เอกสารการเรียนเรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.4

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 0

โรงเรยี นวทิ ยำศำสตรจ์ ุฬำภรณรำชวทิ ยำลัย ชลบุรี

เอกสารประกอบการสอน

คณติ ศำสตร์เพิม่ เตมิ

ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

h

45o

300 เมตร

ชือ่ -สกลุ : ....................................................................
เลขที่ .................................ช้นั /ห้อง............................

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 1

ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ

1. ฟงั กช์ นั ไซน์และโคไซน์

การกาหนดคา่ ของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ ทาไดโ้ ดยใช้วงกลมรศั มี 1 หน่วย ซึง่ มจี ุดศนู ย์กลางอยู่ทจ่ี ุด
กาเนดิ เปน็ หลกั ในการกาหนดค่าของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ และจะเรยี กวงกลมดงั กล่าวว่า วงกลมหนึ่งหนว่ ย (The
unit circle) วงกลมนีเ้ ปน็ กราฟของความสมั พนั ธ์

{(x, y)  R  R x 2  y2  1}

เมอื่ กาหนดจานวนจรงิ  ให้ จากจดุ (1,0) วดั ระยะไปตามส่วนโคง้ ของวงกลมหนึ่งหนว่ ยให้ยาว 

หนว่ ย จะถึงจดุ (x,y) ซึ่งอยู่บนวงกลมหนงึ่ หน่วย โดยมีข้อตกลงสาหรบั ทิศทางของการวัดดงั นี้
ถา้   0 จะวดั ส่วนโคง้ จากจดุ (1,0) ไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา
ถ้า   0 จะวดั ส่วนโคง้ จากจดุ (1,0) ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ า
ถ้า  = 0 จดุ ปลายส่วนโค้งคือจุด (1,0)

รปู ต่อไปน้ีแสดงตาแหนง่ ของจดุ ปลายส่วนโค้งของวงกลมหนึง่ หนว่ ย เมือ่ กาหนด  ให้มีค่าตา่ งๆ

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 2

จะเห็นว่า เมอื่ กาหนดจานวนจรงิ  ให้ จะสามารถหาจดุ (x,y) ซึ่งเป็นจดุ ปลายสว่ นโคง้ ท่ียาว 
หนว่ ย ในทิศทางการวดั ทกี่ าหนดไดเ้ พยี งจดุ เดยี วเท่าน้ัน ถ้า   2 แสดงวา่ วดั สว่ นโคง้ เกนิ 1 รอบ เพราะ
เสน้ รอบวงของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยยาว 2 หนว่ ย

ดงั น้ัน จึงสามารถกาหนดฟังกช์ นั f : R  R และ g : R  R โดยทสี่ าหรบั แต่ละจานวนจรงิ 
ใดๆ

f ()  x
g()  y

เมอื่ (x,y) เปน็ จุดปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนงึ่ หน่วยท่ีวดั จากจุด (1,0) ยาว  หน่วย ในทิศทางตามทก่ี ล่าว
ขา้ งตน้

เรยี กฟังก์ชัน g และ f ดังกล่าวน้วี ่า ฟงั กช์ นั ไซน์ (sine function) และฟังก์ชนั โคไซน์ (cosine
function) ตามลาดับ และจะเขยี นแทน g ดว้ ย sin และเขยี นแทน f ด้วย cos

x  cos
y  sin 

วงกลมหนึง่ หน่วยซงึ่ มีจดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จุดกาเนิด เปน็ กราฟของความสัมพันธ์
{(x, y)  R  R x2  y2  1} จะเหน็ วา่ 1  y  1 และ 1  x  1 ดังนั้น คา่ ของฟงั ก์ชันไซนแ์ ละ
ฟังก์ชันโคไซนจ์ ะเป็นจานวนจรงิ ตง้ั แต่ -1 ถงึ 1

น่นั คือ เรนจข์ องฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละฟงั กช์ นั โคไซน์ คือ เซตของจานวนจรงิ ตัง้ แต่ -1 ถึง 1 และโดเมน
ของฟงั ก์ชันทง้ั สองคอื เซตของจานวนจรงิ

จากสมการ x2  y2  1, y  sin  , x  cos จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ของ sin และ cos ดังน้ี
(cos)2  (sin)2  1 เมอ่ื  เปน็ จานวนจรงิ

หรือเขยี นตามความนยิ มได้เปน็
cos2   sin2   1 เมือ่  เป็นจานวนจรงิ

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 3

2. คำ่ ของฟงั ก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์

1) ค่าของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ของจานวนจรงิ บางจานวน
ในหัวขอ้ นจี้ ะหาค่าของ sin และ cosสาหรบั  บางคา่ ท่ีสามารถหาพกิ ดั ของจุดปลายส่วนโคง้ ท่ี
วัดจากจดุ (1,0) ทีย่ าว  หน่วย ได้ด้วยวิธีง่ายๆ

ถ้า   0 จดุ ปลายส่วนโคง้ ทยี่ าว 0 หนว่ ย คือ (1,0) ดังรูป จะได้ sin  0 และ cos 1

เนอ่ื งจากเสน้ รอบวงของวงกลมหนึง่ หน่วยยาว 2 หน่วย และจดุ (1,0), (0,1), (-1,0) และ (0,-1)
เป็นจุดท่ีแบ่งเสน้ รอบวงของวงกลมออกเป็นส่สี ่วนเท่าๆกัน โดยแต่ละสว่ นยาว  หน่วย ทาใหไ้ ด้ว่า

2

sin   1 sin( )  1
2 2

sin  0 sin()  0

sin 3  1 sin( 3)  1
2 2

  0 cos( )  0
cos 2
2

cos  1 cos()  1

cos 3  0 cos( 3)  0
2 2

จะเหน็ วา่ ค่าของ sin และ cosเม่อื   n โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ น้ัน หาไดจ้ ากพิกัดของจุด

2

ปลายสว่ นโค้งทีย่ าว n หนว่ ย โดยวัดในทิศทางที่สอดคล้องกับ  ซงึ่ จดุ ปลายนัน้ จะเป็นจุดใดจุดหน่ึงในส่ี

2

จุดต่อไปนคี้ ือ (1,0), (0,1), (-1,0) และ (0,-1)

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 4

ตอ่ ไปจะพิจารณาค่าของ sin  และ cos เมอื่  เป็น  และ 
,
46 3

ค่ำของ sin  และ 
cos
44

ให้ P(x,y) เปน็ จดุ กง่ึ กลางของสว่ นโค้ง AB

เน่ืองจากส่วนโค้ง AB ยาว  หน่วย

2

ดงั นัน้ ส่วนโคง้ AP ยาวเทา่ กบั สว่ นโคง้ PB และยาว  หนว่ ย

4

จะได้ คอรด์ PB ยาวเท่ากับคอร์ด PA
นนั่ คอื PB = PA

x 2  (y 1)2  (x 1)2  y2

x2  y2  2y 1  x2  2x 1 y2

จะได้ x  y
แต่ x2  y2  1 (เพราะจดุ (x,y) อยู่บนวงกลม)
ดงั น้นั 2x2  1

x  1 หรือ x   1

22

เนือ่ งจาก (x,y) เป็นจุดอยู่ในจตุภาคที่ 1
ดังนั้น x และ y จงึ เป็นจานวนบวก

จะได้ x  y  1  2

22

ดงั นนั้ จุดปลายสว่ นโค้งที่ยาว  หนว่ ย คือ จดุ ( 2 , 2 )

4 22

น่ันคือ sin   cos   2

4 42

โดยอาศยั รปู ขา้ งต้น สามารถหาค่าของฟงั ก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจรงิ 3 , 5 , 7 ,..., (2n 1)
444 4

เมื่อ n คอื จานวนเต็มบวก และ  3 , 5 , 7 ,..., (2n 1) เมอื่ n คือจานวนเตม็ บวก
444 4

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 5

ค่ำของ ค่ำของ sin  และ 
cos
66

ให้ P(x,y) เปน็ จุดบนสว่ นโค้ง AB ซึง่ ทาใหส้ ่วนโค้ง AP ยาว  หนว่ ย

6

เนอื่ งจากส่วนโค้ง AB ยาว  หน่วย ดังนน้ั สว่ นโคง้ PB และยาว  หนว่ ย

23

ให้จดุ M เปน็ ภาพสะทอ้ นท่ีเกดิ จากการสะทอ้ นของจุด P โดยมีแกน X เปน็ เสน้ สะท้อน

จะได้ส่วนโค้ง AM ยาว  หนว่ ย และจดุ M มพี ิกดั เป็น (x,-y)

6

ดังนนั้ ส่วนโค้ง PM จึงยาว  หนว่ ย

3

จะได้ คอรด์ PM ยาวเท่ากับคอร์ด PB
นัน่ คือ PM = PB

(x  x)2  (y  (y))2  x 2  (y 1)2

4y2  x2  y2  2y 1 (เนื่องจาก x2  y2  1 )
4y2  2y  2  0

2y2  y 1  0

(2y 1)(y  1)  0

เนื่องจาก (x,y) เปน็ จุดอย่ใู นจตุภาคท่ี 1
ดงั นัน้ x และ y จงึ เปน็ จานวนเตม็ บวก

จะได้ y  1

2

และ x  3

2

ดังน้ัน จุดปลายส่วนโค้งท่ียาว  หน่วย คือ จุด ( 3 , 1)

6 22

น้ันคอื sin   1 และ cos   3
62 62

โดยอาศัยรปู ข้างต้น สามารถหาค่าของฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซนข์ องจานวนจริงในรูป

2n   ,2n  5 ,2n  7 และ 2n  11 เม่อื n คอื จานวนเตม็ เช่น   , 5 , 7 ,13 เป็นตน้
66 6 6 66 6 6

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 6

ค่ำของ ค่ำของ sin  และ 
cos
33

ให้ P(x,y) เปน็ จุดบนสว่ นโคง้ AB ซึง่ ทาใหส้ ว่ นโคง้ AP ยาว  หน่วย

3

ใหจ้ ดุ M เปน็ ภาพสะท้อนท่ีเกิดจากการสะทอ้ นของจุด P โดยมแี กน Y เป็นเสน้ สะทอ้ น

ดงั นนั้ พิกัดของจุด M คอื (-x,y) และส่วนโคง้ CM ยาว  หนว่ ย

3

เนอ่ื งจากส่วนโคง้ ของครึ่งวงกลมนย้ี าว  หนว่ ย

ดังนน้ั สว่ นโคง้ PM ยาว  หนว่ ยดว้ ย

3

จะได้ คอร์ด PM ยาวเทา่ กับคอรด์ PA
นน่ั คอื PM = PA

(x  (x))2  (x 1)2  y2

4x2  x2  2x 1 y2 (เนอื่ งจาก x2  y2  1 )
4x2  2x  2  0

2x2  x 1  0

(2x 1)(x  1)  0

เน่ืองจาก P(x,y) เป็นจุดอยใู่ นจตภุ าคท่ี 1
ดงั นน้ั x และ y จึงเปน็ จานวนเตม็ บวก

จะได้ x  1 และ y  3

22

ดงั นน้ั จดุ ปลายสว่ นโค้งทีย่ าว  หนว่ ย คอื จดุ (1 , 3 )

3 22

น้นั คือ sin   3 และ cos   1
32 32

โดยอาศยั รูปข้างตน้ สามารถหาคา่ ของฟงั กช์ ันไซน์และโคไซนข์ องจานวนจริงในรปู

2n   ,2n  2 ,2n  4 และ 2n  5 เม่ือ n คือจานวนเตม็ เชน่   , 2 , 4 , 7 เปน็ ต้น
33 3 3 33 3 3

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 7

2) ค่าของฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละโคไซนข์ องจานวนจรงิ ใดๆ
พจิ ารณาจานวนจรงิ   0 และ (x,y) เปน็ จุดปลายส่วนโค้งของวงกลมหน่งึ หน่วยทีว่ ัดจากจุด (1,0)

ไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา ยาว  หน่วย (เน่ืองจาก   0 จะได้    ) จากการให้จุด (x,y) เปน็ ภาพ
สะท้อนที่เกิดจากการสะทอ้ นจดุ (x,y) โดยมีแกน X เปน็ เส้นสะท้อน จึงไดจ้ ุด (x,-y) เป็นจดุ ปลายส่วนโคง้ ของ
วงกลมดงั กล่าวที่วดั จากจุด (1,0)ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬิกายาว  หน่วย หรอื กลา่ วไดว้ ่า (x,-y) เป็นจดุ
ปลายของสว่ นโค้งท่ีเกิดจากจานวนจรงิ   ตามขอ้ ตกลงเรือ่ งการวดั ส่วนโค้งทกี่ ลา่ วมาแล้ว

จากจดุ (x,y) และ (x,-y) ทาให้สรปุ ไดว้ ่า

x  cos , y  sin 

และ x  cos() ,  y  sin()

ดงั น้นั

sin()   sin 

cos()  cos

นั่นคอื ถ้าสามารถหาค่าของฟังกช์ ันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงบวกใดๆไดก้ ็จะหาค่าของ
ฟงั ก์ชนั ไซนแ์ ละโคไซนข์ องจานวนจรงิ ลบท่เี ป็นจานวนตรงข้ามของจานวนจริงบวกนน้ั ๆได้ดว้ ย

ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงหาค่าของ sin( ) และ cos( )

66

วธิ ที ำ sin( ) =  sin() =  1

6 62

cos( ) = cos() = 3

6 62

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 8

กำรแปลงมมุ
แปลงมมุ ตามแกน X   ไดแ้ ก่มมุ ทอ่ี ยู่ในรปู n   มมุ พวกนจี้ ะแปลงเปน็ ฟังก์ชนั เดมิ ของมุม 

แตต่ อ้ งใส่เคร่ืองหมายบวกหรือลบ ตามจตุภาคทม่ี ุมนั้นตกอยู่

ตวั อย่ำงที่ 2 จงหาคา่ ของ sin 25 และ cos(11)

43

วธิ ีทำ 25 = 6  

44

ดังนน้ั sin 25 = sin(6   =  = 2
) sin
4 4 42

 11 =  4  

33

ดังนัน้ cos( 11) = cos(4  ) = cos() = 1

3 3 32

ตวั อยำ่ งท่ี 3 กาหนดให้ sin   0.26 และ cos   0.96 จงหาค่าของ sin11 , cos11
12 12 12 12

และ sin 13

12

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

แปลงมมุ ตามแกน Y   ไดแ้ ก่มมุ ท่ีอยู่ในรปู n   มมุ พวกนจี้ ะแปลงเปน็ โคฟงั กช์ นั ของมมุ  แต่

2

ตอ้ งใส่เคร่ืองหมายบวกหรอื ลบ ตามจตุภาคที่มุมนัน้ ตกอยู่

วธิ กี าร คือ ให้แตก n   เป็น k  n  

22

ตวั อย่ำง

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 9

แบบฝกึ หดั ท่ี 1

1. จงบอกว่ำจุดปลำยสว่ นโคง้ ของวงกลมหน่ึงหนว่ ยต่อไปนี้อยใู่ นควอดรันตใ์ ด

1. P(  ) 2. P( 3 )

4 4

3. P( 25 ) 4. P(   )

3 4

5. P(  5 ) 6. P( 5 )

4 3

7. P( 7 ) 8. P(  25 )

6 6

9. P(  11 ) 10. P( 10 )

6 3

11. P( 17 ) 12. P( 33 )

4 4

13. P(  102 ) 14. P(  81 )

3 4

15. P(  55 ) 16. P( 504 )

4 3

17. P( 705 ) 18. . P(  215 )

6 6

19. P(  111 ) 20. P( 101 )

6 12

21. P( 17 ) 22. P(  253 )

9 12

23. P(  311 ) 24. P( 10 )

9 12

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

2. จงหำคำ่ ของ คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ ค30103
1. sin(0) ภาคเรียนที่ 2 10
3. sin   
2. cos(0)
 2 4. cos  3 

5. cos    2

 6 6. sin2
8. cos 3 
7. sin   
4
 3
10. tan 15
9. sin13 
4
4
12. cos 5 
11. cos4
6
13. sin 29
14. tan13 
6
4
15. cos  34 
16. cos  4 
 3
 3
17. tan 7 
18. sin  5 
6
 4
19. sin  55 
20. cos11 
 6
6

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 11

3. กำหนด  เปน็ จำนวนจรงิ และ P(  ) เปน็ จุดปลำยส่วนโคง้ ของวงกลมหน่งึ หน่วยที่ยำว  หน่วย

จงบอกพกิ ดั ของจุดปลำยส่วนโค้งต่อไปนี้

ขอ้ ที่ โจทย์ พิกดั ของจุดปลายสว่ นโคง้

1 P(5 )

2 P( 6)

3 P(16)

4 P(  3 )

5 P(101)

6 P(  19 )

3

7 P( 7 )

3

8 P( 11 )

6

9 P( 5 )

2

.
10 P( 9 )

2

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

ข้อที่ โจทย์ คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค30103
11 P( 3 ) ภาคเรียนท่ี 2 12

4 พกิ ดั ของจุดปลายสว่ นโค้ง

12 P(  5 ) จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

4

13 P( 2 )

3

14 P( 17 )

6

15 P( 5 )

6

16 P(  7 )

3

17 P(13 )

6

18 P( 21 )

4

19 P(17 )

3

20 P( 35 )

4

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 13

4. จงหาคา่ ของ sin และ cos ของจานวนจรงิ  ท่กี าหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1. 101 2.  8

3. 19 4. 7

2

5. 13   6. 9  

2 2

7. 21 8.  31

2 2

9. 5 10. 7

6 6

11. 17 12. 23

6 6

13. 19 14.  5

4 4

15.  2   16. 2  5

6 6

17.   3 18. 4  9

4 4

19.     20.  33  5

3 44

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

5. จงแปลงให้อยู่ในรูปอยา่ งง่าย คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ค30103
1. sin(  ) ภาคเรยี นท่ี 2 14
3. tan(  )
5. sec(  ) 2. cos(  )
4. cos(  )
2 6. sin(  )

7. cot(  ) 2

2 8. cosec(  )

9. sec(7  ) 2

2 10. tan()
12. cosec(  3)
11. sec()
2
13. tan(  3)
14. cot(  )
2 16. sin(  )
18. cos(2  )
15. cos(3  )
20. sec( 5  )
2
2
17. cosec(2  )
จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ
19. tan(5  )

21. sin(27  ) คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 15

22. cot( 73  )

2

23. sin100o 24. cos220o

25. tan(15o ) 26. sec170o

27. cosec305o 28. cot3710o

6. จงหาผลลัพธ์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี
1. sin 40o  sin140o

2. cos80o  cos100o

7. จงหาค่าของ cos3 20o  cos3 40o  cos3 60o  ...  cos3 160o

8. ถา้ cos2 x  sin2 x  1 จงหาค่าของ cos x เมอื่   x  

22

9. กาหนดให้ sin  3 จงหาค่าของ sin(  )

5

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 16

sin  3   cos(2n  )   3  3 sin 2  
 2 2  2 cos2 
 10.
จงหาคา่ ของ sec2   1

11. กาหนดให้ A  cot 3   cos(  ) และ B  cos(  ) tan(2  ) โดยท่ี 0  
2 

sin(2  ) 2

จงหาหาค่าของ AB

sin 

12. จงหาคา่ ของ cos3 20o  cos3 40o  cos3 60o  ...  cos3 160o  cos3 180o

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 17

3. ฟังก์ชันตรตี รโี กณมติ อิ ื่นๆ

นอกจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ดงั กลา่ วข้างตน้ ยังมีฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิทสี่ าคญั อกี หลายฟงั กช์ ัน ดงั ต่อไปนี้
ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tangent function) เขียนแทนด้วย tan (อ่านวา่ แทน)
ฟังก์ชนั เซแคนต์ (secant function) เขยี นแทนด้วย sec (อ่านวา่ เซก)
ฟังกช์ ันโคเซแคนต์ (cosecant function) เขยี นแทนด้วย cosec หรอื csc (อ่านว่า โคเซก)
ฟงั กช์ นั โคแทนเจนต์ (cotangent function) เขยี นแทนด้วย cot หรือ ctn (อา่ นว่า คอต)

บทนิยามค่าของฟังก์ชันโดยอาศยั ค่าของฟงั ก์ชันไซน์และฟงั ก์ชนั โคไซน์ ดังน้ี

บทนยิ ำม ; x0
; y0
สาหรบั จานวนจริง  ใดๆ ; x0
; y0
tan   sin   y
cos x

cosec  1  1
sin y

sec  1  1
cos x

cot  cos  x
sin y

จากบทนิยามท่กี ลา่ วมา เม่ือพิจารณาถึง โดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ันทงั้ สจ่ี ะพบว่า

1. โดเมนของฟงั ก์ชนั tan และ sec คอื R  x  R x  (2n  1) ,n  I
2 


2. โดเมนของฟงั ก์ชัน cot และ cosec คือ R  x  R x  n,n  I

3. เรนจข์ องฟงั กช์ นั tan และ cot คือ R

4. เรนจ์ของฟังกช์ นั sec และ cosec คอื R  x  R 1  x  1

จงแสดงวา่ cot  1 เมอื่ sin  0 , cos  0

tan 

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 18

จงแสดงวา่ 1  tan 2   sec2  เม่ือ cos  0

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จงแสดงวา่ 1  cot2   cosec2 เมื่อ sin  0
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
ตำรำงแสดงค่ำของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงบำงจำนวนเมื่อ 0    

2

 sin cos tan  cosec sec cot

0 0 1 0 ไมน่ ยิ าม 1 ไม่นยิ าม

1 3 3 2 23 3

6223 3 1
22
 2 21 3
3
422 3 23 2
 31 0

322 3

 1 0 ไม่นยิ าม 1 ไม่นยิ าม

2

ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ sin  cos   sin  cos 5

63 4 4

วิธที ำ sin  cos   sin  cos 5 =  1  1    2   2 
63 4 4  2  2  2 2

=  1     2 

4  4

= 1

4

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 19

ตวั อยำ่ งท่ี 2 จงหาค่าของ sin  cos5  sin 4 cos 
36 36

วธิ ที ำ sin  cos 5  sin 4 cos  = sin  cos(  )  sin(  ) cos 
36 36 36 36

= sin  (cos )  (sin )cos 
36 36

=  3   3     3  3 
2 2 2 2

=  3    3 

4  4

= 3

2

ตัวอย่ำงท่ี 3 จงหาค่าของ sin15 cos 5  sin 41 cos 31  tan 2 9
44 36 4

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 20

แบบฝึกหดั ท่ี 2
1. กำหนดให้ sin  0.48 และ 0     จงหำคำ่ ของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ อิ น่ื ๆ

2

2. จงหำค่ำของ
1) sin 0  cos  3sin 3

2

2) sin   cos2  cos 3

22

3) cos 3  sin 2  sin 3

22

4)   3sin 2  sin 
2 cos
2

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

5) 2sin2   3cos2   2sin2 3 คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 21
22
จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ
6)   cos   2sin2 
sin
63 4

7) sin2   cos2   sin2 

4 36

8) 2 sin  cos  sin 

4 63

9) 2 cos  sin  cos 

46 3

10) sin2   2 tan 2 

34

11) 2 cosec2   3sec2  คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 22
46
จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ
12)  tan   sec2 
cot
36 4

13) 2 sin  cot 
cos
663

14) tan 2   4 cos2   3sec2 

3 46

15) cot2   cos   sin2   3 cot2 
43 34 3

16) 3 tan 2   4 cos2   1 sec2   1 sin2 

63 62 43 3

3. จงหำคำ่ ของ คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ค30103
1) sin 5  cos 2  tan 5 ภาคเรียนที่ 2 23

634 จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

2) sec 4  cosec 7  3 cot 4
36 3

3) sin 7 cos9 tan 11 cot 5

44 66

4) 4 sin 4 cos13 tan 25

33 6 4

5) sin13 cos 25 cot 37

634

คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 24

6) 3 sec11 cosec 25 cot100 tan 91
46 333

7) sin2   4   cos2   5   tan2   7 
 3  6  4

8) cos   sin 5  tan 9  cos 5  tan 7

23 4 6 6

9) sin 5  tan 7  cos 3 sin 4

6 6 43

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 25

10) sin 3  tan cos   cot 5  sin 7
2 26 6

11) sin  cos   cos  sin   sin 5  tan 5
3 6 36 3 3

12) cos2   sin2   sin2   cos2 11
446 6

13) 6sin2 7  5cos(3)  sec2 11

34

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 26

sin 5  cos17
14) 34
9 tan  cot 5
66

15) จงหาคา่ ของ tan  sec2    cot  csc   sin 2  cot2 
sin
6 43 33 46

16) จงหาค่าของ   sin 5  tan 9  cos 5  cot 7
cos
23 4 6 6

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 27

4. กาหนดให้ x,y และ z เปน็ จานวนต็ม และ x cos(400)  4ysin2     3z tan 2     6

4 6

y sin2  7   z cosec2 11   2 และ x cos2  9   z tan 2  5   3 แลว้ จงหาค่าของ x  y
 2 2 6  20 z

5. กาหนดให้ 0     และ A  sin2      cos2  3    tan(  )  cot 3  
2 2  2  2 

sin2       cos2  3 

B   2 4   2  แล้วจงหาค่าของ A – B

1  cot2  3  7  sin2      
 2 6   2 6

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 28

4. ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ

4.1มุมและกำรวัดมุม
หน่วยการวัดมุมทเี่ รารจู้ ักกันแล้วคือ องศา (degree) เขียนแทนด้วย o โดยถอื ว่ามุมท่ีเกดิ จากการ
หมุนสว่ นของเสน้ ตรงไปครบหน่งึ รอบมีขนาด 360 องศา และแบง่ หนว่ ยองศาออกเป็นหน่วยยอ่ ยคือ ลิปดา (‘)
และ ฟิลิปดา (“) ดงั น้ี

1o  60

1  60

หนว่ ยมุมทีส่ าคัญอกี หน่วยหนงึ่ คอื เรเดยี น

เนอ่ื งจากวงกลมท่ีมีรศั มี r หนว่ ย จะมเี สน้ รอบวงยาว 2r หน่วย ดังนน้ั มุมทจ่ี ุดศูนย์กลางของวงกลม

ซึง่ รองรับด้วยสว่ นโค้งของวงกลมท่ี 2r หน่วย จงึ มขี นาด 2r = 2 เรเดียน

r

จะเห็นได้ว่า สาหรบั มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางของวงกลมทมี่ ีรศั มยี าว r หน่วย ซง่ึ รองรับด้วยส่วนโคง้ ของ

วงกลมทย่ี าว a หนว่ ย จะมีขนาด a เรเดยี น และถ้าใหม้ มุ ดงั กล่าวเป็น  เรเดยี น

r

จะได้   a

r

เนื่องจากมมุ ทีจ่ ุดศนู ยก์ ลางของวงกลมท่มี รี ัศมี r หนว่ ย ทีไ่ ด้จากการหมุนรศั มีไปครบ 1 รอบ มีขนาด
2 เรเดียน แต่มมุ ดังกล่าวเมอ่ื วัดเป็นองศาได้ 360 องศา ดังนัน้

360 องศา เท่ากับ 2 เรเดยี น
หรอื 180 องศา เท่ากบั  เรเดียน

ดงั นั้น 1 องศา =  เรเดยี น

180

และ 1 เรเดยี น = 180 องศา  57o18



ตวั อย่ำงที่ 1 จงเปล่ยี น 1 เรเดยี นใหเ้ ปน็ องศา

2

วธิ ที า เนอ่ื งจาก  เรเดยี น เทา่ กับ 180 องศา

ดังนน้ั 1 เรเดียน เทา่ กบั 1  180 องศา
2
2

 28.65 องศา

 28o39

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 29

ตัวอย่ำงที่ 2 จงเปล่ยี น 75 องศา ให้เปน็ เรเดียน

วธิ ที า เนอ่ื งจาก 180 องศา เท่ากับ  เรเดยี น

ดังน้ัน 75 องศา เท่ากับ 75  เรเดยี น

180

= 5

12

ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาคา่ ของ sec(405o )

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
ตัวอย่ำงท่ี 4 จงหาค่าของ sin2 120o  tan 225o  cot2 330o
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ตัวอยำ่ งที่ 5 จงหาค่าของ cos120o  sin 225o cosec405o

tan 330o

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ตัวอย่ำงที่ 6 จงหาค่าของ 9cosec2 (315o ) 12tan(480o )

3sec150o cot930o

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 30

4.2 ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติของมมุ ของรปู สำมเหลย่ี มมุมฉำก
ต่อไปนจ้ี ะพิจารณาถงึ ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ให้ ABD เปน็ รูปสามเหลี่ยม ซง่ึ มี ACˆ Bเป็นมมุ ฉาก ดงั น้นั BAˆ C  90o
ให้ a, b, c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A, B และ C ของรปู สามเหลยี่ มABC ตามลาดบั ให้ BAˆ C อยู่

ในตาแหน่งมาตรฐานดงั รปู สว่ นโคง้ ของวงกลมหน่ึงหนว่ ยท่รี องรับมุม A คอื ส่วนโคง้ FD

ดังนัน้ sinA = sin (ความยาวส่วนโค้ง FD) = DE

cosA = cos (ความยาวส่วนโคง้ FD) = AE
เนอ่ื งจากรปู สามเหล่ยี ม ADE คลา้ ยกับรปู สามเหล่ียม ABC

ดังนน้ั DE  BC และ AE  AC
AD AB AD AB

แต่ AD = 1

ดงั นั้น DE  BC  a และ AE  AC  b
AB c AB c

นน่ั คือ sin A  a และ cosA  b

cc

และ tan A  sin A  a

cosA b

จากทกี่ ล่าวมาน้ี จึงสรปุ ไดว้ ่า

sin A = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ A
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

cosA = ความยาวของด้านประชดิ มุมA
ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

tan A = ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA
ความยาวของด้านประชิดมมุ A

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 31

ตวั อยำ่ งท่ี 7 รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC มี ACˆ Bเปน็ มมุ ฉาก ด้าน AC ยาว 4 หนว่ ย และมุม A มขี นาด 30o
จงหาความยาวของดา้ น AB และ BC

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
ตวั อยำ่ งท่ี 8 ถ้ามมุ A เป็นมุมเหลม และ sin A  3 จงหาค่าของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิของมุม A

7

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

แบบฝึกหดั ท่ี 3

1. จงหำวำ่ มุมทว่ี ัดเป็นเรเดยี นตอ่ ไปนแ้ี ตล่ ะมมุ มีขนำดกอ่ี งศำ
1. 4 2.  7

3. 13 4. 5

3

5. 15 6. 26

4 3

7. 35 8.  15

6 6

9. 105 10.  70

4 3

11. 11 12. 19

5 5

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 32

2. จงหำว่ำมุมท่วี ดั เป็นองศำตอ่ ไปนี้แตล่ ะมมุ มีขนำดกเ่ี รเดียน

1. 300o 2. -315o

3. 880o 4. -500o

5. 120o 40 6. 112o 10

7. 1120o 8. 1890o

3. จงหำค่ำของ
1) sin150o cos240o  4 tan 225o cot405o

2) sin120o  cos210o  tan 780o  cot330o

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 33

3) cosec330o sec300o  sin 750o cos300o

   4) tan1125o  1 sec  780o  cot  405o
2

       5) sin  390o  cos  420o  tan  300o  cot  390o  sec225o  coesec405o

6) 3 tan 2 135o  sec2 300o

2sin 330o

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 34

7) tan(480o )  sin(840o )

cos(390o )

8) cosec210o  cot150o

4 cos300o sin 270o

9) sec2 (390o ) cot120o cosec(840o )

1
sin330o  tan135o

10) จงหาค่าของ  cos  765o sec(540)  tan(930o ) cosec495o
sin 300o  cot 240o

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 35

4. ถา้ มมุ A เป็นมมุ แหลม และ cosA = 4 จงหาค่าของฟังก์ชันตรโี กณมติ อิ ่นื ๆของมุม A

7

5. จงหาผลลัพธ์ในแต่ละขอ้ เมื่อกาหนดค่าฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ และ 0    

2

1) sin  3 จงหาคา่ ของ cot  sec

5

2) cos  5 จงหาค่าของ 5tan  1

13

3) tan   1 จงหาค่าของ sin2   cot2 

3

4) cot  2 จงหาค่าของ 4 tan   cos2 

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 36

6. กาหนดให้ sec2 x  tan 2 x  7 และ   x   จงหาคา่ ของ cos x

22

7. กาหนดให้ sin   1 และ sec  0 จงหาค่า tan 

3

8. กาหนดให้ cot  5 และ sin  0 จงหาค่า cos
9. กาหนดให้ cosec2x  cot2 x  5 และ 3  x  2 จงหาค่า x

32

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 37

10. กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลีย่ มมุมฉากที่มีพื้นทีเ่ ทา่ กับ 24 ตารางฟุต และมมี มุ A เป็นมุมฉาก ถา้
2 cos2 B   cos2 C  41 แล้วสว่ นของเสน้ ตรง BC มคี วามยาวเท่ากับก่ีฟุต

25

11. ถ้า sec   13 และ      แล้วจงหาคา่ ของ 2 sin   3cos
52 4 sin   9 cos

12. ถา้ sin    1 และ cos  0 แล้วจงหาค่าของ tan   sec

2

13. กาหนดให้ sec   5 และ      จงหาคา่ ของ tan cos  sin  cot

42

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 38

14. กาหนดให้ 0     และ 0     และ 3sec  8และ 4 cot  5 ถา้

22

A  24cos    cot     6 cosec    และ
2  2  2 

B  4 tan 3    8sec 3   sin 3   จงหาค่าของ A + 2B
2  2  2 

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 39

5. กรำฟของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิใบควำมรทู้ ี่ 4 เรอ่ื ง กรำฟของฟังกช์ นั ตรโี กณมิ

5.1 กรำฟของฟงั กช์ นั ไซน์
ตวั อยำ่ งที่ 1 กราฟของ y = sin x เขียนได้ดงั น้ี

จากกราฟจะเหน็ ว่า โดเมนของฟงั ก์ชันไซนค์ ือเซตของจานวนจริง
เรนจข์ องฟงั กช์ นั ไซน์ คอื [-1,1]
กราฟของฟงั ก์ชันไซน์ตัดแกน X ทจี่ ุด (x,0) เมอื่ x คอื ...,  2,,0, ,2,...
กราฟของฟงั ก์ชนั ไซนต์ ัดแกน Y ที่จดุ (0,0)
5.2 กรำฟของฟังกช์ นั โคไซน์
ตัวอยำ่ งที่ 2 กราฟของ y = cos x เขียนไดด้ งั น้ี

จากกราฟจะเหน็ วา่ โดเมนของฟังก์ชนั โคไซนค์ อื เซตของจานวนจรงิ
เรนจ์ของฟังก์ชนั โคไซน์ คือ [-1,1]
กราฟของฟังก์ชนั ไซนต์ ัดแกน X ท่จี ุด (x,0) เมื่อ x คอื ...,  3 ,  ,  , 3 ,...

2 22 2

กราฟของฟังกช์ ันไซน์ตดั แกน Y ทจี่ ุด (0,1)
ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ทิ ุกฟงั กช์ นั เป็นฟังก์ชนั ท่เี ป็นคาบ (periodic function) กล่าวคอื สามารถแบง่ แกน

X ออกเปน็ ชว่ งย่อยๆ (subinterval) โดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเท่ากันและกราฟในแตล่ ะช่วงยอ่ ยมี
ลกั ษณะเหมอื นกัน ความยาวของชว่ งยอ่ ยทีส่ นั้ ท่ีสุดที่มีสมบัติดงั กล่าวเรียกวา่ คำบ (period) ของฟงั ก์ชัน
ดังรปู

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 40

ทม่ี ำ : http://www.kr.ac.th/el/02/manika/05.html
แอมพลิจดู

สาหรับฟงั ก์ชนั ทีเ่ ปน็ คาบซึง่ มีค่าต่าสุดและสูงสุด เราเรยี กคา่ ท่เี ท่ากบั ครึง่ หน่ึงของคา่ สงู สดุ ลบด้วยค่า
ต่าสดุ ของฟงั กช์ นั นัน้ วา่ แอมพลจิ ูด (amplitude)

นนั่ คอื ถา้ a และ b เปน็ ค่าสงู สุดและค่าตา่ สดุ ของฟังกช์ นั ทเ่ี ปน็ คาบ จะได้แอมพลิจดู ของฟังกช์ ันน้ี

เท่ากับ 1 (a  b)

2

ดงั นนั้ ฟงั กช์ นั y = sin x และ y = cos x มแี อมพลจิ ดู เท่ากบั 1 (1) 1

2

ตวั อยำ่ งท่ี 3 จงเขยี นกราฟของ y = 2sin x  0  3
2 22
x  2  3

2

sin x
2sin x

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 41

โดเมนของฟงั ก์ชัน y = 2sin x คือ .....................................................................................................................
เรนจ์ของฟงั กช์ นั y = 2sin x คือ .......................................................................................................................
คาบของฟงั ก์ชนั y = 2sin x คอื ...........................................................................................................................
แอมพลิจูดของฟังกช์ ัน y = 2sin x คือ................................................................................................................

ตวั อย่ำงท่ี 4 จงเขยี นกราฟของ y = sin 2x 3  5 3 7 2

x0   4 42 4

42

sin 2x

โดเมนของฟงั ก์ชนั y = 2sin x คือ .....................................................................................................................
โดเมนของฟังก์ชนั y = sin 2x คือ .....................................................................................................................
เรนจข์ องฟังก์ชัน y = sin 2x คอื .......................................................................................................................
คาบของฟงั ก์ชนั y = sin 2x คือ...........................................................................................................................
แอมพลจิ ูดของฟงั ก์ชัน y = sin 2x คือ................................................................................................................

ในกรณีท่ัวไป f : R  R, f(x) = cos (nx), n > 0

f : R  R, f(x) = sin (nx), n > 0 คาบคอื 2

คาบคอื 2 n

n แอมพลจิ ูดคือ 1
โดเมนคอื จานวนจรงิ
แอมพลิจูดคือ 1 เรนจค์ อื [-1, 1]
โดเมนคือ จานวนจรงิ
เรนจ์คือ [-1, 1]

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 42

f : R  R, f(x) = a sin (nx), n > 0 f : R  R, f(x) = a cos (nx), n > 0

คาบคอื 2 คาบคอื 2

n n

แอมพลจิ ูดคอื a แอมพลจิ ูดคอื a

โดเมนคือ จานวนจริง โดเมนคอื จานวนจรงิ
เรนจ์คอื [-a, a] , a >0 เรนจค์ อื [-a, a] , a >0

เมือ่ เราทราบคาบและแอมพลจิ ดู ของฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิทกี่ าหนดใหแ้ ล้ว ทาใหส้ ามารถรา่ งกราฟของ
ฟงั กน์ ชนั ดังกลา่ วได้งา่ ยขนึ้ ดังตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่ำงท่ี 5 จงเขยี นกราฟของ y = 3cosx
วธิ ีทำ จะได้ คาบ คอื 2  2

1

และแอมพลิจูดคอื 3  3
เรนจ์ คอื [-3, 3]

ตวั อยำ่ งท่ี 6 จงเขียนกราฟของ y = 2sin2x
วิธที ำ จะได้ คาบ คอื 2  

2

และแอมพลิจดู คือ 2  2

เรนจ์ คอื [-2, 2]

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 43

ตัวอยำ่ งท่ี 7 จงเขียนกราฟของ y = 2 sin (x+  )

2

วิธีทำ จะได้ คาบ คอื 2  2

1

และแอมพลิจดู คือ 2  2

เรนจ์ คือ [-2, 2]

ตัวอย่ำงที่ 8 จงเขยี นกราฟของ y = -2sin(x) + 3
วิธที ำ จะได้ คาบ คอื ..........................................................................................
และแอมพลิจดู คือ ....................................................................................
เรนจ์ คอื ..................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 44

แบบฝกึ หดั ท่ี 4

1. จงหำคำบ แอมพลิจดู และเรนจ์ของฟังกช์ ันต่อไปนี้

1) y  sin x 2) y  2 cosx

2 คาบ คือ
แอมพลจิ ูดคือ
คาบ คือ เรนจ์ คือ
แอมพลจิ ดู คอื
เรนจ์ คอื

3) y  1 sin x 4) y  sin 2x

22 คาบ คอื
แอมพลิจดู คอื
คาบ คือ เรนจ์ คือ
แอมพลจิ ดู คอื
เรนจ์ คอื

5) y  cos(x  ) 6) y  1 cos(x)

2 2

คาบ คอื คาบ คอื
แอมพลิจดู คอื แอมพลิจูดคือ
เรนจ์ คอื เรนจ์ คือ

7) y  4cos3x 8) y   1 sin 4x
คาบ คอื
แอมพลจิ ูดคอื 2
เรนจ์ คอื
คาบ คือ
9) y  sin(x) แอมพลจิ ูดคือ
คาบ คอื เรนจ์ คือ
แอมพลจิ ดู คือ
เรนจ์ คอื 10) y  3cosx 1
คาบ คอื
11) y  1 sin  แอมพลิจดู คอื
เรนจ์ คือ
2
12) y  3sin 
คาบ คอื คาบ คือ
แอมพลจิ ดู คอื แอมพลิจูดคือ
เรนจ์ คือ เรนจ์ คอื

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

13) y  2cos 1  คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 45
2
14) y  sin() 1
คาบ คอื คาบ คอื
แอมพลจิ ูดคือ แอมพลจิ ูดคอื
เรนจ์ คอื เรนจ์ คอื

15) y   1 sin(4) 16. y   1 sin(2)

2 2

คาบ คอื คาบ คอื
แอมพลจิ ดู คอื แอมพลิจูดคอื
เรนจ์ คือ เรนจ์ คอื
17. y   1 sin(2)
18. y  2sin() 1
2
2
คาบ คือ
แอมพลิจดู คอื คาบ คอื
เรนจ์ คอื แอมพลจิ ดู คือ
19. y  2sin(2)  1 เรนจ์ คือ
คาบ คอื
แอมพลิจูดคอื 20. y = 3sin (x -  )
เรนจ์ คือ
2
21. y  3sin(2)  5
คาบ คอื คาบ คอื
แอมพลจิ ดู คือ แอมพลิจดู คือ
เรนจ์ คือ เรนจ์ คือ

23. y  3sin(6  ) 22. y  4 cos(  
คาบ คือ )
แอมพลิจูดคอื 4
เรนจ์ คือ
คาบ คือ
25. y  10cos()
แอมพลจิ ูดคือ
4
เรนจ์ คือ
คาบ คือ
แอมพลิจดู คือ 24. y = 3sin( 2 -  )23. y  3sin(6  )
เรนจ์ คือ
2

คาบ คือ
แอมพลจิ ูดคือ
เรนจ์ คอื

26. y  5sin(  )  2
คาบ คอื
แอมพลจิ ดู คือ
เรนจ์ คือ

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 46

2. ให้ f เป็นฟงั กช์ นั ท่ีกาหนดโดย f (x)  4sin x     6 ถา้ แอมพจิ ดู ของ f คือ a คาบของ f คอื b

2 3

และเรนจข์ อง f คอื [c,d] จงหา 9abd พร้อมทัง้ วาดกราฟของ f

c  cosb

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 47

3. กาหนด f เปน็ ฟงั ก์ชัน นิยามโดย f (x)  2  2 cos(2x  )
1. จงหาคาบของ f
2. จงหาโดเมนของ f
3. จงหาเรนจข์ อง f
4. จงหาแอมพิจดู ของ f
5. จงเขียนกราฟของ f บนช่วง  , 

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 48

4. กาหนดให้ f และ g เปน็ ฟังกช์ นั ซงึ่ กาหนดโดย f (x)  2sin x  เม่ือ x  2,2 และ

2

g(x)  2 cos x  เมื่อ x  2,2

2

1. จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน f และ g บนแกนพิกดั ฉากคเู่ ดยี วกัน
2. จงหาเซตคาตอบของสมการ f(x) = g(x)
3. กาหนดให้ A แทน แอมพลิจดู ของฟังก์ชัน f และ B แทน คาบของฟังกช์ นั g จงหาค่าของ A +
cosB

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 49

5.3 กรำฟของฟังกช์ นั แทนเจนต์
ตัวอย่ำงท่ี 1 กราฟของ y = tan x เขียนไดด้ ังน้ี

โดเมนของฟังก์ชนั y = tan x คอื .....................................................................................................................
เรนจ์ของฟังกช์ นั y = tan x คือ .......................................................................................................................
คาบของฟังกช์ ัน y = tan x คอื ...........................................................................................................................

5.4 กราฟของฟังก์ชันเซแคนต์
ตัวอยำ่ งท่ี 2 กราฟของ y = sec x เขยี นได้ดังนี้

โดเมนของฟังก์ชัน y = sec x คอื .....................................................................................................................
เรนจ์ของฟังก์ชัน y = sec x คือ .......................................................................................................................
คาบของฟงั ก์ชัน y = sec x คือ...........................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ