Koleksi Pembuktian Add Math KSSM

Koleksi pembuktian ini dikumpulkan bagi membantu guru-guru dan
murid-murid untuk mendapatkan idea serta panduan bagaimanakah suatu rumus
tertentu dalam Matematik Tambahan diterbitkan.

Kesemua hasil penulisan pembuktian adalah berdasarkan

1. Pengetahuan penulis sendiri.

2. Rujukan terhadap beberapa buku antarabangsa.

3. Rujukan terhadap beberapa buku tempatan termasuklah buku terbitan
IPTA, STPM dan buku teks sekolah menengah (KBSM dan KSSM).

Dalam pengumpulan pembuktian ini, saya turut disokong oleh rakan-
rakan yang membantu membuat semakan dan cadangan penambahbaikan iaitu
1) En Ku Haslizam bin Ku Azmi (GC Matematik)
2) En Haris Fadzli bin Awang (admin AMSG)
3) En Aizuddin bin Yusoff (admin AMSG)
4) En Noor Ishak bin Mohd Salleh (admin AMSG)
5) En Clemente Chock (admin AMSG)

Koleksi ini diberikan secara percuma sebagai amal jariah. Saya Cuma berharap
agar pengguna mendoakan anak murid saya mendapat keputusan yang
cemerlang untuk subjek Matematik Tambahan dalam peperiksaan SPM.

Sekiranya terdapat kesilapan dalam penulisan, saya dengan rendah hati
memohon kemaafan dan mengalu-alukan cadangan penambahbaikan atau
pembetulan.

First release: 28 Jun 2021

Cikgu Fazdhly
Ipoh, Perak

T I N G K ATA N
4

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi bahawa = 2, ≥ 0 dan = − , ≥ 0. Cari
dan . Seterusnya, tentukan sama ada ialah fungsi songsang
bagi atau tidak. Nyatakan alasan anda.

Given that = 2, ≥ 0 and = − , ≥ 0. Find and
. Hence, determine whether is the inverse function of
or not. State your reason.

Penyelesaian / Solution:

Fungsi gubahan f g(x)
Composite function f g(x)

f g  x  f g  x Fungsi gubahan g f(x)
Composite function g f(x)
 2

 x

f gx  x

g f  x  g  f  x

  x2

g f x  x

Kerana g f (x) ≠ x, maka g (x) bukan fungsi songsang bagi f (x).
Because g f (x) ≠ x, then g (x) is not the inverse function of f (x).

Cikgu Muhammad Fazdhly 4
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi persamaan kuadratik 2 + + = 0, dengan keadaan a, b
dan c ialah pemalar, ≠ 0. Tunjukkan bahawa punca-punca bagi
persamaan kuadratik ini ialah
Given the quadratic equation, 2 + + = 0, where a, b and c are
constants, ≠ 0. Show that the roots of the quadratic equation is

− ± 2 − 4
= 2

Penyelesaian / Solution:

ax2  bx  c  0

a  x2  b x  c   0
 a a 
Penyempurnaan Kuasa Dua
x2  b x  c  0 Completing the Square
aa

 x  b 2   b 2  c  0
 2a   2a  a

 x  b 2  b2  c
 2a  4a2 a

 x  b 2  b2  4ac
 2a  4a2 4a2

x b  b2  4ac
2a 4a2

x   b  b2  4ac
2a 2a

x  b  b2  4ac
2a

Cikgu Muhammad Fazdhly 5
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi persamaan kuadratik 2 + + = 0, dengan keadaan a, b

dan c ialah pemalar, ≠ 0 mempunyai punca-punca α dan β. Tunjukkan

bahawa


+ = − dan =

Given the quadratic equation, 2 + + = 0, where a, b and c are
constants, ≠ 0 has roots α and β. Show that


+ = − =

Penyelesaian / Solution:

ax2  bx  c  0

a  x2  b x  c   0
 a a 

x2  b x  c  0 ...
aa

xx  0

x2  x   x    0

x2      x    0 ...

Bandingkan  dan 

     b dan   c
aa

Cikgu Muhammad Fazdhly 6
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi = dan = , tunjukkan bahawa
log = log + log

Given that = and = , show that
log = log + log

Penyelesaian / Solution:

Jika m  ax , maka loga m  x
Jika n  a y , maka loga n  y

mn  ax  a y Takrifan logaritma (asas a)
Definition of logarithm (base a)

mn  ax y

loga mn  x  y
loga mn  loga m  loga n

Cikgu Muhammad Fazdhly 7
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi = dan = , tunjukkan bahawa


log = log − log
Given that = and = , show that


log = log − log

Penyelesaian / Solution:

Jika m  ax , maka loga m  x
Jika n  a y , maka loga n  y

m  ax Takrifan logaritma (asas a)
n ay Definition of logarithm (base a)

m  axy
n

loga  m   x  y
 n 

loga  m   loga m  loga n
 n 

Cikgu Muhammad Fazdhly 8
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Jika a, b dan c adalah nombor-nombor positif, ≠ 1 dan ≠ 1,
tunjukkan kaedah untuk menerbitkan
If a, b and c are positive numbers, ≠ 1 and ≠ 1, show the method to
derive

log = log
log

Penyelesaian / Solution:

Andaikan loga b  x, oleh itu b  ax

ax  b

logc ax  logc b

x logc a  logc b Ambil logc di kedua-dua belah
Take logc to both sides
x  logc b
logc a

loga b  logc b
logc a

Cikgu Muhammad Fazdhly 9
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Jika a ialah sebutan pertama dan d ialah beza sepunya bagi suatu
janjang aritmetik, tunjukkan bahawa hasil tambah n sebutan pertama
bagi janjang itu ialah
If a is the first term and d is the common difference of an arithmetic
progression, show that the sum of the first n terms of the progression is


= 2 2 + − 1

Penyelesaian / Solution:

Sn  T1  T2  T3  ...  Tn

Sn  a  a  d   a  2d   ...  a  n 1 d 

 Sn  a  n 1 d   a  n  2 d   a  n  3 d   ...  a

2Sn  2a  n 1 d  2a  n 1 d  2a  n 1 d  ...  2a  n 1 d

2Sn  n 2a  n 1 d 

Sn  n 2a n 1 d 
2

Tulis hasil tambah dalam tertib sebutan menurun
Write the sum in descending order of terms

Cikgu Muhammad Fazdhly 10
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Dalam satu janjang aritmetik dengan n bilangan sebutan, diberi bahawa
a ialah sebutan pertama, l ialah sebutan terakhir dan d ialah beza
sepunya. Jika Sn ialah hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang itu,
tunjukkan
In an arithmetic progression with n number of term, it is given that a is
the first term, l is the last term and d is the common difference. If Sn is
the sum of the first n terms of the progression, show that


= 2 +

Penyelesaian / Solution:

Sn  T1  T2  T3  ...  Tn

Sn  a  a  d   a  2d   ...  a  n 1 d 

 Sn  a  n 1 d   a  n  2 d   a  n  3 d   ...  a

2Sn  2a  n 1 d  2a  n 1 d  2a  n 1 d  ...  2a  n 1 d

2Sn  n 2a  n 1 d 

Sn  n a  a  n 1 d 
2

Sn  n a  Tn  tetapi Tn  l (sebutan terakhir dalam janjang itu)

2

Sn  n a  l
2

Cikgu Muhammad Fazdhly 11
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Jika a ialah sebutan pertama dan r ialah nisbah sepunya bagi suatu
janjang geometri, tunjukkan bahawa hasil tambah n sebutan pertama
bagi janjang itu ialah
If a is the first term and r is the common ratio of a geometric
progression, show that the sum of the first n terms of the progression is

− 1
= − 1

Penyelesaian / Solution:

Sn  T1  T2  T3  ...  Tn Darab r pada setiap sebutan
Sn  a  ar  ar2  ...  ar n1 Multiply r to each term
rSn  ar  ar2  ar3  ...  arn
...
 – : ...

   rSn  Sn  ar  ar2  ar3  ...  arn  a  ar  ar2  ...  arn1

Sn r 1  arn  a

Sn r 1  a rn 1
a rn 1

Sn  r 1

Cikgu Muhammad Fazdhly 12
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Jika a ialah sebutan pertama dan r ialah nisbah sepunya bagi suatu
janjang geometri, tunjukkan bahawa hasil tambah n sebutan pertama
bagi janjang itu ialah
If a is the first term and r is the common ratio of a geometric
progression, show that the sum of the first n terms of the progression is

1 −
= 1 −

Penyelesaian / Solution:

Sn  T1  T2  T3  ...  Tn Darab r pada setiap sebutan
Sn  a  ar  ar2  ...  ar n1 Multiply r to each term
rSn  ar  ar2  ar3  ...  arn
...
 – : ...

   Sn  rSn  a  ar  ar2  ...  arn1  ar  ar2  ar3  ...  arn

Sn 1 r   a  arn

Sn 1 r   a 1 rn 
a 1 rn 

Sn  1 r

Cikgu Muhammad Fazdhly 13
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Jika a ialah sebutan pertama dan r ialah nisbah sepunya bagi suatu
janjang geometri, tunjukkan bahawa hasil tambah ketakterhinggaan bagi
janjang itu ialah
If a is the first term and r is the common ratio of a geometric
progression, show that the sum to infinity of the progression is


∞ = 1 − , < 1

Penyelesaian / Solution:

a 1 rn  Contoh: 0.399999 ≈ 0
Example: 0.399999 ≈ 0
Pertimbangkan Sn  1 r , r  1
Apabila r  , rn  0, oleh itu 1 rn  1

Maka, S  a, r 1
1 r

Cikgu Muhammad Fazdhly 14
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Dalam rajah berikut, P(x, y)
membahagi tembereng garis AB
dalam nisbah m : n. Tunjukkan
bahawa
In the following diagram, P(x, y)
divides the line segment AB in the
ratio m : n. Show that

, = 1 + 2 , 1 + 2
+ +

Penyelesaian / Solution:

x  x1  m y  y1  m
x2  x n y2  y n
nx  nx1  mx2  mx ny  ny1  my2  my
nx  mx  mx2  nx1 ny  my  my2  ny1

x m  n  nx1  mx2 y m  n  ny1  my2

x  nx1  mx2 y  ny1  my2
mn mn

Oleh itu,  x, y   nx1  mx2 , ny1  my2 
 mn mn 

Cikgu Muhammad Fazdhly 15
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Dalam rajah berikut, P(x, y)
membahagi tembereng garis AB
dalam nisbah m : n. Tunjukkan
bahawa
In the following diagram, P(x, y)
divides the line segment AB in the
ratio m : n. Show that

, = 1 + 2 , 1 + 2
+ +

Penyelesaian / Solution: KAEDAH ALTERNATIF
ALTERNATIVE METHOD

x  x1  m n  x2  x1  y  y1  m n  y2  y1 
m m

x  x1 m  n  m  x2  x1  y  y1 m  n  m  y2  y1 

mn mn

x  mx1  nx1  mx2  mx1 y  my1  ny1  my2  my1
mn mn

x  nx1  mx2 y  ny1  my2
mn mn

Oleh itu,  x, y   nx1  mx2 , ny1  my2 
 mn mn 

Cikgu Muhammad Fazdhly 16
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Dalam rajah berikut, L1 dan L2 y
merupakan garis lurus selari. L1
L2
Tunjukkan bahawa kecerunan
x
kedua-dua garis itu, m1 dan m2, O
adalah sama.

In the following diagram, L1 and
L2 are two straight parallel lines.
Show that the gradients of both

lines, m1 and m2, are the same.

Penyelesaian / Solution:

Oleh sebab L1 dan L2 adalah dua garis lurus, sudut yang dibentuk oleh
kedua-dua garis lurus dengan arah positif paksi-x ialah θ1 dan θ2
masing-masing.

Because L1 and L2 are two straight lines, the angles formed by both
straight lines with the positive direction of x-axis are θ1 and θ2
respectively.

y L1

θ1 L2 1  2
tan1  tan2
O θ2 x
m1  m2

tan θ = m Sudut sepadan
Corresponding angles

Cikgu Muhammad Fazdhly 17
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Dalam rajah berikut, L1 dan L2 y
merupakan dua garis lurus L1

dengan kecerunan m1 dan m2 P
masing-masing. Jika L1 dan L2
berserenjang di titik P, tunjukkan x
O
In the following diagram, L1 and
L2 are two straight lines with L2
gradients m1 and m2 respectively.
If L1 and L2 are perpendicular at
point P, show that

1 2 = −1

Penyelesaian / Solution:

θ1 dan θ2 ialah sudut yang dibentuk oleh L1 dan L2 dengan arah
positif paksi-x masing-masing.
θ1 and θ2 are the angles formed by L1 and L2 with the positive
direction of x-axis respectively.

y 1  90  2
L1
tan 1  90  tan2

P  1  tan  2
tan 1
θ1 θ2
1  tan2 tan1
O x
L2 m1m2  1

Rujuk m/s 56
Refer to page 56

Cikgu Muhammad Fazdhly 18
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Dalam rajah berikut, A, B dan C y
merupakan bucu-bucu bagi A(x1, y1)
sebuah segi tiga di atas satu satah
Cartes. Buktikan bahawa rumus O C(x3, y3)
luas segi tiga itu ialah B(x2, y2) x
In the following diagram, A, B
and C are the vertices of a
triangle on a Cartesian plane.
Prove that the formula of the
area of triangle is

1
2 1 2 + 2 3 + 3 1 − 2 1 − 3 2 − 1 3

Penyelesaian / Solution:

y

A1 : segi tiga ABE A(x1, y1)

A1  1  x1  x2  y1  y2 
2

 1  x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  A1 A2 C(x3, y3)
2 O A3 x

A2 : trapezium ACDE B(x2, y2) E D

A2  1  y1  y2   y3  y2   x3  x1 
2

 1  x3 y1  x1 y1  2x3 y2  2x1 y2  x3 y3  x1 y3 
2

Cikgu Muhammad Fazdhly Bersambung
Guru Cemerlang Matematik Tambahan
19

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

A3 : segi tiga BCD

A3  1  x3  x2  y3  y2 
2

 1  x3 y3  x3 y2  x2 y3  x2 y2 
2

Luas segi tiga  A1  A2  A3

 1  x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  
2

1  x3 y1  x1 y1  2x3 y2  2x1 y2  x3 y3  x1 y3  
2

1  x3 y3  x3 y2  x2 y3  x2 y2 
2

 1  x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  x3 y1  x1 y1  2x3 y2  
2  2x1 y2  x3 y3  x1 y3  x3 y3  x3 y2  x2 y3  x2 y2 
 

  1

2
x1 y2  x2 y3  x3 y1  x2 y1  x3 y2  x1 y3

Cikgu Muhammad Fazdhly 20
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah berikut menunjukkan segi tiga A
ABC. Panjang sisi AB dan AC ialah c
cm dan b cm masing-masing.
The following diagram shows a
triangle ABC. The length of sides AB
and AC are c cm and b cm respectively.

Buktikan bahawa B C
Prove that


sin = sin

Penyelesaian / Solution:
A Katakan tinggi segi tiga ialah AD  t cm

sin B  t
c

t  c sin B ...
t cm

BD C sin C  t
b

t  b sin C ...

 = :

b sin C  c sin B
bc

sin B sin C

Cikgu Muhammad Fazdhly 21
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah berikut menunjukkan segi tiga Q P R
PQR. Panjang sisi PQ, PR dan QR p cm
ialah r cm, q cm dan p cm masing-
masing.
The following diagram shows a
triangle PQR. The length of sides PQ,
PR and QR are r cm, q cm and p cm
respectively.

Tahkikkan bahawa q2 = p2 + r2 – 2pr kos Q.
Verify that q2 = p2 + r2 – 2pr kos Q.

Penyelesaian / Solution:

Katakan tinggi segi tiga ialah PS  t cm

Biarkan QS  x cm dan SR   p  x cm

P

q2  t2   p  x2

q2  t2  p2  2 px  x2 ...

t cm t2  r2  x2 ...

Q x cm S (p – x) cm R kos Q  x
r
...
x  r kos Q

Ganti  dan  dalam : Teorem Pythagoras
Pythagoras’ Theorem
 q2  r2  x2  p2  2 p r kos Q  x2

q2  r2  p2  2 pr kos Q

Cikgu Muhammad Fazdhly 22
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah berikut menunjukkan segi tiga PQR. P
Panjang sisi PQ, PR dan QR ialah r cm, q cm r cm
dan p cm masing-masing.
The following diagram shows a triangle PQR.
The length of sides PQ, PR and QR are r cm,
q cm and p cm respectively.

Tahkikkan bahawa q2 = p2 + r2 – 2pr kos Q. Q p cm R
Verify that q2 = p2 + r2 – 2pr kos Q.

Penyelesaian / Solution:

Panjangkan sisi agar membentuk segi tiga bersudut tegak

Katakan tinggi segi tiga ialah PS  t cm

Biarkan SQ  x cm dan SR   p  x cm

P

q2  t2   p  x2

t cm q2  t2  p2  2 px  x2 ...
r cm t 2  r2  x2 ...

S Q p cm R kos Q   x
x cm r

x  r kos Q ...

Ganti  dan  dalam : Teorem Pythagoras
Pythagoras’ Theorem
 q2  r2  x2  p2  2 p r kos Q  x2

q2  r2  p2  2 pr kos Q

Cikgu Muhammad Fazdhly 23
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah berikut menunjukkan segi tiga P
PQR. Panjang sisi PQ dan PR ialah r
cm dan q cm masing-masing.
The following diagram shows a
triangle PQR. The length of sides PQ
and PR are r cm and q cm respectively.

Tunjukkan luas segi tiga itu ialah Q R
Show that the area of the triangle is

1
2 sin

Penyelesaian / Solution:

Q Jadikan PR sebagai tapak segi tiga PQR
Katakan tinggi segi tiga ialah QS  t cm

t cm Luas PQR  1 qt ...
2

R q cm S P sin P  t
r

t  r sin P ...

Ganti  dalam :
Luas PQR  1 qr sin P
2

Cikgu Muhammad Fazdhly 24
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

T I N G K ATA N
5

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan sebuah sektor OAB dengan pusat O.
Diagram shows the sector OAB with centre O.

O j cm
A θ rad B

Tunjukkan bahawa panjang lengkok AB, s diungkapkan sebagai
Show that the length of arc AB, s is expressed as

s = jθ

Penyelesaian / Solution:

panjang lengkok  sudut yang dicangkum di pusat
lilitan bulatan 360

s j   rad
2π 2π rad

s  Mansuhkan 2π
j Cancel off 2π

s  j

Cikgu Muhammad Fazdhly 26
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan sebuah sektor OAB dengan pusat O.
Diagram shows the sector OAB with centre O.

O j cm
A θ rad B

Tunjukkan bahawa luas sektor OAB, L diungkapkan sebagai
Show that the area of sector OAB, L is expressed as

= 1 2
2

Penyelesaian / Solution:

luas sektor  sudut yang dicangkum di pusat
luas bulatan 360

L   rad
π j2 2π rad

L  Mansuhkan π
j2 2 Cancel off π
L  1 j2

2

Cikgu Muhammad Fazdhly 27
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi terbitan pertama
fungsi yang mengikut pola berikut.
Make a general conclusion by induction for the first derivative of
functions which follows the following pattern.

Fungsi Terbitan Pertama
Function First Derivative
= 6

= 6 2 = 6

= 6 3
… = 12

= 6 = 18 2


…


= ⋯

Penyelesaian / Solution:

Jika y  6xn , maka dy  6nxn1
dx

Cikgu Muhammad Fazdhly 28
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi terbitan pertama
fungsi yang mengikut pola berikut.
Make a general conclusion by induction for the first derivative of
functions which follows the following pattern.

Fungsi Terbitan Pertama
Function First Derivative
= 6

= 6 2 = 6

= 6 3 = 6 2 2−1
…

= 6 = 6 3 3−1


…


= ⋯

Penyelesaian / Solution:

Jika y  6xn , maka dy  6nxn1
dx

Cikgu Muhammad Fazdhly 29
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi dua fungsi, dan . Menggunakan pembezaan
dengan prinsip pertama, buktikan
Given two functions, and . Using the first principle of
differentiation, prove that

= ′ + ′
+

Penyelesaian / Solution: + −
= had
Katakan y  f  x  g  x
→0

y  y  f x x gx x
 y  f x x gx x f x gx

 y  f x x gx x f x gx

x x

had  y  had f  x   x  g  x   x  f  x  g  x
 x x0  x0 x

dy  had f  x   x  f  x  had g  x   x  g  x
dx  x0 x  x0 x

d  f  x  g  x  f 'x g 'x
dx

Cikgu Muhammad Fazdhly 30
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi dua fungsi, dan . Menggunakan pembezaan
dengan prinsip pertama, buktikan
Given two functions, and . Using the first principle of
differentiation, prove that

= ′ + ′


Penyelesaian / Solution:

Katakan y  u  x v  x

y  y  ux xvx x
 y  ux xvx xuxvx
 y  ux xvx xux xvxux xvxuxvx
 y  u  x   x v  x   x  v  x  v  x u  x   x  u  x

Cikgu Muhammad Fazdhly Bersambung
Guru Cemerlang Matematik Tambahan
31

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

 y  u  x   x v  x   x  v  x  v  x u  x   x  u  x

x x

had  y  had u  x   x v  x   x  v  x  v  x u  x   x  u  x
 x x0  x0 x

dy  had u  x   x v  x   x  v  x  had v  x u  x   x  u  x
dx  x0 x  x0 x

dy  had u  x   x had v  x   x  v  x  had v  x had u  x   x  u  x
dx  x0  x0 x  x0  x0 x

dy  u  x had v  x   x  v  x  v  x had u  x   x  u  x
dx  x0 x  x0 x

d u  x v  x   u  x v '  x  v  x u ' x 
dx

Cikgu Muhammad Fazdhly 32
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi dua fungsi, dan . Menggunakan pembezaan
dengan prinsip pertama, buktikan
Given two functions, and . Using the first principle of
differentiation, prove that

= ′ + ′


Penyelesaian / Solution: KAEDAH ALTERNATIF
ALTERNATIVE METHOD
Katakan y  u  x v  x  uv

y  y  u uv v
 y  u   uv   v  uv

 y  uv  u v  v u   u v  uv
 y  u v  v u   u v

 y  u v  v u   u v
x x

had  y  had u v  v u   u v
 x x0  x0 x
= had = ′

→0

Apabila  x  0, y  0, u  0 dan  v  0

dy  had u v  had v u  had  u  v
dx  x0  x  x0  x  v0  x

dy  had u had  v  had v had  u  0
dx  x x x0  x0
 x0  x0

d u  x v  x   u  x  v ' x   v  x  u ' x 
dx

Cikgu Muhammad Fazdhly 33
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi dua fungsi, dan , ≠ 0 . Menggunakan
pembezaan dengan prinsip pertama, buktikan
Given two functions, and , ≠ 0. Using the first
principle of differentiation, prove that

′ − ′
=
2

Penyelesaian / Solution:

Katakan y  u  x
v  x

y   y  u  x   x
v  x   x

 y  u  x   x  u x
v  x   x v x

 y  v  x  u  x x  u  x v  x   x
vx x
vx

 y  v  x  u  x   x  u  xvx ux v  x   u  x  v  x   x 
vxv x x

 y  v  x  u  x   x   u  x  u  x  v  x   x  v  x 
v xv x  x

Cikgu Muhammad Fazdhly Bersambung
Guru Cemerlang Matematik Tambahan
34

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

 y  1  vx u  x  x  u  x  u  x v  x  x  v  x 
 x x  vxvx  x 

had  y  had 1  vx u x  x  u  x  u x v  x  x  v  x 
 x  
 x0  x0 vxvx  x x

 had v  x  u  x   x   u  x   
 
dy 1   x0 x 
dx  had x  
vxvx    v        
 x0 u x x x v x

 had
  x0  x 

 had v  x  had u  x   x  u  x   
 
dy  had 1   x0  x0 x 
dx 
 x0 vxvx  x  had u  x had v  x   x  v  x 

 x0  x0 x

dy  v 1  x v  xu ' x  u  xv ' x 
dx
xv

d u  x   v  x u ' x  u  x v ' x
dx   x  v  x2
 v 

Cikgu Muhammad Fazdhly 35
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi dua fungsi, dan , ≠ 0 . Menggunakan
pembezaan dengan prinsip pertama, buktikan
Given two functions, and , ≠ 0. Using the first
principle of differentiation, prove that

′ − ′
=
2

Penyelesaian / Solution: KAEDAH ALTERNATIF
ALTERNATIVE METHOD
Katakan y  u  x  u
v  x v

y y  uu
vv

 y  uu u
vv v

 y  uv  v u  uv  u v
 v
vv 

 y  v u  u v

vv v

 y  v u  u v
 x x
x
v
vv

 y  had vv 1  v u  u v 
had x   x  x 
 x0  x0 v

Cikgu Muhammad Fazdhly 36
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Apabila  x  0, y  0, u  0 dan  v  0

dy  had 1 had  v u  u v 
dx vv   x  x  = had = ′
 v0 v  x0
→0

dy  1 0 v had  u  u had  v 
dx  x  x 
vv   x0  x0

dy  1 vu ' uv '
dx v2

d  u  x   v  x  u ' xux  v '  x 
dx  v  x  v  x2
 

Cikgu Muhammad Fazdhly 37
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Diberi dua fungsi, = dan = . Menggunakan idea had,
buktikan
Given two functions, = and = . Using the idea of
limits, prove that


= ×

Penyelesaian / Solution:

dy  had  y
dx  x0  x

dy  had  y  u 
dx  u x 
 x0

dy  had  y  had  u
dx  x0  u  x0  x = had

→0

Apabila  x  0, y  0 dan  u  0
dy  had  y  had  u
dx u0  u  x0  x
dy  dy  du
dx du dx

Cikgu Muhammad Fazdhly 38
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi kamiran tak tentu
suatu fungsi yang mengikut pola berikut.
Make a general conclusion by induction for the indefinite integral
of functions which follows the following pattern.

Fungsi Kamiran tak tentu
Function Indefinite integral

= 6 6 = 3 2 +

= 6 2 6 2 = 2 3 +

= 6 3 6 3 = 3 4 +
… 2

= 6 …

6 = ⋯

Tuliskan satu syarat bagi nilai n dan namakan c. 39
Write one condition for the value of n and name c.

Penyelesaian / Solution:

Jika y  6xn , maka 6xn dx  6 xn1  c
n 1

n ≠ –1, c ialah suatu pemalar sembarangan.
n ≠ –1, c is an arbitrary constant.

Cikgu Muhammad Fazdhly
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi kamiran tak tentu
suatu fungsi yang mengikut pola berikut.
Make a general conclusion by induction for the indefinite integral
of functions which follows the following pattern.

Fungsi Kamiran tak tentu
Function Indefinite integral
= 6
6 = 1 6 1 1+1 +
= 6 2 +

= 6 3 6 2 = 2 6 1 2+1 +
… +

6 3 = 3 6 1 3+1 +
+

…

= 6 6 = ⋯

Tuliskan satu syarat bagi nilai n dan namakan c. 40
Write one condition for the value of n and name c.

Penyelesaian / Solution:

Jika y  6xn , maka 6xn dx  6 xn1  c
n 1

n ≠ –1, c ialah suatu pemalar sembarangan.
n ≠ –1, c is an arbitrary constant.

Cikgu Muhammad Fazdhly
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Tunjukkan
Show that

+ = + +1
+ 1 +

dengan a, b dan c ialah pemalar dan n ialah sebarang nombor
nyata, n ≠ –1.
where a, b and c are constants and n is any real number, n ≠ –1.

Penyelesaian / Solution:

Katakan u  ax  b

du  a
dx
dx  du

a

  ax  bn dx   un du
a

 1 un du
a

 1  un1   c , n  1
a   , n  1
 n 1 

  ax  bn dx  ax  b n1  c
an 1

Cikgu Muhammad Fazdhly 41
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

y
=

…

Oa x
b

Rajah menunjukkan lengkung = . Luas bawah lengkung itu dari
= hingga = diwakili oleh n jalur segi empat tepat yang nipis
dengan lebar yang seragam, dengan keadaan n ialah suatu integer

positif.
Diagram shows a curve = . The area under the curve from =
to = is represented by n strips of thin rectangle with uniform width,
where n is a positive integer.

Terbitkan rumus luas di bawah lengkung itu apabila n → ∞.
Derive the formula of the area under the curve as n → ∞.

Penyelesaian / Solution:

Lebar seragam jalur segi empat tepat,  x  b  a
n

Setiap jalur segi empat tepat mempunyai ketinggian yi
Luas satu jalur segi empat tepat tertentu ialah yi x

n

Jumlah luas n jalur segi empat tepat, L   yi x
i 1

n
L
Apabila n  , x  0 :  had yi x
 x0
i 1

b

L   y dx
a

Cikgu Muhammad Fazdhly 42
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

y Rajah menunjukkan lengkung = .

Diagram shows a curve = .
= (a)
Nyatakan rumus am luas rantau

b berlorek dari = hingga = .
State the general formula of the

area of the shaded region from

= to = .

a (b) Tunjukkan bagaimanakah rumus di

x (a) diterbitkan.
O Show how the formula in (a) is

derived.

Penyelesaian / Solution:

b

(a)  x dy
a

(b) Luas yang terhasil ialah penghasiltambahan n jalur segi empat tepat

Lebar seragam jalur segi empat tepat,  y  b  a
n

Setiap jalur segi empat tepat mempunyai panjang xi

Luas satu jalur segi empat tepat tertentu ialah xi y

n

Jumlah luas n jalur segi empat tepat, L   xi y
i 1

n
L
Apabila n  , y  0 :  had xi y

 y0 i 1

b

L   x dy
a

Cikgu Muhammad Fazdhly 43
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

y =

Oa x
b

Rajah menunjukkan lengkung = .
Diagram shows a curve = .
(a) Nyatakan rumus am isi padu kisaran, dalam sebutan π

apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-x
dari = hingga = .

State the general formula of the volume of revolution, in
terms of π, when the shaded region is rotated 360° about the
x-axis from = to = .

(b) Tunjukkan bagaimanakah rumus di (a) diterbitkan.

Show how the formula in (a) is derived.

Penyelesaian / Solution:

b

(a) π y2 dx
a

(b) Isipadu yang terhasil ialah penghasiltambahan n silinder diskret

Ketebalan silinder,  x  b  a ; Jejari silinder yi
n
Isipadu satu silinder diskret ialah πyi2 x

n
Jumlah isipadu n silinder diskret, I  πyi2 x
i 1

n
I πyi2
Apabila n  , x  0 :  had x

 x0 i 1

b

I  π y2 dx
a

Cikgu Muhammad Fazdhly 44
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan lengkung = .

Diagram shows a curve = .

y (a) Nyatakan rumus am isi padu

= kisaran, dalam sebutan π apabila
rantau berlorek diputarkan melalui

b 360° pada paksi-y dari =
hingga = .

State the general formula of the

volume of revolution, in terms of π,

a when the shaded region is rotated

O x 360° about the y-axis from = to
= .

(b) Tunjukkan bagaimanakah rumus di

(a) diterbitkan.

Show how the formula in (a) is

derived.

Penyelesaian / Solution:

b

(a) π x2 dy
a

(b) Isipadu yang terhasil ialah penghasiltambahan n silinder diskret

Ketebalan silinder,  y  b  a ; Jejari silinder xi
n
Isipadu satu silinder diskret ialah πxi2 y

n

Jumlah isipadu n silinder diskret, I  πxi2 y
i 1

n
I πxi2
Apabila n  , y  0 :  had y

 y0 i 1

b

I  π x2 dy
a

Cikgu Muhammad Fazdhly 45
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Buktikan
Prove that

nPr = (nCr)(r!)

Penyelesaian / Solution:

 Sebelah kanan  nCr r!

  n n!  r !
!
 r!r

  n n! !
r

 nPr
 Sebelah kiri

Cikgu Muhammad Fazdhly 46
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Lihat segi tiga Pascal berikut.
Observe the following Pascal’s triangle.

1
11
121
1331

Berdasarkan pengetahuan anda tentang gabungan iaitu nCr, apakah yang
boleh dirumuskan daripada baris akhir segi tiga Pascal itu?
Based on your knowledge about combination which is nCr, what can be
concluded from the last row of the Pascal’s triangle?

Seterusnya, senaraikan semua nombor dalam baris keenam segi tiga
Pascal.
Hence, list all the numbers in the sixth row in the Pascal’s triangle.

Penyelesaian / Solution:

3C0  1 ; 3C1  3 ; 3C2  3 ; 3C3  1

6C0  1 ; 6C1  6 ; 6C2  15 ; 6C3  20
6C4  15 ; 6C5  6 ; 6C6  1

1, 6, 15, 20

Cikgu Muhammad Fazdhly 47
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

(a)(i) Lengkapkan segi tiga Pascal berikut.
Complete the following Pascal’s triangle.
(ii)
(b) 1

11

1

13

Berdasarkan pengetahuan anda tentang gabungan iaitu nCr,
apakah yang boleh diperhatikan daripada baris akhir segi tiga
Pascal itu?
Based on your knowledge about combination which is nCr,
what can be observed from the last row of the Pascal’s
triangle?

Kembangkan + 3 dalam sebutan menaik p.
Expand + 3 in the ascending order of p.

Bandingkan jawapan di (a)(i) dan (a)(ii). Sekiranya X~B(3, p),
dengan keadaan X ialah suatu pemboleh ubah rawak,
tunjukkan
Compare the answers in (a)(i) and (a)(ii). If X~B(3, p), where
X is a random variable, show that

3

= = 1

=0

Cikgu Muhammad Fazdhly Bersambung
Guru Cemerlang Matematik Tambahan
48

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Penyelesaian / Solution:

(a)(i) 1
11
121
1331

3C0  1 ; 3C1  3 ; 3C2  3 ; 3C3  1

(ii) q  p3  q  pq  p2

 q  pq2  2 pq  p2 

 q3  2 pq2  p2q  pq2  2 p2q  p3

q  p3  q3  3 pq2  3 p2q  p3

(b) q3  3 pq2  3 p2q  p3  3C0 p q0 30  3C1 p1q31  3C2 p q2 32  3C3 p q3 33

Diberi X ~ B n, p 49

Oleh itu p  q  1 ; n  3 ; r  0,1, 2,3

q  p3  P  X  0  P  X  1  P  X  2  P  X  3

3

13  3Cr pr q3r
r0
3
1PX r
r0
3

PX r1

r0

Cikgu Muhammad Fazdhly
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan satu segi tiga bersudut tegak dengan panjang
tapak x cm and tinggi y cm.
Diagram shows a right-angled triangle with a base length of x cm and
height y cm.

Dengan menggunakan rajah itu, buktikan y cm
By using the diagram, show that
θ
(a) sin θ = kos (90° – θ) x cm
sin θ = cos (90° – θ)

(b) tan θ = kot (90° – θ)
tan θ = cot (90° – θ)

(c) sek θ = kosek (90° – θ)
sec θ = cosec (90° – θ)

Penyelesaian / Solution:

(90° – θ) Hipotenus  x2  y2

y cm sin  y ; kos  x

x2  y2 x2  y2

θ tan  y
x cm x

(a) kos 90    y Bersambung

x2  y2 50

sin  kos 90  

Cikgu Muhammad Fazdhly
Guru Cemerlang Matematik Tambahan