Statistic by rathmath

สถิติ

16 Apr 2020

สารบัญ

สถิติภาคบรรยาย...................................................................................................................................................................... 1
การแจกแจงความถี่.................................................................................................................................................................. 4
กราฟแจกแจงความถี่ ............................................................................................................................................................... 9
แผนภาพตน้ - ใบ................................................................................................................................................................... 12
คา่ กลางขอ้ มลู ....................................................................................................................................................................... 13
คา่ เฉลย่ี .................................................................................................................................................................................. 14
คา่ เฉลยี่ ถว่ งนา้ หนกั ............................................................................................................................................................... 19
คา่ เฉลยี่ (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)........................................................................................................................................... 21
การหาคา่ เฉลย่ี โดยการลดทอนขอ้ มลู ................................................................................................................................... 24
สมบตั ิของคา่ เฉลย่ี ................................................................................................................................................................ 28
มธั ยฐาน................................................................................................................................................................................. 30
มธั ยฐาน (อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วง).......................................................................................................................................... 34
มธั ยฐาน (จากกราฟ)............................................................................................................................................................. 36
สมบตั ิของมธั ยฐาน ............................................................................................................................................................... 38
ฐานนยิ ม ................................................................................................................................................................................ 40
ฐานนยิ ม (อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วง) ......................................................................................................................................... 44
ฐานนิยม (จากกราฟ) ............................................................................................................................................................ 46
สมบตั ขิ องฐานนิยม............................................................................................................................................................... 47
คา่ เฉลย่ี - มธั ยฐาน - ฐานนยิ ม ............................................................................................................................................. 49
การวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู ............................................................................................................................................................ 52
การวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง) ..................................................................................................................... 60
การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ .................................................................................................................................................. 64
พสิ ยั ....................................................................................................................................................................................... 65
สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน ........................................................................................................................................................ 68
สมบตั ิของสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน ....................................................................................................................................... 73
แผนภาพกลอ่ ง....................................................................................................................................................................... 76

สถิติ 1

สถิตภิ าคบรรยาย

สถิติ จะแปลวา่ “ขอ้ มลู ” ก็ได้ หรอื จะแปลวา่ “วิธีจดั การขอ้ มลู ” ตามระเบยี บวธิ ีการทางสถิติ ก็ได้
สถิติมหี ลายชนิด ตามลกั ษณะการนาไปใช้ เช่น

 สถิติเชิงพรรณนา = สถิตทิ ี่มงุ่ อธิบายภาพรวมของขอ้ มลู
 สถิตเิ ชิงอนมุ าน = สถิตทิ ี่ศกึ ษากลมุ่ ตวั อยา่ งเลก็ ๆ เพ่อื เดาขอ้ สรุปของขอ้ มลู ทงั้ หมด
 สถิตเิ พอ่ื การตดั สนิ ใจ = สถิตชิ นิดนี้ จะไมต่ อ้ งการภาพรวมของขอ้ มลู แตจ่ ะมงุ่ เนน้ เพอื่ ตดั สนิ ใจบางเรอื่ ง

โดยจะกาหนดก่อนวา่ ตอ้ งใชค้ า่ สถิตใิ ดในการตดั สนิ ใจ แลว้ จงึ เก็บขอ้ มลู เทา่ ทจ่ี าเป็น

ระเบียบวิธีการทางสถิติ ประกอบดว้ ย การเก็บขอ้ มลู → นาเสนอขอ้ มลู → วิเคราะห์ → ตีความ

การเก็บขอ้ มลู สามารถเก็บจากทะเบียนประวตั ิ จากการสารวจ จากการทดลอง หรอื จากการสงั เกต
โดยเราแบง่ ประเภทขอ้ มลู ตามวธิ ีเก็บไดเ้ ป็น 2 ชนดิ

 ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ = ขอ้ มลู ทีเ่ ก็บจากตน้ กาเนดิ ขอ้ มลู โดยตรง
 ขอ้ มลู ทตุ ยิ ภมู ิ = ขอ้ มลู ทเ่ี ก็บจากผลการเก็บขอ้ มลู ของคนอืน่ อีกที เชน่ เก็บจากเอกสาร หรอื ทะเบียนทมี่ อี ยู่
ซงึ่ ก่อนเก็บขอ้ มลู เราตอ้ งเลอื กอกี วา่ จะเก็บจาก “ประชากร” หรอื เก็บจาก “ตวั อยา่ ง”
 ประชากร = ขอ้ มลู “ทงั้ หมด”
 ตวั อยา่ ง = ขอ้ มลู “บางสว่ น”
การเก็บขอ้ มลู จากประชากร จะไดผ้ ลครบถว้ นสมบรู ณก์ วา่ เก็บจากตวั อยา่ ง แตก่ ็ใชเ้ วลามากกวา่
ในชีวติ จรงิ เรามกั นยิ มเก็บขอ้ มลู จากจากตวั อยา่ ง
โดยจะมวี ิธีเลอื กตวั อยา่ งตามหลกั สถิติ เพือ่ ใหต้ วั อยา่ งทเ่ี ลอื ก สามารถเป็นตวั แทนของประชากรไดใ้ กลเ้ คยี งทสี่ ดุ

การนาเสนอขอ้ มลู คอื การเอาขอ้ มลู มาจดั เป็นรูปแบบทเ่ี ขา้ ใจงา่ ย ซง่ึ แบง่ ไดเ้ ป็น 2 แบบ คือ
 ไมเ่ ป็นแบบแผน ไดแ้ ก่ การนาเสนอในรูปบทความ หรอื แบบกงึ่ ตาราง
 เป็นแบบแผน ไดแ้ ก่ การนาเสนอดว้ ยตาราง แผนภมู ิ หรอื กราฟ

การวเิ คราะหข์ อ้ มลู คอื การหาขอ้ สรุปเก่ียวกบั ลกั ษณะตา่ งๆ (คา่ เฉลยี่ , มธั ยฐาน, ฐานนยิ ม, ฯลฯ) ของขอ้ มลู
คา่ ทีว่ เิ คราะหไ์ ด้ จะมชี ่ือเรยี ก 2 ช่ือ ขนึ้ กบั วา่ เอาขอ้ มลู ระดบั ไหนมาวเิ คราะห์

 พารามเิ ตอร์ = คา่ ที่ไดจ้ าก “ประชากร”
 คา่ สถิติ = คา่ ทไี่ ดจ้ าก “ตวั อยา่ ง”
ปกติ เราจะไมว่ เิ คราะหป์ ระชากร แตเ่ ราจะวเิ คราะหต์ วั อยา่ ง เพ่ือหาคา่ สถติ แิ ลว้ นามาประมาณพารามเิ ตอร์
โดยขอ้ มลู ทน่ี ามาวเิ คราะห์ จะแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ประเภท
 ขอ้ มลู เชิงปรมิ าณ คือ ขอ้ มลู ทีบ่ อกปรมิ าณ เช่น อายุ สว่ นสงู นา้ หนกั
 ขอ้ มลู เชิงคณุ ภาพ คอื ขอ้ มลู ทแี่ สดงคณุ สมบตั ิ เชน่ เพศ กรุป๊ เลอื ด ขอ้ มลู ประเภทนี้ จะไมส่ ามารถ บวก ลบ

คณู หาร หรอื เทียบมากกวา่ นอ้ ยกวา่ ได้ จึงหาไมส่ ามารถหาคา่ เฉลยี่ หรอื มธั ยฐาน ได้

การตีความขอ้ มลู คอื การหาขอ้ สรุปจากคา่ ท่ไี ดจ้ ากการวเิ คราะห์

2 สถิติ

แบบฝึกหดั
1. ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง

1. เบอรโ์ ทรศพั ท์ เป็นขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณ
2. การเก็บขอ้ มลู ของชมุ ชน จากท่วี า่ การเขต จดั เป็นการเก็บขอ้ มลู แบบปฐมภมู ิ
3. การหาคา่ เฉลยี่ ของขอ้ มลู เป็นสว่ นหนง่ึ ของการนาเสนอขอ้ มลู
4. สถิติเชิงอนมุ าน คือ สถิตทิ มี่ งุ่ อธิบายลกั ษณะกวา้ งๆของขอ้ มลู
5. พารามเิ ตอร์ คอื คา่ ท่ไี ดจ้ ากการนากลมุ่ ตวั อยา่ งมาคานวณ
6. ประโยชนข์ องการนาเสนอขอ้ มลู คอื ทาใหเ้ ขา้ ใจขอ้ มลู ไดง้ ่ายขนึ้

2. ขอ้ ตอ่ ไปนมี้ ีผลกระทบตอ่ ความถกู ตอ้ งของการตดั สนิ ใจโดยใชส้ ถิติ ยกเวน้ ขอ้ ใด [O-NET 52/34]

1. ขอ้ มลู 2. สารสนเทศ 3. ขา่ วสาร 4. ความเช่ือ

3. ขอ้ ใดเป็นขนั้ ตอนหนง่ึ ของการสารวจความคิดเหน็ [O-NET 57/28]
1. ตงั้ สมมตุ ิฐานของปัญหาท่ีทาการสารวจ
2. กาหนดขอบเขตของการสารวจ
3. ประมาณการคา่ ใชจ้ ่ายในการสารวจความคิดเหน็
4. คดั เลอื กผเู้ ก็บขอ้ มลู การสารวจ
5. นาผลการสารวจความคิดเห็นไปใชป้ ระโยชน์

4. ขอ้ ใดไมอ่ ยใู่ นขนั้ ตอนของการสารวจความคดิ เห็น [O-NET 56/30]

1. กาหนดขอบเขตของการสารวจ 2. กาหนดวิธีเลอื กตวั อยา่ ง

3. สรา้ งแบบสารวจความคดิ เหน็ 4. ประมวลผลและวิเคราะหผ์ ลการสารวจ

5. เผยแพรผ่ ลการสารวจความคดิ เหน็

5. ในการใชส้ ถติ ิเพ่อื การตดั สนิ ใจและวางแผน สาหรบั เรอ่ื งที่จาเป็นตอ้ งมกี ารใชข้ อ้ มลู และสารสนเทศ ถา้ ขาดขอ้ มลู และ

สารสนเทศดงั กลา่ ว ผตู้ ดั สนิ ใจควรทาขนั้ ตอนใดกอ่ น [O-NET 53/36]

1. เก็บรวบรวมขอ้ มลู 2. เลอื กวิธีวิเคราะหข์ อ้ มลู

3. เลอื กวิธีเก็บรวบรวมขอ้ มลู 4. กาหนดขอ้ มลู ท่จี าเป็นตอ้ งใช้

สถิติ 3

6. ขอ้ ใดตอ่ ไปนีเ้ ป็นเท็จ [O-NET 52/25]
1. สถิติเชงิ พรรณนาคอื สถิตขิ องการวเิ คราะหข์ อ้ มลู ขนั้ ตน้ ทมี่ งุ่ อธิบายลกั ษณะกวา้ งๆของขอ้ มลู
2. ขอ้ มลู ทเ่ี ป็นหมายเลขทใ่ี ชเ้ รยี กสายรถโดยสารประจาทางเป็นขอ้ มลู เชิงคณุ ภาพ
3. ขอ้ มลู ปฐมภมู คิ ือขอ้ มลู ทผี่ ใู้ ชเ้ ก็บรวบรวมจากแหลง่ ขอ้ มลู โดยตรง
4. ขอ้ มลู ทน่ี กั เรยี นรวบรวมจากรายงานตา่ งๆทไ่ี ดจ้ ากหนว่ ยงานราชการเป็นขอ้ มลู ปฐมภมู ิ

7. ครูสอนวทิ ยาศาสตรม์ อบหมายใหน้ กั เรยี น 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงั จากตรวจรายงานโครงงานของ
ทกุ คนแลว้ ผลสรุปเป็นดงั นี้

ผลการประเมนิ จานวนโครงงาน
ดเี ยี่ยม
ดี 3
พอใช้ 20
ตอ้ งแกไ้ ข 12
5

ขอ้ มลู ท่ีเก็บรวบรวม เพื่อใหไ้ ดผ้ ลสรุปขา้ งตน้ เป็นขอ้ มลู ชนิดใด [O-NET 53/27]

1. ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ เชิงปรมิ าณ 2. ขอ้ มลู ทตุ ยิ ภมู ิ เชิงปรมิ าณ

3. ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ เชิงคณุ ภาพ 4. ขอ้ มลู ทตุ ิยภมู ิ เชิงคณุ ภาพ

4 สถิติ

การแจกแจงความถี่

“ตารางแจกแจงความถี่” คือ ตารางทบี่ อกวา่ มขี อ้ มลู ก่ีตวั ตกอยใู่ นแตล่ ะช่วง

คา่ ของขอ้ มลู ( ) คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น (คน) ความถี่ ( )
ในทนี่ ีค้ ือคะแนนสอบ เป็นคา่ ทบี่ อกวา่ มีขอ้ มลู กี่ตวั ตกอยู่
ของนกั เรยี นแตล่ ะคน 1 - 10 3 ในแตล่ ะชว่ ง ในทน่ี ีค้ ือจานวน
11 - 20 12 นกั เรยี นในแตล่ ะชว่ งคะแนน
21 - 30 15
31 - 40 24 อนั ตรภาคชนั้
41 - 50 6 เรยี กสนั้ ๆวา่ “ชนั้ ” หมายถงึ
แตล่ ะแถวของชว่ งขอ้ มลู
เชน่ ในตารางนี้ จะมี 5 ชนั้

บางตารางจะใจดี บวกจานวนขอ้ มลู มาใหข้ า้ งลา่ ง บางตารางกม็ ีชอ่ ง “ความถ่ีสะสม” มาให้ คา่ พวกนเี้ ราคานวณเองได้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น (คน) ความถ่ีสะสม ( ) ความถี่สะสม ( )
ไดจ้ ากการนาชอ่ ง “ความถ่ี” มาบวก
1 - 10 3 3 สะสม โดยเรม่ิ สะสมตงั้ แตช่ นั้ แรก
11 - 20 12 15
21 - 30 15 30
31 - 40 24 54
41 - 50 6 60
60
จานวนขอ้ มลู ทงั้ หมด ( )

นอกจากนี้ ยงั มชี อ่ งอ่ืนๆทไี่ มค่ อ่ ยจะไดใ้ ชอ้ ีก ดงั นี้

 ความถ่ีสมั พทั ธ์ = ความถ่ี = สมั พทั ธ์ → ÷
จานวนขอ้ มลู ทงั้ หมด

 ความถ่ีสะสมสมั พทั ธ์ = ความถ่สี ะสม =
จานวนขอ้ มลู ทงั้ หมด

 รอ้ ยละของความถ่ีสมั พทั ธ์ = ความถ่ีสมั พทั ธ์ × 100 รอ้ ยละ → × 100

 รอ้ ยละของความถี่สะสมสมั พทั ธ์ = ความถี่สะสมสมั พทั ธ์ × 100

÷ × 100

คะแนน จานวน ความถ่ี ความถี่ ความถ่ีสะสม รอ้ ยละของ รอ้ ยละของ
สอบ นกั เรยี น สะสม สมั พทั ธ์ สมั พทั ธ์ ความถ่ี ความถี่สะสม
(คน) ( ) สมั พทั ธ์
1 - 10 3/60 = 0.05 3/60 = 0.05 สมั พทั ธ์
11- 20 3 3 12/60 = 0.20 15/60 = 0.25 0.05 × 100 = 5
21 - 30 12 15 15/60 = 0.25 30/60 = 0.50 0.20 × 100 = 20 0.05 × 100 = 5
31 - 40 15 30 24/60 = 0.40 54/60 = 0.90 0.25 × 100 = 25 0.25 × 100 = 25
41 - 50 24 54 60/60 = 1.00 0.40 × 100 = 40 0.50 × 100 = 50
60 6/60 = 0.10 0.10 × 100 = 10 0.90 × 100 = 90
กลอ่ ง 6 1.00 × 100 = 100
60 1.00 100

ความถ่ีสมั พทั ธ์ รอ้ ยละของความถี่สมั พทั ธ์
รวมกนั ได้ 1 เสมอ รวมกนั ได้ 100 เสมอ

สถิติ 5

ในตารางแจกแจงความถี่ มคี าศพั ทท์ ตี่ อ้ งรูด้ งั นี้

 ขอบลา่ ง = คา่ ต่าสดุ ของชนั้ +คา่ สงู สดุ ของชนั้ ก่อนหนา้

2

 ขอบบน = ค่าสงู สดุ ของชนั้ +คา่ ต่าสดุ ของชนั้ ถดั ไป

2

 จดุ กง่ึ กลางชนั้ = คา่ สงู สดุ ของอนั ตรภาคชนั้ +คา่ ต่าสดุ ของอนั ตรภาคชนั้
=
ขอบบน+ขอบลา่ ง 2

2
 ความกวา้ งชนั้ ( ) = ขอบบน − ขอบลา่ ง

= คา่ ขอ้ มลู ตาแหนง่ เดยี วกนั ระหวา่ ง 2 ชนั้ ทต่ี ิดกนั ลบกนั

คะแนนสอบ ขอบลา่ ง ขอบบน จดุ กงึ่ กลางชนั้ ความกวา้ งชนั้ ( )

1 - 10 0.5 (10+11)/2 = 10.5 (1+10)/2 = 5.5 10.5 − 0.5 = 10
11 - 20 (10+11)/2 = 10.5 (20+21)/2 = 20.5 (11+20)/2 = 15.5 20.5 − 10.5 = 10
21 - 30 (20+11)/2 = 20.5 (30+31)/2 = 30.5 (21+30)/2 = 25.5 30.5 − 20.5 = 10
31 - 40 (30+31)/2 = 30.5 (40+41)/2 = 40.5 (31+40)/2 = 35.5 40.5 − 30.5 = 10
41 - 50 (40+41)/2 = 40.5 (41+50)/2 = 45.5 50.5 − 40.5 = 10
50.5

หมายเหต:ุ ขอบลา่ งของชนั้ ต่าสดุ จะคานวณจากแนวโนม้ ความหา่ งของขอบบน
ขอบบนของชนั้ สงู สดุ จะคานวณจากแนวโนม้ ความหา่ งของขอบลา่ ง

แบบฝึกหดั

1. จงเตมิ ตารางแจกแจงความถี่ใหส้ มบรู ณ์

1. 27 1 14 8 30 20 8 27 12 14
27 3 55 19 2 17 15 14
12
ความถี่
คา่ ขอ้ มลู ความถี่ ความถี่ สมั พทั ธ์ ความถี่สะสม รอ้ ยละของ รอ้ ยละของ
สะสม สมั พทั ธ์ ความถ่ี ความถ่ีสะสม
สมั พทั ธ์
สมั พทั ธ์

1 - 10
11 - 20
21 - 30

2. 5 12 10 22 11 20 16 8 14 29
6 16 12 9 18 18 15 34 34
20

คา่ ขอ้ มลู ความถี่ ความถ่ีสะสม จดุ กง่ึ กลางชนั้ ความกวา้ งชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน

1 - 10
11 - 20
21 - 30
31 - 40

6 สถิติ

3. คา่ ขอ้ มลู ความถ่ี ความถ่ีสะสม จดุ กึง่ กลางชนั้ ความกวา้ งชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน

2 5.5
5 11.5
16 17.5
20 23.5

4. คา่ ขอ้ มลู ความถ่ี ความถ่ีสะสม จดุ กึง่ กลางชนั้ ความกวา้ งชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน

5 2.5
12 6.5
13 4
30 4

2. ในการสารวจอายขุ องคนในหมบู่ า้ นแหง่ หนงึ่ เป็นดงั นี้

อายุ (ปี) ความถี่ (คน) ความถี่สมั พทั ธ์

0  10 10
11  20 25 0.10
21  30 35
31  40
41  50 40
51  60 20
61  70 15
71  80 3
81  90 2

คา่ ในตารางแจกแจงความถ่ีสมั พทั ธเ์ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 54/39]

3. ขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ มบี างสว่ นถกู นาเสนอในตารางตอ่ ไปนี้

อนั ตรภาคชนั้ ความถ่ี ความถ่ีสะสม ความถี่สมั พทั ธ์

2- 6 6 11 0.2
7 - 11 14
12 - 16
17 - 21 0.3

ชว่ งคะแนนใดเป็นชว่ งคะแนนท่ีมคี วามถี่สงู สดุ [O-NET 53/34]

สถิติ 7

4. ตารางแสดงนา้ หนกั ของนกั เรยี นจานวน 50 คน เป็นดงั นี้

นา้ หนกั (กิโลกรมั ) จานวน (คน)

30 - 39 4
40 - 49 5
50 - 59 13
60 - 69 17
70 - 79 6
80 - 89 5

ขอ้ สรุปในขอ้ ไดตอ่ ไปนี้ ไมถ่ กู ตอ้ ง [O-NET 49/1-27]

1. นกั เรยี นกลมุ่ นีส้ ว่ นใหญ่มีนา้ หนกั 60 - 69 กิโลกรมั

2. นกั เรยี นทม่ี นี า้ หนกั ต่ากวา่ 50 กิโลกรมั มี 9 คน

3. นกั เรยี นที่มีนา้ หนกั ในช่วง 50 - 59 กิโลกรมั มี 26 %

4. นกั เรยี นท่มี ีนา้ หนกั มากกวา่ 80 กิโลกรมั มี 10 %

5. กาหนดใหต้ ารางแจกแจงความถส่ี ะสมของคะแนนของนกั เรยี นหอ้ งหนงึ่ เป็นดงั นี้

ชว่ งคะแนน ความถ่ีสะสม

30 - 39 1
11
40 - 49 18
50 - 59 20

60 - 69 [O-NET 50/37]

ขอ้ สรุปในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ถกู ตอ้ ง

1. นกั เรยี นที่ไดค้ ะแนน 40 - 49 คะแนน มีจานวน 27 %

2. นกั เรยี นสว่ นใหญ่ไดค้ ะแนน 60 - 69 คะแนน

3. นกั เรยี นท่ีไดค้ ะแนนมากกวา่ 53 คะแนน มีจานวนนอ้ ยกวา่

นกั เรยี นท่ีไดค้ ะแนน 40 - 49 คะแนน

4. นกั เรยี นทไี่ ดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 47 คะแนน มีจานวนมากกวา่

นกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนมากกวา่ 50 คะแนน

8 สถิติ

6. จานวนผวู้ า่ งงานท่วั ประเทศในเดอื นกนั ยายน ปี พ.ศ. 2551 มจี านวนทงั้ สนิ้ 4.29 แสนคน ตารางเปรยี บเทยี บอตั รา
การวา่ งงานในเดือนกนั ยายน ปีพ.ศ. 2550 กบั ปีพ.ศ. 2551 เป็นดงั นี้

พนื้ ทส่ี ารวจ อตั ราการวา่ งงานในเดอื นกนั ยายน
(จานวนผวู้ า่ งงานตอ่ จานวนผอู้ ยใู่ น
ภาคใต้
ภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ กาลงั แรงงานคณู 100)
ภาคเหนือ ปีพ.ศ. 2550 ปีพ.ศ. 2551
ภาคกลาง (ยกเวน้ กรุงเทพมหานคร)
กรุงเทพมหานคร 1.0 1.0
ท่วั ประเทศ
0.9 1.3
1.5 1.2

1.3 0.9

1.2 1.2
1.2 1.1

ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง [O-NET 53/35]
1. จานวนผวู้ า่ งงานในภาคใตใ้ นเดอื นกนั ยายนของปีพ.ศ. 2550 และของปีพ.ศ. 2551 เทา่ กนั
2. จานวนผอู้ ยใู่ นกาลงั แรงงานท่วั ประเทศในเดือนกนั ยายน ปีพ.ศ. 2551 มีประมาณ 39 ลา้ นคน

สถิติ 9

กราฟแจกแจงความถี่

ในเรอื่ งนจี้ ะพดู ถงึ วิธีการนาตารางแจกแจงความถ่ี มาเขยี นเป็นแผนภมู ใิ หอ้ า่ นงา่ ย
กอ่ นอื่น เราสามารถนาตารางแจกแจงความถี่ มาเขยี นเป็นแผนภมู แิ ทง่ ท่ีเรยี กวา่ “ฮิสโทแกรม” ได้ ดงั นี้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น (คน) จานวนนกั เรยี น (คน) แตล่ ะแทง่ จะแทนแตล่ ะอนั ตรภาคชนั้
ความสงู ของแทง่ = ความถ่ีในชนั้ นนั้ ๆ
1 - 10 3 25 ความกวา้ งของแทง่ = ความกวา้ งชนั้
11 - 20 12 20
21 - 30 15
31 - 40 24 15
41 - 50 6
10

5 คะแนนสอบ
0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

แตล่ ะแทง่ ชน จดุ กึง่ กลางชนั้
กนั ท่ขี อบชนั้

และเราสามารถนาฮิสโทแกรม มาสรา้ งเป็น “รูปหลายเหลยี่ มของความถี่” โดยลากเสน้ เชื่อมตามยอดของแตล่ ะแทง่

จานวนนกั เรยี น (คน)

25 คะแนนสอบ
20
15
10

5

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

และสดุ ทา้ ย เราสามารถนารูปหลายเหลย่ี มของความถี่ มาปรบั ใหเ้ ป็นเสน้ โคง้ ทเี่ รยี กวา่ “เสน้ โคง้ ของความถ่ี” ได้ ดงั นี้

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบ

ในโคง้ ความถ่ี มกั จะไมน่ ิยมแสดง แกนจานวนนกั เรยี น 11 20
โดยในโคง้ ความถ่ี เราจะใช้ “พนื้ ท่ีใตโ้ คง้ ” ในการบอกจานวนขอ้ มลู
เชน่ จานวนนกั เรยี นท่ีไดค้ ะแนน 11 - 20 จะเป็นสดั สว่ นกบั พนื้ ทใี่ ตโ้ คง้ จาก 11 ถึง 20

และเราสามารถใชค้ าวา่ “เบ”้ มาบอกลกั ษณะการเอยี งของโคง้ ความถ่ีไดอ้ กี ดว้ ย

เบซ้ า้ ย เบข้ วา สมมาตร

10 สถิติ

นอกจากนี้ เรายงั สามารถเอา “ความถ่ีสะสม” มาสรา้ งกราฟคลา้ ยๆฮิสโทแกรมได้ ดงั นี้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น (คน) ความถ่ีสะสม ความถ่ีสะสม ( ) คะแนนสอบ

1 - 10 3 3 60
11 - 20 12 15 50
21 - 30 15 30 40
31 - 40 24 54 30
41 - 50 6 60 20
10

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

จะเหน็ วา่ กราฟทไ่ี ดจ้ ากความถี่สะสม จะสงู ขนึ้ เรอื่ ยๆ (เพราะความถี่สะสมมแี ตบ่ วกเพ่มิ ไปเรอ่ื ยๆ)
และแทง่ สดุ ทา้ ยจะสงู เทา่ กบั จานวนขอ้ มลู ( )

และสดุ ทา้ ย ถา้ ลากเสน้ เช่ือมตามยอดของแตล่ ะแทง่ ของความถีส่ ะสม ดงั รูป เราจะไดก้ ราฟทเี่ รยี กวา่ “โอจีฟ”

ความถ่ีสะสม ( )

60 คะแนนสอบ
50
40
30
20
10

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

ประโยชนท์ สี่ าคญั อยา่ งหนง่ึ ของโอจีฟ คือ เราสามารถพลอ็ ตหา คา่ ประมาณของขอ้ มลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆ ตามใจชอบได้
เพราะตาแหนง่ ขอ้ มลู จะมคี วามสมั พนั ธโ์ ดยตรง กบั ความถ่ีสะสม

ความถ่ีสะสม ( )

60 ตวั ท่ี 45 เชน่ จากรูป จะไดว้ า่
50  ขอ้ มลู ตวั ท่ี 20 มคี า่ ประมาณ 23 กวา่ ๆ
40  ขอ้ มลู ตวั ที่ 45 มีคา่ ประมาณ 36 กวา่ ๆ
30
20 ตวั ท่ี 20

10 คะแนนสอบ

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

แบบฝึกหดั คา่ ขอ้ มลู ความถี่
1. จงเติมตารางแจกแจงความถี่ใหส้ อดคลอ้ งกบั แผนภาพตอ่ ไปนี้

1. ความถี่

20 คา่ ขอ้ มลู
15
10

5

0 6.5 12.5 18.5 24.5

สถิติ 11
นา้ หนกั จานวนคน
2. จานวนคนสะสม
นา้ หนกั
25
20
15
10

5

0 4 9 14 19

12 สถิติ

แผนภาพตน้ - ใบ

แผนภาพตน้ ใบ เป็นวธิ ีนาเสนอขอ้ มลู อีกแบบหนงึ่ ท่ีสะดวกในการดแู นวโนม้ ของคา่ ขอ้ มลู
โดยเราจะนา “หลกั หนว่ ย” ของขอ้ มลู มาเขยี นเป็น “ใบ” และนา หลกั สบิ , รอ้ ย, พนั , ... มาเขยี นเป็น “ลาตน้ ”
เชน่ ขอ้ มลู 15 24 8 10 32

10 23 18 31 25
9 22 21 37 22

จะนามาสรา้ งแผนภาพตน้ - ใบ ไดด้ งั นี้

089 ในแตล่ ะแถว จะ
15008 เรยี งลาดบั ขอ้ มลู
2435122 ยงั ไงก็ได้
3217

หลกั สิบ หลกั หน่วย

และในกรณีที่มีขอ้ มลู 2 กลมุ่ เราสามารถนาขอ้ มลู ทงั้ 2 กลมุ่ มาเขียนลงใน “ลาตน้ เดยี วกนั ” ได้
เชน่ ถา้ มคี ะแนนสอบของนกั เรยี น 2 หอ้ ง

คะแนนสอบหอ้ ง 5/1 130 คะแนนสอบหอ้ ง 5/2 115
123 120
98 102 121 133 121 110 91 102
105 111 115 116 124 114
119 124 120 138 124 99

จะนามาเขยี นแผนภาพตน้ - ใบ โดยใชล้ าตน้ เดยี วกนั ได้ ดงั นี้

หอ้ ง 5/1 หอ้ ง 5/2

8919
5 2 10 2
9 5 1 11 0 5 6 4
0 4 3 1 12 1 4 0 4
3 0 13 8

แบบฝึกหดั คา่ ขอ้ มลู ความถ่ี
1. จงเขยี นตารางแจกแจงความถ่ี จากแผนภาพตน้ ใบตอ่ ไปนี้
80 - 88
86 2 0 3 89 - 97
98 3 1 2 7 98 - 106
10 4 9 3 107 - 115
11 2 3

2. ในกรณีทีม่ ขี อ้ มลู จานวนมาก การนาเสนอขอ้ มลู ในรูปแบบใดตอ่ ไปนที้ าใหเ้ หน็ การกระจายของขอ้ มลู ไดช้ ดั เจนนอ้ ย

ทีส่ ดุ [O-NET 52/32]

1. ตารางแจกแจงความถี่ 2. แผนภาพตน้ ใบ

3. ฮิสโทแกรม 4. การแสดงคา่ สงั เกตทกุ คา่

สถิติ 13

คา่ กลางขอ้ มลู

เวลาเรามขี อ้ มลู หลายๆตวั (เช่น นา้ หนกั ของเดก็ 30 คน) เรามกั จะสนใจวา่ “ตรงกลาง” ของขอ้ มลู ชดุ นนั้ มีคา่ เทา่ ไหร่
และเรามกั ใชค้ า่ “ตรงกลาง” นี้ เป็นตวั แทนของขอ้ มลู ทงั้ กลมุ่ เพอื่ นาไปวิเคราะห์ หรอื เปรยี บเทยี บกบั ขอ้ มลู ชดุ อืน่ ตอ่ ไป

“คา่ กลางขอ้ มลู ” แปลตรงๆตวั วา่ คา่ ทอ่ี ยตู่ รงกลางของกลมุ่ ขอ้ มลู
คา่ กลางขอ้ มลู มอี ยหู่ ลายชนิด ขนึ้ กบั วา่ เราจะวดั ความกลางยงั ไง
ซง่ึ ในบทนี้ เราจะไดเ้ รยี นคา่ กลาง 3 ชนดิ ไดแ้ ก่

 “คา่ เฉลย่ี ” คือ คา่ ทอี่ ยตู่ รงกลาง โดยใช้ “คา่ ของขอ้ มลู ” เป็นตวั วดั
 “มธั ยฐาน” คอื คา่ ทีอ่ ยตู่ รงกลาง โดยใช้ “ตาแหนง่ ของขอ้ มลู ” เป็นตวั วดั
 “ฐานนิยม” คอื คา่ ท่ี “ซา้ บอ่ ยท่ีสดุ ” ในกลมุ่ ขอ้ มลู

คา่ กลางขอ้ มลู แตล่ ะชนดิ มขี อ้ ดขี อ้ เสยี ตา่ งกนั ขนึ้ กบั วา่ จะเอาไปใชท้ าอะไร
ขอ้ มลู บางประเภท ก็ไมส่ ามารถหาคา่ กลางบางชนิดได้
การเลอื กคา่ กลาง จงึ ตอ้ งคานงึ ถงึ ลกั ษณะขอ้ มลู และการนาไปใช้

14 สถิติ

คา่ เฉลย่ี

คา่ เฉลยี่ (Mean) คอื คา่ ทไี่ ดจ้ ากการเอาขอ้ มลู ทกุ ตวั มา “รวม” กนั แลว้ “เฉลยี่ ” ดว้ ยจานวนตวั
คา่ เฉลย่ี ยงั แบง่ ตอ่ ไปไดอ้ ีกหลายชนดิ ขนึ้ กบั วา่ จะ “รวม” และ “เฉลยี่ ” ยงั ไง เช่น

 คา่ เฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetric Mean: A.M.) ไดจ้ ากการเอาขอ้ มลู ทกุ ตวั มา “บวก” กนั แลว้ “หาร” ดว้ ย
จานวนตวั

 คา่ เฉลย่ี เรขาคณิต (Geometric Mean: G.M.) ไดจ้ ากการเอาขอ้ มลู ทกุ ตวั มา “คณู ” กนั แลว้ “ถอดรูท” อนั ดบั
ท่ีตามจานวนตวั

 คา่ เฉลยี่ ฮารโ์ มนิค (Harmonic Mean: H.M.) ไดจ้ าก เอาขอ้ มลู มากลบั เศษ - สว่ น แลว้ นาไปหาคา่ เฉลย่ี เลข
คณิต แลว้ นาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตทไ่ี ด้ มากลบั เศษ - สว่ น กลบั ไปเป็นแบบเก่า

ตวั อยา่ ง ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มี 4 จานวน ประกอบดว้ ย 2 , 4 , 9 , 18 จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ คา่ เฉลย่ี เรขาคณิต และ

คา่ เฉลย่ี ฮารโ์ มนคิ ของขอ้ มลู ชดุ นี้

วิธีทา คา่ เฉลย่ี เลขคณิต = 2+4+9+18 = 33 = 8.25
44
คาเฉลยี่ เรขาคณิต = 4√2 × 4 × 9 × 18 = 6

คา่ เฉลยี่ ฮารโ์ มนิค → เอาขอ้ มลู มากลบั เศษ - สว่ น ไดเ้ ป็น 1 , 1 , 1 , 1
2 4 9 18

→ หาคา่ เฉลยี่ เลขคณิต ได้ 12+14+91+118 = 18+9+4+2 = 33 ×1 = 11
36

4 4 36 4 48

→ กลบั เศษ - สว่ น อกี รอบ แลว้ ตอบ จะได้ 48 #
11

คา่ เฉลย่ี เลขคณิต จะเป็นคา่ กลางทใ่ี ชบ้ อ่ ยกวา่ คา่ กลางอืน่
ดงั นนั้ ถา้ ไดย้ ินคาวา่ “คา่ เฉลยี่ ” เฉยๆ ก็ใหห้ มายถงึ “คา่ เฉลย่ี เลขคณิต” โดยอตั โนมตั ิ

ในเรอ่ื งสถิตินี้ อีกเด๋ียวจะมสี ตู รมากมาย โผลอ่ อกมาใหเ้ ราทาความเขา้ ใจ และ ทอ่ ง (ถา้ ไมเ่ ขา้ ใจ)
ดงั นนั้ เราควรทาความคนุ้ เคยกบั สญั ลกั ษณท์ น่ี ิยมใชใ้ นเรอ่ื งนกี้ นั กอ่ น
ในเรอื่ งสถติ ิ เรานยิ มใช้ แทน “จานวนขอ้ มลู ” และใช้ แทน “คา่ ของขอ้ มลู ”
โดยเรานิยมให้ 1 แทนคา่ ของขอ้ มลู ตวั ท่ี 1

2 แทนคา่ ของขอ้ มลู ตวั ท่ี 2

⋮

แทนคา่ ของขอ้ มลู ตวั ที่
เชน่ ถา้ ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ ประกอบดว้ ย 2 , 6 , 9 , 18

จะไดว้ า่ = 4 และ 1 = 2 , 2 = 6 , 3 = 9 , 4 = 18

เราจะใชส้ ญั ลกั ษณ์ ̅ แทนคา่ เฉลยี่ เลขคณิต
ดงั นนั้ เราจะเขยี นสตู รไดเ้ ป็น ̅ = 1+ 2+ … +



สถิติ 15

อยา่ งไรก็ตาม เรานิยมใชส้ ญั ลกั ษณ์ ∑ มาชว่ ยเขยี นสตู รใหก้ ระชบั ขนึ้ ได้

โดยสญั ลกั ษณ์ N = ผลบวกของ ทงั้ หลาย โดยเรม่ิ ตงั้ แต่ = 1 จนถึง = ”


i 1

= 1 + 2 + 3 + … + น่นั เอง

N
 xi
ดงั นนั้ สตู รคา่ เฉลย่ี เลขคณติ จะนยิ มเขยี นเป็น ̅ = i1 หรอื เขยี นแบบยอ่ ๆไดว้ า่ ̅ =  xi
NN

สตู รนี้ เป็นความสมั พนั ธข์ องปรมิ าณ 3 อยา่ ง คอื “คา่ เฉลยี่ ” “ผลรวมขอ้ มลู ” และ “จานวนขอ้ มลู ”

ถา้ โจทยบ์ อก 2 อยา่ งใดๆมา เราตอ้ งสามารถหาตวั ท่ีเหลอื ไดท้ นั ที ดงั นี้

̅ = ∑ = ∑ ***
∑ = ∙ ̅
̅

ตวั อยา่ ง นกั เรยี นหอ้ งหนงึ่ มี 40 คน มคี า่ เฉลยี่ ของคะแนนสอบเทา่ กบั 7.8 คะแนน ตอ่ มาพบวา่ ตรวจคะแนนผดิ โดย

จะตอ้ งเพมิ่ คะแนนใหน้ กั เรยี นคนหนง่ึ 5 คะแนน และลดคะแนนของนกั เรยี นอกี คนหนงึ่ 1 คะแนน จงหาคา่ เฉลย่ี

หลงั จากทแ่ี กไ้ ขคะแนนแลว้

วธิ ีทา ตอนแรก ̅ = 7.8 , = 40 ดงั นนั้ ผลรวมคะแนน = 7.8 × 40 = 312

แตท่ ่ีถกู ตอ้ งมคี ะแนนคา่ หนงึ่ เพมิ่ ขนึ้ 5 และอีกคา่ หนงึ่ ลดลง 1

ดงั นนั้ ผลรวมคะแนนทถ่ี กู ตอ้ ง คอื 312 + 5 − 1 = 316

ดงั นนั้ ̅ หลงั แกค้ ะแนน = 316 = 7.9 คะแนน #
40

แบบฝึกหดั
1. จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มลู 5 , 8 , 12 , 12 , 16

2. นกั เรยี น 8 คน มคี า่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบคือ 7.5
ถา้ คะแนนของนกั เรยี น 7 คนแรก คือ 5 , 8 , 7.5 , 8 , 6 , 7 , 9 แลว้ จงหาคะแนนของอีกหนง่ึ คนท่เี หลอื

16 สถิติ

3. นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ มี 20 คน มคี ะแนนเฉลย่ี คือ 8 แตต่ อ่ มาพบวา่ คา่ เฉลย่ี นี้ ไมถ่ กู ตอ้ ง เน่อื งจากอา่ นคะแนนของ
นกั เรยี นคนหนงึ่ ผดิ ไป จากคะแนนท่ถี กู คอื 6 คะแนน อา่ นผดิ เป็น 8 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยี่ ทีถ่ กู ตอ้ ง

4. นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ มี 20 คน เป็นผหู้ ญิง 12 คน ถา้ คะแนนเฉลยี่ ของนกั เรยี นหญิง คอื 8 คะแนน และคะแนนเฉลยี่
ของนกั เรยี นชาย คอื 6 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยี่ ของนกั เรยี นทงั้ หอ้ ง

5. นกั เรยี นหอ้ งหนงึ่ มีนา้ หนกั เฉลยี่ 50 กก. ถา้ นา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี นหญิงคอื 45 กก. และนา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี น
ชายคือ 60 กก. จงหาอตั ราสว่ นของจานวนนกั เรยี นหญิง ตอ่ จานวนนกั เรยี นชาย

6. นกั เรยี นหอ้ งหนงึ่ มีอตั ราสว่ นนกั เรยี นชาย ตอ่ นกั เรยี นหญิง คอื 2 : 3 ถา้ นา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี นชายคือ 65 กก.
และนา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรยี นหญิงคอื 50 กก. จงหานา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี นทงั้ หอ้ ง

สถิติ 17

7. สตั วก์ ลมุ่ หนง่ึ มี 30 ตวั ประกอบดว้ ย ววั 8 ตวั ชา้ ง 12 ตวั และ มา้ 10 ตวั พบวา่ อายเุ ฉลย่ี ของสตั วก์ ลมุ่ นี้ คือ 20
ปี และ อายเุ ฉลยี่ ของววั เทา่ กบั 10 ปี ถา้ อายรุ วมของชา้ ง คอื 300 ปี จงหาอายเุ ฉลยี่ ของมา้

8. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของนา้ หนกั ของพนกั งานของบรษิ ัทหนงึ่ เทา่ กบั 48.01 กิโลกรมั บรษิ ัทนมี้ พี นกั งานชาย 43 คน
และพนกั งานหญิง 57 คน ถา้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของนา้ หนกั พนกั งานหญิงเทา่ กบั 45 กิโลกรมั แลว้ นา้ หนกั ของ
พนกั งานชายทงั้ หมดรวมกนั เทา่ กบั กี่กิโลกรมั [O-NET 53/28]

9. อายเุ ฉลยี่ ของคนกลมุ่ หนง่ึ เทา่ กบั 31 ปี ถา้ อายเุ ฉลย่ี ของผหู้ ญิงในกลมุ่ นเี้ ทา่ กบั 35 ปี และอายเุ ฉลยี่ ของผชู้ ายกลมุ่ นี้
เทา่ กบั 25 ปี แลว้ อตั ราสว่ นระหวา่ งจานวนผหู้ ญิงตอ่ จานวนผชู้ ายในกลมุ่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/17]

10. ในการสารวจนา้ หนกั ตวั ของนกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ของโรงเรยี นแหง่ หนงึ่ ซงึ่ มี 3 หอ้ ง มจี านวนนกั เรยี น 44,
46 และ 42 คน ตามลาดบั ปรากฏวา่ มคี า่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กบั 50 กิโลกรมั แตพ่ บวา่ เครอื่ งช่งั ทใี่ ชส้ าหรบั นกั เรยี น
หอ้ งแรกมคี วามคลาดเคลอื่ นทาใหช้ ่งั นา้ หนกั ไดต้ วั เลขสงู เกินจรงิ คนละ 1 กิโลกรมั ดงั นนั้ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตท่ีถกู ตอ้ ง
ของนา้ หนกั ตวั ของนกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 นเี้ ทา่ กบั กี่กิโลกรมั [O-NET 56/32]

18 สถิติ

11. ในการแขง่ ขนั กีฬามหาวทิ ยาลยั โลกครงั้ ท่ี 24 ซงึ่ ประเทศไทยเป็นเจา้ ภาพ มกี ารสง่ รายช่ือนกั กีฬาจากประเทศไทย
379 คน มอี ายเุ ฉลยี่ 22 ปี ถา้ มกี ารถอนตวั นกั กีฬาไทยออก 4 คน ซง่ึ มีอายุ 24, 25, 25 และ 27 ปี และมกี ารเพ่มิ
นกั กีฬาไทยอีก 5 คน ซงึ่ มอี ายเุ ฉลย่ี 17 ปีแลว้ อายเุ ฉลยี่ ของนกั กีฬาจากประเทศไทยจะเทา่ กบั กี่ปี

[O-NET 51/38]

12. ชายคนหนงึ่ ตกั ปลาท่ีเลยี้ งไวใ้ นกระชงั เพอ่ื สง่ ขายจานวน 500 ตวั ซง่ึ มนี า้ หนกั โดยเฉลย่ี ตวั ละ 700 กรมั ในจานวนนี้
เป็นปลาจากกระชงั ทหี่ นง่ึ 300 ตวั และจากกระชงั ทส่ี อง 200 ตวั ถา้ ปลาในกระชงั ที่หนง่ึ มีนา้ หนกั เฉลยี่ ตอ่ ตวั
มากกวา่ ในกระชงั ทสี่ อง 50 กรมั แลว้ เขาตกั ปลาจากกระชงั ท่ีสองมากก่ี ิโลกรมั [O-NET 54/38]

13. ถา้ ในปี พ.ศ. 2547 คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของอายพุ นกั งานของบรษิ ัทแหง่ หนงึ่ เทา่ กบั 23 ปี ในปีตอ่ มา บรษิ ัทไดร้ บั
พนกั งานเพม่ิ ขนึ้ อีก 20 คน ทาใหค้ า่ เฉลย่ี เลขคณิตของอายพุ นกั งานในปี พ.ศ. 2548 เทา่ กบั 25 ปี และผลรวมของ
อายขุ องพนกั งานเพม่ิ ขนึ้ จากปี พ.ศ. 2547 อกี 652 ปี เมอื่ สนิ้ ปี พ.ศ. 2548 บรษิ ัทแหง่ นมี้ พี นกั งานทงั้ หมดกค่ี น

[O-NET 49/1-29]

สถิติ 19

คา่ เฉลยี่ ถว่ งนา้ หนกั

ในการหาคา่ เฉลยี่ เราสามารถ “ถ่วงนา้ หนกั ” ใหก้ บั ขอ้ มลู ที่นามาหาคา่ เฉลย่ี ไดด้ ว้ ย
ในกรณีที่ขอ้ มลู แตล่ ะตวั มคี วามสาคญั ไมเ่ ทา่ กนั เราสามารถกาหนดนา้ หนกั ( ) ใหก้ บั ขอ้ มลู แตล่ ะตวั
ซง่ึ จะสง่ ผลใหค้ า่ เฉลยี่ เอยี งไปตามขอ้ มลู ทส่ี าคญั มากกวา่ ขอ้ มลู ที่ไมส่ าคญั
เชน่ ในการคดิ เกรดเฉลย่ี เรามกั ใหน้ า้ หนกั เกรดบางวชิ า มากกวา่ อีกวชิ า

สตู รของคา่ เฉลยี่ ถว่ งนา้ หนกั จะหาไดจ้ ากสตู ร

คา่ เฉลย่ี ถว่ งนา้ หนกั = ∑ เอาขอ้ มลู มาคณู กบั นา้ หนกั ของ
∑ มนั กอ่ น คอ่ ยเอามาบวกกนั

หารดว้ ยผลบวกของนา้ หนกั ทงั้ หมด

ตวั อยา่ ง จากตารางตอ่ ไปนี้ จงหาเกรดเฉลยี่ แบบไมถ่ ว่ งนา้ หนกั และเกรดเฉลยี่ แบบถว่ งนา้ หนกั ดว้ ยหนว่ ยกติ

หนว่ ยกิต คณิตศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาฝร่งั เศส สขุ ศกึ ษา
เกรด
2.5 2 2 1 0.5
4 3 3 1 2

วิธีทา เกรดเฉลยี่ แบบไมถ่ ว่ งนา้ หนกั = 4+3+3+1+2 = 13 = 2.6
5 5

เกรดเฉลย่ี แบบถ่วงนา้ หนกั ดว้ ยหนว่ ยกติ = (4×2.5)+(3×2)+(3×2)+(1×1)+(2×0.5) = 24 = 3
2.5+2+2+1+0.5 8

จะเหน็ วา่ เกรดเฉลย่ี แบบถว่ งนา้ หนกั จะเอยี งไปทางวชิ าท่ีหนว่ ยกิตมาก (คณิตศาสตร,์ วทิ ยาศาสตร,์ ภาษาไทย)

มากกวา่ วชิ าที่หนว่ ยกิตนอ้ ย (ภาษาฝร่งั เศส, สขุ ศกึ ษา)

(หมายเหต:ุ ปกตเิ วลาโรงเรยี นคดิ เกรดเฉลย่ี จะคดิ ดว้ ยวิธีถ่วงนา้ หนกั ดว้ ยหนว่ ยกิตเสมอ) #

ตวั อยา่ ง นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ มี 30 คน เป็นชาย 12 คน และเป็นหญิง 18 คน ถา้ นา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี นชายคอื 60 กก.

และนา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี นหญิงคอื 50 กก. แลว้ จงหานา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี นทงั้ หอ้ ง

วิธีทา ขอ้ นคี้ ิดไดห้ ลายวธิ ี ทีต่ อ้ งระวงั คอื คาตอบจะไมเ่ ทา่ กบั นา้ หนกั เฉล่ียชาย + นา้ หนกั เฉล่ียหญิง
2
เพราะนกั เรยี นหญิง มจี านวนมากกวา่ ดงั นนั้ นา้ หนกั เฉลยี่ ของทงั้ หอ้ ง ควรจะเอนไปทางนกั เรยี นหญิงมากกวา่

น่นั คือ คาตอบ จะเทา่ กบั คา่ เฉลยี่ ทถ่ี ว่ งนา้ หนกั ดว้ ย “จานวนนกั เรยี น ชาย / หญิง”

ดงั นนั้ นา้ หนกั เฉลยี่ ของทงั้ หอ้ ง = (60×12)+(50×18)
12+18

= 720+900

30

= 1620 = 54 ก.ก. #
30

20 สถิติ

แบบฝึกหดั
1. จงหาเกรดเฉลย่ี

วิชา คณิตศาสตร์ ภาษาไทย คอมพวิ เตอร์ พละ
หนว่ ยกิต
2.5 2 1 0.5
เกรด 2 3.5 4 4

2. ถา้ เกรดเฉลย่ี เทา่ กบั 3.0 จงหาหนว่ ยกิตของวชิ า ภาษาจีน

วชิ า ภาษาไทย ภาษาองั กฤษ ภาษาจีน ภาษาละตนิ
หนว่ ยกิต
2 2 ? 1
เกรด 2 3.5 4 3

3. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนายคณติ ในชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 เป็นดงั นี้

รหสั วิชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202

จานวนหนว่ ยกิต 1 1.5 1 1.5

เกรด 2.5 3 3.5 2

เกรดเฉลย่ี ของวชิ าคณิตศาสตรข์ องนายคณิต ในชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/16]

4. บรษิ ัทหนงึ่ มยี อดขายในแตล่ ะไตรมาสของปี 2557 เป็นตามลาดบั ดงั นี้
17 21 19 23 (หนว่ ย : ลา้ นบาท)

การพยากรณย์ อดขายในไตรมาสถดั ไปจะใชค้ า่ เฉลย่ี เลขคณิตถว่ งนา้ หนกั ถา้ บรษิ ัทถว่ งนา้ หนกั ขอ้ มลู ดว้ ย
1, 1, 1 และ 3 ตามลาดบั แลว้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตถ่วงนา้ หนกั ของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั กี่ลา้ นบาท [O-NET 59/27]

สถิติ 21

คา่ เฉลยี่ (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)

ในกรณีที่ขอ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถี่ทม่ี อี นั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง เราจะสญู เสยี ความแมน่ ยาของขอ้ มลู ไปนิดหนอ่ ย
กลา่ วคอื เราจะไมร่ ูว้ า่ นกั เรยี น 3 คน ในชนั้ 1-10 ไดค้ ะแนนแบบเป๊ ะๆเทา่ ไหร่

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( )

1 - 10 3
11 - 20 12
21 - 30 15
31 - 40 24
41 - 50 6

ในกรณีนี้ ถา้ เราอยากหา ̅ เราจะสมมตวิ า่ “แตล่ ะตวั ในชนั้ มีคา่ เทา่ กบั จดุ กง่ึ กลางชนั้ ”
เชน่ เราจะสมมติวา่ นกั เรยี น 3 คน ในชนั้ 1-10 ไดค้ ะแนน 5.5

ดงั นนั้ ผลรวมคะแนนของชนั้ แรก = 3 × 5.5 = 16.5
ผลรวมคะแนนของชนั้ ทสี่ อง = 12 × 15.5 = 186.0

⋮

จากนนั้ เอาคะแนนของทกุ ชนั้ มารวมกนั แลว้ หารดว้ ยจานวนนกั เรยี นทงั้ หมด กจ็ ะได้ ̅

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) จดุ กงึ่ กลางชนั้ ( ) ผลรวมคะแนน ( )

1 - 10 3 5.5 3 × 5.5 = 16.5
11 - 20 12 15.5 12 × 15.5 = 186.0
21 - 30 15 25.5 15 × 25.5 = 382.5
31 - 40 24 35.5 24 × 35.5 = 852.0
41 - 50 6 45.5
6 × 45.5 = 273.0
= ∑ = 60
∑ = 1710.0

ดงั นนั้ ̅ = ∑ = 1710 = 28.5 คะแนน
60

อยา่ งไรก็ตาม ถา้ ในตารางมี “อนั ตรภาคชนั้ เปิด” เราจะหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตไมไ่ ด้

อนั ตรภาคชนั้ เปิด คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) จดุ ก่ึงกลางชนั้ หาจดุ กึ่งกลางชนั้
ไมไ่ ด้ จงึ หา ̅ ไมไ่ ด้
1 - 10 3 5.5
11 - 20 12 15.5
21 - 30 15 25.5
31 - 40 24 35.5
≥ 41 6 ???

ในตารางแจกแจงความถ่ี จะมีชนั้ เปิดได้ 2 ที่ คอื ทีช่ นั้ มากสดุ (เชน่ > 41) กบั ทช่ี นั้ นอ้ ยสดุ (เชน่ < 10)
ซง่ึ ในกรณีนี้ เราจะหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตไมไ่ ด้ เพราะไมร่ ูว้ า่ จดุ ก่ึงกลางชนั้ เทา่ กบั เทา่ ไหร่

22 สถิติ

แบบฝึกหดั
1. จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

คะแนน ความถี่

1 - 10 2
11 - 20 8
21 - 30 6
31 - 40 4

2. ถา้ คา่ เฉลยี่ ของคะแนน คอื 9 จงหาคา่

คะแนน ความถ่ี

1- 4 2
5- 8 5
9 - 12
13 - 16 3

3. ตารางแจกแจงความถ่ี แสดงจานวนนกั เรยี นในชว่ งอายตุ า่ งๆของนกั เรยี นกลมุ่ หนงึ่ เป็นดงั นี้

ชว่ งอายุ (ปี) ความถ่ี (คน)

1-5 4

6 - 10 9

11 - 15 2

16 - 20 5

อายเุ ฉลยี่ ของนกั เรยี นกลมุ่ นี้ เทา่ กบั ก่ีปี [O-NET 50/19]

สถิติ 23

4. ในการทดสอบความถนดั ของนกั เรยี นกลมุ่ หนงึ่ มีตารางแจกแจงความถี่ของผลการสอบดงั นี้

ชว่ งคะแนน ความถ่ี (คน)

0-4 4

5-9 5

10 - 14

15 - 19 7

ถา้ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กบั 11 แลว้ นกั เรยี นทส่ี อบไดค้ ะแนนในชว่ ง 5 - 14 คะแนนมีจานวนคดิ เป็น

รอ้ ยละของนกั เรยี นกลมุ่ นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 51/35]

5. ในการสารวจนา้ หนกั ตวั ของนกั เรยี นในชนั้ เรยี นที่มีนกั เรยี น 30 คน เป็นดงั นี้

นา้ หนกั (กิโลกรมั ) ความถ่ีสะสม (คน)

30  49 10
50  69 26
70  89 30

คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของนา้ หนกั ตวั ของนกั เรยี นในชนั้ เรยี นนเี้ ทา่ กบั กี่กิโลกรมั [O-NET 54/36]

24 สถิติ

การหาคา่ เฉลย่ี โดยการลดทอนขอ้ มลู

สมบตั ทิ ่สี าคญั อยา่ งหนงึ่ ของคา่ เฉลยี่ คอื เราสามารถ “แปลง” ขอ้ มลู กบั คา่ เฉลย่ี ดว้ ยสตู รเดียวกนั ได้
พดู ง่ายๆก็คอื ถา้ เราเอาขอ้ มลู เกา่ มาบวกลบคณู หารดว้ ยตวั เลขอะไรก็ได้ เป็นขอ้ มลู ชดุ ใหม่
จะได้ คา่ เฉลยี่ ของขอ้ มลู ชดุ ใหม่ มคี า่ เปลย่ี นไปจาก คา่ เฉลย่ี เดมิ ดว้ ยการบวกลบคณู หารแบบเดียวกนั

เช่น ถา้ เรามขี อ้ มลู ซง่ึ ประกอบดว้ ย 2 , 6 , 10 , 18 มี ̅ = 2+6+10+18 = 9
4
ตอ่ มา เราแปลงขอ้ มลู ใหเ้ ป็นขอ้ มลู ชดุ ใหมโ่ ดย การ “คณู 2 แลว้ ลบดว้ ย 8 หารดว้ ย 4” ดงั นี้

คณู 2 ลบ 8 หารดว้ ย 4
2 −1
6 → (2×2)−8 1
10 3
18 4 7
̅ = 9 ̅ = ?
→ (6×2)−8

4

→ (10×2)−8

4

→ (18×2)−8

4

ถา้ จะหาคา่ เฉลยี่ ของขอ้ มลู ชดุ ใหม่ เราไมต่ อ้ งหาตรงๆแลว้ แตใ่ หเ้ อา ̅ มา “คณู 2 ลบ 8 หารดว้ ย 4” ไดเ้ ลย

น่นั คอื จะได้ ̅ = (9×2)−8 = 2.5
4
(−1)+1+3+7
หรอื ถา้ หาแบบตรงๆ กจ็ ะได้ ̅ = 4 = 2.5 เทา่ กนั

ตวั อยา่ ง นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ มคี า่ เฉลยี่ ของคะแนนวชิ าคณิตศาสตรเ์ ทา่ กบั 74 คะแนน ตอ่ มา คณุ ครูพบวา่ ตอ้ งบวกคะแนน
จิตพิสยั ใหท้ กุ ๆคนอีกคนละ 10 คะแนน จงหาคา่ เฉลย่ี ของคะแนนหลงั จากทบ่ี วกคะแนนจิตพิสยั เขา้ ไปแลว้

วธิ ีทา จากสมบตั ขิ องคา่ เฉลยี่ เลขคณิต ถา้ ขอ้ มลู ทกุ ตวั เพิ่มขนึ้ 10 ก็จะทาใหค้ า่ เฉลยี่ เพ่มิ ขนึ้ 10 ดว้ ย
ดงั นนั้ คา่ เฉลยี่ ของคะแนนหลงั จากท่ีบวกคะแนนจิตพิสยั เขา้ ไปแลว้ จะเทา่ กบั 74 + 10 = 84 คะแนน #

นอกจากนี้ ความรูใ้ นเรอ่ื งการแปลง ยงั ชว่ ยใหเ้ ราหลกี เลย่ี งการคานวณเลขเยอะๆยงุ่ ๆ ได้
โดยในกรณีทข่ี อ้ มลู มคี า่ เยอะ หรอื เป็นตวั เลขทศนิยมท่ีคานวณลาบาก เราจะมวี ธิ ีหา ̅ โดยการ “ลดทอนขอ้ มลู ” ดงั นี้

1. แปลงขอ้ มลู ใหเ้ ป็น “ตวั เลขงา่ ยๆ” กอ่ น
สตู รแปลงท่ีนิยมใช้ คือ “ลบดว้ ยตวั ทซี่ า้ มากสดุ แลว้ หารทอนดว้ ยความกวา้ งชนั้ ”

2. หา ̅ ของตวั เลขงา่ ยๆ
3. แปลง ̅ ในขอ้ 2 กลบั ดว้ ยการยอ้ นสตู รทใ่ี ชแ้ ปลงในขอ้ 1

สถิติ 25

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู 9.87 , 12.87 , 12.87 , 16.87 , 18.87
วิธีทา ถา้ คดิ แบบตรงไปตรงมา จะได้ ̅ = 9.87+12.87+12.87+16.87+18.87 = 14.27

5

อีกวธิ ี คอื เราจะลดทอนขอ้ มลู โดยเอาขอ้ มลู ทกุ ตวั มาลบดว้ ย 12.87 เพ่ือให้ “.87” หายไป

9.87 −12.87 −3
12.87 0
12.87 0
16.87 4
18.87 6

จะไดข้ อ้ มลู ชดุ ใหมแ่ บบตวั เลขงา่ ยๆ คอื −3 , 0 , 0 , 4 , 6 → คา่ เฉลย่ี = −3+0+0+4+6 = 7 = 1.4
55
+12.87
??? 1.4

เอา 1.4 มายอ้ นสตู รแปลงกลบั โดยการบวก 12.87 จะได้ ̅ = 14.27 #

ตวั อยา่ ง จากตารางแสดงคะแนนสอบของนกั เรยี น 40 คน จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น

10 - 19.9 7
20 - 29.9 11
30 - 39.9 17
40 - 49.9 5

วธิ ีทา ในกรณีนี้ ถา้ จะหา ̅ เราจะสมมตุ วิ า่ ทกุ ตวั ในชนั้ มคี า่ ประมาณจดุ กงึ่ กลางชนั้
ถา้ ยอมเหน่อื ยหนอ่ ย ก็ทาแบบตรงไปตรงมาดงั นี้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) จดุ ก่งึ กลางชนั้ ( ) รวมคะแนนในชนั้ ( )

10 - 19.9 7 14.95 104.65
20 - 29.9 11 24.95 274.45
30 - 39.9 17 34.95 594.15
40 - 49.9 5 44.95 224.75
40 1198.00

ซงึ่ จะได้ ̅ = 1198 = 29.95
40

แตถ่ า้ ไมอ่ ยากเหนือ่ ย กม็ อี ีกมวี ิธี คอื เราจะแปลงจดุ กง่ึ กลางชนั้ ใหเ้ ป็นตวั เลขงา่ ยๆกอ่ น
วิธีแปลงที่นยิ มคอื ลบดว้ ยตวั ทซี่ า้ มากสดุ (= 34.95) แลว้ หารทอนดว้ ยความกวา้ งชนั้ (= 10)
จากนนั้ ลมื จดุ กง่ึ กลางชนั้ ไปซะ แลว้ หาคา่ เฉลยี่ ของผลแปลงแทน ดงั นี้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) จดุ ก่งึ กลางชนั้ ( ) ผลแปลง ( = −34.95) รวมคะแนนในชนั้ ( )
10
10 - 19.9 7 14.95 −14
20 - 29.9 11 24.95 −2 −11
30 - 39.9 17 34.95 −1
40 - 49.9 5 44.95 0
40 0 5
1 −20

จะไดค้ า่ เฉลยี่ ของผลแปลง คือ ̅ = −20 = −0.5
40

26 สถิติ

จากนนั้ แปลง −0.5 กลบั ใหเ้ ป็นคา่ เฉลย่ี ของขอ้ มลู เดิม โดยยอ้ นสตู รที่ใชแ้ ปลง

− 34.95 , ÷ 10 ขามา เราลบ 34.95 แลว้ หารดว้ ย 10 #
ดงั นนั้ ขากลบั ตอ้ งคณู 10 แลว้ บวก 34.95
จะได้ ̅ = (−0.5×10) + 34.95 = 29.95

× 10 , +34.95

แบบฝึกหดั
1. คณุ ครูท่ีโรงเรยี นแหง่ หนงึ่ มีอายเุ ฉลยี่ 35 ปี หลงั จากนนั้ 5 ปี มีครูใหมเ่ ขา้ มาเพม่ิ 10 คน ทาใหอ้ ายเุ ฉลย่ี เปลย่ี นเป็น

36 ปี ถา้ ครูใหมท่ งั้ 10 คน มอี ายุ 28 ปี ทกุ คน จงหาวา่ เดิม โรงเรยี นแหง่ นมี้ คี รูก่ีคน

2. ในการสอบยอ่ ยเพื่อเก็บคะแนน พบวา่ คะแนนดบิ ของนกั เรยี น 5 คน คือ 26 , 29 , 25 , 28 , 27 อยา่ งไรก็ตาม
คะแนนดิบนี้ ตอ้ งนาไปคณู 2 ก่อน จึงจะไดค้ ะแนนเก็บจรงิ ๆ จงหาคา่ เฉลยี่ ของคะแนนเก็บจรงิ ๆ ของนกั เรยี นทงั้ 5

3

คนนี้

3. จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ โดยวธิ ีลดทอนขอ้ มลู

สว่ นสงู จานวนนกั เรยี น ( )

140 - 149 3
150 - 159 12
160 - 169 18
170 - 179 7

สถิติ 27

4. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี น 50 คน มีตารางแจกแจงความถ่ีดงั นี้

ชว่ งคะแนน จานวนนกั เรยี น (คน)

1 – 20 3
21 – 40 5
41 – 60 13
61 – 80 20
81 – 100 9

คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบนเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/40]

5. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นกลมุ่ หนงึ่ เป็นดงั ตารางแจกแจงความถ่ี

คะแนน ความถี่

20 – 29 7
30 – 39 10
40 – 49 6
50 – 59 7
60 – 69 6
70 – 79 8
80 – 89 6

คา่ เฉลยี่ ของคะแนนสอบนเี้ ป็นเทา่ ใด [O-NET 58/30]

6. ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งกาไร ( ) และราคาทนุ ( ) ของสนิ คา้ ในรา้ นแหง่ หนง่ึ เป็นไปตามสมการ = 2 − 30 ถา้
ราคาทนุ ของสนิ คา้ 5 ชนดิ คอื 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลว้ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของกาไรในการขายสนิ คา้ 5
ชนดิ นี้ เทา่ กบั กี่บาท [O-NET 50/18]

28 สถิติ

สมบตั ิของคา่ เฉลย่ี

คา่ เฉลย่ี เลขคณิต มสี มบตั ิพเิ ศษ อยหู่ ลายอยา่ ง
อยา่ งแรก ̅ จะมี “คา่ ” อยตู่ รงกลาง แตไ่ มแ่ นว่ า่ จะมี “ตาแหนง่ ” อยตู่ รงกลางหรอื เปลา่
เชน่ ขอ้ มลู 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 24 → จะได้ ̅ = 2+3+5+7+13+24 = 9

6

จะเห็นวา่ มีขอ้ มลู 4 ตวั (= 2, 3, 5, 7) ทนี่ อ้ ยกวา่ 9 แตม่ ีขอ้ มลู 2 ตวั (= 13, 24) ท่ีมากกวา่ 9
จะเห็นวา่ ̅ ไมไ่ ดม้ ี “ตาแหนง่ ” อยตู่ รงกลาง

อยา่ งไรกต็ าม ̅ จะมี “คา่ ” อยตู่ รงกลาง

ถา้ เราเทียบ ̅ กบั ขอ้ มลู แตล่ ะตวั จะเหน็ วา่ มขี อ้ มลู “บางตวั ” มากกวา่ ̅ และมขี อ้ มลู “บางตวั ” นอ้ ยกวา่ ̅

แตถ่ า้ หกั ลบกนั ออกมาแลว้ สว่ นที่มากกวา่ ̅ กบั สว่ นที่นอ้ ยกวา่ ̅ จะหกั กนั หมดพอดี

เชน่ ขอ้ มลู 2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 24 → จะได้ ̅ = 2+3+5+7+13+24 = 9
6

2 นอ้ ยกวา่ 9 อยู่ 7 13 มากกวา่ 9 อยู่ 4
3 นอ้ ยกวา่ 9 อยู่ 6 24 มากกวา่ 9 อยู่ 15

5 นอ้ ยกวา่ 9 อยู่ 4

7 นอ้ ยกวา่ 9 อยู่ 2

= 19 = 19

หรอื พดู อกี แบบ ถา้ เราพจิ ารณาคา่ ของ − ̅ จะเหน็ วา่ ทีม่ ากกวา่ ̅ จะทาให้ − ̅ เป็นบวก
ทนี่ อ้ ยกวา่ ̅ จะทาให้ − ̅ เป็นลบ

แตถ่ า้ เรานา − ̅ ทงั้ หมด มาบวกกนั จะไดผ้ ลหกั ลา้ งกนั เป็น 0 เสมอ
สมบตั ขิ อ้ นี้ เขยี นเป็นประโยคสญั ลกั ษณไ์ ดว้ า่ ∑( − ̅) = 0
เชน่ จากตวั อยา่ งทีแ่ ลว้ ∑( − ̅) = (2 − 9) + (3 − 9) + (5 − 9) + (7 − 9) + (13 − 9) + (24 − 9)

= (−7) + (−6) + (−4) + (−2) + 4 + 15

=0

สมบตั ิอยา่ งทีส่ อง คือ ∑( − )2 จะมีคา่ นอ้ ยท่สี ดุ เมื่อ = ̅
ขอ้ นี้ ตา่ งจากสมบตั ิขอ้ แรก ตรงท่ีมีการยกกาลงั สอง ซงึ่ จะทาใหเ้ ลขลบกลายเป็นบวก
เชน่ จากตวั อยา่ งทแ่ี ลว้ ถา้ แทน ดว้ ย ̅ จะได้

∑( − ̅)2 = (2 − 9)2 + (3 − 9)2 + (5 − 9)2 + (7 − 9)2 + (13 − 9)2 + (24 − 9)2
= (−7)2 + (−6)2 + (−4)2 + (−2)2 + 42 + 152

= 49 + 36 + 16 + 4 + 16 + 225

= 346

จะเห็นวา่ คราวนี้ ไมไ่ ด้ 0 เพราะการยกกาลงั สอง จะทาใหเ้ ลขลบกลายเป็นบวก ตวั เลขจงึ ไม่หกั กนั เหมือนสมบตั ขิ อ้ แรก
แตถ่ งึ จะไมไ่ ด้ 0 สมบตั ขิ อ้ นี้ จะรบั ประกนั วา่ 346 เป็นคา่ ท่ีนอ้ ยท่ีสดุ ในบรรดา ∑( − )2 ทงั้ หมด
พดู งา่ ยๆก็คือ ถา้ เป็นคา่ อนื่ ท่ไี มใ่ ช่ ̅ จะไมม่ วี นั ได้ ∑( − )2 นอ้ ยกวา่ 346

สถิติ 29

เชน่ ถา้ แทน ดว้ ย 10 จะได้

∑( − 10)2 = (2 − 10)2 + (3 − 10)2 + (5 − 10)2 + (7 − 10)2 + (13 − 10)2 + (24 − 10)2
= (−8)2 + (−7)2 + (−5)2 + (−3)2 + 32 + 142

= 64 + 49 + 25 +9 + 9 + 196

= 352 → มากกวา่ 346

หรอื ถา้ แทน ดว้ ย 8.5 จะได้

∑( − 8.5)2 = (2 − 8.5)2 + (3 − 8.5)2 + (5 − 8.5)2 + (7 − 8.5)2 + (13 − 8.5)2 + (24 − 8.5)2
= (−6.5)2 + (−5.5)2 + (−3.5)2 + (−1.5)2 + (4.5)2 + (15.5)2

= 42.5 + 30.25 + 12.25 + 2.25 + 20.25 + 240.25

= 347.5 → มากกวา่ 346

ดงั นนั้ จะเห็นวา่ ∑( − )2 จะมคี า่ นอ้ ยทส่ี ดุ เมื่อ = ̅

แบบฝึกหดั 2. ( − 2)2 + ( − 4)2 + ( − 9)2
1. ให้ เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จงหาคา่ ต่าสดุ ของ

1. (2 − )2 + (4 − )2 + (9 − )2

3. ( + 2)2 + ( + 4)2 + ( + 9)2 4. 2(2 − )2 + ( + 5)2 + ( − 1)2

30 สถิติ

มธั ยฐาน

คา่ กลางตวั ถดั มาทต่ี อ้ งเรยี น คอื “มธั ยฐาน” (Median) หรอื เรยี กสนั้ ๆวา่ Med
มธั ยฐาน เป็นคา่ มี “ตาแหนง่ ” อยตู่ รงกลาง เมือ่ เรยี งลาดบั ขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก (หรอื มากไปนอ้ ยก็ได)้
หรอื พดู ง่ายๆก็คอื Med จะเป็นจดุ ท่แี บง่ จานวนขอ้ มลู ออกเป็น 2 สว่ น เทา่ ๆกนั

การหา Med ประกอบดว้ ย 2 ขนั้ ตอน
ขนั้ แรก ตอ้ งหากอ่ นวา่ “ตาแหนง่ ตรงกลาง” คอื ตาแหนง่ ทีเ่ ทา่ ไหร่
เชน่ ถา้ มีขอ้ มลู 3 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคือตวั ที่ 2

ถา้ มขี อ้ มลู 4 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคอื ตวั ที่ 2.5 (คอื อยรู่ ะหวา่ งตวั ที่ 2 กบั ตวั ที่ 3)
ถา้ มีขอ้ มลู 5 ตวั ตาแหนง่ ตรงกลางคอื ตวั ท่ี 3

จะไดส้ ตู ร คือ ตาแหนง่ มธั ยฐาน = +1
2

ขนั้ ถดั มา เอาตาแหนง่ ท่ไี ดไ้ ปหาคา่
โดยตอ้ งเรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก (หรอื มากไปนอ้ ยก็ได)้ แลว้ จมิ้ นิว้ ไลน่ บั จนกวา่ จะถึงตาแหนง่ ที่ตอ้ งการ
ถา้ ตาแหนง่ ทค่ี านวณได้ ไปตกอยตู่ รงกลางระหวา่ งขอ้ มลู สองคา่ ใหเ้ อาสองคา่ นนั้ บวกกนั หารดว้ ยสอง

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ มธั ยฐานของขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ ซง่ึ ประกอบดว้ ย 5 , 15 , 12 , 21 , 13 , 9 , 18 #
วธิ ีทา มีขอ้ มลู 7 ตวั ดงั นนั้ มธั ฐานจะอยตู่ าแหนง่ ที่ 7+1 = 4 #

2

เรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก จะได้ 5 , 9 , 12 , 13 , 15 , 19 , 21 จะเหน็ วา่ ตวั ท่ี 4 มคี า่ = 13
(จรงิ ๆไมต่ อ้ งเรยี งขอ้ มลู จนหมดทกุ ตวั ก็ได้ แคเ่ รยี งใหถ้ งึ ตาแหนง่ ท่ี 4 ก็พอ)
ดงั นนั้ จะได้ Med = 13

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ มธั ยฐานของขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ ซงึ่ ประกอบดว้ ย 12 , 18 , 22 , 25
วิธีทา มีขอ้ มลู 4 ตวั ดงั นนั้ มธั ฐานจะอยตู่ วั ที่ 4+1 = 2.5

2

จะเห็นวา่ ขอ้ นใี้ จดี เรยี งขอ้ มลู มาใหแ้ ลว้ และตาแหนง่ ที่ 2.5 จะอยตู่ รงกลางระหวา่ งตวั ท่ี 2 กบั ตวั ที่ 3
ถา้ เป็นแบบนี้ ใหเ้ อาตวั ที่ 2 กบั ตวั ที่ 3 บวกกนั หารดว้ ย 2 จะได้ Med = 18+22 = 20

2

ในกรณีท่ขี อ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถ่ี เราจะหา “ตาแหนง่ ” ของขอ้ มลู ยากขนึ้ นิดหนอ่ ย
สง่ิ ท่ตี อ้ งราลกึ อยเู่ สมอ คือ ตาแหนง่ ของขอ้ มลู จะมีความเกี่ยวขอ้ งโดยตรงกบั “ความถ่ี”

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ตวั ท่ี 1 , 2
ตวั ที่ 3 , 4 , 5
14 2 ตวั ท่ี 6 , 7 , 8 , 9 , 10
15 3 ตวั ท่ี 11 , 12 , 13
16 5
17 3

จะเหน็ วา่ “ตาแหนง่ ” ของขอ้ มลู จะไดจ้ ากการนา “ความถ่ี” มาบวกสะสมไปเรอ่ื ยๆ

สถิติ 31

บางคนจะนยิ มสรา้ งชอ่ ง “ความถ่ีสะสม” เพื่อความสะดวกรวดเรว็ ในการระบตุ าแหนง่ ขอ้ มลู #

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ความถ่ีสะสม ( ) ตวั ท่ี 1 , 2
ตวั ท่ี 3 , 4 , 5
14 2 2 ตวั ท่ี 6 , 7 , 8 , 9 , 10
15 3 5 ตวั ท่ี 11 , 12 , 13
16 5 10
17 3 13

ความถ่ีสะสม จะบอกวา่ “ตวั สดุ ทา้ ยของชนั้ ” คอื ตวั ท่ีเทา่ ไหร่
ดงั นนั้ ถา้ อยากหา “ตวั ที่ ” ก็แคด่ วู า่ ความถี่สะสม “เลย ” ไปในชนั้ ไหน
เช่น ขอ้ มลู ตวั ท่ี 4 จะอยใู่ นชนั้ ที่ 2 เพราะ ความถี่สะสม เลย 4 ในชนั้ ท่ี 2 ( = 5)

ขอ้ มลู ตวั ที่ 8 จะอยใู่ นชนั้ ที่ 3 เพราะ ความถี่สะสม เลย 8 ในชนั้ ท่ี 3 ( = 10)
ขอ้ มลู ตวั ที่ 10 จะอยใู่ นชนั้ ที่ 3 และเป็นตวั สดุ ทา้ ยของชนั้ ท่ี 3
ขอ้ มลู ตวั ท่ี 11 จะอยใู่ นชนั้ ท่ี 4 เพราะ ความถ่ีสะสม เลย 11 ในชนั้ ที่ 4 ( = 13) เป็นตน้

ตวั อยา่ ง จงหามธั ยฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

นา้ หนกั จานวนนกั เรยี น ( )

50 6
51 13
52 11
53 5

วธิ ีทา อนั ดบั แรก สรา้ งชอ่ ง “ความถ่ีสะสม” กอ่ น เพื่อความสะดวกในการอา้ งตาแหนง่

นา้ หนกั จานวนนกั เรยี น ( ) ความถี่สะสม ( )

50 6 6
51 13 19
52 11 30
53 5 35

จะเหน็ วา่ มีขอ้ มลู ทงั้ หมด 35 ตวั ดงั นนั้ Med จะอยตู่ าแหนง่ ที่ 35+1 = 18
2

ยา้ อีกที วา่ 18 ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน แตเ่ ป็น “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน
ถดั มา หาวา่ ตวั ท่ี 18 มีคา่ เทา่ ไหร่ เราตอ้ งหากอ่ น วา่ ตวั ที่ 18 อยใู่ นชนั้ ไหน
จะเหน็ วา่ ความถี่สะสม เลย 18 ในชนั้ ท่ี 2 ( = 19) ดงั นนั้ ตวั ที่ 18 อยใู่ นชนั้ ที่ 2
ดงั นนั้ จะได้ Med = 51

หมายเหต:ุ นกั เรยี นจานวนมาก มกั สบั สนระหวา่ ง “ตาแหนง่ ” กบั “คา่ ”
สตู ร +1 เป็นสตู รทใ่ี ชห้ า “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน เทา่ นนั้ ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน

2

เรายงั ตอ้ งเอาตาแหนง่ ดงั กลา่ ว ไปหา “คา่ ” ตอ่ อีก

32 สถิติ

ตวั อยา่ ง จงหามธั ยฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

คะแนนสอบ ความถี่สะสม

6 5
10 12
12 20
15 32
18 40

วิธีทา ขอ้ นี้ โจทยต์ งั้ ใจหลอก โดยให้ “ความถ่ีสะสม” มา แทนท่จี ะเป็น “ความถ่ี” เฉยๆ เหมอื นปกติ

ถา้ ไมส่ งั เกตดๆี เราอาจคิดวา่ โจทยใ์ ห้ “ความถี่” มา แลว้ ดนั ไปสรา้ งช่อง “ความถี่สะสม” เพม่ิ จะไดค้ าตอบทผ่ี ิด

จะเหน็ วา่ ขอ้ นมี้ ขี อ้ มลู ทงั้ หมด 40 ตวั ดงั นนั้ Med จะอยตู่ าแหนง่ ท่ี 40+1 = 20.5
2

ยา้ อกี ที วา่ 20.5 ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน แตเ่ ป็น “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน

ตวั ท่ี 20.5 จะอยตู่ รงกลาง ระหวา่ งตวั ท่ี 20 กบั ตวั ท่ี 21 → ตอ้ งเอาตวั ที่ 20 กบั 21 มาบวกกนั แลว้ ÷2

ตวั ที่ 20 → เป็นตวั สดุ ทา้ ยของชนั้ ท่ี 3 พอดี ดงั นนั้ ตวั ท่ี 20 มีคา่ = 12

ตวั ท่ี 21 → ความถ่ีสะสม เลย 21 ในชนั้ ที่ 4 ( = 32) ดงั นนั้ ตวั ที่ 21 อยใู่ นชนั้ ที่ 4 มคี า่ = 15

ดงั นนั้ จะได้ Med = 12+15 = 13.5 #
2

แบบฝึกหดั 2. 5 , 2 , 8 , 10 , 7 , 11 , 9
1. จงหามธั ยฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

1. 2 , 5 , 8 , 13 , 14 , 14 , 18 , 20

3. 0 5 8 4. คะแนน ความถ่ี

1022 72
25677 88
31 9 12
10 6

สถิติ 33

5. จานวนนกั เรยี น 6. คะแนน ความถี่สะสม

5 21 2
4 22 8
3 23 12
2 24 15
1 25 16

0 1234 เกรดวิชาเลข

7. 2 , 4 , 6 , … , 30 8. 5 , 7 , 9 , 11 , … , 101

2. จากแผนภาพตน้ – ใบของขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ เป็นดงั นี้ 0789
10157
2122
302

จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิต และ มธั ยฐาน ของขอ้ มลู ชดุ นี้ [O-NET 57/30]

3. จากการสอบถามเยาวชนจานวน 12 คน วา่ เคยฟังพระธรรมเทศนามาแลว้ จานวนกี่ครงั้ ปรากฏผลดงั แสดงใน

แผนภาพตอ่ ไปนี้ [O-NET 52/33]

จานวนเยาวชน

5 จานวนครงั้ ทีเ่ คยฟังพระธรรมเทศนา
4
3
2
1

0 123456

มธั ยฐานของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั กคี่ รงั้

4. กาหนดใหข้ อ้ มลู ชดุ หนงึ่ คอื 10, 3, , 6, 6 ถา้ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ นี้ มีคา่ เทา่ กบั มธั ยฐาน แลว้ มคี า่
เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/20]

34 สถิติ

มธั ยฐาน (อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วง)

ในกรณีที่ขอ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถี่ทม่ี ีอนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วง เราจะคานวณ Med ยากขนึ้ เยอะเลย

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( )

1 - 10 8
11 - 20 10
21 - 30 20
31 - 40 12

ในกรณีนี้ ถา้ จะหา Med จะมขี นั้ ตอนดงั นี้
1. สรา้ งช่อง “ความถี่สะสม” เพือ่ ความสะดวกในการหาคา่ ขอ้ มลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆ
2. หา “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน ดว้ ยสตู รใหม่

ตาแหนง่ มธั ยฐาน = สตู รนี้ ใชก้ บั กรณี อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วงเทา่ นนั้
2 ถา้ มาเป็นตวั ๆ ใหใ้ ชส้ ตู ร +1 เหมือนเก่า

2

3. ใชช้ ่องความถี่สะสม หาวา่ มธั ยฐาน อยชู่ นั้ ไหน แลว้ ใชส้ ตู รไหนก็ได้ จาก 2 สตู รตอ่ ไปนี้

ความถี่สะสมชนั้ ท่ีต่ากวา่ Med สตู รนี้ จะเรม่ิ จากขอบลา่ ง

− ) ความกวา้ งชนั้ Med แลว้ หาวา่ ตอ้ งเดินหนา้ ตอ่ ไปอกี เป็นสดั สว่ นเทา่ ไหรข่ องชนั้

Med = + (2 โดยจะดวู า่ Med ลา้ เขา้ ไปในชนั้ นนั้ ๆ เป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่

ขอบลา่ งชนั้ Med ความถี่ชนั้ Med สดั สว่ นท่ีลา้ = Med ลา้ ไปในชน้ั กี่ตวั
จานวนตวั ในชนั้

ความถี่สะสมชนั้ Med สตู รนี้ จะเรม่ิ จากขอบบน

( − ความกวา้ งชนั้ Med แลว้ หาวา่ ตอ้ งถอยกลบั มาเป็นสดั สว่ นเทา่ ไหรข่ องชนั้
2
Med = − ) โดยจะดวู า่ Med พรอ่ งไปจากชนั้ นนั้ ๆ เป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่

ขาดกี่ตวั Med ถึงจะเลอื่ นไปเต็มชนั้
ขอบบนชนั้ Med ความถี่ชนั้ Med สดั สว่ นทพ่ี รอ่ ง = จานวนตวั ในชน้ั

เช่น คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ความถ่ีสะสม ( ) = 50 , Med อยตู่ วั ท่ี 50 = 25 = ชนั้ ท่ี 3
2
1 - 10 8 8
11 - 20 10 18 = 20.5 , = 30.5 , = 10
21 - 30 20 38
31 - 40 12 50 = 18 , = 38 , = 20

Med = 20.5 + (252−018) (10) หรอื ถา้ ใชอ้ กี สตู ร Med = 30.5 − (382−025) (10)
= 20.5 + 3.5 = 30.5 − 6.5

= 24 = 24 เทา่ กนั

สถิติ 35

ตวั อยา่ งอกี อนั เช่น

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ความถ่ีสะสม ( ) = 40

1 - 12 8 8 Med อยตู่ วั ที่ 40 = 20 = ตวั สดุ ทา้ ยของชนั้ ท่ี 2
13 - 24 12 20 2
25 - 36 10 30
37 - 48 7 37 = 12.5 , = 24.5 , = 12
49 - 60 3 40
= 8 , = 20 , = 12

Med = 12.5 + (201−28) (12) หรอื ถา้ ใชอ้ กี สตู ร Med = 24.5 − (201−220) (12)
= 12.5 + 12
= 24.5 − 0
= 24.5
= 24.5 เทา่ กนั

สงั เกตวา่ ถา้ บงั เอิญ Med ไปตกอยู่ “ตวั สดุ ทา้ ยของชนั้ ” แลว้ − ( − ) จะเทา่ กบั − 0 = เสมอ
2



นกั เรยี นสว่ นใหญ่จงึ นิยมจาวา่ “ตวั สดุ ทา้ ยของชนั้ จะมคี า่ เทา่ กบั ขอบบนของชนั้ ” เสมอ

เชน่ ตวั ที่ 8 มคี า่ 12.5
ตวั ท่ี 20 มคี า่ 24.5
คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ความถี่สะสม ( ) ตวั ท่ี 30 มคี า่ 36.5
ตวั ที่ 37 มคี า่ 48.5
1 - 12 8 8 ตวั ท่ี 40 มีคา่ 60.5 เป็นตน้
13 - 24 12 20
25 - 36 10 30
37 - 48 7 37
49 - 60 3 40

แบบฝึกหดั

1. จงหามธั ยฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

1. คะแนน ความถ่ี 2. คะแนน ความถี่

1 - 10 6 1- 4 2
11 - 20 12 5- 8 5
21 - 30 10 9 - 12 10
31 - 40 2 13 - 16 13

3. คะแนน ความถี่สะสม

1 - 10 6
11 - 20 18
21 - 30 20
31 - 40 35
41 - 50 40

36 สถิติ

มธั ยฐาน (จากกราฟ)

เราสามารถหา Med แบบครา่ วๆ จาก “โอจีฟ” ได้

โอจีฟ คือ กราฟท่ไี ดจ้ ากการนา “ความถี่สะสม” มาเขยี นกราฟ แลว้ ลากเสน้ เช่ือมยอดแทง่ ดงั รูป

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น (คน) ความถี่สะสม ความถ่ีสะสม ( ) คะแนนสอบ

1 - 10 3 3 60
11 - 20 12 15 50
21 - 30 10 25 40
31 - 40 29 54 30
41 - 50 6 60 20
10

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

ซง่ึ จากหวั ขอ้ ทเี่ รยี นไปกอ่ นหนา้ นี้ เราสามารถใชโ้ อจีฟ มาพลอ็ ตหาคา่ ประมาณของขอ้ มลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆได้

ความถี่สะสม ( )

60 ตวั ท่ี 45
50
40
30
20 ตวั ท่ี 20

10 คะแนนสอบ

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

ในการหา Med จาก โอจีฟ เราจะหาตาแหนง่ ของ Med มากอ่ น แลว้ พลอ็ ตหาคา่ ประมาณของตาแหนง่ ดงั กลา่ ว

เนื่องจาก ความถ่ีสะสมชอ่ งสดุ ทา้ ย จะมคี า่ เทา่ กบั เสมอ
ดงั นนั้ ตาแหนง่ Med ที่เคยหาจากสตู ร จะสามารถหาไดจ้ าก ความสงู สดุ ทา้ ยของโอจีฟ ดว้ ย

22

และเราสามารถใชต้ าแหนง่ ดงั กลา่ ว พลอ็ ตหา Med ไดด้ งั รูป

ความถี่สะสม ( )

60

50 =
40
30 ตาแหน่ง Med

20 =
10
คะแนนสอบ
0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5

เชน่ จากรูป จะได้ Med มีคา่ ประมาณ 32 กวา่ ๆ

สถิติ 37

นอกจากนี้ เรายงั สามารถหา Med แบบครา่ วๆ จาก “โคง้ ความถี่” ไดอ้ ีกดว้ ย

โคง้ ความถ่ี จะมีสมบตั ทิ ่สี าคญั อยา่ งหนง่ึ คอื “พนื้ ที่ใตก้ ราฟ” จะเป็นสดั สว่ นกบั “จานวนขอ้ มลู ” 11 20
เช่น จานวนนกั เรยี นที่ไดค้ ะแนน 11 - 20 จะเป็นสดั สว่ นกบั พนื้ ทใี่ ตโ้ คง้ จาก 11 ถึง 20

เน่ืองจาก Med เป็นจดุ ทแี่ บง่ “จานวนขอ้ มลู ” ออกเป็น 2 สว่ น เทา่ ๆกนั
ดงั นนั้ Med จะเป็นจดุ ทแ่ี บง่ “พนื้ ทใ่ี ตโ้ คง้ ” เป็น 2 สว่ นเทา่ ๆกนั ดว้ ย

ดงั นนั้ ถา้ ใหโ้ คง้ ความถม่ี า เราสามารถประมาณคา่ Med โดยเลง็ หาจดุ ที่แบง่ พนื้ ที่ใตโ้ คง้ ออกเป็น 2 สว่ นเทา่ กนั ดงั รูป

AB

0 5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 คะแนนสอบ

Med คือจดุ ท่ที าใหพ้ นื้ ท่ี A = พนื้ ท่ี B

38 สถิติ

สมบตั ิของมธั ยฐาน

สมบตั ิอยา่ งแรกของมธั ยฐาน คอื มนั “ทน” กบั ขอ้ มลู ที่มากผดิ ปกติ หรอื นอ้ ยผดิ ปกติ ได้

ปกติ เราจะไมค่ อ่ ยชอบใหข้ อ้ มลู ท่ผี ดิ ปกติ มาฉดุ ภาพรวมของขอ้ มลู ไปซกั เทา่ ไหร่

เชน่ 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 → จะเหน็ วา่ 2000 เป็นขอ้ มลู ท่ีมากผดิ ปกติ

ซง่ึ การมอี ยขู่ อง 2000 นี้ จะ “ฉดุ ̅” ไดส้ ดุ ๆ

เชน่ ถา้ ไมม่ ี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 ̅ = 6+7+7+8+11+12+12 =9
ถา้ มี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000
7
̅ = 6+7+7+8+11+12+12+2000 = 257.88

8

อยา่ งไรกต็ าม การมีอยขู่ อง 2000 จะ ไมม่ ผี ลกบั Med มากนกั

เชน่ ถา้ ไมม่ ี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 Med = 8

ถา้ มี 2000: 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 , 2000 Med = 8+11 = 9.5
2

ดงั นนั้ ถา้ ในขอ้ มลู มีบางตวั ท่ีมากหรอื นอ้ ยผดิ ปกติอยู่ เรามกั นยิ มใช้ Med เป็นคา่ กลาง แทน ̅

สมบตั ิอีกอยา่ งทสี าคญั คอื ∑| − | จะมคี า่ นอ้ ยท่ีสดุ เม่อื = Med
ขอ้ นี้ จะคลา้ ยๆ กบั ของ ̅ ซงึ่ นกั เรยี นสว่ นใหญ่ มกั จะจาสบั กนั

∑( − )2 จะมคี า่ นอ้ ยทีส่ ดุ เม่อื = ̅
แต่ ∑| − | จะมีคา่ นอ้ ยทส่ี ดุ เม่อื = Med
ตวั อยา่ งเช่น ขอ้ มลู 6 , 7 , 7 , 8 , 11 , 12 , 12 มี Med = 8

∑| − 8| = |6 − 8| + |7 − 8| + |7 − 8| + |8 − 8| + |11 − 8| + |12 − 8| + |12 − 8|

= 2+ 1+ 1 + 0 + 3 + 4 + 4

= 15

สมบตั ขิ อง Med จะรบั ประกนั ไดว้ า่ 15 จะเป็นคา่ ท่นี อ้ ยทีส่ ดุ ในบรรดา ∑| − | ทงั้ หมด
พดู งา่ ยๆกค็ ือ ถา้ เป็นคา่ อ่ืนที่ไมใ่ ช่ Med จะไมม่ วี นั ได้ ∑| − | นอ้ ยกวา่ 15
เช่น ถา้ แทน ดว้ ย 7 จะได้

∑ | − 7| = |6 − 7| + |7 − 7| + |7 − 7| + |8 − 7| + |11 − 7| + |12 − 7| + |12 − 7|

= 1+ 0+ 0 + 1 + 4+ 5+ 5

= 16 → มากกวา่ 15

หรอื ถา้ ลองแทน ดว้ ย ̅ ดู (ขอ้ มลู ชดุ นี้ มี ̅ = 6+7+7+8+11+12+12 = 9) จะได้
7

∑ | − 9| = |6 − 9| + |7 − 9| + |7 − 9| + |8 − 9| + |11 − 9| + |12 − 9| + |12 − 9|

= 3+ 2+ 2 + 1 + 2 + 3 + 3

= 16 → ก็ยงั แพ้ Med

ดงั นนั้ จะเห็นวา่ ∑| − | จะมีคา่ นอ้ ยทสี่ ดุ เมือ่ = Med

แบบฝึกหดั สถิติ 39
1. ให้ เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จงหาคา่ ต่าสดุ ของ
2. | − 2| + | − 4| + | − 9| + | − 10|
1. |2 − | + |4 − | + |9 − |

3. | + 2| + |4 − | + | + 3| 4. 2|1 − | + 3| + 4| + | |

40 สถิติ

ฐานนิยม

คา่ กลางตวั สดุ ทา้ ยท่ีตอ้ งเรยี น คอื “ฐานนิยม”
ฐานนยิ ม (Mode) คอื คา่ ท่ขี อ้ มลู สว่ นใหญ่นยิ มเป็น
เราสามารถหาฐานนิยมโดยหาขอ้ มลู ที่ “ซา้ มากสดุ ”

 ถา้ มีขอ้ มลู ท่ซี า้ มากสดุ เทา่ กนั สองตวั กใ็ หต้ อบเป็นฐานนยิ มไปทงั้ สองตวั
 ถา้ มีขอ้ มลู ทีซ่ า้ มากสดุ เทา่ กนั เกินสองตวั นยิ มตอบวา่ “ไมม่ ฐี านนยิ ม”
 ถา้ ขอ้ มลู ไมซ่ า้ กนั เลย ตอบวา่ “ไมม่ ฐี านนยิ ม”

เช่น 5 , 6 , 6 , 7 , 8 , 8 , 8 , 6 , 7 , 7 , 11 , 12 , 15 , 6 , 6 , 10 , 11 , 12 , 12 ,
17 , 20 , 20 , 24 , 28
10 , 10 , 11 , 12 , 12 13 , 15 , 15 , 16 , 18
→ Mode = 7, 20
→ Mode = 8 → Mode = ไมม่ ี

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) อายุ จานวนนกั เรยี น ( )

11 6 14 25
12 12 15 53
13 15 16 31
14 18 17 53
15
2 → Mode = 15 , 17

→ Mode = 14

แบบฝึกหดั 2. 0 2
1. จงหาฐานนยิ มของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้
11231
1. 3 , 4 , 8 , 12 , 19 , 13 , 16 , 12
24994

34

3. จานวนพนกั งาน 4. คะแนน ความถี่

4 72
3 88
2 9 12
1 10 6

0 56789 เบอรร์ องเทา้

5. คะแนน ความถ่ีสะสม

23 2
24 7
25 12
26 13

สถิติ 41

2. ขอ้ มลู สองชดุ เป็นดงั นี้ ชดุ ที่ 1 : 1 3 3 6 8 9
ชดุ ที่ 2 : 2 3 4 5 5 5

ขอ้ ใด ผิด [O-NET 58/31]
1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 มากกวา่ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ ที่ 2 อยู่ 0.5
2. ขอ้ มลู ทงั้ สองชดุ มมี ธั ยฐานเทา่ กนั
3. ฐานนยิ มของขอ้ มลู สองชดุ นตี้ า่ งกนั อยู่ 2
4. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตรวมของขอ้ มลู ทงั้ สองชดุ เทา่ กบั 4.5
5. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 เทา่ กบั ฐานนิยมของขอ้ มลู ชดุ ที่ 2

3. แผนภาพตน้ ใบของขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ เป็นดงั นี้

200358
314467
43357
51222
635

ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง [O-NET 54/20]
1. ขอ้ มลู ชดุ นไี้ มม่ ฐี านนยิ ม
2. มธั ยฐานของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั 40

4. ถา้ ขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ ประกอบดว้ ย 10, 12, 15, 13 และ 10 ขอ้ ความในขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นเทจ็ สาหรบั ขอ้ มลู ชดุ นี้

[O-NET 49/1-14] 2. ฐานนยิ ม นอ้ ยกวา่ 12
4. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต มากกวา่ 12
1. มธั ยฐาน เทา่ กบั 12
3. ฐานนยิ ม นอ้ ยกวา่ คา่ เฉลย่ี เลขคณิต

42 สถิติ

5. แผนภาพตน้ ใบของนา้ หนกั ในหนว่ ยกรมั ของไขไ่ ก่ 10 ฟอง เป็นดงั นี้

578
6789
70447
81

ขอ้ สรุปใดเป็นเทจ็ [O-NET 53/29]
1. ฐานนยิ มของนา้ หนกั ของไขไ่ กม่ ีเพียงคา่ เดยี ว
2. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตและมธั ยฐานของนา้ หนกั ของไขไ่ กม่ ีคา่ เทา่ กนั
3. มไี ขไ่ ก่ 5 ฟองทีม่ ีนา้ หนกั นอ้ ยกวา่ 70 กรมั
4. ไขไ่ ก่ทมี่ ีนา้ หนกั สงู กวา่ ฐานนยิ ม มจี านวนมากกวา่ ไขไ่ ก่ทมี่ นี า้ หนกั เทา่ กบั ฐานนยิ ม

6. ขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ ประกอบดว้ ย

4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4

ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง [O-NET 52/27]
1. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต < ฐานนยิ ม < มธั ยฐาน
2. ฐานนิยม < มธั ยฐาน < คา่ เฉลยี่ เลขคณิต
3. ฐานนยิ ม < คา่ เฉลยี่ เลขคณติ < มธั ยฐาน
4. มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม < คา่ เฉลย่ี เลขคณิต

7. กาหนดแผนภาพ ตน้ - ใบ ของขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ ดงั นี้

0375
1643
20212
301

สาหรบั ขอ้ มลู ชดุ นี้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นจรงิ [O-NET 51/36]
1. มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม < คา่ เฉลยี่ เลขคณิต
2. มธั ยฐาน < คา่ เฉลยี่ เลขคณิต < ฐานนิยม
3. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต < ฐานนยิ ม < มธั ยฐาน
4. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต < มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม

สถิติ 43

8. ถา้ นา้ หนกั (คดิ เป็นกิโลกรมั ) ของนกั เรยี น 2 กลมุ่ กลมุ่ ละ 6 คน เขยี นเป็นแผนภาพ ตน้ - ใบ ไดด้ งั นี้

นกั เรยี นกลมุ่ ท่ี 1 นกั เรยี นกลมุ่ ท่ี 2

864349
8664224

50

ขอ้ สรุปในขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [O-NET 49/1-30]

1. นา้ หนกั เฉลยี่ ของนกั เรยี นกลมุ่ ท่ี 2 มากกวา่ นา้ หนกั เฉลย่ี ของนกั เรยี นกลมุ่ ที่ 1

2. ฐานนิยมของนา้ หนกั ของนกั เรยี นกลมุ่ ท่ี 2 มากวา่ ฐานนยิ มของนา้ หนกั ของนกั เรยี นกลมุ่ ที่ 1

3. มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรยี นกลมุ่ ที่ 2 มากกวา่ มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรยี นกลมุ่ ท่ี 1

4. มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรยี นทงั้ หมด มากกวา่ มธั ยฐานของนา้ หนกั ของนกั เรยี นกลมุ่ ท่ี 1

9. จากแผนภาพ ตน้ -ใบ ของขอ้ มลู แสดงนา้ หนกั (กิโลกรมั ) ของนกั เรยี นกลมุ่ หนง่ึ เป็นดงั นี้

4210
508322
60314

เมอื่ สมุ่ เลอื กนกั เรยี นมา 1 คน จากกลมุ่ นี้ ความนา่ จะเป็นท่จี ะไดน้ กั เรยี นที่มนี า้ หนกั นอ้ ยกวา่ ฐานนยิ มของกลมุ่ มคี า่
เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/36]

10. ถา้ สมุ่ ตวั เลขหนง่ึ จากขอ้ มลู ชดุ ใดๆ ซงึ่ ประกอบดว้ ยตวั เลข 101 ตวั แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู [O-NET 51/39]
1. ความนา่ จะเป็นทตี่ วั เลขทสี่ มุ่ ไดม้ คี า่ นอ้ ยกวา่ คา่ มธั ยฐาน < 1

2

2. ความนา่ จะเป็นทต่ี วั เลขที่สมุ่ ไดม้ คี า่ นอ้ ยกวา่ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ < 1
2

3. ความนา่ จะเป็นทตี่ วั เลขที่สมุ่ ไดม้ คี า่ มากกวา่ คา่ มธั ยฐาน > 1
2

4. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต < มธั ยฐาน < ฐานนิยม

44 สถิติ

ฐานนิยม (อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วง)

ในกรณีที่ขอ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถ่ีทม่ี อี นั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง ก็จะมวี ิธีหา Mode ท่ียากขนึ้ พอสมควร

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( )

1 - 10 8
11 - 20 10
21 - 30 20
31 - 40 12

ในกรณีนี้ ถา้ จะหา Mode จะมขี นั้ ตอนดงั นี้
1. หาอนั ตรภาคชนั้ ท่ี Mode ตกอยู่ โดยดจู ากชนั้ ที่ความถี่สงู สดุ
2. คานวณ “ผลตา่ งความถี่” ระหวา่ งชนั้ Mode กบั ชนั้ ท่อี ยตู่ ิดกบั Mode ทงั้ ชนั้ บนและชนั้ ลา่ ง
1 = ความถ่ีชนั้ Mode − ความถ่ีชนั้ ตา่ กวา่
2 = ความถี่ชนั้ Mode − ความถ่ีชนั้ สงู กวา่
3. คานวณคา่ Mode ดว้ ยสตู รไหนก็ได้ จาก 2 สตู รตอ่ ไปนี้

ความกวา้ ง ชนั้ Mode ความกวา้ ง ชนั้ Mode
Mode = + ( 1 ) Mode = − ( 2 )

1+ 2 1+ 2

ขอบลา่ ง ชนั้ Mode ขอบบน ชนั้ Mode

เชน่ คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ชนั้ ที่ 3 ความถ่ีมากสดุ = 20 → Mode อยชู่ นั้ ที่ 3

1 - 10 8 = 20.5 , = 30.5
11 - 20 10 1 = 20 − 10 = 10
21 - 30 20 2 = 20 − 12 = 8
31 - 40 12

Mode = 20.5 + ( 10 ) 10 หรอื ถา้ ใชอ้ ีกสตู ร Mode = 30.5 − ( 8 ) 10

10+8 10+8

= 20.5 + 5.56 = 30.5 − 4.44

= 26.06 = 26.06 เทา่ กนั

ตวั อยา่ งอกี อนั เช่น จานวนนกั เรยี น ( ) ชนั้ ที่ 1 ความถี่มากสดุ = 16 → Mode อยชู่ นั้ ท่ี 1

คะแนนสอบ 16 = 0.5 , = 8.5
12
1- 8 11 1 = 16 − 0 = 16 (ถือวา่ กอ่ นชนั้ 1 มคี วามถี่ = 0)
9 - 16 9
17 - 24 2 = 16 − 12 = 4
25 - 32

Mode = 0.5 + ( 16 ) 8 หรอื ถา้ ใชอ้ ีกสตู ร Mode = 8.5 − ( 4 ) 8
16+4
16+4
= 8.5 − 1.6
= 0.5 + 6.4
= 6.9 เทา่ กนั
= 6.9

สถิติ 45

ในกรณีที่ อนั ตรภาคชนั้ กวา้ งไมเ่ ทา่ กนั เราจะไมส่ ามารถใชค้ วามถ่ีมาวดั ความนิยมของชนั้ ไดอ้ กี ตอ่ ไป

(ไมง่ นั้ ชนั้ ทีแ่ คบ จะเสยี เปรยี บชนั้ ทกี่ วา้ ง เพราะชนั้ ที่กวา้ งจะมโี อกาสท่ีมีขอ้ มลู อยหู่ ลายตวั กวา่ )

ในกรณีนี้ เราจะใช้ ความหนาแนน่ ของชนั้ = ความถี่ ( ) มาวดั ความนิยม และใชใ้ นการคานวณ แทนความถี่
ความกวา้ งชนั้ ( )
เชน่ คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ความกวา้ งชนั้ ( ) ความหนาแน่น


1–8 8 81
5 หนาแน่นสดุ
9 – 10 10 2

11 – 20 20 10 2

21 – 35 12 15 0.8

ชนั้ ที่ 2 หนาแนน่ สดุ = 5 → Mode อยชู่ นั้ ท่ี 2

= 8.5 , = 2 → Mode = 8.5 + (4+43) 2
1 = 5 – 1 = 4 = 8.5 + 1.14
2 = 5 – 2 = 3
= 9.64

แบบฝึกหดั

1. จงหาฐานนยิ มของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

1. คะแนน ความถี่ 2. คะแนน ความถี่

1 - 10 3 1- 5 4
11 - 20 9 6 - 10 13
21 - 30 12 11 - 15 12
31 - 40 11 16 - 20 11

3. คะแนน ความถี่ 4. คะแนน ความถี่สะสม

1- 4 2 11 - 16 4
5- 8 3 17 - 22 16
9 - 12 6 23 - 28 26
13 - 16 11 29 - 34 37
35 - 40 42

5. คะแนน ความถี่ 6. คะแนน ความถ่ีสะสม

1 - 10 5 1 - 10 5
11 - 30 10 11 - 15 15
31 - 40 6 16 - 19 21
41 - 60 6 20 - 29 27

46 สถิติ

ฐานนิยม (จากกราฟ)

เราสามารถหา Mode จากฮิสโทแกรม ได้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) จานวนนกั เรยี น (คน) คะแนนสอบ

1 - 10 8 20
11 - 20 10 15
21 - 30 20 10
31 - 40 12
5

0 5.5 15.5 25.5 35.5

โดยมขี นั้ ตอน ดงั นี้
1. หาแทง่ ทีส่ งู ที่สดุ
2. ลากเสน้ ไขวจ้ ากยอดของแทง่ ท่ีสงู สดุ ไปยงั ยอดของแทง่ ขา้ งๆ
3. จากจดุ ตดั ทไ่ี ด้ ลากลงไปหาคา่ Mode ท่แี กนคา่ ขอ้ มลู ไดเ้ ลย

จานวนนกั เรยี น (คน) เชน่ เราจะหา Mode ไดจ้ ากตวั อยา่ งดงั รูป
ซง่ึ จะได้ Mode มีคา่ ประมาณ 26
20
15 คะแนนสอบ
10

5

0 5.5 15.5 25.5 35.5

นอกจากนี้ เรายงั สามารถหา Mode จากโคง้ ความถ่ีไดด้ ว้ ย
โดย Mode จะอยบู่ รเิ วณทโ่ี คง้ ความถี่ “โดง่ ทส่ี ดุ ”

คะแนนสอบ เชน่ เราจะ Mode ไดจ้ ากตวั อยา่ งดงั รูป
ซง่ึ จะได้ Mode มคี า่ ประมาณ 26
5.5 15.5 25.5 35.5

สถิติ 47

สมบตั ขิ องฐานนิยม

ฐานนยิ ม เป็นคา่ กลางเพียงตวั เดยี ว ท่สี ามารถใชก้ บั “ขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพ” ได้
ขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพ คือ ขอ้ มลู ท่ีแสดงคณุ สมบตั ิ เชน่ สที ่ีชอบ เพศ กรุป๊ เลอื ด

 ขอ้ มลู ประเภทนี้ จะไมส่ ามารถ บวก ลบ คณู หาร ได้ จงึ หาคา่ เฉลยี่ ไมไ่ ด้
 ขอ้ มลู ประเภทนี้ จะไมส่ ามารถเทยี บมากกวา่ นอ้ ยกวา่ ได้ จึงหา Med ไมไ่ ด้

เช่น ถา้ ผลการสารวจสที ่ีชอบของนกั เรยี น 7 คน พบวา่ ชอบ สฟี า้ , สเี ขียว , สเี ขยี ว , สชี มพู , สดี า , สฟี า้ , สเี ขยี ว
ขอ้ มลู ประเภทนี้ หมดสทิ ธิ์หา ̅ หรอื Med เพราะ บวก ลบ คณู หาร หรอื เรยี งลาดบั ไมไ่ ด้
แตจ่ ะหา Mode ได้ = สเี ขียว

แบบฝึกหดั

1. การเลอื กใชค้ า่ กลางของขอ้ มลู ควรพจิ ารณาสง่ิ ตอ่ ไปนีย้ กเวน้ ขอ้ ใด [O-NET 52/29]

1. ลกั ษณะของขอ้ มลู 2. วธิ ีจดั เรยี งลาดบั ขอ้ มลู

3. จดุ ประสงคข์ องการนาไปใช้ 4. ขอ้ ดีและขอ้ เสยี ของคา่ กลางแตล่ ะชนดิ

2. ขอ้ ใดถกู [O-NET 58/29]
1. ขอ้ มลู ท่จี ะวดั คา่ กลางไดต้ อ้ งเป็นขอ้ มลู เชงิ ปรมิ าณเทา่ นนั้
2. กรณีท่ขี อ้ มลู มจี านวนนอ้ ยควรใชฐ้ านนิยมเป็นคา่ กลางเพราะสามารถนบั ความถ่ีของขอ้ มลู ไดส้ ะดวก
3. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตเป็นคา่ กลางที่ไมเ่ หมาะสมกบั ขอ้ มลู ที่มีบางคา่ ตา่ กวา่ ขอ้ มลู อนื่ ๆมาก
4. เนื่องจากมธั ยฐานคือคา่ ของขอ้ มลู ท่อี ยกู่ ง่ึ กลางของขอ้ มลู ทงั้ ชดุ ดงั นนั้ มธั ยฐานจงึ ใชเ้ ฉพาะกรณีทข่ี อ้ มลู มี
จานวนขอ้ มลู เป็นจานวนคเี่ ทา่ นนั้
5. คา่ กลางของขอ้ มลู ทีแ่ จกแจงความถี่แลว้ มคี วามถูกตอ้ งแนน่ อนมากกวา่ คา่ กลางของขอ้ มลู ชดุ เดียวกนั ทย่ี งั ไมไ่ ด้
แจกแจงความถ่ี

3. คา่ กลางของขอ้ มลู ในขอ้ ใดมีความเหมาะสมทจี่ ะใชเ้ ป็นตวั แทนของขอ้ มลู ของกลมุ่ [O-NET 56/29]
1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของนา้ หนกั ตวั ของชาวจงั หวดั เชียงใหม่
2. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของจานวนหนา้ ของหนงั สอื ที่คนไทยแตล่ ะคนอา่ นในปี พ.ศ. 2554
3. มธั ยฐานของจานวนเงินที่แตล่ ะคนใชจ้ า่ ยตอ่ เดือนของคนไทย
4. ฐานนิยมของความสงู ของนกั เรยี นหอ้ งหนงึ่
5. คา่ เฉลย่ี ของฐานนิยมกบั มธั ยฐานของคะแนนสอบของนกั เรยี นทงั้ โรงเรยี น

48 สถิติ

4. คา่ กลางของขอ้ มลู ในขอ้ ใดมีความเหมาะสมทจ่ี ะใชเ้ ป็นตวั แทนของขอ้ มลู ของกลมุ่ [O-NET 57/29]
1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขนาดรองเทา้ ของนกั เรยี นหอ้ งหนงึ่
2. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของจานวนผโู้ ดยสารรถไฟฟา้ ใตด้ นิ ตอ่ วนั ในเดือน มกราคม พ.ศ. 2557
3. มธั ยฐานของนา้ หนกั ตวั ของคนไทยในปี พ.ศ. 2556
4. ฐานนยิ มของความสงู ของนกั กีฬาไทยไดท้ ่ีไดร้ บั เหรยี ญทองจากการแขง่ ขนั กีฬาโอลมิ ปิก
5. คา่ กง่ึ กลางระหวา่ งมธั ยฐานกบั คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นชนั้ ม.6 ของ
โรงเรยี นแหง่ หนงึ่

5. ขอ้ มลู ตอ่ ไปนแี้ สดงนา้ หนกั ในหนว่ ยกิโลกรมั ของนกั เรยี นกลมุ่ หนง่ึ

41 , 88 , 46 , 42 , 43 , 49 , 44 , 45 , 43 , 95 , 47 , 48

คา่ กลางในขอ้ ใดเป็นคา่ ที่เหมาะสมท่จี ะเป็นตวั แทนของขอ้ มลู ชดุ นี้ [O-NET 53/31]

1. มธั ยฐาน 2. ฐานนิยม

3. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต 4. คา่ เฉลย่ี ของคา่ สงู สดุ และคา่ ตา่ สดุ

6. ยอดขายตอ่ เดอื น (หนว่ ย : หมนื่ บาท) ของบรษิ ัทแหง่ หนงึ่ ในระยะเวลา 10 เดอื น เป็นดงั นี้

154 151 148 405 158 157 158 148 148 153

ขอ้ ใดถกู [O-NET 59/29]
1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ( ̅) เป็นคา่ กลางท่เี หมาะสมทีส่ ดุ สาหรบั เป็นตวั แทนของขอ้ มลู นี้ และ ̅ = 178
2. ฐานนิยม เป็นคา่ กลางท่เี หมาะสมท่ีสดุ สาหรบั เป็นตวั แทนของขอ้ มลู นี้ และ ฐานนยิ ม = 148
3. ฐานนิยม เป็นคา่ กลางท่ีเหมาะสมท่ีสดุ สาหรบั เป็นตวั แทนของขอ้ มลู นี้ และ ฐานนิยม = 158
4. มธั ยฐาน เป็นคา่ กลางท่เี หมาะสมทีส่ ดุ สาหรบั เป็นตวั แทนของขอ้ มลู นี้ และ มธั ยฐาน = 157.5
5. มธั ยฐาน เป็นคา่ กลางท่เี หมาะสมทสี่ ดุ สาหรบั เป็นตวั แทนของขอ้ มลู นี้ และ มธั ยฐาน = 153.5