Ron Larson_ Bruce Edwards - Cálculo. II-(2016) 10ED

A40 Respuestas a los problemas con numeración impar

35 225 49. y
4
11. xy dy dx 2

00 y = cos x
1
53 225
4
xy dx dy

00

2 2x y 15 x
13. 1 x x2 y2 dy dx ln ππ
2
22

2 y y y2 dx dy 4 2 y y2 dx dy 1 ln 5
1 2 2 2
1 x2 y 2 x2 1 arccos y sen2 x dx dy 1 2 2 1
3
1 4 x2 6 sen x 1
5 e 1 2 57. 25,645.24
15. 2y dy dx 00

0 4x 51. 2 53. 8 55.
3
4 4y
6 59. Ver “Definición de integral doble” en la página 976. La doble
2y dx dy 5
integral de una función f (x, y) 0 sobre la región de integración
3 4y

3 25 y2 produce el volumen de dicha región.

17. x dx dy 25 61. No; 6 es el valor más grande posible. 63. Demostración; 1
5
0 4y 3 7
65. Demostración; 27 67. 400; 272
4 3x 4 5 25 x2
1 1 y2 1 x2 y2 dx dy
x dy dx x dy dx 25
69. Falso. V 8
00 40

19. 4 21. 4 23. 3 25. 1 00
8
1x 71. R: x2 y2 9 73. 1 1 e
2
27. xy dy dx 1
75. Problema Putnam A2, 1989
00 8

1x 2 Sección 14.3 (página 991)
3
29. 2 1 x2 dy dx

00 1. Rectangular 3. Polar

2 4 x2 y dy dx 16 5. La región R es un semicírculo de radio 8. Se puede describir
3
31. x en coordenadas polares como

00

2 1 x 12 R r, : 0 r 8, 0 .

33. 2 2x x2 y2 dy dx 7. R r, : 4 r 8, 0 2

00 9. 4 11. 0

2 4 x2

35. 4 x2 y2 dy dx ππ
22
00

2 2 2y 12

37. 4y x2 2y2 dx dy

0 2 2y 12

39. 81 2 41. 1.2315 43. Demostración 0 0
12 4
45. y

y = 2x

1

1 13. 5 5 6 15. 9 8 3 2 32
2
π π
2 2

x 0.221
11
2 0

1 12 123 0

e x2 dx dy 1 e 1 4 12

0 y2

47. y

3 x2 + y2 = 4

1 17. a3 3 19. 4 21. 243 10 23. 2
3

−3 −1 1 x 25. 2 sen 1 27. 4 22 42
3
r2 dr d
−1 3

00

−3 22 sen dr d 16
3
29. r2 cos
2 4 x2 4 y2 dy dx 64
00

4 2 3 2 1 250
31. r dr d 33. 35.
2 4 x2 3 64 8 3
01

37. 64 3 4 39. 2 4 2 3 2 41. 9
9

43. 3 2 45.

Respuestas a los problemas con numeración impar A41

47. π 49. π 23. m k 1 5e 4, e4 13 8 e6 7
2 2 8 e4 5 , 27 e6 5e2

r = 3 cos θ

r = 2 cos θ 25. m k 3, 81 3 40 , 0

27. x 3b 3 29. x a 2 31. x a 2

0 0 y 3h 3 y a2 y a2
3 1

r=1 r = 1 + cos θ 33. Ix 32k 3 35. Ix 16k
Iy 16k 3 Iy 512k 5
3 I0 16k I0 592k 5
x 2 33 x 4 15 5

3 2 y 2 63 y 62
51.
π b b2 x2 k b2 b2
2 4
37. 2k x
r = 4 sen 3θ 4 23 a 2 dy dx 4a2
3
b0

a a2 x2 a 2 dy dx ka5 56 15

39. ky y
a 0 60
0
1 34 41. L 43. L 45. Ver las definiciones en la página 996.
3 2
r=2

47. Las respuestas varían. 49. Demostración

53. Sea R una región acotada por las gráficas de r g1 y Sección 14.5 (página 1007)
r g2 y las rectas a y b. Cuando se usan coorde-
nadas polares para evaluar una doble integral sobre R, R se 1. 24 3. 12 5. 1 4 17 ln 4 17
2
puede particionar en pequeños sectores polares.
4
55. Las regiones r-simple tienen límites fijos para y límites 7. 27 31 31 8 9. 2 1 11. 2

variables para r. 13. 2 a a a2 b2 15. 48 14 17. 20

Las regiones -simple tienen límites variables para y límites 1x 5 4x2 dy dx 27 5 5 1.3183
12
fijos para r. 19.

00

57. 486,788 59. 1.2858 61. 56.051 3 9 x2

63. Falso. Sea f r, r 1 y sea R el sector donde 0 r 6 21. 1 4x2 4y2 dy dx

y0 . 3 9 x2

65. (a) 2 (b) 2 6 37 37 1 117.3187

4y 11

67. (a) f dx dy 23. 1 4x2 4y2 dy dx 1.8616

2y 3 00
4 10
2 3x 4 3 3x 44
25. 1 e2xy x2 y2 dy dx
(b) f dy dx f dy dx f dy dx
00
2 32 2x 4 3x 2 4 x2

(c) 3 4 csc 27. 1 e 2x dy dx
69. 4
fr dr d 2 4 x2

4 2 csc 29. Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas en la

Sección 14.4 (página 1000) región cerrada R en el plano xy, entonces el área de la superfi-

cie S dada por z f x, y sobre R es

1. m 4 3. m 1 1 fx x, y 2 fy x, y 2 dA.
8
R
5. (a) m ka2, a 2, a 2 (b) m ka3 2, a 2, 2a 3
31. No. El tamaño y la forma de la gráfica eran iguales, sólo la
(c) m ka3 2, 2a 3, a 2 posición cambia. Por lo cual, el área de la superficie no aumenta.

7. (a) m ka2 2, a 3, 2a 3 (b) m ka3 3, 3a 8, 3a 4 33. (a) 812 609 cm3 (b) 100 609 cm2 35. 16

(c) m ka3 6, a 2, 3a 4 Sección 14.6 (página 1017)

9. (a) a 5, a (b) a 5, 2a 1. 18 3. 1 5. 15 2 1 1 e 7. 40 9. 324
2 2 2 3 11. V 10 3 5

2 a2 15a 75 a 13. V 5 5x 5xy
(c) ,
dz dy dx
3 a 10 2
00 0

11. m k 4, 2 3, 8 15 13. m 30k, 14 5, 4 5 6 6 y2 6 x2 y2

15. m k e 1 , e 1 1, e 4 1 dz dx dy

6 6 y2 0

17. m 21556k, 0, 16 19. m 2kL, L2, 8 15. V 4 16 x2 80 x2 y2
7
dz dy dx

4 16 x2 x2 y2 2

21. m k a2 4 2a 4a 2 2 17. 256 19. 4 a3 3 21. 256 23. 10
,, 15 15
83 3

A42 Respuestas a los problemas con numeración impar

25. z 43. x será mayor que 2, y y y z no cambiarán.

11 z 45. x y z no cambiarán, y y será mayor que 0.

dy dz dx 47. 0, 0, 3h 4 49. 0, 0, 3 51. 5, 6, 5
2 4
1 00 1

53. (a) Ix 2ka5 3 55. (a) Ix 256k

Iy 2ka5 3 Iy 512k 3

−1 y Iz 2ka5 3 Iz 256k
1
(b) Ix ka8 8 (b) Ix 2048k 3
x
Iy ka8 8 Iy 1024k 3
27. z
3 12 4z 3 12 4z 3x 6 Iz ka8 8 Iz 2048k 3
3
dy dx dz
57. Demostración

00 0 1 1 1x

59. x2 y2 x2 y2 z2 dz dy dx

1 10

23 y 2 4 x2 4 x2 y2

4 61. (a) m kz dz dy dx
x
2 4 x2 0
29.
z (b) x y 0, por simetría.

1 x 1 y2 z 12 4 x2 4 x2 y2
m2
dz dy dx kz2 dz dy dx

1 000 4 x2 0

2 4 x2 4 x2 y2

(c) Iz kz x2 y2 dz dy dx

2 4 x2 0

1 63. 13 65. 3
x 3 2

1 67. Ver la “Definición de integral triple” en la página 1009 y el
y
teorema 14.4, “Evaluación mediante integrales iteradas” en la
1x3 113
página 1010.
31. xyz dz dy dx, xyz dz dx dy,

000 0y0 69. (a) 71. Q: 3z2 y2 2x2 1; 4 6 45 0.684

13x 31x 73. Problema Putnam B1, 1965

xyz dy dz dx, xyz dy dx dz,

000 000 Sección 14.7 (página 1025)

311 131

xyz dx dy dz, xyz dx dz dy 1. 27 3. 52 5. 8 7. e4 3
9. 45 11. z
00y 00y
4
3 9 x2 4 3 9 y2 4 z
3
33. xyz dz dy dx, xyz dz dx dy, 3

3 9 x2 0 9 y2 0

34 9 x2 43 9 x2 2
30
xyz dy dz dx, xyz dy dx dz, 1

9 x2 03 9 x2 1 4y
2
43 9 y2 34 9 y2 3 3 x4
03 30 x y
xyz dx dy dz, xyz dx dz dy 64 3 3

9 y2 9 y2

1 1 z 1 y2 1 1 y 1 y2 1 e9 4

35. dx dy dz, dx dz dy,

00 0 00 0 2 24

1 2z z2 1 z 11 1 x 13. Cilíndricas: r2 cos dz dr d 0
cos
1 dy dx dz 1 dy dx dz, 0 0 r2 cos

00 0 0 2z z2 0 1x 2 arctan 1 2 4 sec
1 1 1x
11 1z Esféricas: 3 sen2 dd d
dd d
1 dy dz dx 1 dy dz dx, 00 0
22 cot csc
0 1 1x0 00 0

1 1x 1y 3 sen2 0

dz dy dx 0 arctan 1 2 0

00 0 2 a a a2 r2

37. m 8k, x 3 39. m 128k 3, z 1 15. Cilíndricas: r2 cos dz dr d 0
2
bbb 0 0a

41. m k xy dz dy dx Esféricas: 4 2 2a cos 0

000 3 sen2 cos d d d

bbb 0 0 a sec

Myz k x2y dz dy dx 17. 2a3 9 (3 4 19. 16 21. 2a3 9 3 4

000 23. 48k 25. r02h 3 27. 0, 0, h 5

bbb 2 r0 h r0 r r0

Mxz k xy2 dz dy dx 29. Iz 4k r3 dz dr d 3mr02 10

000 0 00

bbb 31. Demostración 33. 9 2 35. 16 2 37. k a 4

Mxy k xyz dz dy dx 39. 0, 0, 3r 8 41. k 192

000

Respuestas a los problemas con numeración impar A43

43. Rectangulares a cilíndricas: Cilíndricas a rectangulares: 11. y

r2 x2 y2 x r cos 5
4
tan y x y r sen 3
2
zz zz 1

2 g2 h2 r cos , r sen x

45. f r cos , r sen , z r dz dr d −1 12345
−1
1 g1 h1 r cos , r sen

47. (a) r constante: cilindro circular recto respecto al eje z

constante: plano paralelo al eje z 45 54

z constante: plano paralelo al plano xy dx dy dy dx 8

(b) constante: esfera 21 12

constante: plano paralelo al eje z 13. y

10

constante: cono 8

49. Problema Putnam A1, 2006 6

Sección 14.8 (página 1032) 4

2

1. 1 3. 1 2v 5. 1 7. e2u x
2
−4 −2 2468
−2
9. v

48 8 y2

dy dx dx dy 16

(0, 1) 0 2x 00
1
24 42

15. 4xy dy dx 4xy dx dy 64 17. 21
29. 9 2
(1, 0) 00 00
1
u 19. 40 21. 40 23. 13.67 C
3 3

11. v 25. h3 6 ln 2 1 2 27. 81
5

31. π
2
1
r=3

(1, 0) (3, 0)

u

2

−1 0
(1, −1)
(3, −1) 12

−2

13. 3xy dA 2 3 1 2x 2 93 r = 2 + 2 cos θ
2
R 3xy dy dx 3 cos 2
33. (a) r
23 1 x 4

4 3 1 2x 2 83 4 x 164
9
3xy dy dx 3xy dy dx

2 3 1 2x 4 3 1 2x

15. 8 17. 36 19. e 1 2 e 2 ln 8 0.9798 21. 96
3
100 2
23. 12 e4 1 25. 9 27. 5 a 5 2 29. Uno

y v −6 6

31. (a)

b 1 −4

R S u (b) 9 (c) 3 3 16 2 20 20.392
x 1
352k, 35, 5 4k, 3425, 64
a 35. m 2 37. m 55

(b) ab (c) ab 39. Ix ka2b3 6
Iy ka4b 4
33. Ver la “Definición del jacobiano” en la página 1027. 35. u2v I0 2ka2b3 3ka4b 12
x a2
37. uv 39. 2 sen 41. Problema Putnam A2, 1994

Ejercicios de repaso para el capítulo 14 yb3

(página 1034) 41. 101 101 1 43. 1 37 37 1
6 6

1. 4x5 3. 29 5. 36 7. 3 9. 16 45. (a) 30,415.74 pies3 (b) 2081.53pies2 47. 56
6 2

A44 Respuestas a los problemas con numeración impar

49. abc a2 b2 c2 51. 8 53. 36 9. 3 11. y
3 5
z 2
55. z 4
y 1
1 4
−2 −1 x
−4 4x −1 12

1 −2
y
−4
1
13. z
x
2
1 1 1 x2 1

dz dy dx

0x0

57. m 5030k, x 5 59. 12 3 22 1 12 y
2 61. 2

3

63. 3 13 4 ln 3 13 48.995 65. 16 x
2 73. 81
67. 9 69. sen2 cos2 15. 2xi 4yj 17. 10x 3y i 3x 2y j
71. 5 ln 5 3 ln 3 2 2.751 19. 6yz i 6xz j 6xyk 21. 2xye x 2i e x 2j k

23. xy x y y ln x y i xy x y x ln x y j

Solución de problemas (página 1037) 25. Conservativo 27. Conservativo 29. Conservativo

1. 8 2 2 3. 1 5. (a)–(g) Demostraciones 31. No conservativo 33. Conservativo: f x, y xy K
3 35. Conservativo: f x, y x2 y K

7. Los resultados no son iguales. El teorema de Fubini no es válido, 37. No conservativo 39. No conservativo
41. Conservativo: f x, y ex cos y K
ya que f no es continua en la región 0 x 1, 43. 4i j 3k 45. 2k 47. 2x x2

0 y 1. y2 k

9. 4 11. Si a, k > 0, entonces 1 ka2 o a 1 k.

13. Las respuestas varían. 49. cos y z i cos z x j cos x y k

15. A mayor ángulo entre el plano dado y el plano xy, mayor será 51. Conservativo: f x, y, z 1 x2y2z2 K
2
el área de la superficie. Por lo que z2 < z1 < z4 < z3.
17. z 53. No conservativo 55. Conservativo: f x, y, z xz y K

57. 2x 4y 59. cos x seny 2z 61. 4 63. 0

(3, 3, 6) 6 65. Ver la “Definición de un campo vectorial” en la página 1040.
5 Algunos ejemplos físicos de campos vectoriales son el campo
de velocidades, los campos gravitacionales y los campos de
4 fuerzas eléctricas.

(0, 0, 0) 67. Ver la “Definición del rotacional de un campo vectorial” en la
página 1046.
32
x (0, 6, 0) 69. 9x j 2yk 71. z j yk 73. 3z 2x 75. 0

(3, 3, 0) 6 77. (a)–(h) Demostraciones 79. Verdadero
y

3 2x 6 x 18 81. Falso. El rotacional de f sólo es significativo para los campos
vectoriales donde la dirección está implicada.
dy dz dx
83. M 3mxy x2 y2 5 2
00 x M y 3mx x2 4y2 x2
N m 2y2 x2 x2 y2 5 2
Capítulo 15 N x 3mx x2 4y2 x2 y2 7 2
y2 7 2
Sección 15.1 (página 1049)

1. d 2. c 3. a 4. b Por lo tanto, N x M y y F es conservativo.

5. 2 7. 3 y Sección 15.2 (página 1061)

y z
4
1. r t ti t j, 0t1
2 ti 2 tj, 1 t 2

1 x t i, 0 t 3
−4
3. r t 3i t 3 j, 3 t 6
−4
2 4y 9 t i 3j, 6 t 9
x

12 t j, 9 t 12

5. r t 3 cos t i 3 sen tj, 0 t 2
7. 20 9. 5 2 (b) 2 2 3
11. (a) C: r t t i t j, 0 t 1

Respuestas a los problemas con numeración impar A45

13. (a) C: r t cos t i sen t j, 0 t 2 (b) 2 77. 1750 pie-lb

15. (a) C: r t t i, 0 t 1 (b) 1 2 79. Ver la “Definición de integral de línea” en la página 1052 y
el teorema 15.4. “Evaluación de una integral de línea como
t i, 0 t 1 integral definida” en la página 1053.

17. (a) C: r t 2 t i t 1 j, 1 t 2 81. z3, z1, z2, z4; Cuanto mayor sea la altura de la superficie sobre
la curva y x, mayor será el área de la superficie lateral.
3 t j, 2t3
1
(b) 19 1 2
6 83. Falso. xy ds 2 t2 dt

t i, 0 t 1 C0

19. (a) C: r t i t k, 0 t 1 (b) 23 85. Falso. Las orientaciones son diferentes. 87. 12
6

i tj k, 0 t 1 Sección 15.3 (página 1072)

21. 8 5 1 4 2 3 795.7 23. 2 2

25. k 12 41 41 27 27. 1 29. 1 31. 9 1. (a) 1 11
2 4 (b) 15
t2 2t 4 dt
33. Aproximadamente 249.49 35. 66 37. 0 39. 10 2 3. (a) 2 sen4 cos
0
41. Positivo 43. Cero 2 sec3 d d 11
45. (a) 2336; La orientación es de izquierda a derecha, por lo que el 15
sen2 cos
valor es positivo. 1.317
0
(b) 2336; La orientación es de derecha a izquierda, por lo que 3
el valor es negativo.
sec tan2

0

47. F t 2ti tj 3t t1 1.317
(b) dt
r t i 2j
02t 1 2t

Ft r t 2t 2t 0 5. Conservativo 7. No conservativo

9. Conservativo 11. (a) 1 (b) 1

F dr 0 13. (a) 0 (b) 1 (c) 1
3 2
C
t2 2 j 15. (a) 64 (b) 0 (c) 0 (d) 0 17. (a) 64 (b) 64
49. F t t3 2t2 i t 2t2 t3 3 3
r t i 2tj
F t r t t3 2t2 19. (a) 32 (b) 32 21. (a) 2 (b) 17 23. (a) 0 (b) 0
3 6

0 25. 72 27. 1 29. 0 31. (a) 2 (b) 2 (c) 2

33. 11 35. 30,366 37. 0

F dr 0 50

C 39. (a) dr i j dt ⇒ 175 dt 8750 pie-lb
(b) dr
51. 1010 53. 190 55. 25 57. 63 59. 11 0
3 2 6
50

61. 316 63. 5h 65. 1 67. h 4 2 5 ln 2 5 i 1 50 t j dt ⇒ 7 50 t dt
3 2 25

69. 1 25 5 11 0
120
8750 pie-lb

71. (a) 12 37.70 cm2 41. Ver el teorema 15.5 “Teorema fundamental de las integrales

(b) 12 5 7.54 cm3 de línea” en la página 1066.

(c) z 43. (a) 2 (b) 2 (c) 2 (d) 0

5 45. Sí, porque obtener el trabajo requerido de un punto a otro es

4 independiente de la trayectoria que se siga.

47. Falso. Sería verdadero si F fuera conservativo

49. Verdadero 51. Demostración

−3 53. (a) Verdadero (b) (c)

3 3y (d) 2 ; no contradice el teorema 15.7 ya que F no es
x
z continuo en 0, 0 en R encerrada por C.
73. Ix Iy a3 3
75. (a) 2 (e) arctan x 1 y i x y2
1 y x 1 x y2j
1 y 2

Sección 15.4 (página 1081)

1. 1 3. 0 5. Aproximadamente 19.99 7. 9 9. 56
30 2

11. 4 13. 0 15. 0 17. 1 19. 32
3 12

21. 23. 225 25. a2 27. 9
2 2

3 3 y 29. Ver el teorema 15.8 en la página 1075. 31. Demostración
4 4

x 33. 0, 8 35. 185, 8 37. 3 a2 2
5 21

(b) 9 cm2 28.274 cm2 39. 3 3 2 41. (a) 51 2 (b) 243 2

(c) Volumen 3 y2 1 y2 y2 43. 46
49 1 dy
2 29
9
0

27 2 42.412 cm3

A46 Respuestas a los problemas con numeración impar

45. F dr M dx N dy NM dA 0; (c) z

CC Rx y 9

I 2 donde C es una circunferencia que contiene al origen.

47–51. Demostraciones

Sección 15.5 (página 1091) 3
3
x y
−9
1. e 2. f 3. b 4. a 5. d 6. c (d) z
7. y 2z 0 9. x2 z2 4
Cilindro 12
Plano
z
z

33
2

−4 345 y 5y 12
y
5 x5 x 12
x −3

− 12

11. z 13. z El radio del círculo generador que es girado con respecto al eje
z es b, y su centro está a a unidades del eje de revolución.
39 55. 400 m2
6 57. z

2

1

6 369 y 4π
9
x

2 2y
x

15. z 2π

5 −4 −2 2 y
4 4 4
3
x

−3 2 3 13 2 ln 3 13 2 ln 2
−2 2
−1 1 2 3
−3 −2 59. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: Sean
2
y x 2 u 5 cos v cos 3 u
3
x y 2 u 5 cos v sen 3 u

17. el paraboloide es reflejado (invertido) a través del plano xy. z 5u 2 u sen v

19. La altura del paraboloide aumenta de 4 a 9. donde uy v.

21. r u, v ui vj vk Sección 15.6 (página 1104)

23. r u, v 12u cos vi uj 31u sen vk, u 0, 0 v 2 o 1. 12 2 3. 2 5. 27 3 8
r x, y xi 4x2 9y2 j zk

25. r u, v 5 cos ui 5 sen uj vk 7. 391 17 1 240 9. Aproximadamente 11.47

27. r u, v ui vj u2k 11. 364 13. 12 5 15. 8 17. 3
3 3 21. 486 23.
29. r u, v v cos ui v sen uj 4k, 0 v 3 4
19. 32 29. 384 31. 0 3 25. 3 2
u u
31. x u, y 2 cos v, z 2 sen v, 0 u 6, 0 v 2 27. 20 33. Demostración

33. x sen u cos v, y sen u sen v, z u 35. 2 a3h 37. 64

0 u ,0 v 2 39. Ver el teorema 15.10 “Evaluación de una integral de superficie”
en la página 1094.
35. x y 2z 0 37. 4y 3z 12 39. 8 2
41. Ver “Definición de integral de flujo” en la página 1100; ver el
41. 2 ab 43. ab2 a2 1
teorema 15.11, “Evaluación de una integral de flujo”, en la
45. 6 17 17 1 36.177
página 1100.

47. Ver la “Definición de superficie paramétrica” en la página 1084. 43. (a) z

49–51. Demostraciones 4

53. (a) z (b) z −6
−6

4 4
−6
x6
−6
6y
−4

6 6y 6 6y (b) No. Si un vector normal en un punto P en la superficie se
x x mueve una vez alrededor de la banda de Möbius, apuntará en
−4 la dirección opuesta.

Respuestas a los problemas con numeración impar A47

(c) z 51. z

4 6

−2 y −4 2 2
2 −2 4
x2 4 y
x
−4

Circunferencia 53. (a) z
(d) Construcción
(e) Una banda con una doble torcedura es dos veces más larga 3
−4
que la banda de Möbius.
−4

Sección 15.7 (página 1112) 4 4y
x −2

−3

1. a 4 3. 18 5. 7. 3a 4 9. 0 (b) z

11. 108 13. 0 15. 18 e4 5 17. 0 3

19. Ver el teorema 15.12, “Teorema de la divergencia” en la −4 −3 −4
página 1106. 234
3
21–27. Demostraciones 4 2
x
−1 y
−2
Sección 15.8 (página 1119) −3

1. xz ez i yz 1 j 2k (c) z

3. z x 2ey2 z2 i yzj 2ye x2 y2k 5. 18 7. 0 −4 −3 3
3 2 −2 −3 −4
9. 12 11. 2 13. 0 15. 8 17. a5 4 19. 0
3 4
x
21. Ver el teorema 15.13, “Teorema de Stokes” en la página 1114. 234 y

23. Demostración 25. Problema Putnam A5, 1987 −2

−3

Ejercicios de repaso para el capítulo 15 (d) z
(página 1120)
−4 −3 3
1. x2 5 −4

z 1 −2

3 234 y
4
3 x −2
2
−3

2 Circunferencia
3 (e) Aproximadamente 14.436

x 4y (f) Aproximadamente 4.269
55. z
3. 4x y i xj 2zk
2
5. Conservativo: f x, y yx K −3
7. Conservativo: f x, y
9. No conservativo 1 x2y2 1 x3 1 y3 K −3
2 3 3

11. Conservativo: f x, y, z x yz K 3 3y
x −2
13. (a) div F 2x 2xy x2 (b) rot F 2xz j y2k
0 59. 2a6 5 61. Demostración
15. (a) div F y sen x x cos y xy 57. 66

(b) rot F xz i yz j Solución de problemas (página 1123)

17. (a) div F 1 1. (a) 25 2 6 k (b) 25 2 6 k
2xy 2yz

1 x2

(b) rot F z2 i y2k 3. Ix 13 3 27 32 2 ;

19. (a) div F 2x 2y 1 (b) rot F 2x 2y k Iy 13 3 27 32 2 ;
x2 y2 x2 y2
Iz 18 13
21. (a) 125 (b) 2 23. 6 25. (a) 18 (b) 18
3 5. (a)–(d) Demostraciones 7. 3a2

27. 9a2 5 29. 5 3 19 cos 6 13.446 9. (a) 1 (b) 13 (c) 5
15 2
31. 1 33. 2 2 35. 36 37. 4
3 11. Demostración 13. (a)–(b) Demostraciones

39. 8 3 42 7.085 41. 6
3

43. (a) 15 (b) 15 (c) 15

45. 1 47. 0 49. 0



Índice Antiderivada, 244 Arquímedes (287-212 a.C.), 256
de f con respecto a x, 245 espiral de, 717, 733
A de una función vectorial, 828 principio de, 506
determinación por integración por
Abel, Niels Henrik (1802-1829), 228 partes, 515 Asíntota(s) horizontal(es), 196
Abierta, esfera, 886 general, 245 de una hipérbola, 689
Abierta, región R, 880, 886 notación para la, 245 inclinada, 208
representación de la, 244 vertical, 85
continua en, 884, 886
Abierto, disco, 880 Antiderivada general, 245 Astroide, 145
Abierto, intervalo Apogeo, 694
Aproximación B
continuo en, 70
derivable en, 99 cuadratura de Gauss de dos puntos, Banda de Moebius, 1093
Absoluta, convergencia, 622 315 Barrow, Isaac (1630-1677), 144
Absoluto, máximo de una función, 162 Base(s), 321, 356
de dos variables, 936 de Stirling, 517
Absoluto, mínimo de una función, 162 lineal, 231, 902 de la función exponencial natural,
de dos variables, 936 Padé, 395 356
Absoluto, valor, 50 polinomial, 636
derivada que implica, 324 recta tangente, 231 de un logaritmo natural, 321
función, 22 Aproximación a la cuadratura de Gauss, diferente de e
Acción capilar, 1008
Aceleración, 124, 833, 857 dos-puntos, 315 derivadas de, 358
componente centrípeta de la, 846 Aproximación de raíces función exponencial, 356
componentes tangencial y normal de función logarítmica, 357
método de bisección, 78 Básicos, límites, 59
la, 845, 846, 859 método de Newton, 225 Bernoulli, ecuación de, 430
vector, 845, 859 teorema del valor intermedio, 77 solución general de, 430
Acotado(a), Aproximación polinomial, 636 Bernoulli, James (1654-1705), 702
por arriba, 591 centrada en c, 636 Bernoulli, John (1667-1748), 542
por debajo, 591 desarrollada alrededor de c, 636 Bessel, función de, 655
región, 936 Arandela, 449 Bifolia, 145
sucesión, 591 Arco cosecante, función, 366 Binomial, serie, 669
sucesión monótonamente, 591 Arco coseno, función, 366 Binormal, vector, 849, 866
Acumulación, función de, 283 Arco cotangente, función, 366 Bisección, método de, 78
Afelio, 694, 741 Arco secante, función, 366 Bose-Einstein, condensado de, 74
Agnesi, Maria Gaetana (1718-1799), 198 Arco seno, función, 366 Bosquejo de una curva, resumen de, 206
Ajuste de integrandos a las reglas básicas, serie para, 670 Breteuil, Emilie de (1706-1749), 478
Arco tangente, función, 366 Bruja de Agnesi, 126, 145, 198, 823
511 serie para, 670
Algebraicas, función(es), 24, 25, 371 Área C
de la superficie 1003
derivadas de las, 135 de un rectángulo, 256 Cambio de variables, 295
Algebraicas, propiedades del producto de una región en el plano, 260 a forma polar, 988
de una región entre dos curvas, 437 guía para hacer, 296
cruz, 776 de una superficie de revolución, 471 para ecuaciones homogéneas, 423
Algunos límites básicos, 59 para integrales definidas, 298
Alternantes, series, 619 en coordenadas polares, 730 para integrales dobles, 1029
en forma paramétrica, 710 usado un jacobiano, 1027
armónica, 620, 622, 624 de una superficie paramétrica,
geométrica, 619 1088 Cambio en x, 97
Alternativa, forma determinada por el método exhaustivo, Cambio en y, 97
de la derivada, 101 256 Cambio neto, teorema de, 286
de la derivada direccional, 918 en coordenadas polares, 725 Campo
del teorema de Green, 1080 en el plano xy, 1003
del teorema del valor medio, 173 integral de línea para, 1078 de fuerza central, 1041
regla de integración de logaritmos, problema, 45, 46 de fuerzas eléctricas, 1041
Área de la superficie lateral sobre una direccional, 251, 319, 400
328 curva, 1063 fuerza, 1040
Angular, rapidez, 999 Área superficial gravitacional, 1041
Ángulo de un sólido, 1002, 1003 inverso del cuadrado, 1041
de una superficie paramétrica, 1088 pendiente, 251, 301, 319, 400
de incidencia, 684 Armónica, ecuación de, 1123 vectorial, 1040
de inclinación de un plano, 931 Armónica, serie, 607
de reflexión, 684 alternante, 620, 622, 624 sobre una región plana R, 1040
entre dos planos, 785 sobre una región sólida Q, 1040
entre dos vectores distintos de cero, 767 velocidad, 1040, 1041
Ángulos directores de un vector, 769
Antiderivación, 245
de una función compuesta, 292

I2 Índice Charles, Jacques (1746-1823), 74 Común, función logarítmica, 357
Charles, ley de, 74 Con hoyuelo, caracol, 721
Campo de fuerzas, 1040 Cicloide, 701, 705 Cóncava hacia abajo, 187
central, 1041 Cóncava hacia arriba, 187
eléctricas, 1041 acortada, 704 Concavidad, 187
trabajo, 1056 prolata, 708
Cicloide acortada, 704 criterio de, 188
Campo del inverso del cuadrado, 1041 Cilíndrica, superficie, 794 Condición suficiente para ser derivable, 901
Campo direccional, 251, 319, 400 Cilíndricas, coordenadas Condición(es) inicial(es), 249, 399
Campo vectorial, 1040 conversión a esféricas, 807 Condicionalmente convergente, serie, 622
conversión a rectangular, 804 Conectada, región, 1068
circulación de, 1117 Cilíndricas, sistema de coordenadas, 804 Cónica(s), 682
componente normal de, 1100 polo de, 804
conservativo, 1043, 1065 Cilindro, 794 círculo, 682
curva generatriz de, 794 clasificación por excentricidad, 734
criterio para, 1044, 1047 directriz de, 794 degenerada, 682
continuo, 1040 ecuaciones de, 794 directriz de, 734
divergencia de, 1048 rectas generatrices de, 794 ecuaciones polares de, 735
fuente, 1111 recto, 794 elipse, 682, 685
función potencial para, 1043 Cinética, energía, 1071 excentricidad, 734
incompresible, 1111 Circulación de F alrededor de CF, 1117 foco de, 734
integral de línea de, 1056 Círculo, 145, 682, 721 hipérbola, 682, 689
irrotacional, 1046 Círculo de curvatura, 159, 856 parábola, 682, 683
libre de divergencia, 1048 Cisoide, 145 Conjunto de Cantor, 679
rotación de, 1117 de Diocles, 746 Cono elíptico, 795, 797
rotacional de, 1046 Clasificación de cónicas por excentrici- Conservación de desigualdad, 272
sobre una región plana R, 1040 Conservativo, campo de fuerzas, 1043,
sobre una región sólida Q, 1040 dad, 734
solenoidal, 1048 Cobb-Douglas, función de producción 1065
sumidero, 1111 criterio para, 1044, 1047
Capacidad de carga, 417, 419 de, 873 independencia de trayectoria, 1068
Caracol, 721 Cociente de dos funciones, 25 Constante
con hoyuelo, 721 Cociente, diferencia, 20, 97 de Euler, 611
con lazo interno, 721 Cociente, regla del, 120, 135 de integración, 245
convexo, 721 fuerza, 477
Cardioide, 720, 721 forma diferencial, 234 función, 24
Catenaria, 386 Coeficiente, 24 gravitacional, 479
Cauchy-Riemann, ecuaciones diferencia- regla, 106, 135
de correlación, 31
les, 914 principal, 24 de resorte, 34
Cauchy-Schwarz, desigualdad, 774 Colineal, 17 regla del múltiplo, 109, 135
Cauchy, Augustin-Louis (1789-1857), 75 Combinaciones de funciones, 25
Cavalieri, teorema de, 456 Completar el cuadrado, 377 forma diferencial, 234
Centrado en c, 636 Completitud, 77, 591 término de una función polinomial, 24
Central, campo de fuerza, 1041 Componente centrípeta de la aceleración, Constante de proporcionalidad, 408
Centro Continua, 70
846 campo de fuerzas, 1040
de curvatura, 856 Componente de la aceleración compuesto en forma, 360
de gravedad, 488, 489 en c, 59, 70
centrípeta, 846 en el intervalo cerrado [a, b], 73
de un sistema bidimensional, 489 normal, 845, 846, 859 en la región abierta R, 884, 886
de un sistema unidimensional, 488 tangencial, 845, 846, 859 en todas partes, 70
de masa, 487, 488, 489 Componente horizontal de un vector, 753 en un intervalo, 820
de un sistema bidimensional, 489 Componente vertical de un vector, 753 en un intervalo abierto (a, b), 70
de un sistema unidimensional, 487, Componentes de un vector, 770 en un punto, 820, 884, 886
a lo largo de v, 770 función de dos variables, 884
488 en el plano, 749 por la izquierda y por la derecha, 73
de una lámina plana, 490 en la dirección de v, 771 Continuamente derivable, 466
ortogonal a v, 770 Continuidad
de densidad variable, 996 Componentes, funciones, 816 de una función compuesta, 75
de una región sólida, 1014 Composición de funciones, 25, 869
de una elipse, 685 Compuesta, función, 25 de dos variables, 885
de una hipérbola, 689 antiderivación de, 292 de una función vectorial, 820
de una serie de potencias, 647 continuidad de, 75 derivabilidad implica, 102
Centroide, 491 de dos variables, 869 en un intervalo cerrado, 73
de una región simple, 996 implica integrabilidad, 268
Cero absoluto, 74 continuidad de, 885 propiedades de, 75
Cero factorial, 587 derivada de, 129 y derivabilidad de funciones inversas,
Cerrada(o) límite de, 61
curva, 1070 Compuesto, continuamente, 360 341
disco, 880 Computadora, gráficas con, 874
región R, 880
superficie, 1106

Índice I3

Contorno, líneas de, 871 Cosecante, función serie geométrica, 597
Converge, 227, 585, 595 derivada de, 122, 135 series p, 607
Convergencia integral de, 333 para funciones creciente y decreciente,
inversa de, 366 177
absoluta, 622 derivada de, 369 para funciones par e impar, 26
condicional, 622 para simetría, 5
criterios para series Coseno, función, 22 primera derivada, 179
derivada de, 111, 135 recta horizontal, 339
criterio de comparación al límite, 614 integral de, 333 recta vertical, 22
criterio de comparación directa, 612 inversa de, 366 segunda derivada, 191
criterio de la integral, 605 derivada de, 369 Crítico(s), punto(s)
criterio de la raíz, 630 series para, 670 de una función de dos variables, 937
criterio del cociente, 627 los extremos relativos ocurren sólo en,
guía, 631 Cosenos directores de un vector, 769 937
resumen, 632 Cota inferior de sumatoria, 254 Crítico(s), número(s)
serie alternante, criterio para, 619 Cota inferior de una sucesión, 591 de una función, 164
serie geométrica, 597 Cota superior, los extremos relativos ocurren sólo en
series p, 607 los, 164
de series de Taylor, 666 de sumatoria, 254 Cruciforme, 145
de series p, 607 de una sucesión, 591 Cuadrática, función, 24
de una integral impropia con disconti- mínima, 591 Cuádrica, superficie, 795
nuidades infinitas, 571 Cota superior mínima, 591 cono elíptico, 795, 797
de una serie, 595 Cotangente, función elipsoide, 795, 796
de una serie de potencias, 648 derivada de, 122, 135 forma estándar de las ecuaciones de,
de una serie geométrica, 597 integral de, 333 795, 796, 797
de una sucesión, 585 inversa de, 366 forma general de la ecuación de, 795
del método de Newton, 227, 228 hiperboloide de dos hojas, 795, 796
intervalo de, 648, 652 derivada de, 369 hiperboloide de una hoja, 795, 796
límites de integración, 568 Coulomb, ley de, 479, 1041 paraboloide elíptico, 795, 797
punto final, 650 Creciente, función, 177 paraboloide hiperbólico, 795, 797
radio de, 648, 652 Cuartica, forma de pera, 159
Convergencia condicional, 622 criterio para, 177 Cuaterniones, 750
Conversión de coordenadas Crecimiento exponencial y modelo de Cúbica, función, 24
cilíndricas a esféricas, 807 Cubicación, función de, 22
cilíndricas a rectangulares, 804 decaimiento, 408 Cuerda focal de una parábola, 683
esféricas a cilíndricas, 807 constante de proporcionalidad, Curva
esféricas a rectangulares, 807 área de la superficie lateral sobre,
polares a rectangulares, 716 408 1063
rectangulares a cilíndricas, 804 valor inicial, 408 astroide, 145
rectangulares a esféricas, 807 Crecimiento logístico, función, 361 bifolia, 145
rectangulares a polares, 716 Criterio de comparación cerrada, 1070
Convexo, caracol, 721 directa, 612 cisoide, 145
Coordenadas polares, 715 límite, 614 cruciforme, 145
área de una superficie de revolución para integrales impropias, 576 de nivel, 871
en, 730 Criterio de comparación directa, 612 ecuación natural para, 865
área en, 725 Criterio de comparación en el límite, en el espacio, 816
conversión a rectangulares, 716 equipotencial, 418
fórmula de distancia en, 722 614 folio de Descartes, 145, 733
Coordenadas rectangulares Criterio de la integral, 605 isotérmica, 418
conversión a cilíndricas, 804 Criterio de la primera derivada, 179 kappa, 144, 146
conversión a esféricas, 807 Criterio de la raíz, 630 lemniscata, 40, 143, 146, 721
conversión a polares, 716 Criterio de la recta horizontal, 339 logística, 419, 550
curvatura en, 856, 859 Criterio del cociente, 627 nariz de bala, 137
Coordenadas rectangulares, conversión a Criterio(s) orientación de, 1051
polares, 716 persecución, 388
Copernicus, Nicolaus (1473-1543), 685 coeficiente principal, 24 plana, 696, 816
Cornu, espiral, 745, 865 comparación, para integrales impro- recta tangente a, 842
Correlación, coeficiente de, 31 rectificable, 466
Corrimiento de una gráfica pias, 576 rosa, 718, 721
horizontal, 23 conservativo, campo de fuerzas en el simple, 1075
vertical, 23 suave, 466, 701, 826, 841, 1051
Corrimiento horizontal de una gráfica de espacio, 1047 en partes, 701, 1051
una función, 23 conservativo, campo de fuerzas en suave por partes, 701, 1051
Corrimiento vertical de una gráfica de una
función, 23 el plano, 1044
para concavidad, 188
para convergencia

cociente, 627
directa, comparación, 612
guía, 631
integral, 605
límite, comparación al, 614
raíz, 630
resumen, 632
serie alternante, 619

I4 Índice Derivable, continuamente, 466 de una función exponencial, de base a,
Derivable, función 358
Curva en el espacio, 816
longitud de arco de, 851 de dos variables, 901 de una función inversa, 341
momentos de inercia para, 1064 de tres variables, 902 de una función logarítmica, de base a,
suave, 1051 en el intervalo cerrado [a, b], 101
en un intervalo abierto (a, b), 99 358
Curva generatriz de un cilindro, 794 en una región R, 901 de una función vectorial, 824
Curva kappa, 144, 146 vectorial, 824
Curva nariz de bala, 137 Derivación, 99 de orden superior, 825
Curva polar, longitud de arco de, 729 aplicada a problemas de máximos y propiedades de, 826
Curvas famosas de una función, 99
mínimos, guía de solución, 216 diferencia, regla de la, 110, 135
astroide, 145 de series de potencias, 652 direccional, 915, 916, 923
bifolia, 145 de una función vectorial, 824 forma alternativa, 101
bruja de Agnesi, 126, 145, 198, 823 guía de, 141 forma paramétrica, 706
círculo, 145, 682, 721 logarítmica, 323 implícita, 141
cisoide, 145 numérica, 102 notación, 99
cruciforme, 145 parcial, 890 orden superior, 124
cuartica, forma de pera, 159 que implican funciones inversas hiper- parcial, 890
curva kappa, 144, 146 por la izquierda y por la derecha, 101
curva nariz de bala, 137 bólicas, 389 potencia simple, regla de, 107, 135
curva ocho, 159 reglas básicas para funciones elemen- potencia, regla de la, 107, 135
elipse rotada, 145 producto, regla del, 118, 135
folio de Descartes, 145, 733 tales, 371 que implican valor absoluto, 324
hipérbola rotada, 145 implícita, 140 regla de la cadena, 129, 130, 135
lemniscata, 40, 143, 146, 721 regla de la cadena, 912 derivación implícita, 912
mitad superior de círculo, 137 Derivación implícita, 140, 912 dos variables independientes, 909
parábola, 2, 145, 682, 683 guía para, 141 tres o más variables independientes,
serpentina, 126 regla de la cadena, 912
Curvatura, 854 Derivación, reglas básicas de, 371 910
centro de, 856 cadena, 129, 130, 135 una variable independiente, 907
círculo de, 159, 856 cociente, 120, 135 regla de la constante, 106, 135
en coordenadas rectangulares, 856, 859 constante, 106, 135 regla del múltiplo constante, 109, 135
fórmulas para, 855, 859 diferencia, 110, 135 regla general de potencia, 131, 135
radio de, 856 función cosecante, 122, 135 segunda, 124
relacionada con la aceleración y la función coseno, 111, 135 simplificación, 133
función cotangente, 122, 135 suma, regla de la, 110, 135
rapidez, 857 función secante, 122, 135 tercera, 124
Cúspides, 826 función seno, 111, 135 Derivadas parciales, 890
función tangente, 122, 135 de una función de dos variables, 890
D general, 135 de una función de tres o más variables,
general, potencia, 131, 135 893
d’Alembert, Jean Le Rond (1717-1783), múltiplo constante, 109, 135 de una superficie paramétrica, 1087
890 potencia, 107, 135 mezcladas, 894
para exponentes reales, 359 igualdad de, 895
Darboux, teorema de, 242 potencia simple, 107, 135 notación para, 891
Decaimiento exponencial, 408 producto, 118, 135 orden superior, 894
Decreciente, función, 177 resumen de, 135 primera, 890
suma, 110, 135 Desarrollo respecto a c, aproximación
criterio para, 177 Derivada(s) polinomial, 636
Definida recursivamente, sucesión, 584 cociente, regla del, 120, 135 Descartes, René (1596-1650), 2
Degenerada, cónica, 682 de funciones algebraicas, 135 Descomposición de N(x)/D(x) en fraccio-
de funciones hiperbólicas, 385 nes parciales, 543
intersección de dos rectas, 682 de funciones trigonométricas, 122, 135 Desigualdad
punto, 682 de funciones trigonométricas inversas, conservación de la, 272
recta, 682 369 de Cauchy-Schwarz, 774
Delta, I, I-vecindad, 880 de la función cosecante, 122, 135 de Napier, 336
Demanda, 18 de la función coseno, 111, 135 triángulo, 753
Densidad, 490 de la función cotangente, 122, 135 Desplazamiento de una partícula, 286, 287
Densidad de peso de fluidos, 497 de la función exponencial natural, 348 Dextrógira, orientación, 758
Densidad de probabilidad normal están- de la función logaritmo natural, 322 Día del juicio final, ecuación del, 433
de la función longitud de arco, 852 Diferencia de dos funciones, 25
dar, función, 349 de la función secante, 122, 135 Diferencia de dos vectores, 750
Densidad, función r, 994, 1014 de la función seno, 111, 135 Diferencia, cociente de, 20, 97
Dependiente, variable, 19 de la función tangente, 122, 135 Diferencia, regla de, 110, 135
de una función compuesta, 129 forma diferencial, 234
de una función de dos variables, 868
Derivabilidad

condición suficiente para, 901
implica continuidad, 102, 903
y continuidad de funciones inversas, 341
Derivable en x, 99

Índice I5

Diferencial, 232 Divergencia de un cilindro, 794
como una aproximación, 902 criterios para series de un plano en el espacio
de x, 232 criterio de comparación directa, 612
de y, 232 criterio de comparación en el límite, forma estándar, 784
función de dos variables, 900 614 forma general, 784
función de tres o más variables, 900 criterio de la integral, 605 de una elipse, 685
función de tres variables, 902 criterio de la raíz, 630 de una hipérbola, 689
criterio del cociente, 627 de una parábola, 683
Diferencial total, 900 criterio del término n-ésimo, 599 de una recta
Diferencial, ecuación, 245, 398 guía, 631 en el espacio, paramétrica, 783
resumen, 632 en el espacio, simétrica, 783
Bernoulli, ecuación de, 430 serie geométrica, 597 forma general, 14
Cauchy-Riemann, 914 series p, 607 forma pendiente-intersección, 13, 14
condición inicial, 249, 399 de un campo de fuerzas, 1048 forma punto-pendiente, 11, 14
día del Juicio Final, 433 y rotacional, 1048 horizontal, 14
Euler, método de, 402 de una integral impropia con disconti- resumen, 14
factor integrante, 424 nuidades infinitas, 571 vertical, 14
Gompertz, 433 de una serie, 595 día del Juicio Final, 433
homogénea, 423 de una sucesión, 585 general de segundo-grado, 682
límites de integración, 568 Gompertz, 433
cambio de variables, 423 gráfica de, 2
logística, 241, 419 Divergencia, campo de fuerzas libre de, paramétricas, 696, 1084
orden de, 398 1048 determinación, 700
primer orden lineal, 424 gráfica de, 696
separable, 415 Divergencia, teorema de la, 1080, 1106 primaria, 215, 216
separación de variables, 407, 415 Doble integral, 974, 975, 976 razón relacionada, 148
solución de, 398 secundaria, 216
solución general de, 245, 398 cambio de variables para, 1029 separable, 415
solución particular de, 249, 399 propiedades de, 976 solución, punto de, 2
solución singular de, 398 sobre R, 976 Ecuaciones polares de cónicas, 735
Diferencial, operador, 1046, 1048 Dominio Ecuaciones simétricas, recta en el espa-
laplaciano, 1123 de una función, 19 cio, 783
Dina, 477 Eje
Dirección de movimiento, 832 de dos variables, 868 conjugado, de una hipérbola, 689
Direccional, derivada, 915, 916 explícitamente definido, 21 de revolución, 446
de f en la dirección de u, 916, 923 de una función vectorial, 817 de una parábola, 683
de una función de tres variables, 923 de una serie de potencias, 648 mayor, de una elipse, 685
forma alternativa de, 918 factible, 215 menor, de una elipse, 685
Directriz implícito, 21 polar, 715
de un cilindro, 794 Dominio definido explícito, 21 transversal, de una hipérbola, 689
de una cónica, 734 Dominio implicado, 21 Eje conjugado de una hipérbola, 689
de una parábola, 683 Dos integrales definidas especiales, 271 Eje mayor de una elipse, 685
Dirichlet, función de, 51 Dos límites trigonométricos especiales, 65 Eje menor de una elipse, 685
Dirichlet, Peter Gustav (1805-1859), 51 Dos-puntos, aproximación a la cuadratura Eje transversal de una hipérbola, 689
Disco, 446, 880 de Gauss de, 315 Eje x
abierto, 880 momento con respecto al, de un siste-
cerrado, 880 E ma bidimensional, 489
método, 447 momento con respecto al, de una
e, el número, 321 lámina plana, 490
comparado con el de las capas, 459 límite que lo implica, 360 reflexión respecto al, 23
Discontinuidad, 71 simetría, 5
Ecuación básica obtenida en una descom- Eje y
infinita, 568 posición en fracciones parciales, 544 momento con respecto al, de un siste-
no removible, 71 ma bidimensional, 489
removible, 71 guía para resolver, 548 momento con respecto al, de una
Discontinuidad removible, 71 Ecuación estándar de lámina plana, 490
de una función de dos variables, 884 reflexión respecto al, 23
Disminución de rendimientos, punto de, una elipse, 685 simetría, 5
una esfera, 759 Eléctrico, campo de fuerza, 1041
223 una hipérbola, 689 Elemental(es) función(es), 24, 371
Distancia una parábola, 683 aproximación polinomial de, 636
Ecuación natural para una curva, 865 reglas de derivación básicas para, 371
dirigida, 489 Ecuación(es) serie de potencias para, 670
entre un punto y un plano, 788 armónica, 1123 Eliminación del parámetro, 698
entre un punto y una recta en el espa- básicas, 544

cio, 789 guía de solución, 548
total, viajada en [a, b], 287 de Bernoulli, 430
Distancia directa, 489 de cónicas, polares, 735
Distancia total viajada en [a, b], 287 de Laplace, 1123
Diverge, 585, 595 de plano tangente, 928

I6 Índice Especiales, gráficas polares, 721 Flujo, integral de, 1100
Espiral evaluación, 1100
Elipse, 682, 685
centro de, 685 cornu, 745, 865 Foco
ecuación estándar de, 685 de Arquímedes, 717, 733 de una cónica, 734
eje mayor de, 685 logarítmica, 733 de una elipse, 685
eje menor de, 685 Estándar, vector unitario, 753 de una hipérbola, 689
excentricidad de, 687 notación, 760 de una parábola, 683
focos de, 685 Estrategia para determinación de límites,
propiedad de reflexión de, 687 Folio de Descartes, 145, 733
rotada, 145 62 Forma de componentes de un vector en el
vértices de, 685 Estrictamente monótona, función, 178, 339
Estrofoide, 745 plano, 749
Elipsoide, 795, 796 Euler, Forma de determinante del producto
Emparedado, teorema del, 65
constante de, 611 vectorial, 775
para sucesiones, 587 método de, 402 Forma de una serie de potencias conver-
En todas partes continua, 70 Euler, Leonhard (1707-1783), 24
Energía Evaluación gente, 664
con integrales iteradas, 1010 Forma diferencial, 234
cinética, 1071 de un flujo integral, 1100
potencial, 1071 de una integral de línea como una de una integral de línea, 1059
Epicicloide, 704, 705, 709 Forma estándar de la ecuación de una
Épsilon-delta, e-d, definición de límite, 52 integral definida, 1053
Equilibrio, 487 de una superficie integral, 1094 elipse, 685
Equipotenciales Evaluar una función, 19 un plano en el espacio, 784
curvas, 418 Excentricidad, 734 una hipérbola, 689
líneas, 871 clasificación de cónicas por, 734 una parábola, 683
Equivalente de una elipse, 687 una superficie cuádrica, 795, 796, 797
condiciones, 1070 de una hipérbola, 690 Forma estándar de una ecuación diferen-
segmento de recta dirigido, 748 Existencia
Error de un límite, 73 cial de primer orden lineal, 424
en aproximar un polinomio de Taylor, de una función inversa, 339 Forma explícita de una función, 19, 140
teorema, 77, 162 Forma general
642 Expansión en fracciones continuas, 679
en la regla de Simpson, 309 Exponenciar, 347 de la ecuación de un plano en el
en la regla del trapecio, 309 Exponentes reales, regla de potencia de, 359 espacio, 784
en medición, 233 Extremos
de una función, 162, 936 de la ecuación de una recta, 14
error porcentual, 233 guía para determinación de, 165 de la ecuación de una superficie cuá-
error propagado, 233 punto final, 162
error relativo, 233 relativos, 163 drica, 795
Error porcentual, 233 Extremos relativos de una ecuación de segundo grado, 682
Error propagado, 233 criterio de la primera derivada para, 179 Forma implícita de una función, 19
Error relativo, 233 criterio de la segunda derivada para, 191 Forma paramétrica
Errores cuadrados, suma de, 946 criterio de segundas parciales para, 939 de la derivada, 706
Escalar, 748 de una función, 163, 936 de longitud de arco, 709
campo, 871 ocurren sólo en números críticos, 164 del área de una superficie de revolu-
cantidad, 748 ocurren sólo en puntos críticos, 937
multiplicación, 750, 760 ción, 710
múltiplo, 750 F Forma polar de pendiente, 719
producto de dos vectores, 766 Fórmula de distancia
Escalar, producto Factible, dominio, 215
de dos vectores, 766 Factor integrante, 424 en coordenadas polares, 722
forma de trabajo, 772 Factorial, 587 en el espacio, 759
propiedad conmutativa de, 766 Familia de funciones, 268 Fórmula del punto medio, 759
propiedad distributiva de, 766 Faraday, Michael (1791-1867), 1071 Fórmulas diferenciales, 234
propiedades de, 766 Fermat, Pierre de (1601-1665), 164 cociente, 234
proyección usando la, 771 Fibonacci, sucesión de, 594, 604 múltiplo constante, 234
Escape, velocidad de, 94 Fijo, plano, 862 producto, 234
Esfera, 759 Fijo, punto, 229 suma o diferencia, 234
abierta, 886 Finita, serie de Fourier, 532 Fourier, Joseph (1768-1830), 657
astroidal, 1093 Fluido(s) Fourier, series, finita, 532
ecuación estándar de, 759 Fracciones, parciales, 542
Esfera astroidal, 1093 densidades de peso de, 497 descomposición de N(x)/D(x), en, 543
Esféricas, sistema de coordenadas, 807 fuerza, 498 método de, 542
conversión a coordenadas cilíndricas, 807 presión, 497 Frenet-Serret, fórmulas, 866
conversión a coordenadas rectangula- Flujo de calor, 1103 Fresnel, función, 315
res, 807 Fricción, 858
Especiales de integración, fórmulas, 537 Fubini, teorema de, 978
para una integral triple, 1010
Fuente, 1111
Fuerza, 477
constante, 477
de fricción, 858
ejercida por un fluido, 498

Índice I7

resultante, 754 combinaciones de, 25 exponencial, 24
variable, 478 componente, 816 logarítmica, 24
Fuerza centrípeta, 850 composición de, 25, 869 trigonométrica, 24
Función de densidad de probabilidad compuesta, 25, 869 elevar al cuadrado, 22
cóncava hacia abajo, 187 entero más grande, 72
normal, 349 cóncava hacia arriba, 187 estrictamente monótona, 178, 339
Función definida implícitamente, 140 constante, 24 evaluar, 19
Función elevar al cuadrado, 22 continua, 70 exponencial natural, 346
Función exponencial, 24 continuamente derivable, 466 extremo de, 162
coseno, 22 extremo local de, 163
de base a, 356 creciente, 177 extremo relativo de, 163, 936
derivada de, 358 familia de, 268
criterio para, 177 forma explícita, 19, 140
natural, 346 crecimiento logístico, 361 forma implícita, 19
derivada de, 348 criterio de la recta vertical, 22 Fresnel, 315
propiedades de, 347 cuadrática, 24 Gamma, 566, 578
cúbica, 24 gráfica de, guía de análisis, 206
operaciones con, 347 cubicación, 22 Gudermannian, 396
reglas de integración, 350 de dos variables, 868 Heaviside, 39
series para, 670 hiperbólica, 383
Función logarítmica, 24, 318 continuidad de, 884 homogénea, 423, 913
común, 357 derivabilidad implica continuidad, 903 identidad, 22
de base a, 357 derivable, 901 impar, 26
derivada parcial de, 890 implícitamente definida, 140
derivada de, 358 diferencial de, 900 integrable, 268
natural, 318 diferencial total de, 900 integral del seno, 316
discontinuidad no removible de, 884 inversa, 337
derivada de, 322 discontinuidad removible de, 884 inversa hiperbólica, 387
propiedades de, 319 dominio de, 868 inversa trigonométrica, 366
Función mayor entero, 72 extremos relativos de, 936 límite de, 48
Función polinomial, 24, 60 gradiente de, 918 lineal, 24
coeficiente principal de, 24 gráfica de, 870 logarítmica, 318
de dos variables, 869 límite de, 881 a base a, 357
grado de, 24 máximo absoluto de, 936 logarítmica común, 357
límite de, 60 máximo de, 936 logarítmica natural, 318
raíz, 24 máximo relativo de, 936, 939 longitud de arco, 466, 467, 852
término constante de, 24 mínimo absoluto de, 936 máximo absoluto de, 162
Función potencial para un campo de mínimo de, 936 máximo global de, 162
fuerzas, 1043 mínimo relativo de, 936, 939 máximo local de, 163
Función raíz cuadrada, 22 punto crítico de, 937 máximo relativo de, 163, 936
Función secante rango de, 868 mínimo absoluto de, 162
derivada de, 122, 135 variable dependiente, 868 mínimo global de, 162
integral de, 333 variables independientes, 868 mínimo local de, 163
inversa de, 366 de exponencial a base a, 356 mínimo relativo de, 163, 936
derivada de, 369 de producción de Cobb-Douglas, 873 notación, 19
Función seno, 22 de tres variables número crítico de, 164
derivada de, 111, 135 continuidad de, 886 ortogonal, 532
integral de, 333 derivada direccional de, 923 par, 26
inversa de, 366 gradiente de, 923 paso, 72
derivada de, 369 de x y y, 868 polinomial, 24, 60, 869
series para, 670 decreciente, 177 posición, 32, 112, 837
Función seno, integral de, 316 criterio para, 177 potencial, 1043
Función tangente definida por series de potencias, pro- producto de, 25
derivada de, 122, 135 piedades de, 652 producto interno de dos, 532
integral de, 333 densidad, 994, 1014 pulso, 94
inversa de, 366 densidad de probabilidad normal pulso unitario, 94
derivada de, 369 estándar, 349 punto de inflexión, 189, 190
Función(es), 6, 19 derivable, 99, 101 que concuerda con todo pero no en un
aceleración, 124 derivada de, 99 punto, 62
acumulación, 283 diferencia de, 25 que implica un radical, límite de, 60
algebraica, 24, 25, 371 Dirichlet, 51 racional, 22, 25, 869
antiderivada de, 244 dominio de, 19 radio, 800
arco cosecante, 366 dominio factible de, 215 raíz cuadrada, 22
arco cotangente, 366 elemental, 24, 371
arco secante, 366 algebraica, 24, 25
arco seno, 366
arco tangente, 366
Bessel, 655
cociente de, 25

I8 Índice Gibbs, Josiah Willard (1839-1903), 1051 para determinar límites al infinito de
Giro, radio de, 999 funciones racionales, 198
raíz de, 26 Gompertz, ecuación de, 433
aproximación con el método de Grad, 918 para determinar un extremo en un
Newton, 225 Gradiente, 1040, 1043 intervalo cerrado, 165

rango de, 19 de una función de dos variables, 918 para determinar una función inversa, 339
real, 19 de una función de tres variables, 923 para determinar una serie de Taylor, 668
representación por serie de potencias, normal a curvas de nivel, 921 para evaluar integrales que implican
normal a superficies de nivel, 832
657 propiedades de, 919 secante y tangente, 527
Riemann, zeta de, 611 recuperar una función a partir de, 1047 para evaluar integrales que implican
seno, 22 Grado de una función polinomial, 24
signo, 82 Gráfica(s) seno y coseno, 524
suma de, 25 de ecuaciones paramétricas, 696 para hacer un cambio de variables, 296
suprayectiva, 21 de funciones hiperbólicas, 384 para integración, 331
transformación de una gráfica de, 23 de funciones inversas hiperbólicas, 388 para integración por partes, 515
de funciones trigonométricas inversas, para probar la convergencia o diver-
horizontal, corrimiento, 23
reflexión en la recta y = x, 338 367 gencia de series, 631
reflexión respecto al eje x, 23 de la función coseno, 22 para resolver la ecuación básica, 548
reflexión respecto al eje y, 23 de la función de cubicación, 22 para resolver problemas de razones
reflexión respecto al origen, 23 de la función elevar al cuadrado, 22
vertical, corrimiento, 23 de la función identidad, 22 relacionadas, 149
trascendental, 25, 371 de la función racional, 22 para resolver un problema de aplica-
trigonométrica, 24 de la función raíz cuadrada, 22
uno-a-uno, 21 de la función seno, 22 ción de máximos y mínimos, 216
valor absoluto, 22 de la función valor absoluto, 22 para utilizar el teorema fundamental
valor promedio de, 281, 982 de una ecuación, 2
valores extremos de, 162 de una función del cálculo, 278
variación de la aceleración, 160 de dos variables, 870
vectorial, 816 H
Funciones hiperbólicas, 383 guía para el análisis, 206
derivadas de, 385 transformación de, 23 Hamilton, William Rowan (1805-1865), 750
gráficas de, 384 intersección de, 4 Heaviside, función de, 39
identidades, 384 ortogonal, 146 Heaviside, Oliver (1850-1925), 39
integrales de, 385 polares, 717 Hélice, 817
inversas, 387 gráficas polares especiales, 721 Herón, fórmula de, 963
derivación que implica, 389 puntos de intersección, 727 Herschel, Caroline (1750-1848), 691
gráficas de, 388 simetría de, 5 Hipatia (370-415 d.C.), 682
integración que implica, 389 Gráficas polares, 717 Hipérbola, 682, 689
Funciones inversas hiperbólicas, 387 caracol con hoyuelo, 721
derivación que implica, 389 caracol con lazo interno, 721 asíntotas de, 689
gráficas de, 388 caracol convexo, 721 centro de, 689
integración que implica, 389 cardioide, 720, 721 ecuación estándar de, 689
Funciones reales f de una real variable x, 19 círculo, 721 eje conjugado de, 689
Funciones trigonométricas inversas, 366 curva rosa, 718, 721 eje transversal de, 689
derivadas de, 369 lemniscata, 721 excentricidad de, 690
gráficas de, 367 puntos de intersección, 727 focos de, 689
integrales que implican, 375 Gravitación universal, ley de Newton, rotada, 145
propiedades de, 368 479 vértices de, 689
Gravitacional Hiperbólicas, identidades, 384
G campo, 1041 Hiperbólico, paraboloide, 795, 797
constante, 479 Hiperboloide
Gabriel’s Horn, 574, 1086 Green, George (1793-1841), 1076 de dos hojas, 795, 796
Galilei, Galileo (1564-1642), 371 Green, teorema de, 1075 de una hoja, 795, 796
Galois, Evariste (1811-1832), 228 formas alternativas del, 1080 Hipocicloide, 705
Gamma, función, 566, 578 Gregory, James (1638-1675), 652 Homogénea de grado n, 423, 913
Gauss, Carl Friedrich (1777-1855), 255, Gudermann, función de, 396 Homogénea, ecuación diferencial, 423
Guía cambio de variables para, 423
1106 para analizar la gráfica de una función, Homogénea, función, 423, 913
Gauss, ley de, 1103 206 Hooke, ley de, 479
Gauss, teorema de, 1106 para derivación implícita, 141 Horizontal, asíntota, 196
General, ecuación de segundo-grado, 682 para determinar intervalos en los Horizontalmente simple, región de inte-
General, partición, 267 cuales una función está creciendo o
General, regla de la potencia decreciendo, 178 gración, 968
Huygens, Christian (1629-1795), 466
para derivación, 131, 135
para integración, 297 I
General, serie armónica, 607
Identidad, función, 22
Identidades, hiperbólicas, 384
Igualdad de derivadas parciales mezcla-

das, 895

Índice I9

Imagen de x bajo f, 19 Integrabilidad y continuidad, 268 con límites infinitos de integración, 568
Impar, función, 26 Integrable, función, 268, 976 convergencia de, 568
Integración divergencia de, 568
criterio para, 26
integración de, 300 cambio de variables, 295 criterio de comparación para, 576
Implícita, derivada, 141 guía para, 296 tipo especial, 574
Incidencia, ángulo de, 684 Integral indefinida, 245
Inclinación de un plano, ángulo de, 931 como un proceso de acumulación, 441 de una función vectorial, 828
Inclinada, asíntota, 208 conservación de la desigualdad, 272 patrón de reconocimiento, 282
Incompresible, 1048, 1111 constante de, 245 Integral(es)
Incremento de z, 900 de funciones pares e impares, 300 de flujo, 1100
Incrementos de x y y, 900 de series de potencias, 652 de funciones hiperbólicas, 385
Indefinida, integración, 245 de una función vectorial, 828 de las seis funciones trigonométricas
Independencia de trayectoria y campo de guía para, 331
indefinida, 245 básicas, 333
fuerzas conservativo, 1068 de línea, 1052
Independiente de la trayectoria, 1068 reconocimiento de patrón, 292 de p(x) = Ax2 + Bx + C, 307
Indeterminada, forma, 63, 86, 197, 211, límite inferior de, 268 definida, 268
límite superior de, 268
557, 560 propiedad aditiva de intervalos, 271 dos especiales, 271
Índice de sumatoria, 254 que implican funciones inversas hiper- propiedades de, 272
Inercia, momento de, 998, 1014 doble, 974, 975, 976
bólicas, 389 elíptica, 311
polar, 998 región R de, 967 impropias, 568
Infinita, serie (o series), 595 regla de log, 328 indefinidas, 245
reglas básicas de, 246, 378, 508 iteradas, 967
absolutamente convergente, 622 reglas para funciones exponenciales, 350 que implican funciones trigonométri-
alternante, 619 Integración con fórmulas cas inversas, 375
especial, 537 que implican secante y tangente, guía
armónica, 620, 622 fórmulas de reducción, 553 para evaluación, 527
geométrica, 619 resumen de, 1118 que implican seno y coseno, guía para
residuo, 621 Integración con tablas, 551 evaluación, 524
armónica, 607 Integración por partes, 515 simple, 976
alternante, 620, 622, 624 guía para, 515 superficie, 1094
condicionalmente convergente, 622 método tabular, 520 trigonométrica, 524
convergencia de, 595 resumen de integrales comunes usan- triple, 1009
convergente, límite del término valor medio, teorema del, 280
n-ésimo, 599 do, 520 Integrando(s), procedimientos para ajustar
divergencia de, 595 Integración, reglas con las reglas básicas, 511
criterio del término n-ésimo para, 599 Intersección(es), 4
geométrica, 597 básicas, 246, 378, 508 intersección x, 4
guía para probar la convergencia o regla de potencia, 246 intersección y, 4
divergencia de, 631 regla general de potencia, 297 Interés compuesto, fórmulas de, 360
n-ésima suma parcial, 595 Integral de línea, 1052 Interés, fórmulas de, resumen de, 360
propiedades de, 599 de f a lo largo de C, 1052 Interior, punto de una región R, 880, 886
rearreglo de, 624 de un campo de fuerzas, 1056 Interiores, límites de integración, 967
series p, 607 evaluación de, como una integral Interna, partición, 974, 1009
suma de, 595 polar, 987
telescópica, 596 definida, 1053 Interpretación de la concavidad, 187
términos de, 595 forma diferencial de, 1059 Intersección con el eje x, 4
Infinitas, discontinuidades, 568 independiente de la trayectoria, 1068 Intersección con el eje y, 4
integrales impropias con, 571 para área, 1078 Intervalo de convergencia, 648
convergencia de, 571 resumen de, 1103 Intervalo, infinito, 195
divergencia de, 571 Integral(es) definida(s), 268 Inversa, función, 337
Infinito aproximación continuidad y derivabilidad de, 341
límite al, 195, 196 derivada de, 341
límite al infinito, 201 regla de Simpson, 308 existencia de, 339
Infinito, intervalo, 195 regla del punto medio, 262, 307 guía para determinación, 339
Infinito, límite(s), 83 regla del trapecio, 306 propiedad de reflexión de, 338
al infinito, 201 cambio de variables, 298 propiedades de, 357
por la izquierda y por la derecha, 83 como el área de una región, 269 prueba de la recta horizontal, 339
propiedades de, 87 de una función vectorial, 828 Irrotacional, campo de fuerzas, 1046
Infinitos, límites de integración, 568 dos especiales, 271 Isobaras, 871
integrales impropias con, 568 evaluación de una integral de línea Isotermas, 871
convergencia de, 568 como una, 1053 Isotermas, curvas, 418
divergencia de, 568 propiedades de, 272 Isotermas, superficie, 874
Inflexión, punto de, 189, 190 Integral elíptica, 311
Instantánea, razón de cambio, 112 Integral impropia, 568
Instantánea, velocidad, 113 con discontinuidades infinitas, 571
convergencia de, 571
divergencia de, 571

I10 Índice de una función vectorial, 819 Magnitud
de una sucesión, 585 de un segmento de recta dirigido, 748
Isótopos radiactivos, vidas medias de, 409 de un vector en el plano, 749
Iteración, 225 propiedades de, 586
Iterada, integral, 967 definición de, 52 Masa, 486, 1100
del término n-ésimo de una serie centro de, 487, 488, 489
evaluación por, 1010 de un sistema bidimensional, 489
límites de integración exteriores, 967 convergente, 599 de un sistema unidimensional, 487, 488
límites de integración interiores, 967 dos trigonométricas especiales, 65 de una lámina plana, 490
estrategia para la determinación, 62 de densidad variable, 996, 1014
J evaluación de una región sólida Q, 1014
de una lámina plana de densidad varia-
Jacobi, Carl Gustav (1804-1851), 1027 por eliminación de factores, 63 ble, 994
Jacobiano, 1027 racionalizar el numerador, 63, 64 libra masa, 486
sustitución directa, 59, 60 momentos de, 996
K existencia de, 73 total, 488, 489
forma indeterminada, 63
Kepler, Johannes (1571-1630), 737 infinito, 83 Matemático, modelado, 33
Kepler, leyes de, 737 por la izquierda y por la derecha, 83 Matemático, modelo, 7, 946
Kirchhoff, segunda ley de, 426 propiedades de, 87 Máximo
Kovalevsky, Sonya (1850-1891), 880 lateral, 72
no existencia de, tipos comunes de absoluto, 162
L comportamiento, 51 de f en I, 162
por la izquierda y por la derecha, 72 de una función de dos variables, 936
L’Hôpital, Guillaume (1661-1704), 558 propiedades de, 59 global, 162
L’Hôpital, regla de, 558 que implican a e, 360 local, 163
Lado recto de una parábola, 683 e-d, definición de, 52 relativo, 163
Lagrange, forma del residuo, 642 Límites exteriores de integración, 967 Máximo global de una función, 162
Lagrange, Joseph-Louis (1736-1813), 172, Lineal, aproximación, 231, 902 Máximo relativo en (c, f(c)), 163
Lineal, combinación de i y j, 753 criterio de la primera derivada para, 179
952 Lineal, función, 24 criterio de la segunda derivada para, 191
Lagrange, multiplicador de, 952, 953 Líneas de contorno, 871 criterio de segundas parciales para, 939
Lagrange, teorema de, 953 Local mínimo, 163 de una función, 163, 936, 939
Lambert, Johann Heinrich (1728-1777), 383 Local máximo, 163 Mecánica, regla, 229
Lámina plana, 490 Logarítmica, derivación, 323 Medición, error en, 233
Logarítmica, espiral, 733 Método de
centro de masa de, 490 Logarítmicas, propiedades, 319 fracciones parciales, 542
momento de, 490 Logística, curva, 419, 550 mínimos cuadrados, 946
Laplace, ecuación de, 1123 Logística, ecuación diferencial, 241, 419 multiplicadores de Lagrange, 952, 953
Laplace, Pierre Simon de (1749-1827), 1020 capacidad de carga, 419 Método de la arandela, 449
Laplace, transformada de, 578 Longitud Método de la capa, 457, 458
Laplaciano, 1123 de un arco, 466, 467 y método del disco, comparación de, 459
Lateral, límite, 72 forma paramétrica, 709 Método de Newton para aproximar las
Legendre, Adrien-Marie (1752-1833), 947 forma polar, 729
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), 234 de un múltiplo escalar, 752 raíces de una función, 225
Leibniz, notación de, 234 de un segmento de recta dirigido, 748 convergencia de, 227, 228
Lemniscata, 40, 143, 146, 721 de un vector en el espacio, 760 iteración, 225
Levógira, orientación, 758 de un vector en el plano, 749 Método tabular para integración por
Ley de conservación de la energía, 1071 del brazo de momento, 487
Libra-masa, 486 en el eje x, 1003 partes, 520
Límite inferior de integración, 268 Longitud de arco, 466, 467, 852 Mezcla de derivadas parciales, 894
Límite superior de integración, 268 de una curva en el espacio, 851
Límite(s), 45, 48 de una curva polar, 729 igualdad de, 895
al infinito, 195, 196 derivada de, 852 Mínimo
en el plano xy, 1003
de una función racional, guía para en forma paramétrica, 709 absoluto, 162
determinación, 198 parámetro, 852, 853 de f en I, 162
Lorenz, curvas de, 444 de una función de dos variables, 936
infinito, 201 Lugar geométrico, 682 global, 162
básicos, 59 Luna, 541 local, 163
de funciones polinomiales y raciona- relativo, 163
M Mínimo global de una función, 162
les, 60 Mínimo relativo en (c, f(c)), 163
de funciones trigonométricas, 61 Macintyre, Sheila Scott (1910-1960), 524 criterio de la primera derivada para, 179
de integración Maclaurin, Colin (1698-1746), 664 criterio de la segunda derivada para, 191
Maclaurin, polinomio de, 638 criterio de segundas parciales para, 939
exterior, 967 Maclaurin, serie de, 665 de una función, 163, 936, 939
inferior, 268 Mínimos cuadrados,
interior, 967 método de, 946
superior, 268 regresión, 7
de las sumas inferior y superior, 260
de una función compuesta, 61 recta, 946, 947
de una función de dos variables, 881
de una función que implica un radical, 60

Índice I11

Mitad superior de círculo, 137 Nivel, curva de, 871 Ortogonales
Modelado matemático, 33 gradiente es normal a, 921 funciones, 532
Modelo gráficas, 146
Nivel, superficie, 873 trayectorias, 146, 418
crecimiento y decaimiento exponen- gradiente es normal a, 932 vectores, 768
cial, 408
No existencia de un límite, tipos comunes Ostrogradsky, Michel (1801-1861), 1106
matemático, 7, 946 de comportamiento, 51 Ostrogradsky, teorema de, 1106
Modelo de decaimiento, exponencial, 408
Momento(s) No removible, discontinuidad, 71, 804 P
Nodos, 826
brazo, longitud de, 487 Noether, Emmy (1882-1935), 751 Padé, aproximación de, 395
con respecto a un punto, 487 Norma Paneles, parabólicos, 495
con respecto a una recta, 487 Pappus
con respecto al eje x de un vector en el plano, 749
de una partición, 267, 974, 987, 1009 segundo teorema de, 496
de un sistema bidimensional, 489 polar, 987 teorema de, 493
de una lámina plana, 490 Normal principal, vector unitario, 842, Par, función, 26
con respecto al eje y criterio para, 26
de un sistema bidimensional, 489 859 integración de, 300
de una lámina plana, 490 Normal, componente Parábola, 2, 145, 682, 683
con respecto al origen, 487, 488 cuerda focal de, 683
de inercia, 998, 1014, 1123 de aceleración, 845, 846, 859 directriz de, 683
para una curva en el espacio, 1064 de un campo de fuerzas, 1100 ecuación estándar de, 683
polar, 998 Normal(es), vector(es), 768 eje de, 683
de masa, 996 para una superficie paramétrica suave, foco de, 683
de un sistema unidimensional, 488 lado recto de, 683
de una lámina plana, 490 1087 propiedad de reflexión de, 684
de una fuerza con respecto a un punto, unitario principal, 842, 859 vértice de, 683
779 Normalización de v, 752 Parabólicos, paneles, 495
primer, 1014 Notación Paraboloide elíptico, 795, 797
segundo, 998, 1014 antiderivada, 245 Paralelas, rectas, 14
Monótona, estrictamente, 178, 339 derivada, 99 planos, 785
Muda, variable, 270 función, 19 vectores, 761
Mutuamente ortogonal, 418 Leibniz, 234 Paramétrica, superficie, 1084
para primeras derivadas parciales, área de, 1088
N área superficial de, 1088
891 derivadas parciales de, 1087
n factorial, 587 sigma, 254 ecuaciones para, 1084
n-ésima suma parcial, 595 Numérica, derivación, 103 suave, 1087
n-ésimo polinomio de Maclaurin para f Número crítico, 164
Número e, 321 vector normal a, 1087
en c, 638 límite que lo implica, 360 Paramétricas, ecuaciones, 696
n-ésimo polinomio de Taylor para f en c, Número primo, teorema del, 327
Números de dirección, 783 de una recta en el espacio, 783
638 Números reales, completitud de, 77, 591 determinación, 700
Napier, desigualdad de, 336 gráfica de, 696
Napier, John (1550-1617), 318 O para una superficie, 1084
Natural, función exponencial, 346 Parámetro, 696
Ocho, curva, 159 eliminación, 698
derivada de, 348 Octantes, 758 longitud de arco, 852, 853
operaciones con, 347 Ohm, ley de, 237 Parcial, derivación, 890
propiedades de, 347 Onda de retorno, método de la, 532 Parciales, fracciones, 542
reglas de integración, 350 Operaciones descomposición de N(x)/D(x) en, 543
series para, 670 método de, 542
Natural, función logarítmica, 318 con funciones exponenciales, 347 Parciales, sumas, sucesión de, 595
base de, 321 con serie de potencias, 659 Partición
derivada de, 322 Orden de una ecuación diferencial, 398 general, 267
propiedades de, 319 Orden superior, derivada, 124 interna, 974, 1009
series para, 670 de una función vectorial, 825
Natural, logaritmo de base, 321 parcial, 894 polar, 987
Negativo de un vector, 750 Orientable, superficie, 1099 norma de, 267, 974, 1009
Neto, cambio, 286 Orientación
Newton (unidad de fuerza), 477 de un curva plana, 697 polar, 987
Newton, Isaac (1642-1727), 96, 225 de una curva, 1051 regular, 267
Newton, ley de enfriamiento de, 411 de una curva en el espacio, 816 Pascal, Blaise (1623-1662), 497
Newton, ley de la gravitación de, 1041 Orientada, superficie, 1099 Pascal, principio de, 497
Newton, ley de la gravitación universal Origen Paso, función de, 72
de un sistema de coordenadas polares, Pendiente-intersección, ecuación de una
de, 479
Newton, segunda ley de movimiento de, 715 recta, 13, 14
momento con respecto al, 487, 488
425, 836 reflexión respecto al, 23
simetría, 5

I12 Índice Polinomio de grado cero, 24 Propiedad distributiva del producto
Polo, 715 escalar, 766
Pendiente(s) para vectores, 751
campo, 251, 301, 319, 400 de sistema de coordenadas cilíndricas,
de la gráfica de f en x = c, 97 804 Propiedad geométrica del triple producto
de una recta tangente, 97 escalar, 780
forma paramétrica, 706 rectas tangentes a un, 720
forma polar, 719 Por la derecha, límite, 72 Propiedades
de una recta, 10 Por la izquierda, límite, 72 de continuidad, 75
de una superficie en las direcciones x Posición estándar de un vector, 749 de funciones definidas por serie de
y y, 891 Posición, función de, 32, 112, 124 potencias, 652
de funciones inversas, 357
Perigeo, 694 para un proyectil, 837 de funciones trigonométricas inversas,
Perihelio, 694, 741 Potencia, regla 368
Perpendicular de integrales definidas, 272
para derivación, 107, 135 de integrales dobles, 976
planos, 785 para exponentes reales, 359 de la derivada de una función vecto-
rectas, 14 para integración, 246, 297 rial, 826
vectores, 768 Potencial, energía, 1071 de la función exponencial natural, 319,
Persecución, curva, 388 Presión, fluido, 497 347
Plana, curva, 696, 816 Primaria, ecuación, 215, 216 de la función logaritmo natural, 319
orientación de, 697 Primer orden, ecuaciones diferenciales de límites, 59
suave, 1051 de límites de sucesiones, 586
Planímetro, 1122 lineales, 424 de límites infinitos, 87
Plano solución de, 425 de operaciones vectoriales, 751
ángulo de inclinación de, 931 Primeras derivadas parciales, 890 de series infinitas, 599
distancia entre un punto y, 788 notación para, 891 del gradiente, 919
región Primeros momentos, 998, 1014 del producto escalar, 766
Principal, coeficiente del producto vectorial
área de, 260 criterio, 24 algebraicas, 776
simplemente conectada, 1044, 1075 de una función polinomial, 24 geométricas, 777
tangente, 928 Probabilidad, función de densidad de, logarítmicas, 319
ecuación de, 928
vector en, 748 349 Propiedades geométricas del producto
Plano en el espacio Problema de la braquistocrona, 702 vectorial, 777
ángulo entre dos, 785 Procedimientos para ajustar integrandos a
ecuación de Proyección de u sobre v, 770
forma estándar, 784 las reglas básicas, 511 usando el producto escalar, 771
forma general, 784 Productividad marginal del dinero,
paralelo, 785 Proyección, forma de trabajo, 772
al eje, 787 955 Proyectil, función de posición para,
al plano coordenado, 787 Producto
perpendicular, 785 837
traza de, 787 de dos funciones, 25 Prueba del término n-ésimo para diver-
Plano tangente, 928 interno, 532
ecuación de, 928 gencia, 599
Plano xy, 758 de dos vectores en el espacio, 775 Pulso unitario, función, 94
Plano xz, 758 Producto interno Pulso, función, 94
Plano yz, 758
Planos coordenados, 758 de dos funciones, 532 unitario, 94
plano xy, 758 de dos vectores, 766 Punto
plano xz, 758 Producto vectorial de dos vectores en el
plano yz, 758 como una cónica degenerada, 682
Polar, eje, 715 espacio, 775 de disminución de rendimientos, 223
Polar, momento de inercia, 998 forma determinante, 775 de inflexión, 189, 190
Polar, sistema de coordenadas, 715 propiedades algebraicas de, 776 de intersección, 6
eje polar de, 715 propiedades geométricas de, 777
polo (u origen), 715 torca, 779 de gráficas polares, 727
Polares, coordenadas, 715 Producto, regla del, 118, 135 en un campo de fuerzas
área de una superficie de revolución forma diferencial, 234
en, 730 Prolata, cicloide, 708 fuente, 1111
área en, 725 Propiedad asociativa de la suma vectorial, incompresible, 1111
conversión a rectangulares, 716 sumidero, 1111
fórmula de distancia en, 722 751 fijo, 229
Polares, sectores, 986 Propiedad conmutativa del producto momento con respecto a un, 487
Polinomio Punto final de convergencia, 650
de Maclaurin, 638 escalar, 766 Punto final de extremos, 162
de Taylor, 159, 638 de la suma vectorial, 751 Punto frontera de una región, 880
Propiedad de intervalo aditivo, 271 Punto inicial, segmento de recta dirigido,
Propiedad de la identidad aditiva de 748
Punto terminal, segmento de recta dirigi-
vectores, 751 do, 748
Propiedad de reflexión Punto-pendiente, ecuación de una recta,
11, 14
de funciones inversas, 338
de una elipse, 687
de una parábola, 684
Propiedad del inverso aditivo de vectores,

751

Índice I13

R número de dirección de, 783 cerrada, 880
vector de dirección de, 783 función derivable en, 901
r-simple, región de integración, 988 equipotencial, 871 punto frontera de, 880
Racional, función, 22, 25 momento con respecto, 487 punto interior de, 880, 886
normal, 927, 928 simplemente conectada, 1044, 1075
de dos variables, 869 en un punto, 146 Región sólida, simple, 1107
guía para determinación de límites al paralelas, 14 Regla de la cadena, 129, 130, 135
pendiente de, 10 derivación implícita, 912
infinito de, 198 perpendiculares, 14 dos variables independientes, 909
límite de, 60 radiales, 715 tres o más variables independientes, 910
Racionalización, técnica, 64 regresión de mínimos cuadrados, 946, una variable independiente, 907
Racionalizar el numerador, 63, 64 947 y funciones trigonométricas, 134
Radiales, rectas, 715 secante, 45, 97 Regla de log para integración, 328
Radián, medida, 367 tangente, 45, 97 Regla de Simpson, 308
Radical, límite de una función que impli- aproximación, 231 error en, 309
con pendiente 97 Regla del punto medio, 262, 307
ca un, 60 en el polo, 720 Regla del trapecio, 306
Radicales, solución por, 228 vertical, 98 error en, 309
Radio Recta(s) tangente(s), 45, 97 Regla Doyle escala log, 878
a una curva, 842 Reglas de derivación básicas para funcio-
de convergencia, 648 aproximación de f en c, 231
de curvatura, 856 con pendiente m, 97 nes elementales, 371
de giro, 999 en el polo, 720 Reglas de derivación generales, 135
externo, 449 pendiente de, 97 Reglas de integración básicas, 246, 378, 508
función, 800 forma paramétrica, 706
interno, 449 forma polar, 719 procedimientos para ajustar integran-
Radio exterior de un sólido de revolución, problema, 45 dos a las, 511
vertical, 98
449 Rectángulo Regresión, recta, mínimos cuadrados, 7,
Radio interno de un sólido de revolución, 449 área de, 256 946, 947
Raíz de una función, 26 circunscrito, 258
inscrito, 258 Regular partición, 267
aproximación representativo, 436 Relación, 19
con el método de Newton, 225 Rectángulo circunscrito, 258 Representación de antiderivadas, 244
método de bisección, 78 Rectángulo inscrito, 258 Representativo, elemento, 441
valor intermedio, teorema de, 77 Rectas generatrices de un cilindro, 794
Ramanujan, Srinivasa (1887-1920), 661 Rectificable, curva, 466 arandela, 449
Rango de una función, 19 Recto, cilindro, 794 capa, 457
de dos variables, 868 Recuperación de una función a partir de disco, 446
Raphson, Joseph (1648-1715), 225 su gradiente, 1047 rectángulo, 436
Rapidez, 113, 832, 833, 857, 859 Reducción, fórmulas de, 553 Residuo
angular, 999 Reflectora, superficie, 684 de un polinomio de Taylor, 642
Razón, 12 Reflexión serie alternante, 621
dorada, 594 ángulo de, 684 Resorte, constante de, 34
Razón de cambio, 12, 893 con respecto al eje x, 23 Restricción, 952
instantánea, 12, 112 con respecto al eje y, 23 Resultante, fuerza, 754
promedio, 12 con respecto al origen, 23 Resultante, vector, 750
Razón de cambio promedio, 12 en la recta y = x, 338 Resumen
Razón dorada, 594 Refracción, 223, 959 de bosquejo de curvas, 206
Razón relacionada, ecuación, 148 Región de integración R, 967 de criterios para series, 632
Razón relacionada, problemas, guía de horizontalmente simple, 968 de ecuaciones de rectas, 14
r-simple, 988 de fórmulas de integración, 1118
solución, 149 verticalmente simple, 968 de fórmulas de interés compuesto, 360
Razonamiento inductivo, 589 u-simple, 988 de integrales comunes usando integra-
Recta de impacto, 927 Región en el plano
Recta horizontal, 14 área de, 260, 968 ción por partes, 520
Recta normal, 927, 928 centroide de, 491 de integrales línea y superficie, 1103
conectada, 1068 de reglas de derivación, 135
en un punto, 146 entre dos curvas, 437 de velocidad, aceleración y curvatura,
Recta(s) Región R
abierta, 880, 886 859
como una cónica degenerada, 682 continua en, 884, 886 Revisión
ecuación de acotada, 936
de reglas de derivación básicas, 371
forma general, 14 de reglas de integración básicas, 378,
forma pendiente intersección, 13, 14
forma punto-pendiente, 11, 14 508
horizontal, 14 Revolución
resumen, 14
vertical, 14 eje de, 446
en el espacio sólido de, 446
ecuaciones paramétricas de, 783 superficie de, 470
ecuaciones simétricas de, 783
área de, 471, 710, 730

I14 Índice geométrica, 597 índice de sumatoria, 254
alternante, 619 término i-ésimo, 254
volumen de sólido de convergencia de, 597 Signo, función, 82
método de la arandela, 449 divergencia de, 597 Silla, punto, 939
método de la capa, 457, 458 Simetría
método del disco, 446 guía para criterio de convergencia o con respecto al eje x, 5
divergencia, 631 con respecto al eje y, 5
Riemann, función zeta de, 611 con respecto al origen, 5
Riemann, Georg Friedrich Bernhard infinita, 595 con respecto al punto (a, b), 395
propiedades de, 599 criterios para, 5
(1826-1866), 267, 624 Simple, curva, 1075
Riemann, suma de, 267 Maclaurin, 665 Simple, integral, 976
Rolle, Michel (1652-1719), 170 potencia, 647 Simple, región sólida, 1107
Rolle, teorema de, 170 rearreglo de, 624 Simple, regla de potencia, 107, 135
Rosa, curva, 718, 721 resumen de criterios para, 632 Simplemente conectada, región plana, 1075
Rotación de F alrededor de N, 1117 serie alternante, criterio de, 619 Sistema bidimensional
Rotacional de un campo de fuerzas, 1046 series p, 607 centro de gravedad de, 489
suma de, 595 centro de masa de, 489
y divergencia, 1048 suma parcial n-ésima, 595 masa total de, 489
Rotada, elipse, 145 Taylor, 664, 665 momento de, 489
Rotada, hipérbola, 145 telescópica, 596 Sistema de coordenadas
Rumbo, 754 término n-ésimo convergente, 599 cilíndricas, 804
términos de, 595 esféricas, 807
S Serie absolutamente convergente, 622 polares, 715
Serie alternante, criterio de, 619 tridimensional, 758
Secante, recta, 45, 97 Serie alternante, residuo de, 621 Sistema unidimensional
Sección cónica, 682 Serie convergente, límite del término centro de gravedad de, 488
Secundaria, ecuación, 216 centro de masa de, 487, 488
Segmento de recta dirigido, 748 n-ésimo de una, 599 masa total de, 488
Serie de Fourier de senos, 523 momento de, 487, 488
equivalente, 748 Serie de potencias, 647 Snell, ley de refracción de, 223, 959
longitud de, 748 Solenoidal, 1048
magnitud de, 748 centrada en c, 647 Sólido de revolución, 446
punto inicial de, 748 convergencia de, 648 volumen de
punto terminal de, 748 convergente, forma de, 664
Segmento de recta, dirigido, 748 derivación de, 652 método de la arandela, 449
Segunda derivada, 124 dominio de, 648 método de la capa, 457, 458
criterio de la, 191 geométrica, 657 método del disco, 446
Segundas parciales, criterio, 939 integración de, 652 Solución
Segundo momento, 998, 1014 intervalo de convergencia, 648 curvas, 399
Segundo teorema de Pappus, 496 operaciones con, 659 de una ecuación diferencial, 398
Segundo teorema fundamental del cálcu- para funciones elementales, 670 Bernoulli, 430
propiedades de funciones definidas general, 245, 398
lo, 284 método de Euler, 402
Segundo-grado, ecuación general de, 682 por, 652 particular, 249, 399
Seno, serie de Fourier de, 523 intervalo de convergencia de, 652 primer orden lineal, 425
Separable, ecuación diferencial, 415 radio de convergencia de, 652 singular, 398
Separación de variables, 407, 415 punto final de convergencia, 650 por radicales, 228
Serie, 595 radio de convergencia, 648 punto de una ecuación, 2
representación de funciones por, 657 Solución general
absolutamente convergente, 622 Serie de potencias convergente, forma de la ecuación de Bernoulli, 430
alternante, 619 de, 664 de una ecuación diferencial, 245, 398
Serie geométrica, 597 Solución particular de una ecuación dife-
armónica, 620, 622, 624 alternante, 619 rencial, 249, 399
geométrica, 619 convergencia de, 597 Solución singular, ecuación diferencial, 398
armónica, 607 divergencia de, 597 Somerville, Mary Fairfax (1780-1872), 868
alternante, 620, 622, 624 Serie geométrica de potencias, 657 Stirling, aproximación de, 517
binomial, 669 Series de Taylor, 664, 665 Stirling, fórmula de, 354
condicionalmente convergente, 622 convergencia de, 666 Stokes, George Gabriel (1819-1903), 1114
convergencia de, 595 guía para determinación de, 668 Stokes, teorema de, 1080, 1114
convergente, límite del término n-ésimo, Series p, 607 Suave
599 armónica, 607 curva, 466, 701, 826, 841
criterio de comparación directa, 612 convergencia de, 607 en partes, 701
criterio de comparación en el límite, 614 divergencia de, 607 en un intervalo abierto, 826
criterio de la integral, 605 Serpentina, 126
criterio de la raíz, 630 Si y sólo si, 14
criterio del cociente, 627 Sigma, notación, 254
de Fourier del seno, 523 cota inferior de sumatoria, 254
divergencia de, 595 cota superior de sumatoria, 254
criterio del término n-ésimo para,

599
finita de Fourier, 532

Índice I15

curva en el espacio, 1051 reflectiva, 684 Teorema fundamental
curva plana, 1051 traza de, 795 de integrales de línea, 1065, 1066
superficie paramétrica, 1087 Superficie de revolución, 470, 800 del álgebra, 1106
Suave por partes, curva, 701, 1051 área de, 471 del cálculo, 277, 278
Sucesión, 584 guía para usarlo, 278
acotado, 591 forma paramétrica, 710 segundo, 284
acotado monótonamente, 591 forma polar, 730
acotado por abajo, 591 Superficie integral, 1094 Tercera derivada, 124
acotado por arriba, 591 evaluación, 1094 Término i-ésimo de una suma, 254
convergencia de, 585 resumen de, 1103 Término n-ésimo
cota inferior de, 591 Suprayectiva, función, 21
cota superior de, 591 Sustitución directa, 59, 60 de una serie convergente, 599
cota superior mínima de, 591 Sustitución para funciones racionales de de una sucesión, 584
de sumas parciales, 595 seno y coseno, 554 Términos
definida recursivamente, 584 Sustitución u, 292 de una serie, 595
divergencia de, 585 de una sucesión, 584
emparedado, teorema del, 587 T Theta, u
Fibonacci, 594, 604 región simple de integración, 988
límite de, 585 Tabla de valores, 2 Tipo especial de integral impropia,
Tablas, integración por, 551
propiedades de, 586 Tangencial, componente de la acelera- 574
monótonamente, 590 Tipos básicos de transformaciones, 23
patrón de reconocimiento para, 588 ción, 845, 846, 859 Tipos comunes de comportamiento
término n-ésimo de, 584 Tangente, vector, 832
términos de, 584 Tautocrona, problema, 702 asociados con la no existencia de un
valor absoluto, teorema del, 588 Taylor, Brook (1685-1731), 638 límite, 51
Sucesión monótona, 590 Taylor, polinomio de, 159, 638 Topográfico, mapa, 871
acotada, 591 Torca, 488, 779
Suma de vectores, 750, 760 error en la aproximación, 642 Torricelli, ley de, 433
Suma inferior, 258 residuo, Lagrange forma de, 642 Torsión, 866
límite de, 260 Taylor, teorema de, 642 Total, masa, 488, 489
Suma superior, 258 Técnica de eliminación de factores, 63 de un sistema bidimensional, 489
límite de, 260 Técnicas de integración de un sistema unidimensional, 488
Suma(s) integración por partes, 515 Trabajo, 477, 772
de dos funciones, 25 método de fracciones parciales, 542 campo de fuerzas, 1056
de dos vectores, 750 reglas de integración básicas, 246, forma de producto-punto, 772
de los errores cuadrados, 946 forma de proyección, 772
de una serie, 595 378, 508 hecho por una fuerza constante,
inferior, 258 sustitución para funciones racionales 477
hecho por una fuerza variable, 478
límite de, 260 de seno y coseno, 554 Tractriz, 327, 388
parcial n-ésima, 595 sustitución trigonométrica, 533 Transformación, 23, 1028
regla, 110, 135 tablas, 551 Transformación de una gráfica de una
Telescópica, serie, 596 función, 23
forma diferencial, 234 Teorema corrimiento horizontal, 23
Riemann, 267 cambio neto, 286 corrimiento vertical, 23
sucesión de parciales, 595 de Cavalieri, 456 reflexión en la recta y = x, 338
superior, 258 de Darboux, 242 reflexión respecto al eje x, 23
de emparedado, 65 reflexión respecto al eje y, 23
límite de, 260 reflexión respecto al origen, 23
término i-ésimo de, 254 para sucesiones, 587 tipos básicos, 23
Sumatoria de Fubini, 978 Trascendental, función, 25, 371
cota inferior de, 254 Trayectoria, 881, 1051
cota superior de, 254 para una integral triple, 1010 Trayectorias, ortogonales, 146, 418
fórmulas, 255 de Pappus, 493 Traza
índice de, 254 de un plano en el espacio, 787
Sumidero, 1111 segundo, 496 de una superficie, 795
Superficie de Rolle, 170 Triángulo, desigualdad, 753
cerrada, 1106 de Taylor, 642 Tridimensional, sistema de coordenadas,
cilíndrica, 794 del cálculo, fundamental, 277, 278 758
cuádrica, 795 orientación dextrógira, 758
de nivel, 873 guía para utilizar, 278 orientación levógira, 758
ecuaciones paramétricas para, 1084 del cálculo, segundo fundamental, 284 Trigonométrica, sustitución, 533
isoterma, 874 existencia, 77, 162 Trigonométrica(s), función(es), 24
orientable, 1099 número primo, 327 coseno, 22
orientada, 1099 valor absoluto, 588 derivada de, 122, 135
paramétrica, 1084 valor extremo, 162, 936 integrales de las seis básicas, 333
valor intermedio, 77
valor medio, 172

extendido, 241, 558
forma alternativa, 173
para integrales, 280
valor medio extendido, 241, 558

I16 Índice binormal, 849, 866 Vectorial(es), función(es), 816
cero, 749, 760 antiderivada de, 828
inversa, 366 combinación lineal de, 753 continua en un intervalo, 820
derivadas de, 369 componente continua en un punto, 820
gráficas de, 367 continuidad de, 820
integrales que implican, 375 de u a lo largo de v, 770 derivación de, 824
propiedades de, 368 de u ortogonal a v, 770 derivada de, 824
componente horizontal de, 753 orden superior, 825
límite de, 61 componente vertical de, 753 propiedades de, 826
seno, 22 componentes, 749, 770 dominio de, 817
y la regla de la cadena, 134 cosenos directores de, 769 integración de, 828
Trigonométricas, integrales, 524 diferencia de dos, 750 integral definida de, 828
Triple integral, 1009 dirección, 783 integral indefinida de, 828
en coordenadas cilíndricas, 1020 en el espacio, 760 límite de, 819
en coordenadas esféricas, 1023 en el plano, 748
Triple producto escalar, 779 forma componente de, 749 Velocidad, 113, 833
propiedad geométrica de, 780 igual, 749, 760 curvas de potencial de, 418
longitud de, 749, 760 escape, 94
U magnitud de, 749 función, 124
multiplicación escalar, 750, 760 instantánea, 113
Unitario, vector tangente, 841, 859 negativo de, 750 promedio, 112
Uno a uno, función, 21 norma de, 749
normal, 768 Velocidad promedio, 112
V normal principal unitario, 842, 859 Velocidad, vector, 832, 859
normalización de, 752 Velocidades, campo de, 1040, 1041
Valor absoluto, teorema del, 588 notación unitaria estándar, 760
Valor de f en x, 19 operaciones, propiedades de, 751 incompresible, 1048
Valor extremo, teorema del, 162, 936 ortogonal, 768 Vertéré, 198
Valor inicial, 408 paralelo, 761 Vertical, asíntota, 85
Valor intermedio, teorema del, 77 perpendicular, 768 Vertical, prueba de la recta, 22
Valor medio extendido, teorema, 241, 558 posición estándar, 749 Vertical, recta, 14
Valor medio, teorema, 172 producto de dos vectores en el espa- Vertical, recta tangente, 98
cio, 775 Verticalmente simple, región de integra-
extendido, 241, 558 producto escalar de, 766
forma alternativa de, 173 producto interno de, 766 ción, 968
para integrales, 280 producto vectorial de, 775 Vértice
Valor promedio de una función en un propiedad de identidad aditiva, 751
propiedad de inverso aditivo, 751 de una elipse, 685
intervalo, 281 propiedad distributiva, 751 de una hipérbola, 689
sobre una región R, 982 proyección de, 770 de una parábola, 683
sobre una región sólida Q, 1019 punto inicial, 748 Vida media, 356, 409
Valores extremos de una función, 162 punto terminal, 748 Volumen de un sólido
Variable resultante, 750 con secciones transversales conocidas,
dependiente, 19 suma, 750, 751
fuerza, 478 propiedad asociativa de, 751 451
independiente, 19 propiedad conmutativa de, 751 método de la arandela, 449
muda, 270 tangente, 832 método de la capa, 457, 458
Variable independiente, 19 tangente unitario, 841, 859 método del disco, 447
de una función de dos variables, 868 triple producto escalar, 779 Volumen de una región sólida, 976, 1009
Variación de la aceleración, función, unitario, 749
en la dirección de v, 752, 760 W
160 estándar, 753
Vector cero, 749, 760 velocidad, 832, 859 Wallis, fórmula de, 526, 532
Vector de dirección, 783 Vectores iguales, 749, 760 Wallis, John (1616-1703), 526
Vector unitario, 749 Vectorial, espacio, 752 Weierstrass, Karl (1815-1897), 937
axiomas, 752 Wheeler, Anna Johnson Pell (1883-1966),
en la dirección de, 752, 760
estándar, 753 424
Vector(es)
aceleración, 845, 859 Y
ángulo entre dos, 767
ángulos directores de, 769 Young, Grace Chisholm (1868-1944), 45

DERIVADAS E INTEGRALES

Reglas básicas de diferenciación

1. d cu cu 2. d u ± v u ±v 3. d uv uv vu
dx dx dx

du vu uv 5. d c 0 6. d un nun 1u
4. dx v v2 dx dx

7. d x 1 d u u u, u 0 9. d ln u u
dx 8. dx u dx u

10. d eu euu d u 12. d au ln a auu
dx 11. dx loga u ln a u dx

13. d sen u cos u u 14. d cos u sen u u 15. d tan u sec2 u u
dx dx dx

16. d cot u csc2 u u 17. d sec u sec u tan u u 18. d csc u csc u cot u u
dx dx dx

19. d arcsen u u 20. d arccos u u du
dx 1 u2 dx 1 u2 21. dx arctan u 1 u2

du 23. d arcsec u u 24. d arccsc u u
22. dx arccot u 1 u2 dx u u2 1 dx u u2 1

25. d senh u cosh u u 26. d cosh u senhu u 27. d tanh u sech2 u u
dx dx dx

28. d coth u csch2 u u 29. d sech u sech u tanh u u 30. d csch u csch u coth u u
dx dx dx

31. d senh 1 u u 32. d cosh 1 u u 33. d tanh 1 u u
dx u2 1 dx u2 1 dx 1 u2

34. d coth 1 u u 35. d sech 1 u u 36. d csch 1 u u
dx 1 u2 dx u 1 u2 dx u 1 u2

Fórmulas básicas de integración

1. kf u du k f u du 2. f u ± g u du f u du ± g u du

3. du u C 4. un du un 1 C, n 1
n1

5. du ln u C 6. eu du eu C
u

7. au du 1 au C 8. sen u du cos u C
ln a

9. cos u du sen u C 10. tan u du ln cos u C

© Brooks/Cole, Cengage Learning 11. cot u du ln sen u C 12. sec u du ln sec u tan u C

13. csc u du ln csc u cot u C 14. sec2 u du tan u C

15. csc2 u du cot u C 16. sec u tan u du sec u C

17. csc u cot u du csc u C du u
18. a2 u2 arcsen a C

19. du 1 arctan u C 20. du 1 arcsec u C
a2 u2 a a u u2 a2 a a

TRIGONOMETRÍA

Definiciones de las seis funciones trigonométricas

Definiciones para un triángulo rectángulo, donde 0 < < 2. y

Hipotenusa Opuesto op hip ( ( ) ) ( ( ) )−− 1 , 3 (0, 1) 1 , 3
θ sen csc 2 2 2 2
Adyacente π 90° π
hip op 2 2 2π 2 2 2
ady hip 2 , 2 2 , 2
cos sec 3π 3 3 π
hip ady 4 120° 60° 4
op ady
tan cot 135° 45°
ady op ( ) ( )−3,1 5π π 3 , 1
2 2 2 2
6 150° 30° 6

Definiciones de las funciones circulares, donde u es cualquier ángulo. 0° 0 x

(−1, 0) π 180° 360° 2π (1, 0)

y y r 210° 330° 11π
r y 300°351π5°74π 6
sen csc 7π 3π 3
6 2
r= x2 + y2 3( ) ( )−,−1 3 , − 1
(x, y) x 2 2 225° 2 2
x r 5π 240°
r x 4
4π
yr θ cos sec 2( ) ( )−,− 2 2 , − 2
2 2 3 270° 2 2

x y x ( ) ( )−1, − 3 1 , − 3
tan x cot y 2 2 (0, − 1) 2 2

Identidades recíprocas Fórmulas para ángulos dobles

sen x 1 sec x 1 tan x 1 sen 2u 2 sen u cos u
csc x csc x cos x cos x cot x cot x
1 cos 2u cos2 u sen2 u 2 cos2 u 1 1 2 sen2 u
sen x 1 1
sec x tan x tan 2u 2 tan u
1 tan2 u

Identidades para la tangente y la cotangente Fórmulas para la reducción de potencias

tan x sen x cot x cos x sen2 u 1 cos 2u
cos x sen x 2

Identidades pitagóricas cos2 u 1 cos 2u
2
sen2 x cos2 x 1
1 tan2 x sec2 x 1 cot2 x csc2 x tan2 u 1 cos 2u
1 cos 2u

Identidades para cofunciones Fórmulas suma a producto

sen 2 x cos x cos 2 x sen x sen u sen v 2 sen u 2 v cos u 2 v

sen u sen v 2 cos u 2 v sen u v
2
csc 2 x sec x tan 2 x cot x

sec 2 x csc x cot 2 x tan x cos u cos v 2 cos u 2 v cos u 2 v

cos u cos v 2 sen u v sen u 2 v
2
Fórmulas de reducción © Brooks/Cole, Cengage Learning

sen x sen x cos x cos x Fórmulas producto a suma
tan x
csc x csc x tan x cot x 1
2
sec x sec x cot x sen u sen v cos u v cos u v
cos u cos v v cos u v
Fórmulas para la suma y la diferencia sen u cos v 1 cos u v sen u v
cos u sen v 2 v sen u v
sen u ± v sen u cos v ± cos u senv
1
cos u ± v cos u cos v sen u sen v 2 sen u

tan u ± v tan u ± tan v 1 sen u
1 tan u tan v 2

ÁLGEBRA

Ceros y factores de un polinomio

Sea p x anxn an 1xn 1 . . . a1x a0 un polinomio. Si p a 0, entonces a es un cero del
polinomio y una solución de la ecuación p x 0. Además, x a es un factor del polinomio.

Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio de grado n tiene n ceros (no necesariamente distintos). Aunque todos estos ceros pueden ser
imaginarios, un polinomio real de grado impar tendrá por lo menos un cero real.

Fórmula cuadrática b ± b2 4ac 2a.

Si p x ax2 bx c y 0 b2 4ac, entonces los ceros reales de p son x

Factores especiales a2 x3 a3 x a x2 ax a2
x4 a4 x2 a2 x2 a2
x2 a2 x a x a

x3 a3 x a x2 ax

Teorema del binomio x y 2 x2 2xy y2

x y 2 x2 2xy y2

x y 3 x3 3x2y 3xy2 y3 x y 3 x3 3x2y 3xy2 y3

x y 4 x 4 4x3y 6x2y2 4xy3 y4 x y 4 x4 4x3y 6x2y2 4xy3 y4

x y n xn nx n 1y n n 1 x n 2y2 . . . nxyn 1 yn
2!

x y n xn nx n 1y n n 1 xn 2y2 . . . ± nxyn 1 yn
2!

Teorema del cero racional

Si p x anxn an 1x n 1 . . . a1x a0 tiene coeficientes enteros, entonces todo
cero racional de p es de la forma x r s, donde r es un factor de a0 y s es un factor de an.

Factorización por agrupamiento ax2 b cx d

acx3 adx2 bcx bd ax2 cx d b cx d

Operaciones aritméticas

ab ac a b c a c ad bc abab
c cc
a bd bd
b a d ad
c b c bc a
d
ba a ac
bb
c bc c

© Brooks/Cole, Cengage Learning a b ab abba ab ac b c
c c cd dc a

Exponentes y radicales

a0 1, a 0 ab x axbx axay ax y a a1 2 ax ax y n a a1 n
n ab n a n b ay

a x ax n am am n ax 1 ax y a xy a na
b bx ax nb
n

b

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

Triángulo Sector de un anillo circular

h a sen ca p radio promedio, p
h w ancho del anillo, θ
Área 1 bh θ en radianes w
2 b Área pw
b
(Ley de los cosenos) a

c2 a2 b2 2ab cos h
A
Triángulo rectángulo c a Elipse
b
(Teorema de Pitágoras) Área ab a2 b2
c2 a2 b2 2
Circunferencia 2
Triángulo equilátero
Cono
h 3s s s
2 h A área de la base
Ah
Área 3 s2 s
4 Volumen
3

Paralelogramo Cono circular recto

Área bh h Volumen r2h h
3 r

b

Área de la superficie lateral r r2 h2

Trapezoide a Tronco de un cono circular recto r
s
Área h hb r2 rR R2 h
a b a Volumen 3 hR
2
bh
Área de la superficie lateral s R r

Círculo r Cilindro circular recto r
h
Área r2 2r Volumen r2h
Circunferencia
Área de la
superficie lateral 2 rh

Sector circular Esfera

en radianes Volumen 4 r3 r
3
r2 s © Brooks/Cole, Cengage Learning
2
Área θ Área de la superficie 4 r2
r

sr

Anillo circular Cuña

p radio promedio, A área de la cara superior, A
B área de la base
w ancho del anillo r A B sec θ
pw B
AÁrea R2 r2
R

2 pw

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TOMO II10e

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http://latinoamerica.cengage.com ISBN-10: 607-522-018-6

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