เอกสารการเรียนเรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.4

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 50

5.5 กราฟของฟงั กช์ ันโคเซแคนต์
ตวั อย่ำงท่ี 3 กราฟของ y = cosec x เขียนไดด้ ังนี้

โดเมนของฟงั กช์ นั y = cosec x คือ ..................................................................................................................
เรนจข์ องฟงั ก์ชนั y = cosec x คอื .....................................................................................................................
คาบของฟงั ก์ชนั y = cosec x คอื ........................................................................................................................

5.6 กราฟของฟงั กช์ ันโคแทนเจนต์
ตวั อยำ่ งท่ี 4 กราฟของ y = cot x เขยี นไดด้ ังนี้

โดเมนของฟังกช์ นั y = cot x คือ ..................................................................................................................
เรนจ์ของฟงั กช์ นั y = cot x คือ .....................................................................................................................
คาบของฟังก์ชัน y = cot x คือ........................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 51

6. ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชัน (เช่น y = sin x) สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ระหว่าง
โดเมนและเรนจ์ตามปกติ (กลายเป็น x = sin y) แต่อินเวอร์สท่ีได้เหล่าน้ีจะไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ
ค่า x แต่ละค่านั้น ให้ค่า y ได้หลายค่าไม่มีท่ีส้ินสุด ดังนั้นหากจะกาหนดอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ให้เป็นฟังก์ชันด้วย ก็จาเป็นต้องจากัดช่วงของเรนจ์ด้วย น่ันหมายถึง ความหมายของ
x = sin y และความหมายของ y = arcsin x ไม่เท่ากัน เน่ืองจากเรนจ์ไม่เท่ากัน

เราเรียกฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติโดยใช้คาว่า arc นาหน้า เช่น arcsin ,arccos และ
arctan เป็นต้น

บทนิยาม
ฟังกช์ นั arcsine คือ เซตของคู่อนั ดบั (x,y) โดยที่ x = sin y และ    y  

22

กราฟของ y = arcsin x

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 52

บทนิยาม
ฟังกช์ นั arccosine คือ เซตของคูอ่ นั ดบั (x,y) โดยที่ x = cos y และ 0  y  

กราฟของ y = arccos x
บทนิยาม

ฟังกช์ นั arctangent คอื เซตของคูอ่ นั ดบั (x,y) โดยที่ x = tan y และ    y  

22

กราฟของ y = arctan x

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 53

โดยฟังก์ชัน arcsine, arccosine และ arctangent มีโดเมนและเรนจ์ดังนี้

ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์
y = arcsin x
y = arccos x x 1 x 1 = [-1,1]   y  =   ,  
y = arctan x x 1 x 1 = [-1,1] y 2  2 2 
 2
y = arccosec x R
y 0  y  = 0,
y = arcsec x (,1]  [1, )
y = arccot x y    y   =    ,  
(,1]  [1, )  2   2 2 
2 
R
  ,0   0, 
2   2 

0,      , 
2   2

0, 

ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาคา่ ของ arcsin1

วธิ ที ำ ให้ arcsin1 =  จะได้ sin  1

หาคา่  เมอ่ื       และ sin  1

22

จะพบว่า ในชว่ ง [  , ] จะมี  เพียงค่าเดยี วท่ี sin   1
22 2 2

ดงั นัน้ arcsin1 = 

2

ตวั อยำ่ งท่ี 2 จงหาคา่ ของ arccos( 1)

2

วิธีทำ ให้ arccos( 1) =  จะได้ cos   1

22

หาคา่  เมือ่ 0     และ cos   1
2

จะพบวา่ ในชว่ ง [0, ] จะมี 2 เพียงค่าเดียวท่ี cos 2   1

3 32

ดงั นน้ั arccos( 1) = 2

23

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 54

ตัวอยำ่ งท่ี 3 จงหาค่าของ sin(arccos( 3 ))

2

วิธีทำ ให้ arccos( 3 ) = 

2

จะได้ cos  3 และ 0    

2

เน่ืองจาก   3
cos
62

ดังนัน้ arccos( 3 )  

26

sin(arccos( 3 )) = 
sin
2
6

=1

2

สูตรอนิ เวอร์ส

sin(arcsinx)  x cosec(arccosecx)  x

cos(arccosx)  x sec(arcsecx)  x

tan(arctan x)  x cot(arc cot x)  x

หมายเหตุ : สูตรเหล่าน้ี จะเป็ นจริงเม่ือ x อยใู่ นโดเมนของฟังกช์ นั arc ในสูตรเท่าน้นั

ตัวอยำ่ งท่ี 4 จงหาค่าของตัวผกผนั ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ต่อไปนี้

1) arccos( 2 ) 2) cos1 (1) 3) arctan(0) 4) tan 1 (1)

2

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 55

ตัวอยำ่ งที่ 5 จงหาคา่ ของ

1) tan[arctan(5)] 2) arcsin(sin5) 3) cos(cos1 )

3

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ตัวอย่ำงท่ี 6 จงหาค่า ของ

1) tan[arccos 2] 2) cos[arcsin( 3)]

3 5

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 56

แบบฝึ กหัดท่ี 5

1. จงหำค่ำของ 2) arccos1
1) arcsin 1
2
2
4) arcsin 3
3) arctan1
2
5) arccos 3
6) arctan 1
2
3
7) arcsin 1
8) arctan 3
2
10) arccos0
9) arcsin0 11) arcsin1
11) arctan(1) 12) arctan0
13) arccos1 14) arccos(1)
15) arcsin(1)
18) arctan( 1 )
17) arctan( 3)
3

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

19) arcsin( 1) คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 57
2
20) arccos( 1)

2

21) cos1  3  22) tan 1  3 
2 3

2. จงหำคำ่ ของ 2) cos(arcsin 5 )
1) sin(arccos4)
13
5
4) cot(arctan1)
3) tan(arc cot 2)
3
5) sin(arctan1)
6) cos(arccot 3)
7) tan(arcsin 2 ) 8) cot(arccos1 )

2 2

9) cosec(arctan 3) 10) sec(arccot 1 )

11) sin(arccos 2 ) 3

2 12) cos(arcsin( 1))

13) tan(arccos(cos )) 3

3 14) cot(arcsin(cos ))

6

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 58

3. จงหำค่ำของ
1) arcsinx = arccosec2
2) arccos x = arcsec 2

3

3) arctan x = arccot 3

4) arcsinx = arccos x

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 59

4. จงหาค่าของ  arctancos arctan 1  arcsin 1  arccos 1  arcsin 8 
2 3 5 3

5. กาหนดให้ A  2 cosarcsin  2    5 sin arccos 4   5 sinarctan 2 จงหา A + 1
2   5

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 60

6. กาหนดให้ A  2 sin   arctan tan 31  
2  3 

B  cot arcsin  1    cot arcsin  2  
 2  2

C  arccos 1   arctan  3   arcsin 3 
 2  3 2

จงหาคา่ ของ AB

cosec  C

7. จงหาค่าของ arccos  1   arcsin sin 4   arctan 3 
 2   3  3

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 61

8. กาหนดให้ A  csc(arcsin1 arctan 3) และ B arc cot tan arccos sin    
 6 

Asec  

จงหาค่าของ  3 

sin B

9. กาหนดให้ x และ y เปน็ จานวนจริง โดยท่ี x  sin arcsin cos 33   3 
 5  5

และ y  cot2 arc csc5 จงหาคา่ ของ y – x
cot2 arccos 1 
13

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 62

10. จงหาค่าของ arccos  1   arcsin sin 4   arctan 3 
 2   3  3

11. กาหนดให้ A  sinarctan 15 และ B  sec arctan  3   จงหาค่าของ 25B 2
 8 5  2

A

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 63

12. กาหนดให้ A  cos arctan  4    cos arcsin cos   และ
 3  6

B  cos arccos 1  arccos 15 
4 4

จงหา A + B

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 64

7. กำรประยกุ ตข์ องฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ

ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

ดา้ นตรงขา้ มมมุ



ดา้ นชิดมมุ

ข้ามมุม , cos  ชิดมุม และ ข้ามมุม
sin  ข้ามุมฉาก ขา้ มมุ ฉาก tan   ชิดมุม

ตัวอยำ่ งที่ 1 เนตรยืนอย่บู นสนามแหง่ หน่งึ มองเห็นยอดเสาธงเปน็ มุมเงย 30 องศา แต่เมอื่ เดินตรงเขา้ ไปหา

เสาธงอกี 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาเปน็ มุมเงย 60 องศา ถา้ เนตรสงู 150 เซนติเมตรจงหา

ความสูงของเสาธง

วธิ ที ำ จาก tan   ขา้ มมมุ
ชดิ มุม

จะได้ tan 30o  h

x  60

1 h
3 x  60

h  x  60 .................(1)

3

จะได้ tan 60o  h

x
3h

x

h  x 3 .....................(2)

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 65

นาสมการที่ (1) เท่ากบั (2) จะได้

x  60  x 3
3

x  60  3x

x  30

แทน x = 30 ใน (2)
จะได้ h  30 3
ดงั น้นั ความสงู ของเสาธงคือ 30 3 1.5 เมตร
ตัวอย่ำงที่ 2 เรือ 2 ลาทอดสมออยู่ห่างกัน 120 เมตร คนขบั เรือแตล่ ะลามองเห็นยอดประภาคารเปน็ มุมเงย
45 องศา และ 30 องศา อยากทราบวา่ เรือลาทใ่ี กล้ประภาคารอยหู่ า่ งจากประภาคารเทา่ ไร

วิธีทำ

จาก tan   ข้ามมุม
ชดิ มุม

จะได้ tan 30o  h

x  120

1 h
3 x  120

h  x  120 .................(1)

3

จะได้ tan 45o  h

x

1 h
x

h  x ...........................(2)
นาสมการท่ี (1) เท่ากบั (2) จะได้

x  120  x
3

x  120  x 3
x  120
3 1

ดังนน้ั เรอื ลาทใ่ี กล้ประภาคารอยู่หา่ งจากประภาคาร 120 เมตร

3 1

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 66

แบบฝึ กหัดที่ 6
1. นา้ ฟ้าอยหู่ ่างจากตึกแห่งหนึง่ 150 เมตร เมอ่ื มองขึน้ ไปบนยอดตกึ เป็นมมุ เงยเทา่ กบั 30 องศา จงหาว่าตึก
น้ีสูงประมาณกเี่ มตร

2. ธนายืนอยู่บนหนา้ ผาแหง่ หน่ึง ซง่ึ สงู จากระดับน้าทะเล 48.30 เมตร เมือ่ เขามองลงไปยังเรอื ลาหน่ึงกลาง
ทะเล โดยมุมทแ่ี นวสายตาทากบั แนวระดับเป็นมุมก้มมขี นาด 60o ถ้าความสงู จากพน้ื ถงึ ตาของธนาเทา่ กบั
1.70 เมตร เรือลานอ้ี ยู่หา่ งจากเชงิ หนา้ ผาก่เี มตร

3. นกั ทอ่ งเทย่ี วคนหนึ่งยนื อยู่บนประภาคาสงั เกตเหน็ เรือสองลาจอดอยใู่ นทะเลทางทิศตะวนั ออกของประภาคา
ในแนวเส้นตรงเดยี วกัน ทามุมกม้ 30o และ 60o กบั แนวระดับ ประภาคาแห่งนอี้ ยสู่ ูงจากรดับนา้ ทะเลประมาณ
เทา่ ใด ถ้าเรอื ท้งั สองลาอยหู่ า่ งกนั 200 เมตร

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 67

4. กล้ายืนมองยอดเสาธงเปน็ มมุ เงย 30o เมอ่ื กล้าเดินเขา้ ใกล้เสาธงไปอกี 10 เมตร เขาจะมองยอดเสาธงเปน็ มุม
เงย 60o จงหาวา่ เสาธงสูงเท่าไร ถ้ากล้าสงู 165 เซนตเิ มตร

5. เรอื สองราทอดสมออยู่ห่างกัน 50 เมตร และอยู่แนวเสน้ ตรงเดียวกบั ประภาคาร ถา้ ผโู้ ดยสารในเรอื แตล่ ะลา
เหน็ ยอดประภาคารเปน็ มุมเงย 45o และ 30o จงหาว่าเรอื ลาทอ่ี ยู่หา่ งจากประภาคารท่สี ุดน้นั อยหู่ ่างจาก
ประภาคารเทา่ ไร

6. กล้วยยืนอยูห่ า่ งจากตกึ หลงั หนง่ึ 16 เมตร เขามองเหน็ ยอดตึกและยอดเสาอากาศซงึ่ อยบู่ นยอดตกึ เปน็ มมุ
เงย 45o และ 60o ตามลาดับ อยากทราบว่าเสาอากาศสูงเท่าไร

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 68

7. ชายคนหนงึ่ ยนื อยูท่ างทศิ ตะวนั ออกของภเู ขาลูกหนงึ่ มองเห็นยอดเขาเปน็ มมุ เงย 45o เมอื่ เขาเดินไปอีกจุด
หนง่ึ ซงึ่ อยทู่ างทิศใตข้ องจุดแรก มองเห็นยอดเขาเปน็ มมุ เงย 30o ถา้ ภูเขาสงู 250 2 เมตร แลว้ ระยะทางจาก
จุดทข่ี ายคนนี้ยนื ในตอนแรกมายังจุดที่สองเปน็ กเี่ มตร

8. เรอื ลาหนง่ึ จอดอยทู่ างทิศเหนอื ของเกาะ และประภาคารอยูท่ างทิศตะวนั ออกของเกาะ มมุ ทกี่ ปั ตันเรือมอง
ระหว่างเกาะกบั ฐานของประภาคารเป็นมมุ 73o เรอื เรม่ิ แล่นออกจากจดุ เรม่ิ ตน้ เวลา 10.00 น.ไปทางทศิ
ตะวันออกด้วย ความเรว็ 14 ไมค์ต่อชั่วโมง ณ เวลา 12.00 น. ปรากฎว่าเรอื อยู่ทางทศิ เหนอื ของประคาร
ระยะทางที่เรืออย่ใู กลป้ ระภาคารที่สุดเท่ากบั กไี่ มคโ์ ดยตอบในรปู ทิศนยิ มหน่งึ ตาแหนง่ (กาหนดให้
Cot73o=0.3)

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 69

9. ชายคนหนงึ่ ยืนอยูบ่ นพนื้ ดนิ ณ จดุ ๆ หน่ึง มองดูยอดตกึ เป็นมุมเงย  เมอ่ื เขาเดินไปใกล้จุดนนั้ ไดร้ ะยะทาง
เปน็ 2 ของระยะทางทีย่ ืนหา่ งจากตึกในตอนแรก เขาจะเหน็ มุมเงยของตึกเปน็  ถ้าความสูงของตึกเทา่ กบั 50

3

เมตร และ cot  cot2  1 ระยะทางเขายืนอย่หู ่างจากตกึ ตอนแรกเปน็ เทา่ ใด

2 cot 

10.กาหนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มโดยมมุ ACB และมุม ABC มขี นาด 70องศา และ 30 องศา ตามลาดับ
ดา้ น BC ยาว 10 หนว่ ย ถา้ D เป็นจดุ บนด้าน AB จงหาระยะหา่ งทีส่ ้ันที่สุดจากจุด D ไปยังจุด C

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 70

11. ธนายนื อยู่บนยอดประภาคารสูง 30 เมตร เห็นเรอื สองลาจอดอย่ใู นทะเลทางทิศตะวันออกในแนวเสน้ ตรง
เดียวกนั โดยทส่ี ายตาของเขาทามมุ กม้  องศา เมอ่ื มองเรือลาทหี่ นง่ึ และทามุมก้ม  องศา เม่อื มองเรือลาท่ี
สองถ้าเรือสองลาอยกู่ นั 80 เมตร และ     90 องศา แล้วเรือลาทอ่ี ยู่ไกลจากฝัง่ ที่สดุ อยู่หา่ งจากจุดท่ีต้ัง
ประภาคารกีเ่ มตร

12. ชายคนหนงึ่ อยู่ระหว่างตกึ A และตึก B ถ้าชายคนน้ีมองยอดตึก A เป็นมุมเงย 30 องศาแลว้ กลับหลงั มอง
ยอดตึก B ดว้ ยมุมเงย 60 องศา ถ้าตึก B สงู กว่าตึก A เท่ากบั 20 3 เมตร และตึกท้ัง 2 หา่ งกนั 100 เมตร
จงหาว่าชายคนนอ้ี ยหู่ า่ งจากตกึ A ก่ีเมตร

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 71

13. เมอื่ วางบนั ไดยาว 6 เมตร พาดกับผนงั บันไดจาทามมุ 30o กบั พ้ืน ถา้ เล่อื นปลายของบันไดให้สูงข้นึ อกี 1
เมตร ปลายลา่ งของบันไดจะเล่อื นจากจุดเดมิ เขา้ หาผนังเปน็ ระยะทางก่ีเมตร

14. นายพรานคนหนึ่งสงั เกตเห็นภเู ขาลกู หนึ่งซึง่ อยู่ทางทิศตะวนั อกเปน็ มมุ เงย 45o ส่วนนายพรานอกี คน
มองเห็นยอดภูเขาลูกเดยี วกนั นีใ้ นทางทิศตะวันตกเปน็ มุมเงย 60o ถ้านายพรานทง้ั สองคนอย่หู ่างกนั 10
กโิ ลเมตร ภูเขาลูกนีส้ ูงก่กี ิโลเมตร

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 72

15. แกว้ และกล้า ยืนอยู่ท่ีปลายคนละด้านของสะพานยาว 200 เมตร ซ่งึ ทอดตวั ในแนวราบข้ามหบุ แหวแหง่
หนง่ึ ถ้าท้งั สองคนกม้ มองจเุ ดียวกัน (จดุ A ) ที่กน้ เหว โดยท่ี แก้วมองมามมุ กม้ 30o และแกว้ มองทามุมกม้ 45o

1. จงหาความลึกของเหว(จุดA)
2. ถ้า B เปน็ จดุ บนสะพานซ่ึงอยู่ใกล้กบั จดุ A ท่ีสุด แก้วและกลา้ เริมเดนิ พรอ้ มกันมายังจุด B โดยที่
แกว้ เดนิ ด้วยความเร็ว 2.5 เมตรต่อวินาที แล้วกล้าเดินดว้ ยความเร็ว 1.5 เมตรตอ่ วินาที จงหาว่าใครจะเดิน
มาถงึ จุด B คนแรก

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 73

8. เอกลกั ษณข์ องฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิใบควำมร้ทู ี่

1. sincosec  1 2. cossec 1
3. tan cot  1 4. sin2   cos2   1
5. sec2   tan 2   1 6. cosec2  cot2   1

7. tan   sin  เม่ือ cos  0 8. cot  cos เม่ือ sin  0

cos sin 

ตัวอยำ่ งท่ี 1. จงพิสจู น์ว่า 2cos2   sin2  1  3cos

cos

วิธที ำ 2 cos2   sin2   1  2 cos2   (1  cos2 )  1
cos cos

= 3cos2 

cos

= 3cos

ตัวอยำ่ งที่ 2 จงพิสูจนว์ ่า cotsin2 1 cos2
วธิ ีทำ cotsin 2  cos  sin 2

sin 

= cos (2sin cos)

sin 

= 2 cos2 
= 1 cos2

ตัวอยำ่ งที่ 3 จงพิสูจนว์ า่ cos  1 sin 

1 sin  cos

วิธที ำ cos  cos  1  sin 

1 sin 1 sin 1 sin

 (cos)(1  sin )
1  sin2 

 (cos)(1  sin )  1  sin 
cos2  cos

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 74

ตัวอยำ่ งท่ี 4 จงแสดงฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ติ อ่ ไปนี้ให้อยใู่ นรปู อย่างงา่ ย
1) sin x cos2 x  sin x
2) sin  cotcos

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
ตัวอยำ่ งที่ 5 จงแยกตัวประกอบของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ติ อ่ ไปนี้

1) sec2  1
2) 4 tan 2   tan   3
3) csc2   cot  3
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 75

แบบฝึ กหัดท่ี 7

1. จงแสดงว่ำ
1) costan   sin

2) cotsec  cosec

3) (1 sin2 )sec2   1

4) (1  cot2 )sin2   1
5) coseccos  cot

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 76

6) 1  cos2   sin 

1 sin

7) sec  sin   2 tan 

cosec cos

8) cos  sin   1

sec cosec

9) sec  secsin2   cos

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรียนที่ 2 77

10) cot  tan   1  tan   cot

1  tan  1  cot

11) cot2   1  sin 

1 csc sin

12) tan x  cot y  tan y  cot x

tan x cot y

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ค30103
ภาคเรียนท่ี 2 78

13) จงแสดงวา่ 2 sec2  tan 2   sec4  tan 2    2 sin2   1   1  tan 8 
sin2  cos2  tan 2


14) จงแสดงว่า 2sin  cos  cos  sin   cos2 1  cot  2 csc2   2

1  sin   sin2   cos2  tan   sin  cos

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ค30103
ภาคเรยี นที่ 2 79

15) จงแสดงวา่ 1  1  2

cscA  cot A cscA  cot A tan A

16) ถ้า cosA  1  a sin A แล้ว a 2  9b2 มีคา่ เทา่ ใด

1  sin A b cosA

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 80

17) กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ท่ที าให้ sin3   sin  cos2   a  b cos จงหาค่าของ 2a +

csc  cot

3b

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 81

9. สมกำรตรโี กณมติ ิ

สมการตรีโกณมิติ คอื สมการที่อยใู่ นรูปฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ เช่น sin x  3 , cos2 x  1  0

22

เปน็ ต้น การแก้สมการตรีโกณมิตคิ ือ การหาจานวนจรงิ x ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการนั่นเอง
ตัวอย่ำงท่ี 1 จงแก้สมการ 2sin2   3cos  3  0 เม่ือ 0o    360o

วธิ ที ำ 2sin2   3cos  3  0

2(1  cos2 )  3cos  3  0

2  2 cos2   3cos  3  0 นา -1 คูณตลอด
2 cos2   3cos  1  0

(2 cos  1)(cos  1)  0

ดังนนั้ จะได้ 2cos 1 0 และ cos 1 0

cos  1 และ cos 1

2

ดงั น้นั   60o ,300o ,360o

ตวั อย่ำงที่ 2 จงแก้สมการ 2cos2   cos  0 เมื่อ 0o    270o
วิธีทำ 2 cos2   cos  0

cos(2 cos2  1)  0

ดังนน้ั จะได้ 2cos 1 0 และ cos  0

cos   1 และ cos  0

2

ดงั นั้น   120o ,240o ,90o

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงแกส้ มการ sec  2 tan   0 เมอื่ 0o    360o
วธิ ีทำ sec  2 tan   0

sec  2 tan 
1  2 sin 

cos cos

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 82

sin   1
2

ดงั นน้ั   30o ,150o

ตวั อยำ่ งท่ี 4 จงแกส้ มการ cot  2sin  cosec เมอ่ื 0o    360o
วธิ ีทำ cot  2sin  cosec

cos  2sin   1 นาsin คูณตลอด
sin  sin 
(sin ) cos  2(sin )(sin)  (sin ) 1
sin  sin 

cos  2 sin2   1
cos  2(1 cos2 )  1

cos  2  2 cos2   1

2 cos2   cos 1  0

(2 cos  1)(cos  1)  0

ดงั นัน้ จะได้ 2cos 1 0 และ cos 1 0

cos   1 และ cos 1

2

ดงั น้นั   120o ,240o ,0o

ตัวอย่ำงท่ี 5 จงแก้สมการ 2cos3 1  0
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ตัวอย่ำงที่ 6 จงแกส้ มการ 3tan   3  0

2

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค30103
ภาคเรยี นท่ี 2 83

..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

แบบฝึ กหัดท่ี 8
1. กำหนด 0o  x  360o จงหำคำ่ x จำกสมกำร
1) sin x  1

2

2) cosx  3

2

3) cosecx   2

4) 5cosx  1  2sin2 x
5) 2sin x sec2 x  sec2 x  4sin x  2  0

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ

6) tan 2 x  sec2 x  3 คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม ค30103
7) sec2 x  2 tan x  4 ภาคเรยี นท่ี 2 84
8) 4cosecx  4sin x  2 2 cotx
9) 2sin2 x  sin x 1  0 จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ
10) cosx 1  sinx

11) 2sec2 x  tan 2 x  3  0 คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ค30103
12) cosx  sin x tan x  2 ภาคเรียนท่ี 2 85
13) cscx  cotx 1
14) tan 2 x  6 tan x  5  0 จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ
15) sec2 x  2secx  8  0

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค30103
ภาคเรียนที่ 2 86

16. กาหนดให้ 3  x  2 และ cot2 x  csc2 x  5 จงหาค่าของ 2 tan 2 x  secx

23

17. ถ้า     3 และ csc2   2 cot2   10 แลว้ จงหาค่าของ 2sin   2 3 cos

2

18. กาหนดให้ x เป็นจานวนจรงิ และ sec x – tan x = 5 จงหาคา่ ของ sec x + tan2 x

จัดทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ