แผนการจัดการเรียนรู้บทที่ 5 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

แผนการจัดการเรียนรู้

วิชาคณติ ศาสตร์ 4 ค 22102
หน่วยท่ี 5 การแยกตวั ประกอบ

ของพหุนามดีกรสี อง

นายสิทธชิ ัย พลตอื้

รหสั นกั ศกึ ษา 60100140201 l สาขาวิชาคณติ ศาสตร์
นกั ศึกษาฝึกประสบการณ์ โรงเรียนอุดรพิชัยรกั ษพ์ ิทยา

แผนการจดั การเรียนรู้
หนว่ ยที่ 5 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง

วชิ าคณิตศาสตร์ 4 ค22102
ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 โรงเรียนอุดรพชิ ยั รกั ษ์พิทยา

นายสิทธชิ ยั พลต้ือ
รหสั นักศึกษา 60100140201

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์

การปฏบิ ัติการสอนในสถานศกึ ษา 2

รหสั วิชา ED18502 (INTERNSHIP IN SCHOOL 2)

คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี
ภาคเรียนท่ี 2 ปกี ารศึกษา 2564

ก

คำนำ

ตามที่กระทรวงศึกษาธิการ ได้ประกาศใช้ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัด กลุ่มสาระการ
เรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศกั ราช 2551 เพื่อให้สถานศึกษานำไปใช้เป็นกรอบทิศทางในการพัฒนาหลักสูตรสถานศึกษา
วางแผนการจัดการเรียน การสอนและจัดกิจกรรมการเรียนรู้เพื่อพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้
ความสามารถ และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ตามเป้าหมายของหลักสูตร ตลอดจนให้เกิดผลสำเร็จ
ตามเจตนารมณ์ของการปฏริ ูปการศึกษา ดังนั้น ขั้นตอนการนำหลกั สูตรสถานศึกษาไปปฏิบัติจริงใน
ช้นั เรยี นของครูผสู้ อน จึงจดั เป็นหัวใจสำคญั ในการพัฒนาผเู้ รยี น

ครูผู้สอนจงึ ได้จดั ทำ แผนการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 2
ข้ึน เพ่ือเป็นแนวทางวางแผนจัดการเรียนรู้แกผ่ ู้เรยี น โดยจดั ทำเป็นหนว่ ยการเรียนรูอ้ ิงมาตรฐานและ
ออกแบบกิจกรรมการเรียนรูต้ ามแนวคิดการออกแบบ ตลอดจนเน้นกิจกรรมแบบ Active Learning
อันจะชว่ ยให้ผู้ปกครองและหน่วยงานท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั การประเมินคุณภาพการศึกษา สามารถมั่นใจใน
ผลการเรียนรู้และคุณภาพของผเู้ รียนท่ีมีหลกั ฐานตรวจสอบผลการเรยี นรอู้ ยา่ งเป็นระบบ

ทัง้ น้ีผ้สู อนตอ้ งขอขอบคณุ นายสาส์นลิขิตชยั พลไธสง ผ้อู ำนวยการโรงเรียนพิบูลย์รักษ์พิทยา
ทค่ี ่อยอำนวยการในการจดั การเรียนการสอน

ขอบคณุ นายราเชนทร์ พ่มุ แจ้ หวั หนา้ กลมุ่ บรกิ ารวิชาการ ทค่ี อ่ ยอำนวยการ นเิ ทศการจดั การ
เรยี นการสอน และตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู้ก่อนนำแผนการจัดการเรยี นรู้ไปใช้

ขอบคุณนายดัสกร ชมุ ปัญญา หวั หนา้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ และครูพ่ีเล้ียงท่ีค่อย
ให้คำปรกึ ษา กำกับดูแล และตรวจสอบแผนการจดั การเรียนรกู้ อ่ นนำไปใช้

หากผสู้ อนผิดพลาดประการใดตอ้ งขออภัยมา ณ ทีน่ ด้ี ว้ ย

สทิ ธชิ ยั พลตื้อ
นกั ศึกษาฝึกประสบการณ์วิชาชพี ครู
สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะครศุ าสตร์

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

สารบญั ข

คำนำ หน้า
สารบญั ก
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ ข
39 ทบทวนก่อนเรียน
40 ความรพู้ ้ืนฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต 1
41 การใหเ้ หตุผลทางเรขาคณติ 12
42 การพิสจู น์. 23
43 การสร้างและการให้เหตุผลเกย่ี วกบั การสรา้ ง 31
44 การสรา้ งและการให้เหตุผลทางเรขาคณิต (1) 39
45 การสรา้ งและการใหเ้ หตุผลทางเรขาคณิต (2) 52
46 การให้เหตุผลเกย่ี วกบั รูปสามเหลย่ี ม 64
47 การใหเ้ หตุผลเกย่ี วกับรูปสีเ่ หลีย่ ม 74
80

1

แผนการจัดการเรยี นรู้ 39

กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 2

รหสั วชิ า ค22102 ภาคเรียนท่ี 2

หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 5 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง เวลาเรียน 9 ชั่วโมง

เรอ่ื ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง (1) เวลา 1 ช่วั โมง

ผู้สอน นายสิทธชิ ยั พลตื้อ โรงเรียนอดุ รพชิ ัยรักษ์พิทยา

สอนวนั ที.่ ..........เดือน..........................พ.ศ.............

มาตรฐาน/ตัวช้ีวดั
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสัมพนั ธ์ ฟงั กช์ นั ลำดับและอนุกรม และ

นำไปใช้
ตัวชี้วดั
ค 1.2 ม. 2/2 เข้าใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในการแก้ปญั หา

คณติ ศาสตร์

สาระสำคญั /ความคิดรวบยอด
การแยกตวั ประกอบโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง
ถา้ a,b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว a(b+c) = ab+ac หรือ (b+c)a = ba+ca

เราอาจเขียนสมบัตกิ ารแจกแจงข้างตน้ ใหม่เปน็ ดงั นี้ ab+ac = a(b+c) หรอื ba+ca = (b+c)a
ถา้ a , b และ c เป็นพหนุ าม เรากส็ ามารถใช้สมบัตกิ ารแจกแจงข้างตน้ ได้ด้วย และเรียก

a ว่าตวั ประกอบรว่ มของ ab และ ac หรอื ตวั ประกอบร่วมของ ba และ ca

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ เม่อื เรยี นจบบทเรียนนี้แลว้ นักเรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
อธบิ ายการแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง
2. ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
เขยี นแสดงขั้นตอนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัติการแจกแจงได้
3. ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A)

มองเห็นว่าสามารถใช้คณิตศาสตรแ์ ก้ปัญหาในชีวติ จรงิ ได้ (A1)
มคี วามมมุ านะในการทำความเข้าใจปัญหาและแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ (A2)

2

สาระการเรียนรู้
การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง

กิจกรรมการเรียนรู้
ขัน้ นำเขา้ สู่บทเรียน
1. ครูกลา่ วทักทายนักเรียนพรอ้ มทงั้ ตรวจสอบรายช่อื การเขา้ เรียนของนักเรยี น
2. ครูสนทนากบั นักเรยี นเพ่ือสอบถามเปน็ การนำเขา้ สบู่ ทเรียน ดังนี้
- การแยกตัวประกอบมลี กั ษณะอยา่ งไร (การแสดงการเขียนจำนวนนบั ในรปู การคูณ

ของตวั ประกอบเฉพาะ)
- พหนุ ามมลี ักษณะอย่างไร (นพิ จนท์ ่อี ยูใ่ นรปู เอกนามหรือเขียนอยใู่ นรูปการบวก

ของเอกนามตง้ั แตส่ องเอกนามขน้ึ ไป)
- การแยกตัวประกอบของพหุนามมวี ธิ กี ารอยา่ งไร (ตามประสบการณก์ ารเรียนรขู้ อง

ผเู้ รยี น)

ขนั้ สอน
3. ครูยกตวั อย่างการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามซ่ึงสัมประสิทธิข์ องแต่ละพจนเ์ ป็น

จำนวนเตม็ ดว้ ยโปรแกรมนำเสนอ (Microsoft Powerpoint) เรือ่ ง ทบทวนการแยกตวั ประกอบของ
พหนุ าม (1)

(สไลด์ 1) (สไลด์ 2)

(สไลด์ 3) (สไลด์ 4)

3

(สไลด์ 5) (สไลด์ 6)

(สไลด์ 7) (สไลด์ 8)

(สไลด์ 9)

3. ครูทบทวน เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม คอื การเขียนพหุนามนนั้ ในรปู การ

คณู กันของพหนุ ามทม่ี ดี กี รีต่ำกว่าพหนุ ามเดมิ ต้งั แต่สองพหนุ ามขน้ึ ไป โดยครูยกตัวอย่างเพม่ิ เตมิ ดงั นี้

1) 2x + 4y ตวั ประกอบ คือ (2)(x) + (2)(2)(y) ตัวประกอบรว่ ม คอื 2

พจน์ทเ่ี หลอื คือ x + 2y

แยกตัวประกอบพหนุ าม คอื 2(x + 2y)

2) 7xy - 14yz ตัวประกอบ คอื (7)(x)(y) - (2)(7)(y)(z) ตัวประกอบรว่ ม คอื (7)(y)

พจน์ทเ่ี หลือ คอื x + 2z

แยกตวั ประกอบพหุนาม คือ 7y(x – 2z)

3) x2y + xy2 ตัวประกอบ คอื (x)(x)(y) + (x)(y)(y) ตวั ประกอบรว่ ม คือ xy

พจนท์ ่เี หลอื คือ x + y

4

แยกตัวประกอบพหนุ าม คือ xy(x + y)
4. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั สรปุ สงิ่ ท่ไี ดจ้ ากตวั อยา่ ง ดงั นี้
“ถ้า a, b และ c แทนจำนวนใด ๆ แล้ว a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca
เราอาจเขียนใหม่เปน็ ดังนี้ ab + ac = a(b + c) หรอื ba + ca = (b + c)a”
5. ครเู ปดิ โอกาสใหน้ กั เรียนซักถามข้อสงสัยเก่ียวกับการแยกตวั ประกอบพหุนามดกี รี
สองโดยใช้สมบัติการแจกแจง

ขน้ั สรปุ และฝึกทักษะ
6. ครใู หน้ ักเรียนนกั เรยี นศกึ ษาและทำแบบฝึกทักษะท่ี 5.1 โดยกำหนดเวลาให้นกั เรียน

15 นาที แลว้ สุม่ นกั เรยี นมาแสดงวิธีการแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง บน
กระดาน โดยมีครคู อยซกั ถามและให้คำแนะนำทถ่ี ูกตอ้ ง

7. ครูใช้คำถามเพอ่ื นำสกู่ ารสรปุ ดังนี้
- นกั เรียนมีความเขา้ ใจเกยี่ วกบั การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจงอย่างไร
(การเขยี นพหนุ ามน้ันในรูปการคูณกันของพหุนามที่มดี ีกรตี ่ำกว่าพหนุ ามเดิมตง้ั แตส่ องพหุนามขนึ้
ไป) หรอื (ถ้า a, b และ c แทนจำนวนใด ๆ แลว้ a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca
เราอาจเขยี นใหม่เปน็ ดงั น้ี ab + ac = a(b + c) หรอื ba + ca = (b + c)a ) แลว้ สรุปลงในสมุด

ข้นั วัดและประเมนิ ผล
8. เพอ่ื ตรวจสอบความเข้าใจใหน้ ักเรยี นทำแบบฝกึ หัด หนา้ 248 ขอ้ 1 เลอื กทำมา 6 ขอ้

พร้อมท้งั ศึกษาขอ้ มลู จากหนงั สือรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 สำนักพิมพ์
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยีกระทรวงศกึ ษาธิการ (สสวท.)

ส่ือและแหลง่ การเรยี นรู้
ส่ือการเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน พุทธศักราช 2560 จัดทำโดย สถาบันส่งเสริมการสอน
วิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยีกระทรวงศกึ ษาธิการ (สสวท).

2. แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.1 แยกตัวประกอบพหุนาม
แหลง่ การเรียนรู้

1. ห้องสมดุ โรงเรยี นอดุ รพิชัยรกั ษ์พิทยา
2. หอ้ งปฏิบตั ิการคณติ ศาสตร์
3. เว็บไซต์ www.google.com/ แยกตวั ประกอบพหุนามดีกรสี อง

5

การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

สงิ่ ท่ตี ้องการวัด/ประเมิน เครอื่ งมือทใ่ี ช้ วธิ กี าร เกณฑก์ าร
ประเมนิ
ด้านความรู้ แบบฝึกทักษะที่ ตรวจแบบฝกึ ทักษะท่ี ถกู ตอ้ งร้อยละ
อธิบายการแยกตัวประกอบ 5.1 แยกตวั 5.1 แยกตวั ประกอบ 75 ขน้ึ ไป

ของพหนุ ามโดยใช้สมบัติการแจก ประกอบพหุนาม พหนุ าม ถูกตอ้ งรอ้ ยละ
แจง 75 ข้ึนไป
ดา้ นทักษะ/กระบวนการ แบบฝึกทกั ษะที่ ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะท่ี
5.1 แยกตัว 5.1 แยกตัวประกอบ ผ่านเกณฑ์ใน
เขียนแสดงขัน้ ตอนการแยกตัว ระดบั ดขี ึน้ ไป
ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัติ ประกอบพหนุ าม พหุนาม
การแจกแจงได้
แบบประเมิน สงั เกตพฤติกรรม
ด้านคณุ ลักษณะ พฤตกิ รรม ระหวา่ งเรียน
มองเห็นว่าสามารถใช้

คณติ ศาสตรแ์ กป้ ัญหาในชวี ิตจรงิ
ได้ (A1)

มีความมุมานะในการทำความ
เขา้ ใจปัญหาและแกป้ ัญหาทาง
คณติ ศาสตร์ (A2)

6

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.1 แยกตวั ประกอบพหนุ าม

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นเตมิ คำตอบลงในชอ่ งว่างให้ถูกตอ้ ง

1. พหุนาม

โจทย์ พหุนาม จำนวนพจน์ ดกี รี จำนวนตวั แปร หมายเหตุ
เป็น ไมเ่ ป็น 1

1. 3x + 9 ✓ 2 1-

2. 3x 2 ✓1 2 1 เป็นเอก
2 นาม

3. x2 + 12x +

35

4. 6x2 + 29x +

9

5. 2x + 2y

6. 7xy – 14yz

7. x3 – x7

8. x2y + xy2

2. การแยกตวั ประกอบ แยกตัวประกอบ ตวั ประกอบ พจนท์ ่ีเหลอื แยกตัวประกอบ
โจทย์ 3(y) + 3(3) ร่วม y+3 ของพหนุ าม

1. 3y + 9 3 3 (y + 3)
2. 35 + 5a
3. 4x – 12y
4. 30a –60b
5. 4x2– 10x

7

โจทย์ แยกตัวประกอบ ตัวประกอบ พจน์ท่ีเหลือ แยกตัวประกอบ
รว่ ม ของพหุนาม
6. 15a2 –20ab
7. 32x2y – 8xy2
8. –25m2n – 30mn2

8

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5.1 แยกตัวประกอบพหุนาม

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรยี นเตมิ คำตอบลงในชอ่ งว่างให้ถูกต้อง

1. พหนุ าม

โจทย์ พหุนาม จำนวน ดกี รี จำนวนตวั แปร หมายเหตุ
เป็น ไมเ่ ปน็ พจน์

1. 3x + 9 ✓ 21 1-

2. 3x 2 ✓ 1 2 1 เปน็ เอก
2 นาม
3 2
3. x2 + 12x + ✓ 1
3 2
35 ✓ 2 1
✓ 2 2
4. 6x2 + 29x + ✓ 2 7 1
✓ 2 3
9 ✓ 2
3
5. 2x + 2y 1
2
6. 7xy – 14yz

7. x3 – x7

8. x2y + xy2

2. การแยกตัวประกอบ แยกตวั ประกอบ ตวั ประกอบ พจน์ที่เหลอื แยกตัวประกอบ
โจทย์ ร่วม ของพหนุ าม
3(y) + 3(3) 3 y+4 3 (y + 3)
1. 3y + 9 5(7) + 5( a) 7+a
2. 35 + 5a 4(x) – 4(3y) 5 x – 3y 5(7 + a)
3. 4x – 12y 30( a) – 30(2b) a – 2b
4. 30a –60b 4 4(x –3y)

30 30(a – 2b)

9

โจทย์ แยกตวั ประกอบ ตัวประกอบ พจนท์ เี่ หลือ แยกตัวประกอบ
ร่วม ของพหนุ าม
5. 4x2– 10x 2×( 2×) – 2x(5) 2x 2x – 5 2x(2x – 5)
6. 15a2 –20ab 5a(3a) + 5a(4b) 5a 3a + 4ab 5a(3a + 4ab)
7. 32x2y – 8xy2 4xy( 8×) – 4xy(y) 4xy 8x – y 4xy(8x – y)
–5mn(5m) –
8. –25m2n – 30mn2 [–5mn(–6n)] –5mn 5m + 6n –5mn(5m + 6n)

10

บนั ทึกผลหลงั การสอน
ผลการจัดการเรยี นรู้
นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจงจานวน
รอ้ ยละ 80 ของนกั เรียนท้ังหมด
นกั เรียนสามารถเขียนแสดงขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบัติการแจกแจง
ได้ จานวนร้อยละ 80 ของนกั เรียนทั้งหมด

ปญั หาและอปุ สรรค

แนวทางการแกไ้ ขปญั หา

11

ความคิดเหน็ และข้อเสนอแนะของครพู เ่ี ลย้ี ง
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ความคดิ เห็นและข้อเสนอแนะของหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ว่าที่ ร.ต. ...............................................
(ดัสกร ชมุ ปญั ญา)

หวั หน้ากล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
……………/………………………/……………………..
ความคดิ เห็นและขอ้ เสนอแนะของรองผ้อู านวยการกลมุ่ บริหารวิชาการ

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงช่อื .........................................
(นายราเชนทร์ พุ่มแจ้)

รองผู้อานวยการกลมุ่ บรหิ ารงานวิชาการ
……………/…………………/………………

12

แผนการจดั การเรียนรู้ 40

กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 2

รหสั วชิ า ค22102 ภาคเรียนที่ 2

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 5 เรอื่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง เวลาเรยี น 9 ช่วั โมง

เร่อื ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง (2) เวลา 1 ช่วั โมง

ผูส้ อน นายสิทธิชยั พลตือ้ โรงเรยี นอดุ รพิชัยรักษพ์ ิทยา

สอนวันท่ี...........เดอื น..........................พ.ศ..............

มาตรฐาน/ตัวช้ีวดั
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรปู ความสมั พันธ์ ฟังก์ชัน ลำดบั และอนกุ รม และ

นำไปใช้
ตวั ชี้วัด
ค 1.2 ม. 2/2 เข้าใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในการแก้ปญั หา

คณติ ศาสตร์

สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด
การแยกตวั ประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง
ถ้า a,b และ c แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ แล้ว a(b+c) = ab+ac หรอื (b+c)a = ba+ca

เราอาจเขียนสมบัตกิ ารแจกแจงขา้ งตน้ ใหม่เป็นดงั น้ี ab+ac = a(b+c) หรอื ba+ca = (b+c)a
ถ้า a , b และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใชส้ มบัตกิ ารแจกแจงขา้ งต้นไดด้ ้วย และเรียก

a วา่ ตวั ประกอบรว่ มของ ab และ ac หรอื ตวั ประกอบรว่ มของ ba และ ca
- สรุปข้ันตอนการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง ดังน้ี
1) แยกตวั ประกอบของแต่ละพจน์
2) หาตวั ประกอบร่วมของแต่ละพจน์
3) ดึงตัวประกอบร่วมแตล่ ะพจน์มาไวห้ นา้ วงเลบ็ )

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ เมอ่ื เรยี นจบบทเรยี นน้แี ลว้ นักเรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
อธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบตั ิการแจกแจง
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)
เขียนแสดงข้ันตอนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจงได้

13

3. ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ (A)
มองเห็นวา่ สามารถใช้คณติ ศาสตร์แก้ปัญหาในชวี ติ จรงิ ได้ (A1)
มีความมุมานะในการทำความเข้าใจปัญหาและแก้ปญั หาทางคณิตศาสตร์ (A2)

สาระการเรยี นรู้
การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง

กจิ กรรมการเรียนรู้

ขั้นนำเขา้ สบู่ ทเรยี น

1. ครกู ล่าวทักทายนกั เรยี นพรอ้ มทั้งตรวจสอบรายช่อื การเขา้ เรียนของนักเรยี น

2. ครูนำเขา้ สบู่ ทเรยี นด้วยการสนทนาซักถามเกย่ี วกบั สมบัติการแจกแจง ดงั น้ี

- ถ้านกั เรียนตอ้ งการทราบว่าการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามน้นั ถูกต้องหรอื ไม่ นักเรยี นมวี ธิ กี าร

อยา่ งไร (ตรวจสอบคำตอบโดยการหาผลคูณของพหนุ าม)

- นกั เรียนคิดวา่ ในการแยกตวั ประกอบของพหุนามที่มหี ลายพจน์ นอกจากใช้สมบัตกิ ารแจกแจง

แล้ว เรายงั สามารถใช้สมบัติอน่ื ได้อีกหรอื ไม่ อยา่ งไร (สามารถใชส้ มบัติอน่ื ได้ เชน่ สมบัตกิ ารสลับที่

สมบัติการเปลย่ี นหม่)ู

3. ครยู กตัวอยา่ งการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่มี ีหลายพจน์ ให้นักเรียนพจิ ารณา

โดยใชก้ ารถาม-ตอบประกอบการอธิบายตวั อย่าง ดังนี้

ตวั อย่าง 1) 2x + 2y [2(x + y)]

2) 7xy – 14yz [7y(x – 2z)]

3) x3 – x7 [x3(1 – x4)]

4) x2y + xy2 [xy(x + y)]

5) -4xy + 16y [-4y(x – 4)]

ขัน้ สอน

4. ครกู ล่าวเพมิ่ เตมิ เกี่ยวกบั การแยกตัวประกอบของพดหุนามดกี รีสองเมอ่ื มีหลายพจน์

5. ครยู กตัวอย่างการแยกตวั ประกอบพหุนามโดยใชส้ มบัติการแจกแจงเพ่ิมเตมิ ดงั นี้

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบพหนุ ามโดยใช้สมบัติการแจกแจง

1) 14x2y3 – 21x3y2 = 7 x2y2 (2y – 3y) ( มี 7 x2y2 เป็นตวั ประกอบร่วม)

2) a(b + 3c) – 2c(b + 3c) = (a – 2c)(b + 3c) ( มี b + 3c เปน็ ตัวประกอบรว่ ม)

3) 3x3 – 3yx – 2x2 – 2y = 3x3 – 2x2 – 3yx– 2y

= x2(3x – 2) – y(3x– 2) ( มี 3x – 2 เป็นตัวประกอบรว่ ม)

14

= (x2 – y)(3x – 2)
6. ครูเปิดโอกาสใหน้ ักเรียนซกั ถามข้อสงสัยเก่ยี วกับการแยกตวั ประกอบพหุนามดีกรี
สองโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง

ขั้นสรุปและฝกึ ทกั ษะ
7. ครใู หน้ กั เรียนนกั เรียนศึกษาและทำแบบฝึกทกั ษะท่ี 5.2 โดยกำหนดเวลาใหน้ กั เรียน

15 นาที แลว้ ส่มุ นักเรียนมาแสดงวธิ ีการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง บน
กระดาน โดยมีครูคอยซักถามและให้คำแนะนำทถ่ี ูกต้อง

8. ครใู ช้คำถามเพอ่ื นำสกู่ ารสรปุ ดังนี้
- ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันอภปิ ราย ขั้นตอนการพิจารณาวา่ จะแยกตัวประกอบของพหนุ ามได้
อยา่ งไร
(การเขียนพหนุ ามทก่ี ำหนดให้ในรูปการคูณของพหนุ ามตงั้ แตส่ องพหนุ ามขน้ึ ไป เป็นตัวอย่างของ
การแยกตัวประกอบ
- จากสมบัติการแจกแจง a, b, c เปน็ จำนวนเต็มใดๆ แตว่ ่าเราสามารถใชส้ มบัติการแจกแจง ใน
กรณีที่ a, b, c เปน็ พหนุ ามได้ดว้ ย และจะเรยี ก a วา่ ตวั ประกอบรว่ มของ ab และ ac หรือ ตัว
ประกอบร่วมของ ba และ ca
- สรปุ ข้นั ตอนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง ดังนี้

1) แยกตัวประกอบของแต่ละพจน์
2) หาตัวประกอบร่วมของแตล่ ะพจน์
3) ดงึ ตวั ประกอบร่วมแต่ละพจน์มาไวห้ นา้ วงเลบ็ )

ขั้นวัดและประเมินผล
9. เพอ่ื ตรวจสอบความเขา้ ใจใหน้ ักเรยี นทำแบบฝกึ หัด หน้า 248 ข้อ 2 เลอื กทำมา 4 ข้อ

พรอ้ มทง้ั ศกึ ษาขอ้ มูลจากหนังสือรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 2 สำนักพิมพ์
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยกี ระทรวงศึกษาธกิ าร (สสวท.)

สือ่ และแหลง่ การเรยี นรู้
ส่อื การเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน พุทธศักราช 2560 จัดทำโดย สถาบันส่งเสริมการสอน
วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยกี ระทรวงศึกษาธิการ (สสวท).

2. แบบฝึกทกั ษะที่ 5.2 แยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง

15

แหลง่ การเรียนรู้
1. ห้องสมดุ โรงเรยี นอุดรพชิ ยั รักษ์พิทยา
2. ห้องปฏิบตั ิการคณติ ศาสตร์
3. เวบ็ ไซต์ www.google.com/ แยกตวั ประกอบพหุนามดกี รสี องโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้

สิ่งทตี่ อ้ งการวดั /ประเมิน เครอ่ื งมอื ทใ่ี ช้ วิธีการ เกณฑ์การ
ประเมนิ
ดา้ นความรู้ แบบฝกึ ทกั ษะที่ ตรวจ แบบฝึกทกั ษะท่ี ถกู ตอ้ งรอ้ ยละ
อธิบายการแยกตัวประกอบ 5.2 แยกตวั 5.2 แยกตวั ประกอบ 75 ข้นึ ไป
พหนุ ามโดยใช้สมบตั ิ
ของพหนุ ามโดยใช้สมบัติการแจก ประกอบพหนุ าม ถกู ตอ้ งรอ้ ยละ
แจง โดยใชส้ มบตั ิการ การแจกแจง 75 ข้นึ ไป

ดา้ นทักษะ/กระบวนการ แจกแจง ตรวจ แบบฝกึ ทักษะท่ี ผ่านเกณฑ์ใน
เขยี นแสดงขัน้ ตอนการแยกตัว แบบฝึกทกั ษะที่ 5.2 แยกตัวประกอบ ระดบั ดีขึ้นไป
พหนุ ามโดยใชส้ มบัติ
ประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิ 5.2 แยกตัว
การแจกแจงได้ ประกอบพหนุ าม การแจกแจง
โดยใช้สมบตั ิการ
ด้านคณุ ลกั ษณะ สงั เกตพฤตกิ รรม
มองเหน็ ว่าสามารถใช้ แจกแจง ระหวา่ งเรยี น

คณิตศาสตร์แกป้ ญั หาในชวี ติ จรงิ แบบประเมนิ
ได้ (A1) พฤติกรรม

มีความมุมานะในการทำความ
เขา้ ใจปัญหาและแกป้ ัญหาทาง
คณิตศาสตร์ (A2)

16

แบบฝกึ ทักษะที่ 5.2 แยกตัวประกอบพหุนามโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบลงในชอ่ งว่างให้ถูกต้อง
1. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง

โจทย์ ข้ันที่ 1 ตวั ประกอบ ขน้ั ท่ี 2 ขนั้ ท่ี 3
1. 6m + 12mn แยกตวั ประกอบ รว่ ม พจน์ท่ีเหลอื ดงึ ตัวประกอบร่วมแต่
ของแตล่ ะพจน์ ละพจน์มาไว้หนา้ วงเลบ็

= 6m(1) + 6m(2n)

ดงั นนั้ 6m + 12mn =

2. a3 – 3a2 – 9a

3. 12m + 18mn – 36m2

4. 21ab – 7a + 35a2

5. 18pr2 – 30pr – 24p2r

17

ขัน้ ที่ 1 ขนั้ ท่ี 2 ขนั้ ที่ 3
พจน์ทีเ่ หลือ ดึงตัวประกอบรว่ มแต่
โจทย์ แยกตวั ประกอบ ตัวประกอบ ละพจนม์ าไว้หนา้ วงเลบ็

ของแตล่ ะพจน์ รว่ ม

2 จงแยกตวั ประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง

โจทย์ แยกตวั ประกอบ ตวั ประกอบรว่ ม
1. m(m – 3) + 5(m – 3) ของแต่ละพจน์

2. a2(m + 2) – 6(m + 2)

3. (x + y)z + (x + y)s

4. (m – 5)a + 3(m – 5)

5. (3m + n)2 – (3m + n)x

6. mn + pm – ns – ps

18

โจทย์ แยกตัวประกอบ ตัวประกอบร่วม
ของแตล่ ะพจน์

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 5.2 แยกตวั ประกอบพหนุ ามโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนเตมิ คำตอบลงในช่องวา่ งให้ถูกตอ้ ง
21 จงแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบัติการแจกแจง

ขัน้ ท่ี 1 ขั้นที่ 2 ขน้ั ที่ 3
พจนท์ เี่ หลอื ดงึ ตัวประกอบร่วม
โจทย์ แยกตัวประกอบ ตัวประกอบรว่ ม แต่ละพจน์มาไว้
1. 6m + 12mn ของแต่ละพจน์ 1+2n
หน้าวงเลบ็
= 6m(1) + 6m(2n) 6m
6m(1 + 2n)

2. a3 - 3a2 - 9a ดงั น้นั 6m + 12mn = 6m(1 + 2n) a a3 – 3a – 9 a(a2 – 3a – 9)
= a(a)(a) - 3(a)(a) – 3(3a)
= a[(a)(a) – (3)(a) – (3)(3)]

ดงั นั้น a3 - 3a2 - 9a = a(a2 – 3a – 9)

3. 12m + 18mn - 36m2 = (2)(3)(m)[2 + (3)(n) – 6m 2 + 3n – 6m 6m(2 + 3n – 6m )

(2)(3)(m)]

ดังนน้ั 12m + 18mn - 36m2 = 6m(2 + 3n – 6m )

19

โจทย์ ขัน้ ท่ี 1 ตัวประกอบร่วม ขั้นที่ 2 ขั้นท่ี 3
4. 21ab - 7a + 35a2 พจนท์ ี่เหลอื ดึงตัวประกอบรว่ ม
แยกตัวประกอบ แต่ละพจน์มาไว้
ของแตล่ ะพจน์
หน้าวงเล็บ
= (7)(a)[(3)(b) – (7)(a) +
(5)(7)(a)(a) 7a 3b – 1 + 5a 7a(3b – 1 + 5a)

ดังนัน้ 21ab - 7a + 35a2 = 7a(3b – 1 + 5a)

5. 18pr2 - 30pr - 24p2r = [(2)(3)(3)(p)(r)(r)] – 6pr -4p + 3r – 5 6pr(-4p + 3r – 5)
[(2)(3)(5)(p)(r)] –
[(2)(2)(2)(3)(p)(p)(r)]

= (6pr)(3r – 5 – 4p)

= 6pr(-4p + 3r – 5)

ดงั นั้น 18pr2 - 30pr - 24p2r = 6pr(-4p + 3r – 5)

2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบตั กิ ารแจกแจง

โจทย์ แยกตัวประกอบ ตวั ประกอบรว่ ม
ของแตล่ ะพจน์ (m – 3)

1. m(m - 3) + 5(m - 3) = m(m – 3) + 5(m – 3)

= (m – 3)(m + 5)

2. a2(m + 2) - 6(m + 2) ดงั น้นั m(m - 3) + 5(m - 3) = (m – 3)(m + 5) (m + 2)
= a2(m + 2) – 6(m + 2)

= (m + 2)(a2 – 6)

3. (x + y)z + (x + y)s ดังนั้น a2(m + 2) - 6(m + 2) = (m + 2)(a2 – 6) (x + y)
= (x + y)(z) + (x + y)(s)

= (x + y)(z + s)

4. (m – 5)a + 3(m – 5) ดังนน้ั a2(m + 2) - 6(m + 2 = (x + y)(z + s) (m – 5)
= (m – 5)(a) + 3(m – 5)

20

โจทย์ แยกตวั ประกอบ ตัวประกอบร่วม
5. (3m + n)2 – (3m + n)x ของแตล่ ะพจน์
6. mn + pm – ns – ps
= (m – 5)(a + 3)

ดังน้ัน m - 5)a + 3(m - 5) = (m – 5)(a + 3)

= (3m + n)(3m + n) – (3m + n)(x) (3m + n)

= (3m + n)[(3m + n) – x]

= (3m + n)(3m + n – x)

ดังนน้ั 3m + n)2 – 3(m + n)x = (3m + n)(3m + n – x)

= [(m)(n) + (m)(p)] – [(n)(s) + (p)(s)] (n + p)

= m(n + p) – s(n + p)

= (n + p)(m – s)

ดงั น้นั mn + pm – ns – ps = (n + p)(m – s)

21

บนั ทึกผลหลงั การสอน
ผลการจัดการเรยี นรู้
นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจงจานวน
รอ้ ยละ 80 ของนกั เรียนท้ังหมด
นกั เรียนสามารถเขียนแสดงขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบัติการแจกแจง
ได้ จานวนร้อยละ 80 ของนกั เรียนทั้งหมด

ปญั หาและอปุ สรรค

แนวทางการแกไ้ ขปญั หา

22

ความคิดเหน็ และข้อเสนอแนะของครพู เ่ี ลย้ี ง
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ความคดิ เห็นและข้อเสนอแนะของหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ว่าที่ ร.ต. ...............................................
(ดัสกร ชมุ ปญั ญา)

หวั หน้ากล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
……………/………………………/……………………..
ความคดิ เห็นและขอ้ เสนอแนะของรองผ้อู านวยการกลมุ่ บริหารวิชาการ

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงช่อื .........................................
(นายราเชนทร์ พุ่มแจ้)

รองผู้อานวยการกลมุ่ บรหิ ารงานวิชาการ
……………/…………………/………………

23

แผนการจัดการเรยี นรู้ 41

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 2

รหัสวชิ า ค22102 ภาคเรยี นที่ 2

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 5 เรอื่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง เวลาเรยี น 9 ชว่ั โมง

เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว (1) เวลา 1 ชั่วโมง

ผู้สอน นายสิทธชิ ัย พลต้อื โรงเรียนอดุ รพชิ ยั รกั ษ์พทิ ยา

สอนวันท.ี่ ..........เดอื น..........................พ.ศ..............

มาตรฐาน/ตัวช้ีวดั
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสัมพนั ธ์ ฟงั ก์ชัน ลำดบั และอนกุ รม และ

นำไปใช้
ตัวชี้วัด
ค 1.2 ม. 2/2 เข้าใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในการแก้ปญั หา

คณติ ศาสตร์

สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว คือ พหุนามที่เขยี นในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c เป็น

คา่ คงตัวท่ี a ≠ 0 และ x เปน็ ตัวแปร
ในรปู ax2 + bx + c เมื่อ a , b เป็นจำนวนเตม็ และ c = 0
ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดกี รสี องตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้สมบัติการ

แจกแจง
จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรยี นจบบทเรยี นน้ีแล้วนักเรียนสามารถ

1. ดา้ นความรู้ (K)

อธบิ ายการแยกตัวประกอบของพหนุ ามในรูป ax2 + bx + c เมอื่ c = 0 ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)

เขียนแสดงข้ันตอนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้

3. ดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ (A)

มองเห็นวา่ สามารถใช้คณติ ศาสตร์แก้ปญั หาในชวี ติ จรงิ ได้ (A1)

มคี วามมุมานะในการทำความเข้าใจปญั หาและแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (A2)

24

สาระการเรยี นรู้
การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดียว

กิจกรรมการเรียนรู้
ขัน้ นำเขา้ สบู่ ทเรียน
1. ครูกลา่ วทักทายนกั เรียนพรอ้ มทัง้ ตรวจสอบรายชือ่ การเขา้ เรยี นของนักเรียน
2. ครูทบทวนเก่ยี วกบั สมั ประสิทธิ์ ตัวแปรและดีกรีของพหุนาม โดยใช้โปรแกรม

นำเสนอ(Microsoft power point) เรือ่ ง “ทบทวนเกย่ี วกับสมั ประสทิ ธ์ิ ตัวแปรและดีกรีของพหุ
นาม” พรอ้ มสมุ่ ถามนักเรยี น

25

ขัน้ สอน
3. ครูให้นักเรยี นสังเกตตัวอย่างพหนุ ามบนโปรมแกรมนำเสนอ (power point) และตอบ

คำถามดงั นี้
- พหุนามท่ยี กตวั อยา่ งท้ังหมดเป็นพหนุ ามดกี รีอะไร (ดีกรี 2)
- พหุนามทย่ี กตัวอย่างทั้งหมดมีตัวแปรก่ตี วั (1 ตวั แปร หรือ ตัวแปรเดยี ว)
- ถ้าพหุนามดกี รสี องท่ีกำหนดให้มีตวั แปร x
โดยท่ี a เป็นสมั ประสิทธ์ิของตัวแปรทยี่ กกำลงั สอง และ a  0
b เป็นสมั ประสทิ ธิข์ องตัวแปรทยี่ กกำลงั หนง่ึ
c เป็นคา่ คงตัว
สามารถเขียนเป็นพหนุ ามได้อยา่ งไร (ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นคา่ คงตัวที่ a  0

และ x เป็นตวั แปร) ซ่ึงเรยี กวา่ พหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว
4. ครเู ปดิ โอกาสให้นกั เรยี นซักถามข้อสงสัยเกยี่ วกับการแยกตัวประกอบพหนุ ามดกี รี

สองโดยใช้สมบัติการแจกแจง
5. ครูแจกแบบฝึกทักษะที่ 5.3 ให้นักเรยี นศกึ ษาและทำเกีย่ วกบั การแยกตัวประกอบ

ของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0 โดยครูคอยให้
คำแนะนำตามสถานการณ์ในชนั้ เรียน

ข้ันสรุปและฝกึ ทักษะ
6. ครูให้นกั เรียนนักเรียนศกึ ษาและทำแบบฝึกทักษะที่ 5.3 โดยกำหนดเวลาให้นักเรยี น

15 นาที แลว้ สุ่มนักเรียนมาแสดงวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามบนกระดาน โดยมีครูคอยซกั ถาม
และให้คำแนะนำท่ีถกู ตอ้ ง

7. ครูส่มุ ถามคำตอบนกั เรียนหลังทำแบบฝึกทักษะท่ี 5.3 เสร็จพร้อมแนวคิดในการตอบ
โดยครูและนกั เรียนร่วมกันเป็นผ้เู ฉลยคำตอบท่ถี ูกตอ้ งในแต่ละข้อ

8. ครูใช้คำถามเพอ่ื นำส่กู ารสรุป ดังนี้
- พหุนามดีกรสี องตวั แปรเดยี วเขยี นอยูใ่ นรปู ใด (ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่าคงตวั ที่
a  0 และ x เปน็ ตวั แปร)
- สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b เปน็ จำนวน
เต็ม และ c = 0 โดยใชว้ ธิ ีใด (ใชก้ ารดึงตวั ประกอบร่วมทม่ี ากทส่ี ุดของพหนุ ามออก นน่ั คือ สมบตั ิ
การแจกแจง)

26

ข้นั วดั และประเมนิ ผล
9. ครูกำหนดโจทย์พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวบนกระดานให้นักเรียนออกมาเขียน

แสดงวธิ ที ำ

สือ่ และแหล่งการเรยี นรู้

สอ่ื การเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน พุทธศักราช 2560 จัดทำโดย สถาบันส่งเสริมการสอน
วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยกี ระทรวงศกึ ษาธิการ (สสวท).

2. แบบฝกึ ทักษะท่ี 5.3 แยกตัวประกอบพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว
แหลง่ การเรยี นรู้

1. หอ้ งสมดุ โรงเรยี นอุดรพิชยั รกั ษ์พิทยา
2. เวบ็ ไซต์ www.google.com/ แยกตวั ประกอบพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว

การวดั และประเมินผลการเรยี นรู้

สง่ิ ท่ตี ้องการวดั /ประเมิน เครื่องมอื ทใ่ี ช้ วธิ ีการ เกณฑ์การ
ประเมนิ
ดา้ นความรู้ แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.3 ตรวจแบบฝึกทกั ษะท่ี 5.3
แยกตวั ประกอบพหนุ าม แยกตัวประกอบพหุนาม ถกู ต้องร้อย
อธิบายการแยกตวั ประกอบ ดีกรีสองตวั แปรเดียว ดีกรีสองตัวแปรเดียว ละ 75 ขึ้นไป
ของพหุนามในรปู ax2 + bx + ตรวจแบบฝึกทกั ษะท่ี 5.3
c เมอ่ื c = 0 ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง แยกตัวประกอบพหนุ าม ถูกต้องรอ้ ย
ดกี รสี องตัวแปรเดียว ละ 75 ข้นึ ไป
ด้านทกั ษะ/กระบวนการ แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.3
สังเกตพฤติกรรมระหวา่ ง ผ่านเกณฑใ์ น
เขียนแสดงข้ันตอนการแยกตวั แยกตัวประกอบพหุนาม เรยี น ระดับดขี ึ้นไป

ประกอบของพหุนามได้ ดกี รสี องตัวแปรเดยี ว

ด้านคุณลกั ษณะ

มองเหน็ วา่ สามารถใช้

คณติ ศาสตรแ์ กป้ ัญหาในชวี ิต

จรงิ ได้ (A1) แบบประเมินพฤตกิ รรม

มีความมมุ านะในการทำ

ความเข้าใจปัญหาและแกป้ ัญหา

ทางคณิตศาสตร์ (A2)

27

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.3 แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว

คำช้ีแจง จงเตมิ คำตอบในช่องว่างใหถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์
1. ax2 + bx + c เม่อื a, b เปน็ จำนวนเต็ม และ c = 0
สามารถเขียนพหุนามดีกรสี องตวั แปรเดยี วอยู่ในรปู
2. การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b เปน็ จำนวนเตม็ และ c= 0

ช้อ พหนุ าม ตวั ประกอบรว่ ม แยกตัวประกอบของพหุนาม

2.1 x2 – 5x x x(x – 5)

2.2 –2y2 + y y

2.3 –5x2 – 10x –5x

2.4 3m2 – 6m

2.5 12y2 – 3y

2.6 15t2 – 20t 5t 5t(3t – 4)

2.7 –12n2 + 9n

2.8 35p2 – 14p

2.9 –22x2 – 33x

2.10 –27y2 + 18y

3. จากข้อ 2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในรปู ax2 + bx + c เมือ่ a, b เป็นจำนวนเตม็
และ c = 0 สามารถใช้สมบตั ิใดในการแยกตวั ประกอบ
ตอบ

28

เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 5.3 แยกตวั ประกอบพหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว

คำชีแ้ จง จงเติมคำตอบในชอ่ งวา่ งให้ถูกตอ้ งสมบูรณ์

1. ax2 + bx + c เมอ่ื a, b เป็นจำนวนเตม็ และ c = 0

สามารถเขยี นพหุนามดกี รสี องตัวแปรเดยี วอยูใ่ นรูป ax2 + bx

2. การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องในรปู ax2 + bx + c เมอื่ a, bเปน็ จำนวนเต็มและ c = 0

ช้อ พหุนาม ตวั ประกอบรว่ ม แยกตวั ประกอบของพหนุ าม

2.1 x2 – 5x x x(x – 5)

2.2 –2y2 + y y y(–2y + 1)

2.3 –5x2 – 10x –5x –5x(x +2)

2.4 3m2 – 6m 3m 3m(m – 2)

2.5 12y2 – 3y 3y 3y(4y – 1)

2.6 15t2 – 20t 5t 5t(3t – 4)

2.7 –12n2 + 9n 3n 3n(–4n + 3)

2.8 35p2 – 14p 7p 7p(5p – 2)

2.9 –22x2 – 33x –11x –11x(x – 3)

2.10 –27y2 + 18y 9y 9y(–3y + 2)

3. จากข้อ 2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องในรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a, b เปน็ จำนวนเตม็
และ c = 0 สามารถใช้สมบตั ิใดในการแยกตัวประกอบ
ตอบ ใชก้ ารดึงตัวร่วมทม่ี ากท่ีสุดของพหุนามออก นัน่ คอื สมบตั ิการแจกแจง

29

บันทึกผลหลงั การสอน
ผลการจัดการเรยี นรู้
นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax2 + bx + c เมื่อ c = 0 ได้
อย่างถกู ตอ้ ง จานวนร้อยละ 80 ของนักเรยี นท้ังหมด
นักเรียนสามารถเขียนแสดงขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหุนามได้ จานวนร้อยละ 80
ของนกั เรยี นทัง้ หมด

ปัญหาและอปุ สรรค

แนวทางการแก้ไขปัญหา

30

ความคิดเหน็ และข้อเสนอแนะของครพู เ่ี ลย้ี ง
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ความคดิ เห็นและข้อเสนอแนะของหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ว่าที่ ร.ต. ...............................................
(ดัสกร ชมุ ปญั ญา)

หวั หน้ากล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
……………/………………………/……………………..
ความคดิ เห็นและขอ้ เสนอแนะของรองผ้อู านวยการกลมุ่ บริหารวิชาการ

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงช่อื .........................................
(นายราเชนทร์ พุ่มแจ้)

รองผู้อานวยการกลมุ่ บรหิ ารงานวิชาการ
……………/…………………/………………

31

แผนการจัดการเรยี นรู้ 42

กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 2

รหัสวชิ า ค22102 ภาคเรยี นท่ี 2

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 5 เรอื่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง เวลาเรยี น 9 ช่วั โมง

เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว (2) เวลา 1 ชวั่ โมง

ผู้สอน นายสิทธชิ ัย พลต้อื โรงเรยี นอุดรพชิ ัยรักษพ์ ิทยา

สอนวันท.ี่ ..........เดอื น..........................พ.ศ..............

มาตรฐาน/ตัวช้ีวดั

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสัมพนั ธ์ ฟงั ก์ชัน ลำดับและอนุกรม และ

นำไปใช้

ตัวชี้วัด

ค 1.2 ม. 2/2 เข้าใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในการแก้ปัญหา

คณติ ศาสตร์

สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว คือ พหุนามที่เขยี นในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c เป็น

คา่ คงตัวท่ี a ≠ 0 และ x เปน็ ตัวแปร
ในรปู ax2 + bx + c เมื่อ a , b เป็นจำนวนเตม็ และ c = 0
ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดกี รสี องตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้สมบัติการ

แจกแจง
จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรยี นจบบทเรยี นน้ีแล้วนักเรียนสามารถ

1. ดา้ นความรู้ (K)

อธบิ ายการแยกตัวประกอบของพหนุ ามในรูป ax2 + bx + c เมื่อ c = 0 ได้อยา่ งถกู ต้อง
2. ด้านทักษะ/กระบวนการ (P)

เขียนแสดงข้ันตอนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้

3. ดา้ นคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ (A)

มองเห็นวา่ สามารถใช้คณติ ศาสตร์แก้ปญั หาในชวี ติ จรงิ ได้ (A1)

มคี วามมุมานะในการทำความเข้าใจปญั หาและแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (A2)

32

สาระการเรยี นรู้
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว

กิจกรรมการเรยี นรู้
ข้ันนำเขา้ สู่บทเรียน
1. ครูกลา่ วทกั ทายนักเรียนพร้อมทงั้ ตรวจสอบรายชือ่ การเข้าเรยี นของนักเรียน
2. ทบทวนรูปทั่วไปของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว โดยครูส่มุ ใหน้ ักเรยี นออกมาเขียน

รูปทั่วไปของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี วบนกระดาน (ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นคา่ คงตัว โดยท่ี
a  0 และ x เป็นตวั แปร) ซง่ึ ครูเปน็ ผู้ตรวจสอบพรอ้ มอธบิ ายและแก้ไขให้ถูกตอ้ ง

3. ทบทวนการหาผลคูณของพหุนาม โดยครูเขยี นโจทย์บนกระดานแลว้ สมุ่ นักเรยี น
ออกมาแสดงวธิ ีหาผลลัพธ์ แล้วครูและนักเรยี นร่วมกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

(x + 5)(x + 2) = (x + 5)x + (x + 5)2
= x2 + 5x + 2x + (5)(2)
= x2 + (5 + 2)x + (5)(2)
= x2 + 7x + 10

จะได้ x2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)
ขัน้ สอน

4. ครอู ธบิ ายว่าจากขา้ งตน้ จะเห็นว่า
(x + 5)(x + 2) = x2 + 7x + 10 ดงั นน้ั แยกตัวประกอบของ x2 + 7x + 10 ได้ดังน้ี

x2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)
5. ครใู ห้นักเรียนสังเกตการหาผลคูณของ (x + 5)(x + 2) แบบยอ้ นกลบั จะได้ขัน้ ตอน
การแยกตวั ประกอบพหนุ ามของ x2 + 7x + 10 พร้อมครูแสดงข้นั ตอนยอ้ นกลบั ให้นักเรียนดูบน
กระดาน
x2 + 7x + 10 = x2 + (5 + 2)x + (5)(2)

= x2 + (5x + 2x) + (5)(2)
= [x2 + 5x] + [2x + (5)(2)]
= (x + 5)x + (x + 5)2
= (x + 5)(x + 2)
6. ถามชวนคดิ ใหน้ กั เรียนสงั เกตและตอบคำถาม ดงั น้ี
- พหนุ ามท่ีกำหนด a, b, c มีคา่ เท่าไร (a = 1, b = 7, c = 10)
- จำนวนสองจำนวนใดท่คี ูณกนั ได้เทา่ กับ c และบวกกันได้เทา่ กับ b (5 กับ 2)

33

7. ครเู ปดิ โอกาสใหน้ กั เรียนซักถามขอ้ สงสัยเกย่ี วกับการแยกตัวประกอบพหนุ ามดกี รี
สองโดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง

ข้ันสรปุ และฝึกทกั ษะ
8. ครใู ห้นกั เรยี นนกั เรียนศกึ ษาและทำแบบฝึกทกั ษะที่ 5.4 โดยกำหนดเวลาใหน้ ักเรียน

15 นาที แลว้ สุ่มนักเรียนมาแสดงวิธีการแยกตัวประกอบของพหนุ ามบนกระดาน
9. ครูสุ่มถามคำตอบนักเรียนหลงั ทำแบบฝึกทักษะที่ 5.4 เสร็จพรอ้ มแนวคดิ ในการตอบ

โดยครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั เปน็ ผเู้ ฉลยคำตอบทถี่ ูกต้องในแตล่ ะข้อ
10. สรปุ ความรู้โดยครูถามนกั เรียนวา่

- สามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามในรปู ax2 + bx + c เมื่อ a = 1, b และ c เปน็
จำนวนเตม็ และ c  0 ได้อยา่ งไร [ax2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมอ่ื m และ n เป็น
จำนวนเตม็ ซึง่ mn = c และ m + n = b]
- ถ้าหาจำนวนเตม็ m และ n ทท่ี ำให้ mn = c และ m + n = b ไมไ่ ด้ จะสามารถแยกตัว
ประกอบของพหนุ ามได้หรอื ไม่ (ถา้ ไมม่ ีจำนวนเตม็ m และ n ท่ที ำให้ mn = c และ m + n = b ได้
แลว้ จะไม่สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามได้)

ขน้ั วดั และประเมินผล
11. ครูวัดผลจากการทำแบบฝึกทกั ษะของนักเรยี นแตล่ ะคน

ส่ือและแหล่งการเรยี นรู้
สอ่ื การเรียนรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2560 จัดทำโดย สถาบันส่งเสริมการสอน
วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยกี ระทรวงศึกษาธกิ าร (สสวท).

2. แบบฝกึ ทักษะท่ี 5.4 แยกตวั ประกอบพหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดียว (2)
แหล่งการเรียนรู้

1. ห้องสมดุ โรงเรยี นอดุ รพิชัยรักษ์พทิ ยา
2. ห้องปฏิบัติการคณติ ศาสตร์
3. เวบ็ ไซต์ www.google.com/ แยกตวั ประกอบพหุนามดีกรสี องตวั แปรเดียว

34

การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

ส่งิ ทตี่ อ้ งการวดั /ประเมิน เครอื่ งมอื ทใี่ ช้ วธิ ีการ เกณฑก์ าร
ประเมิน
ด้านความรู้ แบบฝึกทักษะท่ี 5.4 ตรวจแบบฝึกทักษะที่ 5.4 ถกู ตอ้ งร้อย
แยกตัวประกอบพหนุ าม ละ 75 ข้นึ ไป
อธิบายการแยกตัวประกอบ แยกตัวประกอบพหุนาม ดกี รีสองตัวแปรเดียว (2)
ถูกต้องร้อย
ของพหนุ ามในรูป ax2 + bx + ดีกรสี องตวั แปรเดียว ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะที่ 5.4 ละ 75 ข้ึนไป
แยกตวั ประกอบพหุนาม
c เมอื่ c = 0 ไดอ้ ย่างถกู ต้อง (2) ดกี รีสองตวั แปรเดียว (2) ผ่านเกณฑ์ใน
ระดับดีขึน้ ไป
ด้านทกั ษะ/กระบวนการ แบบฝึกทกั ษะที่ 5.4 สงั เกตพฤติกรรมระหว่าง
เรียน
เขยี นแสดงขน้ั ตอนการแยกตัว แยกตวั ประกอบพหุนาม

ประกอบของพหุนามได้ ดกี รีสองตวั แปรเดียว

(2)

ดา้ นคณุ ลักษณะ

มองเห็นว่าสามารถใช้

คณติ ศาสตรแ์ กป้ ัญหาในชีวติ

จรงิ ได้ (A1) แบบประเมนิ พฤติกรรม

มีความมมุ านะในการทำ

ความเข้าใจปัญหาและแก้ปญั หา

ทางคณติ ศาสตร์ (A2)

35

แบบฝกึ ทักษะท่ี 5.4 แยกตัวประกอบพหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียว(2)

1. จงเตมิ คำตอบในชอ่ งว่างให้ถูกตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้ พหุนาม a b c จำนวนสองจำนวน จำนวนสองจำนวน แยกตวั ประกอบของ
ทค่ี ณู กนั ได้เทา่ กบั ทีบ่ วกกนั ไดเ้ ทา่ กบั พหุนาม

c b

1.1 x2 + 9x + 14 1 9 14 (2)(7) = 14 2+7=9 (x + 2)(x + 7)

นน่ั คือ x2 + 9x + 14 = (x + 2)(x + 7)

1.2 y2 + 15y + 14

น่ันคือ

1.3 x2 – 9x + 20 1 –9 20 (–5)(–4) = 20 (–5) + (–4) = –9 [x +(–5)][x + (–4)]

= (x – 5)(x – 4)

นั่นคือ

1.4 x2 + 7x – 18

น่ันคือ m+n=b 1.5
1.5 x2 – 4x – 21 เม่อื m และ n 1.6
เปน็ จำนวนเตม็ 1.7
นนั่ คือ
1.6 x2 – 16

นั่นคอื
1.7 ax2 + bx + c

เม่ือ a = 1, b
และ c เปน็
จำนวนเต็ม
และ c  0
นน่ั คอื

36

เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 5.4 แยกตัวประกอบพหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดียว(2)

1. จงเตมิ คำตอบในชอ่ งว่างใหถ้ กู ต้องสมบรู ณ์

ขอ้ พหนุ าม a b c จำนวนสองจำนวน จำนวนสองจำนวน แยกตัวประกอบของ
ท่ีคูณกนั ไดเ้ ท่ากบั ทีบ่ วกกันได้เท่ากับ พหุนาม

c b

1.1 x2 + 9x + 14 1 9 14 (2)(7) = 14 2+7=9 (x + 2)(x + 7)

นน่ั คอื x2 + 9x + 14 = (x + 2)(x + 7)

1.2 y2 + 15y + 14 1 15 14 (1)(14) = 14 1 + 14 = 15 (y + 1)(y + 14)

นน่ั คือ y2 + 15y + 14 = (y + 1)(y + 14)

1.3 x2 – 9x + 20 1 –9 20 (–5)( –4) = 20 (–5) + (–4) = -9 [x +(–5)][x + (–4)]

= (x – 5)(x – 4)

นน่ั คือ x2 – 9x + 20 = (x – 5)(x – 4)

1.4 x2 + 7x – 18 1 7 –18 (–2)(9) = –18 (–2) + 9 = 7 [x +(–2)][x + 9]

= (x – 2)(x + 9)

นั่นคอื x2 + 7x – 18 = (x – 2)(x + 9)

1.5 x2 – 4x – 21 1 –4 –21 (–7)(3) (–7) + 3 = 4 [x + (–7)] (x + 3)

= (x – 7)(x + 3)

นน่ั คอื x2 – 4x – 21 = (x – 7) (x + 3) (–4) + 4 = 0 [x + (–4)](x + 4)
1.6 x2 – 16 1 0 –16 (–4)(4) = –16

= (x – 4)(x + 4)

น่นั คือ x2 – 16 = (x – 4)(x + 4)

1.7 ax2 + bx + c a b c mn = c m + n = b (x + m)(x + n)

เมือ่ a = 1, b เมอื่ m และ n

และ c เป็น เป็นจำนวนเตม็

จำนวนเตม็

และ c  0

นนั่ คือ ax2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็ม

37

บันทึกผลหลงั การสอน
ผลการจัดการเรยี นรู้
นักเรียนสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax2 + bx + c เมื่อ c = 0 ได้
อย่างถกู ตอ้ ง จานวนร้อยละ 80 ของนักเรยี นท้ังหมด
นักเรียนสามารถเขียนแสดงขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหุนามได้ จานวนร้อยละ 80
ของนกั เรยี นทัง้ หมด

ปัญหาและอปุ สรรค

แนวทางการแก้ไขปัญหา

38

ความคิดเหน็ และข้อเสนอแนะของครพู เ่ี ลย้ี ง
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ความคดิ เห็นและข้อเสนอแนะของหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ว่าที่ ร.ต. ...............................................
(ดัสกร ชมุ ปญั ญา)

หวั หน้ากล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
……………/………………………/……………………..
ความคดิ เห็นและขอ้ เสนอแนะของรองผ้อู านวยการกลมุ่ บริหารวิชาการ

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงช่อื .........................................
(นายราเชนทร์ พุ่มแจ้)

รองผู้อานวยการกลมุ่ บรหิ ารงานวิชาการ
……………/…………………/………………

39

แผนการจัดการเรยี นรู้ 43

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2

รหัสวิชา ค22102 ภาคเรยี นที่ 2

หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 5 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง เวลาเรยี น 9 ชัว่ โมง

เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว (3) เวลา 1 ช่วั โมง

ผู้สอน นายสิทธิชัย พลตอ้ื โรงเรียนอดุ รพิชัยรกั ษ์พิทยา

สอนวนั ท.่ี ..........เดอื น..........................พ.ศ..............

มาตรฐาน/ตวั ชี้วัด

มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสัมพนั ธ์ ฟงั กช์ นั ลำดบั และอนกุ รม และ

นำไปใช้

ตวั ช้ีวัด

ค 1.2 ม. 2/2 เข้าใจและใช้การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์

สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด
พหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว คือ พหุนามที่เขยี นในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c เป็น

คา่ คงตวั ท่ี a ≠ 0 และ x เปน็ ตัวแปร
ในรปู ax2 + bx + c เมือ่ a , b เป็นจำนวนเตม็ และ c = 0
ในกรณีที่ c = 0 พหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้สมบัติการ

แจกแจง

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เม่ือเรยี นจบบทเรียนนแ้ี ลว้ นกั เรยี นสามารถ
1. ดา้ นความรู้ (K)
อธบิ ายการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็น

จำนวนเตม็ และ c ≠ 0 ได้อย่างถกู ต้อง
2. ด้านทกั ษะ/กระบวนการ (P)
เขยี นแสดงขัน้ ตอนการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b

และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0 ใช้ในการแกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตรไ์ ด้
3. ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
มองเห็นว่าสามารถใช้คณิตศาสตร์แก้ปญั หาในชีวติ จรงิ ได้ (A1)
มีความมุมานะในการทำความเข้าใจปัญหาและแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์ (A2)

40

สาระการเรยี นรู้
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดียว

กจิ กรรมการเรยี นรู้

ข้ันนำเข้าสบู่ ทเรียน

1. ครกู ลา่ วทกั ทายนกั เรยี นพร้อมทง้ั ตรวจสอบรายชอื่ การเขา้ เรียนของนักเรียน

2. ทบทวนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรูป ax2 + bx + c เมอื่ a = 1, b และ c

เป็น จำนวนเตม็ และ c  0 โดยครเู ขยี นพหนุ ามบนกระดานแล้วส่มุ นักเรียนมาเขยี นตอบการแยก

ตวั ประกอบของพหนุ าม ซ่ึงครแู ละนักเรยี นเปน็ ผู้ตรวจสอบและแก้ไขให้ถกู ต้อง

1. x2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9)

2. x2 – 20x – 21 = (x – 21)(x + 1)

3. m2 – 22m + 121 = (m – 11)(x – 11)

3. ครถู ามนกั เรยี นวา่ ใช้หลักการใดในการแยกตวั ประกอบ

[ax2 + bx + c = (x + m)(x + n) เม่ือ m และ n เป็นจำนวนเตม็ ซง่ึ mn = c และ m + n = b]

ข้ันสอน
4. ครเู ขียนพหนุ าม 6x2 – 7x – 3 บนกระดานและถามนกั เรียนว่า
- พหนุ ามท่กี ำหนดให้มีก่พี จน์ (3 พจน์)
- พหุนามท่กี ำหนดมพี จนใ์ ดเป็นพจนห์ นา้ (6x2)
- พหนุ ามท่ีกำหนดมพี จน์ใดเปน็ พจนก์ ลาง (–7x)
- พหุนามทก่ี ำหนดมพี จนใ์ ดเป็นพจนห์ ลัง (–3)
- ดงั น้นั ax2 + bx + c พจน์หน้า พจน์กลางและพจนห์ ลังคอื อะไร (พจนห์ น้า คอื

ax2, พจนก์ ลาง คือ bx, พจนห์ ลงั คือ c)
5. ครเู ขียน (2x – 3)(3x + 1) บนกระดานและสมุ่ นกั เรยี นมาแสดงวิธหี าผลคูณบน

กระดาน โดยครูและนกั เรียนร่วมกนั ตรวจสอบและแกไ้ ขให้ถูกต้อง
(2x – 3)(3x + 1) = (2x – 3)(3x) + (2x – 3)(1)
= (6x2 – 9x) + (2x – 3)(1)
= 6x2 + (–9x + 2x) – 3
= 6x2 – 7x – 3
6. ครเู ขยี นแผนภาพการหาพจนห์ นา้ พจนก์ ลาง และพจนห์ ลังของพหนุ ามใหน้ ักเรียน

สังเกต ดังน้ี
2x

+ (–9x) + 2x = –7x

41

–9x

(2x – 3)(3x + 1)
–3

6x2
และครูอธิบายวา่ จากแผนภาพ
- พจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บแรกคณู กับพจน์หน้าของพหนุ ามในวงเล็บหลัง ได้พจนห์ น้า
ของพหุนามท่เี ป็นผลคูณ น่นั คือ (2x)(3x) = 6x2
- พจนห์ ลังของพหนุ ามในวงเลบ็ แรกคูณกบั พจน์หลังของพหนุ ามในวงเลบ็ หลงั ไดพ้ จน์หลัง
ของพหนุ ามทีเ่ ป็นผลคูณ นัน่ คอื (–3)(1) = –3
- ผลคณู ระหวา่ งพจนห์ น้าของพหนุ ามในวงเลบ็ แรกกับพจนห์ ลงั ของพหุนามในวงเลบ็ หลงั
บวกกบั ผลคูณของพจน์หลงั ของพหุนามในวงเลบ็ แรกกับพจน์หน้าของพหนุ ามในวงเลบ็ หลัง ไดพ้ จน์
กลางของพหนุ ามท่เี ปน็ ผลคูณ นั่นคือ (2x)(1) + (–3)(3x) = 2x + (–9x) = –7x

7. ครเู ปิดโอกาสใหน้ ักเรยี นซกั ถามข้อสงสยั เกย่ี วกับการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรี
สองโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง

ขนั้ สรปุ และฝึกทักษะ
8. ครแู จกแบบฝกึ ทกั ษะที่ 5.5 ให้นกั เรยี นศึกษาและทำ เพือ่ หาวธิ กี ารแยกตัวประกอบ

ของพหุนามในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ จำนวนเต็ม และ a  0, a  1, c  0 โดยครู
เปน็ ผแู้ นะแนวทางตามสถานการณ์ในช้ันเรียน

9. ครูและนักเรยี นรว่ มกนั เป็นผเู้ ฉลยคำตอบทถี่ กู ตอ้ งในแต่ละขอ้ และให้นักเรยี นทำ
แบบประเมินตนเอง เรือ่ ง ความซ่อื สัตยส์ จุ ริต

10. ครูใหน้ ักเรยี นสังเกตพหนุ ามจากใบงานท่ี 5 และอธบิ ายนักเรียนดังน้ี
- จากข้อ 1. 5x2 + 14x – 3 จะได้ c = –3 ดังนั้นสองจำนวนที่คณู กนั ไดจ้ ำนวนลบ คอื
จำนวนเตม็ ลบกบั จำนวนเตม็ บวก จงึ ไดพ้ จน์หลังของสองวงเล็บเปน็ จำนวนเตม็ ลบกับจำนวนเต็มบวก
- จากขอ้ 2. 2x2 + 11x + 5 จะได้ c เทา่ กบั 5 ดังนน้ั สองจำนวนทคี่ ณู กันไดจ้ ำนวนเตม็ บวก
คือจำนวนเต็มลบกับจำนวนเตม็ ลบ หรือจำนวนเต็มบวกกบั จำนวนเตม็ บวก เมื่อพจิ ารณา b = 11
เป็นจำนวนเตม็ บวก ดังนั้นสองพจน์หลังของสองวงเล็บควรเปน็ จำนวนเต็มบวกกบั จำนวนเต็มบวก
เนื่องจากผลบวกของจำนวนเต็มบวกเท่ากับจำนวนเต็มบวก
- จากข้อ 3. 2x2 – 16x + 5 จะได้ c เทา่ กับ 5 ดังน้ันสองจำนวนท่ีคณู กนั ไดจ้ ำนวนเตม็ บวก
คือจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ หรือจำนวนเต็มบวกกบั จำนวนเต็มบวก เมื่อพิจารณา b = –16

42

เป็นจำนวนเต็มลบ ดังน้ันสองพจนห์ ลังของสองวงเล็บควรเปน็ จำนวนเตม็ ลบกับจำนวนเต็มลบ
เน่ืองจากผลบวกของจำนวนเต็มลบเท่ากับจำนวนเตม็ ลบ

11. ครูใช้คำถามกบั นักเรยี นเพ่อื เป็นการสรปุ เนื้อหาที่เรียนในชวั่ โมงน้ีว่านกั เรียน
สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่อี ยใู่ นรปู ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, b และ c เป็นจำนวนเต็ม
และ c  0 ไดอ้ ย่างไร

(1. หาพหนุ ามดกี รหี นง่ึ สองพหนุ ามท่คี ูณกนั แลว้ ได้พจนห์ น้าแลว้ เขยี นสองพจน์หน้าของพหุ
นามในวงเลบ็ สองวงเลบ็

2. หาจำนวนสองจำนวนทค่ี ณู กนั แลว้ ไดพ้ จนห์ ลงั แลว้ เขยี นจำนวนทง้ั สองนเี้ ป็นพจนห์ ลงั ของ
พหุนามในแตล่ ะวงเล็บให้ครบทกุ กรณี

3. นำผลทไ่ี ดม้ าหาพจน์กลางทีละกรณจี นกว่าจะไดเ้ ทา่ กับพจน์กลางแล้วกรณนี นั้ จะเป็นตัว
ประกอบของพหนุ าม)

ขนั้ วัดและประเมินผล
11. ครูวดั ผลจากการทำแบบฝึกทกั ษะของนกั เรยี นแต่ละคน

ส่อื และแหลง่ การเรียนรู้
สือ่ การเรยี นรู้
1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.2 เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน พุทธศักราช 2560 จัดทำโดย สถาบันส่งเสริมการสอน
วิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยกี ระทรวงศึกษาธิการ (สสวท).

2. แบบฝึกทกั ษะที่ 5.5 แยกตัวประกอบพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว (3)
แหลง่ การเรียนรู้

1. ห้องสมุดโรงเรียนอดุ รพชิ ยั รักษพ์ ทิ ยา
2. หอ้ งปฏบิ ัตกิ ารคณิตศาสตร์
3. เว็บไซต์ www.google.com/ แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว

43

การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

สง่ิ ท่ีต้องการวัด/ประเมิน เครื่องมอื ท่ใี ช้ วิธีการ เกณฑ์การ
ประเมนิ
ดา้ นความรู้ ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.5 ถกู ตอ้ งร้อย
แยกตวั ประกอบพหุนาม ละ 75 ขึน้ ไป
อธบิ ายการแยกตวั ประกอบ แบบฝกึ ทักษะท่ี 5.5 ดกี รสี องตัวแปรเดยี ว (3)
ถูกตอ้ งร้อย
ของพหนุ ามในรปู ax2 + bx + แยกตวั ประกอบพหนุ าม ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะที่ 5.5 ละ 75 ขึ้นไป
แยกตวั ประกอบพหุนาม
c เม่ือ a = 1, b และ c เป็น ดีกรสี องตวั แปรเดียว ดกี รีสองตัวแปรเดียว (3) ผา่ นเกณฑใ์ น
ระดบั ดขี นึ้ ไป
จำนวนเตม็ และ c ≠ 0 ได้อย่าง (3) สังเกตพฤติกรรมระหว่าง
เรียน
ถกู ต้อง

ดา้ นทักษะ/กระบวนการ

เขียนแสดงขน้ั ตอนการ แบบฝกึ ทกั ษะที่ 5.5
แยกตวั ประกอบของพหนุ ามใน แยกตัวประกอบพหุนาม
รปู ax2 + bx + c เม่ือ a = 1, ดีกรสี องตวั แปรเดยี ว
b และ c เป็นจำนวนเตม็
และ c ≠ 0 ใช้ในการแกป้ ัญหา (3)

ทางคณติ ศาสตรไ์ ด้

ด้านคุณลักษณะ

มองเห็นวา่ สามารถใช้

คณติ ศาสตรแ์ ก้ปัญหาในชวี ิต

จริงได้ (A1) แบบประเมนิ พฤติกรรม

มีความมุมานะในการทำ

ความเข้าใจปญั หาและแก้ปัญหา

ทางคณติ ศาสตร์ (A2)

44

แบบฝึกทกั ษะที่ 5.5 แยกตวั ประกอบพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว(3)

คำช้แี จง จงเติมข้อความในชอ่ งวา่ งให้ถกู ตอ้ ง

1. การแยกตัวประกอบของพหนุ าม 5x2 + 14x – 3

1) พหนุ ามดีกรหี นึ่งสองพหนุ ามที่คณู กนั แลว้ ได้พจน์หน้า คอื

5x กับ

เขียนสองพจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บสองวงเลบ็ จะได้

( 5x )( )

2) จำนวนสองจำนวนทีค่ ณู กันแล้วได้พจนห์ ลัง คือ

–3 กบั 1

หรือ กบั

แล้วเขยี นจำนวนทัง้ สองน้เี ปน็ พจนห์ ลังของพหนุ ามในแต่ละวงเลบ็ ท่ไี ดใ้ นข้อ 1 ทุกกรณี

1. (5x – 3)( x + 1) 3. (5x – 1)( x + 3)

2. ( )( ) 4. ( )( )

3) นำผลทไ่ี ด้จากขอ้ 2 มาหาพจน์กลางทีละกรณี จนกว่าจะเทา่ กับพจน์กลางของ 5x2 + 14x – 3

–3x

3.1) (5x – 3)( x + 1) ไดพ้ จนก์ ลางเป็น (–3x) + 5x = 2x

5x

3.2) ( )( ) ได้พจน์กลางเป็น

3.3) ( )( ) ได้พจน์กลางเป็น

3.4) ( )( ) ได้พจน์กลางเปน็

ดงั นั้น การแยกตัวประกอบของพหุนาม 5x2 + 14x – 3 =

45

2. การแยกตวั ประกอบของพหุนาม 2x2 + 11x + 5

1) พหุนามดกี รีหนึง่ สองพหนุ ามท่คี ณู กันแล้วไดพ้ จนห์ น้า คือ

2x กบั

เขียนสองพจนห์ นา้ ของพหนุ ามในวงเลบ็ สองวงเลบ็ จะได้

( 2x )( )

2) จำนวนสองจำนวนท่ีคูณกนั แล้วได้พจน์หลัง คือ

–5 กบั –1

หรอื กบั

แลว้ เขยี นจำนวนทั้งสองนเ้ี ป็นพจนห์ ลังของพหนุ ามในแตล่ ะวงเล็บทไ่ี ดใ้ นข้อ 1 ทุกกรณี

1. (2x – 5)( x – 1) 3. (2x – 1)( x – 5)

2. ( )( ) 4. ( )( )

3) นำผลทไ่ี ด้จากข้อ 2 มาหาพจนก์ ลางทีละกรณี จนกว่าจะเทา่ กับพจนก์ ลางของ 2x2 + 11x + 5

–5x

3.1) (2x – 5)( x – 1) ไดพ้ จนก์ ลางเป็น (–5x) + (–2x) = –7x

–2x

3.2) ( )( ) ได้พจน์กลางเป็น

3.3) ( )( ) ไดพ้ จน์กลางเปน็

3.4) ( )( ) ได้พจน์กลางเป็น

ดงั นนั้ การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2x2 + 11x + 5 =
3. การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 2x2 – 16x + 5

1) พหนุ ามดีกรหี นง่ึ สองพหุนามทคี่ ูณกนั แลว้ ไดพ้ จน์หนา้ คอื
3x กบั

เขยี นสองพจนห์ น้าของพหุนามในวงเลบ็ สองวงเลบ็ จะได้

46

( 3x )( )

2) จำนวนสองจำนวนทคี่ ูณกนั แล้วไดพ้ จนห์ ลงั คอื

–5 กับ –1

หรอื กับ

แลว้ เขยี นจำนวนทั้งสองนเี้ ปน็ พจนห์ ลงั ของพหนุ ามในแต่ละวงเลบ็ ท่ไี ดใ้ นขอ้ 1 ทกุ กรณี

1. (3x – 5)( x – 1) 3. (3x – 1)( x – 5)
)
2. ( )( ) 4. ( )(

3. นำผลท่ีได้จากข้อ 2 มาหาพจนก์ ลางทีละกรณี จนกวา่ จะเท่ากบั พจน์กลางของ 2x2 - 16x + 5
–5x

3.1) (3x – 5)( x – 1) ไดพ้ จน์กลางเป็น (–5x) + (–3x) = –8x
–3x

3.2) ( )( ) ไดพ้ จน์กลางเปน็

3.3) ( )( ) ไดพ้ จนก์ ลางเปน็

3.4) ( )( ) ได้พจน์กลางเป็น

ดังนน้ั การแยกตัวประกอบของพหนุ าม 2x2 – 16x + 5 =
4. จงอธิบายข้ันตอนการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่ีอย่ใู นรูป ax2 + bx + c เมอื่ a, b, c เป็น
จำนวนเตม็ และ a  0, a  1, c  0

ตอบ