คณิตศาสตร์ที่เรารัก

วิธีที่3 ใช้การสมมูลมาช่วยตรวจสอบ จะได้

ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล

2.) การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. p → q

2. q → r
3. p
ผล r

: วิธีทำ1 จาก Law of Syllogism จะได้
เหตุที่ 1 p→q
เหตุที่ 2 q→r
จะได้ ผล p→r

จากนั้น นำ p→r มาพิจารณาต่อ จะได้
พิจารณา p→r

เหตุที่ 3 p
จะได้ ผล r (Modus Ponens)
ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล

: วิธีทำ2 ตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ โดยสมมติให้

∧ ∧[(p→q) (q→r) p]→r มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วเรา

จะทำการหาจุดที่มันขัดแย้งกัน

ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล
3.) พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ว่าสมเหตุสมผลหรือ

∨ไม่ เหตุ 1. p q
∨2. ∼p r

3. ∼r
ผล p

วิธีทำ เราจะใช้สัจนิรันดร์ ในการตรวจสอบการอ้าง
เหตุผล

จะเห็นว่า ไม่มีจุดที่ขัดแย้งกัน จะได้ว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล



4.) พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ว่าสมเหตุสมผลหรือ

∨ไม่ เหตุที่ 1 p → (q r)
∨เหตุที่ 2 ~p ∼r

ผล ∼p
วิธีทำ ใช้การตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์

จากรูป จะเห็น
ว่าไม่มีจุดที่ขัด

แย้ง จะได้ว่า
ไม่เป็นสัจนิรัน

ดร์


ดังนั้น การอ้าง
เหตุผลนี้ ไม่
สมเหตุสมผล

จากการยกตัวอย่าง จะเห็นว่าเราสามารถตรวจ
สอบการอ้างเหตุผลได้หลายวิธี ทั้งตรวจสอบการเป็นสัจ
นิรันดร์ การสมมูลของประพจน์ และการใช้กฎของการ
อ้างเหตุผล

การตรวจสอบโดยการใช้ การเป็นสัจนิรันดร์ :

เป็นสัจนิรันดร์ >>> สมเหตุสมผล

ไม่เป็นสัจนิรันดร์ >>> ไม่สมเหตุสมผล

การตรวจสอบโดยใช้การสมมูลของประพจน์ :

ประพจน์เป็นจริง(T) >>> สมเหตุสมผล

ประพจน์เป็นเท็จ(F) >>> ไม่สมเหตุสมผล

ตัวบ่งปริมาณกับตัวเชื่อม

: ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ U = \mathbb{R} เมื่อ \mathbb{R} เป็นเซต
ของจำนวนจริง

P(x) แทน x เป็นจำนวนนับ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนจริง

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

จำนวนนับทุกตัวเป็นจำนวนจริง
สำหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจำนวนนับแล้ว x เป็น
จำนวนจริง

∀สำหรับ x ทุกตัว ถ้า P(x )แล้ว Q(x )
x[P(x) → Q(x)]
: ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้

P(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนเฉพาะ

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

“มี” จำนวนตรรกยะบางตัว “ไม่ใช่” จำนวนเฉพาะ
มี x บางตัวซึ่ง P(x) และ ∼Q(x)

∃ ∧x[P(x) ∼Q(x)]
∀ ∃ตัวอย่างของการใช้ และ

1.) ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

∃ค่า x ที่สามารถแทนลงใน 2x ≥ 10 คือสมาชิกทุกตัวใน U

จากโจทย์ จะได้ว่า x[2x ≥ 10] หมายความว่า มี x บาง
ตัวที่ทำให้ 2x ≥ 10 เป็นจริง

∀2.) ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0 และ U = {-4, 2}

จากโจทย์ จะได้ว่า x[x² + 2x – 8 = 0] หมายความว่า x
ทุกตัวใน U ทำให้สมการ x² + 2x – 8 = 0 เป็นจริง
ข้อความที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ใช้กับข้อที่ 3-5
P(x) แทน x เป็นจำนวนเต็ม

Q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

E(x) แทน x เป็นจำนวนเต็มคู่

A(x) แทน x เป็นจำนวนเต็มคี่

3.) จากข้อความข้างต้นสามารถสรุปอะไรได้บ้าง
จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนเต็มคู่หรือจำนวนเต็มคี่

4.) นำคำตอบจากข้อ 3 มาเขียนเป็นสัญลักษณ์
จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ (หมายความว่า
สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็น
จำนวนตรรกยะ)

∀สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ x[P(x) → Q(x)]
จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่
(หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x
เป็นจำนวนเต็มคู่ หรือ จำนวนเต็มคี่)

∀ ∨สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ x[ P(x) → (E(x)

A(x)) ]

∃ ∧5.) เขียนประโยคจากสัญลักษณ์ที่กำหนดให้
x[Q(x) P(x)] : มี x บางตัวที่เป็นจำนวนตรรกยะ และ

∃ ∧เป็นจำนวนเต็ม
x[E(x) ∼A(x)] : มีจำนวนเต็มคู่บางตัวซึ่งไม่เป็น
จำนวนเต็มคี่
ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

∀สำหรับ
∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่า x

ด้วยสมาชิกจากเอกภพสัมพัทธ์ทุกครั้ง P(x) ก็ยังเป็น
จริง
เช่น ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0 และ เอกภพสัมพัทธ์
(U) = {-4, 2}

จากตัวอย่างจะเห็นว่า เมื่อเราแทน x ด้วย -4 (ซึ่งเป็นสา
มาชิกใน U) จะได้ 16 – 8 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

เมื่อแทน x ด้วย 2 (ซึ่งเป็นสมาชิกใน U) จะได้ 4 + 4 – 8 =
0 ดังนั้น P(x) จริง

∀ดังนั้น xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง
∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ มีบางตัวใน

U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) เป็นเท็จ

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ถ้าเราแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 เห็นได้ชัดว่า P(x) เป็นจริง

เมื่อเราลองแทน x ด้วย 1 จะเห็นว่า 2(1) ≥ 10 เป็นเท็จ

∀ดังนั้นเราสรุปได้เลยว่า xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
∃สำหรับ
∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบาง

ตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) แล้วทำให้เป็นจริง (อาจจะ
มีแค่ 1 ตัว หรือทุกตัวก็ได้นะจ๊ะ)
เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 จะเห็นว่า P(5) =
2(5) ≥ 10 , P(7) = 2(7) ≥ 10 และ P(9) = 2(9) ≥ 10 เป็น
จริง

∃ดังนั้น xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่า

สมาชิกใน U แล้วทำให้ P(x) เป็น “เท็จทุกกรณี”
เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≤ 10 และ U= {5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อเราแทนค่า x ด้วย 5 , 7, 9 ลงใน 2x ≤ 10 จะ
ได้ว่า P(x) เป็นเท็จทุกกรณี

∃ดังนั้น xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของ “ตัวบ่งปริมาณ” กรณีที่ประโยคเปิดมี
2 ตัวแปร

ในกรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร เราจะใช้สัญลักษณ์
P(x, y) และเมื่อเราเติมตัวบ่งปริมาณลงไปแล้ว จะได้
ประพจน์ 4 ประพจน์ที่เป็นไปได้ ดังนี้

∈ให้ a U
∀ ∀1. x y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U มาแทนค่า
ใน x แล้วทำให้ \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้ว

∃ ∃ทำให้ \forall yP(a, y) เป็นเท็จ
2. x y P(x, y)
เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้ว
ทำให้ \exists yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U มาแทนค่าใน
x แล้วทำให้ \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

∀ ∃3. x y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U มาแทนค่า
ใน x แล้วทำให้ \exists yP(a, y) เป็นเป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้ว
ทำให้ \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

∃ ∀4. x y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้ว
ทำให้ \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U มาแทนค่าใน
x แล้วทำให้ \forall yP(a, y) เป็นเท็จ
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
ให้ U เป็นเซตของจำนวนเต็ม

∀1.) x[x ≠ x²]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อ แทน x = 1 จะเห็นว่า
1 = 1²

∃2.) x[x² ≥ 0]

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อเราลองแทนค่า x = 1 จะ

∃เห็นว่า 1² ≥ 0 ( : เป็นจริงแค่กรณีเดียวก็ถือว่าประพจน์

เป็นจริงแล้ว)

∃3.) x[x + 2 = x]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ ในระบบจำนวนจริงนั้น มีแค่
x + 0 = x ดังนั้น จึงไม่มี x ที่ทำให้ x +2 = 0

• พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

∀ ∀ให้ U = {-1, 0, 1}

1.) x y[x² – y = y² – x]
(หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อแทน x = -1 และ y =

⇒ ⇒1 จะได้ (-1)²- 1 = 1² – (-1) 1 – 1 = 1 + 1 0 = 1 (เป็น
∀เท็จ)

** : เป็นเท็จแค่กรณีเดียวก็ถือว่าเป็นประพจน์นั้นเป็น
เท็จ
วิธีคิดอย่างละเอียด :

∀ ∃2.) x y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว

ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)
แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อแทน -1, 0 และ 1 ใน x
แล้วจะได้

จะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของ U ที่เมื่อแทนค่าลงใน y
แล้วเป็นจริง

∃ ∀3.) x y[x² – y ≠ y² – x] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่

ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)
แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ

∃ ∃4.) x y[2x + 1 ≤ y] (หมายความว่า มี x บางตัว

ที่ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)
แนวคำตอบ เป็นจริงเพราะ เมื่อลองแทน x = -1 และ y =

⇒ ⇒1 จะได้ 2(-1) + 1 ≤ 1 -2 + 1 ≤ 1 -1 ≤ 1 (เป็นจริง)

สรุป

∀ ∃ตัวบ่งปริมาณ มี 2 ชนิด คือ (ทุกตัว) (บางตัว)

เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ประพจน์
ได้ โดยใช้ตัวเชื่อมของประพจน์
กรณี 1 ตัวแปร การหาค่าความจริงจะไม่ซับซ้อนมาก
กรณี 2 ตัวแปร การหาค่าความจริงค่อนข้างซับซ้อน ให้
แทนค่าใน x ก่อน แล้วค่อยแทนค่าใน y ทีหลัง
แน่นอนค่ะ อะไรที่ง่ายๆ จะไม่ค่อยออกสอบ(แต่ก็ไม่ได้
แปลว่าจะไม่ออกนะคะ) ดังนั้น ให้ศึกษากรณี 2 ตัวแปรให้
เยอะๆนะคะ เพราะถ้าทำ 2 ตัวแปรได้ 1 ตัวแปร

หลักการนับเบื้องต้น
ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

ใชีวิตประจำวันของมนุษย์เรา มักจะเกี่ยวข้องกับการทา
นายอนาคตเสมอ เช่น การทานายลมฟ้าอากาศ ทานาย
เกี่ยวกับการแข่งขันฟุตบอล เป็นต้น การศึกษาความน่าจะ
เป็นนี้ เกิดขึ้นประมาณ ศตวรรษที่ 17 เมื่อนักพนันชื่อ
CNEVAALIE DE MERE ได้ถามปัญหา ปาสคาล และ
ปาสคาลได้ส่งปัญหานี้ไปให้ แฟร์มาสต์ และทั้งสองได้
ศึกษาปัญหา และเริ่มสร้างทฤษฎีต่าง ๆ ขึ้น การศึกษา

เรื่องความน่าจะเป็นนี้ จะช่วยให้นักเรียนสามารถเดา
เหตุการณ์ ได้อย่างมีหลักมีเกณฑ์ช่วยในการตัดสินใจได้

ถูกต้องมากยิ่งขึ้นกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
แผนภาพต้นไม้

แผนภาพต้นไม้ เป็นวิธีการอย่างหนึ่ง ในการหาจำนวน
วิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของการกระทำเหตุการณ์อย่างใด
อย่างหนึ่ง และ แผนภาพต้นไม้แบ่งออกเป็น 2 ประเภท

คือ
1. แผนภาพต้นไม้ ที่มีกิ่งแตกออกเป็นระเบียบ
2. แผนภาพต้นไม้ ที่มีแตกออกไม่เป็นระเบียบ

ตัวอย่าง จากสนามบินเเห่งหนึ่งนั้นมีไฟลท์
จากประเทศไทยไปยังประเทศสหรัฐอเมริกา โดยก่อนที่จะ

ไปประเทศสหรัฐอเมริกานั้นจะต้องนั่งจากสนามบิน
ประเทศไทยไปยังสนามบินประเทศเเคนาดา โดยหากใน
ประเทศไทยมีเครื่องบินที่พาผู้โดยสารไปยังประเทศเเคนา
ดาทั้งหมด 7 ลำ เเละในประเทศเเคนาดามีเครื่องบินที่พาผู้

โดยสารไปยังประเทศสหรัฐอเมริกาทั้งหมด 5 ลำ
สามารถเดินทางได้ทั้งหมดกี่วิธี

กฎการนับเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ( การคูณ )

กฎข้อที่ 1

ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ N

1 วิธีและในแต่ละวิธี ที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีเลือกทำงาน

อย่างที่สองได้ N 2 วิธี จะทำงานทั้งสองอย่างนี้ได้ N 1 N 2 วิธี

ตัวอย่าง โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันเป็นอาหารคาว 4

อย่างและขนม 3 อย่าง ให้นักเรียนเลือกรับประทานชนิดละ 1 อย่าง

อยากทราบว่านักเรียนจะมีวิธีเลือก อาหารคาวและขนมได้ทั้งหมดกี่

วิธี

แนวคำตอบ เลือกอาหารคาว 1 อย่าง และขนม 1 อย่าง ดัง

นั้น การทำงานในข้อนี้มี 2 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกอาหารคาว

ได้4 วิธี (มีอาหารคาว 4 อย่าง) ขั้นตอนที่ 2 เลือกขนมได้ 3 วิธี (มี

ขนม 3 อย่าง) ดังนั้น จะมีวิธีเลือกอาหารคาวและขนมได้ทั้งหมด

4×3 = 12 วิธี

กฎข้อที่ 2

ถ้าต้องการทำงานอย่างหนึ่งมี K ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่ง

มีวิธีเลือกทำได้ N 1 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำ

ขั้นตอนที่สองได้ N 2 วิธี ในแต่ละวิธีที่ทำงานของขั้นตอน ที่หนึ่ง

และขั้นตอนที่สองมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สามได้ N 3 วิธี เช่นนี้เรื่อย

ไปจนถึงขั้นตอนสุดท้าย คือ ขั้นตอนที่ K จะทำได้ N K วิธี จะทำงาน

K ขั้นตอนนี้ได้ N 1 N 2… N K วิธี

ตัวอย่าง ชมรมถ่ายภาพมีสมาชิก 10 คน ถ้าต้องการเลือกประธาน

ชมรม รองประธานชมรม เลขานุการชมรมและเหรัญญิกของชมรม

ตำแหน่งละ 1 คน จำนวนวิธีที่จะเลือก ตำแหน่งต่าง ๆ ของชมรมได้

ทั้งหมดกี่วิธี

แนวคำตอบ เลือกตำแหน่งประธาน รองประธาน เลขานุการ

และเหรัญญิก ดังนั้น การทำงานในข้อนี้มี 4 ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 เลือกตำแหน่งประธานได้ 10 วิธี (มีสมาชิก 10 คน)

ขั้นตอนที่ 2 เลือกตำแหน่งรองประธานได้ 9 วิธี เป็นประธานแล้ว 1

คนเหลือ 9 คน

ขั้นตอนที่ 3 เลือกตำแหน่งเลขานุการได้ 8 วิธี ( เป็นประธานกับ

รองแล้วเหลือ 8 คน )

ขั้นตอนที่ 4 เลือกตำแหน่งเหรัญญิกได้ 7 วิธี ( เป็นประธาน , รอง

และเลขาแล้ว 3 คน เหลือ 7 คน)

ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะเลือกตำแหน่งต่าง ๆ ของชมรมได้เท่ากับ

10×9×8×7 = 5,040 วิธี

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (การบวก)
หลักการบวก ในการทำงานอย่างหนึ่งมีวิธีการท า K วิธี
คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ K โดยที่ การท างานวิธีที่ 1 มีวิธีทำN 1 วิธี
การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ N 2 วิธี การท างานวิธีที่ K มีวิธีทำ N
K วิธี และวิธีการท างานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีทำ

งานนี้เท่ากับ N 1+N 2+…+N K วิธี
ตัวอย่าง มีหนังสือ 6 เล่ม เป็นตำราภาษาอังกฤษ 2 เล่ม จะจัด
เรียงบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหัวแถวและท้ายแถวเป็นตำรา

ภาษาอังกฤษ
แนวคำตอบ เรียงตำราบนชั้นหนังสือ โดยหัวแถวและท้าย
แถวเป็นตำรา ภาษาอังกฤษ การทำงานในข้อนี้มี 2 วิธี คือ ถ้า
สมมติให้ตำราภาษาอังกฤษ แทนด้วยตัว A และ B จะมีวิธีการ

จัดเรียงได้ดังนี้
กรณีที่ 1 เล่ม A อยู่หัวแถวเล่ม B อยู่ท้ายแถว
เลือกวางตำแหน่งหัวแถวได้ 1 วิธี(เล่ม A เท่านั้น )
เลือกวางตำแหน่งที่ 2 ได้ 4 วิธี(จาก 4 เล่มที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 3 ได้ 3 วิธี(เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 ที่

ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 4 ได้ 2 วิธี(เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 และ

3 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 5 ได้ 1 วิธี(เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2, 3

และ 4 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งท้ายแถวได้ 1 วิธี (เล่ม B เท่านั้น)

จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือได้ทั้งหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วิธี

กรณีที่ 2 เล่ม B อยู่หัวแถวเล่ม A อยู่ท้ายแถว
เลือกวางตำแหน่งหัวแถวได้ 1 วิธี (เล่ม B เท่านั้น )
เลือกวางตำแหน่งที่ 2 ได้ 4 วิธี (จาก 4 เล่มที่ไม่ใช่ A และ

B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 3 ได้ 3 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่ง

ที่ 2 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 4 ได้ 2 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่ง

ที่ 2 และ3 ที่ไม่ใช่ A และ B)
เลือกวางตำแหน่งที่ 5 ได้ 1 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่ง

ที่ 2, 3 และ4 ที่ไม่ใช่ A และ B)
จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือได้ทั้งหมด 1×4×3×2×1×1 =

24 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีจัดเรียงตำราบนชั้นหนังสือที่หัวแถว
และท้ายแถวเป็นตำราภาษาอังกฤษ เท่ากับ 24 + 24 =

48 วิธี

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (ภายใต้เงื่อนไข)
ตัวอย่าง ห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนแห่งหนึ่งต้องการสร้าง
รหัสทะเบียนอุปกรณ์ เครื่องมือสื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัว
อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด 2 ตัว ตัวอย่างเช่น A 01 อยากทราบว่า
รหัสทะเบียนอุปกรณ์เครื่องมือ สื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนแห่งนี้มี

ได้ทั้งหมดกี่รหัส ถ้า
1. รหัสทะเบียนอุปกรณ์ต้องไม่มีเลขโดดซ้ำกัน

2. รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ำกันได้
แนวคำตอบ โจทย์ข้อนี้ต้องการสร้างรหัสทะเบียน 3 ตัว ได้แก่ ตัวอักษร
ภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด 2 ตัว ดังนั้นการทำงานมี 3 ขั้นตอน โดยตัว
อักษรภาษาอังกฤษ คือ A-Z มีทั้งหมด 26 ตัว และเลขโดดที่ใช้ ในแสดงจำนวน

ที่ต้องการ คือ 0-9
วิธีทำ

1) รหัสทะเบียนอุปกรณ์ต้องไม่มีเลขโดดซ้ำกัน
ขั้นตอนที่ 1 รหัสตัวแรก เลือกอักษรได้ = 26 วิธี (ตัวอักษร A-Z )
ขั้นตอนที่ 2 รหัสตัวที่สอง เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี (เลขโดด 0-9)
ขั้นตอนที่ 3 รหัสตัวที่สาม เลือกเลขโดดได้ = 9 วิธี (ไม่ซ้ำกับเลขโดดตัวแรก)
ดังนั้น สร้างรหัสทะเบียนที่ไม่มีเลขโดดซ้ำกันได้ทั้งหมด 26×10×9 = 2,340

รหัส
2) รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ำกัน
ขั้นตอนที่ 1 รหัสตัวแรก เลือกอักษรได้ = 26 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 รหัสตัวที่สอง เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 รหัสตัวที่สาม เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี
ดังนั้น สร้างรหัสทะเบียนที่มีเลขโดดซ้ำกันได้ทั้งหมด 26×10×10 = 2,600 รหัส

EX.1 มีถนนจากกรุงเทพ ฯ ไปจังหวัดกระบี่ 3 สาย และมีถนนจากจังหวัดกระบี่
ไปจังหวัด ยะลา 4 สาย ญาญา่ ขับรถจากกรุงเทพ ฯ ไปถ่ายละครที่จังหวัด
ยะลาโดยต้องผ่านจังหวัดกระบี่ ญาญ่าจะมีวิธีเลือกเส้นทางได้กี่วิธี

วิธีทำ สมมติให้ถนนจากกรุงเทพฯ ไปกระบี่ 3 สายคือ ก1, ก2 และ ก3
และสมมติให้ถนนจากกระบี่ไปยะลา 4 สายคือ ย1, ย2 ,ย3 และ ย4
เขียนแผนภาพต้นไม้ได้ดังนี้
จากกรุงเทพฯ ไปกระบี่










จากแผนภาพจะได้ว่า มีถนนจากกรุงเทพไปจังหวัดกระบ่ี 3 สาย แต่ละสายของ
ถนนที่ไป กระบี่มีถนนไปจังหวัดยะลา 4 สาย
ดังนั้น จานวนวิธีที่ญาญา่ จะเลือกเส้นทาง เท่ากับ 3×4 = 12 วิธี คือ ก1ย1,
ก1ย2, ก1ย3, ก1ย4, ก2ย1, ก2ย2, ก2ย3, ก2ย4, ก3ย1,
ก3ย2, ก3ย3, ก3ย4

EX.2 มีกางเกงที่แตกต่างกัน 2 ตัวและมีเสื้อต่างกัน 2 ตัว เราจะมีวิธีการแต่งตัวที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่
วิธี











แนวคิด มองเป็นการทำงาน 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 คือเลือกกางเกงทำได้ 2 วิธีเพราะมีกางเกงให้เลือก 2 ตัว
ขั้นตอนที่ 2 คือเลือกเสื้อ ทำได้ 2 วิธี เหมือนกันเพราะมีเสื้อให้เลือก 2 ตัว
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดในการทำงานหรือจำนวนวิธีในการแต่งตัวทั้งหมดเท่ากับ 2×2=4 วิธี


EX.3 มีโรงแรมอยู่ 5 แห่ง อยากทราบว่านักท่องเที่ยว 4 คน จะเลือกพักโรงแรมดังกล่าวโดยไม่ซ้ำกันได้
กี่วิธี
แนวคิด นักท่องเที่ยวคนที่ 1 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 5 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 2 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 4 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 3 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 3 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 4 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 2 วิธี
ดังนั้น นักท่องเที่ยวจะเลือกพักโรงแรมโดยไม่ซ้ำกันได้เท่ากับ 5 X 4 X 3 X 2 = 120 วิธี


EX4 .หมายเลขโทรศัพท์ประกอบไปด้วยตัวเลข 6 ตัว และตัวเลขสามตัวแรกเป็น 670 มีได้ทั้งหมดกี่
ตัวเลข
แนวคิด หมายเลขโทรศัพท์ประกอบด้วยตัวเลข 6 ตำแหน่ง ซึ่งแต่ละตำแหน่งก็เป็นสมาชิกของเซต
S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ตำแหน่งที่ 1 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 6
ตำแหน่งที่ 2 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 7
ตำแหน่งที่ 3 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 0
ตำแหน่งที่ 4 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ตำแหน่งที่ 5 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ตำแหน่งที่ 6 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ดังนั้น หมายเลขโทรศัพท์ที่สามตัวแรกเป็น 670 มีได้ทั้งหมด = 1 X 1 X 1 X 10 X 10 X 10 = 1000
หมายเลข


EX.5. เมื่อโยนเหรียญหนึ่งอัน จำนวน 3 ครั้ง จะได้ผลต่าง ๆ กันกี่วิธี
แนวคิด ให้ H แทนหัว
ให้ T แทนก้อย
โยนเหรียญครั้งที่ 1 เหรียญจะออก 2 วิธี
โยนเหรียญครั้งที่ 2 เหรียญจะออก 2 วิธี
โยนเหรียญครั้งที่ 3 เหรียญจะออก 2 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่โยนเหรียญ 1 อัน จำนวน 3 ครั้ง = 2 X 2 X 2 = 8 ครั้ง
แสดงเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

ความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย

ความน่าจะเป็น

การทดลองสุ่ม

คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้น อาจจะเป็นอะไร

ได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอน ว่าในแต่ละครั้ง

ที่ทำการทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจากการทดลอง จะเป็นอะไรในบรรดา

ผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านั้น เช่น

• การโยนเหรียญซึ่งมีผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ 2 แบบ คือหัวหรือก้อย

เมื่อโยนเหรียญ ให้ดีก็จะไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ล่วงหน้า
ว่าจะออกหัวหรือก้อย

การทดลองสุ่มแต่ละครั้ง จะมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเสมอและอาจจะ
มีได้แตกต่างกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดเหล่านั้นมีอะไรบ้าง หาได้จากการ

แจงนับ เช่น

• โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น
คือ หัว หรือ ก้อย
• โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น
คือ 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6

ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มกรณีใดกรณีหนึ่ง
เรียกผลลัพธ์ในกรณีที่สนใจจากการทดลองสุ่มนั้นว่า เหตุการณ์

ในการทดลองสุ่มนี้สามารถนำไปใช้ในการช่วยเลือกตัดสินใจ
กระทำสิ่งใดสิ่งหนึ่ง เพื่อให้เกิดผลที่พึงพอใจต่อตนเองมากที่สุด

เหตุการณ์

คือ ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น
ได้จากการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างที่ 1 จากการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง
จงตอบคำถามต่อไปนี้

1) ผลรวมของแต้มลูกเต๋าเป็น 7
2) ผลของการทอดลูกเต๋าครั้งแรกเป็น 1
3) เหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน



วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก
พร้อมกัน 1 ครั้ง คือ
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4,1 ), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

1) ผลรวมของแต้มลูกเต๋าเป็น 7
ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) และ (6, 1)

2) ผลของการทอดลูกเต๋าครั้งแรกเป็น 1
ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) และ (1, 6)

3) เหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน
ผลลัพธ์ที่เราสนใจนั้น ได้แก่ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) และ (6, 6)

ตัวอย่างที่ 2 โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง พร้อมกัน
จงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้

1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ
2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ
3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ
4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3 เหรียญ




วิธีทำ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ
1 ครั้ง พร้อมกัน อาจใช้แผนภาพต้นไม้ ดังนี้

จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มมี 8 แบบ
คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH หรือ TTT

1) เหตุการณ์ที่จะออกหัว 2 เหรียญ มีผลลัพธ์ 3 แบบ
คือ HHT, HTH, และ THH
2) เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 เหรียญ มีผลลัพธ์ 7 แบบ
คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT และ TTH
3) เหตุการณ์ที่จะออกก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ มีผลลัพธ์ 4 แบบ
คือ HTT, THT, TTH และ TTT
4) เหตุการณ์ที่จะออกหัวทั้ง 3 เหรียญ หรือได้ก้อยทั้ง 3 เหรียญ
มีผลลัพธ์ 2 แบบ คือ HHH และ TTT

แฟกทอเรียล

การคำนวณโดยใช้กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ จะพบว่า
คำตอบเกิดจากการคูณของจำนวนเต็มบวกชุดหนึ่ง ซึ่งถ้าคำตอบ
เกิดจากการคูณของจำนวน เต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เช่น 1•2•3•4•5
หรือ 6•5•4•3•2•1 จำนวนเหล่านี้เราสามารถใช้สัญลักษณ์ แฟกทอเรียล
เขียนแทนได้

บทนิยาม ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบกแล้ว ผลคูณของจำนวนเต็มบวก


ตั้งแต่ 1 ถึง n ดังนี้ 1•2•3• … •n เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n!

อ่านว่า แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟกทอเรียล

ตัวอย่างเช่น


1! = 1 2! = 2•1 = 2

3! = 3•2•1 = 6 4! = 4•3•2•1 = 24

5! = 5•4•3•2•1 = 120 6! = 6•5•4•3•2•1 = 720

7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5,040

∟หมายเหตุ สัญลักษณ์ n! สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่ง คือ n




กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

ในชีวิตประจำวันของมนุษย์เรามักจะเกี่ยวข้องกับการทำนาย

อนาคตเสมอ เช่น การทำนายลมฟ้า อากาศ ทำนายเกี่ยวกับการ

แข่งขันฟุตบอล เป็นต้น การศึกษาความน่าจะเป็นนั้นเกิดขี้นประมาณ

ศตวรรษที่ 17 เมื่อนักพนันชื่อ Cevaalier de Mere ได้ถามปัญหา

ปาสคาล (Blaise Pascal) และปาสคาลได้ส่งปัญหานี้ไปให้ แฟร์มาสต์

(Pierre de Fermat) และทั้งสองได้ศึกษาปัญหา และเริ่มสร้างทฤษฎี

ต่าง ๆ ขึ้น การศึกษาเรื่อง ความน่าจะเป็นนี้ จะช่วยให้นักเรียน

สามารถเดาเหตุการณ์ ได้อย่างมีหลักมีเกณฑ์ช่วยในการตัดสินใจได้

ถูกต้องมากยิ่งขึ้น

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับจะมี 2 กฎหลัก ก็คือ
1. กฎการคูณ 2.กฎการบวก

กฎข้อที่ 1 ถ้างานอย่างหนึ่งสามารถทำให้เสร็จได้ใน k ขั้นตอน
โดยขั้นตอนที่ 1 มีวิธีการทำ n1 วิธี

ในแต่ละวิธีของการทำงานขั้นตอนที่ 1
มีวิธีการทำงานขั้นตอนที่ 2n2 วิธี

ในแต่ละวิธีของการทำงานขั้นตอนที่ 2
มีวิธีการทำงานขั้นตอนที่ 3n3 วิธี

.... ..... ......
ในแต่ละวิธีของการทำงานขั้นตอนที่ k-1
มีวิธีการทำขั้นตอนที่ k nk วิธี
แล้วจำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1*n2*n3*...*nk




กฎข้อที่ 2 ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีการทำงานมากกว่า 1 ทาง แต่สามารถ


เลือกวิธีการทำงานได้เพียงทางใดทางหนึ่งเท่านั้น
จำนวนวิธีที่จะทำงานนั้นเสร็จสิ้นเท่ากับผลบวกของจำนวนวิธี

ที่ทำงานเสร็จสิ้นในแต่ละทาง

วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น

สามารถเเบ่งได้เป็น 2 เเบบคือ

1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด
กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น

โดยหากจัดเรียงคราวละ r สิ่ง (โดย 1 ≤ r ≤ n) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา
จะได้ Pn.r วิธีโดย Pn,r = n!

(n - r)!

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่เเตกต่างกันทั้งหมด
1. มีหนังสือที่เเตกต่างกัน 7 เล่ม ต้องการนำหนังสือมา 4 เล่ม
เพื่อจัดเรียงเป็นเเถวบนชั้นจะจัดได้กี่วิธี

วิธีทำ

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด
กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่งนั้นหาวิธีที่เเตกต่างกันทั้งหมดนั้น

โดยหากจัดเรียงคราวละ nk กลุ่ม (โดย 1 ≤ r ≤ n) โดยของใน
เเต่ละกลุ่มนั้นล้วนเป็นของเหมือนกัน *จำเเนกเป็นกลุ่มๆ* จำนวนวิธีที่

จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่มนั้นกับของ n สิ่งนั่นคือ
วิธีที่จะเรียงสับเปลี่ยนกลุ่ม n สิ่ง = n!

n1!n2!n3!....nk!

ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่ไม่เเตกต่างกันทั้งหมด
2. มีลูกบอกทั้งหมด 6 ลูก เป็นสีดำ 1 ลูก สีขาว 1 ลูก สีเทา 1 ลูก
สีฟ้า 3 ลูก หากต้องการเลือกลูกบอล 4 ลูก มาจัดเรียงเป็นเเถวตรง
ได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ

วิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลม

การนำสิ่งของที่ต่างๆ กัน n สิ่ง มาจัดเรียงเป็นวงกลม ทั้ง n สิ่ง

จำนวนวิธีที่จะจัดได้ทั้งหมด เท่ากับ (n – 1)! วิธี

ตัวอย่างที่ 1 มีคน 7 คน จะจัดคนทั้ง 7 คนนี้ นั่งรอบโต๊ะกลม
เพื่อรับประทานอาหารได้กี่วิธี

วิธีทำ จากกฎการจัดเรียงแบบวงกลมจะได้ว่า
สามารถจัดคน 7 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้ = (7–1)! วิธี
= 6! วิธี
= 720 วิธี




ตัวอย่างที่ 2 มีชาย 3 คน หญิง 3 คน ถ้าจัดให้คนทั้ง 6 คนนี้
นั่งรอบโต๊ะกลมจะทาได้กี่วิธี ถ้าชายและหญิงต้องนั่งสลับที่กันคนต่อคน

วิธีทำ จากโจทย์สามารถเขียนรูปเพื่อความสะดวกในการหาวิธี
และกำหนดการนั่งได้ ดังนี้
กำหนดให้ ชายคนหนึ่ง เป็นที่นั่งคงที่ ส่วนที่เหลือก็นำมาคิดเหมือนกับการ

จัดเรียงแบบเส้นตรง จะได้ ญ ช ญ ช ญ ( เพราะชายหญิงจะต้องสลับกัน )
ขั้นตอนที่ 1 สลับที่ ชาย 2 คน ได้ 2! วิธี
ขั้นตอนที่ 2 สลับที่ หญิง 3 คน ได้ 3! วิธี
สรุป จำนวนวิธีที่จะจัดให้นั่งได้ทั้งหมดเท่ากับ 2! × 3! = 2 × 6 = 12 วิธี

วิธีจัดหมู่

คือ วิธีการจัดสิ่งของที่แตกต่างกันออกเป็นกลุ่ม
โดยไม่คำนึงถึงอันดับ

สูตร C n,r =

โดย n คือ จำนวนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

R คือ จำนวนสิ่งของที่เลือกมาจัดหมู่

ตัวอย่างที่ 1


C 10,2 = == = 45
C 6,3 = ==



= 20

ตัวอย่างที่ 2
ในงานเลี้ยงวันเกิดของนาย A มีคนมางาน 20 คน ถ้า 2 คน
จับมือกัน 1 ครั้ง จะจับมือกันได้คนละกี่ครั้ง

วิธีทำ จำนวนคนในงานวันเกิด A มี 20 คน (n=20)
2 คนจับมือกัน 1 ครั้ง (r=2)

C 20,2 = =
=

= = 190

ตัวอย่างที่ 3
เลือกคณะกรรมการ 9 คน เลือกนักเรียนชาย 5 คนจาก 20 คน
เลือกนักเรียนหญิง 4 คนจาก 15 คน จะหาวิธีการเลือก
คณะกรรมการชุดนี้ได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1


C 20,5 = =

= = 15,504 วิธี

ขั้นที่ 2

C 15,4 =
==

= 1,335 วิธี




เลือกนักเรียนชายและหญิง 15,504 + 1,335 = 16,839 วิธี
ตอบ หาวิธีการเลือกคณะกรรมการชุดนี้ได้ 16,839 วิธี

ทฤษฎีบททวินาม

ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงสูตรของการกระจาย ( x + y )2
เมื่อ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

พิจารณาการกระจายต่อไปนี้

( x + y )1 = x + y
(x + y )2 = x2 + 2xy + y2
( x + y )3 = x3 +3x2 y + 3xy2 y3
( x + y )4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4
(x + y )5 = x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 +5xy4 + y5

พิจารณา (x + y )n = (x + y)(x + y)… ( x + y ) = n วงเล็บ


ในการกระจายเลือก x และ y อย่างใดอย่างหนึ่งของแต่ละวงเล็บ

นำมาคูณกันแล้วนำผลคูณ
ที่ได้มาบวกกัน เช่นเลือก y จาก 2 วงเล็บ และเลือก x จาก n – 2
วงเล็บที่เหลือจะได้พจน์ xn – 2 y2 ดังนั้น แต่ละพจน์ของการกระจาย
( x + y )n อยู่ในรูป xn – r yr เมื่อ r {0,1,2,..., n}


เนื่องจาก xn – r yr ประกอบด้วย x จำนวน n – r ตัว


และ y จำนวน r ตัว ดังนั้น พจน์ xn – r yr มีทั้งหมด

พจน์ นั่นคือ สัมประสิทธิ์ของ xn – r yr เท่ากับ
การกระจาย ( x + y )n สรุปเป็นทฤษฏีบทได้ดังนี้

1 ) (x+4)6

วิธีทำส.ป.ส.ของ(a+b)6 คือ 1 6 15

2 ) 20 15 6 1


(x + 4)6 = 1(x6)(40) + 6(x5)(41) + 15(x4)(42) + 20(x3)(43) +

15(x2)(44) + 6(x1)(45) + 1(x0)(46)

= x6 + 24x5 + 240x4 + 1280x3 + 3840x2 + 6144x + 4096

เลขยกกำลัง
ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย

เเลลขขยยกกกกำำลลัังงคคืืออออะะไไรร??

เลขยกกำลัง คือ การเขียนตัวเลขที่มีการคูณซ้ำหลาย ๆ ครั้ง
ในรูปแบบย่อ ให้สามารถอ่านได้เข้าใจได้ง่ายขึ้นและไม่สับสน
จึงเขียนในรูปแบบของ เลขยกกำลัง โดยมีส่วนประกอบทั้งหมด 2 ส่วน
คือ ฐานของเลขยกกำลัง และ เลขชี้กำลัง

เเลลขขยยกกกกำำลลัังง ((EExxppoonneennttiiaall))

1. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
2. รากที่ ของจำนวนจริงและจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
3. การหาผลบวก ผลต่าง ของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
4. การหา ผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
5. การประมาณค่าของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์
6. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

สมบัติ
ของ

เลขยก
กำลัง

การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน

การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิยมเขียนแทนได้ด้วยรูป Ax10n
เมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 16,000,000 = 1.6×107

และทำนองเดียวกันการเขียนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยๆก็สามารถเขียนใน

รูป Ax10n ได้เช่นเดียวกัน แต่ n จะเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น 0.000016

= 1.6×10-5

หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10n เมื่อ 1≤A<10 และ n

เป็นจำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้พิจารณาว่าจุดทศนิยมมีการเลื่อน

ตำแหน่งไปทางซ้ายหรือขวากี่ตำแหน่ง ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลัง

จะเป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็นลบ

เช่น 75000.0=7.5×104
0.000075 = 7.5×10-5

หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวา n ตำแหน่ง เลขชี้กำลัง

ของ 10 จะลดลง n ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย n ตำแหน่ง

เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่มขึ้น n

สสรรุุปป

เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง

ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และ

แทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็น

เลขชี้กำลัง(an) หรือจะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa) อีกทั้ง

วิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังใน

แต่ละประเภทด้วย

ความสัมพันธ์และฟังก์ชั่น
ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย

ความสัมพันธ์

ความหมายของความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ในทางคณิตศาสตร์ มีความคล้ายคลึงกับ
ความสัมพันธ์ในชีวิตจริง คือเป็นการแสดงความเกี่ยวของกันของสองสิ่ง
ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า “คู่อันดับ”

นิยาม
คู่อันดับ คือ การนำสิ่ง 2สิ่งมาเขียนคู่กันโดยคำนึงถึงลำดับด้วย

ซึ่งเขียนได้ดังนี้

• คู่อันดับ A, B เขียนแทนด้วย (A, B) โดยเรียก A ว่า สมาชิก
ตัวหน้าของคู่อันดับ และเรียก B ว่า สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ
เช่น (โตเกียว, ญี่ปุ่น)

(มกราคม, 31)
(แบงค์, จอย)
(99, 38)

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

พิจารณาจากความหมายของความสัมพันธ์ คือ คู่อันดับ ซึ่งหมายถึง
การที่นำเอาคู่อันดับตัวหน้าและคู่อันดับตัวหลังจากสองเซต เช่น
เซตคู่อันดับจำนวนจริงทั้งคู่

โดยที่เซตของสมาชิกตัวหน้าทั้งหมด คือ โดเมน
เซตของสมาชิกตัวหลังทั้งหมด คือ เรนจ์

ตัวอย่าง
ความสัมพันธ์ { (1,3) , (1,4) , (2,5) , (0,9) } จะเห็นว่า สมาชิกตัว


หน้าทั้งหมด คือ 0 , 1 , 2 จะเรียกทั้งหมดว่า “โดเมน”

ดังนั้น เซตของความสัมพันธ์ จึงมีโดเมน เป็น { 0, 1, 2 }
ในทางเดียวกัน สมาชิกตัวหลังทั้งหมด คือ 3, 4, 5, 9
ก็จะเรียกทั้งหมดว่า “เรนจ์

ดังนั้น เซตของความสัมพันธ์นี้จึงมีเรนจ์เป็น { 3, 4, 5, 9 }
ซึ่งใช้สัญลักษณ์แทนได้ดังนี้

• โดเมน ของความสัมพันธ์ (r) คือ เรนจ์ ของความสัมพันธ์ (r) คือ Rr

หลักการหาโดเมน คือ จัดรูปสมการให้อยู่ในรูป y = x
จากนั้นให้พิจารณาว่า

1. ใต้รูทห้ามติดลบ
2. ตัวส่วนห้ามเป็น 0

การหาโดเมน

ตัวอย่างโจทย์ กำหนดให้หาโดเมนของ เนื่องจากสมการ
จัดรูปมาในรูปที่ต้องการหาโดเมน ซึ่งจะเห็นว่ามีรูท แต่ไม่มีเศษส่วน
ดังนั้น จะมีข้อจำกัดเดียวคือ “ใต้รูทห้ามติดลบ”

จะได้ x - 5 ≥ 0
x≥5

∝ดังนั้น โดเมน คือ Dr = [5, )

การหาเรนจ์

เนื่องจาก เรนจ์ คือค่า y ดังนั้น ต้องจัดรูป x =y
ซึ่งสามารถแทนค่า y ได้ โดยมีข้อจำกัดสองข้อเหมือนการหาโดเมน คือ
1. ใต้รูทห้ามติดลบ
2. ส่วนห้ามเป็น 0

ตัวอย่างโจทย์ y = x + 5 ต้องจัดรูปสมการให้เป็นรูป x = y
ดังนั้นต้องย้ายข้างสมการ
จะได้ว่า x = y – 5

ผผลลคูคณูณคคาาร์รท์ีทเีซเีซยียนน

นิยาม
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งกำลังดำเนินการกับเซต

หลายเซต ได้ผลเป็นเซต (เซตผลคูณ) นั้นคือสำหรับเซต A และ เซต B

ผลคูณคาร์ทีเซียน A x B เป็นเซตของทุกคู่อันดับ (a, b) ที่ และ

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียน คือจัตุรัสคาร์ทีเซียน
ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตาราง

ได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ เซตของแถว กับ เซตของหลัก
ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน แถว × หลักเซลล์ของตารางจะประกอบด้วย
คู่อันดับในรูปแบบ (ค่าของแถว, ค่าของหลัก)

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต n เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล n มิติ

โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณ

คาร์ทีเซียน

คคววาามมสสััมมพพัันนธธ์์จจาากก AA ไไปป BB หหรรืืออจจาากก AA ไไปป AA

นิยาม
r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ

r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A ก็ต่อเมื่อ
โดยความสัมพันธ์นี้เรียกว่า “ความสัมพันธ์ในเซต A”
**จำนวน r = 2 n(A x B)

ตัวผกผันของความสัมพันธ์
หรืออินเวอร์สของความสัมพันธ์

บทนิยาม
ตัวผกผันของความสัมพันธ์ หรืออินเวอร์สของความสัมพันธ์ (r)

คือความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้า (x)
และสมาชิกตัวหลัง (Y) ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

r-1 แทนตัวผกผันของความสัมพันธ์หรืออินเวอร์สของความสัมพันธ์


การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี

ดังนี้

วิธีที่ 1 สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม

∈ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) R × R | y = 3x – 1}
∴ ∈r-1 = {(y, x) R × R | y = 3x – 1}

วิธีที่ 2 สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y
และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม

∈ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) R × R | y = 3x – 1}
∴ ∈r-1 = {(x, y) R × R | x = 3y – 1}

สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B

1.r-1 เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A
2.D r = R r-1 และ R r = D r-1

ฟังก์ชัน

บทนิยาม
ฟังก์ชัน คือ เซตของคู่อันดับ ซึ่งคู่กันดับสองคู่อันดับใดๆ ถ้ามี


สมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเหมือนกัน
เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทั้งหมดเรียกว่า โดเมน


ของฟังก์ชัน
เชตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมด เรียกว่า เรนจ์


ของฟังก์ชัน
สัญลักษณ์แทน

ฟังก์ชัน f
โดเมน Df
เรนจ์ Rf
ตัวอย่าง พิจารณาจากแผนภาพการจับคู่บุคคล กับความสูง

จากแผนภาพ เห็นได้ว่า แต่ละบุคคลจะมีความสูงได้เพียง
ค่าเดียว และสามารถเขียนเซตคู่อันดับได้ดังนี้
{ (ตะวัน, 170), (ข้าวปั้ น, 170), (ภูผา, 170), (ทิวา, 175), (ต้นกล้า,

175) }
เซตคู่อันดับ = ฟังก์ชัน เนื่องจากสมาชิกตัวหน้า Df จับคู่กับสมาชิก

ตัวหลัง Rf แค่ตัวเดียว

ในทางกลับกัน พิจารณาแผนภาพการจับคู่บุคคลกับความสูง ภาพที่2

จะเห็นได้ว่า มีการกำหนดความสูงให้ค่าหนึ่งมีบุคคลมากกว่า

หนึ่งคนที่มีความสูงนั้น สามารถเขียนเช็ตคู่อันดับได้ดังนี้

{ (170, ตะวัน), (170, ข้าวปั้ น), (170, ภูผา), (175, ทิวา), (175, ต้น

กล้า) }

เซตคู่อันดับ = ฟังก์ชัน เนื่องจากสมาชิกตัวหน้า Df จับคู่กับสมาชิก

ตัวหลัง Rf มากกว่าหนึ่งตัว

2.ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
f(x) = ax+b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง โดยกราฟของฟังก์ชัน
เชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง

ตัวอย่าง 2) f(x) = 2x+1
1) f(x) = x

3.ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง (quadratic function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ใน

รูป f(x) = ax2 +bx +c เมื่อ a,b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ
a ≠ 0 ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองขึ้นอยู่กับ a,bและ c

โดยเมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกหรือจำนวนจริงลบ จะทำให้กราฟ

เป็นเส้นโค้งหงายขึ้นหรือคว่ำลง ตามลำดับ ดังรูปทั้ง2

จากทั้งสองรูปจะเห็นว่า ถ้า a > 0 กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น
a < 0 กราฟเป็นเส้นโค้งค่ำลง

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองมีชื่อเรียกว่า พาราโบลา
(Parabola)

จุดยอด (vertex) ของพาราโบลา คือ จุดสูงสุด
หรือจุดต่ำสุดของพาราโบลา

ในกรณีที่ฟังก์ชันกำลังสองเขียนในรูป f(x) = ax2 +bx +c เมื่อ

a ≠ 0 การหาจุดสูงสุดหรือต่ำจุด ทำได้โดยจัดรูปสมการให้อยู่ในรูป

f(x) = a(x - h2) +k โดยอาศัยการจัดบางส่วนของสมการให้อยู่ใน

รูปกำลังสองสมบรูณ์ เพื่อให้หาจุดยอดของกราฟ หรือจุด (k, h)

ได้ง่ายขึ้น

4.ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง
และโดเมนถูกแบ่งออกเป็นช่วงย่อยมากกว่าหนึ่งช่วง
โดยค่าของฟังก์ชันในแต่ละช่วงย่อยเป็นค่าคงตัว เรียกว่า ฟังก์ชัน

ขั้นบันได (Step function) กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะคล้าย

ขั้นบันได
ตัวอย่าง
ฟังก์ชันและกราฟแสดงอัตราค่าบริการในการส่งจดหมายในไทย

ให้ f(x) แทนอัตราค่าบริการในการส่งจดหมายในไทย (บาท)
เมื่อ x แทนน้ำหนักของจดหมาย (กรัม)
จะเขียนฟังก์ชัน f(x) ได้ดังนี้

เขียนกราฟของฟังก์ชัน f ได้ดังนี้

5.ฟังก์ชั่นเอกซ์โพเนนเซียล

ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax เมื่อ a > 0 และ a 1 เรียกว่า ฟังก์ชัน

เอกโพเนนเชียล (exponential function)
ตัวอย่าง
แทน x ใน f(x) = 2x ด้วย -3, -2, -1, 0, 1, 2 และ 3 จะได้คู่อันดับซึ่ง

เป็นสมาชิกของฟังก์ชัน f ดังตาราง

เขียนกราฟของคู่อันดับในตารางได้ดังรูป



และเมื่อให้ x เป็นจำนวนจริง จะเขียนกราฟของ f(x) = 2x ได้ดังนี้