เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย_2563

รายวชิ า เรขาคณิต ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

17. x2 6x 4y 1 0 18. y2 2y 2x 7 0

19. y2 8y 36x 52 0 20. 2y2 2y 6x 6 0

ตัวอยา่ งที่ 25 จงหาสมการพาราโบลา จากเงื่อนไขในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. จุดยอดอยู่ที่จดุ (0,0) จดุ โฟกสั อยู่ทจี่ ุด (4,0)

2. จุดยอดอยทู่ ่ีจดุ (0,0) จดุ โฟกัสอยู่ทีจ่ ุด (-2,0)

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 5 48

รายวิชา เรขาคณิต ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

3. สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ คือ x = - 4 และโฟกสั อยู่ท่ีจดุ (4,0)

4. จุดยอดอยทู่ ่ีจดุ (2,5) และโฟกสั อยู่ท่จี ดุ (1,5)

5. ไดเรกตรกิ ซ์ คอื เสน้ ตรง y = 2 และโฟกสั อยู่ทีจ่ ุด (6,6)

ตวั อยา่ งที่ 26 จงเขียนสมการพาราโบลา ซงึ่ มีแกน X เปน็ แกนสมมาตร กราฟตดั แกน X ที่จดุ (-4,0)
ตัดแกน Y ทจ่ี ดุ (0,4) และ (0,-4)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 49

รายวชิ า เรขาคณติ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

ตัวอยา่ งท่ี 27 จงหาสมการพาราโบลา ซง่ึ มจี ุดยอดอยู่ที่ (0,0) มแี กน Y เป็นแกนสมมาตร จุด (-4,2)
และจดุ (4,2) เปน็ จุดปลายของลาตสั เรกตวั

ตัวอยา่ งที่ 28 จงหาสมการพาราโบลา มีจดุ โฟกสั อยทู่ ี่ (2,1) เสน้ ไดเรกตริกซ์ขนานกับแกน X
และจุดยอดอยู่บนเสน้ ตรง 3x +7y +1 = 0

ตวั อย่างท่ี 29 จงหาสมการพาราโบลาท่ีมจี ดุ โฟกัสทจี่ ดุ (1,2) เสน้ ไดเรกตริกซ์ขนานกบั แกน Y และจดุ ยอด
อยบู่ นเส้นตรง x – y + 2 = 0

☺☺☺☺☺ 50

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

รายวิชา เรขาคณติ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ูล

4. ไฮเพอรโ์ บลา

แมว้ า่ รูปร่างของไฮเพอรโ์ บลากบั วงรจี ะแตกตา่ งกนั อย่างสน้ิ เชงิ แต่บทนยิ ามและสมการของภาคตดั
กรวยสองชนดิ น้คี ลา้ ยคลงึ กนั โดยวงรีใชผ้ ลบวกของระยะทางจากโฟกสั ท้ังสองในการนิยาม ในขณะที่
ไฮเพอรโ์ บลาใชผ้ ลต่างของระยะทาง

บทนิยาม
ไฮเพอรโ์ บลา คอื เซตของจดุ ท้งั หมดในระนาบซง่ึ ผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยงั

จดุ ทีต่ รงตรงึ อยูก่ บั ท่ีท้ังสองจุดมคี ่าคงตวั โดยคา่ คงตวั น้ีต้องน้อยกวา่ ระยะห่างระหวา่ งจุดคงท่ี
ทีต่ รงอยู่กับทท่ี ั้งสอง เรียกจดุ ท่ีตรึงอยู่กับท่ีทั้งสองจุดนว้ี า่ โฟกัส(focus) ของไฮเพอรโ์ บลา

P2

F1 F2

P1

P1F1 P1F2 P2F1 P2F2 เป็นคา่ คงตัว

ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา

Y

V’(-a,0) B(0,b) X

F1(-c,0) V(a,0) F2(c,0)
O(0,0)

B’(0,-b)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 51

รายวชิ า เรขาคณติ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

1. จดุ V และ V’ คอื จดุ ยอด(vertex) ของไฮเพอรโ์ บลา

2. จดุ F1 และ F2 คอื จดุ โฟกัส(focus) ของไฮเพอร์โบลา
3. จุด O (จุดก่งึ กลางของแกนตามขวาง) คือ จดุ ศนู ยก์ ลาง(center) ของไฮเพอร์โบลา

4. ไฮเพอรโ์ บลาประกอบด้วยเส้นโคง้ 2 เสน้ แตล่ ะเสน้ เรยี กว่า กง่ิ (branch)

5. สว่ นของเส้นตรงทีเ่ ชอื่ มจุดยอดบนแต่ละก่ิงของไฮเพอร์โบลา ( V V ' ) เรียกว่า แกนตามขวาง

(transverse axis) ซ่งึ ยาว 2a หนว่ ย

6. ส่วนของเสน้ ตรงท่แี บ่งคร่ึงและตงั้ ฉากกับแกนตามขวางทีจ่ ดุ ศนู ยก์ ลางของไฮเพอรโ์ บลา ( BB')

เรยี กว่า แกนสงั ยุค (conjugate axis) ซ่ึงยาว 2b หน่วย

7. เสน้ ตรงทีไ่ ฮเพอร์โบลาเข้าใกล้มากขึ้นเรื่อยๆ คือ เสน้ กำกบั (asymptote) มีสมการเป็น

y b x
a
8. รปู ส่เี หล่ียมมุฉากทสี่ รา้ งจากการลงจดุ 4 จดุ คือ (-a,0) , (a,0) , (0,-b) และ (0,b) แล้วสร้างรูป

สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากโดยใช้จุดท้งั สี่เป็นจุดกึ่งกลางดา้ น เรียกรปู ส่ีเหล่ยี มนว้ี า่ รปู สเี่ หลีย่ มมุมฉากศนู ยก์ ลาง

(central rectangle)

9. ความกว้างของไฮเพอรโ์ บลา ณ จุดโฟกัส (ลาตสั เรกตัม) คือ 2b2
a

4.1 ไฮเพอรโ์ บลาทมี่ ีจดุ ศูนย์กลางอยูท่ ่จี ุดกำเนดิ (จดุ (0,0)) และแกนตามขวางอย่บู นแกนพกิ ดั
(แกน X หรือแกน Y )

ไฮเพอร์โบลาท่มี ีแกน X เป็นแกนตามขวาง ไฮเพอรโ์ บลาทมี่ แี กน Y เปน็ แกนตามขวาง
Y Y

B (0,b) F1 (0,c)

F1 (-c,0) V’(-a,0) V (a,0) F2 (c,0) X B’(-b,0) V (0,a) X
B (b,0)
B’(0,-b)
V’(0,-a)

F2 (0,-c)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 52

รายวิชา เรขาคณติ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

ลักษณะของพาราโบลา ไฮเพอร์โบลาที่มแี กน X ไฮเพอร์โบลาทีม่ ีแกน Y
เปน็ แกนตามขวาง เป็นแกนตามขวาง

สมการรปู แบบมาตรฐาน x2 y2 1 y2 x2 1
a2 b2 a2 b2
( a > 0 , b > 0) ( a > 0 , b > 0)

จดุ ยอด V(a,0) และ V’(-a,0) V(0,a) และ V’(0,-a)

จุดโฟกัส F1(-c,0) และ F2(c,0) F1(0,c) และ F2(0,-c)

แกนตามขวาง V’V (ยาว 2a หน่วย) V’V (ยาว 2a หนว่ ย)

แกนสังยคุ B’B (ยาว 2b หน่วย) B’B (ยาว 2b หนว่ ย)

เสน้ กำกับ y b x y a x
ความยาวเสน้ a b
2b2 2b2

ลาตัสเรกตัม a a
ความสมั พันธ์ของ c2 a2 b2 c2 a2 b2
a , b และ c

ลักษณะกราฟ ปลายเปิดตามแกน X ปลายเปดิ ตามแกน Y

*** จดุ ยอดทง้ั สอง จุดศนู ย์กลาง และจดุ โฟกสั ท้ังสองจะอย่บู นแกนสมมาตร

4.2 ไฮเพอร์โบลาทีม่ จี ุดศูนย์กลางอยูท่ จ่ี ุด (h,k)

ไฮเพอรโ์ บลาทีม่ ีแกนตามขวางอยใู่ นแนวนอน ไฮเพอร์โบลาท่มี แี กนตามขวางอยใู่ นแนวตัง้
Y Y

F1 (h,k+c)

B (h,k+b) V (h,k+a)

F1 (h-c,k) (h,k) F2 (h+c,k) (h,k) B (h+b,k)
B’(h-b,k)
V’(h-a,k) V (h+a,k)

OX V’(h,k-a)

B’(h,k-b)

F2 (h,k-c) X

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 53

รายวชิ า เรขาคณติ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

ลกั ษณะของพาราโบลา ไฮเพอร์โบลาทีม่ แี กนตามขวาง ไฮเพอร์โบลาทม่ี แี กนตามขวาง
อยูใ่ นแนวนอน อยใู่ นแนวตงั้

สมการรูปแบบมาตรฐาน (x h)2 (y k)2 1 (y k)2 (x h)2 1
a2 b2 a2 b2
( a > 0 , b > 0) ( a > 0 , b > 0)

จดุ ยอด V(h+a,k) และ V’(h-a,k) V(h,k+a) และ V’(h,k-a)

จุดโฟกัส F1(h-c,k) และ F2(h+c,k) F1(h,k+c) และ F2(h,k-c)

แกนตามขวาง V’V (ยาว 2a หน่วย) V’V (ยาว 2a หน่วย)

แกนสังยคุ B’B (ยาว 2b หนว่ ย) B’B (ยาว 2b หนว่ ย)

เสน้ กำกับ yk b (x h) yk a (x h)
ความยาวเส้น a b
2b2 2b2

ลาตสั เรกตมั a a
ความสัมพนั ธ์ของ c2 a2 b2 c2 a2 b2
a , b และ c

*** จุดยอดทั้งสอง จุดศนู ย์กลาง และจดุ โฟกสั ท้ังสองจะอยบู่ นแกนสมมาตร

ข้อสงั เกต
ไฮเพอรโ์ บลาท่ีมีเส้นกำกับคือ y x ซง่ึ ตง้ั ฉากกนั เรยี กไฮเพอรโ์ บลาใดๆทม่ี เี สน้ กำกบั ต้ัง

ฉากกันว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (rectangular hyperbola)

รปู ทัว่ ไปของสมการไฮเพอร์โบลา
เม่ือ A, B, C เป็นคา่ คงตัวใดๆ แลว้ รปู ท่ัวไปของสมการไฮเพอรโ์ บลาเป็นดงั น้ี

ลกั ษณะแกนสมมาตร รปู ท่วั ไปของสมการไฮเพอรโ์ บลา
แกนสมมาตรขนานแกน X Ax2 By2 Cx Dy E 0 ; A 0, B 0
(กราฟปลายเปิดตามแกน X)
แกนสมมาตรขนานแกน Y Ax2 By2 Cx Dy E 0 ; A 0, B 0
(กราฟปลายเปดิ ตามแกน Y)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณติ วิเคราะห์และภาคตัดกรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 54

รายวชิ า เรขาคณิต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรียนชลกันยานกุ ลู

ตวั อยา่ งที่ 30 จงหาจดุ ยอด จุดโฟกัส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสงั ยคุ และสมการเสน้ กำกับของ

ไฮเพอรโ์ บลาในแตล่ ะข้อ

1. x2 y2 1 2. y2 x2 1
16 4 25 16

3. (x 1)2 (y 1)2 1 4. (y 1)2 (x 1)2 1
25 4 16 4

5. 16x2 9y2 144 6. 4x2 y2 4

7. 4x2 y2 8x 4y 8 0 8. 16x2 9y2 64x 18y 89 0

9. 9x2 4y2 54x 40y 19 0

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 55

รายวชิ า เรขาคณิต ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

ตวั อยา่ งที่ 31 จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลาท่ีมีจุดศูนยก์ ลางอยูท่ ่จี ุด (0,0) และสอดคล้องกบั เง่ือนไขต่อไปน้ี
1. โฟกสั คือ (0,-5) , (0,5) และจดุ ยอด คือ (0,-3) , (0,3)

2. โฟกัส คอื (-10,0) , (10,0) และจดุ ยอด คอื (-8,0) , (8,0)

3. จุดยอด คอื (-1,0) , (1,0) และเสน้ กำกบั คือ y 5x

4. จุดยอด คือ (0,-6) , (0,6) และเส้นกำกบั คือ y 1 x
3

5. จุดยอด คอื (0,-6) , (0,6) และไฮเพอรโ์ บลาผ่านจุด (-5,9)

6. เสน้ กำกบั คือ y x และไฮเพอรโ์ บลาผา่ นจดุ (5,3)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 56

รายวิชา เรขาคณิต ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

7. โฟกัส คอื (-3,0) , (3,0) และไฮเพอร์โบลาผ่านจุด (4,1)

8. โฟกสั คือ (-5,0) , (5,0) และแกนตามขวางยาว 6 หน่วย

9. โฟกสั คอื (0,-1) , (0,1) และแกนตามขวางยาว 1 หนว่ ย

ตัวอยา่ งที่ 32 จากสมการของไฮเพอรโ์ บลา x2 y2 1 จงหาความยาวของแกนตามขวาง
9 16

และผลตา่ งของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจดุ โฟกัสทัง้ สอง

Note
ความยาวของแกนตามขวาง = ผลตา่ งของระยะทางจากจุดใดๆ บนกราฟไปยังจุดโฟกัสท้งั สอง
ดงั นนั้ ผลตา่ งของระยะทางจากจุดใดๆ บนกราฟไปยงั จุดโฟกัสท้ังสอง คือ 2a

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 57

รายวชิ า เรขาคณติ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ูล

ตัวอยา่ งที่ 33 จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลา ทีม่ ผี ลตา่ งของจดุ ใดๆ ท่ีอยบู่ นไฮเพอร์โบลาไปยงั จดุ
(0,13) และ (0,-13) ยาว 10 หนว่ ย

ตัวอย่างท่ี 34 ไฮเพอรโ์ บลามจี ุดยอดอยู่ท่ี (8,0) และมีจุดปลายแกนสังยุคอย่ทู ี่จุด (0,6) และ (0,-6)

ตัวอย่างที่ 35 ไฮเพอร์โบลามีแกนตามขวางอย่บู นแกน X มจี ุดศนู ยก์ ลางอยู่ท่จี ุด (0,0) มจี ดุ ยอดจุดหน่ึง
อย่ทู ี่ (6,0) และโฟกสั จุดหนึ่งอยทู่ ี่ (-10,0)

ตวั อยา่ งที่ 36 ไฮเพอร์โบลามจี ุดศนู ย์กลางท่ีจุด (0,0) แกนตามขวางอยบู่ นแกน X ความยาวลาตัสเรกตมั
เทา่ กับ 6 หนว่ ย และแกนสังยคุ ยาว 12 หนว่ ย

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 58

รายวชิ า เรขาคณติ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกนั ยานกุ ลู

ตวั อยา่ งที่ 37 ไฮเพอรโ์ บลามจี ุดศนู ย์กลางท่ีจุด (0,0) แกนสงั ยุคยาว 6 หน่วย แกนตามขวางยาว 8 หน่วย
และแกนตามขวางอยู่บนแกน X

ตัวอย่างท่ี 38 ไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ศูนย์กลางที่ (4,-2) มีจุดโฟกัสจุดหน่ึงอยทู่ ่ี (4,-5) และแกนตามขวาง
ยาว 4 หนว่ ย

ตวั อยา่ งที่ 39 ไฮเพอร์โบลามีจุด (2,-3) และ (2,5) เปน็ จดุ ยอด และไฮเพอรโ์ บลาผ่านจุด (-3,-5)

ตวั อย่างท่ี 40 ไฮเพอร์โบลามจี ดุ ศนู ยก์ ลางที่ (4,-5) จุดโฟกัสท่ี (4,-2) แกนตามขวางยาว 4 หนว่ ย

☺☺☺☺☺ 59

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตดั กรวย ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

รายวิชา เรขาคณติ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 โรงเรยี นชลกันยานกุ ลู

การเลื่อนกราฟของสมการ

ถา้ h และ k เป็นจำนวนจริงบวก แลว้ การแทน x ดว้ ย x – h หรอื x + h และการแทน y ดว้ ย y – k
หรือ y + k จะมผี ลตอ่ กราฟของสมการใดๆ ในตวั แปร x และ y ดังน้ี

วิธีการแทน กราฟเลื่อนไปอยา่ งไร
แทน x ด้วย x – h ทางขวา h หนว่ ย
แทน x ด้วย x + h ทางซา้ ย h หน่วย
แทน y ดว้ ย y – k ข้นึ บน k หนว่ ย
แทน y ด้วย y + k ลงลา่ ง k หน่วย

สรปุ สาระสำคัญชองสมการรปู แบบทั่วไปของภาคตัดกรวย

กราฟของสมการ Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 เมือ่ A และ C ไมเ่ ปน็ ศูนย์พร้อมกัน
เปน็ ภาคตัดกรวยหรือภาคตัดกรวยลดรปู ในกรณที ี่ไมใ่ ช่ภาคตดั กรวยลดรปู กราฟของสมการเป็น

1. วงกลม เม่ือ A = C
2. วงรี เมือ่ AC > 0
3. พาราโบลา เมอ่ื AC = 0
4. ไฮเพอรโ์ บลา เมอ่ื AC < 0

ข้อสังเกต
สมการท่ีอย่ใู นรปู Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 ไมจ่ ำเป็นต้องเปน็ สมการของวงกลม

วงรี พราโบลา หรือไฮเพอร์โบลาเสมอไป อาจเปน็ เพียงสมการของเส้นตรง 2 เสน้ ท่ีตดั กัน หรือเปน็ จุดหนงึ่ จุด
เรยี กลักษณะดังกลา่ วน้วี า่ ภาคตดั กรวยลดรูป(reducible conic)

ตวั วอยา่ งที่ 41 จงพจิ ารณาว่าสมการที่กำหนดให้มีกราฟเปน็ วงกลม วงรี พาราโบลา หรอื ไฮเพอร์โบลา

1. x2 y2 6x 4y 9 0 2. x2 4y2 6x 16y 21 0

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตดั กรวย ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 60

รายวชิ า เรขาคณติ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ลู

3. 4x2 y2 4x 3 0 4. y2 4y 4x 0

5. 4x2 3y2 8x 24y 51 0 6. 4y2 2x2 4y 8x 15 0

7. 25x2 10x 200y 119 0 8. 4x2 4y2 16y 15 0

9. 4x2 y2 8x 6y 4 0 10. 2x2 2y2 8x 12y 2 0

☺☺☺☺☺

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง เรขาคณติ วเิ คราะห์และภาคตัดกรวย ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 61

รายวชิ า เรขาคณิต ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 โรงเรียนชลกนั ยานกุ ูล

บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกลุ และ รณชยั มาเจรญิ ทรัพย์. 2553. แบบฝกึ หดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้
คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4-6 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : เดอะบคุ ส์.

จันทร์เพ็ญ ชมุ คช. (บรรณาธกิ าร). 2561. หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิม่ เติม ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4
คณิตศาสตร์ เล่ม 2. พิมพ์ครง้ั ที่ 2. กรงุ เทพฯ : อกั ษรเจริญทัศน์ อจท.

ธนวัฒน์ สนทราพรพล. 2562. คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ฉบบั เตรยี มสอบ และเขา้ มหาวิทยาลยั .
นนทบุรี : ธรรมบัณฑิต

พพิ ฒั น์พงศ์ ศรีวศิ ร. 2553. คู่มอื คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ม.4-6 เล่ม 2. กรงุ เทพฯ : เดอะบคุ ส์

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สถาบัน. 2562. หนงั สือเรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ ช้นั
มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 คณิตศาสตร์ เลม่ 2. พมิ พ์ครั้งที่ 3. กรงุ เทพฯ : ศนู ย์หนังสอื แห่ง
จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย.

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 62