คณิตศาสตร์ที่เรารัก

ปลาย MA THEMAT ICS คณิต
ศาสตร์ ม.
เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ทุกหน่วยการเรียนรู้
ตั้งแต่ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6



รวบรวมโดยนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/9
โรงเรียนพิริยาลัยจังหวัดแพร่ ปีการศึกษา 2564

เซต
ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย

ความหมายของเซต
เซต คือ กลุ่ม
ของอะไรบางอย่าง เช่น

เซตจำกัด

บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้

ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก

B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก

เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิก

มากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็น

สมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A

สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่่น A = {1, 2, 3, 4, 5}

∴B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
A=B

เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถ

เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø A=Ø

∴ตัวอย่างเช่น A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}

B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ ฺB = Ø

เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซต
จำกัด
เซตพื้นฐานที่ควรทราบ
N เซตของจำนวนเต็มบวก (หรือ เรียกอีกชื่อว่าจำนวนนับก็ได้)
Z หรือ I เซตของจำนวนเต็ม
I^+ เซตของจำนวนเต็มบวก
I^- เซตของจำนวนเต็มลบ
Q เซตของจำนวนตรรกยะ (เขียนในรูป จำนวนเต็ม/จำนวนเต็ม ได้)
Q^' เซตของจำนวนอตรรกยะ (เขียนในรูป จำนวนเต็ม/จำนวนเต็ม ไม่ได้)
R เซตของจำนวนจริง

การเขียนเซต
การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ
1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมาย
วงเล็บปีกกา { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว
เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}

เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }
2. เขียนแบบบอกเงื่อนไข ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แล้วบรรยาย
สมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร
เช่น {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระ
ในภาษาอังกฤษ

{x| x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ
xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี
เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิ
กอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต เช่น
{ 1,2,3,...,10 } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต
{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี
วันศุกร์ และวันเสาร์ เป็นสมาชิกของเซต
สัญลักษณ์แทนเซต
ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่
เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซต
ด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น
A = {1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหก
จำนวนแรก }
สมาชิกของเซต จะใช้สัญลักษณ์ “ ϵ ” แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน
เช่น A = {1,2,3,4}
จะได้ว่า 1 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 1 ϵ A

3 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 3 ϵ A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวน
สมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
2.เซตของจำนวนเมลบ
3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ 1.ให้ A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี
A = { สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }

2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
B = {-1,-2,-3,…}

3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย
C = {ก,ข,ค,…,ฮ}

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข
1. A = {2,4,6,8,10}
2. B = {1,3,5,7}
วิธีทำ 1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }

2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตที่เป็นสมาชิก
จากหัวข้อที่แล้ว จะเห็นว่าสมาชิกภายในเซต จะเป็นอะไรก็ได้ (ตัวเลข, คน,
ประเทศ, สัตว์, ฯลฯ) ในหัวข้อนี้ จะพูดถึงกรณีที่ “สมาชิกภายในเซต เป็น

เซต” ฟังแล้วอาจจะงงๆ ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้

โดยเราสามารถเขียนเซตของเซต โดยใช้เครื่องหมายปีกกา ซ้อนไปอีกชั้น ดังนี้ { {สมชาย, สม
ศักดิ์, สมปอง} , {สมหญิง, สมศรี} , {สมชาย, สมหญิง, สมศรี, สมบัติ} }



และเวลานับจำนวนสมาชิก ต้องระวังให้ดี เนื่องจากเราจะไม่ลงไปนับสมาชิกของเซตที่เป็นสมาชิก

→ →เช่น { {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} } มีสมาชิก 3 ตัว { {1} , {1, 2} , {1, 2, 3} } มีสมาชิก 3 ตัว {
→ → →{1, 2, 3, 4} } มีสมาชิก 1 ตัว { {1, 2, 3, 4, …} } มีสมาชิก 1 ตัว { { } } มีสมาชิก 1 ตัว {
→ → →1, 2 , {3, 4} } มีสมาชิก 3 ตัว { 1, {1} , {1, {1}} } มีสมาชิก 3 ตัว { 1, {{2, 3} , {{4}}} }

มีสมาชิก 2 ตัว

สมาชิกของเซต
เมื่อเราเขียนว่า A = {1, 2, 3, 4} หมายความว่าสมาชิกต่าง ๆ ของเซต A ได้แก่
จำนวน 1, 2, 3 และ 4 กลุ่มย่อยของสมาชิกของ A เช่น {1, 2} เรียกว่าเป็นเซตย่อย
ของ A
เซตสามารถเป็นสมาชิกของเซตอื่นได้เช่นกัน ลองพิจารณาจาก B = {1, 2, {3, 4}}
สมาชิกของ B ไม่ใช่จำนวน 1, 2, 3 และ 4 แต่มีสมาชิกเพียงสามตัวใน B ได้แก่ จำนวน 1,
จำนวน 2 และเซต {3, 4}
สมาชิกในเซตสามารถเป็นอะไรก็ได้ ตัวอย่างเช่น C = {สีแดง, สีเขียว, สีน้ำเงิน} ซึ่งเป็น
เซตที่ประกอบด้วยสมาชิก สีแดง สีเขียว และ สีน้ำเงิน
สัญกรณ์

∈ความสัมพันธ์ "เป็นสมาชิกของ" ซึ่งเรียกว่า ความเป็นสมาชิกของเซต เขียนแทนด้วย

สัญลักษณ์ (มาจาก element)
มีความหมายว่า x เป็นสมาชิกของ A ซึ่งอาจกล่าวได้หลายแบบอาทิ x เป็นของ A, x
อยู่ใน A, A ประกอบด้วย x, A มี x รวมอยู่ ฯลฯ อย่างไรก็ตามการอธิบายว่า A
ประกอบด้วย x และ A มี x รวมอยู่ ผู้แต่ง ตำราบางท่านอาจหมายถึง x เป็นเซตย่อย
ของ A ก็ได้ [1][2]

∉นิเสธของความเป็นสมาชิกของเซตเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ในลักษณะเดียวกัน

จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า

∈2 A —— 2 เป็นสมาชิกของ A
∈{3, 4} B —— {3, 4} เป็นสมาชิกของ B
∉สีเหลือง C —— สีเหลือง ไม่เป็นสมาชิกของ C

จำนวนสมาชิกของเซต
จำนวนสมาชิกของเซต (Cardinal Number) เขียนแทนด้วยn(A) (เมื่อ A แทนด้วย
เซตใดๆ)
เราสามารถจำแนกประเภทของเซตโดยใช้จำนวนสมาชิกได้2 รูปแบบดังนี้
ประเภทที่1เซตที่มีสมาชิกและไม่มีสมาชิก
- เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวเรียกว่า Singleton Set
- เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลยเรียกว่าเซตว่า ง (Null Set / Empty Set) เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ ์

หรือเขียนแทนด้วยลักษณะ{ } (วงเล็บปีกกาที่ไม่มีสมาชิกอยู่)

ความสัมพันธ์ระหว่างเซต

- เซตที่เท่ากัน (Equal Set) คือเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากันและมีสมาชิกเหมือนกัน
นิยาม เซต A เท่ากับ เซต B ก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองนี้มีสมาชิกเหมือนกัน กล่าวคือเซต A
เป็นสมาชิกของเซต B
และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A
=B
- เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Set) คือเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากันอาจเขียน
แทนด้วย

↔เครื่องหมาย

นิยาม 1. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัด เรียกว่า A เทียบเท่ากับ B เมื่อn(A) = n(B)
2. ถ้า A และ B เป็นเซตอนันต์เรียกว่า A เทียบเท่ากับ B เมื่อสามารถนำสมาชิกทุกตัว
ของ A
และ B มาจับคู่กับแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้
เซตที่เท่ากันย่อมเป็นเซตเทียบเท่ากัน แต่เซตเทียบเท่ากันอาจไม่เป็นเซตที่เท่ากันก็ได้

สับเซต

สับเซต (subset) ถ้าแปลตรงตัวก็คือ เซตย่อย ที่ย่อยออกมากจากอีกเซต
เช่น ถ้าบอกว่า A เป็นสับเซตของ B นั้นหมายความว่า เซต B จะต้องใหญ่กว่า
หรือเท่ากันกับเซต A และเนื่องจากเซต A ย่อยออกมาจากเซต B สมาชิกทุก
ตัวใน A จะต้องอยู่ในเซต B ด้วย

⊂สับเซต ใช้สัญลักษณ์
⊂เซต A เป็นสับเซตของเซต B ใช้สัญลักษณ์ A B และสมาชิกทุกตัวในเซต A
⊄อยู่ในเซต Bไม่เป็นสับเซต ใช้สัญลักษณ์
⊄เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต C ใช้สัญลักษณ์ A C ซึ่งจะต้องมีสมาชิกตัวใด

ตัวหนึ่งใน A ที่ไม่เป็นสมาชิกของ C

∅⊂เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต X

ตัวอย่างการเป็นสับเซตและไม่เป็นสับเซตกัน
กำหนดให้ A={1,2,3,4,5},B={2,3,5} และ C={2,4}
จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของ B คือ 2,3 และ 5 เป็นสมาชิกของ A ด้วย ดังนั้น

⊂B A
⊂และสมาชิกของ C คือ 2 และ 4 ก็เป็นสมาชิกของ A ด้วยเช่นกัน ดังนั้น C A
⊄แต่ในขณะที่สมาชิกของ C ตัวหนึ่ง คือ 4 ไม่เป็นสมาชิกของ B ดังนั้น C B

เพาเวอร์เซต
ถ้า A เป็นเซต เพาวเวอร์เซต (Power Set) ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิก
ประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย
สับเซตทั้งหมดของ P(A)={สับเซตทั้งหมดของA}
เช่น ถ้า A={1,2} สับเซตของ A คือ

∅- - {1}- {2} {1,2} หรือ A ดังนั้น
∅P(A)={ ,{1},{2},A}

เทคนิคการตรวจสอบการเป็นสับเซตที่ซับซ้อน

⋯ ⋯สำหรับการเป็นสับเซตที่ซับซ้อน เรามีเทคนิคในการตรวจสอบการเป็นสับ

เซตโดยการตัดปีกกา { } และตัดตัว P( ) ของเพาเวอร์เซตออกพร้อมๆ

⊂กันทั้งสองข้าง เช่น

ให้ตรวจสอบว่า {{{2}}} P({{1,2}}) เป็นจริงหรือไม่

สมบัติของเพาเวอร์เซต
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∅∈ ∅⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุก
∈ ⊂เซต แล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน

3. A P(A) เพราะ A A เสมอ
4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด และ n(A) คือจำนวน
สมาชิกของ A แล้ว P(A) จะมีสมาชิก 2n(A) ตัว
(เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B)=P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา
ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น
จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้ โดยทั่วไป
นิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ตัวอย่าง
กำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A = {1,3,5,7} B = {2,4,8} หรือ กำหนดให้ U = {x ε I+ | 1<x<20}
A = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนสวนเต็มคี่บวก}
B = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนสวนเต็มคู่บวก}
นั่นคือทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) ในการพูดถึงเรื่องใดก็ตามในแง่ของเซต เรา
มักมีขอบข่ายในการพิจารณาสมาชิกของเซตที่จะกล่าวถึง โดยมีข้อตกลงว่าเราจะไม่
กล่าวถึงสิ่งใดนอกเหนือไปจากสมาชิก ของเซตที่กำหนดขึ้น เช่น ถ้าเรากำหนดเซตของ
สมาชิกทุกคนในครอบครัวของผู้เรียนเองให้เป็นเซตใหญ่ที่สุด เราจะเรียกเซตนี้ว่า
เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ U โดยมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิก
ของเซตใด ๆ จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์
กำหนดให้ U คือ เซตของจำนวนจริง และ

จะได้ A = {-2,2}
แต่ถ้ากำหนดให้ U คือ เซตของจำนวนเต็มบวก

จะได้ A = {2}
ตัวอย่าง เช่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}
หมายเหตุ ถ้ากล่าวถึงเซตของจำนวนและไม่ได้กำหนดว่าเซตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ให้
ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

แผนภาพเวนน์
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คือแผนภาพที่ใช้เขียนแทนเซตโดยใช้รูปปิดอะไรก็ได้ เช่น รูป
สามเหลี่ยม รูปวงกลม รูปวงรี แต่จะนิยมเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
แล้วเขียนแทนเซตในเอกภพสัมพัทธ์ด้วยรูปวงกลมตัวอย่าง
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์กำหนด U={0,1,2,3,...,10},A={2,4,6} และ B=
{1,3,5}
เขียนเป็นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ได้ดังนี้

ตัวอย่างการเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
กำหนด U={0,1,2,3,...,10},A={1,2,3,4,5} และ B={3,5,6,7,8}

⊂เขียนเป็นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ได้ดังนี้

ในกรณีนี้จะเห็นว่า A B ดังนั้น เซต A ทั้งวงจึงเข้าไปอยู่ในเซต B

การปฏิบัติการทางเซต

• ยูเนียน • อินเตอร์เซ็ก

• ลบ • คอมพลีเมนต์

∪ยูเนียน คือ การ “เทรวม” ยูเนียน แทนด้วยสัญลักษณ์ หมายถึง
∪การน าเซต และ มารวมกัน เช่น {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} {1, 3, 5}
∪ ∪ ∪{2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {3, 5} {2, 3, 5} = {2, 3, 5} {1, 2} { } =
∪ ∅ ∪{1, 2} จะเห็นว่า
= และ = เสมอ

ถ้าวาดเป็นแผนภาพเวนน์ จะเห็น ผลของ A-B จะกินบริเวณของ A ที่ไม่อยู่ใน B ดังรูป

คอมพลีเมนต์คือ “ส่วนตรงข้าม” คอมพลีเมนต์ แทนด้วยสัญลักษณ์ ′
หรือ หมายถึง บริเวณที่ไม่ใช่ อันสุดท้ายนี้ จะแปลกกว่าอันอื่น ตรงที่ อัน
นี้ทำกับเซตแค่เซตเดียว และ ก่อนจะหาคอมพลีเมนต์ได้ เราจำเป็นต้องรู้
ก่อน เช่น ถ้ากำหนดให้ = {1, 2, 3, 4, 5} จะได้ {1, 2, 3}′ = {4, 5} {1, 4}′ =

∅ ∅{2, 3, 5} {1, 2, 3, 4, 5}′ = { } { }′ = {1, 2, 3, 4, 5} จะเห็นว่า ′ = และ

′ = เสมอ
ถ้าวาดเป็นแผนภาพเวนน์จะเห็นว่า ผลของ ′ จะกินบริเวณนอก ดังรูป

∩ตัวอย่าง กำหนดให้ = {1, 2, 3, 4, 5} , = {1, 2, 3} , = {2, 3, 4} จงหา (
∪ ∩ ∩ ′ ) − ( ) ′ วิธีทำ ′ = {1, 2, 3} {2, 3, 4}′
∪ ∪( ) ′ = ({1, 2, 3} {2, 3, 4})′
∩= {1, 2, 3} {1, 5}

= {1, 2, 3, 4}′ = {1} = {5} ) ,

∩ ∪ดังนั้น ( ′ ) − ( ) ′ = {1} − {5} = {1}
∪ตัวอย่าง กำหนดให้ ( ) = 10 , ( ) = 18 จงหาช่วงค่าที่เป็นไปได้ของ (
∩ ( ) , ( − ) และ ( − )
∪ → ∪ ≥วิธีทำ • จะเล็กสุด เมื่อ กับ ซ้ำกันทุกตัว ( )

(10, 18) = 18
∪ → ∪ ≤ จะใหญ่สุด เมื่อ กับ ไม่ซ้ำกันเลย ( ) 10 + 18 = 28
≤ ∪ ≤ดังนั้น 18 ( ) 28
∩ → ∩ ≥• จะเล็กสุด เมื่อ กับ ไม่ซ้ำกันเลย ( ) 0
∩ → ∩ ≤ จะใหญ่สุด เมื่อ กับ ซ้ำกันทุกตัว ( ) (10, 18) = 10
≤ ∩ ≤ดังนั้น 0 ( ) 10
→ ≥ →• − จะเล็กสุด เมื่อ มีทุกตัวใน
( − ) 10 − 18 0
→ ≤ − จะใหญ่สุด เมื่อ กับ ไม่ซ้ำกันเลย ( − ) ( ) = 10
≤ ≤ดังนั้น 0 ( − ) 10
→ ≥• − จะเล็กสุด เมื่อ มีทุกตัวใน
( − ) 18 − 10 = 8

− จะใหญ่สุด เมื่อ กับ ไม่ซ้ำกันเลย

→ ≤( − ) ( ) = 18
≤ ≤ดังนั้น 8 ( − ) 18

สูตรการปฏิบัติการทางเซต

ในเรื่องเซต จะมีสูตรสำคัญๆ ที่ต้องท่องอยู่ 3 ชุด ดังนี้

∩• − = ′
∪ ∩• ( ) ′ = ′ ′
∩ ∪( ) ′ = ′ ′
∩ ∪ ∩ ∪ ∩• ( ) = ( ) ( )
∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ( ) = ( ) ( )

อย่างไรก็ตาม เวลาใช้สูตร เราจะไม่ได้เจอ กับ เหมือนอย่างในสูตร ก็ต้องใช้

สูตรให้เป็น
∩ ∩ ∩เช่น − = ′
∩ ∩ ∩ − ( ) = ( ) ′ − ′ = ( ′ ) ′ =

∪ ∪ ∩( ) − = ( ) ′
∩ ∪= ( ′ ′ )
∩ ∪ ∩= ( ′ ) ( ′ )
∩ ∪ ∩= ( ′ ) ( ′ )
∅ ∪ ∩= ( ′ )
∩= ( ′ )

โดยสูตรเหล่านี้สามารถนำไปใช้พิสูจน์ข้อความต่างๆ หรือแปลงประโยคที่ซับซ้อน
ให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้นได้ ตัวอย่าง จงแสดงว่า ′ − ′ = −

วิธีทำ เวลาทำในกระดาษทด ให้เอาประโยคที่ต้องการพิสูจน์ มาลุยทั้งสองข้างไป

เรื่อยๆ จนกว่าจะเท่ากัน ดังนี้
′ − ′ = –

∩ ∩ ′ ( ′ ) ′ = ′
∩ ∩ ′ = ′

แต่เวลาเขียนตอบ มักต้องเขียนเหมือนกับว่าลุยจากข้างหนึ่งไปได้อีกข้างหนึ่ง

ดังนี้

∩ ′ − ′ = ′ ( ′ ) ′
∩= ′
∩= ′

= −

∩ตัวอย่าง จงใช้แผนภาพเวนน์ เพื่อแสดงส่วนที่เป็น ( − ′ ) ′
∩วิธีทำ จะหาส่วนที่เป็น ( − ′ ) ′ แบบตรงๆเลยก็ได้ แต่ข้อนี้ จะใช้

สูตรแปลงให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้นก่อน ดังนี้

∩ ∩ ∩ ( − ′ ) ′ = ( ( ′ ) ′ ) ′
∩ ∩= ( ) ′
∩ ∪= ( ′ ′ )
∩ ∪ ∩= ( ′ ) ( ′ )
∅ ∪ ∩ ∩= ( ′ ) = ′
∩= –

ดังนั้น ถ้าจะแรเงา ( − ′ ) ′

∩ก็ไปแรเงา − แทน

จะได้ ( − ′ ) ′ ดังรูป

จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดสองเซต



แบบฝึกหัด









ตรรกศาสตร์
ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย

ประพจน์และการเชื่อมประพจน์

ประพจน์

ประพจน์คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอก
ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ จะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือ
ปฏิเสธก็ได้

เรานิยมใช้สัญลักษณ์ p,q,r,s หรือตัวอักษรอื่นๆ
แทนประพจน์

ข้อสังเกต ประโยคที่จะเป็นประพจน์จะต้องไม่
กำกวม ต้องตอบได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

• ข้อความที่เป็นประพจน์
เช่น 1-2 = 4

พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันตก
½ เป็นจำนวนตรรกยะ
เชียงใหม่เป็นจังหวัดหนึ่งของภาคเหนือ
1 ไม่เป็นจำนวนจริง



จะเห็นว่าประโยคข้างต้น เราสามารถบอกได้ว่า
เป็นจริงหรือเท็จ

• ข้อความที่ไม่เป็นประพจน์
คือข้อความที่อยู่ในรูปคำอุทาน, คำถาม หรือ

ข้อความที่บอกไม่ได้ว่าจริงหรือเท็จ
เช่น r เป็นจำนวนตรรกยะ (เราไม่สามารถบอกได้
ว่าจริงหรือไม่จริง เพราะเราไม่รู้ว่า r คืออะไร)

x² = 1 (เราไม่รู้ว่า x คืออะไร จึงไม่เป็นประพจน์)
ฝากซื้อข้าวด้วยนะ (เป็นประโยคขอร้อง ดังนั้น
ไม่เป็นประพจน์)

ค่าความจริงของประพจน์

ค่าความจริงของประพจน์มี 2 แบบ คือ

1.) ค่าความจริงเป็นจริง (True) เราจะแทนด้วย T

2.) ค่าความจริงเป็นเท็จ (False) เราจะแทนด้วย F

เช่น หาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
p : 2+5 = 7
q : พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
r : เดือนกุมภาพันธ์มี 30 วัน
s : 1>2

จากโจทย์ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นจริง(T)
q มีค่าความจริงเป็นจริง(T)
r มีค่าความจริงเป็นเท็จ(F) เพราะเดือนกุมภาพันธ์ไม่
ได้มี 30 วัน
s มีค่าความจริงเป็นเท็จ(F) เพราะ 1<2

นิเสธ

นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย ∼p คือ
ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ p

เช่น p : วันนี้ฝนตก
~p : วันนี้ฝนไม่ตก
q : คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ไม่ยาก
~q : คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ยาก
r : นิดหน่อยเป็นผู้หญิง
~r : นิดหน่อยไม่เป็นผู้หญิง

การเชื่อมประพจน์

กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ

∧1.) p q อ่านว่า p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงแค่

กรณีเดียว คือ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่

เช่น p : กรุงเทพมหานครอยู่ในประเทศไทย

∧q : เชียงใหม่อยู่ในประเทศไทย

ดังนั้น p q มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ p มีค่าความ
จริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นจริง

Trick!! ประพจน์ที่เชื่อมกันด้วย “และ” ถ้าเป็นเท็จ(F)แค่
อันเดียว ก็ถือว่าประพจน์นั้นเป็นเท็จ

∨2.) p q อ่านว่า p หรือ q มีค่าความจริงเป็นเท็จแค่

กรณีเดียว คือ ทั้งp และq มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่



ถ้ามองให้เห็นภาพง่ายขึ้น เราจะยกตัวอย่างสิ่งที่เห็นในขี
วิตประจำวันบ่อยๆ คือคุณสมบัติการสมัครงาน

วุฒิการศึกษาที่ต้องการ : วิทยาศาสตรบัณฑิต สาขา
คณิตศาสตร์ หรือ สาขาสถิติ

พิจารณาข้อความดังกล่าว ถ้าเราไม่ได้จบทั้งสองสาขา
มาเราก็ไม่มีสิทธิสมัครงานนี้ได้

Trick!! ประพจน์ที่เชื่อมกันด้วย “หรือ” ถ้าเป็นจริง(T)แค่
อันเดียว ก็ถือว่าประพจน์นั้นเป็นจริง

3.) p→q อ่านว่า ถ้า p แล้ว q เป็นประโยคที่เป็นเหตุ
เป็นผลกัน โดย p เป็นเหตุ และ q เป็น ผล ประพจน์ ถ้า…
แล้ว… เป็นเท็จได้กรณีเดียวเท่านั้น คือ ประพจน์ที่เป็น
เหตุมีค่าความจริงเป็นจริง และประพจน์ที่เป็นผลมีค่า
ความจริงเป็นเท็จ

เช่น

Trick!! จำแค่กรณีเดียว คือ หน้าจริงหลังเท็จได้เท็จ
นอกนั้นจริงหมด

↔4.) p q อ่านว่า p ก็ต่อเมื่อ q มีค่าความจริงเป็น

จริงก็ต่อเมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน ถ้า p มี
ค่าความจริงเป็นจริง q ก็ต้องมีค่าความจริงเป็นจริง
ประพจน์นี้ถึงจะมีค่าความจริงเป็นจริง

ตัวอย่างจาก ข้อ 3.)



Trick!! วิธีจำคือ เหมือนจริง ต่างเท็จ
ตัวอย่าง

1.) ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ บอกเหตุผล
ประกอบ
1.1) เธอว่ายน้ำเป็นหรือไม่
1.2) มีคนอยู่บนดาวอังคาร
1.3) ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x +0 = x
1.4) กรุณาถอดรองเท้า

แนวคำตอบ
1.1) ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถาม
1.2) เป็นประพจน์ เพราะสามารถตอบได้ว่ามีค่าความจริง
เป็นเท็จ
1.3) เป็นประพจน์ เพราะ เรารู้ว่า x คือจำนวนเต็ม เราจึงรู้
ว่าค่าความจริงเป็นจริง
1.4) ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคขอร้อง

2.) บอกค่าความจริงต่อไปนี้
2.1) 5 เป็นจำนวนเฉพาะและเป็นจำนวนคี่
วิธีทำ

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นจริง

2.2) 8 เป็นจำนวนคี่หรือจำนวนคู่
วิธีทำ

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นจริง

2.3) ถ้า 3 หาร 9 ลงตัวแล้ว 9 เป็นจำนวนคู่

วิธีทำ




ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.4) 20 เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 20 หารด้วย
2 ลงตัว
วิธีทำ

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็นจริง





การแจกแจงความจริง
ให้ p,q แทนประพจน์ใดๆ

T แทนค่าความจริงที่เป็นจริง
F แทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ

ให้ p,q แทนประพจน์ใดๆ
T แทนค่าความจริงที่เป็นจริง
F แทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ




ถ้ามี 2 ประพจน์ คือ p และ q จะมีจำนวนค่าความจริง
เท่ากับ 2 ยกกำลัง 2 = 8 แสดงด้วยตารางค่าความจริง
ได้ดังนี้

ถ้ามี 3 ประพจน์ คือ p q และ r จะมีจำนวนค่าความ
จริงเท่า 2 ยกกำลัง 2 = 8 แสดงด้วยค่าความจริงได้ดังนี้

╋ตัวอย่าง ให้ p แทน 2 4 = 7
╋q แทน 3 7 = 10
จงหาค่าความจริงของ p ^ q
วิธีทำ
╋p แทน 2 4 = 7 เป็น F
╋q แทน 3 7 = 10 เป็น T
แสดงค่าความจริงของ p ^ q

แสดงด้วยแผนภูมิได้ดังนี้

╋ ╋ดังนั้น 2 4 = 7 และ 3 7 = 10 เป็นเท็จ

ประพจน์ที่สมมูล

ประพจน์ที่สมมูลกัน คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือน

≡กันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “ ”

ค่าความจริงของประพจน์ p→q และ ∼q→∼p จากตาราง
ค่าความจริง

จากตาราง จะเห็นว่า p→q และ ∼q→∼p มีค่าความจริง
เหมือนกันทุกกรณี ดังนั้นเราจะได้ว่า p→q และ ∼q→∼p

≡เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน เขียนแทนด้วย p→q ∼q→∼p

∧ ≡1.) p p pp (q r) (เปลี่ยนกลุ่ม)
∨ ≡2.) p p pp (q r) (เปลี่ยนกลุ่ม)
∨ ∨ ≡ ∨ ∨3.) (p q) rp (สลับที่)
∧ ∧ ≡ ∧ ∧4.) (p q) rq (สลับที่)
∨ ≡ ∨5.) p q q(p q) (p r) (แจกแจง)
∧ ≡ ∧6.) p q p
∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨7.) p (q r)
∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧8.) p (q r) (p q) (p r) (แจกแจง)
∨ ≡ ∧9.) ∼(p q) ∼p ∼q
∧ ≡ ∨10.) ∼(p q) ∼p ∼q

≡ ∨11.) ∼p→q p ∼q **
≡ ∨12.) p→q ∼p q **
≡13.) p→q ∼q→∼p
↔ ≡ ∧14.) p q (p→q) (p→q)
≡ ∨ ∧ ∨(∼p q) (∼p q)

∧1.) p→(q→r) กับ (p q)→r

วิธีทำ

∧ดังนั้น p→(q→r) กับ (p q)→r สมมูลกัน
↔ ↔2. ) ∼(p q) กับ ∼p ∼q

วิธีทำ

↔ ↔ดังนั้น ∼(p q) กับ ∼p ∼q ไม่สมมูลกัน

สัจนิรันดร์

การที่ประพจน์ไหนก็ตามจะถูกเรียกว่าเป็นสัจ
นิรันดร์นั้น หมายความว่า ไม่ว่าประพจน์ย่อยแต่ละ
ประพจน์ที่เอามาเชื่อมกันในประพจน์นั้น ๆ มีค่าความ
จริงเป็นอะไรก็ตามค่าความจริงสุดท้ายที่ออกมาจะต้อง
เป็นจริงเสมอ เช่น

∧ ∧ถ้าประพจน์ที่กำหนดให้คือ p qp q จะมีค่า

ความจริงเป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์ pp และ qq มีค่า
ความจริงเป็นจริงเท่านั้น ไม่ได้มีค่าความจริงเป็นจริงใน
ทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์นี้จึง ไม่เป็นสัจนิรันดร์
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความ
จริง

วิธีนี้เป็นวิธีที่ตรงไปตรงมามากที่สุดนั่นคือการ
เขียนกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ทั้งหมดแล้วมาดูกัน
ว่าค่าความจริงที่ได้เป็นจริงทั้งหมดหรือไม่

ตัวอย่าง
ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความ

จริง

∨ ∧ ∨ ∧โจทย์ ประพจน์ (p q) p(p q) p เป็น

สัจนิรันดร์หรือไม่
จากประพจน์ที่กำหนดให้ จะมีประพจน์ย่อยทั้งหมด

สองประพจน์ ดังนั้นสร้างตารางที่มีประพจน์สอง
ประพจน์นี้ขึ้นมา

pq

จากนั้นให้เติมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่ง จำนวนกรณี
ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 2n เมื่อ n คือจำนวนประพจน์ วิธี
การเติมที่ง่าย และ ได้ครบทุกกรณีโดยไม่ตกหล่น คือ
การเติมแบบกลุ่มกลุ่มละครึ่ง

เช่น ในข้อนี้ มีประพจน์ทั้งหมด 2 ประพจน์ ดังนั้น
จะมีทั้งหมด 22= 4 กรณี เริ่มแรก เนื่องจากมี 4 กรณี
จะได้ว่าครึ่งหนึ่งคือ2 ดังนั้นหลักแรกให้เติม T จำนวน
สองตัว และ F จำนวนสองตัว จะได้

pq
T
T
F
F

จากนั้นให้ ให้ดูครึ่งนึงของ 22 จะได้ 11 ดังนั้นในหลัก
ที่ 22 ให้เติม TT กับ FF สลับกันครั้งละหนึ่งตัว จะได้

pq
TT
TF
FT
FF

เราก็จะได้กรณีที่เป็นไปได้ครบทั้งหมด

จากโจทย์เราต้องการค่าความจริงของประพจน์

∨ ∧ ∨ ∧(p q) p(p q) p จากตารางข้างบนเราไม่มีค่าความ
∨ ∨ ∨ ∨จริงของ p qp q ดังนั้นสร้างหลักของ p qp q เพิ่ม
และเติมค่าความจริงให้เรียบร้อย จะได้

∨p q p q
TT T

TF T

FT T

FF F

ตอนนี้เรามีค่าความจริงครบทั้งหมดแล้ว ดังนั้นให้สร้าง

หลักสุดท้าย เป็นหลักของ ประพจน์ที่เราต้องการตรวจ

สอบ จะได้

∨ ∨ ∧p q p q (p q) p
TT T T

TF T T

FT T F

FF F F

จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามีสองกรณีที่ค่าความจริงของ

ประพจน์ที่โจย์ถามนั้นเป็นเท็จ จึง ทำให้ได้ว่า ประพจน์นี้ ไม่

เป็นสัจนิรันดร์

ตอบ ประพจน์ที่กำหนดให้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง

ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง

∧ ∨ ∧ ∨โจทย์ ประพจน์ (p q)→(p q)(p q)→(p q) เป็นสัจนิ
รันดร์หรือไม่

ใช้หลักการเดียวกันกับข้อข้างบนสร้างตารางค่าความ

จริง จะได้ตารางดังนี้

∧ ∨ ∧ ∨p q (p q) (p q ) (p q )→(p q )
TT TT T

TF FT T

FT FT T

FT FF T

จากตารางค่าความจริงที่สร้างขึ้น จะเห็นว่า ทุก

กรณีที่เป็นไปได้ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น

ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ ตอบ ประพจน์ที่

กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์

!!! ถ้ามีจำนวนประพจน์ย่อยมากกว่า 22 ประพจน์ หรือมี
ตัวเชื่อมประพจน์มากกว่า 22 ตัว วิธีสร้างตารางค่าความ
จริงจะต้องใช้เวลานานมาก จึงไม่เป็นที่นิยมในการใช้งาน
จริง โดยเฉพาะเมื่ออยู่ในห้องสอบ !!!

การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ

หลักการการสมมุติให้เป็นเท็จ คือ การหาว่าเป็นไป
ได้มั้ยที่ประพจน์นั้นจะเป็นเท็จ ถ้ามีแม้แต่กรณีเดียวได้ค่า
ความจริงเป็นเท็จขึ้นมา แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้า
เมื่อสมมุติให้เป็นเท็จแล้วเกิดการขัดแย้งขึ้นเสมอ
หมายความว่า ประพจน์นั้นย่อมเป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ

↔ ↔โจทย์ ประพจน์ [∼(p→q)]→[(∼p q)][∼(p→q)]→[(∼p q)]

เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ ใช้หลักการเดียวกันกับตัวอย่างแรก จะได้
แผนภาพคือ




ตอบ ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ
โจทย์

∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ประพจน์∼p (p ∼(r s))]→(∼r s)∼p (p ∼(r s))
∨]→(∼r s)เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีทำ วาดแผนภาพโดยใช้หลักการเดียวกับ
ตัวอย่างข้อแรก จะได้

จากแผนภาพจะได้ว่า ไม่มีข้อขัดแย้งใด ๆ เกิดขึ้น

แสดงว่า ประพจน์ที่กำหนดให้สามารถเกิดกรณีที่เป็นเท็จ

ขึ้นได้ ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตอบ ประพจน์

∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨∼p (p (̸r s))]→(∼r s)∼p (p (̸r s))]→(∼r s) ไม่

เป็นสัจนิรันดร์

การอ้างเหตุผล
คือการตรวจสอบว่าข้อความที่กำหนดให้ชุดหนึ่งจะ

สร้างข้อความใหม่อีกข้อความหนึ่ง อาจจะสมเหตุสมผล
หรือไม่ก็ได้ ถ้าอ้างเหตุผลถูกต้อง ประกอบด้วย

● เหตุ คือสิ่งที่ถูกกำหนดให้ ประกอบด้วยประพจน์

ย่อยๆ

● ผลคือ ผลสรุปจากเหตุ แทนด้วย Q

การพิจารณาการอ้างเหตุผล
ถ้า

→Q เป็นสัจนิรันดร์ แล้ว การอ้างเหตุผล สมเหตุสมผล
(valid)
ถ้า

→Q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แล้ว การอ้างเหตุผล ไม่สมเหตุสม
ผล (invalid)

กฎที่ใช้ในการอ้างเหตุผล
1.) Modus Ponens

เหตุ 1. p → q
2. p

ผล q

2.) Modus Tollens
เหตุ 1. p → q

2. ∼q
ผล ∼p

3.) Law of Syllogism
เหตุ 1. p → q

2. q → r
ผล p → r

∨4.) Disjunctive Syllogism

เหตุ 1. ∼p q
2. p

ผล q

∧5.) Law of simplification

เหตุ p q
ผล p

6.) Law of addition

เหตุ p q

∨ผล p

7.) Law of contraposition
เหตุ p → q
ผล ∼q → ∼p

8.) Inference by cases
เหตุ 1. p → r

2. q → r

∨ผล (p q) → r

**เทคนิคเหล่านี้อาจจะต้องใช้ความจำมาก

ตัวอย่าง
1.) การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. ถ้าวันนี้วันจันทร์ แล้วพรุ่งนี้วันอังคาร
2. วันนี้วันจันทร์

ผล พรุ่งนี้วันอังคาร

: วิธีทำ1

กำหนดให้ p แทนประพจน์ วันนี้วันจันทร์

q แทนประพจน์ พรุ่งนี้วันอังคาร

จะได้ เหตุ 1. p→q

2. p

จาก กฎ Modus Ponens

จะได้ ผล q


ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ สมเ
หตุสมผล




: วิธีที่2 การตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ได้ โดยจะ

สมมติให้ประพจน์ เหตุ “แล้ว” ผล มีค่าความจริงเป็น

เท็จ แล้วหาข้อขัดแย้ง ดังนี้

จากรูปข้างบนจะเห็นว่า ประพจน์เป็นสัจนิรันดร์

ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล