Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 46 dengan λ, μ sebagai parameter. Karena untuk setiap pasang harga λ dan μ nyata menunjukkan persamaan berderajat satu dalam x, y dan z maka persamaan di atas adalah persamaan bidang datar. Jika suatu titik terletak pada Bd1 = 0, Bd2 = 0 dan Bd3 = 0 maka titik itu juga terletak pada Bd1 + λ Bd2+ μ Bd3 = 0. Persamaan di atas disebut persamaan jaring bidang dan setiap anggota dari jaring bidang melalui titik potong ketiga anggota dasar Bd1 = 0, Bd2 = 0 dan Bd3 = 0. Sebaliknya bidangbidang yang melalui satu titik tertentu membentuk suatu jaring bidang. ☞Contoh: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik potong ketiga bidang berikut dan sejajar dengan bidang 12x + 7y – 5z –14 = 0. Bd1 4x 3y 2z 8 0 Bd2 3x y 2z 5 0 Bd3 2x 2y z 1 0 Penyelesaian: Dengan menyelesaikan secara serentak ketiga persamaan bidang, diperoleh titik potong (1, -2, 3). Bidang yang melalui titik potong ketiga bidang adalah anggota jaring bidang yang persamaannya adalah Bd1 + λ Bd2+ μ Bd3 =0 atau (4x 3y 2z 8) + λ (3x y 2z 5) + μ (2x 2y z 1) = 0 atau (4 + 3λ + 2μ) x + (3 + λ + 2μ) y + (-2 -2λ + μ) z + (8 + 5λ - μ) = 0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 47 Karena bidang tersebut sejajar dengan bidang 12x + 7y – 5z –14 = 0 maka berlaku 5 2 2 7 3 2 12 4 3 2 atau 15 5 10 14 14 7 28 21 14 36 12 24 dengan menyelesaikan secara serentak, diperoleh harga λ = 2 dan μ = 1. Sehingga persamaan bidang yang melalui titik potong ketiga bidang dan sejajar bidang 12x + 7y – 5z –14 = 0 adalah 12x + 7y – 5z –17 = 0. ✍Soal-soal 1. Tentukan persamaan dari: a. bidang xy (jb. z = 0) b. bidang xz (jb. y = 0) c. bidang yz (jb. x = 0) 2. Tentukan persamaan bidang yang memotong Sumbu X, Y dan Z di a, b dan c, jika a. a = 2, b = 10, c = -3. b. a = -2, b = -3, c = -4. Jb. a. 15x + 3y - 10z - 30 = 0, b. 6x + 4y + 3z - 12 = 0. 3. Tentukan bidang-bidang yang sejajar dari pasangan bidang berikut ini. a. 2x – 3y + z + 5 = 0 dan 4x – 6y + 3z – 5 = 0 b. 2x + 6y + 4z + 10 = 0 dan x + 3y + 2z – 6 = 0. c. y = 3x – 2z – 12 dan x = 3 1 y + 3 2 z + 2
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 48 4. Tentukan persamaan bidang yang melalui (-1, 2, -5) dan tegaklurus bidang-bidang 2x – y + z = 1 dan x + y – 2z = 3. (jb. x + 5y + 3z + 6 = 0.) 5. Buktikan bidang-bidang A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan A2x + B2y + C2z + D2 = 0 saling tegak lurus jika dan hanya jika A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. 6. Tentukan jarak titik (0, 1, 5) terhadap bidang 3x + 6y – 2z – 5 = 0.(jb. 7 4 ) 7. Tentukan sudut lancip yang dibentuk oleh bidang-bidang x + 2y – 2z = 5 dan 6x – 3y + 2z = 8. (jb. arc cos 21 4 ). 8. Carilah persamaan bidang yang melalui titik potong bidang-bidang 3x – y + z + 2 = 0, 2x – 2y – z – 1 = 0, x + 2y – 3z – 14= 0 dan sejajar bidang x – 2y – 4 = 0. (jb. x – 2y + 3 = 0). 9. Carilah persamaan bidang yang melalui garis potong bidang-bidang 2x – y + 2z = 5 dan 3x + 2y – z = 6 dan melalui titik asal O. (jb. 3x + 16y – 17z = 0) 10. Tentukan sebuah bidang melalui titik P1(-2, 1, 4), P2(1, 0, 3) dan tegak lurus pada bidang 4x – y + 3z = 2. (jb. 4x + 13y – z = 1). 11. Carilah persamaan bidang yang melalui garis potong bidang-bidang dengan persamaan 3x – 4y – 7z – 4 = 0 dan 2x + y + 3z + 1 = 0 dan berjarak 5 dari titik P(5, -3, -4) (jb. 10x – 6y – 8z – 5).
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 49 BAB IV GARIS LURUS PADA RUANG A. Persamaan Garis Lurus pada Ruang Sebuah garis lurus pada ruang dapat dipandang sebagai garis potong dua bidang datar. Sebagaimana halnya garis-garis yang dikenal seperti sumbu X, Y dan Z. Sumbu X merupakan garis potong bidang XOY dan bidang XOZ ditulis dengan y = 0, z = 0 . Sumbu Y merupakan garis potong bidang XOY dan bidang YOZ, ditulis x = 0, z = 0. Sedangkan sumbu Z merupakan garis potong bidang XOZ dan bidang YOZ, ditulis x = 0, y = 0. Gambar 4.1 Garis Lurus g g
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 50 Gambar 4.2 Garis-Garis Sejajar Sumbu Koordinat Garis-garis yang sejajar sumbu-sumbu koordinat dapat ditulis sebagai berikut. Garis sejajar sumbu X: . z k y p Garis sejajar sumbu Y: z k x a Garis sejajar sumbu Z: y p x a Secara umum persamaan garis dapat ditulis 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D Bilangan arah dari garis tersebut dapat dicari dengan mengubah bentuk garis tersebut ke bentuk y nz q x mz p Dengan mengeliminir y dari persamaan, diperoleh m = 2 2 1 1 2 2 1 1 A B A B B C B C dan p = 2 2 1 1 2 2 1 1 A B A B B D B D . a p k
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 51 Dengan mengeliminir x dari persamaan, diperoleh n = 2 2 1 1 2 2 1 1 A B A B C A C A dan q = 2 2 1 1 2 2 1 1 A B A B D A D A Jadi bilangan arah dari garis itu adalah 2 2 1 1 2 2 1 1 A B A B B C B C , 2 2 1 1 2 2 1 1 A B A B C A C A , 1 atau 2 2 1 1 B C B C , 2 2 1 1 C A C A , 2 2 1 1 A B A B . ☞Contoh: Bilangan arah arah dari garis 5x + 2y – 5z = 5, 10x + 6y – 5z = 25 adalah 6 5 2 5 , 5 10 5 5 , 10 6 5 2 Atau 20, -25, 10. Atau 4, -5, 2.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 52 B. Persamaan Vektor Suatu Garis Lurus Gambar 4.3 Misalkan diketahui T(x1, y1, z1) dengan vektor letak t. Akan dicari persamaan vektor garis yang melalui T dan sejajar a. Misalkan V(x,y,z) sebarang titik pada garis tersebut dengan vektor letak v. t v a T V
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 53 Maka dapat ditulis, v t TV . Karena TV a maka v t a , dengan t = vektor tumpu dan a = vektor arah. Hal ini berlaku untuk tiap vektor letak dari titik-titik pada garis itu. Atau dapat ditulis dengan vektor kolom 3 2 1 1 1 1 a a a z y x z y x Dalam persamaan parameter, persamaan garis tersebut dapat ditulis 1 3. 1 2 1 1 z z a y y a x x a Eliminir parameter dari persamaan itu, diperoleh 3 1 2 1 1 1 a z z a y y a x x yang merupakan persamaan kanonik dari garis lurus. Untuk persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan vektor letak a dan B (x2, y2, z2) dengan vektor letak b, dapat dicari sebagai berikut. Ambil a sebagai vektor tumpu dan AB sebagai vektor arah, dapat ditulis v = a + AB v = a + λ (b – a) atau 2 1 2 1 2 1 1 1 1 z z y y x x z y x z y x
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 54 Dalam koordinat –koordinat cartesius persamaan ini menjadi 2 1 1 2 1 1 2 1 1 z z z z y y y y x x x x Ini adalah persamaan garis lurus melalui titik 1 1 1 x , y ,z dengan bilangan-bilangan arah 2 1 2 1 2 1 x x , y y , z z . ☞Contoh: 1. Tentukan persamaan garis lurus melalui titik P(2, 3, 1) dan Q(3, 2, 4). Penyelesaian: Persamaan garis lurus melalui titik P(2, 3, 1) dan Q(3, 2, 4) adalah 4 1 1 2 3 3 3 2 2 x y z atau 3 1 1 3 1 2 x y z . Bilangan arah dari garis ini adalah 1, -1, 3. 2. Tentukan persamaan garislurus melalui P sejajar dengan garislurus l jikalau P(1, 2, 2) dan l: 3x - y = 2y - z = 2z - 5. Penyelesaian: Misalkan persamaan garislurus melalui P(1, 2, 2) adalah g. Maka g: c z b y a x 1 2 2 dengan bilangan arah a, b, c. Karena g ∥ l maka bilangan arah dari g = bilangan arah dari l: 2 3 5 0 3 2 5 0 y z x y z Bilangan arah dari l dapat dicari yaitu 2 3 1 2 , 3 0 2 3 , 0 2 3 1 atau 7, 9, 6.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 55 Sehingga persamaan garislurus melalui P sejajar dengan garislurus l adalah 6 2 9 2 7 1 x y z . C. Cosinus-Cosinus Arah Garis Lurus pada Ruang Seperti diketahui persamaan garis lurus pada ruang adalah c z z b y y a x x1 1 1 , dimana 1 2 a ,a dan 3 a adalah bilangan-bilangan arah garis tersebut. Cosinus-cosinus arah dari garis ini dapat dicari. 2 2 2 cos a b c a ; 2 2 2 cos a b c b ; 2 2 2 cos a b c c D. Letak Garis Lurus Terhadap Bidang Datar Ada tiga kemungkinan letak garis lurus terhadap bidang datar. Garis itu mungkin memotong bidang datar, sejajar dengan bidang datar atau terletak seluruhnya pada bidang datar tersebut. Jika suatu garis memotong bidang datar maka titik potong keduanya dapat dicari sebagai berikut. a. Misalkan persamaan garis c z z b y y a x x1 1 1 dan bidang Ax+By+Cz+D= 0 Mencari koordinat titik-titik potong garis dan bidang datar berarti mencari harga-harga x, y dan z yang memenuhi persamaan itu.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 56 Misalkan c z z b y y a x x1 1 1 = λ atau z z c y y b x x a 1 1 1 Cari λ atau ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 Aa Bb Cc Ax By Cz D A x a B y b C z c D Dari kesamaan di atas ada empat kemungkinan harga λ, yaitu: 1. Jika Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0 dan (Aa + Bb + Cc) ≠ 0 maka diperoleh 1 harga λ. Sehingga koordinat-koordinat titik potong dapat ditentukan. 2. Jika Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 dan (Aa + Bb + Cc) ≠ 0 maka λ = 0 dan titik potong garis dan bidang ialah titik (x1,y1,z1) sendiri. 3. Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D ≠ 0 maka tidak terdapat harga λ. Ini berarti garis tidak memotong bidang datar atau garis sejajar bidang datar. Hal ini berarti garis sejajar bidang datar jika garis itu tegak lurus normal bidang datar. 4. Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 maka garis sejajar bidang datar dan mempunyai titik persekutuan dengan bidang. Hal ini berarti garis terletak seluruhnya pada bidang. ☞Contoh: 1. Tentukan titik potong garis 2 1 4 2 2 3 x y z dan bidang 3x + 2y -3z -14 = 0 Penyelesaian:
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 57 Misalkan 2 1 4 2 2 x 3 y z . maka x = 3 + 2λ, y = 2 + 4λ, z = 1 + 2λ. Misalkan titik potong garis dan bidang adalah (x0, y0, z0 ) untuk suatu harga λ = λ0, maka berlaku x0 = 3 + 2λ0, y0 = 2 + 4λ0, z0 = 1 + 2= λ0. Harga-harga ini masukkan ke persamaan bidang, diperoleh 3 (3 + 2λ0) + 2 (2 + 4λ0) – 3(1 + 2λ0) -14 = 0 atau 8 λ0 = 4 λ0 = ½. Masukkan harga λ0 = ½ pada persamaan garis diperoleh titik potong garis dan bidang, yaitu 2. Carilah persamaan garis melalui titik (2,-3,4) dan tegak lurus bidang 5x+3y+4z +1= 0. Penyelesaian: Misalkan persamaan garis melalui titik (2, -3, 4) adalah c z b y a x 2 3 4 . Garis tegak lurus bidang 5x + 3y + 4z + 1 = 0 berarti garis sejajar normal bidang. Karena garis sejajar normal bidang maka berlaku 5 3 4 a b c Misalkan 5 3 4 a b c = λ . Maka a = 5λ, b = 3 λ dan c = 4 λ. Sehingga bilangan arah garis yang ditanyakan adalah 5, 3,4.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 58 Jadi persamaan garis yang ditanyakan adalah 4 4 3 3 5 2 x y z . 3. Tunjukkan bahwa garis x = 0, y = t, z = t terletak pada bidang 6x + 4y – 4z = 0. Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa garis x = 0, y = t, z = t terletak pada bidang 6x + 4y – 4z = 0 dengan menunjukkan bahwa garis sejajar dengan bidang dan keduanya mempunyai titik sekutu. Bilangan arah garis adalah 0, 1, 1. dan normal bidang adalah 6, 4, -4. Perhatikan bahwa hasil kali bilangan arah- bilangan arah tersebut, yaitu 0.1 + 1.4 + 1 (-4) = 0. Artinya garis tegaklurus normal bidang. Ini berarti garis sejajar bidang. Titik (0,0,0) pada garis x = 0, y = t, z = t juga terletak pada bidang 6x + 4y – 4z = 0. Ini menunjukkan bahwa garis dan bidang mempunyai titik sekutu. Karena garis sejajar bidang dan mempunyai titik sekutu maka dapat dikatakan bahwa x = 0, y = t, z = t terletak dalam bidang 6x + 4y – 4z = 0. b. Jika diketahui persamaan garisnya A1x+ B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0, dan persamaan bidang datarnya A3x + B3y + C3z + D3 = 0, maka koordinat-koordinat titik potongnya dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan susunan persamaan berikut. 0 0 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 59 Koordinat-koordinat titik potong tersebut 3 3 3 2 2 2 1 1 1 D B C D B C D B C x 3 3 3 2 2 2 1 1 1 A D C A D C A D C y dan 3 3 3 2 2 2 1 1 1 A B D A B D A B D z dengan 3 3 3 2 2 2 1 1 1 A B C A B C A B C Jika ∆ = 0 maka tidak terdapat titik potong yang berarti garis sejajar bidang datar. ☞Contoh: Tentukan titik potong garislurus 2 3 5 1 0 : x y z x y l dan bidang 2x + y + 5z + 7 = 0 Penyelesaian: Koordinat-koordinat titik potongnya dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan susunan persamaan berikut. 2 5 7 0 2 3 5 1 0 x y z x y z x y Koordinat-koordinat titik potong tersebut
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 60 7 1 5 5 3 1 1 1 0 x 2 7 5 2 5 1 1 1 0 y dan 2 1 7 2 3 5 1 1 1 z dengan 2 1 5 2 3 1 1 1 0 atau x = 2, y = -1 dan z = -2. Jadi titik potong garis dan bidang adalah (2, -1, -2). E. Kedudukan Dua Garis pada Ruang Kemungkinan letak dua buah garis lurus dalam ruang adalah berpotongan, sejajar, berimpit atau bersilangan. Pada bab sebelumnya telah diketahui bahwa 2 garis dengan bilangan-bilangan arah 1, 1 1 a b ,c dan 2, 2 2 a b ,c yang mengapit sudut θ memenuhi 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 a b c a b c a a b b c c Cos Kedua garis akan saling tegak lurus, jika 0 a1 a2 b1 b2 c1 c2 Kedua garis akan sejajar jika 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ☞Contoh: Tentukan persamaan parameter garis melalui (-2,0,5) dan sejajar garis x = 1 + 2t, y = 4 – t, z = 6 + 2t. Penyelesaian:
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 61 Garis melalui (-2,0,5) dan sejajar garis x = 1 + 2t, y = 4 – t, z = 6 + 2t adalah z t y t x t 5 2 2 2 1. Jika 2 garis berpotongan, berimpit atau sejajar maka kedua garis itu tentu terletak sebidang. Misalkan garis-garis itu adalah 1 1 1 1 1 : y n z q x m z p g dan 2 2 2 2 2 : y n z q x m z p g Berkas bidang melalui garis g1 adalah (x m1 z p1 ) (y n1 z q1 ) 0 dan berkas bidang melalui g2 adalah (x m2 z p2 ) (y n2 z q2 ) 0 atau xy (m1 n1 )z p1 q1 0 xy (m2 n2 )z p2 q2 0 Karena bidang melalui g1 dan g2 adalah anggota berkas I dan II maka 1 = 2 2 1 1 2 2 1 1 p q p q m n m n , sehingga 1 1 2 2 1 1 2 2 p q p q m n m n atau 1 1 2 2 1 1 2 2 p q p q m n m n
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 62 Diperoleh 2 1 1 2 2 1 1 2 q q p p n n m m Persamaan bidang melalui kedua garis itu menjadi (n1 n2 )(x m1 z p1 ) (m1 m2 )(y n1 z q1 ) 0 Jadi supaya kedua garis terletak sebidang harus dipenuhi 1 2 1 2 1 2 1 2 q q p p n n m m Perhatikan, persamaan garis g1 dan g2 dapat juga ditulis sebagai berikut. z n y q m x p 1 1 1 1 dan z n y q m x p 2 2 2 2 Kedua garis ini akan sejajar, apabila 1 2 1 2 1 n n m m atau m1 = m2 dan n1 = n2 Jika kedua garis berimpit maka kecuali m1 = m2 dan n1 = n2, masih harus dipenuhi p1 = p2 dan q1 = q2. ☞Contoh: Tunjukkan bahwa garis 3 7 1 : 1 y z x z g dan 2 5 2 1 : 2 y z x z g berpotongan dan tentukan titik potongnya. Penyelesaian: Kedua garis tidak sejajar karena dipenuhi 2 1 2 1 n n m m
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 63 Misalnya kedua garis berpotongan pada titik (x0 , y0 , z0 ) maka harus dipenuhi 3 7 1 0 0 0 0 y z x z dan 2 5 2 1 0 0 0 0 y z x z Selesaikan persamaan untuk x0 , y0 , z0 .Jika diperoleh sebuah penyelesaian maka g1 dan g2 berpotongan. Jika tidak maka keduanya tidak berpotongan. Dari persamaan 1) dan 3), diperoleh 1 2 2 1 z0 z0 z0 Substitusi ke persamaan 1) dan 2) diperoleh x0 1 dan y0 3z0 7 y0 1. Ternyata nilai y0 1 dan z0 2 memenuhi persamaan 4); sehingga ada penyelesaian simultan untuk ke empat persamaan tersebut. Jadi kedua garis berpotongan dan titik potongnya adalah (1, -1, 2). F. Menentukan Jarak Dua Garis Bersilangan
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 64 Jarak dua garis bersilangan dapat ditentukan dengan cara berikut ini. Gambar 5.1
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 65 Misalnya g dan h adalah dua garis bersilangan sebagaimana pada gambar di atas. Buat bidang V yang memuat g sejajar h. Ambil sebuah titik sebarang pada g, misalnya T. Maka jarak titik T pada g ke bidang V adalah sama dengan jarak antara garis g dan h. ☞Contoh. Carilah jarak garis-garis g1 dan g2 berikut. 2 4 4 0 2 7 0 : 1 y z x z g dan 3 2 2 y z x g Penyelesaian: Untuk menentukan jarak garis g1 dan g2 sebagai berikut. Tentukan persamaan bidang yang melalui g1 sejajar g2. Bidang melalui g1 adalah anggota berkas bidang yang persamaannya V 2x + z – 7 + (2y - 4z -4) = 0 atau 2x + 2λy + (1- 4λ) z -7 - 4λ = 0. Diketahui bilangan-bilangan arah garis g2 ialah 1, 0, 2. Karena V sejajar dengan g2 maka normal bidang V tegak lurus terhadap g2. Sehingga berlaku 2.1 + 0.2λ+ 2(1-4λ) = 0. Diperoleh λ = 2 1 dan persamaan bidang V menjadi V 2x + y – z – 9 = 0. Ambil sebuah titik pada g2 , yaitu T(0,3,0). Maka jarak T ke bidang V adalah 6 6 6 2 1 ( 1) 2.0 1.3 1.0 9 2 2 2 .
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 66 Jadi jarak garis g1 dan g2 adalah 6 . ✍Soal-Soal: 1. Cari persamaan simetri garis potong bidang-bidang berikut ini. a. 5x + 2y – 5z = 5, 10x + 6y – 5z = 25. b. x + 4y + 2z = 13, 2x – y – 2z = 10. Jb. a. 2 1 5 5 4 x y z b. 3 6 53 2 3 22 2 y z x k 2. Tentukan persamaan garis lurus melalui titik-titik P dan Q jika: a. P(0, 1, 2) dan Q(2, 1, 0). b. P(4, 3, 5) dan Q(3, 4, 5). c. P(0,0,4) dan Q(0, 4, 0). d. P(3, 0, 0) dan Q(0, 5, 0). 3. Tentukan persamaan garislurus melalui P sejajar dengan garislurus l jika: a. P(0, 0, 0) dan l: x + y + z = 2 dan 2x - y - z = 4. b. P(2, 5, 7) dan l: 2x - y + 1 = 0 dan 2y - z = 3. c. P(1, 3, 0) dan l: x = 2z + 3 dan y = 3z - 2. 4. Tentukan pasangan garis dan bidang berikut yang saling tegak lurus. a. x = -1 + 2t, y = 4 + t, z = 1 – t; 4x + 2y – 2z = 7.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 67 b. x = 3 – t, y = 2 + t, z = 1 – 3t; 2x + 2y – 5 = 0. Jb: a. tegak lurus b. tidak tegaklurus 5. Tentukan titik potong garis dan bidang berikut. a. x = t, y = t, z = t; 3x – 2y + z – 5 = 0 b. x = 1 + t, y = -1 + 3t, z = 2 + 4t; x – y + 4z = 7 c. Garis 3 2 5 6 0 2 3 3 0 : 1 x y z x y z g dan bidang 5x + 3y - 6z + 7 = 0 Jb. a. ( 2 5 , 2 5 , 2 5 ); b. ( 14 16 , 14 23 , 14 11 ); c.(1,-2,1) 6. Tentukan persamaan bidang melalui (1, 2, -1) dan tegak lurus garis potong bidang-bidang 2x + y + z = 2 dan x + 2y + z = 3. (Jb. x + y – 3z = 6) 7. Buktikan bahwa kedua garis berikut adalah sejajar. z t y t x t 4 3 2 2 dan z t y t x t 4 2 3 8. Tentukan pasangan garis dan bidang berikut yang saling tegak lurus. a. x = -1 + 2t, y = 4 + t, z = 1 – t; 4x + 2y – 2z = 7. b. x = 3 – t, y = 2 + t, z = 1 – 3t; 2x + 2y – 5 = 0. Jb: a. tegak lurus 4. tidak tegaklurus 9. Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis-garis berikut ini.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 68 1 0 3 1 4 z y t x t dan z t y t x t 2 3 1 6 13 32 Jb. ( ,1 3 8 , 3 7 ) 10. Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis-garis pada soal 7 di atas. 11. Carilah jarak dua garis bersilangan berikut. a. x = 2 + 4t, y = 6-4t, z = 5t; x = 3 + 8t, y = 5 – 3t, z = 6 + t. (Jawab 1817 95 ) b. x = 1 + 7t, y = 3 + t, z = 5 – 3t x = 4 – t, y = 6, z = 7 + 2t. (Jawab 1134 75 )
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 69 BAB V BOLA A. Persamaan Bola Sebuah bola dengan titik pusat P(x0,y0,z0) dan jari-jari r adalah tempat kedudukan titik-titik pada ruang yang berjarak r dari P. Persamaan umum sebuah bola dengan pusat P(x0,y0,z0) dan jari-jari r adalah: (x-x0) 2 + (y-y0) 2 + (z-z0) 2 = r 2 . Gambar 6.1 Bola dengan pusat P(x0,y0,z0) dan jari-jari r ( , , ) 0 0 0 P x y z r (x, y,z)
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 70 ☞ Contoh: Persamaan Grafik 1 ( 1) ( 1) 5 ( 2) ( 3) ( 1) 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z Bola dengan pusat (2,3,1) dan jari-jari 3. Bola dengan pusat (-1,0,1) dengan jari-jari V5 Bola dengan pusat (0,0,0) dan jari-jari 1. Persamaan bola dapat juga ditulis x2 + y2 + z2 + Gx + Hy + Iz + J = 0 Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa persamaan bola adalah persamaan kuadrat dalam x, y dan z yang tidak memuat suku-suku xy, xz dan yz serta koefisien-koefisien dari x 2 , y 2 dan z2 sama. B. Persamaan Vektor Suatu Bola Gambar 6.2 Misalkan P adalah titik pusat bola dan T sebarang titik pada bola maka berlaku t . t = r 2 . Persamaan ini merupakan persamaan vektor suatu bola dengan pusat O dan jari-jari r. Jika t = xi + yj + zk maka (xi + yj + zk) . (xi + yj + zk) = r2 . t p P T
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 71 Atau x2 + y2 + z2 = r 2 , yang merupakan persamaan bola dengan pusat O. Jika titik pusat bola P dengan vektor letak titik p dan jari-jari r maka persamaan vektor bola adalah ( t - p ) . ( t - p ) = r2 . Jika p = ai + bj + ck maka t - p = (x-a)i + (y-b)j + (z-c)k. Sehingga {(x-a)i + (y-b)j + (z-c)k}. {(x-a)i + (y-b)j + (z-c)k} = r 2 . Atau (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r 2 C. Persamaan Bola melalui Empat Buah Titik Jika diketahui empat buah titik, Ti(xi ,yi ,zi)(i=1,2,3,4) maka persamaan bola melalui empat titik tersebut dapat dicari sebagai berikut. Misalkan persamaan bola melalui empat titik adalah x 2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0, Karena T1 pada bola maka akan dipenuhi 1 1 1 0 2 1 2 1 2 x1 y z Ax By Cz D 2 2 2 0 2 2 2 2 2 x2 y z Ax By Cz D 3 3 3 0 2 3 2 3 2 x3 y z Ax By Cz D 4 4 4 0 2 4 2 4 2 x4 y z Ax By Cz D dengan A, B, C dan D yang memenuhi persamaan itu.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 72 Persamaan bola dapat diperoleh dengan menyelesaikan 0 1 1 1 1 1 4 4 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ☞ Contoh: Tentukan persamaan bola yang melalui empat titik: (0, 0,0), (0, 0, 1), (2, 0, 0) dan (0, 1, 0). Penyelesaian: Dengan determinan, persamaan bola yang melalui empat titik tersebut adalah: 0 1 1 1 1 1 4 4 4 2 4 2 4 2 4 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 0 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 2 x y z x y z ,
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 73 0 1 0 1 0 4 2 0 0 1 0 0 1 2 2 2 x y z x y z , kolom 1 dikurangi 1 kali kolom 4 0 1 0 1 0 4 2 0 0 2 2 2 x y z z x y z , kolom 1 dikurangi 1 kali kolom ke 3 0 1 0 1 4 2 0 2 2 2 x y z z x y ,kolom 1 dikurangi 1 kali kolom ke 3 0 4 2 2 2 2 x y z z y x 0 2 1 2 2 2 x y z z y x Sehingga persamaan bola tersebut adalah x2 + y2 + z2 – 2x – y – z = 0. D. Bidang Singgung pada Bola Ada tiga kemungkinan kedudukan bidang datar dan bola. Kemungkinan yang pertama, bidang memotong bola. Kedua, bidang menyinggung bola dan ketiga bidang tidak menyinggung maupun memotong bola.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 74 Sebuah bidang datar memotong bola, jika jarak titik pusat bola ke bidang datar kurang dari jari-jari bola. Hasil perpotongannya merupakan sebuah lingkaran. Sehingga persamaan lingkaran dapat ditulis sebagai berikut. 0 0 2 2 2 Px Qy Rz S x y z Ax By Cz D ………………………..*) Bidang menyinggung bola, jika jarak titik pusat bola ke bidang datar sama dengan jari-jari bola. Persamaan *) menjadi persamaan lingkaran titik. Jika jarak titik pusat bola ke bidang datar lebih besar dari jari-jari bola maka bidang datar dan bola tidak mempunyai titik persekutuan dan persamaan *) menjadi persamaan lingkaran imaginer. Persamaan bidang singgung pada bola dapat dicari sebagai berikut. Misalkan T(x1,y1,z1) adalah titik singgung pada bola x2 + y 2 + z 2 + Ax+By+ Cz + D = 0 maka berlaku 1 1 1 0 2 1 2 1 2 x1 y z Ax By Cz D Bidang singgung di T pada bola adalah suatu bidang yang melalui T dan tegaklurus pada jarijari yang melalui T. Dari persamaan bola diketahui pusat bola P(- 2 1 A, - 2 1 B,- 2 1 C) dan bilangan-bilangan arah jari-jari PT adalah (x1+ 2 1 A), (y1+ 2 1 B), (z1+ 2 1 C). Sehingga persamaan bidang yang melalui T dan tegaklurus PT adalah (x1+ 2 1 A)(x- x1) + (y1+ 2 1 B)(y- y1 ) + (z1+ 2 1 C)(z- z1) = 0.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 75 Atau x1x+y1y+z1z+ 2 1 A(x+x1)+ 2 1 B (y+ y1) + 2 1 C (z+ z1) -( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 x1 y z Ax By Cz = 0 Atau x1x + y1y + z1z + 2 1 A (x + x1) + 2 1 B (y+ y1) + 2 1 C (z+ z1) + D = 0 Jadi persamaan bidang singgung di T (x1,y1,z1) pada bola (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r 2 adalah (x1-a)(x- a) + (y1-b)(y- b) + (z1-c)(z- c) = r 2 . ☞Contoh: 1. Cari persamaan bola dengan pusat (1,1,4) dan menyinggung bidang x + y = 12. Penyelesaian: Jarak dari pusat bola terhadap bidang adalah merupakan jari-jari dari bola yang diatanyakan. Jarak dari (1,1,4) terhadap bidang x + y = 12 adalah d = 5 2 1 1 1.1 1.2 0 12 . Sehingga persamaan bola yang ditanyakan adalah (x-1)2 + (y-1)2 + (z-4)2 = 50. 2. Ditentukan bola : 2 4 4 16 2 2 2 x y z x y z dan bidang rata x + 2y + 2z = 0. Tentukan titik pusat lingkaran dan bola, jika bidang memotong bola. Penyelesaian: Permasalahan di atas dapat digambarkan sebagai berikut.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 76 Jarak titik pusat P(-1, -2, -2) terhadap bidang adalah d = 2 2 2 1 2 2 1 2( 2) 2( 2) = 3. TS adalah jari-jari lingkaran. TS = 5 3 4. 2 2 PT V => PT // nV . PT // nV => bilangan arah dari kedua garis sama. Garis melalui P(-1, -2, -2) dengan bilangan arah <1, 2, 2> adalah 2 2 2 2 1 z y x ……….*)
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 77 Karena T terletak pada bidang maka T adalah titik potong garis dan bidang. Sehingga *) disubstitusi ke persamaan bidang x + 2y + 2z = 0, diperoleh = 1. Substitusi = 1 ke *), diperoleh x = 0, y = 0 dan z = 0. Koordinat T(0, 0, 0) adalah titik pusat lingkaran dengan jari-jari 4. E. Bidang Khutub Pada Bola Misalkan persamaan bola x 2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 dan T(x1,y1,z1) sebuah titik di luar bola, maka melalui titik T dapat dibuat bidang singgung pada bola yang tak berhingga banyaknya. Gambar 6.3 Misalkan S(x0,y0,z0) adalah titik singgung dari bidang yang melalui T(x1,y1,z1) maka persamaan bidang singgung adalah x0x+y0y+ z0z + 2 1 A(x+x0)+ 2 1 B(y+y0) + 2 1 C(z+z0)+ D = 0. Karena bidang melalui T maka dipenuhi x0x1 + y0y1 + z0z1 + 2 1 A (x1 + x0) + 2 1 B (y1+ y0) + 2 1 C (z1+ z0) + D = 0. ( , , ) 1 1 1 T x y z
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 78 Karena S pada bidang juga pada bola maka berlaku 0 0 0 0 2 0 2 0 2 x0 y z Ax By Cz D Sehingga tempat kedudukan titik-titik singgung itu adalah lingkaran dengan persamaan berikut. ( ) 0 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x x y y z z A x x B y y C z z D x y z Ax B y Cz D Lingkaran ini merupakan lingkaran singgung dari kerucut selubung pada bola yang puncaknya T. Gambar 6.4 Sekarang, jika P(x2,y2,z2) pada bidang maka berlaku x1x2 + y1y2 + z1z2 + 2 1 A (x2 + x1) + 2 1 B (y2+ y1) + 2 1 C(z2+ z1)+D= 0. Ternyata T(x1,y1,z1) pada bidang. Misalkan Q(x’ ,y ’ ,z ’ ) titik lain yang juga pada bidang maka berlaku x1x ’ + y1y ’ + z1z ’ + 2 1 A (x’ + x1) + 2 1 B (y’ + y1) + 2 1 C (z’ + z1) + D = 0. ( , , ) 1 1 1 T x y z
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 79 Titik T(x1,y1,z1) juga terletak pada bidang. Karena titik T(x1,y1,z1) terletak pada bidang maka dipenuhi x ’ x + y ’ y + z ’ z + 2 1 A (x+x ’ ) + 2 1 B (y+y ’ ) + 2 1 C (z+z ’ ) + D = 0, yang merupakan persamaan bidang letak lingkaran singgung kerucut selubung pada bola yang puncaknya Q untuk Q di luar bola. Jadi bidang x1x + y1y + z1z + 2 1 A (x + x1) + 2 1 B (y+ y1) + 2 1 C (z+ z1) + D = 0 adalah juga letak puncak-puncak kerucut selubung pada bola yang bidang lingkaran singgungnya melalui T(x1,y1,z1). Bidang inilah yang disebut bidang khutub dari titik T terhadap bola dan T disebut khutubnya. Jika T di luar bola maka bidang ini memotong bola. Jika T pada bola maka bidang ini menjadi bidang singgung. Jika T di dalam bola maka bidang ini tidak mempunyai titik persekutuan dengan bola. F. Dua Bola yang Berpotongan Misalkan Bl1 x 2 + y2 + z2 + A1 x+ B1 y + C1 z + D = 0 dan Bl2 x 2 + y2 + z2 + A2 x+ B2 y + C2 z + D = 0 adalah dua bola yang saling berpotongan maka garis potongnya merupakan lingkaran yang persamaannya 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x y z A x B y C z D x y z A x B y C z D Dua bola yang berpotongan tersebut membentuk sudut. Sudut tersebut adalah sudut antara bidang-bidang singgung pada bola-bola di suatu titik T dari lingkaran potong kedua bola.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 80 Gambar 6.5 Gambar 6.6 Sudut antara kedua jari-jari bola sama dengan 90o terjadi jika kedua bola berpotongan tegaklurus (lihat gambar 6.5). Atau 2 2 2 1 2 _____ 1 2 PP r r atau ( 2 1 2 ) 2 1 2 1 A A +( 2 1 2 ) 2 1 2 1 B B +( 2 1 2 ) 2 1 2 1 C C = 2 1 4 1 A + 2 1 4 1 B 2 1 4 1 C - D1 + 2 2 4 1 A + 2 2 4 1 B + 2 2 4 1 C - D2 2 ( ) A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 . Bola (P2 ,r2)membagi 2 sama besar bola (P1 ,r1) (gambar 6.6), jika 2 1 2 2 2 _____ 1 2 PP r r atau ( 2 1 2 ) 2 1 2 1 A A +( 2 1 2 ) 2 1 2 1 B B +( 2 1 2 ) 2 1 2 1 C C = 2 2 ( 4 1 A + 2 B2 + 2 C2 )-D2 –{ 2 2 ( 4 1 A + 2 B1 + 2 C1 -D1} Atau 2 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 A1 B C D D . ☞ Contoh: P1 P2 1 r 2 r P1 P2 1 r 2 r
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 81 Tentukan persamaan bola yang memotong tegak lurus bola 6 4 2 11 2 2 2 x y z x y z , membagi dua sama besar bola 3 2 2 2 x y z dan menyinggung garis x = 7 - 2y = -z di titik T(1, 3, -1). Penyelesaian: Misalnya persamaan bola, 0 2 2 2 Bl1 x y z Ax By Cz D , 6 4 2 11 0 2 2 2 Bl2 x y z x y z , dan 3 0 2 2 2 Bl3 x y z . Karena Bl1 memotong Bl2 maka -6A + 4B – 2C = 2 (D – 11) …………………1) Karena Bl1 membagi dua sama besar Bl3 maka 2 (D + 3) = 0 …………………2) Bilangan arah garis g ≡ 1 2 1 2 7 1 z y x adalah , 1. 2 1, 1 Garis melalui titik pusat P dan titik singgung T (1, 3, -1), katakan PT mempunyai bilanganbilangan arah A B C 2 1 , 1 2 1 , 3 2 1 1 . g PT => hasil kali kedua bilangan arahnya sama dengan nol. Atau 2A – B – 2C + 2 = 0 ……………………………….3) PT adalah jari-jari bola atau A B C A B C D 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 4 1 ) 2 1 ) ( 1 2 1 ) (3 2 1 (1 Atau A + 3B – C + 8 = 0 …………………………..4)
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 82 Terdapat empat persamaan dengan empat bilangan yang tidak diketahui A, B, C dan D. Jika diselesaikan secara bersama-sama akan diperoleh A = 2, B = -2, C = 4 dan D = -3. Sehingga persamaan bola yang diminta diperoleh, yaitu 2 2 4 3 0 2 2 2 x y z x y z . G. Kuasa Suatu Titik Terhadap Bola Kuasa suatu titik P terhadap bola adalah hasil kali segmen-segmen garis yang menghubungkan P dengan titik-titik potong garis yang melalui P dengan bola tersebut. Gambar 6. 7 Dari titik P dapat ditarik garis-garis yang memotong bola menurut titiktitik A, B, C, D, Q dan seterusnya. r r r M S 0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 83 Jika bola S (x,y,z) x 2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 yang berpusat di M( A 2 1 , B 2 1 , C 2 1 ) dan sebarang titik P(x1,y1,z1) maka sesuai dengan definisi berlaku PA . PB = PC . PD = PQ . PQ = PQ2 ……1) dimana PC . PD = (PM r).(PM r) = 2 2 PM r . 2 2 PM r dapat dicari yaitu 2 2 PM r = (x1 + A 2 1 ) 2 +( y1+ B 2 1 ) 2 +(z1+ C 2 1 ) 2 - { 2 ( 4 1 A + 2 B + 2 C )-D} = x y z Ax1 By1 Cz1 D 2 1 2 1 2 1 Jadi kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola bola S (x,y,z) x 2 +y2 +z2 +Ax + By+Cz+D= 0 adalah k = S(x1,y1,z1). H. Bidang Kuasa, Garis Kuasa dan Titik Kuasa 1. Bidang Kuasa Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua bola disebut bidang kuasa dua bola itu. Misalkan kedua bola mempunyai persamaan sebagai berikut. Bl1 x 2 + y2 + z2 + A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Bl2 x 2 + y2 + z2 + A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 84 Ambil titik sebarang P(x0,y0,z0) dengan syarat P mempunyai kuasa yang sama terhadap Bl1 = 0 dan Bl2 = 0. Jika S menyatakan kuasa maka ini berarti S1 = S2 . 1 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 2 x0 y z A x B y C z D = 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 x0 y z A x B y C z D 1 0 1 0 1 0 D1 A x B y C z = 2 0 2 0 2 0 D2 A x B y C z Karena P(x0,y0,z0) maka persamaan terakhir dapat ditulis 1 1 1 D1 A x B y C z = 2 2 2 D2 A x B y C z 1 2 1 2 1 2 1 2 (A A )x (B B )y (C C )z D D Persamaan ini adalah persamaan bidang kuasa. Sifat-Sifat dari Bidang Kuasa, yaitu: 1. Bidang kuasa tegak lurus sentral kedua bola. 2. Jika kedua bola berpotongan maka lingkaran perpotongannya terletak pada bidang kuasa. 3. Jika kedua bola bersinggungan maka bidang kuasa merupakan bidang persekutuan di titik singgung. 4. Jika kedua bola sepusat tetapi jari-jari tidak sama maka bidang kuasanya tidak ada.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 85 Gambar 6.8a Ggggggg GaGGambaGGaGmbarGGgkkGgg Gambar 6.8c Gambar 6.8d 3. Garis Kuasa dan Titik Kuasa Garis Kuasa dari 3 bola Bl1 = 0, Bl2 = 0 dan Bl3 = 0 adalah garis potong bidang kuasa tiap 2 bola. Jadi garis kuasa merupakan tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya sama terhadap ketiga bola. Misalkan ketiga bola mempunyai persamaan sebagai berikut. Bl1 x 2 + y2 + z2 + A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Bl2 x 2 + y2 + z2 + A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Bl3 x 2 + y2 + z2 + A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 M1 M 2 M1 M 2 M1 M 2 M1 M2
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 86 Jika S menyatakan kuasa bola maka garis kuasa ketiga bola adalah S1 =S2 = S3. Misalkan bola ke empat mempunyai persamaan, Bl4 x 2 + y2 + z2 + A4 x + B4 y + C4 z + D4 = 0 maka bidang kuasa yang dibentuk ke- empat bola sebanyak 6 dan garis kuasa ada 4 (dapat dicari). Jika bidang-bidang kuasa itu bukan anggota dari satu berkas bidang maka bidangbidang itu anggota dari satu jaring bidang. Sehingga garis-garis kuasa berpotongan pada satu titik yang disebut titik kuasa dari keempat bola tersebut. Titik ini mempunyai kuasa yang sama terhadap keempat bola. ☞ Contoh: Diketahui Bl1 x 2 + y2 + z2 – 16 = 0 Bl2 x 2 + y2 + z2 – 4z = 0 Bl3 x 2 + y2 + z2 + 4y = 0 Bl4 x 2 + y2 + z2 – 16x = 0 Ditanya garis kuasa Bl2 = 0, Bl3 = 0 dan Bl4 = 0 dan titik kuasa dari keempat bola. Penyelesaian: Garis kuasa dari ketiga bola Bl2 = 0, Bl3 = 0 dan Bl4 = 0 adalah Bl2 = Bl3 = Bl4. Atau x2 + y2 + z2 – 4z = x 2 + y2 + z2 + 4y = x 2 + y2 + z2 – 16x Atau -4z = 4y = -16x Jadi garis kuasanya adalah –z = y = -4x. Sedangkan titik kuasa dari keempat bola adalah (1, -4, 4).
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 87 I. Berkas Bola Misalkan diketahui persamaan dua buah bola sebagai berikut. K1 x 2 + y2 + z2 + A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 K2 x 2 + y2 + z2 + A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Dari kedua persamaan tersebut dibuat persamaan baru, yaitu K1 + λ K2 = 0 dengan λ suatu parameter, λ є R maka K1 + λ K2 = 0 juga menyatakan persamaan bola. Bukti: K1 + λ K2 = 0 x 2 + y2 + z2 + A1x + B1y + C1z + D1 + λ (x 2 + y2 + z2 + A2x + B2 y + C2 z + D2) = 0. (1+λ)x2 +(1+λ)y 2 +(1+ λ)z 2 + (A1+λA2) x + (B1+λB2) y + (C1+λC2)z + (D1+λD2) = 0. x 2 + y2 + z2 + 1 A1 A2 x + 1 B1 B2 y + 1 C1 C2 z + 1 D1 D2 = 0. Jadi terbukti bahwa persamaan K1 + λ K2 = 0 adalah persamaan bola Karena λ є R maka ada bola yang tak hingga banyaknya dan disebut berkas bola. Bola Bl1 = 0 dan + Bl2 = 0 disebut anggota-anggota dasar dari berkas bola. Sifat-sifat berkas bola dapat dilihat sebagai berikut. 1. Suatu berkas bola dapat ditentukan oleh setiap dua anggotanya. 2. Jika Bl1 = 0 dan + Bl2 = 0 berpotongan pada lingkaran L maka setiap anggota berkas akan melalui lingkaran L. Bukti:
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 88 Bl1 x 2 + y2 + z2 + A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Bl2 x 2 + y2 + z2 + A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0 Persamaan berkas bola persamaan Bl1 + λ Bl2 = 0 x 2 +y2 + z2 +A1x+B1y+C1z+D1+λ(x2 +y2 +z2 +A2x+B2y+C2z+D2)=0 …………….*) Ambil sebarang titik T(xt ,yt ,zt) pada L. T pada Bl1 , berlaku 1 1 1 1 0 2 2 2 xt yt zt A xt B yt C zt D …………………… 1) T pada Bl2 , berlaku 2 2 2 2 0 2 2 2 xt yt zt A xt B yt C zt D ………………… 2) Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh persamaan *) 0 + λ (0) = 0 (benar) Nyata koordinat T memenuhi persamaan berkas bola. Ini berarti setiap anggota berkas melalui T sementara T terletak pada lingkaran L. Jadi setiap anggota berkas akan melalui lingkaran L. Anggota berkas terkecil adalah bola dengan lingkaran L sedangkan anggota berkas terbesar adalah bola yang berpusat di tak hingga pada arah garis sentral dan berjari-jari tak hingga. 3. Bila Bl1 = 0 dan + Bl2 = 0 bersinggungan di titik S maka setiap anggota berkas saling bersinggungan di titik S. Anggota berkas terkecil adalah bola titik dengan lambang (S, 0). Bl1 0 Bl2 0 L .T
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 89 Anggota berkas terbesar adalah bola berpusat di tak hingga pada arah garis sentral dan jari-jari tak hingga. Bola tersebut adalah bidang kuasa berkas yaitu bidang yang melalui S dan tegak lurus garis sentral. Bidang kuasa ini merupkan bidang singgung persekutuan di titik S. 4. Jika sebuah lingkaran merupakan perpotongan bola S = 0 dan bidang V = 0 maka persamaan bola-bola yang melalui lingkaran tersebut adalah S + λ V = 0. ☞ Contoh: 1. Diketahui Bl1 : x2 + y2 + z2 = 16 dan Bl2 : x2 + y2 + z2 – 4x - 5 = 0 Ditanya: Carilah persamaan bola yang melalui lingkaran potong Bl1 dan Bl2 dan melalui titik P(1, 2, 3). Penyelesaian: Misalkan K adalah anggota berkas yang melalui lingkaran potong Bl1 dan Bl2, berarti K : Bl1 + Bl2 = 0. K : x2 + y2 + z2 - 16 + (x2 + y2 + z2 – 4x – 5) = 0. Karena anggota berkas melalui titik P(2, 1, 3) berarti 1 + 4 + 9 – 16 + (1 + 4 + 9 – 4 – 5) = 0. Atau = - 2/5. Jadi persamaan bola yang melalui lingkaran potong kedua bola tersebut adalah 7x2 + 7y2 + 7z2 – 8x - 90 = 0. 2. Tentukan persamaan bola yang menyinggung S : x 2 + y2 + z2 + 3x - 2y – 10 = 0 di titik potong S dengan sumbu X dan yang melalui titik P(2, 1, 3).
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 90 Penyelesaian: Misalkan M adalah titik potong S dengan sumbu X maka M mempunyai persamaan berikut. M : 0; 0 3 2 10 0 2 2 2 m m m m m m m m z y x y z x y z M : 3 10 0 2 xm xm (xm – 2)(xm+ 5) = 0 xm = 2 atau xm= - 5 Jadi titik potong S dengan sumbu X adalah M1 (2, 0, 0) dan M2 (-5, 0, 0). Misalkan L1 adalah bola yang menyinggung S di M1 maka L1 adalah berkas bola dengan anggota dasar S dan bola titik B1 : (M1 , 0). Atau B1 : (x - xm1) 2 + (y - ym1) 2 + (z - zm1) 2 = 0. B1 : (x - 2)2 + y2 + z2 = 0. B1 : x2 + y2 + z2 – 4x + 4 = 0. Persamaan berkas L1 : S + λ B1 = 0, atau L1 : x2 + y2 + z2 + 3x - 2y – 10 + λ (x2 + y2 + z2 – 4x + 4) = 0. Karena anggota berkas melalui P(2, 1, 3) maka berlaku 2 2 + 12 + 32 + 3.2 – 2.1 – 10 + λ (22 + 12 + 32 – 4.2 + 4) = 0. 8 + 10 λ = 0 λ = - 5 4 Sehingga persamaan bola menjadi
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 91 L1 : x2 + y2 + z2 + 3x - 2y – 10 + - 5 4 (x2 + y2 + z2 – 4x + 4) = 0. Atau L1 : x2 + y2 + z2 + 31x - 10y – 66 = 0. Sekarang, misalkan L2 adalah bola yang menyinggung S di M2 maka L2 adalah berkas bola dengan anggota dasar S dan bola titik B2 : (M2 , 0). B2 : (x - xm2) 2 + (y - ym2) 2 + (z - zm2) 2 = 0. B2 : (x + 5)2 + y2 + z2 = 0. B2 : x2 + y2 + z2 + 10 x + 25 = 0. Persamaan berkas L2 : S + λ B2 = 0, atau L2 : x2 + y2 + z2 + 3x - 2y – 10 + λ (x2 + y2 + z2 + 10x + 25) = 0. Karena anggota berkas melalui P(2, 1, 3) maka berlaku 2 2 + 12 + 32 + 3.2 – 2.1 – 10 + λ (22 + 12 + 32 + 10.2 + 25) = 0. 8 + 59 λ = 0 λ = - 59 8 Sehingga persamaan bola menjadi x 2 + y2 + z2 + 3x - 2y – 10 - 59 8 (x2 + y2 + z2 + 10x + 25) = 0. atau x2 + y2 + z2 + 51 97 x – 51 118 y - 51 790 = 0 3. Tentukan persamaan bola yang melalui lingkaran potong S : x2 + y2 + z2 - 2x + 3y – 6z - 5 = 0 dengan bidang V: 5x + 2y – z – 3 = 0 dan melalui titik P(2, -1, 1).
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 92 Penyelesaian: Persamaan berkas bola dengan anggota dasar x 2 + y2 + z2 - 2x + 3y – 6z - 5 = 0 dan 5x + 2y – z – 3 = 0 adalah x 2 + y2 + z2 - 2x + 3y – 6z – 5 + λ (5x + 2y – z – 3) = 0. Karena bola melalui titik P(2, -1, 1) maka berlaku 2 2 + (-1)2 + 12 – 2.2 + 3(-1) – 6.1 – 5 + λ {5.2 + 2(-1) – 1 – 3} = 0. -12 + 4 λ = 0 λ = 3. Jadi persamaan bola yang melalui lingkaran potong S dan V dan melalui titik P adalah x 2 + y2 + z2 - 2x + 3y – 6z – 5 + 3 (5x + 2y – z – 3) = 0. x 2 + y2 + z2 +13x + 9y – 9z – 14 = 0. ✍ Soal-Soal: 1. Tentukan persamaan bola yang pusat dan jari-jarinya diberikan berikut. a. (2,1,5); 5 b. (-7, 3, -4) ; 2 c. (-2, 0, 5) ; 5 2. Gunakan proses melengkapkan kuadrat untuk mencari pusat dan jari-jari bola berikut ini. a. x 2 + y2 + z2 – 6x + 8y – 4z + 13 = 0 b. x 2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 10z + 5 = 0 c. 4x2 + 4y2 + 4z2 – 8x -16y + 24z + 55 = 0 d. x 2 + y2 + z2 – 6x - 4y + 2z + 9 = 0
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 93 3. Tentukan persamaan bola yang garis tengahnya adalah ruas garis yang menghubungkan (- 1, 4, 5) dan (5, -2, 4). 4. Tentukan persamaan bola yang pusatnya (3, 2, 5) dan menyinggung a. bidang xy b. bidang xz c. bidang yz Jb. a. (x - 3)2 + (y -2)2 + (z - 5)2 = 52 b. (x - 3)2 + (y -2)2 + (z - 5)2 = 22 c. (x - 3)2 + (y -2)2 + (z - 5)2 = 3 2 5. Cari persamaan bola yang menyinggung semua bidang koordinat, jika radiusnya 7 dan berpusat di oktan pertama. Jb. (x - 7)2 + (y - 7)2 + (z – 7)2 = 49. 6. Tentukan persamaan dua bola yang bersinggungan yang pusat-pusatnya ialah (-3, 1, 2) dan (5, -3, 6) dan jari-jarinya sama. Jb. (x + 3)2 + (y -1)2 + (z - 2)2 = 24 (x - 5)2 + (y + 3)2 + (z - 6)2 = 24 7. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran 2 ( 1) ( 2) ( 1) 10 2 2 2 z x y z Jb. Pusat (1, -2, 2) dan jari-jari 1. 8. Persamaan kanonik dari garis tengah bola x 2 + y2 + z2 – x + 3y + z - 13 = 0 yang sejajar dengan garis x = 2t – 1, y= -3t + 5, z = 4t + 7.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 94 Jb. 4 2 1 3 2 3 2 2 1 x y z 9. Tentukan persamaan bola jika diketahui titik pusat bola terletak pada garis 2x + 4y – z – 7 = 0, 4x + 5y + z – 14 = 0 dan bola menyinggung bidang-bidang x + 2y – 2z – 2 = 0 dan x + 2y – 2z + 4 = 0. Jb. (x + 1)2 + (y -3)2 + (z - 3)2 = 24 10. Tentukan titik kutub dari bidang 3x – 4y + 5z = 2 terhadap bola x2 + y2 + z2 = 4 Jb. (6, -8, 10). 11. Tentukan persamaan bola yang melalui lingkaran potong ( ,5) (3,1,2) 4 5 0 2 1 S M dengan M S x y z x serta melalui titik awal. Jb. 3x2 + 3y2 + 3z2 – 7x + 5y + 10z = 0 12. Tentukanlah persamaan, titik pusat dan jari-jari bola yang melalui titik (1, -3,4), kuasa titik (-4, -1, 0) terhadap bola tersebut adalah 13, memotong tegaklurus bola: x 2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 12z + 4 = 0 dan membagi dua sama besar bola: x 2 + y2 + z2 + 2x + 8y – 4z + 14 = 0. Jb. x2 + y2 + z2 +2x + 6y - 6 = 0, M(1, -3, 0); R = 4.
Geometri Analitik Ruang_EllisMardiana Page 95 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. 1984 Calculus With Analitic Geometry. Second Edition. New York: John Wiley & Sons. Coxeter, H.S.M.1969. Introduction To Geometry. New York: John Wiley. Hadiwidjojo, Moeharti.1975. Ilmu Ukur Analitik Ruang, Bagian III. Yogyakarta: FKIP IKIP Yogyakarta. Johnson, R.E & Kiokemeister.1965. Calculus With Analitic Geometry. Third Edition New Delhi: Prentice-Hall Of India (Private) Ltd. Purcell, Edwin J & varberg.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis (Terjemahan). Jakarta: Erlangga. Travers, K. 1987. Geometry. Homewood, IL: Laidlaw Brothers.