ปก-คำนำ-สารบัญ-อ.ปลื้ม

1

บทที่ 2

การดำเนนิ การทางตวั เลข (1)

อนกุ รมธรรมดา
คือ การเรียงตวั เลขตามกฎเกณฑ์ หรือระบบอย่างใดอยา่ งหนงึ่ ส่วนมากจะเรียงจากซา้ ยไป

ขวา ลักษณะของข้อสอบแต่ละข้อจะมีอนุกรมเลข ซึ่งเรียงกันอยู่แล้ว ให้ผู้ตอบหาตัวเลขที่ขาด
หายไป ส่วนมากมักจะเป็นตวั ถัดไปทางขวามือการหาคำตอบของอนุกรมชุดเดยี วคอื หาความตา่ ง
ของตวั เลขแตล่ ะตัวในอนุกรม ถา้ เราอ่านรูปแบบการเพิ่มข้ึนหรอื ลดลงของตัวเลข ไดเ้ ร็วเท่าไหร่ก็
ยิ่งทำโจทย์ได้เร็วมากขึน้ รปู แบบของตวั เลขจะบอกเราไดค้ รา่ วๆ ประมาณน้ี
• ถา้ ตวั เลขเพมิ่ ข้นึ อย่างสม่ำเสมอนา่ จะเป็นการบวกหรือสะสมคา่ ไปเร่ือยๆ
• ถ้าตวั เลขเพิ่มข้นึ อยา่ งรวดเร็วนา่ จะเปน็ การคณู หรอื การยกกำลงั
• ถา้ ตัวเลขลดลงอย่างสม่ำเสมอ นา่ จะเปน็ การลบ
• ถา้ ตวั เลขลดลงอยา่ งรวดเรว็ น่าจะเปน็ การหาร
ตัวอยา่ ง โจทย์อนุกรมข้อท่ี 1
49 56 69 87 ?

จากโจทย์เปน็ การเพมิ่ ขนึ้ อยา่ งสมำ่ เสมอ เราควรจะคิดถงึ การบวกกอ่ นเปน็ อันดบั แรก ลอง
วิเคราะห์โจทย์ดูว่าตัวเลขเพิม่ ขึ้นทีละเท่าไหร่จะพบว่าค่าที่เพิ่มขึ้นไม่เท่ากันในแต่ละตัว จากนัน้
ลองตั้งค่าที่เพิ่มขึ้นมาเป็นอนุกรมใหม่จะได้ค่าที่เพิ่มขึ้นเป็นรูปแบบตามรูป( ชั้นที่ 2) โดยค่าที่
เพิ่มข้นึ จะลดลงที่ละ 1 ตามรปู
49 56 69 87 ?
+7 +13 +18 +22
+6 5 +4
ดังน้ันคำตอบขอ้ นี้คือ 109

2

ตวั อย่าง โจทยอ์ นุกรมขอ้ ท่ี 2

2500 625 250 175 160 ?

จากโจทย์เป็นการเพิ่มขึน้ อย่างสม่ำเสมอ เราควรจะคดิ ถงึ การบวกกอ่ นเปน็ อันดับแรก ซ่ึง
ข้อนี้เปน็ การเพ่มิ ขึ้น ที่ละ 3

วธิ คี ิดแบบท่ี 1

วิธีคิดแบบแรกเป็นการทำโจทย์แบบไม่กลัวเลขเยอะ ในข้อสอบก.พ.จริงๆมักจะตั้งโจทย์
เป็นตวั เลขท่ีดแู ลว้ คำนวณยากมาให้เรา ดงั นั้นทางที่ 1 คือคิดไปเร่ือยๆไม่ตอ้ งกลัวเลขจะมากหี่ ลักก็
คำนวนไปตามทม่ี นั น่าจะเปน็ แตข่ อ้ เสียของวธิ ีนค้ี อื เราจะใช้เวลาในการคำนวณเยอะ และโอกาสท่ี
ผิดก็มีเยอะกว่าด้วย แต่วิธีคิดจะตรงไปตรงมาไม่ซับซ้อน เริ่มต้นข้อนี้ดูจากรูปแบบการ
เปลย่ี นแปลงของข้อมลู แล้ว รเู้ ลยว่ามีการหารแน่นอน แต่จะอยู่ในชัน้ แรก หรือชั้นอื่นๆก็ต้องลอง
คำนวณดู แต่จากการดูตวั เลขในเบ้อื งตน้ การหารในชั้นแรกทำได้ยากจึงลองใชก้ ารลบแทน ทำการ
หาผลต่างของเลขในอนุกรมแตล่ ะตัวจะไดด้ ังรูป หลงั จากไดผ้ ลตา่ งมาแล้วลองทำการวเิ คราะห์ดูจะ
พบว่าเราหารด้วย 5 ไปเรื่อยๆก็จะได้ตัวเลขถัดไปดังรูป ดังนั้นในข้อเลยสรปุ ได้วา่ เป็นอนุกรมชดุ
เดียวแบบ 2 ชนั้ ช้นั แรกทำการลบส่วนชั้นที่ 2 ทำการหารดว้ ย 5

2500 625 250 175 160 ?

-1875 -375 -75 -15 -3

÷5 ÷5 ÷5 ÷5

ดังนั้นคำตอบข้อน้ีคอื 160-3 = 157

วิธคี ดิ แบบท่ี 2

เปน็ วิธีคดิ โจทยอ์ นกุ รมโดยการพยายามทำให้โจทย์ง่ายข้ึนด้วยการแปลงอนกุ รมที่โจทย์ให้
มาเป็นอนุกรมทีอ่ ่านง่ายขึ้น เช่น ถ้าเป็นเศษส่วนก็เปลี่ยนเป็นจำนวนเตม็ หรืออย่างในโจทยข์ ้อน้ี
เราจะทำการแปลงอนกุ รมใหเ้ ป็นตัวเลขทีล่ ดลงดว้ ยการหาร 5 ทุกตวั เพราะสมาชกิ ทุกตัวนั้นหาร
ด้วย 5 ลงตัว

500x5 125x5 50x5 35x5 32x5 ?x5

3

อย่าลืมว่าคำตอบที่เราได้ในขั้นตอนนีต้ ้องคูณด้วย 5 กลับไปเป็นคำตอบท่ีถูกต้อง(คำตอบสุดท้าย
คือ ?x5) ส่วนหลังจากน้นั จะเปน็ วธิ คี ิดเหมือนกับในวิธที ี่ 1 เลย แตต่ วั เลขจะน้อยลงทำให้คำนวณ
ได้ง่ายขนึ้ ช่วยประหยัดเวลาและลดข้อผดิ พลาดให้เราได้
500 125 50 35 32 ?
-375 -75 -15 -3 -3/5
÷5 ÷5 ÷5 ÷5
ดงั นัน้ คำตอบขอ้ นค้ี ือ (32-(3/5))x5 = 157

ตวั อย่าง โจทยอ์ นุกรมข้อท่ี 3
3 3 9 9 3 27 30 39 ?

โจทย์อนกุ รมอกี รปู แบบทีอ่ าจเป็นไปได้คือการเอาสมาชกิ ในอนุกรมนน้ั มาทำการบวก ลบ
คูณหรือหารกันเอง ซึ่งถ้าเราดูรูปแบบของโจทย์ประเภทนี้จะมีข้อมูลแบ่งเป็นชุดๆ ตัวเลขใน
อนุกรมจะมีการสลับขึ้นลงไปมาหรืออาจมีการขึ้นลงของตัวเลขไม่สม่ำเสมอ อนุกรมรูปแบบนี้
จะตอ้ งสามารถแบ่งออกเป็นชดุ ๆได้ ถา้ แบง่ ตัวเลขแล้วไมล่ งตัวก็ลมื รปู แบบนไ้ี ดเ้ ลย
3 3 9 9 3 27 30 39 ?
จากโจทยถ์ า้ เราแบง่ ตัวเลขในอนกุ รมออกมาเป็นชุดละ 3 ตวั เราจะเห็นวา่ ตัวเลขตัวท่ี 3 ในแต่ละ
ชุดมาจากตัวเลข 2 ตัวแรกคูณกัน ความยากของโจทย์แบบนี้คือตัวเลขจะหลอกให้เราคิดถึง
รปู แบบอ่ืนๆ

3x3=9
9 x 3 = 27
30 x 39 = ?
ดังนนั้ คำตอบข้อนีค้ ือ 1170

4

อนกุ รมแบบผสม
ลักษณะของอนุกรมแบบนี้ จะมีหลายรูปแบบ เช่น เป็นการผสมผสานระหว่างอนุกรม

ย่อยๆ ที่สลับตำแหน่งกันอยู่ หรือเป็นการเพิ่มขึ้น ลดลงของตัวเลขในหลักต่าง ๆ หรืออาจจะมี
ตัวอักษรปะปนอยู่ดว้ ยกไ็ ด้
• แบบท่ี 1 เป็นแบบท่ีอนุกรมยอ่ ยสลับทก่ี นั อนุกรมแบบนจี้ ะประกอบด้วยอนกุ รมยอ่ ย 2 ชดุ ข้นึ ไป
รวมกนั อย่ใู นอนุกรมเดียวกนั
คำส่ัง : จงหาตัวเลขถดั ไป
1. 0 3 3 5 6 7 9 ……….
2. 9 18 6 24 3 30 0 ……….
3. 2 1 0 3 2 1 4 3 2 ………
4. 13 9 26 5 52 1 104 ………..
5. 2 4 3 9 4 ………
6. 1 3 10 41 ……..

• แบบที่ 2 : อนุกรมผสมผสาน เป็นอนุกรมที่มักจะเป็นอนุกรมผสมระหว่างตัวเลขกับตัวอักษร
หรอื รูปแบบของการเพิม่ ข้ึน ลดลง ของตวั เลขในหลกั ตา่ ง ๆ เราอาจเรยี กอนกุ รมแบบนวี้ า่ อนกุ รม
หลายรปู แบบกไ็ ด้

ตัวอยา่ ง
1. B 2 A B 4 D C 8 E ………….
2. 1 M 3 N 5 Q 6 N 9 ……………….
3. A C 2 C D 3 ……………

5

อนกุ รมหลายชัน้

โจทย์จะกำหนดอนุกรมมาให้ 2 อนุกรม โดยท่ที ั้งสองอนุกรมไมม่ ีความสมั พันธเ์ ก่ยี วขอ้ งกัน
เลย แล้วใหห้ าทผี่ ดิ

1.

กขคงจ
อนุกรม 5 4 3 2 1
หนงึ่
อนกุ รม 1 3 6 7 9
สอง

ผลรวม = 40
2.

กขคงจ
อนกุ รม 0 3 6 9 12
หน่ึง
อนกุ รม 0 3 5 7 9
สอง

ผลรวม = 55

3.

กขคงจ
อนกุ รม 11 8 9 6 7
หนึ่ง
อนกุ รม 3 3 5 6 9
สอง

ผลรวม = 66

6

4.

กขคงจ
อนกุ รม 1 3 5 16 6
หน่งึ
อนกุ รม 1 9 25 4 2
สอง

ผลรวม = 70

5. งจ
2 12
กขค
อนุกรม 4 2 8 42
หนงึ่
อนุกรม 12 11 9 ผลรวม = 68
สอง

6. งจ
13
กขค
อนุกรม 7 5 4 41
หนงึ่
อนุกรม 25 16 9 ผลรวม = 70
สอง

7

อนุกรมสัมพันธ์

8

9

อนกุ รมเชงิ ซอ้ น
• เป็นอนุกรมท่ีประกอบด้วยตัวเลขล้วน ๆ ที่มีระบบการเพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างซับซ้อน
หลายขัน้ ตอน ดังน้นั วธิ ีพจิ ารณาต้องทำอย่างพนิ จิ พเิ คราะห์ จึงจะหาคำตอบไดถ้ กู ต้อง
• ลกั ษณะการคดิ จะเหมอื นกับอนกุ รมเชิงเด่ียว แตม่ ขี ้อสงั เกตคือ โจทยม์ กั เป็นชุดตัวเลขท่ี
มคี วามยาวหลายจำนวน หรือมากกว่า 6 ตัว

อนุกรมเชงิ ซอ้ น 1 ชุด
ตัวอยา่ งโจทยอ์ นกุ รมเชิงซ้อน 1 ชดุ แบบการคณู

2 4 8 9 10 90 91 92 ?

10

บทท่ี 3
การดำเนนิ การทางตวั เลข (2)

เศษส่วน
เศษสว่ น หมายถึง จำนวนใดๆที่เขียนแทนจำนวนท่ถี กู แบ่งออกเปน็ ส่วนๆละเท่าๆกนั ซึ่งอยู่ในรูป
ของ a โดยท่ี b ≠ 0

b

เศษสว่ นแบ่งออกเป็น 4 ชนิดคอื
1. เศษส่วนแท้คอื เศษส่วนท่ีมีตวั เศษน้อยกวา่ ตัวส่วน เชน่ 3 9 8

5 11 100

2. เศษเกนิ คอื เศษส่วนทม่ี ีตัวเศษมากกว่าตวั สว่ น เชน่ 13 29 888

7 13 123

3. จำนวนคละคือเศษสว่ นท่ีมีจำนวนเต็มอย่รู วมกับเศษส่วนแท้ เช่น 2 3 3 5 7 5

5 11 23

4. เศษซ้อน คือเศษส่วนทีม่ ตี ัวเศษหรือตวั ส่วนหรอื ท้ังตัวเศษและตวั สว่ นเปน็ เศษส่วน เช่น
ตวั อยา่ งการบวกและการลบเศษสว่ น
1. ถา้ เศษสว่ นท่มี ตี ัวส่วนเทา่ กนั ให้นำเอาตัวเศษมาบวกกันหรอื ลบกันและตวั ส่วนคงเดมิ

ตัวอย่าง เช่น : 5 + 7

88

วธิ ที ำ : 5 + 7 = 12
88 8

ดงั น้ัน 5 + 7 = 12 ตอบเปน็ เศษส่วนอย่างต่ำคอื 3
88 8 2

ตัวอยา่ ง เชน่ : 9 + 2 + 7 = 9+2+7

11 11 11 11

11

= 4
=4 11

ดังนั้น 9 + 2 + 7 11

11 11 11

ตัวอย่าง เช่น : 32 ─ 8

53 53

วธิ ที ำ : 32 ─ 8 = 32−8 = 24

53 53 53 38

2. ถา้ เศษสว่ นที่มีตัวสว่ นไมเ่ ทา่ กนั ใหท้ ำตวั ส่วนใหเ้ ท่ากันโดยหา ค.ร.น.

ตัวอยา่ ง เช่น : 2 + 3 จะนำมาบวกกนั เลยไมไ่ ด้เพราะสว่ นไม่เทา่ กนั ตอ้ งทำตัวส่วน

57

ให้เท่ากันเสียก่อนโดยการหาค.ร.น.ของตัวส่วนคือ 5 เเละ 7 ได้เท่ากับ 35 แล้วทำส่วนของ
เศษส่วนท้งั สองใหเ้ ทา่ กบั 35 ดงั นี้

ตัวอย่าง เช่น : 2 + 3 = 2×7 + 3×5
57 5×7 7×5

= 14 + 15

35 35

ตอบ = 29

35

ตวั อยา่ ง เชน่ : 7 - 2 = (3×7)−(5×2)
15 9 45

= 21−10

45

ตอบ = 11

45

12

3. ถ้ามจี ำนวนคละใหเ้ ขียนจำนวนคละในรปู เศษเกนิ ก่อนแล้วจงึ หาผลคณู

ตัวอย่างเชน่ : 11 + 11

24

1. เขยี นจำนวนคละในรปู เศษเกนิ

11 + 11 = 3 + 5
24 24

2. โดยการหา ค.ร.น. ของ 2 และ 4 ได้เทา่ กับ 4

3+ 5 = (3×2)±(5×1)
4
24
( 6+5)
= 4
= 11
4

การคณู เศษสว่ น

2.1 การคณู เศษส่วนด้วยจำนวนนบั ให้นำจำนวนนบั มาคูณกับตัวเศษ โดยตวั ส่วนคงเดิม

ตัวอย่าง

1. จงหาผลลพั ธ์ 6 × 15 = 2. จงหาผลลพั ธ์ 8 × 25 =

11 12

วิธีทำ 6 × 15 = 6×15 วธิ ีทำ 8 × 25 = 8×25

11 11 12 12

= 90 13

11 = 200

12

=8 2 = 50

11 3

ตอบ 8 2 ตอบ 50

11 3

* ถา้ ตวั สว่ นหารจำนวนนับลงตวั ใหน้ ำตัวส่วนหารจำนวนนับแล้วจงึ คูณกบั ตัวเศษ

ตัวอย่าง

3. จงหาผลลพั ธ์ 30 × 32 = 4. จงหาผลลพั ธ์ 6 × 2 =

16 3

วิธีทำ 30 × 32 = 30×32 วธิ ที ำ 6 × 2 = 6×2

16 16 33

= 30 × 2 = 12

3

= 60 =4
ตอบ 60
ตอบ 4

2.2 การคูณเศษส่วนด้วยเศษสว่ น ใหน้ ำตวั เศษคูณกับตัวส่วน

ตัวอย่าง

5. จงหาผลลัพธ์ 7 × 15 = 6. จงหาผลลพั ธ์ 2 × 5 =

9 16 32

14

วิธีทำ 7 × 15 = 7×15 วธิ ที ำ 2 × 5 = 2×5

9 16 9×16 3 2 3×2

= 7×5 = 10

3×16 6

ตอบ 35 = 35 ตอบ 5 =5

48 48 3 3

*ถ้ามตี วั ประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน ใหน้ ำตัวประกอบร่วมมาหารทั้งตัวเศษและ
ตวั ส่วนกอ่ น

ตัวอย่าง 8. จงหาผลลัพธ์ 9 × 7 =
7. จงหาผลลัพธ์ 7 × 5 =
23
25 21

วธิ ที ำ 7 × 5 = 7×5 วิธีทำ 9 × 7 = 9×7
25 21 25×21 24 2×3

= 1×1 = 63

5×3 6

=1 = 21

15 2

ตอบ 1 = 10 1

15 2

15

ตอบ 10 1

2

2.3 การคูณเศษส่วนดว้ ยจำนวนคละ ใชว้ ิธที ำจำนวนคละให้เปน็ เศษเกินก่อน แล้วจึงนำ
ตัวเศษคูณกับตวั เศษ และนำตัวสว่ นคูณกบั ตัวส่วน
ตวั อยา่ ง

9.จงหาผลลัพธ์ 1 × 5 2 =

23

วิธที ำ 1 × 5 2 = 1 × (5×3)+2

23 23

= 1 × 17

23

= 1×17

2×3

= 17

6

= 25

6

ตอบ 2 5

6

ระบบจำนวนเตม็
1. จำนวนเตม็

คือ จำนวนทีไ่ ม่มเี ศษส่วนและทศนิยมรวมอยูใ่ นจำนวนนน้ั
จำนวนเตม็ ประกอบด้วย จำนวนเต็มบวกจำนวนเตม็ ศนู ย์ และ จำนวนเต็มลบ
มีจำนวนเต็ม 3 ชนิดคือ
1.จำนวนเตม็ บวก คอื จำนวนทีอ่ ยทู่ างด้านขวาของ 0 บนเส้นจำนวน เรยี กวา่ จำนวนนับ

16

จำนวนเตม็ บวก คือ จำนวนเต็มทมี่ ีค่ามากกว่า 0 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, …
2.จำนวนเต็ม 0 คอื จำนวนท่ีไม่เป็นท้งั จำนวนเต็มบวกหรือเตม็ ลบ

จำนวนเตม็ ศูนย์ คอื จำนวนที่มีค่าเป็น 0 ได้แก่ 0
3.จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนทอี่ ยู่ทางด้านซ้ายของเสน้ จำนวน

จำนวนเต็มลบ คอื จำนวนทีม่ คี า่ นอ้ ยกว่า 0 ได้แก่ -1, -2, -3, -4, -5, …

*จำนวนเตม็ บวก เรียกอกี อยา่ งหนึ่งว่า จำนวนนบั หรือ จำนวนธรรมชาต*ิ
บนเสน้ จำนวนเดยี วกัน จำนวนทีอ่ ยู่ทางดา้ นขวามอื จะมคี ่ามากกว่าจำนวนทอี่ ยูท่ างดา้ นซ้ายมอื
เสมอ

2.ค่าสัมบรูณข์ องจำนวนเต็ม
ถา้ a เป็นจำนวนใดๆ จำนวนตรงขา้ มของ a มเี พยี งจำนวนเดยี ว เขียนแทนดว้ ย –a

a และ -a จะอยูห่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะทางทเ่ี ทา่ กนั เทา่ กบั a หน่วย
เรียกระยะหา่ งระหวา่ ง 0 ถึงจำนวนใดๆบนเสน้ จำนวนว่า คา่ สัมบรู ณ์ (Absolute) เขียนสญั ลักษณ์
แทนด้วย |….|
ดังนัน้ ค่าสมั บรู ณจ์ ะมคี ่าเปน็ บวกเสมอ เพราะเป็นคา่ ที่แสดงระยะหา่ งระหวา่ ง 0 ถงึ จำนวนใดๆ
ดังรูป

17

ข้อสงั เกต*** เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ
ระยะห่างระหวา่ ง 0 ถงึ a = a และ
ระยะห่างระหวา่ ง 0 ถึง -a = a เชน่ กัน

ดังนั้นค่าสัมบรู ณ์ของ a และ -a ซึ่งแทนด้วย |a| และ |-a| มคี า่ เทา่ กบั a
ตัวอย่าง
ค่าสัมบูรณข์ อง 2 เทา่ กับ 2 เขยี นในรูปสัญลักษณ์ |2| = 2
คา่ สมั บรู ณข์ อง -2 เท่ากับ 2 เขียนในรูปสญั ลักษณ์ |-2| = 2
3.การบวกจำนวนเต็ม

3.1 การบวกจำนวนเตม็ บวกด้วยจำนวนเตม็ บวก
วิธกี ารหาผลบวกโดยการนำคา่ สมั บรู ณ์ของแต่ละมาบวกกนั แล้วตอบเปน็ จำนวนเต็มบวก
ตัวอยา่ ง
เชน่ 5 + 3 = 8
พิจารณา
5 และ 3 เป็นจำนวนเตม็ บวกท้ังคู่ โดย |5| = 5 และ |3| = 3 ดังนน้ั |5| + |3| = 8

พิจารณาการบวกจำนวนเต็มบวกบนเส้นจำนวน

เรม่ิ ตน้ จากตำแหนง่ “0” นับไปทางขวา 5 ช่อง (จำนวนเตม็ บวกใหน้ บั ไปทางขาวของเส้น
จำนวน) และนับเพิม่ ไปทางขวาอีก 3 ช่อง จะส้ินสดุ ท่ี 8

3.2. การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเตม็ ลบ
วิธกี ารหาผลบวกโดยการนำค่าสัมบูรณข์ องแต่ละจำนวนมาบวกกันแล้วตอบเปน็ จำนวนเต็ม
ลบ
ตวั อย่าง

18

เช่น (-2) + (-3) = (-5)
พจิ ารณา
-2 และ -3 เปน็ จำนวนเต็มลบทั้งคู่ โดย |-2| = 2 และ |-3| = 3 ดังน้ัน |-2| + |-3| = 2 + 3 = 5
จำนวนเตม็ ลบของ 5 = -5 ดงั นั้น (-2) + (-3) = (-5)

พิจารณาการบวกบนจำนวนเต็มลบเสน้ จำนวน

เรม่ิ ต้นจากตำแหนง่ “0” นบั ไปทางซา้ ย 2 ชอ่ ง (จำนวนเต็มลบใหน้ บั ไปทางซ้ายของเสน้ จำนวน)
และนบั เพ่ิมไปทางซ้ายอกี 3 ช่อง จะส้นิ สดุ ท่ี -5

19

แบบฝกึ หดั ท่ี 1

จงหาผลบวก

จำนวนเต็มบวก บวกดว้ ย จำนวนเตม็ บวก

1) 9 + 8 = ……………………………...

2) 47 + 39 = ………………………………

3) 123 + 45 = ……………………………...

4) 435 + 23 = ……………………………...

5) 688 + 453 = …………………………….

6) 100 + 456 = ……………………………..

7) 645 + 89 = …………………………….

8) 98 + 565 = …………………………….

9) 789 + 26 = ………………………………

10) 260 + 620 = ……………………………...

จำนวนเต็มลบ บวกดว้ ย จำนวนเตม็ ลบ

1) (-9) + (-8) = ……………………………...

2) (-47) + (-39) = ………………………………

3) (-123) + (-45) = ……………………………...

4) (-435) + (-23) = ……………………………...

5) (-688) + (-453) = …………………………….

6) (-100) + (-456) = ……………………………..

7) (-645) + (-89) = …………………………….

8) (-98) + (-565) = …………………………….

9) (-789) + (-26) = ………………………………

10) (-260) + (-620) = ……………………………...

20

3.3 การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเตม็ ลบ
วิธีการหาผลบวกโดยการนำคา่ สัมบูรณข์ องแต่ละจำนวนมาบวกกนั แลว้ ตอบเป็นจำนวน
เต็มลบ
ตวั อยา่ ง เชน่ (-2) + (-3) = (-5)
พิจารณา
-2 และ -3 เปน็ จำนวนเต็มลบท้งั คู่ โดย |-2| = 2 และ |-3| = 3 ดังนน้ั |-2| + |-3| = 2 + 3 = 5
จำนวนเตม็ ลบของ 5 = -5 ดงั นั้น (-2) + (-3) = (-5)

พิจารณาการบวกบนจำนวนเตม็ ลบเสน้ จำนวน

เริม่ ต้นจากตำแหน่ง “0” นับไปทางซ้าย 2 ช่อง (จำนวนเตม็ ลบให้นับไปทางซา้ ยของเส้น
จำนวน) และนบั เพมิ่ ไปทางซ้ายอกี 3 ช่อง จะสน้ิ สดุ ท่ี -5

3.3.1 กรณีทจี่ ำนวนเต็มบวกมคี ่าสมั บรูณม์ ากกวา่
ใหน้ ำคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเตม็ บวกมาลบด้วยค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเต็มลบ เชน่ 12
+ (-8)
คา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเต็มบวก = 12
คา่ สมั บรู ณ์ของจำนวนเตม็ ลบ = 8
จะไดว้ า่ ค่าสัมบรู ณ์ของจำนวนเต็มบวกมคี ่ามากกวา่ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเตม็ ลบ
ดงั นั้นจะได้ว่า 12 – 8 = 4
สำหรับเครอื่ งหมายของคำตอบจะยดึ เอาเคร่ืองหมายของจำนวนเต็มที่มีค่าสมั บูรณ์ที่มากกว่า
ซ่ึงจากโจทย์จำนวนทมี่ ีค่าสัมบรู ณม์ ากกว่าคือจำนวนเตม็ บวก ดังนั้นคำตอบขอ้ น้ี = +4 หรือ

21

พจิ ารณาในหลักการของเส้นจำนวน

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ : เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 12 ช่อง (สำหรับ
จำนวนเต็มบวก +12) จากนั้นนับย้อนกลับมาทางซา้ ย 8 ชอ่ ง (สำหรับการบวกจำนวนเตม็ ลบ) จะ
สนิ้ สุดที่ 4

3.3.2 กรณีทีจ่ ำนวนเตม็ ลบมีคา่ สัมบรู ณ์มากกวา่
ให้นำคา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเต็มลบมาลบดว้ ยคา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเต็มบวก
เชน่ 3 + (-12)
คา่ สมั บรู ณข์ องจำนวนเตม็ บวก = 3

คา่ สัมบูรณ์ของจำนวนเตม็ ลบ = 12

จะไดว้ า่ คา่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเต็มบวกมีค่ามากกวา่ คา่ สมั บูรณ์ของจำนวนเตม็ ลบ ดังนน้ั จะได้
วา่ 12 – 3 = 9

สำหรับเครือ่ งหมายของคำตอบจะยึดเอาเครื่องหมายของจำนวนเต็มท่ีมีค่าสัมบูรณ์ท่ีมากกว่า
ซึ่งจากโจทยจ์ ำนวนที่มคี า่ สัมบรู ณม์ ากกวา่ คอื จำนวนเต็มลบ ดังนัน้ คำตอบขอ้ น้ี = -9

หรือพิจารณาในหลกั การของเส้นจำนวน

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ : เริ่มนับจาก “0” ไปทางซ้าย 12 ช่อง (สำหรับ
จำนวนเตม็ ลบ -12) จากนน้ั นบั ย้อยกลบั มาทางขวา 3 ชอ่ ง (สำหรบั การบวกด้วยจำนวนเต็มบวก)
จะสนิ้ สุดที่ -9

3.3.3 กรณีที่การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์
เท่ากัน
ผลบวกจำเท่ากับศนู ย์เสมอ ดงั นี้
4 + (-4) = 0

22

6 + (-6) = 0
45 + (-45) = 0
พจิ ารณาจากเสน้ จำนวน ตัวอย่าง 5 + (-5)
เรม่ิ นับจาก “0” ไปทางขวา 5 ชอ่ ง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +5) จากนัน้ นบั ยอ้ ยกลับมาทางซา้ ย
5 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเตม็ ลบ) จะสนิ้ สุดที่ 0

การบวกจานวนเต็มบวกดว้ ยจานวนเตม็ ลบ และ การบวกจานวนเตม็ ลบดว้ ยจานวนเตม็
บวก เป็นไปตามหลกั เกณฑ์ ดงั น้ี

กรณีท่มี คี า่ สมั บรู ณไ์ มเ่ ท่ากนั ใหน้ าคา่ สัมบรู ณท์ ่ีมากกว่าลบดว้ ยคา่ สัมบรู ณ์ทนี่ อ้ ยกว่า
แลว้ ตอบเป็นจานวนเต็มบวกหรือจานวนเตม็ ลบตามจานวนทีม่ ีคา่ สัมบรู ณ์มากกว่า

กรณีทม่ี ีคา่ สมั บรู ณ์เท่ากนั ผลบวกเทา่ กบั 0

สรุป หลกั เกณฑ์การบวกการบวกจานวนเต็ม ดงั น้ี
1. การบวกจานวนเตม็ บวกดว้ ยจานวนเตม็ บวก ให้นาค่าสมั บรู ณม์ าบวกกนั แลว้ ตอบเป็ น
จานวนเต็มบวก
2.การบวกจานวนเตม็ ลบดว้ ยจานวนเต็มลบ ให้นาคา่ สัมบูรณ์มาบวกกนั แลว้ ตอบเป็ นจานวน
เต็มลบ
3.การบวกระหว่างจานวนเตม็ บวกกบั จานวนเต็มลบทีม่ ีคา่ สัมบูรณ์ไมเ่ ทา่ กนั ใหน้ าคา่ สมั บูรณ์
ท่ีมากกว่าลบดว้ ยคา่ สมั บูรณท์ ี่นอ้ ยกวา่ แลว้ ตอบเป็ นจานวนเต็มบวกหรือจานวนเต็มลบตาม
จานวนทม่ี คี ่าสัมบรู ณ์มากกว่า
4.การบวกระหวา่ งจานวนเต็มบวกกบั จานวนเต็มลบทม่ี คี ่าสัมบูรณ์เทา่ กนั ผลบวกเท่ากับ 0

23

สำหรบั การบวกจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยศูนย์ หรอื การบวกศนู ยด์ ว้ ยจำนวนเต็มใด ๆ จะได้

ผลบวกเทา่ กบั จำนวนเต็มนน้ั เสมอนน้ั คือ a+0 = 0+a = a

เมอ่ื a แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ

24

แบบฝกึ หัดที่ 2

จงหาผลบวก

จำนวนเตม็ บวก บวกดว้ ย จำนวนเต็มลบ

1) 9 + (-8) = ……………………………...

2) 47 + (-39) = ………………………………

3) 123 + (-45) = ……………………………...

4) 435 + (-23) = ……………………………...

5) 688 + (-453) = …………………………….

6) 100 + (-456) = ……………………………..

7) 645 + (-89) = …………………………….

8) 98 + (-565) = …………………………….

9) 789 + (-26) = ………………………………

10) 260 + (-620) = ……………………………...

จำนวนเตม็ ลบ บวกดว้ ย จำนวนเต็มบวก

1) (-9) + 8 = ……………………………...

2) (-47) + 39 = ………………………………

3) (-123) + 45 = ……………………………...

4) (-435) + 23 = ……………………………...

5) (-688) + 453 = …………………………….

6) (-100) + 456 = ……………………………..

7) (-645) + 89 = …………………………….

8) (-98) + 565 = …………………………….

9) (-789) + 26 = ………………………………

10) (-260) + 620 = ……………………………...

25

4. การลบจำนวนเต็ม
4.1 จำนวนตรงข้าม
พิจารณา -5 และ 5 โดยใช้เสน้ จำนวน ดงั นี้

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
พบว่า -5 และ 5 มีคา่ สมั บูรณเ์ ทา่ กนั โดยจะอยู่คนละขา้ งของ 0 และอยูห่ า่ งจาก 0 เปน็ ระยะ
เท่ากนั
จะกล่าววา่ -5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 5

5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ - 5
และ 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

ถ้า a เป็นจำนวนใดๆจำนวนตรงขา้ มของ a เขียนแทนด้วยและ -a
และ a + (-a) = (-a) + a = 0

สำหรบั 0 จะมี 0 เปน็ จำนวนตรงขา้ มของ 0
ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรงข้ามของจำนวนเตม็ แตล่ ะจำนวนมเี พียงจำนวนเดียวเทา่ น้ัน
พจิ ารณาจำนวนเตม็ เช่น -3

จำนวนตรงข้ามของ -3 คอื 3
และจำนวนตรงข้ามของ -3 คือ -(-3)

26

เน่ืองจากจำนวนตรงข้ามของ - 3 มีเพยี งจำนวนเดียว
ดังนัน้ -(-3) =3

ถ้า a เป็นจำนวนเตม็ ใดๆ จำนวนตรงขา้ มของ -a เขยี นแทนดว้ ย a และ -(-3) = a

4.2 การลบจำนวนเตม็
ในการลบจำนวนเตม็ นนั้ เราจะอาศัยการบวก ดงั น้ี

กำหนดให้ a และ b แทน แทน จำนวนเต็มใดๆ
a - b = a + จำนวนตรงข้ามของ b

หรือ a - b = a (-b)

เม่อื เขยี นการลบใหอ้ ย่ใู นรปู การบวกแล้ว กนิ หาผลบวกของจำนวนเตม็ ลบตามวิธีทีก่ ล่าว
มาแลว้

ตัวอย่างท่ี1 จงหาผลลบ 2 - 6
วธิ ีทำ 2 – 6 = 2 + (-6)
= -4
ตอบ -4

27

ตัวอยา่ งท่ี2 จงหาผลลบ (-2) – 6
วธิ ที ำ (-2) – 6 = (-2) + (-6)
= -8
ตอบ -8

ตัวอยา่ งที่3 จงหาผลลบ (-2) – (-6)
วิธที ำ (-2) – (-6) = (-2) + 6
=4
ตอบ 4

3. การหารเศษส่วน
การหารจำนวนใดๆ ด้วยเศษส่วน อาจคิดได้จากการนำจำนวนนั้นมาคณู กบั ส่วนกลบั ของ

เศษส่วนที่เปน็ ตัวหาร และการหารเศษส่วนด้วยจำนวนนบั อาจคดิ ไดจ้ ากการคณู เศษส่วนท่ีเปน็ ตวั
ตง้ั กับส่วนกลบั ของจำนวนทีเ่ ป็นตัวหาร

3.1การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คอื การแบง่ เศษส่วนออกเปน็ ส่วนเท่าๆกนั หา
คำตอบไดจ้ ากการคณู จำนวนนั้นกบั ส่วนกลบั ของเศษสว่ นทเ่ี ปน็ ตัวหาร

ตัวอยา่ ง

10. จงหาผลลพั ธ์ 1 ÷ 1 = 11. จงหาผลลัพธ์ 1 ÷ 3 =

24 34

วิธที ำ 1 ÷ 1 = 1 × 4 วิธีทำ 1 ÷ 3 = 1 × 4
24 21 34 33

= 1×4 = 1×4

2×1 3×3

28

=4 =4

2 9

=2 ตอบ 4

9

ตอบ 2

3.2 การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คือ การแบ่งเศษสว่ นทีม่ อี ย่อู อกเปน็ ส่วนเทา่ ๆกนั
คิดไดจ้ ากการคูณเศษส่วนทเ่ี ป็นตัวตั้งกับสว่ นกลับของจำนวนนับที่เปน็ ตวั หาร

ตัวอยา่ ง

12. จงหาผลลพั ธ์ 3 ÷ 6 = 13. จงหาผลลพั ธ์ 5 ÷ 12 =

4 13

วิธีทำ 3 ÷ 6 = 3 × 1 วิธีทำ 5 ÷ 12 = 5 × 13

4 46 13 1 12

= 3×1 = 5 ×13

4×6 1 ×12

=3 = 65

24 12

ตอบ 3 =5 5

24 12

ตอบ 5 5

12

29

3.3 การหารเศษสว่ นดว้ ยจำนวนคละ คอื การแบ่งเศษส่วนออกเป็นสว่ นเท่าๆกนั แตใ่ น
การหาคำตอบตอ้ งทำจำนวนคละใหเ้ ป็นเศษเกินกอ่ น

ตัวอยา่ ง 15.จงหาผลลพั ธ์ 2 3 ÷ 4 =
14. จงหาผลลพั ธ์ 5 ÷ 3 1 =
53
22
วธิ ีทำ 2 3 ÷ 4 = 13 ÷ 4
วธิ ีทำ 5 ÷ 3 1 = 5 ÷ 7 53 53

2 2 22 = 13 × 3

= 5 ×2 54

27 = 13 × 3

= 5 ×2 5×4

2 ×7 = 39

= 10 20

14 = 19 1

=5 20

7 ตอบ 19 1

ตอบ 5 20

7

30

บทท่ี 4

อตั ราสว่ น

คือปริมาณอย่างหนึ่งที่แสดงถึงจำนวนหรือขนาดตามสัดส่วนเมื่อเปรียบเทียบกับอีก
ปริมาณหน่ึงทีเ่ ก่ียวข้องกนั อัตราส่วนจะเป็นปริมาณที่ไม่มหี น่วย หากอัตราส่วนนั้นเกี่ยวข้องกบั
ปริมาณที่อยู่ในมิตเิ ดียวกัน และเม่ือปริมาณสองอย่างที่เปรียบเทียบกันเป็นคนละชนิดกัน หน่วย
ของอตั ราส่วนจะเป็นหนว่ ยแรก "ตอ่ " หนว่ ยทส่ี อง ตัวอยา่ งเช่น ความเรว็ สามารถแสดงได้ในหน่วย
"กิโลเมตรต่อชั่วโมง" เป็นต้น ถ้าหน่วยที่สองเป็นหน่วยวัดเวลา เราจะเรียกอัตราส่วนชนิดนี้ว่า
อตั รา (rate) เช่น อัตราส่วน 2:3 (สองต่อสาม) หมายความว่าปริมาณทั้งหมดประกอบขึ้นจาก
วัตถุแรก 2 ส่วนและวัตถุหลังอีก 3 ส่วน ดังนั้นปริมาณวัตถุจะมีทั้งหมด 5 ส่วน หรืออธิบายให้
เจาะจงกว่านี้ ถ้าในตะกรา้ มีแอปเปิล 2 ผลและส้ม 3 ผล เรากล่าวว่าอตั ราสว่ นระหวา่ งแอปเปลิ กบั
ส้มคือ 2:3 ถ้าหากเพิ่มแอปเปิลอีก 2 ผลและส้มอีก 3 ผลลงในตะกร้าใบเดิม ทำให้ในตะกร้ามี
แอปเปิล 4 ผลกับส้ม 6 ผล เป็นอัตราส่วน 4:6 ซึ่งก็ยังเทียบเท่ากันกับ 2:3 (แสดงให้เห็นว่า
อตั ราส่วนกส็ ามารถลดทอนไดเ้ หมือนกบั เศษสว่ น)

-อัตราส่วนท่เี ท่ากนั

คือ อัตราส่วนที่ถูกคูณหรือหารทั้งส่วนแรกและส่วนที่สองด้วยจำนวนที่เท่ากัน แล้ว
อตั ราส่วนน้นั ยงั คงเท่าเดมิ

เช่น 3 : 5 = 6 : 10 = 12 : 20 เปน็ ตน้

การหาอตั ราส่วนใหเ้ ท่ากับอัตราส่วนทก่ี ำหนดให้ สามารถทำได้ ดงั นี้

-หลักการคูณ เมื่อคูณแต่ละจำนวนในอัตราส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน โดยที่จำนวนนั้นไม่เท่า กับ
ศูนย์ จะได้ อัตราส่วนใหมท่ ่เี ทา่ กบั อัตราส่วนเดมิ

ตัวอย่างท่ี 1 จงใชห้ ลักการคูณเพ่ือหาอตั ราสว่ นทเี่ ท่ากนั 1 : 5 มาอกี 3 อัตราส่วน

วิธีทำ โดยใช้หลักการคณู

1 : 5 = 1 x 2 : 5 x 2 = 2 : 10 (ใช้ 2 คณู )

31

1 : 5 = 1 x 3 : 5 x 3 = 3 : 15 (ใช้ 3 คูณ)
1 : 5 = 1 x 4 : 5 x 4 = 4 : 20 (ใช้ 4 คูณ)
จะได้ 1 : 5 = 2 : 10 = 3 : 15 = 4 :20
สดั ส่วน
สัดส่วน (Proportion) คอื ประโยคทแ่ี สดงการเทา่ กันของสองอัตราส่วน
เช่น 2 : 3 = 4 : 6 หรือ 1. การหาคา่ ตวั แปรในสัดสว่ น
ถ้าในสัดส่วนมีตัวแปรที่เราไม่ทราบค่า และต้องการหาจำนวนซึ่งเมื่อ แทนตัวแปรใน
สดั ส่วน แล้ว จะทำใหส้ มการเป็นจริง เรามีวธิ ีการหา ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาค่าของ
a ในสัดสว่ น 4 : 7 = a : 28 วิธีทำ ใช้หลักการคณู ไขว้ เนื่องจาก จะได้ 4 x 28 = 7 x a หารด้วย
7 ทง้ั สองข้าง จะได้
ดังนั้น 16 = a นัน่ คอื a = 16 ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาคา่ ของ b ในสัดสว่ น 5 : b = 60 : 36 วิธี
ทำ ใชห้ ลักการคณู ไขว้
เน่อื งจาก จะได้ 5 x 36 = b x 60 หารด้วย 60 ทั้งสองข้าง จะได้
ดงั นน้ั 3 = b น่นั คอื b = 3
-ชนดิ ของสัดสว่ น
สัดส่วน เป็นการกล่าวถงึ อตั ราสว่ นทเี่ ทา่ กนั สองอัตราส่วน ซ่ึงสดั สว่ นแบ่งเป็น 2 ชนดิ ดังนี้
คือ
1. สดั ส่วนตรง หมายถงึ สดั สว่ นทีแ่ สดงการเปรยี บเทียบอัตราสว่ นสองอตั ราสว่ น ที่มคี วามสมั พันธ์
ไปในทางเดียวกนั โดยท่อี ัตราส่วนหน่งึ เพิ่มขน้ึ อกี อัตราส่วนหนึ่งกจ็ ะเพิม่ ตาม หรอื อัตราส่วนหน่ึง
ลดลง อีกอัตราสว่ นหนึง่ กจ็ ะลดลงตาม เชน่
กว๋ ยเตย๋ี ว 1 ชาม ราคา 20 บาท
กว๋ ยเต๋ยี ว 2 ชาม ราคา 40 บาท

32

กว๋ ยเตี๋ยว 6 ชาม ราคา 120 บาท
ก๋วยเตี๋ยว 4 ชาม ราคา 80 บาท
ความสัมพันธ์ของจำนวนชามกว๋ ยเตี๋ยวกับราคาไปในทางเดยี วกัน กลา่ วคอื เมือ่ จำนวนชาม
กว๋ ยเต๋ียวเพ่มิ ข้ึนราคาจะเพิ่มข้นึ ตาม ถา้ จำนวนชามก๋วยเต๋ียวลดลงราคาจะลดลงตามไปดว้ ย
2.2.2 สัดส่วนผกผัน หมายถงึ สดั ส่วนท่ีแสดงการเปรยี บเทียบอตั ราส่วนสองอตั ราสว่ น ที่มี
ความสัมพันธ์ไปในทางตรงกันข้าม โดยที่อัตราส่วนหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกอัตราส่วนหนึ่งจะลดลง หรือ
อตั ราส่วนหน่ึงลดลง อีกอตั ราส่วนหน่งึ จะเพิ่มข้นึ เชน่
ชา่ งก่อสรา้ ง 10 คน เทพื้นปูนเสร็จภายในเวลา 4 วัน
ชา่ งก่อสร้าง 20 คน เทพนื้ ปนู แบบเดียวกนั เสรจ็ ภายในเวลา 2 วัน
ชา่ งก่อสร้าง 5 คน เทพืน้ ปูนแบบเดยี วกันเสรจ็ ภายในเวลา 8 วนั
ความสัมพันธ์ของจำนวนคนกับเวลาที่ใช้ทำงานไปในทางตรงกันข้าม กล่าวคือ เมื่อจำนวนคน
เพม่ิ ขนึ้ จำนวนวันทำงานลดลง ถา้ จำนวนคนลดลงจำนวนวันทำงานเพิม่ ขน้ึ
ร้อยละ
รอ้ ยละ หมายถึง อตั ราส่วนท่ีเปรียบเทยี บส่วนเทา่ กบั 100 โดยสามารถเขยี นได้อยู่ใน
ลักษณะ (%) เพื่อใหง้ ่ายตอ่ การเข้าใจ อธิบาย กค็ ือ จำนวนอตั ราสว่ นที่มสี ่วนเท่ากบั 100 เท่านัน้
ถ้าเรามีอตั ราสว่ นท่ีไม่ได้มีสว่ นเท่ากับ 100 กต็ ้องปรับ โดยมีวิธกี ารไดห้ ลายวธิ ี ดังน้ี
ตัวอย่าง อตั ราส่วน 8:25 เขียนเปน็ ร้อยละได้เท่าไหร่
วธิ ีการที่ 1

อัตราสว่ น 8:25 สามารถเขยี นไดเ้ ป็น 8 ต้องทำใหส้ ว่ นเปน็ 100 จงึ ใชห้ ลกั การคูณ

25

หาวา่ ต้องใชจ้ ำนวนใดคูณทำใหส้ ่วนเป็น 100 ในทน่ี เ้ี ทา่ กบั 4

8 = (8 4) = 32

25 (25 4 ) 100

แสดงว่าอตั ราสว่ น 8:25 คิดเปน็ ร้อยละ 32 หรอื 32%

33

วิธกี ารที่ 2 การคดิ รอ้ ยละหรือเปอรเ์ ซ็นต์
ร้อยละ หรือ % = (เศษ/สว่ น) X 100
แสดงว่าอตั ราส่วน เปลี่ยนเปน็ ร้อยละไดจ้ ากสูตร
รอ้ ยละ = 8 x 100 = 0.32 x 100 = 32

25

แสดงว่าอัตราส่วน 8:25 คดิ เปน็ รอ้ ยละ 32 หรือ 32%
หมายเหตุ : ขอ้ ควรระวงั ! จะไม่ใช้คำวา่ รอ้ ยละ และ % พร้อมกัน จะไม่มีการเขียนว่า รอ้ ยละ
32% มแี ต่ ร้อยละ 32 หรอื 32% เทา่ นน้ั

อัตราส่วนและร้อยละ

วธิ ที ำ

EX. สัดสว่ น

1. โรงเรยี นแหง่ หน่ึงโดยเฉลยี่ จำนวนคุณครตู ่อจำนวนนักเรยี น เทา่ กับ 5:37 ถา้ นักเรยี น 629 คน
โรงเรียนแหง่ นีจ้ ะมีนักเรียนกค่ี น

วธิ ีทำ คุณครู : นักเรียน = 5 : 37

= x : 629

สดั ส่วนคณุ ครู = 5 =
สัดสว่ นนกั เรยี น
37 629

= 5 (629) = 37(x)

= 5(629) = x

37

= 85

ดังนนั้ ถ้านักเรียน 629 คน โรงเรยี นแหง่ น้ีจะมนี ักเรียน 85 คน

34

2. รถบรรทุกสินค้าคนั หนง่ึ แลน่ ดว้ ยความเร็วสม่ำเสมอไดร้ ะยะทาง 23 กิโลเมตร ในเวลา 1 ชว่ั โมง
รถบรรทกุ สนิ คา้ คันนแ้ี ล่นได้ในระยะทางเท่าไหรใ่ นเวลา 2 ชัว่ โมง 30 นาที

วิธที ำ ระยะทาง 23 กโิ ลเมตร ต่อ 60 นาที

ระยะทาง x กโิ ลเมตร ตอ่ 150 นาที

จะได้ ระยะทาง = 23 =
เวลา 150
60
60x =
23 x 150

X = 23 ×150

60

= 57.5 กโิ ลเมตร

ดังน้นั รถบรรทกุ สินค้าจะแลน่ ได้ 57.5 กิโลเมตร : 2 ชั่วโมง 30 นาที

EX. ร้อยละ / เปอร์เซ็นต์

1. รายวิชาสงั คมคะแนนเต็ม 80 คะแนน เดก็ หญงิ มสั นีสอบได้คะแนน 56 คะแนน เดก็ หญงิ มสั นี
สอบวชิ าสงั คมไดร้ อ้ ยละเทา่ ไหร่

วธิ ที ำ วชิ าสังคมคะแนนเตม็ 80 คะแนน เดก็ หญงิ มสั นี สอบได้ 56 คะแนน

วชิ าสังคมคะแนนเต็ม 100 คะแนน เดก็ หญิงมสั นี สอบได้ 100 x 56 = ร้อยละ 70

80

ดงั น้ัน เดก็ หญิงมัสนีสอบวิชาสังคมได้รอ้ ยละ 70

2. ซอลีฮะห์ช่วยแมท่ ำขนมได้ 350 ชิ้น ขายไปแล้ว 280 ชน้ิ ซอลฮี ะห์ขายไปแลว้ กีเ่ ปอร์เซ็นต์
วิธีทำ ซอลีฮะห์ช่วยแมท่ ำขนมได้ 350 ชนิ้ ขายไป 280 ช้ิน

ถา้ ซอลฮี ะห์ชว่ ยแม่ทำขนมได้ 100 ชน้ิ ขายไป 100 x 280 = 80

350

ดังน้นั ซอลฮี ะหข์ ายขนมไปแลว้ จะได้ 80 เปอรเ์ ซ็นต์

35

EX. อัตราส่วน

1.จงหาอัตราส่วนท่เี ทา่ กบั อตั ราส่วน 7:9 มาอกี 2 อตั ราสว่ น โดยใชห้ ลักการคณู

วธิ ีทำ 7: 9 = 7 = 7x2 = 14

9 92 18

7: 9 = 7= 7x3 = 21

9 93 27

ดังนั้น อตั ราสว่ นทเี่ ทา่ กับอัตราส่วน 7: 9 คือ 14 : 18 และ 21: 27

36

บทท่ี 5
โจทยป์ ญั หาทางคณิตศาสตร์

บัญญัติไตรยางค์ (Rule of Three)

หลักการเทยี บบญั ญัติไตรยางค์คอื โจทยก์ ำหนดขอ้ มูลมาใหเ้ รา 3 ข้อมลู และให้เราหาขอ้ มูล
ทเ่ี หลอื โดยการเทยี บ บัญญัตไิ ตรยางศ์ โดยจะแบง่ การเทียบบัญญัติไตรยางค์ออกเปน็ 2 ประเภท
หลกั ๆ ไดแ้ ก่ บัญญัตไิ ตรยางศ์ แบบแปรผันตรง และ บญั ญัติไตรยางศ์แบบแปรผกผนั

บัญญัติไตรยางศ์ (อังกฤษ: Rule of Three) คือวิธีการหาค่าที่สี่ในการแก้โจทย์ทาง
คณิตศาสตร์ เมื่อมีค่าที่ทราบอยู่แล้วสามค่า โดยอาศัยหลักที่ว่า ผลลัพธ์ของค่าแรกและค่าที่สี่
(เรียกวา่ คา่ สดุ ขีด) เท่ากบั ผลลัพธข์ องค่าที่สองและค่าท่ีสาม (เรียกวา่ ค่ามชั ฌมิ )

การแก้โจทย์ เชน่ หากรถคันหน่ึงแล่นดว้ ยความเร็วคงที่ ในเวลา 3 ช่วั โมง ขับได้ระยะ 300
กโิ ลเมตร ในเวลา 6 ชวั่ โมงจะขับได้ระยะทางเทา่ ใด น้นั

จะต้องต้ังสมการเป็น "3 เทา่ กบั 300 เม่ือ 6 เท่ากบั 'X'" หรอื
สมมติ a, b และ c เป็นค่าที่กำหนดมา ในกรณีนี้ คือ 3, 300 และ 6 ตามลำดับ

ส่วน x คอื คา่ ทีต่ อ้ ง

คำนวณหา ขอ้ สำคัญคือคา่ ผลหารจะอยใู่ นระบบหน่วยวดั เดียวกัน

ตอนนเ้ี ราจะต้องคำนวณทแยง นน่ั คือคูณ c และ b เข้าด้วยกนั จากนั้นก็หารด้วย
a ซึง่ ผลลัพธก์ ็คอื x

จากตัวอย่างที่ยกมานี้ รถจะแล่นได้ระยะทาง 600 กิโลเมตร ในเวลา 6 ชั่วโมง ความเร็ว
ของรถนนั้ ต้องพจิ ารณาดว้ ย น่นั คือ 100 กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง อีกวธิ หี นึ่ง อาจใช้เพื่อคำนวณ
สัดส่วน และใช้ นั่นคือ และจากนั้นคูณด้วย c เพื่อหาค่า x ซึ่งจะมีค่าทางคณิตศาสตร์
เทา่ กับ

37

ประเภทที่ 1 : บัญญตั ไิ ตรยางคแ์ บบแปรผันตรง คอื เม่อื สง่ิ หน่งึ เพมิ่ อีกสิง่ หนึง่ จะเพม่ิ ตาม หรือ

เมอ่ื สงิ่ หนึ่งลด อกี สงิ่ หนงึ่ จะลด ตาม ลกั ษณะโจทยป์ ระเภทนี้ ได้แก่

“ถ้าส้ม 7 ลกู ราคา 640 บาท ถา้ ซ้อื สม้ มา 40 ผล จะตอ้ งจา่ ยเงินเท่าใด” “รถยนต์วงิ่ ดว้ ย

ระยะทาง 50 กม. ใช้นำ้ มันไป 5 ลติ ร ถา้ รถยนต์นวี้ งิ่ ด้วยระยะทาง 10 กม. จะใช้นำ้ มนั ไปกลี่ ติ ร”

ประเภทที่ 2 : บญั ญตั ิไตรยางคแ์ บบแปรผกผัน คอื เมื่อสิ่งหนง่ึ เพิ่ม อีกสง่ิ หน่งึ จะลดลง หรอื เม่อื

ส่งิ หนงึ่ ลดลง อกี ส่งิ หน่ึงจะ เพ่มิ ข้ึน ลักษณะโจทยป์ ระเภทนี้ ได้แก่

“ชาย 3 คน สร้างบา้ นเสรจ็ ภายใน 15 วนั ถา้ ชาย 10 คนจะสร้างบ้านเสรจ็ ภายในกีว่ นั ” “ชาย 2

คน และหญงิ 5 คน สรา้ งบา้ นภายใน 25 วนั ถา้ ชาย 5 คน และหญิง 3 คน จะสร้างบา้ นเสรจ็

ภายในก่วี ัน”

ตวั อย่างโทย์ปญั หา

1.ผา้ เช็ดหน้า 5 ผนื ราคา 24 บาทผ้าเชด็ หน้า 5 ผนื ราคากี่บาท
วิธีทำ
ผ้าเช็ดหน้า 3 ผนื ราคา 24 บาท
ผ้าเชด็ หน้า 1 ผนื ราคา 24/3 บาท
5 ผืน ราคา 5x24/3 (8/1) = 40บาท

ตอบ ผา้ เช็ดหนา้ 5 ผนื ราคา 40บาท

38

2.แตงโม7 ลกู ราคา 350 บาทถา้ ซ้ือแตงโมมา 25 ลูก จะต้องจ่ายกบ่ี าท
วธิ ีทำ
แตงโม 7 ลกู ราคา 350 บาท
แตงโม 25 ลูก ราคา 350|7*25

ตอบ จะต้องเงินค่าแตงโม = 1250 บาท

3.แมค่ ้าขายต้เู ยน็ ไปในราคา6,600บาท ทำใหไ้ ดก้ ำไร 10% อยากทราบวา่ แมค่ า้ ซ้อื ตเู้ ย็นมาใน
ราคากบี่ าท

วิธีทำ
ทนุ 100 บาท ขาย 6,600 บาท
ทนุ x บาท ขาย 6,600บาท

=6600

100 110

ตอบ x=6000 บาท

4.ปากกา 1 โหล ราคา 24 บาท ซอื้ ปากกา 10 ด้าม จะตอ้ งจ่ายเงนิ กบ่ี าท
วธิ ีทำ
2 ดา้ ม 24 บาท
1 ด้าม 24 บาท 12
10 ด้าม 24 × 10 = 20 บาท

12

ตอบ 10 ด้าม = 20 บาท

39

5.ดำมเี งิน 45 บาท ซือ้ ดินสอสีได้ 3 กล่อง ถ้ามีเงนิ 120 บาท จะซอ้ื ได้ก่กี ล่อง
วิธีทำ
มเี งนิ 45 บาท ได้ 3 กล่อง
ถา้ มเี งิน 120 บาท ได้ 3 × 120 = 8 กล่อง

45

ตอบ 8 กลอ่ ง

40

บทที่ 6
การแกโ้ จทยป์ ัญหาคณติ ศาสตร์

สูตรการหาพืน้ ท่แี ละปริมาตรต่างๆ
สูตรการหาพื้นที่สเี่ หลยี่ มจัตรุ ัส = ดา้ น x ด้าน หรอื 1/2 x ผลคูณของเสน้ ทแยงมมุ

ตวั อย่าง หาพ้ืนทข่ี องสเี่ หล่ียม ABCD ซ่งึ ยาว 3 เซนติเมตร
= ด้าน x ดา้ น
=3x3
= 9 ตารางเซนติเมตร

สูตรการหาพ้ืนทส่ี เ่ี หลีย่ มผนื ผา้ = กว้าง x ยาว

ตวั อย่าง หาพนื้ ท่ีสเ่ี หลยี่ ม PQRS ซงึ่ ยาว 5 เซนติเมตร กว้าง 3 เซนตเิ มตร
= กว้าง x ยาว

41

=3x5
= 15 ตารางเซนตเิ มตร

สตู รการหาพ้ืนทส่ี ามเหลย่ี ม = 1/2 x ฐาน x สูง

ตัวอย่าง จงหาพ้นื ทีร่ ูปสามเหลีย่ ม ซึ่งมีฐานยาว 7 เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร
=1/2 x ฐาน x สูง
=1/2 x 7x12
=429 ตารางเซนตเิ มตร
สูตรการหาพนื้ ทส่ี ี่เหลยี่ มด้านขนาน = ฐาน x สงู

ตวั อย่าง หาพ้ืนทส่ี ี่เหลี่ยมดา้ นขนานซ่ึงยาว 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร
= ฐาน x สงู
=6x4
= 24 ตารางเซนติเมตร

42

ดอกเบย้ี

ดอกเบีย้ (เงินตน้ คงท่)ี =เงนิ ต้นx จำนวนปีxอัตราดอกเบยี้ /100

เงนิ รวมคงท(ี่ เงินตน้ คงท)่ี =เงนิ ตน้ +ดอกเบย้ี หรือ เงินตน้ +(เงินตน้ xจำนวนปีx อตั ราดอกเบยี้ )/100

ตัวอย่าง ข้อที่ 1 กู้ซ้ือรถยนต์ราคา 700,000 บาท (เงินกู้) ระยะเวลาผ่อน 4 ปี อัตราดอกเบ้ีย
2.5% ตอ่ ปี ตอ้ งจา่ ยดอกเบ้ยี ท้งั หมดเท่าไหร่?
= 700,000 x 4 x 2.5 ÷ 100 = 70,000 บาท จากนั้นเมื่อต้องการคำนวณ ค่างวดผ่อนชำระ
สามารถทำได้โดย เอาเงินต้น รวมกับ ดอกเบี้ย ได้ จำนวนเงินผ่อนชำระทั้งหมด แล้วหารด้วย
จำนวนงวด
(ผ่อน 4 ปี = 12 เดอื น x 4 ปี = 48 เดือน)ค่าผ่อนชำระตอ่ งวด
= (700,000 + 70,000) ÷ (48)
= 16,041.67 บาท หรอื ประมาณ 16,042 บาทต่อเดือน
ข้อที่ 2 รถยนต์คันหนึ่ง ราคา 600,000 บาท กำหนดผ่อนชำระ 48 เดือน เดือนละ 15,000 บาท
จงหาอตั ราดอกเบ้ียที่ใชใ้ นการคำนวณเงินกู้คร้ังนี้

จำนวนเงินผ่อนชำระทั้งหมด = ค่าผ่อนชำระต่องวด x จำนวนงวด= 15,000 x 48 = 720,000
บาท

ดอกเบีย้ จ่าย = จำนวนเงินผ่อนชำระทงั้ หมด – เงินตน้

= 720,000 – 600,000 =120,000 บาท

หาอัตราดอกเบี้ย = [120,000 x 100] ÷ [600,000 x 4] = 5% ตอ่ ปี

43

บทที่ 7

ค.ร.น. ห.ร.ม. + โจทยป์ ระยุกต์

ตัวหารรว่ มมาก และ ตัวคณู รว่ มนอ้ ย
1.ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม.)

ตัวหารร่วม หรือ ตัวประกอบร่วม คือจำนวนที่สมารถหารจำนวนที่กำหนดให้ได้ลงตัวทุ ก
จำนวน เชน่
15 มตี วั หารคอื 1,3, 5, 15
45 มตี วั หารคือ 1,3,5, 9, 15 , 45
เราจะเรียก 1, 3, 5, 15เป็นตัวหารร่วมของ 15 และ 45 เพราะว่า 1, 3, 5 , 15 ต่างก็หาร 15
และ 45 ไดล้ งตวั

ตัวหารรว่ มมากที่สดุ ( ห.ร.ม. ) คอื ตัวหารร่วมทม่ี ีคา่ มากทีส่ ุดในตวั หารร่วมท้ังหมด ซ่ึงหาร
ทุกจำนวนในกลมุ่ จำนวนท่กี ำหนดในได้ลงตัวเชน่
25 มตี วั หารคอื 1 , 5 , 25
40 มีตัวหารคอื 1 ,2,4 ,5 , 8 , 10 , 20 , 40
ตวั หารว่ ม ของ 25 และ 40 คอื 1 , 5 แต่ตวั หารรว่ มที่มากทีส่ ุด คอื 5
ดงั นั้น ห.ร.ม ของ 25 และ 40 คือ 5
วธิ ีการหา ห.ร.ม.

เราสามารถหา ห.ร.ม. ได้ 2 วิธี คอื
1. โดยวธิ แี ยกตวั ประกอบของจำนวนทีก่ ำหนดให้

ขนั้ ที่ 1. แยกตวั ประกอบของจำนวนทุกจำนวนท่กี ำหนดให้
ขั้นที่ 2 หาตัวหารทม่ี คี ่ามากท่ีสดุ โดยการนำตัวประกอบท่ีซำ้ มาคณู กัน ผลคูณท่ไี ด้จะเปน็
ห.ร.ม
ตวั อย่าง เช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36
วิธีทำ 24 = 2x 2 x 2 x 3

36 = 2 x 2 x 3 x 3
ดงั นัน้ ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 2 x 2 x 3 = 12

44

2. โดยวิธีตง้ั หารสนั้ มีหลักดังนี้

ข้นั ท่ี 1. ใหจ้ ำนวนทกุ จำนวนทก่ี ำหนดใหเ้ ป็นตัวตั้ง

ขั้นที่ 2. นำจำนวนที่สามารหารทุกจำนวนในขั้นที่ 1. ลงตัว มาเป็นตัวหาร และทำการหาร

แบบหารสัน้

ขั้นที่ 3. ทำแบบขั้นที่ 2. ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งไม่มจี ำนวนใดหารทุกจำนวนลงตัว ผลคูณของ

ตัวหารทกุ ตวั คอื ห.ร.ม.

วิธนี ี้นยิ มใช้ ห.ร.ม. เมอื่ กำหนดจำนวนมาใหห้ ลายจำนวน

ตวั อย่าง เชน่ จงหา ห.ร.ม. ของ 234 , 288 , 270

วิธที ำ 1) 234 288 270

2) 117 144 135

3) 39 48 48

13 16 15 บรรทดั นไี้ ม่มีจำนวนใดหารลงตวั นอกจาก 1

ดังนนั้ ตวั หารท้ังหมด คอื 2 , 3 , 3

ผลคณู ของตวั หารทงั้ หมด คอื 2x 3 x 3 = 18

ดงั นัน้ ห.ร.ม. ของ 234 , 288 , 270 คือ 18

เทคนิคและการแกโ้ จทยป์ ัญหา เร่ือง ห.ร.ม.
การนำ ห.ร.ม. ไปใช้ในการแกโ้ จทย์ปัญหา โจทย์ปญั หาท่ใี ช้ ห.ร.ม.

- การแบ่งกลุ่มคน หรอื ส่ิงของให้เทา่ ๆกัน แตไ่ ดจ้ ำนวนมากทส่ี ุด
- การแบง่ เชอื ก หลายๆ เสน้ ออกเปน็ ทอ่ นๆ ทยี่ าวเท่ากนั และมีความยาว
ท่สี ุด เชน่ ...

ตวั อย่างท่ี 1
โรงเรียนแห่งหนึง่ มนี ักเรยี นชน้ั
ม.1 = 240 คน
ม.2 = 225 คน
ม.3 = 210 คน

45

ถา้ จะแบ่งนักเรียนออกเปน็ กลุ่มๆ ท่ีมีจำนวนนกั เรยี นมากที่สุด จะได้กีก่ ล่มุ แต่ละกลมุ่ มนี กั เรียนก่ี
คน
240 = 3x5x2x2x2x2
225 = 3x5x3x5
210 = 3x5x7x2
ดังนนั้ ห.ร.ม. คอื 3x5= 15
ม.1 = 240 = 16 กลุ่ม

5
ม.2 = 225 = 15 กลุ่ม

15
ม.3 = 210 = 14 กล่มุ

15
รวม = 45 กลมุ่
นั่นคือ แบง่ นักเรยี นเปน็ กลุ่มใหญ่ท่สี ดุ ได้ 45 กลุ่ม แต่ละกล่มุ มนี กั เรยี น 15 คน

ตัวอย่างที่ 2
ที่แปลงหนึง่ กว้าง 50 m ยาว 150 m ถ้าล้อมลวดหนามโดยรอบแล้วจะต้องปกั เสาอย่างน้อยกต่ี ้น
กวา้ ง 50 m = 50x1
ยาว 150 m = 50 x 3
ดังน้นั ห.ร.ม. = 50
เส้นรอบรูป = 2 ( ก + ย)

= 2 (50+ 150)
= 40m*
นน่ั คอื จำนวนเสาท่ีนอ้ ยท่ีสดุ = 400

5
= 8 ต้น

46

2. ตวั คุณรว่ มนอ้ ย (ค.ร.น.)
ตวั คูณร่วมน้อย หมายถึง จำนวนทม่ี ีคา่ น้อยทีส่ ดุ เมื่อนำจำนวนทกี่ ำหนดใหท้ ้งั หมดมาหาร

จำนวน นั้นไดล้ งตัว เชน่
- จำนวนท่มี ี 6 เปน็ ตวั ประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...
- จำนวนทม่ี ี 9 เปน็ ตัวประกอบ คือ 9, 18, 27, 36, 45 ...
จะเห็นวา่ ตวั คูณร่วมของ 6 และ 9 ไดแ้ ก่ 18 , 36 และจำนวนอนื่ ๆ อีกหลายจำนวน
เนื่องจาก 18 เป็นจำนวนท่ีน้อยทีส่ ดุ ที่นำ 6 , 9 ไปหารแลว้ ลงตวั ดงั นั้น ตวั คณู รว่ มนอ้ ย (

ค.ร.น. )
6 , 9 คอื 18

วธิ ีหาตัวคูณร่วมนอ้ ย ( ค.ร.น.)
วิธแี ยกตัวประกอบ มีหลกั ดังนี้
1.1 ใหแ้ ยกตัวประกอบของจำนวนทกุ จำนวนท่กี ำหนดให้
1.2 ตวั ประกอบใดที่ซำ้ กับตวั ประกอบของจำนวนอ่ืนๆ ใหน้ ำมาใช้เพียงตวั เดียว และตัว
ประกอบใดที่ไมซ่ ำ้ กนั ใหน้ ำมาใชใ้ หห้ มด
1.3 ค.ร.น. เทา่ กับผลคูณของทุกๆ จำนวนท่นี ำมาใช้
ตัวอยา่ งที่ 1 จงหา ค.ร.น. ของ 18 , 45 , 84
วิธีทำ 18 = 3 x 3 x 2

45 = 3 x 3 x 5
84 = 3 x 2 x 2 x7
ค.ร.น.ของ 18 ,45, 84 คอื 3 x 3 x 2 x 2 x 5 x 7 = 1,260
ตัวอยา่ งที่ 2 จงหา ค.ร.น. ของ 12, 24
วธิ ีทำ 12 = 2 x 2 x 3
24 = 2 x 2 x 2 x 3
ค.ร.น. ของ 12 , 24 คอื 2 x 2 X 2 x 3 = 24

ถา้ จานวนทก่ี าหนดทกุ จานวนเป็นจานวนเฉพาะ การหา ค.ร.น. ใหน้ าจานวนที่
กาหนดให้ท้งั หมดมาคณู กบั ผลคณู ทีไ่ ด้ คอื ค.ร.น. เช่น

- ค.ร.น ของ 2 กบั 7 คอื 2 x 7=14
- ค.ร.น ของ 5 กบั 19 คือ 5 x 19 = 95

47

ขอ้ สงั เกต

วิธตี งั้ หาร มีหลักดงั นี้

- ใหจ้ ำนวนทุกจำนวนที่กำหนดใหเ้ ปน็ ตวั ต้ัง

- นำจำนวนเฉพาะท่สี มารถหารจำนวนท่ีกำหนดให้อยา่ งนอ้ ย 1 จำนวนลงตวั มาเป็นตัวหารและ

ทำการหารแบบหารสัน้

- จำนวนทีห่ ารไมล่ งตัวให้คงไว้ตามเดิม และให้นำลงมาเป็นตวั ตง้ั ของการหารคร้งั ตอ่ ไป

- ทำไปเรื่อยๆ จนไดผ้ ลหารองทกุ จำนวนเป็นจำนวนเฉพาะที่ไมเ่ หมอื นกนั หรือเป็น 1

- ค.ร.น. คอื ผลคูณของจำจำนวนเฉพาะทเ่ี ป็นตวั หารทุกตวั กบั ผลหารทไี่ ดใ้ นบรรทัดสุดท้ายทกุ

ตวั

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหา ค.ร.น. ของ 12, 20, 24

วิธีทำ 1) 12 20 24

2) 6 10 12 3) 3 5 6

15 2

ค.ร.น.ของ 12, 20, 24 = 2 x 2 x 3 x 1 x 5 x 2 = 120

การนำ ค.ร น. ไปใช้ในการแก้โจทยป์ ญั หา
โจทยป์ ัญหา ท่ีใช้ ค.ร.น.
- การหาว่า ระฆังจะกลบั มาตีพรอ้ มกนั
- การหาว่า นาฬกิ าจะเดนิ มาพร้อมกัน
- การหาวา่ นาฬิกาจะวิ่งกลบั มาพร้อมกันอกี ที่จุดๆหนง่ึ

ตัวอยา่ งที่1
จงหาจำนวนทน่ี ้อยทีส่ ุด เมอ่ื หารดว้ ย 25 และ 35 แลว้ เหลือเศษ 2 เทา่ กัน
วธิ ที ำ 25 = 5 x 5

35 = 5 x 7
ดังนนั้ ค.ร.น = 5 x 5 x 4 = 175
น่ันคือ จำนวนๆน่ัน คือ 175+2 = 177

48

ตวั อย่างที่ 2
มีระฆงั 3 ใบ ใบที่1 ตที กุ ๆ 5 นาที ใบท่ี2 ตีทุกๆ 9 นาที ใบที่ 3 ตีทกุ ๆ 15 นาที เมอื่ เร่มิ ตพี รอ้ ม
กัน อีกนานเทา่ ไร จงึ จะกลบั มาตีพรอ้ มกนั อกี
วิธที ำ 5 = 5

9 =3x3
15 = 5 x 3
ดงั นนั้ ค.ร.น. คอื 5 x 3 x 3 = 45
นนั่ คอื อีก 45 นาที่ จะกลบั มาตพี รอ้ มกันอกี

ความสัมพนั ธ์ ของจานวนสองจานวน กับ ค.ร.น , ห.ร.ม.!
ผลคูณของจานวนสองจานวน จะเท่ากับ ผลคูณของ ค.ร.น และ ห.ร.ม ของสอง
จานานน้นั หรือ AB = HO
ถ้า A และ B คือ จานวนสองจานวน H คือ ห.ร.ม. O คือ ค.ร.น.

…………………………………………………………………………………………………………...

49

บทท่ี 8

เรอื่ งการแกส้ มการตวั แปรเดยี ว

สมการ เป็นประโยคที่แสดงการเท่ากันของจำนวน โดยมีสัญลักษณ์ บอกการเท่ากัน ของสมการ
อาจมีตวั แปรหรอื ไม่มีตัวแปรก็ได้

เช่น 3x + 10 = 19 (เปน็ การเท่ากันของจำนวนหนึ่ง คอื 3x + 10 กบั อีกจำนวนหน่งึ คือ 19 )

2a + 2 = 0 (เปน็ การเทา่ กนั ของจำนวนหนงึ่ คอื 2a + 2 กบั อกี จำนวนหนึง่ คอื 0)

หรือ 20 – 25 = -5 ( เปน็ การเท่ากนั ของจำนวนหนง่ึ คือ 20 – 25 กบั อีกจำนวนหนึ่ง คอื -5 )
สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว คอื สมการที่มีตวั แปรเพียงตวั เดยี วเขียนอยู่ในรูป ax + b = 0 เมอื่ ax
+ b เป็นพหุนามดกี รี 1 มี x เปน็ ตวั แปร a , b เป็นค่าคงตวั และ a ≠ 0

การแก้สมการ คือ การหาคำตอบของสมการซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นจริง ซึ่งต้องใช้สมบตั ิ
การเทา่ กนั ซง่ึ ได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัตกิ ารถา่ ยทอด สมบตั กิ ารบวก และสมบตั กิ ารคูณ

คำตอบของสมการ คือ จำนวนที่แทนค่าของตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
เช่น 4X+2=14,Xมีค่า=3 แล้วให้สมการเป็นจริงเรียก X=3 ว่าเป็นคำตอบของสมการ การหา
คำตอบของสมการนอกจากจะใชว้ ิธลี องหาจำนวนมาแทนคา่ ตัวแปรในสมการแล้ว เราจะใชส้ มบัติ
ของการเทา่ กัน ไดแ้ ก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัตกิ ารบวกและสมบตั ิการคูณ เพื่อช่วย
ในการหาคำตอบของสมการได้อีกวธิ ีหนงึ่

สมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว คือ สมการท่มี ตี ัวแปรเพียงตัวแปรเดยี ว ถา้ ยงั ไม่เข้าใจเก่ียวกับ
ตัวแปรสามารถกลับไปทบทวนในเรือ่ ง พหุนาม โดยสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ต้องมีตัวแปรท่มี ี
ดีกรหี น่งึ เท่านนั้ สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว จะอยู่ในรปู Ax + B = 0 เม่อื A ≠ 0 และ a , b เป็น
ค่าคงทม่ี ี x เป็นตัวแปร

สมบตั กิ ารเทา่ กัน เมอ่ื a , b และ c แทนจำนวนใด ๆ -สมบตั ิการสะทอ้ น a = a -สมบตั ิสมมาตร
ถา้ a = b แลว้ b = a -การถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c -สมบัติการบวก ถ้า a = b
แล้ว a + c = b + c -สมบตั ิการคณู ถา้ a = b แล้ว ac = bc

50

1.สมบัติสมมาตร
ถา้ a = b แลว้ b = a เมือ่ a และ b แทนจำนวนจริงใดๆ

เราอาศัยสมบัติสมมาตรเขยี นแสดงการเท่ากันของจำนวนไดส้ องแบบ ดังตวั อยา่ ง
1) a + b = c หรือ c = a + b
2 x – 3 = 2x + 7 หรอื 2x + 7 = x – 3
2. สมบัตถิ า่ ยทอด

ถา้ a = b และ b = c แล้ว a = c เม่ือ a , b และ c แทนจำนวนจรงิ ใดๆเราใช้สมบัติ
ถา่ ยทอด
ดังตวั อยา่ ง
1) ถ้า x = 5 + 7 และ 5 + 7 = 12 แล้วจะสรปุ ไดว้ า่ x = 12
2) ถา้ x = -3y และ -3y = 0.5 แลว้ จะสรุปไดว้ ่า x = 0.5
3. สมบตั กิ ารบวก

ถา้ a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a , b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ เราใช้สมบตั ิการ
บวก
ดังตวั อยา่ ง
1) ถ้า a = 5 แล้ว a + 3 = 5 +3
2) ถา้ x + 7 = 2 แลว้ ( x + 7 ) – 7 = 2 - 7
4. สมบัติการคูณ
ถ้า a = b แล้ว ca = cb เม่อื a , b และ c แทนจำนวนจรงิ ใดๆ เราใชส้ มบัตกิ ารคณู
ดงั ตัวอยา่ ง

1) ถ้า m + 1 = 2n แลว้ 3 ( m + 1 ) = 3 ( 2n )