เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา คณิตศาสตร์(ค22101) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2565 บทที่1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทที่ 2 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก บทที่ 4 การแปลงทางเรขาคณิต บทที่ 5 สมบัติของเลขยกกำลัง นายพงศกร อยู่คง ครูผู้สอน ชื่อ............................................ นามสกุล..................................... ชื่อเล่น................... ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2/........... เลขที่................... โรงเรียนมัธยมปุรณาวาส สำนักงานเขตทวีวัฒนา กรุงเทพมหานคร M A T T H A Y O M P U R A N A W A S S C H O O L
เอกสารประกอบการเรียน ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ❖ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก ตัวอย่างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ❖ เลขยกกำลัง เลขยกกำลังเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนจำนวนที่เกิดจากการคูณตัวเองซ้ำกันหลาย ๆ ตัว เช่น 5 2 = 5 × 5 0.82 = 0.8 × 0.8 a 2 = a × a ❖ แบบทดสอบความรู้พื้นฐานก่อนเรียน นักเรียนสามารถเข้าทำแบบทดสอบความรู้พื้นฐานก่อนเรียนได้ที่ http://ipst.me/9050 บทที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (PYTHAGORAS’ THEOREM) 1.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและการนำไปใช้ 1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. นำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใช้ในการแก้ปัญหา 2. นำบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใช้ในการแก้ปัญหา ทบทวนความรู้ก่อนเรียน ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.2/5 เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง
เอกสารประกอบการเรียน ~ 2 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นักเรียนเคยสังเกตหรือไม่ว่า ในชีวิตประจำวันของเรานั้นใช้ความรู้เกี่ยวกับสมบัติของรูปเรขาคณิตในการสร้างสิ่งปลูก สร้างมากมายเช่น การใช้รูปสามเหลี่ยมเป็นส่วนประกอบของโครงสร้างบ้านหรืออาคาร การใช้มุมฉากในการสร้างโครงสร้างให้ตั้ง ฉากกับคานเพื่อเพิ่มความแข็งแรงและรับน้ำหนักได้มากขึ้น การใช้ไม้หรือเหล็กที่ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อใช้ยึดชั้น วางของกับผนัง เป็นต้น ต่อไปนี้นักเรียนจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี AB̂C เป็นมุมฉาก เรียก AB̅ ว่า ........................................................................................................................................................ เรียก AC̅และ BC̅ ว่า ................................................................................................................................... ข้อสังเกต .............................................................................................................................................................. อุปกรณ์ ❖ ไม้บรรทัด ขั้นตอนการทำกิจกรรม รูปสามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้มี a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความ ยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้นักเรียนวัดความยาวของด้านที่ยังไม่ทราบค่าต่อไปนี้แล้วเติมค่าลงในตารางให้สมบูรณ์จากนั้น ลองสังเกตความสัมพันธ์ของความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละรูป รูปที่ 1 3 ซม. 4 ซม. c รูปที่ 2 2 ซม. 1.6 ซม. a รูปที่ 4 3.2 ซม. 4 ซม. b รูปที่ 3 6 ซม. 2.5 ซม. c A C B กิจกรรม : ด้านไหนยาวเท่าไร
เอกสารประกอบการเรียน ~ 3 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง รูปที่ a b c a 2 b 2 c 2 a 2 + b 2 1 3 4 2 1.6 2 3 2.5 6 4 3.2 4 จากกิจกรรมข้างต้น เมื่อกำหนดให้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี AB̂C เป็นมุมฉาก ดังรูป โดยที่ c แทน .......................................................................................................................................... a และ b แทน ........................................................................................................................ เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า ....................................................................................................... ซึ่งจากความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากข้างต้น เป็นไปตามสมบัติของรูป สามเหลี่ยมมุมฉากที่กล่าวว่า สมบัติข้างต้นนี้เรียกว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (PYTHAGORAS’ THEOREM) เชื่อกันว่านักปราชญ์และนักคณิตศาสตร์ ชาวกรีกชื่อ พีทาโกรัส เป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวจนเป็นที่ยอมรับเป็นคนแรก เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังกล่าว หาความยาวของด้านใด ด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ต้องการทราบได้เสมอเมื่อทราบความยาวของด้านอีก 2 ด้าน ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่กำหนดให้ จงหาค่า c วิธีทำ ตัวอย่างที่ 2 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก XYZ ที่กำหนดให้ จงหาค่า z วิธีทำ เกร็ดความรู้: โดยทั่วไปเรานิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กแทนความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม โดย กำหนดให้สอดคล้องกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ที่แทนจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้น เช่น b แทนความยาวของด้านตรง ข้ามจุดยอด B A C B a b c A C 5 B 12 c X Y Z 0.7 z 2.5
เอกสารประกอบการเรียน ~ 4 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง c 2 = 1024 = = จาก c 2 = 1024 และ c 2 = ……… ดังนั้น c = ………. a 2 = 57.76 = = จาก a 2 = 57.76 และ a 2 = ……… ดังนั้น a = ………. P N O Q R M 1 13 5 2 2 ตัวอย่างที่ 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก KFC ที่กำหนดให้ จงหาค่า k วิธีทำ ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก UFO ที่กำหนดให้ วิธีทำ ตัวอย่างที่ 5 จากรูปที่กำหนดให้ จงหาระยะ PN วิธีทำ การสุ่มเลขยกกำลังเป็นเทคนิคเล็ก ๆ ที่จะช่วยทำให้นักเรียนสามารถหาจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนที่นักเรียน ต้องการได้เร็วยิ่งขึ้นโดยอาศัยการสุ่มอย่างมีหลักการ ซึ่งตั้งอยู่บนพื้นฐานการคิดเลขยกกำลังอย่างง่าย ดังตารางต่อไปนี้ หลักสิบ 10 2 202 30 2 40 2 50 2 60 2 70 2 80 2 90 2 100 2 หลักหน่วย 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 ตัวอย่างเช่น K C F k 3.9 3.6 U F O 1.3 8.4 f คณิตคิดเร็ว : การสุ่มเลขยกกำลัง
เอกสารประกอบการเรียน ~ 5 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2) ดังนั้น เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ............................................ ดังนั้น เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ............................................ 3) 4) ดังนั้น เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ............................................ ดังนั้น เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ............................................ 2. จำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงหา ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 1) 9 และ 12 2) 20 และ 21 3) 3 และ 1.25 4) 0.8 และ 1.5 5) และ 7 6) 2.4 และ แบบฝึกหัด 1.1 x y z f g h s t r r q p
เอกสารประกอบการเรียน ~ 6 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ต่อไปนี้จงหาความยาวของด้านที่เหลือและหาความยาวรอบรูป 1) วิธีทำ 2) วิธีทำ 4. จากรูปที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้จงหาระยะ MN 1) วิธีทำ 2) วิธีทำ 3) วิธีทำ ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 7 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง เราทราบมาแล้วว่า สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้าน ตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้มีการค้นพบมาแล้วร่วม 4,000 ปี ตั้งแต่ยุคสมัยแห่งอารยธรรมของอียิปต์และบาบิโลเนีย โดยเชื่อว่าผู้คนในอดีตใช้ ความสัมพันธ์นี้มาช่วยในการออกแบบและสร้างพีระมิด และสิ่งก่อสร้างอื่น ๆ นอกจากนี้ โลกฝั่ง ตะวันออกก็ได้มีการพบชุดของจำนวนที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ดังกล่าวในหลายอารยธรรม เช่น ชาวจีนมีการพบชุดของจำนวน 3, 4 และ 5 โดยบันทึกลงในหนังสือโจวปี้ซ่วนจิง (Zhoubi Suanjing) ซึ่งถือเป็นตำราคณิตศาสตร์ ที่เก่าแก่ที่สุดเล่มหนึ่งของจีน พวกเขารู้จักความสัมพันธ์นี้ในนาม ทฤษฎีบทโกว (Gougu theorem) และชาวอินเดียเองก็ได้ ค้นพบชุดของจำนวนดังกล่าว ซึ่งมีหลักฐานปรากฎอยู่ในตำรา Baudhayana Sulba-sutra อย่างไรก็ตาม พีทาโกรัสแห่งซามอส (Pythagoras of Samos, ประมาณ 580-496 ปี ก่อนคริสต์ศักราช นักปราชญ์และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ได้พิสูจน์ ความสัมพันธ์ดังกล่าวจนเป็นที่ยอมรับเป็นคนแรก ความสัมพันธ์นี้จึงได้รับการขนานนามว่า "ทฤษฎีบทพีทโกรัส" แต่คนในสมัย นั้นสังเกตเห็นความสัมพันธ์นี้ในลักษณะที่เป็นความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่บนด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ให้ ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี AB̂C เป็นมุมฉาก มี AB = 5 หน่วย BC = 3 หน่วย และ AC = 4 หน่วย สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABDE รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACHI บนด้าน AB ด้าน BC และด้าน AC ตามลำดับ ดังรูป จะได้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABDE เท่ากับ ……………………… ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG เท่ากับ ……………………… ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACHI เท่ากับ ……………………… ตารางหน่วย ซึ่ง …………………………………… ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABDE ................... ผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัส BCFG และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACHI มุมคณิต : ความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
เอกสารประกอบการเรียน ~ 8 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.2 ทฤษฎีบทพี่ทาโกรัสและการนำไปใช้ ตัวอย่างที่ 1 โครงหลังคาหน้าจั่วมีส่วนประกอบต่าง ๆ ดังภาพ จากภาพ CA และ CB เป็นความยาวของจันทัน AD และ BF เป็นความยาวของชายคา DF เป็นความยาวของขื่อ CE เป็นความยาวของดั้ง (ส่วนที่เป็นดั้งจะแบ่งครึ่งและตั้ง ฉากกับขื่อ) ∆CDF เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งส่วนของโครงหลังคาเรียกว่า หน้าจั่ว ถ้าจันทันของโครงหลังคาบ้านหลังหนึ่งยาว 4.6 เมตร ดั้งยาว 1.6 เมตร และขื่อยาว 6 เมตร ชายคาจะมี ความยาวเท่าใด วิธีทำ ตัวอย่างที่ 2 ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มี AB = 12 ซม. BC = 9 ซม. และ AF = 8 ซม. ดังรูปจงหาความยาวของ AH̅ วิธีทำ ตัวอย่างที่ 3 ลูกเสือกองหนึ่งออกเดินทางไกลจากโรงเรียนไปยังค่ายพักแรมแห่งหนึ่ง ซึ่งต้องเริ่มเดินทางจากโรงเรียนไปทาง ทิศตะวันออก 7 กิโลเมตร แล้วเลี้ยวซ้ายตรงไปทางทิศเหนือ 3.5 กิโลเมตร จากนั้นเลี้ยวขวาตรงไปทางทิศ ตะวันออกอีก 5 กิโลเมตร จึงจะถึงค่ายพักแรม อยากทราบว่าค่ายพักแรมนี้อยู่ห่างจากโรงเรียนกี่กิโลเมตร วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 9 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว 7 cm. และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 25 cm. วิธีทำ 2. กำหนดให้ ∆PQR เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ RS̅ ตั้งฉากกับ PQ̅ ที่จุด S ดังรูป ถ้า RP = 15 หน่วย และ QR = 8 หน่วย จงหา 1) พื้นที่ของ ∆PQR 2) ความยาวของ PQ̅ 3) ความยาวของ RS̅ วิธีทำ 3. ร้านขายน้ำปั่นที่หนึ่ง ต้องการซื้อหลอดมาใช้กับแก้วใส่น้ำปั่นซึ่งมีลักษณะเป็นทรงกระบอก เจ้าของร้านจึงวัดขนาดแก้ว พบว่า แก้วสูง 6 นิ้ว และมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 2.5 นิ้ว อยากทราบว่าเจ้าของร้านจะต้องซื้อหลอดที่มีความยาวไม่น้อย กว่ากี่นิ้ว เพื่อให้หลอดไม่มีโอกาสที่จะอยู่ต่ำกว่าขอบแก้ว วิธีทำ แบบฝึกหัด 1.2
เอกสารประกอบการเรียน ~ 10 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. บ้านของมาวิน โรงเรียน และร้านอาหารของคุณแม่ อยู่ในตำแหน่งที่เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดย ร้านอาหารอยู่ห่างจากบ้านของมาวิน 1.5 กิโลเมตร และอยู่ห่างจากโรงเรียน 2 กิโลเมตร ดังรูป ตอนเข้ามาวินขี่จักรยาน จากบ้านตรงไปที่โรงเรียนโดยไม่ผ่านร้านอาหาร แต่ทุก ๆ วันหลังเลิกเรียน มาวินต้องไปช่วยคุณแม่เก็บของ และทำความ สะอาดร้านอาหารก่อนที่จะกลับบ้าน อยากทราบว่า ในแต่ละวันมาวินจะขี่จักรยานเป็นระยะทางอย่างน้อยกี่กิโลเมตร วิธีทำ 5. บ้านของภาวีมีสระบัว ซึ่งลึก 0.80 เมตร คุณพ่อของเธอได้ซื้อโคมไฟลอยน้ำเพื่อมาประดับสระบัวเพิ่มเติม โดยโคมไฟลอย น้ำที่ซื้อมานี้มีเชือกสำหรับรั้งโคมไฟไม่ให้ลอยไปไกล ซึ่งเชือกนี้จะยึดไว้กับพื้นสระบัว ถ้าเชือกสำหรับรั้งโคมไฟนี้ยาว 1 เมตร จงหาว่าโคมไฟลอยน้ำนี้จะลอยห่างจากจุดบนผิวน้ำที่ตรงกับจุดยึดเชือกที่ก้นสระได้ไม่เกินกี่เมตร วิธีทำ 6. เราใช้ความยาวของเส้นทแยงมุมของหน้าจอเครื่องรับโทรทัศน์ เพื่อบอกขนาดของเครื่องรับโทรทัศน์ เล็กซื้อเครื่องรับ โทรทัศน์แบบไร้ขอบ ขนาดหน้าจอ 42 นิ้ว สูง 20 นิ้ว และมีฐานตั้งเครื่องรับโทรทัศน์สูง 5 นิ้ว มาให้คุณแม่เครื่องหนึ่ง ถ้าที่บ้านของคุณแม่มีชั้นวางของที่มีลักษณะเป็นช่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 35 นิ้ว และสูง 30 นิ้ว อยากทราบว่า เครื่องรับโทรทัศน์เครื่องนี้จะวางที่ชั้นวางของนี้ได้หรือไม่ เพราะเหตุใด วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 11 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 7. ในการขึ้น - ลงจากเครื่องบิน ถ้าเครื่องบินไม่ได้เข้ามาเทียบท่าที่สะพานเทียบเครื่องบินก็จะมีบันไดเทียบเครื่องบินสำหรับ ให้ผู้โดยสารขึ้น - ลงจากเครื่องบิน ซึ่งบันไดเทียบเครื่องบินจะมีทางเดินก่อนลงบันได ถ้าบันไดเทียบเครื่องบินอันหนึ่งมีทางเดินก่อนลงบันไดขั้นแรกยาว 1.20 เมตร ความ ยาวของบันไดเป็น 6 เมตร และบันไดขั้นสุดท้ายอยู่สูงจากพื้น 0.25 เมตร เมื่อเทียบ บันไดกับเครื่องบินแล้ว เชิงบันไดจะอยู่ห่างจากแนวประตูเครื่องบิน 6 เมตร ดังรูป อยากทราบว่าทางเดินก่อนลงบันไดนี้จะอยู่สูงจากพื้นกี่เมตร วิธีทำ 8. บันไดยาว 6.5 เมตร วางพิงผนังตึก ให้เชิงบันไดห่างจากผนัง 2.5 เมตร อยากทราบว่า 1) ปลายบนของบันไดอยู่สูงจากพื้นกี่เมตร 2) ถ้าต้องการพิงบันไดให้ปลายบนของบันไดอยู่สูงจากพื้นน้อยกว่า 6 เมตร ควรจะวางเชิงบันไดห่างจากผนัง ตึกมากกว่าหรือน้อยกว่า 2.5 เมตร เพราะเหตุใด วิธีทำ 9. เสาธงต้นหนึ่ง ตั้งตรงอยู่ด้วยเสาข้างสองต้นซึ่งมีสลักยึดติดอยู่ 2 ตัว โดยสลักตัวบนอยู่สูงจากพื้นดิน 5 ฟุต นายสะอาด ต้องการทาสีเสาธง จึงถอดสลักตัวล่างแล้วหมุนเสาธงลงมาจนกระทั่งยอดเสาธงแตะพื้น และทำให้ยอดเสาธงห่างจากแนว โคนเสาข้าง 12 ฟุต ดังรูป อยากทราบว่าเสาธงต้นนี้เมื่อตั้งตรง ยอดเสาธงจะอยู่ห่างจากพื้นดินกี่ฟุต วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 12 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 10. โรงเรียนแห่งหนึ่งตั้งอยู่ติดริมน้ำ ทุก ๆ ปีโรงเรียนแห่งนี้จะจัดงานลอยกระทง เพื่อให้ชาวบ้านในชุมชนรอบโรงเรียนได้มา ร่วมงาน ในปีนี้ คณะกรรมการจัดงานต้องการประดับธงราวระหว่างหลังคาของอาคารเรียนสองหลัง ซึ่งอาคารเรียนหลัง แรกสูง 15 เมตร อาคารเรียนหลังที่สองสูง 10 เมตร และอาคารเรียนทั้งสองหลังห่างกัน 12 เมตร อยากทราบว่า 1) ถ้าต้องการผูกธงราวให้เป็นสายโยงระหว่างอาคารเรียนสองหลัง ดังรูป จะต้องใช้ธงราวที่ยาวอย่างน้อยกี่เมตร วิธีทำ 2) ถ้ามีธงราวยาว 33 เมตร อยู่สายหนึ่ง และต้องการผูกธงราวจากมุมของอาคารเรียนหลังหนึ่งไปยังอีกมุมหนึ่ง ของอาคารเรียนอีกหลังหนึ่ง ดังรูป จะสามารถทำได้หรือไม่ เมื่อทราบว่าอาคารเรียนแต่ละหลังยาว 32 เมตร ถ้าทำได้ จะเหลือธงราวกี่เมตร และถ้าทำไม่ได้ คณะกรรมการจัดงานจะต้องหาธงราวเพิ่มอีกอย่างน้อยกี่เมตร วิธีทำ 11. จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ที่มี BD̅ ตั้งฉากกับ AC̅ และแบ่ง AC̅ ออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูก ข้อใดผิด (1) (2) (3) วิธีทำ ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 13 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในสมัยอียิปต์โบราณชาวบ้านที่อาศัยอยู่ริมฝั่งแม่น้ำไนล์ มักประสบปัญหาน้ำท่วมที่ดิน ซึ่งเมื่อน้ำลดจะไม่สามารถชี้แนว เขตที่ดินเดิมของตนได้จึงต้องมีการรังวัดที่ดินใหม่อยู่เสมอ ในสมัยนั้นเมื่อต้องการรังวัดที่ดินให้เป็นมุมฉาก ชาวบ้านจะใช้เชือกที่ แบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กันโดยใช้ปม 11 ปม นำมาขึงให้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3, 4 และ 5 หน่วย ก็จะได้รูป สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 5 หน่วย อุปกรณ์ ❖ โพรแทรกเตอร์ ❖ ไม้บรรทัด ❖ วงเวียน ขั้นตอนการทำกิจกรรม 1. จากความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ ให้เลือกมาอย่างน้อย 2 ชุด แล้วสร้าง ∆ABC โดยใช้ไม้บรรทัดและ วงเวียน ให้มีความยาวของด้านเป็นไปตามชุดของความยาวของด้านที่เลือก และให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้าม มุม A, B และ C ของ ∆ABC ตามลำดับ ชุดที่ 1 a = 12 เซนติเมตร 6 = 9 เซนติเมตร c = 15 เซนติเมตร ชุดที่ 2 a = 12 เซนติเมตร 6 = 6 เซนติเมตร c = 13 เซนติเมตร ชุดที่ 3 a = 4 เซนติเมตร b = 7.5 เซนติเมตร c = 8.5 เซนติเมตร ชุดที่ 4 a = 12 เซนติเมตร b = 12 เซนติเมตร c = 18 เซนติเมตร ชุดที่ 5 a = 16.5 เซนติเมตร b = 7.5 เซนติเมตร c = 18 เซนติเมตร ชุดที่ 6 a = 3.5 เซนติเมตร b = 12 เซนติเมตร c = 12.5 เซนติเมตร 2. ใช้โพรแทรกเตอร์วัดขนาดของมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยม ∆ABC ที่นักเรียนสร้างขึ้นนี้ จากนั้นให้นักเรียนเติมขนาดของมุมที่วัดได้ลงในตาราง พร้อมทั้งเติมข้อมูลต่าง ๆ ที่หาได้ลงในตารางด้วย 3. แลกเปลี่ยนผลที่ได้จากการสร้างและการวัดกับเพื่อน แล้วเติมตารางให้สมบูรณ์ กิจกรรม : สำรวจรูปสามเหลี่ยม
เอกสารประกอบการเรียน ~ 14 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ชุดที่ a b c a 2 + b 2 c 2 a 2 + b 2 = c 2 หรือไม่ ขนาดของ AĈB (องศา) ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มุมฉากหรือไม่ เท่า ไม่เท่า เป็น ไม่เป็น 1 12 9 15 2 12 6 13 3 4 7.5 8.5 4 12 12 18 5 16.5 7.5 18 6 3.5 12 12.5 คำถามท้ายกิจกรรม 1. นักเรียนคิดว่า รูปสามเหลี่ยมทุกรูปที่มีความสัมพันธ์ของความยาวของด้านเป็น c 2 = a 2 + b 2 เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ตอบ ................................................... 2. รูปสามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์ของความยาวของด้านเป็น c 2 = a 2 + b 2 มีด้านใดยาวที่สุด ตอบ ................................................... 3. นักเรียนคิดว่า รูปสามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์ของความยาวของด้านเป็น c 2 = a 2 + b 2 มุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวที่สุดจะ เป็นมุมฉากเสมอหรือไม่ ตอบ ................................................... จากกิจกรรมข้างต้นสามารถสร้างข้อความคาดการณ์ได้ว่าถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ที่ยาว a b และ c หน่วย ตามลำดับ และ c 2 = a 2 + b 2 จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีด้านที่ยาว c หน่วย เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริงตาม บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (converse of Pythagoras’ theorem) ที่ว่า จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะทำให้เราได้ข้อสรุปว่า สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านที่ยาวที่สุด ไม่เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านสองด้านที่เหลือ แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก “สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวก ของกำลังสองขของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก”
เอกสารประกอบการเรียน ~ 15 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง โดยบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นการนำผลของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาเป็นเหตุและนำเหตุมาเป็นผล ซึ่งอธิบายได้ ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 ∆ABC มีความยาว 21 เซนติเมตร 72 เซนติเมตร และ 75 เซนติเมตร ดังรูป อยากทราบว่า ∆ABC เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ วิธีทำ ตัวอย่างที่ 2 กำหนดรูปสามเหลี่ยม MNO ดังรูป จงแสดงว่า ∆MNO เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก วิธีทำ ตัวอย่างที่ 3 กำหนดรูปสามเหลี่ยม FGH ดังรูป HK̅ ตั้งฉากกับ FG̅ , HK = 8 หน่วย HF = 17 หน่วย และ KG = 6 หน่วย อยากทราบว่า รูปสามเหลี่ยม FGH เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 16 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. ถ้าต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมจากความยาวของด้านที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้จงหาว่ารูปสามเหลี่ยมที่สร้างได้นี้เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ 1) a = 11 หน่วย b = 60 หน่วย c = 61 หน่วย 2) d = 20 หน่วย e = 10 หน่วย f = 12 หน่วย 3) p = 0.6 หน่วย q = 1.2 หน่วย r = 1.4 หน่วย 4) x = 0.5 หน่วย y = 1.3 หน่วย z = 1.2 หน่วย 2. จงแสดงว่า ∆ABC ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 1) วิธีทำ 2) วิธีทำ 3) รูปสามเหลี่ยม ABC มี BD̅ ตั้งฉากกับ AC̅และ AD = 16 ซม. DC = 9 ซม. BD = 12 ซม. วิธีทำ แบบฝึกหัด 1.3
เอกสารประกอบการเรียน ~ 17 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. ชายคนหนึ่งต้องการตรวจสอบว่าผนังบ้านตั้งฉากกับพื้นดินหรือไม่เขาจึงทำเครื่องหมายที่ผนังบ้านสูงจากพื้นขึ้นไป 8 ฟุต แล้วใช้ปลายข้างหนึ่งของเชือกผูกที่จุดซึ่งทำเครื่องหมายไว้นั้นปลายเชือกอีกข้างหนึ่งผูกไว้ที่หลักซึ่งปักอยู่บนพื้นดินดังรูป ถ้าความ ยาวของเชือกหลังจากถูกแล้วเป็น 10 ฟุต ระยะระหว่างหลักกับผนังบ้านควรเป็นเท่าไรจึงจะบอกได้ว่าผนังบ้านตั้งฉากกับพื้นดิน วิธีทำ 4. พีรณัฐต้องการจ้างช่างทำโต๊ะวางของสำหรับวางเข้ามุมห้องซึ่งเป็นมุมฉาก แต่คุณแม่บอกว่ามีโต๊ะรูปสามเหลี่ยมอยู่แล้วโดยโต๊ะ ดังกล่าวมีความยาวแต่ละด้านเป็น 60 เซนติเมตร 150 เซนติเมตร และ 140 เซนติเมตร อยากทราบว่าโต๊ะตัวนี้จะวางเข้ามุมห้องได้ พอดีหรือไม่ เพราะเหตุใด วิธีทำ 5. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่งมีด้านยาว 7 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร โดยมีเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาว 15 เซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากเส้นทแยงมุมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าไม่เป็น แล้วเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยม ด้านขนานรูปนี้จะยาวหรือสั้นกว่า 15 เซนติเมตร วิธีทำ ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 18 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ❖ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสอง ของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เมื่อ c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้าน จะได้ c 2 = a 2 + b 2 สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของพื้นที่ ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ❖ บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่งเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความ ยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เลขชุดพีทาโกรัส เป็นชุดตัวเลขของความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่สัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยให้ เข้าใจตรงกันว่าด้านที่ยาวที่สุด คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และด้านที่เหลืออีกสองด้านจะถือเป็นด้านประกอบมุมฉาก ตัวอย่างเช่น 1 1 7 24 25 11 60 61 15 20 25 1 2 8 15 17 12 16 20 16 30 34 3 4 5 9 12 15 12 35 37 16 63 65 5 12 13 9 40 41 13 84 85 18 24 30 6 8 10 10 24 26 14 48 50 20 21 29 รายการ สบายมาก ขอทบทวนอีกนิด 1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและการนำไปใช้ 3. บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สรุปท้ายบท ตรวจสอบความเข้าใจ มุมคณิต : เลขชุดพีทาโกรัส
เอกสารประกอบการเรียน ~ 19 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง น้องต้าพลัดหลงกับคุณแม่ในสวนสนุกแห่งหนึ่ง คุณแม่จึงแจ้งให้ฝ่ายประชาสัมพันธ์ของสวนสนุกประกาศตามหา โดยหากใครพบเห็นน้องต้าให้ช่วยพาน้องต้ากลับมาหาคุณแม่ที่วงเวียนน้ำพุของสวนสนุก ถ้านักเรียนมีแผนผังเส้นทางของสวนสนุก ซึ่งระบุมาตราส่วนกำกับไว้ด้วย ดังภาพ และถ้านักเรียนเป็นผู้พบน้องต้าที่จุด A แต่นักเรียนไม่มีไม้บรรทัดที่จะใช้วัด นักเรียนจะพาน้องต้าไปพบคุณแม่ด้วยเส้นทางใดจึงจะใกล้ที่สุดและมีระยะทางประมาณกี่ กิโลเมตร กิจกรรม : น้องต้าพลัดหลง
เอกสารประกอบการเรียน ~ 20 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหาค่า x จากภาพในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) วิธีทำ 2) วิธีทำ 3) วิธีทำ 4) วิธีทำ 2. ∆ABC มี AB = 63 เซนติเมตร AC = 60 เซนติเมตร และ BC = 87 เซนติเมตร ดังรูป จงหาความยาวของส่วนสูง AD (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง) วิธีทำ แบบฝึกหัดท้ายบท
เอกสารประกอบการเรียน ~ 21 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จากรูป กำหนดให้ AB = 21 นิ้ว BC = 28 นิ้ว CD = 7.2 นิ้ว DE = 9.6 นิ้ว และ AE = 37 นิ้ว จงหาว่า ∆ACE เป็นรูป สามเหลี่ยมชนิดใด และมีพื้นที่เท่าไร วิธีทำ 4. จากกราฟของคู่อันดับที่กำหนดให้ จงหา 1) จุด A ห่างจาก จุด B กี่หน่วย 2) จุด K ห่างจากจุด L กี่หน่วย 3) จุด R ห่างจากจุด S กี่หน่วย วิธีทำ 5. ขณะที่เฟิร์สกำลังกางเต็นท์สามเหลี่ยมหลังหนึ่งซึ่งมีขนาดกว้าง 1.8 เมตร ยาว 2 เมตร และสูง 1.2 เมตร เขาพบว่ามีเชือกแต่ ละเส้นยาว 2.5 เมตร ซึ่งใช้สำหรับรั้งยอดเต็นท์กับสมอบก โดยต้องใช้เชือกอย่างน้อย 50 เซนติเมตร เพื่อพันกับสมอบก จงหาว่า เมื่อเฟิร์สตอกสมอบก ดังรูป สมอบกจะอยู่ห่างจากเต็นท์ได้มากที่สุดกี่เมตร วิธีทำ ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 22 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4a 12 a 16 คำชี้แจง : ให้นักเรียนทำเครื่องหมาย ทับคำตอบที่ถูกต้อง 1. จากรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าไร 4. ข้อใดมีความสัมพันธ์ของความยาวของด้านเป็น a 2 = b 2 + c 2 ก. ก. m 2 + n 2 ข. ข. p 2 - m 2 + n 2 ค. √m 2+ n 2 ง. √p 2 - m 2 + n 2 2. จากรูป ข้อใดคือความยาวของ f ค. ง. ก. √e 2+ f 2 ข. √d 2 - f 2 ค. √d 2+ e 2 ง. √d 2 - e 2 5. จากรูป จงหาพื้นที่ของส่วนที่แรเงา 3. ให้ x, y และ z แทนความยาวของด้านทั้งสามของรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีความสัมพันธ์ของความยาว ด้านเป็น 2 2 y z x = − แล้วความยาวด้านใดเป็น ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ก. x ก. 20 ตารางหน่วย ข. y ข. 40 ตารางหน่วย ค. z ค. 100 ตารางหน่วย ง. เป็นได้ทั้ง x, y และ z ง. 160 ตารางหน่วย m p n e d f ตะลุยโจทย์ทบทวนความรู้เรื่อง : ทฤษฎีบทพีทาโกรัส b c a b c a b a c c b a
เอกสารประกอบการเรียน ~ 23 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 6. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีด้านประกอบมุมฉาก ยาว 36 และ 48 เซนติเมตร ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาว กี่เซนติเมตร 10. เสาสองต้นสูง 11 ฟุต และ 20 ฟุต ปักห่างกัน 12 ฟุต ถ้าหาไม้มาวางพาดยอดเสาทั้งสองต้น จะต้องใช้ไม้ยาว เท่าไรจึงจะวางไม้พาดได้พอดี ก. 58 เซนติเมตร ก. 12 เมตร ข. 59 เซนติเมตร ข. 13 เมตร ค. 60 เซนติเมตร ค. 14 เมตร ง. 61 เซนติเมตร ง. 15 เมตร 7. จากรูป x 2 มีค่าเท่าไร 11. จากรูป Â= 90°, AB = AC = 7 นิ้ว ดังนั้น BC̅ยาว เท่าไร ก. 9 ก. 7 นิ้ว ข. 12 ข. 7√2 นิ้ว ค. 81 ค. 7√3 นิ้ว ง. 144 ง. 8 นิ้ว 8. จากรูป จงหาว่ารูปสี่เหลี่ยม ABCD มีความยาวรอบ รูปเท่าใด 12. จากรูป จงหาความยาวของ AB̅ ก. 53 เซนติเมตร ก. 25 นิ้ว ข. 60 เซนติเมตร ข. 26 นิ้ว ค. 68 เซนติเมตร ค. 30 นิ้ว ง. 72 เซนติเมตร ง. 34 นิ้ว 9. กำหนดความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม มาให้ ตัวเลือกในข้อใด ไม่ได้เป็นความยาวด้านของรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก 13. ไม้ไผ่ลำหนึ่งยาว 25 เมตร วางพิงอยู่บนกำแพงซึ่งสูง 7 เมตร อยากทราบว่าโคนไม้ไผ่จะอยู่ห่างจากกำแพงเป็น ระยะทางเท่าใด ก. 3 , 4 , 5 ก. 12 เมตร ข. 7 , 24 , 25 ข. 24 เมตร ค.9 , 40 , 41 ค. 26 เมตร ง.12 , 35 , 38 ง. 36 เมตร x 41 40 25 ซม. 12 ซม. A 16 ซม. B C D C 20 10 A 2√29
เอกสารประกอบการเรียน ~ 24 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 15 14 7 B P C A D 13 M N O 10 15 14. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ยาวด้านละ 15 เซนติเมตร จะมีเส้นทแยงมุมยาวเท่าไร 17. จากรูป จงหาความยาวของ AD̅ ก. 15√2 2 เซนติเมตร ก. 14.7 หน่วย ข. 20.52 หน่วย ข. 15√2 เซนติเมตร ค. 34.5 หน่วย ค. 15√3 2 เซนติเมตร ง. 35 หน่วย 18. จากรูป บันไดยาว 15 เมตร พาดที่ขอบหน้าต่างตึกซึ่ง สูง 12 เมตร เมื่อพลิกบันไดไปอีกด้านหนึ่ง บันไดจะพาด ขอบหน้าต่างของตึกอีกหลังหนึ่ง ซึ่งสูง 9 เมตรพอดี ขอบ ตึกทั้งสองอยู่ห่างกันกี่เมตร ง. 15√3 เซนติเมตร 15. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ AC = 8√2 เซนติเมตร แล้วรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD จะมีเส้นรอบรูป ยาวเท่าไร ก. 12 เมตร ข. 15 เมตร ค. 18 เมตร ก. 8 เซนติเมตร ง. 21 เมตร 19. พีรณัฐเดินไปทางทิศเหนือ 9 กม. แล้วเลี้ยวไปทางทิศ ตะวันตก 2 กม. จากนั้นขึ้นไปทาง ทิศเหนือ 3 กม. แล้วไป ทางทิศตะวันตกอีก 14 กม. พีรณัฐอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่ ข. 16 เซนติเมตร กิโลเมตร ค. 32 เซนติเมตร ก. 16 กิโลเมตร ง. 48 เซนติเมตร ข. 20 กิโลเมตร 16. จากรูป จงหาว่ารูปสี่เหลี่ยม ABCD มีความสูงของ รูปเท่าใด ค. 24 กิโลเมตร ง. 30 กิโลเมตร 20. กำหนด ∆MNO ดังรูป ถ้าความสูงจากจุด M เป็น 24 หน่วย และ MN =26, NO =22 หน่วย ข้อใดคือความยาว ของ MO̅̅̅ ก. 2 ตารางหน่วย ก. 30 นิ้ว ข. 3 ตารางหน่วย ข. 32 นิ้ว ค. 4 ตารางหน่วย ค. 36 นิ้ว ง. 6 ตารางหน่วย ง. 40 นิ้ว A B D C 15 ซม. O 3 5 A 6 B D 7 C A B D C 8√2 26 22
เอกสารประกอบการเรียน ~ 25 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง A 3 B C D E 4 4 4 4 F M N a 81 225 40 √1796 Z X Y A B 8 C 5 A B D C 4 4 O 21. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีความยาวด้านประกอบมุม ยอดรวมกัน 26 ซม. ฐานยาว 24 ซม. จะมีพื้นที่เท่าไร 25. จากรูป จงหาความยาวของ EF̅ ก. 30 ตารางเซนติเมตร ก. 5 หน่วย ข. 45 ตารางเซนติเมตร ข. √20 หน่วย ค. 60 ตารางเซนติเมตร ค. 73 หน่วย ง. 75 ตารางเซนติเมตร ง. √73 หน่วย 22. กำหนดให้ ∆ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้าน ประกอบมุมยอดยาวด้านละ 26 หน่วย สูง 24 หน่วย ข้อใดคือความยาวด้านฐานของรูปสามเหลี่ยมนี้ 26. กล่องลูกบาศก์ใบหนึ่งมีความยาวด้านด้านละ 6 หน่วย ดังรูป จงหาความยาวของ MN̅̅̅ ก. 36 หน่วย ก. 12 หน่วย ข. √72 หน่วย ข. 16 หน่วย ค. 6√3 หน่วย ค.20 หน่วย ง. 6√5 หน่วย ง.24 หน่วย 23. กล่องบรรจุนมสดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กว้าง 3.5 เซนติเมตร ยาว 5 เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร ผู้ผลิตต้องการติดหลอดดูดชนิดตรงแนบกับกล่อง เขาจะ ใช้หลอดดูดยาวได้มากที่สุดกี่เซนติเมตรโดยไม่ให้หลอด ดูดยาวพ้นกล่อง 27. ข้อใดคือพื้นที่ของรูป a ก. 9 เซนติเมตร ค.13 เซนติเมตร ข. 11 เซนติเมตร ง.15 เซนติเมตร 24. กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ACB และรูปสามเหลี่ยม XYZ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ส่วนที่แรเงามีพื้นที่ เท่าใด ก. 12 ตารางหน่วย ค. 21 ตารางหน่วย ข. 144 ตารางหน่วย ง. 441 ตารางหน่วย 28. รูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนบในรูป วงกลม มีความยาวด้านแต่ละด้านยาวด้านละ 4 นิ้ว จงหา พื้นที่ส่วนที่แรเงา ก. 40 ตารางหน่วย ข. 160 ตารางหน่วย ก. 9.12 ตารางนิ้ว ค.260 ตารางหน่วย ข. 16 ตารางนิ้ว ง.560 ตารางหน่วย ค. 23.24 ตารางนิ้ว ง.25.12 ตารางนิ้ว
เอกสารประกอบการเรียน ~ 26 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่ค ง บันทึกเพิ่มเติม
เอกสารประกอบการเรียน ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ❖ เลขยกกำลัง a n หมายถึง a × a × a × ... × a เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก nตัว เช่น ❖ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของ ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ❖ แบบทดสอบความรู้พื้นฐานก่อนเรียน นักเรียนสามารถเข้าทำแบบทดสอบความรู้พื้นฐานก่อนเรียนได้ที่ http://ipst.me/9053 บทที่ 2 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง (INTRODUCTION TO REAL NUMBERS) 2.1 จำนวนตรรกยะ 2.2 จำนวนอตรรกยะ 2.3 สมบัติของจำนวนจริง 2.4 รากที่สอง 2.5 รากที่สาม จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. จำแนกจำนวนจริงได้ว่าจำนวนใดเป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนใดเป็นจำนวนอตรรกยะ 2. เขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน 3. เปรียบเทียบจำนวนจริง 4. หารากที่สองและรากที่สามของจำนวนตรรกยะ 5. แก้ปัญหาโดยใช้สมบัติของจำนวนจริง ทบทวนความรู้ก่อนเรียน ตัวชี้วัด ค 1.1 ม.2/2 เข้าใจจำนวนจริงและความสัมพันธ์ของจำนวนจริง และใช้สมบัติของจำนวนจริงในการแก้ปัญหา คณิตศาสตร์ และปัญหาในชีวิตจริงคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง
เอกสารประกอบการเรียน ~ 2 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง โครงสร้างของจำนวนจริง ในบทนี้ นักเรียนจะต้องทราบองค์ประกอบของโครงสร้างของจำนวนจริง โดยสามารถเขียนเป็นแผนภาพได้ดังนี้ 2.1 จำนวนตรรกยะ นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่าจำนวน เช่น 0, 1, 5, -7, -8, และ เป็นจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป ได้ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ≠ 0 ในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกจำนวนเหล่านี้ว่า จำนวนตรรกยะ (Rational number) ซึ่งเขียนเป็นนิยามได้ดังนี้ และเศษส่วน เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ≠ 0ยังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของทศนิยมได้โดยการนำตัวส่วนไป หารตัวเศษ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 การเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม 1) 2)
เอกสารประกอบการเรียน ~ 3 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง โดยวิธีดังกล่าว จะสามารถเขียนเศษส่วนอื่น ๆ ให้อยู่ในรูปทศนิยมได้ดังนี้ = ................................. หรือ ......................... = ................................. หรือ ......................... = ................................. หรือ ......................... = ................................. หรือ ......................... = ................................. หรือ ......................... = ................................. หรือ ........................ ทศนิยมข้างต้นนี้ เรียกว่า ................................ ซึ่งเราสามารถใช้ ............................. แทนทศนิยมซ้ำได้ อีกทั้งยังสามารถ ใช้สัญลักษณ์อื่น ๆ แทนทศนิยมซ้ำได้อีกด้วย เช่น 0.85̇3̇อาจเขียนเป็น .............. หรือ ............... หรือ .................. ❖ ทศนิยมซ้ำ เราสามารถจัดกลุ่มทศนิยมซ้ำเป็นสองกลุ่ม ดังนี้ เนื่องจากทศนิยมซ้ำจัดอยู่ในกลุ่มของจำนวนตรรกยะ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 2 การเขียนทศนิยมให้อยู่ในรูปเศษส่วน 1) 0.2 = 2) 0.78 = 3) 0.625 = 4) -0.49 = 5) 1.732 = 6) -6.025 = 7) 34.87 = 8) -4.9876 = 9) 0.000001 = ตัวอย่างที่ 3 การเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน 1) 0.7̇ 2) 0.62̇5̇ 1. ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น 0.54260̇, 0.50̇, 1.240̇และ 2.370̇ ซึ่งในกลุ่มนี้จะไม่นิยมเขียนตัวซ้ำศูนย์ นั่นคือ 0.54260̇ เขียนเป็น ....................... 0.50̇ เขียนเป็น ....................... 2. ทศนิยมซ้ำที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น 0.29̇7̇, 5.3874̇, 1.18̇, -2.036̇, -3.12̇37̇และ 12.642̇3851̇
เอกสารประกอบการเรียน ~ 4 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3) - 0.1̇47̇ 4) 1.45̇625̇ 1. จงพิจารณาการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนจากตัวอย่างที่กำหนด แล้วเขียนคำตอบเติมลงในช่องว่างในตาราง ต่อไปนี้พร้อมทั้งตอบคำถาม ข้อ ชุดที่ 1 ข้อ ชุดที่ 2 ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน 1) 0.1̇ 1) 0.1̇2̇ 2) 0.2̇ 2) 0.3̇5̇ 3) 0.3̇ 3) 0.6̇4̇ 4) 0.4̇ 4) 0.5̇1̇ 5) 0.5̇ 5) 0.7̇5̇ ข้อ ชุดที่ 3 ข้อ ชุดที่ 4 ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน 1) 0.23̇4̇ หรือ 1) 0.234̇ หรือ 211 900 2) 0.51̇6̇ หรือ 2) 0.516̇ หรือ 3) 1.86̇5̇ หรือ 3) 1.865̇ หรือ 4) 0.49̇1̇ 4) 0.491̇ 5) 0.73̇8̇ 5) 0.738̇ จากตารางข้างต้น นักเรียนได้ข้อสังเกตอะไรบ้าง กิจกรรม : ทศนิยมซ้ำกับเศษส่วน
เอกสารประกอบการเรียน ~ 5 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2. จงใช้ข้อสังเกตที่ได้จากการตอบในข้อที่ 1 เขียนทศนิยมซ้ำที่กำหนดให้ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน 1) 0.3̇16̇ = 2) 0.358̇1̇ = 3) 3.7̇402̇ = 4) 1.34̇56̇ = การใช้วิธีลัดเป็นการหย่นระยะเวลาในการคิด ทั้งนี้ทั้งนั้นนักเรียนต้องศึกษาวิธีการทำที่ถูกต้องให้ชัดเจนเสียก่อน เนื่องจากวิธีลัด เป็นเพียงวิธีที่เกิดจากการจำ ไม่ใช่ความเข้าใจ แต่สามารถนำไปใช้ให้เกิดประโยชน์ได้ อาทิเช่น ใช้ในการตรวจคำตอบ หรือการทำ ข้อสอบที่จำเป็นต้องทำแข่งกับเวลา เป็นต้น ลองตรวจคำตอบตัวอย่างที่ 3 โดยใช้วิธีลัด 1) 0.7̇ = = 2) 0.62̇5̇ = = 3) - 0.1̇47̇ = = 4) 1.45̇625̇ = = จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้น นักเรียนจะเห็นว่า เราสามารถเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมซ้ำได้ และเขียนทศนิยม ซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้จึงเป็นเหตุผลที่ว่า เศษส่วนและทศนิยมซ้ำเป็นจำนวนตรรกยะ หรือกล่าวเป็นความหมายของจำนวน ตรรกยะได้อีกแบบหนึ่งคือ ตัวอย่างที่ 5 จงหาเลขโดดในทศนิยมตำแหน่งที่ 50 ของจำนวนที่กำหนดให้ 1) 0.31̇27̇ 2) ทศนิยมซ้ำ = คณิตคิดเร็ว : วิธีลัดการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน
เอกสารประกอบการเรียน ~ 6 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.จงเขียนเศษส่วนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปทศนิยม 1) 2) 2. จงเขียนทศนิยมซ้ำต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วน 1) 2.52̇ 2) 1.23̇6̇ 3) 0.08̇76̇ 4) -1.9̇78̇ แบบฝึกหัด 2.1
เอกสารประกอบการเรียน ~ 7 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จงหาเลขโดดของทศนิยมตำแหน่งที่ 100 ของจำนวนต่อไปนี้ 1) 0.31̇27̇ + 0.2̇1̇ 2) 4. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ แล้วทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่ถูกต้อง และทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่ไม่ถูกต้อง 1) ผลบวกและผลต่างของจำนวนตรรกยะกับจำนวนตรรกยะ มีผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะ 2) ผลคูณและผลหารของจำนวนตรรกยะกับจำนวนตรรกยะ มีผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะ 3) จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ 4) จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ 5) ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ 6) มีจำนวนตรรกยะบวกที่น้อยที่สุด 7) มีทศนิยมซ้ำบางจำนวนไม่เป็นจำนวนตรรกยะ 8) -1 เป็นจำนวนตรรกยะลบที่มากที่สุด 5. แม่ซื้อมะนาว 3 ผล 10 บาท แต่ป้าซื้อได้ร้อยละ 330 บาท ใครซื้อมะนาวได้ถูกกว่ากัน เพราะเหตุใด 6. คุณแม่และเต้าหู้ไปที่ห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่งและแวะซื้อแปรงสีฟัน 5 อัน สำหรับสมาชิกทุกคนในบ้าน ถ้าซื้อปลีกจะซื้อได้ ในราคาอันละ 24.25 บาท แต่ถ้าซื้อครึ่งโหลจะซื้อได้ในราคา 130 บาท คุณแม่และเต้าหู้ควรตัดสินใจซื้อแบบใด เพราะเหตุใด 7. แก้ว ก้อย และก้อง ร่วมกันซื้อของขวัญวันเกิดให้เพื่อนเป็นเงิน 325 บาท จงตอบคำถามต่อไปนี้ 1) แก้ว ก้อย และก้อง จะต้องจ่ายเงินเท่า ๆ กันคนละกี่บาท 2) ในทางปฏิบัติแต่ละคนจะจ่ายเงินสดตามจำนวนเงินในข้อ 1 ได้หรือไม่ เพราะเหตุใด 3) นักเรียนจะแก้ปัญหาอย่างไร ถ้าเหรียญที่มีมูลค่าน้อยที่สุดใช้แลกเปลี่ยนกันคือเหรียญ 25 สตางค์ ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 8 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2.2 จำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าจำนวนเต็ม เศษส่วน หรือทศนิยมซ้ำ จะมีประโยชน์และสามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวาง แต่ก็ยังมีปัญหาหรือ สถานการณ์บางอย่างที่ไม่สามารถใช้จำนวนดังกล่าวแทนปริมาณที่ต้องการสื่อได้ดังเช่นสถานการณ์ต่อไปนี้ โรงเรียนมัธยมปุรณาวาสต้องการทำสวนหย่อมหน้าโรงเรียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยให้มีพื้นที่ 2 ตารางวา สวนหย่อมนี้ จะมีด้านแต่ละด้านยาวเท่าไร นักเรียนทราบอยู่แล้วว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ เมื่อให้ แทนความยาวของด้าน มีหน่วยเป็นวา จึงได้ว่า .................................. หรือ .................................. ดังนั้นการหาความยาวของด้าน จึงเป็นการหา .......................................................................................... 1. โดยเริ่มจากการลองแทนค่า ด้วยจำนวนเต็มบวกดังนี้ จากตารางจะได้ว่า มีค่าอยู่ระหว่าง ................ กับ ................ 2. เพื่อหาค่า เป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง จึงแบ่งช่วงระหว่าง ................ กับ ................ ออกเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กัน แล้ว พิจารณาค่า ว่าควรจะมีค่าเท่าใด โดยการลองแทนค่า ด้วยทศนิยมหนึ่งตำแหน่งที่อยู่ระหว่าง ............... กับ ............... ดังนี้ จากตารางจะได้ว่า มีค่าอยู่ระหว่าง ................ กับ ................ 3. เพื่อหาค่า เป็นทศนิยม 2 ตำแหน่งจึงแบ่งช่วงระหว่าง ................ กับ ................ ออกเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กัน แล้ว พิจารณาว่า ควรจะมีค่าเท่าใด โดยลองแทนค่า ด้วยทศนิยม 2 ตำแหน่งที่อยู่ระหว่าง ................ กับ ................ ดังนี้ จากตารางจะได้ว่า มีค่าอยู่ระหว่าง ................ กับ ................ 4. เพื่อหาค่า เป็นทศนิยมตำแหน่งถัด ๆ ไป จึงทำในทำนองเดียวกันดังตารางต่อไปนี้ จากตารางจะได้ว่า มีค่าอยู่ระหว่าง ............... กับ ............... ข้อสังเกต ถ้าหาค่า ต่อไปด้วยจะพบว่า ................................................................................ ........ ซึ่งอาจใช้เครื่อง คำนวณหาค่า ได้เป็นทศนิยมหลายตำแหน่งดังนี้ ซึ่งทศนิยมในลักษณะนี้ไม่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ 1 2 3 4 5 2 2 2 2
เอกสารประกอบการเรียน ~ 9 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง เมื่อไม่สามารถแทน ได้ด้วยเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำที่ทำให้ 2 = 2 จึงจำเป็นต้องแทน ด้วยจำนวนชนิดใหม่ โดยใช้ …………………………. ซึ่งมีสัญลักษณ์เป็น ………….…. ดังนั้นจึงเขียนสัญลักษณ์….........................แทน…………………..……………..... (√2 อ่านว่า ..............................................................) จากปัญหาการทำสวนหย่อมข้างต้นจะได้ว่าสวนหย่อมนี้มีด้านแต่ละด้านยาว .............. วา นั่นคือ ............. เป็นตัวอย่าง ของจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วนได้ ............. จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่เป็นตัวอย่างของ จำนวนที่เรียกว่า ....................................... ซึ่งมีนิยามความหมายดังต่อไปนี้ ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ เช่น ทศนิยมไม่ซ้ำ 1.234567890112134... , 3.43232232223... , -4.399339933399... ค่าคงที่ π ≈ 3.141592653589793238462... , ≈ 2.71828182845904523536... กรณฑ์ที่ไม่สามารถหาค่าเป็นจำนวนเต็มได้ √2 , 5√3 , - √7 นักเรียนทราบมาแล้วว่า เราสามารถแทนจำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนด้วยจุดบนเส้นจำนวนได้ สำหรับจำนวนอตรรกยะก็ สามารถแทนด้วยจุดบนเส้นจำนวนได้เช่นกัน ตัวอย่างที่ 6 การหาจุดบนเส้นจำนวนที่แทน √2 ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะนั้น อาจใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาช่วยในการหาได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 7 สำหรับการหาจุดที่แทนค่า ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะนั้น ทำได้ดังนี้ เกร็ดความรู้: ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนแทนจำนวนจริงใด ๆ ด้วยจุดบนเส้นจำนวนได้และจุดใด ๆ บนเส้น จำนวนแต่ละจุดจะแทนจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งอาจเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะก็ได้เส้นจำนวนที่กล่าวถึงจึง เรียกว่า เส้นจำนวนจริง (Real Number Line หรือ Real Line)
เอกสารประกอบการเรียน ~ 10 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของ วงกลม π เป็นอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เมื่อนักเรียน คำนวณหาพื้นที่ของวงกลมโดยใช้สูตร 2 หรือคำนวณหาความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมโดยใช้สูตร 2 โดยที่ แทน รัศมีของวงกลม ซึ่งเรามักใช้ค่าประมาณของ เป็น หรือ 3.1416 หรือ 3.14 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ การคำนวณค่าของ π ในอดีต ใช้วิธีต่าง ๆ เช่น สร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบในวงกลม และล้อมรอบวงกลม แล้วหาความยาวรอบรูปหลายเหลี่ยมทั้งสองรูป เพื่อเฉลี่ยเป็นค่าประมาณของความ ยาวของเส้นรอบวงของวงกลม จากนั้นหาอัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมที่หามาได้ต่อ ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง ค่าที่ได้จะเป็นค่าประมาณของ π การคำนวณค่าของ π ด้วยวิธีนี้ ขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม ยิ่งจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมมากขึ้นจะยิ่ง ได้ค่าที่ใกล้เคียงกับค่าของ π มากขึ้นตามไปด้วย อาร์คิมีดีส (Archimedes, ประมาณ 287-212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์และ นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกแสดงให้เห็นว่า π มีค่าระหว่าง และ ทอเลมี (Ptolemy, ประมาณ ค.ศ. 200) นักดาราศาสตร์ชาวกรีก ประมาณค่าของ π ได้เป็น หรือ 3.1416̇ จู่ชงจือ (Zu Chong Zhi, ประมาณ ค.ศ. 429-500) นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวจีน หาค่าโดยประมาณของ π ได้เป็น หรือประมาณ 3.1415929 ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 มีการใช้ตัวอักษรกรีกคือ π แทนอัตราส่วนดังกล่าว การคำนวณหาค่าของ π มีวิธีการที่หลากหลาย ทำให้ได้ค่าของ π ที่เป็นทศนิยมหลายตำแหน่งมากขึ้น เช่น ใน ค.ศ. 1873 แชงค์ส (Shanks) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ คำนวณค่าของ π ได้ทศนิยมถึง 707 ตำแหน่ง โดยใช้เวลาคำนวณมากกว่า 15 ปี (ต่อมาใน ค.ศ. 1946 เฟอร์กูซัน (Ferguson) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ค้นพบว่า ตั้งแต่ทศนิยมตำแหน่งที่ 528 เป็นต้นไปไม่ถูกต้อง) ใน ค.ศ. 1949 เครื่องคอมพิวเตอร์ สามารถคำนวณค่าของ π เป็นทศนิยมได้มากกว่า 2,000 ตำแหน่ง และเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เช่น ค.ศ. 1961 ได้ 100,265 ตำแหน่ง ค.ศ. 1967 ได้ 500,000 ตำแหน่ง ใน ค.ศ. 1999 เครื่องซุปเปอร์คอมพิวเตอร์ที่มหาวิทยาลัยโตเกียวคำนวณได้ 206,158,430,000 ตำแหน่ง และในปัจจุบันได้ทศนิยมมากกว่า 1012 ตำแหน่ง ค่าของ π ที่แสดงด้วยทศนิยม 350 ตำแหน่งแรก เป็นดังนี้ 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536936 ... หมายเหตุ : ถึงแม้ว่า π = เขียนเป็นเศษส่วนได้แต่นักคณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ว่า ความยาวของเส้นรอบวงและความยาวของเส้น ผ่านศูนย์กลางของวงกลมใดก็ตาม จะไม่มีโอกาสเป็นจำนวนเต็มได้พร้อมกัน ดังนั้น π จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ มุมคณิต : ค่า π
เอกสารประกอบการเรียน ~ 11 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ แล้วทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่ถูกต้อง และทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่ไม่ถูกต้อง 1) 0.818181818... เป็นจำนวนตรรกยะ 2) -9.968253968253... เป็นจำนวนอตรรกยะ 3) √2 , √4 , √6 เป็นจำนวนอตรรกยะทั้งหมด 4) มีจำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ 5) 0 เป็นจำนวนตรรกยะ 6) เป็นค่าประมาณของค่า π ดังนั้น เป็นจำนวนอตรรกยะ 7) จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่เขียนแทนในรูปเศษส่วน เมื่อ a > 0 และ b ≠ 0 8) จำนวน √13 สามารถหาตำแหน่งบนเส้นจำนวนได้ 9) ทศนิยมทุกชนิดเป็นจำนวนตรรกยะ 10) - π ไม่สามารถหาตำแหน่งบนเส้นจำนวนได้ 11) จำนวนจริงใดเป็นจำนวนอตรรกยะแล้ว จำนวนจริงนั้นต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ 12) ผลบวกของจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ จะมีผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ 2. ตู้เย็นที่บ้านของคุณป้ามีขนาด 8.1 คิวบิกฟุต ใช้พลังงานไฟฟ้า 428.51 หน่วยต่อปี คิดเป็นค่าไฟฟ้า 1,450 บาทต่อปีจงหาว่า ค่าไฟฟ้าเฉลี่ยต่อเดือนของตู้เย็นใบนี้เป็นเท่าใด นักเรียนคิดว่าคำตอบที่ได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะเพราะเหตุใด 3. จงหาตำแหน่งของ √2 , √3 , √5และ √6 บนเส้นจำนวนเดียวกัน 4. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปหนึ่งมีฐานยาว 4 หน่วย และด้านประกอบมุมยอดยาวรวมกัน 8 หน่วย จงหาความสูงของรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วนี้ (ตอบเป็นค่าประมาณทศนิยมสองตำแหน่ง) วิธีทำ แบบฝึกหัด 2.2 ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 12 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2.3 สมบัติของจำนวนจริง การบวกและการคูณของจำนวนจริง มีสมบัติที่สำคัญเช่นเดียวกับสมบัติการบวกและการคูณของจำนวนเต็มที่นักเรียนเคย ทราบมาแล้ว จึงสามารถสรุปเป็นสมบัติต่าง ๆ ได้ดังนี้ 1. สมบัติปิดการบวก (closure property of addition) เช่น ................................................................................................................................................................................................. 2. สมบัติปิดการคูณ (closure property of multiplication) เช่น ................................................................................................................................................................................................. 3. สมบัติการสลับที่ของการบวก (commutative property of addition) เช่น ................................................................................................................................................................................................. 4. สมบัติการสลับที่ของการคูณ (commutative property of multiplication) เช่น ................................................................................................................................................................................................. 5. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก (associative property of addition) เช่น ................................................................................................................................................................................................. 6. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ (associative property of multiplication) เช่น ................................................................................................................................................................................................. 7. สมบัติการแจกแจง (distributive property) เช่น ................................................................................................................................................................................................. 8. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก (identity property of addition) เช่น ................................................................................................................................................................................................. สมบัติถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a + b = b + a สมบัติถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว ab = ba สมบัติถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว (a + b) + c = a + (b + c) สมบัติถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว (ab)c = a(bc) สมบัติถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a(b + c) = ab + ac และ (a + b)c = ac + bc สมบัติถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a + 0 = a = 0 + a สมบัติถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a + b จะต้องเป็นจำนวนจริงเสมอ สมบัติถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a x b หรือ ab จะต้องเป็นจำนวนจริงเสมอ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 13 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 9. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการคูณ (identity property of multiplication) เช่น .......................................................................................................................... 10. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก (inverse property of addition) นั่นคือ อินเวอร์สการบวกของ a คือ -a และอินเวอร์สการบวกของ -a คือ a ซึ่ง อินเวอร์สการบวก เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ตัวผกผันการบวก เช่น .......................................................................................................................... 11. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ (inverse property of multiplication) นั่นคือ อินเวอร์สการคูณของ คือ และอินเวอร์สการบวกของ คือ ซึ่ง อินเวอร์สการคูณ เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ตัวผกผันการคูณ เช่น ................................................................................................................................................................................................. 12. การหาร 0 และ หารด้วย 0 เช่น .................................................................................................................................................................................................. 13. สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ 1) สมบัติการสะท้อน : a = a 2) สมบัติการสมมาตร : ถ้า a = b แล้ว b = a 3) สมบัติการถ่ายทอด : ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 4) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน : ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c 5) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน : ถ้า a = b แล้ว ac = bc ตัวอย่างที่ 7 สมบัติถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a x 1 = a = 1 x a สมบัติถ้า a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a + (-a) = 0 = (-a) + a สมบัติถ้า เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ ≠ 0 แล้ว x = 1 = x สมบัติถ้า เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ ≠ 0 แล้ว = 0 สมบัติถ้า เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ หรือไม่นิยาม NOTE
เอกสารประกอบการเรียน ~ 14 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงเขียนเครื่องหมายถูกให้ตรงกับช่องของสมบัตินั้น ๆ ข้อ การดำเนินการของจำนวน สมบัติปิด ของการ สมบัติการ สลับที่ของ การ สมบัติการเปลี่ยน หมู่ของการ สมบัติการมี เอกลักษณ์ สมบัติการมี อินเวอร์ส สมบัติ การ แจก บวก คูณ บวก คูณ บวก คูณ บวก คูณ บวก คูณ แจง 1 5 + 7 เป็นจำนวนจริง 2 9 + (−9) = 0 = (−9) + 9 3 (4 – b) ∙5) = 4 ∙ 5 –4b 4 4(ab) = (4a)b 5 3a − 5b = − 5b + 3a 6 8 × 1 8 = 1 = 1 8 × 8 7 (3 + a) + b = 3 + (a + b) 8 3 × (b + 2) = 3b + 6 9 1 + 0 = 1 = 0 + 1 2. จงหาอินเวอร์สการบวกและอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริงต่อไปนี้ 1) อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ .................. 2) ตัวผกผันการบวกของ 1.66 คือ .................. 3) อินเวอร์สการบวกของ -3 คือ .................. 4) ตัวผกผันการบวกของ คือ .................. 5) อินเวอร์สการคูณของ 25 คือ .................. 6) เอกลักษณ์การบวก คือ .................. 7) อินเวอร์สการคูณของ คือ .................. 8) เอกลักษณ์การคูณ คือ .................. 3. ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงเติมประโยคต่อไปนี้ให้สมบูรณ์ โดยใช้สมบัติการสมมาตร 1) ถ้า 2(a + b) = 2a + 2b แล้ว .......................................... = 2(a + b) 2) ถ้า b 2 – 4 = 2a2 + a แล้ว ................................................ = ………………………………… โดยใช้สมบัติการถ่ายทอด 1) ถ้า c 2 = c x c และ c x c = a2 + b2 แล้ว ........................ = a2 + b2 2) ถ้า 3a + 6a = 3a(1 + 2) และ 9a = 3a + 6a แล้ว ............................... = …………………………… โดยใช้สมบัติการบวกหรือการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน 1) ถ้า a 2 = 9 แล้ว a 2 + 5 = …………………… 2) ถ้า 292 = 202 + b2 แล้ว .......................... = b2 3) ถ้า 3a + 5b = 8c แล้ว ............................ = 4(8c) 4) ถ้า ab =128 แล้ว a = ………………………... แบบฝึกหัด 2.3
เอกสารประกอบการเรียน ~ 15 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. จงเขียนสมบัติการเท่ากันที่ใช้ในการแก้สมการข้อต่อไปนี้ 1) 2(a + 3) = -4 วิธีทำ 2) c 2 = 122 + 352 วิธีทำ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง ข้อใดเป็นจริงตามสมบัติของการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ก. 2 + a = 2 + 5 แล้ว a = 5 ข. ถ้า 3(a - 2) = 7 แล้ว 3a = 7 ค. ถ้า 4 + b = 19 แล้ว b = -13 ง. ถ้า a + 2 = b + 2 แล้ว b + 2 = a + 2 4. กำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ ข้อใดเป็นจริงตามสมบัติการถ่ายทอด ก. ถ้า ac = bc แล้ว bc = ac ข. ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c ค. ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b ง. ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 5. กำหนดให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ ข้อใดเป็นเท็จ ก. ถ้า ac = bc แล้ว b = c ข. ถ้า a + b = c แล้ว a = c - b ค. ถ้า a + b = c + b แล้ว a = c ง. ถ้า a = 0 และ b = 0 แล้ว a + b = 0 6. ข้อใดเป็นจริงตามสมบัติการแจกแจง ก. (5 + 4) × 3 = 3 × (5 + 4) ข. (6 × 7 × 8) = 6 × 7 × 8 ค. (2 × 4) + 5 = (2 + 5) × (4 + 5) ง. 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา 2(a + 3) = - 4 (2 × a) + (2 × 3) = - 4 (....................................................................) 2a + 6 = - 4 2a + 6 + (-6) = - 4 + (- 6) (....................................................................) 2a = -10 2a = - 10 (....................................................................) a = - 5
เอกสารประกอบการเรียน ~ 16 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2.4 รากที่สองของจำนวนจริง นักเรียนเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการหาความยาวด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่รู้ด้านสองด้านมาแล้ว ดังนี้ จากรูปจะได้ว่า .................................................. .................................................. .................................................. ดังนั้น .................................................. แต่บางครั้ง ความยาวของด้านที่ไม่ทราบค่าของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อาจไม่สามารถหาออกมาเป็นจำนวนเต็มได้ เช่น รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละ 1 หน่วย ดังนี้ จากรูปจะได้ว่า .................................................. .................................................. .................................................. ดังนั้น .................................................. เนื่องจากเราใช้............แทน.......................................................... และเรียก.............ว่า.......................................................... หมายเหตุ : สำหรับรากที่สองของจำนวนจริงลบจะยังไม่กล่าวถึง เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกลังสองแล้วได้จำนวนจริงลบ เราสามารถหารากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ โดยใช้บทนิยามได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 8 เป็นรากที่สองของ 64 เนื่องจาก 8 2 = 64 -8 เป็นรากที่สองของ 64 เนื่องจาก (-8) 2 = 64 15 เป็นรากที่สองของ 225 เนื่องจาก 152 = 225 -15 เป็นรากที่สองของ 225 เนื่องจาก (-15) 2 = 225 0.2 เป็นรากที่สองของ 0.04 เนื่องจาก (0.2)2 = 0.04 0.07 เป็นรากที่สองของ 0.0049 เนื่องจาก (0.7)2 = 0.0049 -0.003 เป็นรากที่สองของ 0.000009 เนื่องจาก (-0.003)2 = 0.000009 3 8 เป็นรากที่สองของ 9 64 เนื่องจาก ( 3 8 ) 2 = 9 64 ข้อสังเกต ❖ ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ a มี ........................ คือ ................................................................................. ......................................................................................................................................................................................... ❖ ถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ .......................... จากข้อสังเกตและบทนิยาม จะได้ว่า (√) 2 = และ (−√) 2 = √ ซึ่งเป็นรากที่เป็นบวกของ a อาจเรียกอีกอย่างว่า ……………………………………. 3 4 1 1 บทนิยาม ................................................................................................................................. .................................................................................................................................
เอกสารประกอบการเรียน ~ 17 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่ารากที่สองของจำนวนต่อไปนี้ 1) รากที่สองของ 64 เขียนแทนด้วย ................ และ ................... เนื่องจาก .......................................................... ดังนั้น รากที่สองของ 64 คือ ............................................... ซึ่งเป็นจำนวน ........................................... 2) รากที่สองของ 0.04 เขียนแทนด้วย ................ และ ................ เนื่องจาก .......................................................... ดังนั้น รากที่สองของ 0.04 คือ ............................................... ซึ่งเป็นจำนวน ........................................... 3) รากที่สองของ 10 เขียนแทนด้วย .................. และ .................. เนื่องจาก ......................................................... ดังนั้น รากที่สองของ 0.04 คือ ............................................... ซึ่งเป็นจำนวน ........................................... 4) รากที่สองของ 3 5 เขียนแทนด้วย .................. และ .................. เนื่องจาก ........................................................... ดังนั้น รากที่สองของ 3 5 คือ ............................................... ซึ่งเป็นจำนวน ........................................... การพิจารณาว่ารากที่สองของจำนวนตรรกยะบวกเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ ทำได้ดังนี้ โดยทั่วไป ถ้ารากที่สองของจำนวนจริงบวกเป็นจำนวนตรรกยะ เราจะไม่นิยมเขียนรากที่สองนั้นโดยใช้เครื่องหมายกรณฑ์ เช่น ไม่นิยมเขียน √64 และ −√64 แทนรากที่สองของ 64 แต่จะนิยมเขียนในรูปผลสำเร็จ คือ 8 และ -8 แทนรากที่สองของ 64 สำหรับจำนวนเต็มบวก ❖ ถ้าสามารถหาจำนวนเต็มที่ยกกำลังสองแล้วได้เท่ากับจำนวนที่กำหนดให้ รากที่สองของจำนวนนั้น จะเป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม ❖ ถ้าไม่สามารถหาจำนวนเต็มที่ยกกำลังสองแล้วได้เท่ากับจำนวนที่กำหนดให้ รากที่สองของจำนวนนั้น จะเป็นจำนวนอตรรกยะ สำหรับจำนวนตรรกยะบวกอื่น ๆ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ❖ ถ้าสามารถหาจำนวนตรรกยะที่ยกกำลังสองแล้วได้เท่ากับจำนวนตรรกยะบวกที่กำหนดให้ รากที่สองของจำนวนนั้น จะเป็นจำนวนตรรกยะ ❖ ถ้าไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะที่ยกกำลังสองแล้วได้เท่ากับจำนวนตรรกยะบวกที่กำหนดให้ รากที่สองของจำนวนนั้น จะเป็นจำนวนอตรรกยะ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 18 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหารากที่สองของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) รากที่สองของ 121 คือ 2) รากที่สองของ 576 คือ 3) รากที่สองของ 784 คือ 4) รากที่สองของ 1,369 คือ 5) รากที่สองของ 10.24 คือ 6) รากที่สองของ 0.0081 คือ 7) รากที่สองของ 5.29 คือ 8) รากที่สองของ -729 คือ 2. จงหาค่าของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) √289 = 2) √−25 = 3) √(−45) 2 = 4) −√12.25 = 5) −√1,156 = 6) −√(−35) 2 = 7) −√(−0.11) 2 = 8) √0.0064 = 3. จงหาค่าของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) √256 2 2 = 2) √2.892 4 = 3) √49( − ) 2 = 4) −√0.0121 6 2 = 5) √ 24 2 , ≠ 0 = 6) −√ 16 4 25 2 , ≠ 0 = 4. จงหารากที่สองของจำนวนต่อไปนี้ โดยการประมาณค่าเป็นจำนวนเต็ม 1) √17 ≈ 2) √35 ≈ 3) √140 ≈ 5. จงหารากที่สองและกรณฑ์ที่สองของจำนวนต่อไปนี้ โดยวิธีแยกตัวประกอบ 1) รากที่สองของ 4,356 = = = 2) √15,625 = = = แบบฝึกหัด 2.4
เอกสารประกอบการเรียน ~ 19 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 6. จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ 1) 2 − 67 = −3 = 2) √ − 5 = 2 = 3) √ + 1 − 5 = 7 = 4) 36 + 2 = 1,405 = 7. จงทำให้เป็นผลสำเร็จ 1) 7√6 + 4√6 = 2) √18 − √8 − √2 = = = 3) √2(√2 + √8) = 4) 5 + 3√5 − √20 = = = 5) 2√3 × 3√12 = 6) (−4√20) × (−3√5) = = = 7) 3√ 1 2 × 4√ 1 8 = 8) 5√18 − 3√8 √2 = = = 8. ฟาร์มปศุสัตว์แห่งหนึ่ง มีสนามรูปวงกลมมีพื้นที่ 154 ตารางเมตร เจ้าของคอกม้าต้องการกั้นรั้วให้ล้อมรอบไว้สำหรับให้ม้าวิ่ง เป็นวงกลม เจ้าของคอกม้าต้องกั้นรั้วไม้ล้อมรอบไว้อย่างน้อยกี่เมตร (กำหนดให้ = 22 7 ) ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 20 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหารากที่สามของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) รากที่สามของ 64 คือ 2) รากที่สามของ −1,000 คือ 3) รากที่สามของ −1,728 คือ 4) รากที่สามของ 0.625 คือ 5) รากที่สามของ 729 1,331 คือ 6) รากที่สามของ 0.001728 คือ 2. จงหาค่าของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) √512 3 = 2) − √343 3 = 3) − √−729 3 = 4) √2.744 3 = 5) − √0.000064 3 = 6) − √273 3 = 7) − √ 125 216 3 = 8) − √− 512 343 3 = 3. จงหารากที่สามของจำนวนต่อไปนี้ โดยวิธีแยกตัวประกอบ 1) √2,197 3 = = = 2) √−4,096 3 = = = 3) √218 3 = = = 4) − √500 3 = = = แบบฝึกหัด 2.5 มาทดกันเถอะ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 21 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ 1) √27 3 = 9 2) √ − 2 3 − 1 = 3 = 3) √2( + 1) 3 = 4 = 4) 3 4 − 16 = 38 = 5. จงทำให้เป็นผลสำเร็จ 1) √(−7) 9 3 + √512 3 = 2) √343 6 3 9 3 = 3) √128 3 + 2 √250 3 − 3 √16 3 = = 6. ชาวไร่คนหนึ่งต้องการทำที่เก็บน้ำใต้ดินทรงลูกบาศก์ โดยสามารถจุน้ำได้ 1,728 ลูกบาศก์เมตร เขาจะต้องทำที่เก็บน้ำใต้ดินให้ มีด้านแต่ละด้านยาวกี่เมตร เมื่อปริมาตรของทรงลูกบาศก์เท่ากับความยาวด้านของลูกบาศก์ยกกำลังสาม 7. กระบะบรรจุทรายทรงลูกบาศก์ 2 ใบ ใบแรกบรรจุทรายได้ 343,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ใบที่สองบรรจุทรายได้ 216,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น กระบะใบแรกมีด้านแต่ละด้านยาวกว่ากระบะใบที่สองกี่เซนติเมตร ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 22 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง บันทึกเพิ่มเติม
เอกสารประกอบการเตรียมสอบกลางภาคเรียนที่ 1 ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 13 นิ้ว 12 นิ้ว 24 นิ้ว A C B D 1. จงเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ 1) 2) เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ..................................................... เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ...................................................... 3) 4) เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ..................................................... เขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ คือ ...................................................... 2. จงแสดงการหาความยาวของด้านที่เหลือและหาความยาวรอบรูป 1) วิธีทำ 2) วิธีทำ 3. จากรูป จงแสดงการหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ที่กำหนดให้ 1) วิธีทำ แนวข้อสอบกลางภาค u f o m p n u a s k f c 5 12 6 10