เอกสารประกอบการเรียน

เอกสารประกอบการเรียนวิ ชา
คณิ ตศาสตร์เพิ ่มเติ ม
นายวรากร ดิ ษบงค์
ม.5/3 เลขที่ 17



































ฟังกช์ ันตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลต่างของจานวนจรงิ หรือมมุ

°

Cos 135 = C 0s Cao +4 5)

\

แบบฝกึ หดั

1. จงใช้ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจริงหรือมมุ หาคา่ ต่อไปน้ี

1. cos(60 45 ) = ° ''
"
Si ท Go sin 45
C 6s 60 ( 0545 -

= ( { 1 (E) - E) (E)

= F- รอ
4

2. cos(32 3) = # §Cos tsin Esin §
cos
=
C- 1) 1 ร=3 )

E= -

3. sin135 = Sin 48 $ - ait

ำiห2
5 โท เนอ ( อ 545 - C 05 1 80 4*

งานะ I. เงา ¥= -

tan ( 45 ำ 3 . )

4. tan75 = tun tan' 3o ' ก1 +
45 +
=
1- tau 45 " tan 3 $
1~- (1) ( 0๋ |

3 + Fs ÷ 3-
เป3ยน=
] ÷ →✗

3 T 53
ม6 าะ × 3 3

3- ร3

= 9 + 6 ร3+3 = 12 + เรา = 2 + 53 ☒
6
cos( 7 ) 7t.nl 05 ° 9- 3
12
5.

8 ¥= Cos t|

8 9๋ ห: ;= Cos cos - si sin

% 11 # า #= 1 ÷ า

= ญ ¥ร_ = รฐะาน

4

6. sin(17 °
12
) 255

225+30

e 5in [0๋ + > 1

+ COS 5
A๋ 9๋ A๋ %= 5 ?แ 5 los 5in

= ( %) 1 %) + (- %µ

-4= - รอ ระ
2-

7. tan(19 ) ¥tan ( 211- 1
12
<

" tำe= tun 51
_
285 ะ 1 น$ + wi I

ฬู๋า + T A๋2 ✗ tm 5

A๋ไห= - ห 5

tan ( 3)=
_ า5 ° E2=- +

= - 2- F3 ไ\ป\

2. จงหาคา่ ของ = 5in (120+15)
1) sin120 cos15 cos120 sin15
= Si ท 135 °
2) sin83 cos 38 cos83 sin 38
= sin (180-45)

" Si ท 45 = G2

E
< sl ท (83-38)

2 Si ท 45

3) cos 40 cos 20 sin 40 sin 20 s GH

= C 05 C 40+201

4) sin 342 sin117 cos 342 cos117 ฐ= Cos 60 ะ

= [ 05C 342-117/

a C 05 C 22 5)

ะ C 05 C 180 +45/

5) tan 48 tan 72 = C 0545 = 5ฐ
1 tan 48 tan 72
> tan (48+72)

Qz tan at Uท 120
a-
= Tau (180 - 60)

= tan หอ ง= -

tan 200 tan170 tan= (200 - 170)

6) 1 tan 200 tan170 ะ tan 30

=L • 1 ×ง = %

ง กก

cot10 cot 50 1 = Cot (10+50)
7) cot10 cot 50
= cot 60
Qz
ญ-
*=
3 3

cot 3 cot 5 1 Cof C 135 -225 |
4 4
8) 3 5 =
cot 4 cot 4
- cotfqo )
Q1
ะ0

9) sin 3 sin 8 cos 3 cos 8 ะ Co 5 ( at B)
8 8

(- Co 8 67.51 22.5/

= Cos 90

= 0

10) cot x y cot x 1 cot [ ])yc y✗=-
cot x cot x y
-

= cot c- y )

= - Coty

11) sin 3 A cos 6 A cos 3 A sin 6 A

[ ; I๋sin
1 lA)- - +71

f-sin ( 2 A)

12) cos 4 A cos 7 A sin 4 A sin 7 A
4 4

[ ]Cos
7in¥ (C - A) + 4)

¥C 05 C )

( 05 2 14 > 1

3. กาหนด 2 A , B 3 และ cos A 3 , cot B 12 จงหาค่าของ
2 5 5

1) cos A B 2) tan A B 3) cos ec A B

COSCA - B) = Cos ACos 13 + sin Asinpg gharnyCOSEC CA -13) =

= (E) 1-÷ 1 + 1¥11 - ;) ฐ= -
¥= 36
Si ท CA -131 = Si แ ACos B- cos Asin B
-
ฐ¥ ก|(ะ
Tg -
- ( %5) (
¥=

tan CA +13) ¥-

ะ

= fan A + tan |3

-

1 + taห Atan 13

= 2(-4.-3e) + eJ๋

า- 1- g) (g)

¥ ฆื=-

×

÷=

4. กาหนด cos A 4 และ sin A 0 , tan B 5 , B 3
5 12 2

จงหาคา่ ของ cot A B

Cot CA - B) = cotA.co/B+1__ = +้ ¥1cg

cot B- cot A ¥ + N๋

= [OP๋ Q๋÷=
×

=

ฐึ๋

5. กาหนด cos A B 1 และ cos A B 3 จงหาค่า cos Acos B
2 4

{C 05 AC 05 B - 5in Asin 13 = ①-

C 05 AC os B St 5in Asi ท 13 = ②-

②① + i 2C 05A Cos B §=

005A 05 B T ☒=

6. กาหนด cos A 4 , cos A B 12 และ 0 A 2, A B 3
5 13 2

จงหา 1) sin A B = ็V๋ 2) sin B

เง 5 2. 5 ไท B = 5in [ 1A +13) ]A-

☒

12 = 5in 1A +13 JC os A - C 051A + B) Si ท A

ะ [V๋ 11 ¥ | - ( - W๋ ) ( X )

÷:=- +±

65

ะ Y๋

7. กาหนด A B 225 จงหาค่าของ 1 tan A 1 tan B

fan 1A + B) = tan 225 tantan tan1 +

A+ ไหเ3 + หก. . B

tan Attan 13 = tan (180 + 45) tannlfaytanfn1 + า -
า t- แหก .tnทาง 13 +
B

tan Attan 13 tun= 111 - A. fa หา3) =2#

= า - tan A-tan 13

8. กาหนด cos A B 7 ถา้ A เป็นมุมแหลม และ tan B 2 แล้วจงหาค่า
cos A B 3

tan A B

3C 0s ( A- B) = 7 cos CA + B)

[ BJ3 Cos AC 0s B + 5in Asin [ 13J= 7
C 05A Cos B- 5in Asin

1 ๐ si ท Asin B = 4C อ 5A COSB

5in A 5in B [๋ §= =

C 05A COSB =

tan A. fan 13 \๋

fnn A- 2 2=
twn A
5
tan (At B)
1=
5

= tan A + tan B

1- tan A. tan 13

¥= +2

e-

1- 15 (2)

±= = ]¥

Ire

2

5

^= 1

กราฟของฟงั กช์ ่ันตรีโกณมติ ิ

1. พิจารณากราฟของ y = sin x ตอ่ ไปนี้

i 3 !t • 11

- ¥

"

1

1-

12 ( 1- C- 1) ) = 1

รุป

กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ คา่ ูง ดุ คา่ ตา่ ดุ แอมพลจิ ดู
y = sin x
y = cos x R [ -1,1 ] H า -1 1

R [ - } า] 219 า -1 1

ดภู าพประกอบจาก https://www.tertututor.com/m5/graph-trigonometry.php
ตวั อย่าง จงเขยี นกราฟของ y = 3 cos x พรอ้ มท้งั าโดเมน เรนจ์ คาบและแอมพลิจดู ของฟังก์ชนั



รุป

$๋ 1 &๋ 1

[ -1,1 ] [ -1,1]

# '๋

เ al |๚
[ ]a a- [ ]- a , a

,

กราฟของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ อิ ่นื ๆ

แบบฝึก ัด

1. จง าแอมพลิจดู และคาบของฟังก์ชันต่อไปนี้

แอมพลิจูด คาบ
……………2……f ……….
1. = 1 ……………12………………. ……………2…f………….
2 ………………3 ……………. ……………4…f………….
……………¥…………….
2. = 3 …………¥……=…¥……….

3. = 3 1 ………………3……………. ……………4……19 ……….
2 ………………4……………. ……………2…☒………….
…………2…1…4 ………….
4. = 4 3

5. = − 1 4 ………………±…………….
2 ………………2…………….
1 ………………|…………….
6. = −2 2

7. = sin(− ) − 1

8. = 3 + 1 ………………3…………….

2. จงจับคู่ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติตอ่ ไปนี้

คง 1. y = 2 cos 2
2. y = cos 2

, 3. y = 3 (− 2 )
4. y = 2sin 2

เรยี นเ ริมความรเู้ พม่ิ ได้ที่
https://www.youtube.com/watch?v=4U68YxgsQlg
https://www.youtube.com/watch?v=0r1r0gkrrwY

5in (45+15) t Si ห (45 - 15) 5in (45 + 15) - Sin ( 45 - 151
sin 6 o + Si ท 3 o Si ท 60 - si แ 3 o

¥+ ÷¥ - $ะร3

#,ชง

=

2C 0545°C os ° -29in 45 ° sin 15

15 2-

2

C 05 (45+15) - cos (4-5-15)

COS (45+15) + ( 05 (45-15) -2

Cos 60 - COS 30

( 056 o + C 0530

2-

2 )± -

+๋nrn* + ¥' -- #"-
z
= ะ 4

ni

75 15

Sin (15+75) t 5in [ 15 - า 51 .๋ /๋2 Cos 5
sin qo + 9in -6 ° .co s
2
( |§เรา
( อ 5C า 5+151 (t c o s า 5- เรา 2
fๆ -
3เ( 0อ590ก+ ชอรน ¥ 6C ° 5
)l - + c 09
÷n° เ
= .

ฐะ 32-mn 2

0 t2

~2]" ✗

= 14

5 8ห 160 = 5 ไท (180 - 20) → 14 _e)

ตวั อย่าง จงหาค่าของ 40° 80° 160° ✓

- 5in 2 ๐ <

[ ]= -25in 4 os ไหน o .si ท 16 o -14 f- )= 5in 20 - 2 Cosaosin 2 อ

1- 2- Cos 40 5in 20 -14 f- g)ะ sin 20 - si ท (401-20)- si แ C 4 o -2

g
[ ]= cos (40+80) - cos C-aoj .si หา แ
I [ โ( <z-
- - sinzo - )]=อ - sinro

=

$ f ฐ ]= -
sin 2 อ - C 0540 s i ห 2 อ
L.si/nzo-s+sin/2oJt2')-L4f.sin20-2C0S4osin2)อ
z
>-

±

%= -14 1- %) =

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 4 20° 40° 80°

[ ]2 2C 0 S 20 Cos 40 C 0 580

[ ]2 C 05 (20+40) t C 05 (20-40) Cos 8 o

{ ]2 COS 604 Cos Ezo) C 058 o

[ ]lz2 + C 05 E 201 Cosgo (180[ 05 1 00 ← Cos - 80)

(1 260520)Cos = -0 os 80

+ °

80

°

Lo S 80 + 2 C 0520C o S 8 0

C 05 80 + ( อ S (20+80) + C 05 C 2 อ - 80)

LOS 8 อ + C 0 S เออ + (051-60)

อย 05/80 ฐ(-.
80 - C ้ =

+ COS 6 o

1. sin105° + sin195°

= 25in (105 + 195) Cos (105-195)
22

= 25in 150C 0545

= 25in (180-30) C 0545 '

§= 2 (1) 1 ¥ 1 = *

2. 5 − 5
12 12

¥ / /๋= Cos 6= -25in si แA
¥- sin 1
-

= - 21¥11 { )

B C๋= Cos 5
- Cos -ฐ=

*

( | ( 1)= -2 sin
¥ +¥ + sin ¥

2 2

3. 1cos20° + cos100°1+ cos140°

(20+100) (20-100)= 2 Cos C 05 + C 05 1 40 = 2C0590C 055 o
= 2C 01 C 055 อ
22
2 ๐#
= 2C ° 560 Cos 4อ + cos 14 o

¥|=2/( COS 4 อ + C 05 1 40

(40+140) ( /= 2C os
C 05 40-140

22

1. 2 15° 15° = sin (2) ( 1 5)

= sin 30

±=

2. 2 18° 36° = = 25in 36%536° = sin (90--18)

= 25in 18 C 0s 18 C 05 36 ' 2 C 0s 18
Cos 18
2C 0518 = eosf เD
= sin 2C 1 8) C 05 36 /2 ( 05 เ8
G)= 5in 2C 3
C 0518 #=
"

2C 0518

= si ทาง '
2 Cos เ8

3. 1° 88° 89°
4°
= Sin 2 (1) cos E

= sin i ( 9 F - E ) ( si ท 9 G -11 25in °

4

Si ท ่ "

4 = 2 si ท 2°C 052

25in °

4

= Sini cos i °

cos 2 = 5in 2C 2J

Si ท 4 ° "

4 sin 4

= 2 sini Cosicos I = 1☒

25in ° ๆ

4

4. จงหาคา่ ของ 2 , 2 , 2 เม่อื กาหนด = − 3
5

และ π ≤ θ ≤ 3
2

tan 20 = 2 โaท 0

5in 2 ④ = 2 Sin 0 Cose 1- ta <อ

= 2 ( %) ( - g) = 213,1

¥= 1- (7) 2

{ #= ×

#=

COS 20 = C 0520 sin 2 อ
-

= f- ¥ | 2- 2

f- µ

¥= £ั
5 5

÷ะ
_

5. ถา้ A เป็นจานวนจริงหรอื มมุ ใด ๆ แลว้ 3 = 3 − 4 3

5in 3 A = Si ท ( 2A t A)

= 5in 2 AC 05A + C 052A Si แ A

⑤ <= ท 2 Acos A) C 05A + l 1- 2 Si A) si ท A
3A= 25in AC os 2A + si ท A -2 sin

3A= 25in A 11 - si <AI + sin A- 2 Si ท

= 25in A- 25in 3A + sin A - 2 si K

<= 3 Si ท A - 4 Si A

6. ถา้ A เป็นจานวนจริงหรือมมุ ใด ๆ แลว้ 3 = 4 3 − 3

7. กาหนด sin( 30 ) cos( 60 ) 1 จงหาค่าของ cos 3
4

Si " ( 0+3 L 1 = 5in 0C 053 L + Cos ⑦ Si ห 3 L C 0530 = 4C 0530 - 3 Cose

M { ①si= = 4 ( µ 3- 3 ( I )
ทอ- + cos e-

LCos ( อ +6 G 1 = C 050C 056 - s ไทย si ท 60 = ti ¥

{ %= coso - sino ②- =

☒

② $ { ¥① +
i coso + coso =

#Cos ⑦ =

ตัวผกผัน(อินเวอร์ส)ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ

1. จงหาค่าของมุมทีเ่ ท่ากบั ตวั ผกผนั ของฟังก์ชันในแตล่ ะข้อ

= ………………. arcsin 1 = …………¥……. 3) arcsin 2 = …………¥…….
!1) arcsin 0 2) 2 2

4) arcsin 3 = ………………. 5) arcsin 1 = ………±………. 6) arcsin 1 = ………¥….
2
2

7) arcsin 2 = ……¥……… 8) arcsin 3 = ……"…๋…… 9) arcsin 1 = ………¥……….
2 2

:10) arccos 0 = ………………. 11) arccos 1 = ………$…๋ …. 12) arccos 2 = ………¥……….
2 2
13) arccos 3 = ……………….
14) arccos 1 -
2
= …………0…. 15) arccos 1 = ……%…….
2

16) arccos 2 = ……¥………17) arccos 3 = ……%………18) arccos 1 = ………Y……
19) arctan 0
22

= …………0……. 20) arctan 1 = ………&…๋……. 21) arctan 1 = ………¥……….

3

22) arctan 3 = ………¥……. 23) arctan 1 = ………&…๋…. 24) arctan 1 = ……¥………

25) arctan 3 = ……-…$๋……. 3
2. จงหาคา่ ต่อไปน้ี
2. cos(2arccos ( 1 ))
1. sin(arccos ( 3 )) 3

2

3. cos(2arcsin ( 1 )) 3 4. sin(arcsin ( 1 ))
3 2
arcsin (g) = A 1 (atcsi แ C- | = A

252 ¥sin A =

%sin A =

|- = cog 2Atcsinf ;)i. C ° s 129 A= 3o )๋

2A= cos - si *A i. sinarcsinfjg = sin A

" 2

ะ"๊ ) µ(_ -=-

*

. / 0=
*- =

5. cos(arccos 3 ) 6. tan(arctan ( 1 ))
2 2
arctan (1) = A
1atc 05 [ | =A
2tan A --
#

C 05 A ¥= -

7. sec(arcsin 2 5 )
5

5

2 ร5

¥arcsin [ ) = A

✓5 sin A §-2
=

¥ D=(sec.

..
arcsin C- sec A

¥ ¥ 4์=

☒×
=
_

8. sin(arcos 3 + arcsin(- 3 ) ) = 5in CA + B)
55

§at Ccos =A = Si ท AC 0513 + Cos Asin 13

7C 05A = = 1¥11 ! 1 + ( %) 1

urcsinfgj = 13 = 16 - 9

8sin B = 25
-

2=
25 ☒

9. [PAT 1 ปี 2563]

tan C "๋ +2 arctan 2) ใ: tan 12 atctan ม ) มอง เ?น 2C

"๋tan + fan ( 2 avctan มา = 2 tan Carctan มา
า - tan 4 arctan E)
=

"๋ Iา - tnn
taห ( 2arctan ) = 2 (1) # §=
1- ( £ 12 =

¥= -1 + tan µ = tanc f- ¥ 1

1- C- 1) (G) ¥tm=-

} g= ÷ เ=
-

C $ ±=
✗
*=

10. {PAT 1 ปี 2562}

Dจารณา #si แ 1 = 5in ( 21T + 31+
T

> sin G3

H๋ |§ะ sin C -

C ๐_ f ¥ะ C 09

;)i. arccoscsiทาง = หา 4)¥SCC/05 ¥=
4

Dจารณา #Si ท 10 L๋5 ไขรา ( K +3 1

=

= - 5in 3 f

T

= 5in 3f
-

T

i. g)arcsinlsinlo = arcsinfsinl - "๋ 1) M๋= -

จาก โจทP &๋ # #"๋C- )= ¥=

- "

=

=

เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ

เอกลักษณ์ หมายถงึ สมการท่เี ป็นจรงิ เมอ่ื แทนตวั แปรในสมการนนั้ ด้วย

จานวนจริงใดๆ ซ่ึงทาให้พจนแ์ ต่ละพจนใ์ นสมการน้ันมีความหมาย

การพิสจู นเ์ อกลักษณ์ จาเป็นต้องใชเ้ อกลักษณ์พื้นฐานท่กี ลา่ วไปแลว้ และ

การจะพสิ จู น์ไดอ้ ยา่ งชานาญข้นึ อยูก่ ับประสบการณท์ สี่ ามารถฝกึ ฝนได้ และ

เอกลกั ษณ์บางอยา่ งสามารถพิสูจนไ์ ดห้ ลายวธิ ี

ตัวอยา่ ง 1 จงพสิ ูจนว์ า่ 2 2 − 2 +1 = 3
cosθ
522C อ
⑦ - C 1- cos 2 +1

nnern e)

Cos E

20= 3 Cos

mi = 3C 050/☒

ตัวอยา่ ง 2 จงพิสูจนว์ ่า = 1+
1−sinθ

= Fi #COS 0 " 1 t Sr

า+ •

= Cos อ [ 1 + si ท e)

1- sin 2 ⑦

= C 05 ( 1 + si ทอ 1 = 1 + sine

2 ☒

Cos ⑦ C 050

ตวั อย่าง 3 จงพสิ จู นว์ ่า x =
1+cosθ 2

= sin ✗ ำ °°5✗ = 1- cosx

- 5in ✗

1 + cos × 1- cosx = tang

= si ท ✗ C 1- cos ✗ 1

1- cos 2
✗

= si ท ✗ ( 1- Cos ✗) tangจาก = 1- Cos ✗ = sinx

2 sin ✗ 1 + coss
ท×
si

ตวั อยา่ ง 4 จงพสิ จู นว์ า่ 3 − 5 =
sin3θ+sin5θ

(30+50) (= -2 sin sin ฐ )30 -

2 .e e

(30+50) (2 sin 2 Cos ฐ )30 -

.e e

= - Xsin /40 sin c- e)

/25in /40 Cos C- e)

tge= siทอ =

Coset แบบฝกึ หัด

จงพสิ จู น์เอกลกั ษณต์ ่อไปน้ี
1. ( 2 + 2 ) + ( − )2 = 2

ofef#= S
0 +2 sinocfso + [ sifo +2 sinofose + /c อ S •

= 1+1 = 2 *

2. sec − =
1+

= dgnnf _ Sinene = 1- si *อ
C 05 ② C 050C 1 t Siแ 01

= 1 - Sino = COS ①

cosol × Hsineey 1 + sine #

า + sine

3. + = 2


= sih 0 ÷อSi

Cose +

c.

)%( #= 2
.
= 2 tan 0#

4. 1− + = 2
1−

(= 1- Si ทอง 2 cog 2 = 2- 2 Si ทอ
+
⑦ Cos 0C 1- siทอ)
= 2C 1- si ทอง
COSEC 1- sineg
-
Tท| Si *=
2- ทอ + si • + า -s 2 cos 0C 1- sin
②
= 2 sec 0 *

Cos C 1- si ทอ )

5. 2 − =
1− + 2 − 2

= C 05 ⑦ C 25 T ทอ - 1)
- si ทอ +2 si * 0

/= Co 50 ( 25 T ทอ - 1)

si ทอ ( 2 Uทอ - 1)

= Cot 0 ☒

6. ถา้ A + B + C =180° จงพิสูจน์ว่า
6.1 = sin(⁡ + )

จาก A = 18 V - CB + C)

'

180 - CB + c)
[ ]sin A = siท

= sin C 13 + C)

6.2 = −cos(⁡ + )

A = 18 V - C 13 + C)

][Cos
( 05A = 18 V- CB + C)

= - C 05 CBTCI ☒

7. จงพสิ จู นว์ ่า 2 + =
2 + +1

= 25in ocose + si ทอ

0522C ✗+- cose +✗

/= 5in 0C 2C อ 50 +า|

/C 050C 2C 050 +1)

= fan 0

8. จงพสิ ูจนว์ ่า 8 + 2 = 5
8 + 2

( W๊nn ) (%-)= 2 sin
น° cos 5 ° -2 °

(2 cos 8 [%)) cos

= Sinsones = td ท 50 ✗✗
C 0550

9. จงพสิ ูจน์ว่า 20° 40° 80° = 1 (โดยใชม้ มุ 2 เทา่ )
8

= 2 Si แ 2 V C 052 V cos 8 X

2s i ท 2 X
= 2 si ท 40C 0s 4 X C 0s 8 X

2- 2 Si ท 2 Y

ไทย25- ื
-
Y cos 80

2 - 4 Si ท 2 Y

= sin 1 แ
85in 2 Y

= Sin ( 180-2V 1 = 5in ° น ☒=
85in 2 Y
20

~ -

gแ 2 Y

สมการตรโี กณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมติ ิทาไดใ้ นทานองเดียวกนั กบั การแก้สมการทวั่ ไป สมการ
ลอการิทึม หรอื สมการเอกซโ์ พเนนเชียล โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ
เพอ่ื หาคาตอบของสมการ

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแก้สมการ 2 2 + 3 − 3 = 0 เมื่อ 0° ≤ θ ≤ 360°

0522 C 1- C ⑦ ) + 3 coso - 3 = o ±COS ⑦ =

0520- 2C + 3 cos อ า- X0 6= , 30 Y

=o

05202C - 3 Cos ② +1 =o COS 0 = 1

12C 050 - 1) CC ose - 1) - o ⑦ Y= , 36 ๐ °
_

±Cos ⑦ = ,า i. 0 เองำ= 0 \30 3 เY

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแกส้ มการ 3sec − + 2 = 0 เม่อื 0 ≤ θ ≤ 2π

3 Cos 0 +2 = o CCOS ⑦ - 3) ( cose +1) = o

Cos 0 _

C 050 ☒= 1
,

00523- ① + 2 cose = o 0 =P

0520C - 2C 050 3- = 0

แบบฝึกหดั
1.จงหาเซตคาตอบของสมการ √3 2 + 2 = 0 เม่อื 0 ≤ θ ≤ 2π

2. จงหาเซตคาตอบของสมการ 2 + 2 2 = 1 เม่อื 0 ≤ ≤ 2π
2

2 ±C 05 ✗ =

2C os
¥C 052 ✗ + า- =o

(E)2C os 2✗ 1- t Cos 2 =o ✗ = ]ง]

2 Cos 2 + cos ✗ -1 =o cosx = -1
×

C 2 Cos ✗ -111 Cos × + 1) =o ✗ =P

Cos ✗ ¥= , -1 { { % ¥} ☒

3.จงหาเซตคาตอบของสมการ + 2 = เมือ่ 0 ≤ ≤ 2π

[ °5✗ #+ 2 Sinx = {COS ✗ = - ,1
2.
_ ✗

sin ✗ Co 5 ✗

=1

*Cos ✗ t 2 Si ✗ =y ✗ = 0g 2 P

2C 1- Cos 2 ) + cos × -1 =o COSX ฐ=
✗
-

052- 2C ✗ TC os ✗ +1

=o ^ "๋✗ = 2 , 4
=o
2C 052 ✗ - Cos ✗ -1

l 2C 05 × + 1) Ccosx _ า g = o ]{Ans
]ง0,2 4 s 24

4.จงหาเซตคาตอบของสมการ 4 2 − 3 2 = 0 เม่ือ 0° ≤ θ < 360°

a*4 t e- ง C 1 + fa*อ ) = o tane - s

°

⑦ = 6 X 240
,

4 ta*อ - 3 ta *อ - 3 = o tane = ง-

tan 2 อ ° 3°
ออ
0 = 120

3_. ,

tan อ ง= ± { เอง }ำเ 2 24 X 30 Y *
,

5.จงหาเซตคาตอบของสมการ 3 − 3 =

เมือ่ 0° ≤ θ < 360°

( e)Sin 2 si ท -1 = o

3 อ- = cose

si แ 20 12siทอ =

= C 050 0ะ 3Y 15 X

,

2 Si แ 0C 05 ② - Cose = o

{ _ } *3
9Y , 15 V 2 าY
,
Cos 0 C 2 sino - 1)
=0

C 05 ⑦ =0

0 °

= 90 , 270°

PAT 1 ปี 2563

c

- asina [{ ` ]:_ ( )3= '
- Sih A
.mn

Cos 3 อ Y

a + 1 = 3 (2)
a +1 = 6

#a = 5

§C 05 ✗ + si ท ✗ =

2) ¥ccos ✗ (= - sinx 2

)

2 = H๋ a-2.es i ท ✗ + si*×

Cos ×

¥ H๋1- si * ✗ = si * × -
5in × +

c2 Si b -2 5 ¥sinx - =0
_

*-Tcb ±✗ =-

.

2a

sinx = 2 ± รายงา#น
5
4

÷ะ ± .EE

ะd้ ✗ I า ÷ × I

f ÷5in ✗ = ✓5
1
5 1

✗) [

2

tan ✗ - cof ✗

G-= - C- 2)

{=- +2

ฐ= *

กฎของไซน์และโคไซน์
กฎของโคไซน์

ตัวอยา่ งท่ี 1 กำหนดให้ a = 15 , b = 7 , c = 13 จงหำค่ำของ C

2 2 b 2- 2 abcosc
a+
C=

152+72l 32 = - 2C 15) (7) C 05C

/ 69 = 225 + 49 - 210 Cos C

COSC = 225 + 49 - 169

= 210

105 ¥=
210

C = 6! ☒