ADD MATHS P2

15 The volume of water, V cm3 , in a container is given by V = 1 h3 + 7h, where h cm is the height of the water in the

3

container. Water is poured into the container at a rate of 8 cm3s-1. Find the rate of change of the height of water, in cms-1,

at the instant when its height is 3 cm. [3 marks] [Ans: ½ cms-1]

Isi padu air, V cm3 bagi sebuah bekas diberi oleh V = 1 h3 + 7h, dengan keadaan h cm adalah tinggi aras air dalam bekas. Air
3

dituang ke dalam bekas pada kadar 8 cm3 s-1. Cari kadar perubahan tinggi aras air dalam bekas, dalam cm s-1, pada ketika tingginya

adalah 3 cm.

Answer space

16 The tangent to the curve y = x3 + ax2  4x + 3 at x = 1 is parallel to the line y = 3x.

Tangen kepada lengkung y = x3 + ax2  4x + 3 pada x = 1 adalah selari dengan garis y = 3x.

Find/ / Cari

(a) the value of a / nilai a, [2 marks] [Ans: 2]

(b) the equation of tangent to the curve at x = 1 / persamaan tangen kepada lengkung pada x = 1. [3 marks] [Ans: y = 3x – 1]

(c) the x-coordinate at the turning points / koordinat-x bagi titik-titik pusingan. [3 marks] [Ans: 2/3, -2]

Answer space

17 Diagram shows a piece of wire bent to form the perimeter OABC of a sector of a circle, centre O, radius r cm, where
angle AOC is θ radian. The wire is of length 100 cm and r and θ may vary.

Rajah menunjukkan seutas dawai yang dibengkokkan menjadi perimeter sebuah sektor bulatan OABC berpusat O dan berjejari r cm
dengan keadaan sudut AOC adalah θ radian. Panjang dawai adalah 100 cm manakala r and θ akan berubah.

B

C A
r cm r cm

O [3 marks]

(a) Show that the area of the sector, A cm2 can be expressed as 50r  r2. [2 marks] [Ans: 25]
Tunjukkan bahawa luas sector, A cm2 boleh diungkapkan sebagai 50r  r2. [2 marks] [Ans: 2]

(b) Find / Cari

(i) the value of r for which the area enclosed by the wire is a maximum.

nilai r supaya luas yang dilingkungi oleh dawai adalah maksimum.
(ii) the corresponding value of θ in radian.

nilai sepadan bagi θ dalam radian .

Answer space

51

18 The curve y = x3 + 6x2  9x +1 passes through the point A(2, 1) and has two turning points, P(3, 1) and Q.

Lengkung y = x3 + 6x2  9x + 1 melalui titik A(2, 1) dan mempunyai dua titik pusingan, P(3, 1) dan Q.

Find / Cari

(a) the gradient of the curve at A / kecerunan lengkung pada titik A [3 marks] [Ans: 3]

(b) the equation of normal to the curve at A / persamaan normal kepada lengkung itu pada titik A [3 marks] [Ans:x+3y+1=0]

(c) the coordinates of Q and determine whether Q is a maximum or minimum point. [4 marks] [Ans: (1, -3), minimum]

koordinat Q dan tentukan sama ada Q adalah titik maksimum atau titik minimum.

Answer space

19 The diagram shows a water trough of semicircular cross-section, radius r m. Its length is l m. The total amount of
material used to make the trough is 20 m2.
Rajah menunjukkan satu bekas air dengan keratan rentas berbentuk semi bulatan, berjejari r m. Panjang bekas air adalah l m.
Jumlah bahan yang digunakan untuk membuat bekas air adalah 20 m2.
[Volume of cylinder / Isipadu silinder = r2h ]

lm

rm

(a) Show that the volume, V m3, of the trough is given by V = 10 r – 1 πr3. [3 marks]
2

Tunjukkan bahawa isipadu bekas air itu, V m3, diberi oleh V = 10 r – 1 πr3.
2

(b) Find the maximum volume of the trough. Give your answer correct to 2 decimal places in m3. [5 marks] [Ans: 9.71]

Show that this volume is indeed the maximum.
Cari isi padu maksimum bekas itu. Berikan jawapan anda tepat kepada dua tempat perpuluhan dalam m3.

Tunjukkan isipadu ini sebenarnya adalah maksimum.

Answer space

20 Find the value of 8.98 without using calculator.
Answer space

52

FORM 5 CHAPTER 4 VECTORS
PAPER 2 SECTION A / B

1

In Diagram 1, point Q lies on the straight line OR such that OQ : QR = 3 : 2. Point Q also is the midpoint of

the straight line BC. Given that = 6x, = 3y and = 4y.
Dalam Rajah 1, titik Q terletak pada garis lurus OR dengan keadaan OQ : QR = 3 : 2. Titik Q juga ialah titik

tengah bagi garis lurus BC. Diberi bahawa = 6x, = 3y dan = 4y.
(a) Express in terms of x and y:

Ungkapkan dalam sebutan x dan y: . [6 marks / markah]
(i) , [6 marks / markah]
(ii) ,
(iii)

(b) Hence, determine whether is parallel to

Seterusnya, tentukan sama ada adalah selari dengan .
Answer Space

53

2 Diagram 2 shows a triangle OPR. The straight lines OQ and PS intersect at point T.
Rajah 2 menunjukkan segitiga OPR. Garis lurus OQ dan PS bersilang pada titik T.

Diagram 2 / Rajah 2

It is given that 5 = 2 , 8 = 3 , = 8x and = y.

Diberi bahawa 5 = 2 , 8 = 3 , = 8x dan = y.
(a) Express in terms of x and y;
[5 marks / markah]
Ungkapkan dalam sebutan x dan y: [2 marks / markah]
(i) , [3 marks / markah]
(ii) ,
(iii) .

(b) Given that = k and = h , express

Diberi bahawa = k dan = h , ungkapkan
(i) in terms of k, x and y,

(ii) in terms of h, x and y,
(c) Hence, find the value of h and k.

Answer Space

54

3 Diagram 3 shows a triangle PQR. The point S lies on PR and the point T lies on PQ.
The straight line QS intersects the straight line RT at the point U.
Rajah 3 menunjukkan segi tiga PQR. Titik S terletak pada PR dan titik T terletak pada PQ.
Garis lurus QS bersilang dengan garis lurus RT pada titik U.

Diagram 3 / Rajah 3

It is given that PRQ = 90º, = 9 x, = 12 y, : = 3 : 1 and : = 5 : 1.

Diberi bahawa PRQ = 90º, = 9 x, = 12 y, : = 3 : 1 dan : = 5 : 1.

(a) Express in terms of x and y; [3 marks / markah]

Ungkapkan dalam sebutan x dan y:

(i) ,

(ii) ,

(b) Using = h and = k , where h and k are constants, find the value of h and k. [5 marks]

Menggunakan = h dan = k , dengan keadaan h dan k ialah pemalar, cari nilai h dan k. [5 markah]

(c) Given that  x  = 5 units and  y  = 2 units, find  . [2 marks / markah]

Diberi bahawa  x  = 5 units dan  y  = 2 units, cari  .
Answer Space

55

4 (a) Given that p = 12 i + (k + 8) j and q = (k – 5) i – 3 j . If p and q are parallel,

(i) Find the values of k,

Cari nilai-nilai k,

(ii) If k is negative, find  p .

Jika k adalah negatif, cari  p . [4 marks / markah]

(b) Diagram 4 shows a triangle PRS. Point T lies on the straight line SQ and point U lies on the straight line

SR. It is given that ST = 3TQ, PQ = PR and SU : SR = 2 : 5. Given that = x and = y.

Rajah 4 menunukkan satu segitiga PRS. Titik T terletak pada garis lurus SQ dan titik U terletak pada garis lurus

SR. Diberi bahawa ST = 3TQ, PQ = PR dan SU : SR = 2 : 5. Diberi bahawa = x dan = y.

Diagram 4 / Rajah 4
Express in terms of x and y:
(i) ,
(ii) .
Answer Space

56

5 Diagram 5 shows triangle OPQ. The point S lies on OQ and the point R lies on OP.
The straight line PS intersects the straight line QR at the point T.
Rajah 5 menunjukkan segitiga OPQ. Titik S terletak pada OQ dan titik R terletak pada OP. Garis lurus PS bersilang
dengan garis lurus QR di titik T.

Diagram 5 / Rajah 5 = x and = 3 y.
It is given that OS = OQ, OR = OP,

Diberi bahawa OS = OQ, OR = OP, = x dan = 3 y.

(a) Express in terms of x and y; [3 marks / markah]

Ungkapkan dalam sebutan x dan y:

(i) ,

(ii) . [3 marks / markah]

(b) Given that = m and = n , where m and n are constants, find the value of m and n. [7 marks]

Diberi = m dan = n , dengan keadaan m dan n ialah pemalar, cari nilai m dan n. [7 markah]
Answer Space

57

FORM 5 CHAPTER 5 TRIGONOMETRIC FUNCTIONS

PAPER 2 SECTION A / B [2 marks / markah]
1 (a) Prove that 2 tan θ cos2 θ = sin 2θ. [2 marks / markah]

Buktikan bahawa 2 tan θ cos2 θ = sin 2θ.

(b) Hence, solve the equation 4 tan θ cos2 θ = 1 for 0  θ  2π.
Seterusnya selesaikan persamaan 4 tan θ cos2 θ = 1 for 0  θ  2π.

(c) (i) Sketch the graph of y = sin 2θ for 0  θ  2π.
Lakar graf y = sin 2θ untuk 0  θ  2π.

(ii) Hence, using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the

equation 4π tan θ cos2 θ = x – 2π for 0  θ  2π. [6 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari

bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan θ cos2 θ = x – 2π untuk 0  θ  2π.

Solution

(a) 2 tan θ cos2 θ = 2 ( ) cos2 θ [From tan θ = ]

= 2 sin θ cos θ [From sin 2θ = 2 sin θ cos θ  formula page]
= sin 2θ

(b) 4 tan θ cos2 θ = 1  related to Question (a)

2(2 tan θ cos2 θ) = 1
2 sin 2θ = 1

sin 2θ =

2θ = 30º (basic angle and in Quadrant I and II)
2θ = 30º or (180º – 30º)
2θ = 30º or 150º

θ = 15º or 75º

(c) (i) Plot y = 1 sin 2θ for 0  θ  2π

 2 complete shape in 2π
Amplitude shape

(ii) 4π tan θ cos2 θ = x – 2π  related to Question (a)
2π (2 tan θ cos2 θ) = x – 2π  related to Question (c)(i)
2π (sin 2θ) = x – 2π

2π y =

y= –1

x0 π  normally choose 0, π or 2π
y –1 –½

So, the number of solution is 4

Remember the general shape for 0  θ  2π y = cos x y = tan x
y = sin x

58

2 (a) Prove = tan 2x. [2 marks / markah]

Buktikan = tan 2x.

(b) Sketch the graph of y =  tan 2x  for 0  x  2π. [3 marks / markah]

Lakar graf bagi y =  tan 2x  untuk 0  x  2π.

(c) Hence, using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the

equation   + = 1 for 0  x  2π.

State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan

penyelesaian bagi persamaan   + = 1 untuk 0  x  2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.  sec2 x = 1 + tan2 x
Solution
(a) =

=
=  cos 2x = 2cos2 x – 1

= [##Always change sec //cosec //cot first, then change the terms with square]
= tan 2x

(b) y =  tan 2x  for 0  x  2π


two general shapes in 2π

 
y = tan 2x y =  tan 2x 

(c)   + = 1 for 0  x  2π

 tan 2x  + = 1  From (a): = tan 2x

y+ =1
y=1–

x 0 2π
y10

So, there are 8 solutions.

59

3 (a) Prove that = sec2 x. [2 marks / markah]

Buktikan bahawa = sec2 x.

(b) (i) Sketch the graph of y = cos 2x + 1 for 0  x  2π. [3 marks / markah]
Lakar graf y = cos 2x + 1 untuk 0  x  2π.

(ii) Hence, using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the

equation = + 1 for 0  x  2π.

State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari

bilangan penyelesaian bagi persamaan = + 1 untuk 0  x  2π.

Solution Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
(a) =  cos 2x = 2cos2 x – 1

=

=  sec x =
= sec2 x

(b) (i) y = cos 2x + 1

shift the x-axis 1 unit down
Two general shapes

(ii) = + 1 for 0  x  2π

cos 2x + 1 = + 1  From (a): = sec2 x

y= +1  From (b): y = cos 2x + 1

x 0 2π
y 1 1.5

So, there are 4 solutions.

60

4 (a) Sketch the graph of y = – 3 sin x for 0  x  2π. [3 marks / markah]

Lakar graf y = – 3 sin x untuk 0  x  2π.

(b) Hence, using the same axes, sketch a suitable graph to find the number of solutions for the equation
+ 3 sin x = 0 for 0  x  2π.

State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan

penyelesaian bagi persamaan + 3 sin x = 0 untuk 0  x  2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
Answer Space

5 (a) Sketch the graph of y = 1 + tan 2x for 0  x  π. [3 marks / markah]

Lakar graf y = 1 + tan 2x untuk 0  x  π.

(b) Hence, using the same axes, sketch a suitable graph to find the number of solutions for the equation

x + π tan 2x = 0 for 0  x  π.

State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan

penyelesaian bagi persamaan x + π tan 2x = 0 untuk 0  x  π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Answer Space

61

6 (a) Prove that sin (3x + ) – sin (3x – ) = cos 3x. [3 marks / markah]

Buktikan bahawa sin (3x + ) – sin (3x – ) = cos 3x. [4 marks / markah]
[3 marks / markah]
(b) Hence,
Seterusnya,
(i) solve the equation sin (3x + ) – sin (3x – ) = for 0  x  π.
Give your answer in the simplest fraction form in terms of π rad.
selesaikan persamaan sin (3x + ) – sin (3x – ) = untuk 0  x  π.
Beri jawapan anda dalam bentuk pecahan termudah dalam sebutan π rad.
(ii) sketch the graph of y = sin (3x + ) – sin (3x – ) – for 0  x  π.

lakar graf bagi y = sin (3x + ) – sin (3x – ) – untuk 0  x  π.

Answer Space

7 (a) (i) Prove that 2 cos (x + 45º) cos (x – 45º) = cos 2x. [3 marks / markah]
Buktikan bahawa 2 cos (x + 45º) cos (x – 45º) = cos 2x.

(ii) Hence, solve the equation 2 cos (x + 45º) cos (x – 45º) = for 0  x  2π. [4 marks / markah]

Seterusnya, selesaikan persamaan 2 cos (x + 45º) cos (x – 45º) = untuk 0  x  2π.
[3 marks / markah]
(b) Sketch the graph of y = cos 2x for 0  x  2π.
Lakar graf bagi y = cos 2x untuk 0  x  2π.

Answer Space

62

8 (a) Sketch the graph for y = 3 tan x for 0  x  2π. [3 marks / markah]

Lakar graf bagi y = 3 tan x untuk 0  x  2π.

(b) Hence, on the same axes, sketch a suitable straight line to determine the number of solution for the

equation 4 tan x = 1 for 0  x  2π. State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, pada paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang sesuai untuk menentukan bilangan
penyelesaian bagi persamaan 4 tan x = 1 untuk 0  x  2π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Answer Space

9 (a) Prove that ( – )2 = 4(1 – sin 2x). [3 marks / markah]
Buktikan bahawa ( – )2 = 4(1 – sin 2x). [4 marks / markah]

(b) Hence, solve the equation ( – )2 = sin 2x for 0  x  π.
Seterusnya, selesaikan persamaan ( – )2 = sin 2x untuk 0  x  π.

Answer Space

63

10 (a) Given that sin x = , where x is an acute angle, determine the value of sin 2x without using the

mathematical tables or a calculator. [3 marks / markah]

Diberi bahawa sin x = , dengan keadaan x ialah sudut tirus, tentukan nilai bagi sin 2x tanpa menggunakan

jadual matematik atau kalkulator. . [3 marks / markah]
(b) Hence, or otherwise, show that sin 3x =

Answer Space

11 Diagram shows a graph of trigonometry function y = f (x) for 0  x  π.
Rajah menunjukkan satu graf bagi fungsi trigonometri y = f (x) untuk 0  x  π.

(a) Write an equation for the graph of trigonometric function y = f (x). [3 marks / markah]

Tulis satu persamaan untuk graf bagi fungsi trigonometri y = f (x).

(b) Sketch the graph of y =  f (x) + 1  for 0  x  π. [2 marks / markah]

Lakarkan graf y =  f (x) + 1  untuk 0  x  π.

(c) Hence, on the same axes, sketch a suitable straight line to determine the number of solution for the

equation [ f (x) + 1 – 2] = 1 for 0  x  π. State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, pada paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang sesuai untuk menentukan bilangan
penyelesaian bagi persamaan [ f (x) + 1 – 2] = 1 untuk 0  x  π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Answer Space

64

12 (a) Sketch the graph for y =  sin x +  for 0  x  2π. [3 marks / markah]

Lakar graf bagi y =  sin x +  untuk 0  x  2π.

(b) Hence, on the same axes, sketch a suitable straight line to determine the number of solution for the

equation  sin x +  = 1 – for 0  x  2π. State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, pada paksi yang sama, lakarkan satu garis lurus yang sesuai untuk menentukan bilangan
penyelesaian bagi persamaan  sin x +  = 1 – untuk 0  x  2π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Answer Space

13 (a) Prove that = sin 2x. [2 marks / markah]

Buktikan = sin 2x.

(b) Sketch the graph of y = sin 2x for 0  x  π. [3 marks / markah]

Lakar graf bagi y = sin 2x untuk 0  x  π.

(c) Hence, using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the

equation x – = for 0  x  π.

State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan

penyelesaian bagi persamaan x – = untuk 0  x  2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
Answer Space

65

14 (a) Prove that = tan x. [2 marks / markah]

Buktikan = tan x.

(b) Sketch the graph of y = for 0  x  2π. [3 marks / markah]

Lakar graf bagi y = untuk 0  x  2π.

(c) Hence, using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the

equation – = 1 for 0  x  2π.

State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan

penyelesaian bagi persamaan – = 1 untuk 0  x  2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
Answer Space

15 (a) Sketch the graph of y =  3 sin 2x  for 0  x  2π. [3 marks / markah]

Lakar graf bagi y =  3 sin 2x  untuk 0  x  2π.

(b) Hence, using the same axes, sketch a suitable straight line to find the number of solutions for the

equation +  sin 2x  = 1 for 0  x  2π.

State the number of solutions. [3 marks / markah]

Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan

penyelesaian bagi persamaan +  sin 2x  = 1 untuk 0  x  2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.
Answer Space

66

CHAPTER 8 CIRCULAR MEASURE
PAPER 2 SECTION A / B

Recall the formula Radian to angle Perimeter of circle, s Area of circle, A
Angle to radian Angle = 180o × rad s=2πr A=πr2
Rad =  × θº
180o 

Length of arc, s = r θ Area of sector, A = ½ r 2 θ Area of shaded region, A Pythagoras thereom
r r A = ½ r 2 (θ – sinθº)
c
Os O A b
r
θ must in radian θ must in radian O a

B c2 = a2 + b2

θ must in radian tan θ = a/c cos θ = a/c
θº must in angle sin θ = b/a

1 Diagram 1 shows a circle PQRT, centre O and radius 10 cm. AQB is a tangent to the circle at Q. The straight lines, AO
and BO, intersect the circle at P and R respectively. OPQR is a rhombus. ACB is an arc of a circle, centre O.
Rajah 1 menunjukkan sebuah bulatan PQRT, berpusat di O dan berjejari 10 cm. AQB ialah tangen kepada bulatan itu di Q. Garis
lurus, AO dan BO, masing-masing bersilang pada P dan R. OPQR ialah sebuah rombus. ACB ialah lengkok bulatan itu berpusat di O.

C

A B
P
Q

R

rad 10 cm
O

T

Diagram 1 / Rajah 1
Calculate / Hitung
(a) the angle , in terms of , / sudut  , dalam sebutan ,

Solution

PQRO is a rhombus meaning that the length of PO = OR = QR = QP which is 10 cm!

So for triangle PQO, 10 cm Q
The value of  POQ = 60º P O

= /3 10 cm

Hence, the angle of α = 2 ×  POQ
= 2 ×/3

α = 2/3

(b) the length, in cm, of the arc ACB, / panjang, dalam cm, lengkok ACB
Solution

From cos 60º = QO Q B
OB

cos 60º = 10 10 cm 60o
OB

OB = 10
cos60o
O
OB = 20 cm
α = 2/3

So, length of arc ACB = r α α in radian = 120º

= 20(2.0952) =  × 120º
1 8 0o

= 41.9048 cm = 2.0952 rad.

(c) the area, in cm2, of the shaded region / luas, dalam cm2 kawasan berlorek

Solution
Area of the shaded region = Area of sector OACB – Area of triangle OAB

= ½ (20)2(2.0952) – ½ × AO × OB × sin α
= ½ (20)2(2.0952) – ½ × 20 × 20 × sin 120º
= 245.8349 cm2

67

2 In Diagram 2, PBQ is a semicircle with centre O and has a radius of 10 m. RAQ is a sector of a circle with centre A and
has a radius of 16 m.
Dalam Rajah 2, PBQ ialah separuh bulatan berpusat di O dan mempunyai jejari 10 m. RAQ ialah sektor bulatan berpusat di A dan
mempunyai jejari 16 m.
R

B

P O Q
A

Diagram 2 / Rajah 2

It is given that AB = 10 m and  BOQ = 1.876 radians. [Use  = 3.142]
Diberi bahawa AB = 10 m dan  BOQ = 1.876 radian. [Guna  = 3.142]

Calculate / Hitung

(a) the area , in m2 , of sector BOQ,
luas, dalam m2, sector BOQ,
Solution

Area of sector BOQ = ½ r 2 θ B
= ½ × 102 × 1.876
= 93.8 m2

1.876 rad Q
O 10 m

(b) the perimeter, in m, of the shaded region, [s = r θ]
perimeter, dalam m, kawasan berlorek,
Solution
Perimeter BQ = BO ×  BOQ in radian
= 10 × 1.876
= 18.76 m

Length of BR = AR – AB
= 16 m – 10 m

=6m

Length of arc RQ = AR ×  BAQ in radian  BAQ =  AOB = 180º –  BOQ
= 16 × 1.266 = 72.527º
= 20.256 m = 1.266 rad

So, perimeter of the shaded region = Perimeter BQ + Length BR + Length of arc RQ
= 18.76 m + 6 m + 20.256 m
= 45.016 m

(c) the area , in m2 , of the shaded region .
luas, dalam m2, kawasan berlorek,
Solution
Area of sector RAQ = ½ × AR2 ×  RAQ
= ½ × 162 × 1.266
= 162.048 m2

Area of sector BOQ = 93.8 m2 [From Question 2(a)]

Area of triangle ABO = ½ × BA × BO × sin  ABO in angle
= ½ × 10 × 10 × sin34.946º
= 28.6402 m2

So, area of the shaded region = Area of sector RAQ – Area of sector BOQ – Area of triangle ABO
= 162.048 m2 – 93.8 m2 – 28.6402 m2
= 39.6078 m2

68

EXERCISE

1 Diagram 1 shows a circle, centre O and radius 20 cm inscribed in a sector PAQ of a circle, centre A. The straight lines,
AP and AQ, are tangents to the circle at point B and point C, respectively. [Use π = 3.142]

Rajah 5 menunjukkan sebuah bulatan, berpusat di O dan berjejari 20 cm. Garis lurus, AP dan AQ masing-masing ialah tangen
kepada bulatan itu di titik B dan titik C. [Guna π = 3.142]

P 20 cm O Q
B C

60o

A
Diagram 1 / Rajah 1

Calculate / Hitung [5 marks] [Ans: 62.84]
[5 marks] [Ans: 354.513]
(a) the length, in cm, of the arc PQ,
panjang , dalam cm, lengkok PQ,

(b) the area, in cm2, of the shaded region.
luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

Answer space

69

2 Diagram 2 shows a semicircle OABCD with centre O and a right angled triangle ADE.

Rajah 2 menunjukkan separuh bulatan OABCD berpusat di O dan segitiga bersudut tepat ADE.

E C
B

10 cm

A O 6 cm D
Diagram 2 / Rajah 2

It is given that the length of AE = 10 cm and the radius of the semicircle OABCD is 6 cm.
Diberi bahawa panjang AE = 10 cm dan jejari separuh bulatan OABCD ialah 6 cm. [Use / Guna π = 3.142]

Calculate / Hitung

(a)  EDA in radian [2 marks] [Ans: 0.6948]
 EDA dalam radian,

(b) (i) the length , in cm, of the arc AB, [2 marks] [Ans: 8.338]
panjang, dalam cm, lengkok AB,

(ii) the perimeter, in cm , of the shaded region, [3 marks] [Ans: 24.74]
perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, [3 marks] [Ans: 13.84]

(c) the area, in cm2, of the segment BCD.
luas, dalam cm2 , tembereng BCD.

Answer space

70

INTENSIVE EXERCISE
PAPER 2 SECTION B

1 Two circles of equal sides, each with a radius of 5 cm, touch each internally. Both of them touch another
circle, centre O and radius 15 cm internally as shown in the Diagram 1.
Dua bulatan dengan sisi sama, setiap dengan jejari 5 cm, bersentuh secara dalam. Kedua-duanya bersentuh dengan satu
lagi bulatan, pusat O dan jejari 15 cm secara dalaman seperti ditunjukkan dalam Rajah 1.

Diagram 1 / Rajah 1

Calculate the area of the shaded region. [5 marks / markah]
Hitung luas kawasan berlorek.
Answer Space

71

2 Diagram 2 shows circular section of a uniform log with a radius of 50 cm floating in water. The point A and B
are on the surface and the highest point C is 10 cm above the water surface. Calculate
Rajah 2 menunjukkan keratan bulat bagi suatu kayu balak seragam dengan jejari 50 cm yang terapung di air. Titik A
dan B adalah di permukaan air dan titik tertinggi C ialah 10 cm di atas permukaan air. Hitung

Diagram 2 / Rajah 2 [3 marks / markah]
(a) AOB in radians, [2 marks / markah]
[3 marks / markah]
AOB dalam radian,
(b) the length of the arc ACB,

Panjang lengkok ACB,
(c) the area of the cross-section below the water surface.

luas keratan rentas di bawah permukaan air.
Answer Space

72

3 In Diagram 3, PXQ is an arc of a circle at centre O and radium 15 cm with POQ = 1.3 radians. PYQ is an arc
of a circle with centre R and radius 10 cm. Calculate
Dalam Rajah 3, PXQ ialah suatu lengkok bulatan pada pusat O dan jejari 15 cm dengan POQ = 1.3 radian. PYQ ialah
suatu lengkok bulatan dengan pusat R dan jejari 10 cm. Hitung

Diagram 3 / Rajah 3
(a) the length of the chord PQ,

panjang perentas PQ,
(b) the value of θ in radians,

nilai θ dalam radians,
(c) the difference in length between arcs PYQ and PXQ.

beza panjang antara lengkok PYQ dan PXQ.
Answer Space

73

4 Diagram 4 shows the two arcs AB and CD, of concentric circles, centre O and radii 2k cm and 3k cm
respectively. Given that AOB = rad and the perimeter of ABCD is 18 cm, find
Rajah 4 menunjukkan dua lengkok AB dan CD, dengan pusat sama O dan jejari 2k cm dan 3k cm masing-masing. Diberi
bahawa AOB = rad dan perimeter ABCD ialah 18 cm, cari

Diagram 4 / Rajah 4
(a) the value of k,

nilai k,
(b) the difference between the lengths of the arcs AB and CD.

beza panjang antara lengkok AB dan CD.
Answer Space

74

5

Diagram 5 shows a semicircular wall light OHJK with centre O. JG is tangent to the circle at J.
Rajah 5 menunjukkan sebuah lampu dinding berbentuk semi bulatan OHJK yang berpusat O. JG ialah tangent kepada
bulatan di J.

Given the diameter HK = 16 cm dan  HOJ = radians, calculate the area of the shaded region.

Diberi diameter HK = 16 cm dan  HOJ = radians, hitung luas rantau berlorek.

[Use / Guna = 3.142] [4 marks / markah]
Answer Space

6

Diagram 6 / Rajah 6

Diagram 6 shows a long jump field OABCDE. ABDE is a rectangle with AE =12 cm and AB = 8 cm. OJK and

OBCD are sectors with common centre O. Students who can jump into the shaded region from O will be

chosen to represent the school. It is given that OK : KB = 4 : 1. Using  = 3.142, calculate the perimeter, in

cm, of the shaded region.

Rajah 6 menunjukkan satu padang lompat jauh OABCDE. ABDE ialah segiempat tepat dengan AE = 12 cm dan AB =

8cm. OJK dan OBCD ialah sektor-sektor bulatan dengan pusat sepunya O. Murid-murid yang dapat melompat ke
kawasan berlorek dari O akan dipilih untuk mewakili sekolah. Diberi bahawa OK : KB = 4 : 1. Menggunakan π = 3.142,

hitung perimeter, dalam cm, kawasan berlorek. [4 marks / markah]

Answer Space

75

7

Diagram 7 / Rajah 7

Diagram 7 shows a circular lake with centre O. Given that diameter GH = 24 m and the length of arc HK= 15

m. Point J is right above H. Encik Kamal owns a villa in the shaded region HJK. The segment of GK is used

as fish rearing farm.

Rajah 7 menunjukkan sebuah tasik berbentuk bulatan yang berpusat di O. Diberi bahawa diameter GH = 24 m dan

panjang lengkok HK = 15 m. Titik J berada tegak di atas H. Encik Kamal memiliki sebuah villa di kawasan berlorek

HJK. Segmen GK digunakan sebagai tempat perternakan ikan.

Use/ Guna = 3.142,

(a) show that  = 0.625 radian. [3 marks / markah]

tunjukkan bahawa  = 0.625 radian.

(b) calculate the perimeter of fish farm GK. [3 marks / markah]

cari perimeter tempat ternakan ikan GK. [4 marks / markah]
(c) calculate the area, in m2, of Encik Kamal's villa.

hitung luas, dalam m2, villa Encil Kamal.

Answer Space

76

8

Diagram 8 / Rajah 8

Diagram 8 shows PQ and PR are tangent to the circle with centre O. OQR is a sector with centre O and NQR

is another sector with centre N.

Rajah 8 menunjukkan bahawa PQ dan PR ialah tangen kepada bulatan berpusat O. OQR ialah sektor bulatan berpusat

O dan NQR ialah sektor bulatan lain yang berpusat N.

It is given that OQ = 8 cm, QN= RN = 12 cm and OP = 17 cm.
Diberi bahawa OQ = 8 cm, QN = RN = 12 cm dan OP = 17 cm. (Use/ Guna π = 3.142)

(a) Show that  = 2.162 radians. [ 2 marks / markah]

Tunjukkan bahawa  = 2.162 radians.

(b) Find the perimeter, in cm, of segment NQ. [ 4 marks / markah]

Cari perimeter, dalam cm, segmen NQ. [4 marks / markah]
(c) Calculate the area, in cm2, of the shaded region.

Hitung luas, dalam cm2, kawasan berlorek.

Answer Space

77

9 Diagram 9 shows a cylindrical container with the length of 20 cm placed on the floor against the wall. Q is a
point on the edge of the base of the container. It is given that the distance of point Q is 2 cm from the wall and
1 cm from the floor.
Rajah 9 menunjukkan sebuah bekas berbentuk silinder dengan panjang 20 cm yang diletak di atas lantai dan rapat pada
dinding. Q ialah satu titik pada tepi tapak bekas itu. Diberi bahawa jarak titik Q adalah 2 cm dari dinding dan 1 cm dari
lantai.

Diagram 9 / Rajah 9

Mira wants to keep the container in a box with a dimension of 21 cm ×7 cm × 7 cm. Determine whether the

container can be kept in that box or otherwise. Give a reason for your answer.

Mira ingin menyimpan bekas itu ke dalam sebuah kotak yang berukuran 21 cm ×7 cm × 7 cm. Tentukan samada bekas

itu boleh disimpan ke dalam kotak itu atau sebaliknya. Beri sebab kepada jawapan anda. [6 marks / markah]

Answer Space

78

FORM5 CHAPTER 2: LINEAR LAW

PAPER 2 SECTION B

1) Equation of straight line: y = mx + c

2) Gradient, m = or m = –

3) c = y-intercept // Or choose one point = (x, y) and substitute into y = mx + c to find the c.

4) To find the non-linear equation
1st: Find the gradient, m
2nd: Find the c = y-intercept or choosing one point to be substituted into the y = mx + c
3rd: Use Y = mX + c, then substitute all with Y to y-axis, X to x-axis, m and c with values.

1 SPM 2017 Paper 2 Q9
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 1 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment.
The variables x and y are related by the equation y – = , where h and k are constants.

Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.

Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y – = , dengan keadaan h dan k ialah

pemalar.

x 1.5 2.0 3.5 4.5 5.0 6.0

y 4.5 5.25 5.5 6.3 6.34 6.5

Table 1 / Jadual 1

(a) Plot xy against x, using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 5 units on the xy-axis.

Hence, draw the line of best fit. [4 marks / markah]

Plot xy melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-xy.

Seterusnya, lukis garis penyuaian terbaik.

(b) Using the graph in 1(a), find
Menggunakan graf di 1(a), cari

(i) the value of h and k,

nilai bagi h dan k,

(ii) the correct value of y if one of the values of y has been wrongly recorded during the experiment.
nilai yang betul bagi y jika salah satu nilai y telah direkod salah semasa eksperimen.

[6 marks / markah]

Answer Space

(a) Plot xy against x



y-axis x-axis

x 1.5 2.0 3.5 4.5 5.0 6.0

xy 6.75 10.50 19.25 28.35 31.70 39.00  All must be in 2 decimal places

On graph paper.

(b) From y – =

xy – x = hk
xy = x + hk
xy = x + hk

Compare with Y = mX + c
= m and hk = c

(b)(i) = m and hk = c

= 7.2 (51.84)k = – 4

h = 51.84 k = 0.07716

(b)(ii) Wrong value for y happens when x = 3.5
From graph, xy = 21
3.5y = 21
y=6

79

GraphGroafpshinofexiyaaggaaiinnssttxsine r
GrafGsrianf ixymmeellaawwaannx sin r

xy (1, 3) 3 Correct value (6, 39)
40 12 45
35 m=
30 m = 7.2
25 6x
20
15 y-intercept, c = – 4
10
5

0
–5

80

2 SPM 2018 Paper 2 Q11
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 2 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment.

A straight line will be obtained when a graph of against is plotted.

Jadual 2 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.

Satu garis lurus akan diperolehi apabila satu graf melawan diplotkan.

x 1.25 1.43 2.00 2.50 4.00 5.00 [2 marks / markah]
y 4.47 4.38 4.18 3.87 2.83 2.24

Table 2 / Jadual 2
(a) Based on Table 2, construct a table for the values of and .

Berdasarkan pada Jadual 2, bina satu jadual untuk nilai-nilai and .
(b) Plot against , using a scale of 2 cm to 1 unit on the -axis and 2 cm to 2 units on the -axis.

Hence, draw the line of best fit.
Plot melawan , dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi- and 2 cm to 2 units on the

paksi- . [5 marks / markah]

(c) Using the graph in 2(b)
Menggunakan graf di 2(b)
(i) find the value of y when x = 2.7
nilai y apabila x = 2.7
(ii) express y in terms of x.
ungkapkan y dalam sebutan x.

Answer Space

81

3 SPM 2016 Paper 2 Q10
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 3 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment.
Variables x and y are related by the equation y = 2px + , where p and q are constants.

Jadual 3 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.
Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = 2px + , dengan keadaan p dan q ialah

pemalar.

x1 2 3 4 56

y 3.10 2.30 2.33 2.35 2.72 3.00

Table 3 / Jadual 3 [2 marks / markah]
(a) Based on Table 3, construct a table for the values of x2 and xy.

Berdasarkan pada Jadual 3, bina satu jadual untuk nilai-nilai x2 dan xy.
(b) Plot xy against x2, using a scale of 2 cm to 5 units on the x2-axis and 2 cm to 2 units on the xy-axis.

Hence, draw the line of best fit. [3 marks / markah]

Plot xy melawan x2, menggunakan skala 2 cm kepada 5 units pada paksi-x2 dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-

xy. Seterusnya, lukis garis penyuaian terbaik.

(c) Using the graph in 3(b), find the value of

Menggunakan graf di 3(b), cari nilai

(i) p,

(ii) q. [5 marks]

Answer Space

82

4 SPM 2015 Paper 2 Q11
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 4 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment.

Variables x and y are related by the equation nx = py + xy, where n and p are constants.

Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.

Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan nx = py + xy, dengan keadaan n dan p ialah

pemalar.

x 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

y 2.020 0.770 0.465 0.385 0.351 0.339

Table 4 / Jadual 4

(a) Based on Table 4, construct a table for the values of and . [2 marks / markah]

Berdasarkan Jadual 4, bina satu jadual untuk nilai-nilai dan .
(b) Plot against , using a scale of 2 cm to 0.1 unit on -axis and 2 cm to 0.5 unit on -axis.

Hence, draw the line of best fit. [3 marks / markah]

Plot melawan , menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi- dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-

. Seterusnya, lukis garis penyuaian terbaik. [5 marks / markah]

(c) Using the graph in 4(b), find the value of
Menggunakan graf di 4(b), cari nilai bagi
(i) n,
(ii) p.

Answer Space

83

5 SPM 2014 Paper 2 Q11
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 5 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. Variables x and y are

related by the equation y = , where h and k are constants.

Jadual 5 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.

Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan h dan k ialah pemalar.

x 4 6 8 10 12 14

y 2.82 2.05 1.58 1.23 0.89 0.66

Table 5 / Jadual 5

(a) Based on Table 5, construct a table for the values of log10 y. [2 marks / markah]

Berdasarkan pada Jadual 5, bina satu jadual untuk nilai-nilai log10 y.

(b) Plot log10 y against x, using a scale of 2 cm to 2 units on x-axis and 2 cm to 0.1 unit on log10 y-axis.

Hence, draw the line of best fit. [3 marks / markah]

Plot log10 y melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.1 unit pada
paksi-log10 y.
(c) Using the graph in 5(b), find the value of

Menggunakan graf di 5(b), cari nilai bagi

(i) y when x = 2,

y apabila x = 2,

(ii) h,

(iii) k. [6 marks / markah]

Answer Space

84

6 SPM 2013 Paper 2 Q7
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 7 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. Variables x and y are

related by the equation y = + 2kx, where p and k are constants.

Jadual 7 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.

Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = + 2kx, dengan keadaan p dan k ialah

pemalar.

x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 5.5

y 8.00 4.75 3.83 3.58 3.65 3.72

Table 7 / Jadual 7 [2 marks / markah]
(a) Based on Table 7, construct a table for the values of x2 and xy.

Berdasarkan pada Jadual 7, bina satu jadual bagi nilai-nilai x2 dan xy.
(b) Plot xy against x2, using a scale of 2 cm to 5 units on x2-axis and 2 cm to 2 units on the xy-axis.

Hence, draw the line of best fit. [3 marks]

Plot xy melawan x2, menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada paksi-x2 dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-

xy. Seterusnya, lukis garis penyuaian terbaik.

(c) Using the graph in 6(b), find the value of

Menggunakan graf di 6(b), cari nilai bagi

(i) p,

(ii) k. [5 marks / markah]

Answer Space

85

7 TRIAL STATE JUJ PAHANG 2018
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Diagram 7 / Rajah 7
Diagram 7 shows that AB is a smooth plane that slopes with θ to the horizontal. A particle P is rolled up
along the plane from point A with an initial velocity of v0 ms-1 and its distance from point A is s meter after t

seconds. The values for t and s are shown in Table 7.
Rajah 7 menunjukkan bahawa AB ialah satu satah licin dengan sudut satah θ kepada ufukan. Suatu zarah P diguling
naik sepanjang satah dari titik A dengan halaju awal v0 ms-1 dan jaraknya dari titik A ialah s meter selepas t saat.

Nilai-nilai bagi t dan s ditunjukkan dalam Jadual 7.

t (second) 1 2 3 4 5 6

s (meter) 35.75 64 90 108 125 126

Table 7 / Jadual 7
The relation of the distance travelled, s meter with the time, t second is s = vot – 5t2 sin θ.
Hubungan antara jarak yang dilalui, s meter dengan masa, t saat ialah s = vot – 5t2 sin θ.

(a) Plot against t, using a scale of 2 cm to 1 unit on the t-axis and 2 cm to 5 units on the -axis.

Hence, draw the line of best fit. [4 marks / markah]

Plot melawan t, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-t dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi- .

Seterusnya, luksi garis penyuaian terbaik. [6 marks / markah]

(b) Using the graph in 7(b), find the value of
Menggunakan graf di 7(b), cari nilai bagi
(i) θ,

(ii) vo,
(iii) the distance of particle after 1.5 seconds from point A.

jarak zarah selepas 1.5 saat dari titik A.
Answer Space

86

8 TRIAL STATE KELANTAN 2018
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 8 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. The variables x and y are
related by an equation hy = 2(hx)2 + kx, where h and k are constants.

Jadual 8 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.
Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan hy = 2(hx)2 + kx, dengan keadaan h dan k ialah

pemalar.

x2 3 4 5 6 7

y 8 13.2 20 27.5 36.5 45.4

Table 8 / Jadual 8

(a) Based on Table 8, construct a table for the values of . [2 marks / markah]

Berdasarkan pada Jadual 8, bina satu jadual untuk nilai-nilai .

(b) Plot against x, using a scale of 2 cm to 1 unit on x-axis and 2 cm to 1 unit on the -axis.

Hence, draw the line of best fit. [3 marks / markah]

Plot melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi- .

(c) Using the graph in 8(b), find the value of [5 marks / markah]
Menggunakan graf di 8(b), cari nilai bagi
(i) h,
(ii) k.

Answer Space

87

9 TRIAL STATE MRSM 2018
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 9 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. The variables x and y are

related by an equation y = , where p and q are constants.
Jadual 9 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.

Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = , dengan keadaan p dan q ialah

pemalar.

x1 4 9 16 25 36

y 1.78 2.63 3.72 5.75 8.91 12.59

Table 9 / Jadual 9

(a) Based on Table 8, construct a table for the values of log10 y and . [2 marks / markah]

Berdasarkan pada Jadual 8, bina satu jadual untuk nilai-nilai bagi log10 y dan .

(b) Plot log10 y against , using a scale of 2 cm to 1 unit on -axis and 2 cm to 0.1 units on the log10 y-

axis. Hence, draw the line of best fit. [3 marks / markah]

Plot log10 y melawan , menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi- dan 2 cm kepada 0.1 units
pada paksi- log10 y . Seterusnya, lukis garis penyuaian terbaik. [5 marks / markah]
(c) Using the graph in 9(b), find the value of
Menggunakan graf di 9(b), cari nilai bagi
(i) p,
(ii) q.
Answer Space

88

10 TRIAL STATE KEDAH 2018
Use a graph paper to answer this question.
Guna kertas graf untuk menjawab soalan ini.

Table 10 shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. The variables x and y are
related by an equation = k + hx, where h and k are constants.

Jadual 10 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y yang diperolehi daripada suatu eksperimen.

Pembolehubah-pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan = k + hx, dengan keadaan h dan k ialah

pemalar. and . [2 marks / markah]
x 0.80 1.00 1.25 2.00 2.50 5.00
y 0.36 0.45 0.59 1.04 1.43 5.00
Table 10 / Jadual 10

(a) Based on Table 10, construct a table for the values of

Berdasarkan pada Jadual 10, bina satu jadual untuk nilai-nilai dan .
(b) Plot against , using a scale of 2 cm to 0.2 units on -axis and 2 cm to 0.5 units on the -axis.

Hence, draw the line of best fit. [3 marks / markah]

Plot melawan , menggunakan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi- dan 2 cm kepada 0.5 units pada

paksi- . Seterusnya, lukis garis penyuaian terbaik. [5 marks / markah]

(c) Using the graph in 10(b), find the value of
Menggunakan graf di 10(b), cari nilai bagi
(i) h,
(ii) k,
(iii) y when x = 1.6.
y apabila x = 1.6.

Answer Space

89

FORM 5 CHAPTER 8 PROBABILITY DISTRIBUTIONS

SECTION B PAPER 2

1 SPM 2018 Paper 2 Q9
A study shows that the credit card balance of the customers is normally distributed as shown in Diagram 1.
Satu kajian menunjukkan hutang kad kredit bagi pelanggan-pelanggan adalah bertaburan normal seperti ditunjukkan
dalam Rajah 1.

Diagram 1 / Rajah 1

(a) (i) Find the standard deviation.

Cari sisihan piawai.

(ii) If 30 customers are chosen at random, find the number of customers who have a credit card

balance between RM1800 and RM3000.

Jika 30 pelanggan dipilih secara rawak, cari bilangan pelanggan yang mempunyai imbangan kad kredit

antara RM1800 dan RM3000. [7 marks / markah]

(b) It is found that 25% of the customers have a credit card balance less than RM y. Find the value of y.

Didapati bahawa 25% daripada pelanggan-pelanggan mempunyai hutang kad kredit kurang daripada RM y.

Cari nilai bagi y. [3 marks / markah]

Answer Space

90

2 SPM 2017 Paper 2 Q7

(a) The mass of honeydews produced in a plantation is normally distributed with a mean of 0.8 kg and a

standard deviation of 0.25 kg. The honeydew are being classified into three grades A, B and C according

to their masses:

Jisim bagi buah tembikai susu yang dihasilkan dalam tanaman adalah bertaburan normal dengan min 0.8 kg dan

sisihan piawai 0.25 kg. Tembikai susu itu dikelaskan kepada tiga gred A, B dan C mengikut jisim masing-masing:

Grade A > Grade B > Grade C

(i) The minimum mass of a grade A honeydew is 1.2 kg.

If a honeydew is picked at random from the plantation, find the probability that the honeydew is of

grade A.

Jisim minimum bagi gred A tembikai susu ialah 1.2 kg.

Jika sebiji tembikai susu dipilih secara rawak daripada tanaman itu, cari kebarangkalian bahawa tembikai

susu itu ialah red A.

(ii) Find the minimum mass, in kg, of grade B honeydew if 20% of the honeydews are of grade C.

Cari jisim minimum, dalam kg, bagi gred B tembikai susu jika 20% daripada tembikai susu tersebut ialah

gred C. [5 marks / markah]

(b) At the Shoot the Duck game booth at an amusement park, the probability of winning us 25%. Jason

bought tickets to play n games. The probability for Jason to win once is 10 times the probability of

losing all games.

Dalam permainan Menembak Itik di taman hiburan, kebarangkalian untuk menang ialah 25%. Jason telah

membeli tiket untuk bermain permainan itu sebanyak n kali. Kebarangkalian untuk Jason menang sekali dalam

permainan itu adalah 10 kali kebarangkalian kalah dalam semua permainan.

(i) Find the value of n.

Cari nilai bagi n.

(ii) Calculate the standard deviation of the number of wins.

Cari sisihan piawai bagi bilangan kemenangan. [5 marks / markah]

Answer Space

91

3 SPM 2016 Paper 2 Q9

(a) It is found that 20% of the students from Kampung Aman walk to school.

If 8 students from Kampung Aman are chosen at random, find the probability that exactly 3 of them

walk to school.

Didapati bahawa 20% daripada pelajar-pelajar dari Kampung Aman berjalan kaki ke sekolah.

Jika 8 pelajar dari Kampung Aman dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa tepat 3 orang daripada

mereka berjalan kaki ke sekolah. [2 marks / markah]

(b) The mass of pineapples harvested from a farm follows a normal distribution with a mean of 2 kg and a

standard deviation of m kg. It is given that 15.87% of the pineapples have a mass more than 2.5 kg.

Jisim nanas yang dituai daripada suatu ladang bertaburan normal dengan min 2 kg dan sisihan piawai m kg.

Diberi bahawa 15.87% daripada nanas itu mempunyai jisim lebih daripada 2.5 kg.

(i) Calculate the value of m.

Hitung nilai m.

(ii) Given the number of pineapples harvested from the farm is 1320, find the number of pineapples

that have the mass between 1.0 kg and 2.5 kg.

Diberi bilangan biji nanas yang dituai daripada ladang itu ialah 1320, cari bilangan nanas yang

mempunyai jisim antara 1.0 kg dan 2.5 kg. [8 marks / markah]

Answer Space

92

4 SPM 2015 Paper 2 Q10
(a) The probability of a student cycles to school is p. A sample of 5 students is selected at random.
Kebarangkalian seorang murid berbasikal ke sekolah ialah p. satu sampel 5 orang murid dipilih secara rawak.
(i) If the probability of all the 5 students cycle to school is 0.16807, find the value of p.
Jika kebarangkalian semua murid berbasikal ke sekolah ialah 0.16807, cari nilai bagi p.
(ii) Find the probability that more than 3 students cycle to school.
Cari kebarangkalian bahawa lebih daripada 3 orang murid berbasikal ke sekolah. [5 marks / markah]
(b) Diagram 4 shows a standard normal distribution graph representing the volume of chilli saunce in bottles
produced by a factory.
Rajah 4 menunjukkan satu graf taburan normal yang mewakili isipadu sos cili di dalam botol yang dihasilkan oleh
suatu kilang.

Diagram 4 / Rajah 4
It is given the mean is 950 cm3 and the variance is 256 cm6. If the percentage of the volume more than V

is 30.5%, find
Diberi bahawa min ialah 950 cm3 dan varians ialah 256 cm6. Jika peratus isipadu yang melebihi V ialah 30.5%,

cari

(i) the value of V,

nilai V, [5 marks / markah]

(ii) the probability that the volume between 930 cm3 and 960 cm3.
kebarangkalian bahawa isipadu adalah antara 930 cm3 dan 960 cm3.

Answer Space

93

5 SPM 2014 Paper 2 Q7

A survey is carried out about a scout in a school.

Suatu kajian dijalankan mengenai pengakap di sekolah.

(a) It is found that the mean of the number of scouts is 315, the variance is 126 and the probability that a

student participate in scout is p.

Didapati bahawa min untuk bilangan pengakap ialah 315, varians ialah 126 dan kebarngkalian bahawa seorang

murid menyertai pengakap ialah p.

(i) Find the value of p.

Cari nilai bagi p.

(ii) If 8 students from the school are chosen at random, find the probability that more than 5 students

participate in scout.

Jika 8 murid daripada sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalia bahawa lebih daripada 5 murid

menyertai pengakap. [5 marks / markah]

(b) The mass of the scout members in the school follows a normal distribution with a mean of 48 kg and a

standard deviation of 5.8 kg. Find

Jisim bagi ahli pengakap di sekolah adalah mengikut taburan normal dengan min 48 kg dan sisihan piawai 5.8 kg.

Cari

(i) the probability that a member chosen at random from the group has a mass less than 45 kg.

kebarangkalian bahawa ahli yang dipilih daripada kumpulan itu mempunyai jisim kurang daripada 45 kg.

(ii) the value of m, if 25% of the scout members have a mass more than m kg.

nilai m, jika 25% daripada ahli pengakap mempunyai jisim lebih daripada m kg. [5 marks / markah]

Answer Space

94

6 SPM 2013 Paper 2 Q10

(a) It is found that 70% of the students from a certain class obtained grade A in Geography in SPM trial

examination. If 10 students from the class are selected at random, find the probability that

Didapati bahawa 70% daripada murid dari suatu kelas memperolehi gred A dalam Geografi di peperiksaan

Percubaan SPM. Jika 10 murid daripada kelas itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa

(i) exactly 8 students obtained grade A,

tepat 8 murid memperolehi gred A,

(ii) not more than 8 students obtained grade A.

tidak lebih daripada 8 murid memperolehi gred A. [4 marks / markah]

(b) The Cumulative Grade Pointer Average (CGPA) of the final year students in a university following a

normal distribution with a mean of 2.6 and a standard deviation of 0.25.

Gred Purata Mata Terkumpul (CGPA) bagi pelajar tahun akhir dalam suatu universiti adalah mengikut

taburan normal dengan min 2.6 dan sisihan piawai 0.25.

(i) If one student is randomly selected, find the probability that the CGPA of the student is more than

3.0.

Jika seorang pelajar dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa CGPA bagi pelajar itu melebihi

3.0.

(ii) A degree will be given to the final year students who obtained CGPA more than k.

If 89.5% of the students manage to get a degree, find the value of k.

Satu ijazah akan diberi kepada pelajar tahun akhir yang memperolehi CGPA lebih daripada k.

Jika 89.5% daripada pelajar berjaya mendapat ijazah, cari nilai bagi k. [6 marks / markah]

Answer Space

95

7 TRIAL PAHANG JUJ 2019 Paper 2 Q9

(a) The probability of a voter walking to the polling station is p. A sample of 6 voters was randomly

selected.

Kebarangkalian seorang pengundi berjalan kaki ke stesen mengundi ialah p. Suatu sampel dengan 6 orang dipilih

secara rawak.

(i) If the probability of 6 voters walking to the polling center is 0.11765, find the value of p.

Jika kebarangkalian bahawa 6 orang berjalan kaki ke pusat mengundi ialah 0.11765, cari nilai bagi p.

(ii) Find the probability that at most two people are not walking.

Cari kebarangkalian bahawa selebih-lebihnya dua orang tidak berjalan kaki. [4 marks / markah]

(b) Diagram 7 shows a standard normal distribution graph representing the age group who came to vote in

the general election in a district.

Rajah 7 menunjukkan suatu graf taburan normal yang menggambarkan umur kumpulan yang datang mengundi di

suatu kawasan mengundi awam.

Diagram 7 / Rajah 7
It was found that the age of voters who came to the voting center was normally distributed with a mean
of 38.5 years and a standard deviation of 5.5 years. If the percentage of the age group in the shaded
region is 68.26%, find
Didapati bahawa umur pengundi yang datang ke pusat mengundi bertaburan normal dengan min 38.5 tahun dan
sisihan piawai 5.5 tahun. Jika peratus kumpulan umur di kawasan berlorek ialah 68.26%, cari
(i) the age range of the voters in the shaded region,

julat umur bagi pengundi di kawasan berlorek,
(ii) the probability that age groups who come to a vote exceed 55 years.

kebarangkalian bahawa kumpulan umur yang datang mengundi melebih 55 tahun. [6 marks / markah]
Answer Space

96

9 (a) 40% of the students in a school go to school by bus. A sample of 10 students is chosen. Find the

probability that

40% daripada pelajar di sekolah pergi ke sekolah dengan bs. Satu sampel 10 orang pelajar dipilih. Cari

kebarangkalian bahawa

(i) 3 of them go to school by bus,

3 daripada mereka pergi ke sekolah dengan bas,

(ii) more than 7 students go to school by bus.

lebih daripada 7 orang pelajar pergi ke sekolah dengan bas. [4 marks / markah]

(b) The lifespan of a car tyre from a factory is normally distributed with a mean of 2 years and a standard

deviation of 3 months. Find the probability that a tyre chosen at random form the factory will last for

Jangka hayat bagi sebiji tayar kereta dari kilang ialah bertaburan normal dengan min 2 tahun dan sisihan piawai

3 bulan. Cari kebarangkalian bahawa sebiji tayar yang dipilih secara rawak daripada kilang akan bertahan untuk

(i) at least 2.5 years,

sekurang-kurangnya 2.5 tahun,

(ii) 1.5 years to 2 years 2 months.

1.5 tahun hingga 2 tahun 2 bulan. [6 marks / markah]

Answer Space

97

FORM 5 CHAPTER 10 LINEAR PROGRAMMIG

PAPER 2 SECTION C

1 Translating the sentences to inequalities

Sentence Inequality

The total x and y is at least 20 x + y  20
Jumlah x dan y mesti sekurang-kurangnya 20

The total x and y is at most 20 x + y  20
Jumlah x dan y mesti selebih-lebihnya 20

The total x and y is more than 20 x + y > 20

Jumlah x dan y mesti lebih daripada 20

The total x and y is less than 20 x + y < 20

Jumlah x dan y kurang daripada 20

The total x and y is not less than 20 x + y  20
Jumlah x dan y tidak kurang daripada 20

The total x and y is not more than 20 x + y  20
Jumlah x dan y tidak melebihi 20

x must be at least twice the y x  2y
x mesti sekurang-kurangnya dua kali y

x must be at most twice the y x  2y
x mesti selebih-lebihnya dua kali y x – y  20
x must exceed y at most 20 x – y  20
x mesti melelbih y dengan selebih-lebihya 20 x – y > 20
x must exceed y at least 20
x mesti melebihi y dengan sekurang-kurangnya 20
x must exceed y with more than 20

x mesti melebihi y dengan lebih daripada 20

Ratio of x to the y is at least with 3 : 2 x:y3:2 Or
Nisbah x kepada y sekurang-kurangnya 3 : 2  

2x  3y x y
3y  2y yx
Or
Ratio of x to the y is at most with 3 : 2 x:y3:2
Nisbah x kepada y selebih-lebihnya 3 : 2  

2x  3y x y
3y  2y yx

x is at most 80% of the y x y
x selebih-lebihnya 80% daripada y
100x  80y
x is at least 75% of the y 80y  100x
x sekurang-kurangnya 75% daripada y x y

100x  75y
75y  100x

Example: For Question (b)(ii)

Maximum cost = 30x + 40y
Let 30x + 40y = 120, 240, 360, …….1200, 2400, 3600,…


Multiple of 30 and 40. Maybe 120 or 240 or 360 or……depends on
the scale of axes.

Line
 and  : Solid line

> and < : Dashed-line

Shaded Region R
Make sure to arrange the inequalities so that the y is at the left side before
determining the region R.
Let say you get the inequality x  3y

Rearrange: 3y  x  Shade above the line of 3y = x

98

1 SPM 2018 Paper 2 Q15
Use the graph paper provided to answer this question. Detach the graph paper and tie it together with your answer
booklet.
Guna kertas graf yang disediakan untuk menjawab soalan ini. Kepilkan kertas graf dan ikat bersama dengan buku jawapan anda.

A department store sells two types of perfumes, P and Q. The selling price of perfume P is RM400 per bottle and

perfume Q is RM100 per bottle. A promoter, Zie sells x bottles of perfume P and y bottles of perfume Q. She will be

given a 5% commission of her total sales if she is able to achieve the following targets:

Sebuah pusat membeli-belah menjual dua jenis pewangi, P dan Q. Harga jualan bagi pewangi P is RM400 sebotol dan pewangi Q

ialah RM100 sebotol. Seorang promoter, Zie menjual x botol pewangi P dan y botol pewangi Q. Dia akan diberi komisen 5%

daripada jumlah jualannya jika dia mampu mencapai sasaran berikut:

I The total number of bottles of perfume sold is at least 50.

Jumlah bilangan botol pewangi yang dijual mesti sekurang-kurangnya 50.

II The minimum total sale is RM8000.

Jumlah jualan minimum ialah RM8000. [2 marks / markah]
(a) Write two inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0, which satisfy all the above constraints.

Tulis dua ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0, yang memuaskan kesemua kekangan di atas.

(b) Use a scale of 2 cm to 10 bottles on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above

constraints.

Menggunakan skala 2 cm kepada 10 botol pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memuskan kesemua

kekangan. [3 marks / markah]

(c) Use the graph constructed in 1(b) to answer the following questions:

Guna graf yang dibina di 1(b) untuk menjawab soalan berikut:

(i) Find the minimum number of bottles of perfume P and perfume Q to be sold if the number of bottles of

perfume Q sold is twice the number of bottles of perfume P.

Cari bilangan minimum botol pewangi P dan pewangi Q yang akan dijual jika bilangan botol pewangi Q yang dijual

ialah dua kali bilangan botol pewangi P.

(ii) Determine the minimum amount of commissions received by Zie if she is able to sell 35 bottles of perfume P.

Tentukan jumlah minimum komisen yang diterima oleh Zie jika dia mampu menjual 35 bottles pewangi P.

[5 marks / markah]

Answer Space

(a) I : x + y  50

II : 400x + 100y  8000

(b) For x + y  50 For 400x + 100y  8000

Let x + y  50 Let 400x + 100y  8000

x 0 50 x 0 20

y 50 0 y 80 0

On graph paper [Remember to label the axes, the lines]

(c)(i) y = 2x
x 0 20
y 0 40

From graph, (17, 34) is the minimum point.
So, number of perfume P sold is 17 and the number of perfume Q sold is 34

(c)(ii) From graph, if perfume P, x = 35, then perfume Q, y = 15
So, total commissions = [35(RM400) + 15(RM100) ] ×
= RM775

99

GQruaepsthioonf 1s(ibn)e i against sine r
Graf sin i melawan sin r

y
100

90

80 y = 2x

400x + 100y = 8000
70

60

50

R

40

(17, 34)
30

20

10 x + y = 50

0 10 20 30 x = 35 40 50 60 70 80 x

100