เอกสารประกอบการเรียน วิชา
คณิตศาสตร์ ม.ต้น
กราฟของฟังก์ชันกำาลังสอง (พาราโบลา)
เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตร์
ระดับชั้น : ม.ต้น
เรื่อง : กราฟของฟังก์ชันกำาลังสอง (พาราโบลา)
เจ้าของลิขสิทธิ์ : บริษัท วี บาย เดอะ เบรน จำากัด
*5620110200804*
พิมพ์ที่ : บริษัท วี บาย เดอะ เบรน จำากัด
สงวนลิขสิทธิ์ : ตามพระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ ห้ามลอกเลียน ดัดแปลง ทำาซ้ำา ไม่ว่าจะเป็น
ส่วนหนึ่งส่วนใดหรือทั้งหมดของเอกสารชุดนี้ นอกจากจะได้รับอนุญาต
เป็นลายลักษณ์อักษรจากบริษัท วี บาย เดอะ เบรน จำากัด เท่านั้น
สารบัญ วิชา คณิตศาสตร์
เรื่อง หน้า
กราฟของฟังก์ชันกำาลังสอง (พาราโบลา)
ภาคตัดกรวย 1
นิยามของพาราโบลา 2
สมการของพาราโบลา 3
กราฟพาราโบลา 4
โจทย์ฝึกพลังยุทธ์ 20
Assignment 1 57
Assignment 2 61
แนวข้อสอบ เรื่อง พาราโบลา 66
Challenging Problems 77
เพิ่มเติม : วงกลม 82
We Get พาราโบลา 89
พาราโบลา
ภาคตัดกรวย คือ รูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย
โดยรอยตัดของระนาบและกรวยทำาให้เกิดกราฟ 4 แบบ ดังนี้
Circle Parabola Ellipse Hyperbola
1
นิยามของพาราโบลา
นิยาม
พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง
เป็นระยะทางเท่ากับระยะทางที่จุดนั้นอยู่ห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง
จุดคงที่ คือ จุดโฟกัส และ เส้นตรงคงที่ คือ เส้นไดเรกตริกซ์
F คือ จุดโฟกัส (Focus)
V คือ จุดยอด (Vertex)
S คือ แกนสมมาตร (Symmetrix Axis)
D คือ เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)
พบว่า จากนิยามของพาราโบลา จะได้ว่า PF = PA และ QF = QB
2
สมการของพาราโบลา
ลองคิดด ู สมการในข้อใดต่อไปนี้ เป็นสมการพาราโบลา
3
กราฟพาราโบลา
1. กราฟพื้นฐาน
สรุปได้ว่า
4
ื
2. การเล่อนกราฟ
เมื่อกำาหนดให้ h, k เป็นจำานวนจริงบวก
1. เลื่อนตามแนวแกน x (ซ้ายขวา)
- แทน x ด้วย x – h กราฟจะเลื่อนไปทางขวา h หน่วย
- แทน x ด้วย x + h กราฟจะเลื่อนไปทางซ้าย h หน่วย
EX.1 EX.2
y y
y = x 2 y = (x – 2) 2 y = (x + 2) 2 y = x 2
x x
V (0, 0) V (2, 0) V (–2, 0) V (0, 0)
2. เลื่อนตามแนวแกน y (บนล่าง)
- แทน y ด้วย y – k กราฟจะเลื่อนขึ้น k หน่วย
- แทน y ด้วย y + k กราฟจะเลื่อนลง k หน่วย
EX.3 EX.4
y – 2 = x 2
y y
y = x 2 y = x 2
V (0, 2) y + 2 = x 2
x x
V (0, 0) V (0, 0)
V (0, –2)
5
3. กราฟของสมการรูปมาตรฐาน
ั
ข้นตอนการเขียนกราฟ
6
แบบทดสอบ จงเขียนกราฟต่อไปนี้
EX. 1
EX. 2
EX. 3
7
EX. 4
EX. 5
EX. 6
8
EX. 7
EX. 8
EX. 9
9
EX. 10
EX. 11
EX. 12
10
EX. 13
EX. 14
11
EX. 15
EX. 16
12
EX. 17
EX. 18
13
EX. 19
EX. 20
14
EX. 21
EX. 22
15
EX. 23
EX. 24
16
EX. 25
17
ซ้อมมือ การเลื่อนกราฟพาราโบลา
2
1. จากสมการ y = 3x – 2x + 1 จงเขียนสมการใหม่
เมื่อกราฟของสมการนี้ เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย และเลื่อนลง 3 หน่วย
2
2. จากสมการ y = – (x – 2) + 5 จงเขียนสมการใหม่
เมื่อกราฟของสมการนี้ เลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วย และเลื่อนขึ้น 2 หน่วย
2
3. จากสมการ y = 4x + 5 จงหาทิศทางและระยะทางของการเคลื่อนที่ที่จะทำาให้กราฟใหม่ได้สมการ
2
คือ y = 4x + 16x + 22
18
ั
4. กราฟของสมการรูปท่วไป
EX
วิธีคิด
พิสูจน์สูตร
19
โจทย์ฝึกพลังยุทธ์
EX. 26
EX. 27
20
EX. 28
EX. 29
21
EX. 30
EX. 31
22
EX. 32
EX. 33
23
EX. 34
EX. 35
24
EX. 36
EX. 37
25
EX. 38
EX. 39
26
EX. 40
EX. 41
27
EX. 42
EX. 43
28
EX. 44
EX. 45
29
EX. 46
EX. 47
30
การพิจารณาการตัดแกน x ของกราฟพาราโบลา
เมื่อเราจะหาจุดตัดแกน x เราจะแทน y = 0
ดังนั้น
2
2
y = ax + bx + c 0 = ax + bx + c
2
และจากเรื่องสมการกำาลัง 2 เราพบว่า x = –b± b – 4ac ซึ่งเราจะแยกรูปแบบออกได้เป็น
2a
3 กรณี ดังนี้
2
กรณีที่ 1 ตัดแกน x 2 จุด b – 4ac > 0
a > 0 (หงาย) a < 0 (ควา)
่
ำ
y y
x x
2
กรณีที่ 2 สัมผัสแกน x (ตัดแกน x 1 จุด) b – 4ac = 0
่
ำ
a > 0 (หงาย) a < 0 (ควา)
y y
x x
31
2
กรณีที่ 3 ไม่ตัดแกน x b – 4ac < 0
่
ำ
a > 0 (หงาย) a < 0 (ควา)
y y
x x
32
EX. 48
EX. 49
33
EX. 50
EX. 51
34
2
EX. 52 ผลต่างของจ�านวนจริง k ที่ท�าให้พาราโบลา y = kx + 5kx + 3x + 6k + 5
มีจุดยอดอยู่บนแกน x มีค่าเท่ากับข้อใด (ต.ค. 58)
1. 7 2. 8 3. 9 4. 10
35
EX. 53
EX. 54
36
EX. 55
EX. 56
37
EX. 57
EX. 58
38
EX. 59
EX. 60
39
2
EX. 61 Fig. A Show graph of y = ax + bx + c. Then which one of the following is not true.
y 1. a > 0
2. c < 0
2
3. b – 4ac > 0
0 4. b > 0
x 1 x 2 x
Fig. A
2
EX. 62 In Fig. B graph of y = ax + bx + c is given. Which one of the following is not true?
Y 1. a < 0
2. c > 0
2
3. b – 4ac > 0
4. b < 0
a 0 b X
Fig. B
40
2
EX. 63 In Fig. C graph of y = ax + 2bx + c is given. Which one of the following is not true?
y 1. a > 0
2. b > 0
3. c > 0
2
4. b < ac
2
y = ax + bx + c
0 x
Fig. C
41
EX. 64
EX. 65
42
EX. 66
EX. 67
43
EX. 68
EX. 69
44
EX. 70
EX. 71
45
EX. 72
EX. 73
46