Statistic by rathmath

สถิติ 49

คา่ เฉลย่ี - มธั ยฐาน - ฐานนยิ ม

หวั ขอ้ นี้ จะพดู ถงึ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งคา่ กลางทงั้ 3 ตวั

จากการสงั เกตจากขอ้ มลู ทีม่ ีอยจู่ รงิ ๆ เราพบวา่ คา่ เฉลยี่ มธั ยฐาน และ ฐานนยิ ม จะมคี วามสมั พนั ธก์ นั อยนู่ ิดๆ

ความสมั พนั ธด์ งั กลา่ ว คอื

̅ − Mode = 3( ̅ − Med)

ก่อนอื่น ตอ้ งเขา้ ใจกอ่ นวา่ สตู รนี้ ไดจ้ ากการสงั เกตจากขอ้ มลู จรงิ
อาจจะไมไ่ ดผ้ ลถกู ตอ้ ง 100% แตก่ ็สามารถใชป้ ระมาณของคา่ กลาง เม่อื รูค้ า่ กลางอีก 2 ชนิดได้

ตวั อยา่ ง ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มี ̅ = 20 และ Med = 18 จงหาคา่ ประมาณของฐานนยิ ม
วิธีทา ̅ − Mode = 3( ̅ − Med)

20 − Mode = 3(20 − 18)

20 − Mode = 6

Mode = 14 #

นอกจากนี้ ลาดบั มากนอ้ ยของคา่ กลางทงั้ 3 ตวั ยงั สามารถบอก ลกั ษณะ “การเบ”้ ไดด้ ว้ ย
ตอนท่เี รยี นเรอ่ื งโคง้ ความถี่ เราแบง่ ประเภทโคง้ ความถ่ีได้ 3 แบบ ตามลกั ษณะการเบ้ ดงั นี้

เบซ้ า้ ย เบข้ วา สมมาตร

ซงึ่ ในการเบแ้ ตล่ ะแบบ คา่ กลางทงั้ 3 ตวั จะเรยี งลาดบั มากนอ้ ยไมเ่ หมือนกนั ดงั นี้

̅ Med Mode Mode Med ̅ ̅
Med
Mode

สงิ่ ที่ตอ้ งจา คือ ในโคง้ เบซ้ า้ ย ̅ < Med < Mode
ในโคง้ เบข้ วา Mode < Med < ̅
ในโคง้ สมมาตร ̅ = Med = Mode

หมายเหตุ : ขอ้ มลู ที่สารวจจากธรรมชาตจิ านวนมากๆ จะมีลกั ษณะการแจกแจงเฉพาะตวั ที่เรยี กวา่ “การแจกแจงปกติ”
ซง่ึ ขอ้ มลู จากธรรมชาตินี้ จะมีลกั ษณะเป็นโคง้ สมมาตรเสมอ

50 สถิติ

ตวั อยา่ ง ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มมี ธั ยฐานเทา่ กบั 24 และฐานนยิ มเทา่ กบั 18 จงหาคา่ ประมาณของ คา่ เฉลยี่ พรอ้ มทงั้ ระบวุ า่
ขอ้ มลู ชดุ นี้ มีลกั ษณะการเบแ้ บบใด

วิธีทา ̅ − Mode = 3( ̅ − Med)

̅ − 18 = 3( ̅ − 24)

̅ − 18 = 3 ̅ − 72

54 = 2 ̅

̅ = 27

เน่ืองจาก 18 < 24 < 27 ดงั นนั้ Mode < Med < ̅ #
ดงั นนั้ ขอ้ มลู ชดุ นมี้ ลี กั ษณะการกระจายแบบเบข้ วา

แบบฝึกหดั 2. 0 2 4
1. จงหาลกั ษณะการเบข้ องขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้
13345
1. 2 , 3 , 4 , 6 , 10 , 10 , 10 , 11
212

31

2. จงหาคา่ ประมาณของคา่ กลางที่เหลอื พรอ้ มทงั้ ระบลุ กั ษณะการเบ้

1. ̅ = 5 , Mode = 11 2. ̅ = 11, Med = 9

3. Mode = 12 , Med = 14

3 คะแนนสอบของนกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ มีการแจกแจงแบบปกติ ถา้ หอ้ งนมี้ นี กั เรยี น 40 คน และฐานนิยมเทา่ กบั 60
คะแนน แลว้ จงหาผลรวมคะแนนของนกั เรยี นทงั้ หอ้ ง

สถิติ 51

4. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มีคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กบั 20 มธั ยฐานเทา่ กบั 25 และฐานนิยมเทา่ กบั 30
ขอ้ สรุปใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง [O-NET 52/30]
1. ลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู เป็นการกระจายทเี่ บท้ างซา้ ย
2. ลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู เป็นการกระจายทเ่ี บท้ างขวา
3. ลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู เป็นการกระจายแบบสมมาตร
4. ไมส่ ามารถสรุปลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู ได้

52 สถิติ

การวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู

ในหวั ขอ้ กอ่ นหนา้ เราไดเ้ รยี นเก่ียวกบั มธั ยฐาน ซง่ึ เป็นวิธีวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู อยา่ งหนงึ่
มธั ยฐาน จะหมายถึง ขอ้ มลู ทม่ี ี “ตาแหนง่ ตรงกลาง” น่นั เอง

Med
10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

ในเรอื่ งนี้ เราจะไดเ้ รยี นขอ้ มลู ในตาแหนง่ อืน่ ๆ ซง่ึ เราวดั ไดโ้ ดยใช้ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอรเ์ ซ็นไทล์

ควอไทล์ Q3
ถา้ เราแบง่ ขอ้ มลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมีจดุ แบง่ อยู่ 3 จดุ
เราจะเรยี กขอ้ มลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 3 จดุ วา่ Q1 Q2 และ Q3 ตามลาดบั ดงั นี้

Q1 Q2

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

หมายเหตุ : จะเหน็ วา่ Q2 = Med เสมอ

ตาแหนง่ ของ Q จะหาไดจ้ ากสตู ร ∙ ( + 1)
4
เชน่ จากตวั อยา่ งดา้ นบน มีขอ้ มลู 19 ตวั ( = 19)

จะได้ Q1 อยตู่ วั ที่ 1 ∙ (19 + 1) = 5 Q2 อยตู่ วั ที่ 2 ∙ (19 + 1) = 10
4 4

Q3 อยตู่ วั ท่ี 3 ∙ (19 + 1) = 15

4

เดไซล์
ถา้ เราแบง่ ขอ้ มลู ออกเป็น 10 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมีจดุ แบง่ อยู่ 9 จดุ
เราจะเรยี กขอ้ มลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 9 จดุ วา่ D1 D2 D3 … D9 ตามลาดบั ดงั นี้

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

หมายเหตุ : จะเห็นวา่ D5 = Q2 = Med เสมอ

ตาแหนง่ ของ D จะหาไดจ้ ากสตู ร ∙ ( + 1)

10
เช่น จากตวั อยา่ งดา้ นบน มขี อ้ มลู 19 ตวั ( = 19)

จะได้ D1 อยตู่ วั ที่ 1 ∙ (19 + 1) = 2 D2 อยตู่ วั ท่ี 2 ∙ (19 + 1) = 4

10 10

D5 อยตู่ วั ที่ 5 ∙ (19 + 1) = 10 D9 อยตู่ วั ท่ี 9 ∙ (19 + 1) = 18 เป็นตน้

10 10

สถิติ 53

เปอรเ์ ซ็นไทล์
ถา้ เราแบง่ ขอ้ มลู ออกเป็น 100 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมจี ดุ แบง่ อยู่ 99 จดุ
เราจะเรยี กขอ้ มลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 99 จดุ วา่ P1 P2 P3 … P99 ตามลาดบั

P10 P18 P62 P87.5
... ... ...
...

10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51

หมายเหตุ : จะเห็นวา่ P10 = D1 P20 = D2 P30 = D3 P40 = D4 P50 = D5
P60 = D6 P70 = D7 P80 = D8 P90 = D9
และ P25 = Q1 P50 = Q2 P75 = Q3
และ P50 = Med

ตาแหนง่ ของ P จะหาไดจ้ ากสตู ร ∙ ( + 1)
100
เช่น จากตวั อยา่ งดา้ นบน มขี อ้ มลู 19 ตวั ( = 19)

จะได้ P10 อยตู่ วั ที่ 10 ∙ (19 + 1) = 2 P18 อยตู่ วั ที่ 18 ∙ (19 + 1) = 3.6
100 100

P62 อยตู่ วั ที่ 62 ∙ (19 + 1) = 12.4 P87.5 อยตู่ วั ท่ี 87.5 ∙ (19 + 1) = 17.5 เป็นตน้

100 100

ในการหาคา่ ของ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ จะมีขนั้ ตอน คลา้ ยๆตอนทเี่ ราหา Med ดงั นี้
1. หา “ตาแหนง่ ”

Q → ∙ ( + 1) D → ∙ ( + 1) P → ∙ ( + 1)
4 10 100

2. เอาตาแหนง่ ทไ่ี ด้ ไปหา “คา่ ”
โดยตอ้ งเรยี งขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก นบั จนถงึ ตาแหนง่ ทตี่ อ้ งการ แลว้ ตอบคา่ ขอ้ มลู ณ ตาแหนง่ นนั้
ถา้ ตาแหนง่ ไมเ่ ป็นจานวนเตม็ ใหป้ ระมาณเอาจากสองตวั ทค่ี รอ่ มตาแหนง่ นนั้ อยู่
เชน่ ถา้ ตอ้ งการหาคา่ ขอ้ มลู ตวั ที่ 5.62 จะหาไดด้ งั นี้

ขอ้ มลู ตวั ที่ 5.62 = ตวั ที่ 5 + 0.62 × (ตวั ท่ี 6 − ตวั ที่ 5)

เราตอ้ งหดั ใชส้ ตู รนใี้ หค้ ลอ่ ง เชน่ ตวั ที่ 10.3 = ตวั ที่ 10 + 0.3 × (ตวั ที่ 11 − ตวั ท่ี 10)
ตวั ท่ี 8.03 = ตวั ท่ี 8 + 0.03 × (ตวั ที่ 9 − ตวั ท่ี 8)
ตวั ที่ 3.45 = ตวั ท่ี 3 + 0.45 × (ตวั ท่ี 4 − ตวั ท่ี 3) เป็นตน้

54 สถิติ

ตวั อยา่ ง จงหา Q3 , D2 และ P83 ของขอ้ มลู 15 , 18 , 18 , 19 , 20 , 24 , 24

วิธีทา มีขอ้ มลู 7 ตวั → Q3 จะอยตู่ วั ท่ี 3 ∙ (7 + 1) = 6

4
นบั ดู จะไดต้ วั ท่ี 6 มคี า่ 24 ดงั นนั้ Q3 = 24

→ D2 อยตู่ วั ท่ี 2 ∙ (7 + 1) = 1.6

10
ตวั ที่ 1.6 = ตวั ท่ี 1 + 0.6 × (ตวั ท่ี 2 − ตวั ที่ 1)

= 15 + 0.6 × ( 18 − 15 ) = 16.8

ดงั นนั้ D2 = 16.8

→ P83 อยตู่ วั ที่ 83 ∙ (7 + 1) = 6.64

100
ตวั ที่ 6.64 จะอยรู่ ะหวา่ งตวั ที่ 6 กบั ตวั ท่ี 7 แตบ่ งั เอญิ ตวั ที่ 6 กบั ตวั ที่ 7 เทา่ กนั = 24

ดงั นนั้ ไมต่ อ้ งคดิ เลข ตอบไดเ้ ลยวา่ P83 = 24 #

สดุ ทา้ ย ถา้ เราเจอประโยคพวกนี้ ตอ้ งรูว้ า่ เป็นเรอ่ื ง ควอไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซ็นไทล์

“มขี อ้ มลู ประมาณ 3 ใน 4 ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ สมชาย” → สมชาย = Q3
“มีขอ้ มลู ประมาณครงึ่ หนงึ่ ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ สมหญิง” → สมหญิง = Med

“มีขอ้ มลู ประมาณ 7 ใน 10 ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ สมหวงั ” → สมหวงั = D7
“มขี อ้ มลู ประมาณ 60% ไดค้ ะแนนมากกวา่ สมปอง” → สมปอง = P40
“สมศรี ไดค้ ะแนนสงู ทส่ี ดุ ในกลมุ่ 20% ทไ่ี ดค้ ะแนนต่าสดุ ” → สมศรี = P20
“สมหมาย ไดค้ ะแนนต่าทสี่ ดุ ในกลมุ่ 30% ท่ีไดค้ ะแนนสงู สดุ ” → สมหมาย = P70
“โอกาสทจี่ ะสมุ่ ไดค้ นทคี่ ะแนนนอ้ ยกวา่ สมบตั ิ เทา่ กบั 3 ใน 10” → สมบตั ิ = D3

สง่ิ ที่ตอ้ งรู้ เวลาใชค้ าศพั ทพ์ วกนี้ คือ เราจะไมจ่ กุ จิกเรอ่ื ง “เทา่ กบั ”
น่นั คือ เราจะถือวา่ ประโยคตา่ งๆตอ่ ไปนี้ อนโุ ลมใหม้ คี วามหมายเหมอื นกนั ได้

“มีขอ้ มลู ประมาณ 3 ใน 4 ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ สมชาย”
“มีขอ้ มลู ประมาณ 3 ใน 4 ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั สมชาย”
“มีขอ้ มลู ประมาณ 1 ใน 4 ไดค้ ะแนนมากกวา่ สมชาย”
“มีขอ้ มลู ประมาณ 1 ใน 4 ไดค้ ะแนนมากกวา่ หรอื เทา่ กบั สมชาย”

อยา่ งไรก็ตาม การไมจ่ กุ จิกแบบนี้ สรา้ งปัญหาใหเ้ ราไดพ้ อสมควร
เพราะบางที เราตอ้ งเดาเอาเอง วา่ โจทยห์ มายถงึ แบบไหน วา่ โจทยจ์ ะนบั สมชายเป็นหนง่ึ ในขอ้ มลู หรอื ไม่
สว่ นใหญ่ มกั จะตอ้ งเลอื กแบบทคี่ ิดแลว้ มตี วั เลอื กใหก้ า และ / หรอื ไดค้ าตอบเป็นเลขลงตวั

สถิติ 55

ตวั อยา่ ง จากขอ้ มลู คะแนนสอบตอ่ ไปนี้

20 22 25 25 27 29 31 33 33 34
38 39 39 41 45 48 49 51 54 55
57 59 59

จงหาวา่ นกั เรยี นท่ีไดค้ ะแนนมากทส่ี ดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ นกั เรยี นทไี่ ดค้ ะแนนนอ้ ยทส่ี ดุ ใน

กลมุ่ 10% สงู สดุ อยกู่ ่ีคะแนน

วิธีทา คะแนนมากท่ีสดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ → P10 ขอ้ นี้ โจทยใ์ หห้ า P90 − P10 น่นั เอง
คะแนนนอ้ ยท่ีสดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ → P90

นบั ดู จะมีขอ้ มลู ทงั้ หมด 23 ตวั → P10 จะอยตู่ วั ท่ี 10 ∙ (23 + 1) = 2.4
100
ตวั ท่ี 2.4 = ตวั ท่ี 2 + 0.4 × (ตวั ท่ี 3 − ตวั ที่ 2)

= 22 + 0.4 × ( 25 − 22 ) = 23.2

→ P90 จะอยตู่ วั ท่ี 90 ∙ (23 + 1) = 21.6
100
ตวั ที่ 21.6 = ตวั ท่ี 21 + 0.6 × (ตวั ท่ี 22 − ตวั ท่ี 21)

= 57 + 0.6 × ( 59 − 57 ) = 58.2

ดงั นนั้ P10 นอ้ ยกวา่ P90 อยู่ 58.2 − 23.2 = 35 #

แบบฝึกหดั 26 28 29
1. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ เมื่อกาหนดขอ้ มลู ใหด้ งั นี้ 42 42

10 12 15 20 25 2. Q3
33 34 36 38 40

1. Med

3. D3 4. P15

2. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มี 10 จานวนประกอบดว้ ยจานวนตอ่ ไปนี้

4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25

ควอไทลท์ ่ีสามของขอ้ มลู ชดุ นมี้ ีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 49/2-5]

56 สถิติ

3. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ แสดงดว้ ยแผนภาพตน้ - ใบไดด้ งั นี้

3049
4077888
500122346677889
60233689
701

เปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทลท์ ่ี 50 ของคะแนนสอบนเี้ ทา่ กบั คะแนนเทา่ ใด [O-NET 54/40]

4. จากแผนภาพตน้ –ใบของขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ เป็นดงั นี้

202 55677899
313 33445889
400 01223347
501 1234567

เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี 86 ของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 58/40]

5. พิจารณาขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18

คา่ ของ P80 ใกลเ้ คยี งกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนีม้ ากท่ีสดุ [O-NET 52/31]

1. 15.1 2. 15.4 3. 15.7 4. 16.0

6. บรษิ ัทขนสง่ พสั ดแุ หง่ หนงึ่ ไดบ้ นั ทกึ ระยะทาง (หนว่ ย : กิโลเมตร) ในการสง่ ของในแตล่ ะวนั เป็นเวลา 30 วนั
เม่อื เรยี งลาดบั ขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก ดงั นี้

33 37 43 44 44 55 58 65 65 66
71 74 75 75 78 81 81 81 82 84
86 86 87 89 89 92 92 93 93 95

แลว้ เปอรเ์ ซนไทลท์ ี่ 33 ของขอ้ มลู ชดุ นี้ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 59/28]

สถิติ 57

7. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นหอ้ งหนงึ่ (เรยี งจากนอ้ ยไปมาก) เป็นดงั นี้

29, 35, 36, 40, 41, 43, 47, 50, 56, 59,
60, 61, 63, 65, 72, 72, 74, 75, 75, 78,
78, 78, 80, 80, 81, 82, 84, 87, 88, 89,
90, 90, 91, 91, 91, 92, 95, 95, 95, 97

เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 70 ของคะแนนสอบนเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 57/31]

8. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ เรยี งจากนอ้ ยไปมากดงั นี้ 5 10 12 20 26 30 42 47
ถา้ ขอ้ มลู ชดุ นมี้ พี ิสยั เทา่ กบั 45 และคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กบั 26.4 แลว้ ควอไทลท์ ่ีสองของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด

[O-NET 57/32]

9. คะแนนของผเู้ ขา้ สอบ 15 คน เป็นดงั นี้

45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81

ถา้ เกณฑใ์ นการสอบผา่ น คอื ตอ้ งไดค้ ะแนนไมต่ า่ กวา่ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 60 แลว้

ขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นคะแนนต่าสดุ ของผทู้ ่สี อบผา่ น [O-NET 51/18]

1. 68 คะแนน 2. 70 คะแนน 3. 72 คะแนน 4. 73 คะแนน

10. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ ประกอบดว้ ย 19 จานวน ตอ่ ไปนี้ 19

6 8 9 12 12 15 15 16 18
20 20 21 22 23 24 25 30 30

ควอไทลท์ ี่ 3 มีคา่ ตา่ งจากเปอรเ์ ซ็นตไ์ ทลท์ ี่ 45 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/15]

58 สถิติ

11. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มี 5 จานวน ถา้ ควอไทลท์ หี่ นงึ่ ควอไทลท์ ่สี อง และควอไทลท์ ่ีสามเทา่ กบั 18, 25, และ 28 ตามลาดบั
แลว้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/38]

12. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ ถา้ เรยี งจากนอ้ ยไปมากแลว้ ไดเ้ ป็นลาดบั เลขคณิตตอ่ ไปนี้

2, 5, 8, …, 92

ควอไทลท์ ี่ 3 ของขอ้ มลู ชดุ นมี้ คี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 51/34]

13. คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตรข์ องนกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ จานวน 119 คน เป็นดงั นี้

คะแนนท่ีได้ จานวนนกั เรยี น (คน)

52 13
55 12
57 17
60 9
62 10
65 6
70 14
75 14
78 7
80 10
82 7

คะแนนท่ีเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 56 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/39]

สถิติ 59

14. นกั เรยี นกลมุ่ หนง่ึ จานวน 80 คน ซง่ึ มี ลาเจียก ลาดวน และลาพู รวมอยดู่ ว้ ย ปรากฏผลการสอบดงั นี้

ลาดวนไดค้ ะแนนตรงกบั ควอไทลท์ ี่สาม

ลาพไู ดค้ ะแนนตรงกบั เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 50

ลาเจียกไดค้ ะแนนเป็นลาดบั ท่ี 30 เม่ือเรยี งคะแนนจากมากไปหานอ้ ย

ขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นการเรยี งรายชื่อของผทู้ ไ่ี ดค้ ะแนนนอ้ ยไปหาผทู้ ี่ไดค้ ะแนนมาก [O-NET 51/19]

1. ลาพู ลาเจียก ลาดวน

2. ลาพู ลาดวน ลาเจียก

3. ลาเจียก ลาพู ลาดวน

4. ลาเจียก ลาดวน ลาพู

15. จากการตรวจสอบลาดบั ท่ีของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ใน วชิ าคณิตศาสตรท์ มี่ ผี เู้ ขา้ สอบ 400 คน ปรากฏ
วา่ นาย ก สอบไดค้ ะแนนอยใู่ นตาแหนง่ ควอไทลท์ ่ี 3 และนาย ข สอบไดค้ ะแนนอยใู่ นตาแหนง่ เปอรเ์ ซ็นไทลท์ ี่ 60
จานวนนกั เรยี นทส่ี อบไดค้ ะแนนระหวา่ งคะแนนของนาย ก และนาย ข มีประมาณกี่คน [O-NET 53/33]

16. เม่ือพจิ ารณาผลการสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี น 39 คน พบวา่ เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 25 ของคะแนนสอบเทา่ กบั 35
คะแนน และมนี กั เรยี น 30 คน ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั 80 คะแนน ถา้ มีนกั เรยี นท่ีสอบได้ 35 คะแนนเพยี งคน
เดยี ว แลว้ จานวนนกั เรยี นทีส่ อบไดค้ ะแนนในชว่ ง 35 - 80 คะแนน เทา่ กบั ก่ีคน [O-NET 49/1-15]

60 สถิติ

การวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)

ในกรณีทีข่ อ้ มลู มาในรูปตารางทมี่ อี นั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง เราจะคานวณ ควอไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ ยากขนึ้ เยอะเลย

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( )

1 - 10 8
11 - 20 10
21 - 30 20
31 - 40 12

ในกรณีนี้ ถา้ จะหา ควอไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซ็นไทล์ จะมีขนั้ ตอนคลา้ ยๆตอนหา Med ดงั นี้
1. สรา้ งชอ่ ง “ความถี่สะสม” เพื่อความสะดวกในการหาคา่ ขอ้ มลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆ
2. หา “ตาแหนง่ ” ดว้ ยสตู รใหม่

Q → ∙ ( ) D → ∙ ( ) P → ∙ ( )
4 10 100

สตู รนี้ ใชก้ บั กรณี อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ งเทา่ นนั้
ถา้ มาเป็นตวั ๆ ใหใ้ ช้ + 1 เหมือนเกา่

3. ใชช้ ่องความถี่สะสม หาวา่ ตาแหนง่ ทีต่ อ้ งการ อยชู่ นั้ ไหน แลว้ ใชส้ ตู รไหนก็ได้ จาก 2 สตู รตอ่ ไปนี้

ความถ่ีสะสมชนั้ ก่อนหนา้ สตู รนี้ จะเรมิ่ จากขอบลา่ ง

คา่ ขอ้ มลู = + (ตาแหนง่ − ) ความกวา้ งชนั้ แลว้ หาวา่ ตอ้ งเดินหนา้ ตอ่ ไปอีกเป็นสดั สว่ นเทา่ ไหรข่ องชนั้

สดั สว่ นที่ลา้ = ขอ้ มลู ลา้ ไปในชนั้ ก่ีตวั
จานวนตวั ในชน้ั
ขอบลา่ ง ความถี่ในชนั้ นนั้

ความถี่สะสมในชนั้ นนั้ ความกวา้ งชนั้ สตู รนี้ จะเรมิ่ จากขอบบน

คา่ ขอ้ มลู = − ( − ตาแหนง่ ) แลว้ หาวา่ ตอ้ งถอยกลบั มาเป็นสดั สว่ นเทา่ ไหรข่ องชนั้

สดั สว่ นทถี่ อย = อีกกี่ตวั ขอ้ มลู ถงึ จะเลอ่ื นไปเต็มชน้ั
ขอบบน จานวนตวั ในชน้ั
ความถี่ในชนั้ นนั้

สถิติ 61

ตวั อยา่ ง จงหา Q2 D9 และ P6.5 ของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ความถี่สะสม ( )

1 - 10 8 8
11 - 20 10 18
21 - 30 20 38
31 - 40 12 50

วิธีทา จากช่องความถ่ีสะสมแถวสดุ ทา้ ย จะได้ = 50

Q2 อยตู่ วั ที่ 2 × 50 = 25 → ชนั้ ที่ 3

4

Q2 = 20.5 + (25−18) (10) หรอื ถา้ ใชอ้ กี สตู ร Q2 = 30.5 − (38−25) (10)

20 20

= 20.5 + 3.5 = 30.5 − 6.5

= 24 = 24 เทา่ กนั

D9 อยตู่ วั ท่ี 9 × 50 = 45 → ชนั้ สดุ ทา้ ย
10

D9 = 30.5 + (45−38) (10) หรอื ถา้ ใชอ้ ีกสตู ร D9 = 40.5 − (50−45) (10)

12 12

= 30.5 + 5.83 = 40.5 − 4.17

= 36.33 = 36.33 เทา่ กนั

P6.5 อยตู่ วั ที่ 6.5 × 50 = 3.25 → ชนั้ แรก

100

P6.5 = 0.5 + (3.285−0) (10) หรอื ถา้ ใชอ้ กี สตู ร P6.5 = 10.5 − (8−83.25) (10)
= 0.5 + 4.06
= 10.5 − 5.94

= 4.56 = 4.56 เทา่ กนั #

ตวั อยา่ ง จากขอ้ มลู คะแนนสอบตอ่ ไปนี้ จงหาวา่ นกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนมากท่ีสดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่
นกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนนอ้ ยที่สดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ อยกู่ ี่คะแนน

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( ) ความถี่สะสม ( )

51 - 59 6 6
60 - 68 10 16
69 - 77 17 33
78 - 86 15 48
87 - 95 12 60

วิธีทา คะแนนมากทีส่ ดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ → P10
คะแนนนอ้ ยที่สดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ → P90
และตอ้ งใชค้ วามกวา้ งชนั้ = 60 − 51 = 9

P10 อยตู่ วั ที่ 10 × 60 = 6 → ชนั้ แรก ดงั นนั้ P10 = 50.5 + (6−0)(9) = 59.5

100 6

P90 อยตู่ วั ท่ี 90 × 60 = 54 → ชนั้ สดุ ทา้ ย ดงั นนั้ P90 = 86.5 + (54−48)(9) = 91

100 12

ดงั นนั้ P10 นอ้ ยกวา่ P90 อยู่ = 91 − 59.5 = 31.5 #

62 สถิติ

แบบฝึกหดั
1. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ เมื่อกาหนดขอ้ มลู ใหด้ งั นี้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( )

1 - 10 8
11 - 20 10
21 - 30 20
31 - 40 12

1. Med 2. Q3

3. D6 4. P85

2. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ เมื่อกาหนดขอ้ มลู ใหด้ งั นี้

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( )

1- 5 8
6 - 10 12
11 - 15 15
16 - 20 5

1. Med 2. Q3

3. D1 4. P90.5

สถิติ 63

3. กาหนดขอ้ มลู ใหด้ งั ตาราง จงหาวา่ คา่ ขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้ เป็นเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่เี ทา่ ไร

คะแนนสอบ จานวนนกั เรยี น ( )

1 - 10 5
11 - 20 12
21 - 30 20
31 - 40 3

1. 29 2. 10.1

3. 20.5 4. 26.5

64 สถิติ

การวดั การกระจายสมั บรู ณ์

อกี หลายๆหวั ขอ้ ตอ่ จากนี้ จะสนใจวา่ ขอ้ มลู ในกลมุ่ มีความแตกตา่ งกนั มากนอ้ ยขนาดไหน
 ถา้ ขอ้ มลู ในกลมุ่ มีความแตกตา่ งกนั มาก → ขอ้ มลู กระจายมาก
 ถา้ ขอ้ มลู ในกลมุ่ มคี วามแตกตา่ งกนั นอ้ ย → ขอ้ มลู กระจายนอ้ ย

คะแนนสอบหอ้ ง 5/1 (ขอ้ มลู กระจายมาก) คะแนนสอบหอ้ ง 5/2 (ขอ้ มลู กระจายนอ้ ย)

30 95 21 80 5 72 81 80 76 75
20 85 15 75 12 80 75 75 72 71
51 84 62 7 11 81 74 82 77 81

วธิ ีวดั การกระจายของขอ้ มลู จะมีหลายวธิ ี ไดแ้ ก่

1. พสิ ยั (Range)

2. สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ (Quatile Deviation: Q.D.)

3. สว่ นเบ่ียงเบนเฉลยี่ (Mean Deviation: M.D.)

4. สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.)

ในคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐานนี้ จะพดู ถงึ เฉพาะ พสิ ยั และ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเทา่ นนั้

สถิติ 65

พิสยั #

พสิ ยั (Range) เป็นวธิ ีที่วดั การกระจายทงี่ ่ายท่ีสดุ

ซงึ่ หาไดจ้ ากสตู ร พิสยั = ขอ้ มลู มากสดุ − ขอ้ มลู นอ้ ยสดุ

ตวั อยา่ ง จงหาพสิ ยั ของคะแนนสอบหอ้ ง 5/1 และ หอ้ ง 5/2 ตอ่ ไปนี้

คะแนนสอบหอ้ ง 5/1 คะแนนสอบหอ้ ง 5/2

30 95 21 80 5 72 81 80 76 75
20 85 15 75 12 80 75 75 72 71
51 84 62 7 11 81 74 82 77 81

วิธีทา หอ้ ง 5/1: คะแนนมากสดุ = 95 คะแนนสอบนอ้ ยสดุ = 5
ดงั นนั้ พิสยั = 95 − 5 = 90

หอ้ ง 5/2: คะแนนมากสดุ = 82 คะแนนสอบนอ้ ยสดุ = 71
ดงั นนั้ พิสยั = 82 − 71 = 11

พิสยั จะเป็นวธิ ีวดั การกระจายแบบหยาบๆ คดิ งา่ ย แตไ่ มค่ อ่ ยแมน่
เพราะ พิสยั หาจากขอ้ มลู แค่ 2 ตวั (คือขอ้ มลู มากสดุ กบั ขอ้ มลู นอ้ ยสดุ ) ขอ้ มลู ตวั อ่ืนจะไมม่ ผี ลกบั พิสยั
เชน่ 2 7 7 8 8 9 → พสิ ยั = 9 − 2 = 7

2 3 4 5 7 9 → นา่ จะกระจายมากกวา่ แต่ พสิ ยั = 9 − 2 = 7 เทา่ กนั
ดงั นนั้ เราจงึ ไมค่ อ่ ยนิยมใชพ้ ิสยั ในการวดั การกระจาย

แบบฝึกหดั

1. จงหาพสิ ยั ของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

1. 5 12 10 22 2. 8 6 2 0 3
20 16 8
11 29 20 6 98 3 1 2 7
12 9 18 10 4 9 3
14 15 34 34
11 2 3
16

18

2. คะแนนสอบของนกั เรยี น 3 คน มีพิสยั เทา่ กบั 8 คะแนน ถา้ มธั ยฐานคอื 12 คะแนน และ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตคอื 14
คะแนน แลว้ จงหาคะแนนของนกั เรยี นทงั้ 3 คนนี้

66 สถิติ

3. ขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ เรยี งจากนอ้ ยไปมากดงั นี้ 11 15 18 25 36 41 47 53
ถา้ ขอ้ มลู ชดุ นมี้ มี ธั ยฐานเทา่ กบั 28 และคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กบั 28.5 แลว้ พิสยั ของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด

[O-NET 58/39]

4. ขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ มี 8 คา่ เรยี งจากนอ้ ยไปมาก ดงั นี้ 74 78 80 80 90 90
ถา้ ขอ้ มลู ชดุ นมี้ พี สิ ยั เทา่ กบั 18 และมธั ยฐานเทา่ กบั 85 แลว้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิต เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 59/38]

5. ความสงู ในหนว่ ยเซนตเิ มตรของนกั เรยี นกลมุ่ หนงึ่ ซงึ่ มี 10 คน เป็นดงั นี้

155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166

ถา้ มนี กั เรยี นเพม่ิ ขนึ้ อีกหนง่ึ คน ซง่ึ มีความสงู 158 เซนตเิ มตร แลว้ คา่ สถติ ใิ ดตอ่ ไปนีไ้ มเ่ ปลย่ี นแปลง

[O-NET 52/28] 2. มธั ยฐาน
4. พิสยั
1. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต
3. ฐานนิยม

6. สว่ นสงู ของพน่ี อ้ ง 2 คน มพี สิ ยั เทา่ กบั 12 เซนตเิ มตร มีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กบั 171 เซนตเิ มตร ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
เป็นสว่ นสงู ของพ่ีหรอื นอ้ งคนใดคนหนง่ึ [O-NET 52/26]
1. 167 เซนตเิ มตร 2. 172 เซนตเิ มตร 3. 175 เซนตเิ มตร 4. 177 เซนติเมตร

สถิติ 67

7. ครอบครวั หนง่ึ มีบตุ ร 4 คน บตุ ร 2 คนมนี า้ หนกั เทา่ กนั และมนี า้ หนกั นอ้ ยกวา่ บตุ รอกี 2 คน
ถา้ นา้ หนกั ของบตุ รทงั้ 4 คนมคี า่ ฐานนิยม มธั ยฐาน และพสิ ยั เทา่ กบั 45, 47.5 และ 7 กิโลกรมั ตามลาดบั แลว้
คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของนา้ หนกั ของบตุ รทงั้ 4 คน มคี า่ เทา่ กบั กี่กิโลกรมั [O-NET 49/1-28]

8. สาหรบั ขอ้ มลู เชิงปรมิ าณใดๆ ทมี่ คี า่ สถิตติ อ่ ไปนี้ คา่ สถิตใิ ดจะตรงกบั คา่ ของขอ้ มลู คา่ หนง่ึ เสมอ [O-NET 53/30]

1. พิสยั 2. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต

3. มธั ยฐาน 4. ฐานนิยม

68 สถิติ

สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน

สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.) หรอื เรยี กสนั้ ๆวา่
สตู รสาหรบั หา จะมี 2 สตู ร คือ

= √∑( − ̅)2 = √∑ 2 − ̅ 2 ใชส้ ตู รไหนก็ได้
ไดผ้ ลลพั ธเ์ ทา่ กนั


สตู รนี้ อา่ นสตู รเขา้ ใจยากนดิ หนอ่ ย ดจู ากตวั อยา่ งจะเขา้ ใจกวา่
เชน่ ถา้ ตอ้ งการหาสว่ นเบ่ยี งเบนสามาตรฐานของขอ้ มลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9

ถา้ หาดว้ ยสตู ร √∑( − ̅)2 จะมีขนั้ ตอนดงั นี้

1. หา ̅ จะได้ ̅ = 2+3+4+5+7+9 = 5
6
2. หาผลตา่ งของขอ้ มลู แตล่ ะตวั กบั ̅ แลว้ ยกกาลงั สอง ไดเ้ ป็น ( − ̅)2

23457 9

−3 −2 −1 0 2 4
̅ = 5

(ผลตา่ งของขอ้ มลู แตล่ ะตวั กบั ̅)2 คือ 9 , 4 , 1 , 0 , 4 , 16

3. เอาผลในขอ้ 2 มาหาคา่ เฉลย่ี แลว้ ถอดรูท ตอบ

→ 9+4+1+0+4+16 = 34 = 17

6 63

ดงั นนั้ = √17 = √17 × √3 = √51
3 √3 √3 3

หรอื ถา้ จะหาดว้ ยสตู ร √∑ 2 − ̅2 จะมขี นั้ ตอนดงั นี้


1. หา ̅ จะได้ ̅ = 2+3+4+5+7+9 = 5
6

2. หา 2 โดยเอาขอ้ มลู แตล่ ะตวั มายกกาลงั สอง แลว้ หาคา่ เฉลย่ี ของผลยกกาลงั สอง ไดเ้ ป็น ∑ 2


234579

4 9 16 25 49 81

∑ 2 = 4+9+16+25+49+81 = 184 = 92

6 6 3

3. เอาผลจากขอ้ 2 มาลบ ̅2 แลว้ ถอดรูท ตอบ

→ 92 − 52 = 92 − 25 = 92−75 = 17
33 33

ดงั นนั้ = √17 = √17 × √3 = √51
√3 √3 3
3

สถิติ 69

จะเหน็ วา่ คา่ มกั ติด √ ทาใหไ้ ดต้ วั เลขไมล่ งตวั อา้ งองิ ลาบาก
เราจะใชค้ าวา่ “ความแปรปรวน” (Variance) หรอื ในการเรยี ก แบบที่ไมต่ อ้ งถอด √
ดงั นนั้ ขอ้ มลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 จะมี ความแปรปรวน ( ) = 17

3

อีกอยา่ งทค่ี วรทราบคอื ในกรณีทต่ี อ้ งการหา จากกลมุ่ ตวั อยา่ ง เราจะใชส้ ตู ร = √∑( − ̅)2

−1

= √∑ 2 − ̅2

−1

สตู รอีกชดุ ท่ีไมจ่ าเป็นตอ้ งรู้ แตถ่ า้ รูจ้ ะทาใหช้ ว่ ยทาขอ้ สอบบางขอ้ ไดเ้ รว็ ขนึ้ คือ สตู ร “ความแปรปรวนรวม”

ถา้ มขี อ้ มลู 2 ชดุ ชดุ แรก มีขอ้ มลู 1 ตวั มคี า่ เฉลยี่ = ̅1 และมีความแปรปรวน = 12

ชดุ ทส่ี อง มขี อ้ มลู 2 ตวั มคี า่ เฉลยี่ = ̅2 และมคี วามแปรปรวน = 22

ถา้ รวมขอ้ มลู ทงั้ 2 ชดุ เป็นขอ้ มลู ชดุ ใหญ่ชดุ เดียว จะไดจ้ านวนขอ้ มลู ทงั้ หมด 1 + 2 ตวั

ถา้ ̅1 = ̅2 แลว้ จะได้ คา่ เฉลย่ี รวม ̅รวม = 1̅ = ̅2

ความแปรปรวนรวม ร2วม = 1 12+ 2 22
1+ 2

แตถ่ า้ ̅1 ≠ ̅2 แลว้ จะได้ คา่ เฉลย่ี รวม ̅รวม = 1 ̅1+ 2 ̅2
1+ 2
1( 12+( ̅1− ̅รวม)2)+ 2( 22+( ̅2− ̅รวม)2)
ความแปรปรวนรวม ร2วม = 1+ 2

ตวั อยา่ ง นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถา้ กลมุ่ นกั เรยี นชายมคี ะแนนเฉลยี่ 22 คะแนน มสี ว่ น

เบ่ยี งเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมุ่ นกั เรยี นหญิงมคี ะแนนเฉลย่ี 22 คะแนน มสี ว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 3

คะแนน จงหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของนกั เรยี นหอ้ งนี้

วธิ ีทา เน่อื งจากกลมุ่ นกั เรยี นชายและหญิง มคี า่ เฉลยี่ เทา่ กนั (= 22 คะแนน)

ดงั นนั้ จะใชส้ ตู รความแปรปรวนรวม ร2วม = 1 12+ 2 22 ได้
1+ 2

จะได้ ร2วม = ช ช2+ ญ ญ2 = (16)(22) + (20)(32) = 64 + 180 = 244 = 61
ช+ ญ 16+20 36 36 9

ถอดรูท จะได้ รวม = √61 = √61 #
3
9

ตวั อยา่ ง นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถา้ กลมุ่ นกั เรยี นชายมคี ะแนนเฉลย่ี 15 คะแนน มสี ว่ น

เบย่ี งเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมุ่ นกั เรยี นหญิงมีคะแนนเฉลยี่ 24 คะแนน มีสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 3

คะแนน จงหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของนกั เรยี นหอ้ งนี้

วธิ ีทา เนื่องจากกลมุ่ นกั เรยี นชายและหญิง มีคา่ เฉลยี่ ไมเ่ ทา่ กนั (15 และ 24 คะแนน)

ดงั นนั้ ตอ้ งหา ̅รวม และใชส้ ตู รความแปรปรวนรวม ร2วม = 1( 12+( ̅1− ̅รวม)2)+ 2( 22+( ̅2− ̅รวม)2)

1+ 2

จะได้ ̅รวม = 1 ̅1+ 2 ̅2 = 16(15)+20(24) = 240+480 = 720 = 20
1+ 2 16+20 36 36

จะได้ ร2วม = 1( 12+( ̅1− ̅รวม)2)+ 2( 22+( ̅2− ̅รวม)2)
1+ 2
= (16)(22+(15−20)2) + (20)(32+(24−20)2) = (16)(29)+ (20)(25) = 964 = 241
16+20 36 36 9

ถอดรูท จะได้ รวม = √241 = √241 #
3
9

70 สถิติ

แบบฝึกหดั

1. จงหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน ของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

1. 2 , 3 , 4 , 5 , 6 2. 3 , 6 , 9 , 10

2. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มีจานวน 12 ตวั ถา้ 12 ( − ̅)2 = 192 แลว้ จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ นี้



i 1

3. ในการสมุ่ ตวั อยา่ งเพ่ือสารวจขอ้ มลู ราคามะนาว (ตอ่ ผล) จากตลาด 5 แหง่ ไดข้ อ้ มลู ดงั นี้
2 10 6 8 9 (หนว่ ย : บาท)

ถา้ ̅ คือ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มลู คอื สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู
แลว้ รอ้ ยละของจานวนขอ้ มลู ทอ่ี ยใู่ นชว่ ง ( ̅ − , ̅ + ) เทา่ กบั เทา่ ใด
(กาหนดให้ √2 = 1.41 , √2.5 = 1.58 , √10 = 3.16) [O-NET 59/39]

สถิติ 71

4. กลมุ่ ตวั อยา่ งของขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ มี 11 จานวนดงั นี้ 15 , 10 , 12 , 15 , 16 , , 16 , 19 , 13 , 17 , 15
ถา้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั 15
แลว้ กาลงั สองของสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/31*]

5. กาหนดให้ เป็นรายไดต้ อ่ เดือนของพนกั งาน (หนว่ ย : หม่ืนบาท)

และ เป็นจานวนปีทพ่ี นกั งานใชใ้ นการศกึ ษาระดบั อดุ มศกึ ษา

โดย และ สมั พนั ธก์ นั ดงั นี้ = 2 + 1 = 1, 2, …

ถา้ พนกั งานสคี่ น ซงึ่ มีรายไดต้ อ่ เดือนเป็น 5 , 7 , 9 , (หม่ืนบาท)

และคา่ เฉลยี่ เลขคณิต ( ̅) ของจานวนปีที่พนกั งานใชใ้ นการศกึ ษาระดบั อดุ มศกึ ษาเทา่ กบั 4 แลว้ ความแปรปรวน

ของรายไดต้ อ่ เดือน เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 59/30]

6. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ เรยี งลาดบั จากนอ้ ยไปมากดงั นี้

2 3 3 4 7

ถา้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตและสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั 4 และ 4 ตามลาดบั
√7

แลว้ − มีคา่ เทา่ ใด [O-NET 54/37]

72 สถิติ

7. มขี อ้ มลู 5 จานวนซงึ่ เรยี งจากนอ้ ยไปหามาก คอื 1, 2, 3, 4, 5 โดยมี 1 = 7 คา่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กบั
และความแปรปรวนเทา่ กบั 16 ถา้ กาหนดตารางแสดงคา่ ของ − ดงั นี้

−
1 7 −
2 −3
3 −1
43
56

แลว้ คา่ ของ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 49/1-31]

8. โรงเรยี นแหง่ หนงึ่ มชี นั้ ม.6 อยสู่ องหอ้ งคือ 6/1 และ 6/2 ซงึ่ มีจานวนนกั เรยี น 52 และ 48 คน ตามลาดบั ถา้ คะแนน

สอบของนกั เรยี น ม.6 ทงั้ สองหอ้ งมีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กนั และมสี ว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 2 และ 1.5

ตามลาดบั แลว้ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของชนั้ ม.6 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 58/32]

1. √3.12 2. √3.14 3. √3.16 4. 1.75 5. 1.76

9. กาหนดใหข้ อ้ มลู ชดุ ท่หี นง่ึ ซง่ึ ประกอบดว้ ย 1, 2, … , 10 มคี า่ เฉลยี่ เลขคณติ เทา่ กบั และ ขอ้ มลู ชดุ ที่สองซงึ่

ประกอบดว้ ย 1, 2, … , 20 มคี า่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กบั โดยท่ี 10 ( − )2 = 160 ,



i 1

20 ( − )2 = 110 และ = ถา้ นาขอ้ มลู ทงั้ สองชดุ มารวมเป็นชดุ เดียวกนั แลว้ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน



i 1

ของขอ้ มลู ชดุ ใหมเ่ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 51/20]

สถิติ 73

สมบตั ขิ องสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน มสี มบตั ทิ นี่ า่ สนใจดงั นี้
 จะไมม่ ีทางตดิ ลบ ถงึ แมข้ อ้ มลู จะเป็นเลขตดิ ลบ ก็ไมม่ ีทางได้ ตดิ ลบ
เพราะการยกกาลงั สอง จะทาใหเ้ ลขลบกลายเป็นบวก

 ถา้ = 0 แปลวา่ ขอ้ มลู ชดุ นนั้ “ไมก่ ระจาย” เกิดขนึ้ ไดเ้ มอื่ ขอ้ มลู ทกุ ตวั เทา่ กนั หมด

 “กระจายแบบปกต”ิ ของขอ้ มลู สว่ นใหญ่ทม่ี อี ยตู่ ามธรรมชาติ มกั จะ “กองอยตู่ รงกลางแบบสมมาตร” เสมอ

จะมีขอ้ มลู ประมาณ 68% อยรู่ ะหวา่ ง ̅ − กบั ̅ + กฎ 68 - 95 - 99
จะมีขอ้ มลู ประมาณ 95% อยรู่ ะหวา่ ง ̅ − 2 กบั ̅ + 2
จะมขี อ้ มลู ประมาณ 99% อยรู่ ะหวา่ ง ̅ − 3 กบั ̅ + 3

เชน่ ถา้ มขี อ้ มลู 1000 ตวั กระจายแบบปกติ โดยที่ ̅ = 25 และ = 3

68% = 68 × 1000 680 340 340
22 28 160 160
100
22 25 28
= 680 คน
อยรู่ ะหวา่ ง 22 กบั 28

95% = 95 × 1000 950 475 475
19 31 25 25
100
19 25 31
= 950 คน
อยรู่ ะหวา่ ง 19 กบั 31

99% = 99 × 1000 990 495 495
55
100
16 25 34
= 990 คน
อยรู่ ะหวา่ ง 16 กบั 34

16 34

 จะมคี า่ ประมาณ พิสยั (สตู รนจี้ ะใชเ้ วลาตอ้ งการประมาณคา่ แบบเรว็ ๆ)
4

 การเพมิ่ หรอื ลดขอ้ มลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการบวกหรอื ลบดว้ ยคา่ คงท่ี จะไมท่ าใหค้ า่ การกระจายเปลยี่ น
เช่น ถา้ เอาขอ้ มลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาบวก 50 เพมิ่ ใหข้ อ้ มลู ทกุ ตวั
จะไดเ้ ป็น 52 , 53 , 54 , 55 , 57 , 59
ขอ้ มลู ชดุ ใหมห่ ลงั บวก จะมี เทา่ กบั ขอ้ มลู ชดุ เดมิ ทย่ี งั ไมไ่ ดบ้ วก

 การเปลย่ี นขอ้ มลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการคณู ดว้ ย จะทาใหก้ ารกระจายเปลย่ี นเป็น | | เทา่ ของของเดมิ

การเปลย่ี นขอ้ มลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการหารดว้ ย จะทาใหก้ ารกระจายเปลยี่ นเป็น 1 เทา่ ของของเดมิ
| |
เชน่ ถา้ เอา 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาคณู −10 ไดเ้ ป็น −20 , −30 , −40 , −50 , −70 , −90

ขอ้ มลู ชดุ ใหม่ จะมี เป็น |−10| = 10 เทา่ ของของเดมิ

74 สถิติ

ตวั อยา่ ง ขอ้ มลู อณุ หภมู ิประจาวนั ในหนว่ ย °C ชดุ หนงึ่ ประกอบดว้ ย 28 , 27 , 29 , 27 , 24 มสี ว่ นเบี่ยงเบน

มาตรฐาน 2.8 เมื่อแปลงขอ้ มลู นใี้ หอ้ ยใู่ นหนว่ ย °F ดว้ ยสตู ร (C × 59) + 32 จะกลายเป็น 82.4 , 80.6 ,
84.2 , 80.6 , 75.2 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ นี้ หลงั จากท่แี ปลงเป็นหนว่ ย °F แลว้

วิธีทา ขอ้ นี้ จะหา ตรงๆ จาก 82.4 , 80.6 , 84.2 , 80.6 , 75.2 ตรงๆ ก็ได้ แตจ่ ะใชแ้ รงเยอะ

จะเห็นวา่ ขอ้ มลู 28 , 27 , 29 , 27 , 24 จะถกู แปลงโดย คณู 9 แลว้ บวกดว้ ย 32
5
9 9
การคณู ดว้ ย 5 จะทาให้ เปลย่ี นไป 5 เทา่

แตก่ ารบวกดว้ ย 32 จะไมท่ าให้ เปลย่ี น

ดงั นนั้ ขอ้ มลู หลงั แปลง จะมี ใหม่ = เดิม × 9 = 2.8 × 9 = 5.04 #
5 5

แบบฝึกหดั
1. ชว่ งก่อนสอบ นา้ หนกั ของนกั เรยี น ม. 5/1 จานวน 40 คน มีสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 4 กก. เมือ่ สอบเสรจ็ พบวา่

นกั เรยี นทกุ คนนา้ หนกั เพ่มิ ขนึ้ คนละ 2 กก. จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของนา้ หนกั นกั เรยี น ม. 5/1 หลงั สอบเสรจ็

2. นกั เรยี นกลมุ่ หนง่ึ ประกอบดว้ ยผชู้ าย 3 คน และผหู้ ญิง 2 คน โดยกลมุ่ ผชู้ ายมคี วามแปรปรวนเทา่ กบั 0 และมีอายุ
เฉลยี่ 25 ปี ถา้ ผหู้ ญิงทงั้ สองคน มีอายุ 15 และ 20 ปี ตามลาดบั แลว้ ความแปรปรวนของอายนุ กั เรยี นกลมุ่ นี้
เทา่ กบั เทา่ ใด

3. พนกั งานบรษิ ัทจานวน 800 คน มเี งินเดอื นเฉลย่ี 10,000 บาท สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1,500 บาท ถา้ เงินเดือน
พนกั งานกลมุ่ นี้ มีการกระจายแบบปกติแลว้ มพี นกั งานประมาณกี่คน ทไี่ ดเ้ งินเดือนนอ้ ยกวา่ 7,000 บาท

สถิติ 75

4. ขอ้ มลู ชดุ ท่หี นง่ึ มี 10 จานวน คือ 1, 2, 3, … , 10 ซงึ่ ขอ้ มลู ชดุ นมี้ ีสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 2.3 ถา้ ขอ้ มลู
ชดุ ท่ีสองมี 10 จานวน คือ 3 1 + 174 , 3 2 + 174 , 3 3 + 174 , … , 3 10 + 174 แลว้ สว่ นเบ่ียงเบน
มาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ ทส่ี องนีจ้ ะเทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 57/39]

5. เม่อื สองปีกอ่ น นกั เรยี นหอ้ งหนงึ่ มี 30 คน แบง่ ออกไดเ้ ป็นสองกลมุ่ กลมุ่ ทหี่ นงึ่ มี 10 คน ทกุ คนมีอายุ 10 ปี และ
กลมุ่ ทส่ี องมี 20 คน มีอายเุ ฉลย่ี 8.5 ปี ถา้ ความแปรปรวนของอายนุ กั เรยี นกลมุ่ ที่สอง เทา่ กบั 0 แลว้ ในปัจจบุ นั
ความแปรปรวนของอายนุ กั เรยี นหอ้ งนี้ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/39]

6. พนกั งานโรงงานแหง่ หนง่ึ จานวน 1,000 คน ไดร้ บั เงินเดอื นเฉลยี่ คนละ 8,000 บาท มสี ว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน
1,000 บาท ถา้ การกระจายของเงินเดอื นพนกั งานโรงงานแหง่ นเี้ ป็นแบบปกติแลว้ ขอ้ สรุปในขอ้ ใดตอ่ ไปนีผ้ ดิ

[O-NET 51/40]

1. พนกั งานจานวนนอ้ ยกวา่ 100 คน ไดร้ บั เงินเดอื นนอ้ ยกวา่ 6,000 บาท
2. พนกั งานอยา่ งมาก 930 คน ไดร้ บั เงินเดอื นมากกวา่ หรอื เทา่ กบั 6,000 บาท
3. พนกั งานทไี่ ดร้ บั เงินเดอื นมากกวา่ 10,000 บาท มีจานวนนอ้ ยกวา่ 70 คน
4. ถา้ ในปีตอ่ ไปพนกั งานไดร้ บั เงินเดือนเพิม่ ขนึ้ คนละ 400 บาทแลว้ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของเงนิ เดอื นพนกั งาน

โรงงานนยี้ งั คงเดมิ

76 สถิติ

แผนภาพกลอ่ ง
แผนภาพกลอ่ ง เป็นแผนภมู ิรูปภาพเพ่ือบอก คา่ นอ้ ยสดุ , Q1 , Q2 , Q3 และ คา่ มากสดุ ดงั รูป

คา่ นอ้ ยสดุ Q1 Q2 Q3 คา่ มากสดุ

0 20 40 60 80 100 120 140

จากแผนภาพกลอ่ ง เราจะสามารถคานวณ พสิ ยั (= คา่ มากสดุ − คา่ นอ้ ยสดุ )
สว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์ (= Q3−Q1)

2

สมั ประสทิ ธิ์ของสว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์ (= Q3−Q1) ได้
Q3+Q1

ซง่ึ คา่ เหลา่ นี้ ใชบ้ อกการกระจายของขอ้ มลู ได้
น่นั คอื ถา้ คา่ มากสดุ กบั คา่ นอ้ ยสดุ อยหู่ า่ งกนั มาก แปลวา่ ขอ้ มลู มกี ารกระจายมาก

และเนื่องจาก ควอไทล์ เป็นจดุ ทแ่ี บง่ ขอ้ มลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆกนั
สง่ิ ที่ตอ้ งเขา้ ใจใหแ้ มน่ คือ “แตล่ ะสว่ น มขี อ้ มลู 25% เทา่ กนั หมด” ไมข่ นึ้ กบั วา่ สว่ นไหนยาว สว่ นไหนสนั้
ความยาว ความสนั้ จะมผี ลกบั “ความแออดั ” ของขอ้ มลู
เน่ืองจาก แตล่ ะสว่ น มขี อ้ มลู 25% เทา่ กนั ดงั นนั้ “สว่ นทสี่ นั้ จะแออดั กวา่ สว่ นท่ียาว”
ดงั นนั้ เราจะบอกลกั ษณะ “การเบ”้ ไดด้ ว้ ย โดยดวู า่ “สว่ นสนั้ อยทู่ างซา้ ยหรอื ทางขวา”

ถา้ สว่ นสนั้ อยทู่ างซา้ ย แปลวา่ ทางซา้ ยแออดั แปลวา่ โคง้ โดง่ ซา้ ย แปลวา่ ขอ้ มลู เบข้ วา
ถา้ สว่ นสนั้ อยทู่ างขวา แปลวา่ ทางขวาแออดั แปลวา่ โคง้ โดง่ ขวา แปลวา่ ขอ้ มลู เบซ้ า้ ย

ตวั อยา่ ง จากแผนภาพกลอ่ งแสดงคะแนนสอบของนกั เรยี น จานวน 60 คน ตอ่ ไปนี้

20 40 60 80 100 120

จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดผดิ

1. พสิ ยั ของคะแนนสอบ คือ 90 คะแนน

2. ขอ้ มลู มีลกั ษณะการกระจายแบบเบข้ วา

3. นกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนในชว่ ง 60 - 80 มีนอ้ ยกวา่ 15 คน

4. นกั เรยี นท่ไี ดค้ ะแนนมากกวา่ 60 มจี านวนมากกวา่ นกั เรยี นทไี่ ดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 60

วิธีทา จากแผนภาพ จะได้ ขอ้ มลู นอ้ ยสดุ = 25 , Q1 = 40 , Q2 = 60 , Q3 = 90 , ขอ้ มลู มากสดุ = 115
1. พิสยั = ขอ้ มลู มากสดุ − ขอ้ มลู นอ้ ยสดุ = 115 − 25 = 90 ดงั นนั้ ขอ้ 1 ถกู ตอ้ ง

2. จะเหน็ วา่ สว่ นสนั้ อย่ทู างซา้ ย ดงั นนั้ ทางซา้ ยแออดั แปลวา่ โคง้ โดง่ ซา้ ย

ดงั นนั้ ขอ้ มลู นเี้ ป็นแบบเบข้ วา ดงั นนั้ ขอ้ 2 ก็ถกู อกี

สถิติ 77

3. เน่ืองจากมีนกั เรยี น 60 คน แบง่ เป็น 4 สว่ น สว่ นละเทา่ ๆกนั จะไดแ้ ตล่ ะสว่ นจะมนี กั เรยี น 15 คน

15 คน 15 คน 15 คน 15 คน

20 40 60 80 100 120

จากภาพ จะไดว้ า่ ชว่ ง 60 - 90 มีนกั เรยี น 15 คน
ดงั นนั้ ขอ้ 3 ถกู เพราะ ชว่ ง 60 - 80 เลก็ กวา่ 60 - 90 จงึ นา่ จะมีนกั เรยี นนอ้ ยกวา่ 15 คน

4. นกั เรยี นทไ่ี ดน้ อ้ ยกวา่ 60 คะแนน จะมี 2 สว่ น (25 - 40 และ 40 - 60) → มี 15 + 15 = 30 คน

นกั เรยี นทไ่ี ดม้ ากกวา่ 60 คะแนน ก็มี 2 สว่ น (60 - 90 และ 90 - 115) → มี 15 + 15 = 30 คน

ดงั นนั้ ขอ้ 4 ผิด #

ตวั อยา่ ง จากแผนภาพกลอ่ งแสดงขอ้ มลู คะแนนสอบ วชิ าคณิตศาสตร์ และ ภาษาองั กฤษ ของนกั เรยี นหอ้ งหนึ่ง

คณิตศาสตร์
ภาษาองั กฤษ

0 20 40 60 80 100 #

จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดถกู
1. คะแนนวชิ าภาษาองั กฤษ มกี ารกระจายนอ้ ยกวา่
2. คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบทงั้ สองวชิ า เทา่ กนั
3. จานวนนกั เรยี นท่ไี ดค้ ณิตศาสตร์ นอ้ ยกวา่ 65 คะแนน มนี อ้ ยกวา่
จานวนนกั เรยี นทีไ่ ดภ้ าษาองั กฤษ นอ้ ยกวา่ 65 คะแนน
4. คะแนนสงู สดุ ท่อี ยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ของวชิ าคณิตศาสตร์ มากกวา่
คะแนนสงู สดุ ท่อี ยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ของวิชาภาษาองั กฤษ

วิธีทา 1. ภาษาองั กฤษ มชี ว่ งคะแนน มากสดุ - นอ้ ยสดุ กวา้ งกวา่
ดงั นนั้ ภาษาองั กฤษมกี ารกระจายมากกวา่ ขอ้ 1 จึงผดิ

2. เนื่องจากแผนภาพกลอ่ ง บอกแตค่ วอไทล์
ขอ้ มลู ทีโ่ จทยใ์ ห้ ไมส่ ามารถนาไปสรุปเกี่ยวกบั คา่ เฉลย่ี ได้ ดงั นนั้ ขอ้ 2 จะจรงิ หรอื เปลา่ ก็ไมร่ ู้

3. นกั เรยี นทีไ่ ดค้ ณิตศาสตร์ นอ้ ยกวา่ 65 คะแนน จะมี 3 สว่ น
แตน่ กั เรยี นท่ไี ดอ้ งั กฤษ นอ้ ยกวา่ 65 คะแนน จะมแี ค่ 2 สว่ นกวา่ ๆ ดงั นนั้ ขอ้ 3 ผดิ

4. “คะแนนสงู สดุ ทีอ่ ยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ” หมายถงึ Q1 น่นั เอง
จะเหน็ วา่ วชิ าคณิตศาสตร์ มี Q1 = 20
วชิ าภาษาองั กฤษ มี Q1 = 15 ดงั นนั้ ขอ้ 4 ถกู ตอ้ ง

78 สถิติ

แบบฝึกหดั
1. จากแผนภาพกลอ่ งแสดงคะแนนสอบ 2 วิชา ของนกั เรยี นหอ้ ง ม. 5/1 ตอ่ ไปนี้ จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง

วิชาท่ี 1
วชิ าท่ี 2

0 20 40 60 80 100

1. Q1 ของวิชาที่ 1 มากกวา่ Q1 ของวชิ าท่ี 2
2. Q2 ของวิชาท่ี 1 มากกวา่ Q2 ของวชิ าท่ี 2
3. Q3 ของวชิ าที่ 1 มากกวา่ Q3 ของวชิ าท่ี 2
4. คะแนนเฉลย่ี ของวิชาท่ี 1 มากกวา่ คะแนนเฉลยี่ ของวชิ าที่ 2
5. คะแนนต่าสดุ ในกลมุ่ 25% สงู สดุ ในวชิ าที่ 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2
6. มีนกั เรยี นท่ีสอบไดค้ ะแนน 30 - 40 คะแนน ในวิชาที่ 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2
7. มนี กั เรยี นท่สี อบไดค้ ะแนน 50 - 70 คะแนน ในวชิ าที่ 1 มากกวา่ วิชาที่ 2
8. มนี กั เรยี นทส่ี อบไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 40 คะแนน ในวชิ าที่ 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2
9. มีนกั เรยี นที่สอบไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 50 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2
10. มีนกั เรยี นที่สอบไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 70 คะแนน ในวชิ าที่ 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2

2. คะแนนสอบความรูท้ ่วั ไปของนกั เรยี น 200 คนนาเสนอโดยใชแ้ ผนภาพกลอ่ งดงั นี้

10 12 16 18 24

ขอ้ ใดเป็นเท็จ [O-NET 53/32]

1. จานวนนกั เรยี นทท่ี าได้ 12 ถึง 16 คะแนน มเี ทา่ กบั จานวนนกั เรยี นทท่ี าได้ 16 ถงึ 18 คะแนน

2. จานวนนกั เรยี นท่ีทาได้ 12 ถงึ 18 คะแนน มีเทา่ กบั จานวนนกั เรยี นท่ีทาได้ 18 ถงึ 24 คะแนน

3. จานวนนกั เรยี นทท่ี าได้ 10 ถึง 12 คะแนน มเี ทา่ กบั จานวนนกั เรยี นทที่ าได้ 18 ถึง 24 คะแนน

4. จานวนนกั เรยี นท่ีทาได้ 10 ถงึ 16 คะแนน มีเทา่ กบั จานวนนกั เรยี นทที่ าได้ 16 ถึง 24 คะแนน

สถิติ 79

3. จากการทดสอบนกั เรยี นจานวน 100 คนใน 2 รายวชิ า แตล่ ะรายวิชามีคะแนนเต็ม 150 คะแนน ถา้ ผลการทดสอบ
ทงั้ สองรายวชิ า เขยี นเป็นแผนภาพกลอ่ งไดด้ งั นี้ [O-NET 50/40]

คะแนนสอบรายวชิ าที่ 1

คะแนนสอบรายวิชาที่ 2

0 20 40 60 80 100 120 140

แลว้ ขอ้ สรุปในขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู
1. คะแนนสอบทงั้ สองรายวชิ ามกี ารแจกแจงแบบปกติ
2. จานวนนกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนไมเ่ กนิ 80 คะแนน ในรายวชิ าที่ 1 มากกวา่

จานวนนกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนไมเ่ กนิ 80 คะแนน ในรายวชิ าที่ 2
3. คะแนนสงู สดุ ทอ่ี ยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ของผลการสอบรายวชิ าท่ี 1 นอ้ ยกวา่

คะแนนสงู สดุ ที่อยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ของผลการสอบรายวชิ าท่ี 2
4. จานวนนกั เรยี นที่ไดค้ ะแนนระหวา่ ง 60 - 80 คะแนน ในการสอบรายวชิ าท่ี 2 นอ้ ยกวา่

จานวนนกั เรยี นทีไ่ ดค้ ะแนนในชว่ งเดยี วกนั ในการสอบรายวชิ าท่ี 1

4. จากแผนภาพกลอ่ งของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นจาแนกตามเพศเป็นดงั นี้

คะแนนสอบของนกั เรยี นหญิง

คะแนนสอบของนกั เรยี นชาย

0 คะแนนสอบ 100

ขอ้ สรุปในขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [O-NET 49/1-32]

1. คะแนนสอบเฉลยี่ วิชาคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นชาย

สงู กวา่ คะแนนสอบเฉลย่ี วิชาคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นหญิง

2. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นชายมกี ารกระจายเบข้ วา

3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นหญิงมกี ารกระจาย

มากกวา่ คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นชาย

4. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นหญิงมกี ารกระจายเบข้ วา

80 สถิติ

สถิติภาคบรรยาย

1. 6 2. 4 3. 2 4. 5
5. 2 6. 4 7. 3

การแจกแจงความถี่

1. 1. ความถี่ ความถ่ี ความถ่ีสะสม รอ้ ยละของ รอ้ ยละของ
สะสม สมั พทั ธ์ สมั พทั ธ์ ความถี่ ความถ่ีสะสม
คา่ ขอ้ มลู ความถ่ี สมั พทั ธ์
7 0.35 0.35 สมั พทั ธ์
1 - 10 7 16 0.45 0.80 35
11 - 20 9 20 0.20 1.00 45 35
21 - 30 4 1.00 20 80
20 100 100

2. คา่ ขอ้ มลู ความถี่ ความถ่ีสะสม จดุ ก่ึงกลางชนั้ ความกวา้ งชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน

1 - 10 5 5 5.5 10 0.5 10.5
11 - 20 11 16 15.5 10 10.5 20.5
21 - 30 2 18 25.5 10 20.5 30.5
31 - 40 2 20 35.5 10 30.5 40.5

20

3. คา่ ขอ้ มลู ความถี่ ความถ่ีสะสม จดุ กง่ึ กลางชนั้ ความกวา้ งชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน

3- 8 2 2 5.5 6 2.5 8.5
9 - 14 3 5 11.5 6 8.5 14.5
15 - 20 11 16 17.5 6 14.5 20.5
21 - 26 4 20 23.5 6 20.5 26.5

20

4. คา่ ขอ้ มลู ความถ่ี ความถ่ีสะสม จดุ กงึ่ กลางชนั้ ความกวา้ งชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน

1- 4 55 2.5 4 0.5 4.5
5- 8 7 12 6.5 4 4.5 8.5
9 - 12 13 25 10.5 4 8.5 12.5
13 - 16 5 30 14.5 4 12.5 16.5
30
2. 0.25 4. 4 5. 3
6. 2 3. 2 - 6

กราฟแจกแจงความถ่ี

1. 1. คา่ ขอ้ มลู ความถี่ 2. นา้ หนกั จานวนคน

4- 9 5 2- 6 5
10 - 15 15 7 - 11 5
16 - 21 20 12 - 16 10
22 - 27 10 17 - 21 5

สถิติ 81

แผนภาพตน้ - ใบ 4. 7.2
8. 2236
1. คา่ ขอ้ มลู ความถ่ี 2. 4 12. 134

80 - 88 4 3. 7.9 4. 21
89 - 97 4 7. 22 4. 63.33
98 - 106 3 11. 21.9
107 - 115 3 4. 61.3
3. 2.70
คา่ เฉลยี่ 3. 10 4. 34
4. 9
1. 10.6 2. 9.5 3. 161.75 8. 53
5. 2 : 1
9. 3 : 2 6. 56 3. 26
13. 96 3. 18.5
10. 49 2 7. 16
3 4. 5

คา่ เฉลยี่ ถว่ งนา้ หนกั

1. 3 2. 1

คา่ เฉลยี่ (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)

1. 21.5 2. 6
5. 55.5

การหาคา่ เฉลย่ี โดยการลดทอนขอ้ มลู

1. 20 2. 18
5. 53.1 6. 40

สมบตั ิของคา่ เฉลย่ี

1. 1. 26 2. 26

มธั ยฐาน

1. 1. 13.5 2. 8
5. 3 6. 22.5
3. 3
2. 17, 16

82 สถิติ

มธั ยฐาน (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)

1. 1. 18 2. 11.7 3. 30.5

สมบตั ิของมธั ยฐาน

1. 1. 7 2. 13 3. 7 4. 14

ฐานนยิ ม

1. 1. 12 2. ไมม่ ี 3. 7 4. 9
5. 24, 25
3. 2 4. 4 5. 4
2. 1 7. 4 8. 1 9. 1
6. 2
10. 1 3

ฐานนยิ ม (อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วง)

1. 1. 28 2. 10 3. 13.75 4. 21.3
5. 33 6. 14.25

สมบตั ิของฐานนยิ ม

1. 2 2. 3 3. 2 4. 2
5. 1 6. 5

คา่ เฉลยี่ - มธั ยฐาน - ฐานนิยม

1. 1. เบซ้ า้ ย 2. เบข้ วา

2. 1. Med = 7 , เบซ้ า้ ย 2. Mode = 5 , เบข้ วา 3. ̅ = 15 , เบข้ วา

3. 2400 4. 1

การวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู

1. 1. 29 2. 38 3. 24 4. 13.2
2. 19 3. 55 4. 52.4 5. 3
6. 67.15 7. 87.7 8. 24 9. 3
10. 5 11. 23.4 12. 71 13. 66
14. 1 15. 60 16. 21

สถิติ 83

การวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง) 4. 34.25
4. 16.7
1. 1. 24 2. 30.25 3. 26.5 4. P72.5
2. 1. 10.5 2. 13.83 3. 3
3. 1. P85 2. P12 3. P42.5 5. 4

พิสยั 4. 84.25 5. 18.67
8. 4 9. 3
1. 1. 29 2. 33 4. 6.9
2. 11, 12, 19 3. 45 4. 6.4
6. 4 7. 48 8. 3 4. 2

สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 3. 20

1. 1. √2 , 2 2. √30 , 30 3. 3
2. 4 24
6. 1
3. 80
7. 12

สมบตั ิของสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน

1. 4 2. 16
5. 1 6. 2

2 2. 2

แผนภาพกลอ่ ง

1. 2, 7

เครดติ
ขอบคณุ คณุ ครูเบิรด์ จาก กวดวิชาคณิตศาสตรค์ รูเบิรด์ ยา่ นบางแค 081-8285490
และ คณุ Orn Wattanaplaeng
และ คณุ Theerat Piyaanangul ท่ีช่วยตรวจสอบความถกู ตอ้ งของเอกสาร