1114 Capítulo 15 Análisis vectorial
15.8 Teorema de Stokes
GEORGE GABRIEL STOKES Comprender y utilizar el teorema de Stokes.
(1819-1903) Utilizar el rotacional para analizar el movimiento de un líquido en rotación.
Stokes se convirtió en profesor Teorema de Stokes
Lucasiano de matemáticas en
Cambridge en 1849. Cinco años Un segundo teorema, análogo al teorema de Green, pero con más dimensiones, es el
después, publicó el teorema que teorema de Stokes, llamado así en honor al físico matemático inglés George Gabriel
lleva su nombre como examen para Stokes. Stokes formó parte de un grupo de físicos matemáticos ingleses conocido como
optar a un premio de investigación. la Escuela de Cambridge, entre los que se encontraban William Thomson (Lord Kelvin)
Consulte LarsonCalculus.com y James Clerk Maxwell. Además de hacer contribuciones a la física, Stokes trabajó con
para leer más acerca de esta series infinitas y con ecuaciones diferenciales, así como con los resultados de integra-
biografía. ción que se presentan en esta sección.
El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre
una superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en
el espacio que forma la frontera o el borde de S, como se muestra en la figura 15.62. La
dirección positiva a lo largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del
reloj con respecto al vector normal N. Es decir, si se imagina que toma el vector normal N
con la mano derecha, con el dedo pulgar apuntando en la dirección de N, los demás
dedos apuntarán en la dirección positiva de C, como se muestra en la figura 15.63.
z
N N
Superficie S
C S
y
R
x C
Figura 15.62 La dirección a lo largo de C es en
sentido contrario a las manecillas
del reloj con respecto a N.
Figura 15.63
TEOREMA 15.13 Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curva
cerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vec-
torial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una
región abierta que contiene a S y a C, entonces
F dr rot F N dS.
CS
En el teorema 15.13, observe que la integral de línea puede escribirse en forma
diferencial C M dx N dy P dz o en forma vectorial C F T ds.
Bettmann/Corbis
15.8 Teorema de Stokes 1115
EJEMPLO 1 Aplicar el teorema de Stokes
z Sea C el triángulo orientado situado en el plano
6 2x 2y z 6
S: 2x + 2y + z = 6 como se muestra en la figura 15.64. Evalúe
F dr
C
C3 C2 donde F(x, y, z) = –y2i + zj + xk.
N (hacia arriba) Solución Usando el teorema de Stokes, empiece por hallar el rotacional de F
i jk
rot F x yz i j 2yk
R 3 y y2 z x
3 C1
x x+y=3 Considerando 6 2x 2y
z g x, y
Figura 15.64
puede usar el teorema 15.11 para un vector normal dirigido hacia arriba para obtener
F dr rot F N dS
C S
i j 2yk gx x, y i gy x, y j k dA
R
i j 2yk 2i 2j k dA
R
3 3y 4 dx dy
2y
00
3
2y2 10y 12 dy
0
2y3 5y2 3
12y
30
9.
Intente evaluar la integral de línea del ejemplo 1 directamente, sin usar el teorema
de Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C1, C2 y C3, como
sigue
C1: r1 t 3 t i tj, 0 t 3
C2: r2 t 6 t j 2t 6 k, 3 t 6
C3: r3 t t 6 i 18 2t k, 6 t 9
El valor de la integral de la línea es
F dr F r1 t dt F r2 t dt F r3 t dt
C C1 C2 C3
36 9
2t 12 dt
t2 dt 2t 6 dt
03 6
999
9.
1116 Capítulo 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 2 Comprobar el teorema de Stokes
S: z = 4 − x2 − y2 z Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.
4 Sea S la parte del paraboloide
z = 4 – x2 – y2
S
que permanece sobre el plano xy, orientado hacia arriba (ver la figura 15.65). Sea C su
N (hacia fuera) curva frontera en el plano xy orientada en el sentido contrario al de las manecillas del
reloj. Compruebe el teorema de Stokes para
F x, y, z 2zi xj y2k
−3 R 3 y evaluando la integral de superficie y la integral de línea equivalente.
3 C
x Solución Como integral de superficie, tiene z = g(x, y) = 4 – x2 – y2, gx = –2x,
R: x2 + y2 ≤ 4 gy = –2y, y
Figura 15.65
i jk
rot F xyz 2yi 2j k.
2z x y2
De acuerdo con el teorema 15.11, obtiene
rot F N dS 2yi 2j k 2xi 2yj k dA
SR
2 4 x2
4xy 4y 1 dy dx
2 4 x2
2 4 x2
2xy2 2y2 y dx
2 4 x2
2
2 4 x2 dx
2
Área del círculo de radio 2
4.
Como integral de línea, puede parametrizar C como
r t 2 cos t i 2 sen t j 0k, 0 t 2 .
Para F(x, y, z) = 2zi + xj + y2k obtiene
F dr M dx N dy P dz
CC
2z dx x dy y2 dz 0 dt
C
2
0 2 cos t 2 cos t
0
2
4 cos2 t dt
0
2
2 1 cos 2t dt
0
12
2 t sen 2t
20
4.
15.8 Teorema de Stokes 1117
α T Interpretación física del rotacional
(x, y, z) F
El teorema de Stokes proporciona una interesante interpretación física del rotacional. En
FT un campo vectorial F sea Sa un pequeño disco circular de radio a centrado en (x, y, z) y
con frontera Ca, como se muestra en la figura 15.66. En cada punto en la circunferencia
Cα FN N Ca, F tiene un componente normal F × N y un componente tangencial F × T. Cuanto
Disco Sα más alineados están F y T, mayor es el valor de F × T. Así, un fluido tiende a moverse
Figura 15.66 a lo largo del círculo en lugar de a través de él. Por consiguiente, se dice que la integral
de línea alrededor de Ca mide la circulación de F alrededor de Ca. Es decir,
F T ds circulación de F alrededor de C .
C
Ahora considere un pequeño disco Sa S rot F
centrado en algún punto (x, y, z) de la super- N
(x, y, z)
ficie, como se muestra en la figura 15.67. En Sα
un disco tan pequeño, rot F es casi constante,
porque varía poco con respecto a su valor en (x,
y, z). Es más, rot F × N es casi constante en Sa
porque todos los vectores unitarios normales a
Sa son prácticamente iguales. Por consiguiente,
del teorema de Stokes se tiene que
F T ds rot F N dS Figura 15.67
CS
rot F N dS
rot F
S
N 2.
Por tanto
rot F N F T ds
C
2
circulación de F alrededor de C
área del disco S
razón de circulación.
Suponiendo que las condiciones son tales que la aproximación mejora con discos cada
vez más pequeños (a → 0), se deduce que
rot F N lím 1 F T ds
→0
2 C
lo que se conoce como rotación de F respecto de N. Esto es,
rot F x, y, z N rotación de F respecto de N en x, y, z .
En este caso, la rotación de F es máxima cuando rot F y N tienen la misma dirección.
Normalmente esta tendencia a rotar variará de punto a punto de la superficie S, y el
teorema de Stokes
rot F N dS F dr
SC
Integral de superficie Integral de línea
afirma que la medida colectiva de esta tendencia rotacional considerada sobre toda la
superficie S (integral de superficie) es igual a la tendencia de un fluido a circular alrede-
dor de la frontera C (integral de línea).
1118 Capítulo 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 3 Una aplicación del rotacional
z Un líquido es agitado en un recipiente cilín-
drico de radio 2, de manera que su movimien-
2 to se describe por el campo de velocidad
x
F x, y, z y x2 y2i x x2 y2j
Figura 15.68
como se muestra en la figura 15.68. Encuentre
2y rot F N dS
S
donde S es la superficie superior del recipiente
cilíndrico.
Solución El rotacional de F está dado por
i jk
rot F x y z 3 x2 y2 k.
Haciendo N y x2 y2 x x2 y2 0
k, tiene
rot F N dS 3 x2 y2 dA
SR
22
3r r dr d
00
22
r3 d
00
2
8d
0
16 .
Si rot F = 0 en toda la región Q, la rotación de F respecto a cada vector unitario
normal N es 0. Es decir, F es irrotacional. De la sección 15.1, sabe que ésta es una ca-
racterística de los campos vectoriales conservativos.
RESUMEN DE FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN
Teorema fundamental del cálculo Teorema fundamental de las integrales de línea
b Fa F dr f dr f x b , y b f xa,y a
F x dx F b CC
a
Teorema de Green
M dx N dy NM dA F T ds F dr rot F k dA
C Rx y C CR
F N ds div F dA
CR
Teorema de la divergencia Teorema de Stokes
F N dS div F dV F dr rot F N dS
S Q CS
Elaine Davis/Shutterstock.com
15.8 Teorema de Stokes 1119
15.8 Ejercicios Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios
con numeración impar.
Determinar el rotacional de un campo vectorial En los Movimiento de un líquido En los ejercicios 19 y 20, el mo-
ejercicios 1 a 4, encuentre el rotacional del campo vectorial F.
vimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1 se
1. F x, y, z 2y z i ezj xyzk describe mediante el campo de velocidad F(x, y, z). Encuentre
S rot F N dS, donde S es la superficie superior del reci-
2. F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k piente cilíndrico.
3. F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyz k
19. F x, y, z i j 2k 20. F x, y, z z i yk
4. F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
Comprobar el teorema de Stokes En los ejerci- DESARROLLO DE CONCEPTOS
cios 5 a 8, compruebe el teorema de Stokes evaluando 21. Teorema de Stokes Enuncie el teorema de Stokes.
C F T ds C F dr como integral de línea e integral doble. 22. Rotacional Dé una interpretación física del rotacional.
5. F x, y, z y zi x zj x yk
S: z 9 x2 y2, z 0
6. F x, y, z y zi x zj x yk 23. Demostración Sea C un vector constante. Sea S una su-
perficie orientada con vector unitario normal N, acotada por
S: z 1 x2 y2 una curva suave C. Demuestre que
7. F x, y, z xyz i y j zk
S: 6x 6y z 12, primer octante C N dS 1 C r dr.
8. F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S 2C
S: z y2, 0 x a, 0 y a
Usar el teorema de Stokes En los ejercicios 9 a 18, utilice ¿CÓMO LO VE? Sea S1 la porción del paraboloi-
de que se encuentra arriba del plano xy, y sea S2 el
el teorema de Stokes para evaluar C F dr. En cada uno de los hemisferio, como se muestra en las figuras. Ambas
casos, C está orientada en sentido contrario a las manecillas del
superficies están orientadas hacia arriba.
reloj, como se vio anteriormente.
9. F x, y, z 2y i 3z j x k zz
C: triángulo con vértices (2, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 2)
2a 2a
10. F x, y, z arctan x i ln x2 y2 j k
y S1 S2
a a
C: triángulo con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 1) y (0, 0, 2) −a ay −a ay
a a
11. F x, y, z z2 i 2x j y2 k x x
S: z 1 x2 y2, z ≥ 0
12. F x, y, z 4xz i y j 4xy k Para un campo vectorial F(x, y, z) con derivadas parciales
continuas, ¿se cumple que
S: z 9 x2 y2, z ≥ 0
13. F x, y, z z2 i y j z k rot F N dS1 rot F N dS2?
S1 S2
S: z 4 x2 y2 Explique su razonamiento.
14. F x, y, z x2 i z2 j xyz k
S: z 4 x2 y2
15. F x, y, z ln x2 y2 i arctan x j k DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM
y
25. Sea G x, y yx
x2 4y2, x2 4y2, 0 .
S: z = 9 – 2x – 3y sobre r = 2 sen 2u en el primer octante
16. F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k, x2 y2 16 Demuestre o refute que hay una función vectorial F(x, y,
z) = (M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z)), con las propiedades
S: la porción del primer octante de x2 + z2 = 16 sobre x2 + y2 siguientes.
= 16
(i) M, N, P tienen derivadas parciales continuas en todo
17. F x, y, z xyz i y j z k (x, y, z) ≠ (0, 0, 0);
S: z x2, 0 x a, 0 y a (ii) rot F = 0 para todo (x, y, z) ≠ (0, 0, 0);
N es el vector unitario normal a la superficie, dirigido hacia (iii) F(x, y, 0) = G(x, y)
abajo.
Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition.
18. F x, y, z xyz i y j z k, x2 y2 a2 © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
S: la porción del primer octante de z2 = x2 sobre x2 + y2 = a2
1120 Capítulo 15 Análisis vectorial Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los
Ejercicios de repaso ejercicios con numeración impar.
Dibujar un campo vectorial En los ejercicios 1 y 2, calcule 23. x2 y2 ds 1 cos t j, 0 t 2
||F|| y dibuje varios vectores representativos en el campo vecto-
rial. Utilice un sistema algebraico por computadora para com- C
probar los resultados.
C: r t 1 sen t i
1. F x, y, z x i j 2 k 2. F x, y i 2y j 24. x2 y2 ds
cos t
Determinar un campo vectorial conservativo En los ejer- C t sen t i sen t t cos t j, 0 t 2
cicios 3 y 4, encuentre el campo vectorial conservativo de la fun-
ción escalar calculando su gradiente. C: r t
3. f x, y, z 2x2 xy z2 4. f x, y, z x2eyz 25. 2x y dx x 2y dy
Determinar una función potencial En los ejercicios 5 a 12, C
determine si el campo vectorial es conservativo. Si es conserva-
tivo, encuentre una función potencial para el campo vectorial. (a) C: segmento de recta desde 0, 0 hasta 3, 3
(b) C: una revolución en sentido contrario a las manecillas
del reloj, alrededor del círculo x 3 cos t, y 3 sen t
5. F x, y y1 6. F x, y 1y 26. 2x y dx x 3y dy
7. F x, y x2 i x j x2y y2 j y i x2 j cos t t sen t i sen t
xy2 x2 i C
t sen t j, 0 t 2
C: r t
8. F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j Evaluar una integral de línea En los ejercicios 27 y 28, uti-
lice un sistema algebraico por computadora para calcular la
9. F x, y, z 4x y2i 2x2 j 2z k integral de línea sobre la trayectoria dada.
10. F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2 xz k
11. F x, y, z yz i xz j xy k 27. 2x y ds 28. x2 y2 z2 ds
y2z2 C C
12. F x, y, z sen z y i x j k r t a cos3 ti a sen3 tj, r t t i t2 j t 3 2k,
0t 2 0t4
Divergencia y rotacional En los ejercicios 13 a 20, encuen- Área de una superficie lateral En los ejercicios 29 y 30, en-
tre (a) la divergencia del campo vectorial F y (b) el rotacional cuentre el área de la superficie lateral sobre la curva C en el
del campo vectorial F. plano xy y bajo la superficie z = f(x, y).
13. F x, y, z x2 i xy2 j x2z k 29. f x, y 3 sen x y ; C: y 2x desde 0, 0 hasta 2, 4
14. F x, y, z y2 j z2 k 30. f x, y 12 x y; C: y x2 desde 0, 0 hasta 2, 4
15. F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyz k
16. F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k Evaluar una integral de línea para un campo vecto-
17. F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k rial En los ejercicios 31 a 36, evalúe F dr.
18. F x, y, z x2 y i x sen2 y j C
19. F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j z k 31. F x, y xy i 2xy j
C: r t t2 i t2j, 0 t 1
20. F x, y, z z z z2k
i j 32. F x, y x y i x y j
xy
C: r t 4 cos t i 3 sen t j, 0 t 2
Evaluar una integral de línea En los ejercicios 21 a 26, calcu-
le la integral de línea a lo largo de la(s) trayectoria(s) dada(s). 33. F x, y, z x i y j z k
21. x2 y2 ds C: r t 2 cos t i 2 sen tj t k, 0 t 2
C 34. F x, y, z 2y z i z x j x y k
C: curva de intersección de x2 z2 4 y y2 z2 4 desde
(a) C: segmento de recta desde (0, 0), hasta (3, 4) 2, 2, 0 hasta 0, 0, 2
(b) C: x2 + y2 = 1, una revolución en sentido contrario a 35. F x, y, z y z i x z j x y k
las manecillas del reloj, empezando en (1, 0). C: curva de intersección de z x2 y2 y y x desde
0, 0, 0 hsta 2, 2, 8
22. xy ds
36. F x, y, z x2 z i y2 z j x k
C C: curva de intersección de z x2 y x2 y2 4 desde
0, 2, 0 hasta 0, 2, 0
(a) C: segmento de recta desde (0, 0) hasta (5, 4)
(b) C: en sentido contrario a las manecillas del reloj, a lo largo
del triángulo de vértices (0, 0), (4, 0) y (0, 2)
Ejercicios de repaso 1121
Evaluar una integral de línea En los ejercicios 37 y 38, uti- 48. x2 y2 dx 2xy dy
lice un sistema algebraico por computadora y evalúe la integral y2 a2
de línea. C
C: x2
37. xy dx x2 y2 dy 2x desde 2, 4 49. xy dx x2 dy x2 y
C C
C: y x2 desde 0, 0 hasta 2, 4 y y C: frontera de la región entre las gráficas y
hasta 0, 0 y1
38. F dr yi 2y x j 50. y2 dx x4 3 dy
y2 3 1
C C
F x, y 2x C: x2 3
C: r t 2 cos t 2t sen t i 2 sen t 2t cos t j,
0t
Trazar la gráfica de una superficie paramétrica En los ejer-
39. Trabajo Calcule el trabajo realizado por el campo de fuer- cicios 51 y 52, utilice un sistema algebraico por computadora y re-
zas F x i y j a lo largo de la trayectoria y = x3/2 desde presente gráficamente la superficie dada por la función vectorial
(0, 0) hasta (4, 8).
51. r u, v sec u cos vi 1 2 tan u sen vj 2uk
40. Trabajo Un avión de 20 toneladas sube 2000 pies haciendo
un giro de 90° en un arco circular de 10 millas de radio. En- 0u ,0 v 2 6uk
cuentre el trabajo realizado por los motores. 52. r u, v 3
e u 4 cos vi e u 4 sen vj
Usar el teorema fundamental de las integrales de lí- 0u 4, 0 v 2
nea En los ejercicios 41 y 42, use el teorema fundamental de
las integrales de línea para evaluar la integral.
41. 2xyz dx x2z dy x2y dz 53. Investigación Considere la superficie representada por la
función vectorial
C r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj sen vk.
C: curva suave desde 0, 0, 0 hasta 1, 3, 2 Utilice un sistema algebraico por computadora para efectuar lo
siguiente.
1
42. y dx x dy dz (a) Trace la gráfica de la superficie para 0 ≤ u ≤ 2p y
2 v 2.
Cz
C: curva suave desde 0, 0, 1 hasta 4, 4, 4 (b) Trace la gráfica de la superficie para 0 ≤ u ≤ 2p y
4 v 2.
43. Evaluar una integral de línea Evalúe la integral de línea
(c) Trace la gráfica de la superficie para 0 u 4 y
y2 dx 2xy dy. 1 t j, 0 t 1 0 v 2.
C (d) Trace la gráfica e identifique la curva espacial para 0 ≤ u ≤
2p y v 4 .
(a) C: r t 1 3t i
(e) Aproxime el área de la superficie graficada en el inciso (b).
(b) C: r t t i t j, 1 t 4
(f) Aproxime el área de la superficie graficada en el inciso (c).
(c) Use el teorema fundamental de las integrales de línea, 54. Evaluar la integral de superficie Evalúe la integral de
donde C es una curva suave desde (1, 1) hasta (4, 2).
superficie S z dS sobre la superficie S:
44. Área y centroide Considere la región acotada por el eje x y un
arco de la cicloide con ecuaciones paramétricas x = a(u – sen u) y r u, v u v i u v j senv k
y = a(1 – cos u). Use las integrales de línea para encontrar
(a) el área de la región y (b) el centroide de la región. donde 0 ≤ u ≤ 2 y 0 ≤ v ≤ p.
55. Aproximar una integral de superficie Utilice un sis-
Evaluar una integral de línea En los ejercicios 45 a 50, utili-
ce el teorema de Green para evaluar la integral de línea tema algebraico por computadora para trazar la gráfica de la
superficie S y aproximar la integral de superficie
45. y dx 2x dy
x y dS
C
S
C: frontera del cuadrado con vértices 0, 0 , 0, 1 , 1, 0 ,
y 1, 1 donde S es la superficie.
46. xy dx x2 y2 dy S: r u, v u cos v i u sen vj u 1 2 u k
sobre 0 u 2 y 0 v 2 .
C
C: frontera del cuadrado con vértices 0, 0 , 0, 2 , 2, 0 ,
y 2, 2
47. xy2 dx x2y dy
C
C: x 4 cos t, y 4 sen t
1122 Capítulo 15 Análisis vectorial
56. Masa Una lámina S con superficie en forma de cono está 58. F(x, y, z) = xi + yj + zk
dada por Q: región sólida acotada por los planos coordenados y el plano
2x + 3y + 4z = 12
z aa x2 y2 , 0 z a2.
Comprobar el teorema de Stokes En los ejercicios 59 y 60,
En cada punto de S, la densidad es proporcional a la distancia compruebe el teorema de Stokes mediante la evaluación
entre el punto y el eje z.
F dr
(a) Dibuje la superficie en forma de cono.
C
(b) Determine la masa de la lámina.
como una integral de línea y como una integral doble.
Comprobar el teorema de la divergencia En los ejercicios
57 y 58, compruebe el teorema de la divergencia mediante la 59. F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyz k
evaluación S: porción de z = y2 sobre el cuadrado en el plano con vértices
(0, 0), (a, 0), (a, a) y (0, a)
F N dS N es el vector normal unitario hacia arriba a la superficie.
S 60. F x, y, z x z i y z j x2 k
S: porción del primer cuadrante del plano 3x + y + 2z = 12
como una integral de superficie y como una triple integral.
61. Demostración Demuestre que no es posible que un campo
57. F(x, y, z) = x2i + xyj + zk vectorial con componentes dos veces derivables tenga un rota-
Q: región sólida acotada por los planos coordenados y el plano cional de xi + yj + zk.
2x + 3y + 4z = 12
PROYECTO DE TRABAJO
El planímetro
Ha aprendido muchas técnicas de cálculo para encontrar el área de (d) Sea N = –sen ui + cos uj. Explique por qué la distancia D
una región plana. Los ingenieros usan un dispositivo mecánico lla- que gira la rueda está dada por
mado planímetro para medir áreas planas, que se basa en la fórmula
del área dada en el teorema 15.9 (página 1078). Como puede ver en D N T ds.
la figura, el planímetro está fijo en el punto O (pero libre para pivo-
tear) y tiene una bisagra en A. El extremo del brazo trazador AB se C
mueve en sentido antihorario alrededor de la región R. Una pequeña
rueda es perpendicular a AB y está marcada con una escala para me- (e) Demuestre que el área de la región R está dada por
dir cuánto rueda conforme B traza la frontera de la región R. En este I1 I2 I3 I4 DL.
proyecto, demostrará que el área de R está dada por la longitud L del
brazo trazador AB multiplicada por la distancia D que rueda la rueda. O r(t) B
A(x, y) L
Suponga que el punto B traza la frontera de R para a ≤ t ≤ b. Rueda
El punto A se moverá hacia adelante y hacia atrás a lo largo de un θ R
arco circular alrededor del origen O. Sea u(t) el ángulo en la figura
y sean (x(t), y(t)) las coordenadas de A.
\
(a) Demuestre que el vector OB está dado por la función vec-
torial
r t x t L cos t i y t L sen t j.
(b) Demuestre que las siguientes dos integrales son iguales a PARA INFORMACIÓN ADICIONAL Para mayor información
cero. acerca del teorema de Green y planímetros, consulte el artículo
“As the Planimeter’s Wheel Turns: Planimeter Proofs for Calculus
I1 b 1L2 d dt I2 b1 dy dx Class”, de Tanya Leise, en The College Mathematics Journal. Para
a 2 dt x y dt ver este artículo, visite MathArticles.com.
a 2 dt dt
b
(c) Utilice la integral x t sen t y t cos t dt para
a
demostrar que las dos integrales siguientes son iguales.
b1 d d
I3 L y sen x cos dt
a 2 dt dt
I4 b 1L sen dx cos dy dt
a2 dt dt
Solución de problemas Solución de problemas 1123
Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones
trabajadas de los ejercicios con numeración impar.
1. Flujo de calor Considere una sola fuente de calor localiza- 3. Momentos de inercia Considere un alambre de densidad
da en el origen con temperatura r(x, y, z) dado por la curva espacial
T x, y, z 25 C: r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, a ≤ t ≤ b.
. Los momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z están
dados por
x2 y2 z2
Ix C y2 z2 x, y, z ds
(a) Calcule el flujo de calor a través de la superficie Iy C x2 z2 x, y, z ds
Iz C x2 y2 x, y, z ds.
S x, y, z : z 1 x2, 1 x 21, 0 y 1
2 Encuentre los momentos de inercia para un alambre de densi-
dad uniforme r = 1 en la forma de la hélice
como se muestra en la figura.
r t 3 cos ti 3 sen tj 2tk, 0 t 2 (ver figura).
z
2N r(t) = 3 cos t i + 3 sen t j + 2t k t2 2 2 t 3/2
S 2 3
z r (t) = i + t j + k
1
z
1 1y 12 2
x 10
8
(b) Repita el cálculo del inciso (a) usando la parametrización 6 1
x = cos u, y = v, z = sen u 4
donde 2 1 1 y
x 2
2 2
u 3 y0 v 1. x 2 y
. Figura para 3
3
Figura para 4
2. Flujo de calor Considere una sola fuente de calor localiza- 4. Momentos de inercia Encuentre los momentos de iner-
da en el origen con temperatura
T x, y, z 25 cia del cable de densidad 1 t dado por la curva
. 1
x2 y2 z2
(a) Calcule el flujo de calor a través de la superficie C: r t t2 2 2 t3 2
i tj k, 0 t 1 (ver figura).
23
S x, y, z : z 1 x2 y2, x2 y2 1
como se muestra en la figura. 5. Ecuación de Laplace Sea F(x, y, z) = xi + yj + zk, y sea
f(x, y, z) = ||F(x, y, z)||.
(b) Repita el cálculo del inciso (a) usando la parametrización F
f 2.
x sen u cos v, y sen u sen v, z cos u (a) Demuestre que ln f
donde
(b) Demuestre que 1 fF3.
f
0 u 2 y0 v 2. (c) Demuestre que f n nf n 2F.
z (d) El laplaciano es el operador diferencial
N1 22 2
2
z2
x2 y2
0.
S y la ecuación de Laplace es
2w 2w 2w 2w
x2 y2 z2
1 1y Cualquier función que satisface esta ecuación se llama armó-
x nica. Demuestre que la función w = 1/f es armónica.
1124 Capítulo 15 Análisis vectorial 10. Trabajo El campo de fuerzas F(x, y) = (3x2y2)i + (2x3y)j se
muestra en la siguiente figura. Tres partículas se mueven del
6. Teorema de Green Considere la integral de línea punto (1, 1) al punto (2, 4) a lo largo de trayectorias diferentes.
Explique por qué el trabajo realizado es el mismo con las tres
yn dx xn dy partículas y encuentre el valor del trabajo.
C y
donde C es la frontera de la región que yace entre las gráficas 6
de y a2 x2 a > 0 y y = 0.
5
(a) Use un sistema algebraico por computadora para compro-
bar el teorema de Green para n, un entero impar de 1 a 7. 4
(b) Use un sistema algebraico por computadora para com- 3
probar el teorema de Green para n, un entero par de 2 a 8.
2
(c) Para un entero impar n, haga una conjetura acerca del
valor de la integral. 1
x
7. Área Utilice una integral de línea para calcular el área aco-
tada por un arco de la cicloide x(u) = a(u – sen u), y(u) = 123456
a(1 – cos u), 0 ≤ u ≤ 2p, como se muestra en la figura.
11. Demostración Sea S una superficie suave orientada, con
yy vector normal N, acotada por una curva suave simple cerrada C.
Sea v un vector constante. Demuestre que
2a 1
x 2v N dS v r dr.
−1 1
SC
x −1 12. Área y trabajo ¿Cómo se compara el área de la elipse
2π a
Figura para 8
Figura para 7 x2 y2 1 con la magnitud del trabajo realizado por el cam-
a2 b2
8. Área Utilice una integral de línea para hallar el área acotada po de fuerzas
por los dos lazos de la curva en forma de ocho
1 1
1 F x, y 2 yi 2 xj
2
xt sen 2 t, yt sen t, 0 t 2
como se muestra en la figura. sobre una partícula que da una vuelta alrededor de la elipse
(vea la figura)?
9. Trabajo El campo de fuerzas F(x, y) = (x + y)i + (x2 + 1)j
actúa sobre un objeto que se mueve del punto (0, 0) al punto y
(0, 1), como se muestra en la figura.
1
y
1 x
−1 1
−1
x 13. Comprobar identidades
1
(a) Sean f y g funciones escalares con derivadas parciales con-
(a) Encuentre el trabajo realizado si el objeto sigue la trayec- tinuas, si se satisfacen las condiciones C y S del teorema de
toria x = 0, 0 ≤ y ≤ 1. Stokes, compruebe cada una de las identidades siguientes.
(b) Encuentre el trabajo realizado si el objeto sigue la trayec- (i) f g dr f g N dS
toria x = y – y2, 0 ≤ y ≤ 1.
CS
(c) Suponga que el objeto sigue la trayectoria x = c(y – y2),
0 ≤ y ≤ 1, c > 0. Encuentre el valor de la constante c que (ii) f f dr 0 (iii) f g g f dr 0
minimiza el trabajo.
CC
(b) Demuestre los resultados del inciso (a) para las funciones
f(x, y, z) = xyz, y sea g(x, y, z) = z. Sea S el hemisferio
z 4 x2 y2.
Apéndices
Apéndice A Demostración de teoremas seleccionados A-2
Apéndice B
Apéndice C Tablas de integración A-3
Apéndice D Repaso de precálculo (en línea)
Apéndice E C.1 Números reales y recta numérica
Apéndice F C.2 El plano cartesiano
C.3 Repaso de funciones trigonométricas
Rotación y la ecuación general de segundo grado (en línea)
Números complejos (en línea)
Negocios y aplicaciones económicas (en línea)
A1
A Demostración de teoremas seleccionados
En esta edición hemos realizado el Apéndice A con demostraciones de teoremas selec-
cionados en formato de video (en inglés) en LarsonCalculus.com. Cuando navegue en
este sitio de Internet, encontrará un enlace donde Bruce Edwards explica cada demos-
tración del libro, incluyendo los de este apéndice. Esperamos que estos videos mejoren
su estudio del cálculo. La versión en texto de este apéndice está disponible (en inglés y
con un costo adicional) en CengageBrain.com.
Ejemplo de demostraciones de teoremas seleccionados
en LarsonCalculus.com
1.5 Límites infinitos 87
TEOREMA 1.15 Propiedades de los límites infinitos
Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que
lím f x y lím g x L.
xqc
xqc
1. Suma o diferencia: lím f x t g x
xqc
2. Producto: lím f x g x , L> 0
, L< 0
xqc
lím f x g x
xqc
3. Cociente: gx 0
lím
xqc f x
Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo lími-
te de f(x) cuando x tiende a c es –∞ [vea el ejemplo 5(d)].
Demostración Esta es una demostración de la propiedad de la suma. [Las demos-
traciones de las demás propiedades se dejan como ejercicio (vea el ejercicio 70).] Para
demostrar que el límite de f(x) + g(x M > 0. Se necesita entonces
encontrar una d > 0 tal que f x g x > M siempre que 0 < x c < . Para
L es positivo. Sea M1 = M + 1. Puesto que el límite de f(x) es
d1 tal que f(x) > M1 siempre que 0 < x c < 1. Como además el
límite de g(x) es L existe una d2 tal que g x L < 1 siempre que 0 < x c < 2.
Haciendo que d sea el menor de d1 y d2, puede concluir que 0 < x c < implica
que f x > M 1 y g x L < 1. La segunda de estas desigualdades implica que
g x > L 1 y, sumando esto a la primera desigualdad, se obtiene
f x g x > M 1 L 1 M L > M.
Por lo tanto, puede concluir que
lím f x g x .
xqc
Consulte LarsonCalculus.com para el video de Bruce Edwards de esta demostración.
EJEMPLO 5 Calcular límites
a. Puesto que lím 1 1 y lím 1 , se puede escribir
xq0
xq0 x2
lím 1 1 . Propiedad 1, teorema 1.15
x2
xq0
b. Puesto que lím x2 1 2 y lím cot x , se deduce que
xq1 xq1
x2 1 Propiedad 3, teorema 1.15
lím 0.
xq1 cot x
c. Puesto que lím 3 3 y lím cot x , se deduce que
xq0 xq0
COMENTARIO Observe lím 3 cot x . Propiedad 2, teorema 1.15
que la solución del ejemplo 5(d) 1
utiliza la propiedad 1 del teo- xq0 , se deduce que
rema 1.15 para el límite de f(x) 0 y lím
conforme x se acerca a c es –∞. d. Puesto que lím x2 xq0 x
xq0
lím x2 1 . Propiedad 1, teorema 1.15
x
xq0
A2
B Tablas de integración
Formas que implican un
1. un du un 1 C, n 1 2. 1 du ln u C
n1 u
Formas que implican a bu
3. u1 a ln a bu C u 1a C
du b2 bu 4. a bu 2 du b2 a bu ln a bu
a bu
5. u 1 1 a C, n 1, 2
a bu n du b2 n 2 a bu n 2 n 1 a bu n 1
6. u2 1 bu a2 ln a bu
du 2 2a bu C
a bu b3
7. u2 1 bu a2 2a ln a bu C
a bu 2 du b3 a bu
u2 1 2a a2
8. a bu 3 du b3 a bu 2 a bu 2 ln a bu C
9. a u2 n du 1 1 2a a2 C, n 1, 2, 3
bu b3 n 3 a bu n 3 n 2 a bu n 2 n 1 a bu n 1
10. 1 du 1 ln a u C 1 11 1 u C
u a bu a bu 11. u a bu 2 du a a bu a ln a bu
1 du 11 bu 1 1 a 2bu 2b u
12. bu au a ln a bu C 13. u2 a bu 2 du a2 u a bu a ln a bu C
u2 a
Formas que implican a bu cu2, b2 4ac
1 2 2cu b b2 < 4ac
14. a bu cu2 du 4ac b2 arctan 4ac b2 C, C, b2 > 4ac
1 4ac ln 2cu b b2 4ac
b2 2cu b b2 4ac
15. a u 1 ln a bu cu2 1
bu cu2 du 2c b a bu cu2 du
Formas que implican a bu
16. un a bu du 2 un a bu 3 2 na un 1 a bu du
b 2n 3
17. 1 1 a bu a C, a > 0
u a bu du a ln a bu a C, a < 0
2 a bu
a arctan a
18. 1 1 a bu 2n 3 b 1 bu du , n 1
un a bu du an 1 un 1 2 un 1 a
A3
A4 Apéndice B Tablas de integración
a bu 1
19. du 2 a bu a du
u u a bu
20. a bu du 1 a bu 3 2 2n 5 b a bu
un an 1 un 1 2 un 1 du , n 1
u 2 2a bu
21. du 3b2 a bu C
a bu
22. un 2 un a bu na un 1
du 2n 1 b du
a bu a bu
Formas que implican a2 ± u2, a > 0
1 1u
23. a2 u2 du a arctan a C
1 1 1 ua
24. u2 a2 du a2 u2 du 2a ln u a C
1 1u 1
25. a2 ± u2 n du 2a2 n 1 a2 ± u2 n 1 2n 3 a2 ± u2 n 1 du , n 1
Formas que implican u2 ± a2, a > 0
26. u2 ± a2 du 1 u u2 ± a2 ± a2 ln u u2 ± a2 C
2
27. u2 u2 ± a2 du 1 u 2u2 ± a2 u2 ± a2 a4 ln u u2 ± a2 C
8
28. u2 a2 u2 a2 a ln a u2 a2 C
du u
u
29. u2 a2 u2 a2 a arcsec u C
du
ua
30. u2 ± a2 du u2 ± a2 ln u u2 ± a2 C
u2 u
1
31. u2 ± a2 du ln u u2 ± a2 C
1 1 ln a u2 a2 C 33. 1 1 arcsec u C
32. u u2 a2 du a u u u2 a2 du a a
34. u2 1 u u2 ± a2 a2 ln u u2 ± a2 C
u2 ± a2 du 2
1 u2 ± a2 C 36. 1 ±u C
35. du a2u u2 ± a2 3 2 du a2 u2 ± a2
u2 u2 ± a2
Formas que implican a2 u2, a > 0
37. a2 u2 du 1 u a2 u2 a2 arcsen u C
2a
38. u2 a2 u2 du 1 u 2u2 a2 a2 u2 a4 arcsen u C
8a
Apéndice B Tablas de integración A5
a2 u2 a2 u2 a ln a a2 u2 a2 u2 a2 u2 u
39. du u C 40. u2 du arcsen C
ua
u
1u 1 1 ln a a2 u2 C
41. a2 u2 du arcsen a C 42. u a2 u2 du a u
43. u2 1 u a2 u2 a2 arcsen u C 1 a2 u2
a2 u2 du 2 a 44. u2 a2 u2 du a2u C
1u
45. a2 u2 3 2 du a2 a2 u2 C
Formas que implican sen u o cos u
46. sen u du cos u C 47. cos u du sen u C
48. sen2 u du 1 u sen u cos u C 49. cos2 u du 1 u sen u cos u C
2 2
50. senn u du senn 1 u cos u n1 senn 2 u du 51. cosn u du cosn 1 u sen u n1 cosn 2 u du
n n n n
52. u sen u du sen u u cos u C 53. u cos u du cos u u sen u C
54. un sen u du un cos u n un 1 cos u du 55. un cos u du un sen u n un 1 sen u du
56. 1 du tan u sec u C 57. 1 du cot u ± csc u C
1 ± sen u 1 ± cos u
58. sen 1 u du ln tan u C
u cos
Formas que implican tan u, cot u, sec u o csc u
59. tan u du ln cos u C 60. cot u du ln sen u C
61. sec u du ln sec u tan u C
62. csc u du ln csc u cot u C o csc u du ln csc u cot u C
63. tan2 u du u tan u C 64. cot2 u du u cot u C
65. sec2 u du tan u C 66. csc2 u du cot u C
67. tann u du tann 1 u tann 2 u du, n 1 68. cotn u du cotn 1 u cotn 2 u du, n 1
n1 n1
69. secn u du secn 2 u tan u n 2 secn 2 u du, n 1
n1 n1
70. cscn u du cscn 2 u cot u n 2 cscn 2 u du, n 1
n1 n 1
A6 Apéndice B Tablas de integración
71. 1 1 u du 1 u ± ln cos u ± sen u C 72. 1 1 u du 1 ln sen u ± cos u C
± tan 2 ± cot u
2
73. 1 ± 1 u du u cot u csc u C 74. 1 ± 1 u du u tan u ± sec u C
sec csc
Formas que implican funciones trigonométricas
75. arcsen u du u arcsen u 1 u2 C 76. arccos u du u arccos u 1 u2 C
77. arctan u du u arctan u ln 1 u2 C 78. arccot u du u arccot u ln 1 u2 C
79. arcsec u du u arcsec u ln u u2 1 C 80. arccsc u du u arccsc u ln u u2 1 C
Formas que implican eu 82. ueu du u 1 eu C
81. eu du eu C
83. uneu du uneu n un 1eu du 84. 1 u ln 1 eu C
1 eu du
85. eau sen bu du eau b cos bu C 86. eau cos bu du eau b sen bu C
a2 b2 a sen bu a2 b2 a cos bu
Formas que implican ln u
87. ln u du u 1 ln u C 88. u ln u du u2 1 2 ln u C
4
89. un ln u du un 1 n 1 ln u C, n 1
n 12 1
90. ln u 2 du u 2 2 ln u ln u 2 C 91. ln u n du u ln u n n ln u n 1 du
Formas que implican funciones hiperbólicas
92. cosh u du senh u C 93. senh u du cosh u C
94. sech2 u du tanh u C 95. csch2 u du coth u C
96. sech u tanh u du sech u C 97. csch u coth u du csch u C
Formas que implican funciones hiperbólicas inversas (en forma logarítmica)
98. du ln u u2 ± a2 C 99. du 1a u C
u2 ± a2 a2 u2 ln u
2a a
du 1a a2 ± u2
100. ln C
u a2 ± u2 a u
Respuestas a los problemas con numeración impar
TOMO 2 29. x2 36 y2 11 1 1
Capítulo 10 31. x 3 2 9 y 5 2 16
33. x2 16 7y2 16 1
Sección 10.1 (página 692)
35. Centro: 0, 0 37. Centro: 2, 3
1. a 2. e 3. c 4. b 5. f 6. d Vértices: ± 5, 0 Focos: 2 ± 10, 3
7. Vértice: 0, 0
9. Vértice: 5, 3 Focos: ± 41, 0 Vértices: 1, 3 , 3, 3
Foco: 2, 0
Directriz: x 2 Foco: 241, 3 ± abx y
4
y 19 Asíntotas: y
4 ± 5x
Directriz: x x
y 246
−2
6 6 −2
4 5
4 y
(0, 0) (−5, 3) 3 −4
24 2
1 15
x 10 −6
−8 −6 −4 −2
5
−4 x x
−6 10 15
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 −15 −10
−1 −5
−10
11. Vértice: 1, 2 13. Vértice: 2, 2 −15
Foco: 2, 1
Foco: 0, 2 Directriz: y 3
Directriz: x 2 y 39. Hipérbola degenerada: 1
La gráfica consta de dos rectas y 3
y 4 cortan en 1, 3 . 3 ± x 1 , que se
(−2, 2)
6 y
4 x x
(−1, 2) 2 2
−2 x −6 −4 −2 −4 −2
−2 246 −2 −2
−4
−4 −6
15. y2 8y 8x 24 0 17. x2 32y 160 0
19. x2 y 4 0 21. 5x2 14x 3y 9 0 41. x2 1 y2 25 1 43. y2 9 x 2 2 9 4 1
45. y2 4 x2 12 1 47. x 3 2 9 y 2 2 4 1
23. Centro: 0, 0 25. Centro: 3, 1
Focos: 0, ± 15 Focos: 3, 4 , 3, 2
Vértices: 0, ± 4 Vértices: 3, 6 , 3, 4 49. (a) 6, 3 : 2x 3 3 y 3 0
e 15 4
e 3 6, 3 : 2x 3 3 y 3 0
y 5
y (b) 6, 3 : 9x 2 3y 60 0
46 6, 3 : 9x 2 3y 60 0
2 (0, 0) x 4 (3, 1) 51. Elipse 53. Parábola 55. Circunferencia 57. Hipérbola
1 234 2468
−2 x 59. (a) Una parábola es el conjunto de todos los puntos x, y que
−4 −3 −2 −2 son equidistantes desde una recta fija a un punto fijo que no
está sobre la recta.
−4 −4
(b) Para la directriz y k p: x h 2 4p y k
27. Centro: 2, 3
Para la directriz x h p: y k 2 4 p x h
Focos: 2, 3 ± 5 (c) Si P es un punto que se encuentra en la parábola, entonces
Vértices: 2, 6 , 2, 0
e 53 la recta tangente a la parábola en P hace ángulos iguales
con la recta que pasa por P y los focos, y con la recta que
y pasa por P paralela a los ejes de la parábola.
61. (a) Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos x, y para
6 los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias
(− 2, 3) 4
de dos puntos fijos distintos es una constante.
2
x h2 y k2
−6 −4 −2 (b) El eje transversal es horizontal: a2 b2 1
x El eje transversal es vertical: y k2 x h2 1
2 a2 b2
A7
A8 Respuestas a los problemas con numeración impar
(c) El eje transversal es horizontal: ba x h 9. y 11. y
y k ba x h yy k ab x h
El eje transversal es vertical: −4 −3 5 8
y k ab x h yy k 4
3 4
63. (a) Elipse (b) Hipérbola (c) Circunferencia 2 x
(d) Ejemplo de respuesta: Elimine el término y2 1
−4 4 8 12
x
−1 1 2 3 4 y x 42
65. 9 m 67. (a) Demostración (b) Punto de intersección: 3, 3
4
y x 3x
69. 1
y p = 4 p=1
28 Cuando p aumenta, la gráfica de 13. y 15. y
p=2 5 3
x2 4py se hace más ancha. 4
p= 3 3
2 2 2
1
p= 1 1
2
x
123
−16 −8 x x −2
8 16 −3
−2 −1 1234
−1
71. 16 4 3 3 2 3 15.536 ft2
73. Distancia mínima: 147,099,713.4 km y x3 1, x > 0 y 1 x, x 1
Distancia máxima: 152,096,286.6 km 17. y
75. Aproximadamente 0.9372 77. e 0.9671
79. (a) Área 2 (b) Volumen 8 3 6
4
Área superficial 2 9 4 3 9 21.48 2
(c) Volumen 16 3 −6 −4 −2 x
−4 246
−6
46 3 ln 2 3
Área superficial 3 34.69
81. 37.96 83. 40 85. x 6 2 9 y 2 2 7 1 x2 y2 64
19. 6
87. x 110.3 mi 89. Demostración
−9
91. Falso. Ver la definición de parábola 93. Verdadero 21. 2
95. Verdadero −1 8
9
97. Problema Putnam B4, 1976
Sección 10.2 (página 703) −6 −4
1. y 3. y x2 y2 x 42 y 12 1
36 1 4 1
7 4
6 23. 16 25. 6
x
−2 2 4 8
4
3
2 −9 9
−12 6
1
−5 −3 −2 −1 x
123
−4 −6
3x 2y 11 0 y x 12 x 32 y 22 x2 y2
16 25 16 9 1
5. y 7. y 1
27. 2
1 2 29. 3
1
x −4 −3 −2 −1 1 x
34
−2
−3 −2 −1 123 −3 −1 5
−4 −1
−5 −2 5
−6
y 1 x2 3 y ln x
2
−1
y x2 5, x 0 y 1 , x>0
x3
Respuestas a los problemas con numeración impar A9
31. Cada curva representa una porción de la recta y 2x 1. 69. d; 4, 0 está en la gráfica. 71. b; 1, 0 está en la gráfica.
Dominio Orientación Suave 73. x a b sen ; y a b cos
(a) < x < Hacia arriba Sí 75. Falso. La gráfica de las ecuaciones paramétricas es la porción
(b) 1 x 1
Oscila No, dx dy 0 de la recta y x cuando x 0.
d d
77. Verdadero
cuando 79. (a) x 440 cos t; y 3 440 sen t 16t2
3 3
0, ± , ± 2 , . . . .
(b) 30 (c) 60
(c) 0 < x < Hacia abajo Sí
(d) 0 < x < Hacia arriba Sí
33. (a) y (b) representan la parábola y 2 1 x2 para
1 x 1. La curva es suave. La orientación es de derecha 0 400 0 400
0 0
a izquierda en el inciso (a) y en el inciso (b).
No es un home run Home run
35. (a) 4 4
(d) 19.4
−6 6 −6 6 Sección 10.3 (página 711)
−4 −4 1. 3 t 3. 1
(b) La orientación es al revés 5. dy 34, d2y 0; No es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia
dx dx2
(c) La orientación es al revés
abajo
(d) Las respuestas varían. Por ejemplo
7. dy dx 2t 3, d 2y dx2 2
x 2 sec t x 2 sec t
y 5 sen t y 5 sen t En t 1, dy dx 1, d2y dx2 2; Cóncava hacia arriba
se tienen las mismas gráficas, pero la orientación está 9. dy dx cot , d 2y dx2 csc 3 4
invertida En 4, dy dx 1, d 2y dx2 2 2;
37. y y1 y2 y1 x x1 x h2 y k2 Cóncava hacia abajo
x2 x1 39. a2 b2 1
11. dy dx 2 csc , d 2y dx2 2 cot3
41. x 4t 43. x 3 2 cos En 6, dy dx 4, d 2y dx2 6 3;
y 7t y 1 2 sen Cóncava hacia abajo
(La solución no es única) (La solución no es única) 13. dy dx tan , d 2y dx2 sec4 csc 3
45. x 10 cos 47. x 4 sec En 4, dy dx 1, d 2y dx2 4 2 3;
y 6 sen y 3 tan Cóncava hacia arriba
(La solución no es única) (La solución no es única) 15. 2 3, 3 2 : 3 3x 8y 18 0
49. x t 51. x t 0, 2 : y 2 0
y 6t 5; y t3; 2 3, 1 2 : 3x 8y 10 0
xt1 x tan t 17. 0, 0): 2y x 0
y 6t 1 y tan3 t 3, 1 : y 1 0
(La solución no es única) (La solución no es única) 3, 3 : 2x y 9 0
53. x t 3, y 2t 1 55. x t, y t2 19. (a) y (d)
57. 5 59. 5 8 (b) En t 1, dx dt 6,
dy dt 2 y dy dx 1 3.
(6, 5) (c) y 1 x 3
3
−8 10
−2 16 −2 7
−1 −1 −4 (b) En t 1, dx dt 3,
dy dt 0 y dy dx 0.
No es suave en 2n Es suave en todas partes 21. (a) y (d)
61. 4 63. 4 (c) y 2
5
−6 6 −6 6 8
(4, 2)
−1
−4 −4 −3
No es suave en 1 n Es suave en todas partes 23. y ± 3 x 25. y 3x 5 y y 1
2 4 1, , 1, 2
3 2, 1 , 5 2, 1
65. Una curva plana C es el conjunto de las ecuaciones paramétricas 27. Horizontal: 1, 0 ,
31. Horizontal: 5, 2 , 3, 2
x f t y y g t , y la gráfica de las ecuaciones paramétricas. Vertical: No hay
67. Una curva C se representa por x f t y y g t , en un Vertical: 2, 1 ,
intervalo I se llama suave cuando f y g sean continuas en I y 29. Horizontal: 4, 0
no simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos Vertical: No hay
terminales de I.
A10 Respuestas a los problemas con numeración impar
33. Horizontal: 0, 3 , 0, 3 93. Demostración
Vertical: 3, 0 , 3, 0 95. (a) 2
35. Horizontal: 5, 1 , 5, 3 37. Horizontal: No hay
Vertical: 8, 2 , 2, 2 Vertical: 1, 0 , 1, 0 −3 3
39. Cóncava hacia abajo: <t<0
Cóncava hacia arriba: 0 < t <
41. Cóncava hacia arriba: t > 0 −2
43. Cóncava hacia abajo: 0 < t < 2 (b) Circunferencia de radio 1 y centro en 0, 0 excepto en el
punto 1, 0
Cóncava hacia arriba: 2 < t <
(c) Cuando t aumenta de 20 a 0, la rapidez aumenta, y cuando
45. 4 13 14.422 47. 2 1 e 2 1.12 t aumenta de 0 a 20, la rapidez disminuye.
6 37 3.249 51. 6a
49. 1 ln 37 6 53. 8a
12 (b) 219.2 pies
55. (a) 35 d gt
dt f t
(c) 230.8 pies d2y f tg t g tf t .
97. Falso dx2 ft
ft3
0 240 Sección 10.4 (página 722)
0
57. (a) 4 (b) 0, 0 , 4 3 2 3, 4 3 4 3 1. π 3. π
2 2
(c) Aproximadamente 6.557 ( (8, π ( (− 3π
2 4
4, −
−6 6
−4 0 0
3
59. (a) 3 246 1234
0, 8 2 2, 2 2 2.828, 2.828
5.
− 3− 3 π 7. π
2 2
−1 −1 0
1
(b) La rapidez promedio de la partícula en la segunda trayec- ( 2, 2.36)
toria es dos veces la rapidez promedio de la partícula en
la primera trayectoria. 0
1
(c) 4
( (7, 5π
4 4
61. S 2 10 t 2 dt 32 10 317.907
0 4.95, 4.95 1.004, 0.996
11. y
2
3
63. S 2 sen cos 4 cos2 1d 9. π
2
0
55 1
6 (− 4.5, 3.5) 2
(2, 2)
5.330 0
12345 1
65. (a) 27 13 (b) 18 13 67. 50 69. 12 a2 5
71. Vea el teorema 10.7. Forma paramétrica de la derivada de la x
123
página 706.
73. 6 4.214, 1.579 2 2, 4 , 2 2, 5 4
15. y
b dx 2 dy 2 13. y
dt dt
75. (a) S 2 g t
dt
a
dy 2
b dx 2 dt 5 x
dt 4
(b) S 2 f t dt (− 3, 4) −2 −1
81. d
a
77. Demostración 79. 3 2 82. b 83. f 3
84. c 85. a 86. e 87. 43, 8 89. 288 2 −1
5
(−1, − 3 )
91. (a) dy dx sen 1 cos ; d2y dx2 1 a cos 12 1
−2
1 x
2
(b) y 2 3x a 6 a1 32 −4 −3 −2 −1 1
(c) a 2n 1 , 2a 5, 2.214 , 5, 5.356 2, 4 3 , 2, 3
(d) Cóncava hacia abajo en 0, 2 , 2 , 4 , etc.
(e) s 8a
Respuestas a los problemas con numeración impar A11
17. y 19. y 39. x 3 0 41. x2 y 0
2 4 y y
1 3
2 ,) )75 3 7
1 4 2 2
1 6
x 12 5
−1 1234 4
−1 (3, −2)
3
−2
x 2
−3
−1 1234
−1
1
x
3.606, 0.588 3.052, 0.960 x −4 −3 −2 −1 1234
3.606, 2.554 3.052, 4.102
43. 4 45. 4
21. (a) y (b) π
2
4
(4, 3.5) −9 3
0 −4 5
31 0 <2 −4 0 −2
47. 5 49.
2 <2
(4, 3.5) 2
1
x
1234
23. r 3 25. r a −10 5 −3 3
π π
2 2
−5 −2
<< 0 <4
51. 2
0 0
a
12
−3 3
27. r 8 csc 29. r 2 −2
π 3 cos sen 0 <2
2
π 53. x h 2 y k 2 h2 k2
2 Radio: h2 k2
Centro: h, k
55. 17 57. Aproximadamente 5.6
0 dy 2 cos 3 sen 1
12 59.
0 dx 6 cos2 2 sen 3
246
5, 2 : dy dx 0
31. r 9 csc2 cos 33. x2 y2 16 2, : dy dx 2 3
π y 1, 3 2 : dy dx 0
2
61. (a) y (b) (c) dy dx 1
0
1234567 3 4
2
1 x −8 4
−3 −2 −1 123
−2 −4
−3
63. (a) y (b)
(c) dy dx 3
5
35. x2 y2 3y 0 37. x2 y2 arctan y x
y y
4 12
9
2 6 −4 5 6 , 12, 5 6
1 3 6
−2 −1 x −1
12 x
9 65. Horizontal: 2, 3 2 , 12,
Vertical: 32, 7 6 , 32, 11
−6
−9 67. 5, 2 , 1, 3 2
−12
A12 Respuestas a los problemas con numeración impar
69. π 71. π 95. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de r f en
2 2
r, es
0 dy f cos f sen .
dx f sen f )cos
123
Si f 0 y f 0, entonces es tangente al polo.
0 97. (a) π (b) π
123 2 2
0 2
73. π 75. π
2 2
0 0
12 12
0 0 (c) π
4 3 2
6, 2, 5 6 0, 2
77. π 79. π
2 2
0
12
99. Demostración
0 0 101. (a) r 2 sen 4 (b) r 2 cos
4 12 10
246 2 sen cos
2
2 4
4
π π −6 6
2 2 6
81. 83.
−6 6
−4
0 −4 (d) r 2 cos
2
(c) r 2 sen 4
0
12 4
π −6 6 −6
2
85. π 87.
2 91. 0
1
20
3
y=2 −4 −4
10 103. (a) π (b) π
5 2 2
−15 0
15
−15
0 0
12 12
89. x = −1
4
−6 6 −3 3 105. 3
3
−1 −6
−4
107. −3
93. El sistema coordenado rectangular es un conjunto de puntos de
la forma (x, y), donde x es la distancia dirigida desde el eje y al −3 2
punto y y es la distancia dirigida desde el eje x al punto. Cada
punto tiene una representación única. 2
El sistema coordenado polar es el conjunto de puntos de la forma
(r, u), donde r es la distancia dirigida desde el origen O al punto θ
P y u es el ángulo de dirección, medido en sentido contrario a las
manecillas del reloj, desde el eje polar al segmento OP. Las 3
coordenadas polares no tienen representaciones únicas.
ψ −2
arctan 1 18.4
3
Respuestas a los problemas con numeración impar A13
109. 16 111. Verdadero 113. Verdadero 43. 5 a2 4 45. a2 2 2
ψ
− 20 22 47. (a) x2 y2)3 2 ax2
θ
(b) 4
a=4 a=6
− 12 −6 6
3, 60
Sección 10.5 (página 731) −4
2 1 32 (c) 15 2
3. 3
1. 8 sen2 d 2 sen 2 d 5. 9 49. El área encerrada por la función es a2 4 si n es impar y
8 22 a2 2 si n es par.
0 11. 3 2 0.5
13. 27 15. 4 51. 16 53. 4 55. 8
7. 3 9. 19.
3.5 57. 4 59.
17. 2
−1 4 −0.5 0.5
−3
2 −2 − 0.5 3 −1 2 − 0.5
21. 2 9 −1
3 32 23. 332 Aproximadamente 0.71
Aproximadamente 4.16
2 −9 2 61. 1
4
−1 −1 2
−2 − 10 −1
33 9 27 3 Aproximadamente 4.39
25. 1, 2 , 1, 3 2 , 0, 0
63. 36 65. 2 1 a2 e a 2a 67. 21.87
1 4a2
27. 2 2, 3 ,2 2, 7 , 0, 0
4 4
2 2 69. Sólo encontrará puntos de intersección simultáneos. Ahí pueden
estar los puntos de intersección que no tienen las mismas coorde-
29. 32, 6 , 23, 5 , 0, 0 31. 2, 4 , 2, 4
6 nadas en las dos gráficas.
33. r = cos θ 35. r=2 4 r = 4 sen 2θ 71. (a) Circunferencia de radio 5 (b) Circunferencia de radio 5 2
1 25
−4 5 Área 25 Área 4
−6 6 π π
2 2
−5 r = 2 − 3 senθ −4
0, 0 , 0.935, 0.363 , 4 4 33 0
0.535, 1.006 3 5
5 r = 4 sen θ
0
En diferentes tiempos la gráfica 123
toca al polo (valores u).
37. 6 r = −3 + 2 sen θ 39. 73. 40 2
75. (a) 16
(b)
−9 9
−6 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
−6 r = 3 − 2 sen θ −3 r = 2 A 6.32 12.14 17.06 20.80 23.27 24.60 25.08
11 24 2 4 33 (c) y (d) Para 1 de área 4 12.57 : 0.42
41. 1.5 3 4
r=1 r = 2 cos θ Para 1 de área 8 25.13 : 1.57 2
2
Para 3 de área 12 37.70 : 2.73
4
−2 2.5 (e) No. Los resultados no dependen de los radios. Las respues-
tas varían.
− 1.5 77. Circunferencia
3 32
A14 Respuestas a los problemas con numeración impar
79. (a) 12 17. e 2 19. e 1
2
− 10 Distancia 5
2 Distancia 6
π
14 2 π
2
− 12
La gráfica será más larga y más amplia. La gráfica se refleja 0 0
13
sobre el eje y. 468
(b) an , n , donde n 1, 2, 3, . . .
(c) Aproximadamente 21.26 (d) 4 3 3
81. r 2 cos Hipérbola Elipse
23.
83. Falso. Las gráficas de f 1y g 1 coinciden. 21. e 1 1
2 −2
85. Demostración
Distancia 50
Sección 10.6 (página 739) π 2
2
1. 4 3. e = 1.0 4 e = 0.5
e = 0.5 e = 1.5 −2
−4
−9 9 10 20 0 Elipse
e = 1.0 e = 1.5 40
8 1
2
e
−4 −8 Elipse
25.
(a) Parábola (a) Parábola
(b) Elipse (b) Elipse 15 27. 8
(c) Hipérbola (c) Hipérbola
5. (a) 5 e = 0.1 (b) 5 −8 7 −12 12
−30 30 −30 30
e = 0.25
e = 0.5 − 15 −8
e = 0.75 Parábola Girada 3 radián en sentido
e1
e = 0.9 − 40 contrario a las manecillas
− 40 29. 5
del reloj.
Elipse Parábola −8
8
Cuando e → 1 , la elipse será 31. r
más elíptica y cuando e → 0 ,
8 5 cos 6
será más circular.
4
(c) 80 e = 1.1
− 90 e = 1.5 −3
e=2 Girada 6 radián en sentido de las manecillas del reloj.
90 33. r 3 1 cos 35. r 1 2 sen
37. r 2 1 2 cos 39. r 2 1 sen
− 40 41. r 16 5 3 cos 43. r 9 4 5 sen
Hipérbola 45. r 4 2 cos
Cuando e → 1 , la hipérbola abrirá más lentamente, y 47. Si 0 < e < 1, la cónica es una elipse.
e → , cuando abrirá más rápidamente. Si e 1, la cónica es una parábola.
7. c 8. f 9. a 10. e 11. b 12. d Si e > 1, la cónica es una hipérbola.
13. e 1 15. e 3 1 49. Si los focos están fijos y e → 0, entonces d → . Para ver
2
Distancia 1 Distancia esto, compare las elipses
π π r 12 ,e 1 1y
2 2 ,d
1 1 2)cos 2
r 1 5 16 ,e 41, d 54.
1 4 cos
0 0 51. Demostración
12345 1
53. r2 9 55. r2 16
1 16 25 cos2 1 25 9 cos2
Parábola Hipérbola 57. Aproximadamente 10.88 59. 3.37
61. 7979.21 ; 11,015 mi
1 0.9372 cos
Respuestas a los problemas con numeración impar A15
63. r 149,558,278.0560 13. Parábola 15. y2 4y 12x 4 0
1 0.0167 cos Vértice: 3, 1
Focos: 3, 1
Perihelio: 147,101,680 km Directriz: y
e1
Afelio: 152,098,320 km 3
y
65. r 4,497,667,328
1 0.0086 cos
Perihelio: 4,459,317,200 km 10
8
Afelio: 4,536,682,800 km 6
4
67. Las respuestas varían. Ejemplos de respuesta:
(a) 3.591 1018 km2; 9.322 años x
(b) 0.361 ; Ángulo mayor con el rayo menor generan −6 −4 −2 (3, − 1) 6 8 10
un área igual −4
−6
(c) Inciso (a): 1.583 109 km ;1.698 108 km año
Inciso (b): 1.610 109 km ;1.727 108 km año x2 y2 1 19. x 32 y 42 1
17. 24
69. Demostración x2 59
49 16
Ejercicios de repaso para el capítulo 10 y2 0, 50 1 23. x2 y 1 2 1
(página 742) 21.
64 y 49 32
25. (a)
27. (b) Aproximadamente 38,294.49
1. e 2. c 3. b 4. d 5. a 6. f 29. y
7. Circunferencia 65
Centro: 12, 3 4
4
23
Radio: 1 x 2
1
y −4 −2 246
−2
−4 x
1 −3 −2 −1 12 3
−1
−6 −1
x x 2y 7 0 y x 1 3, x > 1
31. y 33.
12 y
) )−2 1 , − 3 8
2 4
4
2 4
9. Hipérbola y x2
Centro: 4, 3
Vértices: 4 ± 2, 3 −4 −2 24
Focos: 4 ± 5, 3 −2
6 −4 24 x
4 −4 −2 8
2
−4
−6 −4 −2
e5 x2 y2 36 x 22 y 32 1
2
x 35. x t, y 4t 3; x t 1, y 4t 7
Asíntotas: (La solución no es única.)
y3 3 4; 37. 5
x
2
y3 3 −7 8
2x 4
11. Elipse
Centro: 2, 3 −5
Vértices: 2, 3 ± 2 2 39. dy 4 d 2y 0
dx 5, dx2 4 d 2y
1 5, dx2
e 3 En t 3, dy 0; Ni cóncava hacia arriba ni
dx
y cóncava hacia abajo
x 41. dy 2t2, d 2y 4t3
dx dx2
−1 123
−1
−2 (2, −3) En t 1, dy d 2y 4; Cóncava hacia abajo
−3 dx 2, dx2
−4
43. dy d 2y 4 csc3
dx 4 cot , dx2
En dy d 2y 32; Cóncava hacia abajo
6 , dx 4 3, dx2
A16 Respuestas a los problemas con numeración impar
dy d 2y 4 sec4 75. x2 y 32 9 77. y 1 x 2
dx 4 tan , dx2 3 2
45. csc y
7 y
dy d 2y 128 3; Cóncava hacia arriba 1
En 3 , dx 4 3, dx2 9
x
47. (a) y (d) 5 −3 −2 23
4
2 3 −1
2 −2
−3 3 1 x −3
1234 −4
−4 −3 −2 −1−1 −5
−2 79. 5 81. 4
(b) dx d 4, dy d 1, dy dx 1
33 4
1x 4 −6 6
4
(c) y
−1 8
49. Horizontal: 5, 0 51. Horizontal: 2, 2 , 2, 0 −1 −4
Vertical: No hay Vertical: 4, 1 , 0, 1 32, 2 32, 4
3 3
53. 1 1453 2 1 32.315 83. Horizontal: ,
54
55. (a) s 12 10 119.215 57. A 3 Vertical: 21, 3 , 2, 12, 5
3
(b) s 4 10 39.738 ,
59. π 61. π 85. π 87. Circunferencia
2 2 2
π
0 ( 3 , 1.56) 2
1234
0
1234
( (5, 3π 0 24 0
2 12 8
Rectangular: 0, 5 Rectangular: 0.0187, 1.7320 2
63. y 65. y 3
0, 3,
1
(− 1, 3) 3 89. Recta 91. Curva rosa
x 2 π π
2 2
12345 1
−1
x
−2
−3 −2 −1 123
−3 −1
−4 −2
(4, − 4)
−3 0 0
−5 1 2
4 2, 7 , 4 2, 3 10, 1.89 , 10, 5.03
4 4
69. r 9 csc
67. r 5 93. Caracol 95. Curva rosa
π
π 2 π π
2 2 2
0 0 0
246 4
24
71. r 4 tan sec
0
π 246
2
73. x2 y2 3x 0 97. 9 99. 9 101. 4
0 20 2 105.
246 y
103. 6 6
3 −12 6 −12 6
2
1 x
−1 12 45
−1
−2 −6 −6
−3
9 27 3 9 27 3
2
Respuestas a los problemas con numeración impar A17
7. (a)
107. 1 22, 3 , 1 22, 7 , 0, 0 109. 5
4 4 2
2
111. S 2 1 4 cos sen 17 8 cos d
0
34 17 5 88.08
113. Parábola 6; 115. Elipse 3; Generada por Mathematica
e 23; Distancia
e 1; Distancia (b) Demostración
π
π
2 2
(c) a, 2
0 9. A 1 a b 11. r2 2 cos 2
2 13. r 2 4, 4
0 d
2 68 2e
15. (a) r 2a tan sen
117. Hipérbola (b) x 2at2 1 t2
e 23; Distancia
34; y 2at3 1 t2
π
(c) y2 x3 2a x
2
17. 4 4
n = −4
n = −5
0 −6 6 −6 6
234
4 9 −4 −4 6
119. r 121. r 4 4
1 cos 1 3 sen n = −3 n = −2
6 −6
5 −6
2 cos
123. r 3
Solución de problemas (página 745) −4 −4
4 4
1. (a) y 3. Demostración
n = −1 n=0
10 −6 6 −6 6
8
6
) )−1, 1 4 (4, 4) −4 −4
4 2 44
x
−6 −4 −2 246 n=1 n=2
−2 −6 6 −6
6
(b) y (c) Demostraciones
5. (a) y2 x2 1 x 1 x −4 −4
(b) r cos 2 sec 44
(c) π
2
n=4
n=3
−6 6 −6 6
0 −4 −4
12 4
n=5
(d) y x, y x
−6 6
(e) 5 1, ± 51 2 5
2 2
−4
1, 2, 3, 4,
n 1, 2, 3, 4, 5 “produce campanas”; n
5 produce corazones”.
A18 Respuestas a los problemas con numeración impar
Capítulo 11 21. y 23. y
Sección 11.1 (página 755)
−u
1. (a) 4, 2 3. (a) 6, 0 y −v
(b) y (b)
x
5 4 x
4 2 27. 3, 5 29. 7
(−6, 0) v 31. 5 33. 61
3 (4, 2) −8 −6 −4 −2 x 25. y 35. 17 17, 4 17 17
2 37. 3 34 34, 5 34 34
1v −2 u 39. (a) 2 (b) 5 (c) 1
x (d) 1 (e) 1 (f) 1
x −4
12345
u−v
5. u v 2, 4 7. u v 6, 5 −v
9. (a) y (d) 11. (a) y (d)
y y
5 (3, 5) (5, 5) 6 41. (a) 5 2 (b) 13 (c) 85 2 (d) 1 (e) 1 (f) 1
4
4 2 (8, 3) 43. y
v
3 −4 −2 7
v
x 6
2
24 8 5
1 (2, 0) (6, −1)
12345
−1 x (−2, −4) 4 u+v
−1 −6
3
2v
(b) 3, 5 (b) 2, 4 1u x
(c) v 3i
13. (a) y (d) 5j (c) v 2i 4j −1 1 2 3 4 5 6 7
y 15. (a) y (d) uv 5 41 y u v 74
y 74 5 41
( (1, 3 45. 0, 6 47. 5, 2 5 49. 3, 0
2
(6, 6)
6 3
( (−1, 5 2 v 51. 3, 1 53. 2 3 2, 3 2 2
3 2
4 (0, 4) v
( (3, 4 55. 2 cos 4 cos 2, 2 sen 4 sen 2
2 3
2 x 57. Las respuestas varían. Ejemplo: un escalar es un simple número
(6, 2) real tal como 2. El vector es el segmento de recta que tiene tanto
− 2 −1 12 dirección como magnitud. El vector 3, 1 , dada la forma de
componentes, tiene una dirección de 6 y la magnitud de 2.
x 5
3
246 (b) 1,
(b) 0, 4 (c) v 4j (c) v i 5 j
3
17. (a) 6, 10 (b) 9, 15 59. 4, 1 , 6, 5 , 10, 3 61. a 1, b 1
63. a 1, b 2 65. a
y y 67. (a) ± 1 37 1, 6 32, b 1
3
(6, 10)
10 6 (3, 5) 69. (a) ± 1 10 1, 3
3 v
8 (b) ± 1 37 6, 1 (b) ± 1 10 3, 1
−15 −12 −9 −6 −3 x
6 (3, 5) 36 y y
4 v 2v −6
2 −9 10 2
8 (a)
x 6
−2 2 4 6 8 10 (−9, −15) − 12 4 (a)
−2 2 (b)
− 3v −15
−2 1 (1, 1)
(b)
(c) 221, 35 (d) 2, 10 (3, 9) x
2 3 2 4 6 8 10
y y x
12
( (18 221, 35
2 5 (3, 5)
4
15 3v 71. (a) ± 1 4, 3 73. 2 2, 2 2
2 5
12 1 ( (2, 10 75. 10.7 , 584.6 lb
(3, 5) 3 (b) ± 1 3, 4 77. 71.3 , 228.5 lb
5 79. (a) 0 (b) 180
9 7v 2v
2 3 y (c) No, la resultante puede
6 ser sólo menor que o
3v (a) igual a la suma.
(3, 4)
x x (b) 81. Horizontal: 1193.43 ft s
Vertical: 125.43 ft s
−3 3 6 9 12 15 18 −1 12345 4
−3 −1 3 83. 38.3 norte del oeste
2 882.9 km h
19. (a) 38, 6 (b) 6, 15 (c) 2, 14 (d) 18, 7 1
−1 x
12345
Respuestas a los problemas con numeración impar A19
85. Verdadero 87. Verdadero 89. Falso. ai bj 2a (c) z (d) z
91–93. Demostraciones 95. x2 y2 25
3 3
−3
Sección 11.2 (página 763) 2 −3
2 −2 −2
−3 −2 〈 〉3, 3, 3 −3 −2 1 〈0, 0, 0〉
2 1
1. z 3. z 2 2 1
3 1 3 −1 23
6 3 x y x −2 y
5 −3
4 2 −2
3
(5, − 2, 2) −3 1 −3
(2, 1, 3)
1 12 3
(− 1, 2, 1) 2 y 57. 7, 0, 4 59. 72, 3, 5 61. a y b
3 2
4 −2
1 234 y −3 63. a 65. Colineales 67. No colineales
2 x
3
4 (5, −2, −2) \ \\ 2, 1, 1 ,
x 69. AB 1, 2, 3 , CD 1, 2, 3 , BD
\ \ \\ \
5. 3, 4, 5 7. 12, 0, 0 9. 0 AC 2, 1, 1 ; Ya que AB CD y BD AC,
11. Seis unidades arriba del plano xy los puntos dados forman los vértices de un paralelogramo.
13. Tres unidades detrás del plano yz 71. 0 73. 34 75. 14
15. A la izquierda del plano xz 77. (a) 1 2, 1, 2 (b) 1 2, 1, 2
3 3
17. Dentro de tres unidades del plano xz 79. (a) 2 5 2i 22j 3102k (b) 2 5 2i 22j 3102k
2
19. Tres unidades debajo del plano xy, y debajo ya sea del cuadrante
I o del cuadrante III 81. Los puntos terminales de los 83. 0, 10 2, 10
21. Arriba del plano xy y arriba de los cuadrantes II o IV, o debajo vectores tu, u tv, y 85. 1, 1, 1
su tv son colineales. 2
del plano xy y bajo los cuadrantes I o III.
23. 69 25. 61 27. 7, 7 5, 14; Triángulo rectángulo
29. 41, 41, 14; Triángulo isósceles su + tv
31. 0, 0, 9 , 2, 6, 12 , 6, 4, 3 33. 2, 6, 3
35. 23, 3, 5 37. x 0 2 y 2 2 z 52 4 su u + tv
39. x 1 2 y 3 2 z 0 2 10
41. x 1 2 y 3 2 z 4 2 25 u tv
Centro: 1, 3, 4 Radio: 5 87. v 0, 3, ± 1 89. 2, 1, 2
z
43. x 12 y 1 2 z2 1
3
Centro: 13, 1, 0 Radio: 1
45. (a) 2, 2, 2 47. (a) 3, 0, 3 2 −2
(b) v 2i 2j 2k (b) v 3i 3k 1 〈0, 3, 1〉
(c) z (c) z −2 y
−1
〈−3, 0, 3〉 1 〈0, 3, −1〉
5
5 2 −1
4
4 〈−2, 2, 2〉 x −2
−3 3
3 2 −3
91. (a) z (b) a 0, a b 0, b 0
2 (c) a 1, a b 2, b 1
−2 1 (d) No es posible
1
−2 1 234 y 1 1234 y 1
2 v
1
2 3
3
x
x
49. v 1, 1, 6 51. (a) y (d) 1u 1
v 38
z
u 1 1, 1, 6
38 5 (3, 3, 4) xy
4 (− 1, 2, 3)
93. x0 es la distancia dirigida al plano yz.
3 y0 es la distancia dirigida al plano xz.
(0, 0, 0) 2 z0 es la distancia dirigida al plano xy.
−2 2 y 95. x x0 2 y y0 2 z z0 2 r2 97. 0
v 4 40 45 50
99. 3 3 1, 1, 1
(4, 1, 1) 2 101. (a) T 8L L2 182, L > 18
4 (b)
L 20 25 30 35
x
(b) 4, 1, 1
53. 3, 1, 8 (c) v 4i j k
55. (a)
z (b) z
5 T 18.4 11.5 10 9.3 9.0 8.7 8.6
4 3
3 2 −3 (c) 30 L = 18 (d) Demostración (e) 30 pulg.
2 〈2, 4, 4〉 −2
−3 −2
−2 12 〈−1, −2, −2〉 1 y
1 2
2 3
2 3
3 y −2
4 x −3
T=8
x
0 100
0
A20 Respuestas a los problemas con numeración impar
103. Tensión en el cable AB: 202.919 N 69. (a) 1, 0 , 1, 0
Tensión en el cable AC: 157.909 N (b) Para y 1 x2 en 1, 0 : ± 5 5, 2 5 5
Tensión en el cable AD: 226.521 N Para y x2 1 en 1, 0 : ± 5 5, ± 2 5 5
105. x 42 y 32 z 12 44 Para y 1 x2 en 1, 0 : ± 5 5, ± 2 5 5
3 3 9
Esfera; centro: 34, 3, 1 , radio: 2 11 Para y x2 1 en ( 1, 0 : ± 5 5, 2 5 5
3 3
(c) En 1, 0 : 53.13
Sección 11.3 (página 773) En 1, 0 : 53.13
71. Demostración
1. (a) 17 (b) 25 (c) 25 (d) 17, 85 (e) 34 73. (a) z (b) k 2 (c) 60 (d) 109.5
3. (a) 26 (b) 52 (c) 52 (d) 78, 52 (e) 52
5. (a) 2 (b) 29 (c) 29 (d) 0, 12, 10 (e) 4 k
7. (a) 1 (b) 6 (c) 6 (d) i k (e) 2
9. (a) 2 (b) 90° 11. (a) 1.7127 (b) 98.1° (k, 0, k) (0, k, k)
13. (a) 1.0799 (b) 61.9° 15. (a) 2.0306 (b) 116.3°
17. 20 19. Ortogonales 21. Ninguna 23. Ortogonales xk ky
25. Triángulo rectángulo; las respuestas varían. (k, k, 0)
27. Triángulo agudo; las respuestas varían. 75–77. Demostraciones
29. cos 31, 70.5 3, Sección 11.4 (página 781)
cos 32, 48.2 17
cos 32, 48.2 31. cos 2, 43.3 1. k z 3. i z
cos 17 61.0
33. cos 0, 90 cos 1 1
2, 119.0
17 k
j j
1
1i −k 1 1i
y y
x x
cos 3 13, 33.7 −1
−1
cos 2 13, 123.7 5. j z
35. (a) 2, 8 (b) 4, 1 37. (a) 52, 1 (b) 12, 5
2 2
39. (a) 2, 2, 2 (b) 2, 1, 1 1
41. (a) 0, 2335, 44 (b) 2, 285, 6 −j k
25 25 −1
43. Ver “Definición de producto escalar”, página 766.
45. (a) y (b) están definidas. (c) y (d) están definidas porque no 1i 1
es posible encontrar el producto punto de un escalar y un vector x y
−1
o sumar un escalar a un vector.
47. Ver la figura 11.29 en la página 770. 7. (a) 20i 10j 16k (b) 20i 10j 16k (c) 0
9. (a) 17i 33j 10k (b) 17i 33j 10k (c) 0
49. Sí. 51. $17,490.25; Ingreso total 11. 0, 0, 54 13. 1, 1, 1 15. 2, 3, 1
uv vu 17. 7 , 5 , 13 o 7 , 5 , 13
v2 v u2u 9 3 9 39 3 9 39 3 9 3
v u 19. 3 , 7 , 1 o 3, 7, 1
u v v2 v u u2 59 59 59 59 59 59
1
1 u 21. 1 23. 6 5 25. 9 5 27. 11
v 29. 10 cos 40 7.66 ft-lb 2
uv 31. (a) F 180 cos j sen k
53. Las respuestas varían. Por ejemplo: 12, 2 y 12, 2
55. Las respuestas varían. Por ejemplo: 2, 0, 3 y 2, 0, 3 (b) AB F 225 sen 180 cos
57. arccos 1 3 54.7
59. (a) 8335.1 lb (b) 47,270.8 lb (c) AB F 225 1 2 180 3 2 268.38
61. 425 pie-lb 63. 2900.2 km-N
65. Falso. Por ejemplo, 1, 1 2, 3 5 y 1, 1 1, 4 5, (d) 141.34
pero 2, 3 1, 4 . AB y F son perpendiculares.
67. (a) 0, 0 , 1, 1
(e) 400 Del inciso (d), el cero o raíz es
(b) Para y x2 en 1, 1 : ± 5 5, ± 2 5 5
Para y x 1 3 en 1, 1 : ± 3 10 10, ± 10 10 141.34 , cuando los
Para y x2 en 0, 0 : ± 1, 0
Para y x 1 3 en (0, 0 : 0, ± 1 vectores son paralelos.
(c) En 1, 1 : 45 0 180
En 0, 0 : 90 0
37. 2 39. 75
33. 1 35. 6
41. (a) (b) (c) (h) y (e) (f) (g)
43. Ver “Definición de producto vectorial de dos vectores en el
espacio” en la página 775.
Respuestas a los problemas con numeración impar A21
45. La magnitud del producto cruz aumentará en un factor de 4. 71. P1 y P2 son paralelos. 73. P1 P4 y es paralela a P2.
75. (a) 65.91
47. Falso. El producto vectorial de dos vectores no está definido en
un sistema coordenado bidimensional. (b) x 2
49. Falso. Sea u 1, 0, 0 , v 1, 0, 0 , y w 1, 0, 0 . y1t
Entonces u v u w 0, pero v w. z 1 2t
51– 59. Demostraciones 77. 2, 3, 2 ; La recta no está en el plano.
Sección 11.5 (página 790) 79. No se intersecan 81. 6 14 7 83. 11 6 6
85. 2 26 13 87. 27 94 188 89. 2533 17
1. (a) Sí (b) No 91. 7 3 3 93. 66 3
Ecuaciones Ecuaciones Números de 95. Ecuaciones paramétricas: x x1 at, y y1 bt y z z1 ct
paramétricas (a) simétricas (b) dirección x x1 y y1 z z1
Ecuaciones simétricas:
x z abc
3. x 3t 3 y 5 3, 1, 5
yt Necesita un vector v a, b, c paralelo a la recta y un punto
z 5t x2 y z3 2, 4, 2 P x1, y1, z1 en la recta.
97. Resuelva simultáneamente las dos ecuaciones lineales que re-
5. x 2 2t 24 2
y 4t presentan los planos y sustituya los valores en una de las ecua-
ciones originales. Luego elija un valor para t y forme las
z 3 2t correspondientes ecuaciones paramétricas para la recta de
7. x 1 3t x1 y z1 3, 2, 1 intersección.
y 2t 3 21
99. Sí. Si v1 y v2 son los vectores de dirección para las rectas L1 y L2,
z1t entonces v v1 v2 es perpendicular tanto a L1 como L2.
101. (a)
9. x 5 17t x5y3z2 17, 11, 9 Año 2005 2006 2007 2008 2009 2010
y 3 11t 17 11 9
z (aproxima-
z 2 9t damente) 16.39 17.98 19.78 20.87 19.94 21.04
11. x 7 10t No es posible 10, 2, 0 Las aproximaciones son cercanas a los valores reales.
(b) Un aumento
y 2 2t 103. (a) 70 pulg.
(b) 15
z6
(c) La distancia nunca es cero.
13. x 2 15. x 2 3t 17. x 5 2t (d) 5 pulg.
y3 y 3 2t y 3t
z4t z4t z 4 3t
19. x 2 t 21. P 3, 1, 2 ; 23. P 7, 6, 2 ;
y1t v 1, 2, 0 v 4, 2, 1 15
z2t 0 0
25. L1 L2 y es paralela a L3. 27. L1 y L3 son idénticas. 105. 1737, 1438, 23 107. 12, 49, 1 109. Verdadero 111. Verdadero
29. 2, 3, 1 ; cos 7 17 51 31. No se intersecan 13 4
33. (a) Sí (b) Sí 35. y 3 0 113. Falso. El plano 7x y 11z 5 y el plano 5x 2y 4z 1
son ambos perpendiculares al plano 2x 3y z 3 pero
37. 2x 3y z 10 39. 2x y 2z 6 0 no son paralelos.
41. 3x 19y 2z 0 43. 4x 3y 4z 10
45. z 3 47. x y z 5 49. 7x y 11z 5 Sección 11.6 (página 802)
51. y z 1 53. x z 0 1. c 2. e 3. f 4. b 5. d 6. a
55. 9x 3y 2z 21 0 57. Ortogonal 7. Plano 9. Cilindro circular recto
z z
59. Ninguna; 83.5 61. Paralelas 4
4y
63. z 65. z 3
2 −3
−2
1
6 3
1
4 2
( ((0, −4, 0)0, 0, 4 2 3 −1 1 2 76
(0, 0, 2) 3 x
x −2
4
−4 −3 5 y
4 (0, 6, 0) −1 y
6
6y
x (3, 0, 0)
67. z 3 (2, 0, 0) 11. Cilindro elíptico 13. Elipsoide
8 x z z
(0, 0, 6)
69. z 3 2
3
(6, 0, 0) −3 2 2 2y
8 3 x
5 5y 2 y
x 3 −2
x x
8y (5, 0, 0)
A22 Respuestas a los problemas con numeración impar
15. Hiperboloide de una hoja 17. Hiperboloide de dos hojas 25. x2 y2 z2 5 27. x2 y 2 2y 0
z z z z
3 3 3
2 −3
2
−2
1
x 3
2 x −2
2
2 3 x −1 12 y
3
3y y 3y −2
x −3
−2
−3 −3
19. Paraboloide elíptico 21. Paraboloide hiperbólico 29. 4, 0, 2 31. 4 2, 2 3, 4
z z
3 3 33. 4, 6, 6 35. 6, 2, 2 2 37. 0, 0, 12
43. 7
2 39. 25, 25, 5 2 2 41. 2 csc csc
−3
1
1 x 32 23 y 45. 4 csc 47. tan2 2
2
3 34 y 49. x 2 y2 z2 25 51. 3x2 3y 2 z2 0
x
z z
−2
−3 6
52
23. Cono elíptico
−2
z −1
1 −1 −2
−3 65 x 2 11
x −1 2
1 56 y
x y
−1 3y −6
25. Sea C una curva en un plano y sea L una recta que no está en un 53. x2 y 2 z 2 2 4 55. x2 y 2 1
plano paralelo. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L
y que se intersecan en C se le llama cilindro. C se llama la z z
curva generadora del cilindro, y a las rectas paralelas se les
llama rectas generatrices. 5 2
4
3 1
2
−2 −2
−2 −3 x 21 1 y
2
27. Ver páginas 796 y 797.
−1
29. Plano xy: elipse; espacio tridimensional: hiperboloide de una hoja x 321 2 −2
31. x2 z2 4y 33. 4x2 4y 2 z2 3
35. y 2 z2 4 x2 37. y 2z o x 2z 39. 128 3 y
57. d 58. e 59. c 60. a 61. f 62. b
41. (a) Eje mayor: 4 2 (b) Eje mayor: 8 2 63. 4, 4, 2 65. 4 2, 2, 4
Eje menor: 4 Eje menor: 8 67. 2 13, 6, arccos 3 13
Focos: 0, ± 2, 2 Focos: 0, ± 4, 8 69. 13, , arccos 5 13 71. 10, 6, 0 73. 36, ,0
z2
43. x2 z2 8y; Paraboloide elíptico 75. 3 3, 6, 3 77. 4, 7 6, 4 3
45. x2 39632 y2 39632 z2 39502 1 79. Rectangulares a cilíndricas:
47. x at, y bt, z 0; x at, y bt ab2, z 2abt a2b2 r 2 x2 y2, tan y x, z z
49. Verdadero 51. Falso. Una traza de un elipsoide puede ser Cilíndricas a rectangulares:
sólo un punto.
x r cos , y r sen , z z
53. La botella de Klein no tiene un “interior” y un “exterior”. Se for- 81. Rectangulares a esféricas:
ma insertando el pequeño extremo abierto a través del lado de la
botella y pegándolo con la parte superior de la botella. 2 x2 y2 z2, tan y x, arccos z x2 y2
Esféricas a rectangulares:
Sección 11.7 (página 809) x sen cos , y sen sen , z cos
83. (a) r 2 z2 25 (b) 5
1. 7, 0, 5 3. 3 2 2, 3 2 2, 1 5. 2 3, 2, 3 85. (a) r 2 z 1 2 1 (b) 2 cos
7. 5, 2, 1 9. 2 2, 4, 4 11. 2, 3, 4 87. (a) r 4 sen (b) 4 sen sen 4 sen csc
13. z 4 15. r2 z2 17 17. r sec tan 89. (a) r 2 9 cos2 sen2
19. r2 sen2 10 z2 (b) 2 9 csc2 cos2 sen2
21. x2 y 2 9 23. x 3y 0 91. z 93. z
zz 5a
3 2 3
2 2
1 −a −a
1 xa ay
−2 2
3
2 1 x
x
x 43 34 y 23 y
−3
2
y
−2
Respuestas a los problemas con numeración impar A23
95. z 97. z 63. Cilindro 65. x2 z2 2y
a 2 z
30 ° 2
x 2 y
x
y 2 2y
x −2
99. Rectangulares: 0 x z 10
10; 0 y 10; 0 67. (a) 4, 3 4, 2 (b) 2 5, 3 4, arccos 55
csc2
101. Esféricas: 4 6 69. 50 5, 6, arccos 1 5
103. Cilíndricas: r2 z2 9, r 3 cos , 0 71. 25 2 2, 4, 25 2 2
105. Falso. r z representa un cono. 73. (a) r2 cos 2 2z (b) 2 sec 2 cos
107. Falso. Ver la página 805. 109. Elipse 75. x 52 y2 25 77. x y
2 4
Ejercicios de repaso para el capítulo 11 z z
(página 811) 33
1. (a) u 3, 1 , v 4, 2 (b) u 3i j, v 4i 2j 1 34 y
2
(c) u 10, v 2 5 (d) 10i x3 2y 3
4
3. v 4, 4 3 5. 5, 4, 0 7. 22
9. x 32 y x
11. x 22 y −3
22 z 62 225
4
3 2 z2 9; Centro: 2, 3, 0 ; Radio: 3
13. (a) y (d) 15. Colineales Solución de problemas (página 813)
z 17. 1 38 2, 3, 5 1–3. Demostraciones 5. (a) 3 2 2 2.12 (b) 5 2.24
(2, − 1, 3) 3 19. (a) u 1, 4, 0 7. (a) 2 (b) 1 abk k
2
2 v 3, 0, 6 1
1 (c) V 2 ab k2
3 123 (b) 3 (c) 45 V 1 área de la base altura
4 −2 2
5 y
5 21. (a) 12 (b) 15° 9. Demostración
x
23. (a) (b) 180° 11. (a) z (b) z
25. Ortogonales 2
27. 2, 10
−8 29. 1, 0, 1 −3 −3 −2
−9 1
− 10 3 3y 1 y
x 2 2
(4, 4, − 7) 3 3
(2, 5, − 10)
(b) u 2, 5, 10 −2 x −2
(c) u 2i 5j 10k 13. (a) Tensión: 2 3 3 1.1547 lb
31. Las respuestas varían. Por ejemplo: 6, 5, 0 , 6, 5, 0
Magnitud de u: 3 3 0.5774 lb
33. (a) 9i 26j 7k (b) 9i 26j 7k (c) 0 (b) T sec ; u tan ; Dominio: 0 90
(c)
35. (a) 8i 10j 6k (b) 8i 10j 6k (c) 0
0 10 20 30
37. 8 , 12 , 13 or 8 , 12 , 13
377 377 377 377 377 377
39. 100 sec 20 106.4 lb T 1 1.0154 1.0642 1.1547
41. (a) x 3 6t, y 11t, z 2 4t u 0 0.1763 0.3640 0.5774
(b) x 3 6 y 11 z 2 4
43. x 1, y 2 t, z 3 45. x t, y 1 t, z 1 40 50 60
1.3054 1.5557 2
47. 27x 4y 32z 33 0 49. x 2y 1 51. 8 T 0.8391 1.1918 1.7321
7
u (e) Ambas son funciones crecientes
53. 35 7 (d) 2.5
55. Plano z 57. Plano z
3 2
(0, 0, 2)
T
3 2y ⎜⎜u ⎜⎜
y
6 6 0 60
(0, 3, 0) x 0
x (6, 0, 0) y lím u
4y 61. Hiperboloide de dos hojas (f) lím T →2
59. Elipsoide z →2
z aumenta, tanto T y u aumentan.
2 Sí. Cuando
2
−2 15. 0, 0, cos sen cos sen ; Demostración
−4
5 5y 17. D PQ n w uv uv w u vw
x n uv uv uv
x5
−2 19. Demostración
A24 Respuestas a los problemas con numeración impar
Capítulo 12 39. z −3 41. z
−2
−3 1 2
−2
Sección 12.1 (página 821) −1 −1 −2
21
2 yx
3
2
1. , 1 1, 3. 0, x −2 3
5. 0, 7. , −3 y
1 1 −4 Hélice
2 2
9. (a) i (b) j (c) s 1 2i sj −5 (a) La hélice está trasladada dos unidades
atrás sobre el eje x.
(d) 1 t t 4i tj
2 (b) La altura de la hélice aumenta a una
razón mayor
11. (a) ln 2i 1 j 6k (b) No es posible Parábola
2 43. z (c) La orientación de la gráfica es
invertida
(c) ln t 4i 1j 3t 4k 2π
t4 (d) El eje de la hélice es el eje x.
(e) El radio de la hélice aumenta de 2 a 6.
(d) ln 1 t i 1 t t j 3 tk π
13. r t 3t i t j 2t k, 0 t 1 −2
−2
x 3t, y t, z 2t, 0 t 1 y
2
x2
15. r t 2 ti 5 tj 3 12t k, 0 t 1
x 2 t, y 5 t, z 3 12t, 0 t 1 45–51. Las respuestas varían.
17. t2 5t 1 ; No, el producto punto es un escalar. 53. z
( 2, − 2, 4) 5 (− 2, 2, 4)
19. b 20. c 21. d 22. a
23. y 25. y −3 2 123 y
3
4 7 rt x
3 6 55.
2 5 ti tj 2t2k
1 4
3 z
x 2
4
−4 −3 −2 −1 1234
−2
x
−5 −4 −3 −2 −1 12345
−2
−3
27. y 29. y
2 12
1 9
6
−3 −2 x 3 x −3
23 6 9 12
−12 −9 −6 −3 3
−6 x 2 sen t i 3y 4 sen2 tk
−9
− 12 rt z 2 cos tj
31. z 33. z 57. 3
5 (0, 6, 5) 7
4 (1, 2, 3)
3 −3
(2, −2, 1)
3
x 3y
1 3456 y
3
x −3 3y −3
3
x r t 1 sen t i 2 cos tj 1 sen t k y
r t 1 sen t i 2 cos tj 1 sen t k
35. z 37. z
) )6 16
6 2, 4, 3 59. z
4
2 3
(0, 0, 2)
2 5y
x
−3 y ) )−2,4,− 16 432 4y
3 3 −2 3 x
x 4 t2 k
−4 (2, 2, 0)
−6
r t ti tj
Respuestas a los problemas con numeración impar A25
61. Sea x t, y 2t cos t, y z 2t sen t. Entonces 5. r t et, 2e2t y r′
y2 z2 2t cos t 2 2t sen t 2 r0 ij 3
4t2 cos2 t 4t2 sen2 t r0 i 2j 2
4t2 cos2 t sen2 t
4t2. 1 (1, 1)
Ya que x t, y2 z2 4x2. r
z x
123
16 r t0 es tangente a la curva en t0.
12
8 7. r t 2 sen t i 2 cos t j k z
4
3 3 −) )0,2,3π 2π
2 2 2
r 2j k
r′
765 4 y r 3 2i k rπ
x 8 2
12
16
−2 2y
1
2
x
63. i j 65. 0 67. i j k 9. 3t 2 i 3j 11. 2 sen t i 5 cos t j
69. , 0 , 0, 71. 1, 1 13. 6i 14tj 3t2k 15. 3a sen t cos2 t i 3a sen2 t cos t j
73. 2 n , 2 n , n es un entero. 17. e t i 5tet 5et k
75. s t t2 i t 3 j t 3 k 19. sen t t cos t, cos t t sen t, 1
77. s t t2 2 i t 3 j tk 21. (a) 3t 2 i t j (b) 6t i j (c) 18t3 t
79. Una función vectorial r es continua en t a si el límite de 23. (a) 4 sen t i 4 cos t j (b) 4 cos t i 4 sen tj (c) 0
(c) t3 2 t
r t existe cuando t → a y lím r t r u . La función 25. (a) t i j 1 t 2 k (b) i tk
t→a 2
rt i j, t 2 no es continua en t 0. (d) ti 1 t2j k
i j, t 2 2
<
27. (a) t cos t, t sen t, 1
81. Las respuestas varían. Ejemplo de respuesta: (b) cos t t sent, sen t t cos t, 0 (c) t
z (d) sen t t cos t, cos t t sen t, t2
3 29. , 0 , 0, 31. n 2, n 1 2
2 33. , 35. , 0), 0,
−2 37. 2 n , 2 n , n es un entero.
1 −1
−2 39. (a) i 3j 2tk (b) i 9 2t j 6t 3t2 k
−1
(c) 40ti 15t2j 20t3k (d) 8t 9t2 5t 4
1
2 −1 2 (e) 8t3i 12t2 4t3 j 3t 2 24t k
x
y (f) 2i 6j 8tk
r t 1.5 cos t i 1.5 sen tj 1 tk, 0 t 2 41. (a) 7t6 (b) 12t5i 5t 4j 43. t2i t j tk C
arctan t j
45. ln t i tj 2 t 5 2k C 49. tan t i
5 2k
83– 85. Demostraciones 87. Sí; Sí 89. No necesariamente 47. t2 t i t 4 j 2t3 2 k C C
91. Verdadero 93. Verdadero
51. 4i 1 j k 53. ai aj
2
Sección 12.2 (página 830) 55. 2i e2 1 j e2 1 k
57. 2e2t i 3 et 1 j 59. 600 3 t i 16t2 600t j
1. r t 2t i j 3. r t sen t i cos t j 61. 2 e t 2 2 i e t 2 j t 1 k
r2 4i 2j
r2 4i j r2 j 63. Ver la “Definición de la derivada de una función vectorial”
y r2 i y la figura 12.8 de la página 824.
4
2 y 65. Los tres componentes de u son funciones crecientes de t en
t t0.
−2 r′ r ′ (0, 1)
67–73. Demostraciones
r
(4, 2) 75. (a) 5 La curva es una cicloide
1
r 6 x x
8
24
−4 r t0 es tangente a la 0 40
curva en t0. 0
r t0 es tangente a la
curva en t0. (b) La magnitud de r es 2; el mínimo de r es 0.
El máximo y el mínimo de r son 1.
77. Demostración 79. Verdadero
81. Falso. Sea r t cos t i sen tj k, entonces
d dt r t 0, pero r t 1.
A26 Respuestas a los problemas con numeración impar
Sección 12.3 (página 838) 23. v t sen t i cos t j k
rt cos t i sen t j t k
1. (a) v t 3i j 3. (a) v t 2ti j 1 r2
vt 10 vt 4t2 cos 2 i sen 2 j 2k
at at
0 2i 25. Altura máxima: 45.5 pies; La pelota pasará la cerca
(b) v 1 3i j (b) v 2 4i j
a1 0 a2 2i 27. v0 40 6 pies s; 78 pies 29. Demostración
31. (a) r t
(c) y (c) y 440 cos 0 ti 3 440 sen 0t 16t2 j
(b) 100 3 3
2 4 v θ0 = 20 θ0 = 25
v 2 a
(4, 2)
(3, 0)
46
2468 0 500
0 θ0 = 10
−2 θ0 = 15
−2 El ángulo mínimo se encuentra en 0 20 .
−4
(c) 0 19.38
−4 33. (a) v0 28.78 pies s;
5. (a) v t 2 sen t i 2 cos t j (c) y 58.28 (b) v0 32 pies s
vt 2
at 2 cos t i 2 sen t j −3 3 35. 1.91
2j
(b) v 4 2i 2j v ( 2, 2) 37. (a) 5 (b) 15
a4 2i
a
3
7. (a) v t 1 cos t, sen t (c) y −3 v 0 50 0 300
vt 2 2 cos t 0 0
at 4 (π, 2) x
sen t, cos t a 2π Altura máxima: 2.1 pies Altura máxima: 10.0 pies
(b) v 2, 0 2
a 0, 1 π Rango: 46.6 pies Rango: 227.8 pies
(c) 40 (d) 200
9. (a) v t i 5j 3k 11. (a) v t i 2t j tk 0 200 0 800
00
v t 35 v t 1 5t2
at 0 a t 2j k Altura máxima: 34.0 pies Altura máxima: 166.5 pies
(b) v 1 i 5j 3k (b) v 4 i 8j 4k Rango: 136.1 pies Rango: 666.1 pies
a1 0 a4 2j k (e) 60 (f) 300
13. (a) v t ij
t 9 t2 k
vt 18 t2 9 t2
at 99 t2 3 2 k
(b) v 0 ij 0 140 0 600
a0 13k 00
15. (a) v t 4i 3 sen tj 3 cos tk Altura máxima: 51.0 pies Altura máxima: 249.8 pies
Rango: 117.9 pies Rango: 576.9 pies
vt 5
39. Altura máxima: 129.1 m; Rango: 886.3 m
a t 3 cos tj 3 sen tk
41. Demostración
(b) v 4, 0, 3
43. v t b 1 cos t i sen tj
a 0, 3, 0
17. (a) v t et cos t et sen t i et sen t et cos t j et k a t b 2 sen ti cos tj
v t et 3 (a) v t 0 cuando t 0, 2 , 4 , . . . .
a t 2et sen t i 2et cos t j et k (b) v t es máximo cuando t , 3 , . . . .
45. v t b sen ti b cos tj
(b) v 0 1, 1, 1 vt rt 0
a 0 0, 2, 1 47. a t b 2 cos ti sen tj 2r t ; a t es un
19. v t t i j k múltiplo negativo de un vector unitario que va de 0, 0 a
r t t2 2 i j k
cos t, sen t , por lo que a t está dirigida hacia el origen
r2 2i jk 49. 8 10 pies s
21. v t
t2 2 9 j t2 2 1 k 51. La velocidad de un objeto implica tanto a la magnitud como
rt 2 2 a la dirección del movimiento, mientras que la rapidez sólo
r2 implica a la magnitud.
t3 6 9 t 14 j t3 6 1 t 1 k
2 3 2 3
17 j 2 k 53. Demostración
3 3
Respuestas a los problemas con numeración impar A27
55. (a) v t 6 sen t i 3 cos tj 35. r 2 5i 4j
T2
v t 3 3 sen2 t 1 i 2j
N2
a t 6 cos t i 3 sen t j 5
2i j
(b) 0 4 2 23
t , perpendicular a T 2
5
y
Rapidez 3 3 10 2 6 3 13 2 3
(c) y (d) La rapidez está aumentando 2 x
cuando el ángulo entre v y a −6 −4 −2 246
−8 está en el intervalo 0, 2 ,
8 y disminuye cuando el ángulo −4 (5, − 4) T
6 −6 N
4 x está en el intervalo 2, . −8
2
−4 −2−2 2468
−4
−6 37. T 1 14 14 i 2j 3k
−8
N 1 no está definida.
57. Demostración
aT no está definida.
59. Falso. La aceleración es la derivada de la velocidad.
aN no está definida.
61. Verdadero
39. T 1 6 6 i 2j k
Sección 12.4 (página 848) N 1 30 30 5i 2j k
1. T 1 2 2 i j 3. T 4 22 i j aT 5 6 6
5. T e 3ei j 9e2 1 0.9926i 0.1217j aN 30 6
7. T 0 22 i k 9. T 0 10 10 3j k 41. T 0 33 i j k
xt x3 N0 2 2 i j
y0 y 3t aT 3
zt zt aN 2
43. Sea C una curva suave representada por r en un intervalo
11. T 4 1 2, 2, 0
2 abierto I. El vector tangente unitario T t en t se define como
x 2 2t
y 2 2t Tt r t ,r t 0.
r t
z4
13. N 2 5 5 2i j El vector unitario normal principal N t en t se define como
15. N 2 5 5 2i j Nt T t ,T t 0.
T t
17. N 1 14 14 i 2j 3k
19. N 3 4 22 i j Las componentes tangencial y normal de la aceleración se
definen como a t aTT t aNN t .
21. T 1 22 i j 23. T 1 5 5 i 2j 45. (a) El movimiento de la partícula es una línea recta.
N1 2 2 i j N 1 5 5 2i j
aT 2 aT 14 5 5 (b) La rapidez de la partícula es constante.
aN 2
25. T 0 aN 8 5 5 47. v t r t 3i 4j
55 i
2j 27. T 2 22 i j v t 9 16 5
N 0 5 5 2i j N2 22 i j at v t 0
aT 7 55 aT 2e 2 Tt vt 3 i 4 j
aN 6 55 aN 2e 2 vt 5 5
29. T t
sen t i cos t j T t 0 ⇒ N t no existe
Nt cos t i sen t j La trayectoria es una recta. La rapidez es constante 5 .
aT 0
aN 49. (a) t 1 : aT 2 2 2, aN 2 22
31. v t 2
a2
33. r 2 t 1: aT 0, aN 2
t
T2 a ; La rapidez es constante, ya que aT 0. (b) t 3 : aT 2 2 2, aN 2 22
2
2i 1 j
2 1 : Se incrementa porque aT > 0.
2
17 17 4i j
t 1: Es máximo, porque aT 0.
N 2 17 17 i 4j
t 3 : Disminuye, porque aT < 0.
y 2
51. T 2 17 17 4i k
3 N2 j
2 B2 17 17 i 4k
N 53. T 4 22 j k
1 T N4 22 j k
23
) )2,1
2
x B4 i
1
A28 Respuestas a los problemas con numeración impar
55. T 3 5 5 i 3j k 5. y
N 3
B 3 1 3i j a
2
5 10 i 3 j 4k
57. N t 1 x
4t i 3j
−a a
16t2 9 −a
59. N t 1
t i 2tj 5k
5t2 25
61. aT 32 v0 sen 32t 6a
aN
v02 cos2 v0 sen 32t 2 7. (a) r t 50t 2 i 3 50t 2 16t2 j
32v0 cos
v02 cos2 v0 sen 32t 2 (b) 649 81 pies (c) 315.5 pies (d) 362.9 pies
8 11.
z
Altura máxima aT 0 y aN 32. 9. z
63. (a) r t 60 3 t i 5 60t 16t 2 j 4 (0, −1, 0)
(b) 70 3 −12 −9 6
−6
2 −3 (− 1, 4, 3)
(0, 0, 0) −2
6
1 9 −3 6 y
12 −6 9
15 −9
2 −1 1 2 18
3 21
0 400 x −2 3 x (6π, 0, − 1) −12
0 4
5
y
Altura máxima 61.245 pies 26 3 17 2
Rango 398.186 pies 13. z
(c) v t 60 3 i 60 32t j (a, 0, 2πb)
v t 8 16t 2 60t 225 2π b
a t 32j
(d) t 0.5 1.0 1.5 πb
Rapidez 112.85 107.63 104.61
x (a, 0, 0) y
t 2.0 2.5 3.0 2 a2 b2
Rapidez 104 105.83 109.98 15. (a) 2 21 9.165 (b) 9.529
(e) 40 (c) Aumenta el número de segmentos de recta (d) 9.571
aN 17. (a) s ss s
5 t (b) r s 2 cos 5 i 2 sen 5 j 5k
04 (c) s 5: 1.081, 1.683, 1.000
aT s 4: 0.433, 1.953, 1.789
− 20
(d) Demostración
La rapidez está disminuyendo cuando aT y aN tienen
signos opuestos. 19. 0 21. 2 23. 0 25. 22 27. 1 29. 1
5 5 1 5t2 3 2 4
65. (a) 4 625 2 1 314 mi h 31. 1 a 33. 35. 3 37. 12
25 125
(b) aT 0, aN 1000 2
aT 0 ya que la rapidez es constante. 39. 7 26 676 41. K 0, 1 K no está definida.
67. (a) La componente centrípeta se cuadruplica. 43. K 4 173 2, 1 K 17 3 2 4 45. K 4, 1 K 1 4
(b) La componente centrípeta se reduce a la mitad. 47. K 12 1453 2, 1 K 1453 2 12 49. (a) 1, 3 (b) 0
69. 4.74 mi s 71. 4.67 mi s 51. (a) K → as x → 0 (No es un máximo) (b) 0
73. Falso; la aceleración centrípeta se puede presentar con rapidez 53. (a) 1 2, ln 2 2 (b) 0
constante. 55. 0, 1 57. 2 K , 0
75. (a) Demostración (b) Demostración 77–79. Demostraciones b b
59. s x t2 y t2 z t 2 dt r t dt
Sección 12.5 (página 860) a a
61. La curva es una recta.
1. y 3. y (1, 1) 63. (a) K 2 6x2 1
16x 6 16x 4 4x2 1 3 2
3 1
(0, 0)
x (b) x 0: x2 y 12 1 2
−3 69 x 1: x2 24 f
−6 12 5
(9, − 3) 3
3 10 y
24 −3
x
(0, 0) 1 −2
13 13 8 27
Respuestas a los problemas con numeración impar A29
(c) 5 29. 32 j 31. 2 e 1i 8j 2k
3
33. r t t2 1 i et 2 j e t 4k
35. (a) v t 4i 3t 2j k
−3 3 v t 17 9t 4
−2 a t 6tj
La curvatura tiende a ser máxima cerca del extremo de la (b) v 1 4i 3j k
función y a disminuir cuando x → ± . Sin embargo, f
y K no tienen los mismos puntos críticos. a 1 6j
37. (a) v t 3 cos2 t sen t, 3 sen2 t cos t, 3
Puntos críticos de f : x 0, ± 2 2 ± 0.7071 v t 3 sen2 t cos2 t 1
Puntos críticos de K: x 0, ± 0.7647, ± 0.4082 a t 3 cos t 2 sen2 t cos2t , 3 sen t 2 cos2 t sen2 t , 0
65. Demostración 67. (a) 12.25 unidades (b) 1 (b) v 0, 0, 3
2
69–71. Demostraciones a 3, 0, 0
73. (a) 0 (b) 0 75. 1 77. Demostración 39. Aproximadamente 191.0 pies
4 81. 3327.5 lb
79. K 1 4a csc 2 41. Aproximadamente 38.1 m s
Mínimo: K 1 4a 10 3 10
10 10
Ahí no hay un máximo 43. T 1 i j
83. Demostración 85. Falso. Ver la exploración de la página 851. 515i 55j 5
5
87. Verdadero 89–95. Demostraciones 45. T 3 k;
Ejercicios de repaso para el capítulo 12 x 3t 1, y t 3, z t 3
(página 863) 3 10 10
10 10
1. (a) Todos los reales, excepto 2 n , n es un entero. 47. N 1 i j 49. N 4 j
51. T 3
(b) Continua excepto en t 2 n , n es un entero. 13 i 18 13 j
N3 65 65
3. (a) 0, (b) Continua para todo t > 0 aT
aN
5. (a) i 2 k (b) 3i 4j 18 13 i 6153 j
65
(c) 2c 1 i c 1 2j c 1 k
(d) 2 t i t t 2 j t 3 3k 2 13
7. r t 3 t i 2tj 5 2t k, 0 t 1 585
x 3 t, y 2t, z 5 2t, 0 t 1 4 13
9. y 11. z 65
4 4 53. y 55. y
2 3 −3 (2, 2, 2) 2 (0, 0) x 10
1 (1, − 1, 0) −2 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14
−4 −2 −1 12 x −5 −2 34 y −4 2
4 (0, −4, −2) −6 − 10 −2 2
2 −8
3 −2 − 10 x
4 −3 − 12
−2 10
−14 (10, − 15)
−4 x −4
− 16
−10
13. r t t i 43t 3 j 15. z 5 13 60
5
57. z (−9, 6, 12) 59. z
π
12 ) )2 0, 8, π
10 2
8
−3 123 y 6 864 4
4 x (8, 0, 0) 6
2 2 (0, 0, 0) 8
3 y
2 2 4 6 8 10
x x
x t, y t, z 2t2 y
21. (a) 6t2i 4j 2tk
17. 4i k 3 29 65 2
19. (a) 2t 4 i 6tj
61. 0 63. 2 5 4 5t2 3 2 65. 23
(b) 2i 6j (b) 12t i 2k 67. K 17 289; r 17 17 69. K 2 4; r 22
71. 2016.7 lb
(c) 40t 8 (c) 72t3 4t
(d) 8i 12t2j 48tk
23. (a) 3i j (b) 5i 2t 2 j 2t2k Solución de problemas (página 865)
(c) 18t i 6t 3 j (d) 4t 3t2 1. (a) a (b) a (c) K a
2t 1 k 3. Rapidez inicial: 447.21 pies s;
(e) 8 t 3 2t2 i 8t 3j 9t2 5–7. Demostraciones
3
63.43
(f) 2i 8tj 16t 2k
25. t i 3tj 2t 2 k C 27. 2t 3 2i 2 ln t j tk C
A30 Respuestas a los problemas con numeración impar
9. Unitario tangente: 45, 0, 3 33. z 35. z
5
5 5
Unitario normal: 0, 1, 0 4
Binormal: 35, 0, 4 3
5 2
z
6π B T 1
2
N 3 1234 y 4 123 y
5 2y x
3π x
39. z
2 1 BT 37. z
3 N 8
4 1
x 4y −2 6
11. (a) Demostración (b) Demostración 2 4
x
2
13. (a) 2 (b) 6.766
−3 3 4 4y
x z
41. z
43.
−2
(c) K 2t2 2 2t2 1 3 2 y
K0 2 2 2 1 3 2 1.04
K1
K2 2 (e) lím K 0
t→
(d) 5 0.51
y
xx
45. c 46. d 47. b 48. a c
49. Recta: x y c 51. Elipses: x2 4y2 0 es el
(excepto x2 4y2
05 y
0 punto 0, 0 .
4
(f) Como t → , la gráfica es espiral hacia fuera y la curva- y
tura disminuye.
2 c=0
2 c=1
Capítulo 13 −2 x
−2 2 4 c=4 c=2
c=3
c=2 c=4
c = −1 c = 0
Sección 13.1 (página 876) x
−2 2
1. No es una función por algunos valores de x y y (por ejemplo −2
x y 0 , tienen dos valores z. 53. Hipérbolas: xy c 55. Circunferencias que pasan por
3. z es una función de x y y. 5. z no es una función de x y y. y c=6 0, 0
c=5
7. (a) 6 (b) 4 (c) 150 (d) 5y (e) 2x (f) 5t c=4 Centradas en 1 2c , 0
c=3
9. (a) 5 (b) 3e2 (c) 2 e (d) 5ey (e) xe2 (f ) tet c=2 1 y
(d) 4 c=1 2
11. (a) 2 (b) 0 (c) 3 (d) 10 1 c = −
3 2 3 x
c = −1 2
13. (a) 2 (b) 3 sen 1 (c) 3 3 2 c = −2 3
−1 c = −3 c = − 2 c=1
−1 c = −4
25 9 1 c = −5 c=2
4 4 c = −6
15. (a) 4 (b) 6 (c) (d)
17. (a) 2, x 0 (b) 2y y, y 0 x
2
19. Dominio: x, y : x es cualquier número real, y es cualquier c = −2 c = 3
c = −1 2
número real Rango: z 0
59. c = 1
2
21. Dominio: x, y : y 0
57. 6 4
Rango: todos los números reales
23. Dominio: x, y : x 0, y 0
Rango: todos los números reales −9 9 −6 6
25. Dominio: x, y : x2 y2 ≤ 4
Rango: 0 ≤ z ≤ 2 −6 −4
27. Dominio: x, y : 1 ≤ x y ≤ 1 61. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de
todos los puntos (x, y, z) para los cuales z = f(x, y) y (x, y) es el
Rango: 0 z dominio de f. La gráfica se puede interpretar con una superficie en
el espacio. Las curvas de nivel son campos escalares f(x, y) = c,
29. Dominio: x, y : y < x 4 donde c es una constante.
Rango: todos los números reales 63. f x, y x y; las curavs de nivel son las rectas y 1 c x.
31. (a) 20, 0, 0 (b) 15, 10, 20
(c) 20, 15, 25 (d) 20, 20, 0
Respuestas a los problemas con numeración impar A31
65. La superficie se puede conformar con un punto silla. Por ejemplo, 37. 1, 0 0.5, 0 0.1, 0 0.01, 0 0.001, 0
sea f x, y xy. La gráfica no es única; cualquier traslación x, y 0
vertical producirá las mismas curvas de nivel.
f x, y 0 0 0 0
67. y 0: 0
Tasa de inflación
Tasa de 0 0.03 0.05 x, y 1, 1 0.5, 0.5 0.1, 0.1
impuestos
0 $1790.85 $1332.56 $1099.43 f x, y 1 1 1
2 2 2
0.28 $1526.43 $1135.80 $937.09 x, y 0.01, 0.01 0.001, 0.001
0.35 $1466.07 $1090.90 $900.04 f x, y 1 1
2 2
69. z 71. z y x: 1
2
4
2 El límite no existe.
−4
1 4 Continua, excepto en 0, 0
−2 x 4y 39. 1, 0 0.5, 0 0.1, 0 0.01, 0 0.001, 0
−1 x, y 0
1 −4
1
2 y
2 f x, y 0 0 0 0
x z y 0; 0
73.
2
x, y 1, 1 0.5, 0.5 0.1, 0.1
−2 −2 f x, y 1 1 5
2 12 2
x y
75. (a) 243 tablero-pie (b) 507 tablero-pie x, y 0.01, 0.01 0.001, 0.001
f x, y 50 500
77. c = 600 y c = 300 79. Demostración y x;
c = 200
c = 500 El límite no existe.
c = 400 30 c = 100
c=0
Continua, excepto en 0, 0
x 41. f es continua. g es continua, excepto en 0, 0 . g tiene disconti-
−30 30
nuidad removible en 0, 0 .
43. 0 45. 0 47. 1 49. 1 51. 0
− 30 53. Continua, excepto en 0, 0, 0 55. Continua
520 57. Continua 59. Continua
3
81. (a) k 61. Continua para y 2x 3 63. (a) 2x (b) 4
(b) P 520T 3V 65. (a) 1 y (b) x y2 67. (a) 3 y (b) x 2
Las curvas de nivel son rectas. 69. Verdadero
83. (a) C (b) A (c) B 71. Falso. Sea f x, y ln(x2 y2 , x 0, y 0
.
85. C 1.20xy 1.50 xz yz
0, x 0, y 0
87. Falso. Sea f x, y 4. 73. (a) 1 a2 a, a 0 (b) El límite no existe.
89. Verdadero 91. Problema Putnam A1, 2008 (c) No, el límite no existe. Diferentes trayectorias dan como
Sección 13.2 (página 887) resultado diferentes límites.
75. 0 77. 2 79. Demostración
1–3. Demostraciones 5. 1 7. 12 9. 9, continua 81. Ver “Definición del límite de una función de dos variables” en
11. e2, continua 13. 0, continua para y 0 la página 881; demostrar que el valor de lím f x, y no es
x, y → x0 , y0
15. 21, continua, excepto en 0, 0 17. 0, continua
igual a la de para dos trayectorias diferentes en x0, y0 .
19. 0, continua para xy 1, xy 1
83. (a) No. La existencia de f 2, 3 no tiene significado en la
21. 2 2, continua para x y z ≥ 0 23. 0 existencia del límite cuando x, y → 2, 3 .
25. El límite no existe. 27. El límite no existe. (b) No. f 2, 3 puede ser igual a cualquier número, o aún no
29. El límite no existe. 31. 0 estar definida.
33. El límite no existe. 35. Continua, 1 Sección 13.3 (página 896)
1. No. Ya que está encontrando la derivada parcial con respecto a x,
considerando a y constante. Por tanto, el denominador se consi-
dera una constante y no tiene alguna variable.
A32 Respuestas a los problemas con numeración impar
3. No. Ya que está encontrando la derivada parcial con respecto a y, 2z y2 cos xy
81. x2
considerando a x constante. Por tanto, el denominador se consi-
dera una constante y no tiene alguna variable. 2z x2 cos xy
y2
5. Sí. Ya que están encontrando la derivada parcial con respecto a x,
considere a y una constante. Por lo tanto, tanto el numerador como 2z 2z xy cos xy sen xy
yx xy
el denominador tienen variables.
7. fx x, y 2 9. fx x, y 2xy3 83. z x sec y
fy x, y 5 fy x, y 3x2y2
y z y x sec y tan y
11. z x 13. z x 2x 4y
2z x2 0
z y x2 y z y 4x 6y 2z y2 x sec y sec2 y tan2 y
15. z x yexy 17. z x 2xe2y 2z y x 2z x y sec y tan y
z y xexy z y 2x2e2y No existen valores de x y y tales que fx x, y fy x, y 0.
85. z x y 2 x2 x x2 y 2
19. z x 1 x 21. z x 2x x2 y 2
z y 1y z y 2y x2 y 2 zy 2y x2 y 2
23. z x x3 3y3 x2y 2z x2 x4 4x2 y 2 y4 x2 x2 y2 2
zy x3 12y3 2xy2 2z y2 2 y2 x2 x2 y2 2
25. hx x, y 2xe x2 y2 27. fx x, y x x2 y2 2z y x 2z x y 4xy x2 y 2 2
hy x, y 2ye x2 y2 fy x, y y x2 y2
2 sec2 2x y No existen valores de x y y tales que fx x, y fy x, y 0.
29. z x
y sen xy 31. z x 87. fxyy x, y, z fyxy x, y, z fyyx x, y, z 0
89. fxyy x, y, z fyxy x, y, z fyyx x, y, z z2e x sen yz
z y x sen xy z y sec2 2x y 91. 2z x2 2z y2 0 0 0
33. z x yey cos xy
z y ey x cos xy sen xy 93. 2z x2 2z y2 e x sen y e x sen y 0
35. z x 2 cosh 2x 3y 37. fx x, y 1 x2 95. 2z t2 c 2 sen x ct c 2 2z x2
z y 3 cosh 2x 3y fy x, y y2 1
97. 2z t2 c 2 x ct 2 c 2 2z x2
39. fx x, y 3 41. fx x, y 1 2 x y 99. z t e t cos x c c2 2z x2
y
fy x, y 2 fy x, y 1 2 x 101. Sí, f x, y cos 3x 2y .
43. fx 1 45. fx 1 103. Si z f x, y , entonces para encontrar fx, considere a y cons-
tante y derive con respecto a x. De manera similar, para encon-
fy 0 fy 1
47. fx 2 trar fy, considere a x constante y derive con respecto a y.
1 105. z
fy 4 49. fx 1
1 4
4
fy 1 4
4 2
51. gx 1, 1 2 2
2 4
gy 1, 1 cos x 2y x
2 cos x 2y
53. Hx x, y, z 3 cos x 2y 3z 4y
x 3z
Hy x, y, z 3z
y 2 z2
Hz x, y, z 57. Fx x, y, z
55. w x2 x 107. Las derivadas parciales mixtas son iguales. Ver el teorema 13.3.
x x2 y 2 z2
109. (a) 72 (b) 72
wy y
y x2 y 2 z2 Fy x, y, z x2 y 2 z2 100
111. IQM C , IQM 12, 10 10
w z z
z2 Fz x, y, z x2 y 2 z2 El IQ aumenta a una tasa de 10 puntos por año de edad crono-
z x2 y2 2 61. fx 1; fy 1; fz 1 0 lógica cuando la edad mental es 12 y la edad cronológica es 10.
3; fy 1; fz 1 65. x 2, y 2
59. fx 0; fy 0; fz 100M 12
63. fx 69. x 1, y 1 71. x 0, y IQC C2 , IQC 12, 10
67. x 6, y 4
El IQ aumenta a una tasa de 12 puntos por año de edad crono-
2z 2z lógica cuando la edad mental es 12 y la edad cronológica es 10.
73. x2 0 75. x2 2
113. Un aumento, ya sea en el costo de comida y hospedaje o en el
2z 2z de la matrícula, ocasionaría una disminución en número de
y2 6x y2 6 aspirantes.
2z 2z 2z 2z 2 115. T x 2.4 m, T y 9 m
y x x y 6y yx xy 117. T PV nR ⇒ T P v nR
nRT V ⇒ P V nRT V 2
2z y2 79. 2z e x tan y P nRT P ⇒ V T nR P
77. x2 x2 y2 3 2 x2 V
2z x2 2z 2ex sec2 y tan y TP PV VT
y2 x2 y2 3 2 y2
nRT VP nRT nRT 1
2z 2z xy 2z 2z
yx xy ex sec2 y
y x x y x2 y2 3 2
Respuestas a los problemas con numeración impar A33
119. (a) z 0.461; z 0.301 39. Las respuestas varían. 41. Las respuestas varían.
x y
Ejemplo: Ejemplo:
(b) Conforme los gastos en dos partes de atracciones y 1x 1 yx x2
campamentos sxd aumentan, los gastos de los espectado- 20 2 2x x
res de deportes szd aumentan. Conforme los gastos del 43. Demostración
entretenimiento en vivo syd aumentan, los gastos de los
espectadores de deportes szd también aumentan. Sección 13.5 (página 913)
121. Falso. Sea z x y 1. 123. Verdadero 1. 26t; 52 3. et sen t cos t ; 1 5. (a) y (b) e t
125. (a) fx x, y y x4 4x2y2 y4 7. (a) y (b) 2e2t 9. (a) y (b) 3 2t 2 1
x2 y2 2
11. 11 29 29 2.04
x x4 4x2y2 y4
fy x, y x2 y2 2 13. w s 4s, 4 15. w s 5 cos 5s t , 0
(b) fx 0, 0 0, fy 0, 0 0 w t 4t, 0 w t cos 5s t , 0
(c) fxy 0, 0 1, fyx 0, 0 1 17. (a) y (b) 19. (a) y (b)
(d) fxy o fyx o ambas no son continuas en 0, 0 . w t2 3s2 t2 w tes2 t2 2s2 1
s s
127. Demostración
w w ses2 t2 1 2t2
Sección 13.4 (página 905) t 2st s2 2t2 t
1. dz 4xy3 dx 6x 2y 2 dy 21. y 2x 1 x2 y2 x
2y x 1 23. x2 y2 y
3. dz 2 x dx y dy x2 y2 2
z x z x
5. dz cos y y senx dx x seny cos x dy 25. x z 27. x yz
7. dz ex seny dx ex cos y dy zy zz
9. dw 2z3y cos x dx 2z3 sen x dy 6z2 y sen x dz yz y yz
11. (a) f 2, 1 1, f 2.1, 1.05 1.05, z 0.05 z sec2 x y z zexz y
x sec2 y z x xexz
(b) dz 0.05 29. 31.
13. (a) f 2, 1 11, f 2.1, 1.05 10.4875, z 0.5125 z sec2 x y z e xz
y 1 sec2 y z y
(b) dz 0.5
15. (a) f 2, 1 e2 7.3891, f 2.1, 1.05 1.05e2.1 8.5745, 33. w yw 35. w y sen xy
x xz x z
z 1.1854
(b) dz 1.1084 w xz w x sen xy z cos yz
17. 0.44 19. 0.094 y xz yz
21. En general, la precisión empeora cuando x y y aumentan. wwy w y cos yz w
23. Si z f x, y , entonces z dz es el error propagado y z xz zz
z dz es el error relativo. 37. (a) f tx, ty tx ty
z z tx 2 ty 2
25. dA h dl l dh xy
t
∆h dA ∆A dA t f x, y ; n 1
x2 y2
h dA (b) xfx x, y yfy x, y xy 1f x, y
39. (a) f tx, ty x2 y2
l ∆l etx ty ex y f x, y ; n 0
A dA dl dh (b) xfx x, y yfy x, y xex y xex y
0
27.
r yy
h dV V V dV 41. 47 43. dw dt w x dx dt wy dy dt
0.1686
0.1 0.1 8.3776 8.5462 0.0010 45. dy fx x, y
0.0001 dx fy x, y
0.0000
0.1 0.1 5.0265 5.0255 z fx x, y, z
x fz x, y, z
0.001 0.002 0.1005 0.1006
z fy x, y, z
0.0001 0.0002 0.0034 0.0034 y fz x, y, z
47. 4608 pulg3 min; 624
29. ± 3.92 pulgadas cúbicas; 0.82% 51–55. Demostraciones pulg2 min 49. 28m cm2 s
31. dC ± 2.4418; dC C 19% 33. 10%
35. (a) V 18 sen ft3; 2 (b) 1.047 ft3 Sección 13.6 (página 924)
37. L 8.096 10 4 ± 6.6 10 6 microhenrys
1. 2 3. 2 2 3 5. 1 7. 7 9. 6
25
A34 Respuestas a los problemas con numeración impar
11. 2 5 5 13. 3i 10j 15. 4i j 53. (a) 6 i 4j (b) 13 13 3i 2j (c) y 3 x 1
(d) 2 2
17. 6i 10j 8k 19. 1 21. 2 3 3 23. 3 2 y x
3
25. 8 5 27. 2 x y i xj ; 2 2 3
2
29. tan yi x sec2 yj; 17 31. e x yi j ; 26 1
xi yj zk 35. yz yzi 2xzj 2xyk ; 33
33. ; 1
−3 −2 −1 12
x2 y2 z2
37. z 39. (a) 5 2 12 −2
3 (3, 2, 1) −3
(b) 3 5
6 (c) 1 5 55. La derivada direccional de z f x, y es la dirección de
y (d) 11 10 60
u cos i sen j es
9
fx t cos , y t sen f x, y
x lím t
41. 13 6 Du f x, y t→0
43. (a) Las respuestas varían. Ejemplo: 4i j si el límite existe.
(b) 2 i 1 j (c) 2 i 1 j 57. Ver la definición en la página 918. Ver las propiedades en la
5 10 5 10
página 919.
La dirección es opuesta a la del gradiente
59. El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.
45. (a) z
61. 5 h 5i 12j 63. 1 7i 24 j
625
65. 6i 10j; 11.66 por centímetro 67. y2 10x
x 69. Verdadero 71. Verdadero 73. f x, y, z e x cos y 1 z 2 C
y 2
(b) Du f 4, 3 8 cos 6 sen 75. (a) Demostración (b) Demostración
(c) z
Du f
3
12 −2
−1
8
4 2y
2
θ
π 2π x
−4
−8 Sección 13.7 (página 933)
− 12
Generada por Mathematica
(c) 2.21, 5.36 1. La curva de nivel se puede escribir como 3x 5y 3z 15,
Direcciones en las cuales no hay cambio en f
la cual es una ecuación de un plano en el espacio.
(d) 0.64, 3.79
Direcciones de razón de cambio máxima en f 3. La curva de nivel se puede escribir como 4x2 9y2 4z2 0,
(e) 10; Magnitud de la razón de cambio máxima que es un cono elíptico que se encuentra en el eje z.
(f ) y
5. 1 3i 4j 12k 7. 1 4i 3j 12k
13 13
9. 4x 2y z 2 11. 3x 4y 5z 0
6 13. 2x 2y z 2 15. 3x 4y 25z 25 1 ln 5
4 17. x 4y 2z 18 19. 6x 3y 2z 11
2 21. x y z 9 23. 2x 4y z 14
x x1y2z4
241
−6 −4 246
−2 x3y3z3
−4
−6 25. 6x 4y z 5 27. 10x 5y 2z 30
Generada por Mathematica x3y2z5 x1y2z5
Ortogonal a la curva de nivel 6 41 10 5 2
47. 2i 3j 49. 3i j 29. x y 2z 2
51. (a) 16 i j (b) 257 257 16i j x1 y1 z 4
(c) y 16x 22 1 12
(d) y
31. (a) x 1 1 y1 z1 (b) 21, no ortogonal
1 1
33. (a) x 4 3 y3 z4 (b) 2156, no ortogonal
4 3
x 35. (a) x 3 y 1 z 2 (b) 0, ortogonal
−15 −10 −5 5 10 15 15 4
−5
−10 37. 86.0 39. 77.4 41. 0, 3, 12 43. 2, 2, 4
45. 0, 0, 0 47. Demostración
49. (a) Demostración (b) Demostración
Respuestas a los problemas con numeración impar A35
51. 2, 1, 1 o 2, 1, 1 (e) f
53. Fx x0, y0, z0 x x0 Fy x0, y0, z0 y y0 0 P2 z
Fz x0, y0, z0 z z0 P1 4
55. Las respuestas varían. −2 −2
57. (a) Recta:x 1, y 1, z 1 t 2 1 2
x −2 y
Plano: z 1
(b) Recta:x 1, y 2 6 t, z 4 t −4
25 5
Plano: 6y 25z
32 0
(c) z z 67. Demostración
1 1 −2 Sección 13.8 (página 942)
2 3 2 −1 2 1. Mínimo relativo: 3. Mínimo relativo:
x −1 y x 3 1, 3, 0
y 5. Mínimo relativo: 0, 0, 1
1, 3, 4
59. (a) x 1t (b) z 7. Máximo relativo:
y 2 2t 9. Punto silla:
z 4 4 0, 0, 0 40, 40, 3200
48.2
13. Mínimo relativo: 11. Máximo relativo:
3, 4, 5
12, 1, 31
17. Punto silla: 4
−4 1, 1, 1
15. Mínimo relativo:
21. z
4y 0, 0, 0
4
x5 19. No hay puntos críticos.
−4
61. F x, y, z x2 y2 z2 23. z
a2 b2 c2 1
6
5
Fx x, y, z 2x −4
a2
Fy x, y, z 2y 4y −4 −4
b2 x4 4y
x5
2z −4
c2
Fz x, y, z
Plano: 2x0 x x0 2y0 y y0 2z0 z z0 0 Máximo relativo: 1, 0, 2 Mínimo relativo: 0, 0, 0
a2 b2 c2 Mínimo relativo: 1, 0, 2 Máximo relativo: 0, ± 1, 4
x0x y0 y z0z 1 Puntos silla: ± 1, 0, 1
a2 b2 c2 25. z nunca es negativa. Mínimo: z 0 cuando x y 0.
63. F x, y, z a2x2 b2y2 z2 z
Fx x, y, z 2a2x 60
Fy x, y, z 2b2y 40
Fz x, y, z 2z
Plano: 2a2x0 x x0 2b2 y0 y y0 2z0 z z0 0
a2x0 x b2y0 y z0z 0 3
x 3y
Por lo tanto, los planos pasan por el origen.
27. Información insuficiente
65. (a) P1 x, y 1 x y 31. 4 < fxy 3, 7 < 4 29. Punto silla
(b) P2 x, y 1 x 33. (a) 0, 0
(c) Si x 0, P2 0, y y 1 x 2 xy 1 y2
2 2 (b) Punto silla: 0, 0, 0
1 (c) 0, 0
1 y 2 y 2. (d) z
Este es el polinomio de Taylor de segundo grado para e y. 2
Si y 0, P2 x, 0 1 x 1 x 2.
2
Este es el polinomio de Taylor de segundo grado para e x.
(d) y f x, y P1 x, y P2 x, y
x
00 1 1 1
0 0.1 0.9048 0.9000 0.9050 x 1 −2
2 2 −2
y
0.2 0.1 1.1052 1.1000 1.1050 Punto silla
(0, 0, 0)
0.2 0.5 0.7408 0.7000 0.7450 −2
1 0.5 1.6487 1.5000 1.6250
A36 Respuestas a los problemas con numeración impar
Sección 13.9 (página 949)
35. (a) 1, a , b, 4 1, a, 0 , b, 4, 0 1. 3 3. 7 5. x y z 3 7. 10, 10, 10
(b) Mínimo absoluto: 9. 9 pies 9 pies 8.25 pies; $26.73
(c) 1, a , b, 4
(d) z 11. Sean x, y y z la longitud, el ancho y la altura, respectivamente,
6 y sea V0 be el volumen dado. Entonces V0 xyz y z V0 xy.
El área superficial es
S 2xy 2yz 2xz 2 xy V0 x V0 y .
2 4 Sx 2 y V0 x2 0 x2y V0 0
4 y Sy 2 x V0 y2 0 xy2 V0 0
6
−2 Por lo que, x 3 V0, y 3 V0 y z 3 V0.
x 13. x1 3; x2 6 15. Demostración
−4 Mínimo 17. x 2 2 0.707 km
Mínimo absoluto
absoluto (1, a, 0)
(b, −4, 0)
y 3 2 2 3 6 1.284 km
37. (a) 0, 0 19. Escriba la ecuación a ser maximizada o minimizada como una
(b) Mínimo absoluto:
(c) 0, 0 0, 0, 0 función de dos variables. Dos de las derivadas parciales y hágalas
(d) z
igual a cero o indefinidas para obtener los puntos críticos. Utilice
el criterio de las segundas derivadas parciales para verificar los
extremos relativos usando los puntos críticos. Verifique los pun-
6 tos frontera.
21. (a) y 3 x 4 (b) 1 23. (a) y 2x 4 (b) 2
4 3 6
37 7 175 945
25. y 43 x 43 27. y 148 x 148
42 24 6 y = 37 x + 7 8
6 43 43
y 7 (0, 6)
x Mínimo (5, 5) (4, 3)
absoluto (0, 0, 0) (3, 4)
(4, 2) −4 (5, 0) 18
(1, 1)
39. Mínimo relativo: 0, 3, 1 −2 (0, 0) (8, − 4) (10, − 5)
41. Máximo absoluto: 43. Máximo absoluto: −1 10 −6
4, 0, 21 0, 1, 10 y = − 175 x + 945
148 148
Mínimo absoluto: Mínimo absoluto: 29. (a) y 1.6x 84 (b) 1.6
4, 2, 11 1, 2, 5 n n n n
45. Máximo absoluto: 47. Máximo absoluto: 31. a xi4 b xi3 c xi2 xi2 yi
i1 i1 i1 i1
± 2, 4, 28 2, 1, 9 , 2, 1, 9 n n n n
Mínimo absoluto: Mínimo absoluto: a xi3 b xi2 c xi xi yi
i1 i1 i1 i1
0, 1, 2 x, x, 0 , x 1 n nn
49. (a) Ver la definición en la página 936. a xi2 b xi cn yi
i1 i1 i1
(b) Ver la definición en la página 936. 33. y 3 x2 6 x 26 35. y x2 x
7 5 35
(c) Ver la definición en la página 937. 14
8
(d) Ver la definición en la página 939. (4, 12)
51. Las respuestas varían. (−1, 0) (2, 5)
Ejemplo de respuesta: (1, 2) (3, 6)
(2, 2)
z −9 6 −5
(0, 1) 7
(−2, 0) 1.79 (0, 0)
75 −2 −2
60
45 37. (a) y 0.22x2 9.66x
(b) 120
30
2
x
2y −1 14
No hay extremos − 20 0.1499h 9.3018 (b) P 10,957.7e 0.1499h
(d) Demostración
53. (a) fx 2x 0, fy 2y 0 ⇒ 0, 0 es un punto crítico. 39. (a) ln P
gx 2x 0, gy 2y 0 ⇒ 0, 0 es un punto crítico. (c) 14,000
2 2 0 < 0 ⇒ 0, 0 es un punto silla.
(b) d
d 2 2 0 > 0 ⇒ 0, 0 es un mínimo relativo.
55. Falso. Sea f x, y 1 x y en el punto 0, 0, 1 . −2 24
− 2,000
57. Falso. Sea f x, y x2y2 (ver ejemplo 4 en la página 940).
41. Demostración
Sección 13.10 (página 958) Respuestas a los problemas con numeración impar A37
9. z
1. f 5, 5 25 3. f 1, 2 5 5. f 25, 50 2600
2
7. f 1, 1 2 9. f 3, 3, 3 27 11. f 13, 13, 1 1
3 3 −2
13. Máximo: f 2 2, 2 2 5 2
f 2 2, 2 2 5 2 2 3y
Mínimo: f
2 2, 2 2 12 x
−2
f 2 2, 2 2 12
15. f 8, 16, 8 1024 17. 2 2 19. 3 2 11. Límite: 1 13. Límite: 0
2
21. 11 2 23. 2 25. 3 27. 4, 0, 4 Continua, excepto en 0, 0 Continua
29. Los problemas de optimización que tienen restricciones en los 15. fx x, y 15x2 17. fx x, y ex cos y
valores que se pueden usar para producir las soluciones fy x, y 7 fy x, y ex sen y
óptimas se llaman problemas de optimización restringidos. 4y3e4x
19. fx x, y 3y2e4x 6yz 5y3
31. 3 33. x y z 3 fy x, y 15xy2
2z2
35. 9 pies 9 pies 8.25 pies; $26.73 37. Demostración 21. fx x, y, z 6xz
fy x, y, z
39. 2 3a 3 2 3b 3 2 3c 3
41. 3 360 3 360 4 3 360 ft fz x, y, z 4xz 6xy
3
43. r 3 v0 y h 2 3 v0 45. Demostración 23. fxx x, y 6
22
fyy x, y 12y
47. P 15,625 18,3125 226,869 fxy x, y fyx x, y 1
49. x 191.3 25. hxx x, y y cos x
y 688.7 hyy x, y x sen y
Costo $55,095.60 hxy x, y hyx x, y cos y sen x
51. Problema Putnam 2, sesión matutina, 1938 27. Pendiente en la dirección x: 0
Ejercicios de repaso para el capítulo 13 Pendiente en la dirección x: 4
(página 960)
29. xy cos xy senxy dx x2 cos xy dy
31. dw 3y2 6x2yz2 dx 6xy 2x3z2 dy 4x3yz dz
1. (a) 9 (b) 3 (c) 0 (d) 6x2 33. (a) f 2, 1 10 (b) dz 0.5
3. Dominio: x, y : x 0 y y 0 f 2.1, 1.05 10.5
Rango: todos los números reales z 0.5
5. Rectas: y 2x 3 c 35. ± pulgadas cúbicas; 15%
yc c = 6 c =4 37. dw dt 8t 1 4t2 t 4
8 c=
= 2 39. w r 4r 2t 4rt2 t 3 2r t 2
6 c=0 w t 4r 2t rt 2 4r 3 2r t 2
41. z x 2x y y 2z
x zy x 2y z y 2z
43. 50
−6 −4 246 45. 2 47. 4, 4 , 4 2 49. 21, 0 , 1
51. (a) 54i 3 2
(d) 16j (b) 27 i 8j (c) y 27 x 65
793 793 8 8
y
7. (a) z (b) g es una traslación vertical de f
5 dos unidades hacia arriba.
4 6
(c) g es una traslación horizontal de f
dos unidades hacia la derecha. 4 Vector unitario
2 normal
−6 −4 x
−2 46
−2 12 y −4
2 −6
x Recta tangente
(d) z z 53. 2x 6y z 8
5 55. z 4
5 4 57. Plano tangente: 4x 4y z 8
4 Recta normal: x 2 4t, y 1 4t, z 4 t
z = f (1, y) z = f (x, 1) 59. 36.7 61. Máximo relativo: 4, 1, 9
63. Mínimo relativo: 4, 34, 2
2
x 65. Mínimo relativo: 1, 1, 3
2 2y 2
x y
A38 Respuestas a los problemas con numeración impar
67. 3 69. x1 2, x2 4 71. y 212616x 456 13. (a) z (b) z
113 1
1
73. (a) y 0.138x 22.1 (b) 46.25 bushels por acre
75. f 4, 4 32 77. f 15, 7 352 79. f 3, 6 36
81. x 2 2 0.707 km; y 3 3 0.577 km; 1 2y
x −1
z 60 3 2 2 3 6 8.716 km 2y
2 Mínimo: ± 1, 0, e 1
x Máximo: 0, ± 1, 2e 1
Puntos silla: 0, 0, 0
Solución de problemas (página 963)
<0
Mínimo: 0, 0, 0 Mínimo: ± 1, 0, e 1
Máximo: 0, ± 1, e 1
1. (a) 12 unidades cuadradas (b) Demostración (c) Demostración Máximo: 0, ± 1, 2e 1 Puntos silla: 0, 0, 0
3. (a) y0 z0 x x0 x0z0 y y0 x0y0 z z0 0 Puntos silla: ± 1, 0, e 1 1 cm
(b) x0 y0z0 1 ⇒ z0 1 x0 y0
Entonces el plano tangente es (c) > 0
Mínimo: 0, 0, 0
1 x0 1 y0 x0 y0 z 1 0. Máximo: 0, ± 1, e 1
y0 x0 y0 x x0 x0y0 y x0y0
Puntos silla:
Intersecciones: 3x0, 0, 0 , 3 ± 1, 0, e 1
0, 3y0, 0 , 0, 0,
x0y0 15. (a) 6 cm
5. (a) y k = 0 k = 1 k = 2 (b) y k=0 k=1 k=2
g(x, y) 2 (b) 6 cm
1 g(x, y)
1 cm
1
x x
−1 1 34 −2 −1 1 234
−1 −1
k=3 −2 k = 3 (c) Altura
−3 −3 (d) dl 0.01, dh 0: dA
−4 −4 dl 0, dh 0.01: dA 0.01
17–21. Demostraciones 0.06
Valor máximo: 2 2 Valores máximo y
mínimo: 0
El método de los multiplicado-
res de Lagrange no funciona, Capítulo 14
ya que g x0, y0 0. Sección 14.1 (página 972)
5 3 150 3
7. 2 3 150 2 3 150
f f xCy1 aaxa 1 yCxa 1 a y1 a 1 1. 2x2 3. y ln 2y 5. 4x2 x4 2
9. (a) x y
xy 7. y 2 ln y 2 y2 9. x2 1 e x2 x2e x2 11. 3
axaCy1 a 1 a xaC y1 a 13. 8 15. 1 17. 2 19. 1 21. 1629 23. 2
3 2 3 3
Cxay1 a a 1 a 1
25. 4 27. 2 29. 2 32 18 31. 2
Cxay1 a 33. Diverge 35. 24 37. 16 39. 8 41. 5 43. 9
45. y 3 3 2
f x, y 47. y
C tx a ty 1 a
(b) f tx, ty Ctxay1 a 3
tCxay1 a
3
t f x, y 1
2
11. (a) x 32 2t −2 −1 x
y 32 2t 16t2 1 −1 12
(b) y 1234 x
arctan 44
32 2t 16t2 2 4 y2
x 50 arctan f x, y dy dx
0 f x, y dx dy
32 2t 50 0x
51. 4 y2
(c) d 16 8 2t2 25t 25 2 49. y
dt 64t 4 256 2t3 1024t2 800 2t 625 y
(d) 30 No; La razón de cambio de a es 4
más grande cuando el proyectil 8 3
está más cerca de la cámara. 6 2
04 4 x
−5 2 −2 −1 12
(e) es máxima cuando t 0.98 s. x 1y
No; el proyectil está en su máxima altura cuando 123
t 2 1.41 segundos. f x, y dx dy
ln 10 10
0y
f x, y dy dx
0 ex
Respuestas a los problemas con numeración impar A39
53. y 12 21 2 67. y
3 dy dx dx dy 3
2
1 00 00
123 x 2
55. y 1
1 x 53.598
123
12
4ey2 dy dx e4 1
0 2x
69. y
x 1
−1 1 1 1 x2 2 x
1 1
1 y2 dy dx
0
dx dy 10
57. y
1 y2
3
11
2 1
sen x 2 dx dy 1 cos 1 0.230
0y 2
75. 20.5648 77. 15
1 71. 1664 73. ln 5 2 2
105
x 79. (a) y
12 34
−1
4
2x 4 4x 2 4y x = y3 (8, 2)
dy dx dy dx dx dy 4 2
00 20 0y x
2468
59. y 21 1 2y
−2 x = 4 2y
2 dy dx dx dy
1
0 x2 00
8 3x
1
(b) x2y xy2 dy dx (c) 67,520 693
x
0 x2 32
61. 12
x= 3 y 81. Una integral iterada es una integral de varias variables. Integrar
y con respecto a una variable manteniendo las otras variables
x = y2 1 3y 1x 5 constantes.
2 12
dx dy dy dx 83. Si todos los 4 límites de integración son constantes, la región de
integración es rectangular.
0 y2 0 x3
85. Verdadero
Section 14.2 (página 983)
1 (1, 1) 1. 24 (la aproximación es exacta)
x 3. Aproximación: 52; Exacta: 160
3
12 5. y 7. y
63. La primera integral surge utilizando los rectángulos representa- (3, 6)
tivos verticales. Las segundas dos integrales surgen usando los
rectángulos representativos horizontales. 6
3
24
Valor de las integrales: 15,625 24 12
65. y y3 dy dx 26 x x
9 246
22 123
8 36
3 x1 9. y
a
0x
2
1
x
123
−a a x
−a
0
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Ron Larson_ Bruce Edwards - Cálculo. II-(2016) 10ED
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