แผนการจัดการเรียนรู้บทที่ 3 เรื่อง เส้นขนาน

แผนการจัดการเรยี นรู้

วิชาคณิตศาสตร์ 4 ค 22102
หน่วยท่ี 3 เส้นขนาน

นายสิทธชิ ัย พลตอื้

รหสั นักศึกษา 60100140201 l สาขาวิชาคณติ ศาสตร์
นักศึกษาฝกึ ประสบการณ์ โรงเรยี นอุดรพิชัยรกั ษพ์ ิทยา

แผนการจดั การเรียนรู้
หนว่ ยที่ 3 เรอื่ ง เสน้ ขนาน
วิชาคณิตศาสตร์ 4 ค22102
ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 โรงเรียนอดุ รพิชัยรักษพ์ ิทยา

นายสทิ ธิชยั พลต้อื
รหัสนักศึกษา 60100140201

สาขาวิชาคณิตศาสตร์

การปฏิบตั ิการสอนในสถานศกึ ษา 2

รหัสวชิ า ED18502 (INTERNSHIP IN SCHOOL 2)

คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลยั ราชภัฏอุดรธานี
ภาคเรยี นท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

ก

คำนำ

ตามที่กระทรวงศึกษาธิการ ได้ประกาศใช้ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัด กลุ่มสาระการ
เรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศกั ราช 2551 เพื่อให้สถานศึกษานำไปใช้เป็นกรอบทิศทางในการพัฒนาหลักสูตรสถานศึกษา
วางแผนการจัดการเรียน การสอนและจัดกิจกรรมการเรียนรู้เพื่อพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้
ความสามารถ และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ตามเป้าหมายของหลักสูตร ตลอดจนให้เกิดผลสำเร็จ
ตามเจตนารมณ์ของการปฏริ ูปการศึกษา ดังนั้น ขั้นตอนการนำหลกั สูตรสถานศึกษาไปปฏิบัติจริงใน
ช้นั เรยี นของครูผสู้ อน จึงจดั เป็นหัวใจสำคญั ในการพัฒนาผเู้ รยี น

ครูผู้สอนจงึ ได้จดั ทำ แผนการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2
ข้ึน เพ่ือเป็นแนวทางวางแผนจัดการเรียนรู้แกผ่ ู้เรยี น โดยจดั ทำเป็นหนว่ ยการเรียนรูอ้ ิงมาตรฐานและ
ออกแบบกิจกรรมการเรียนรูต้ ามแนวคิดการออกแบบ ตลอดจนเน้นกิจกรรมแบบ Active Learning
อันจะชว่ ยให้ผู้ปกครองและหน่วยงานท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั การประเมินคุณภาพการศึกษา สามารถมั่นใจใน
ผลการเรียนรู้และคุณภาพของผเู้ รียนท่ีมีหลกั ฐานตรวจสอบผลการเรยี นรอู้ ยา่ งเป็นระบบ

ทัง้ น้ีผ้สู อนตอ้ งขอขอบคณุ นายสาส์นลิขิตชยั พลไธสง ผ้อู ำนวยการโรงเรียนพิบูลย์รักษ์พิทยา
ทค่ี ่อยอำนวยการในการจดั การเรียนการสอน

ขอบคณุ นายราเชนทร์ พ่มุ แจ้ หวั หนา้ กลมุ่ บรกิ ารวิชาการ ทค่ี อ่ ยอำนวยการ นเิ ทศการจดั การ
เรยี นการสอน และตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู้ก่อนนำแผนการจัดการเรยี นรู้ไปใช้

ขอบคุณนายดัสกร ชมุ ปัญญา หวั หนา้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ และครูพ่ีเล้ียงท่ีค่อย
ให้คำปรกึ ษา กำกับดูแล และตรวจสอบแผนการจดั การเรียนรกู้ อ่ นนำไปใช้

หากผสู้ อนผิดพลาดประการใดตอ้ งขออภัยมา ณ ทีน่ ด้ี ว้ ย

สทิ ธชิ ยั พลตื้อ
นกั ศึกษาฝึกประสบการณ์วิชาชพี ครู
สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะครศุ าสตร์

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

สารบญั ข

คำนำ หน้า
สารบัญ ก
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี ข
23 เส้นขนานและมมุ ภายใน (1)
24 เส้นขนานและมุมภายใน (2) 1
25 เสน้ ขนานและมมุ แย้ง (1) 13
26 เส้นขนานและมมุ แยง้ (2) 27
27 เสน้ ขนานและมุมภายนอกกบั มมุ ภายใน (1) 39
28 เส้นขนานและมมุ ภายนอกกบั มุมภายใน (2) 49
29 เส้นขนานและรปู สามเหลย่ี ม 63
73

1

แผนการจัดการเรียนรู้ 23

กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

รหัสวิชา ค22102 ภาคเรยี นท่ี 2

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 3 เรอื่ ง เส้นขนาน เวลาเรยี น 10 ชวั่ โมง

เรือ่ ง เสน้ ขนานและมุมภายใน เวลา 1 ชวั่ โมง

ผสู้ อน นายสิทธิชยั พลต้อื โรงเรียนอดุ รพชิ ัยรกั ษ์พทิ ยา

สอนวันที่...........เดอื น..........................พ.ศ. ..............

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ปู เรขาคณิต สมบตั ิของรูปเรขาคณิต ความสัมพนั ธ์

ระหวา่ งรูปเรขาคณติ และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้

ตวั ชี้วัด
ค 2.2 ม. 2/2 นำความรู้เก่ียวกับสมบัติของเสน้ ขนานและรูปสามเหล่ียมไปใช้ในการแก้ปัญหา

คณติ ศาสตร์

สาระสำคญั
บทนยิ าม : เสน้ ตรงสองเสน้ ท่ีอยบู่ นระนาบเดยี วกัน ขนานกันกต็ ่อเมอื่ เส้นตรงทงั้ สองเส้นนน้ั

ไมต่ ัดกัน

ในกรณที ัว่ ไป ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกัน แลว้ ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงคู่นน้ั จะเทา่ กันเสมอ
และในทางกลับกนั ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ มีระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงเทา่ กนั เสมอ แล้วเสน้ ตรงคนู่ น้ั จะ
ขนานกัน

สมบัติของเส้นขนาน
1. ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมีเสน้ ตัด แลว้ ขนาดของมมุ ภายในท่ีอยู่บนขา้ งเดยี วกัน
ของเส้นตัดรวมกนั เท่ากบั 180 องศา

2

2. ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนึ่งตัดเส้นตรงคหู่ นึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในทอี่ ยูบ่ นข้างเดยี วกันของ
เสน้ ตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศา แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ้นั ขนานกนั

ดังนน้ั จะสรุปสมบตั ิเมื่อใช้ “ก็ตอ่ เม่ือ” ไดด้ งั น้ี “เมอ่ื เส้นตรงเสน้ หน่งึ ตัดเสน้ ตรงคหู่ น่ึง
เสน้ ตรงค่นู นั้ ขนานกันกต็ ่อเมอ่ื ขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดยี วกันของเสน้ ตัดรวมกนั เท่ากบั
180 องศา”

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เมอ่ื เรียนจบบทเรียนนี้แล้วนักเรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
บอกบทนยิ ามของเสน้ ขนานได้ถกู ต้อง
2. ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P)
2.1 พิสูจนไ์ ดว้ า่ ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั แลว้ ระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงค่นู ัน้ จะ
เทา่ กนั เสมอ
2.2 พสิ จู น์ได้ว่าถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมเี สน้ ตัด แล้วขนาดของมมุ ภายในท่ี
อยบู่ นข้างเดียวกันของเส้นตดั รวมกันเทา่ กับ 180 องศา
3. ด้านคณุ ลกั ษณะที่พงึ ประสงค์ (A)
เขียนยนื ยันเหตผุ ลแนวคิดของตนเอง

สาระการเรียนรู้
เสน้ ขนานและมุมภายใน

กระบวนการจัดการเรยี นรู้ (รูปแบบการสอนแบบปกติ)
ขั้นนำเข้าสูบ่ ทเรยี น
1. ครพู ดู คยุ สนทนาพร้อมแจง้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เรอ่ื ง เส้นขนานและมมุ ภายใน ให้

นกั เรยี นทราบ ดงั นี้
1.1 ด้านความรู้ (K)
บอกบทนิยามของเสน้ ขนานได้ถกู ต้อง
1.2 ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
1.2.1 พิสูจนไ์ ด้วา่ ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกัน แล้วระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงคู่
นน้ั จะเท่ากนั เสมอ
1.2.2 พิสจู น์ได้วา่ ถา้ เส้นตรงสองเส้นมีระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงเทา่ กันเสมอ
แลว้ เส้นตรงคูน่ น้ั จะขนานกนั

3

1.3 ดา้ นคณุ ลักษณะที่พงึ ประสงค์ (A)
เขยี นยืนยนั เหตุผลแนวคดิ ของตนเอง

2. ครูใหน้ กั เรยี นดูภาพรางรถไฟ ดังรูป

3. ครูใชค้ ำถาม “นกั เรียนสังเกตเหน็ อะไรบา้ งในรปู ที่ครใู หด้ ู”
4. ครูและนักเรียนอภิปรายร่วมกันเกี่ยวกับเส้นขนานและสิ่งแวดล้อมในชีวิตของเรา ว่า
นักเรียนคดิ วา่ มสี ่ิงใดบ้างที่อย่รู อบตัวเราและมีลกั ษณะเปน็ เสน้ ขนาน ครยู กตัวอย่างเปน็ แนวทาง เช่น
ไมร้ ะแนง ทางรถไฟ เส้นบรรทดั ในสมุด แลว้ ใหน้ ักเรยี นชว่ ยกนั ยกตัวอยา่ งเพิม่ เติมเกี่ยวกับเส้นขนาน
และสิง่ แวดล้อมในชีวติ ของเรา
5. ครูยกตัวอยา่ งเสน้ ขนานทนี่ ักเรยี นเจอในชีวติ ประจำวนั เช่น ขอบของกระดาษ A4 ขอบ
สองฝง่ั ของกระดาน เปน็ ตน้

ขั้นสอน
6. ครูอธิบายว่า “ เสน้ ตรงสองเส้นทอี่ ยู่บนระนาบเดียวกนั ขนานกันก็ต่อเมื่อ เสน้ ตรงสอง

เสน้ น้นั ไม่ตัดกนั ”

4

7. ครอู ธิบายวา่ “เม่ือ ⃡ และ ⃡ ขนานกัน อาจกล่าววา่ ⃡ ขนานกับ ⃡ หรือ ⃡
ขนานกับ ⃡ และเขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ ⃡ // ⃡ หรอื ⃡ // ⃡ ”

8. ครูใหน้ กั เรียนพิจารณารปู ต่อไปน้ี พร้อมอธิบาย

กำหนดให้ ⃡ และ ⃡ อยบู่ นระนาบเดียวกนั จดุ E และจดุ X เป็นจดุ ทีแ่ ตกตา่ งกันบน
⃡ ลาก ⃡ ตงั้ ฉากกับ ⃡ ทจ่ี ดุ โ และลาก ⃡ ตง้ั ฉากกับ ⃡ ทจี่ ดุ Y

เรยี ก EF ว่า ระยะห่างระหวา่ ง ⃡ และ ⃡ ทว่ี ดั จากจุด E
และ เรียก XY วา่ ระยะหา่ งระหว่าง ⃡ และ ⃡ ที่วดั จากจุด X

ในกรณที ่ี ⃡ ขนานกับ ⃡ จะไดว้ ่า EF = XY น่นั คือระยะห่างระหวา่ ง ⃡ และ ⃡ ท่ีวัด
จากจุดทแ่ี ตกตา่ งกันบน ⃡ จะเท่ากันเสมอ

ในกรณที ี่ ⃡ ไมข่ นานกบั ⃡ จะไดว้ า่ EF ≠ XY น่นั คือระยะห่างระหวา่ ง ⃡ และ ⃡ ที่
วัดจากจดุ ท่ีแตกต่างกนั บน ⃡ จะไมเ่ ท่ากนั

9. ครอู ธิบายวา่ “ในกรณีทัว่ ไป ถา้ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั แลว้ ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงคู่
นัน้ จะเท่ากนั เสมอ และในทางกลบั กัน ถ้าเส้นตรงสองเสน้ มรี ะยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรงเทา่ กันเสมอ
แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ัน้ จะขนานกนั ”

10. ครูอธบิ ายว่า “ในทางปฏิบัติ เมอื่ ตอ้ งการตรวจสอบวา่ เสน้ ตรงสองเส้นท่กี ำหนดใหข้ นาน
กนั หรือไม่ อาจตรวจสอบระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงทง้ั สองทีว่ ัดจากจดุ สองจดุ ทแ่ี ตกต่างกนั บนเสน้ ตรง
เส้นหนึ่ง และจุดท้ังสองน้นั อยู่บนด้านเดียวกันของเสน้ ตรงอีกเส้นหน่ึง และในการตรวจสอบว่า
เสน้ ตรงคู่ใดขนานกันหรือไม่ นอกจากการใช้บทนิยามของเสน้ ขนานโดยตรงและการพิจารณาจาก

5

ระยะหา่ งระหว่างเสน้ ตรงสองเส้นแลว้ ยังมีวธิ กี ารอื่น ๆ อกี ทจ่ี ะตรวจสอบ โดยพิจารณาจากขนาด
ของมุมภายใน มุมแยง้ หรือมมุ ภายนอก มุมเหลา่ นีเ้ ปน็ มุมท่ีเกิดจากเสน้ ตรงเส้นหนึ่งมาตัดเสน้ ตรงคู่
นัน้ เรยี กเส้นตรงดงั กล่าวว่า เสน้ ตัดขวาง ซึ่งในทนี่ ้ีจะเรียกส้ันๆว่า เส้นตดั ”

11. ครนู ำรปู เส้นขนานติดหน้ากระดานและให้นักเรยี นพจิ ารณา

12. ครูใช้คำถาม “นกั เรียนรู้จกั มมุ ภายในที่อยูบ่ นขา้ งเดียวกันหรือไม”่ “มุมค่ใู ดบ้างท่ีเป็นมมุ
ภายในทีอ่ ยู่บนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัด” (คำตอบ มมุ 1 และ มุม 2 เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกนั
ของเสน้ ตัด AB และ มุม 3 และ มมุ 4 เปน็ มุมภายในท่อี ยูบ่ นข้างเดยี วกันของเสน้ ตัด AB ดว้ ย)

13. ครูอธบิ ายว่า จากรูป ⃡ เรยี กวา่ เสน้ ตดั ABเรยี ก 1̂ และ 2̂ ว่า มุมภายในทอ่ี ยขู่ ้าง
เดียวกันของเส้นตดั AB และ เรียก 3̂ และ 4̂ ว่า มุมภายในทอี่ ยู่บนข้างเดยี วกันของเสน้ ตัด ด้ง
ในการเขยี นรูปเส้นตดั AB อาจใช้ ̅ ̅ ̅ ̅ หรือ แทน ⃡ กไ็ ด้

สมบตั ขิ องเสน้ ขนาน
1. ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมเี ส้นตดั แลว้ ขนาดของมุมภายในท่ีอยูบ่ นขา้ ง

เดียวกันของเสน้ ตัดรวมกนั เทา่ กับ 180 องศา
2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนง่ึ ตัดเส้นตรงคหู่ นึง่ ทำให้ขนาดของมุมภายในทีอ่ ยบู่ นขา้ ง

เดยี วกันของเสน้ ตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่น้ันขนานกนั
ดงั น้ัน จะสรปุ สมบตั เิ ม่อื ใช้ “กต็ ่อเมือ่ ” ได้ดงั น้ี “เม่ือเส้นตรงเสน้ หนงึ่ ตัดเสน้ ตรงคู่หน่ึง

เสน้ ตรงคูน่ น้ั ขนานกันก็ต่อเมื่อ ขนาดของมมุ ภายในท่ีอย่บู นขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั
180 องศา”

14. ครูให้ตัวแทนนักเรียนออกไปเขียนเส้นตรง AB ยาว 30 นิ้ว และเขียนเส้นตรง CD ยาว
30 นิ้ว โดยที่เส้นตรง CD มีระยะห่างจากเส้นตรง AB 10 นิ้ว เท่ากันบนกระดาน จากนั้นให้นักเรยี น
หนึ่งคนออกมาวัดระยะห่างของเส้นตรง AB และ CD เป็นช่วง ร่วมกันตอบคำถาม แล้วครูใช้คำถาม
กระต้นุ ความคิดนักเรยี น ดังนี้

1) เส้นตรง AB มีระยะห่างจากเส้นตรง CD เปน็ 10 นิว้ เท่ากนั ตลอดหรือไม่
(เทา่ กัน)

2) นกั เรียนคิดว่าเสน้ ตรง AB ขนานกบั เสน้ ตรง CD หรือไม่ เพราะเหตุใด (ขนาน
กนั เพราะระยะห่างของเสน้ ตรงห่างเทา่ กนั ตลอด)

6

3) ถ้าเส้นตรง AB ขนานกับเสน้ ตรง CD เขยี นเป็นสญั ลกั ษณ์ได้อย่างไร (̅A̅̅B̅//

C̅D)

15. ครูนำเสนอตวั อยา่ ง
ตวั อยา่ งท่ี 1 จากรปู เสน้ ตรงต่อไปน้ี ขนานกันหรอื ไม่ เพราะเหตุใด

ตวั อยา่ งที่ 2 จากรูป กำหนดให้ ⃡ // ⃡ จงหาค่าของ 2 −

16. ครแู จกแบบฝกึ ทักษะ เรื่อง เส้นขนาน พรอ้ มใหน้ ักเรยี นทำ แบบฝึกทกั ษะที่ 1
17. ครแู ละนกั เรยี นเฉลยแบบฝึกหดั ที่ 1 เรอ่ื ง เส้นขนานและมุมภายใน ในแบบฝกึ ทักษะ
เรอ่ื ง เส้นขนาน พรอ้ มกนั ในหอ้ งเรียน
ข้ันสรุป

7

18. ครูใชค้ ำถาม
1. บทนยิ ามของเส้นขนานคืออะไร
2. เส้นขนานมีระยะหา่ งเปน็ อย่างไร
3. สมบัตขิ องเส้นขนานมอี ะไรบา้ ง

คำตอบ
1. เส้นตรงสองเส้นที่อยบู่ นระนาบเดยี วกัน ขนานกัน กต็ อ่ เมอื่ เสน้ ตรงท้ังสองเส้นน้ันไม่

ตัดกนั
2. ในกรณีทั่วไป ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะ

เท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้ว
เสน้ ตรงคู่นนั้ จะขนานกนั

3. สมบัติของเส้นขนาน
3.1 ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนขา้ ง

เดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เทา่ กับ 180 องศา
3.2 ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้าง

เดยี วกันของเสน้ ตดั รวมกันเทา่ กับ 18 องศา แล้วเสน้ ตรงค่นู ั้นขนานกนั
สมบัติข้อ 3.1 และข้อ 3.2 นี้ เมื่อนำมาเขียนใหม่โดยใช้ “ก็ต่อเมื่อ” จะได้ดังน้ี “เมื่อ

เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้าง
เดยี วกันของเสน้ ตัดรวมกนั เท่ากบั 180 องศา

สอ่ื และแหลง่ การเรยี นรู้
1. สื่อการเรยี นรู้
1.1 หนังสือเรยี นรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เลม่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน พุทธศักราช 2560 จัดทำโดย
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธิการ (สสวท).
1.2 แบบฝกึ ทกั ษะ เรอ่ื ง เสน้ ขนาน
1.3 แบบฝึกทักษะที่ 1 เรื่องเส้นขนานและมุมภายใน ในแบบฝึกทักษะ
เรือ่ ง เสน้ ขนาน
2. แหล่งการเรียนรู้
2.1 หอ้ งสมดุ โรงเรียนอดุ รพชิ ัยรกั ษ์พทิ ยา
2.2 www.google.com/ เส้นขนานและมมุ ภายใน

8

การวดั ผลและประเมินผล

จุดประสงค์การเรียนรู้ เครอื่ งมือ วธิ ีการ เกณฑ์การ
1. ดา้ นความรู้ (K) ประเมนิ ผล
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1 ตรวจแบบฝกึ ถกู ตอ้ งไม่น้อย
บอกบทนิยามของเสน้ ขนานไดถ้ ูกต้อง เร่ืองเสน้ ขนาน ทักษะท่ี 1 เรื่อง กวา่ ร้อยละ 75
และมมุ ภายใน ใน เสน้ ขนานและมุม
2. ดา้ นทักษะกระบวนการ/ (P) แบบฝกึ ทกั ษะ ภายใน ในแบบ ถูกตอ้ งไม่น้อย
2.1 พิสูจน์ได้ว่าถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั เรอ่ื ง เส้นขนาน ฝึกทักษะ เรือ่ ง กว่าร้อยละ 75
แลว้ ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงคู่น้นั จะ
เทา่ กันเสมอ เสน้ ขนาน
2.2 พสิ ูจนไ์ ด้วา่ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกนั แบบฝึกทักษะท่ี 1 ตรวจแบบฝกึ
และมีเสน้ ตัด แล้วขนาดของมุมภายในทอี่ ยู่ เร่อื งเสน้ ขนาน ทกั ษะที่ 1 เรอ่ื ง
บนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัดรวมกนั เทา่ กับ และมมุ ภายใน ใน เสน้ ขนานและมุม
180 องศา แบบฝกึ ทักษะ ภายใน ในแบบ
เรื่อง เส้นขนาน ฝกึ ทกั ษะ เร่ือง

เส้นขนาน

3. ด้านคณุ ลักษณะทพ่ี ึงประสงค์ (A) แบบประเมินใบ ตรวจร่องรอย ผ่านเกณฑ์
เขยี นยืนยันเหตผุ ลแนวคิดของตนเอง
กจิ กรรม แนวคดิ ระดบั ดี ขน้ึ ไป

9

แบบฝกึ หัดท่ี 1
เร่อื ง เสน้ ขนานและมุมภายใน

คำสง่ั : เสน้ ตรงแตล่ ะคู่ต่อไปนี้ ขนานกนั หรือไม่ เพราะเหตใุ ด
1.

ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.

ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

10

“เฉลย” แบบฝึกหดั ท่ี 1
เร่อื ง เส้นขนานและมมุ ภายใน

คำสั่ง : เสน้ ตรงแตล่ ะคตู่ อ่ ไปนี้ ขนานกันหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
1.

2.
3.

11

บนั ทกึ ผลหลงั การสอน
ผลการจัดการเรยี นรู้
นักเรียนสามารถบอกบทนยิ ามของเสน้ ขนานได้ถกู ตอ้ งจานวนร้อยละ 80 ของนักเรยี นทัง้ หมด
นักเรียนสามารถพสิ จู น์ได้ว่าถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะ
เท่ากันเสมอและพิสูจน์ได้ว่าถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในท่อี ยู่
บนข้างเดียวกันของเสน้ ตัดรวมกันเท่ากบั 180 องศา จานวนรอ้ ยละ 80 ของนกั เรียนท้ังหมด

ปัญหาและอปุ สรรค

แนวทางการแกไ้ ขปัญหา

12

ความคดิ เหน็ และขอ้ เสนอแนะของครูพเ่ี ลี้ยง
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ความคดิ เหน็ และขอ้ เสนอแนะของหวั หน้ากล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชือ่ วา่ ท่ี ร.ต. ...............................................
(ดัสกร ชมุ ปัญญา)

หัวหน้ากลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
……………/………………………/……………………..
ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของรองผู้อานวยการกลมุ่ บรหิ ารวชิ าการ

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชือ่ .........................................
(นายราเชนทร์ พุ่มแจ้)

รองผอู้ านวยการกลุม่ บริหารงานวิชาการ
……………/…………………/……………..

13

แผนการจดั การเรียนรู้ 24

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

รหสั วชิ า ค22102 ภาคเรียนที่ 2

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 3 เร่ือง เส้นขนาน เวลาเรยี น 10 ชว่ั โมง

เร่ือง เส้นขนานและมมุ ภายใน (2) เวลา 2 ชว่ั โมง

ผสู้ อน นายสทิ ธิชัย พลต้อื โรงเรียนอดุ รพชิ ยั รักษ์พทิ ยา

สอนวันที่...........เดอื น..........................พ.ศ. ..............

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวเิ คราะหร์ ูปเรขาคณิต สมบตั ิของรปู เรขาคณิต ความสมั พนั ธ์

ระหวา่ งรูปเรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณติ และนำไปใช้

ตัวชี้วดั
ค 2.2 ม. 2/2 นำความรเู้ กย่ี วกบั สมบตั ิของเส้นขนานและรปู สามเหลี่ยมไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์

สาระสำคญั
บทนิยาม : เสน้ ตรงสองเสน้ ที่อยู่บนระนาบเดยี วกนั ขนานกนั กต็ อ่ เมอ่ื เสน้ ตรงท้ังสองเส้นน้ัน

ไมต่ ัดกัน

ในกรณที ่ัวไป ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกัน แลว้ ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงคู่นน้ั จะเทา่ กันเสมอ
และในทางกลับกัน ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นมีระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรงเทา่ กนั เสมอ แลว้ เส้นตรงคู่นนั้ จะ
ขนานกนั

สมบัติของเสน้ ขนาน
1. ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเสน้ ตดั แลว้ ขนาดของมุมภายในที่อย่บู นขา้ งเดียวกัน
ของเส้นตัดรวมกันเทา่ กับ 180 องศา

14

2. ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนึ่งตัดเส้นตรงคหู่ นึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในทอี่ ยูบ่ นขา้ งเดยี วกนั ของ
เสน้ ตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศา แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ้นั ขนานกนั

ดังนน้ั จะสรุปสมบตั ิเมื่อใช้ “ก็ตอ่ เม่ือ” ไดด้ งั น้ี “เมอ่ื เส้นตรงเสน้ หน่งึ ตัดเสน้ ตรงคหู่ น่งึ
เสน้ ตรงค่นู นั้ ขนานกันกต็ ่อเมอ่ื ขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดยี วกันของเสน้ ตัดรวมกนั เท่ากบั
180 องศา”

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เมอ่ื เรียนจบบทเรียนนี้แล้วนักเรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
บอกบทนยิ ามของเสน้ ขนานได้ถกู ต้อง
2. ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P)
2.1 พิสูจนไ์ ดว้ า่ ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั แลว้ ระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงค่นู ้ันจะ
เทา่ กนั เสมอ
2.2 พสิ จู น์ได้ว่าถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมเี สน้ ตัด แล้วขนาดของมมุ ภายในท่ี
อยบู่ นข้างเดียวกันของเส้นตดั รวมกันเทา่ กับ 180 องศา
3. ด้านคณุ ลกั ษณะที่พงึ ประสงค์ (A)
เขียนยนื ยันเหตผุ ลแนวคิดของตนเอง

สาระการเรียนรู้
เสน้ ขนานและมุมภายใน

กระบวนการจัดการเรยี นรู้ (รูปแบบการสอนแบบปกติ)
ขั้นนำเข้าสูบ่ ทเรยี น
1. ครพู ดู คยุ สนทนาพร้อมแจง้ จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เรอ่ื ง เส้นขนานและมมุ ภายใน ให้

นกั เรยี นทราบ ดงั นี้
1.1 ด้านความรู้ (K)
บอกบทนิยามของเสน้ ขนานได้ถกู ต้อง
1.2 ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
1.2.1 พิสูจนไ์ ด้วา่ ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกัน แล้วระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงคู่
นน้ั จะเท่ากนั เสมอ
1.2.2 พิสจู น์ได้วา่ ถา้ เส้นตรงสองเส้นมีระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงเทา่ กันเสมอ
แลว้ เส้นตรงคูน่ น้ั จะขนานกนั

15

1.3 ดา้ นคุณลักษณะท่พี งึ ประสงค์ (A)
เขยี นยืนยนั เหตผุ ลแนวคดิ ของตนเอง

2. ครทู บทวนความร้เู รอ่ื ง เสน้ ขนานและมมุ ภายใน โดยใชค้ ำถาม “เสน้ ตรงตอ่ ไปน้ี ขนานกัน
หรือไม่ เพราะเหตุใด”

คำตอบ

ขั้นสอน
6. ครูนำเสนอตวั อย่าง

ตวั อย่างที่ 3 กำหนดให้ ⃡ // ⃡ จงหาคา่ ของ X

วิธีทำ เน่ืองจาก ⃡ // ⃡ (ขนาดของมุมภายในท่ีอยบู่ นขา้ งเดียวกันของเส้นตดั ทตี่ ัด
จะได้ (2X – 8) + 72 = 180 เส้นขนานรวมกันเท่ากบั 180 องศา)

2X + 64 = 180
2X = 116
X = 58

ตอบ 58

16

ตัวอย่างท่ี 4 กำหนดให้ AB // CD จงหาค่า x ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้
1. 2

วธิ ีทำ 1) เนอ่ื งจาก AB // CD จะได้ x + 136 = 180

นั่นคือ x = 180 - 136

ดังนน้ั x = 44

2) เนื่องจาก AB // CD จะได้ x + 10 + 72 = 180

น่ันคอื x + 82 = 180

x = 180 - 82

ดังนน้ั x = 98 (ขนาดของมมุ ภายในท่อี ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของ

เสน้ ตดั รวมกนั เทา่ กับ 180 องศา)

7. ครูนำเสนอตัวอยา่ ง

ตวั อย่างท่ี 5 กำหนดให้ ̅M̅̅̅N̅ และ ̅X̅Y̅ ตัดกันท่จี ุด Q ให้ PQN = 60 องศา ลาก K̅̅L̅ ให้ผ่านจดุ P

และทำมมุ กบั ̅X̅Y̅ 120 องศา จากรปู จงแสดงวา่ M̅̅̅N̅ ขนานกบั ̅K̅L̅

8. ครใู ช้คำถาม
1) จากโจทยก์ ำหนดสิ่งใดมาให้บ้าง (M̅̅̅N̅ ตดั กบั X̅̅̅Y̅ทีจ่ ุด Q ,PQN = 60 องศา

และ QPˆL = 120 องศา)
2) โจทยต์ ้องการพสิ ูจน์สิง่ ใด (̅M̅̅N̅//̅K̅L̅)
3) นอกจากสิ่งทีโ่ จทยก์ ำหนดให้แล้ว นักเรยี นต้องสรา้ งสงิ่ ใดบ้าง เพอ่ื ช่วยในการ

พสิ จู น์ (ลาก P̅̅̅R̅ ⊥ ̅M̅̅N̅ และลาก ̅S̅̅O̅ ⊥ K̅̅L̅ )

17

4) จากรูปที่สร้างขนึ้ ไดส้ ามเหลีย่ มมุมฉากกร่ี ูป อะไรบา้ ง (2 รูป คือ ∆PQR และ
∆QPS)

5) PQˆR = QPˆS = 60 องศา หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด (เทา่ กับ 60 องศา เพราะ
QPˆS = 180 - 120 = 60 องศา)

6) RPˆQ มีขนาดก่ีองศา เพราะเหตุใด ( RPˆQ เทา่ กบั 30 องศา เพราะมมุ ภายใน
ของ ΔPQR รวมกนั ได้ 180 องศา)

7) SQˆP มีขนาดกีอ่ งศา เพราะเหตุใด ( SQˆP มีขนาด 30 องศา เพราะมุมภายใน
ของ ΔSQP รวมกนั ได้ 180 องศา)

8) จากข้อ 6 และ 7 มุม RPˆQ เท่ากับ SQˆP หรือไม่ (เท่ากนั )
9) ̅P̅Q̅ เท่ากับ P̅̅Q̅ หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด (เท่ากนั เพราะเปน็ ด้านรว่ ม)
10) จากความสัมพนั ธ์ข้างตน้ Δ PQR ΔQPS หรือไม่ อย่างไร
(Δ PQR Δ QPS แบบมมุ -ด้าน-มมุ )
11) จากขอ้ 10 แสดง ̅S̅Q̅ = ̅P̅̅R̅หรือไม่ (เท่ากนั )
12) ถ้าระยะของ S̅̅̅Q̅ = ̅P̅̅R̅ แสดงวา่ M̅̅̅N̅ // K̅̅L̅ หรือไม่ เพราะเหตุใด
(M̅̅̅N̅//K̅̅L̅เพราะเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั จะมรี ะยะหา่ งเทา่ กันตลอดเสมอ)
13) จากสิง่ ท่ีโจทย์กำหนด ผลบวกของมมุ ภายในบนขา้ งเดยี วกันของเสน้ ตรงตัด
เสน้ ตรงสองเสน้ มคี ่าเทา่ กับ 120 + 60 = 180 องศา เส้นตรงคนู่ นั้ จะมีความสัมพันธก์ นั อยา่ งไร
(เส้นตรงคู่น้นั จะขนานกัน)
14) จากขอ้ 1) ถงึ ข้อ 13) ทำให้นกั เรียนทราบความสัมพันธข์ องมมุ ภายในบนข้าง
เดยี วกนั ของเส้นตัดเสน้ ตรงสองเสน้ อย่างไร (ถ้าเส้นตรงคหู่ นงึ่ มีเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ ตัดแล้ว ผลบวกของ
มุมภายในบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัดกัน มีค่าเทา่ กบั 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่น้ีจะขนานกัน)
9. ครตู ดิ รปู บนกระดาน พร้อมกับเขียนโจทย์ ดงั นี้ จากรปู กำหนดให้ ⃡ // ⃡ และมี
⃡ เป็นเสน้ ตดั จงพสิ จู น์ว่า 1̂ = 3̂

18

10. ครูให้นักเรียนแตล่ ะคนลงมอื ทำโจทยท์ ี่ครใู ห้บนกระดาน
11. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกันเฉลยโจทยท์ ค่ี รูให้บนกระดาน ดงั น้ี
ตัวอย่างที่ 6 จากรปู กำหนดให้ ⃡ // ⃡ และมี ⃡ เป็นเสน้ ตดั จงพิสูจน์ว่า 1̂ = 3̂

กำหนดให้ ⃡ // ⃡ และมี ⃡ เปน็ เสน้ ตดั (กำหนดให)้
ต้องการพสิ ูจนว์ ่า 1̂ = 3̂ (ขนาดของมมุ ภายในทอี่ ย่บู นขา้ ง
พสิ จู น์ ⃡ // ⃡ และมี ⃡ เป็นเสน้ ตดั เดียวกันของเส้นตดั ที่ตัดเสน้ ขนาน
รวมกันเท่ากับ 180° )
2̂ + 3̂ = 180° (ขนาดของมุมตรง)
(สมบัตขิ องการเท่ากนั )
2̂ + 1̂ = 180° (สมบตั ิของการเท่ากนั )
จะได้ 2̂ + 3̂ = 2̂ + 3̂
ดังน้ัน 1̂ = 3̂

12. ครูใหน้ กั เรยี นทำแบบฝกึ หัดที่ 2 เรื่องเสน้ ขนานและมมุ ภายใน ในแบบฝึกทักษะ เรอ่ื ง
เส้นขนาน

13. ครูและนกั เรียนเฉลยแบบฝึกหัดท่ี 2 เร่ืองเสน้ ขนานและมุมภายใน ในแบบฝกึ ทกั ษะ
เร่ือง เสน้ ขนาน พรอ้ มกันในหอ้ งเรยี น

ขั้นสรุป
14. ครใู ชค้ ำถาม
1. บทนิยามของเส้นขนานคอื อะไร
2. เสน้ ขนานมีระยะห่างเปน็ อยา่ งไร
3. สมบัตขิ องเส้นขนานมอี ะไรบ้าง

19

คำตอบ
1. เสน้ ตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดยี วกัน ขนานกนั ก็ตอ่ เมอ่ื เสน้ ตรงทั้งสองเส้นน้ันไม่

ตัดกัน
2. ในกรณีทั่วไป ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะ

เท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้ว
เส้นตรงค่นู ัน้ จะขนานกนั

3. สมบัตขิ องเส้นขนาน
3.1 ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนขา้ ง

เดียวกนั ของเสน้ ตดั รวมกันเทา่ กับ 180 องศา
3.2 ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้าง

เดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากับ 18 องศา แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ้ันขนานกัน
สมบัติข้อ 3.1 และข้อ 3.2 นี้ เมื่อนำมาเขียนใหม่โดยใช้ “ก็ต่อเม่ือ” จะได้ดังน้ี “เม่ือ

เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้าง
เดยี วกนั ของเสน้ ตัดรวมกันเทา่ กับ 180 องศา

14. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดที่ 3 เรื่อง เส้นขนานและมุมภายใน ในแบบฝึกทักษะเป็น
การบ้าน สง่ ครูในชั่วโมงถดั ไป

สอื่ และแหลง่ การเรียนรู้
1. สอ่ื การเรยี นรู้
1.1 หนงั สือเรียนรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 กลมุ่ สาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน พุทธศกั ราช 2560 จัดทำโดย
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธิการ (สสวท).
1.2 แบบฝกึ ทกั ษะ เร่อื ง เสน้ ขนาน
1.3 แบบฝึกหัดที่ 1.2 เรื่อง เส้นขนานและมุมภายใน ในแบบฝึกทักษะ เรื่อง
เสน้ ขนาน
1.4 แบบฝึกหัดที่ 1.3 เรื่อง เส้นขนานและมุมภายใน ในแบบฝึกทักษะ เรื่อง
เส้นขนาน
2. แหล่งการเรยี นรู้
2.1 หอ้ งสมุดโรงเรียนอุดรพชิ ัยรกั ษ์พิทยา
2.2 www.google.com/ เส้นขนานและมมุ ภายใน

20

การวดั ผลและประเมนิ ผล

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เครื่องมอื วธิ ีการ เกณฑก์ าร
ประเมินผล

1. ด้านความรู้ (K) แบบฝกึ หดั ท่ี 1.2 ตรวจแบบฝึกหัด ถูกต้องไม่น้อย

บอกบทนยิ ามของเส้นขนานไดถ้ ูกต้อง เรอื่ ง เส้นขนาน ท่ี 1.2 เรื่อง เส้น กว่าร้อยละ 75

และมมุ ภายใน ใน ขนานและมมุ

แบบฝึกทักษะ ภายใน ในแบบ

เรอื่ ง เส้นขนาน ฝึกทักษะ เรอ่ื ง

เสน้ ขนาน

2. ด้านทกั ษะกระบวนการ/ (P) แบบฝึกหดั ที่ 1.2 ตรวจแบบฝกึ หัด ถกู ตอ้ งไมน่ อ้ ย

2.1 พสิ จู นไ์ ดว้ ่าถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกัน เรื่อง เส้นขนาน ที่ 1.2 เรื่อง เสน้ กว่าร้อยละ 75

แลว้ ระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงคนู่ ั้นจะ และมุมภายใน ใน ขนานและมุม

เท่ากันเสมอ แบบฝึกทกั ษะ ภายใน ในแบบ

2.2 พสิ ูจนไ์ ดว้ ่าถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกัน เรื่อง เส้นขนาน ฝกึ ทกั ษะ เรอื่ ง

และมเี ส้นตดั แล้วขนาดของมมุ ภายในทีอ่ ยู่ เสน้ ขนาน

บนข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตัดรวมกันเท่ากับ

180 องศา แบบฝกึ หัดท่ี 1.3 ตรวจแบบฝึกหัด

เร่ือง เสน้ ขนาน ท่ี 1.3 เร่อื ง เสน้

และมุมภายใน ใน ขนานและมมุ

แบบฝึกทักษะ ภายใน ในแบบ

เรอ่ื ง เสน้ ขนาน ฝึกทกั ษะเร่ืองเสน้

ขนาน

3. ดา้ นคุณลักษณะที่พงึ ประสงค์ (A) แบบประเมนิ ใบ ตรวจร่องรอย ผ่านเกณฑ์

เขียนยนื ยนั เหตุผลแนวคิดของตนเอง กจิ กรรม แนวคิด ระดบั ดี ขน้ึ ไป

21

แบบฝึกหัดท่ี 2
เร่ือง เส้นขนานและมมุ ภายใน

คำสงั่ : จงหาค่าของ X ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้ ⃡ // ⃡
1.

ตอบ .......................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.

ตอบ........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.

ตอบ........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

22

“เฉลย” แบบฝึกหดั ที่ 2
เร่อื ง เส้นขนานและมมุ ภายใน

คำสงั่ : จงหาคา่ ของ X ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี เม่อื กำหนดให้ ⃡ // ⃡
1.

ตอบ 79
2.

ตอบ 88
3.

ตอบ 60

23

แบบฝึกหดั ท่ี 3
เร่ือง เส้นขนานและมุมภายใน

คำช้ีแจง : จงแสดงวิธีทำและตอบคำถามต่อไปนีใ้ ห้ถกู ต้อง
โจทย์ : จากรปู กำหนดให้  เปน็ รูปส่เี หลี่ยมคางหมูมดี า้ น ขนานกบั ดา้ น ดงั รปู จง
หาขนาดของ ̂ และ ̂

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

24

“เฉลย” แบบฝึกหดั ท่ี 3
เรอ่ื ง เส้นขนานและมมุ ภายใน

คำชี้แจง : จงแสดงวธิ ีทำและตอบคำถามตอ่ ไปน้ีให้ถกู ต้อง
โจทย์ : จากรูป กำหนดให้  เปน็ รปู สีเ่ หลีย่ มคางหมูมีด้าน ขนานกบั ดา้ น ดงั รปู จง
หาขนาดของ ̂ และ ̂

25

บนั ทกึ ผลหลงั การสอน
ผลการจัดการเรยี นรู้
นักเรียนสามารถบอกบทนยิ ามของเสน้ ขนานได้ถกู ตอ้ งจานวนร้อยละ 80 ของนักเรยี นทัง้ หมด
นักเรียนสามารถพสิ จู น์ได้ว่าถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะ
เท่ากันเสมอและพิสูจน์ได้ว่าถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในท่อี ยู่
บนข้างเดียวกันของเสน้ ตัดรวมกันเท่ากบั 180 องศา จานวนรอ้ ยละ 80 ของนกั เรียนท้ังหมด

ปัญหาและอปุ สรรค

แนวทางการแกไ้ ขปัญหา

26

ความคดิ เหน็ และขอ้ เสนอแนะของครูพเ่ี ลี้ยง
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ความคดิ เหน็ และขอ้ เสนอแนะของหวั หน้ากล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชือ่ วา่ ท่ี ร.ต. ...............................................
(ดัสกร ชมุ ปัญญา)

หัวหน้ากลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
……………/………………………/……………………..
ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของรองผู้อานวยการกลมุ่ บรหิ ารวชิ าการ

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชือ่ .........................................
(นายราเชนทร์ พุ่มแจ้)

รองผอู้ านวยการกลุม่ บริหารงานวิชาการ
……………/…………………/……………..

27

แผนการจดั การเรียนรู้ 25

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 2

รหัสวิชา ค22102 ภาคเรยี นท่ี 2

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 3 เรือ่ ง เส้นขนาน เวลาเรียน 10 ช่ัวโมง

เรื่อง เส้นขนานและมุมแยง้ เวลา 1 ช่ัวโมง

ผู้สอน นายสทิ ธิชัย พลต้อื โรงเรยี นอุดรพชิ ัยรักษ์พทิ ยา

สอนวันที่...........เดือน..........................พ.ศ. ..............

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ูปเรขาคณติ สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์

ระหว่างรูปเรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้

ตวั ชวี้ ดั
ค 2.2 ม. 2/2 นำความรเู้ กยี่ วกบั สมบตั ิของเสน้ ขนานและรปู สามเหลี่ยมไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

คณติ ศาสตร์

สาระสำคัญ
ทฤษฎีบท
1. ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตดั แลว้ มมุ แยง้ มีขนาดเทา่ กนั
2. ถ้าเสน้ ตรงเส้นหน่ึงตดั เส้นตรงคู่หนง่ึ ทำใหม้ ุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ั้นขนาน

กนั
3. เมอ่ื เส้นตรงเสน้ หนึ่งตดั เส้นตรงค่หู น่งึ เสน้ ตรงคนู่ น้ั ขนานกัน กต็ อ่ เมอ่ื มมุ แย้งมขี นาด

เทา่ กัน

จุดประสงค์การเรยี นรู้ เมอ่ื เรียนจบบทเรยี นนี้แล้วนักเรยี นสามารถ
1. ดา้ นความรู้ (K)
บอกทฤษฎีบทท่ีเก่ียวกับเส้นขนานและมมุ แย้งไดถ้ ูกตอ้ ง
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)
แสดงวิธกี ารนำทฤษฎีบทของเสน้ ขนานและมุมแย้งมาใช้ในการแก้ปัญหา
3. ดา้ นคุณลักษณะทพี่ ึงประสงค์ (A)
เขยี นยนื ยันเหตุผลแนวคดิ ของตนเอง

28

สาระการเรยี นรู้
เส้นขนานและมุมแย้ง

กระบวนการจัดการเรยี นรู้ (รปู แบบการสอนแบบปกติ)
ขัน้ นำเขา้ สู่บทเรยี น
1. ครพู ดู คยุ สนทนาพรอ้ มแจง้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ เรอื่ ง เสน้ ขนานและมุมแย้ง ใหน้ ักเรียน

ทราบ ดงั น้ี
1.1 ด้านความรู้ (K)
บอกทฤษฎีบทท่ีเก่ียวกับเสน้ ขนานและมุมแย้งได้ถูกต้อง
1.2 ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
แสดงวธิ ีการนำทฤษฎบี ทของเสน้ ขนานและมมุ แยง้ มาใชใ้ นการแกป้ ญั หา
1.3 ดา้ นคุณลกั ษณะทีพ่ ึงประสงค์ (A)
เขียนยืนยันเหตุผลแนวคิดของตนเอง

2. ครูทบทวนความรู้เรื่อง เส้นขนาน โดยใช้คำถาม “บทนิยามของเส้นขนานคืออะไร”
(คำตอบ เสน้ ตรงสองเส้นทอ่ี ยบู่ นระนาบเดยี วกัน ขนานกันกต็ อ่ เม่ือ เสน้ ตรงทั้งสองเส้นนัน้ ไมต่ ดั กัน)

3. ครูทบทวนความรู้เรื่อง เส้นขนานและมุมภายใน โดยใช้คำถาม “สมบัติของเส้นขนานมี
อะไรบ้าง”
คำตอบ

สมบัตขิ องเส้นขนาน
1. ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมเี ส้นตดั แล้วขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยู่บนข้างเดียวกนั
ของเส้นตดั รวมกนั เทา่ กับ 180 องศา
2. ถา้ เส้นตรงเส้นหนึง่ ตดั เส้นตรงคูห่ น่ึง ทำให้ขนาดของมมุ ภายในท่อี ยู่บนขา้ งเดียวกันของ
เสน้ ตัดรวมกนั เทา่ กบั 180 องศา แลว้ เส้นตรงค่นู ั้นขนานกนั
ดังนั้น จะสรุปสมบัติเมื่อใช้ “ก็ต่อเมื่อ” ได้ดังนี้ “เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง
เส้นตรงคู่นั้นขนานกันก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ
180 องศา”
3. ครูให้นกั เรียนทบทวนความรูเ้ รอ่ื ง เส้นขนานและมมุ ภายใน โดยใหท้ ำโจทยป์ ญั หาต่อไปนี้
โจทย์ : กำหนดให้ AB // CD จงหาคา่ x ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

12

29

คำตอบ เนื่องจาก AB // CD จะได้ x + 136 = 180
วธิ ที ำ 1) นั่นคือ x = 180 - 136
ดงั น้นั x = 44

2) เนอื่ งจาก AB // CD จะได้ x + 10 + 72 = 180
นั่นคอื x + 82 = 180
x = 180 - 82
ดังนัน้ x = 98 (ขนาดของมุมภายในทีอ่ ยบู่ นข้างเดยี วกนั ของ
เสน้ ตัดรวมกันเทา่ กบั 180 องศา)

ขนั้ สอน
4. ครูและนักเรยี นรว่ มกนั สนทนาเกี่ยวกบั มมุ ภายในและมมุ แย้ง โดยครูใช้คำถาม นักเรยี นคิด

วา่ เสน้ ตรงสองเสน้ ถา้ มีเส้นตรงตดั แลว้ นอกจากจะเกิดมมุ ภายในบนขา้ งเดียวกันของเสน้ ตัดแลว้ ยังเกดิ
มุมอะไรขน้ึ อกี (คำตอบ มุมแยง้ )

5. ครูตดิ รูปบนกระดานพรอ้ มกับให้นักเรยี นพจิ ารณา

6. ครูอธิบายวา่ “จากรปู เรยี ก 1̂ และ 4̂ วา่ เป็นมมุ แยง้ กนั และ เรยี ก 2̂ และ 3̂ ว่าเป็นมุม
แย้งกัน”

7. ครูกำหนด ̅A̅̅B̅ และ C̅̅̅D̅ เปน็ เสน้ ตรงสองเสน้ มี ̅P̅̅Q̅ เป็นเสน้ ตดั บนกระดาน ดังนี้

8. ใหน้ กั เรียนรว่ มกันอธบิ ายเกยี่ วกับมมุ แย้ง โดยครใู ชค้ ำถาม ดงั น้ี

มมุ คู่ใดบ้างทเี่ ป็นมุมแย้งระหวา่ ง A̅̅̅B̅ และ ̅C̅̅D̅

(  และ  เป็นมมุ แย้งระหว่าง A̅̅̅B̅ และ C̅̅̅D̅

1 3

 และ  เป็นมุมแย้งระหว่าง ̅A̅̅B̅ และC̅̅̅D̅ )

2 4

30

9. ครใู ห้นักเรยี นพิจารณาเสน้ ตรงสองเสน้ ที่มเี สน้ ตรงเสน้ หนึ่งตัดบนกระดาน ดังน้ี

10. จากน้ันครูสุ่มเลือกตวั แทนนักเรียน 4 คน ออกมาเขียนแสดงว่ามมุ คู่ใดเป็นมมุ แยง้ กันบ้าง
โดยครูและนกั เรยี นรว่ มกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง

11. ครูนำเสนอตวั อย่างอธิบายเก่ียวกบั ความสมั พันธ์ของเส้นขนานกับมมุ แยง้ ทลี ะกรณี โดย
ครใู ช้คำถามกระตุ้นความคิดของนักเรยี น ดังน้ี

พจิ ารณาเสน้ ตรงท่ีขนานกนั และมีเส้นตรงตดั ต่อไปนี้

กำหนด ̅A̅̅B̅ // C̅D มี M̅̅̅N̅ เป็นเสน้ ตดั

1) จากรปู สิ่งที่กำหนดให้คอื อะไร (เส้นตรงตัดเส้นตรงสองเส้น)

2)  +  เทา่ กับเทา่ ใด เพราะเหตุใด (180 องศา ผลบวกของมมุ ประชิดมมุ ตรง)

4 3

3)  +  เท่ากับเท่าใด เพราะเหตุใด (180 องศา ผลบวกของมมุ ภายในบนขา้ ง

4 1

เดยี วกันของเสน้ ตดั ของเส้นขนาน)

4)  +  เท่ากับ  +  หรือไม่ เพราะเหตใุ ด (เทา่ กนั เพราะ  +  และ

4 3 4 1 4 3

31

 +  ตา่ งเท่ากับ 180 องศา)

4 1

5)  เท่ากับ  หรอื ไม่ เพราะเหตุใด (เทา่ กัน เพราะ  +  =  +  จาก

3 1 4 3 4 1

 =  ดังนน้ั  =  )

4 4 3 1

6)  +  เท่ากบั เทา่ ใด (180 องศา เพราะผลบวกของมมุ ประชิดมมุ ตรง เทา่ กบั

1 2

2 มุมฉาก)

7)  +  เทา่ กับ  +  หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด (เทา่ กับ เพราะ  +  และ

1 2 4 1 1 2

 +  ตา่ งเทา่ กับ 180 องศา)

4 1

8) 2 เท่ากบั 4 หรือไม่ เพราะเหตใุ ด (เทา่ กัน เพราะ 1 + 2 = 4 + 1 จาก

1 = 1 ดังนั้น 2 = 4 )

9) จากความสมั พันธท์ ่ีไดจ้ ากข้อ 5) และขอ้ 8) ขนาดของมมุ แยง้ ที่เกดิ จากเส้นตดั

มีคา่ เป็นอยา่ งไร (มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)

10) จากคำตอบท่ีไดจ้ ากขอ้ 1-9 นกั เรยี นได้ความสมั พันธข์ องมุมแย้งทเ่ี กิดจาก

เสน้ ตรงตดั เสน้ ตรงท่ขี นานกนั อยา่ งไร (ถา้ เส้นตรงคหู่ นง่ึ ขนานกัน และมีเส้นตรงเสน้ หน่ึงตัดแล้ว มุม

แยง้ ทเ่ี กิดขนึ้ จะมขี นาดเท่ากนั )

12. ครูให้นักเรยี นรว่ มกันสรปุ เกีย่ วกบั เส้นตรงคู่หน่ึงทีข่ นานกันและมีเสน้ ตรงเส้นหนงึ่ ตดั

ดังน้ี ถา้ เส้นตรงคหู่ น่ึงขนานกนั และมีเสน้ ตรงเสน้ หนึง่ ตัดแลว้ มมุ แยง้ ทเ่ี กดิ ข้ึนจะมขี นาดเท่ากัน

13. ครูกำหนดโจทย์เกี่ยวกับการพจิ ารณามมุ แยง้ บนกระดาน ดังน้ี กำหนดให้ A̅̅̅B̅//̅C̅̅D̅ มี

มุมคใู่ ดที่เทา่ กนั อันเนือ่ งมาจากการเปน็ มุมแย้ง

14. จากนัน้ ครูสมุ่ เลือกตัวแทนนักเรยี น 2 คน ออกมาแสดงการหามมุ ท่ีเทา่ กัน โดยใช้
ความสมั พันธข์ า้ งตน้ โดยครแู ละนกั เรยี นร่วมกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

15. ครูยกตวั อย่างอธิบายเกยี่ วกบั เส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั หรือไม่ โดยใชม้ มุ แย้งที่กำหนดใน
การตรวจสอบ และตงั้ คำถามกระตนุ้ ความคิดของนกั เรยี น ดงั นี้

พจิ ารณามุมแย้งที่เกิดจากเส้นตรงตัดเส้นตรงสองเส้นตอ่ ไปนี้

32

กำหนด K̅̅L̅ และ ̅M̅̅̅N̅ มี ̅X̅Y̅ เป็นเสน้ ตัด มี 1 เทา่ กับ 2 ̅K̅L̅ ขนานกับ M̅̅̅N̅

หรือไม่

1) จากรปู ส่งิ ที่กำหนดให้คอื อะไร (เสน้ ตรง XY ตัดเส้นตรง KL และ MN)
2) ส่ิงทจี่ ะตอ้ งพสิ จู น์คืออะไร (เสน้ ตรง สองเส้นขนานกันหรือไม่)
3) 2 + 3 เท่ากับเทา่ ใด (180 องศา)
4) 1 เท่ากับ 2 หรอื ไม่ (เทา่ กนั )
5) 1 + 3 เท่ากับเทา่ ใด (180 องศา)

6) ̅K̅̅L̅ ขนานกับ M̅̅̅N̅ หรอื ไม่ (ขนานกัน เพราะมุมแย้งทเ่ี กิดขนึ้ เท่ากัน)
16. ครูให้นักเรียนรว่ มกันสรปุ เกี่ยวกบั เส้นตรงคหู่ น่ึงทขี่ นานกันและมเี สน้ ตรงเสน้ หนงึ่ ตัด
ดังน้ี ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกันและมเี ส้นตดั แล้วมุมแยง้ มีขนาดเทา่ กนั ในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรง
เส้นหนึ่งตดั เสน้ ตรงคหู่ น่ึง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แลว้ เส้นตรงคูน่ ั้นขนานกัน
17. ครูนำเสนอตัวอยา่ ง
ตวั อยา่ งท่ี 1 จากรปู ทกี่ ำหนดให้ จงหาว่าเส้นตรง รงั สี หรอื สว่ นของเสน้ ตรงคู่ใดขนานกนั พรอ้ มทง้ั ให้
เหตผุ ล

33

18. ครใู หน้ ักเรียนทำแบบฝึกทักษะท่ี 2 เรื่อง เส้นขนานและมุมแยง้ ในแบบฝึกทกั ษะ เรื่อง
เสน้ ขนาน

19. ครูและนกั เรยี นเฉลยแบบฝึกทักษะที่ 2 เรอ่ื ง เส้นขนานและมมุ แย้ง ในแบบฝกึ ทักษะ
เรือ่ ง เส้นขนาน พรอ้ มกันในห้องเรียน

ขั้นสรุป
20. ครูใช้คำถาม “ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั เสน้ ขนานและมุมแย้งมีอะไรบ้าง”
คำตอบ
ทฤษฎบี ท
1. ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตัด แล้วมมุ แย้งมีขนาดเท่ากัน
2. ถ้าเส้นตรงเสน้ หนงึ่ ตดั เสน้ ตรงคู่หน่ึง ทำใหม้ มุ แย้งมขี นาดเทา่ กัน แลว้ เส้นตรงคู่

นัน้ ขนานกนั
3. เมอ่ื เสน้ ตรงเส้นหนึ่งตัดเสน้ ตรงค่หู น่ึง เส้นตรงคนู่ น้ั ขนานกนั ก็ตอ่ เมื่อ มมุ แยง้ มี

ขนาดเท่ากัน

สอื่ และแหลง่ การเรียนรู้
1. สอ่ื การเรียนรู้
1.1 หนังสือเรยี นรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 กลมุ่ สาระการเรยี นรู้
คณติ ศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2560 จัดทำโดย
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยีกระทรวงศกึ ษาธิการ (สสวท).
1.2 แบบฝกึ ทักษะ เร่อื ง เส้นขนาน
1.3 แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 เรอ่ื ง เสน้ ขนานและมมุ แยง้ ในแบบฝึกทกั ษะ เรื่อง เส้นขนาน
2. แหลง่ การเรียนรู้
2.1 หอ้ งสมดุ โรงเรียนอดุ รพิชยั รกั ษพ์ ิทยา
2.2 www.google.com/ เส้นขนานและมมุ แยง้

34

การวดั ผลและประเมินผล

จุดประสงค์การเรียนรู้ เครือ่ งมือ วธิ กี าร เกณฑ์การ
1. ดา้ นความรู้ (K) ประเมินผล
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 ตรวจแบบฝึก ถกู ตอ้ งไม่นอ้ ย
บอกทฤษฎบี ทที่เกย่ี วกบั เสน้ ขนานและ กวา่ รอ้ ยละ 75
มมุ แย้งไดถ้ กู ตอ้ ง เรือ่ งเสน้ ขนาน ทักษะที่ 2 เรื่อง
ถกู ต้องไมน่ ้อย
2. ด้านทักษะกระบวนการ/ (P) และมมุ แย้ง ใน เส้นขนานและมุม กว่ารอ้ ยละ 75
แสดงวิธีการนำทฤษฎบี ทของเส้นขนาน
แบบฝกึ ทกั ษะ แยง้ ในแบบฝึก ผา่ นเกณฑ์
และมุมแย้งมาใช้ในการแก้ปัญหา ระดบั ดี ขึ้นไป
เร่อื ง เส้นขนาน ทกั ษะ เร่อื ง เสน้
3. ดา้ นคุณลักษณะทีพ่ งึ ประสงค์ (A)
เขยี นยืนยันเหตผุ ลแนวคดิ ของตนเอง ขนาน

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2 ตรวจแบบฝึก

เร่อื งเสน้ ขนาน ทกั ษะที่ 2 เรื่อง

และมุมแยง้ ใน เสน้ ขนานและมมุ

แบบฝึกทกั ษะ แย้ง ในแบบฝกึ

เรอ่ื ง เส้นขนาน ทักษะ เร่อื ง เส้น

ขนาน

แบบประเมินใบ ตรวจรอ่ งรอย

กิจกรรม แนวคดิ

35

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4
เร่อื ง เสน้ ขนานและมุมแย้ง

คำชแ้ี จง : จงแสดงวธิ ที ำและตอบคำถามต่อไปนีใ้ ห้ถูกตอ้ ง
โจทย์ : จากรปู กำหนดให้ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ // ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ถ้า ̂ = 115° และ ̂ = 105° จงหาขนาดของ

̂

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

36

“เฉลย” แบบฝึกทักษะท่ี 4
เรอ่ื ง เสน้ ขนานและมุมแย้ง

คำชแ้ี จง : จงแสดงวิธที ำและตอบคำถามตอ่ ไปน้ใี หถ้ กู ต้อง
โจทย์ : จากรปู กำหนดให้ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ // ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ถ้า ̂ = 115° และ ̂ = 105° จงหาขนาดของ

̂

37

บนั ทึกผลหลงั การสอน
ผลการจัดการเรียนรู้
นักเรียนสามารถบอกทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับเส้นขนานและมุมแย้งได้ถูกต้อง ร้อยละ 80 ของ
นักเรยี นท้ังหมด
นักเรียนสามารถแสดงวิธีการนาทฤษฎีบทของเส้นขนานและมุมแย้งมาใช้ในการแก้ปัญหา
จานวนร้อยละ 80 ของนักเรยี นทัง้ หมด

ปญั หาและอปุ สรรค

แนวทางการแกไ้ ขปัญหา

38

ความคดิ เหน็ และขอ้ เสนอแนะของครูพเ่ี ลี้ยง
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ความคดิ เหน็ และขอ้ เสนอแนะของหวั หน้ากล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชือ่ วา่ ท่ี ร.ต. ...............................................
(ดัสกร ชมุ ปัญญา)

หัวหน้ากลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
……………/………………………/……………………..
ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของรองผู้อานวยการกลมุ่ บรหิ ารวชิ าการ

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชือ่ .........................................
(นายราเชนทร์ พุ่มแจ้)

รองผอู้ านวยการกลุม่ บริหารงานวิชาการ
……………/…………………/……………..

39

แผนการจดั การเรียนรู้ 26

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 2

รหสั วิชา ค22102 ภาคเรียนที่ 2

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 3 เรอ่ื ง เส้นขนาน เวลาเรียน 10 ชัว่ โมง

เรื่อง เส้นขนานและมมุ แยง้ (2) เวลา 1 ชั่วโมง

ผู้สอน นายสิทธชิ ัย พลตอื้ โรงเรียนอุดรพชิ ยั รกั ษพ์ ทิ ยา

สอนวนั ท.่ี ..........เดอื น..........................พ.ศ. ..............

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ปู เรขาคณติ สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสมั พันธ์

ระหวา่ งรปู เรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณติ และนำไปใช้

ตัวชวี้ ดั
ค 2.2 ม. 2/2 นำความรเู้ ก่ียวกับสมบัติของเส้นขนานและรปู สามเหลยี่ มไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์

สาระสำคญั
ทฤษฎบี ท
1. ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกันและมเี ส้นตดั แลว้ มุมแยง้ มขี นาดเท่ากัน
2. ถ้าเสน้ ตรงเสน้ หน่งึ ตดั เสน้ ตรงคู่หนงึ่ ทำให้มุมแยง้ มขี นาดเทา่ กัน แลว้ เส้นตรงคูน่ นั้ ขนาน

กัน
3. เมอื่ เส้นตรงเส้นหนงึ่ ตดั เส้นตรงค่หู น่งึ เสน้ ตรงค่นู ั้นขนานกนั ก็ต่อเม่อื มุมแยง้ มขี นาด

เท่ากัน

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เมอ่ื เรียนจบบทเรียนน้ีแล้วนักเรียนสามารถ
1. ดา้ นความรู้ (K)
บอกทฤษฎีบทที่เก่ียวกบั เสน้ ขนานและมมุ แยง้ ได้ถูกต้อง
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)
แสดงวิธกี ารนำทฤษฎีบทของเส้นขนานและมุมแย้งมาใช้ในการแกป้ ญั หา
3. ด้านคณุ ลกั ษณะที่พงึ ประสงค์ (A)
เขยี นยนื ยนั เหตุผลแนวคดิ ของตนเอง

40

สาระการเรยี นรู้
เสน้ ขนานและมุมแยง้

กระบวนการจัดการเรียนรู้ (รปู แบบการสอนแบบปกติ)
ข้นั นำเข้าสบู่ ทเรยี น
1. ครูพดู คุยสนทนาพร้อมแจง้ จุดประสงค์การเรียนรู้ เรื่อง เส้นขนานและมุมแย้ง ให้นกั เรียน

ทราบ ดังนี้
1.1 ดา้ นความรู้ (K)
บอกทฤษฎีบททีเ่ กย่ี วกับเสน้ ขนานและมมุ แย้งได้ถูกตอ้ ง
1.2 ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
แสดงวิธีการนำทฤษฎีบทของเสน้ ขนานและมุมแยง้ มาใช้ในการแก้ปัญหา
1.3 ด้านคณุ ลักษณะทีพ่ งึ ประสงค์ (A)
เขียนยืนยันเหตุผลแนวคิดของตนเอง

2. ครูทบทวนความรู้เรื่อง เส้นขนาน โดยใช้คำถาม “บทนิยามของเส้นขนานคืออะไร”
(คำตอบ เส้นตรงสองเสน้ ท่อี ย่บู นระนาบเดียวกนั ขนานกนั กต็ ่อเม่อื เสน้ ตรงทง้ั สองเส้นนนั้ ไม่ตัดกนั )

3. ครูทบทวนความรู้เรื่อง เส้นขนานและมุมภายใน โดยใช้คำถาม “สมบัติของเส้นขนานมี
อะไรบา้ ง”
คำตอบ

สมบัติของเส้นขนาน
1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของมุมภายในทอี่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกัน
ของเส้นตดั รวมกันเท่ากบั 180 องศา
2. ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงตัดเส้นตรงค่หู นึง่ ทำใหข้ นาดของมมุ ภายในทอ่ี ย่บู นข้างเดยี วกนั ของ
เสน้ ตดั รวมกนั เท่ากับ 180 องศา แลว้ เส้นตรงคู่น้นั ขนานกนั
ดังนั้น จะสรุปสมบัติเมื่อใช้ “ก็ต่อเมื่อ” ได้ดังนี้ “เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง
เส้นตรงคู่นั้นขนานกันก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ
180 องศา”
3. ครูให้นักเรียนทบทวนความร้เู รื่อง เส้นขนานและมมุ แย้ง โดยใหท้ ำโจทย์ปัญหาตอ่ ไปนี้
โจทย์ : จากรูปท่ีกำหนดให้ จงหาว่าเส้นตรง รังสี หรอื ส่วนของเส้นตรงคใู่ ดขนานกัน พรอ้ มทงั้ ให้
เหตุผล

41

คำตอบ

ขั้นสอน
4. ครูนำเสนอตวั อย่าง ดังนี้

ตวั อยา่ งท่ี 1 จากรูป กำหนดให้ ̅ ̅ ̅ ̅ // ̅ ̅ ̅ ̅ ถา้ ̂ = 55° และ ̂ = 76° จงหาขนาดของ

̂

5. ครอู ธบิ ายวา่ นอกจากทฤษฎีบททค่ี รไู ด้กลา่ วไปแลว้ มอี กี หนง่ึ ทฤษฎบี ทท่ีเกย่ี วกบั เส้น
ขนานและมมุ แยง้ คือ “เมอื่ เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงตัดเสน้ ตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่น้นั ขนานกนั กต็ ่อเม่ือ มุมแย้งมี
ขนาดเทา่ กัน”

6. ครูนำเสนอตัวอย่าง ดังน้ี

42

ตวั อย่างท่ี 2 กำหนดให้ ABCD มี AB = CD และ AD = CB จงพิสจู นว์ า่ ̅ ̅ ̅ ̅ // ̅ ̅ ̅ ̅

กำหนดให้ ABCD มี AB = CD และ AD = CB

ต้องการพิสูจนว์ ่า̅ ̅ ̅ ̅ // ̅̅ ̅ ̅

พิสูจน์ ลาก ̅̅ ̅ ̅

พิจารณา ABD และ CDB

AB = CD (กำหนดให้)

AD = CB (กำหนดให้)

BD = DB ( ̅̅ ̅ ̅ เปน็ ด้านรว่ ม)

ดงั นนั้ ABD ≅ CDB (ด.ด.ด.)

จะได้ ̂ = ̂ (มุมค่ทู ี่สมนยั กนั ของรูปสามเหล่ียมที่เท่ากนั ทกุ ประการ

จะมขี นาดเทา่ กัน)

และเน่ืองจาก ̂ และ ̂ เปน็ มุมแย้งกัน

ดังน้นั ̅ ̅ ̅ ̅ // ̅ ̅ ̅ ̅ (ถา้ เส้นตรงเส้นหน่งึ ตัดเสน้ ตรงคหู่ นึง่ ทำใหม้ มุ แย้งมี

ขนาดเทา่ กัน แลว้ เสน้ ตรงคูน่ ัน้ ขนานกนั )

7. ครตู ดิ ภาพบนกระดานพร้อมนำเสนอตวั อยา่ ง และใหน้ ักเรยี นแตล่ ะคนแก้ปญั หา

ตัวอย่างที่ 3 จากรปู กำหนดให้ ̅ ̅ ̅ ̅ // ̅̅ ̅ ̅ แบง่ คร่งึ ซึ่งกนั และกันที่จุด O จงพิสจู นว์ ่า AD = BC

และ ̅̅ ̅ ̅ // ̅̅ ̅ ̅

8. ครแู ละนักเรียนรว่ มกันแกป้ ัญหาของตวั อย่างที่ 3 ดงั น้ี

43

9. ครูใหน้ กั เรยี นทำแบบฝกึ ทักษะที่ 3 เร่ือง เสน้ ขนานและมมุ แย้ง ในแบบฝกึ ทกั ษะ เร่ือง
เสน้ ขนาน

10. ครูและนกั เรียนเฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 3 เร่อื ง เส้นขนานและมุมแย้ง ในแบบฝกึ ทกั ษะ
เรอื่ ง เสน้ ขนาน พรอ้ มกนั ในหอ้ งเรยี น

ข้นั สรุป
11. ครูใช้คำถาม “ทฤษฎีบทเกีย่ วกบั เส้นขนานและมมุ แยง้ มีอะไรบ้าง”
คำตอบ
ทฤษฎีบท
1. ถา้ เสน้ ตรงสองเส้นขนานกนั และมีเสน้ ตดั แล้วมุมแยง้ มขี นาดเทา่ กัน
2. ถา้ เสน้ ตรงเสน้ หนึง่ ตดั เส้นตรงคหู่ น่งึ ทำใหม้ ุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แลว้ เส้นตรงคู่

น้นั ขนานกนั
3. เมื่อเส้นตรงเสน้ หนึ่งตดั เส้นตรงค่หู น่งึ เสน้ ตรงคูน่ น้ั ขนานกนั ก็ตอ่ เมอ่ื มุมแย้งมี

ขนาดเท่ากัน

ส่ือและแหลง่ การเรียนรู้
1. สอื่ การเรยี นรู้
1.1 หนังสือเรยี นรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ ม.2 เลม่ 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พื้นฐาน พทุ ธศักราช 2560 จัดทำโดย
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยีกระทรวงศกึ ษาธิการ (สสวท).
1.2 แบบฝกึ ทกั ษะ เรือ่ ง เส้นขนาน
1.3 แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 เรือ่ ง เสน้ ขนานและมมุ แยง้ ในแบบฝึกทักษะ เรอ่ื ง เส้นขนาน

44

2. แหลง่ การเรียนรู้
2.1 ห้องสมุดโรงเรยี นอดุ รพชิ ยั รักษพ์ ิทยา
2.2 www.google.com/ เส้นขนานและมมุ แย้ง

การวดั ผลและประเมินผล

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ เครือ่ งมอื วธิ กี าร เกณฑ์การ
1. ด้านความรู้ (K) ประเมินผล
แบบฝึกทักษะที่ 3 ตรวจแบบฝกึ ถูกตอ้ งไม่น้อย
บอกทฤษฎีบทที่เกย่ี วกับเส้นขนานและ กว่ารอ้ ยละ 75
มมุ แยง้ ไดถ้ กู ตอ้ ง เรื่องเสน้ ขนาน ทักษะที่ 3 เรอื่ ง
ถูกต้องไม่นอ้ ย
2. ดา้ นทกั ษะกระบวนการ/ (P) และมมุ แย้ง ใน เสน้ ขนานและมุม กวา่ ร้อยละ 75
แสดงวธิ กี ารนำทฤษฎีบทของเส้นขนาน
แบบฝกึ ทักษะ แยง้ ในแบบฝึก ผา่ นเกณฑ์
และมุมแยง้ มาใช้ในการแก้ปญั หา ระดับ ดี ข้ึนไป
เรอ่ื ง เสน้ ขนาน ทกั ษะ เรอ่ื ง เส้น
3. ดา้ นคุณลักษณะทพ่ี ึงประสงค์ (A)
เขยี นยืนยนั เหตผุ ลแนวคิดของตนเอง ขนาน

แบบฝึกทักษะท่ี 3 ตรวจแบบฝึก

เรอื่ งเสน้ ขนาน ทักษะที่ 3 เรื่อง

และมมุ แยง้ ใน เส้นขนานและมุม

แบบฝึกทักษะ แยง้ ในแบบฝกึ

เรอ่ื ง เส้นขนาน ทักษะ เรื่อง เส้น

ขนาน

แบบประเมนิ ใบ ตรวจร่องรอย

กิจกรรม แนวคดิ

45

แบบฝกึ ทักษะที่ 5
เรือ่ ง เส้นขนานและมมุ แย้ง

คำสัง่ : จากรูปทีก่ ำหนดให้ จงหาว่าเส้นตรง รังสี หรือส่วนของเสน้ ตรงคใู่ ดขนานกนั พร้อมท้ังให้
เหตผุ ล
1.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

46

“เฉลย” แบบฝึกทักษะที่ 5
เรอื่ ง เสน้ ขนานและมุมแย้ง

คำสงั่ : จากรูปทีก่ ำหนดให้ จงหาว่าเสน้ ตรง รังสี หรอื ส่วนของเส้นตรงคใู่ ดขนานกัน พรอ้ มท้งั ให้
เหตุผล
1.

2.