส้นผา่ นศนู ย์กลาง
ของวงกลม

ตวั อย่างที่ 9 จงหาสมการของวงกลมที่มีจดุ (5,5) เป็นจุดศนู ย์กลางและวงกลมผา่ นจุดกำเนิด
ตัวอย่างท่ี 10 จงเขยี นความสมั พนั ธ์ของกราฟวงกลมที่มจี ุด (2,4) เปน็ จุดศนู ย์กลางและกราฟผ่านจดุ (-4,-4)

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 30

รายวชิ า เรขาคณิต ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ูล

ตัวอยา่ งท่ี 11 จงหาสมการของวงกลมทีม่ ีจุด (-1,6) เปน็ จุดศูนย์กลาง และสมั ผัสเส้นตรง x + y = 3

ตวั อย่างที่ 12 จงเขยี นความสัมพนั ธ์ของกราฟวงกลมท่ีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยู่บนเสน้ ตรง y = x และ
สัมผัสแกน X ท่ีจดุ (-3,0)

ตัวอยา่ งท่ี 13 จงเขยี นความสมั พนั ธ์ของวงกลมทีม่ ีจุดศูนย์กลางอยูท่ ี่ (2,-5) และผา่ นจดุ ท่ีเส้นตรง
x + y – 2 = 0 และ x – y + 8 = 0 ตดั กนั

ตวั อยา่ งท่ี 14 จงเขยี นสมการวงกลม x2 y2 2x 6y 54 0 ใหอ้ ยู่ในรปู แบบมาตรฐาน
และจงอธิบายว่าหากตอ้ งการเลอื่ นวงกลมดงั กลา่ ว ให้มีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่จี ุดกำเนิด และยังมี
รศั มียาวเท่าเดิม ตอ้ งเลื่อนไปในทศิ ทางใด อย่างไร

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตดั กรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 31

รายวิชา เรขาคณิต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

ตวั อยา่ งท่ี 15 จงแสดงว่าสมการต่อไปนเ้ี ปน็ สมการวงกลม แล้วจงหาจดุ ศูนยก์ ลางและความยาวของรศั มี
ของวงกลม

1. x2 y2 4x 2y 1 0

2. x2 y2 y 0

3. x2 y2 10x 4y 13 0

4. x2 y2 x 2y 1 0

5. x2 y2 6x 2 0

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5 32

รายวชิ า เรขาคณติ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ูล

6. x2 y2 1 x 1 y 1 0
228

ตวั อย่างที่ 16 จงหาพน้ื ที่ของบริเวณทอี่ ยูน่ อกวงกลม x2 y2 4 แตอ่ ยภู่ ายในวงกลม
x2 y2 4y 12 0

ตัวอย่างท่ี 17 จงหาสมการเสน้ สมั ผสั ของวงกลม x2 y2 10x 0 ณ จุดทวี่ งกลมตัดเส้นตรง
4x 3y 20

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 33

รายวิชา เรขาคณติ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

ขอ้ สรุปเก่ียวกับวงกลม

1. ลกั ษณะสมการวงกลม
1.1 สมั ประสทิ ธข์ิ อง x2 และ y2 มีคา่ เทา่ กนั
1.2 เครอื่ งหมายระหวา่ ง x2 และ y2 เปน็ เครือ่ งหมาย “ + ” (บวก)
1.3 ความยาวของรัศมี ต้องมีคา่ มากกวา่ 0
1.4 ต้องไมม่ ีพจน์ xy ปรากฏในสมการ

2. สมการวงกลมรปู มาตรฐาน (x - h)2 + (y - k)2 = r2 มีจดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (h , k) และรศั มี r หน่วย
3. สมการวงกลม x2 + y2 = r2 มจี ุดศูนยก์ ลางที่ (0 , 0) และรศั มยี าว r หน่วย
4. สมการวงกลมในรูปทว่ั ไป x2 + y2 + Ax + By + C = 0 มหี ลกั พิจารณาดังน้ี

4.1 สมการน้เี ป็นวงกลม เมื่อ A2 + B2 - 4C > 0 และมีจุดศนู ย์กลาง ท่ี ( A , B)
22

รศั มีเทา่ กับ r หน่วย
4.2 สมการนเี้ ป็นจดุ เม่ือ A2 + B2 - 4C = 0 จดุ นนั้ คอื ( A , B)

22
4.3 สมการนไี้ มม่ ีกราฟ เมื่อ A2 + B2 - 4C < 0

☺☺☺☺☺

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 34

รายวิชา เรขาคณิต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

2. วงรี

บทนิยาม
วงรี คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนนั้
ไปยังจดุ ทต่ี รึงอยู่กับทีส่ องจดุ มีคา่ คงตัว โดยค่าคงตวั นตี้ ้องมากกว่าระยะหา่ งระหวา่ ง
จุดทีต่ รงึ อยู่กับท่ีท้งั สองจุด เรียกจุดทต่ี รึงอยู่กบั ท่ีทง้ั สองจดุ น้วี ่า โฟกสั (focus) ของวงรี

P1 P2

F1 F2 รูปที่ 2

P1F1+P1F2 = P2F1+P2F2 เป็นค่าคงตวั
รูปที่ 1

จากบทนิยามนี้ มวี ิธีง่ายๆในการเขยี นวงรี (ดงั รปู ท่ี 2) โดยปักหมดุ 2 ตัวทจี่ ุดต่างกนั ใช้เป็นโฟกัสของ
วงรี ใช้เชอื กที่ยาวกวา่ ระยะทางระหวา่ งหมุดทั้งสอง ผกู ปลายเชือกแต่ละข้างเข้ากบั หมดุ ทงั้ สอง ใช้ดินสอร้ัง
เชอื กให้ตึงตลอดเวลา ขณะท่ีคอ่ ยๆเคลอ่ื นดนิ สอไปรอบโฟกัส รอยดนิ สอท่ีเกดิ ข้ึนจะเปน็ วงรี เพราะผลบวก
ของระยะทางจากจดุ ปลายดินสอถงึ โฟกสั ทงั้ สองเทา่ กับความยาวของเชือกซึ่งมีความยาวคงตวั เสมอ

2.1 ส่วนประกอบตา่ งๆของวงรี V(0,a)
F1 (0,c) Q
Y P
P B (0,b) M B’ (-b,0) O B (b,0)

V’(- a,0) F1 (- c,0) O F2 (c,0) V(a,0) X

Q B’ (0,-b)N M F2 (0,- c) N

เรียก O ว่า จุดศูนย์กลาง (center) V’(0,-a)
V และ V’ ว่า จุดยอด (vertex)
F1 และ F2 ว่า จุดโฟกสั (focus)
V V’ ว่า แกนเอก (major axis)
B B’ วา่ แกนโท (minor axis)
PQ และ MN ว่า เส้นเลตสั เรกตัม (latus rectum)

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 35

รายวชิ า เรขาคณติ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

2.2 วงรีที่มีจดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่จี ุด (0,0) วงรที ี่มีแกนเอกอยบู่ นแกน Y
วงรีท่ีมแี กนเอกอยู่บนแกน X
V(0,a)
Y
B (0,b) F1 (0,c)

V’(- a,0) F1 (- c,0) O F2 (c,0) V(a,0) X B’ (-b,0) O B (b,0) X
F2 (0,- c)
B’ (0,-b)

V’(0,-a)

x2 y2 1 สมการมาตรฐาน x2 y2 1
a2 b2 ลักษณะกราฟ b2 a2
วงรีนอน
วงรตี ัง้

V’(-a,0) และ V(a,0) จุดยอด V(0,a) และ V’(0,-a)

F1(-c,0) และ F2 (c,0) จดุ โฟกัส F1(0,c) และ F2(0,-c)

V’V แกนเอก V V’

BB’ แกนโท B’B

2a ความยาวแกนเอก 2a

2b ความยาวแกนโท 2b

2b2 ความยาวเลตัสเรกตมั 2b2
ความสัมพนั ธ์ a, b, c
a ความเย้ืองศนู ย์กลาง a

a2 b2 c2 a2 b2 c2
c c
e a e a

*** 1. a > b > 0 เสมอ

2. a2 อยู่ใต้ตัวแปรใด กราฟจะเป็นวงรีตามแนวแกนนั้น (คา่ มากอย่ใู ต้ตัวแปรใด กราฟจะเป็นวงรีตาม

แนวแกนนั้น )

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตดั กรวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 36

รายวิชา เรขาคณิต ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ูล

2.3 วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจดุ (h,k) วงรีที่มีแกนเอกขนานแกน Y

วงรีที่มแี กนเอกขนานแกน X Y V(h,k+a)

Y

B (h,k+b) F1 (h,k+c)
(h,k) B (h+b,k)
F1 (h-c,k) F2 (h+c,k) B’ (h-b,k)
(h,k) V(h+a,k)
V’(h-a,k)
X
O F2 (h,k-c)
O
B’ (h,k-b)
V’(h,k-a)
X

(x h)2 (y k)2 1 สมการมาตรฐาน (x h)2 (y k)2 1
a2 b2 b2 a2
วงรีนอน ลกั ษณะกราฟ วงรตี ง้ั
จดุ ยอด
V’(h-a,k) และ V(h+a,k) จุดโฟกัส Vh,k+a) และ V’(h,k-a)
แกนเอก
F1(h-c,k) และ F2 (h+c,k) แกนโท F1(h,k+c) และ F2(h,k-c)
V’V V V’
ความยาวแกนเอก
BB’ ความยาวแกนโท B’B

2a ความยาวเลตัสเรกตัม 2a

2b ความสัมพนั ธ์ a, b, c 2b

2b2 ความเย้ืองศนู ย์กลาง 2b2

a a

a2 b2 c2 a2 b2 c2
c c
e a e a

*** 1. a > b > 0 เสมอ
2. a2 อยูใ่ ตต้ วั แปรใด กราฟจะเปน็ วงรตี ามแนวแกนนน้ั (ค่ามากอย่ใู ต้ตวั แปรใด กราฟจะเป็นวงรตี าม

แนวแกนน้นั )

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 37

รายวชิ า เรขาคณิต ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

จากส่วนประกอบของวงรี จะเห็นว่า ถา้ ระยะ 2a มากกว่า 2c เพยี งเล็กน้อยวงรีจะมีรูปร่างเรียวยาว
(วงรีมคี วามรมี าก) แต่ถ้า 2a มากกว่า 2c มาก วงรีมรี ปู รา่ งเกือบจะกลม (วงรีมีความรีน้อย) โดยทัว่ ไป จะใช้
อัตราส่วนของ c ต่อ a วดั ความรีของวงรี อตั ราสว่ นน้ีเรียกวา่ ความเยอื้ งศนู ย์กลาง (eccentricity)

บทนยิ าม

สำหรบั วงรี x2 y2 1 และ x2 y2 1 เมื่อ a > b > 0
a2 b2 b2 a2
ความเยอ้ื งศนู ย์กลางของวงรี แทนดว้ ย e คือ อตั ราส่วนของ c ตอ่ a

เมอ่ื e a2 b2 นนั่ คอื e c
a

ความเย้ืองศนู ย์กลางของวงรมี คี ่าระหว่าง 0 และ 1 นนั่ คือ 0 < e < 1 ถา้ e มีค่าเข้าใกล้ 1 หรอื c มี
ค่าเกือบจะเทา่ กบั a แล้ววงรีมีความรีมาก (มีรูปรา่ งเรียวยาว) แต่ถา้ e มีค่าใกล้ 0 แล้ววงรมี ีคความรนี ้อย
(รูปรา่ งใกลเ้ คียงวงกลม)

Note : รูปทั่วไปของสมการวงรี คือ Ax2 + By2 + Cx + Dy +E = 0 เมอื่ A  B  0
และ A กบั B มเี คร่ืองหมายเหมอื นกัน

ตวั อยา่ งท่ี 18 จงหาโฟกัส จดุ ยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท พรอ้ มทง้ั เขียนวงรี จากสมการวงรี

ในแต่ละข้อต่อไปน้ี

1. x2 y2 1 2. x2 y2 1
16 4 9 64

3. 25x2 49y2 1,225 4. 36x2 16y2 576

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 38

รายวิชา เรขาคณิต ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ูล

5. 100x2 4y2 400 0 6. 81x2 100y2 8,100 0

7. (x 2)2 (y 3)2 1 8. (x 1)2 (y 2)2 1
9 4 16 49

9. 16(x 1)2 25(y 2)2 400 0 10. 4x2 y2 8x 4y 8 0

ตัวอยา่ งท่ี 19 จงหาสมการวงรที ่มี ีจดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี่จุดกำเนดิ และสอดคล้องกบั เงื่อนไขท่ีกำหนดให้
1. โฟกัส คือ (-4,0) , (4,0) และจดุ ยอดคือ (-5,0) , (5,0)

2. แกนเอกยาว 4 หนว่ ย แกนโทยาว 2 หนว่ ย และโฟกัสอยู่บนแกน Y

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 39

รายวิชา เรขาคณติ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

3. โฟกัส คือ (-5,0) , (5,0) และแกนเอกยาว 12 หนว่ ย

4. จุดปลายแกนเอก คือ (-10,0) , (10,0) และระยะระหว่างโฟกัสเท่ากับ 6 หน่วย

5. แกนเอกยาว 10 หนว่ ย โฟกัสอยู่บนแกน X และวงรีผ่านจดุ ( 5,2)

6. ความเยื้องศูนย์กลางเทา่ กับ 1 และโฟกัส คือ (0,-2) , (0,2)
9

7. ความเยอ้ื งศนู ย์กลางเทา่ กับ 3 โฟกัสอย่บู นแกน Y และแกนเอกยาว 4 หน่วย
2

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตดั กรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 40

รายวิชา เรขาคณติ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

ตัวอยา่ งท่ี 20 จงหาสมการของวงรี ตามเง่ือนไขท่ีกำหนดให้ในแตล่ ะขอ้
1. โฟกัสจดุ หนึ่งอยู่ทจ่ี ดุ (-5,1) และจดุ ศูนยก์ ลางอยู่ที่จุด (0,1) และแกนโทยาว 10 หน่วย

2. จดุ ยอดอยู่ทีจ่ ดุ (-5,-3) และ (3,-3) และแกนโทยาว 6 หนว่ ย

3. โฟกสั จุดหนึง่ อยู่ทจ่ี ดุ (3,3) จดุ ศนู ยก์ ลางอย่บู นแกน Y และจดุ ยอดจุดหนึง่ คือ จดุ (-6,3)

ตวั อยา่ งท่ี 21 จากสมการวงรี 25x2 9y2 225 จงหาความยาวแกนเอก และผลบวกที่เปน็ ค่าคงตัวของ
ระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรีไปยงั จดุ โฟกสั ทงั้ สอง

Note 41
ความยาวของแกนเอก = ระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรีไปยงั จดุ โฟกัสทัง้ สอง
ดงั นัน้ ระยะทางจากจดุ ใดๆ บนวงรไี ปยงั จุดโฟกสั ทงั้ สอง คอื 2a

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

รายวชิ า เรขาคณติ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

ตวั อยา่ งท่ี 22 จงหาสมการของวงรีซง่ึ มจี ดุ โฟกัส คือ (5 3,0) , ( 5 3,0) ระยะทางจากจดุ ใดๆ บนวงรี
ไปยังจดุ โฟกสั ทง้ั สอง เทา่ กบั 20

ตัวอยา่ งท่ี 23 จงหาสมการวงรีทีม่ จี ดุ ศูนยก์ ลาง (-3,2) จุดยอดจดุ หน่งึ คือ (-3,10) ระยะระหวา่ งโฟกัสท้ังสอง
ยาว 8 หนว่ ย

ขอ้ สรปุ เก่ียวกับวงรี

สมการรูปทัว่ ไปของวงรี คอื Ax2 + By2 + Cx + Dy +E = 0 เม่ือ A  B  0
และ A กับ B มีเคร่อื งหมายเหมอื นกนั

จะไดว้ า่
1. A B และต้องเป็นจำนวนบวก
2. ถ้า B > A จะไดแ้ กนเอกขนานแกน X
3. ถ้า B > A จะไดแ้ กนเอกขนานแกน Y

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 42

รายวิชา เรขาคณติ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

3. พาราโบลา

นักเรียนเคยศึกษาเกย่ี วพาราโบลาในเรอื่ งฟังกช์ นั กำลงั สองมาแล้ว ในหวั ขอ้ นจ้ี ะพจิ ารณาสมบตั ิของ
พาราโบลาในเชงิ ภาคตัดกรวย

บทนิยาม
พาราโบลา คอื เซตของจดุ ทั้งหมดในระนาบซึ่งหา่ งจากจดุ ทต่ี รงึ อยูจ่ ดุ หนง่ึ และเส้นตรง
ท่ีตรึงอยู่กับทเ่ี สน้ หนง่ึ เป็นระยะทางเท่ากัน
จดุ ท่ตี รงึ อยู่กับท่นี ี้ เรียกว่า โฟกสั (focus) ของพาราโบลา
เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับทน่ี ้ี เรียกว่า เสน้ บังคบั หรอื ไดเรกตรกิ ซ(์ directrix)
ของพาราโบลา

สว่ นประกอบต่างๆของพาราโบลา
1. จดุ ม่ตี รึงอยู่กบั ที่ หรือจดุ คงท่ี เรยี กวา่ จดุ โฟกสั (focus)
2. เส้นตรงทีต่ รงึ อยูก่ ับที่ หรือเส้นตรงคงที่ เรยี กวา่ ไดเรกตรกิ ซ์ (directrix)
3. เส้นตรงท่ผี า่ นโฟกัสและต้ังฉากกับไดเรกตรกิ ซ์ เรยี กวา่ แกนสมมาตร (axis of symmetry)

หรือ แกน (axis) ของพาราโบลา
4. จุดกง่ึ กลางระหวา่ งโฟกสั และไดเรกตรกิ ซ์ หรือจดุ ท่กี ราฟพาราโบลาตัดแกนของพาราโบลา

เรียกวา่ จดุ ยอด (vertex)

Y เสน้ ไดเรกตริกซ์

พาราโบลา

จดุ ยอด V จดุ โฟกัส F แกนของพาราโบลา
ลาตัสเรกตัม
O
X

5. ส่วนของเส้นตรงทผี่ า่ นจดุ โฟกัส และมีจุดปลายท้ังสองอยบู่ นพาราโบลา และตง้ั ฉากกับแกน
ของพาราโบลา เรยี กว่า ลาตัสเรกตัม ( latus rectum)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 43

รายวชิ า เรขาคณติ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

3.1 พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ทีจ่ ดุ กำเนิด และแกนสมมาตรอยู่ในแนวต้ัง

สมการรปู แบบมาตรฐาน 4cy เมื่อ c > 0 x2 4cy 4cy เมื่อ c < 0
จุดยอด V(0,0)
โฟกัส
สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ F(0,c)
ความยาวลาตสั เรกตัม
กราฟของพาราโบลา x2 yc
4c
Y กราฟของพาราโบลา x2

Y

F(0,c) y=-c X
O
O
y=-c X F(0,c)

** c คือ ระยะห่างจากจุดโฟกสั ถงึ จดุ ยอดของพาราโบลา และ ระยะจากจุดยอดถึงเส้นไดเรกตรกิ ซ์

3.2 พาราโบลาที่มีจุดยอดอย่ทู จ่ี ดุ กำเนดิ และแกนสมมาตรอยู่ในแนวนอน

สมการรปู แบบมาตรฐาน 4cx เม่อื c > 0 y2 4cx
จดุ ยอด V(0,0)
โฟกสั F(c,0)
สมการเส้นไดเรกตริกซ์
ความยาวลาตสั เรกตัม xc
กราฟของพาราโบลา y2 4c
กราฟของพาราโบลา y2 4cx เมื่อ c < 0
Y
Y

F(c,0) X F(c,0) X

O O

x=-c x=-c 44
** c คอื ระยะห่างจากจดุ โฟกัส ถงึ จดุ ยอดของพาราโบลา และ ระยะจากจุดยอดถึงเส้นไดเรกตรกิ ซ์

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตดั กรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5

รายวชิ า เรขาคณติ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ูล

3.3 พาราโบลาท่ีมจี ุดยอดอยูท่ ่จี ุด (h,k) และแกนสมมาตรอย่ใู นแนวต้ัง(ขนานแกน Y)

สมการรปู แบบมาตรฐาน k) เมอื่ c > 0 (x h)2 4c(y k) k) เมือ่ c < 0
จุดยอด (h,k)
โฟกสั
สมการเส้นไดเรกตริกซ์ F(h,k+c)
ความยาวลาตัสเรกตมั
กราฟของ (x h)2 4c(y ykc

Y 4c
กราฟของ (x h)2 4c(y

Y

F (h,k+c) y = k- c
(h,k)

(h,k) X F (h,k+c)
y = k- c
X

** c คอื ระยะห่างจากจุดโฟกสั ถึงจดุ ยอดของพาราโบลา และ ระยะจากจุดยอดถึงเสน้ ไดเรกตริกซ์

3.4 พาราโบลาที่มีจุดยอดอย่ทู ่ีจดุ (h,k) และแกนสมมาตรอยใู่ นแนวนอน(ขนานแกน X)

สมการรปู แบบมาตรฐาน 4cx เมอื่ c > 0 (y k)2 4c(x h) 4cx เมื่อ c < 0
จดุ ยอด (h,k)
โฟกสั
สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ F(h+c,k)
ความยาวลาตสั เรกตัม
กราฟของพาราโบลา y2 x hc
4c
Y กราฟของพาราโบลา y2

Y

F F

(h,k) (h+c,k) (h+c,k) (h,k)

XX

x =h - c x=h-c

** c คอื ระยะห่างจากจดุ โฟกัส ถงึ จุดยอดของพาราโบลา และ ระยะจากจดุ ยอดถึงเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 45

รายวิชา เรขาคณิต ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ูล

รปู แบบทัว่ ไปของสมการพาราโบลา

เมือ่ D , E , F เปน็ ค่าคงตวั ใดๆ แล้วรปู แบบท่วั ไปของสมการพาราโบลาเปน็ ดงั นี้

ลักษณะของพาราโบลา รปู แบบท่วั ไปของสมการ
แกนสมมาตรขนานแกน X y2 Dx Ey F 0 ; เมื่อ D 0
แกนสมมาตรขนานแกน Y x2 Dx Ey F 0 ; เมือ่ E 0

ตัวอย่างท่ี 24 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ และแกนสมมาตรของพาราโบลาในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี

1. y2 8x 2. y2 4x

3. x2 16y 4. x2 24y

5. y2 20x 0 6. y2 16x 0

7. x2 32y 0 8. x2 28y 0

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 46

รายวิชา เรขาคณติ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

9. (x 3)2 4(y 1) 10. (x 5)2 8(y 3)

11. (y 3)2 24(x 2) 12. (x 2)2 20(y 1)

13. y2 4x 8 14. x2 8y 16

15. y2 3x 9 16. x2 7y 14

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 47