integrales

- Capitulo 5
Integrales

xzXk- 1 Xk Xn _\ Xn = b
X~I;
x '------v---'

III

En este capitulo En los dos ultimos capltulos analizamos las definiciones, propiedades y apli-
cac ion es de la derivada. Ahora pasaremos del calculo diferencial al calculo integral. Leibniz
denom in6 calculus summatorius a esta segunda de las dos divisiones mas importantes del
cal cul o. En 1696, persuadido par el matematico suizo Johann Bernoulli, Leibniz cambi6 el nom-
bre a calculus integralis. Como sugieren las palabras latinas originales, el concepto de suma
desem pena un papel importante en 81 desarrollo completo de la integral.

En el capitulo 2 vimos que el problema de la tangente conduce de manera natural a la
deriva da de una funci6n. En el problema de area, el problema motivacional del calculo

inte gral, deseamos encontrar el area acotada por la gratica de una funci6n y el eje x. Este

pro bl ema lIeva al concepto de integral definida.

5. 1 La integral indefinida
5.2 Integracion par sustitucion u
5.3 EI problema de area
5.4 La integral definida
5. 5 Teorema fundamental del calculo

Revision del capitulo 5

267

268 CAPITULO 5 Integ rales

5.1 La integral indefinida

I Introduccion En los capftulos 3 y 4 solo abordamos e l problema basico:

• Dada una funcion.f: encontrar su derivadaf' .

En este capItulo y en los subsecuentes veremos cuan importante es el proble ma de:

• Dada una funcionf, encontrar una funcion F cuya derivada sea!

En otras palabras, para una funcion dadaf, ahora pensamos enfco mo una derivada. Desearnos

encontrar una funcion F cuya derivada seaf; es decir, F'(x) = f(x) para toda x en algun interva_

10. Planteado en terminos generales, es necesario diferenciar en reversa.
Empezamos con una definicion .

Definicion 5.1.1 Antiderivada

Se dice que un funcion F es una antiderivada de una funcion f sobre algun intervalo I si

F '(x) =f(x) para toda x en 1.

Ij):@4(.1' Una antiderivada •

Una antiderivada def(x) = 2x es F(x) = x 2, puesto que F'(x) = 2x.

Una funcion siempre tiene mas de una antiderivada. As!, en el ejemplo anterior, F\(x) =

x2 - I Y F 2(x) = x2 + 10 tambien son antiderivadas de f(x) = 2x, puesto que Fi(x ) =

F 2(x) = 2x.

A continuaci6n del11ostraremos que cualquier antiderivada de f debe ser de la forma
G(x) = F(x) + C; es decir, dos antiderivadas de La misma funci6n pueden diferir a 10 mas ell
una constante. Por tanto, F(x) + C es La antiderivada mas generaL def(x).

Teorema 5.1.1 Las antiderivadas difieren 120r una constante

Si G '(x) = F'(x) para toda x en algun intervalo [a, b], entonces
G(x) = F(x) + C

para toda x en el intervalo.

DEMOSTRACION Suponga que se define g(x) = G(x) - F(x). Entonces, puesto que G'(x) =

F'(x) , se concluye que g'(x) = G'(x) - F'(x) = 0 para toda x en [a , b]. Si x \ YX2 son dos nume-
ros cualesquiera que satisfacen a ::; x\ < X2 ::; b, por el teorema del valor medio (teorema 4.4.2)

se concluye que en el intervalo abierto (x\, X2) existe un nUl11ero k para el cLlal

o

Pero g'(x) = 0 para toda x en [a, b]; en particular, g'(k) = O. Por tanto, g(X2) - g(x\) = 0 0

g(X2) = g(x\). Luego, por hipotesis, x\ Y X2 son dos nUl11eros arbitrarios, pero diferentes, en el

intervalo. Puesto que los valores funcionales g(x\) y g(X2) son iguales, debe concluirse que la

funcion g(x) es una con stante C. Por tanto, g(x) = C il11plica G(x) - F(x) = C 0 G(x) ==

F(x) + C. •

5.1 La integral indefini da 269

La nOlac ion F(x) + C representa una f anlilia de f unciones; cada miembro tiene una deriva-

, i"ual a/(.I") , Volviendo al ejemplo I, la antiderivada mas general de f(x) = 2x es la familia

~~.r)c =o r" + C. Como se ;~ en la F~GURA 5.1.1, la grafica de la antiderivada de f(x ) = 2x es una

tra~'l,'IL'i6n vertical de la graflca de x .

1!1@IQon Antiderivadas mas generales

a) Una antiderivada de f(x ) = 2x + 5 es F(x) = x2 + Sx puesto que F'(x) = 2x + S. La

antiderivada mas general def(x) = 2x + 5 es F(x) = x 2 + Sx + C.

b ) Una antiderivada def(x) = sec2 x es F(x) = tan x puesto que F'(X) = sec2 x. La antide-

ri vada mas general de f(x) = sec2 x es F (x) = tan x + C. •

FIGU RA 5.1 .1 Algunos miembros
de la familia de antiderivadas de
f(x) = 2x

I Notaci 6n de la integral indefinida Por conveniencia, se introducira la notacion para una anti-
deri vada de una funcion , Si F'(X) = f(x) , la antiderivada mas general de f se representa por

ffCX) dx = F(x) + c.

JEI sfm bolo fue introducido por Leibniz y se denomina signo integral. La notacion Jf(x) dx

se denomina integral indefinida def(x) respecto a x. La funcionf(x) se denomina integrando.

EI proceso de encontrar una antiderivada se denomina antidiferenciacion 0 integracion. El
! ()numero C se denomina constante de integracion. Justo como
denota la operacion de dife-

renciacion de ( ) con respecto a x, el simbolismo J( ) dx denota la operacion de integracion de

( ) COI1 respecto a x.

La diferenciacion y la integracion son fundamentalmente operaciones inversas. Si Jf(x) dx =

F(x) + C, entonces F es la antiderivada de f; es decir, F'(x) = f(x) y asi

f F'(x) dx = F(x) + C. (1)

Adem as , ddx ff(x) dx = ddx (F(x) + C) = F'(x) = f(x) (2)

En palabras, (1) Y (2) son, respectivamente:

• Una antiderivada de Ja derivada de una funcion es esa funcion mas una constante.
• La derivada de una antiderivada de una funci on es esa funcion.

A partir de 10 anterior se concluye que siempre que se obtiene la derivada de una funcion, al
mi smo tiempo se obtiene una formula de integracion. Por ejemplo, debido a (1), si

d xl/ + I d xl/+ I f X,, +I <III Este primer res u ltado s6 10 es
- - +- = = xll
n entonces f dx n + 1 dx = x" dx = ; + I + C, va lido si II * - 1.
dx 1 entonces
entonces
-ddx Inlx l = 1 f !lnlx l dx= f~dx=lnlx l+C'
-x

d ! Jf sen x dx = cos x dx = sen x + C,

dx sen x = cos x

-d tan - I x = - -1 - entonces !!... tan- Ix dx = f __l - dx = tan - I x + C.

dx 1 + x 2 f dx J + x 2

De esta manera es posible construir una formula de integracion a partir de cada formula de
deri vada. En la TABLA 5.1.1 se resumen algunas formulas de derivadas importantes para las funcio-
nes que se han estudiado hasta el momento, asi como sus formulas de integracion analogas .

270 CAPITULO 5 Integrales

F6rmul a de integraci6n F6rmula de integraci6n

l. d JdX=X+C d _I _ , ~1 I,v~i 1- x2 d = sen- Ix +C
x=1 10. -d sen x -
dx x vi - x2 X

J2. I __1- dx = tan-I x + C
-d I = xl/ (n oF - 1) 11• -d tan - Ix = - -1 - 1l+x2
x"dx = -X" +- + C dx 1 + x2
-X"+-
dxn+l 11+1

3. -ddx Inlxl = -x1 J ~dX = Inlxl + C I ~d _ I _

12. -d _sec x -
, ~1 dx = sec - I[x[ + C
x Ixl V x " - 1 x
x2 - 1

4. d = cos x J cos x dx = sen x + C 13. ull F = bX(ln b), IbXdx = bX + C
dx sen x
Isen x dx = - cos x + C GX -
Isec2 x dx = tan x + C Inb
(b > 0, b oF 1)
5. d = - sen x IeXdx = eX+ C
dx cos x !14. eX = eX Icosh x dx = senh x + C
Isenh x dx = cosh x + C
6. d = sec2 x d
dx tan x 15. dx senh x = cosh x

7. d cot x = - csc2 X Icsc2 X dx = -cot x + C d
-dx 16. -I cosh x = senh x

I8. ddx sec x = sec x tan x sec x tan x dx = sec x + C GX

! I9. esc x = - esc x cot x esc x cot x dx = -esc x + C

Con respecto a la entrada 3 de la tabla 5.1.1, es cierto que las f6rmulas de derivadas

.iL In x = 1.. d I d 10g b x
dxlnlxl =~, dx ~ x
dx x'

significan que una antiderivada de l / x = X - I puede tomarse como In x, x > 0, In lx l, x -:f- 0, a
10gb x/ In b, x > O. Pero como resultado mas general y util escribimos

I ~dx = In lx l + C.

Observe tambien que en la tabla 5.1.1 s6lo se proporcionan tres f6rmulas que implican funcio-
nes trigonometricas inversas. Esto se debe a que, en forma de integral indefinida, las tres f6rmu-
las restantes son redundantes. Por ejemplo, de las derivadas

-d sen_ I x = 1 y -d cos _ I x = -1
dx ~ dx ~

observamos que es posible tomar
Ih Ihdx = sen- Ix + C
1 - x2 o dx = -COS- I X + C.

1 - x2

Observaciones semejantes se cumplen para la cotangente inversa y la cosecante inversa.

U!JiMQ!'.' Una antiderivada simple pero importante

La f6rmula de integraci6n en la entrada 1 en la tabla 5 .1.1 se inc1uye para recalcar:

I !J dx = 1 . dx = x + C ya que (x + C) = 1 + 0 = 1.

Este resultado tambien puede obtenerse a partir de la f6rm ula de integraci6n 2 de la tabla S.!.I

con n = O. •

A menudo es necesario volver a escribir el integrandof(x) antes de realizar la integraci6n .

5. 1 La integra l indefinida 271

edl§MR!.... C6mo volver a escribir un integrando

Eval uc

LI, Ia)
dx y b) vX dx.

Soluaci)onAl volver a escn·b·Ir IIX"S como x - 5e·1dentl·f·lcar n = - 5, por Ia t·o, rmuIa de 1. I1tegracl.O, n 2

de la tab la 5.1.1 tenemos:

Ix-5dx = X-H I + C = 4 + C = _ _1_ + C.

_x-

-5 + 1 4 4X4

b ) Primero volvemos a escribir el radical vX como XI / 2 y luego se usa la formula de inte-

grac ion 2 de la tabla 5 .1.1 con n = ~:

IXI /2 d,x = ~x /3/22 + C 2 + C. •

= 3"X 3/2

Debe tomarse en cuenta que los resuLtados de La integraci6n siempre pueden comprobarse
por diferenciaci6n; por ejemplo, en el inciso b) del ejemplo 4:

c).!i(lx3/2+ = l.lx3/2 - 1 = X I/2 = vX
~3 32·

En el siguiente teorema se proporcionan algunas propiedades de la integral indefinida.

Teorema 5.1.2 Propiedades de la integral indefinida

Sean F'(x) = f(x) Y G'(x) = g(x) . Entonces

i) f kj(x) dx = k ff(X) dx = kF(x) + C, donde k es cualquier constante,

Iii) f [f(x) ::!:: g(x) ] dx = f f(x) dx ::!:: g(x) dx = F(x) ::!:: G(x) + C.

Estas propiedades se concluyen de inmediato a partir de las propiedades de la derivada. Por
ejemplo, ii) es una consecuencia del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las deri-
vadas.

Observe en el teorema 5.1.2ii) que no hay razon para usar dos constantes de integracion ,
puesto que

I[f(x) ::!:: g(x)] dx = (F(x) + C1) ::!:: (G(x) + C2)

= F(x) ::!:: G(x) + (CI ::!:: C2) = F(x) ::!:: G(x) + C,

donde CI ::!:: C2 se ha sustituido por la simple constante C.
Una integral indefinida de cualquier suma infinita de funciones la podemos obtener al inte-

grar cada termino.

D@t!lgr'''j Uso del teorema 5.1.2

~ ~.Evallie f ( 4x - + 5 sen x)

Soluci6n Por los incisos i) y ii) del teorema 5.1.2, esta integral indefinida puede escribirse
como tres integrales:

I( I~ ~4x - + 5 sen x) dx = 4 f x dx - 2 dx + 5 f sen x dx.

272 CAPITULO5 Integral es

Debido a las f6rmulas de integraci6n 2, 3 y 5 en la tabl a 5.1.1 , entonces tenemos •

I x) -(4X - ~ + 5 sen d.x = 4· ~;2 2 . In Ixl + 5 . (-cos x) + C

= 2X2 - 2 In Ix I - 5 cos x + C.

I Uso de la division Escribir un integrando en forma mas manejable algunas veces conlleva a
una divisi6n. La idea se ilustra con los dos ejemplos siguientes.

'!I3\~IQ!"iI Divisi6n terminG por terminG

Evalue I6x3 - 5x dx.

Si el concep to de comlln deno- ~ Solncion Por la divisi6n termino por termino, el teorema 5.1.2 y las f6rmulas de integraci6n 2
lllinador y 3 de la tabla 5.1.1 tenemos:

-(/ + -b = -a +- b (6;3-I I3 ~) dx
cc c 6x x- 5 dx =

se Ice de derecha a izquierda, se I ;3-~)= (6X2 - dx = 6· 5· Inlxl + C = 2x3 - 51nlxl + C. •
est,\ reali zando " di vision termin o
port erl1lin o".

Para resolver el problema de evaluar ff(x) dx, dondef(x) = p(x)/ q(x) es una funci6n racio-

nal, a continuaci6n se resume una regia practica que debe tomarse en cuenta en esta subsecci6n
y en la subsecci6n subsecuente.

Integraci6n de una funci6n racional

Suponga que f(x) = p(x)/q(x) es una funci6n racional. Si el grado de la funci6n poli-
nomiai p(x) es mayor que 0 igual al grado de la funci6n polinomial q(x), use divisi6n
larga antes de integrar; es decir, escriba

p(x) = un .. + -qre(xx ))'

-q(x) pOill10mlO

donde el grado del polinomio rex) es menor que el grado de q(x) .

U!!3MQ!.WJ Divisi6n larga

X2

JEvalue - - - 2 dx.
I+x

Solncion Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador,
se efectua la divisi6n larga:

- +x-2x 2 =1 - -1 +-x 2 '
1

Por ii) del teorema 5.1 .2 Ylas f6rmulas de integraci6n 1 y 11 en ia tabla 5.1. 1 obtenemos

J J(l -__1_7)~ dx = •
1 + x2
d.x = x - tan- I x + C.
I + x-

I Ecuaciones diferenciales En varios conjuntos de ejercicios en el capitulo 3 se pideicompro-
bar que una funci6n dada satisface una ecnacion diferenciaI. En terminos generales, una ecua-
ci6n diferencial es una ecuaci6n que implica las derivadas 0 el diferencial de una funci6n desco-
nocida. Las ecuaciones diferenciales se clasifican segun el orden de la derivada mas alta que

5.1 La integ ral illdefi nida 273

apal.C.ll:, en 1<1 eeua.cion. EI objetivo consiste en resolver eeuaci ones diferenciales . Una ecuacion
diferencial de pruner orden de la forma

dy (3 )

dx = g(x)

pueae resolverse usando integracion indefinida. Por (1) se ve que

f(:) dx = y.

Asi. la solueion de (3) es la antiderivada mas general de g; es decir, (4)

fy = g(x) dx.

eMilY!":' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial

Encuent re una funcion y = f(x) cuya grafiea pase por el punto (1 , 2) Y tambien satisfaga la ecua-
cion diferencial dy/dx = 3x2 - 3.

Solucion Por (3) y (4) se concluye que si

-dy = ? - 3 entonees y = f (3x2 - 3)dx.
dx
3x-

Es deci r, ;3-y = f (3x2 - 3)dx = 3· 3·x + C

o bien, \' = x3 - 3x + C. As!, euando x = 1, y = 2, de modo que 2 = I - 3 + Co C = 4. Por FIGURA 5. 1.2 La curva roj a es la
tanto, -" = x 3 - 3x + 4. Entonees , de la familia de antiderivadas de 3x2 - 3 que se muestra en grafica de la so luci6n del
problema en el ejemplo 8
la FIGU RA 5.1.2, se ve que solo hay una euya grafica (mostrada en rojo) que pasa por (l , 2). •

Al resolver una eeuaeion difereneial como dy/dx = 3x2 - 3 en el ejemplo 8, la eondiei6n
lateral espeeifieada de que la grafiea pase por (I, 2), es decir,f(l) = 2, se denomina condicion
inicial. Una condicion inicial como esta suele escribirse como y(l) = 2. La solucion y = x3

- 3x + 4 que fue determinada por la familia de soluciones y = x 3 - 3x + C por la condicion

inicial se denomina solucion particular. EI problema de resolver (3) sujeto a una condicion ini-
cial,

dy

dx = g(x),

se denomina problema con valor inicial.

Observamos que una ecuacion diferencial de orden n-esimo de la forma d"y/dx" = g(x)

plIede resolverse al integrar n veces eonseeutivas la funeion g(x). En este easo, la familia de solu-
ciones eontiene n eonstantes de integraeion.

U1MJ!Q!'I!' Resoluci6n de una ecuaci6n diferencial

EnCllentre una funeion y = f(x) d 2y = l.
tal que -
dx2

Solucion La ecuaeion difereneial dada se integra dos veees eonseeutivas. Con la primera inte-
gracion se obtiene

fl.dy = fd.2~ dx = dx = x + c1•

dx dx-

Can la segunda integraeion se obtiene y = f(x) :

•

274 CAPiTULO5 Integ rales

f N....O....T...A...S.....D...E...S....D...E.....E...L....A...U....L...A................................................................................... ............................

A menudo, a los estudiantes se les dificulta mas calcul ar antiderivadas que deri vadas. Do~'"
palabras de advertencia. Primero, debe tenerse mucho cuidado con el procedimiento algebrai_
co, especialmente con las leyes de los exponentes. La seguncla advertencia ya se ha pl antea_
do, aunque vale la pena repetirla: tenga en cuenta que los resultados de la integraci6n indeli_
nida siempre pueden comprobarse . En un cuestionario 0 en un examen vale la pena que
cledique unos minutos de su valioso tiempo para comprobar su respuesta al tomar la deriva_
da. A veces esto pu ede hacerse mentalmente. POl' ejemplo,

I inlegracion

[ = Ali-~ .~s.CEdX

comprucbe pOl'
dii'erenci ac ion

Ejercicios 5.1 La s respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-1B.

=Fundamentos 27. I (8x + I - geX) dx 28. I (15x - 1 - 4 senh x) dx

En los problemas 1-30, evalue la integral indefinida dacla.

1. I 3 dx 2. I (7T2- 1) dx 29. 3 2 + ~x + 4 dx 6

I 2x - x 30. I -l +x-x-2 dx

I + x-

3. I x5 dx 4. I 5X 1/4dx En los problemas 31 y 32, use una identiclad trigonometrica
para evaluar la integral indefinida clada.

5. I+VxdX 6. I Vx2 dx 31. I tan2 x dx 132. I cos2 dx

7. I (1 - [ - 052) dt 8. I lOwVw dw En los problemas 33-40, use cliferenciacion y la regIa de la
cadena para comprobar el resultaclo cle integracion dado.
9. I (3x 2 + 2x - 1) dx 10. I ( 2Vi - t - :2) dt
33. I ~2x + 1 dX = v'2X+T + C

11. I vX(x2 - 2) dx w12. I ( -V5-s2+ -2-) ds 34. I (2x2 - 4x)9(x - 1) dx = J...(2x 2 - 4X)1 0 + C

13. I (4x + 1)2dx 14. I(vX-l)2C!x 40

35. I cos 4x dx = ±sen 4x + C

15. I(4W - I?dW 16. I (5u - 1)(3u3 + 2) du 36. I sen x cos x dx = 'I2sen-? x + C

I r2 - lOr + 4 18. rx v+X1)2 dx 37. I x sen x-? dx = - '2I cos x-? + C
3
17. r dr

19. I X-I - XX-22 + x - 3 dx 3 8t + 1 dt 38. I cos x dx = 2 sen2x + c
sen3 x
20. It -

(2t)4 39. I In x dx = X In x - x + C

21. I(4 senx - 1 + 8x- 5)dx 22. I(-3 cos x + 4 sec2 x) dx

40. I xe' dx = xeX - eX + C

23. I csc x(csc x - cot x) dx 24. I sen t dt
cos2 t
En los problemas 41 y 42, efectue las operaciones indicadas.
26. I(40 - _se2c e )de
25. I2 + 3 2 dx c~41. I (x 2 - 4x + 5) dx 142. I (x2 - 4x + 5) dx

sen x
sen2x

5.1 La integral indefinida 275

En Ios. 11rohlcmas 43-48, res uelva la ecuaci6n diferencial dada. secci6n transversal del Jfqllido giratorio en el plano xy
44. -d=V- = l Ox + 3vX esta determinada por
43. -ti'-l' == (.2 + 9
dx dy w2
dl 1.\ - =-x
dx g '
- -dr , dy (2 + X )2
46. Con ejes de coorde nadas como se muestra en la FIGURA
45. dl .r- XS 5.1.5, e ncuentre y =j(x).
dx

- -dr I - 2x + sen x dy cos-? X
48.
47. d.1
dx

49. Encuentre una funci6n y = f(x ) cuya gnifica pase por el

pu nta (2, 3) y que tambie n satisfaga la ecuaci6n diferen-

cial dl'/dx = 2x - 1.

50. Encuentre una funci6n y = f(x ) de modo quel dy / dx =
I/V;: Yj(9) = 1.

51. Si f"(x) = 2x, encuentre1'(x) y f(x).

52. Encuentre una funci6nftal quef"(x) = 6,1'(- 1) = 2 Y FIGURA 5.1.5 Cubo en el problema 57

/(- 1)=0. 58. Los extremos de una viga de longitud L estan sobre dos
soportes como se muestra en la FIGURA 5. 1.6. Con una carga
53. Encuentre una funci6nftal que f"(x) = 12x2 + 2 para la uniforme sobre la viga, su forma (0 curva elastica) esta
determinada a partir de
cualla pendiente de la recta tangente a su grafica en (1, I)
es 3.

54. Sill/I(x) = 0, l,cmll esf?

En los problemas 55 y 56, la grafica de la funci6n f se mues- donde E, I Y q son constantes. Enclle ntre y = f (x) si
f(O) = 0 y 1'(L/ 2) = o.
tra en azul. De las gnificas de las funciones F, G y H cuyas
gn:ificas se muestran en negro, verde y rojo, respectivamente,
i,cual func i6n es la grafica de una antiderivada de f? Jus-
titiq lle su razonamiento.

55. 1= viaa -zs:/ b

it )x

f+-I·--L - - ·I

F FIGURA 5.1.6 Viga en el problema 58

FIG URA 5.1.3 Gnlficas para el probl ema 55 =Piense en ella
En los problemas 59 y 60, determine f
56.
59. ff(X) dx = In llnxl + C
---y= f(x)
f60. f(x) dx = x 2e' - 2xeX + 2eX + C
H
61. Encuentre una funci6n f tal que f'(x) = x 2 Y y = 4x + 7
sea una recta tangente a la grafica de f

62. Simplifique la expresi6n e4Jdx/x tanto como sea posible.

63. Determine cmU de los dos resultados siguientes es co-
rrecto:

o

FI GURA 5.1.4 Graficas para el probl ema 56 !64. Dado que sen TTX = 7T cos 7TX, encuentre una antideri-
Fmvada F de COS7TX que tenga la propiedad de que
=Ap licaciones = O.

57. U n cubo que contiene un Uquido gira alrededor de un eje
vertical a velocidad angular constante w. La forma de la

276 CAPITULO5 Integral es

5.2 Integracion por sustitucion u

I Introduccion En la ultima seccion se anali zo el hecho de qu e para cad a f6rmula para la deri -

vada de una funcion hay una formula de antiderivada 0 integral indefinida correspondiente. Por
ejemplo, al interpretar cada una de las funciones

'*x" (n -1), y cos x

como una antiderivada, se encuentra que la " reversa de la derivada" correspondiente es una fa mi-
lia de antiderivadas:

x" + 1 - 1), J~dx = In lx l + C, Jcos x dx = sen x + C. ( I )

J '*x"dx= -n +-1 + C (n

. I ., ) ..... En la siguiente exposicion se analiza la "reversa de la regia de la cadena" . En este amlli sis el
R e\ ' l se a SCCC IOIl 4 ( .... .• ./ . u' ==
concepto de de una desempena un papel Recuerde que si
dlferencml funclOn Importante.

g(x) es una funci6n diferenciable, entonces su diferencial es du = g'(x) dx .

Se empieza con un ejemplo.

I Potencia de una funcion Si deseamos encontrar una funcion F tal que

J(5x + 1)1 /2 dx = F(x) + C,

debemos tener F'(x) = (5x + 1)1/2.

Al razonar "hacia atras", podemos argumentar que para obtener (5x + 1)1 /2 necesitamos haber
diferenciado (5x + 1)3/2. Entonces, pareceria que es posible proceder como en la primera formu-

la en (1); a saber: incrementar la potencia por 1 y dividir entre la nueva potencia:

J(5x + 1)1/2 dx = (5x + 1)3/2 + C = 2 (5 x + 1)3/2 + c. (2)

-
3/ 2 3

Lamentablemente, la "respuesta" en (2) no concuerda, puesto que con la regIa de la cadena, en

la forma de la regIa de potencias para funciones, se obtiene

c] '*!d!...x-[3l(5X + 1)3/2 + = l3.22(5x + 1)1/2 . 5 = 5(5x + 1)1/2 (5x + 1)1/2. (3)

Para tomar en cuenta el factor 5 faltante en (2) usamos el teorema 5.1.2i) y un poco de pel's-
picacia:

J J ~(5x + 1)1/2 dx = (5x + 1)1/2 [ ] dx ..... = I

tJ ~ ( 5X ~51= !c5x + J)1 /2 dx ..... deri vacla de
+ I)'

= '15' 2 + 1)3/2 + C ..... pOi (3 )
'3(5x

= 2 + 1?/2 + c.
15 (5x

Ahora, usted debe comprobar por diferenciaci6n que la ultima funci6n es, en efecto, una antide-

rivada de (Sx + 1)1/2.

La clave para evaluar integrales indefinidas como

J(5x + 1)1 /2 dx, Jy sen lOx dx (4)

reside en el reconocimiento de que los integrandos en (4), sen lOx
x
y

son resultado de diferenciar una funci6n compuesta por medio de la regIa de la cadena. Para
hacer este reconocimiento es uti! realizar una sustituci6n en una integral indefinida.

5.2 Integraci6n par sustituci6n u 277

Teorema 5.2.1 Re la de la sustituci6n u

Si II 0= g (x) es una func i6n di fe re nciab le cuyo ra ngo es un inte rva [o I , f es una f unci6n con-
tinua sobre I y F es una anti de ri vada de f sobre I, entonces

f fC(?( X»g'(X) dx = f fC U) du o (5)

DEM OSTRACION Por ia reg ia de la cadena,

(1,' F (g(x» = F '(g (x»g'(x )

(,x

y cntonces por la defi nici6n de antiderivada tenemos

f F'(g(x»g'(x) dx = F(g(x » + C.

puesto que F es un antiderivada de j; es dec ir, si F' = ,f, entonces la lfnea precedente se vuelve

f f(g(X»g'(X) dx = F(g(x» + C = F (u) + C = f F '(u) dL! = f f( U) duo (6) .

La interpretaci6n del resultado en (6) y su res umen en (5 ) es sutil. En la secci 6n 5. 1, el slm-
bolo dx se us6 simple mente como un indicador de que la integraci 6n es con respecto a la vari a-
ble x. En (6) observamos que es permisible interpretar dx y du como d(ferenciales.

I Uso de la sustituci6n u La idea basi ca consiste en poder reconocer un a integral indefinid a en
una variable x (como [a proporcionada en (4» que sea la reversa de la reg ia de la cadena al con-
ve rti rl a en una integral indeflllid a diferente en la variable it por medio de la sustituci6n u = g(x) .
Par conveni encia, a continuaci6n se enumeran al gunas directri ces para evaluar f f(g(x»g'(x) dx

al efectuar una sustituci 6n u.

Directrices para efectuar una sustituci6n u

i) En la integral ff(g(x»g '(x) dx identifique las funci ones g(x) y g'(x ) dx.
ii) Exprese la integral totalmente en tenninos del slmbolo u al sustituir u y du por g(x )

y g'(x) dx respectivamente. En su sustituci6n no debe haber variables x ; dejelas en la
integral.
iii) Efectue la integraci6n con respecto a la variable u.
iv) F inalmente, vuelva a su stituir g(x) por el sfmbol o u.

Integral indefinida de la patencia de una funci6n La derivada de la potencia de una funci6n

era un caso especial de la regia de la cadena. Recuerde que si F(x ) = x" + I/ (n + 1), donde 11 es

un numero real, n =1= -1 y si u = g(x) es una funci6n diferenciable, entonces

[ g(X ) ] " + I y -ddx F (g (x » = [ g(X)]"g'(X).

F (g(x» = n + 1

Entonces, por el teorema 5.2. 1 de inmediato se deduce que

[ g(X) ] " + 1 (7 )

f [ g(x) ]"g'(x) dx = 11 + [ + C.

En term inos de sustituciones

u = g(x) y du = g'(x) dx,

(7 ) puede resllmirse como sigue:

f U"+I (8)
u"du = ~ + C,

En e l si guiente ejemplo se evalua la segunda de las tres integrales indefinidas en (4).

278 CAPITULO 5 Integra les

'i!§Ml4!.I' Usa de (8) --

JEvalue 2 X+ 6 dx.

(4x 3)

Solucion La integral vuelve a escribirse como

y se hace la identificaci6n

u = 4x2 + 3 y du = 8xdx.

Luego, para obtener la forma precisa f u- 6 du es necesario ajustar el integrando al multiplicar y

dividir entre 8:

J = "8 J(4x2 + 3) -6X dx (f ~() till

I (4~x2-+-3-) --6 -(8x-e-lx) <- slistitlicio n

J~= u- 6 elu <- ahora li se ( 8)

= !. 5 + C

u-
-;08 -5

= (4x 2 + 3) - 5 + C. <- Olr<l Slistilllc io n

Comprobacion por diferenciacion: Por Ja regIa de potencias para funciones,

-5 + = (- 1 5)(4x 2 + 3) - 6(8x) = (4x2 : 3t •
40)( -

'ili@ij!••J Usa de (8)

JEvalue (2x - 5) II dx.

Solucion Si u = 2x - 5, entonces du = 2 dx. La integral se ajusta al multiplicar y dividir entre

2 para obtener la forma correcta de la diferencial elu:

J IJ~~(2x - 5)11 dx ="2 (2x - 5)11 (2 elx) <- Sli stitllc i6n
<- ahorallsc(8)
= ~J u11elu

1 l2 C
U
="2'12+

= ~(2x - 5)1 2 + C <- otra SlIslitli cion •

24 .

En los ejemplos 1 y 2, el integrando se "arregI6" 0 ajust6 al multiplicar y dividir por una
constante a fin de obtener la elu id6nea. Este procedimiento funciona bien si de inmediato se
reconoce g(x) en ff(g(x)) g'(x) dx y que a g'(x) dx simplemente Ie falta un multiplo constante id6-
neo . EI siguiente ejemplo ilustra una tecnica algo diferente.

'iliMIij!.W' Usa de (8)

JEvahie cos 4 x sen x dx.

Solucion Para recalcar, volvemos a escribir el integrando como f (cos X)4 sen x dx. Una vez

que se hace la identificaci6n u = cos x, se obtiene elu = -sen x dx. Al despejar el producto sen x
elx de la ultima diferencial obtenemos sen x dx = -duo Luego,

5.2 Integ rac i6n par sustituci6n u 279

I I~ (~)(cos xt sen x dx = <- SLislilLicitill

-Iu4 du <- ailora Lise (~)

US

- 5+ C

--51cos s x + C. +- otra sllsrilucioll

De nuevo, se solicita que ellector diferencie el ultimo resultado. •

En los ej emplos que restan en esta secci6n se alternani entre los metodos empleados en los

ejemplos I Y3.
En un nivel pnictico no siempre es evidente que se esta tratando con una integral de la forma

J[ g(x) J"g'(X) dx. Cuando trabaje cada vez mas problemas, observara que las integrales no siem-

pre son 10 que parecen a primera vista. Por ejemplo, usted debe convencerse de que al usar sus-
tituciones en u la integral f cos2 x dx no es de la forma f [g(x) lng,(x) dx. En un sentido mas gene-

ral, en ff(g(x ))g'(x) dx no siempre es evidente que funciones deben escogerse como u y duo

I Integrales indefinidas de funciones trigonometricas Si u = g(x) es una funci6n diferencia-
ble, entonces las f6rmulas de diferenciaci6n

d du y -d (- cos u) = senudu-
dx dx
dx senu = cosu dx

conducen, a su vez, a las f6rmulas de integraci6n

I du = senu + C (9)
cosu dx dx

Iy du -cosu + C. (10)
senu dx dx =
(11)
Puesto que du = g'(x) dx = ~: dx, (9) y (10) son, respectivamente, equivalentes a (12)

Icosu du = senu + c,
Isenu du = -cosu + c.

1+l3mag.M' Usa de (11)

IEvalue cos 2x dx.

Solucion Si u = 2x, entonces du = 2 dx Yd.x = ~ duo En consecuencia, escribimos

II ldll <- sllstilLiCiti ll
<- ailora lise ( I I)
I Icos 2x dx = cos 2x (dx)

I~= cos u du

= 1 + C
2'sen u

= 21'sen 2x + C. <- (lIra slI slilllcion •

280 CAPITULO 5 Integrales

Las f6rmulas de integraci6n (8), (11) Y(12) son los amllogos de la regIa de la cadena de las
f6rmulas de integraci6n 2, 4 Y 5 en la tabla 5.1.1. En la tabla 5.2.1 que se muestra a continua_
ci6n se resumen los amllogos de la regia de la cadena de las J6 f6rmulas de integraci6n de la
tabla 5.1.1.

F6rmulas de

I1. du = u + C Il

I3.1 du = In IuI + C 2. u"du = -nU"+-+ 1 + C (n

u I4. cos u du = sen u + C

Is. sen u du = -cos u + C I6. sec2 u du = tan u + C

I7. csc2 du = -cot u + C I8. sec u tan u du = sec u +
10. I~dU = sen~l u
I9. esc ucot u du = -esc u + C
1 - u2
I__11. l_2 du = tan ~l u + C
1+u 12. I ~ du = sec~llu
I lt U u2 - 1
13. H'du = -Inb-b + C
I14. e" du = elf + C
I15. cosh u du = senh u + C
I16. senh U du = cosh u + C

En otros libros de texto, f6rmulas como 3, 10, 11 Y 12 en la tabla 5.2.1 suelen escribirse con
el diferencial du como numerador:

I I I IdU, du du du

u ~' 1 + u-7 ' uW-=-!'

Pero como a 10 largo del tiempo hemos encontrado que estas ultimas f6rmulas a menudo se
malinterpretan en un entorno de aula, aquf se prefieren las formas proporcionadas en la tabla.

IU!!MJlij!.4j Usa de la tabla 5.2.1

Evalue sec2(l - 4x) dx.

Solucion Reconocemos que la integral indefinida tiene la forma de la f6rmula de integraci6n

6 en la tabla 5.2.1. Si u = 1 - 4x, entonces du = -4 dx. Ajustar el integrando para obtener la

forma correcta de la diferencial requiere multiplicar y dividir entre -4:

I-41 sec-? u du <- formula 6 en la tab la 5.2. 1

1 u + C
-4tan

-41tan(1 - 4x) + C. •

5.2 Integraci6n par sustituc i6n u 281

d1#IQ !'~ Usa de la tabla 5.2.1

Eva lu"c ~c dx.

.r.r ' + 5

Solucio" Si u = x1 + 5, entonces du = 3[? dx Yx 2 dx = 31 duo Por tanto,

J ~ dx = J-3_1_ (x 2 dx)
x +5 x +5

= l3J1udu <- forl11u la 3 ell l a tab la 5.2 . I

= 311n Iu I + C

•

d 3\W!'.'I Vuelta a escribir y usa de la tabla 5.2.1

JEva lu e I + I e -2 dx.
x

Solucio" La integral dada no se ve como ninguna de las formulas de integracion en la tabla
5.2. 1. No obstante, si el numerador y el denominador se multiplican por e2x, obtenemos

J J-l+- -e1?---x dx = 2x

2 e dx.
eX+l

Si II = e"l + 1, entonces du = 2e2x dx, de modo que por la formula 3 de la tabla 5.2.1,

J I + 1 2x dx=lJ e2x 1 (2e2X dx)
e- 2 1
+

= l2J1udu

= "121nlu l + C
= ~ln(e2X + 1) + C.

Observe que el sfmbolo de valor absoluto puede eliminarse porque e2x + > 0 para todos los

valores de X. •

1¥I3MQ!.':i Usa de la tabla 5.2.1

JEvalue e5x dx.

Solucion Sea u = 5x de modo que du = 5 dx. Entonces

tJ e5x dx = J e5X(5 dx)

t J= e" du +--- fonnu la 14 ell la tabl a S.2. I

= -1e" + C •

5

= l5e5x + C.

D1MIIQI••, Usa de la tabla 5.2.1

e4jx
J7Evalue
dx.

-±Solucion Si hacemos u = 4/x, entonces du = (- 4/x2) dx y (1/x2) dx = duo

282 CAPITULO 5 Integ rales

De nuevo a partir de la f6rmula 14 de la tabla 5.2. 1 observamos que

I~± e"du

~l. e" + C

4

~ ± e4/X + C. •

'JI3MQ!e'[" Usa de la tabla 5.2.1

ICtan - Ix)2

EvalUe 1 + x 2 dx .

Solucion Como en el ejemplo 7, a primera vista la integral dada no se ve como ninguna de las

f6rmul as en la tabla 5 .2.1. Pero si la sustituci6n u se intenta ca n u = tan- I x y du = _~l _ dx'
entonces
I + x"

Iu2 du <-- 1'6nll ul a 2 en la tabl a 5.2. 1

=~3 +c
3

= ~Ctan - IX)3 + c. •

I'ii!!I3MQ!e'" Usa de la tabla 5.2.1
VEvalUe I ~ x2 dx .
100

Solucion Al factorizar 100 del radical e identificar u = I~ x Y du = 110 dx, el resultado se

obtiene a partir de la f6rmula 10 de la tabla 5.2.1:

= sen- I1X0 + C. •

I Tres formulas alternas Por razones de conveniencia, las f6rmulas de integraci6n 10, 11 Y 12

en la tabla 5.2.1 se extienden como sigue. Para a > 0,

VI d = sen- I ~U + C (1 3)
I a2 ~ u2 a (1 4)
U

I" +Iu2 duI= ~a tan - I ~u + C
a-
a

(1 5)

5.2 Integraci6n par sustituci6n u 283

, '1 adqui ri r pnlctica, compruebe estos resultados por diferenciaci6n . Observe que la integral

r~~~tjnid a en el ejemplo II puede evaluarse nipidamente al identificar u = x y a = 10 en (13).

I Integral es trigonometricas especiales Las f6rmulas de integraci6n que se proporcionan en
'e(Tuida, que relacionan algunas funciones trigonometricas con el logaritmo natural, a menudo

~c~rren en la pnictica, por 10 que merecen atenci6n especial:

Jtan x dx = -inlcos x l + C (16) <III E n lab la s de fo rmul as de
Jcot x dx = In lsen x l + C
Jsec x dx = In lsec x + tan x l + C inl egra les a mc nudo obsc rv,llllos

JCSCXdX = Inlcscx - cot xl + C. ( 16) cscri la C0 l110

(17) fla n x dx = In lsee x l + c.

Por las pro piedades de lo s

(18) 10garill11 os

- In leos x l = In leDs .If ' =

In lsec x l.

(19)

Para encontrar (16) escribimos

J Jtan xdx = ~se-nxdx (20)
cos x

y se identifica u = cos x, du = - sen x dx, de modo que

Jtanxdx = sen x dx - - - 1- (-senxdx)
J Jcos x cos x

-J~ du

-ln lul + C
-lnlcos xl + C.

Para obtener (18) escribimos

J Jsec x dx = sec x sec x + tan x d
sec x + tan x x

Jsec2 x + sec x tan x dx.
sec x + tan x

Si hacemos u = sec x + tan x, entonces du = (sec x tan x + sec2 x) dx y as!,

~sec xdx= tan x (sec2 x+secxtanx)dx

J
J sec x

J~dU

= In lu l + C

= Inlsec x + tan xl + C.

Tambien, cada una de las f6rmulas (16)-(19) podemos escribirlas en una forma general:

Jtan u dx = -Inlcos ul + C (21)

Jcot u du = In Isen u I + C (22)

Jsec u dx = In Isec u + tan u I + C (23)

Jcsc u du = lnlcsc u - cot ul + C. (24)

284 CAPITULO 5 Integ rales

I Identidades (ltiles Cuando se trabaja con funciones trigonometricas, a menudo es necesario

usar una identidad trigonometrica para resolver un problema. Las f6rmulas de la mitad de un

angulo para el coseno y el seno en la forma

cos2 x = 2I(1 + cos 2x) y sen2 x = 2I(1 - cos 2x) (25)

son particularmente Miles en problemas que requieren antiderivadas de cos2 x y sen2 x .

'¥i3I1IQ!.lfJ Uso de la f6rmula de la mitad de un angulo

JEvalue cos2 x dx.

Solucion Es necesario comprobar que la integral no es de la forma I u2duo Luego, al usar la

f6rmula de la mitad de un angulo cos2 x = ~ (l + cos 2x), obtenemos

J J~(lcos2 x dx = + cos 2x) dx

~[J ~ J= dx + cos 2x(2 dx) ] +- yea el cjclllplo 4

= Mx + ~sen2x] + C

= 21x + 1 c. •
4sen2x+

Por supuesto, el metodo ilustrado en el ejempl0 12 funciona igualmente bien para encon-

trar antiderivadas como J cos2 5x dx y J sen2 ~ x dx. Con x sustituida por 5x y luego con x

sustituida por ~ x, las f6rmulas en (25) permiten escribir, respectivamente,

J Jcos2 5x dx = 21(1 + cos lOx) dx = 2I x + I C
20 sen lOx +

J Jsen?-21x dx = -21 (1 - cos x) dx = -21x - -21sen x + C.

En la secci6n 7.4 abordaremos antiderivadas de potencias mas complicadas de funciones
trigonometricas.

f NOTAS DESDE EL AULA

EI siguiente ejemplo ilustra un procedimiento comun, pero totalmente incorrecto, para eva-
luar una integral indefinida. Ya que 2xj2x = 1,

J(4 J(4+ X2)1 /2 dx = + X2)1/22x dx

2x

= ~J(4 + X2) 1/22x dx

2x

= ~JUI/2 du

2x

;x .= ~(4 + X 2)3/2 + c.

Usted debe comprobar que la diferenciaci6n de la ultima funci6n no produce (4 + X2)1/2. EI

error esti en la primera lfnea de la "soluci6n". Las variables, en este caso 2x, no pueden
sacarse del sfmbolo de la integral. Si u = x2 + 4, entonces al integrando Ie falta la funci 6n

du = 2x dx; de hecho, no hay ninguna forma de arreglar el problema para adecuarse a la forma

dada en (8). Con las "herramientas" con que contamos en este momenta, simplemente no es

posible evaluar la integral I (4 + X2)1/2 dx.

5.2 Integraci6n por sustituci6n u 285

Ejercicios 5.2 Las respuestas de los problemas impares se leccionados com ienza n ell la pag ina RES-1B.

::: Fu ndam entos 43. 44. f v1 b- f)4 df)

En los proble mas I-50, evalue la integral indefini da dacla f45. , 2~x - 3 dx 46. Jr-x·x"--,+-8-2 dx
v i -r
L1sando una sustituc i6 n u icl6nea. I2. (8x + 2) 1/3 dx f tan- Ix f1
I4. (7 - X)49 dx 47. - - dx
II. V\=4x dx 48. .Jsen- x dx
I + x2 I - x2
.I d
j3. (5x + 1)3 X I49. tan 5x dx f50. eX cot eX dx

5. JI VX2 + 4dx 6. I ~ dt E n los prob le mas 5 1-56, use las iclenticlacles e n (25) para

I7. se n) 3x cos 3x dx I8. sen 2f) cos4 2f) df) evaluar la integral inclefi nicl a dacla.
I9. tan 2 2x sec2 2x dx I~10. sec2 xdx
f51. sen2x dx f52. cos2 7TX dx

III. sen 4x dx I12. 5cos x dx f53. cos2 4x dx f54. sen2~x dx

I dt13. Cv'2r - cos 61) 2

I15. x sen ..12 dx 14. I Sen (2 - 3x) dx f55. (3 - 2 sen .:xl dx f56. ( I + cos 2X)2 dx

Jr17. 2 sec2 x3 dx Icos (I /x) E n los proble mas 57 y 58, res uel va la ecuac i6n dife rencial

16. ? dx dada.

x- 57. dy = VT--=-x dy ( I - tan X)5
58. -I cos-? x
I18. csc2(0. Ix) dx dx
I20. tan 5v sec 5v dv GX
I22. (5x + 6)- 1dx
I19. esc vXvXcot vX dx 59. Encuentre una fu nci6n y = I(x) cuya gnifica pase por el

I ~21. 7x 3 dx punto (7T , - I ) Y tambi en satisfaga dy/dx = 1 - 6 sen 3x .
60. E ncuentre una funci o n I tal que f "(x) = ( 1 + 2x)5 ,
I23. - -t'- dx
x2 + I teO) = 0 y f'( 0 ) = o.

25. I-x +X-1 dX 61. De muestre que :
27. I_l_dX
I24. X2 Ix Ia) sen x cos x dx = ~sen2 x + C I
x In x
5x3 + 8 G
sen (In x)
(x + 3)2 fb) sen x cos x dx = _~COS2 x + C2
I29. dx 26. X + 2 dx
x II28
. I -+ sen f) ,if) fc) sen x cos x dx = -±cos 2x + C3 ·
I31. e lOx dx f) cos f)
U

f30. I ? dx 62. E n el probl e ma 6 1:
x (In x)-
a) Compruebe que la cleri vad a de cada respuesta e n los
f32. e~' dx inc isos a), b) y c) es sen x cos x.

Ix e-33. 2 2X' dx Iell, ' b ) Use un a identidad tri gonometrica para demostrar que
e l resultado en el inciso b ) puede obte nerse a partir
35 . - - dxIe- v.; 34. - dx de la respuesta en el inciso a).
X4
vX c) Sume los res ultados de los inci sos a) y b) para ob-
f36. W dx te ner e l resultado e n e l inci so c).
IeX - e- x
I ,y38. e3 1 + 2e3x dx =Aplicaciones
37. e \. + e .\. dx
I ~Y940. 16x2 dx 63. Con sidere e l pe nclulo pl ano mostrado en la FIGURA 5.2.1,
39. I n dX que oscila e ntre los puntos A y C. Si B es el punto medi o
5 -r f42. +19 dx
dtentre A y C, es posible demostrar que
f41. I + 125x2 dx IL
ds = \I g(s~ - S2)'

2 ? doncle g es la aceleraci o n debida a la graveclad .

r

286 CAPITULO 5 Integrales

a) Si teO) = 0, demuestre que el tiempo neeesario para En los problemas 65 y 66, use las identidades en (25) para
evaluar la integral indefinida dada.
que el pendulo vaya de B aPes
65. I cos4 x dx 66. I sen4 x dx
t(s) = ~~sen-I(;J.
I I IEn los problemas 67 y 68, evalue la integral indefinida dada.
b) Use el resultado del ineiso a) para determinar el 67. V dx 2x
tiempo de reeorrido de B a C. x X4 - 16
68. -exe+--l dx
c) Use b) para determinar el periodo T del pendulo; es
deeir, el tiempo para haeer una oseilaei6n de A a C
y de regreso a A.

En los problemas 69 y 70, evalue la integral indefinida dada.

/1\ 69. I 1 - 1cos x dx 70. I 1 + s1en 2x dx
/ )1 1 \
En los problemas 71-74, evalue la integral indefinida dada.
1 1\
Suponga que f es una funci6n diferenciable.
j z ;,/1: \ \
1 1\ 71. I f'(8x) dx 72. I xf'(5x2) dx

/ I\
1 1\

A<--fi~~

C=sc vf(2x) 74. If'(3X ++ 1) dx
f(3x
73. f(2x)f'(2x) dx 1)
I
FIGURA 5.2.1 Pendula en el problema 63
~.75. Evalue If"(4X) dx sif(x) =
=Piense en ello
76. Evalue I {I sec2 3x dX} dx.
64. Eneuentre una funei6n y = f(x) para la eual fCrr/2) = 0

y dy = eos3 x. [Sugerencia: eos3 x = eos2 x cos x.]
dx

5.3 EI problema de area

I Introduccion As! como la derivada es motivada por el problema geometrieo de construir una
tangente a una curva, el problema hist6rico que conduce a la definici6n de integral definida es el
problema de encontrar un area. En especffico, tenemos interes en la siguiente versi6n de este
problema:

• Encontrar el area A de una regi6n acotada por el eje x y la grafica de una funci 6n no

negativa continua y = f(x) definida sobre un intervalo la, b].

EI area de esta regi6n se denomina area bajo la gratica defsobre el intervalo [a, b]. El reque-

rimiento de que f sea no negativa sobre [a, b] significa que ninguna parte de esta grafica sobre

el intervalo esta por abajo del eje x. Yea la FIGURA 5.3.1.

y

~----~----~--~X

ab
FIGURA 5.3.1 Area baja la gnifica

de f sabre [a. bI

5.3 EI prob lema de area 287

Antes de continuar con la soluci6n del problema de area es necesario hacer una breve digre-
sian para an alizar una notaci6n util para una sum a de numeros como

1 + 2 + 3 + .. . + n y ]2 + 22 + 32 + ... + n2

I Notacion sigma Sea a" un numero real que depende de un entero k. La suma a l + a2 + a3
+ ... + ({II se denota por el sfmbolo 2,Z ~ I ak; esto es,

11 (I)

~ ak = al + Cl2 + (t, + ... + all"

k~ 1

puesto que 2, es la letra griega mayuscul a sigma, (1) se denomina notacion sigma 0 notacion
de suma. La variable k se denomina Indice d e la suma. Asf,

lerl11 ina con eSle valor de"

..s-t

cl sil11bolo L indica _>

la SlIllla de ill, L.,; Cl"

k~ 1

t

el11p ieza con el valor

indicado de "

es la suma de todos los numeros de la forma a" cuando k asume los valores sucesivos k = 1,

k 0= 2, . . . , y termina con k = n.

1!I3M1iJ!.I ' Usa de la nataci6n sigma

La su ma de los diez primeros enteros pares

2 + 4 + 6 + .. . + 18 + 20

pllede escribirse de manera abreviada como 2, ;~ 12k . La suma de los diez enteros positivos impa-
res

1 + 3 + 5 + .. . + 17 + 19 •

pllede escribirse como 2,~~1(2k - 1).

EI fndice de la suma no necesita empezar en el valor k = 1; por ej emplo,

5 y 5

~ 2k = 23 + 24 + 25 ~ 2k = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25.

k~3 k~O

Observe que la suma de los diez enteros positivos impares en el ejemplo 1 tambien puede escri-

birse como 2,~ ~ 0(2k + 1). Sin embargo, en un analisis general siempre se supone que el indice

de la suma empieza en k = I. Esta suposici6n responde mas a razones de conveniencia que de

necesidad. EI indice de la suma a menudo se denomina variable ficticia , puesto que el sfmbolo

en sf carece de importancia; 10 que importa son los valores enteros sucesivos del fndice y la suma

correspondiente. En general,

II 11 n n

~ a k = ~ ai = ~ a j = ~all1.

i= 1 j~ 1 111= 1

Por ejemplo,

10 10 10

~ 4k = ~ 4i = ~ 4j = 41 + 42 + 43 + .. . + 410.

k~ 1 i~ 1 j~ 1

I Prop iedades A continuaci6n se presenta una lista de algunas propiedades importantes de la
notaci6n sigma.

288 CAPITULO 5 Integrales

Teorema 5.3.1 Propiedades de la notaci6n sigma

Para enteros positivos m y n,

L L" /I

i) cak = c ak> donde c es cualquier constante

k~ I k~ I

11 11 11

ii) L (ak ± bk) = L ak + Lbk

k~1 k~ 1 k~ 1

11 11/ 11

Liii ) Lak = Lak + ak> m < n.

k~ 1 k ~ 1 k= lIl + I

La demostraci 6n de la f6rmul a i) es una con secuencia inmediata de la ley distributiva. Por
supuesto, ii) del teorema 5.3 .1 se cumple para la suma de mas de tres terminos; por ejempl o,

II II /I 1/

L L L L(ak + bk + Ck) = ak + bk + Ck'
k~ I k~ I k~ I k~ I

I Formulas de sumas especiales Para tipos especiales de sumas indicadas, particularmente
sumas que implican potencias de enteros positivos del indice de la suma (como sumas de ente-
ros positivos con secutivos, cuadrados sucesivos, cubos sucesivos, etc.) es posible encontrar L1na
f6rmula que proporcione el valor numerico verdadero de la suma. Para efectos de esta seccion,
centraremos la atenci6n en las cuatro f6rmulas siguientes.

Teorema 5.3.2 F6rmulas de sumas

Para n un entero positivo y C cualquier con stante,

11 ii) 11 n(n + I)
Lk =
LCi) = nc 2
k~1 k~ 1

11 n(n + 1)(2n + 1) +11 n2(n 1)2
4
iii) Le = 6 iv) Lk3 =

k ~1 k~ 1

Las f6rmulas i) y ii) pueden justificarse facilmente. Si C es una constante, es decir, indepen-

diente del indice de la suma, entonces L: ~ ~ Ic significa c + c + c + ... + c. Puesto que hay II

c, tenemos L: ~ ~ IC = n' c, que es i) del teorema 5.3 .2. Luego, la suma de los n primeros enteros
positivos puede escribirse como L:~ ~ Ik. Si esta suma se denota por la letra S, entonces

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n. (2)

En formaequivalente, S = n + (n - 1) + (n - 2) + .. . + 3 + 2 + I . (3)

Si sumamos (2) y (3) con los primeros terminos cOITespondientes, luego los segundos ter-
minos, y asi sucesivamente, entonces

,2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + I) + + (n + 1) = n(n + 1).
~-----------------/
+II tcrillinos de II I

Al despejar S obtenemos S = n(n + 1)/2, que es ii). Usted debe poder obtener las f6rmulas iii)

y iv) con las sugerencias que se proporcionan en los problemas 55 y 56 en los ejercicios 5. 3.

1¥J3MQI••j Usa de f6rmulas de suma

Encuentre el valor numerico de L: ;~ I (k + 5l

5.3 EI problema de area 289

Soluci6n AI desarrollar (k + 5)2 y usaI' i) y ii) del teorema 5.3.1, podemos escribir

2:20 20 + +(k 2 10k 25) +- sc c!e,' a al cuadrado e l l1 illtllni o
2: (k + 5)2 =

k= I k = 1

2: 02: 2:20 20 20

= k 2 + J k + 25. (- i) y ii) del I.;orema 5.3 .1

k= I k= I k= I

Con la identificaci6n n = 20, por las f6rmulas de sumas iii), ii) Y i) del teorema 5.3.2, respecti-

vamenle. se concJuye

~ + ? = 20(2 1)(41) + 20(21) + 20·25 = 5470. •
L.J (k 10- -
5)- ---'----'-'----'-
k= 1 6 2

La notaci6n sigma y las f6rmulas de sumas anteriores se usan"in de inmediato en el siguien-
Ie aniilis is .

I Area de un triangulo Suponga pOI' el momento que no se conoce ninguna f6rmula para AI

calcul ar el area A del triangulo rectangulo proporcionado en la FIGURA 5.3.2a). Al superponer un sis- I~b-I
lema rectangular de coordenadas sobre el triangulo, como se muestra en la figura 5.3.2b), se ve
que el problema es el mismo que encontrar el area en el primer cuadrante acotada por las lfneas a) Triallgu lo rectangulo

reclas.r = (h/ b)x, y = 0 (el eje x) y x = b. En otras palabras, deseamos encontrar el area bajo la Y It
grMica de y = (h/ b)x sobre el intervalo [0, b] .
Y =t; X (b. 11)
AI usar rectangulos, la FIGURA 5.3.3 indica tres formas diferentes de aproximar el area A. Por
conveniencia, seguiremos con mayor detalle el procedimiento sugerido en la figura 5.3.3b).

Empezamos al dividir el intervalo [0, b] en n subintervalos del mismo ancho Llx = b/ n. Si el

punto fronte rizo derecho de estos intervalos se denota por xi, entonces

x'/' = Llx = f!.. A

n ~~---------4~ x

xi' = 2Llx = 2(~) (b, O)

x~' = 3Llx = 3(~) b) Triallgulo rectallgulo en
un sistema de coordelladas

FIGURA 5.3.2 Ellcuentre el area
A de l triangulo rectangulo

yy y

bb b X *I x :):
a) b) c)
FI GURA 5.3.3 Aproximaci6n del area A usalldo tres rectallgulos 2

a) n rectangulos

Como se muestra en la FIGURA 5.3.4a}, ahora construimos un rectangulo de longitudf(xk) y ancho y
Llx sobre cada uno de estos n subintervalos. Puesto que el area de un rectangulo es largo X
Qncho, el area de cada rectangulo esf(xk') Llx. Yea la figura 5.3.4b) . La suma de las areas de los el area es
1/ rectangulos es una aproximaci6n al numero A. Escribimos .f(x~) Ll X

A = f(xDLlx + f(x i')Llx + ., . + f(x ;;')Llx,

o en notaci6n sigma, b) Area de un rectangulo general
FIGURA 5.3.4 El area A del trian-
1/ (4) gu lo es aproximada por la suma
de las areas de n rectangulos
A = 2:f(xk')Llx.

k= l

290 CAPiTULO 5 Integrales

Parece valido que reduzcamos el error introducido por este metoda de aproximacion (el are

de cada rectangul o es mayor que el area bajo la grafica sobre un subintervalo [ Xk - I, xd) al di vi~

dir el intervalo [0, b] en subdivisiones mas finas. En otras pal abras, esperamos que un a Inejor
aproximacion a A pueda obtenerse usando mas y mas rectangulos (n ~ (0) de anchos decrecien_
tes (~x ~ 0). Luego,

k(t)f(x) = ~x, *Xk = n ' .t(xt) =!!n:. . k y ~x = -b

n'

de modo que con ayuda de la fonnula de suma ii) del teorema 5.3 .2, (4) se vuelve
1)A ~~
L~" (h- ·k) -b -_ 2bh L~" k_- bh ' n(11 + I) -_ b-h ( 1+-. (5)
211 2 n
k= 1 11 11 11 k= 1 2

Finalmente, al hacer 11 ~ 00 en el miembro derecho de (5), obtenemos la formula conocida para

el area de un triangulo:

(I= 1.A + 1.) = 12. bh.
2 bh . lfm
11
11->00

I EI problema general Ahora pasaremos del ejemplo precedente especffico a l problema gene-

ral de encontrar el area A bajo la grafica de una funcion y = f(x) que es continua sobre un inter-

valo [a, b]. Como se muestra en la FIGURA 5.3.5a) , tambien suponemos que f(x) 2': 0 para toda x en
el intervalo [a , b] . Como sugiere la figura 5.3.5b), el area A puede aproximarse al sumar las areas
de 11 rectangulos que se construyen sobre el intervalo. A continuacion se resume un procedimien-
to posible para determinar A:

• Divida el intervalo [a, b] en 11 subintervaloss [ Xk - I , xd, donde

a = Xo < X I < X2 < .. . < x ll _ I < XII = b,

de modo que cada subintervalo tiene el mismo ancho ~x = (b - a)/n. Esta coleccion de
numeros se denomina particion regular del intervalo [a, b].

xt n• Escoja un numero en cada uno de los subintervalos [Xk- I , Xk] Yforme los 11 produc-

tosf(xn~x. Puesto que el area de un rectangulo es largo X ancho,f(x%')~x es el area del
rectangulo de largo f(x%') y ancho ~x construido sobre el k-esimo subintervalo [Xk - b xd.

Los 11 numeros x'!" x3', x:l', ... , x~' se denominan puntos muestra.

• La suma de las areas de los 11 rectangulos

II

L f(x'l')~x = f(x'n~x + f(x1')~x + f(xn~x + ... + f(x;~)~x,

k= 1

representa una aproximacion al valor del area A bajo la grMica de f sobre el intervale

[a , b] .

Con estas notas preliminares, ahora ya es posible definir el concepto de area bajo una gra-
fica.

yy
Y = f{x)

A

x=a x =b

a b-+---L--------------------------------~~ X k-I x" xk Xn - 1

a) Area A baj o la grafica Xl ~
FIGURA 5.3.5 Encuentre el area A bajo la gnlfica de fsobre el intervalo [a, b]
I'u

b) 17 rectangulos

5.3 EI problema de area 291

Definicion 5.3.1 Area ba'o una grafica

~

Sl!a/colltinua sobre [a, b] y t(x) 2: 0 para toda x en el interva[o. E[ area A bajo la gratica

de (sobre el intervaJo se def1l1e como (6)
."
A = Ifm Lf(xn~x.

II~ OO k = J

Es posib[e demostrar que cuando / es continua, el lfmite en (6) siempre existe sin importar

°e! lllctodo llsado para dividir [a , b] en sllbintervalos; es decir, [os sllbintervalos plleden tomarse

no de modo que su ancho sea el mismo, y los puntos Xk' pueden escogerse en forma arbitraria

en los subinterva[os [Xk- I, Xk]' No obstante, si los subintervalos no tienen el mismo ancho,

entollces en (6) es necesario un tipo diferente de Ifmite. Necesitamos sustituir n -+ 00 por el

requerimiento de que la longitud del subintervalo mas ancho tienda a cero.

I Una forma practica de (6) Para usar (6), suponga que escogemos x%' como se hizo en el ana-

xtlisis de la Figura 5.3.4; a saber: sea el punto fronterizo derecho de cada subintervalo. Puesto

que el ancho de cada uno de los n subintervalos de igual ancho es ~x = (b - a)/ n, tenemos

xZ.,'. = a + kA = a + k-b -- a.

uX n

Luego, para k = 1, 2, ... , n tenemos

x'l' = a + ~x = a + -b -- a

n

(b - a)xl."' = a + 2uA x = a + 2 -n-

(b - a)X3,'. = a + A = a +
3 X 3 - n-
u

(b - a)x.;';.' = a + nuA x = a + n -n- = b. y y=x+2

AI sustituir a + k(b - a)/n por x2' y (b - a)/ n por ~x en (6), se concluye que el area A tam- A

bien esta dada por

a) aA = lim ~L J ( a + k -b -- . -b -- . (7)
It n
1/->00 k= 1

Observamos que puesto que ~x = (b - a)/ n, It -+ 00 implica ~x -+ O.

PUMA!'. ' Area usando (7) a)

Encuentre el area A bajo la grMica de/ex) = x + 2 sobre el intervalo [0, 4] .

Solucion EI area esta acotada por el trapezoide indicado en la FIGURA 5.3.68). Al identificar y ,/
V
a '" 0 y b = 4, encontramos
[7[r7.11:~ /
~x=4---0 =-4.
n It

Asf, (7) se vuelve / I~

(4k)L/ L/ -A = lim 11 ( 0 + k4- )4- = Ifm -4 11 /
11---+00 k= 1 n n 11->00 It k=1 It
/ i' x
(4k )L -lim -4 11
l1->ool1 k =1 n +2 -I'll

4[4 L L+Ifm- - k1/ 2 11I] . ~ par las prop iedades i) y ii) dcl teorClllll 5.3 . 1 x~ --~-x =± x~ = 4
11

b)

11---+00 11 n k = 1 k=1 FIGURA 5.3.6 Area bajo la grafica
en el ejemplo 3

292 CAPITULO 5 Integra les

Luego, por las formulas de suma i) y ii) del teorema 5.3.2, tenemos

A = 11/ m -4 [4-. n(n + I) + 2n ]
n11-> 0 0 11 2

II'11m [ 16 n(n : 1) + 8] <-- se divide en tre
2 n-
J/~ OO

l)Ifm [ 8 (I + n + 8]

II~ OO

l)= 811m (I + + 8 Ifm I
1/.----+00 n 11--+00

= 8 + 8 = 16 unidades cuadradas.

y U!!3\M4K'I' Area usando (7)

Encuentre el area A bajo la grafica de f(x) = 4 - x 2 sobre el intervalo [- 1, 2].

Solucion EI area se indica en la FIGURA 5.3.7 a). Puesto que a = -1 Yb = 2, se conc1uye que

2 - (- 1) 3
LlX = = -.
nn

a) A continuacion se revisaran los pasos que Bevan a (7). El ancho de cada reetangulo esta dado por
LlX = (2 - ( - 1»/ n = 3/ n. Luego, empezando en x = - 1, el punto fronterizo derecho de los n
y subintervalos es

~ x=n3 x·1" = -1 + -3

b) n
FIGURA 5.3.7 Area bajo la gnifica
en el ejemplo 4 2(~)xi: = -1 + = - 1 +.2.
n

X3* = - I +3(~) =- 1 + -9
11

x~'= -1 + n(~) = 2.

Entonees, la longitud de cada reetangulo es

l) 4- f-I l] 2f(x'f) =f(-1 + = +
n Ln

r~) ~f(xj) = f( -) + = 4 - [ - I +

r~) ~f(xi) = f( - 1 + = 4 - [ - 1 +

~;)f(x;;) = f( - 1 + = f(2) = 4 - (2)2 = o.

El area del k-esimo rectangulo es largo X ancho:

f(x*)l = (4 - [-1+ kl]2)l = (3 + 6! _9k2)1.
kn nn n n2 n

AI sumar las areas de los n rectangulos obtenemos una aproximacion al area bajo la grafica sobre
el intervalo: A = L~= If(x;' )(3/ n). A medida que el numero n de rectangulos crece sin Ifmite,

obtenemos

5.3 EI problema de area 293

AI usar las fo rmulas de sumas i), ii) Y iii) de l teore ma 5.3.2 obtene mos

I)]A = li,m -3 [ 311 + -6 . 11(11 + I) - 29 +. 1/.(11 1)6(211 +
n11 ..... 00 n2 n

1)- 1)]+ +Ifm [ 9

11 ..... 00
9 (1 n *_ (1 + l )(2 + n
11

= 9 + 9 - 9 = 9 unidades c uad radas. •

I Otras el ecciones para xt No hay nada en espec ial si xi' se escoge como el punto fronterizo

de recho de eada subintervalo . Volve mos a recalcar que x~' puede tomarse como cualquier 11l1me-

ro conveniente en [ Xk- I, xd. E n caso de que se elij a x%' como e1punto fronterizo izquierdo de

cada sub intervalo, e ntonees

xt' = a + (k - l )Lh = a + (k - b -a k = 1,2, .. . , 11,

1) - - ,
n

y (7) 5e volverfa a)A = Ifm ~fII ( a + (k - I ) -b -- . -b --[{ . y
k=I n n11 -,;00
(8) FIGURA 5.3.8 Rectanglli os usando
los puntos fronterizos izqlli erdos
En el ejempl o 4 , los rectllngul os corres pondie ntes serfan como se observa en la FIGURA 5.3.8. En de los intervalos

este easo se hubiera te nido x i' = - 1 + (k - 1)(3/ n). En los problemas 45 y 46 de los ejercicios
5.3 se Ie pide resolver el problema de area en el eje mplo 4 escogiendo Xk' como primer punto

fronterizo izquierdo y punto medio de eada subinte rvalo [ Xk- I, xd . Al elegir xt como el punto

medi o de cada [Xk- I, Xk J, entonces

xt= a + (k - ~)LlX' k = 1, 2, . .. , n. (9)

Ejercicios 5.3 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES- l B.

=Fundamentos 14. 2 + 6 + 10 + 14 + + 38

En los problemas 1- 10, desarrolle la suma indieada. 15. 1- 1 + I - 1 + I

5 :L5 2 3 4 5

1. ~ 3k 2. (2k - 3) 16. _l + l _ l + .± _ ~
k= 1 2 3456
k=1
Y4. ~4 T( O3 17. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
3. :L4 -2k
k= I k 18. 1 + V2 + v'3 + 2 + v5 + ... + 3

10 ( _ I )k 10 ( _1)k- 1
:L6.
:LS. k=I k-? 19. 71" I 271" + -1cos -371" x - -Icos -471" x
k= 12k + 5 cos - x - - cos- x

5 4 p 4p 9p 16 P

7. ~ (/ - 2j) 8. :L (m + 1)2 20. f'(l )(x - 1"( 1) ? + r (I) - 1)3
I ) - - 3- (x - - 5- (x
j=2 ±11/ = 0 1)-
sen (hr/ 2)
5 10. f (4)(I) 4 1 (5)( I ) -
k=1 k - - 7 - (x - 1) + - 9 - (x - I ?
:L9. eos h r
k= 1

En los proble mas 11-20, use notaci6 n sig ma pa ra eseribir la E n los problemas 21-2 8, encue ntre el valor numeri co de la
suma dada.
suma dada.
II. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
12. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 20 50
13. I + 4 + 7 + 10 + ... + 37
21. ~ 2k 22. ~ ( - 3k )
k= 1 k= O

294 CAPiTULO 5 Illtegraies

10 1000 b) Use el inciso a) para encontrar el valor numeric\) de

L23. (k + I) L24. (2k - I) 4 0()

k= 1 k=1 L (VI< - v'f(-=-T).
:;
6 k=1
L26. (6k 2 - k)
L25. (k" + 3) 55. a) Use el inciso a) del problema 54 para demostrar que
k= 1
k=1 10 II

10 L28. (2i3 - 5i + 3) L r(k + If - k2 ] = - I + (n + 1)2 = 11" + 211.
i=1
L27. (p' + 4) k=1

1'=0 b) Use el hecho de que (k + 1)2 - k 2 = 2k + I para de-

En los problemas 29-42, use (7) y el teorema 5.3.2 para mostrar que

encontrar el area bajo la grMica de la funcion dada sobre el /I II

intervalo indicado. L[(k + 1)2-k2 1 = n + 2Lk .
c) Compare los resultados de los incisos a) y b) para
29. f(x) = x , [0, 6] 30. f(x) = 2x, [ I , 31
obtener la formula de suma iii) del teorema 5.3.2.
31. f(x) = 2x + I, [ I, 5] 32. f(x) = 3x - 6, [2,4] 56. Muestre como el patron ilustrado en La FIGURA 5.3.9 puede

33. f(x) = x 2, [0,2] 34. f(x) = Xl, [-2, I] usarse para inferir la formuLa de suma iv) del teorema
5.3.2.
35. f(x) = I - x 2, [-1, I]
23 33
36. f(x) = 2Xl + 3, [ - 3, - I] FIGURA 5.3.9 Arrcglo para el problema 56

37. f(x) = Xl + 2x, [1 ,2] 57. Obtenga la formula para el area del trapezoide proporcio-
nado en la FIGURA 5.3.10.
38. f(x) = (x - I)l, [0,2 ] 39. f(x) = x 3, [0, I]
40. f(x) = x' - 3x2 + 4, [0,2] T

2 O:::;x < I T "2

41. f(x) = { x' + L, L:::; x :::; 4 1 1,-------A-----'
I--b-I
42. f(x) = {x~x++2, 1, O:::;x <
FIGURA 5.3.10 Trapezoide en el problema 57
1 :::; x:::; 3
n43. Trace la grafica de y = I /x sobre el intervalo [t AI 58. En un supennercado, 136 latas se acomodan en forma
triangular como se muestra en la FIGURA 5.3.11. i,CUantas
dividir el intervalo en cuatro subintervalos del mismo latas puede haber en la parte inferior de la pila?

ancho, construya rectangulos que aproximen el area A FIGURA 5.3.11 Pila de laras en el problema 58

bajo la grMica sobre el intervalo. Primero use el punto

fronterizo derecho de cada subintervalo, y luego use el

punto fronterizo izquierdo.

44. Repita el problema 43 para y = cos x sobre el intervalo

[-7T/2,7T/2 ].

xt45. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo como el

punto fronterizo izquierdo de cada subintervalo. Yea (8) .

46. Yuelva a trabajar el ejemplo 4 escogiendo xl' como el

punto medio de cada subintervalo. Yea (9).

En los problemas 47 y 48, dibuje la region cuya area A esta

dada por la formula. No intente evaluar.

±) 4~2 ±47. A = lfm
4 - l 48. A = lfm (sen k7T) 7T
k=11-+00 n- n 11-+00 k=I n n
I

=Piense en ello

En los problemas 49 y 50, escriba el numero decimal dado
usando notacion sigma.

49. 0.1111 I I I I 50. 0.3737373737

51. Use la formula de suma iii) del teorema 5.3.2 para encon-
trar el valor numerico de L~~ 21k2.

52. Escriba la suma 8 + 7 + 8 + 9 + to + II + 12 usan-

do notacion sigma de modo que el fndice de la s uma

empiece con k = O. Con k = I. Con k = 2.

53. Despeje x: L~ = I(Xk - x? = O.

54. a) Encuentre el valor de L~ = I[f(k) - f(k - I)]. Se

dice que una suma de esta forma es teLescopica.

5.4 La integral definida 295

59. Use (7) y la formula de suma I) 63. Una formula de suma para la suma de los n terminos de

i k4 = n(n + 1)(6113 + 9n2 + n - una sucesion geometrica finita a, ar, ar2, ... , ({r,, - I esta

k = 1 30 dada por

para encontrar el area bajo la grafica de f (x) = 16 - X4 " (I ")Lar" - I = a -=..r. .

sobre I -2,2]. k=1 I I

60. Enc ue ntre el area bajo la grafica de y = Vx sobre [0, I] Use esta formula de suma, (8) de esta secc ion , y la regia
de L'H6pital para encontrar el area bajo la grafica de
al considerar el area bajo la grafica de y = x 2 sobre [0, 1]. y = eX sobre [0, I] .

Lleve a cabo sus ideas. 64. Un poco de historia En un curso de ffsica para princi-
piantes todo mundo sabe que la distancia de un cuerpo
6t. Encuentre el area bajo la grafica de y = -\YX sobre [0, 8] que cae es proporcional al cuadrado del tiempo trans-
currido. Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero en
al considerar el area bajo la grafica de y = x 3 sobre descubrir este hecho. Galileo encontro que la distancia
que se mueve una masa hacia abajo en un plano inclina-
o :=; x :=; 2. do es proporcional a un entero positivo impar. Por tanto,
la distancia total s que una masa se mueve en n segundos,
°62. a) Suponga que y = ax2 + bx + c :2: sobre el interva-
10 [0, xo] . Demuestre que el area bajo la grafica sobre con n un entero positivo, es proporcional a I + 3 + 5 +
... + 2n - 1. Demuestre que esto es 10 mismo que afir-
[0, xo] esta dada por
mar que la distancia total que se mueve una masa hacia
b) Use el resultado en el inciso a) para encontrar el area abajo en un plano inclinado es proporcional al tiempo
transcurrido n.
bajo la grafica de y = 6x 2 + 2x + 1 sobre el interva-

10 [2,5].

5.4 La integral definida

I Introducci6n En la seccion previa vimos que el area bajo la grafica de una funcion continua
no negativa fsobre un intervalo [a, b] se definia como ellfmite de una suma. En esta seccion

vent que elmismo tipo de proceso limite conduce al concepto de integral definida.

Sea y = f(x) una funcion definida sobre un intervalo cerrado [a, b].

Considere los siguientes cuatro pasos :

• Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos [Xk - j, xd de anchos LlXk = Xk - Xk - I,
donde

a = Xo < XI < X2 < ... < X,, _ ] < Xn = b. (1)

La coleccion de numeros (1) se denomina particion del intervalo y se denota por P. Xi- I

o Sea IIP I el mayor numero de los n anchos de los subintervalos LlXI, LlX2, .. . , Llx//, EI I I I I . II
numero IIPII se denomina norma de la particion P.

o Escoja un numero x'!: en cada subintervalo [Xk-I, xd como se muestra en la FIGURA 5.4.1. FIGURA 5.4.1 Punto ll1uestra x1'
xt .. .,Los n numeros x'j', xt
x;;' se denominan puntos muestra en estos subintervalos. en [Xk-I, xkl

• Forme la suma

L" (2)
f(Xk')Llxk'

k=1

Sumas del tipo proporcionado en (2) que corresponden a varias particiones de [a, b] se FIGURA 5.4.2 La funci6n f es
denominan sumas de Riemann en honor del famoso matematico aleman Georg Friedrich
Bernhard Riemann . positiva y negativa sobre el
intervalo [a, bI
Aunque el procedimiento anterior parece muy semejante a los pasos que llevan a la defini-
cion de area bajo una grafica dada en la seccion 5.3, hay algunas diferencias importantes.

Observe que una suma de Riemann (2) no requiere que f sea continua 0 no negativa sobre el

intervalo [a , b]. Asi, (2) no necesariamente representa una aproximacion al area bajo una grafi-
ca. Tenga en cuenta que "area bajo una grafica" se refiere af area acotada entre fa grafica de una

°fUllcion continua no negativa y ef eje x. Como se muestra en la FIGURA 5.4.2, sif(x) < para algu-

na x en [a , b], una suma de Riemann puede contener terminos f(XZ')Llxb donde f(x'!:]) < 0. En

este caso, los productos f(Xk')Llxk son numeros que son los negativos de las areas de rectangulos
trazados abajo del eje x.

296 CAPITULO 5 Integrales

'¥13MR!.I' Una suma de Riemann

Calcu le la suma de Riemann paraf(x) = X2 - 4 sabre [-2, 3 ] can cinco subintervalos deterl11ina_

----* - *das par Xo -- - 2, XI -- - 2I , X2 -- 0, X3 -- I , X4 -- 47, Xs -- 3 YX.*I -- - 1, X2 - -41' X.3* -- 2I , x:.j,'. ""
x~ = ~ . Encuentre la norma de la particion.
-'

nSolucion En la FIGURA 5.4.3 se muest:ra 9ue los numeros x}, k = 0, 1, .. . , 5 determinan cinco

subintervalos [-2, -~] , [ -~, 0] , [0,1], ll , Y [~, 3] del intervalo [- 2,3] Y un punta I11Uestra

xi' (en roj o) dentro de cada subintervalo.

~= - 2,-__~~_x_l~=_-2-I~x~2t=rO-~~~xt3r=-1 ~~xt4 ~=4-7__~~__'~Xs=3

t i ,""'I ", I '" I " t3 . ts I 'X

x[ = - X 2= - 4 -'3=2: X4 = 2: Xj =2:

FIGURA 5.4.3 Cinco subintervalos y puntos muestra en el ej emplo I

Luego, evalue la funcionf de cada punta muestra y determine el ancho de cada subintervalo:

f(x'/') = f( - I) = -3, LlXI = XI - Xo = - = 21" - (-2) = 23"

(-±) ±~~,f(xD = f(- ±) = - =
LlX2 = X2 - XI = 0 -

f(xj') = f(±) = ~,

f(X4') = f(~) = ~, LlX4 = X4 - X3 = '2 - 1 = 1.

f(xD = f{%) = ~, 44

LlXs = Xs - X4 = 3 - 47 = 45'

Entonces, la suma de Riemann para esta particion y esa eleccion del punto muestra es

fex,/,)LlXI + f(XnLlX2 + f(xD LlX3 + f(X n LlX4 + f(xnLlXs

= (-3)(~) + ( - ~~)(±) + (- ~)c1) + (-~)(~) + (~)(~) = -2-372=9 -8.72.

AI analizar los valores de los cinco LlXk observamos que la norma de la particion es IIPI =~. •

Para una funcionfdefinida sobre un intervalo [a , b] , hay un numero finito de posibles sumas

de Riemann para una particion dada P del interval0, puesto que los numeros x%' pueden escoger-
se arbitrariamente en cada subintervalo [ Xk - ], xd .

hMiMQ!.Wj Otra suma de Riemann

Calcule la suma de Riemann para la funcion del ejemplo I si la particion de [ - 2, 3] es la misma

-i, tpero los puntos muestra son xi = -~, xi' = xj' = x~' = ~ y x~' = 2.1.

Solucion Solo es necesario calcular f en los nuevas puntos muestra, puesto que los numeros

LlXk son los mismos que antes:

f(x'f) = f(-~) = ~

-t) 1f(xD = f( = 5
26

f(xn = f(~) = ~~

f(x1') = f(~) = ~

f(xD = f(2.1) = 0.41.

5.4 La integral definida 297

AI101.,,\ 1''\ .suma de Riemann es

'(.r'i' ) ~.rl + I(xD6. x2 + f(x j')6. X3 + f(x1')6. X4 + f(X~')6.X5
(-~)(~) (-2~1)(~) (-~~}l) (-~)(~) (0.41)(~)j =
+ ++ + = -8 ,85 , •

Tcnc\1l0S interes en un tipo especial de lfmite de (2), Si las sumas de Riemann L~ = d(Xk')6.Xk

estan proximas a un numero L para toda partici6n P de [a, b] para la cual la norma IIPI este

cerca de cero, entonces escribimos

/I (3)

lim Lf(Xk') 6.Xk = L
IIPII--+O k = \

Yse dice que L es la in~egral definida d,e f sobre el intervalo [a , b], En la siguiente definici6n

se introduce un nuevo sllnbolo para el numero L.

Definicion 5.4.1 La inte,gral definida

Sea/una fu nci6n definida sobre un intervalo cerrado [a , b], Entonees la integral definida de
j de a a b, que se denota por I:;I(x) dx, se define como

I> /I (4)

I f(x) dx = lim Lf(xt)6.Xk'

" I PI--+Ok = I

Si el lfmite en (4) existe, se dice que la funci6njes integrable sobre el intervalo, Los nume- IIPII
ros a y b en la definici6n precedente se denominan limite inferior y limite superior de integl'a-
a ~
I,cion, respectivamente. La funci6n f se denomina integrando. EI slmbolo integral segun 10 ••
lI saba Leibniz, es una S alargada que representa la palabra suma. Tambien observe que IIPI --+ 0 ~ II I I
b
siempre implica que el numero de subintervalos n se vuelve infinito (n --+ (0). No obstante, t

como se muestra en 1a FIGURA 5.4.4, el hecho de que n --+ 00 no necesariamente implica IIPI --+ O. el numero de intervalos

I Integrabilidad En los dos teoremas siguientes se plantean condiciones que son suficientes se vuelve una infinidac1
para que una funci6nfsea integrable sobre un intervalo [a , b]. No se proporcionan las demos-
traci ones de estos teoremas. FIGURA 5.4.4 Una infin idac1 de

subintervalos no implica IIPII-- 0,

Teorema 5.4.1 Continuidad implica integrabilidad

Si fes conti nua sobre el intervalo cerrado [a, b] , entonces I(~f(x) dx existe; es decir,f es inte-
grable sobre el intervalo.

Hay funciones definidas para cada valor de x en [a , b] para las cuales el limite en (4) no

existe. Tambien, si la funci6nfno esta definida para todos los valores de x en el intervalo, la inte-

gral definida puede no existir; por ejemplo, despues se vera por que una integral como

J~P/x) dx no existe. Observe que y = l /x es discontinua en x = 0 y no esta acotada sobre el

rintervalo. Sin embargo, a partir de este ejemplo no debe conc1uirse que cuando una funci6n f

tiene una discontinuidad en [a , b], f(x) dx necesariamente no existe. La continuidad de una

funci6n sobre [a, b] es condici6n s~ficiente pero no necesaria para garantizar la existencia

de t'f(x) dx. El conJ'unto de funciones continuas sobre [a , b] es un subconjunto del conjunto de

fllnc"iones que son integrables sobre el intervalo.

EI siguiente teorema proporciona otra condici6n suficiente para integrabilidad sobre [a , b ].

Teorema 5.4.2 Condiciones suficientes para integrabilidad

Si una funei6n f esta acotada sobre el intervalo cerrado [a, b], es decir, si existe una cons-

tante positiva B tal que - B ~ j(x) ~ B para toda x en el intervalo y tiene un numero finito

de discontinuidades en [a , b], entonces f es integrable sobre el intervalo.

298 CAPITU LO 5 Integ rales

y Cuando una funcion f esta acotada, su gnifica completa debe estar entre dos rectas hori z-on·
y = f(x) tales, y = B YY = -B . En otras
palabras, If(x) I :S B para toda x en [ a, b ]. La funcion

{~:f(x ) = 0 :Sx<2
2 :Sx:s3

-t--+--t--+-- x mostrada en la FIGURA 5.4.5 es di scontinua en x = 2 pero esta acotada sobre [0, 3] , puesto qUe
FIGURA 5.4.5 La integral definida If(x)1 :S 4 para toda x en [0, 3]. (Para el caso, I :S f(x) :S 4 para toda x en [0, 3] muestra quef

de f sabre [0, 3] existe esta acotada sobre el intervalo.) Por el teorema 5.4.2 se concluye que f 6'l(x) dx exi ste. La FIGU_

Y= f(x) RA 5.4.6 muestra la grMica de una funcion f que no esta acotada sobre un intervalo l ({, b I. Sin
y importar cuan grande sea el numero B escogido, la grMica de f no puede estar confinada a la
region entre las rectas horizon tales y = B YY = - B.
Y=8
I Partici6n regular Si se sabe que una integral definida exi ste (por ejemplo, el integrando f es
ab
continuo sobre [a , bJ), entonces:
--~-~--~-_x
• Ellimite en (4) existe para cualquier forma posible de particion [a, b] y para toda forma
V= -8
posible de escoger xl' en los subintervalos IXk- h xd .
FIGURA 5.4.6 La funci 6n f no
En particular, al escoger los subintervalos del mismo ancho y los puntos muestra como los pun-
est,] acotacla sabre [a, b]
tos fronterizos derechos de los subinterval os [Xk- I, xd , es decir,

Llx b-a y x.,,'.' = a + k-b -- a , k = 1, 2, ... , n,

= --
nn

la expresion (4) puede escribirse en forma alterna como

Jbf(x) dx = Ifm 211 -f ( a + kb -- -a)b---a . (5)
a 11-400 k = 1 nn

Recuerde por la seccion 5.3 que una particion P de [a , b) donde los subintervalos tienen el
mismo ancho se denomina partidon regular.

I Area Tal vez usted concluya que los planteamientos de rf(x ) dx dados en (4) y (5) son

exactamente los mismos que (6) y (7) de la seccion 5.3 para el ~aso general de encontrar el area
bajo la curva y = f(x) sobre [ a, b]. En cierta forma esto es correcto; no obstante, la definicion
5.4.1 es un concepto m:is general puesto que, como ya se observo, no estamos requiriendo quef

sea continua sobre [a, b10 que f(x) 2:: 0 sobre el intervalo , Por tanto, una integral definida no

necesita ser un area . Entonces, ~que es una integral definida? Por ahora, acepte el hecho de que

una integral definida es simplemente un numero real. Compare esto con la integral indefinida,

que es una funcion (0 una familia de funciones) . EI area bajo la grafica de una funcion continua

no negativa, ~ es una integral definida? La respuesta es sf,

Teorema 5.4.3 EI area como integral definida

Sif es una funcion continua sobre el intervalo cerrado [a, b 1y f(x) 2:: 0 para toda x en el inter-
valo, entonces el area A bajo la grafica sobre [a, b 1es

I> (6 )

IA = f(x) dx,
a

'=!I3f'!IR!'W' EI area como integral definida

y r--? Considere la integral definida f ~ I ~ dx. EI integrando es continuo y no negativo, de
I y = 'JI -x"
modo que la integral definida representa el area bajo la grMica de f(x) = ~ sobre el
intervalo [-1, 1]. Debido a que la grafica de la funcion f es el semicirculo superior de

x 2 + / = I, el area bajo la grMica es la region sombreada en la FIGURA 5.4.7. Por geometrfa sabe-

mos que el area de un cfrculo de radio r es 7Tr2, y asf con r = 1 el area del semicfrculo y, por

-+-----+----~x tanto, el valor de la integral definida, es

-I •
FIGURA 5.4.7 Area en el
ejemplo 3

5.4 La integra l defini da 299

I!I ""rEn la secci6n 6.2 volveremos a la cuesti6n de encontrar areas por medio de la integral definida.
Integral definida usando (5)

y y = x3

tcnt' 1ll0S

f(- 2 + ~:) = ( - 2 + ~:Y = -S + 36(~) - 54(:~ ) + 27(:: ).

Luego. par (5) y las f6rmulas de suma i), ii), iii) Y iv) del teorema 5.3.2 se concluye que

f I x ,' dx = li,m1 1 .( - 2 + -3k)3-

"".:£1
, II -,>OO k= I n n

(k) (k2) (k3 FIGURA 5.4.8 GnHic<l de la
fun ci6n en e l ejemplo 4
lim -3 "."I.I:£ [ - S + 36 - - 54 2 + 27 3")]
II-,>oo n k=I n n n

Ifml[-sn + 36 . n(n + 1) _ 54. n(n + 1)(2n + I) + 2 + 1)2]

27. n (n

II-,>oo n n2 n2 6 n3 4

}~! [ - 24 + 54( I +;) - 27( 1 + ~)(2 + ;) + ~1 (1 + ~)( I + ;)]

= - 24 + 54 - 27(2) + 4Sl = - 415' •

En la FI GURA 5.4.8 se muestra que no se esta considerando el area bajo la gr<ifica sobre [ - 2, 1] .

1,IMI14!'Xi Integral definida usando (5)

Los valores de las sumas de Riemann en los ejemplos I y 2 son aproximaciones al valor de la

-integral definida f~ 2 (X2 4) dx. Se deja como ejercicio demostrar que (5) da

f 3 (x 2 - 4) dx = - 325 = - S.33. •

-2

Yea el problema l6 en los ejercicios 5.4.

I Propiedades de la integral definida A continuaci6n se analizaran algunas propiedades
importantes de la integral definida que se defini6 en (4).

Las dos siguientes definiciones son utiles cuando se trabaja con integrales definidas.

Definicion 5.4.2 Lfmites de integraci6n

i) Igualdad de limites Si a esta en el dominio de f, entonces (7)
ii) Inversion de limites (S)
a

f f(x ) dx = O.
(/

Si f es integrable sobre [a, b], entonces

( ~f(x) dx = - f bf(X) dx.

Jh (/

La definici6n S.4.2i) puede motivarse por el hecho de que el area bajo la grafica de f y por

arri ba de un solo punto a sobre el eje x es cero.

En la definici6n de rf(x) dx se supuso que a < b, de modo que la direcci6n de "costum-
bre" de la integraci6n defi~ida es de izquierda a derecha. EI inci so ii) de la definici6n 5.4.2 esta-

bl ece que invertir esta direcci6n, es decir, intercambiar los Hmites de integraci6n, resulta en la
negativa de la integral.

300 CAPITULO 5 integra ies

1!1#14!"\I Definici6n 5.4.2

Por el inci so i) de la defini cion 5.4.2,

r (X 3+ =1o..; limitc .. de inl l'~ral· i(lIl ~
3x) dx O.

1!I3MI4!'.' Otro repaso al ejemplo 4 •

-.If.En el ejemplo 4 vimos que J~2 X3 dx = Por el inci so ii) de la definicion 5.4.2 se conclu; ;
2
x 3 dx = - (- 415) = 415'
- IIx3 dx = -
fI -2 •

En el siguiente teorema se enumeran algunas de las propiedades basicas de la integral cletinida.

Estas propiedades son analogas a las propiedades de la notacion sigma proporcionadas en el teare_

ma 5.3.1 , aSI como a las propiedades de la integral indefinida que se analizaron en la secci6n 5. 1.

Teorema 5.4.4 Propiedades de la integral definida

Si f y g son funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b], entonces

i) ( bkf (x) dx = k ( "f(x) dx , donde k es cualquier constante

Ja Ja

J,ii) ( " [f(x) ::t g(x)] dx = ( hf(X) dx::t ( "g(x) dx.

Ja Ja

El teorema 5.4.4ii) se extiende a cualquier suma finita de funciones integrables sobre el in-
tervalo [a, b) :

(" (I' ("

.fI(x) dx + .f2(x) dx + f ,(x ) d.r.
J J L L("
[.fI(x) + f 2(X) +
... + Ux)] dx = ... +

G a {/ It

La variable independiente x en una integral definida se denomina variable ficticia de inte-

gracion. El valor de la integral no depende del sfmbolo usado. En otras palabras,

I" II> I"J(bf (x) dx = fe r) dr = f(s) ds = f( r) dt (9 )

(/ (/ a (/

y aSI sucesivamente.

t!I3M4!" :' Otro repaso al ejemplo 4

POI' (9), no importa que slmbolo se use como la variable de integracion:

•15

4'

Teorema 5.4.5 Propiedad aditiva del intervalo

Si f es una funcion integrable sobre un intervalo cerrado que contiene a los numeros a, b y

C, entonces

b
Ie I"y
f (x) dx = f(x) dx + f(x) dx. (10)
III a c

I Resulta facil interpretar la propiedad aditiva del intervalo dada en el teorema 5.4.5 en el casa
especial en que f es continua sobre [a , b) y fCx ) 2: 0 para toda x en el intervalo. Como se ve en
I
la FIGURA 5.4.9, el area bajo la grafica de f sobre [a, c) mas el area bajo la grafica del intervalo
bI adyacente [c, b) es la misma que el area bajo la grafica de f sobre todo el intervalo [a, b].
Jc f (x) dx :
= -----'-.-x Nota: La conclusion del teorema 5.4.5 se cllmple cuando a, b y c son tres numeros cualesq/lie-
ac b
ra en un intervalo cerrado. En otras palabras, no es necesario tener el orden a < c < b como se
'--- --~v---_/
muestra en la figura 5.4.9. Ademas, el resllitado en (10) se extiende a cualquier numero tinito de
Jab f (x ) dx numeros a, b, C I , Cb .. . , c" en el intervalo. POI' ejemplo, para un intervalo celTado que contiene
a los numeros a, b, CI Y C2,
FIGURA 5.4.9 Las areas son

aditivas

fiCX) dx = fj·CX) dx + fICX) dx + fi(X) dx.

{/ a (" I 1":

5.4 La integral definida 301

para Lill a particion P dada de un intervalo [a, b], tiene sentido afirmar que

/I (11)

Ifm ~ aXk = b - a,
I PI -->O k = I

en 0 (fa.S l)'llabras, el Ifmite 11lP1i1m....oL";'=I ax/, es simplemente el ancho del intervalo. Como una con-

'

secuencia de ( II) , tenemos el siguiente teorema.

,...--- y
Teorema 5.4.6 Integral definida de una constante y= k

1:'-- fcb,k dx

Para cLialquier constante k,

J J(b (b

k dx = k dx = k(b - a).

(f a

Si f.: > 0, entonces el teorema 5.4.6 implica que flaJk dx es simplemente el area de un rectan- -+--~----------~~ x

gulo de ancho b - a y altura k. Yea Ia FIGURA 5.4.10. ab

!---b - Cl----+j

FIGURA 5.4.10 Si k > 0, el area
bajo la gratica es k(b - a)

dWJiQ!'1i1 Integral definida de una constante

Por el teorema 5.4.6, r r5 dx = 5 dx = 5(8 - 2) = 30.

•

I!I8MQ!.I !e' Uso de los ejemplos 4 y 9

f2Evalue (x 3 + 5) dx.

Soluci6n Por el teorema 5.4.4ii) podemos escribir la integral dada como dos integrales:

f ft L>3+5) dx = 3 + dx.
(X
dx

2

- .!f,Luego, por el ejemplo 4 sabemos que I ~2X3dx = y con ayuda del teorema 5.4.6 vemos que

J ~25 dx = 5 [1 - ( - 2)] = 15. En consecuencia,

f2 11)(x3 + 5) dx = ( - + 15 = ~. •

Por ultimo, los siguientes resultados no son sorprendentes si Ia integral se interpreta como
un area.

Teorema 5.4.7 Propiedades de comparacion

Sean f y g funciones integrables sobre el intervalo cerrado [a, b] .

i) Si f(x ) 2': g(x) para toda x en el intervalo, entonces

fff(X) dx 2': g(x) dx.

aa

ii) Si m :5 f(x) :5 M para toda x en el intervalo, entonces

m(b - a):5 ff(X) dx :5 M(b - a).

a

Las propiedades i) y ii) del teorema 5.4.7 se entienden facilmente en terminos de area. Para

i). si se supone f(x) 2': g(x) 2': 0 para toda x en [a , b], entonces sobre el intervalo el area A I bajo

la grMica de f es mayor que 0 igual al area A2 bajo la grafica de g. En forma semejante, para ii)
si se Supone quef es continua y positiva sobre el intervalo cerrado [a , b] , entonces por el teorema

302 CAPITULO 5 Integrales

)'1 v = I (·q del valor extremo,ftiene un mlnimo absoluto m > 0 y un maximo absoluto M > 0 en el interva_

'"mfnimo el area es 10. Entonces, el area bajo la grafica I,~f(x) dx sobre el intervalo es mayor que 0 igual al area

lII(h - 0) m(b - a) del rectangulo mas pequeno mostrado en la FIGURA 5.4.11a) y menor que 0 igual al
area M(b - a) del rectangulo mas grande mostrado en la figura 5.4.1 Ib).
-+-..J..a-'--------'-b- x
Si en i) del teorema 5.4.7 se hace g(x) = 0 y se usa el hecho de que I,;' O dx = 0, se ConcIu_

ye 10 siguiente:

a) • Sif(x) 2: 0 sobre [a, b], entonces I,~f(x) dx 2: O. ( 12)

y En fonna semejante, al escogerf(x) = 0 en i) , se concluye que:

Y = I(.r) • Si g(x) ::5 0 sobre [a, b], entonces I"g(x) dx ::5 O.
{/
,, ( 13)

I,

el area es: I Area neta con signo Debido a que la funci6n f en la FIGURA 5.4.12 asume valores tanto positi-

M(b - 0)' vos como negativos sobre [a, b] , la integral definida J,~f(x) dx no representa area bajo la grMica

+--'a-------'-b- x defsobre el intervalo. Por el teorema 5.4.5, la propiedad aditiva del intervalo,

b) ff(X) dx = r :l(X) dx + L :l(X) dx + flex) dx. (14)

FIGURA 5.4.11 Motivaci6n para e l Debido a quef(x) 2: 0 sobre [a, CI] y [C2> b] tenemos
inci so ii) del teorema 5.4.7

y

flex) dx = Al y ff(X) dx = A 3,

a C2

d-:---.:'-b~X donde Al y A3 denotan las areas bajo la grafica defsobre los intervalos [a, cJl y [C2, b], respec-

FIGURA 5.4.12 La integra l tivamente. Pero puesto quef(x) ::5 0 sobre [CI, C2] en virtud de (13), tenemos I «,' f(x) dx ::5 0 Y

definida de f sobre [a, b] propor- aSI I e, f(x) dx no representa area. No obstante, el valor de I C1(x) dx es el negativo del area ver-
(I CI
ciona el area neta con sig no entre la grafica de f y el eje x el intervalo [ CI, C2]. Es decir,
dadera A2 acotada sobre

Je':' f(x) dx = -A2• Por tanto, (14) es

y y = x' flex) dx = Al + (-A 2) + A3 = Al - Az + A3·
"
Vemos que la integral definida proporciona el area neta con signo entre la grafica de f y el eje

x sobre el intervalo [a, b].

,.,.".+-,,--+-~__ x "jiMijle'" Area neta con signo

FIGURA 5.4.13 Area neta con -.ifEI resultado I ~2X 3 dx = obtenido en el ejemplo 4 puede interpretarse como el area neta con
signo en el ejemplo I I
signo entre la grafica def(x) = x3 y el eje x sobre [-2, I]. Aunque la observaci6n de que

i l l Sf ix3fdxO= x3 dx + x3 dx = - AI + Az = - 4

-2 - z 0

no proporciona los valores de A I YA 2 , el valor negativo es consistente con la FIGURA 5.4.1 3 donde

resulta evidente que el area A I es mayor que Az. •

• La teoria Seafuna funci6n definida sobre [a, b] y sea L un numero real. EI concepto intui-

tivo de que las sumas de Riemann estan pr6ximas a L siempre que la norma IIPII de una particion

Peste cerca de cero puede expresarse en forma precisa usando los simbolos 8-0 introducidos en

la secci6n 2.6. Al afirmar que f es integrable sobre [a , b] , se esta diciendo que para todo niime-
ro real 8 > 0 existe un numero real 0 > 0 tal que

I~f(XnLlXk - L I< 8, ( 15)

siempre que P sea una partici6n de [a , b] para la cual!!P!! < 0 Y el x%, son los numeros en los
subinterval os [Xk - I, Xk], k = 1, 2, ... , n . En otras palabras,

11

11m Lf(xnLlxk

111'11-->0 k = I

existe y es igual al numero L.

5.4 La integ ral defini da 303

I posdata: Un poco de historia Georg Friedrich Bernhard Riemann ( 1826- 1866) naci 6 en

Hanover, Alemania, en 1826. Fue hijo de un mini stro luterano. Aunque era cristiano devoto,

,~-z-,. Riemann no se inclin6 por seguir la vocaci 6n de su padre y abandon6 el estu-
dio de teologfa en la Universidad de Gotinga para seguir una carrera de estu-

dios en los que su genio era evidente: matematicas. Es probable que el con-

cepto de sumas de Riemann haya sido resultado de un curso sobre integral

definida que tom6 en la universidad; este concepto refleja su intento por asig-

nar un significado matematico preciso a la integral definida de Newton y

Leibniz. Despues de presentar su examen doctoral sobre los fundamento s de

las funciones de una variable complej a al comite examinador en la

Universidad de Gotinga, Karl Friedrich Gauss, el "principe de las matemari-

Riem ann cas", dedic6 a Riemann un elogio bastante singular: "La disertaci6n ofrece
pruebas concluyentes. . . de una mente creativa, activa, verdaderamente

malel1lulica. . . de fertil originalidad". Riemann, como muchos otros estudiantes promisorios de

la epoca, era de constituci6n fragil. Falleci6 a los 39 afios de edad, de pleuresia. Sus originales

conlribllciones a la geometrfa diferencial, topologfa, geometrfa no eucl idiana y sus intrepidas

investigaciones concernientes a la naturaleza del espacio, la electricidad y el magnetismo anun -

ciaron el trabajo de Einstein en el siglo siguiente.

NOTAS DESDE EL AULA

EI procedimiento bosquejado en (5) tenIa una utilidad limitada como medio practico para
calcul ar una integral definida. En la siguiente secci6n se introducira un teorema que permite

encontra r el numero I b f(x) dx de manera mucho mas faci!. Este importante teorema consti-
a

tllye el puente entre el calculo diferencial y el calculo integral.

Ejercicios 5.4 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19.
=Fun damentos
la misma longitud. Sea xt, k = 1, 2, .. . , 5, el punto fron-

En los problemas 1-6, calcule la suma de Riemann 'i'i= d(xZ') terizo derecho de cada subintervalo.

tJ.,rk para la partici6n dada. Especifique II P II. 8. Dadaf(x) = x 2 - X + 1 sobre [0, 1], calcule la suma de

I. f(x) = 3x + 1, [0, 3], cuatro subintervalos; Xo = 0, Xo = 1, Riemann usando una partici6n con tres subintervalos de

la misma longitud. Sea x2', k = 1,2,3, el punto fronteri -

.\~ = %,X3 = ~, X4 = 3; x'i' = ~, x~' = ~, x j' = 2, x~' = ~ zo izquierdo de cada subintervalo.

En los problemas 9 y 10, sea Puna partici6n del intervalo

2. l ex) = x - 4, [ - 2,5 ] , cinco subintervalos; Xo = -2, X I indicado y xt' un numero en el k-esimo subintervalo. Escriba

-1,= - I , X2 = - ~, X3 = ~, X4 = 3, Xs = 5; x'i' = las sumas dadas como una integral definida sobre el intervalo

xs-x.i,. = 0 ±V9indicado .
- 2I ' X3.''. = X4'1'' = 2, '1' = 4 + (Xt) 2Llxk; [ - 2,4]
, 9. lim
-±,3. f (x) = x2 , [- 1, I] cuatro subintervalos: Xo = -1, XI =
Ilpll-->ok ~ I

x~ = 4I ' X3 = 43' 1 ·,· 3-4' x"I =0 · ,· 21' 11
x"j' = x }·
; , 10. 11m ~ (tanxDLlxk; [0, 7T/4]

Ilpll--> ok~ I

X4 = = En los problemas II y 12, sean Puna partici6n regular del

xi' = ~ intervalo indicado y x%' el punto fronterizo de cada subinter-
valo. Escriba la suma dada como una integral definida.

4. f(x) = x 2 + I , [ 1, 3], tres subintervalos; Xo = I, XI 3 11. Ifm ~11 ( 1 + -2k)2- ; [0, 2]
2' 11 -->00 k ~ I n n
25' X3 3 xT.'. 45' x.I'. = 47' xi.''. =
.\2 = = = 3 12. Ifm ~II ( 1 + -3k)3 -3 ; [1,4]
; 11 --> 00 k ~ I n n

S. lex) = sen x , [0, 27T ], tres subintervalos ; Xo = 0, X I = 7T,

.\2 = 37T/ 2, x3 = 27T; X'I' = 7T/ 2, x'~ = 77T/ 6, x~' = 77T/ 4 En los problemas 13-1 8, use (5) y las f6rmulas de suma en el

6. f (x ) = CoSX, [- 7T/2, 7T/2], cuatro subintervalos; Xo = teorema 5.3.2 para evaluar la integral definida dada.

-7T/ 2, XI = - 7T/ 4, X2 = 0, X 3 = 7T/ 3, X4 = 7T/ 2; II13. xdx 14. f 3XdX

x';' = -7T/ 3, x~' = -7T/ 6, x3' = 7T/ 4, x~; = 7T/ 3 -3 0

7. Dada f(x) = X - 2 sobre [0, 5], calcule la suma de 15. f 2(X 2 - x) dx I3

Riemann usando una partici6n con cinco subintervalos de 16. (x 2 - 4) dx

I -2

304 CAPITULO 5 Integ ral es

42. f 2gCX) dx si

En los problemas 19 y 20, proceda como en los problemas f 2f'CX) dx = 14 Yf2 [f(x ) - 5g(x)] dx = 24

13-18 para obtener el resultado dado.
f"20. x 2dx = 31 Cb3 - a3)
f19. bx dx = 2L(b2 - a2) En los problemas 43 y 44, evalue las integrales definidas
a a

fiX21. Use el problema 19 para evaluar dx. a) f/(X ) dx b) flex) dx c) f'rcx) dx

22. Use el problema 20 para evaluar flX2 dx. d) fl(X) dx e) f {~(X) dx f) frcx) dx

aba

usando la informacion en la figura dada.

En los problemas 23 y 24, use e l teorema 5.4.6 para evaluar la 43. y
integral definida dada.
Area = 3.9

23. f4dX 24. f 2C - 2)dX

En los problemas 25-38, use la definicion del teorema 5.4.2 y Area = 1.2

los teoremas 5.4.4, 5.4.5 Y5.4.6 para evaluar la integral defi-

nida dada. Donde sea idoneo, use los resultados obtenidos en
r26. lOx4 dx
los problemas 2 L Y 22. FIGURA 5.4.14 Gnltica para el prob lema 43

25. r-2!. dx 44. Area = 9.2
J4 2
y
27. - i - llOXdX 28. [C3X + 1) dx Area = 6.8

i29. - l t2 dt 30. [C3x2 - 5) dx a ,.,,/---"-:-,~ x

31. [C-3X2 + 4x - 5) dx 32. [6X(X - 1) dx FIGURA 5.4.15 Gnifica para el problema 44

O I1.2 f.1.2 En los problemas 45-48, la integral dada representa el area

I eJ33. x2 dx + x2dx 34. 2tdt - 2tdt Ibajo una gratica sobre un intervalo dado. Trace esta region.
-I o
-I 3
f35. fXdX + C9 - x) dx
45. I (2x + 3) dx 46. r 4( - X2 + 4x) dx
J- I o
f248. -Vx+2 dx
[ 7T47. senx dx

r37. 3 f.30t3 dt En los problemas 49-52, la integral dada representa el ,1rea
J X 3 dx +
o bajo una gratica sobre un intervalo dado . Use formulas id6-

I- I f. -I neas de geometria para encontrar el area.

38. 5x dx - Cx - 4) dx L:49. Cx + 2) dx f iX-50. 11dx

-I 3

En los problemas 39-42, evalue la integral definida usando la 51. i\/l~ dx f3(252. + \1'9 - x2)dx
informacion dada.

39. f/(X) dx si f/(X) dx = 6 y f/(X) dx = 8.5

En los problemas 53-56, la integral dada representa la

40. f/(X) dx si fr(X) dx = 2.4 y fr(X) dx = -1.7 siguiente area con signo entre una gratica y el eje x sobre un

[[241. /CX) + g(x) ] dxsi intervalo. Trace esta region. fy -54. x2) dx

fe-2X53. + 6) dx

3 r5,,/2
4x d
[/CX) dx = 3.4 y [3 g(X) dx = 12.6 I55. 56. J cos x dx
- 1/ 2x + 1 x
o

5.5 Teorema fu ndamenta l del ca lcu lo 305

los problemas 57-60, la integral dada representa el area En los problemas 69 y 70, compare las dos integrales dadas
por medio de un sfmbolo de desigualdad :::; 0 2: .
cEann s.,.="'no entre una grafica y el ej e x sobre un intervalo. Use
, ,
f6n llUl a.-; id6neas de geometna para encontrar el area neta con
69. {' X2 dx, {'x3dx
sig no. -58. r(~x 2)dX
II II70. \.14+2 dx, ~ dx
57. f 12.r clx

[(l -59. f 11(\ - ~) dx 60. Ixl) dx =Piense en ello

En 10' problemas 61-64, la funcionJse define como 71. SiJ es integrable sobre el intervalo [a, b], entonces tam-
bien 10 esJ2 . ExpJique por que f ,7/ 2(x) dx 2: 0.
{x'{(x) =
3, xx::>:; 3 72. Considere la funcion definida para toda x en el intervalo
. 3. [ - 1, I] :

Use formul as idoneas de geometrfa para encontrar la integral

definida dada. {O,f(x) = x racional

(nx)61. dx 62. fJ (X) dx 1, x irracional.

63. J 'f(X) dx 64. {,/(X) dx Demuestre queJno es integrable sobre [-], 1] , es decir,
f~J(x) dx no exi ste. [Suge rencia: El resultado en (11)
- .j
puede ser (ttil.]
En los problemas 65-68, use el teorema 5.4.7 para establecer
73. Evalue 1a integral definida fd Vx dx usando una particion
la des igualdad dada.
de [0, 1] donde los subintervalos [Xk-" xd estan defini-
II65. eX dx :::; fO e- x dx
dos por [(k - 1)2/n2, ~/n2 ] y escogiendo xi' como el
-I -I
punto fronterizo derecho de cada subintervalo.
°66. f 7T/.j(COS x - sen x) dx 2:
74. Evalue la integral definida f ; /2 cos X dx usando L1na par-
Il ticion regular de [0, 7T/ 2] y escogiendo xt' como el

{,(x )67. I :::; punto medio de cada subintervalo [Xk- " xd. Use los

resultados conocidos

+ 1)1/2 dx:::; 1.42 . cos () + cos 3() + ... + cos(2n - 1)8 = s2en 2n ()
I) ()
sen

f(X 2- °68. - 2:::; I.I.) l1'm 1 4
2x)dx:::;
11 ->00/1 sen (7T/ 4n) 7T

5.5 Teorema fundamental del calculo

I Introduccion Al final de la seccion 5.4 se indico que hay una forma mas sencilla para eva-
luar llna integral definida que calculando el limite de una suma. Esta "manera mas sencilla" se
logra por medio del teorema fundamental del caIculo. En esta seccion vera que hay dos for-
mas de este importante teorema: la primera forma, que se presenta a continuacion, permite eva-
luar Illuchas integraies definidas.

I Teorema fundamental del calculo: primera forma En el siguiente teorema se ve que el con-
cepto de antiderivada de una funci6n continua constituye el puente entre el calculo diferencial y
el caiculo integral.

Teorema 5.5.1 Teorema fundamental del calculo: forma de antiderivada

Si f es una funcion continua sobre un intervalo [a, b] y F es L1na antiderivada de J sobre el

intervai o, entonces

"J(x) dx = F(b) - F(a). (1)
Ia

306 CAPITULO 5 Integrales

Se pl\~s~nlar~l n dos dc mos lr~ICi() - ~ DEMOSTRACION Si F es una antiderivada de 1, entonces por definici6n rex) = f(x). Puesto

ncs del lco rcma 5.5.1. En la que F es diferenciable sobre (a, b) , el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) garanti za que

li.::nHlslrac illn lJ Ul' se Jll"O pllrcio- existe un xi' en cada subintervalo (Xk- I , Xk) de la partiei6n P:
na sc usa la pn:: mi sa b~lsica de
a = Xo < XI < X2 < ... < XII - I < =xl1 b
que una inl eg ral dd inida e, un

lImite de una S UI1l ~1. Dcspu es tal que

que se demu esl l'c IJ seg unda F(Xk) - F(Xk- l) = F'(XJ')(Xk - Xk - I) 0 F(Xk) - F(Xk- l) = f(xt) t:Uk'
forma de l leo rc m:\ fund a menta l

de l cii lc ul o. se \'ol ver,j al lcorc- Luego, para k = 1, 2, 3, ... , n con el ultimo resultado obtenemos
l11a 5S 1 y sc pre, e ntara una F(xl) - F(a) = f(x'!') Llxl
de l11 os traci6n a ll crn~ l.

F(X2) - F(xl) = fCxi) LlX2

F(X3) - F(X2) = f(xD LlX3

Si sumamos las columnas precedentes,

II

[ F(xl) - F(a)] + [ F(X2) - F(x,) ] + ... + [F(b) - F(xlI_I) ] = Lf(x2') LlXk

k= 1

vemos que la suma de todos los terminos, menos los dos sin color en el miembro izquierdo de

la igualdad, es igual a 0, con 10 cual tenemos

II (2)

Pero !fm [F(b) - FCb) - F(a) = Lf(xD LlXk'

IPI->O k= 1

°F(a)] = F(b) - F(a), de modo que el limite de (2) cuando I PII ---+ es

/I (3)

F(b) - F(a) = 11m Lf(xn LlXk'

IIPII-->Ok = I

Por la definici6n 5.4.1, el miembro derecho de (3) es J "f(x) dx. •

"

La diferencia FCb) - F(a) en (1) suele representarse por el sfmbolo F(x)] b es deeir,
'"
fbf(x) dx = f(x) dx Jb = F(x) Jb.

Ja a a
'---v-------' ~

int e gra l int egral

defin ida ind e rinida

Puesto que el teorema 5.5.1 indica que F es cualquier antiderivada del, siempre es posible esco-
ger la constante de integraci6n C como igual a cero. Observe que si C =I=- 0, entonees

(F(x) + C) J"" = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - Jb=F(a) F(x) u'

U!!3¢@!.I' Usa de (1)

En el ejemplo 4 de la secci6n 5.4 se apel6 a la definici6n mas bien larga de integral definida para

demostrar que J ~2X3 dx = - J,f. Puesto que F(x) = ~X4 es una antiderivada de f(x) = x 3, a partir

de (1) obtenemos inmediatamente

JI x 3 dx = -x4 I = -I - _1 (-2)4 = -1 16 15 •
J-2 4 - 2 4 4 4
4

UIi#M4!'.J Uso de (1)

3

Evalue JI x dx.

Solucion Una antiderivada def(x) = xes F(x) = !x2 . En consecuencia, (1) del teorema 5.5.1

proporciona

J3 X2 ] 3 = "92 - "12 = 4. •

I X dx ="2 I

5.5 Teo rema fundame ntal del calculo 307

dl#l ~fSL-'u=-=s=-=o,---d=-,e,---(,-1'-'.)_ _ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

LEvall1c (.'Ix" - x + 1) dx.

Solucion Apl icamos i i) del teorema 5 . 1.2 y 1a f6rmula de integraci6n 2 de la tabla 5.1.1 a cada
tCI"Inino del integrando, y luego usamos el teorema fu ndamental:

f2 t2~~(3x2- X + I) dx = (X3 - + x)

= (8 - 2 + 2) - (- 8 - 2 - 2) = 20. •

dl#IWlII Uso de (1)

71"

JEvalue cos x dx.
71"/6

Solucion Una antiderivada de f(x) = cos x es F(x) = sen x. En consecuencia,

J7r cos x dx = sen x ]7r = sen 7T - sen -7T = 0 - -I = --1. •

71"/6 7r/6 6 2 2

I Teorema fundamental del calculo: segunda forma Suponga que f es continua sobre un inter-
valo l a. b l, por 10 que se sabe que la integral {~fCt) dt existe. Para toda x en el intervalo [a, b],

la integral definida ~ Tenga en cuenta que una integral

clefinicla no c1epencle de la

g(x) = fr(t) dt variable de integracion I.

(4)

a y y = I(t)

representa un solo numero. De esta forma, se ve que (4) es una funci6n con dominio [a, b l. En
la FIGURA 5.5.1 se muestra que f es una funci6n positiva sobre [a , b], y asf cuando x varfa a traves
del intervalo es posible interpretar g(x) como un area bajo la grMica sobre el intervalo [a, xl. En

la segllnda forma del teorema fundamental del calculo se demostrara que g(x) definida en (4) es I
una fUIlci6n diferenciable.
+g(x)

Teorema 5.5.2 Teorema fundamental del c:ilculo: forma de derivada (/ x b

Seafcontinua sobre [a, b 1y sea x cualquier numero en el intervalo. Entonces g (x) = I~'f(t) dt FIGURA 5.5.1 g(x) como area
es contillua sobre [a, b 1y diferenciable sobre (a, b) y

g'(x) = f(x). (5)

DEMOSTRACION PARA h> 0 Sean x y x + h en (a, b), donde h > O. Por la definici6n de derivada,

, ,g(x + h) - g(x)
g (x) = hm 1 . (6)
h--:-O 1

Aillsar las propiedades de la integral definida, la diferencia g(x + h) - g(x) puede escribirse como

f +'f(t)g(x + h) - g(x) = dt - fr(t) dt

({ a

J,X+'f(t) rf(t)dt + dt <- pOI" (8) de la sccc io n 5.4

fX+'f(t) dt. <- por ( 10) de la secc io n 5.4

Por tanto, (6) se vuelve

1 f X+h (7)
g'(x) = Ifm -I f(t) dt.

11--:-0 1
x

308 CAPITULO 5 Integrales

Puesto quefes continua sobre el intervalo cerrado [x, x + hl, por el teorem a del valor extremo

(teorema 4.3.1) se sabe quef alcanza un valor minimo In y un valor maximo M sobre el interva.
10. Puesto que m y M son constantes con respecto a la integraci6n sobre la variable t, pOl' el teo.
rema 5.4.7ii) se concluye que

X+h f X+h f X+ h

fx In dt :::; x f(t) dt :::; x Mdt. (8)

Con ayuda del teorema 5.5.1,

X+h ]X+ h
fx melt = mt x = m(x + h - x) = mh

X+ 11 ]X+h
y fx Melt = Mt x = M(x + h - x) = Mh.

Por tanto, la desigualdad en (8) se vuelve 0 m :::; h1 f X+h dt :::; M. (9)

X+h f(t)
nth:::; fx f(t) elt :::; Mh

x

Puesto que f es continua sobre [x, x + h 1 tiene sentido afirmar que lfm m = Ifm M =f( x ). Al
11---+ 0+ 11---+ 0+
tomar ellfmite de la segunda expresi6n en (9) cuando h ~ 0+
obtenemos

1 f X+ h

f(x):::; lfm -, f(t) elt :::; f(x).

h.....O+ 1
x

Esto demuestra que g'(x) existe y por f(x) :::; g'(x) :::; f(x) concluimos que g'(x) = f( x). Puesto

que g es diferenciable, necesariamente es continua. Un razonamiento semejante se cumpIe para

h < O. •

Otra forma mas tradicional de expresar el resultado en (5) es

Lel (X (10)

elx f(t) elt = f(x ).

II

U!J3MRK'¥j Usa de (10) ! rb) \If2+l dt = Vx2+l. •

Por (l0),

a) .!!:..-fXt3 dt=X3
dx -2

'¥IiIMRK"ij Regia de la cadena

!Encuentre r "cos t dt.

1T

Solucion Si identificamos g(x) = f~cos t dt, entonces la integral dada es la composici6n g(x3).
Realizamos Ia diferenciaci6n al aplicar la regIa de la cadena con u = x3 :

l::eelxlf x'cos t dt = eelu l (cfos"t )elt d

1T 1T

= cos u . du = cos x 3 . 3x2

dx

•

I Demostraci6n alterna del teorema 5.5.1 Vale la pena examinar otra demostraci6n del teo-

rema 5.5.1 usando el teorema 5.5.2. Para una funci6n f continua sobre [a, b l, la declaraci6n
g'(x) = f(x) para g(x) = f : f(t) dt significa que g(x) es una antiderivada del integrandof Si F es
cualquier antidetivada del, por elteorema 5.1.1 sabemos que g(x) - F(x) = Co g(x) = F(x) + C,

5.5 Teorema fund amental del calculo 309

(Ion(It>: C es una constante arbitraria. Puesto que g(x) = {' f(t) dr, para cualquier x en [a, b] se
.. (/.

concluyc que

fi(t) dt = F(x) + C. (II)

{/

Si en ( I I) sustituimos x = a, entonces

j':f(t) dt = F(a) + C

(/

f:imp li ca C = - F(a), puesto que f(t) dt = O. As!, (11) se vuelve

fict) dt = F(x) - F(a).

a

puesto que la ultima ecuacion es valida en x = b, encontramos

ff(t) dt = F(b) - F(a). •

(/

I Funciones continuas por partes Se dice que una funcion f es continua por partes sobre un y
intervalo [a, b ] si existe a 10 mas un mimero finito de puntos Ck> k = 1, 2, . . . , 11, (Ck - <] Ck)
~~0~: I I
en los queftiene una discontinuidad fin ita, 0 saIto , sobre cada subintervalo abierto (Ck-I , Ck) ' Yea II ; '-,

la FIGU RA 5.5.2. Si una funcion f es continua por partes sobre [a, b], esta acotada sobre el interva- a

10, y entonces por el teorema 5.4.2,fes integrable sobre [a , b] . Una integral definida de una fun- t

ci6n continua por partes sobre [a, b] puede evaluarse con ayuda del teorema 5.4.5: discontinuidades finitas

FIGURA 5.5.2 Funci6n continua

ffCX) dx = fi(X) dx + fi(X) dx + ... + ff(X) dx pOl' partes

a (l CI ('II

y al tratar a los integrandos de las integrales definidas en el miembro derecho de la ecuacion

anterior simplemente como si fuesen continuos sobre los intervalos cerrados [a, CI], [cj, C2], ... ,

[ell' bj.

I,IM@!' . Integraci6n de una funci6n continua por partes

Evalue ff(X) dx donde

X + 1, -1::; x < 0 y
0 ::; x < 2
f(x) = x,
{ 3, 2 ::; x ::; 4.

Solucion La grc'ifica de una funcion f continua por partes se muestra en la FIGURA 5.5.3. Luego, -\ 0 2 4

par el analisis precedente y la definicion de f:

FIGURA 5.5.3 GrMica de la

frCX) dx = fr(X) dx + ff(X) dx + {i(x) dx funci6n en el ejemplo 7

f\r2x= fO (x + 1) dx + dx + dx
-] Jo 2

)]0 1]2 ]4= •
( -1x 2 + X + -x2 + 3x = -17 .
2
_] 2 0 22

IiI!#M4r!t.:. Integraci6n de una funci6n continua por partes

Evalue Ix - 21 dx.

Solucion Por la definicion de valor absoluto,

X- 2 six - 22:0 X - 2 si x 2: 2
Ix - 21 = { -(x - 2) six - 2 < 0 o Ix - 21
{ -x + 2 six < 2.

310 CAPITULO 5 Integrales 21.En la FIGURA 5.5.4 se muestra la gr<ifica de f(x) = Ix - Luego, debi do a ( J0 ) de l teo rema 5.4.5

y podemos escribir •

y= - x+2 31x - 21 dx = I 21x - 21 dx + J31x - 21dx
y=x-2
I0 0 2
---+-=-o- --t-- -----''I''------t-* x
3 r ex -f e-x + 2) dx + 2) dx

FIGURA 5.5.4 G rafica de la = ( _~X2 + 2x )t + (~X2 - 2X)J ~
funci 6n en el ej empl o 8

6) -= (- 2 + 4) + (~- (2 - 4) = %. •

• Sustitucion en una integral definida Recuerde por 1a secci6n 5.2 que al g unas veces lI sal1l0s
una sustituci6n como ayuda para evaluar una integral indefinida de la forma ff( g(x))g'(x) dx. Es
necesario tener cuidado a1 usar una sustituci6n en una integral definida f ;" f (g(x))g'(x ) dx, pues-
to que es posible proceder de dos formas.

Directrices para sustituir una integral definida

• Evalue la integral indefinida ff(g(x)) g'(x) dx por medio de la sustituci6n u = g(x) .
Vuelva a sustituir u = g(x) en la antiderivada y luego apJique el teorema fundamen -
tal del ca1culo usando los limites de integraci6n originales x = a y x = b.

• En forma aJterna, 1a segunda sustituci6n puede evitarse al cambiar los lfmites de

integraci6n de modo que con'espondan al valor de u en x = a y u en x = b. El ultimo

metodo, que suele ser mas rapido, se resume en el siguiente teorema.

Teorema 5.5.3 Sustituci6n en una integral definida

Sea u = g(x) una funci6n cuya derivada es continua sobre el intervalo [a , b] , y seafuna fun-

ci6n continua sobre el rango de g . Si F'(u) = feu) y c = g (a) , d = g(b) , entonces

I> I g(bl ( 12)
I f (g(x) )g'(x) dx = f eu) du = F(d) - F(c).

a g( £I)

DEMOSTRACION Si u = g(x ), entonces du = g'(x ) dx. En consecuencia,

b = I g(b) ~I~ dx = Id = F(u) Jd= F(d) - F(c). •
Ia f(g(x)) g'(x) dx
feu) feu) du c

g0) c

'j!M!IR!.a:' Sustituci6n en una integral definida

fEvalue "\l'2x 2 + I x dx.

Soluci6n Primero se ilustraran los dos procedimientos presentados en las directrices que pre-

ceden al teorema 5.5.3 .

a) Para evaluar la integral indefinida J V2X2 + 1 x dx usamos u = 2x2 + 1 y du = 4x d.\".

I ±IAs!,
V2x2 + 1 xdx = V2x2 + 1 (4xdx) <- slistitlicion
±I=
I 2 du
/
U

1 U 3/ 2
=- - +C

4 3/ 2

= I (2x 2 + 1)3/2 + C. <- (lIra Sli slitllci6 n

6

5.5 Teorema fundamenta l del ca lculo 311

E ll cOll secuencia, pOl' el teorema 5 .5.1 ,

J2V2X 2 + I xdx = 1(2x2 + 1)3/2 ] 2

o 60

= J6.- [.93/ 2 - 13/2 ]

= !6 [27 - I.] = J31.

b) Sill = 2X2 + I, entonces x = 0 implica u = I, mientras que con x = 2 obtenemos

II = 9 . As!, pOI' el teorema 5.5.3,

" iillliles

t

f 2 !f 9U' /2\hx + 1 x dx =o4 du <- illlcgrac it)Jl
I
COil rcspeclO a II

= ±~;~r

i= [93/ 2 - 13/ 2 ] = I;. •

CU<1ndo la grafiea de un a funci 6n y =f(x) es simetriea con respeeto al eje y (funei6n par) 0

al origen (funei6n imparl, entonees la integral definida defsobre un intervalo simetrico [ - a, a],
es decir, J~a f(x) dx, puede evaluarse por medio de un "atajo" .

Teorema 5.5.4 Regia de la funci6n par

SiI es una func i6n par integrable sobre [- a, a] , entonees

fa dx = 2 fa dx. (13)
f(x)
f(x)

-Q 0

Se demostrani el siguiente teorema, pero la demostraei6n del teorema 5.5A se dej a como
ejercl clo.

Teorema 5.5.5 Regia de la funei6n impar ( 14)
Si ./ es una funci6n impar integrable sobre [-a, aJ, entonees

f!(X) dx = O.

DEMOSTRACION Suponga que f es una funci6n impar. Por la propiedad aditiva del intervalo,

teorema 5A.5 , tenemos

f!(X) dx = f!ex)dx + fiex) dx.

En la primera integral en el miembro izquierdo, sea x = -t, de modo que dx = - dt, y euando

.r = - a y x = 0, entonees t = a y t = 0:

dxf Lroa=f a+f( - t)( - dt)f (x) dx <-/( ~ /) = ~I(I).f Lilla fUll cioll impar
f(x)
a- (I 0

f f(f) dt + ff(X) dx <- pOl' (8) de la sccci oll 5.4

a0

-fi(r) dt + ff,(X) dx

312 CAPiTULO 5 Integrales

l':r(X) l ateX)= -
dx + dx <- I cro, Lilla IO, r iablc de illlegro,ci "l\l "I'iclicid"

•= 0,

La euesti6n importante en el teorema 5.5.5 es esta: euando una funei6n integrable impar f

se integra sobre un intervalo simetrieo [ - a, a] , no es neeesario eneontrar una antiderivada dej ;
el valor de la integral siempre es eero,

En la FIGURA 555 se muestran motivaeiones geometrieas para los resultados en los teoremas
5.5.4 y 5.5.5 .

y = f(x) y y

y = I(x)

Ia o
L af(x) dx
L a f(x ) dx a
---a~------~~--fa~a-f(-x )-d;,r: ~x
-~_a---------r---------a~~ x

I
I
I

a) F unc i6n par: el valor de la integral b) Funci6 n il11par: e l valor de la integral

definida sobre [- a, OJ es el l11i sl11o definida sobre [ - a, 0] e s el opuesto

que el valor sobre [0, a J que el valor sobre [0, a J

FIGURA 55.5 Regi a de la funci 6n par en a); regia de la funci6n il11par en b)

L'!I#MQI.I!.' Usa de la regia de la funci6n par

Evalue (x4 + X2) dx.

Solucion El integrando f(x) = +X4 x 2 es una funei6n polinomial euyas poteneias son toclas
pares, de modo que f neeesariamente es una funei6n par. Puesto que el intervalo de integraei6n

es el intervalo simet:rieo [-1, 1], por el tem'ema 5.5.4 se eoncluye que es posible integral' sobre

[0, 1] Y multiplicar el resultado por 2:

I (x4 + x2) dx = 2 (I (x4 + x2) dx •

f J- I o

2(ix5 I= + ~x3)

2(1 I)= + = .!.§.
5 3 15'

1ii@I#MiQ!.,,, Usa de la regia de la funci6n impar

"'/2

JEvalue sen x dx.
- 7f/2

Solucion En este easo f(x ) = sen x es una funei6n impar sobre el intervalo simetrieo
[-ni 2, 1T12 ]. Asf, por el teorema 5.5.5 de inmediato tenemos

rr/ 2 •

J sen x dx = 0.
- ",/ 2

fb
a N....O....T..A,.,.S.....D...E....S..,D""E"""E,L"""A"U" L,'"A",,"" """ """""" """ ,.,',"" """""'""""""" """""""""" "" """""" ',"" "" ""

La forma de antiderivada del teorema fundamental del ealculo eonstituye una herramienta

extremadamente importante y poderosa para evaluar inte~rales definidas, LPor que molestar-

se con un burdo lfmite de una suma euando el valor de f f(x) dx puede eneontrarse al ealeu-
a
lar f f(x) dx en los dos numeros a y b? Esto es eierto eierto punto; no obstante, ya es
hasta

hora de aprender otro heeho de las matematieas, Hay funeiones eontinuas para las cuales la

5.5 Teorema fundamental del calculo 313

, Iltidcri"ada ff(x) dx no puede expresarse en terminos defitnciones elementales: sum as, pro-

~LlctoS. cocic ntes y potencias de func iones polinomia les, trigono metricas, trigonometricas

illvcrsas , logarftmicas Y ex pone nci ales. La simple funci6n continuaf(x) = W + l no tiene

ant idcri"ada que sea una funci6n eleme ntal. Sin e mbargo, au nque pOI' el teorema 5.4. 1 es

posible afirmar que la integral definida f~ W + l dx existe, e l teore ma 5.5.1 no es de nin-

-w-+I!,!Llll;i ayuda para encontrar su valor. La integral f ~ dx se de nomina no elemental.

Las integrales no elementales son importantes y aparece n en muchas aplicaciones como teo-

ria de probabi lidad y 6ptica. A continuaci6 n se presentan al gunas integrales no e le me ntales :

f f f~¥'se; x dx, sen x2 dx, f e-I' dt y dx .

Yea los probl e mas 71 y 72 en los ejercicios 5.5.

Ejercicios 5.5 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19.

=Fun damentos l(27. 1+ -1)1l1dx f4\Y l + 4\!'X

En los problemas 1-42, use el teorema fundamental del calcu- f1/ 2 x x 28. • ;- dx

10 proporc ionado en el teorema 5.5 . 1 para evaluar la integral II x+1 d I YX
rdelinida dada.
I. dx 29. o Vx 2 + 2x + 3 x I rI u3 + U

roC2. -4) dx 7T/ S 30. ? _ du

[(2.13. + 3) dx f/4. dt 131. o sec2 2x dx - I (u 4 + 2u - + I

5. f(6X 2- 4x + 5) dx 6. L'2(12X S - 36) dx I3/2 J32. v:rrtlx csc x 2 cot x 2 dx
V7T74
7. fr l\en x dx fT /48. cos f) df) 33. (x - cos 1TX) d.x
f34. 4 cos \!'X d.x
-7T/ 3 - 1/ 2 I 2\!'X
7T/ 2 7T/ 3
J10. I sen 21TX dx
135. o Vcos xsen x dx J36. sen x cos x dx
I-1/2 7T/ 6
7T/2 I + cos f)
12. I !-. dx J +37. I38. ,,/4 (sec x + tan X)2 dx
J9. ,,/2cos 3t dt 7T/6 (f) ? df) - 7T/ 4
i-3 X
2 sen f))- I40. ,,/2cos 2 X dx
-,,/2
,,/4 14. (2x - 3eX) dx 3/ 4
I42. I tan x dx
JII. V4 1 du 16. fX(X - 2)(x + 2) dx J39. sen2 1TX dx -I
- o
1/ 2 u2
s1
f13. I eX dx
J41. I -'-1-+--=--C2:--x dx

-I En los problemas 43-48, use el teorema fundamental del
calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para encontrar la
15. {"x (l - x) dx derivada indicada.

17. [(7x3 - 2X2 + 5x - 4) dx 18. L~ I(X2 - 4x + 8) dx 43. -d, I XteI dt 44. ddx J XIn t dt
I
GX 0
.

19. J-l x-I dx I4 2 II45. -d (3x 2 - 2x)6 dx 46. .!!...f9\Yu2+ 2 du
dt 2
I \!'X 20. x : 8 dx dx
2 x- x
f6X I Iv;:
v'3 l 22. 48. GI ?
47. '£/I' - -v'4t+9 dt dx
J21. - - - dx 24. sen t- df
I l + x2
26. GX 3 7T

I? En los problemas 49 y 50, use el teorema fundamental del

23. -4 Vz + 4 dz
II'25. calculo proporcionado en el teorema 5.5.2 para encontrar

F '(x). [Sugerencia: Use dos integrales.]

x f49. F(x) = X'-3-1- dt 50. FCx) = i Sx v'f2+I dt
3x t + 1
o-V,=x:2=+=1=6 dx Jsen x

314 CAPiTU LO5 Integrales

E n los problemas 51 y 52, compruebe el resultado dado al 68. II 1 dx; u = tan- I x
_I + ?
evaluar primero la integral definida y luego diferenciando. r
v'2/2 (tan x )(l )
! f51. A(6t2 - 8t + 5) dt = 6x2 - 8x + 5
69. (I ~-2X dx; u = e-2x + I
1
Jo e- x +
d ( ' "x3 sen "t3
dtL52. se n dx = 11/v'2 X
u = x2
'" 70. , ~ dx;
o V 1- [
Ii'53. Considere la func i6n f(x) = In (2t + 1) dt. Encuentre
=Aplicaciones
e l valor funcional indicado.

a) f( l ) b) 1'(1) 71. E n matematicas apl icadas, algu nas funciones importan_
c) 1"(1) d) 1"'(1) tes se definen en terminos de integrales no elementa les.
Una de estas funciones especiales se denomina funci6n
54. Supo nga que G(x) = f ;;f(t) dt y G'(x) = f(x). Encuentre error, que se define como

la expresi6n dada.

b) !{ G(x2) erf(x) = _ 2_ J(oXe _l, d t.

dx y;:

c) G(x3 + 2x) d) d G(x3 + 2x) a) Demuestre que erf(x) es una funci6n creciente sobre
el intervalo ( -00, (0).
GlX
b) Demuestre que la funci6n y = eX' [I + y;: erf(x) 1
E n los problemas 55 y 56, evalue f~J(x) dx para la funci6n
satisface la ecuaci6n diferencial

f dada. dy

55. f(x) = -:; x, x< O dx - 2xy = 2,
{ x-,
x2: 0 y que yeO) = 1.

56. f(x ) = {;~ + 3, xsO 72. Otra funci6n especial definida por una integral no ele-
x> o mental es la funeion integral seno

En los problemas 57-60, evalue la integral definida de la f un- JSi(x) = (' sen t dt.

ci6nt continua por partes. ot

157. 3 dondef(x) = {41', 0s x<2 La funci 6n Si(x) tiene una infinidad de puntos fron terizos
relativos.
af(x) dx, 2 sxs3

J58.("'f(x) dx, donde f(x) = {sen x, 0 s x < 7T/ 2 a) Encuentre los cuatro primeros nlllneros crfticos para

a cos x, 7T/ 2 s x s 7T x> O. Use la prueba de la segunda derivada para de-

I2 {X2, -2 s x < -] terminar si estos numeros criticos corresponden a lin
maximo 0 a un minimo relativo.
59. f(x) dx, donde f(x) = 4, - I s x < 1 b) Use un SAC para obtener la grMica de SiCx). [Suge-
rencia: En Mathematica, la funci6n integral sen e se
- 2 x 2, I s x s 2 denota por SinIntegral[x].J

If(X)60. dx, dondef(x) = lxJ es la funci6n entero mayor =Piense en ello

En los problemas 61-66, proceda como en el ejemplo 8 para En los problemas 73 y 74, sean Puna partici6n del intervale
evaluar la integral definida dada. indicado y x~' un numero en el k-esimo subintervalo. Deter-
L'3 r61. 1xl dx
mine el valor del Ifmite dado.

62. 12x - 61dx LII

f l64. x2 - I ldx 73. lim (2x%' + 5) ~Xk; [-1,3]

11111->0k = I

63. f sV IXI + 1 dx L74. , II xt' ~ Xk;

f",65. Isen xl dx hm cos -4 [0, 27T]
IIPI ->O k = I
66. ficOS xl dx
En los problemas 75 y 76, sean Puna partici6n regul ar del

intervalo indicado y x%' un numero en el k-esimo subinterva-

En los problemas 67-70, proceda como en el inciso b) del 10. Establezca el resultado dado.
ejemplo 9 y evalue la integral definida dada usando la sustitu-
ci6n u indicada. L xtII

Ie (In 2t)5. 75. Ifm 7T sen = 2; [0, 7T]
±n11->00 k = I
67. - -- dt , u = In 2t [-1 , 1]
76. lim l x%' = 0;
1/ 2 t n11-:;00 k = I

5.5 Teorema fundamenta l de l ca lcu lo 315

r{J\ r77. 1212 dt} dx 78. { f sen x dX} dtEn1os.l)I"ohkmas77Y 78,evaluelaintegraldefinidadada.Para simular el lanzamiento de dardos hacia el blanco,
/2 use un SAC como Mathematica y su funci6n de numeros
aleatorios para generar una tabla de N pares ordenados
79. Delll llcstre la prueba de la funcion par, teorema S. S.4.
80. Suponga que / es una funci6n impar definida sobre un (x, y), 0 < x < 1,0 < Y < 1.

intervalo [ - 4, 4]. Ademas, suponga que / es diferencia- a ) Sea N = SO. Trace los puntos y la grafica de / sobre el
mismo conjunto de ejes coordenados. Use la figura
ble sobre el intervalo,/( - 2) = 3.S , queftiene ceros en para contar el numero de exitos n. Construya por 10
menos 10 tablas diferentes de puntos aleatorios y gra-
_:; y :; y numeros criticos - 2 y 2.
ficas . Para cada grMica calcule la razon n/N.
a) i.ClIal esf(O) ?
h ) Repita el inciso a) para N = 100.
b ) Trace la grMica aproximada de f c) Use el SAC para encontrar el valor exacto del area A

c) Supon ga que F es una funcio n definida sobre [ - 4,4] y compare este valor con las aproximaciones obteni-
das en los incisos a) y b) .
por F(x) = I~ J(t) dt. Encuentre F(-3) y F(3).
y
ti) Trace una gnifica aproximada de F.
e) Enc uentre los numeros crfticos y los puntos de infle- 1 ~--------------,

xion de F •
•
81. Determine si el siguiente razonamiento es conecto:
•
r::2r~:2sen2t dt = - sen t( - sen t dt)

- VI -WP cos2t ( - sen t dt) +-- { IIf = cos { I
J- w/2
{If = - sen l(!

---+l~x

= - I\/l=-~ du = 0. +-- { Tcore ma 5.5.3 11 tiros fuera de N dardos lanzados
Dcfinici6n 5,42i) FIGURA 5.5.6 Blanco en el probl ema 84
u
o 85. Derrame de petroleo en expansion Un modelo mate-
matico que puede usarse para determinar el tiempo t
82. Calcu le las derivadas . necesario para que un derrame de petroleo se evapore
esta dado por la formula
a) (/' XJ2Xvf3+7 dt h) ddx x J4 vf3+7 dt
I I'-RPT -- -KA,,-(u) du,
v 0 Yo
GX I
donde A(u) es el area del derrame en el instante u, RT/Pv
=Pro bl emas con calculadora/SAC es un termino termodinamico adimensional, K es un coe-
ficiente de transferencia de masa y Vo es el volumen ini-
83. a ) Use una calculadora 0 un SAC para obtener las gnifi- cial del derrame.
a) Suponga que el derrame de petroleo se expande en
cas def(x) = cos3 x Y g(x) = sen3 x.
forma circular cuyo radio inicial es rooYea la FIGURA
b ) Con base en su interpretacion de area neta con signo,
5.5.7 . Si el radio r del derrame crece a razon dr/dt = C
use las grMicas del inciso a) para conjeturar los valo-
res de J~wcos3 x dx YJ~7Tsen3 x dx. (en metros por segundo), resuelva para ten terminos

=Proy ec tos

84. Integracion por dardos En este problema se ilustra un
metodo para aproximar el area bajo una grMica al "lanzar

dardos". Suponga que deseamos encontrar el area A bajo de los otros sfmbolos.
h) Yalores tfpicos para RT/Pv y K son 1.9 X 106 (para el
la grafica de/ex) = COS 3(1TX/2) sobre el intervalo [0, 1] ;
tridecano) y 0.01 mm/s, respectivamente. Si C =
Ides decir, se quiere aproximar A = cos3( 1Tx/2) dx. 0.01m/s2, ro = 100 m y Vo = 10 000 m3, determine en

Si se lanza, sin ningun intento particular de ser ex- cuanto tiempo se evapora el petroleo.

petto, un gran numero de dardos, por ejemplo N, hacia el

bl anco cuadrado de I X 1 mostrado en la FIGURA 5.5.6 Y n c) Use el resultado en el inciso b) para determinar al area

dardos se insertan en la region roja bajo la grMica de final del derrame de petroleo.

f (x ) = cos\1Tx/2), entonces es posible demostrar que la Petr6leo en el instante I

probabilidad de que un dardo se inserte en la region esta

dada por la relacion de dos areas:

area de la region A

area del cuadrado I .

Ademas, esta probabilidad te6rica es aproximadamente
la misma que la probabilidad empfrica n/N:

An o A =~ FI GURA 5.5.7 Den'arne ci rcu lar del petr6 leo en el prob lema 85
N'
- ::=:::: -

1N

316 CAPITULO 5 Integrales 1

86. Proyecci6n de Mercator y la integral de sec x En ter- ...
minos generales, una mapa de Mercator es una represen-
tacion de un mapa global tridimensional sobre una super- a) Globo b) Mapa de Mercator
ficie tridimensional. Yea la FIGURA 5.5.8. Encuent:re y
estudie el articulo "Mercator's World Map and the FIGURA 5.5.8 G lobo y proyeccio n de Mercator en el problema g6
Calculus", Phillip M. Tuchinsky, UMAP, Unit 206,
Newton, MA , 1978. Escriba un informe breve que resu-
ma el articulo y por que Gerhardus Mercator (c. 1569)

necesitaba el valor de la integral definida Jgosec x dx

para llevar a cabo sus construcciones.

Revision del capitulo 5

las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-19.

A. Falso/verdadero _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

En los problemas 1-16, indique si la afirmacion dada es falsa (F) 0 verdadera (V).

1. Sif'(x) = 3x2 + 2x, entoncesf(x) = x 3 + x 2. _ _

64

2. 2: (2k - 3) = 2: (2) + 1) _ _

k =2 j=O
40 20

r r3. 2:5 = 2:10 __
k= I k= I

4. Vf2+7 dt = - Vf2+7 dt __

5. Sifes continua, entonces ff(t) dt + ff(X)dX = 0. _ _

f6. Si f es integrable, entonces f es continua. _ _

7. (x - x 3) dx es el area bajo la grafica de y = x - x 3 sobre el intervalo [0, 1]. _ _

8. Si ff(X) dx > 0, entonces ffCX) dx es el area bajo la grafica de f sobre [a , b] . _ _

aa

9. Si Pes una particion de [a, b] en 11 subintervalos, entonces 11 ---+ 00 implica Ilpl ---+ 0. _ _

10. Si F'(x) = 0 para toda x, entonces FCx) = C para toda x. _ _

11. Sifes una funcion impar integrable sobre [-7f, 7f], entonces I:7/(X) dx = 0. _ _

12. II Ixl dx = 2!IXdX _ _

-I 0

I13. sen x dx = cos x + C _ _

I14. x cos x dx = x sen x + cos x + C _ _

IS. ff'Ct) dt = feb) - f(a) _ _

I2x

16. La funcion F(x) = Ct + 4)e- r dt es creciente sobre el intervalo [ -2,00). _ _

-5