จำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 4
เลม่ ท่ี 5 กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น

ใบความรู้ท่ี 5.1
เร่ือง กราฟของจำนวนเชิงซอ้ น

จำนวนเชิงซ้อน a + bi สามารถเขียนในของรูปคอู่ นั ดบั (a, b) ได้ ดังน้ันจึงสามารถ
เขยี นจำนวนเชงิ ซอ้ นแทนดว้ ยจดุ บนระนาบ และเรยี กระนาบน้ันวา่ ระนาบเชงิ ซ้อน โดยให้แกน X
แทนส่วนจรงิ เรียกวา่ แกนจรงิ และให้แกน Y แทนสว่ นจนิ ตภาพ เรยี กว่า แกนจินตภาพ
แกนทั้งสองตัง้ ฉากกนั และตดั กนั ที่ (0, 0) ดงั รูปที่ 1

รปู ที่ 1

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 5
เล่มที่ 5 กราฟและค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

จำนวนเชงิ ซอ้ น 2 + 3i เขยี นแทนดว้ ยจุด (2, 3) ดังรูปที่ 2 หรือเขยี นแทนดว้ ย
เวกเตอรท์ ี่มจี ุด (0, 0) เป็นจุดเริม่ ต้น และจดุ (2, 3) เป็นจดุ สน้ิ สดุ ดังรูปท่ี 3

รปู ที่ 2

รปู ที่ 3

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 6
เลม่ ที่ 5 กราฟและค่าสัมบรู ณ์ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5.1

1. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ แทนดว้ ยจุดบนกราฟ (10 คะแนน)

1. 3 + 4i เขียนในรูปคู่อันดับได้เทา่ กับ (………..,……….)
เขยี นในรูปคู่อนั ดับไดเ้ ทา่ กับ (………..,……….)
2. - 5 - 2i เขยี นในรปู คู่อนั ดบั ไดเ้ ทา่ กบั (………..,……….)
3. - 3i เขยี นในรปู คู่อันดบั ไดเ้ ท่ากับ (………..,……….)
4. 2 + i เขยี นในรปู คู่อันดบั ได้เท่ากบั (………..,……….)
5. − 4
Y แกนจนิ ตภาพ

X แกนจรงิ

เกณฑ์การใหค้ ะแนน
เติมคำตอบได้ถกู ต้องตำแหนง่ ละ 1 คะแนน

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หนา้ 7
เลม่ ที่ 5 กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชงิ ซอ้ น

2. จงเขยี นเวกเตอร์ในระนาบเชงิ ซอ้ น ดว้ ยจำนวนเชิงซ้อนตอ่ ไปน้ี (15 คะแนน)
1. 4 + 6i เขียนแทนดว้ ยเวกเตอร์ท่มี จี ดุ เริม่ ต้นทจ่ี ดุ (…..,….) และมจี ุดส้ินสดุ ทจ่ี ดุ (…..,….)
2. - 2 + 3i เขียนแทนดว้ ยเวกเตอร์ท่ีมีจดุ เริม่ ต้นทจ่ี ุด (…..,….) และมจี ุดสนิ้ สุดทจี่ ดุ (…..,….)
3. 5 เขยี นแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุดเรม่ิ ต้นที่จดุ (…..,….) และมจี ุดสน้ิ สดุ ทจ่ี ุด (…..,….)
4. i(3 + i) เขยี นแทนดว้ ยเวกเตอรท์ ี่มจี ดุ เรมิ่ ตน้ ทจ่ี ดุ (…..,….) และมจี ดุ สิ้นสุดทจ่ี ุด (…..,….)
5. i2 (7 + 2i)เขียนแทนดว้ ยเวกเตอร์ท่ีมีจุดเริ่มตน้ ทีจ่ ุด (…..,….) และมจี ุดสน้ิ สุดท่จี ดุ (…..,….)
Y แกนจินตภาพ

X แกนจริง

เกณฑ์การใหค้ ะแนน
เติมคำตอบได้ถกู ตอ้ งตำแหน่งละ 1 คะแนน

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน หน้า 9
เล่มท่ี 5 กราฟและค่าสัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น

ใบความรู้ที่ 5.2
เร่ือง คา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเชิงซอ้ น

บทนยิ าม คา่ สัมบรู ณ์ (absolute value หรอื modulus) ของจำนวนเชิงซ้อน a+bi
คอื จำนวนจรงิ a2 + b2 เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ a + bi

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่าสมั บูรณ์ของ 3 + 4i

วิธที ำ คา่ สัมบูรณ์ของ 3 + 4i คอื 3 + 4i = 32 + 42

= 9 + 16
= 25
=5

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาค่าสมั บรู ณ์ของ 4 - 2i

วธิ ที ำ ค่าสมั บูรณข์ อง 4 - 2i คือ 4 - 2i = 42 + (-2)2

= 16 + 4
= 20
=2 5

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ สมั บรู ณ์ของ - 5i

วธิ ที ำ ค่าสมั บรู ณ์ของ - 5i คือ - 5i = 02 + (-5)2

= 0 + 25
= 25
=5

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หนา้ 10
เลม่ ท่ี 5 กราฟและคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาค่าสัมบูรณ์ของ - 6

วธิ ีทำ คา่ สมั บรู ณข์ อง - 6 คอื - 6 = (-6)2 + 02

ตวั อยา่ งท่ี 5 = 36 + 0
วิธีทำ
= 36
=6

จงหาคา่ สัมบูรณ์ของ 1 - 2 i
3 3

ค่าสัมบรู ณข์ อง 1 - 2 i คอื 1 − 2 i = 1 2 − 32
3 3 3 3
+
33

= 1 + 3
9 9

=4
9

= 2
3

สมบัตขิ องคา่ สัมบรู ณ์ของจำนวนเชงิ ซ้อน
ให้ z, z1 และ z2 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อน จะได้ว่า
1. z 2 = zz

2. z = - z = z

3. ถา้ z 0 แล้ว z-1 = 1 = 1
zz

4. z1z2 = z1 z2

5. z1 = z1
z2 z2

6. z1 + z2 z1 + z2
7. z1 − z2
z1 − z2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน หน้า 11
เล่มที่ 5 กราฟและค่าสัมบรู ณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.2

1. จงหาคา่ สัมบูรณ์ของจำนวนเชงิ ซอ้ นต่อไปนี้ (10 คะแนน)
1.1) 5 − 4i
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2) 3 + 7i
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3) 2 − 3i
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4) −12 − 5i
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

1.5) 1 - 3i
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 12
เล่มท่ี 5 กราฟและค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซอ้ น

2. จงเตมิ เครือ่ งหมาย = , , และ ใหถ้ กู ต้อง (10 คะแนน)

1. 4 + 3i …………… 5
1
2. (−2 + i) −1 …………… 5
− 3 + 2i 1 + 2i
3. (−3 + 2i)(1+ 2i) ……………
4. (2 − 5i) + (3 − 2i) …………… (2 − 5i) + (3 − 2i)
5. (−5 − 4i) − (7 − 2i) ……………
− 5 − 4i - 7 − 2i

เกณฑก์ ารให้คะแนน (ขอ้ ละ 2 คะแนน) 2 คะแนน
1. แสดงวธิ ที ำไดถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์ และคำตอบถกู ต้อง
2. แสดงวิธที ำไดถ้ กู ตอ้ งบางส่วน แตย่ ังไม่สมบรู ณ์ และคำตอบไมถ่ ูกตอ้ ง 1 คะแนน
0 คะแนน
หรือไมไ่ ดส้ รปุ คำตอบ
3. แสดงวิธีทำไมถ่ ูกต้อง

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 4
เล่มท่ี 6 จำนวนเชิงซ้อนในเชงิ ข้วั

ใบความรู้ที่ 6.1
เร่อื ง จำนวนเชิงซอ้ นในรปู เชิงขั้ว

จำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชิงข้ัว

จากการกำหนดจำนวนเชิงซ้อน z = (x, y) = x + yi ในระนาบเชิงซ้อน จะสามารถเขียน
แทน z ดว้ ยเวกเตอรบ์ นระนาบได้ดังน้ี

Y (แกนจนิ ตภาพz) = (x, y) = x + yi

ry

0x X (แกนจริง)

เม่ือกำหนด เปน็ มุมบวกทเ่ี ล็กที่สดุ ทวี่ ดั ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวกไปยัง

และให้ จะได้

r = | z | = x2 + y2

tan = y เมือ่ x 0
x
y
sinθ = r เมอื่ r 0 นั่นคือ y = |r| sin

cos θ = x เมื่อ r 0 นนั่ คือ x = |r| cos
r
จะได้ x = rcosθ และ y = risinθ

ดงั น้ัน จาก z = x + yi สามารถเขยี นในรปู เชิงข้ัว ได้ดังน้ี

z = rcos + risin

z = r(cos + isin )

เรยี ก วา่ เปน็ อารก์ วิ เมนตข์ อง z (argument of z)

โดยที่ r คอื ขนาดของ z (|z|) น่ันเอง หนงั สือบางเลม่ จึงอาจเขยี นเป็น

z = | z | (cos + isin )

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หนา้ 5
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชิงซอ้ นในเชิงขวั้

บทนิยาม กำหนดให้ z = x + yi เมื่อ x, y เปน็ จำนวนจรงิ แล้ว z
สามารถเขียนใหอ้ ยู่ในรูปเชิงข้ัว ไดด้ งั สมการ z = r(cos + isin )
แตเ่ นอื่ งจาก cos = cos( + 2k )
และ sin = sin( + 2k ) เม่ือ k เป็นจำนวนเตม็
ดงั นัน้ จงึ ได้ z = r cos( + 2k ) + isin( + 2k ) เป็นรูปเชิงขว้ั ของ

จำนวนเชงิ ซ้อน x + yi ดว้ ย

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน z = 3 + 3i เปน็ จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชงิ ข้วั

วธิ ีทำ ให้ z = 3 + 3i

หา r = 32 + 32

r = 18

r= 3 2

หา จาก tan = y
x
3
tan = 3

tan = 1

เนือ่ งจาก (3,3) เปน็ จุดอยู่ในจลุ ภาคที่ 1 จงึ ไดว้ ่า = 4

ดังนน้ั จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว คือ z = 3 2 cos 4 + isin 4

และรูปเชิงขว้ั อื่นคอื z=3 2 cos π + 2kπ + isin π + 2kπ เมื่อ k I
4 4

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หน้า 6
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชงิ ซอ้ นในเชิงขัว้

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขยี น z = 7 − 7 3i ให้เป็นจำนวนเชิงซอ้ นในรปู เชงิ ขว้ั

วิธีทำ ให้ z = 7 − 7 3i

( )หา r = 72 + − 7 3 2

r = 14

หา จาก tan = y
x

tan = −7 3
7

tan = − 3

เนื่องจาก (7,−7 3) เปน็ จดุ อยู่ในจตุภาคที่ 4 จึงไดว้ ่า = 5
3
5 5
ดังนน้ั จำนวนเชิงซ้อนในรปู เชิงข้วั คือ z = 14 cos 3 + i sin 3

และรูปเชิงขั้วอน่ื คอื z = 14 cos 5 + 2k + isin 5 + 2k เม่อื k I
3 3

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงเขียน z = -5 - 5i เปน็ จำนวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชิงขว้ั

วิธที ำ ให้ z = -5 - 5i

หา r = (−5)2 + (−5)2

r = 50

r= 5 2

หา จาก tan = y
x
−5
tan = −5

tan = 1

เนือ่ งจาก (-5,-5) เปน็ จุดอยู่ในจตุภาคท่ี 3 จึงได้วา่ = 5
4

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 7
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชงิ ซ้อนในเชงิ ขั้ว

ดังน้ัน จำนวนเชงิ ซ้อนในรูปเชิงขั้ว คือ z=5 2 cos 5 + i sin 5
4 4

และรปู เชิงขว้ั อนื่ คือ z=5 2 cos 5 + 2k + isin 5 + 2k เมื่อ k I
4 4

ตวั อย่างที่ 4 จงเปลย่ี นจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชงิ ขัว้ 2 cos 4 + i sin 4
3 3 3

เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นในรูป z = x + yi

วิธีทำ จาก z = r(cos + isin )

x + yi = r cos + ri sin

x = r cos

y = risin

ดังนั้น จะได้ x + yi = 2 cos 4 + i sin 4
3 3 3

x + yi = 2 −1 − 3i
3 2 2

นำ 2 คูณเข้าในวงเลบ็
3

จะได้ x + yi = −1 − 3i
3 3

z = −1 − 3i ตอบ
3 3

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 8
เล่มที่ 6 จำนวนเชิงซ้อนในเชงิ ข้วั

ตวั อย่างที่ 5 จงเขยี นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้วั ต่อไปนี้ ในรูป x + yi

1) 6 cos − + isin −
3 3

2) 10[cos390 + isin390 ]

วธิ ีทำ 1) z = 6 cos − + isin −
3 3

= 6 cos 3 − isin 3

= 6 1 − 3i
2 2

= 3 − 3 3i

วิธที ำ 2) z = 10[cos390 + isin390 ]

= 10[cos(390 − 360 ) + isin(390 − 360 )]

= 10(cos30 + isin30 )

= 10( 3 + 1i )
2 2

= 10( 3 ) + 10(12i )
2

= 5 3 + 5i

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 9
เล่มที่ 6 จำนวนเชิงซอ้ นในเชงิ ขว้ั

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6.1

1. จงเปล่ยี นจำนวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรปู เชิงขว้ั (ข้อละ 3 คะแนน)
1.1) z = 2 + 2i

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2) z = 8 – 8i
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน หน้า 10
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชิงซอ้ นในเชิงข้ัว

1.3) z = − 5 − 5 3i
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4) z= −2 3 + 2i
7 7
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หน้า 11
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชงิ ซ้อนในเชิงขว้ั

1.5) z = − 9i
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑก์ ารให้คะแนน (ขอ้ ละ 3 คะแนน) 3 คะแนน
1. แสดงวิธที ำไดถ้ กู ต้องสมบูรณ์ และคำตอบถูกต้อง 2 คะแนน
2. แสดงวธิ ีทำไดถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์ แตค่ ำตอบไม่ถูกต้องหรอื ไม่ได้สรุปคำตอบ
3. แสดงวธิ ีทำได้ถูกต้องบางส่วน แตย่ งั ไมส่ มบูรณ์ และคำตอบไมถ่ ูกต้อง 1 คะแนน
0 คะแนน
หรอื ไม่ไดส้ รปุ คำตอบ
4. แสดงวธิ ที ำไม่ถกู ต้อง

2. จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรปู เชิงข้วั ตอ่ ไปน้ีให้อยู่ในรปู x + yi (ข้อละ 3 คะแนน)

2.1 2 cos π + isin π
4 4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หนา้ 12
เล่มที่ 6 จำนวนเชิงซ้อนในเชงิ ข้ัว

2.2 8 cos − π + isin − π
4 4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3 6 cos4200 + isin4200

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 13
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชิงซ้อนในเชงิ ข้วั

2.4 12 cos2100 + isin2100

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.5 10 cos 4π + i sin 4π
3 3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑ์การให้คะแนน (ข้อละ 3 คะแนน) 3 คะแนน
1. แสดงวธิ ีทำได้ถกู ตอ้ งสมบรู ณ์ และคำตอบถกู ต้อง 2 คะแนน
2. แสดงวธิ ีทำได้ถูกต้องสมบูรณ์ แต่คำตอบไม่ถูกต้องหรอื ไม่ได้สรปุ คำตอบ
3. แสดงวิธที ำไดถ้ ูกตอ้ งบางส่วน แต่ยงั ไม่สมบูรณ์ และคำตอบไมถ่ ูกตอ้ ง 1 คะแนน
0 คะแนน
หรือไม่ไดส้ รุปคำตอบ
4. แสดงวิธีทำไม่ถูกต้อง

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 14
เลม่ ที่ 6 จำนวนเชิงซอ้ นในเชิงข้วั

ใบความรู้ที่ 6.2
เรอ่ื ง สมบตั ิของจำนวนเชิงซอ้ นในรูปเชงิ ขว้ั

สมบตั ิของจำนวนเชงิ ซ้อนขัว้ ในรูปเชงิ ขว้ั

การเขียนจำนวนเชิงซอ้ นในรูปเชงิ ขั้ว จะทำให้การคำนวณผลคูณหรือการยกกำลังต่าง ๆ
ทำไดง้ ่ายข้ึน ดังจะแสดงใหเ้ หน็ ในทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎีบท ให้ z1 = r1 (cosθ1 + isinθ1 ) และ z2 = r2 (cos 2 + isin 2 )

โดยที่ z2 0 แล้ว
1. z1z2 = r1r2 cos( 1 + 2 )+ isin( 1 + 2 )
1
2. z2 = 1 (cos 2 − isin 2)
r2

3. z1 = r1 cos( 1− 2 )+ i sin( 1− 2)
z2 r2

4. z1 = r1 cos(− 1 )+ isin(− 1 )

ทฤษฎบี ทของเดอมัวฟวร์ (De Moivre, s Theorem)
ถ้า z = r(cos + isin ) 0 เป็นจำนวนเชงิ ซอ้ นในรูปเชงิ ข้ัว และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
แลว้

zn = rn cos(n )+ isin(n )

ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ (De Moivre, s Theorem)

ถา้ z = r(cos + isin ) 0 เป็นจำนวนเชงิ ซ้อนในรูปเชงิ ขัว้ และ n เปน็ จำนวนเต็มแลว้

zn = rn cos(n )+ isin(n )

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 15
เลม่ ที่ 6 จำนวนเชงิ ซ้อนในเชงิ ข้ัว

ตวั อย่างท่ี 1 กำหนดให้ z1 = 2 1 3 cos 4 + isin 4

z2 = 12 cos 7 + i sin 7
4 4

z3 = 3(cos π + isinπ)

จงหา 1) z1z2
2) z2
z3

3) 1
z3

4) z1z3
z2

5) z2

วธิ ที ำ 1) z1z2 = 2 1 3 (12) cos 4 + 7 + isin 4 + 7
4 4

= 6 cos 8 + i sin 8
3 4 4

= 63 cos 2 + isin2
3

= 6 3 3 (1 + 0i)

= 2 3(1 + 0i)

=2 3

วธิ ีทำ 2) z2 = 12 cos 7 − + isin 7 −
z3 3 4 4

= 12 3 cos 3 + i sin 3
3 4 4

= 4 3 −2 2 + 2i
2

= − 6 + 6i

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 17
เล่มที่ 6 จำนวนเชงิ ซอ้ นในเชงิ ขว้ั

( )ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาค่าของ 3 − 3i 66

วธิ ีทำ z = 3 − 3i

r = ( )3 2 + 32

r = 3+9

r = 12

r=2 3

tan = −3
3

tan = −3 3
3
3

tan = −3 3
3

tan = − 3

เนื่องจาก ( 3 , -3) เปน็ จุดอยใู่ นจตุภาคท่ี 4 จงึ ไดว้ า่ = 5
3

z= 2 3 cos 5 + i sin 5
3 3

( )3 − 3i 6 ( )= 2 3 6 cos6 5 + isin6 5
33

= 64 (27) (cos10 + isin10 )

= 1,728 (1 + 0i)

= 1,728

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 18
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชิงซอ้ นในเชิงขวั้

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6.2

คำช้ีแจง กำหนดให้ z1 =6 cos 7π + i sin 7π
6 6

z2 = 2 cos 3 + isin 3

1. จงหาค่าตอ่ ไปนี้ (ข้อละ 3 คะแนน)
1.1 z1z2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 z2
z1

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซอ้ น หน้า 19
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชิงซ้อนในเชิงขัว้

1.3 1
z2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4 z1
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 20
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชิงซอ้ นในเชงิ ข้วั

1.5 z2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาคา่ ของ ( 3 − i)6
(ข้อละ 3 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหาคา่ ของ (1+ i)10
(ข้อละ 3 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 21
เล่มท่ี 6 จำนวนเชิงซอ้ นในเชงิ ข้ัว

5. จงหาค่าของ z6 = 2(cos 40° + isin 40°)

(ขอ้ ละ 3 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จงหาคา่ ของ z8 = 2 cos π + isin π

44

(ขอ้ ละ 3 คะแนน)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
เกณ…ฑ…์ก…า…ร…ให…้ค…ะ…แ…นน……(…ข…้อล…ะ……3……ค…ะแ…น…น…)…………………………………………………………………………………
1. แสดงวธิ ที ำได้ถูกตอ้ งสมบูรณ์ และคำตอบถกู ต้อง 3 คะแนน

2. แสดงวิธีทำไดถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์ แต่คำตอบไมถ่ ูกต้องหรือไม่ได้สรปุ คำตอบ 2 คะแนน

3. แสดงวิธีทำได้ถูกต้องบางส่วน แตย่ ังไม่สมบูรณ์ และคำตอบไมถ่ ูกตอ้ ง

หรือไม่ไดส้ รปุ คำตอบ 1 คะแนน

4. แสดงวิธีทำไมถ่ ูกต้อง 0 คะแนน

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หนา้ 4
เล่มท่ี 7 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซ้อน

ใบความรู้ท่ี 7.1
เรื่อง รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อน

บทนยิ าม
กำหนด x และ z เปน็ จำนวนเชิงซอ้ น และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
x เปน็ รากที่ n ของ z ก็ต่อเม่ือ xn = z

ทฤษฎีบท ถ้า z = r (cos + isin ) แล้วรากท่ี n ของ z มีท้งั หมด n รากทแ่ี ตกตา่ งกนั

คอื

zk = n r cos θ + 2kπ + isin θ + 2kπ
n n

เม่อื k = 0, 1, 2, …, n - 1

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหารากท่ี 3 ของ 64

วธิ ที ำ รปู เชิงข้ัวของ 64 คือ 64(cos00 + isin00 ) จะได้ว่ารากที่ 3 ของ 64 คือ

zk= 3 64 cos 00 + 2kπ + isin 00 + 2kπ
3 3

เมือ่ k = 0, 1, 2

z0 = 3 64(cos00 + isin00 )
= 4(cos00 + isin00 )

= 4(1+ 0)

=4 2 2
3 3
z1 = 3 64 cos + i sin

=4 −1 + 3i
2 2

= −2 + 2 3i

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 5
เลม่ ที่ 7 รากท่ี n ของจำนวนเชิงซอ้ น

z2 = 3 64 cos 4 + i sin 4
3 3

=4 −1 − 3i
2 2

= −2 − 2 3i

ดงั น้นั รากที่ 3 ของ 64 คือ 4, − 2 + 2 3i , − 2 − 2 3i

ตัวอย่างท่ี 2 จงหารากท่ี 4 ของ 81i

วิธีทำ รูปเชงิ ขัว้ ของ 81i คือ 81(cos 2 + isin 2 ) จะได้วา่ รากท่ี 4 ของ 81i คือ

zk = 4 81 cos 2 + 2k + isin 2 + 2k
4 4

เมื่อ k = 0, 1, 2, 3
z0= 4 81 cos 8 + isin 8

= 4 cos 8 + isin 8

z1= 4 81 cos 5 + i sin 5
8 8

=4 cos 5 + i sin 5
8 8

z2= 4 81 cos 9 + i sin 9
8 8

=4 cos 9 + i sin 9
8 8

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 6
เลม่ ที่ 7 รากท่ี n ของจำนวนเชิงซอ้ น

z3= 4 81 cos 13 + isin138
8

=4 cos 13 + isin138
8

ดังน้นั รากที่ 4 ของ 81i คือ z0 = 4 cos + isin 8
8

z1 = 4 cos 5 + i sin 5
8 8

z2 = 4 cos 9 + i sin 9
8 8

z3 = 4 cos 13π + i sin 138π
8

ตัวอย่างท่ี 3 จงหารากที่ 3 ของ 2 + 2 i

วิธีทำ รูปเชิงข้ัวของ 2 + 2 i คือ 2(cos 4 + isin 4 ) จะไดว้ ่ารากท่ี 3 ของ
2 + 2 i คือ

zk= 3 2 cos 4 + 2k + isin 4 + 2k
3 3

เม่อื k = 0, 1, 2

z0= 3 2 cos12 + isin12
3
z1= 3 2 9 + isin39
cos
124 124

=3 2 cos 3 + i sin 3
4 4

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 7
เล่มท่ี 7 รากที่ n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

=3 2 −2 2 + 2i
2

z2= 3 2 cos 17 + isin1172
12

ดงั นน้ั รากท่ี 3 ของ 2 + 2 i คือ z0= 3 2 cos12 + isin12

z1 = 3 2 −2 2 + 2i
2

z2= 3 2 cos 17π + i sin 17π
12 12

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาจำนวนเชิงซ้อนทงั้ หมดที่สอดคล้องกบั สมการ x3 - 1 + i = 0

วิธีทำ x3 - 1 + i = 0

X3 = 1 - i

จะได้ z = 1 - i 7π 7π
4 4
รปู เชิงข้ัว คือ z= 2 (cos + i sin )

รากที่ 3 ของ 1 - i คือ

7π + 2kπ 7π + 2kπ
zk = 6 2 cos 4 3 + isin 4 3

เมอ่ื k {0, 1, 2}

7π + 2(0)π 7π + 2(0)π
z0 = 6 2 cos 4 3 + isin 4 3
k = 0 จะได้

= 6 2 cos 7π + isin 7π
12 12

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซ้อน หน้า 8
เล่มที่ 7 รากท่ี n ของจำนวนเชิงซ้อน

7π + 2(1)π 7π + 2(1)π
4 4
k = 1 จะได้ z1= 6 2 cos + isin
3 3

= 6 2 cos 15π + isin15π
12 12

= 6 2 cos 5π + isin 5π
44

k = 2 จะได้ 7π + 2(2)π 7π + 2(2)π
4 4
z2 = 6 2 cos + isin
3 3

= 6 2 cos 23π + isin 23π
12 12

ดังนน้ั x3 - 1 + i = 0 จะได้

x = 6 2 cos 7π + isin 7π , 6 2 cos 5π + isin 5π , 6 2 cos 23π + isin 23π
12 12 44 12 12

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน หน้า 9
เล่มท่ี 7 รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น

แบบฝึกทักษะท่ี 7.1

1. จงแสดงวิธีทำใหถ้ กู ต้องสมบูรณ์ (6 คะแนน)
1.1 จงหารากท่ี 4 ของ 625

วิธที ำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน หน้า 10
เล่มท่ี 7 รากท่ี n ของจำนวนเชิงซ้อน

1.2 รากท่ี 3 ของ 8 cos 4 + i sin 4
3 3

วธิ ที ำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การให้คะแนน (ข้อละ 3 คะแนน) 3 คะแนน
1. แสดงวธิ ีทำไดถ้ กู ตอ้ งสมบูรณ์ และคำตอบถกู ต้อง 2 คะแนน
2. แสดงวิธที ำไดถ้ ูกต้องสมบรู ณ์ แต่คำตอบไมถ่ ูกต้องหรอื ไม่ได้สรุปคำตอบ
3. แสดงวธิ ที ำได้ถูกต้องบางส่วน แต่ยังไมส่ มบูรณ์ และคำตอบไม่ถูกตอ้ ง 1 คะแนน
0 คะแนน
หรอื ไม่ได้สรุปคำตอบ
4. แสดงวิธีทำไม่ถกู ต้อง

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 11
เลม่ ที่ 7 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

2. จงหาจำนวนเชิงซอ้ นทงั้ หมดท่ีสอดคล้องกับสมการต่อไปนี้ (ข้อละ 3 คะแนน)
2.1 x3 = −512

วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 12
เล่มท่ี 7 รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซ้อน

2.2 x6 − 8 3 + 8i = 0

วธิ ีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน หน้า 13
เล่มท่ี 7 รากท่ี n ของจำนวนเชิงซ้อน

2.3 x6 −19x3 − 216 = 0

วธิ ที ำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 5
เลม่ ที่ 8 สมการพหุนาม

ใบความรู้ที่ 8.1
เรอื่ ง สมการพหนุ าม

ฟงั ก์ชนั พหุนาม

รปู ทวั่ ไป P(x) = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + ... + an−1x + an
เมือ่ n เป็นจำนวนเตม็ บวก
และ a0 ,a1,a2 ,... เป็นจำนวนจรงิ

การแยกตวั ประกอบฟังกช์ นั พหุนาม

1) ฟังชันก์พหนุ ามกำลังสอง
รูปทัว่ ไป P(x) = ax2 + bx + c

1.1 สามารถแยกเปน็ 2 วงเล็บ
เชน่ P(x) = x2 − 7x −12
= (x - 4)(x - 3)
P(x) = 2x2 − 9x − 5
= (2x + 1)(x - 5)

1.2 แยกตัวประกอบโดยใช้วธิ กี ำลังสองสมบูรณ์
เช่น P(x) = x2 − 4x +1
= x2 −4x +4 −3
= (x − 2)2 − 3
= (x − 2 + 3)(x − 2 − 3)

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน หน้า 6
เล่มท่ี 8 สมการพหนุ าม

ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตัวประกอบ
วิธที ำ 1) x2 − 9
2) 4x2 − 16
1) x2 − 9 = (x + 3)(x - 3)
2) 4x2 −16 = (2x + 4)(2x - 4)

จากตัวอยา่ งจะเหน็ ได้วา่ สมั ประสิทธ์ิของตวั แปรเปน็ จำนวนจริง แตม่ บี างกรณีที่ไม่
สามารถแยกตวั ประกอบให้ได้สัมประสทิ ธ์ขิ องตัวแปรเป็นจำนวนจริงได้ ดงั ตวั อย่างต่อไปน้ี

ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตัวประกอบ
วธิ ที ำ 1) x4 + 25
2) x6 +1
1) x4 + 25 = x4 − 25i2

= (x2 − 5i)(x2 + 5i)
2) x6 +1 = x6 + i2

= (x3 − i)(x3 + i)

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแยกตวั ประกอบ x4 − 81

วธิ ที ำ x4 − 81 = (x2 − 9)(x2 + 9)

= (x − 3)(x + 3)(x2 − 9i2 )
= (x − 3)(x + 3)(x − 3i)(x + 3i)

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงแยกตัวประกอบ x2 − 6x + 13

วิธีทำ x2 − 6x + 13 = x2 − 6x + 9 + 4

= (x − 3)2 + 4

= (x − 3)2 − (2i)2
= (x − 3 + 2i)(x − 3 − 2i)

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 7
เล่มท่ี 8 สมการพหนุ าม

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)
ให้ P(x) = a0xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an เป็นพหุนามโดยท่ี n เปน็ จำนวนเต็มบวก

a0 ,a1,a2 ,... เปน็ จำนวนจริง และ a0 0 ถ้า c เป็นจำนวนจริง แลว้ เศษที่เกิดจากการหาร
P(x) ดว้ ย x – c คอื P(c)

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาเศษทเ่ี หลือจากการหาร 2x3 + 3x2 − 4x + 6 ด้วย x − 3

วธิ ีทำ ให้ P(x) = 2x3 + 3x2 − 4x + 6
นำ x – 3 ไปหาร P(x)
เศษ P(3) = 2(3)3 + 3(3)2 − 4(3) + 6
= 54 + 27 −12 + 6
= 75

ตวั อย่างท่ี 6 จงหาเศษที่เหลือจากการหาร x3 + 2x2 + 9x ด้วย x + 2

วิธที ำ ให้ P(x) = x3 + 2x2 + 9x
นำ x + 2 ไปหาร P(x)
เศษ P(-2) = (−2)3 + 2(−2)2 + 9(−2)
= -8 + 8 + (-18)
= -18

การหารสังเคราะห์

ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม เมือ่ หาตัวประกอบ (x - c) มาแล้ว จะตอ้ งนำไปหาร
พหนุ าม P(x) เพ่ือหาค่าตัวประกอบท่ีเหลอื อ่นื ๆ อีก ซง่ึ ในการหารพหนุ ามค่อนข้างยุ่งยาก ยดื
ยาว เพือ่ ความรวดเร็วย่งิ ข้นึ จงึ ได้มีการนำเฉพาะสัมประสิทธ์ิ an มาคดิ ในการหาร ทำให้
ประหยดั เวลาและกาผลหารได้ไวขึน้ ดังตวั อย่างต่อไปนี้

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 8
เลม่ ที่ 8 สมการพหุนาม

ตวั อย่างท่ี 7 จงหาร 2x3 − 5x2 + x −1 ด้วย x −3

วธิ ีทำ 2x2 + x + 4
x −3 2x3 − 5x2 + x −1
2x3 − 6x2
x2 + x −1
x2 −3x
4x −1
4x −12
11

ขน้ั ตอนแรกเราอาจตัดการเขียนซ้ำซอ้ นเหลือดังนี้
2x2 + x + 4

x −3 2x3 − 5x2 + x −1
− 6x2
x2 + x −1
− 3x
4x −1
−12
11

เราอาจเขียนให้สน้ั ขน้ึ โดยเลอื่ นขน้ึ ดังน้ี

2x2 + x + 4
x −3 2x3 − 5x2 + x −1

− 6x2 − 3x −12
2x3 + x2 + 4x +11

เราจะสังเกตวา่ บรรทัดแรก 2x2 + x + 4 คณู กับ x จะได้ 2x3 + x2 + 4x
ในบรรทัดสดุ ท้าย ดังน้นั เราจึง สามารถตัดบรรทดั แรกออกไปได้ ถา้ เราจำไดว้ ่า
จะได้จากบรรทดั สุดท้ายอยา่ งไร ข้นั ตอ่ มาเราอาจตดั ใหเ้ หลือเฉพาะสัมประสิทธ์ิ
ของ x จะได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 9
เล่มที่ 8 สมการพหุนาม

3 2 -5 1 -1
-6 -3 -12 (ลบ)

2 1 4 11

แถวแรก -3 มาจาก x – 3

จำนวน 2, -5, 1 และ -1 มาจากตวั ตัง้ 2x3 − 5x2 + x −1 เรยี งตามกำลัง

ของ x ทีล่ ดลง

แถวที่สาม ได้จากบรรทัดแรก ลบดว้ ยบรรทัดที่สอง

แถวทีส่ อง แตล่ ะตัวเกดิ จากการคณู จำนวนที่อยู่ก่อนหน้าในบรรทัดท่สี ามดว้ ย -3

นั่นคือ -6 เกดิ จาก (2)(-3)

-3 เกิดจาก (1)(-3)

-12 เกดิ จาก (4)(-3)

เน่ืองจากการคูณดว้ ย -3 แลว้ ลบ เหมือนกับคูณด้วย 3 แล้วบวก จงึ อาจเขียนดังน้ี

3 2 -5 1 -1

-6 -3 -12 (บวก)

2 1 4 11 เศษจากการหาร

ผลหาร

ดงั น้นั 2x3 − 5x2 + x −1 x − 3
= 2x2 + x + 4 เศษ 11

วิธีการเขยี นอยา่ งสน้ั ๆ นีเ้ รยี กว่า การหารสงั เคราะห์ (synthetic division)

ข้อสังเกต เลขชก้ี ำลงั ของผลหารจะลดลงจากเลขช้กี ำลังสงู สุดของตัวหารครัง้ ละ 1 เสมอ

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาผลหารและเศษจากการหาร โดยใชว้ ิธหี ารสงั เคราะห์
1. 3x4 −11x3 − 21x2 + 3x + 17 x − 5

วธิ ีทำ 5 3 -11 -21 3 17 +
15 20 -5 -10
เศษจากการหาร
3 4 -1 -2 7

ผลหาร

ผลหาร คอื 3x3 + 4x2 − x − 2
เศษ คอื 7

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 10
เล่มที่ 8 สมการพหุนาม

2. 4x3 +13x2 + 3x −11 x + 2

วิธีทำ -2 4 13 4 11 +
0 -8 -10 12

4 5 -6 1

ผลหาร คือ 4x2 + 5x − 6
เศษ คอื 1

3. x3 − x2 + x −1 x −1

วิธีทำ 1 1 -1 1 -1 +
0 10 1

101 0

ผลหาร คอื 4x2 + 5x − 6
เศษ คือ 1

4. x3 − 4x2 + 6x − 4 x −1 + i

วิธีทำ 1- i 1 -4 6 -4 +
0 1-i -4 + 2i 4
1 -3-i 2+2i 0

ผลหาร คือ x2 + (−3 + i)x + 2 + 2i
เศษ คือ 0

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 11
เล่มที่ 8 สมการพหนุ าม

แบบฝกึ ทักษะท่ี 8.1

จงใช้การหารสังเคราะห์ หาผลหารและเศษจากการหารพหุนามในข้อต่อไปนี้ ( 15 คะแนน)
1. x3 + 3x2 − x −12 x − 2

วธิ ีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 3x4 − 8x3 − 7x − 8 x − 3

วธิ ีทำ ….……………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 12
เลม่ ที่ 8 สมการพหุนาม

3. x4 + 2x2 − x − 7 x −1

วธิ ที ำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. x5 +1 x +1

วิธที ำ ….……………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. x4 + 5x2 − 3 x + 1 − i

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 13
เล่มที่ 8 สมการพหุนาม

วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑ์การใหค้ ะแนน (ข้อละ 3 คะแนน) 3 คะแนน
1. แสดงวธิ ที ำได้ถูกตอ้ งสมบูรณ์ และคำตอบถกู ต้อง 2 คะแนน
2. แสดงวิธที ำไดถ้ กู ต้องสมบรู ณ์ แตค่ ำตอบไมถ่ ูกต้องหรอื ไม่ไดส้ รปุ คำตอบ
3. แสดงวิธที ำได้ถกู ต้องบางส่วน แต่ยังไมส่ มบูรณ์ และคำตอบไม่ถูกต้อง 1 คะแนน
0 คะแนน
หรอื ไมไ่ ดส้ รปุ คำตอบ
4. แสดงวธิ ีทำไม่ถกู ต้อง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 14
เลม่ ท่ี 8 สมการพหุนาม

ใบความร้ทู ่ี 8.2
เรื่อง การแก้สมการพหนุ าม

สมการพหุนามกำลัง n ตัวแปรเดยี ว คือ สมการท่ีอยใู่ นรูป 0

a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + ... + an−1x + an = 0
เมือ่ n เป็นจำนวนเตม็ บวก และ a0,a1,...,an เป็นจำนวนจรงิ ที่ a0

การแก้สมการพหุนามกำลัง n ตวั แปรเดียว น้ันทำไดโ้ ดยการเขยี นพหนุ ามให้อยู่ในรูป
ตวั ประกอบของพหุนามกำลัง 1 โดยสำหรบั สมการพหนุ ามทกุ สมการจะสอดคล้องกบั ทฤษฎบี ท
พีชคณิตเบ้ืองตน้

สมการพหุนาม (Polynomial Equations)

เราทราบแลว้ ว่า สมการพหนุ ามทม่ี ีสมั ประสทิ ธ์ิเป็นจำนวนจรงิ อาจไมม่ คี ำตอบทเ่ี ป็น
จำนวนจรงิ เชน่ สมการ x2 + 1 = 0 , x2 + x + 1 = 0 ทฤษฎบี ทต่อไปนี้ยนื ยนั ว่าสมการพหุ
นามจะมีคำตอบเป็นจำนวนเชงิ ซ้อนเสมอ

ทฤษฎีบทหลักมลู ของพชี คณิต (Fundamental Theorem of Algebra)
ถ้า P(x) เปน็ พหุนามทม่ี ดี ีกรีมากกวา่ ศูนย์แล้วสมการ P(x) = 0 จะมคี ำตอบเป็น
จำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึง่ คำตอบ

ทฤษฎบี ท ถ้า P(x) เปน็ พหุนามทีม่ ีดีกรี n 1 แล้วสมการ P(x) = 0 จะมี
คำตอบทง้ั หมด n คำตอบ (นบั คำตอบที่ซำ้ กันด้วย)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หน้า 15
เล่มที่ 8 สมการพหุนาม

ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาเซตคำตอบของสมการ z4 −16 = 0 ในระบบจำนวนเชงิ ซ้อน

วิธีทำ z4 −16 = 0
(z2 − 4)(z2 + 4) = 0

(z − 4)(z + 2)(z2 − 4i2 ) = 0
(z − 4)(z + 2)(z − 2i)(z + 2i) = 0

z = 2, -2, 2i, -2i
ดงั น้ันเซตคำตอบคอื x = {2, -2, 2i, -2i}

ทฤษฎบี ทตัวประกอบ (Factor Theorem)
ถา้ P(x) เป็นพหุนามทมี่ ดี กี รีมากกว่าหรอื เทา่ กบั 1 จะไดว้ า่ พหนุ าม P(x) มี x-c

เปน็ ตัวประกอบกต็ ่อเมื่อ P(c) = 0

ทฤษฎบี ทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

กำหนด P(x) เป็นพหนุ ามในรูป anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0

โดยท่ี n เปน็ จำนวนเต็มบวก an,an−1,...,a1,a0 เปน็ จำเตม็ ซงึ่ an 0

ถา้ x − k เป็นตวั ประกอบของพหุนาม P(x) โดยที่ m และ k เปน็ จำนวนเตม็
m
ซง่ึ m 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k คือ 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตัว

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 16
เล่มที่ 8 สมการพหุนาม

ตวั อยา่ งที่ 10 จงหาเซตคำตอบของ 27x3 −125 = 0
วิธที ำ
27x3 −125 = 0

(3x)3 − (5)3 = 0

(3x − 5)(9x2 + 15x + 25) = 0

3x − 5 = 0 หรอื 9x2 + 15x + 25 = 0

จาก 3x − 5 = 0 จะได้ x = 5
3

จาก 9x2 + 15x + 25 = 0

จะได้ x = -15 (15)2 − 4(9)(25) = − 15 225 − 900
2(9) 18

= -15 − 675 = − 15 675i
18
18

= - 15 15 3i = − 5 5 3i
18 6

ดังนน้ั เซตคำตอบคือ x= 5 ,− 5 + 5 3 i,− 5 − 5 3 i
3 6 6
6 6

ตัวอยา่ งท่ี 11 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 − 7x2 + 16x −10 = 0

วิธที ำ จากสมการ x3 − 7x2 + 16x −10 = 0

หา k จากจำนวนเต็มท่หี าร a0 = -10 ลงตวั คอื 1, 2, 5, 10

หา m จากจำนวนเต็มทหี่ าร an = 1 ลงตัว คอื 1

ดังน้นั k คอื 1, 2, 5, 10
m

เลือก x =1 จะได้ P(1) = (1)3 − 7(1)2 +16(1) −10 = 0

ดังนั้น x -1 เป็นตวั ประกอบหน่ึงของ x3 − 7x2 + 16x −10

นำ x -1 ไปหารสงั เคราะห์

1 1 -7 16 -10 +
0 1 -6 10

1 -6 10 0

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 17
เลม่ ที่ 8 สมการพหนุ าม

ดงั นน้ั x3 − 7x2 +16x −10 = (x −1)(x2 − 6x +10)

น้นั คอื (x −1)(x2 − 6x +10) = 0

จะได้ x −1 = 0 และ x2 − 6x + 10 = 0

x =1 x=6 36 − 40
2

x = 6 2 2i

ดงั นน้ั เซตคำตอบคอื x = {1, 3+i, 3-i} x=3 i

ตัวอย่างท่ี 12 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 + 3x2 − 4x + 1 = 0

วิธีทำ จากสมการ 2x3 + 3x2 − 4x + 1 = 0

หา k จากจำนวนเต็มทห่ี าร a0 = 1 ลงตัว คือ 1

หา m จากจำนวนเต็มทหี่ าร an = 1 ลงตัว คือ 1, 2

ดงั นนั้ k คอื 1, 1 2
m 2

เลือก x = 1 จะได้ P( 1) = 2(1)3 + 3(1)2 − 4(1) + 1 = 0 จรงิ
2 22 2 2

นำ x = 1 ไปหารสังเคราะห์
2
1 2 3 -4 1 +
2
0 1 2 -1

2 4 -2 0

ดงั นนั้ 2x3 + 3x2 − 4x + 1 = (x - 1)(x2 + 2x −1)
2

จะได้ (x - 1)(x2 + 2x −1) = 0
2

จะได้ x − 1 = 0 และ x2 + 2x −1= 0
2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน หน้า 18
เลม่ ท่ี 8 สมการพหุนาม

x = 1 x= −2 4+4
2 2

= −2 2 2
2

= −1 2

ดงั นนั้ เซตคำตอบคอื x = 1 ,−1 + 2 ,−1 − 2
2

ตวั อยา่ งท่ี 13 จงหาเซตคำตอบของสมการ x4 + x3 − 5x2 + x − 6 = 0

วธิ ที ำ จากสมการ x4 + x3 − 5x2 + x − 6 = 0
หา k จากจำนวนเต็มท่ีหาร a0 = -6 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 6

หา m จากจำนวนเต็มทหี่ าร an = 1 ลงตวั คือ 1

ดงั นน้ั k คอื 1, 2, 3, 6
m

เลอื ก x = 2 จะได้ P(2) = (2)4 + (2)3 − 5(2)2 + 2 − 6 = 0 จริง

นำ x = 2 ไปหารสังเคราะห์

2 11 -5 1 -6 +
02 6 2 6

-3 1 3 1 3 0

0 -3 0 -3

10 1 0

ดังนน้ั x4 + x3 − 5x2 + x − 6 = (x - 2)(x + 3)(x2 +1)

จะได้ (x - 2)(x + 3)(x2 + 1) = 0

จะได้ x − 2 = 0 , x + 3 = 0 และ x2 + 1 = 0

x = 2 , x = −3 x2 = −1

x = −1

x= i
ดังน้ันเซตคำตอบคือ x = 2,−3,i,−i

ตอบ