KATA PENGANTAR Untuk menyiapkan mahasiswa menuju sumber daya manusia berkualitas, diperlukan penataan nalar dan kedisiplinan sejak dini. Geometri Analitik Ruang merupakan bagian dari matematika yang memainkan peranan penting dalam penataan nalar dan menciptakan kedisiplinan. Geometri analitik pada hakekatnya mempelajari geometri dengan menggunakan simbol-simbol dan perhitungan aljabar, sehingga menuntut mahasiswa menggunakan penalaran dan kedisiplinan. Geometri analitik ruang terkait erat dengan mata kuliah vektor, kalkulus dan geometri analitik datar. Sebelum mempelajari materi geometri analitik ruang, mahasiswa perlu mempelajari analitik datar terlebih dahaulu. Geometri analitik ruang memberikan dukungan dalam memahami materi kalkulus. Bahasan dalam geometri analitik ruang sangat banyak. Pada buku ini bahasan ditekankan pada koordinat tiga dimensi, vektor di ruang, bidang pada ruang, garis lurus pada ruang, jarak dua garis bersilangan dan bola. Bahasan tentang bidang berderajat dua belum dicakup. Penulis berharap akan dilengkapi pada edisi berikutnya. Penulis menyadari kekurangan buku ini, untuk itu saran yang konstruktif diharapkan. Akhirnya, tiada gading yang tak retak. Medan, September 2013 Ellis Mardiana Panggabean
DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar i Daftar Isi ii BAB I RUANG TIGA DIMENSI ................................................................................... 1 A. Sistem Koordinat dalam Ruang Tiga Dimensi ............................................................. 1 B. Jarak dua Titik dalam Ruang Dimensi Tiga ................................................................. 3 C. Sudut Arah, Cosinus Arah dan Bilangan Arah dari Suatu Garis ................................. 5 D. Koordinat Tabung dan Bola ........................................................................................ 7 BAB II VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI .................................. 14 A. Pengertian Vektor ........................................................................................................ 14 B. Penjumlahan Vektor ...................................................................................................... 16 C. Hasil Kali Vektor dengan Skalar ................................................................................... 17 D. Vektor dengan Koordinat Siku-Siku ............................................................................... 18 E. Sudut yang Diapit oleh Dua Vektor ............................................................................... 19 BAB III BIDANG PADA RUANG 25 A. Persamaan Umum Bidang Datar pada Ruang ................................................................. 25 B. Sudut Arah, Cosinus Arah dan Bilanga Arah ................................................................. 30 C. Sudut antara Dua Bidang ............................................................................................... 33 D. Letak suatu Bidang terhadap Bidang lain ....................................................................... 36 E. Jarak Titik terhadap Bidang ............................................................................................ 38 F. Berkas Bidang ................................................................................................................ 42 G. Jaring Bidang ................................................................................................................ 45 BAB IV GARIS LURUS PADA RUANG 49 A. Persamaan Garis Lurus pada Ruang ............................................................................... 49 B. Persamaan Vektor suatu Garis Lurus ............................................................................... 52 C. Cosinus-cosinus Arah garis Lurus pada Ruang ............................................................... 55 D. Letak Garis Lurus pada Ruang ........................................................................................ 55 BAB V KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS PADA RUANG ......................................... 60 A. Dua Garis Berpotongan, Sejajar dan Berimpit ................................................................ 60 B. Jarak Dua Garis Bersilangan .......................................................................................... 63
BAB VI BOLA 69 A. Persamaan Bola ............................................................................................................... 69 B. Persamaan Vektor ........................................................................................................... 70 C. Persamaan Bola Melalui Empat Titik ............................................................................. 71 D. Bidang Singgung pada Bola ........................................................................................... 73 E. Bidang Khutub Bola ....................................................................................................... 76 F. Dua Bola yang Berpotongan .......................................................................................... 74 G. Kuasa Suatu Titik terhadap Bola ................................................................................... 79 H. Bidang Kuasa, Garis Kuasa dan Titik Kuasa .................................................................. 83 I. Berkas Bola .................................................................................................................... 87 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 95
KATA PENGANTAR Untuk menyiapkan mahasiswa menuju sumber daya manusia berkualitas, diperlukan penataan nalar dan kedisiplinan sejak dini. Geometri analitik ruang merupakan bagian dari matematika yang memainkan peran penting dalam penataan nalar dan menciptakan kedisiplinan. Geometri analitik pada hakekatnya mempelajari geometri dengan menggunakan simbol-simbol dan perhitungan aljabar, sehingga menuntut mahasiswa mengunakan penalaran dan kedisiplinan. Materi kajian geometri analitik ruang dimulai dari Sistem kordinat tiga dimensi, vektor-vektor pada ruang, bidang datar pada ruang, garis lurus pada ruang , jarak dua garis bersilangan, bola dan bidang-bidang berderajat dua. Untuk materi bidang derajat dua belum dimasukkan pada bahan ajar ini. Mudah-mudahan dapat dilengkapi pada edisi berikutnya. Penulis menyadari kekurangan buku ini, untuk itu saran konstruktif sangat diharapkan demi perbaikan isi maupun pembahasan. Akhirnya tiada gading yang tak retak Medan, September 2017, P e n u l i s
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 1 BAB I RUANG TIGA DIMENSI A. Sistem Koordinat dalam Ruang Sebagaimana pada bidang, titik-titik dapat dikorespondensikan satu-satu dengan pasangan bilangan real menggunakan garis koordinat yang saling tegaklurus. Demikian juga pada ruang dimensi tiga, titik-titik dapat dikorespondensikan satu-satu dengan tripel bilangan real menggunakan tiga garis koordinat yang saling tegaklurus. Untuk memperoleh korespondensi ini, pilih garis-garis koordinat sedemikian sehingga ketiganya berpotongan pada titik asal. Sebut garis-garis ini dengan sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 2 Ketiga sumbu koordinat tersebut membentuk sistem koordinat Cartesius dan berpotongan disumbu koordinat yang disebut titik asal. Tiap pasang sumbu koordinat menentukan sebuah bidang disebut bidang koordinat. Bidang-bidang ini adalah bidang XOY atau XY, bidang XOZ atau XZ dan bidang YOZ atau YZ. Tiap titik pada ruang dinyatakan dengan tiga bilangan (a, b, c) yang disebut koordinat titik. Misalnya pada gambar 2 berikut yaitu titik dengan koordinat (2,-5,3), (-2,5,4), (1,6,0) dan (3,3,-2). Titik-titik ini adalah perpotongan tiga bidang sejajar bidang-bidang koordinat.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 3 Bidang-bidang koordinat pada sistem koordinat tiga dimensi dibagi atas delapan oktan. Titik-titik yang mempunyai koordinat bilangan positif membentuk oktan pertama. Selebihnya belum mempunyai bilangan yang baku. Berikut ini adalah deskripsi mengenai titik-titik yang termuat dalam bidang-bidang koordinat tersebut. Daerah Deskripsi Bidang –xy Bidang-xz Bidang-yz Sumbu x Sumbu y Sumbu z Memuat semua titik-titik berbentuk (x,y,o). Memuat semua titik-titik berbentuk (x,o,z). Memuat semua titik-titik berbentuk (o,y,z). Memuat semua titik-titik berbentuk (x,o,o). Memuat semua titik-titik berbentuk (o,y,o). Memuat semua titik-titik berbentuk (o,o,z). Gambar 3. Deskripsi Titik-Titik Pada Bidang Koordinat B. Jarak Dua Buah Titik dalam Ruang Dimensi Tiga Untuk mendapatkan jarak dua titik dalam ruang dimensi tiga, perhatikan gambar sebuah kotak (parallepipedum) berikut dengan panjang, lebar dan tinggi berturut-turut 2 1 x x , 2 1 y y dan 2 1 z z berikut ini. Dengan teorema Pythagoras, panjang diagonal dari alas adalah 2 2 1 2 2 1 x x y y . Selanjutnya diagonal dari kotak adalah hipotenusa dari segitiga siku-siku dengan diagonal alas sebagai sisi pertama dan sisi lain adalah sisi yang vertikal. Dengan teorema Pythagoras panjang diagonal kotak diperoleh d 2 = 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 x x y y z z .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 4 Sehingga panjang diagonal dari kotak adalah d = 2 2 1 2 2 1 2 2 1 x x y y z z ………1) Misalkan titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) adalah titik-titik pada ruang tiga dimensi. Jarak d antara P dan Q adalah d = 2 2 1 2 2 1 2 2 1 x x y y z z atau d = 2 2 1 2 2 1 2 2 1 (x x ) ( y y ) (z z ) ………………………… 2) Sedangkan titik tengah dari garis yang menghubungkan titik-titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) dapat dihitung dengan rumus berikut. Koordinat titik tengah garis yang menghubungkan P1(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) = 2 , 2 , 2 1 2 1 2 1 2 x x y y z z .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 5 ☞ Contoh: Jarak antara titik-titik (5, -3,2) dan (3,1,-2) adalah d = (5 3) ( 3 1) (2 2) 36 6 2 2 2 Titik tengah dari garis yang menghubungkan titik-titik (-1, 2, -7) dan (3, 0, 1) adalah (1, 1, 3) 2 7 1 , 2 2 0 , 2 1 3 C. Sudut Arah, Cosinus Arah dan Bilangan Arah dari Sebuah Ruas Garis Perhatikan gambar berikut ini. Misalkan ruas garis OA mengapit sudut-sudut α dengan sumbu X, β dengan sumbu Y dan γ dengan sumbu Z. Gambar 5. Sudut-Sudut Arah Garis OA Sudut-sudut α, β dan γ disebut sudutsudut arah ruas garis OA yang dapat ditentukan sebagai berikut. Cos α = OA OAx ; cos β = OA OAy dan cos γ = OA OAz Ax Ay Az 0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 6 Jika A adalah titik dengan koordinat (x1,y1,z1) maka berlaku Cos α = 2 1 2 1 2 1 1 x y z x ; cos β = 2 1 2 1 2 1 1 x y z y dan cos γ = 2 1 2 1 2 1 1 x y z z Cos α, cos β dan cos γ ini disebut cosinus-cosinus arah ruas garis OA dan dipenuhi: cos cos cos 1 2 2 2 Bilangan-bilangan yang sebanding dengan cosinus-cosinus arah suatu ruas garis disebut bilangan-bilangan arah ruas garis tersebut. Untuk segmen OA berlaku Cos α : cos β : cos γ = x1 : y1 : z1 atau . cos cos cos 1 1 1 x y z dimana x1, y1, z1 adalah bilangan-bilangan arah ruas garis OA. ☞Contoh: Ditentukan titik-titik A(2, -1, 3) dan B(6, 6, 7). Ditanya jarak AB dan cosinus-cosinus arah ruas garis tersebut. Penyelesaian: AB = 2 2 2 (6 2) (6 1) (7 3) =9 Sudut-sudut yang dibentuk oleh AB dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z berturut-turut sama dengan sudut yang diapit oleh AB dengan AP, AQ dan AR dengan cosinus-cosinus arah sebagai berikut.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 7 Gambar 7 Cos α = 9 4 AB x x AB AP B A Cos β = 9 7 AB y y AB AQ B A Cos γ = 9 4 AB z z AB AR B A Jadi, bilangan-bilangan arah AB adalah 4, 7, 4 yakni xB – xA, yB – yA ,zB – zA. Sehingga dapat dikatakan: Jika A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2) diketahui maka bilangan-bilangan arah ruas garis AB ialah (x2 – x1), ( y2 – y1), (z2 – z1). D. Koordinat Tabung dan Bola Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat kutub r (r ≥ 0) dan θ (0 ≤ θ < 2π) sebagai ganti koordinat Cartesius X dan Y pada bidang. Koordinat Z sebagaimana dalam koordinat Cartesius.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 8 Sebuah titik P mempunyai koordinat bola (ρ, θ, ϕ) jika ρ (ρ ≥ 0) adalah jarak |OP| dari titik asal ke P’, θ ( 0 ≤ θ < 2π) adalah sudut kutub yang berhubungan dengan proyeksi OP terhadap bidang XY yaitu OP’, dan ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π) adalah sudut antara sumbu Z positif dan ruas garis OP. Sebuah titik P dapat digambarkan dalam koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola. Berikut ini adalah gambar dari titik P. Koordinat Cartesius Koordinat Tabung Gambar 8 Letak titik P dalam Koordinat Cartesius, Tabung dan Bola P(r,,z) P(,,)
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 9 Kaitan antara koordinat tabung dan koordinat Cartesius dapat dilihat sebagai berikut. x = r cos θ, y = r sin θ, z = z r 2 = x 2 + y2 , tan θ = x y ☞Contoh: 1. Ubah ke koordinat Cartesius, titik dengan koordinat tabung (4, 4π/3, -8). Penyelesaian: x = 4 cos 3 4 = 4. 2 1 = -2 y = 4 sin 3 4 = 4. 2 3 = -2 3. Jadi koordinat Cartesius dari (4, 4π/3, -8) adalah (-2, -2 3 , -8). 2. Ubah ke koordinat tabung, titik dengan koordinat Cartesius (4 3 , -4, 6). Penyelesaian: r = (4 3) ( 4) 48 16 8 2 2 tg θ = 3 3 1 4 3 4 θ = 6 11 . Jadi koordinat tabung dari titik ini adalah (8, 6 11 , 6).
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 10 Kaitan antara koordinat bola dan koordinat tabung dan koordinat bola dan koordinat Cartesius dapat ditentukan sebagai berikut. x = r cos θ y = r sin θ z = z r = ρ sin ϕ, θ = θ, z = ρ cos ϕ x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ dan z = ρ cos ϕ, 2 2 2 x y z ☞Contoh 3. Ubah koordinat Cartesius titik (2, -2V3, 4) ke koordinat bola. Penyelesaian: ρ = 4 12 16 32 4 2 2 2 2 x y z z = ρ cos ϕ 4 = 4V2 cos ϕ ϕ = arc cos 2 2 1 2 1 = 4 . θ = arc tg 3 5 ) ( 3) 2 2 3 ( arc tg arc tg x y Jadi koordinat bola titik tersebut adalah (4V2, 3 5 , 4 ). 4. Ubah koordinat Bola titik (4, 4 3 , 6 ) ke koordinat bola. Penyelesaian: x = ρ sin ϕ cos θ = 4 sin 6 cos 4 3 = 4 . 2 1 . 2 2 1 = 2 .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 11 y = ρ sin ϕ sin θ = 4 sin 6 sin 4 3 = 4 . 2 1 . 2 2 1 = 2 . z = ρ cos ϕ = 4 cos 6 = 4 . 3 2 1 = 2 3 . Jadi koordinat Cartesius dari titik tersebut adalah (- 2 , 2 , 2 3 ). ✍ SOAL-SOAL: 1. Gambarkan titik-titik yang koordinatnya adalah (2,3,4), (3,0,2),(-2,3,4), (0,3,0) dan (-3,-5,-1). 2. Tentukan jarak antara tiap pasang titik-titik berikut ini. a. (4,-2,0) dan (2,3,5) b. (-2,3,2) dan (5,0,-5) c. ( 2 ,0, 3 ) dan (0,3,0). Jb. a. 3 6 b. 107 c. 14 3.Tunjukkan bahwa (2, -1, 1), (1, -3, -5) dan (3, -4, -4) merupakan titik-titik sudut suatu segitiga siku-siku. 4. Cari jarak dari (5, 4, -3) ke a. bidang xy b. sumbu y dan c. titik asal. Jb. a. 3 b. 34 c. 5 2 .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 12 5. Sebuah kotak berbentuk persegi panjang sisi-sisinya sejajar bidang koordinat dan sebagai titik ujung diagonal utamanya adalah (3, 2, 5) dan (7, -3, 0). Gambarkan kotak itu dan cari koordinat kedelapan titik sudutnya. Jb. Tampak depan (7, -3, 0), (7, -3, 5), (7, 2, 5), (7, 2, 0) Tampak belakang (3, 2, 5), (3, 2, 0), (3, -3, 0), (3, -3, 5). 6. P(x, 6, z) berada pada garis yang melalui Q (3, -7, 4) yang sejajar salah satu sumbu koordinat. Sumbu yang mana itu seharusnya, dan berapa x dan z? Jb. Sumbu Y, x = 3 dan z = 4 7. Ubah koordinat tabung berikut ke koordinat Cartesius. a. (6, 6 ,-2) b. (10, - 2 , 4) Jb. a. (3 3 , 3, -2) b. (0, -10, 4). 8. Ubah koordinat bola berikut ke koordinat Cartesius. a. (2, 4 , 3 ) b. (8, 4 , 6 ) c. (3, 3 , - 6 ) Jb. a. ( 6 2 1 , 6 2 1 , 1) b. (2 2 , 2 2 , 4 3 ). c. (0, -10, 4) 9. Ubah koordinat Cartesius berikut ke koordinat bola. a. (4, 2, -4) b. (1, - 3 , 4) Jb. a. (6, 26o 34', 131o 49') b. (2 5 , 120 o , 26o 34')
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 13 10. Misalkan ( 1 1 1 , , ) dan ( 2 2 2 , , ) adalah koordinat bola dari dua buah titik dan d adalah jarak lurus antara kedua titik tersebut. Tunjukkan bahwa d = 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) 2 1 cos( ) sin sin cos cos 11. Cari jarak (garis lurus) antara titik –titik yang koordinat bolanya adalah (8, 4 , 6 ) dan (4, 3 , 4 3 ). (Petunjuk, gunakan rumus nomor 9). Jb. 9,866.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 14 BAB II VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA A. Pengertian Vektor Sebuah vektor adalah sebuah ruas garis berarah. Karena berarah maka vektor ini dapat digambarkan sebagai anak panah. Panjang panah adalah besarnya vektor dan arah panah adalah arah dari vektor. Anak panah mempunyai pangkal dan ujung. Suatu vektor perpindahan melukiskan jarak dan arah suatu perubahan letak. Vektor perpindahan dari A ke B ditunjukkan oleh vektor perpindahan AB dengan A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik akhir (gambar 2.1.a). Suatu vektor letak menunjukkan letak suatu titik terhadap suatu titik asal. Misalnya OA, OB , OP (gambar 2.1.a). Dua vektor dikatakan sama apabila keduanya mempunyai panjang sama besar dan arahnya sama (Gambar 2.1.b). Gambar 2.1.a Gambar 2.1.b
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 15 Vektor-vektor ini dapat dinyatakan dengan u dan v . Besarnya atau panjangnya ditulis sebagai u . Komponen-komponen vektor dalam ruang mempunyai tiga komponen, yaitu u = <u1, u2, u3> = u1i + u2j + u3k, dimana i, j dan k adalah vektor-vektor satuan baku yang disebut vektor-vektor basis dengan arah ketiga sumbu koordinat positif. Besarnya u diberikan oleh u = 2 3 2 2 2 u 1 u u Gambar 2.2 Vektor u Z P2(x2, y2, z2) P1(x1, y1, z1) Y X Gambar 2.3 Vektor P1P2 1 2 2 1 2 1 2 1 PP x x , y y ,z z u
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 16 B. Penjumlahan Vektor-Vektor Misalkan a dan b adalah dua vektor. Jika OA a dan AB b maka vektor OB disebut jumlah dari vektor a dan b. Secara simbolik ditulis OA AB OB a + b = OB Gambar 2.3 Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor 1. Sifat Komutatif, a + b = b + a . Misalkan OA a dan AB b Maka a + b = OA AB = OB ………..(1) Dan b + a = OC CB = OB …………(2) Dari (1) dan (2) diperoleh a + b = b + a . Gambar 2.4 2. Sifat assosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c. Misalkan OA a , AB b dan BC c a a b b a b a b a b
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 17 Maka a + (b + c) = ( ) OA AB BC = OA AC = OC …(3) (a + b) + c = = (OA AB) BC = OB BC = OC …(4) Dari (3) dan (4) diperoleh a+(b+c) = (a+b)+c. Gambar 2.5 B. Hasil Kali Vektor dengan Skalar Misalkan n adalah bilangan real positif dan a adalah sebarang vektor. Hasil kali dari sebuah vektor a dan scalar n, ditulis n a adalah sebuah vektor yang besarnya n kali dari a dan mempunyai arah yang sama dengan a . Jika n adalah bilangan negatif maka arah dari n a berlawanan dengan a . a 2 a - a - 2 1 a Gambar 2.4 a b c
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 18 C. Vektor dalam Diagram Cartesius Misalkan OX, OY dan OZ adalah sumbu-sumbu yang saling tegak lurus. Misalkan i, j, k vector-vektor satuan yang sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Pada gambar di bawah ini, jika OP r dan P (x,y,z) maka OA xi OB yj OC zk , , dan OP OF FP Gambar 2.6 Atau OP (OA AF) FP Atau OP OA OB OC r = xi + yj + zk 2 2 2 OP OF FP = 2 2 2 (OA AF ) FP = 2 2 2 OA OB OC = 2 2 2 x y z OP = 2 2 2 r x y z Jika OP berturut-turut membentuk sudut-sudut α, β, γ dengan arah i, j, k maka kosinus-kosinus arah dari OP adalah cos α, cos β, cos γ. Nilai dari cosinus arah dihitung dengan cara yang sama dengan berikut ini. cos α = 2 2 2 x y z x , cos β = 2 2 2 x y z y dan cos γ = 2 2 2 x y z z . P(x, y,z)
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 19 F. Sudut yang Diapit oleh Dua Vektor Jika a dan b dua vektor yang mengapit sudut ϕ, maka a .b = a b cos ϕ. Dari persamaan ini diperoleh cos ϕ = a b a . b . Jika a = a1i + a2j + a3k sebuah vektor dalam ruang maka sudut-sudut yang diapit oleh vektor ini dengan sumbu-sumbu x, y dan z dapat dicari. Jika ϕx, ϕy, ϕz berturut-turut sudut antara a dengan sumbu x, sumbu y dan sumbu z maka diperoleh a . i = a cos ϕx = a1 dengan cos ϕx = a a1 a . j = a cos ϕy = a2 dengan cos ϕy = a a2 a . k = a cos ϕz = a3 dengan cos ϕz = a a3 ☞Contoh: 1. Jika koordinat dari P adalah (3,4,12) maka tentukan besar OP dan cosinus-cosinus arahnya. Penyelesaian: OP = 3i + 4j + 12k
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 20 3 4 12 13 2 2 2 OP Jika ϕx, ϕy, ϕz berturut-turut sudut antara OP dengan sumbu x, sumbu y dan sumbu z maka cos ϕx = 13 3 , cos ϕy = 13 4 , cos ϕz = 13 12 . 2. Tunjukkan bahwa vector-vektor a = 3i – 2j + k, b = i -3j + 5k, c = 2i + j – 4k membentuk segitiga siku-siku. Penyelesaian: Misalkan AC = i – 3j + 5k AB = 3i - 2j + k CB = 2i + j – 4k Dapat dilihat bahwa AB = AC + CB Atau AB = (i – 3j + 5k) + (2i + j – 4k) = 3i – 2j + k. Gambar 2.5 Karena AB = AC + CB maka ketiganya membentuk sebuah segitiga. Berikut akan ditunjukkan bahwa Δ ABC siku-siku. 1 ( 3) 5 35 2 2 2 AC 3 ( 2) 1 14 2 2 2 AB
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 21 2 1 ( 4) 21 2 2 2 CB Karena 2 AB + 2 CB = 14 + 21 = 35 = 2 AC maka Δ ABC adalah siku-siku. TEOREMA 2.1. Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang tiga dimensi dan k skalar maka (a) u . v = v . u (b) u . (v + w) = u . v + u . w (c) k (u . v) = (k u) . v = u . (k v) (d) v . v = 2 v Bukti: Akan dibuktikan (c) dan (d) ( c) Misalkan u = u i u j u k 1 2 3 dan v = v i v j v k 1 2 3 maka k (u . v) = k ( 1 1 2 2 3 3 u v u v u v = 1 1 2 2 3 3 (k u )v (k u )v (k u )v = (k u) . v Dengan cara yang sama, k (u . v) = u. (k v) (d) Misalkan v = v i v j v k 1 2 3 maka v . v = 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 v v v v v v v v v v . TEOREMA 2.2. Jika u dan a vektor-vektor dalam ruang tiga dimensi dan jika a ≠ 0, maka proyeksi u sepanjang a adalah
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 22 proya u = a a u a 2 . (komponen vektor u sepanjang a) u - proya u = u - a a u a 2 . (komponen vektor u yang tegak lurus terhadap a. Bukti: Misalkan w1 = proya u dan w2 = u - proya u . Karena w1 sejajar a maka w1 = k a, untuk suatu k ЄR. u = w1 + w2 = k a + w2 . u . a = (k a + w2 ) . a = k a w2 .a 2 = k 2 a (w ┴ a w2 . a = 0) Atau k = 2 . a u a Jadi proya u = w1 = k a = 2 . a u a a. ☞Contoh: Tentukan komponen vector u sepanjang a dan komponen vector u yang tegak lurus terhadap a, dimana u = -7i + j + 3k dan a = 5 i + k. Penyelesaian: u . a = (-7)(5) + (1) (0) + (3)(1) = -32. 2 a = 52 + 12 = 26. w2 w1 u Q a
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 23 Jadi komponen vektor u sepanjang a adalah proya u = a a u a 2 . = i k i k 13 16 13 80 (5 ) 26 32 dan komponen vektor u yang tegak lurus terhadap a adalah u - proya u = (-7i + j + 3k) – ( i k 13 16 13 80 ) = i j k 13 55 13 11 . ✍ SOAL-SOAL: 1. Jika a = 3i – j - 4k, b = -2i + 4j - 3k, c = i + 2j – k. Tentukan vektor satuan yang sejajar vektor 3 a - 2 b + 4 c . Jb. 398 17i 3 j 10k 2. Jika vektor posisi A dan B berturut-turut adalah 2i – 9j – 4k dan 6i – 3j + 8k, maka tentukan AB dan AB . 3. Jika ϕx, ϕy, ϕz berturut-turut sudut antara vektor a = 4i - 5j + 3k dengan sumbu x, sumbu y dan sumbu z maka. cari sudut-sudut arah dari vektor tersebut. Jb. cos ϕx = 5 2 2 , cos ϕy = 2 2 , cos ϕz = 10 3 2 dan ϕx = 55, 55o , ϕy = 135o , ϕz = 64, 90o .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 24 4. Tentukan proyeksi vektor dan proyeksi skalar i – 2j + k pada 4i - 4j + 7k. Jb. 81 19 (4i – 4j + 7k) dan 9 19 . (Proyeksi skalar adalah panjang vektor proyeksi) 5. Jika a = (I + 2j + 8k) dan b = (2i + 3j – k) maka buktikan a dan b saling tegak lurus. 6. Tunjukkan bahwa 3i – 2j + k, i – 3j + 5k dan 2i + j – 4k membentuk sebuah segitiga sikusiku.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 25 BAB III BIDANG PADA RUANG A. Persamaan Umum Bidang Datar pada Ruang Persamaan bidang datar pada ruang adalah Ax + By + Cz + D = 0 ………. *) A, B dan C tidak bersamaan, sama dengan nol. Untuk membuktikan bahwa bidang tersebut adalah bidang datar maka perlu ditunjukkan bahwa jika dua titik terletak pada suatu bidang maka semua titik pada garis yang melalui kedua titik itu terletak pada bidang tersebut.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 26 Bukti: Misalkan T1(x1, y1, z1) dan T2(x2, y2, z2) terletak pada bidang itu. Karena T1(x1, y1, z1) dan T2(x2, y2, z2) pada bidang itu maka dipenuhi Ax1+ By1 + Cz1 + D = 0 dan Ax2+ By2+ Cz2 + D = 0. Ambil P sebarang titik pada garis yang melalui T1 dan T2 . Karena P pada garis tersebut maka koordinat P adalah 1 x1 x2 x p , 1 y1 y2 y p dan 1 1 2 z z z p …………**) Substitusi **) ke *) diperoleh A ) 1 ( 1 2 x x + B( 1 y1 y2 ) + C 1 1 2 z z + D = 1 1 {(Ax1+By1+Cz1+D) + λ( Ax2+ By2+ Cz2 + D)} = 0 Karena P sebarang dan P memenuhi persamaan bidang tersebut maka setiap titik pada garis yang melalui T1 dan T2 terletak pada bidang tersebut. Hal ini berarti bidang itu adalah bidang datar. Sekarang, perhatikan kemungkinan-kemungkinan bidang dengan persamaan Ax + By + Cz + D = 0. Jika D = 0 maka persamaan menjadi Ax + By + Cz = 0. Bidang ini melalui titik asal O. Jika C = 0 maka persamaan menjadi Ax + By + D = 0. Bidang ini sejajar sumbu Z. Lebih lanjut dapat dibuat tabel sebagai berikut.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 27 Tabel 3.1 Kemungkinan Persamaan Bidang Jika Persamaan Bidang B = 0 A = 0 C = D = 0 B = D = 0 A = D = 0 B = C = 0 A = C = 0 A = B = 0 D = B = C = 0 D = A = C = 0 D = A = B = 0 Ax + Cz + D = 0 By + Cz + D = 0 Ax + By = 0 Ax + Cz = 0 By + Cz = 0 Ax + D = 0 By + D = 0 Cz + D = 0 Ax = 0 By = 0 Cz = 0 sejajar sumbu Y sejajar sumbu X melalui sumbu Z melalui sumbu Y melalui sumbu X sejajar bidang YOZ sejajar bidang XOZ sejajar bidang XOY bidang YOZ bidang XOZ bidang XOY Gambar 3.1 berikut adalah bidang 2x + 3y + 3z = 12 yang terletak pada oktan I. Z (0,0,4) Y (0,4,0) X (6,0,0) Gambar 3.1 Bidang 2x + 3y + 3z = 12
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 28 1. Persamaan Normal Hesse Misalkan Ax + By + Cz + D = 0 dan x cosα + y cosβ + z cosγ – p = 0 menunjukkan persamaan bidang yang sama, maka berlaku D p A B C cos cos cos , ∈ R. Sehingga cos α = λA, cos β = λB, cos γ = λC dan – p = λD. Karena cos cos cos 1 2 2 2 maka ( ) 1 2 2 2 2 A B C atau 2 2 2 1 A B C Jadi persamaan normal dari bidang adalah 2 2 2 1 A B C (Ax + By + Cz + D) = 0 Jika –p ≤ 0, maka λD ≤ 0. Sehingga jika D ≥ 0 maka λ ≤ 0 dan jika D ≤ 0 maka λ ≥ 0. Perhatikan tanda λ sama dengan tanda –D. Jarak O sampai bidang tersebut adalah 2 2 2 A B C D p ☞Contoh: Carilah persamaan normal dari bidang x + 2y – 2z – 5 = 0 Penyelesaian:
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 29 Dari persamaan bidang, diketahui D = -5, diperoleh λ = 3 1 1 4 4 1 . Jadi persamaan normal bidang itu adalah 0 3 5 3 2 3 2 3 1 x y z . 2 Persamaan Bidang Melalui Titik-Titik Potong dengan Sumbu X, Y dan Z Dari persamaan bidang datar Ax + By + Cz + D = 0 dengan A, B, C dan D semuanya tidak sama dengan nol, dapat dicari titik potong dengan sumbu X, Y dan Z. Misalnya P, Q dan R berturut-turut adalah titik-titik potong dengan sumbu X, Y dan Z, maka koordinat ketiga titik tersebut adalah P ( ,0,0) A D , Q (0, ,0) B D dan R (0,0, ) C D . Z (0,0, ) C D R Y (0, ,0) B D Q X ( ,0,0) A D P Gambar 3.2 Bidang Ax + By + Cz + D = 0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 30 Persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat diubah menjadi Ax + By + Cz = -D : -D atau 1 C D z B D y A D x dimana A D absis P, B D ordinat Q dan C D aplikat R. Jadi jika bidang datar tersebut memotong sumbu X, Y dan Z berturut-turut sepanjang p, q dan r maka persamaannya menjadi 1. r z q y p x Persamaan ini tidak berlaku jika bidang melalui titik O. ☞Contoh: Tentukan persamaan bidang yang memotong sumbu-sumbu X, Y dan Z pada titik-titik (1, 0, 0), (0, -1, 0) dan (0, 0, -1). Penyelesaian: Persamaan bidang yang memotong sumbu-sumbu X, Y dan Z pada titik-titik (1, 0, 0), (0, -1, 0) dan (0, 0, -1) adalah 1 1 1 1 x y z atau x - y - z = 1. 3. Persamaan Bidang melalui Sebuah Titik
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 31 Gambar 3.2 Normal Bidang Sebuah bidang dalam tiga dimensi ditentukan oleh sebuah titik tetap dalam bidang dan sebuah vector yang tegak lurus terhadap bidang (gambar 3.2). Sebuah vector yang tegaklurus pada bidang tersebut disebut sebuah normal pada bidang itu. Gambar 3.3 Normal Bidang Misalnya akan dicari persamaan bidang melalui titik P0(x0,y0,z0) dan tegaklurus pada vector yang tidak nol n = < a, b, c >. Melalui gambar 3.3 dapat dilihat bahwa bidang memuat tepat titiktitik P(x,y,z) sedemikian hingga vector P0P tegak lurus terhadap n. Dengan persamaan dapat ditulis n. P0P = 0 ………(1) Karena P0P = <x – x0, y - y0, z - z0> maka (1) dapat ditulis a (x – x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0……..(2) yang merupakan sebuah persamaan bidang melalui sebuah titik. P0 P(x, y,z) n P0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 32 ☞Contoh: Cari persamaan bidang melalui titik (5, 1, -2) yang tegak lurus terhadap n = 2,4,3 . Penyelesaian: Persamaan bidang melalui titik (5, 1, -2) yang tegak lurus terhadap n = 2,4,3 adalah 2(x - 5) + 4(y - 1) + 3(z + 2) = 0 2x + 4y + 3z - 8 = 0. 4. Persamaan Bidang melalui 3 Buah Titik Misalkan persamaan bidang yang melalui titik-titik yang diketahui Ti(xi ,yi ,zi)(i=1,2,3) adalah Ax + By + Cz + D = 0 dengan A, B, C dan D yang akan dicari. Maka dipenuhi 0 0 0 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 Ax By Cz D Ax By Cz D Ax By Cz D Ax By Cz D Diperoleh empat persamaan dengan empat bilangan A, B, C dan D yang tidak diketahui. Dalam bentuk determinan penyelesaian dari persamaan ini adalah sebagai berikut. 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x y z x y z x y z x y z = 0 ☞Contoh: Tentukan persamaan bidang melalui titik P1(3,2,1), P2(2,1,-1) dan P3(-1,3,2).
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 33 Penyelesaian: Misalnya persamaan bidang yang melalui titik-titik P1(3,2,1), P2(2,1,-1) dan P3(-1,3,2) adalah Ax + By + Cz + D = 0. maka dipenuhi 3 2 0 2 0 3 2 0 0 A B C D A B C D A B C D Ax By Cz D dapat ditulis 1 3 2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 x y z = 0 x 3 2 1 1 1 1 2 1 1 - y 1 2 1 2 1 1 3 1 1 + z 1 3 1 2 1 1 3 2 1 - 1 3 2 2 1 1 3 2 1 = 0 x + 9y – 5z – 16 = 0 Jadi persamaan bidang yang diminta adalah x + 9y – 5z – 16 = 0. B. Sudut Arah, Cosinus Arah dan Bilangan Arah Persamaan Hesse bidang datar x cos α + y cos β + z cos γ – p = 0, dimana α, β dan γ adalah sudut-sudut arah dari bidang datar sedangkan cos α, cos β dan cos γ adalah sudut-sudut arah dari bidang datar. Bilangan-bilangan yang sebanding dengan cosinus-cosinus arah disebut bilangan-bilangan arahnya.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 34 Perhatikan persamaan bidang datar Ax + By + Cz + D = 0, A, B, C adalah bilangan – bilangan arah dari bidang. Jika α, β dan γ adalah sudut-sudut arah maka cosinus-cosinus arah: cos α = 2 2 2 A B C A ; cos β = 2 2 2 A B C B ; cos γ = 2 2 2 A B C C Tanda dari 2 2 2 A B C diambil + semua atau – semua. ☞Contoh: Tulislah persamaan 2x – 2y + z + 18 = 0 dalam persamaan normal Hesse dan tentukan jarak O sampai bidang. Carilah pula cosinus-cosinus arahnya. Penyelesaian: Persamaan normal 2x – 2y + z + 18 = 0 adalah 2λx - 2λy + λz + 18λ = 0 dengan λ = 3 1 4 4 1 1 . Karena 18 > 0 maka λ = - 3 1 Sehingga persamaan Hesse dari bidang itu adalah 6 0 3 1 3 2 3 2 x y z Jarak O sampai bidang tersebut, d = 6 Cosinus-cosinus arahnya adalah: cos α = 3 2 ; cos β = 3 2 ; cos γ = - 3 1 .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 35 C. Sudut Antara Dua Bidang Gambar 3.4 Gambar 3.5 Dua bidang yang berpotongan menghasilkan dua sudut perpotongan, yaitu sudut θ (0 ≤ θ ≤ 90o ) dan suplemennya 180o - θ (gambar 3.4). Jika n1 dan n2 adalah normal-normal bidang maka sudut antara n1 dan n2 adalah θ atau 180o - θ bergantung kepada arah dari normal-normal bidang (gambar 3.5). Jadi sudut antara dua bidang yang berpotongan ditentukan oleh normal dari kedua bidang tersebut. Jika persamaan bidang-bidang diketahui mempunyai persamaan-persamaan V1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan V1 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 maka 1 1 1 1 nV A ,B ,C dan 2 2 2 2 nV A ,B ,C . Sehingga 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A A B B C C Cos ☞Contoh: Tentukan sudut lancip yang diapit oleh bidang-bidang x = 0 dan 2x - y + z – 4 = 0. n1 n2 0 180
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 36 Penyelesaian: Normal dari bidang x = 0 adalah n1 = <1, 0, 0> dan normal dari bidang 2x – y + z – 4 = 0 adalah n2 = < 2, -1, 1> Cos θ = 6 3 1 6 2 1 4 1 1 2 θ = arc cos 6 3 1 . D. Letak Suatu Bidang terhadap Bidang yang Lain Misalnya diketahui bidang-bidang A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Jika kedua bidang itu berpotongan maka sudut antara kedua bidang itu θ sebagaimana sudah dibahas sebelumnya adalah 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A A B B C C Cos Kedua bidang akan saling tegaklurus jika cos θ = 0 atau A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. Kedua bidang akan sejajar jika bilangan-bilangan arahnya sebanding. Atau 2 1 2 1 2 1 C C B B A A . Kedua bidang berimpit jika 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 37 ☞Contoh: 1. Tentukan persamaan bidang melalui titik asal yang sejajar dengan bidang 4x – 2y + 7z + 12 = 0 Penyelesaian: Misalkan persamaan bidang melalui titik asal Ax + By + Cz = 0. Karena bidang ini sejajar dengan bidang 4x – 2y + 7z + 12 = 0 maka berlaku 4 2 7 A B C atau A = C dan B C 7 2 7 4 Sehingga persamaan bidang adalah C 7 4 x + C 7 2 y + Cz = 0 atau 4x -2y + 7z = 0. 2. Tentukan persamaan bidang melalui (-1,2,-5) dan tegaklurus bidang-bidang 2x –y + z = 1 dan x + y – 2z = 3. Penyelesaian: Misalkan persamaan bidang yang melalui (-1,2,-5) adalah V maka V a (x+1) + b (y-2) + c (z+5) = 0 Karena V tegak lurus bidang 2x –y + z = 1 dan x + y – 2z = 3 maka berlaku 2a – b + c = 0 ……………1) a + b – 2c = 0 + …………….2) 3a - c = 0 a = 3 c Substitusi a = 3 c pada persamaan 2), diperoleh b = 3 5c
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 38 Substitusi nilai a dan b pada persamaan bidang V diperoleh persamaan bidang yang diminta, yaitu 3 c (x+1) + 3 5c (y-2) + c (z+5) = 0. atau (x + 1) + 5(y - 2) + 3(z + 5) = 0. atau x + 5y + 3z + 6 = 0. D. Jarak Suatu Titik ke Sebuah Bidang Berkaitan dengan jarak, ada tiga masalah yang perlu diperhatikan, yaitu: 1. Menentukan jarak sebuah titik dan sebuah bidang 2. Menentukan jarak dua bidang sejajar 3. Menentukan jarak dua garis bersilangan. Tiga masalah ini saling terkait. Jika jarak antara titik dan bidang dapat ditentukan maka jarak antara dua bidang sejajar dapat dicari dengan cara menghitung jarak bidang yang satu dengan sebuah titik sebarang pada bidang lainnya (gambar 4.5a dan 4.5b). Sedangkan untuk menentukan jarak dua garis bersilangan dapat ditentukan dengan cara menghitung jarak dua bidang yang memuat masing-masing garis. Untuk yang terakhir ini akan dibahas pada bab berikutnya.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 39 Gambar 4.5a Gambar 4.5b Jarak D suatu titik P0(x0, y0, z0) ke sebuah bidang ax + by + cz + d = 0 adalah D = 2 2 2 0 0 0 a b c ax by cz d Gambar 3.8 Bukti: Misalkan Q(x1,y1,z1) adalah sebarang titik pada bidang dan vector kedudukan normal n = <a,b,c> dengan titik asal Q sebagaimana digambarkan pada gambar 3.8, maka jarak D adalah proyeksi skalar vektor QP0 pada n. P0 Pr oyQp0 P0 ( , , ) 1 1 1 Q x y z d n
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 40 Jadi D = oy QP pada n Pr 0 = n QP n 0 Dimana 0 0 1 0 1 0 1 QP x x , y y ,z z ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 0 1 QP n a x x b y y c z z 2 2 2 n a b c Sehingga D = 2 2 2 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) a b c a x x b y y c z z ………. *) Karena Q(x1,y1,z1) pada bidang maka ax1 + by1 + cz1 + d = 0 atau d = - ax1 - by1 - cz1. Substitusi ke *), diperoleh D = 2 2 2 0 0 0 a b c ax by cz d (terbukti) ☞Contoh: 1. Tentukan jarak titik (1,-2,3) terhadap bidang 2x – 2y + z = 4. Penyelesaian: Persamaan bidang dapat ditulis 2x – 2y + z – 4 = 0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 41 Jarak titik (1,-2,3) ke bidang 2x – 2y + z – 4 = 0 adalah D = 2 2 2 0 0 0 a b c ax by cz d = 4 4 1 2.1 ( 2)( 2) 1.3 4 = 3 5 2. Tentukan jarak antara bidang -2x + y + z = 0 dan 6x – 3y – 3z – 5 = 0. Penyelesaian: Kedua bidang adalah sejajar karena kedua normal bidang yaitu <-2, 1, 1> dan <6, -3, -3> adalah dua vektor yang sejajar. Untuk menghitung jarak antara dua bidang, pilih sebuah titik pada bidang -2x + y + z = 0, yaitu (0,0,0). Maka jarak (0,0,0) terhadap bidang 6x - 3y – 3z – 5 = 0 sama dengan jarak kedua bidang tersebut, yaitu D = 2 2 2 6 ( 3) ( 3) 5 = 3 6 5
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 42 E. Berkas Bidang Gambar 3.9 Misalkan persamaan Bd1 A1 x B1 y C1 z D1 0 dan Bd2 A2 x B2 y C2 z D2 0. Dari kedua persamaan itu dibentuk persamaan baru, yaitu Bd1 + λ Bd2 = 0, Atau (A1 x B1 y C1 z D1 ) (A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 (A1 A2 )x (B1 B2 )y (C1 C2 )z (D1 D2 ) 0 dimana λ parameter dengan -ϖ ≤ λ ≤ ϖ. Untuk setiap harga λ yang nyata, persamaan ini merupakan persamaan bidang datar karena berderajat satu dalam x, y dan z. Jika suatu titik terletak pada bidang Bd1 = 0 dan juga pada bidang Bd2 = 0 maka titik itu tentu terletak pada Bd1 + λ Bd2 = 0. Jadi untuk setiap harga λ yang nyata, Bd1 + λ Bd2 = 0 menunjukkan persamaan bidang yang melalui garis potong bidang –bidang Bd1 = 0 dan Bd2 = 0 yang disebut persamaan berkas bidang. Bidang Bd1 = 0 dan Bd2 = 0 disebut anggota-anggota dasar berkas bidang. Jika Bd1 = 0 dan Bd2 = 0 adalah bidang-bidang yang sejajar maka berkas bidang terdiri dari bidang-bidang sejajar. Berkas ini disebut berkas bidang sejajar.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 43 ☞Contoh: 1. Tentukan persamaan bidang melalui (-1,4,2) dan melalui garis potong bidang 4x–y+z–2 = 0 dan 2x + y – 2z – 3 = 0. Penyelesaian: Bidang yang melalui garis potong bidang-bidang 4x – y + z – 2 = 0 dan 2x + y – 2z – 3 = 0 mempunyai persamaan 4x – y + z – 2 + λ (2x + y – 2z – 3) = 0 atau (4 + 2λ) x + (-1+ λ) y + (1-2λ) z + (-2 -3λ) = 0 Karena bidang melalui (-1,4,2) maka (4 + 2λ) (-1) + (-1+ λ) 4 + (1-2λ) 2 + (-2 -3λ) = 0 atau -4 - 2λ - 4 + 4λ + 2 -4λ -2 -3λ = 0 atau 5 λ = -8 λ = -8/5 Jadi persamaan bidang adalah ) 0 5 24 ) ( 2 5 16 ) (1 5 8 ) ( 1 5 16 (4 x y z atau 0 5 14 5 21 5 13 5 4 x y z atau 4x - 13 y + 21 z + 14 = 0. 2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik potong bidang-bidang x – y – z = 3, 2x – 5y – 7z = 12, 3x + 2y – z = 5 dan sejajar bidang 3x – y = 4. Penyelesaian: Misalkan titik potong dari ketiga bidang tersebut adalah (x0, y0, z0).
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 44 Persamaan bidang yang melalui (x0, y0, z0) adalah a( x-x0) + b( y - y0) + c(z- z0) = 0. Titik potong dapat diperoleh dengan menyelesaikan ketiga persamaan berikut secara bersamasama x0 – y0 – z0 = 3 …………..1) 2x0 – 5y0 – 7z0 = 12 …………..2) 3x0 + 2y0 – z0 = 5 …………..3) 2 x 1) 2x0 – 2y0 –2 z0 = 6 2) 2x0 – 5y0 – 7z0 = 12 - -3y0 – 5z0 = 6 ………………….4) 3) 3x0 + 2y0 – z0 = 5 3 x 1) 3x0 – 3y0 – 3z0 = 9 - 5y0 + 2z0 = -4 …………………5) 5 x 4) -15y0 – 25z0 = 30 3 x 5) 15y0 + 6z0 = -12 + -19z0 = 18 z0 = 19 18 Substitusi z0 = 19 18 pada persamaan 5) diperoleh y0 = 19 8 . Substitusi y0 = 19 8 dan z0 = 19 18 pada persamaan 1), diperoleh x0 = 19 31 . Sehingga titik potong ketiga bidang adalah ( 19 31 , 19 8 , 19 18 ). Persamaan bidang yang melalui titik potong adalah a( x - 19 31 ) + b( y + 19 8 ) + c(z + 19 18 ) = 0.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 45 Karena bidang itu sejajar dengan bidang 3x – y = 4 maka berlaku nv1 = k nv2 jika V1 a( x - 19 31 ) + b( y + 19 8 ) + c(z + 19 18 ) = 0 dan V2 3x – y = 4. a,b, c = k 3,1,0 a = 3k, b = -k dan c = 0. Sehingga persamaan bidang adalah -3k( x - 19 31 ) -k ( y + 19 8 ) = 0. -3( x - 19 31 ) - ( y + 19 8 ) = 0. -3x - y - 19 101 = 0. Atau 57x -19y - 101 = 0. F. Jaring Bidang Diketahui bidang yang bukan anggota dari satu berkas bidang datar sebagai berikut. Bd1 A1 x B1 y C1 z D1 0 Bd2 A2 x B2 y C2 z D2 0 Bd3 A3 x B3 y C3 z D3 0 Dari ketiga persamaan itu dibentuk persamaan baru Bd1 + λ Bd2+ μ Bd3 =0 atau ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A x B B B y C C C z D D D