E - Book พหุนาม

MATH E - BOOK

เรื่อง พหุนาม

รายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2

จัดทำโดย

นางสาวอุมาพร เชี่ยวณรงค์กร
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนชำนาญสามัคคีวิทยา

คำนำ

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2

จัดทำขึ้นเพื่อใช้ประกอบการเรียนการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน เพื่อให้

นักเรียนเกิดการเรียนรู้ เข้าใจบทเรียนได้ดียิ่งขึ้น สามารถจดจำเนื้อหาในบทเรียน

ต่างๆ ได้คงทน ทราบความก้าวหน้าของตนเอง สามารถนำแบบฝึกหัดมาทบทวน

เนื้อหาเดิมด้วยตนเองได้ นอกจากนี้ยังเป็นเครื่องบ่งชี้ให้ครูมองเห็นจุดเด่นหรือ

จุดบกพร่องของนักเรียนได้อย่างชัดเจน ช่วยในการแก้ปัญหาการเรียนรู้ของ

นักเรียนเป็นรายบุคคลและเป็นกลุ่มได้ รวมทั้งใช้เพื่อประเมินความก้าวหน้าทาง

การเรียนรู้ พัฒนาทักษะการคำนวณ และทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ให้นักเรียนสามารถเรียนรู้และพัฒนาชีวิต และเป็นเครื่องมือในการเรียนรู้ในระดับ

ที่สูงขึ้น หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง เส้นขนาน ประกอบด้วย

คำแนะนำในการใช้แบบฝึกทักษะสำหรับครู คำแนะนำในการใช้แบบฝึกทักษะสำหรับ

นักเรียน จุดประสงค์ของบทเรียน สาระสำคัญ สาระการเรียนรู้ และตัวชี้วัด

แบบทดสอบก่อนเรียน - หลังเรียน ใบความรู้ แบบฝึกหัด เฉลยแบบฝึกหัด

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน - หลังเรียน ซึ่งนอกจากจะใช้ประกอบการเรียน

การสอนในห้องเรียนแล้ว ยังใช้เป็นแบบฝึกหัด นอกเวลาเรียนเพื่อฝึกทักษะ

เพิ่มเตWิมHEไดR้EอีDกIDด้วTHยE S นT OอRยY่าUงNยิF่OงLว่Dา?หนังสือคณิตศาสWตHรA์SอTิAเANลR็DกE CทTOHรNEอFI RนLิITกCETสN์SS? เI Oรื่Nอง
ผู้จัดทำหวังเป็

เส้นขนาน เล่มนี้ จะช่วยให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้ มีทักษะกระบวนการทาง

คณิตศาสตร์ มีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ และนำไปใช้ให้เกิดประโยชน์ใน

ชีวิตประจำวันต่อไปได้อย่างมีประสิทธิภาพ

นางสาวอุมาพร เชี่ยวณรงค์กร

คำชี้แจง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ (Math E - Book)
เรื่อง พหุนาม ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่มนี้ ประกอบด้วย

คำแนะนำการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับครู
คำแนะนำการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับนักเรียน
ขั้นตอนการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับนักเรียน
การสื่อความหมายของรูปภาพและกรอบที่ควรรู้
สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวชี้วัด
จุดประสงค์ของบทเรียน
ผังมโนทัศน์
ใบความรู้/ใบกิจกรรม
แบบฝึกหัด
เฉลยแบบฝึกหัด
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน

สารบัญ หน้า

เรื่อง 1
2
คำแนะนำการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับครู 3
คำแนะนำการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับนักเรียน 4
ขั้นตอนการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับนักเรียน 6
การสื่อความหมายของรูปภาพและกรอบที่ควรรู้ 7
ผังมโนทัศน์ 8
จุดประสงค์ของบทเรียน 12
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง พหุนาม 13
ทบทวนความรู้ก่อนเรียน 13
เรื่องที่ 1 เอกนาม 15
ใบความรู้ที่ 1.1 เรื่อง เอกนาม 16
แบบฝึกหัด 1.1 เรื่อง เอกนาม 16
เรื่องที่ 2 การบวกและการลบเอกนาม 17
ใบความรู้ที่ 2.1 เรื่อง เอกนามที่คล้ายกัน 18
กิจกรรม WHO ARE YOU? 19
แบบฝึกหัด 2.1 เรื่อง เอกนามที่คล้ายกัน 21
ใบความรู้ที่ 2.2 เรื่อง การบวกเอกนาม 23
แบบฝึกหัด 2.2 เรื่อง การบวกเอกนาม 25
ใบความรู้ที่ 2.3 เรื่อง การลบเอกนาม
แบบฝึกหัด 2.3 เรื่อง การลบเอกนาม

สารบัญ หน้า

เรื่อง 27
29
เรื่องที่ 3 พหุนาม 29
ใบความรู้ที่ 3.1 เรื่อง พหุนาม
แบบฝึกหัด 3.1 เรื่อง พหุนาม 31
เรื่องที่ 4 การบวกและการลบพหุนาม 31
ใบความรู้ที่ 4.1 เรื่อง การบวกพหุนาม 32
แบบฝึกหัด 4.1 เรื่อง การบวกพหุนาม 34
ใบความรู้ที่ 4.2 เรื่อง การลบพหุนาม 36
แบบฝึกหัด 4.2 เรื่อง การลบพหุนาม 38
กิจกรรม ภาพปริศนา 39
เรื่องที่ 5 การคูณพหุนาม 39
ใบความรู้ที่ 5.1 เรื่อง การคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม 40
แบบฝึกหัด 5.1 เรื่อง การคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม 41
ใบความรู้ที่ 5.2 เรื่อง การคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม 42
แบบฝึกหัด 5.2 เรื่อง การคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม 44
ใบความรู้ที่ 5.3 เรื่อง การคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม 45
แบบฝึกหัด 5.3 เรื่อง การคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม
47
เรื่องที่ 6 การหารพหุนาม 47
ใบความรู้ที่ 6.1 เรื่อง การหารเอกนามด้วยเอกนาม 49
แบบฝึกหัด 6.1 เรื่อง การหารเอกนามด้วยเอกนาม 51
ใบความรู้ที่ 6.2 เรื่อง การหารพหุนามด้วยเอกนาม 52
แบบฝึกหัด 6.2 เรื่อง การหารพหุนามด้วยเอกนาม 54
สรุปท้ายบท

สารบัญ หน้า

เรื่อง 55
59
แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง พหุนาม 62
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง พหุนาม 62
เฉลยแบบแบบฝึกหัด เรื่อง พหุนาม 63
แบบฝึกหัดที่ 1.1 เรื่อง เอกนาม 64
แบบฝึกหัดที่ 2.1 เรื่อง เอกนามที่คล้ายกัน 66
แบบฝึกหัดที่ 2.2 เรื่อง การบวกเอกนาม 68
แบบฝึกหัดที่ 2.3 เรื่อง การลบเอกนาม 70
แบบฝึกหัดที่ 3.1 เรื่อง พหุนาม 72
แบบฝึกหัดที่ 4.1 เรื่อง การบวกพหุนาม 74
แบบฝึกหัดที่ 4.2 เรื่อง การลบพหุนาม 75
แบบฝึกหัดที่ 5.1 เรื่อง การคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม 77
แบบฝึกหัดที่ 5.2 เรื่อง การคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม 79
แบบฝึกหัดที่ 5.3 เรื่อง การคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม 81
แบบฝึกหัดที่ 6.1 เรื่อง การหารเอกนามด้วยเอกนาม 83
แบบฝึกหัดที่ 6.2 เรื่อง การหารพหุนามด้วยเอกนาม 86
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง พหุนาม
บรรณานุกรม

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 1

คำแนะนำการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับครู

การใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ (Math E - Book) เรื่อง พหุนาม
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่มนี้ ครูผู้สอนมีบทบาทสำคัญที่จะช่วยให้การเรียนรู้ของ
นักเรียนบรรลุวัตถุประสงค์ ครูผู้สอนจึงควรศึกษารายละเอียดเกี่ยวกับการปฏิบัติตน
ก่อนที่จะใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์นี้

1. ศึกษา E - Book ให้เข้าใจ ก่อนนำไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียน
การสอน

2. ชี้แจงขั้นตอนการเรียนโดยใช้ E - Book เล่มนี้ให้นักเรียนเข้าใจ
โดยละเอียด

3. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนก่อนศึกษาใบความรู้และทำ
แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์

4. จัดกิจกรรมการเรียนการสอน โดยใช้ E - Book เล่มนี้ควบคู่กับ
แผนการจัดการเรียนรู้

5. ขณะปฏิบัติกิจกรรม ครูควรดูแลให้นักเรียนปฏิบัติตามขั้นตอนและ
คอยให้คำแนะนำ เมื่อนักเรียนพบปัญหา เปิดโอกาสให้นักเรียนได้ซักถาม

6. ประเมินผลการเรียนของนักเรียนอย่างต่อเนื่องและให้การเสริมแรง
ทางบวกในการปฏิบัติกิจกรรมของนักเรียน

7. เมื่อนักเรียนทำแบบฝึกหัดเสร็จเรียบร้อยแล้ว ครูแลนักเรียนช่วยกัน
ตรวจคำตอบจากเฉลย อภิปราย และสรุปสาระสำคัญ

8. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน เมื่อนักเรียนทำเสร็จให้ช่วยกัน
ตรวจคำตอบจากเฉลย

9. ครูตรวจสอบความถูกต้อง บันทึกผลคะแนนหลังการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้โดยใช้ E - Book และแจ้งผลคะแนนให้นักเรียนได้ทราบ

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 2

คำแนะนำการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับนักเรียน

การใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ (Math E - Book) เรื่อง พหุนาม
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่มนี้ สร้างขึ้นเพื่อช่วยให้นักเรียนสามารถศึกษาได้ด้วย
ตนเอง ให้นักเรียนอ่านคำแนะนำ และปฏิบัติกิจกรรมแต่ละขั้นตอนตั้งแต่ต้นจนจบ
นักเรียนจะได้รับความรู้อย่างครบถ้วนโดยปฏิบัติตามขั้นตอน ดังนี้

1. อ่านคำชี้แจงและขั้นตอนการใช้ E - Book ให้เข้าใจโดยละเอียด
ก่อนลงมือปฏิบัติกิจกรรม

2. นักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียน

3. นักเรียนศึกษาใบความรู้และตัวอย่างที่ครูนำเสนอไว้ใน E - Book
ในแต่ละเรื่องให้เข้าใจ เมื่อนักเรียนเกิดข้อสงสัยให้สอบถามครูผู้สอน

4. นักเรียนทำแบบฝึกหัดในแต่ละเรื่องด้วยความตั้งใจ และมุ่งมั่น
จนครบทุกข้อ

5. นักเรียนสามารถตรวจคำตอบได้จากเฉลยในภาคผนวกของ
แบบฝึกหัดในแต่ละเล่ม

6. นักเรียนควรมีวินัย และความซื่อสัตย์ต่อตนเองในการทำแบบทดสอบ
และแบบฝึกหัด โดยการไม่เปิดดูเฉลยก่อนลงมือทำ

7. เมื่อนักเรียนทำแบบฝึกหัดครบทุกเรื่องแล้ว ให้นักเรียนทำแบบทดสอบ
หลังเรียนในเล่ม ด้วยความรอบคอบและซื่อสัตย์

8. เมื่อนักเรียนทำแบบทดสอบเสร็จแล้ว ช่วยกันตรวจคำตอบจากเฉลย
แล้วบันทึกคะแนนที่ได้ และส่งให้ครูผู้สอนเพื่อบันทึกคะแนนการพัฒนา

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 3

ขั้นตอนการใช้หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์สำหรับนักเรียน

อ่านคำแนะนำสำหรับผู้เรียน

ทำแบบทดสอบก่อนเรียน

ศึกษาใบความรู้และทำกิจกรรมโดย
1) ศึกษาเนื้อหา
2) ทำแบบฝึกหัด
3) ตรวจแบบฝึกหัด

ทำแบบทดสอบหลังเรียน

ไม่ผ่าน

ประเมินผล

ผ่าน
ศึกษา E - Book เล่มต่อไป

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 4

การสื่อความหมายของรูปภาพและกรอบที่ควรรู้

จุดประสงค์ของบทเรียน ผังมโนทัศน์

ความรู้และทักษะที่นักเรียน แผนภาพที่แสดงขอบเขตของ
ควรทำได้เมื่อเรียนจบ เนื้อหาและความเชื่อมโยงระหว่าง
E - Book เล่มนี้ สาระการเรียนรู้ต่าง ๆ

แบบทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน ทบทวนความรู้ก่อนเรียน

แบบทดสอบ เพื่อตรวจสอบ ทบทวนเนื้อหา หรือความรู้
ความรู้ก่อนเข้าสู่บทเรียนและ ก่อนเรียน เพื่อเตรียมความพร้อม
หลังจากเรียนจบบทเรียนแล้ว สำหรับการเรียนเนื้อหาใหม่

ใบความรู้ ใบกิจกรรม

เนื้อหา ความรู้ และตัวอย่าง กิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ลงมือ
ที่เรียบเรียงจัดทำขึ้นเพื่อ ปฏิบัติ เพื่อฝึกการสังเกต ฝึกการคิด
ให้ผู้เรียนศึกษาเรียนรู้ และเพื่อให้เกิดการเรียนรู้หรือสร้าง
ด้วยตนเอง องค์ความรู้ใหม่ ๆ

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 5

การสื่อความหมายของรูปภาพและกรอบที่ควรรู้

ชวนคิด ข้อสังเกต

คำถามเพื่อตรวจสอบความรู้หรือ ข้อมูลหรือความรู้ทางคณิตศาสตร์
ขยายความรู้ จากเนื้อหาตัวอย่าง สังเกตและสรุปได้จากเนื้อหา หรือ
หรือใบงาน โดยเน้นให้เกิดการ ตัวอย่าง เพื่อส่งเสริมให้นักเรียนได้
อภิปรายกันในชั้นเรียน ฝึกการสังเกตคาดการณ์และสรุป

สื่อเสริมการเรียนรู้ แบบฝึกหัด

ข้อมูล วิดีทัศน์ เกม หรือโปรแกรม แบบฝึกหัด เพื่อให้นักเรียนได้ประยุกต์
ทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มเติมจาก ใช้ความรู้ที่ได้จากหัวข้อต่าง ๆ ใน
เนื้อหา ตัวอย่าง หรือใบงาน บทเรียนนี้ รวมทั้งบทเรียนก่อนหน้า
เพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาเพิ่มเติม ใช้ในการแก้ปัญหาการเรียนเนื้อหาใหม่

เฉลยแบบฝึกหัด เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน - หลังเรียน

เฉลยแบบฝึกหัดที่มีการแสดง เฉลยแบบทดสอบ เพื่อให้นักเรียน
วิธีทำ เพื่อให้นักเรียนสามารถ สามารถตรวจสอบความรู้ก่อนเข้า
ตรวจสอบความถูกต้องของ สู่บทเรียน และหลังจากเรียนจบ
การทำใบงานด้วยตนเอง บทเรียนด้วยตนเอง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 6

ผังมโนทัศน์

พหุนาม การบวกและ
การลบพหุนาม
ความหมายของพหุนาม
การบวกพหุนาม
การลบพหุนาม

การบวกและ 03 04 การคูณพหุนาม
การลบเอกนาม 02
05 การคูณเอกนามกับเอกนาม
การบวกเอกนาม การคูณเอกนามกับพหุนาม
การลบเอกนาม การคูณพหุนามกับเอกนาม

เอกนาม 01 พหุนาม 06 การหารพหุนาม

ความหมายของเอกนาม การหารเอกนามด้วยเอกนาม
การหารพหุนามด้วยเอกนาม
ที่มีผลหารเป็นพหุนาม

ตัวชี้วัด

เข้าใจหลักการการดำเนินการของพหุนาม และใช้พหุนามในการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์ (ค 1.2 ม.2/1)

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 7

จุดประสงค์ของบทเรียน

เมื่อเรียนจบบทเรียนนี้แล้ว นักเรียนสามารถ

1 อธิบายความหมายของเอกนาม และพหุนามได้

2 หาผลบวก ผลลบ ผลคูณของพหุนาม และหาผลหารของพหุนามด้วย
เอกนามในรูปผลสำเร็จ

3 นำความรู้เรื่อง พหุนาม ไปใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 8

แบบทดสอบก่อนเรียน คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง พหุนาม

คำชี้แจง :

1. แบบทดสอบฉบับนี้มีจำนวน 4 หน้า (รวมปก)
2. แบบทดสอบฉบับนี้เป็นแบบทดสอบปรนัย 4 ตัวเลือก จำนวน 20 ข้อ

ข้อละ 1 คะแนน รวมทั้งหมด 20 คะแนน
3. เวลาในการทำแบบทดสอบ 50 นาที
4. ให้เขียนชื่อ - สกุล ระดับชั้น เลขที่ ลงในกระดาษคำตอบด้วยปากกาสีน้ำเงิน
5. ในการตอบให้นักเรียนใช้ปากกาสีน้ำเงินกาเครื่องหมายกากบาท (x) ลงใน

ช่องว่างให้ตรงกับตัวเลือก ก ข ค หรือ ง ในกระดาษคำตอบ ในแต่ะละข้อ
มีคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว ถ้าต้องการเปลี่ยนตัวเลือกใหม่ให้ใช้
ปากกาลบคำผิดลบรอยกากบาทในตัวเลือกเดิมให้สะอาด แล้วจึงกาเครื่องหมาย
กากบาทในตัวเลือกใหม่

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 9

1. นิพจน์ในข้อใดไม่เป็นเอกนาม ข. 9x2y3
ก. -4x ง. 0.5xyz
ค. 5x + 2

2. นิพจน์ในข้อใดไม่เป็นเอกนาม ข. 100
ก. 3ab5 ง. 7a2b3 c-2
ค. 10
a-2

3. ข้อใดคือสัมประสิทธิ์และดีกรีของ -5x2y3
ก. สัมประสิทธิ์ คือ 5 และดีกรี คือ 5 ข. สัมประสิทธิ์ คือ 5 และดีกรี คือ 6
ค. สัมประสิทธิ์ คือ -5 และดีกรี คือ 5 ง. สัมประสิทธิ์ คือ -5 และดีกรี คือ 6

4. เอกนามในข้อใดเป็นเอกนามคล้ายกัน ข. -6xy และ 7xy
ก. 3ab และ 3abc ง. 7pqr และ -7pq
ค. 10m2n3 และ 15m3n2

5. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 3x2+ 5x2- 6x2 ข. -x2
ก. -2x2 ง. 2x2
ค. x2

6. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 4m - (-7m) - 15m

ก. -4m ข. -3m

ค. 3m ง. 4m

7. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 5x - 2y + 4x + 6y

ก. 9x - 4y ข. 9x + 4y

ค. 9x - 8y ง. 9x + 8y

8. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 4a2- (-3a) - 5a2+ 2a

ก. -a2- 5a ข. -a2 + 5a

ค. a2- 5a ง. a2+ 5a

9. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ (3x + 2) + (4x - 6)

ก. 7x - 4 ข. 7x + 4

ค. 7x - 8 ง. 7x + 8

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 10

10. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ (10m2- 2m + 2) + (5m2- 4m)

ก. 15m2 - 2m + 2 ข. 15m2 + 2m + 2

ค. 15m2- 6m + 2 ง. 15m2+ 6m + 2

11. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ (4a + 2) - (9a - 10)

ก. -5a - 8 ข. -5a + 8

ค. -5a - 12 ง. -5a + 12

12. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ (6x2- 3x + 3) - (-7x + 1)

ก. 6x2+ 4x + 2 ข. 6x2+ 4x + 4

ค. 6x2+ 10x + 2 ง. 6x2+ 10x + 4

13. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ (7xy)(-3x5) ข. -21x6y
ก. -21x5y ง. 21x6y
ค. 21x5y

14. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 5x(3x2+ 2) ข. 15x2 + 10x
ก. 15x2+ 7x ง. 15x3 + 10x
ค. 15x3+ 7x

15. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ -9y(2y2 + 7y - 3)

ก. -18y3- 63y2- 27y ข. -18y3+ 63y2- 27y

ค. -18y3- 63y2+ 27y ง. -18y3+ 63y2+ 27y

16. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ (7x + 2)(3x + 1)

ก. 21x2 + 12x + 2 ข. 21x2 + 12x + 3

ค. 21x2 + 13x + 2 ง. 21x2 + 13x + 3

17. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ (4a3- 2)(3a - 6)

ก. 12a4- 24a3 - 6a - 12 ข. 12a4- 24a3- 6a + 12

ค. 12a4 + 24a3 - 6a - 12 ง. 12a4 + 24a3- 6a + 12

18. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 36a5b4
6a2 b2
ก. 6a2 b2 ข. 6a2b3
ง. 6a3b3
ค. 6a3 b2

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 11

19. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 10a6b4 + 25a5 ข. 2a3b4+ 5a2
5a3 ง. 2a3b4 + 5a3

ก. 2a2b4+ 5a2

ค. 2a2b4+ 5a3

20. ข้อใดคือผลลัพธ์ของ 14x5 + 21x3 y2- 35x2y

ก. -2x3+ 3xy2- 5y -7x2 ข. -2x3 - 3xy2 + 5y

ค. -2x3+ 3xy2- 5xy ง. -2x3 - 3xy2 + 5y

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 12

ทบทวน

ความรู้ก่อนเรียน

สมบัติของเลขยกกำลัง
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนใด ๆ โดยที่ a ≠ 0 และ b ≠ 0

m และ n เป็นจำนวนเต็ม

1. am× a n = am + n

2. am÷ an = am - n

3. (am)n = amn

4. (ab)n = an bn
an( an
(5.b = bn

สมบัติของการบวกและการคูณจำนวนจริง
เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ

1. สมบัติการสลับที่
a+b = b+a
a×b = b×a

2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b + c)

3. สมบัติการแจกแจง
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(b + c) × a = (b × a) + (c × a)

4. สมบัติของหนึ่งและศูนย์
a× 1 = a = 1×a
a+0 = a = 0+a
a×0 = a = 0×a
0 ÷ a = 0 โดยที่ a ≠ 0
ถ้า a × b = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 13

ใบความรู้ที่ 1.1 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง เอกนาม วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

นักเรียนเคยพบเห็นจำนวนที่อยู่ในรูปของค่าคงตัวหรือตัวแปรซึ่งอยู่ในรูป
การดำเนินการต่าง ๆ เช่น 7, 5x, -6y, 0.5m2, 8x - 6y ซึ่งเราเรียกจำนวนเหล่านี้
ว่า นิพจน์ (expression)

เราสามารถเขียนนิพจน์ที่อยู่ในรูปก
ารคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปรหลาย ๆ ตัว
ได้หลายแบบ เช่น (-3) × x × x × y เขียนในรูป (-3) · x · x · y หรือ (-3) · x2· y
หรือ -3x2y แต่นิยมเขียนในรูป -3x2y ซึ่งเป็นรูปที่สั้นและกะทัดรัด

การเขียนการคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปร

1. กรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่าหนึ่งตัว ให้หาผลคูณของค่าคงตัวก่อน แล้วจึงเขียนในรูป

การคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปร และเขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร

เช่น 2 × 3 × 5 × x เขียนเป็น 30x

2. กรณีที่มีตัวแปรหลายตัว นิยมเขียนเรียงตามลำดับตัวอักษรโดยเขียนเรียงชิดกัน

และใช้สัญลักษณ์เลขยกกำลังในกรณีที่เป็นไปได้

เช่น 3 × m × m × n เขียนเป็น 3m2n
5 5

7 × a × b × a × b × c เขียนเป็น 7a2b2 c

3. กรณีที่มีค่าคงตัวเป็น 1 ไม่ต้องเขียน 1 ถ้าค่าคงตัวเป็น -1 ให้เขียนเฉพาะเครื่องหมาย

ลบหน้าตัวแปรทั้งหมด

เช่น 1 × x × y เขียนเป็น xy

(-1) × y × z × x เขียนเป็น -xyz

เอกนาม (monomial)

เอกนาม เป็นนิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่
หนึ่งตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 14

ตัวอย่างของนิพจน์ที่เป็นเอกนาม

6x 2 เป็นเอกนาม มี 6 เป็นค่าคงตัว x เป็นตัวแปร และมีเลขชี้กำลังเท่ากับ 2
4 m5n6 เป็นเอกนาม มี 4 เป็นค่าคงตัว m และ n เป็นตัวแปร
77

และมีเลขชี้กำลังของ m เท่ากับ 5 เลขชี้กำลังของ n เท่ากับ 6
20 เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียน 20 ให้อยู่ในรูปที่มีตัวแปรได้ เช่น 20x0

20x0 มี 20 เป็นค่าคงตัว มี x เป็นตัวแปร และเลขชี้กำลังเท่ากับ 0

ตัวอย่างของนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม

7x -5 ไม่เป็นเอกนาม เพราะ ตัวแปร x มีเลขชี้กำลังเป็น -5 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มลบ
4a2
b ไม่เป็นเอกนาม เพราะ เมื่อเขียน 4a2 ในรูปการคูณจะได้ 4a2b-1
b

ทำให้ b มีเลขชี้กำลังเป็น -1 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มลบ

2x + 6 ไม่เป็นเอกนาม เพราะ ไม่สามารถเขียนนิพจน์นี้ให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัว
กับตัวแปรได้

เอกนามมีส่วนประกอบสองส่วน ดังนี้
1. ส่วนที่เป็นค่าคงตัว เรียกว่า สัมประสิทธิ์ (coefficient) ของเอกนาม
2. ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปร หรือการคูณกันของตัวแปร โดยเราเรียกผลบวกของ
เลขชี้กำลังของตัวแปรทั้งหมดในเอกนามว่า ดีกรี (degree) ของเอกนาม

ตัวอย่างที่ 1 จงบอกว่านิพจน์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นเอกนามหรือไม่ ถ้าเป็นเอกนามให้
บอกสัมประสิทธิ์ ตัวแปร และดีกรีของเอกนามนั้นด้วย

นิพจน์ เอกนาม ไม่เป็นเอกนาม สัมประสิทธิ์ ตัวแปร ดีกรี

1) 3x2 3 x2

2) -6x3y 5 -6 x, y 8

3) 12x5y-2z - --

4) 0.5abc 0.5 a, b, c 3
5) mn-4
6) 5x - 6 - --
7) 55 - --

55 ตัวใดก็ได้ 0

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 15

แบบฝึกหัดที่ 1.1 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง เอกนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนบอกว่านิพจน์ที่กำหนดให้เป็นเอกนามหรือไม่ ถ้าเป็นเอกนาม
ให้บอกสัมประสิทธิ์ ตัวแปร และดีกรีของเอกนามนั้นด้วย

นิพ
จน์ เป็
น ไม่เ
ป็น สัมประสิทธิ์ ตัวแ
ปร ดีก
รี
เอกนาม เอกนาม

1) 5x2y
4





2) 7x3y
-5 z





3) -5ab
2 c2





4) 3.7m
np




5) 11m
n-7




6) 9xy
2 + 12





7) 15









8) 52a
bc3









9) 10

xy
5

10) m-11
7n-2

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Open the box
เรื่อง เอกนาม โดยสแกน QR Code ด้านข้าง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 16

ใบความรู้ที่ 2.1 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง เอกนามที่คล้ายกัน วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

เอกนามที่จะนำมาบวกหรือลบกันได้ จะต้องเป็นเอกนามที่คล้ายกัน ดังนั้น
ก่อนที่จะทำการบวกหรือลบเอกนามต้องตรวจสอบก่อนว่าเป็นเอกนามที่คล้ายกัน
หรือไม่

เอกนามสองเอกนามจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อ

1. เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน
และ 2. เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน

สำหรับค่าคงตัวสองจำนวนใด ๆ ถือว่าเป็นเอกนามที่คล้ายกัน เช่น 10 และ -24
เป็นเอกนามที่คล้ายกัน

ตัวอย่างของเอกนามที่คล้ายกัน

7x คล้ายกันกับ -6x
คล้ายกันกับ 3.67ab
2 ab คล้ายกันกับ 200
3

27

ตัวอย่างของเอกนามที่ไม่คล้ายกัน
3m ไม่คล้ายกันกับ 2n
-9ab2 ไม่คล้ายกันกับ 4a2b
16xy ไม่คล้ายกันกับ -8xyz

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Match up เพื่อ
จับคู่เอกนามที่คล้ายกัน โดยสแกน QR Code
ด้านข้าง

กิจกรรม หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 17

WHO ARE YOU ?

ขั้นตอนการทำกิจกรรม
1. ให้นักเรียนพิจารณาว่า เอกนามที่กำหนดให้ต่อไปนี้คล้ายกันกับเอกนามใดใต้ใบหน้า
2. จากนั้นให้นักเรียนวาดรูปที่กำกับเอกนามนั้น ลงบนใบหน้าที่มีเอกนามที่คล้ายกันกับ

เอกนามที่กำหนดให้ เพื่อให้ใบหน้านั้นมีหน้าตาที่สมบูรณ์

-ab2 10a2b2 -5xy 0.2xyz -3x2

3.5mn 25ab3 235 6m4n5 11x3

3xyz -4x 2 6a2b2 -7ab2 -7mn

-m4n5 -5x 3 -100 35ab3 -7ab2

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 18

แบบฝึกหัดที่ 2.1 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง เอกนามที่คล้ายกัน

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนบอกว่าเอกนามที่กำหนดให้แต่ละคู่คล้ายกันหรือไม่

1) 9xy 4xy

2) 5ab 10abc

3) -7x 12x2
4) 15xy2 17xy 2

5) -mn 0.5mn

6) a2 b3 11a3b 2

7) 100 -20
8) s3t2w5 w5s3t2
9) 3z2 3m2
35xz
10) -5xz 0.4ab2
10a2
11) 20ab2
0.4pqr2
12) 7 -2.5x
a-2
11yx
13) 25pq2

14) x
5

15) -5xy

คำชี้แจง : ให้นักเรียนยกตัวอย่างเอกนามที่คล้ายกันกับเอกนามต่อไปนี้

1) 6abc คล้ายกันกับ

2) -2.57 คล้ายกันกับ

3) 3m4n4 คล้ายกันกับ

4) 1.5xyz3 คล้ายกันกับ

5) 4st2 คล้ายกันกับ

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 19

ใบความรู้ที่ 2.2 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง การบวกเอกนาม วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

การบวกเอกนามที่คล้ายกัน เช่น 7x กับ 3x และ -6abc กับ 3abc ใช้สมบัติ
การแจกแจงในการหาผลบวกได้ดังนี้

7x + 3x = (7 + 3)x
= 10x

-6abc + 3abc = (-6 + 3)abc
= -3abc

การหาผลบวกของเอกนามที่คล้ายกันใช้หลักเกณฑ์ ดังนี้

ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน
= (ผลบวกของสัมประสิทธิ์) × (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)

สำหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น x2 กับ 3x นั้น ไม่สามารถเขียนผลบวกในรูป
เอกนามได้ แต่เขียนผลบวกในรูปการบวกได้เป็น x2 + 3x

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้

1) 6xy 2 + 15xy2

วิธีทำ 6xy2 + 15xy2 = (6 + 15)xy2
ตอบ 21xy2 = 21xy2

2) 7m3n4 + (-m3n4) = [7 + (-1)]m3n4
วิธีทำ 7m3n4 + (-m3n4) = 6m 3n 4

ตอบ 6m3n 4

ข้อสังเกต
ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน ยังคงเป็นเอกนาม

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 20

เนื่องจากในที่นี้เอกนามแทนจำนวน ดังนั้น จึงสามารถนำสมบัติการสลับที่การบวก
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก หรือ สมบัติของหนึ่งและศูนย์ มาใช้ในการหาผลบวก
ของเอกนามได้ด้วย

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก -4y7+ 5y7+ (-5y7)

วิธีที่ 1 -4y7+ 5y 7+ (-5y7) = (-4y7+ 5y 7) + (-5y7)
= [(-4) + 5]y7+ (-5y7)
ตอบ -4y7 = y7 + (-5y7)
= [1 + (-5)]y7
วิธีที่ 2 -4y7 + 5y7+ (-5y7) = -4y7

= -4y7 + [5y7 + (-5y7)]
= -4y7 + [5 + (-5)]y7
= -4y7 + 0 · y 7
= -4y7 + 0
= -4y7

ตอบ -4y7

วิธีที่ 3 -4y7 + 5y7+ (-5y7) = [(-4) + 5 + (-5)]y7
= -4y7

ตอบ -4y7

ชวนคิด C
จงเติมเอกนามที่หายไปให้ถูกต้อง เมื่ออิฐที่เรียงอยู่ในลักษณะ AB
มีความสัมพันธ์เป็น A + B = C

15n

5n -9n
2n

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 21

แบบฝึกหัดที่ 2.2 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง การบวกเอกนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี้

1) 7x + 5x =

=

2) 10x + (-9x) =

=

3) -27x + 17x =

=

4) -11x + (-3x) =

=

5) 6xy + 7xy =

=

6) -5ab + (-3ab) =

=

7) 4y2 + (-10y2) =

=

8) -27st2 + 30st2 =

=

9) 15xyz + 12xyz =

=

10) -9pqr + (-11pqr) =

=

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 22

11) 4x + 5x + 2x =
=

12) -8x + (-2x) + (-5x) =
=

13) -27x + (-3x) + 9x =
=

14) 100x + 25x + (-30x) =
=

15) 9x2 + 11x2 + 4x2 =
16) -6y3 + (-4y3) + 10y3 =
=
=

17) 5mn + (-2mn) + 8mn =

=

18) -9xy5 + 16xy5+ (-2xy5) =

=

19) -5x2y3 + 11x2y3+ (-5x2y3) =

=

20) -5a3b5+ (-2a3 b5 ) + 7a3b5 =

=

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Find the match
เพื่อหาผลลัพธ์การบวกของเอกนาม โดยสแกน
QR Code ด้านข้าง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 23

ใบความรู้ที่ 2.3 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง การลบเอกนาม วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

การลบเอกนามที่คล้ายกัน ใช้หลักการเดียวกันกับการลบจำนวนสองจำนวน
ดังนี้

a - b = a + (-b) เมื่อ a, b เป็นจำนวนใด ๆ และ -b เป็นจำนวนตรงข้ามของ b

ดังนั้น การลบเอกนามสองเอกนามที่คล้ายกันทำได้โดยเปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูป
การบวก และเปลี่ยนเอกนามที่เป็นตัวลบให้เป็นจำนวนตรงข้าม แล้วใช้หลักเกณฑ์ของ
การบวกเอกนามที่คล้ายกันหาคำตอบได้ดังนี้

7x - 3x = 7x + (-3x)
= [7 + (-3)]x
= 4x

-9ab - 7ab = -9ab + (-7ab)
= [-9 + (-7)]ab
= -16ab

จากการหาผลลบข้างต้น อาจเขียนวิธีทำสั้น ๆ ได้ดังนี้

7x - 3x = (7 - 3)x
= 4x

-9ab - 7ab = (-9 - 7)ab
= -16ab

การหาผลลบของเอกนามที่คล้ายกันใช้หลักเกณฑ์ ดังนี้

ผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน
= (ผลลบของสัมประสิทธิ์) × (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)

สำหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น -6x ลบด้วย 2xy นั้น ไม่สามารถเขียนผลลบ
ในรูปเอกนามได้ แต่เขียนผลลบในรูปการลบได้เป็น 6x - 2xy

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 24

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้

1) 4xy - (-8xy) - 9xy
วิธีทำ 4xy - (-8xy) - 9xy = (4 + 8 - 9)xy

= 3xy
ตอบ 3xy

2) 5mn2 - 7mn2- (-2mn2 ) - mn2

วิธีทำ 5mn2- 7mn2 - (-2mn2) - mn2 = (5 - 7 + 2 - 1)mn 2
-mn2
=
(10 - 5 + 3 + 2)st3
ตอบ -mn2 0 · st3
0
3) 10st3- 5st3- (-3st3) - (-2st3) =
วิธีทำ 10st3- 5st3- (-3st3) - (-2st3) =
=
ตอบ 0

เราสามารถใช้หลักการบวกเอกนามและหลักการลบเอกนาม เมื่อพบการบวก
และการลบเอกนามในข้อเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้

1) 5pqr - 11pqr + 9pqr
วิธีทำ 5pqr - 11pqr + 9pqr = (5 - 11 + 9)pqr

= 3pqr
ตอบ 3pqr

2) 7n5- 10n5+ 9n5 - (-3n5)
วิธีทำ 7n5 - 10n5+ 9n5- (-3n5 ) = (7 - 10 + 9 + 3)n5

= 9n5
ตอบ 9n5

3) -15uv + 8uv - (-4uv) + 3uv
วิธีทำ -15uv + 8uv - (-4uv) + 3uv = (-15 + 8 + 4 + 3)uv

= 0 · uv
=0
ตอบ 0

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 25

แบบฝึกหัดที่ 2.3 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง การลบเอกนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาผลลัพธ์ต่อไปนี้

1) 8x - 5x =

=

2) 10x - 13x =

=

3) -11x - (-15x) =

=

4) x - (-7x) =

=

5) 19y - (-2y) =
6) 8y2 - (-15y2) =
7) -20st2 - 25st2 =
=
=
=

8) 30xyz - 17xyz =

=

9) 20y - 7y =

=

10) -5pqr - (-10pqr) =

=

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 26

11) 4x - 5x - 2x =
=

12) -4x - (-3x) - (-8x) =
=

13) -16x - (-10x) - 9x =
=

14) 60y - 10y - (-25y) =
15) 8x2 - 12x2 - x2 =

=
=

16) -6y3 - (-4y3) - 10y3 =
=

17) 5mn - (-6mn) - 4mn =
18) -8xy5 - 12xy5 - (-2xy5 ) =
=
=

19) 3ab - 20ab - 35ab - ab =
=

20) 15m10- (-9m10) - 5m10- (-2m10 ) =
=

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Gameshow
quiz เพื่อหาผลลัพธ์ของการลบของเอกนาม
โดยสแกน QR Code ด้านข้าง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 27

ใบความรู้ที่ 3.1 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง พหุนาม วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

พหุนาม (polynomial) 2

พหุนาม เป็นนิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนามหรือการบวกของ

เอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป

ตัวอย่างของพหุนาม

15 เป็นเอกนาม และพหุนาม

-7ab เป็นเอกนาม และพหุนาม

3x + 5y เป็นพหุนามที่เขียนในรูปการบวกกันของเอกนามสองเอกนาม คือ

3x และ 5y

6a2 - 4a + 1 เป็นพหุนามที่เขียนในรูปการบวกกันของเอกนามสามเอกนาม คือ
6a2, -4a และ 1

ในพหุนามใด ๆ เราจะเรียกแต่ละเอกนามที่อยู่ในพหุนามนั้นว่า พจน์ (Term)
.ในกรณีที่พหุนามนั้นมีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน
(like terms) เช่น

-25 มีพจน์ คือ -25

5x + 7y มีพจน์ คือ 5x และ 7y

8m2 - m + 4 มีพจน์ คือ 8m2, -m และ 4

9n3 + 5n2- 2n + 11 มีพจน์ คือ 9n3, 5n2, -2n และ 11

4n3 - 7n2- 3n + 8n2 มีพจน์ คือ 4n3, -7n2, -3n และ 8n2 โดยที่ -7n2 และ 8n2
เป็นพจน์ที่คล้ายกัน

ในกรณีที่พหุนามมีพจน์บางพจน์ที่คล้ายกัน ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน
เพื่อทำให้เป็นพหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลย ดังตัวอย่างต่อไปนี้

5x + 2x - 3 = (5x + 2x) - 3
= 7x - 3

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 28

เรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ (polynomial
in the simplest form) และเรียกดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จว่า
ดีกรีของพหุนาม

ตัวอย่างของพหุนามในรูปผลสำเร็จ

9x3- 2x2 - 4x + 15 เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ ที่มี
ดีกรีของพจน์ 9x3 เท่ากับ 3
ดีกรีของพจน์ -2x2 เท่ากับ 2
ดีกรีของพจน์ -4x เท่ากับ 1
ดีกรีของพจน์ 15 เท่ากับ 0

ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 9x3 - 2x2- 4x + 15 เท่ากับ 3

7x3yz + 5x2y2z 2 - 4xyz เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ ที่มี
ดีกรีของพจน์ 7x3yz เท่ากับ 5
ดีกรีของพจน์ 5x2y2z2 เท่ากับ 6
ดีกรีของพจน์ -4xyz เท่ากับ 3

ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 7x3yz + 5x2y2z 2 - 4xyz เท่ากับ 6

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ

1) 5abc + 7ab - 2abc - 3ab + 6
วิธีทำ 5abc + 7ab - 2abc - 3ab + 6 = (5abc - 2abc) + (7ab - 3ab) + 6

= 3abc + 4ab + 6
ตอบ พหุนามในรูปผลสำเร็จ คือ 3abc + 4ab + 6 มีดีกรีของพหุนาม เท่ากับ 3

2) -6x2+ 2x - 3x2- 10x + 4
วิธีทำ -6x2+ 2x - 3x2- 10x + 4 = (-6x2- 3x2) + (2x - 10x) + 4

= -9x2+ (-8x) + 4
= -9x2- 8x + 4
ตอบ พหุนามในรูปผลสำเร็จ คือ -9x2- 8x + 4 มีดีกรีของพหุนาม เท่ากับ 2

3) 7mn3- 6m + 5 + 4m - 2mn3 - 9
วิธีทำ 7mn3 - 6m + 5 + 4m - 2mn3 - 9 = (7mn3- 2mn3) + (-6m + 4m) +

(5 - 9)
= 5mn3 + (-2m) + (-4)
= 5mn3- 2m - 4
ตอบ พหุนามในรูปผลสำเร็จ คือ 5mn3 - 2m - 4 มีดีกรีของพหุนาม เท่ากับ 4

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 29

แบบฝึกหัดที่ 3.1 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง พหุนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ
และบอกดีกรีของพหุนาม

1) 9x + 2 + 3x + 8 =

=

ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

2) 6x - 2y + 4x + 6y =

=

ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

3) 6x2- 11 + 4x2- 25 =

=

ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

4) -5m3 + 2n + 4n - 3m3 =

=

ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

5) 8ab + 2a - 3ab - 10a =
=

ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 30

6) 7ab - 2a - 5ab - 9a =
=
ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

7) 2x + 3y + 5 - 7x + 10y =
=
ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

8) 10x2 + 5x + 7 - 4x2 - 2x - 8 =
=
ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

9) 4xy2 + 6x - 9 - 5xy2- 3x - 5 =
=
ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

10) -mn3+ 7m + n + 9mn3- 6m + 2n =
=

ดังนั้น พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ
มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Open the box
เพื่อหาดีกรีของพหุนาม โดยสแกน QR Code
ด้านข้าง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 31

ใบความรู้ที่ 4.1 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง การบวกพหุนาม วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

การบวกพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการบวก ถ้ามีพจน์คล้ายกัน
ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน

หลักการบวกพหุนาม

01 เขียนพหุนามที่กำหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการจะนำมาบวก ในรูปการบวก

02 บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน

03 เขียนผลบวกที่ได้ในรูปพหุนามผลสำเร็จ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 7x - 2y + 5 และ -3x + 6y - 4
วิธีทำ (7x - 2y + 5) + (-3x + 6y - 4) = 7x - 2y + 5 - 3x + 6y - 4

= (7x - 3x) + (-2y + 6y) + (5 - 4)
= 4x + 4y + 1
ตอบ 4x + 4y + 1

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของ 9x2- x + 5 และ 4x2- 8x
วิธีทำ (9x2 - x + 5) + (4x2- 8x) = 9x2 - x + 5 + 4x2 - 8x

= (9x2 + 4x2) + (-x - 8x) + 5
= 13x2- 9x + 5
ตอบ 13x2- 9x + 5

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกของ 9y - 1, -5y2 + 10y และ y2+ 6
วิธีทำ (9y - 1) + (-5y2+ 10y) + (y2+ 6) = 9y - 1 - 5y2+ 10y + y2 + 6

= (-5y2 + y2) + (9y + 10y) + (-1 + 6)
= -4y2 + 19y + 5
ตอบ -4y2 + 19y + 5

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 32

แบบฝึกหัดที่ 4.1 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง การบวกพหุนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 5x - 2 และ 3x + 6

วิธีทำ (5x - 2) + (3x + 6) =

=

=

2) -3a + 10b และ 4a - 7b

วิธีทำ (-3a + 10b) + (4a - 7b) =

=
=

3) 7x2+ 5y - 1 และ 9x2- 2y - 14
วิธีทำ (7x2+ 5y - 1) + (9x2 - 2y - 14) =

=

=

4) -3a + 10b และ 4a - 7b

วิธีทำ (-3a + 10b) + (4a - 7b) =

=

=

5) -x2+ 6x + 5 และ 7x2- 3x - 15
วิธีทำ (-x2+ 6x + 5) + (7x2- 3x - 15) =

=

=

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 33

6) 8y3+ 2y2- 7 และ 5y3- 11y2+ y - 1

วิธีทำ (8y3+ 2y - 7) + (5y3- 11y + y - 1) =
=

=

7) 8m5 - 2m3+ 6 และ 2m5 - 7m3 + 3

วิธีทำ (8m5 - 2m3 + 6) + (2m5- 7m3 + 3) =
=

=

8) a - 2b + 3c และ 8a - b + 15c - 7

วิธีทำ (a - 2b + 3c) + (8a - b + 15c - 7) =
=
=

9) 5xy - 4y - 2 และ 9xy - 8y + 15 =
วิธีทำ (5xy - 4y - 2) + (9xy - 8y + 15) =
=

10) 3a5- 2a2 + 6b และ 4a5- 5a2+ 9b
วิธีทำ (3a5- 2a2+ 6b) + (4a5 - 5a2+ 9b) =

=

=

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Quiz เพื่อหา
ผลบวกของพหุนาม โดยสแกน QR Code
ด้านข้าง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 34

ใบความรู้ที่ 4.2 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง การลบพหุนาม วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

การลบพหุนาม ทำได้ทำนองเดียวกันกับการลบเอกนาม โดยเขียนพหุนามในรูป

การลบให้อยู่ในรูปการบวกพหุนาม โดยใช้พหุนามตรงข้าม

พหุนามตรงข้าม คือ พหุนามที่นำมาบวกกับพหุนามเดิม แล้วทำให้ผลลัพธ์เท่ากับ 0

เช่น พิจารณาพหุนาม x + 5

เนื่องจาก (x + 5) + (-x - 5) = x + 5 - x - 5

= (x - x) + (5 - 5)

=0

ดังนั้น -x - 5 เป็นพหุนามที่นำมาบวกกับพหุนาม x + 5 แล้วได้เท่ากับ 0

เรียก พหุนาม -x - 5 ว่า พหุนามตรงข้ามของพหุนาม x + 5

โดยทั่วไป เราสามารถแสดงว่า พหุนามตรงข้ามของพหุนามใดเท่ากับผลบวก
ของพจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามนั้น

ตัวอย่าง

พหุน
าม พหุนามต
รงข้าม

9
-
9
-2x
2
x

-7x +
10 -(-7x + 10)
หรือ 7x - 10

x2 + 5
x - 2 -(x2 + 5x - 2) ห
รือ x2 - 5x + 2

การหาผลลบของพหุนามสองพหุนาม ทำตามข้อตกลงดังนี้
พหุนามตัวตั้ง - พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 35

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Missing Word
เพื่อหาพหุนามตรงข้าม โดยสแกน QR Code
ด้านข้าง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลบ (5x - 13) - (7x + 9)

วิธีทำ (5x - 13) - (7x + 9) = (5x - 13) + [-(7x + 9)]

= 5x - 13 - 7x - 9

= (5x - 7x) + (-13 - 9)

= -2x - 22

ตอบ -2x - 22

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบ (9x2- 3x + 4) - (-6x2 - 5x + 10)

วิธีทำ (9x2 - 3x + 4) - (-6x2- 5x + 10) = (9x2- 3x + 4) + [-(-6x2- 5x + 10)]

= 9x2- 3x + 4 + 6x2+ 5x - 10

= (9x2+ 6x2) + (-3x + 5x) + (4 - 10)

= 15x2 + 2x - 6

ตอบ 15x2 + 2x - 6

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลบ (-4a + 5b - 7) - (9a - 2b + 5)

วิธีทำ (-4a + 5b - 7) - (9a - 2b + 5) = (-4a + 5b - 7) + [-(9a - 2b + 5)]
= -4a + 5b - 7 - 9a + 2b - 5
= (-4a - 9a) + (5b + 2b) + (-7 - 5)
= -13a + 7b - 12

ตอบ -13a + 7b - 12

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลบ (2a3+ 3a 2 - 7) - (4a2 - 5a + 11)

วิธีทำ (2a3+ 3a2- 7) - (4a2 - 5a + 11) = (2a3+ 3a2- 7) + [-(4a2- 5a + 11)]

= 2a3 + 3a2 - 7 - 4a2+ 5a - 11

= 2a3+ (3a2- 4a2) + 5a + (-7 - 11)

= 2a3- a2+ 5a - 18

ตอบ 2a3- a2+ 5a - 18

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 36

แบบฝึกหัดที่ 4.2 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง การลบพหุนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) (5x - 10) - (2x + 7)

วิธีทำ (5x - 10) - (2x + 7) =

=

=

=

2) (3a - 4b) - (7a - 10b)

วิธีทำ (3a - 4b) - (7a - 10b) =

=

=

=

3) (7m3 - 6m2) - (-m3 + 4m2) =
วิธีทำ (7m3 - 6m2) - (-m3 + 4m2) =
=

=

4) (3x - 7y + 4) - (8x - 4y + 10)
วิธีทำ (3x - 7y + 4) - (8x - 4y + 10) =

=
=

=

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 37

5) (15a + 6b - 9) - (6a - 2b + 11)
วิธีทำ (15a + 6b - 9) - (6a - 2b + 11) =

=
=
=
6) (-3x2+ 6x - 4) - (5x2+ 8x + 12)
วิธีทำ (-3x2+ 6x - 4) - (5x2+ 8x + 12) =
=
=
=
7) (8y3- 2y2+ 20) - (6y3- 10y2+ y)
วิธีทำ (8y3- 2y2+ 20) - (6y3- 10y2+ y) =
=
=
=
8) (6m4- 7m3+ 2) - (2m4+ 7m3+ 11)
วิธีทำ (6m4 - 7m3+ 2) - (2m4 + 7m3+ 11) =
=
=
=
9) (a - 2b + 3c) - (8a - b + 20c - 1)
วิธีทำ (a - 2b + 3c) - (8a - b + 20c - 1) =
=
=
=

กิจกรรม หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 38

ภาพปริศนา

ขั้นตอนการทำกิจกรรม
1. ให้นักเรียนพิจารณาข้อมูลที่กำหนดให้ว่า รูปภาพแต่ละรูปมีค่าเท่ากับเท่าใด โดยตอบ
ในรูปของพหุนาม
2. จากนั้นให้นักเรียนหาผลบวกของรูปภาพดังกล่าว แล้วเติมคำตอบลงในช่องว่าง
ให้ถูกต้อง

1 + = 6a

+

++ = 8a + 2

++ = 5a + 11

-- = ........................

2 + = 15b + 3

+

++ = 14b + 5

++ = -22b + 6

++ = .....................

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 39

ใบความรู้ที่ 5.1 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง การคูณระหว่าง วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
เอกนามกับเอกนาม ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

การหาผลคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม ทำได้โดยนำสัมประสิทธิ์หรือค่าคงตัว
ในแต่ละเอกนามมาคูณกัน และนำตัวแปรในแต่ละเอกนามมาคูณกัน โดยใช้สมบัติของ
เลขยกกำลัง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณต่อไปนี้

1) (3)(7x) = (3 · 7)(x)

= 21x

2) (-2)(6x) = (-2 · 6)(x)

= -12x

3) (-4x)(-7x) = [-4 · (-7)](x · x)

= 28x2

4) (3xy)(x3y2) = (3)(x · x3)(y · y2)

= 3x4y3

5) (-7abc)(6c) = (-7 · 6)(ab)(c · c)

= -42abc2

6) (-3)(9x)(4y) = (-3 · 9 · 4)(xy)

= -108xy

ชวนคิด C

จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมุมฉากที่มีความกว้าง 5x หน่วย และความยาว

9x หน่วย 9x

5x

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 40

แบบฝึกหัดที่ 5.1 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง การคูณระหว่าง
เอกนามกับเอกนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาผลคูณในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 3(5x) =

2) -2(6x) =

3) (4x)(5y) =

4) (2a4)(6a) =

5) (6x5 )(8x3) =
6) (-8xy)(2x) =

7) (-9mn)(-3n) =

8) (2xy6)(-7xy3) =
9) (9ab5)(-3a2b2) =

10) (4xyz5 )(2xy2) =
11) (4pqr)(-p2q2r) =
12) (-6st7)(-8s2t2 ) =
13) (-4u5v6)(11uv2) =
14) (-4)(5ab)(-2b) =
15) (-2)(7xy)(-xy) =

สื่อเสริมการเรียนรู้

นักเรียนสามารถเล่นเกม Match up เพื่อ
จับคู่การคูณระหว่างเอกนามกับเอกนามและ
ผลลัพธ์ โดยสแกน QR Code ด้านข้าง

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 41

ใบความรู้ที่ 5.2 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง การคูณระหว่าง วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
เอกนามกับพหุนาม ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

การหาผลคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม ทำได้โดยนำเอกนามไปคูณทุก ๆ พจน์
ของพหุนาม โดยใช้สมบัติการแจกแจงและหลักการคูณเอกนาม จากนั้นทำให้ผลคูณ
นั้นเป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณ 9(x + 5)

วิธีทำ 9(x + 5) = (9)(x) + (9)(5)
9x + 45
=

ตอบ -2x - 22

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณ (3x)(x - 6)

วิธีทำ (3x)(x - 6) = (3x)(x) - (3x)(6)
3x2 - 18x
=

ตอบ 3x2 - 18x

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลคูณ (4y - 2)(5y2 )

วิธีทำ (4y - 2)(5y2) = (4y)(5y2) - (2)(5y2)

= 20y3 - 10y2

ตอบ 20y3- 10y2

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลคูณ (2m)(6m2 + 2m - 9)

วิธีทำ (2m)(6m2 + 2m - 9) = (2m)(6m2) + (2m)(2m) - (2m)(9)

= 12m3 + 4m2 - 18m

ตอบ 12m3 + 4m2- 18m

ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลคูณ (-5n)(3mn4 - 2n3 + 11)
วิธีทำ (-5n)(3mn4 - 2n3 + 11) = (-5n)(3mn4) - (-5n)(2n3) + (-5n)(11)

= -15mn5 + 10n4 - 55n

ตอบ -15mn5 + 10n4- 55n

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 42

แบบฝึกหัดที่ 5.2 คะแนนที่ได้ :
คะแนนเต็ม :
เรื่อง การคูณระหว่าง
เอกนามกับพหุนาม

ชื่อ - สกุล : ชั้น เลขที่

คำชี้แจง : ให้นักเรียนหาผลคูณในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 6(5x + 2)

วิธีทำ 6(5x + 2) =

=

2) 2(7x - 4)

วิธีทำ 2(7x - 4) =

=

3) -9(8y - 6)

วิธีทำ -9(8y - 6) =

=

4) (x2)(5x + 10)

วิธีทำ (x2)(5x + 10) =

=

5) (x3)(3x - 12)

วิธีทำ (x3)(3x - 12) =
=

6) (2m3)(4m2 - 5m + 1) =
วิธีทำ (2m3)(4m2 - 5m + 1) =

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 43

7) (5y3)(4y2 + 5y - 8) =
วิธีทำ (5y3)(4y2 + 5y - 8) =

8) (-xy)(4x3 + 2xy - 3y) =
วิธีทำ (-xy)(4x3 + 2xy - 3y) =

9) (2mn)(2m3 - 7mn + 4n2)
วิธีทำ (2mn)(2m3 - 7mn + 4n2) =

=

10) (8ab)(2ab5 - 11a4 - 2b3)
วิธีทำ (8ab)(2ab5 - 11a4- 2b3 ) =

=

หนังสือคณิตศาสตร์อิเล็กทรอนิกส์ เรื่อง พหุนาม : หน้า 44

ใบความรู้ที่ 5.3 หน่วยการเรียนรู้ : พหุนาม

เรื่อง การคูณระหว่าง วิชา : คณิตศาสตร์พื้นฐาน
พหุนามกับพหุนาม ระดับชั้น : มัธยมศึกษาปีที่ 2

การหาผลคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม ทำได้โดยใช้สมบัติการแจกแจง
จากนั้นทำให้ผลคูณนั้นเป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณ (x + 3)(x + 5)

วิธีทำ (x + 3)(x + 5) = (x + 3)(x) + (x + 3)(5)

= (x)(x) + (3)(x) + (x)(5) + (3)(5)

= x2 + 3x + 5x + 15

= x2 + 6x + 15

ตอบ x2 + 6x + 15

จากการสังเกตเราพบว่า การหาผลคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม เราสามารถ
คูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุก ๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง จากนั้นทำให้ผลคูณ
นั้นเป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ ได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณ (x + 3)(x + 5)

วิธีทำ (x + 3)(x + 5) = (x)(x) + (3)(x) + (x)(5) + (3)(5)

= x2 + 3x + 5x + 15

= x2 + 6x + 15

ตอบ x2 + 6x + 15

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลคูณ (x - 7)(x2 + 2x - 9)

วิธีทำ (x - 7)(x 2 + 2x - 9) = (x)(x2) + (x)(2x) - (x)(9) +
(-7)(x2) + (-7)(2x) - (-7)(9)
= x3 + 2x2 - 9x + (-7x2) + (-14x) - (-63)
= x3 - 5x2 - 23x + 63

ตอบ x3- 5x2- 23x + 63