AL คณิตศาสตร์ มัธยมศึกษา

47

ตอนท่ี 2 จงเขยี นเซตต่อไปนี้แบบบอกเงือ่ นไขของสมาชกิ
1. { 2, 4, 6, … }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. { 1, 3, 5, 7 ,9 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. { อาทติ ย,์ จนั ทร,์ องั คาร, ..., เสาร์ }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. { ตะวนั ตก, ตะวนั ออก, เหนือ, ใต้ }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. {20 , 40, 60 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. { 1, 4, 9, 16, 25, 36, …, 196 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7. { a, e, i, o, u }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9. { a, e, I, o, u }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10. { −2, −1, 0, 1, 2 }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

48

เฉลย แบบฝึกหดั

การเขยี นเซต

คำชแี้ จง ให้ผู้เรยี นอ่านข้อความตอ่ ไปน้ี แล้วเตมิ คำตอบในชอ่ งวา่ ง
ตอนท่ี 1 จงเขยี นเซตในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก

1. เซตของช่ือจงั หวัดในประเทศไทยทีข่ ้ึนต้นดว้ ยพยญั ชนะ “ร”
{ ระยอง , ระนอง ,ราชบรุ ี ,รอ้ ยเอด็ }

2. เซตของพยัญชนะในคำว่า “ธนั วาคม”
{ ธ, น ,ว, ค ,ม }

3. เซตของจำนวนเต็มบวกทีน่ ้อย 10
{ 1, 2, 3, ..., 9 }

4. เซตของจำนวนค่ีทมี่ ากกวา่ 50
{ 51, 53, 55, ... }

5. เซตของจำนวนนับท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 10 กบั 15
{ 11, 12, 13, 14 }

6. เซตของจำนวนเต็มท่ีสอดคล้องกับสมการ x2 −5x +6 = 0
{ −3,−2 }

7. { x | x เป็นจำนวนเต็มทีม่ ากกวา่ 10 แต่น้อย 20 }
{ 11, 12, 13, …, 19 }

8. { x | x เป็นจำนวนเต็มลบทีน่ ้อย 0}
{ −1, −2, −3, … }

9. เซตของจำนวนเตม็ ที่ยกกำลังสองแล้ว 225
{ −15, 15 }

10. เซตของจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการ 2x  18
{ 9, 8, 7, …}

49

ตอนท่ี 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงอื่ นไขของสมาชิก
1. { 2, 4, 6, … }
{ x | x เป็นจำนวนคบู่ วกท่มี ากกวา่ 2 }

2. { 1, 3, 5, 7 ,9 }
{ x | x เปน็ จำนวนคี่ทมี่ ีค่าตั้งแต่ 1 แตน่ อ้ ยกว่า 10 }

3. {อาทติ ย์, จนั ทร,์ องั คาร, ..., เสาร์ }
{ x | x เปน็ วนั ในหน่ึงสัปดาห์ }

4. { ตะวันตก, ตะวันออก, เหนือ, ใต้ }
{ x | x เปน็ ชอ่ื ทิศหลักทง้ั สีท่ ิศ }

5. { 10, 20, 30 }
{ x | x เปน็ จำนวนเต็มบวกที่ไม่เกิน 30 และ 10 หารลงตัว }

6. { 1, 4 ,9 ,16, 25, 36, …, 196 }
{ x | x เปน็ จำนวนเต็มบวกเมอ่ื ยกกำลงั สองแลว้ มคี ่าน้อยกว่าหรือเทา่ กับ 196 }

7. { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
{ x | x เป็นจำนวนเฉพาะทน่ี ้อยกว่า 20 }

8. { a, e , I , o , u}
{ x | x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ }

9. { −2,−1, 0, 1, 2 }
{ x | x เปน็ จำนวนเตม็ ท่ีมากกว่า−3 แต่น้อยกวา่ 3 }

10. { 8, 16, 24, …,160 }
{ x | x เปน็ จำนวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกวา่ หรอื เท่ากับ160 ที่ 8 หารลงตัว }

50

แบบทดสอบ
เรอ่ื ง เซตและการเขียนเซต

1. ขอ้ ใดต่อไปน้เี ป็นการเขยี นเซตได้ถกู ต้อง

ก 2,4,5,7

ข. {1,2,4,5,7}

ค. {1,2,4,5,7,4}

ง. {1 2 4 5 7}

2. ข้อใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง

ก. 1.5  N

ข. 3 R
2

ค. {0}  N

ง. 7  Z

3. เซตในข้อใดมีสมาชิก 4 ตัว

ก. เซตของวนั ในหนึง่ สัปดาห์

ข. เซตของจำนวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยกว่า8

ค. เซตของเดือนทลี่ งท้ายด้วย “ยน”

ง. เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย

4. กำหนดให้ A = {x N / −2  x  5} เขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชิกตรงกบั ขอ้ ใด

ก. {−1, 0 , 1 , 2 ,3, 4}

ข. {−2,−1, 0 , 1 , 2 ,3, 4}

ค. {−2,−1, 0 , 1 , 2 ,3, 4 , 5 }

ง. {−1, 0 , 1 , 2 ,3, 4,5 }

5. ข้อใดถือว่า เซต

ก. เซตของอาหารท่ีอร่อยที่สดุ

ข. เซตของสถานที่ท่องเทีย่ ว

ค. เซตของพยัญชนะภาษาองั กฤษ

ง. เซตของคนสวยในประเทศไทย

51

6. กำหนดให้ B = { 2, 4, 6, …, 18 } เซตในขอ้ ใดหมายถึงเซต B
ก. B = { x | x เป็นจำนวนเตม็ }
ข. B = { x | x เปน็ จำนวนค่ตู ัง้ แต่ 1 ถึง 20 }
ค. B = { x | x เปน็ จำนวนเต็มที่นอ้ ยกว่า20 }
ง. B = { x | x เป็นจำนวนค่ตู ัง้ แต่ 2 ถึง 18 }

7. กำหนดให้ A = {1 , {1,2} ,3 ,4 {5,6}, 7 ,8 ,9, 10} ข้อใดต่อไปน้ีกล่าวไม่ถกู ต้อง
ก. 1  A
ข. { 1, 2 } A
ค. { 5, 6 }  A
ง. { 3 } A

8. กำหนดให้ C = { {1,2} ,3 ,4 , {5,6} , {7 ,8} ,9, 10} แล้ว C มีจำนวนสมาชิกกี่ตัว
ก. 6 ตัว
ข. 7 ตัว
ค. 8 ตัว
ง. 9 ตวั

9. เซตของพยัญชนะในคำวา่ “คณุ ครูสดุ สวย” เขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกตรงกบั ขอ้ ใด
ก. { ค, ณ, ร, ส, ด, ว, ย}
ข. { ค, ร, ส, ด, ว, ย }
ค. { ค, ณ, ร, ส, ด, อ, ย }
ง. { ค, ณ, ร, ส, ว, ย }

10. เซตของจำนวนเต็มทอี่ ยตู่ ัง้ แต่ 10 ถึง 30 ทห่ี ารดว้ ย 2 ลงตวั เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ ตรงกับขอ้ ใด
ก. { 12, 14, 16, …, 30 }
ข. { 10, 11, 12, …, 30 }
ค. { 12, 14, …, 28 }
ง. { 10, 12, 14, …, 30 }

52

เฉลย แบบทดสอบ

เรอื่ ง เซตและการเขียนเซต

1. ข 6. ง
2. ง 7. ข
3. ค 8. ข
4. ข 9. ก
5. ค 10. ง

53

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

“ลำดับเลขคณิต”

54

55

ลำดับเลขคณิต

ผลการวิเคราะห์ภาวะถดถอยทางการเรียนรู้ (Learning Loss)
1. ผู้เรยี นไมส่ ามารถแก้โจทย์เก่ียวกบั ลำดบั เลขคณติ ได้
2. ผู้เรยี นบอกหลักการแกโ้ จทย์เก่ียวกบั ลำดับเลขคณติ ไม่ได้
3. ผ้เู รียนขาดความมุ่งมั่นในการทำงานและทักษะการทำงานเปน็ ทมี

มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวช้ีวัด
ค 1.2 ม.5/2

รปู แบบการจดั กิจกรรม
การจัดกจิ กรรมการเรียนรแู้ บบวัฏจกั ร 4 ขั้นตอน

เปา้ หมายในการพัฒนาผู้เรียน
สาระการเรียนรู้
1. การระบลุ ำดบั ทีเ่ ป็นลำดับเลขคณติ และบอกหลกั การแก้โจทยเ์ ก่ยี วกับลำดบั เลขคณติ ได้
2. การนำความรู้เก่ียวกับลำดับเลขคณิตไปแก้ปัญหาและเช่ือมโยงกับชีวิตจริงจาก

สถานการณ์ที่กำหนดให้ได้
3. การทำงานเป็นทมี ด้วยความมุง่ มน่ั

สมรรถนะสำคัญของผ้เู รยี น
1. ความสามารถในการส่ือสาร
2. ความสามารถในการคิด
3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา

56

กระบวนการจัดกจิ กรรม

สรา้ งความสนใจ กระตุ้นความสนใจในการเรยี น
1.ผ้เู รยี นร่วมเล่นเกมนบั ต่อ

สำรวจและค้นหา ฝึกทักษะการคดิ การส่ือสาร แก้ปญั หา การทำงานเป็นทมี
2. ผู้เรยี นแต่ละกลุ่มทำกิจกรรมและสรุปความหมายของลำดับเลขคณติ หน้าชัน้ เรียน
3. ผู้เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ร่วมกนั ศึกษาสถานการณ์โจทย์เก่ยี วกับลำดับเลขคณติ จากใบความรู้

อธิบายและลงข้อสรปุ ฝึกทักษะการคิด การส่ือสาร การทำงานเป็นทมี
4. ผเู้ รยี นแต่ละกล่มุ นำเสนอและรว่ มกนั สรปุ องค์ความรู้ใหม่ทค่ี น้ พบ

ประยุกตใ์ ช้ความรู้ ฝึกทกั ษะการคิด การส่ือสาร แก้ปัญหา
5. ผู้เรียนแต่ละกลุ่มนำความรู้เกีย่ วกบั ลำดบั เลขคณติ ไปใชใ้ นการแก้โจทย์หรือสถานการณท์ ่ี

เชื่อมโยงกบั ชวี ิตจริง โดยการเล่นบอร์ดเกม เร่ือง ลำดบั เลขคณิตพิชิตชัย

ข้อควรคำนึง

ดา้ นผเู้ รยี น - การเรียนรโู้ ดยกระบวนการกลมุ่ ควรแบง่ หน้าที่ใหท้ ุกคนมีส่วนรว่ ม

เพอ่ื ลดความแตกต่างระหวา่ งบุคคล

ดา้ นครูผู้สอน - เตรียมเนอ้ื หาใหก้ ระชบั และครอบคลุมเพื่อใหเ้ หมาะสมกับเวลา

ด้านเน้อื หา - โจทยท์ ่นี ำเสนอควรเชือ่ มโยงกบั ชีวิตประจำวนั เพ่ือความน่าสนใจในการเรียน

และเหมาะสมกับบริบทของผเู้ รียน

ด้านประเมนิ ผล - ผูเ้ รียนมีสว่ นร่วมในการประเมนิ ผล เชน่ ประเมนิ การทำงานของตนเอง
สือ่ และแหล่งเรียนรู้ การวดั และประเมินผล

1. ใบกิจกรรม : ความหมายลำดับเลขคณิต 1. สังเกตพฤติกรรมการเรยี นรู้

2. ใบความรูท้ ่ี 1 : การหาพจน์ทว่ั ไปของลำดับเลขคณิต 2. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุม่

3. ใบความรู้ที่ 2 : การหาพจนท์ กี่ ำหนดใหข้ องลำดบั เลขคณติ 3. ตรวจใบกิจกรรม/แบบบนั ทึกการเรียนรู้

4. ใบความรูท้ ี่ 3 : การหาผลตา่ งร่วมของลำดบั เลขคณิต

5. ใบความรทู้ ี่ 4 : การหาจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณติ

6. ใบความรทู้ ี่ 5 : โจทยเ์ กี่ยวกบั ลำดับเลขคณติ

7. เกม เรือ่ ง ลำดบั เลขคณติ พิชิตชัย

57

เกมนบั ต่อ

วธิ ีเล่น
1. ผู้เรียนหน่ึงคนเลือกจำนวนมาหนึ่งจำนวน
2. ครเู ลอื กจำนวนมาหน่ึงจำนวน
3. ครูเลือกผเู้ รยี นมาหนึง่ คนแล้วให้นบั จำนวนตอ่ จากครโู ดยจำนวนน้นั มผี ลต่างเท่ากับผลตา่ งของ
จำนวนทีค่ รูเลอื กกับจำนวนท่ีผ้เู รยี นคนแรกเลือก จากนั้นเลือกเพือ่ นมาหนงึ่ คน แลว้ ใหน้ ับจำนวน
ตอ่ โดยจำนวนนั้นมผี ลต่างเท่ากบั ผลต่างของจำนวนคู่ทผ่ี า่ นมาทำเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ

58

ใบกจิ กรรม
ความหมายลำดบั เลขคณิต

คำชี้แจง : 1. แตล่ ะกลมุ่ พจิ ารณาความสัมพันธแ์ บบรูปของจำนวนท่ีกำหนดให้ กลุม่ ละ 1 ชดุ

2. จัดกล่มุ แบบรปู ของจำนวนทกี่ ำหนดใหต้ ามสัมพันธท์ ี่มีร่วมกันลงในกระดาษชาร์ท

3. นำเสนอ อภิปราย และร่วมกนั สรปุ ความหมายลำดับเลขคณติ หนา้ ชั้นเรยี น

ชดุ ท่ี 1 ชดุ ท่ี 2
2 4 6 8 10 2 5 8 11 13
2 4 8 16 32 3 6 12 24 42
20 16 12 8 4 20 17 14 11 8
1 8 15 22 29 1 5 9 13 17
17 14 11 8 5 18 15 12 9 6
3 6 10 15 21 2 3 5 8 12

ชดุ ท่ี 3 ชุดท่ี 4
3 6 9 12 15 4 7 10 13 16
3 9 27 81 243 3 6 12 24 42
25 21 17 13 9 32 28 24 20 16
3 10 17 24 31 7 12 17 22 27
20 18 16 14 12 44 34 24 14 4
4 5 7 10 14 5 6 8 11 15

ชุดที่ 5 ชุดท่ี 6
4 9 14 19 24 4 10 16 22 28
2 6 18 54 162 2 8 32 128 512
13 12 11 10 9 32 27 22 17 12
3 12 21 30 39 8 12 16 20 24
15 13 11 9 7 45 40 35 30 25
6 7 9 12 16 5 6 8 11 15

ชดุ ท่ี 7 ชุดที่ 8
6 12 18 24 30 4 7 10 13 16
3 9 27 81 243 4 8 16 32 64
46 44 42 40 38 18 16 14 12 10
6 9 12 15 18 5 15 25 35 45
21 19 17 15 13 70 60 50 40 30
7 8 10 13 17 10 11 13 16 20

สรปุ

ลำดบั เลขคณิต คือ ................................................................................................................

............................................................................................................................. ..................

59

ใบความรทู้ ี่ 1 : การหาพจนท์ ่ัวไปของลำดับเลขคณติ

คำชแี้ จง : 1. ศกึ ษาการหาพจน์ทัว่ ไปของลำดบั เลขคณิต
2. สรปุ หลักการแก้โจทย์ลงในแบบบนั ทึกการเรียนรู้

โจทย์ 1 จงหาพจนท์ ี่ n (พจนท์ ่วั ไป) ของลำดบั เลขคณติ 5, 12, 19, 26, …
วธิ ที ำ
โจทยก์ ำหนด a1 = 5 และ d = 12 – 5 = 7
โจทย์ 2 จากสตู ร an = a1 + (n – 1)d
แทนคา่ จะไดว้ ่า an = 5 + (n – 1)(7)

an = 5 + 7n – 7
an = 7n – 2
ดงั นน้ั พจน์ทว่ั ไปของลำดบั น้ี คอื an = 7n – 2

ลำดบั เลขคณติ ชดุ หน่ึงมีพจน์ท่ี 4 เทา่ กบั 21 และพจนท์ ี่ 30 เท่ากบั –187
จงหาพจน์ทว่ั ไปของลำดับนี้

วธิ ีตรง โจทยก์ ำหนด a4 = 21 และ a30 = –187 เทคนิค

ต้องการหา an โจทยก์ ำหนด a4 = 21 และ a30 = –187

จะตอ้ งหา a1 และ d ดงั น้ี สร้างสมการหา ผลต่างรว่ ม d ดงั น้ี

จากสตู ร an = a1 + (n – 1)d a30 – a4 = (30 – 4)d
จะได้ a4 = a1 + (4 – 1)d –

21 = a1 + 3d …….(1) จะได้ –187 – 21 = 26d
และ a30 = a1 + (30 – 1)d –208 = 26d

–187 = a1 + 29d …….(2) d = –8

นำ (2) – (1) จะได้ –208 = 26d สร้างสมการหา พจน์ท่ี 1 ดังนี้

d = –8 a1 = a4 + (–3)d

แทน d = –8 ใน (1) +

จะได้ 21 = a1 + 3(–8) จะได้ a1 = 21 + (–3)(–8) ดงั นั้น
a1 = 45 a1 = 45

แทน a1 = 45 และ d = –8 ในสตู ร แทน a1 = 45 และ d = –8 ในสตู ร

จะได้ an = 45 + (n – 1)(–8) จะได้ an = 45 + (n – 1)(–8)
an = 45 – 8n + 8 an = 45 – 8n + 8

an = 53 – 8n an = 53 – 8n

ดงั นัน้ พจน์ทัว่ ไปของลำดับน้ีคอื 53 – 8n ดังนน้ั พจนท์ ัว่ ไปของลำดับน้ีคือ 53 – 8n

60

คำช้ีแจง : ใบความรทู้ ่ี 2 : การหาพจน์ทก่ี ำหนดให้ของลำดบั เลขคณิต

1. ศกึ ษาการหาพจน์ท่ีกำหนดใหข้ องลำดับเลขคณติ
2. สรปุ หลกั การแก้โจทยล์ งในแบบบนั ทกึ การเรียนรู้

โจทย์ 1 ถา้ ลำดบั เลขคณติ มีพจน์ท่ี 1 เปน็ 6 และผลตา่ งรว่ มเป็น 4 จงหาพจนท์ ่ี 15

วธิ ที ำ โจทยก์ ำหนด a1 = 6 , d = 4 และ n = 15

ตอ้ งการหา a15

จากสูตร an = a1 + (n – 1)d

แทนคา่ จะไดว้ า่ a15 = 6 + (15 – 1)(4)

a15 = 62

ดังน้นั พจน์ที่ 15 ของลำดับนี้ คอื 62

โจทย์ 2 ลำดบั เลขคณติ ชุดหนง่ึ มีพจน์ที่ 42 เทา่ กับ –95 และผลต่างร่วมเท่ากบั – 5
2

จงหาพจน์ที่ 54 ของลำดับน้ี

วธิ ีตรง โจทย์กำหนด a42 = –95 เทคนิค
และ d = – 5
โจทยก์ ำหนด a42 = –95
2 และ d = – 5

จากสูตร an = a1 + (n – 1)d 2
สรา้ งสมการหา พจน์ที่ 54 ดังน้ี
จะได้ a42 = a1 + (42 – 1)  5 
− 2 a54 = a42 + 12d

จะได้ –95 = a1 + (41)  − 5  +
2
15 แทนคา่ จะได้ a54 = –95 + (12)  − 5 
= 2 2
a1 ดังนน้ั a54 = –125

ดงั นั้น a54 = 15 + (54 – 1)  − 5 
2 2
a54 = –125

61

ใบความรทู้ ่ี 3 : การหาผลต่างรว่ มของลำดบั เลขคณิต

คำชี้แจง : 1. ศกึ ษาการหาผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต
2. สรุปหลักการแก้โจทย์ลงในแบบบันทึกการเรยี นรู้

โจทย์ 1 ลำดับเลขคณติ ชดุ หนงึ่ มพี จน์ที่ 5 เท่ากับ 15 และพจน์ที่ 36 เท่ากบั 77
จงหาผลต่างรว่ มของลำดบั น้ี

วิธตี รง โจทยก์ ำหนด a5 = 15 และ a36 = 77 เทคนิค

จากสตู ร an = a1 + (n – 1)d โจทยก์ ำหนด a5 = 15 และ a36 = 77

จะได้ a5 = a1 + (5 – 1)d สร้างสมการหา ผลต่างร่วม d ดงั นี้

15 = a1 + 4d …….(1) a36 – a5 = (36 – 5)d

และ a36 = a1 + (36 – 1)d –

77 = a1 + 35d …….(2) แทนคา่ จะได้ 77 – 15 = 31d
62 = 31d
นำ (2) – (1) จะได้ 62 = 31d
d = 62
d = 62
31
31
d=2
d=2
ดังน้ัน ผลตา่ งรว่ มของลำดบั นี้ คอื 2
ดังน้นั ผลต่างรว่ มของลำดับนี้ คอื 2

โจทย์ 2 ลำดบั เลขคณติ ชุดหน่งึ มพี จน์ท่ี 4 เท่ากับ 18 และพจน์ที่ 7 เท่ากับ 16

จงหาผลต่างร่วมของลำดบั น้ี

วิธีตรง โจทย์กำหนด a4 = 18 และ a7 = 16 เทคนิค
จากสตู ร an = a1 + (n – 1)d
จะได้ a4 = a1 + (4 – 1)d โจทย์กำหนด a4 = 18 และ a7 = 16
18 = a1 + 3d …….(1)
และ a7 = a1 + (7 – 1)d สรา้ งสมการหา ผลตา่ งร่วม d ดังน้ี
16 = a1 + 6d …….(2)
นำ (2) – (1) จะได้ –2 = 3d a7 – a4 = (7 – 4)d
d = –2 –

3 แทนค่าจะได้ 16 – 18 = 3d
ดังนน้ั ผลตา่ งร่วมของลำดบั น้ี คอื – 2 –2 = 3d
d = –2
3
3
ดงั นน้ั ผลต่างรว่ มของลำดบั นี้ คอื – 2

3

62

คำชแ้ี จง : ใบความรทู้ ่ี 4 : การหาจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิต

1. ผเู้ รียนศึกษาการหาจำนวนพจนข์ องลำดบั เลขคณิต
2. สรปุ หลักการแกโ้ จทย์ลงในแบบบันทกึ การเรียนรู้

โจทย์ 1 ลำดบั เลขคณิตชุดหน่งึ คือ 5, 12, 19, 26, … ,670 จงหาวา่ ลำดับนมี้ ีกพี่ จน์

วิธีตรง โจทย์กำหนด a1 = 5 , an = 670 เทคนคิ
และ d = 12 – 5 = 7
จากสตู ร an = a1 + (n – 1)d โจทยก์ ำหนด a1 = 5 , an = 670
จะได้ 670 = 5 + (n – 1)(7)
จาก n = an – a1 +1

d

670 = 5 + 7n – 7 จะได้ n = 670 – 5 +1
7n = 672 7
n = 96
n = 96
ดงั นนั้ ลำดับน้ีมี 96 พจน์
ดงั น้นั ลำดบั นีม้ ี 96 พจน์

โจทย์ 2 –176 เป็นพจน์ทีเ่ ท่าใดของลำดับเลขคณติ –1, –6, –11, …

วธิ ตี รง โจทยก์ ำหนด a1 = –1 , an = –176 เทคนิค
และ d = –6 – (–1) = –5
จากสูตร an = a1 + (n – 1)d โจทย์กำหนด a1 = –1 , an = –176
จะได้ –176 = –1 + (n – 1)( –5) และ d = –6 – (–1) = –5
–176 = –1 – 5n + 5
5n = 180 จาก n = an – a1 + 1
n = 36
d
ดังนัน้ –176 เปน็ พจน์ท่ี 36 ของลำดับนี้
จะได้ n = (–176) – (–1) + 1
–5

n = 36

ดงั น้นั –176 เป็นพจน์ท่ี 36 ของลำดบั นี้

63

โจทย์ 3 จำนวนเตม็ ต้งั แต่ 10 ถึง 1000 ทีห่ ารด้วย 3 ลงตวั มที ง้ั หมดก่ีจำนวน

วิธตี รง จำนวนต้ังแต่ 10 ถึง 1000 ทห่ี ารดว้ ย 3 ลงตวั ไดแ้ ก่ 12, 15, 18, … , 999

จะไดว้ ่า a1 = 12 , an = 999 และ d = 15-12 = 3
จากสูตร an = a1 + (n – 1)d
จะได้ 999 = 12 + (n – 1)(3)

999 = 12 + 3n – 3
3n = 990
n = 330

ดังนน้ั จำนวนต้งั แต่ 10 ถึง 1000 ทห่ี ารด้วย 3 ลงตัวมี 330 จำนวน

เทคนิค
จำนวนตั้งแต่ 10 ถงึ 1000 ท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั

จะได้ x = 10 , y = 1000 และ d = 3
ดงั นน้ั 1000 = 333.3• ตัดเศษท้ิงเป็นจำนวนเต็ม 333

3

10 = 3.3• ตัดเศษท้ิงเปน็ จำนวนเต็ม 3

3

จะได้ n = 333 – 3
n = 330

ดังนน้ั จำนวนต้ังแต่ 10 ถงึ 1000 ท่หี ารดว้ ย 3 ลงตวั มี 330 จำนวน

64

โจทย์ 4 จำนวนเตม็ ทมี่ ีค่าต้งั แต่ 120 ถึง 1600 และหารด้วย 8 ลงตัว มีท้ังหมดกจ่ี ำนวน

วธิ ตี รง จำนวนต้งั แต่ 120 ถึง 1600 ท่ีหารด้วย 8 ลงตวั ไดแ้ ก่ 120, 128, 136, … , 1600

จะได้ว่า a1 = 120 , an = 1600 และ d = 128 – 120 = 8
จากสูตร an = a1 + (n – 1)d
จะได้ 1600 = 120 + (n – 1)(8)

1600 = 120 + 8n – 8
8n = 1488
n = 186

ดงั น้นั จำนวนตงั้ แต่ 120 ถึง 1600 ทห่ี ารดว้ ย 8 ลงตัวมี 186 จำนวน

เทคนิค
จำนวนตัง้ แต่ 120 ถงึ 1600 ที่หารด้วย 8 ลงตัว

จะได้ x = 120 , y = 1600 และ d = 8
ดงั นน้ั 1600 = 200 เปน็ จำนวนเตม็ 200

8

120 = 15 เปน็ จำนวนเต็ม 15

8

จะได้ n = 200 – 15 + 1
n = 186

ดงั นั้น จำนวนต้งั แต่ 120 ถึง 1600 ที่หารดว้ ย 8 ลงตัวมี 186 จำนวน

65

โจทย์ 5 จำนวนเตม็ บวกตั้งแต่ 100 กบั 500 มกี ่ีจำนวนที่ 3 และ 4 หารลงตัว

วธิ ตี รง จำนวนตัง้ แต่ 100 ถึง 500 ท่หี ารด้วย 3 และ 4 หารลงตวั
ความหมายคือ หารด้วย ค.ร.น. ของ 3 และ 4 ลงตัว
นนั่ คอื จำนวนต้ังแต่ 100 ถงึ 500 ที่หารดว้ ย 12 ลงตัว
ไดแ้ ก่ 108, 120, 132, … , 492

จะได้ว่า a1 = 108 , an = 492 และ d = 120 – 108 = 12
จากสูตร an = a1 + (n – 1)d
จะได้ 492 = 108 + (n – 1)(12)

492 = 108 + 12n – 12
12n = 396

n = 33

ดังนัน้ จำนวนตัง้ แต่ 100 ถึง 500 ที่หารด้วย 12 ลงตวั มี 33 จำนวน

เทคนคิ ยอ่ ยท่ี 4
จำนวนตง้ั แต่ 100 ถงึ 500 ทหี่ ารด้วย 3 และ 4 หารลงตวั
ความหมายคือ หารดว้ ย ค.ร.น. ของ 3 และ 4 ลงตัว
น่นั คือ จำนวนตั้งแต่ 100 ถงึ 500 ท่หี ารดว้ ย 12 ลงตวั

จะได้ x = 100 , y = 500 และ d = 12
ดงั นั้น 500 = 41.6• ตดั เศษทิ้งเป็นจำนวนเต็ม 41

12

100 = 8.3• ตัดเศษท้ิงเป็นจำนวนเต็ม 8

12

จะได้ n = 41 – 8
n = 33

ดงั นั้น จำนวนตงั้ แต่ 100 ถึง 500 ท่หี ารดว้ ย 12 ลงตวั มี 33 จำนวน

66

คำช้ีแจง : ใบความรทู้ ี่ 5 : โจทยเ์ กย่ี วกบั ลำดบั เลขคณิต

1. ผเู้ รียนศึกษาโจทยเ์ กย่ี วกับลำดบั เลขคณติ
2. สรปุ หลักการแกโ้ จทยล์ งในแบบบันทกึ การเรยี นรู้

โจทย์ 1 ถา้ จดั แผน่ ไม้กองหน่ึงซ้อน ๆ กัน ใหช้ ้ันล่างเรียงตามยาวชิดกนั ตลอด 52 แผน่
วางชน้ั ที่ 2 ใหแ้ นวก่งึ กลางของไม้แตล่ ะแผน่ ในชั้นน้ีอยู่ตรงกบั รอยต่อของไม้แตล่ ะคู่
ในช้ันแรกทำเชน่ นใี้ นชัน้ ต่อ ๆ ไป จนช้นั บนสดุ มีไม้ 7 แผ่น
ถา้ ไม้กองนที้ กุ แผ่นเรยี บและหนา 3 เซนตเิ มตร เท่ากนั ทกุ แผ่น จงหาวา่ ไม้กองนส้ี ูง
เท่าใด

วธิ ที ำ โจทยก์ ำหนด กองไมช้ นั้ ล่างเรยี งตามยาวชิดกันตลอด 52 แผน่
วางชนั้ ที่ 2 ให้แนวกึง่ กลางของไม้แตล่ ะแผ่นในชนั้ นีอ้ ยู่ตรงกบั รอยต่อของไม้แต่ละคู่
ในชัน้ แรกทำเชน่ นใ้ี นชัน้ ต่อ ๆ ไป จนชน้ั บนสุดมไี ม้ 7 แผน่
จะไดว้ ่า การเรยี งไม้แต่ละชนั้ จะลดลงชน้ั ละ 1 แผน่
เขียนลำดบั จำนวนไม้จากชนั้ ลา่ งสุดไปยงั ชัน้ บนสุดได้ดงั น้ี 52, 51, 50, …, 7
จะได้ว่า a1 = 52 , an = 7 และ d = –1
จากสูตร an = a1 + (n – 1)d
จะได้ 7 = 52 + (n – 1)( –1)
จะได้ 7 = 52 – n + 1
จะได้ n = 46
ดงั นนั้ กองไม้ซ้อนกนั ทง้ั หมด 46 ชน้ั
เนื่องจาก ไมแ้ ต่ละแผ่นหนา 3 เซนติเมตร
ดังนนั้ ไมก้ องนส้ี งู 46 x 3 = 138 เซนติเมตร

67

โจทย์ 2 ผลบวกของ 5 พจนแ์ รกในลำดบั เลขคณิตหน่ึงเท่ากบั 30 และผลบวกของ
กำลังสองของ 5 พจน์นี้เท่ากบั 220 จงหาพจนท์ ่ี 10 ของลำดับนี้

วธิ ีทำ ให้ 5 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณิตนี้คือ x – 2d, x – d, x, x + d, x + 2d
โจทยก์ ำหนด ผลบวกของ 5 พจน์แรกเทา่ กบั 30
จะได้ (x – 2d) + (x – d) + x + (x + d) + (x + 2d) = 30
5x = 30
x=6
ผลบวกของกำลังสองของ 5 พจน์น้ีเท่ากบั 220
จะได้ (x – 2d)2 + (x – d)2 + x2 + (x + d)2 + (x + 2d)2 = 220
แทนคา่ x = 6
จะได้ (6 – 2d)2 + (6 – d)2 + 62 + (6 + d)2 + (6 + 2d)2 = 220
(36 – 24d + 4d2) + (36 – 12d + d2) + 36 +
(36 + 12d + d2) + (36 + 24d + 4d2) = 220
180 + 10d2 = 220
10d2 = 40

d = ±2

เมอ่ื x = 6 และ d = 2 จะไดล้ ำดับเลขคณิตนี้คอื 2, 4, 6, 8, 10, …
จากสูตร an = a1 + (n – 1)d
จะได้ a10 = 2 + (10 – 1)(2)

= 2 + 18

= 20

เมือ่ x = 6 และ d = –2 จะได้ลำดบั เลขคณติ น้ีคือ 10, 8, 6, 4, 2, …
จากสตู ร an = a1 + (n – 1)d
จะได้ a10 = 10 + (10 – 1)( –2)

= 10 + ( –18)

= –8

ดังนั้น พจน์ท่ี 10 ของลำดับนี้ คือ –8 หรอื 20

68

การใชล้ ำดับเลขคณิตหาสตู รเงินรวมทีค่ ิดดอกเบ้ียแบบคงต้น

ถา้ เงนิ ตน้ P บาท อัตราดอกเบย้ี r ตอ่ งวด ระยะเวลา n งวด
จะได้ว่า งวดที่ 1 เงนิ ตน้ P บาท ดอกเบ้ยี สะสม Pr บาท เงินรวม P + Pr บาท

งวดท่ี 2 เงนิ ตน้ P บาท ดอกเบย้ี สะสม 2Pr บาท เงินรวม P + 2Pr บาท
งวดท่ี 3 เงินตน้ P บาท ดอกเบี้ยสะสม 3Pr บาท เงนิ รวม P + 3Pr บาท
งวดท่ี 4 เงนิ ต้น P บาท ดอกเบี้ยสะสม 4Pr บาท เงินรวม P + 4Pr บาท

⋮ ⋮⋮
งวดที่ n เงนิ ตน้ P บาท ดอกเบีย้ สะสม nPr บาท เงินรวม P + nPr บาท
จะได้ ลำดับของเงนิ รวม คือ P + Pr, P + 2Pr, P + 3Pr, P + 4Pr, …, P + nPr
ถา้ S เป็นเงินรวมท่ีไดจ้ ากการคิดดอกเบย้ี แบบคงต้นในอัตราดอกเบ้ีย r ต่องวด
เป็นระยะเวลา n งวด จะได้วา่ S คอื พจน์ท่ี n ของลำดบั เลขคณิต หาได้จากสูตร

S = P + nPr
หรอื S = P(1 + nr)

โจทย์ 3 ดาราพงษ์กเู้ งินจากดาราพรเปน็ เงิน 30,000 บาท โดยเสียดอกเบีย้ แบบคงต้น
วธิ ที ำ
ในอัตรารอ้ ยละ 1.25 บาทตอ่ เดอื น จงหาเงนิ รวมในเดอื นที่ 10
โจทยก์ ำหนด กเู้ งิน 30,000 บาท

อตั ราดอกเบ้ยี ร้อยละ 1.25 บาทต่อเดือน
ระยะเวลา 10 เดอื น

จากสูตร S = P (1 + nr)

จะได้ S = (30,000) 1 + (10)  1.25 
100

= (30,000)(1 + 0.125)

= (30,000)(1.125)

= 33,750

ดังนั้น เงนิ รวมในเดือนท่ี 10 เทา่ กบั 33,750 บาท

69

แบบบนั ทึกการเรียนรู้

ชอื่ – สกลุ ......................................................................ช้นั ...................เลขที่...............

คำช้ีแจง จากการศึกษาใบความร้ทู ่ี 1 – 5 ใหส้ รปุ หลกั การแกโ้ จทย์

หลักการแกโ้ จทย์
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

70

เกม : ลาดบั เลขคณิตพิชิตชยั

ค่มู ือในการเล่นเกม
อปุ กรณ์และความหมาย

1. กระดาน (BOARD) กระดานจะมที ง้ั สน้ิ 100 ช่อง แบ่งออกเป็นช่องคะแนนธรรมดาและชอ่ งคะแนน
พเิ ศษตา่ งๆ ดงั นี้

- ช่องสีแดง หมายถึง เบย้ี ตวั ใดทผี่ ู้เลน่ ลงชอ่ งนี้จะไดค้ ะแนนเท่ากับคะแนนในชอ่ งน้นั บวกดว้ ย 2
- ช่องสีเหลอื ง หมายถึง เบ้ยี ตัวใดทผี่ ูเ้ ลน่ ลงชอ่ งนจ้ี ะไดค้ ะแนนเท่ากับคะแนนในช่องนน้ั บวกดว้ ย 3
- ชอ่ งสเี ขยี ว หมายถึง เบ้ียตัวใดที่ผ้เู ลน่ ลงชอ่ งนจ้ี ะได้คะแนนเท่ากับคะแนนในชอ่ งนั้นคูณดว้ ย 2
- ชอ่ งสีนำ้ เงิน หมายถงึ เบยี้ ตัวใดทผ่ี ู้เล่นลงช่องน้จี ะได้คะแนนเท่ากบั คะแนนในชอ่ งนัน้ คูณด้วย 3

2. เบยี้ (TILES) มที ้งั สิ้น 40 ตัว ประกอบดว้ ย สชี มพู จำนวน 20 ตัว และสีม่วง จำนวน 20 ตวั

71

วิธเี ลน่
1. ผเู้ ลน่ แต่ละทีมเสยี่ งทายหวั หรือก้อยเพื่อหาทีมท่เี ร่ิมเลน่ ก่อน
2. ผเู้ ลน่ แต่ละทมี จะไดร้ บั เบ้ยี ทีมละ 20 ตวั
3. ผเู้ ล่นทีมทไ่ี ดเ้ รม่ิ ก่อนจะจบั คำถามขึ้นมาแล้วหาคำตอบในแบบบันทึกการเรียนรู้ เกมลำดับเลขคณิต

พิชิตชัยโดยแต่ละคำถามจะมีเวลาหาคำตอบไม่เกิน 2 นาที แล้ววางเบี้ยในช่องที่ตรงกับคำตอบที่ได้จากนั้นจะ
เปน็ ตาเล่นของผู้เล่นอีกฝ่าย สลับกันไปเรอ่ื ยๆ ซ่ึงแต่ละทมี มเี วลาในการเลน่ ทมี ละ 20 นาที

4. ผูเ้ ล่นทมี ที่จบั ไดบ้ ัตรพิเศษจะสามารถเลือกถอนเบ้ยี ของทีมตรงขา้ มได้ 1 เบี้ย
การคดิ คะแนน

1. กรณีท่ีตอบคำถามถูกต้องในแต่ละคำถาม จะได้รับคะแนนดงั นี้
1.1 ผู้เล่นทีมใดที่วางเบี้ยในช่องคะแนนปกติ จะได้รับคะแนนเท่ากับคะแนนในช่องนั้นๆ แต่ถ้าวาง

เบีย้ ในช่องคะแนนปกติท่ีเป็นจำนวนลบ จะได้คะแนนเทา่ กบั จำนวนลบนนั้ คณู ดว้ ยลบหนึง่
1.2 ผเู้ ล่นทมี ใดที่วางเบ้ียในช่องคะแนนพิเศษ จะได้รับคะแนนดงั น้ี
1.2.1 วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีแดง จะได้รับคะแนนเท่ากับคะแนนในช่องนั้นๆ บวกด้วย 2

แต่ถา้ วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีแดงทเ่ี ป็นจำนวนลบ จะไดค้ ะแนนเท่ากับจำนวนลบน้นั คูณดว้ ยลบหน่ึง แล้ว
บวกด้วย 2

1.2.2 วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีเหลือง จะได้รับคะแนนเทา่ กับคะแนนในช่องนั้นๆ บวกด้วย
3 แต่ถ้าวางเบ้ียในช่องคะแนนพิเศษสีเหลอื งท่ีเป็นจำนวนลบ จะได้คะแนนเทา่ กับจำนวนลบนั้นคูณด้วยลบหนงึ่
แลว้ บวกดว้ ย 3

1.2.3 วางเบยี้ ในช่องคะแนนพิเศษสเี ขียว จะได้รบั คะแนนเท่ากับคะแนนในช่องนนั้ ๆ คณู ดว้ ย 2
แตถ่ า้ วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสเี ขียวที่เป็นจำนวนลบ จะไดค้ ะแนนเท่ากับจำนวนลบนั้นคูณด้วยลบหน่งึ แลว้
คูณดว้ ย 2

1.2.4 วางเบ้ียในชอ่ งคะแนนพิเศษสีน้ำเงิน จะไดร้ ับคะแนนเท่ากบั คะแนนในช่องน้ันๆ คูณดว้ ย 3
แต่ถ้าวางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีน้ำเงินที่เป็นจำนวนลบ จะได้คะแนนเท่ากับจำนวนลบนั้นคูณด้วยลบหน่ึง
แลว้ คณู ด้วย 3

2. กรณีที่ตอบคำถามไมถ่ ูกต้องในแต่ละคำถาม จะได้รับคะแนนดงั น้ี
2.1 ผู้เล่นทีมใดทีว่ างเบี้ยในชอ่ งคะแนนปกติ จะได้รับคะแนนลดลงเทา่ กับคะแนนในช่องนนั้ ๆ แต่ถ้า

วางเบย้ี ในชอ่ งคะแนนปกตทิ เี่ ป็นจำนวนลบ จะไดค้ ะแนนลดลงเทา่ กับจำนวนลบนั้นคูณดว้ ยลบหนึ่ง
2.2 ผ้เู ลน่ ทีมใดท่ีวางเบยี้ ในช่องคะแนนพเิ ศษ จะไดร้ ับคะแนนดังนี้
2.2.1 วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสแี ดง จะได้รับคะแนนลดลงเทา่ กับคะแนนในชอ่ งนั้นๆ บวก

ดว้ ย 2 แต่ถ้าวางเบ้ียในช่องคะแนนพิเศษสีแดงที่เป็นจำนวนลบ จะไดค้ ะแนนลดลงเท่ากับจำนวนลบนั้นคูณด้วย
ลบหนงึ่ แลว้ บวกดว้ ย 2

72

2.2.2 วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีเหลือง จะได้รับคะแนนลดลงเท่ากับคะแนนในช่องนั้ นๆ
บวกด้วย 3 แต่ถ้าวางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีเหลืองที่เป็นจำนวนลบ จะได้คะแนนลดลงเท่ากับจำนวนลบนนั้
คณู ด้วยลบหนึ่ง แลว้ บวกดว้ ย 3

2.2.3 วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีเขยี ว จะได้รับคะแนนลดลงเท่ากับคะแนนในช่องนัน้ ๆ คูณ
ด้วย 2 แต่ถ้าวางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีเขียวท่ีเป็นจำนวนลบ จะได้คะแนนลดลงเท่ากับจำนวนลบนั้นคูณ
ด้วยลบหน่งึ แล้วคูณดว้ ย 2

2.2.4 วางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีน้ำเงิน จะได้รับคะแนนลดลงเท่ากับคะแนนในช่องนั้นๆ
คูณด้วย 3 แต่ถ้าวางเบี้ยในช่องคะแนนพิเศษสีน้ำเงินที่เป็นจำนวนลบ จะได้คะแนนลดลงเท่ากับจำนวนลบนั้น
คณู ดว้ ยลบหนึ่ง แล้วคณู ด้วย 3

2.3 ผเู้ ล่นทมี ใดตอบคำถามไมถ่ ูกต้องในแตล่ ะคำถาม ผเู้ ล่นฝา่ ยตรงข้ามจะตอบคำถามแทน ถ้าตอบ
ถูกจะได้รบั คะแนนเพ่ิม เท่ากบั จำนวนคะแนนที่ลดลงของทีมทต่ี อบไม่ถูก แตถ่ า้ ตอบไมถ่ ูกจะไม่มผี ลต่อคะแนน

3. นำคะแนนที่ได้ทั้งหมดมารวมกนั ทมี ใดไดค้ ะแนนมากที่สุดเป็นผู้ชนะ

73

บัตรคำถาม ลำดบั เลขคณติ พิชติ ชัย

74

75

76

77

แบบบนั ทึกการเรียนรู้ : เกมลำดับเลขคณิตพชิ ติ ชัย

ชือ่ – สกุล ......................................................................ช้นั ...............เลขที่..........
ช่ือทีม.............................................................

คำช้ีแจง จงแสดงวธิ ีหาคำตอบจากบตั รคำถามท่ีกำหนดให้

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

78

เฉลย

บตั รคำถาม : ลำดับเลขคณติ พิชติ ชยั

1. จงหาผลตา่ งร่วมของลำดับเลขคณิต 178, 191, 204, …
ตอบ 13

2. จงหาผลตา่ งรว่ มของลำดับเลขคณิต 12, 7, 2, –3, …
ตอบ –5

3. จงหาพจนท์ ่ี 6 ของลำดับเลขคณติ 3, 8, 13, ……
ตอบ 28

4. จงหาพจนท์ ่ี 21 ของลำดับเลขคณติ 12, 9, 6, …
ตอบ –48

5. ลำดับเลขคณติ 9, 4, –1, …, –141 มีทง้ั หมดก่ีพจน์
ตอบ 31

6. จงหาพจนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ ทีม่ ี a3 = 5 และ a23 = 125

ตอบ –7

7. จงหาผลต่างรว่ มของลำดับเลขคณิตทีม่ ี a2 = 3 และ a7 = 28

ตอบ 5
8. จำนวนท่ีมคี ่าตงั้ แต่ 100 ถึง 1000 ท่ีหารด้วย 4 ลงตัวมีทง้ั หมดก่ีจำนวน

ตอบ 226
9. ถ้าผลบวกของสามจำนวนในลำดบั เลขคณติ เป็น 27 และผลบวกกำลังสองของแต่ละจำนวนเป็น 293

แล้วจงหาพจนท์ ี่ 5 ของลำดบั นี้
ตอบ 24

10. ถ้าลำดบั เลขคณติ มีพจน์ที่ 1 เปน็ 6 และผลต่างร่วมเป็น 4 จงหาพจนท์ ่ี 15 ของลำดับนี้
ตอบ 62

11. ลำดับเลขคณิตชดุ หน่งึ มีพจน์ที่ 42 เทา่ กับ –95 และผลต่างรว่ มเทา่ กับ – 5 จงหาพจน์ที่ 54 ของลำดับนี้
2

ตอบ –125
12. ลำดบั เลขคณิตชุดหนงึ่ มีพจนท์ ่ี 19 เทา่ กบั –32 และผลตา่ งร่วมเทา่ กับ –2 จงหาพจนท์ ่ี 1 ของลำดับน้ี

ตอบ 4

79

13. กำหนดลำดบั เลขคณติ มีผลตา่ งรว่ มเปน็ 7 และพจน์ท่ี 10 เปน็ 28 จงหาพจนท์ ี่ 20 ของลำดบั น้ี
2

ตอบ 63
14. ถา้ พจนท์ ่ี 54 และพจน์ท่ี 4 ของลำดับเลขคณิตชุดหน่ึงคือ –61 และ 64 ตามลำดบั จงหาพจนท์ ี่ 24

ตอบ 14
15. ลำดับเลขคณิตชดุ หน่ึงมพี จน์ท่ี 3 เท่ากบั 17 และพจน์ที่ 21 เทา่ กับ 107 จงหาพจน์แรกของลำดับน้ี

ตอบ 7
16. จงหาว่าลำดบั เลขคณติ 4, 9, 14, 19, …, 124 มที ัง้ หมดกพ่ี จน์

ตอบ 25
17. –176 เปน็ พจน์ทีเ่ ท่าไรของลำดบั เลขคณิต –1, –6, –11, …

ตอบ 36
18. จำนวนเต็มบวกระหว่าง 100 กับ 500 มีกีจ่ ำนวนที่ 3 และ 4 หารลงตวั

ตอบ 33
19. ไม้กองหนงึ่ วางซ้อนกนั เป็นชั้นๆ แตล่ ะชั้นมไี ม้มากกว่าชน้ั ทอี่ ยู่ถดั ไป 3 ท่อน ช้นั ล่างสดุ มไี ม้ 376 ท่อน

ถ้าไม้กองน้ีมที ั้งหมด 100 ช้ัน จงหาว่าชั้นบนสดุ ของไม้กองน้มี ีกี่ท่อน
ตอบ 79

20. ผลบวกของสามพจน์แรกในลำดับเลขคณติ หนง่ึ เท่ากับ 12 และผลบวกของกำลงั สามของแต่ละพจน์
สามพจนน์ ี้เทา่ กับ 408 จงหาผลตา่ งรว่ มของลำดบั นี้

80

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
“การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูล
เชงิ คุณภาพดว้ ยตารางความถ่ี”

81

82

การวเิ คราะห์และนำเสนอข้อมลู เชิงคณุ ภาพด้วยตารางความถ่ี

ผลการวเิ คราะหภ์ าวะถดถอยทางการเรยี นรู้ (Learning Loss)
1. ผเู้ รียนวิเคราะหแ์ ละนำเสนอข้อมลู เชงิ คณุ ภาพด้วยตารางความถไี่ ม่ได้
2. การผเู้ รียนขาดแรงจูงใจในการเรยี นรู้

มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวช้วี ัด
ค 3.1 ม. 6/1

รูปแบบการจดั กิจกรรม

การจัดการเรยี นรู้แบบรว่ มมือ
การจดั การเรยี นรแู้ บบ Inductive (อุปนยั )

การใช้คำถาม

เป้าหมายในการพฒั นาผูเ้ รียน
สาระการเรียนรู้

1. การบอกความหมายของความถี่ ฐานนยิ ม และความถ่สี ัมพทั ธ์
2. การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชงิ คุณภาพด้วยตารางความถี่
3. การนำความรู้ท่ีได้มาประยกุ ตใ์ ช้ในชวี ติ ประจำวันได้
4. การมีเจตคติทด่ี ตี ่อการเรยี นคณิตศาสตร์
สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน
1. ความสามารถในการสอ่ื สาร
2. ความสามารถในการคิด
3. ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

83

กระบวนการจัดกจิ กรรม

ข้นั นำ ทบทวนกระตนุ้ ความสนใจในการเรียน

1. ทบทวนความรู้เดิมเกยี่ วกบั การแบ่งประเภทข้อมลู (ข้อมูลเชิงคุณภาพ, ขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ)

โดยใช้บัตรคำ หรือแอปพลเิ คชนั ออนไลน์ เชน่ Kahoot, Quizizz เปน็ ต้น

ขน้ั สอน ฝกึ ทักษะการคดิ การส่อื สาร การทำงานเปน็ ทมี

2. สำรวจขอ้ มูลเก่ียวกบั เพศ และวนั เกิด (จนั ทร์ - อาทติ ย)์ ลงในแอปพลิเคชนั ออนไลนท์ ่ีครูได้

สรา้ งไว้ หรอื จดบนั ทึก

3. รว่ มกนั พิจารณาขอ้ มูลทีไ่ ด้จากการสำรวจ จากนนั้ สรุปข้อมลู และตอบคำถาม เชน่ มีเพศชายกี่

คน เพศหญิงกี่คน เกิดในแต่ละวันกี่คน เพศใดมจี ำนวนมากท่สี ุด และเกิดวนั อะไรมากท่ีสุด

4. ผ้เู รียนศึกษาใบความรู้ การวิเคราะหแ์ ละนำเสนอข้อมลู เชงิ คณุ ภาพด้วยตารางความถ่ี หรือชม

วดิ โี อจาก YouTube เก่ยี วกับ การวิเคราะห์ข้อมลู เชงิ คุณภาพ ตอนท่ี 1 – 3

ตอนท่ี 1 (นาทที ่ี 01.14 – 15.20) ตอนที่ 2 (นาทีที่ 01.02 – 09.40) ตอนที่ 3 (นาทีที่ 01.07 – 04.14)

ตอนท่ี 1 ตอนท่ี 2 ตอนท่ี 3

https://shorturl.asia/rhOQ https://shorturl.asia/15 https://shorturl.asia/b3

H

5. ผู้เรียนตอบคำถามจากแบบฝกึ หัด หรอื วิดีโอท่ีรบั ชม อภิปราย และร่วมกันสรุปความรู้
6. ผู้เรยี นอภิปรายตคี วาม ความถีแ่ ละฐานนยิ ม จากข้อมูลในกิจกรรม ข้อ 2.
ขั้นสรปุ ผู้เรยี นเขา้ ใจความถ่ี ฐานนยิ ม และความถส่ี มั พัทธ์ และสามารถวิเคราะห์และนำเสนอข้อมลู เชิง
คุณภาพดว้ ยตารางความถ่ี
7. ผู้เรียนทำแบบฝึกหัดที่ 1 – 2 การวิเคราะหแ์ ละนำเสนอขอ้ มลู เชิงคุณภาพดว้ ยตารางความถี่
และเฉลยคำตอบร่วมกัน
8. ใหผ้ ู้เรียนแบง่ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ ทำใบกิจกรรม “เพ่ือนท่ีระลกึ ”
แล้วให้ผูเ้ รียนศึกษาสถานการณป์ ญั หา อภิปรายเก่ยี วกับสถานการณ์ปญั หาเพื่อใหผ้ ูเ้ รยี นสร้างตารางแจก
แจงความถจ่ี ำแนกทางเดยี ว และตารางแจกแจงความถจ่ี ำแนกสองทาง
9. นาํ เสนอผลงาน และอภปิ รายผล

84

ขอ้ ควรคำนงึ
1. ในกิจกรรม ข้อ 2. ถา้ ไมใ่ ช้แอปพลิเคชนั ออนไลน์ สามารถใช้แบบบนั ทึกได้
2. ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะชุดข้อมูลที่มีฐานนิยมเพียงค่าเดียว ในกรณีที่ครูจัดทำตัวอย่าง

แบบฝกึ หดั เพิม่ เตมิ รวมท้ังขอ้ สอบ จงึ ควรหลกี เล่ียงการใช้ชดุ ขอ้ มูลทมี่ ฐี านนยิ มหลายค่าหรือไมม่ ีฐานนยิ ม
3. ครูไม่ควรให้ผู้เรียนเปรียบเทียบความถี่ของข้อมูลของตัวแปรที่แตกต่างกัน เนื่องจากอาจ

กอ่ ให้เกดิ ความเข้าใจคลาดเคล่ือนได้ เช่น กำหนดตารางความถ่ีจําแนกสองทางของประเภทผลไม้ที่นักเรียน
ชายและหญงิ ในโรงเรยี นแหง่ หนงึ่ ชนื่ ชอบ ดังนี้

เพศของ ผลไมท้ ่ีช่ืนชอบ รวม
นักเรียน แตงโม เงาะ ทเุ รยี น
55
ชาย 25 10 20 115
หญิง 40 60 15 170
รวม 65 70 35

จากตารางข้างต้น จะเห็นว่ามีตัวแปรที่สนใจศึกษา 2 ตัว ได้แก่ เพศและประเภทผลไม้ที่ชื่นชอบ
ครไู มค่ วรต้ังคําถามให้เปรยี บเทียบจำนวนนักเรยี นชายและหญิงที่ชื่นชอบผลไม้แตล่ ะประเภท เช่น นักเรียน
ชายหรอื หญิงชอบแตงโมมากกวา่ กัน เน่อื งจากเมอื่ พจิ ารณาจากตารางความถ่ีขา้ งตน้ จะเหน็ วา่ นักเรยี นหญิง
ที่ชอบแตงโมมีจำนวนมากกว่านักเรียนชายที่ชอบแตงโม จึงอาจทำให้เข้าใจได้ว่านักเรียนหญิงชอบแตงโม
มากกว่านักเรียนชาย ซึ่งเป็นข้อสรุปที่คลาดเคลื่อนไปจากความเป็นจริง เนื่องจากเมื่อพิจารณาจำนวน
นักเรียนทั้งหมด พบว่า มีนักเรียนชายน้อยกว่านักเรียนหญงิ กว่าเท่าตัว ดังนั้น ถึงแม้ว่านักเรียนชายทั้งหมด
จะชอบแตงโมก็ยังจะมีจำนวนน้อยกว่านักเรียนหญิงที่ชอบแตงโม จึงไม่สามารถใช้ตารางนี้ใน
การเปรียบเทียบว่านักเรียนชายหรือหญิงชอบแตงโมมากกว่ากัน ทั้งนี้ ในการสรุปผลจากตาราง ครูอาจให้
ผู้เรียนพิจารณาว่าผลไม้ประเภทใดเป็นที่ชื่นชอบของนักเรียนแต่ละเพศมากกว่ากัน โดยในที่นี้สามารถสรุป
ไดว้ ่านักเรียนชายชอบแตงโมมากกว่าเงาะและทุเรียน ส่วนนกั เรียนหญงิ ชอบเงาะมากกว่าแตงโมและทุเรียน
และเมื่อพิจารณานักเรียนทั้งหมด จะเห็นว่านักเรียนที่ชอบเงาะมีจำนวนมากกว่านักเรียนที่ชอบแตงโม
และทเุ รียน นอกจากนีย้ งั อาจนําความถส่ี ัมพทั ธม์ าใชใ้ นการสรุปผลเพื่อให้เห็นภาพไดช้ ดั เจนย่งิ ขึ้น

4. ในระหวา่ งท่ผี ู้เรยี นทำกิจกรรม ครคู วรเดินดผู เู้ รยี นให้ทัว่ ถงึ ทกุ กลมุ่ และคอยชแี้ นะครูเลือกกลุ่ม
ผ้เู รียน 2 – 3 กลมุ่ ท่นี ําเสนอขอ้ มูลในสถานการณ์ปัญหาด้วยรูปแบบการนาํ เสนอท่แี ตกต่างกัน

5. ในขนั้ ตอนการอภปิ รายความรู้ ครูตอ้ งใช้คำถามนำเพือ่ ให้ผ้เู รียนเกิดการคิดและนำไปส่กู ารสรา้ ง
องค์ความรู้

85

สื่อและแหล่งเรยี นรู้

1. บตั รคำ (ขอ้ มูลเชิงคณุ ภาพ และขอ้ มูลเชิงปรมิ าณ) จำนวน 16 ใบ
2. ใบความรู้ การวเิ คราะห์และนำเสนอข้อมลู เชงิ คณุ ภาพด้วยตารางความถี่
2. แบบฝกึ หดั ที่ 1 การวเิ คราะห์และนำเสนอข้อมูลเชงิ คุณภาพด้วยตารางความถ่ี
3. แบบฝกึ หัดที่ 2 การวเิ คราะห์และนำเสนอข้อมลู เชงิ คุณภาพดว้ ยตารางความถ่ี
4. แอปพลเิ คชนั ออนไลน์ เชน่ Kahoot, Quizizz, Liveworksheet
6. คลปิ วดิ ีโอ เรอื่ ง วเิ คราะห์ข้อมลู เชงิ คุณภาพ
ตอนที่ 1 (นาทีท่ี 01.14 – 15.20) ตอนที่ 2 (นาทที ี่ 01.02 – 09.40) ตอนท่ี 3 (นาทีท่ี 01.07 – 04.14)

ตอนที่ 1 ตอนท่ี 2 ตอนท่ี 3

https://shorturl.asia/rhOQ https://shorturl.asia/15 https://shorturl.asia/b3

H

การวัดและประเมนิ ผล
1. สงั เกตพฤติกรรม

2. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม

3. การตรวจแบบฝึกหัด ใบกิจกรรม

86

บตั รคำ (ขอ้ มูลเชงิ คณุ ภาพ และขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ)

หมายเลขโทรศัพท์ จำนวนผโู้ ดยสาร
รถประจำทาง
นำ้ หนัก
อายุ
เพศ
คะแนนสอบวิชา
รหสั ไปรษณยี ์ คณติ ศาสตร์

ราคาขา้ วสารต่อกโิ ลกรัม รายได้ของครู

ทะเบยี นรถยนต์ อาชีพของผปู้ กครอง

อตั ราการเกดิ ของประชากร จำนวนผ้ปู ่วยในแต่ละวัน
ในประเทศไทย
สญั ชาติ
จำนวนนกั ทอ่ งเท่ยี ว
ชาวต่างชาติในแตล่ ะปี ปริมาณการใชไ้ ฟฟา้
ในแตล่ ะเดอื น

87

ใบความรู้ การวเิ คราะหแ์ ละนำเสนอขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพด้วยตารางความถ่ี

การวเิ คราะห์และนำเสนอขอ้ มลู เชิงคณุ ภาพดว้ ยตารางความถ่ี

1. การวเิ คราะห์ขอ้ มูลเชิงคุณภาพ

ข้อมูลเชิงคุณภาพเป็นขอ้ มลู ท่ีแสดงลกั ษณะ ประเภท สมบัตใิ นเชงิ คณุ ภาพ และอ่ืน ๆ ที่ไมส่ ามารถ
วดั ค่าเปน็ ตัวเลขทีน่ ำมาบวก ลบ คูณ หรือหารกนั ได้ เชน่ ถ้าพจิ ารณาตวั แปร คอื เพศของผูใ้ ชบ้ รกิ ารใน
รา้ นอาหารแหง่ หน่ึง ขอ้ มูลทีเ่ ปน็ ไปได้คือหญิงหรอื ชาย

ในทางสถติ ิศาสตร์จะวเิ คราะห์ขอ้ มลู เชงิ คุณภาพโดยพิจารณาจากความถ่ีและฐานนยิ ม

ความถี่ (frequency) คือ จำนวนคร้ังของการเกดิ ข้อมลู ข้อมลู หน่ึงและคา่ ของตวั แปรค่าหนง่ึ
ฐานนิยม (mode) คือ ข้อมูลทม่ี ีจำนวนคร้งั ของการเกิดซ้ำกนั มากที่สดุ หรอื ข้อมูลที่มีความถีส่ งู สดุ

ทีม่ ากกว่า 1

ข้อมูลบางชุดอาจไม่มฐี านนยิ ม เชน่ ในกรณีท่ีข้อมลู มีความถ่เี ปน็ 1 เทา่ กนั หมด นอกจากนี้ข้อมูลบาง
ชดุ อาจมฐี านนยิ มมากกว่า 1 คา่ เชน่ ในกรณที ่ีมีข้อมลู มากกว่า 1 ข้อมลู ท่ีมคี วามสงู สดุ เท่ากัน

อย่างไรก็ตาม ในทน่ี ้ีจะพิจารณาเฉพาะชุดขอ้ มูลท่ีมฐี านนิยมเพียงค่าเดยี ว

ตตวั ัวออยยา่ ่างงทที่ 1่ี 1 โรงพยาบาลสง่ เสรมิ สภุ าพตำบลแห่งหนึ่งไดส้ ำรวจหมเู่ ลือดในระบบ ABO ของชาวบา้ นท่ี
อาศัยอยใู่ กล้โรงพยาบาลจำนวน 30 คน ได้ผลสำรวจด่งั นี้
A B O AB O B AB O B A
O O A B AB O B AB O B
OB OOAOAOB O
จงหาความถ่ีของเลือดแตล่ ะหมแู่ ละฐานนยิ มของขอ้ มูลชุดนี้

วธิ ีทำ จากข้อมลู ท่กี ำหนดให้ จะได้
เลือดหมู่ A มีความถี่เป็น 5 เลือดหมู่ B มีความถ่เี ป็น 8
เลอื ดหมู่ AB มีความถเี่ ปน็ 4 เลอื ดหมู่ O มีความถ่ีเป็น 13
จะเหน็ วา่ ฐานนิยมของข้อมลู ชุดนีค้ อื เลอื ดหมู่ O เนื่องจากเลือดหมู่ O มีความถ่ีสูงสดุ 

88

ตัวอยา่ งท่ี 2
ตัวอย่างที่ 2 บริษทั แหง่ หนึง่ ได้เกบ็ รวบรวมข้อมลู กฬี าทพี่ นักงานชอบเล่นมากทส่ี ุด โดยสำรวจจาก

พนักงานฝา่ ยผลติ และฝา่ ยขายจำนวน 60 คน ไดข้ ้อมลู ดงั นี้

พนักงานฝา่ ยผลติ

แบดมนิ ตนั ฟุตบอล ว่งิ ปิงปอง แบดมินตนั แบดมินตนั

ฟตุ บอล แบดมินตนั ปิงปอง ฟตุ บอล วิง่ แบดมินตนั

แบดมนิ ตนั ปงิ ปอง ปิงปอง แบดมินตัน ปงิ ปอง ปงิ ปอง

วิ่ง ปงิ ปอง ฟตุ บอล แบดมนิ ตนั วิง่ วิง่

ฟุตบอล วง่ิ วิ่ง แบดมนิ ตัน แบดมินตัน ปิงปอง

ปิงปอง แบดมินตัน ว่งิ ฟุตบอล ปงิ ปอง แบดมินตนั

พนักงานฝ่ายขาย

ปิงปอง ปิงปอง ปิงปอง วิง่ ฟุตบอล วง่ิ

แบดมินตนั วิ่ง ฟุตบอล ฟุตบอล แบดมินตนั ปิงปอง

วงิ่ ปิงปอง ฟตุ บอล แบดมนิ ตัน ว่งิ แบดมินตนั

ฟุตบอล ปิงปอง ปิงปอง วงิ่ ปิงปอง ฟตุ บอล

จงพิจารณาวา่

1) ถ้าบริษัทตอ้ งการจดั การแข่งขนั กีฬาเพื่อสร้างความสัมพันธร์ ะหวา่ งพนกั งานฝ่ายผลติ

บรษิ ัทควรจดั การแข่งขันกีฬาชนิดใด

จากขอ้ มูลพนักงานฝ่ายผลิต มผี ูเ้ ลน่ กฬี าแบดมนิ ตัน จำนวน 12 คน

มผี ู้เลน่ กฬี าฟุตบอล จำนวน 6 คน

มีผเู้ ล่นกีฬาวงิ่ จำนวน 8 คน

มีผู้เล่นกีฬาปงิ ปอง จำนวน 10 คน

ดงั นัน้ บรษิ ัทควรจดั การแขง่ ขนั กีฬาแบดมินตนั เพราะพนกั งานฝ่ายผลติ มีผูเ้ ลน่ กีฬาแบดมินตันมากท่ีสดุ

2) ถ้าบรษิ ัทตอ้ งการจดั การแขง่ ขันกีฬาเพือ่ สร้างความสมั พันธร์ ะหว่างพนกั งานฝ่ายขาย

บรษิ ัทควรจดั การแขง่ ขนั กีฬาชนิดใด

จากขอ้ มูลพนักงานฝ่ายขาย มีผเู้ ล่นกฬี าแบดมนิ ตัน จำนวน 4 คน

มีผเู้ ลน่ กีฬาฟุตบอล จำนวน 6 คน

มีผเู้ ล่นกีฬาวิ่ง จำนวน 6 คน

มผี เู้ ล่นกีฬาปิงปอง จำนวน 8 คน

ดงั นั้น บรษิ ัทควรจัดการแขง่ ขนั กีฬาปิงปอง เพราะพนักงานฝ่ายขายมผี ู้เล่นกีฬาปิงปองมากท่สี ดุ

89

3) ถ้าบริษัทตอ้ งการจัดการแข่งขันกีฬาเพ่อื สร้างความสมั พันธร์ ะหวา่ งพนกั งานทสี่ ำรวจท้ังหมด

บริษัทควรจัดการแขง่ ขนั กีฬาชนดิ ใด

จากขอ้ มลู พนักงานทั้งหมด มีผ้เู ลน่ กฬี าแบดมนิ ตนั จำนวน 16 คน

มีผเู้ ล่นกฬี าฟุตบอล จำนวน 12 คน

มีผู้เล่นกีฬาวิ่ง จำนวน 14 คน

มีผู้เล่นกีฬาปิงปอง จำนวน 18 คน

ดังนั้น บริษทั ควรจัดการแขง่ ขันกีฬาปิงปอง เพราะมีผ้เู ล่นกีฬาปิงปองมากทีส่ ุด

………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 

ข้อมูลเชิงคุณภาพควรมกี ารนำเสนอข้อมลู โดยจดั เป็นหมวดหมู่ใหม้ ีความสมั พันธเ์ กยี่ วข้องกนั ตามส่งิ
ท่ตี อ้ งการทราบ โดยอาจนำเสนอในรูปตารางหรือแผนภาพ เพ่ือให้สามารถอ่านและแปลความหมายของข้อมลู
เหล่าน้นั ไดง้ า่ ยข้ึน เรียกการนำเสนอข้อมลู โดยการแสดงความถขี่ องข้อมูลในรปู ตารางหรือแผนภาพวา่ การ
แจกแจงความถ่ี (frequency distribution)

2. การนำเสนอขอ้ มลู เชงิ คุณภาพดว้ ยตารางความถี่

การนำเสนอข้อมูลเชิงคณุ ภาพในรปู ตารางความถ่ี (frequency table) ไดแ้ ก่
ตารางความถี่จำแนกทางเดียว (one-way frequency table)

ตารางความถจ่ี ำแนกทางเดยี วเปน็ การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางโดยแสดงข้อมูลและความถขี่ อง
ขอ้ มลู ของตวั แปรเพียงหนึง่ ตัว มกั ใชใ้ นการนำเสนอข้อมลู เชิงคุณภาพเพ่ือสรุปลกั ษณะทส่ี นใจหรอื เปรียบเทยี บ
ความถีข่ องแต่ละข้อมูล เช่น จากข้อมลู ในตัวอย่างท่ี 1 สามารถเขียนตารางความถีจ่ ำแนกทางเดยี วของขอ้ มลู
หมูเ่ ลอื ดของชาวบา้ นจำนวน 30 คน ได้ดังตารางที่ 1 หรือ 2

เลอื ดหมู่ A B AB O รวม เลอื ดหมู่ ความถ่ี
ความถ่ี 584 13 30 A5
B8
ตารางที่ 1 AB 4
O 13
รวม 30
ตารางท่ี 2

90

ความถส่ี ัมพทั ธ์ (relative frequency) คือ สัดสว่ นของความถีข่ องแตล่ ะข้อมลู เทียบกับ
ผลรวมของความถี่ทง้ั หมด

ความถสี่ มั พัทธ์อาจเขียนในรปู สัดสว่ น ได้เปน็ หรืออาจเขยี นความถส่ี มั พัทธ์ในรูปร้อยละ ได้เป็น

ความถสี่ ัมพัทธ์ (สัดสว่ น) = ความถี่ ความถี่สมั พทั ธ์ (ร้อยละ) = ความถี่  100
ความถ่รี วม ความถีร่ วม

ในการนำเสนอขอ้ มลู ดว้ ยตารางความถจ่ี ำแนกทางเดียวอาจแสดงท้ังความถแ่ี ละความถส่ี ัมพัทธ์ใน

ตารางเดียวกันได้ ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั ตอวั ยอ่ายง่าทง่ีท3่ี 3 จากตารางที่ 2 จงเขียนตารางความถ่ีพร้อมท้งั แสดงความถ่ีสัมพัทธ์ของแต่ละหมูเ่ ลอื ด

วิธที ำ จากข้อมลู ในตารางท่ี 2 สามารถเขยี นตารางความถ่ีพร้อมท้ังแสดงความถ่ีสัมพัทธ์ ได้ดงั น้ี

เลือดหมู่ ความถี่ ความถ่สี ัมพัทธ์

สัดส่วน ร้อยละ

A5 5  0.17 5 100 17
B8 30 30
AB 4
O 13 8  0.27 8 100  27
รวม 30 30 30

4  0.13 4 100 13
30 30

13  0.43 4 100 13
30 30

1.00 100

ตวั ตอัวยอ่ายง่าทงี่ท4่ี 4 ครปู ระจำชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึง่ ไดส้ ำรวจวันเกดิ ของนกั เรียนในห้อง จำนวน 40 คน
ว่ามีวนั เกดิ ตรงกบั วนั ใดในสปั ดาห์ ได้ข้อมลู ดังนี้

วันองั คาร วันเสาร์ วนั พุธ วนั อังคาร วนั จนั ทร์

วนั อาทิตย์ วนั พธุ วนั จันทร์ วันศุกร์ วนั เสาร์
วนั จนั ทร์ วันเสาร์ วนั ศุกร์ วนั อังคาร วนั ศกุ ร์
วนั เสาร์ วนั องั คาร วันอาทติ ย์ วนั ศกุ ร์ วันพธุ
วนั พุธ วนั ศกุ ร์ วันจนั ทร์ วันอาทิตย์ วนั อาทติ ย์
วนั พฤหัสบดี วนั เสาร์ วันพุธ วันองั คาร วันพุธ
วันศุกร์ วันอังคาร วันเสาร์ วนั ศุกร์ วนั จันทร์
วันอังคาร วันศกุ ร์ วันองั คาร วนั พุธ วนั ศุกร์

จงเขยี นตารางความถ่ีพร้อมทั้งแสดงความถีส่ ัมพัทธ์ของข้อมูลชุดน้ี และสรุปข้อมูลทไ่ี ด้จากตาราง

91

วธิ ีทำ จากข้อมูลทก่ี ำหนดให้ สามารถเขยี นตารางความถ่ีพร้อมทง้ั แสดงความถ่สี มั พัทธ์ ได้ดงั นี้

วนั เกิด ความถ่ี ความถส่ี ัมพทั ธ์

สัดส่วน ร้อยละ

วันจันทร์ 5 5 = 0.125 5 100 =12.5
วนั องั คาร 8 40 40
วนั พุธ 7 8 = 0.200 8 100 = 20.0
วันพฤหสั บดี 1 40 40
วันศุกร์ 9 7 = 0.175 7 100 =17.5
วันเสาร์ 6 40 40
วันอาทติ ย์ 4 1 = 0.025 1 100 = 2.5
40 40 40
รวม 9 = 0.225 9 100 = 22.5
40 40
6 = 0.150 6 100 =15.0
40 40
4 = 0.100 4 100 =10.0
40 40

1.00 100

จากตารางสรปุ ได้ว่านกั เรียนทเี่ กิดวนั ศุกร์ มีจำนวนมากท่ีสดุ รองลงมาคอื วนั อังคาร

และนักเรียนท่ีเกดิ วันพฤหัสบดี มีจำนวนนอ้ ยทส่ี ุด 

ตารางความถ่ีจำแนกสองทาง (two-way frequency table)

ตารางความถจ่ี ำแนกสองทางเปน็ การนำสนอข้อมลู ในรูปตารางซงึ่ มีตัวแปรทสี่ นใจศกึ ษา 2 ตวั โดย

แสดงความถี่ของข้อมูลเชงิ คุณภาพของแตล่ ะตัวแปรท่สี นใจศึกษาในรูปตาราง เช่น จากขอ้ มูลในตัวอยา่ งท่ี 2

สามารถเขียนตารางความถ่จี ำแนกสองทางของกีฬาท่พี นักงานฝ่ายผลติ และฝา่ ยขายของบริษัทแหง่ หนึ่งชอบ

เลน่ ได้ดงั นี้

แผนก กฬี าท่ีชอบเลน่ รวม

วงิ่ ฟุตบอล ปงิ ปอง แบดมนิ ตัน

ฝ่ายผลิต 8 6 10 12 36

ฝา่ ยขาย 6 6 8 4 24

รวม 14 12 18 16 60

ตารางที่ 3

92

จากตารางสามารถสรปุ ไดว้ ่า
 พนกั งานฝา่ ยผลติ ชอบเลน่ กฬี าแบดมนิ ตันมากที่สุด โดยคิดเปน็ รอ้ ยละ 12 100  0.33

36

ของพนักงานฝ่ายผลติ ทั้งหมด
 พนักงานฝา่ ยขายชอบเล่นกฬี าปิงปองมากทส่ี ดุ โดยคดิ เป็นรอ้ ยละ 8 100  0.33

24

ของพนักงานฝา่ ยขายท้งั หมด
 พนกั งานท้งั สองแผนกชอบเลน่ กีฬาปิงปองมากทส่ี ดุ โดยคิดเปน็ รอ้ ยละ 18 100 = 30

60

ของพนักงานทัง้ หมด

จากตารางข้างตน้ จะเรยี กความถ่ี 8, 6, 10, 12, 6, 6, 8 และ 4 ว่าเปน็ ความถี่รว่ ม (joint frequency)
เพราะความถเ่ี หลา่ นี้แสดงถงึ จำนวนของพนักงานจากพนกั งานทัง้ หมด 60 คน ทใี่ ห้ข้อมูลทม่ี ลี ักษณะร่วมกนั
จากท้งั สองตวั แปร เชน่ ความถ่ี 10 แสดงถึงจำนวนของพนักงานฝา่ ยผลิตที่ชอบเล่นกีฬาปิงปอง



93

แบบฝึ กหดั ที่ 1
การวเิ คราะห์และนำเสนอขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพดว้ ยตารางความถี่

1. ในการเลือกหวั หน้าห้องของนกั เรียนชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหน่ึง ซ่งึ มนี ักเรียนจำนวน 30 คน
โดยมนี กั เรยี นไดร้ ับการเสนอช่ือเปน็ หวั หนา้ ห้อง 3 คน คือ มานพ (M) ปรียาพร (P) และอำพล (A)
ปรากฏผลดงั น้ี
MMP MMP P MMP
A MMA P A P A P M
MA A A A MP MP P

1.1) จงเขียนตารางความถ่ีจำแนกทางเดยี วพร้อมท้งั แสดงความถสี่ ัมพัทธ์ของข้อมลู ชุดนี้

นักเรียนที่ได้รบั การเสนอชื่อ ความถี่ ความถสี่ ัมพัทธ์
เป็นหัวหน้าห้อง
มานพ (M) 12 สดั ส่วน รอ้ ยละ
ปรยี าพร (P) 10
อำพล (A) 8 0.40 40
รวม
0.33 33

0.27 27

1.2) ฐานนิยมของข้อมูลชดุ นี้ คืออะไร
คำตอบ ......................................................................................................................

1.3) ผลที่ได้จากการเลือกหัวหน้าห้องของนักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 ห้องนี้
คำตอบ ......................................................................................................................

94

2. เจ้าของร้านค้าแหง่ หน่ึงได้สำรวจอาชีพของผมู้ าใชบ้ ริการทีร่ ้านจำนวน 60 คน โดยแบ่งตามกลุ่ม

อาชพี ดงั น้ี

ก. ธรุ กิจสว่ นตัว(ค้าขาย) ข. ขา้ ราชการ/พนักงานรฐั วิสาหกจิ

ค. พนักงานบริษัทเอกชน ง. นักเรียน นิสิต/นกั ศกึ ษา

จ. อาชีพอนื่ ๆ

ได้ผลสำรวจดงั น้ี

กก ข ก ค จ ค ง ก ก ข ข

จข ก ก ค ข จ ก ก ก ง ค

กก ข ข ค ง ง จ ข ข ก ก

ขข ก ก ง ก ข ค ค ค ค ง

คก ค ข ค ค ก ข ค ค ข ก

ฐานนยิ มของขอ้ มูลชุดนี้ คืออะไร

คำตอบ ............................................................................................................................. ......

95

แบบฝึ กหดั ท่ี 2
การวเิ คราะห์และนำเสนอขอ้ มูลเชงิ คณุ ภาพดว้ ยตารางความถี่

1. จากการสำรวจของหวานท่ีชืน่ ชอบมากที่สุดของนักเรียนชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง
จำนวน 315 คน โดยใหเ้ ลอื กของหวานทช่ี อบเพยี งอยา่ งเดียวจากของหวาน 3 อยา่ ง ได้แก่ ไอศกรมี
นำ้ แข็งไส และเครป ไดผ้ ลสำรวจดงั น้ี

เพศของ ของหวานท่ีชืน่ ชอบมากท่ีสดุ
นกั เรียน
ไอศกรมี น้ำแขง็ ไส เครป
ชาย
หญิง 50 40 60

65 30 70

1.1) นักเรียนท่ีช่นื ชอบน้ำแข็งไสคดิ เป็นร้อยละเท่าใดของนักเรยี นท่ีสำรวจทัง้ หมด
คำตอบ ........................................................................................................................

1.2) นักเรยี นหญิงท่ชี ื่นชอบไอศกรีมคิดเป็นร้อยละเท่าใดของนักเรยี นหญิงที่สำรวจทั้งหมด
คำตอบ .......................................................................................................................

1.3) นักเรียนทีส่ ำรวจชื่นชอบของหวานใดมากท่ีสดุ
คำตอบ .........................................................................................................................

96

2. จากการสำรวจความพึงพอใจของผูป้ ่วยนอกท่ีมตี ่อการให้บรกิ ารในแผนกอายรุ กรรม แผนก
ศัลยกรรม และแผนกทันตกรรมในโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง โดยสำรวจจากผ้ปู ่วยนอกทม่ี าใชบ้ ริการท่ี
แต่ละแผนกเพียงแผนกเดยี ว จำนวน 220 คน ได้ผลสำรวจดังนี้

ระดบั ความพึงพอใจ อายรุ กรรม แผนก ทันตกรรม รวม
50 ศัลยกรรม 26
พอใจมากท่ีสดุ 22 18 96
พอใจมาก 18 20 30 50
พอใจปานกลาง 6 10 4 54
พอใจน้อย 4 6 2 12
พอใจน้อยทสี่ ดุ 100 2 80 8
2 220
รวม 40

1) ผปู้ ่วยนอกที่มีระดบั ความพึงพอใจมากทส่ี ดุ คดิ เปน็ ร้อยละเทา่ ใดของผูป้ ว่ ยนอกท่สี ำรวจทั้งหมด

คำตอบ .........................................................................................................................

2) ผูป้ ่วยนอกท่ีมีระดับความพึงพอใจน้อยท่ีสุดต่อการใหบ้ ริการของแผนกทันตกรรมคิดเป็นรอ้ ยละ
เทา่ ใด ของผูป้ ่วยนอกทใ่ี ช้บริการแผนกทันตกรรมที่สำรวจทั้งหมด

คำตอบ .........................................................................................................................
3) ถ้าโรงพยาบาลแหง่ นี้กำหนดเกณฑไ์ วว้ ่า แผนกที่ผ้ปู ่วยนอกมีระดบั ความพึงพอใจต้งั แต่พอใจมาก
ข้นึ ไปมีจำนวนมากกว่าร้อยละ 70 ของผู้ปว่ ยนอกท่ีใช้บริการท่แี ผนกน้นั จะไดร้ บั รางวัลแผนกดีเดน่ จง
พจิ ารณาว่าแผนกใดบ้างจะได้รบั รางวัลน้ี

คำตอบ .........................................................................................................................