EX. 74
EX. 75
47
EX. 76
EX. 77
48
EX. 78
EX. 79
49
EX. 80
EX. 81
50
EX. 82
EX. 83
51
2
EX. 84 กำาหนดกราฟ y = –x + ax มีจุดยอดอยู่ที่ A และตัดแกน x ที่ B และ C
ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่เท่ากับ 8 ตารางหน่วย จงหาความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม
ABC (ต.ค. 58)
1. 4 + 4 5 2. 4 + 6 5
3. 4 + 8 5 4. 4 + 12 5
52
EX. 85
EX. 86
53
EX. 87
EX. 88
54
EX. 89
EX. 90
55
EX. 91
อย่าลืมท�า
Assignment 1
นะครับ
56
Assignment 1
57
58
เฉลย Assignment 1
59
อย่าลืมท�า
Assignment 2
นะครับ
60
Assignment 2
61
62
เฉลย Assignment 2
63
64
ลองท�า
แนวข้อสอบ
ด้วยนะครับ
* สรุปพาราโบลา*
65
แนวข้อสอบ
เรื่อง พาราโบลา
66
67
68
69
เฉลยแนวข้อสอบ
เรื่อง พาราโบลา
70
71
72
73
74
75
76
2
2
1. ถ้า a เป็นจ�านวนจริงที่ท�าให้กราฟพาราโบลา y = 2ax + x + a มีจุดยอดอยู่บนเส้นตรง
y = x แล้วค่าสูงสุดของกราฟพาราโบลามีค่าเท่ากับเท่าใด (เตรียมอุดม 62)
2
2. ก�าหนดให้ k เป็นจ�านวนจริง ให้ A เป็นจุดยอดของพาราโบลา y = x + k
ถ้าเส้นตรง y = 3k + 24 ตัดพาราโบลาที่จุด B และ C ท�าให้สามเหลี่ยม ABC
มีพื้นที่ 64 ตารางหน่วย แล้วความยาวด้าน AC มีค่าเท่ากับเท่าใด (เตรียมอุดม 61)
77
2
3. ให้ k เป็นจ�านวนจริงใดๆ ถ้าจุด A เป็นจุดยอดของกราฟพาราโบลา y = x + k
และเส้นตรง y = 2k + 6 ตัดกราฟพาราโบลาที่จุด B และจุด C ท�าให้สามเหลี่ยม ABC
มีพื้นที่ 27 ตารางหน่วยแล้ว AC ยาวเท่ากับเท่าใด (เตรียมอุดม 62)
4. ร้านค้าแห่งหนึ่ง ซื้อของมาชิ้นละ 20 บาท และขายสินค้าชนิดนี้ในราคาชิ้นละ 50 บาท
ปรากฏว่า 1 เดือน ขายได้ 500 ชิ้น ถ้าร้านค้าแห่งนี้ลดราคาลง x% แล้วท�าให้ขายสินค้า
ชนิดนี้ได้มากขึ้น 10x ชิ้น
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) จะต้องขายสินค้าชิ้นนี้ในราคาชิ้นละ 48 บาท จึงจะได้ก�าไรสูงสุด
(ข) ใน 1 เดือน ร้านค้าจะขายสินค้าได้ก�าไรสูงสุด 15,125 บาท
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (เตรียมอุดม 61)
1. ข้อ (ก) ถูกแต่ข้อ (ข) ผิด
2. ข้อ (ข) ถูกแต่ข้อ (ก) ผิด
3. ข้อ (ก) และข้อ (ข) ถูกทั้งสองข้อความ
4. ข้อ (ก) และข้อ (ข) ผิดทั้งสองข้อความ
78
2
5. ถ้าเส้นตรง y = ax สัมผัสกราฟพาราโบลา y = ax + x + a
1
แล้วข้อใดต่อไปนี้มีค่าเท่ากับ (IJSO 62)
a
1. 2 + a 2. 1 + 2a 3. 2 + 3a 4. 3 + 2a
2
6. ให้ a และ p เป็นจ�านวนนับ กราฟพาราโบลา y = ax + bx + c ตัดแกน x ที่จุด (t, 0)
2
กับ (17, 0) และกราฟพาราโบลา y = px + qx + r ตัดแกน x ที่จุด (t, 0) กับ (–19, 0)
2
โดยที่ t > 2020 ถ้ากราฟพาราโบลา y = (a + p)x + (b + q)x + (c + r) ผ่านจุด (1, 0)
แล้วจงหาค่าของ 5q – 4b (IJSO 63)
1. 270 2. 360 3. 630 4. 720
79
2
7. ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด P(a, b) และสัมผัสกราฟพาราโบลา y = x จะขนานกับเส้นตรง
2y = x + 3 หรือขนานกับเส้นตรง 3y = x + 4 แล้วจงหาค่าของ a + b (IJSO 63)
1
1
1
1. 2. 3. 4. 1
5
7
6
4
2
8. กราฟเส้นตรง y = ax และกราฟเส้นตรง y = bx สัมผัสกราฟ y = 20x + 18x + 5
โดยที่ a > b ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง (IJSO 61)
1. 2a – b = 76 2. 2a + b = 70 3. a – 2b = 46 4. a + 2b = 34
80
2
9. เส้นตรง y = mx + 7 ตัดพาราโบลา y = ax – 2016 ที่จุด (x , y ) และ (x , y )
1 1
2 2
ถ้า x + x = 2 และ y + y = 26 แล้ว m – a มีค่าเท่ากับเท่าใด (IJSO 59)
2
1
2
1
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
2
10. พิจารณาพาราโบลาทั้งหมดที่มีสมการเป็น y = ax + ax + 1 เมื่อ a เป็นจ�านวนจริงใดๆ
ซึ่ง a ≠ 0 ถ้ามีพาราโบลาที่สัมผัสเส้นตรง y = x + b เพียงรูปเดียว แล้วจงหาผลบวก
ของค่า b ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (IJSO 60)
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
81
เพิ่มเติม
วงกลม (Circle)
นิยาม
วงกลม คือ เซตของจุดบนระนาบซึ่งมีระยะห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะคงที่เสมอ
เราเรียกจุดคงที่ว่าจุดศูนย์กลางวงกลม (Center) และเรียกระยะคงที่ว่ารัศมี (Radius)
สมการวงกลมในรูปมาตรฐาน
จากนิยามวงกลมให้ จุด P(x, y) ใดๆ ห่างจาก จุด C(h, k) เป็นระยะคงที่
2
2
เท่ากับ r เสมอ จะได้ว่า (x – h) + (y – k) = r
2
2
ดังนั้น (x – h) + (y – k) = r 2
สมการดังกล่าวเป็น สมการวงกลมในรูปมาตรฐาน
มีจุดศูนย์กลางที่จุด C(h, k) และมีรัศมี r
โดยรัศมีของวงกลม (r) มากกว่าศูนย์กลางเสมอ
อุ่นเครื่องกันหน่อย
EX.
2
2
a) (x + 2) + (y – 8) = 4
2
2
b) (x – 5) + (y + 1) = 25
2
2
c) (x + 3) + (y + 4) = 49
2
2
d) x + (y – 3) = 16
2
2
e) (x + 4) + y = 5
82
สมการวงกลมในรูปทั่วไป
สมการวงกลมในรูปแบบทั่วไป
A
และจะได้ว่า : h = – , k = – B
2 2
A
B
ดังนั้น จุดศูนย์กลางวงกลม คือ (h, k) = – , –
2 2
2
2
2
2
2
2
และจาก C = h + k – r จะได้ r = h + k – C
2
2
ดังนั้น รัศมีของวงกลม : r = h + k – C
A
B
และเมื่อแทนค่า h = – และ k = – จะได้ว่า
2 2
1
2
2
A
B
2
2
r = – + – – C เมื่อจัดรูปจะได้ r = A + B – 4C
2 2 2
2
2
EX. จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมซึ่งมีสมการเป็น x + y + 6x – 10y + 30 = 0
83
EX. ถ้าจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ (–2, 3) และรัศมีของวงกลมยาว 4 หน่วย
2
2
จะสามารถเขียนสมการวงกลมได้ในรูป x + y + Ax + By + C = 0
ค่าของ A + B + C คือเท่าใด
84
โจทย์ ฝึกทักษะ
1.
85
2.
3.
86
4.
5.
87
2
2
2
6. สมการ x + y – 6x – 16y + c = 0 เป็นกราฟวงกลมที่ตัดแกน y 2 จุด
แต่ไม่ตัดแกน x จำานวนเต็ม c ที่มีค่าสูงสุดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด
7. กำาหนดให้ a เป็นจำานวนจริงลบ ถ้าเส้นตรง y = a (x – 3) ตัดผ่านกราฟของวงกลม
2
2
(x – 3) + y = 20 ที่จุด (k, m) และ (5k, n) โดยที่จุดตัดจุดหนึ่งอยู่ในจตุภาคที่ 1
และอีกจุดหนึ่งอยู่ในจตุภาคที่ 4 จงหาค่าของ k + m – a – n (เตรียม’ 62)
88
พาราโบลา
1. INTRO
ภาคตัดกรวย คือ รูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย
โดยรอยตัดของระนาบและกรวยทำาให้เกิดกราฟ 4 แบบ ดังนี้
2. นิยามของพาราโบลา
พาราโบลา คือ ............................................................
...................................................................................
...................................................................................
F คือ จุดโฟกัส (Focus)
V คือ จุดยอด (Vertex)
S คือ แกนสมมาตร (Symmetrix Axis)
D คือ เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)
จะได้ว่า...........................................................
89
3. กราฟพาราโบลา
ส่วนประกอบที่สำาคัญของกราฟพาราโบลา คือ
จุดยอด และ แกนสมมาตร
จุดยอดของพาราโบลา คือ .........................................................
แกนสมมาตร คือ .........................................................................
จุดยอด
แกนสมมาตร
3.1 กราฟพื้นฐาน
สมการ ........................... โดย ...............
มีจุดยอดอยู่ที่ V(0, 0) และแกนสมมาตร คือ แกน y
1. .............. พาราโบลาหงาย 2. .............. พาราโบลาควา
ำ
่
y y
y = 2x 2
y = x 2
1
y = x 2
2
x V (0, 0) x
V (0, 0) 1
y = – x 2
2
y = –x 2
y = –2x 2
เราจะสังเกตว่า | a | ยิ่งมากยิ่ง................ ยิ่งน้อยยิ่ง................
2
2
กราฟหงาย y = 2x (a = 2) ................. y = x (a = 1)
1 2 1 2
y = x (a = ) ................. y = x (a = 1)
2 2
กราฟคว�่า ระวัง!! เพราะเราพิจารณา | a |
2
2
y = –2x (a = –2 | a | = 2) ................. y = –x (a = 1 | a | = 1)
1
–1
–1
2
2
y = x (a = | a | = ) ................. y = –x (a = –1 | a | = 1)
2 2 2
90
3.2 กราฟของสมการรูปมาตรฐาน
.................................. โดย ...............
1. .............. พาราโบลาหงาย 2. .............. พาราโบลาควา
ำ
่
y x = h y x = h
k V(h, k)
k
V(h, k)
x x
่
ำ
จุดยอด (จุดตาสุด) = ..................... จุดยอด (จุดสูงสุด) = ....................
แกนสมมาตร : .............................. แกนสมมาตร : ..............................
่
ค่าตาสุดของ y = ............................. ค่าสูงสุดของ y = ............................
ำ
ขั้นตอนการเขียนกราฟ
1. จัดรูปสมการให้อยู่ในรูป .................................................
2. ใส่ตำาแหน่งจุดยอด = .......................................................
3. เขียนกราฟ โดย ถ้า ................. เป็นพาราโบลาหงาย
ถ้า ................. เป็นพาราโบลาควา ่ ำ
4. พิจารณาค่า a ถ้า | a | มาก ................. ถ้า | a | น้อย .................
91
3.3 กราฟของสมการรูปทั่วไป
.................................. โดย ...............
1) a > 0 พาราโบลาหงาย
ำ
2) a < 0 พาราโบลาควา
่
จุดยอดคือ .....................................
สมการแกนสมมาตร คือ .......................
่
ำ
ค่าสูงสุด / ตาสุด คือ ...........................
่
ำ
และค่า x ที่ทำาให้เกิดค่า y สูงสุด / ตาสุด คือ x = ...........................
4. การเลื่อนกราฟ
เมื่อกำาหนดให้ h, k เป็นจำานวนจริงบวก
1. เลื่อนตามแนวแกน x (ซ้ายขวา)
- แทน x ด้วย x – h กราฟจะเลื่อน ...............................................................
- แทน x ด้วย x + h กราฟจะเลื่อน ...............................................................
2. เลื่อนตามแนวแกน y (บนล่าง)
- แทน y ด้วย y – k กราฟจะเลื่อน ...............................................................
- แทน y ด้วย y + k กราฟจะเลื่อน ...............................................................
5. การพิจารณาการตัดแกน x ของกราฟพาราโบลา
เมื่อเราจะหาจุดตัดแกน x เราจะแทน y = 0
ดังนั้น
2
2
y = ax + bx + c 0 = ax + bx + c
2
และจากเรื่องสมการกำาลัง 2 เราพบว่า x = –b± b – 4ac ซึ่งเราจะแยกรูปแบบออกได้เป็น
2a
3 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 ตัดแกน x 2 จุด ......................................
กรณีที่ 2 สัมผัสแกน x (ตัดแกน x 1 จุด) ......................................
กรณีที่ 3 ไม่ตัดแกน x ......................................
92
93
94