จำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซอ้ น หน้า 19
เลม่ ท่ี 8 สมการพหนุ าม

ทฤษฎบี ท ถ้าจำนวนเชิงซ้อน z เปน็ คำตอบของสมการพหุนาม
P(x) = xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an = 0 โดยทีส่ ัมประสทิ ธ์ิ a1, …, an
เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ z จะเปน็ คำตอบของสมการพหุนามนด้ี ้วย

ตัวอยา่ งท่ี 14 ถ้า 1 + i เป็นคำตอบของสมการ x4 − 3x3 + 3x2 − 2 = 0 จงหาคำตอบ
ทเี่ หลือ

วธิ ที ่ี 1 จากโจทย์ 1 + i เป็นคำตอบของสมการ x4 − 3x3 + 3x2 − 2 = 0
ดงั น้นั 1−i เป็นคำตอบของสมการด้วย

จากการหาร x4 − 3x3 + 3x2 − 2 ดว้ ย (x - (1+ i))(x - (1- i))

จะได้ x4 − 3x3 + 3x2 − 2 = (x − (1 + i)(x − (1 − i))(x2 − x −1)
รากท้งั ส่ขี องสมการ x4 − 3x3 + 3x2 − 2 = 0 คอื

ดงั น้นั เซตคำตอบคือ x= 1 + i,1 − i, 1 + 5 , 1 − 5 ตอบ
2 2

วิธที ี่ 2 จากโจทย์ (1+ i) เปน็ คำตอบของสมการ x4 − 3x3 + 3x2 − 2 = 0

ดังนน้ั 1−i เป็นคำตอบของสมการดว้ ย

นำคำตอบของสมการไปหารสังเคราะห์

1+i 1 -3 3 0 -2 +
0 1+i -3-i 1-i 2

1- i 1 -2+i -i 1-i 0

0 1-i -1+i -1+i +
1 -1 -1 0

ดงั น้นั x4 − 3x3 + 3x2 − 2 = (x − (1+ i)(x − (1− i))(x2 − x −1)

จะได้ (x − (1+ i)(x − (1− i))(x2 − x −1) = 0

(x − (1+ i) = 0 , (x − (1−i) = 0 และ (x2 − x −1) = 0

x =1+i x =1−i x = −1 (−1)2 − 4(1)(−1)
2(1)

x = −1 1+4
2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 20
เลม่ ท่ี 8 สมการพหนุ าม

x = −1 2 5

ดงั น้ันเซตคำตอบคือ x= 1 + i,1 − i, 1 + 5 , 1 − 5 ตอบ
2 2

ตวั อยา่ งที่ 15 จงพสิ จู นว์ ่า 1 + 3i เป็นคำตอบของสมการ x3 + 3x2 − 6x + 20 = 0
และหาคำตอบอ่นื ของสมการ

วิธที ำ ให้ P(x) = x3 + 3x2 − 6x + 20
ต้องการตรวจสอบว่า 1 + 3i เปน็ คำตอบของสมการ x3 + 3x2 − 6x + 20 = 0

โดยการนำ 1 + 3i ไปหารสงั เคราะห์ ถา้ ตรวจสอบแล้วพบว่า 1 + 3i หาร P(x) ลงตัว

แสดงวา่ 1 + 3i เปน็ คำตอบของสมการ และตามทฤษฎีบทจะได้ 1 − 3i เปน็ คำตอบ
ของสมการดว้ ย

พิจารณาการหารสงั เคราะหต์ ่อไปน้ี

1 + 3i 13 -6 20 +
1− 3i 0 1+ 3i -20
1 + 5 3i

1 4 + 3i − 5 + 5 3i 0

0 1− 3i 5 − 5 3i +
1
5 0

ดงั นนั้ x3 + 3x2 − 6x + 20 = [x − (1 − 3i)][(x − (1 − 3i)(x + 5)

จะได้ [x − (1+ 3i)][(x − (1− 3i)(x + 5) = 0

x − (1 + 3i) = 0 , x − (1 + 3i) = 0 และ x + 5 = 0

x = 1 + 3i , x = 1 − 3i และ x = −5

1 + 3i เปน็ คำตอบของสมการและคำตอบอนื่ ของสมการ คือ -5 และ 1 − 3i
ตอบ

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 21
เลม่ ที่ 8 สมการพหนุ าม

ตวั อย่างท่ี 16 กำหนดให้ -3 และ 1 + 2i เปน็ คำตอบสมการพหนุ ามดีกรี 3
จงหาสมการพหุนาม

วิธที ำ เน่ืองจากโจทย์กำหนดให้ -3 และ 1 + 3i เป็นคำตอบของสมการ
แสดงวา่ 1− 3i เปน็ คำตอบของสมการดว้ ย
จะได้ (x + 3) x − (1+ 3i) x − (1− 3i) = 0
(x + 3) x2 − (1 + 3i)x − (1 − 3i)x + (1 + 3i)(1 − 3i) = 0
(x + 3)(x2 − 2x + 10) = 0
x3 − 2x2 + 10x + 3x2 − 6x + 30 = 0
x3 + x2 + 4x + 30 = 0

ดงั น้นั สมการพหุนามคือ x3 + x2 + 4x + 30 = 0
ตอบ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 22
เล่มท่ี 8 สมการพหนุ าม

แบบฝึกทักษะที่ 8.2

1. จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 + 6x + 20 = 0
(ข้อละ 3 คะแนน)

วธิ ีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน หน้า 23
เล่มที่ 8 สมการพหนุ าม

2. จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 − 3x2 + 4x − 2 = 0
(ข้อละ 3 คะแนน)
วิธีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซ้อน หนา้ 24
เล่มท่ี 8 สมการพหุนาม

3. จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x4 + x3 − 7x2 − 4x − 4 = 0
(ขอ้ ละ 3 คะแนน)
วธิ ที ำ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น หน้า 25
เล่มที่ 8 สมการพหนุ าม

4. จงแสดงว่า − 3 + 2i เป็นคำตอบของสมการ x4 + 6x3 + 17x2 + 36x + 66 = 0
พร้อมทั้งหาเซตคำตอบของสมการน้ี (ข้อละ 3 คะแนน)
วธิ ีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 26
เล่มท่ี 8 สมการพหุนาม

5. กำหนดให้ 2 + i และ 1 − 2i เป็นคำตอบสมการพหนุ ามดีกรี 4 จงหาสมการพหุนาม
(ขอ้ ละ 3 คะแนน)
วิธที ำ ………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑ์การใหค้ ะแนน (ข้อละ 3 คะแนน) 3 คะแนน
1. แสดงวธิ ีทำได้ถกู ต้องสมบรู ณ์ และคำตอบถูกต้อง 2 คะแนน
2. แสดงวิธีทำไดถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์ แต่คำตอบไม่ถูกต้องหรอื ไม่ไดส้ รปุ คำตอบ
3. แสดงวธิ ีทำได้ถกู ต้องบางส่วน แตย่ ังไม่สมบรู ณ์ และคำตอบไมถ่ ูกตอ้ ง 1 คะแนน
0 คะแนน
หรือไมไ่ ด้สรุปคำตอบ
4. แสดงวิธีทำไม่ถูกต้อง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซ้อน หน้า 27
เล่มที่ 8 สมการพหนุ าม

ใบความรู้ท่ี 8.3
เรอ่ื ง การหาผลบวกและผลคณู ของคำตอบสมการพหุนาม

สตู รของวิต (Vieta’s formula)

กำหนด x1, x2,…, xn เป็นคำตอบของสมการพหนุ ามดีกรี n 1

จะได้

ผลบวกของคำตอบท้งั หมดของสมการ เทา่ กับ x1 + x2 + … + xn = − an−1
an

หรือ = − สัมประสิทธิ์พจนท์ ี่2
สัมประสิทธ์ิพจนท์ 1่ี

ผลบวกของผลคณู ทลี ะสองคำตอบ เท่ากับ x1x2 + x2x3 + … + xnx1 = an−2
an

หรือ = สัมประสิทธิพ์ จนท์ ่ี3
สัมประสิทธิ์พจนท์ 1ี่

ผลบวกของผลคูณทีละสามคำตอบ เท่ากับ x1x2x3 + x2x3x4 + … + xnx1x2 = an−3
an

หรือ = − สัมประสิทธ์พิ จนท์ ่ี4
สัมประสิทธ์ิพจนท์ 1ี่

ผลคูณของคำตอบทั้งหมดของสมการ เท่ากับ x1x2 …xn = (−1)n a0
an

หรอื = (−1)n สัมประสิทธ์พิ จนส์ ุดทา้ ย
สัมประสิทธพ์ิ จนท์ 1่ี

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง จำนวนเชิงซอ้ น หนา้ 28
เลม่ ท่ี 8 สมการพหนุ าม

ตัวอย่างที่ 17 กำหนดสมการ x3 − 7x2 + 14x + 8 = 0 จงหา
1. ผลบวกของคำตอบทัง้ หมดของสมการ
2. ผลบวกของผลคณู ทีละสองคำตอบ
3. ผลคูณของคำตอบท้ังหมด

วธิ ีทำ จากสมการ x3 − 7x2 + 14x + 8 = 0
จะได้ (x −1)(x − 2)(x − 4) = 0
x = 1,2,4

ดงั น้นั เซตคำตอบของสมการคือ x = 1,2,4

1. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ = 1 + 2 + 4 = 7

ถา้ ใชส้ ูตรของวิต

จะได้ ผลบวกของคำตอบท้งั หมดของสมการ = − −7 =7
1
2. ผลบวกของผลคณู ทีละสองคำตอบ = (1 2) + (1 4) + (2 4) =14

ถา้ ใชส้ ูตรของวิต

จะได้ ผลบวกของผลคูณทีละสองคำตอบ = 14 =14
1

3. ผลคูณของคำตอบทัง้ หมด =1 2 4 =8
ถ้าใช้สตู รของวิต = (−1)3 − 8 = 8

จะได้ ผลบวกของผลคูณทีละสองคำตอบ 1

ตอบ

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง จำนวนเชงิ ซ้อน หน้า 29
เล่มท่ี 8 สมการพหนุ าม

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนดสมการ x5 + 9x3 − 8x2 − 72 = 0 จงหา
1. ผลบวกของคำตอบทัง้ หมดของสมการ
2. ผลบวกของผลคูณทีละสองคำตอบ
3. ผลบวกของผลคณู ทลี ะสามคำตอบ
4. ผลบวกของผลคูณทีละส่คี ำตอบ
5. ผลคณู ของคำตอบทั้งหมด

วธิ ที ำ

1. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ = − 0 =0
1

2. ผลบวกของผลคณู ทีละสองคำตอบ = 9 =9
1

3. ผลบวกของผลคูณทลี ะสามคำตอบ = − −8 =8
1

4. ผลบวกของผลคูณทีละสค่ี ำตอบ = 0 =0
1

5. ผลคณู ของคำตอบทั้งหมด = (−1)5 − 72 = 72 ตอบ
1

ตัวอยา่ งท่ี 19 ถ้า x1, x2 และ x3 เป็นคำตอบท่แี ตกต่างกนั ของสมการ

x3 − 3x2 + 4x −12 = 0 แลว้ จงหาค่าของ 1 + 1 + 1
x1 x2 x3

วิธที ำ จะได้ 1 + 1 + 1 = x2x3 + x1x3 + x1x2
x1 x2 x3 x1x2x3

= − 4
(−1)3 1
− 12
1

= −4
12
1
1 + 1 + 1 = − 3 ตอบ
x1 x2 x3

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน หนา้ 30
เลม่ ที่ 8 สมการพหุนาม

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 8.3

1. กำหนดสมการ x4 − x3 −11x2 + 9x + 18 = 0 จงหา (ข้อละ 1 คะแนน)
1.1 ผลบวกของคำตอบทัง้ หมดของสมการ
1.2 ผลบวกของผลคณู ทลี ะสองคำตอบ
1.3 ผลบวกของผลคณู ทลี ะสามคำตอบ
1.4 ผลคูณของคำตอบทั้งหมด

วิธที ำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. กำหนดสมการ x4 − 4x3 + x2 + 28x − 56 = 0 จงหา (ข้อละ 1 คะแนน)

2.1 ผลบวกของคำตอบท้งั หมดของสมการ
2.2 ผลบวกของผลคูณทลี ะสองคำตอบ
2.3 ผลบวกของผลคูณทลี ะสามคำตอบ
2.4 ผลคณู ของคำตอบทั้งหมด
วธิ ีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น หน้า 31
เลม่ ที่ 8 สมการพหุนาม

3. กำหนดสมการ x3 + 2x2 + 2x +1 = 0 จงหา (ขอ้ ละ 1 คะแนน)
3.1 ผลบวกของคำตอบทัง้ หมดของสมการ
3.2 ผลบวกของผลคูณทลี ะสองคำตอบ
3.3 ผลคณู ของคำตอบท้ังหมด

วธิ ีทำ ………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………..............................................
…………………………………………………………………………………………………...............................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. ถา้ x1, x2 และ x3 เปน็ คำตอบที่แตกต่างกนั ของสมการ x3 − 3x2 + 4x −12 = 0 แลว้ จงหา

4.1 x1 + x2 + x3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4.2 x1x2 + x1x3 + x2x3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4.3 x1 x2 x3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4.4 1 + 1 + 1
x1 x2 x3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….