Koleksi Pembuktian Add Math KSSM

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

1
kot = tan

(b) kot 90    1 x  y

yx

tan  kot 90  

1
kosek = sin

(c) kosek 90    1 x  x2  y2
x2  y2 x

sek  1 x  x2  y2
x2  y2 x
1
sek  kosek 90   sek = kos

Cikgu Muhammad Fazdhly 51
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan satu segi tiga bersudut tegak dengan panjang
tapak x cm and tinggi y cm.
Diagram shows a right-angled triangle with a base length of x cm and
height y cm.

Dengan menggunakan rajah itu, buktikan y cm
By using the diagram, show that
θ
sin2 θ + kos2 θ = 1 x cm
sin2 θ + cos2 θ = 1

Penyelesaian / Solution:

Hipotenus  x2  y2

sin  y ; kos  x
x2  y2 x2  y2

Sebelah kiri  sin2   kos2 

  y 2   x 2
 x2    
 y2   x2  y2 

 y2  x2
x2  y2 x2  y2

 x2  y2
x2  y2

1

 Sebelah kanan

Cikgu Muhammad Fazdhly 52
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan satu bulatan unit. P ialah titik pada lilitan bulatan
itu.
Diagram shows a unit circle. P is a point on the circumference of the
circle.

y

P x

θ
O

(a) Nyatakan koordinat P dalam sebutan θ.
State the coordinates of P in terms of θ.

(b) Seterusnya, tunjukkan sin2 θ + kos2 θ = 1.
Hence, show that sin2 θ + cos2 θ = 1.

Penyelesaian / Solution:

(a) P kos ,sin  Teorem Pythagoras
Pythagoras’ Theorem

(b) x2  y2  12 Jejari bulatan unit ialah 1 unit
The radius of a unit circle is 1 unit
kos 2  sin 2  1

sin2   kos2   1

Cikgu Muhammad Fazdhly 53
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan satu segi tiga bersudut tegak dengan panjang
tapak a cm, tinggi b cm dan hipotenus c cm.
Diagram shows a right-angled triangle with a base length of a cm and
height b cm and hypotenuse c cm.

Dengan menggunakan teorem Pythagoras, buktikan
By using the Pythagoras’ theorem, show that

sin2 θ + kos2 θ = 1 b cm
sin2 θ + cos2 θ = 1
θ
Penyelesaian / Solution: a cm

a2  b2  c2

a2  b2  c2
c2 c2 c2

 a 2   b 2 1
 c   c 

kos 2  sin 2  1

sin2   kos2   1

Cikgu Muhammad Fazdhly 54
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Pertimbangkan identiti trigonometri sin2 θ + kos2 θ = 1.
Consider the trigonometric identity sin2 θ + cos2 θ = 1.

Buktikan
Prove that
(a) 1+ tan2 θ = sek2 θ

1+ tan2 θ = sec2 θ
(b) 1+ kot2 θ = kosek2 θ

1+ cot2 θ = cosec2 θ

Penyelesaian / Solution:

(a) sin2   kos2   1
sin2   kos2   1
kos2  kos2  kos2 
tan2  1  sek2 
1 tan2   sek2 

(b) sin2   kos2   1
sin2   kos2   1
sin2  sin2  sin2 
1 kot2   kosek2 

Cikgu Muhammad Fazdhly 55
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Rajah menunjukkan satu segi tiga bersudut tegak dengan panjang
tapak x cm and tinggi y cm.
Diagram shows a right-angled triangle with a base length of x cm and
height y cm.

Dengan menggunakan rajah itu, buktikan y cm
By using the diagram, show that

tan   90   1  θ
tan x cm

Penyelesaian / Solution:

θ + 90°    90  180 ; tan  y ; tan  x
α xy

y cm tan   90   tan

θ tan   90   x
x cm
y
tan (θ + 90°) berada dalam sukuan kedua
tan (θ + 90°) is located in the second quadrant tan   90   1  y 
x 

tan   90   1

tan 

Cikgu Muhammad Fazdhly 56
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Tunjukkan kaedah setiap rumus sudut berganda berikut diterbitkan.
Show the method for each of the following double angle formula is
derived.

sin 2  2sin kos ; kos 2  kos2   sin2  ; tan 2  2 tan
sin 2  2sin cos cos 2  cos2   sin2  1 tan2 

Penyelesaian / Solution:

Pertimbangkan sin  A  B  sin Akos B  sin B kos A

Gantikan  dalam A dan B

sin     sin kos  sin kos

sin 2  2sin kos

Pertimbangkan kos  A  B  kos A kos B  sin Asin B

Gantikan  dalam A dan B

kos     kos kos  sin sin

kos 2  kos2   sin2 

Pertimbangkan tan  A  B  tan A  tan B

1 tan A tan B

Gantikan  dalam A dan B

tan     tan  tan

1 tan tan

tan 2  2 tan
1 tan2 

Cikgu Muhammad Fazdhly 57
Guru Cemerlang Matematik Tambahan

Koleksi Pembuktian: Matematik Tambahan SPM

Tunjukkan kaedah setiap rumus sudut berganda berikut diterbitkan.
Show the method for each of the following double angle formula is
derived.

kos 2  kos2   sin2  kos 2  2 kos2  1 kos 2  1 2sin2 
;;

cos 2  cos2   sin2  cos 2  2 cos2  1 cos 2  1 2sin2 

Penyelesaian / Solution:

Pertimbangkan kos  A  B  kos A kos B  sin Asin B

Gantikan  dalam A dan B

kos     kos kos  sin sin

kos 2  kos2   sin2 

Pertimbangkan sin2   kos2   1 s2 = 1 – c2

 kos 2  kos2   1 kos2 

 kos2  1 kos2 
kos 2  2 kos2  1

c2 = 1 – s2

 kos 2  1 sin2   sin2 

kos 2  1 2sin2 

Cikgu Muhammad Fazdhly 58
Guru Cemerlang Matematik Tambahan