integrales

Revisi6n del capitulo 5 317

Llene los esp acios en blanco ____________________

B.

n los problem as 1-16, llene los espacios en blanco.

Et. Si G es una antiderivada de una funcionj; entonces G'(x) =

f!!-rcdr =

2. dr
Jf'(r)3. Si
dx = ~ (In X)2 + C, entonces f(x) =

4. EI valor de d f.3x\If2+5 dt en x = 1 es - -- --
dx
! r5. Si g es diferenciable, entonces
f(t) dt =

g(x)

6. !!- { VIe _I! dt =

til' J,.

7. AI usar notaclO.,l1 .sIgma, Ia suma '31 + 52' + '37 + 94' + I5T puede expresarse como - - - - -

LIS

8. EI valor numerico de (3k 2 - 2k) es _ _ _ __
k= 1
U I/ 3 duo
J-9. Si 1I = t2 + 1, entonces la l.I1tegra1 defim.da f 4t(t2 + ])1 /3 dt se vuelve '12

2 -

10. EI area bajo la gnifica de f(x) = 2x sobre el intervalo [0, 2] es , y el area neta

COil signo entre la grafica de f(x) = 2x y el eje x sobre [-I , 2] es _ _ _ __

II. Si el intervalo [1, 6] se parte en cuatro subintervalos determinados por Xo = 1, XI = 2,

%,=1'2 X3 = S YX4 = 6, la norma de la particion es _ _ _ __

12. Una partici6n de un intervalo [a , b] donde todos los subintervalos tienen el mismo ancho

se denomina particion _ _ _ __

xt13. Si P es una particion de [0, 4] y es un numero en el k-esimo subintervalo, entonces

lim 2:~ = I~' LlXk es la definic ion de la integral definida . Por el teorema fun-

11" 11.... 0

da mental del caJculo, el valor de esta integral definida es _ _ _ __

14. Si flex) dx = 11 y flex) dx = IS, entonces ff(X) dx =

L{['e-15. I L {f'e-'y cfx dt} dx =

dt} dx =

Lex3- x16. Para t > 0, el area neta con signa 2) dx = 0 cuando t = _____ _

C. Ej ercicios _____________________ ______

En los problemas 1-20, evalue la integral dada.

I1. Ie4x3 - 6x2 + 2x - 1) dx f9 6
_I
2., r dx
J3. (St + 1)100 dt
I VX
r/4
J4. w 2V3w 3 + 1 dw
5. o (sen 2x - S cos 4x) dx
6. I TT' sen vIZ dz
f(7. -2X2 + XI/ 2) dx 7r'/9 vIZ

8. j"'/4 + j"'/4 2 X d x
dx tan

-7r/4 -7r/4

318 CAPITU LO 5 Integrales

I9. cot6 8x csc2 8x dx I10. csc 3x cot 3x dx
I11. (4x2 - 16x + 7)4(X - 2) dx I12. (x2 + 2x - IOf/\5x + 5) dx

I X2 + I I2

13. dx 14. x + I dx
x 3 + 3x - 16
Vx 3 + 3x - 16
f4 1
4x
16. - -- ? dx
f15. - --? dx
o 16 + x-
o 16 + x-
f18. 2 X dx
f2 1
o VI6 - x2
17. ------,;===:: dx
o VI6 - x2 J20. cot lOx dx

r19. tan lOx dx

r r21. Suponga que ff(X) dx = -3 y ff(X) dx = 2. Evalue ff(X) dx.
00)

22. Suponga que ffCX) dx = 2 Y f(x) dx = -8. Evalue f(x) dx.

En los problemas 23-28, evalue 1a integral dada .

f23. 3(1 + Ix-II) dx f 1)2]4 [
o 24. I!!.... (2t 3 +lO6tt + dt

0 dt

25. {,"/2 sen 10 t. d 26. fitS sen t 2 dt
t
7 -I
r'"/2 16t + 1
~28. r[(X) dx, dond, lex) {;:: x~o
27. I ? dx O<x~
_ I I + 3r
x>1

En los problemas 29 y 30, encuentre el lfmite dado.

/ 1 + 2 + 3 + ... + n / 12 + 22 + 32 + ... + n?
29. lIm 30. lIm
n2 n3
11 -",00 11--+00

31. En la FIGURA 5.R.l se muestra un cubo con las dimensiones dadas (en pies) que se llena a razon

con stante de dV/ dt = ~ pies3/min. Cuando t = 0, en la balanza se lee 31.2 lb. Si el agua pesa

62.4 Ib/pie3, ~cmil es la lectura de la balanza luego de 8 minutos? ~ Y cuando el cubo est,l

Ileno? [Sugerencia: Yea la pagina FM-2 para 1a formula para el volumen del tronco de un

cono. Tambien ignore el peso del cubo.]

FIGURA 5.R.l Cubo y balanza
en el problema 31

32. La torre de Hanoi es una pila de discos circulares, cada uno de los cuales es mas grande
que el de arriba, colocados en un mastil. Yea la FIGURA 5.R.2. Una vez, un antiguo rey ordello
que esta torre debfa construirse con discos de oro con las siguientes especificaciones: el
ancho de cada disco debra ser un dedo mas grande que el del disco de arriba. EI hueco por
los centros de los discos debra medir un declo de ancho de diametro, y el disco superior clebfa
medir dos dedos de diametro. Suponga que el ancho de un dedo es 1.5 cm, que el oro pesa
19.3 g/cm3 y que su valor es $14 por gramo.

Revision del capitulo 5 319

0) Enc Lientre una f6rmula para el valor del oro en la torre de Hanoi del rey si la torre tiene

/I di scos.
b) EI numero normal de discos de oro en la torre de Hanoi es 64. l,Cual es el valor del oro

ell la torre?

FIGURA 5.R.2 Torre de Hanoi
en el problema 32

33. Considere la funci6n uno a uno f(x) = x 3 + x sobre el intervalo [I, 2] . Yea la FIGURA 5.R.3.
Sin encontrar f- l , determine el valor de

f (2J

J r '(x)dx.

~'( I J

y
f(2)

f(l )
-+--+--+*x

J2
FIGURA 5.R.3 Grafica
para el problema 33