Fisica_para_Ciencias_e_Ingenieria_Vol_1

56. (III) Considere una parcela de aire que se mueve a una altitud 58. (I) Un extremo de una varilla de cobre de 45 cm de largo, con
diferente y en la atmósfera de la Tierra (figura 19-33). Confor- un diámetro de 2.0 cm, se mantiene a 460°C, y el otro extremo
me la parcela cambia de altitud adquiere la presión P del aire se sumerge en agua a 22°C. Calcule la tasa de conducción tér-
circundante. A partir de la ecuación 13-4 tenemos mica a lo largo de la varilla.

dP = – rg 59. (II) ¿Cuánto tarda el Sol en fundir un bloque de hielo a 0°C
dy con una área horizontal plana de 1.0 m2 y 1.0 cm de grosor? Su-
ponga que los rayos del Sol forman un ángulo de 35° con la ver-
donde r es la densidad de masa dependiente de la altitud de la tical y que la emisividad del hielo es 0.050.

parcela. Durante este movimiento, el volumen de la parcela cam- 60. (II) Conducción de calor a la piel. Suponga que 150 W de calor
fluyen por conducción de los capilares sanguíneos bajo la piel al
y área superficial del cuerpo de 1.5 m2. Si la diferencia de tempe-
ratura es de 0.50 C°, estime la distancia promedio de los capila-
“Parcela” de N res bajo la superficie de la piel.
moléculas de aire
61. (II) Una tetera de cerámica (⑀ ϭ 0.70) y una brillante (⑀ ϭ 0.10)
yϭ0 contienen, cada una, 0.55 L de té a 95°C. a) Estime la tasa de
pérdida de calor de cada tetera y b) estime la disminución
FIGURA 19–33 de temperatura después de 30 min para cada una. Considere
Problema 56. sólo la radiación y suponga que el entorno está a 20°C.

biará y, como el aire es un conductor deficiente, suponemos que 62. (II) Una varilla de cobre y una de aluminio de la misma lon-
gitud y área transversal se unen extremo con extremo (figura
esta expansión o contracción tendrá lugar de manera adiabáti- 19-34). El extremo de cobre se coloca en un horno que se man-
tiene a una temperatura constante de 225°C. El extremo de alu-
ca. a) A partir de la ecuación 19-15, PVg ϭ constante, demuestre minio se coloca en un baño de hielo que se mantiene a
temperatura constante de 0.0°C. Calcule la temperatura en el
que, para un gas ideal que experimenta un proceso adiabático, punto donde se unen las dos varillas.
P1ϪgT g ϭ constante. Luego demuestre que la presión y la tem-
Cu Al
peratura de la parcela se relacionan mediante
225°C T=? 0.0°C

(1 - g) dP + g P dT = 0 FIGURA 19–34 Problema 62.
dy T dy

y, por lo tanto,

(1 - g)(– rg) + g P dT = 0. 63. (II) a) Con la constante solar, estime la tasa a la que toda la
T dy Tierra recibe energía del Sol. b) Suponga que la Tierra irradia
una cantidad igual de vuelta hacia el espacio (esto es, la Tierra
b) Use la ley del gas ideal con el resultado del inciso a) para de- está en equilibrio). Luego, suponiendo que la Tierra es un emi-
mostrar que el cambio en la temperatura de la parcela con el sor perfecto (⑀ ϭ 1.0), estime su temperatura superficial prome-
cambio en altitud está dado por dio. [Sugerencia: Use área A = 4pr2E , y fundamente por qué].

dT = 1 - g mg 64. (II) Una bombilla de 100 W genera 95 W de calor, que se disi-
dy gk pan a través de un bulbo de vidrio que tiene un radio de 3.0 cm
y 0.50 mm de grosor. ¿Cuál es la diferencia en la temperatura
donde m es la masa promedio de una molécula de aire y k es la entre las superficies interior y exterior del vidrio?
constante de Boltzmann. c) Dado que el aire es un gas diatómi-
co con una masa molecular promedio de 29, demuestre que 65. (III) Un termostato doméstico normalmente se fija a 22°C, pe-
dT/dy ϭ Ϫ9.8 C°/km. Este valor se llama gradiente adiabático ro en la noche se baja a 12°C durante 9.0 h. Estime cuánto más
para aire seco. d) En California, los vientos occidentales preva- calor se produciría (como porcentaje de uso diario) si el ter-
lecientes descienden de una de las elevaciones más altas (la mostato no se bajara en la noche. Suponga que la temperatura
montañas de la Sierra Nevada de 4000 m) a una de las elevaciones exterior promedia 0°C durante las 9.0 h en la noche y 8°C para
más bajas (Death Valley, Ϫ100 m) en la zona continental de Es- el resto del día, y que la pérdida de calor de la casa es propor-
tados Unidos. Si un viento seco tiene una temperatura de Ϫ5°C cional a la diferencia en temperatura entre el interior y el exte-
en lo alto de la Sierra Nevada, ¿cuál es la temperatura del vien- rior. Para obtener una estimación a partir de los datos, tendrá
to después de descender a Death Valley? que hacer otras suposiciones simplificadoras; indique cuáles son
esas suposiciones.
19–10 Conducción, convección, radiación
66. (III) ¿Aproximadamente cuánto tardarán en fundirse 9.5 kg de
57. (I) a) ¿Cuánta potencia radia una esfera de tungsteno (emisi- hielo a 0°C, cuando se colocan en una hielera de poliestireno,
vidad ⑀ ϭ 0.35) de 16 cm de radio a una temperatura de 25°C? de 25 cm ϫ 35 cm ϫ 55 cm, sellada cuidadosamente, cuyas pa-
b) Si la esfera está encerrada en una habitación cuyas paredes redes miden 1.5 cm de grosor? Suponga que la conductividad
se mantienen a Ϫ5°C, ¿cuál es la tasa de flujo de energía neta del poliestireno duplica la del aire y que la temperatura exte-
hacia fuera de la esfera? rior es de 34°C.

Problemas 525

67. (III) Una tubería cilíndrica tiene radio interior R1 y radio 68. (III) Suponga que las cualidades aislantes de la pared de una casa
exterior R2. El interior de la tubería transporta agua caliente a
temperatura T1. La temperatura exterior es T2 (Ͻ T1). a) De- provienen principalmente de Ladrillo Aislamiento
muestre que la tasa de pérdida de calor para una longitud L de (R1) (R2)
tubería es una capa de ladrillo de 4.0 pul-
gadas y una capa de aislante

R-19, como se muestra en la fi-

gura 19-35. ¿Cuál es la tasa to-

dQ 2pkAT1 - T2BL , tal de pérdida de calor a través T2 T1
dt lnAR2͞R1B de esa pared, si su área total es
= de 195 ft2 y la diferencia de

donde k es la conductividad térmica de la tubería. b) Suponga temperatura a través de ella es Flujo
que la tubería es de acero con R1 ϭ 3.3 cm, R2 ϭ 4.0 cm y T2 ϭ de 12 F°? de calor
18°C. Si la tubería contiene agua quieta a T1 ϭ 71°C, ¿cuál será la
tasa inicial de cambio de su temperatura? c) Suponga que agua a FIGURA 19–35 Problema 68.
71°C entra a la tubería y se mueve a una rapidez de 8.0 cm/s. Dos capas que aíslan una pared.
¿Cuál será su descenso de temperatura por centímetro de viaje?

Problemas generales

69. Una lata de bebida refrescante contiene aproximadamente 0.20 76. Una casa tiene paredes bien aisladas de 19.5 cm de grosor (su-
kg de líquido a 5°C. Beber este líquido en realidad puede con- ponga conductividad del aire) y 410 m2 de área, un techo de
sumir algo de la grasa en el cuerpo, pues se necesita energía pa- madera de 5.5 cm de grosor y 280 m2 de área, y ventanas descu-
ra calentar el líquido a la temperatura corporal (37°C). biertas de 0.65 cm de grosor y 33 m2 de área total. a) Si se supo-
¿Cuántas Calorías debe tener la bebida de manera que esté en ne que el calor se pierde sólo por conducción, calcule la tasa a
perfecto equilibrio con el calor necesario para calentar el líqui- la que se debe suministrar calor para que esta casa mantenga su
do (en esencia, agua)? temperatura interior a 23°C, si la temperatura exterior es de
Ϫ15°C. b) Si la casa inicialmente está a 12°C, estime cuánto ca-
70. a) Encuentre la potencia total radiada al espacio por el Sol, si se lor se debe suministrar para elevar la temperatura a 23°C en un
supone que es un emisor perfecto a T ϭ 5500 K. El radio del Sol lapso de 30 min. Suponga que sólo el aire necesita calentarse y
es 7.0 ϫ 108 m. b) A partir de esto, determine la potencia por que su volumen es de 750 m3. c) Si el gas natural cuesta $0.080
unidad de área que llega a la Tierra, a 1.5 ϫ 1011 m de distancia. por kilogramo y su calor de combustión es de 5.4 ϫ 107 J/kg,
¿cuánto es el costo mensual para mantener la casa como en el
71. Para tener una idea de cuánta energía térmica está contenida inciso a) durante las 24 h del día, suponiendo que el 90% del
en los océanos del mundo, estime el calor liberado cuando un calor producido se utiliza para calentar la casa? Considere 0.24
cubo de agua de océano, de 1 km por lado, se enfría en 1 K. kcal/kgиC° el calor específico del aire.
(Aproxime el agua del océano como agua pura para esta esti-
mación). 77. En un juego típico de squash (figura 19-36), dos personas gol-
pean una pelota de caucho suave hacia una pared hasta que es-
72. Un alpinista viste una chamarra de plumas de ganso de 3.5 cm tán a punto de caer por deshidratación y agotamiento. Suponga
de grosor, con área superficial total de 0.95 m2. La temperatura que la bola golpea la pared a una velocidad de 22 m/s y rebota
en la superficie de la vestimenta es de Ϫ18°C y en la piel es de con una velocidad de 12 m/s, y que la pérdida de energía cinéti-
34°C. Determine la tasa de flujo de calor por conducción a tra- ca en el proceso calienta la bola. ¿Cuál será el aumento de tem-
vés de la chamarra a) si se supone que está seca y que la con- peratura de la bola después de rebotar? (El calor específico del
ductividad térmica k es la de las plumas de ganso, y b) si se caucho es de aproximadamente 1200 J/kgиC°).
supone que la chamarra está húmeda, de manera que k es la del
agua, y la chamarra se reduce a 0.50 cm de grosor. FIGURA 19–36 Problema 77.

73. Durante actividad ligera, una persona de 70 kg puede generar
200 kcal/h. Si se supone que el 20% de esto se destina a trabajo
útil y el otro 80% se convierte en calor, estime el aumento de
temperatura del cuerpo después de 30 min, si nada de este calor
se transfiere al ambiente.

74. Estime la tasa a la que se puede conducir calor desde el interior
del cuerpo hasta la superficie. Suponga que el grosor del tejido
es de 4.0 cm, que la piel está a 34°C, el interior está a 37°C, y que
el área superficial es de 1.5 m2. Compare esto con el valor medi-
do de aproximadamente 230 W que debe disipar una persona
que trabaja ligeramente. Esto demuestra con claridad la necesi-
dad de que la sangre efectúe un enfriamiento por convección.

75. Una corredora de maratón tiene una tasa metabólica promedio
de aproximadamente 950 kcal/h durante una carrera. Si la co-
rredora tiene una masa de 55 kg, estime cuánta agua perdería
por evaporación de la piel en una carrera que dura 2.2 h.

526 CAPÍTULO 19 Calor y la primera ley de la termodinámica

78. Una bomba de bicicleta es un cilindro de 22 cm de largo y 3.0 la temperatura de una bombilla de 150 W con un bulbo de vi-
cm de diámetro. La bomba contiene aire a 20.0°C y 1.0 atm. drio del mismo tamaño. Considere sólo radiación y suponga
Si la salida en la base de la bomba está bloqueada y la manija que el 90% de la energía se emite como calor.
se empuja muy rápidamente de manera que comprime el aire a
la mitad de su volumen original, ¿cuánto se calienta el aire en la 86. Suponga que 3.0 moles de neón (un gas monoatómico ideal) a
bomba? PTE se comprimen lenta e isotérmicamente a 0.22 del volumen
original. Luego se permite que el gas se expanda rápida y adia-
79. Un horno de microondas se usa para calentar 250 g de agua. En báticamente de nuevo a su volumen original. Determine las
su configuración máxima, el horno puede elevar la temperatura temperaturas y presiones máxima y mínima logradas por el gas;
del agua líquida de 20°C a 100°C en 1 min 45 s (ϭ 105 s). a) ¿A muestre en un diagrama PV dónde se registran estos valores.
qué tasa el horno introduce energía en el agua líquida? b) Si la
entrada de potencia del horno al agua permanece constante, de- 87. A temperaturas muy bajas, el calor específico molar de muchas
termine cuántos gramos de agua se evaporarán si el horno se sustancias varía como el cubo de la temperatura absoluta:
opera durante 2 min (en vez de sólo 1 min 45 s).
C = k T3 ,
80. La temperatura dentro de la corteza de la Tierra aumenta apro- T30
ximadamente 1.0 C° por cada 30 m de profundidad. La conduc-
tividad térmica de la corteza es de 0.80 W/C°иm. a) Determine que a veces se llama ley de Debye. Para sal de roca, T0 ϭ 281 K
el calor transferido del interior a la superficie para toda la Tie- y k ϭ 1940 J/molиK. Determine el calor necesario para elevar
rra en 1.0 h. b) Compare este calor con la cantidad de energía 2.75 moles de sal de 22.0 a 48.0 K.
que incide en la Tierra en 1.0 h por la radiación del Sol.
88. Un motor diesel logra ignición sin una bujía, mediante una
81. En un lago se forma una capa de hielo. El aire arriba de la capa compresión adiabática del aire a una temperatura por arriba de
está a Ϫ18°C, mientras que el agua está a 0°C. Suponga que el ca- la temperatura de ignición del diesel, que se inyecta en el cilin-
lor de fusión del agua que se congela en la superficie inferior se dro en el punto de máxima compresión. Suponga que el aire se
conduce a través de la capa al aire que hay arriba. ¿Cuánto tiem- introduce en el cilindro a 280 K y volumen V1, y se comprime
po tardará en formarse una capa de hielo de 15 cm de grosor? adiabáticamente a 560°C (L 1 000°F) y volumen V2. Si se supo-
ne que el aire se comporta como un gas ideal cuya razón CP a
82. Un meteorito de hierro se funde cuando entra en la atmósfera CV es 1.4, calcule la tasa de compresión V1/V2 del motor.
de la Tierra. Si su temperatura inicial era de Ϫ105°C afuera de
la atmósfera de la Tierra, calcule la velocidad mínima que debió 89. Cuando 6.30 ϫ 105 J de calor se agregan a un gas encerrado en
tener el meteorito antes de entrar en la atmósfera terrestre. un cilindro ajustado con un pistón ligero sin fricción que se
mantiene a presión atmosférica, se observa que el volumen au-
83. Un buzo libera una burbuja (esférica) de aire de 3.60 cm de menta de 2.2 m3 a 4.1 m3. Calcule a) el trabajo realizado por el
diámetro desde una profundidad de 14.0 m. Suponga que la gas y b) el cambio en la energía interna del gas. c) Grafique es-
temperatura es constante a 298 K, y que el aire se comporta co- te proceso en un diagrama PV.
mo un gas ideal. a) ¿De qué tamaño es la burbuja cuando al-
canza la superficie? b) Bosqueje un diagrama PV para el 90. En un ambiente frío, una persona puede perder calor por con-
proceso. c) Aplique la primera ley de la termodinámica a la ducción y radiación a una tasa de aproximadamente 200 W. Es-
burbuja, y determine el trabajo que realiza el aire al elevarse a time cuánto tardaría la temperatura corporal en disminuir de
la superficie, el cambio en su energía interna y el calor agrega- 36.6 a 35.6°C si el metabolismo casi se detuviera. Suponga una
do o eliminado del aire en la burbuja conforme ésta se eleva. masa de 70 kg. (Véase la tabla 19-1).
Considere que la densidad del agua es de 1000 kg/m3.
*Problemas numéricos/por computadora
84. Un compresor “reciprocante” es un dispositivo que comprime
aire mediante un movimiento en línea recta de ida y vuelta, como * 91. (II) Suponga que 1.0 mol de vapor a 100°C y 0.50 m3 de volu-
un pistón en un cilindro. Considere un compresor reciprocante men se expande isotérmicamente a 1.00 m3 de volumen. Supon-
que corre a 150 rpm. Durante una carrera de compresión, se ga que el vapor obedece la ecuación de van der Waals
comprime 1.00 mol de aire. La temperatura inicial del aire es de AP + n2a͞V2B(V͞n - b) = RT, (ecuación 18-9) con a ϭ 0.55
390 K, el motor del compresor suministra 7.5 kW de potencia Nиm4/mol2 y b ϭ 3.0 ϫ 10Ϫ5 m3/mol. Con la expresión dW ϭ P
para comprimir el aire y se elimina calor a una tasa de 1.5 kW. dV, determine numéricamente el trabajo total realizado W. Su
Calcule el cambio de temperatura por carrera de compresión. resultado debe concordar dentro del 2% con el resultado obte-
nido mediante integración de la expresión para dW.
85. La temperatura de la superficie de vidrio de una bombilla de 75
W es 75°C cuando la temperatura ambiente es de 18°C. Estime

Respuestas a los ejercicios Menor.
F: – 6.8 * 103 J.
A: b). G: d).
B: c).
C: 0.21 kg.
D: 700 J.

Problemas generales 527

Existen muchos usos para una máqui-O
na térmica, como en los antiguos tre-
nes de vapor y las modernas plantasCA Segunda ley de la
eléctricas que queman carbón. Las má- termodinámica
quinas de vapor producen vapor que
realiza trabajo: sobre las turbinas para
generar electricidad y sobre los pisto-
nes que mueven las bielas para impul-
sar las ruedas de una locomotora. La
eficiencia de cualquier máquina, sin
importar el cuidado con el que se dise-
ñe, es limitada por naturaleza, como se
describe en la segunda ley de la termo-
dinámica. Esta gran ley se establece
mejor en términos de una cantidad lla-
mada entropía, que es diferente a cual-
quier otra. La entropía no se conserva,
sino que, en vez de ello, siempre se ve
forzada a aumentar en cualquier pro-
ceso real. La entropía es una medida
del desorden. La segunda ley de la ter-
modinámica nos dice que, conforme el
tiempo se mueve hacia delante, el de-
sorden en el universo aumenta.

En este capítulo analizaremos mu-
chos asuntos prácticos, incluyendo las
máquinas térmicas, las bombas de ca-
lor y la refrigeración.

ÍTUL

20P

CONTENIDO PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO: ¡Adivine ahora!
Las plantas generadoras de electricidad que queman combustible fósil producen “con-
20–1 La segunda ley de la taminación térmica”. Parte del calor producido por la quema de combustible no se
termodinámica: Introducción convierte en energía eléctrica. La razón para este desperdicio es
20–2 Máquinas térmicas
20–3 a) La eficiencia es mayor si se permite escapar parte del calor.
Procesos reversibles e b) La tecnología de la ingeniería todavía no alcanza el punto en el que es posible la
irreversibles; la máquina de
Carnot recuperación del 100% del calor desperdiciado.
c) Debe producirse algo de calor de desecho: ésta es una propiedad fundamental de
20–4 Refrigeradores, acondicionadores
de aire y bombas térmicas la naturaleza cuando se convierte calor a trabajo útil.
d) Las plantas dependen de combustibles fósiles, no de combustible nuclear.
20–5 Entropía e) Ninguno de los enunciados anteriores es verdadero.

20–6 Entropía y la segunda ley de la E n este capítulo final acerca del calor y la termodinámica, estudiaremos la famosa
termodinámica segunda ley de la termodinámica, así como la cantidad “entropía” que surgió
de esta ley fundamental y que es la quintaesencia de su expresión. También es-
20–7 Del orden al desorden tudiaremos las máquinas térmicas —las máquinas que transforman calor en
20–8 Indisponibilidad de energía: trabajo en las plantas eléctricas, los trenes y los vehículos automotores—, ya que fueron las
primeras en mostrar que era necesaria una nueva ley. Al final, se discute brevemente la
Muerte térmica tercera ley de la termodinámica.

*20–9 Interpretación estadística de la

entropía y la segunda ley

*20–10 Temperatura termodinámica:

Tercera ley de la termodinámica

*20–11 Contaminación térmica,

calentamiento global y recursos
energéticos

528

20–1 La segunda ley de la

termodinámica: Introducción

La primera ley de la termodinámica afirma que la energía se conserva. Sin embargo,
podríamos imaginar muchos procesos que conservan energía pero que no ocurren en la
naturaleza. Por ejemplo, cuando un objeto caliente se pone en contacto con un objeto
frío, el calor fluye desde el más caliente hasta el más frío, nunca espontáneamente a la
inversa. Si el calor abandonara el objeto más frío y pasara al más caliente, la energía to-
davía se podría conservar. Sin embargo, esto no ocurre de manera espontánea.† Como
segundo ejemplo, considere lo que ocurre cuando suelta una piedra y ésta golpea el
suelo. La energía potencial inicial de la piedra cambia a energía cinética conforme la
piedra cae. Cuando la piedra golpea el suelo, esta energía, a la vez, se transforma en
energía interna de la piedra y el suelo en la vecindad del impacto; las moléculas se
mueven más rápido y la temperatura se eleva ligeramente. Sin embargo, ¿alguna vez ha
visto que ocurra lo contrario: que una piedra en reposo sobre el suelo súbitamente se
eleve en el aire porque la energía térmica de las moléculas se transformó en energía ci-
nética de la piedra como un todo? En este proceso se podría conservar la energía, aun-
que nunca se ha visto que esto ocurra.

Existen muchos otros ejemplos de procesos que tienen lugar en la naturaleza pero
cuyo inverso no ocurre. He aquí dos más. (1) Si usted pone una capa de sal dentro de
un frasco y encima coloca una capa de granos de pimienta de igual tamaño, cuando agi-
ta el frasco obtiene una mezcla homogénea. Sin importar cuánto lo agite, la mezcla no
se separará en dos capas de nuevo. (2) Las tazas de café y los vasos se rompen espon-
táneamente si se dejan caer. Sin embargo, los trozos no vuelven a unirse de manera es-
pontánea (figura 20-1).

?? FIGURA 20–1 ¿Alguna vez ha
observado este proceso: una taza rota
que espontáneamente se vuelve a
armar y sube a una mesa? Este
proceso podría conservar energía y
obedecer otras leyes de la mecánica.

a) Estado inicial. b) Más tarde: la taza se vuelve c) Más tarde todavía: la copa

a armar y se eleva. regresa a la mesa.

La primera ley de la termodinámica (conservación de la energía) no se violaría si SEGUNDA LEY DE LA
alguno de estos procesos ocurriera a la inversa. Para explicar esta falta de reversibili- TERMODINÁMICA
dad, los científicos de la última mitad del siglo XIX formularon un nuevo principio co- (enunciado de Clausius)
nocido como la segunda ley de la termodinámica.

La segunda ley de la termodinámica es un enunciado acerca de cuáles procesos
ocurren en la naturaleza y cuáles no. Se puede expresar en varias formas, todas ellas
equivalentes. Un enunciado, formulado por R. J. E. Clausius (1822-1888), dice que

el calor puede fluir espontáneamente de un objeto caliente a uno frío; el calor no
fluirá espontáneamente de un objeto frío a uno caliente.
Como este enunciado se aplica a un proceso particular, no es obvio cómo se aplica a
otros procesos. Es necesario un enunciado más general que incluya otros posibles pro-
cesos de una forma más obvia.
El desarrollo de un enunciado general de la segunda ley de la termodinámica se
basó en parte en el estudio de las máquinas térmicas. Una máquina térmica es cual-
quier dispositivo que convierte energía térmica en trabajo mecánico, como las máqui-
nas de vapor o los motores de los automóviles. Ahora se examinarán las máquinas
térmicas desde un punto de vista práctico y se mostrará su importancia en el desarrollo
de la segunda ley de la termodinámica.

†Al decir “de manera espontánea” debe entenderse “por sí mismo”, sin entrada de trabajo de ninguna 529
índole. (Un refrigerador sí mueve calor de un ambiente frío a uno más caliente, pero sólo porque su
motor realiza trabajo, sección 20-4).

SECCIÓN 20–1 La segunda ley de la termodinámica: Introducción

Alta , TH 20–2 Máquinas térmicas
QH
Es fácil generar energía térmica al realizar trabajo: por ejemplo, con el solo hecho de
Máquina frotar sus manos vigorosamente o mediante cualquier proceso de fricción. Sin embar-
W go, obtener trabajo a partir de la energía térmica es más difícil, y un dispositivo práctico
para lograrlo se inventó alrededor del año 1700; se trata de la máquina de vapor.
QL
La idea básica detrás de cualquier máquina térmica es que se puede obtener ener-
Baja gía mecánica a partir de la energía térmica sólo cuando se permite que el calor fluya de
temperatura, TL una temperatura alta a una temperatura baja. En el proceso, parte del calor se transfor-
ma en trabajo mecánico, como se representa en el esquema de la figura 20-2. Aquí só-
FIGURA 20–2 Diagrama de lo se nos referiremos a las máquinas que corren en ciclo repetitivo (esto es, aquellas en
transferencia de energía para una las que el sistema regresa de manera recurrente a su punto de partida) y, por lo tanto,
máquina térmica. pueden funcionar de manera continua. En cada ciclo el cambio en la energía interna
del sistema es ⌬Eint ϭ 0 porque el sistema regresa al estado inicial. Así, una entrada de
CUIDADO calor QH a una temperatura alta TH se transforma parcialmente en trabajo W y una
Nueva convención parte se expulsa como una salida de calor QL a una temperatura más baja TL (figura
de signos: 20-2). Por conservación de la energía, QH ϭ W ϩ QL. Las temperaturas alta y baja, TH
y TL, se llaman temperaturas operativas de la máquina. Hay que advertir que ahora se
QH Ͼ 0, QL Ͼ 0, W Ͼ 0 emplea una nueva convención de signos: QH, QL y W se consideran siempre positivos.
La dirección de cada transferencia de energía se muestra mediante la flecha en el dia-
FÍSICA APLICADA grama correspondiente, como la figura 20-2.
Motores
Motor de vapor y motor de combustión interna

En la figura 20-3 se ilustra la operación de un motor de vapor. Los motores de vapor
son de dos tipos principales, cada uno utiliza vapor calentado por combustión de
carbón, petróleo o gas, o bien, por energía nuclear. En un motor reciprocante (figura
20-3a), el vapor calentado pasa a través de la válvula de admisión y se expande contra
un pistón, forzándolo a moverse. Conforme el pistón regresa a su posición original,
fuerza a los gases a salir por la válvula de escape. Una turbina de vapor (figura 20-3b)
es muy similar, excepto que el pistón reciprocante se sustituye por una turbina girato-
ria que recuerda una rueda de paletas con muchos conjuntos de álabes (o aspas). La
mayor parte de la electricidad actual se genera mediante turbinas de vapor.† El mate-
rial que se calienta y se enfría, vapor en este caso, se llama sustancia operativa.

†Incluso las plantas eléctricas nucleares utilizan turbinas de vapor; el combustible nuclear, uranio, sim-
plemente sirve como combustible para calentar el vapor.

a) Tipo reciprocante b) Turbina (no se muestra la
caldera ni el condensador)
FIGURA 20–3 Motores Alta temperatura Válvula de admisión Vapor a alta presión,
de vapor. (abierta durante proveniente de la caldera
Caldera la expansión)
Vapor Vapor a baja presión, escapa
Agua hacia el condensador

Entrada
de calor

Válvula de escape Pistón
(cerrada durante
la expansión)

Bomba Condenser Condensador
Agua

Baja temperatura

530 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

Válvula Válvula Ambas válvulas Ambas válvulas Ambas válvulas Válvula
de admisión de escape cerradas cerradas cerradas de escape
(abierta) (cerrada) (abierta)

Mezcla de Cilindro Bujía Hacia la
gas-aire del Pistón (se tubería
carburador enciende) de escape

Varilla de Anillos
conexión

Cigüeñal

a) Admisión b) Compresión c) Ignición d) Expansión (carrera e) Escape
de potencia)

En un motor de combustión interna (que se usa en la mayoría de los automóviles), FIGURA 20–4 Motor de combustión
la alta temperatura se logra al quemar la mezcla de gasolina y aire en el cilindro mismo interna con ciclo de cuatro tiempos:
(se enciende por medio de la bujía), como se describe en la figura 20-4. a) la mezcla gasolina-aire fluye hacia
el cilindro conforme baja el pistón;
Por qué se necesita un ⌬ para impulsar una máquina térmica b) el pistón se mueve hacia arriba y
comprime el gas; c) el breve instante
Para ver por qué se requiere una diferencia de temperatura para poner en marcha un cuando se prende la bujía enciende la
motor, examinemos el motor de vapor. En el motor reciprocante, por ejemplo, suponga mezcla gasolina-aire sumamente
que no hay condensador o bomba (figura 20-3a), y que el vapor está a la misma tempe- comprimida; d) los gases, ahora a alta
ratura a lo largo de todo el sistema. Esto significaría que la presión del gas que se ex- temperatura y presión, se expanden
pulsa sería igual que la de admisión. Así, aunque el gas realice trabajo sobre el pistón contra el pistón en una “carrera de
cuando se expande, el pistón tendría que realizar una cantidad igual de trabajo para potencia”; e) los gases quemados se
forzar al vapor a salir por el escape; de esta forma, no se realizaría trabajo neto. En un empujan fuera hacia la tubería de
motor real, el gas expulsado se enfría a una menor temperatura y se condensa de ma- escape; cuando el pistón alcanza la
nera que la presión de escape sea menor que la presión de admisión. Así, aunque el parte superior, la válvula de escape se
pistón debe realizar trabajo sobre el gas para expulsarlo en la carrera de escape, es me- cierra y la válvula de admisión se abre;
nor que el trabajo realizado por el gas sobre el pistón durante la admisión. Así que se entonces, todo el ciclo se repite. a), b),
puede obtener una cantidad neta de trabajo, pero sólo si existe una diferencia de tem- d) y e) son los cuatro tiempos del ciclo.
peratura. De igual modo, si el gas no se enfría en la turbina de gas, la presión en cada
lado de los álabes sería la misma. Al enfriar el gas en el lado del escape, la presión en
el lado posterior del álabe es menor y entonces la turbina gira.

Eficiencia y la segunda ley

La eficiencia, e, de cualquier máquina térmica se define como la razón entre el trabajo
que realiza, W, y la entrada de calor a la temperatura alta, QH (figura 20-2):

e = W.
QH

Ésta es una definición razonable, pues W es la salida (lo que se obtiene del motor),
mientras que QH es lo que se coloca y por lo que se paga en combustible quemado.
Puesto que la energía se conserva, la entrada de calor QH debe ser igual al trabajo rea-
lizado más el calor que fluye hacia fuera a la temperatura baja (QL):

QH = W + QL .

Por lo tanto, W ϭ QH Ϫ QL, y la eficiencia de una máquina es

e = W (20–1a)
QH

= QH - QL = 1 - QL . (20–1b)
QH QH

Para obtener la eficiencia como porcentaje, multiplicamos las ecuaciones 20-1 por 100.
Note que e podría ser 1.0 (o 100%) sólo si QL fuera cero; esto es, sólo si no se expulsa-
ra calor al ambiente.

SECCIÓN 20–2 Máquinas térmicas 531

EJEMPLO 20–1 Eficiencia de un automóvil. El motor de un automóvil tiene
una eficiencia del 20% y produce un promedio de 23,000 J de trabajo mecánico por
segundo durante su operación. a) ¿Cuánta entrada de calor se requiere y b) cuánto
calor por segundo descarga este motor como desecho?

PLANTEAMIENTO Queremos determinar la entrada de calor QH así como la salida
de calor QL, dados W ϭ 23,000 J cada segundo y una eficiencia e ϭ 0.20. Podemos
usar la definición de eficiencia (ecuación 20-1) en varias de sus formas para encontrar
primero QH y luego QL.
SOLUCIÓN a) A partir de la ecuación 20-1a, e ϭ W/QH, y despejamos QH:

QH = W = 23,000 J
e 0.20

= 1.15 * 105 J = 115 kJ.

El motor requiere 115 kJ/s ϭ 115 kW de entrada de calor.
b) Ahora usamos la ecuación 20-1b (e ϭ 1ϪQL/QH) y despejamos QL:

QL = (1 - e)QH = (0.80)115 kJ = 92 kJ.

A El motor descarga calor al ambiente a una tasa de 92 kJ/s ϭ 92 kW.
P NOTA De los 115 kJ que entran al motor por segundo, sólo 23 kJ realizan trabajo útil,
mientras que 92 kJ se desperdician como calor de salida.

NOTA El problema se enunció en términos de energía por unidad de tiempo. Tam-
bién se pudo haber planteado en términos de potencia, puesto que 1 J/s ϭ 1 W.

C EJERCICIO A Un proceso adiabático se define como aquel en el que no fluye calor hacia o
desde el sistema. Si un gas ideal se expande como se indica en la figura 20-5 (véase tam-
0 V bién la figura 19-8), el trabajo W realizado en esta expansión es igual al área bajo la curva,
Proceso adiabático, que aparece sombreada. La eficiencia de este proceso sería e ϭ W/Q, mucho mayor que el
FIGURA 20–5 100% (ϭ q puesto que Q ϭ 0). ¿Es ésta una violación de la segunda ley?
ejercicio A.
A partir de la ecuación 20-1b, e ϭ 1ϪQL/QH, es claro que la eficiencia de una má-
quina será mayor si QL se reduce. Sin embargo, a partir de la experiencia con una am-
plia variedad de sistemas, no ha sido posible reducir QL a cero. Si QL pudiera reducirse
a cero, se tendría una máquina 100% eficiente, como la que se representa en la figura

FIGURA 20–6 Diagrama de una Alta
hipotética máquina térmica perfecta temperatura
en la que toda la entrada de calor se
usaría para realizar trabajo. Calor

NPOOSEIBSLE Trabajo
Máquina

SEGUNDA LEY DE LA 20-6. El hecho de que tal máquina perfecta (que corra de manera continua en un ciclo)
TERMODINÁMICA no sea posible es otra forma de expresar la segunda ley de la termodinámica:

(enunciado de Kelvin-Planck) No es posible que exista un dispositivo cuyo único efecto sea transformar por com-
pleto una cantidad dada de calor en trabajo.

Éste se conoce como el enunciado de Kelvin-Planck de la segunda ley de la termodiná-
mica. Dicho de otra forma, no puede haber una máquina térmica perfecta (100% efi-
ciente) como la de la figura 20-6.

Si la segunda ley no fuera verdadera, de manera que pudiera construirse una má-
quina perfecta, podrían ocurrir cosas extraordinarias. Por ejemplo, si la máquina de un
barco no necesitara un depósito de baja temperatura que permita que el calor escape,
el barco podría navegar por el mar utilizando los vastos recursos de la energía interna
del agua del océano. De hecho, ¡no habría problemas de combustible en absoluto!

532 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

20–3 Procesos reversibles e irreversibles;

la máquina de Carnot

A principios del siglo XIX, el científico francés N. L. Sadi Carnot (1796-1832) estudió en
detalle el proceso de transformar calor en energía mecánica. Su objetivo era determi-
nar cómo aumentar la eficiencia de las máquinas térmicas; sin embargo, sus estudios
pronto lo condujeron a investigar los fundamentos de la termodinámica. En 1824 Car-
not inventó (en papel) un tipo idealizado de máquina que ahora se conoce como má-
quina de Carnot. En realidad no existe ninguna máquina de Carnot, pero como
planteamiento teórico desempeñó un importante papel en el establecimiento y la com-
prensión de la segunda ley de la termodinámica.

Procesos reversibles e irreversibles TL TH
P
La máquina de Carnot implica procesos reversibles, así que antes de explicarla se debe
aclarar lo que se entiende por procesos reversibles e irreversibles. Un proceso reversi- a
ble es aquel que se realiza de manera infinitamente lenta, de manera que el proceso se
puede considerar como una serie de estados de equilibrio, y todo el proceso se podría 4
realizar a la inversa sin cambio en la magnitud del trabajo efectuado o del calor inter- 1 QH
cambiado. Por ejemplo, un gas contenido en un cilindro ajustado con un pistón apreta-
do y móvil, aunque sin fricción, se podría comprimir isotérmicamente en una forma b
reversible si se hace de manera infinitamente lenta. No obstante, no todos los procesos
muy lentos (cuasiestáticos) son reversibles. Si existe fricción, por ejemplo (como entre d 2 TH
el pistón móvil y el cilindro recién mencionados), el trabajo realizado en una dirección 3 QL c TL
(que va de algún estado A al estado B) no será el negativo del trabajo realizado en la
dirección inversa (del estado B al estado A). Tal proceso no se consideraría reversible. 0V
Un proceso perfectamente reversible no es posible en la realidad, porque requeriría de
un tiempo infinito; sin embargo, los procesos reversibles se pueden aproximar tanto FIGURA 20–7 El ciclo de Carnot.
como queramos, y son muy importantes desde el punto de vista teórico. Las máquinas térmicas trabajan en un
ciclo, y el ciclo para la máquina de
Todos los procesos reales son irreversibles: no se realizan de manera infinitamente Carnot comienza en el punto a sobre
lenta. Podría haber turbulencia en el gas, o tal vez fricción, entre otras situaciones. este diagrama PV. (1) Primero, el gas
Cualquier proceso podría no realizarse de manera precisa a la inversa, pues la pérdida se expande isotérmicamente, con la
de calor por fricción no se revertiría por sí sola, la turbulencia sería diferente, etcétera. adición de calor QH, a lo largo de la
Para cualquier volumen dado no habría una presión P y una temperatura T bien defi- trayectoria ab a temperatura TH. (2) A
nidas, pues el sistema no siempre estaría en estado de equilibrio. Por eso, un proceso continuación el gas se expande
real irreversible no se puede graficar en un diagrama PV, excepto en la medida en que adiabáticamente de b a c, no se
se pueda aproximar a un proceso reversible ideal. Sin embargo, un proceso reversible intercambia calor, sino que la
(en tanto que es una serie cuasiestática de estados de equilibrio), siempre se puede gra- temperatura disminuye a TL. (3)
ficar en un diagrama PV; y un proceso reversible, cuando se realiza a la inversa, vuelve Luego, el gas se comprime a
a trazar la misma trayectoria en un diagrama PV. Aunque todos los procesos reales son temperatura constante TL, trayectoria
irreversibles, los procesos reversibles son importantes desde el punto de vista concep- cd, y fluye hacia fuera calor QL. (4)
tual, tal como lo es el concepto de un gas ideal. Finalmente, el gas se comprime
adiabáticamente, trayectoria da,
Máquina de Carnot de regreso a su estado original. En
realidad, no existe ninguna máquina
Ahora observemos una máquina de Carnot idealizada. La máquina de Carnot utiliza de Carnot, pero como planteamiento
un ciclo reversible, por lo que se entiende una serie de procesos reversibles que llevan teórico desempeñó un importante
a una sustancia dada (la sustancia operativa) de un estado de equilibrio inicial a través papel en el desarrollo de la
de muchos otros estados de equilibrio para luego devolverla al mismo estado inicial. termodinámica.
En particular, la máquina de Carnot utiliza el ciclo de Carnot, que se ilustra en la figura
20-7, con un gas ideal como sustancia operativa. Consideremos el punto a como el es-
tado inicial. Primero, el gas se expande isotérmica y reversiblemente, trayectoria ab, a
la temperatura TH, conforme se le agrega calor QH. A continuación el gas se expande
adiabática y reversiblemente, trayectoria bc; no se intercambia calor, y la temperatura del
gas se reduce a TL. El tercer paso es una compresión isotérmica reversible, trayectoria
cd, durante la cual el calor QL fluye hacia fuera de la sustancia operativa. Por último, el
gas se comprime adiabáticamente, trayectoria da, de regreso a su estado original. Así,
un ciclo de Carnot consta de dos procesos isotérmicos y dos adiabáticos.

El trabajo neto realizado en un ciclo por una máquina de Carnot (o cualquier otro
tipo de máquina que use un ciclo reversible) es igual al área encerrada por la curva que
representa el ciclo en el diagrama PV, la curva abcd en la figura 20-7. (Véase la sección
19-7).

SECCIÓN 20–3 Procesos reversibles e irreversibles; la máquina de Carnot 533

Eficiencia de Carnot y la segunda ley de la termodinámica

La eficiencia de una máquina de Carnot, como la de cualquier otra máquina térmica,
está dada por la ecuación 20-1b:

e = 1 - QL .
QH

Sin embargo, para una máquina de Carnot que utilice un gas ideal, podemos demostrar
que la eficiencia sólo depende de las temperaturas de los depósitos de calor, TH y TL.
En el primer proceso isotérmico ab en la figura 20-7, el trabajo realizado por el gas es
(véase la ecuación 19-8)

Wab = nRTH ln Vb ,
Va

onde n es el número de moles del gas ideal usado como sustancia operativa. Puesto
que la energía interna de un gas ideal no cambia cuando la temperatura permanece
constante, la primera ley de la termodinámica nos dice que el calor agregado al gas es
igual al trabajo realizado por el gas:

QH = nRTH ln Vb .
Va

De igual modo, la pérdida de calor por el gas en el proceso isotérmico cd es

QL = nRTL ln Vc .
Vd

Las trayectorias bc y da son adiabáticas, así que, a partir de la ecuación 19-15, tenemos:

Pb Vgb = Pc Vgc y Pd Vdg = Pa Vga ,
donde g ϭ CP/CV es la razón de los calores específicos molares (ecuación 19-14). Ade-
más, a partir de la ley del gas ideal,

Pb Vb = Pc Vc y Pd Vd = Pa Va .
TH TL TL TH

Cuando se dividen estas últimas ecuaciones, término por término, con el correspon-
diente conjunto de ecuaciones del renglón anterior, obtenemos

TH Vgb- 1 = TL Vgc - 1 y TL Vdg - 1 = TH Vag - 1 .

A continuación dividimos la ecuación a la izquierda entre la ecuación de la derecha pa-
ra obtener

Vb g - 1 Vc g - 1
Va Vd
¢ ≤ = ¢ ≤

o

Vb = Vc .
Va Vd

Al insertar este resultado en las ecuaciones para QH y QL presentadas antes, obtenemos

QL = TL . [ciclo de Carnot] (20–2)
QH TH

En consecuencia, la eficiencia de una máquina de Carnot reversible, ahora se puede es-
cribir

eideal = 1 - QL
QH
o

eideal = 1- TL . c eficiencia de Carnot; d (20–3)
TH temperaturas Kelvin

Las temperaturas TL y TH son las temperaturas absolutas o Kelvin medidas en la escala
de temperatura del gas ideal. Así, la eficiencia de una máquina de Carnot depende só-
lo de las temperaturas TL y TH.

534 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

Podríamos imaginar otros posibles ciclos reversibles adecuados para una máquina
reversible ideal. De acuerdo con un teorema establecido por Carnot:

Todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas dos temperaturas cons-
tantes, TH y TL, tienen la misma eficiencia. Cualquier máquina irreversible que ope-
re entre las mismas dos temperaturas fijas tendrá una eficiencia menor que esto.
Este enunciado se conoce como el teorema de Carnot† y nos dice que la ecuación 20-3,
e ϭ 1Ϫ(TL/TH), se aplica a cualquier máquina reversible ideal con temperaturas de en-
trada y salida fijas, TH y TL, y que esta ecuación representa una eficiencia máxima po-
sible para una máquina real (es decir, irreversible).
En la práctica, la eficiencia de las máquinas reales siempre es menor que la efi-
ciencia de Carnot. Las máquinas bien diseñadas alcanzan tal vez del 60 al 80% de la
eficiencia de Carnot.

EJEMPLO 20–2 ¿Una afirmación engañosa? Un fabricante de motores afirma
lo siguiente: La entrada de calor por segundo de un motor es de 9.0 kJ a 435 K. La sa-
lida de calor por segundo es de 4.0 kJ a 285 K. ¿Usted cree estas afirmaciones?

PLANTEAMIENTO La eficiencia del motor se calcula a partir de la definición (ecua-
ciones 20-1). Debe ser menor que la máxima posible (ecuación 20-3).

SOLUCIÓN La eficiencia anunciada del motor es (ecuación 20-1b)

e = 1 - QL = 1 - 4.0 kJ = 0.56,
QH 9.0 kJ

o del 56%. Sin embargo, la eficiencia máxima posible está dada por la eficiencia de
Carnot (ecuación 20-3):

eideal = 1 - TL = 1 - 285 K = 0.34,
TH 435 K

o del 34%. La afirmación del fabricante viola la segunda ley de la termodinámica y
no es creíble.

EJERCICIO B Un motor funciona con una temperatura de admisión TH ϭ 400 K y una FIGURA 20–8 El ciclo de Otto.
temperatura de escape TL ϭ 300 K. ¿Cuál de las siguientes no es una posible eficiencia pa- c
ra la máquina? a) 0.10; b) 0.16; c) 0.24; d) 0.30.
QH
De acuerdo con la ecuación 20-3, a todas luces resulta imposible que exista una Pb
máquina 100% eficiente. Sólo si la temperatura de escape TL fuera de cero absoluto se-
ría posible un 100% de eficiencia. Sin embargo, alcanzar el cero absoluto es una impo- d
sibilidad práctica (así como teórica).‡ Por lo tanto, podemos afirmar, como en la QL
sección 20-2, que no es posible que exista un dispositivo cuyo único efecto sea transfor-
mar por completo una cantidad dada de calor en trabajo. Como vimos en la sección a
20-2, esto se conoce como el enunciado de Kelvin-Planck de la segunda ley de la termo-
dinámica. En otras palabras, no puede existir una máquina térmica perfecta (con un 0V
100% de eficiencia) tal como se representa en la figura 20-6.
SECCIÓN 20–3 535
EJERCICIO C Regrese a la pregunta de inicio del capítulo, página 528, y respóndala de
nuevo. Intente explicar por qué quizá la contestó de manera diferente la primera vez.

*El ciclo de Otto

La operación de un motor de combustión interna de un automóvil (figura 20-4) se pue-
de aproximar mediante un ciclo reversible conocido como ciclo de Otto, cuyo diagrama
PV se muestra en la figura 20-8. A diferencia del ciclo de Carnot, las temperaturas de
admisión y escape del ciclo de Otto no son constantes. Las trayectorias ab y cd son
adiabáticas, y las trayectorias bc y da son a volumen constante. El gas (una mezcla de
gasolina y aire) entra al cilindro en el punto a y se comprime adiabáticamente (carrera
de compresión) al punto b. En b ocurre la ignición (se produce la chispa de la bujía) y
la quema del gas agrega calor QH al sistema a volumen constante (aproximadamente
en un motor real). La temperatura y la presión aumentan, y luego, en la carrera de po-
tencia, cd, el gas se expande adiabáticamente. En la carrera de escape, da, el calor QL se
expulsa al ambiente (en un motor real, el gas sale del motor y se sustituye por una nue-
va mezcla de aire y combustible).

†Es posible demostrar que el teorema de Carnot se deduce directamente del enunciado de Clausius o
del enunciado de Kelvin-Planck de la segunda ley de la termodinámica.
‡Este resultado se conoce como tercera ley de la termodinámica, que se explicará en la sección 20-10.

c EJEMPLO 20–3 El ciclo de Otto. a) Demuestre que, para un gas ideal como
sustancia operativa, la eficiencia de una máquina con ciclo de Otto es

Va 1 - g
Vb
QH e = 1 - a b
Pb
donde g es la razón de calores específicos (g ϭ CP/CV, ecuación 19-14) y Va/Vb es la
d razón de compresión. b) Calcule la eficiencia para una razón de compresión Va/Vb ϭ
QL 8.0 en el caso de un gas diatómico como O2 y N2.

a PLANTEAMIENTO Utilizamos la definición original de la eficiencia y los resultados
del capítulo 19 para volumen constante y procesos adiabáticos (secciones 19-8 y 19-9).
0V
SOLUCIÓN Los intercambios de calor tienen lugar a volumen constante en el ciclo de
FIGURA 20–8 (repetida para Otto ideal, así que de la ecuación 19-10a:
el ejemplo 20-3) El ciclo de Otto.
QH = nCV ATc - TbB y QL = nCV ATd - TaB.
Entonces, de la ecuación 20-1b,

e = 1 - QL = 1 - c Td - Ta d .
QH Tc - Tb

Para obtener esto en términos de la razón de compresión, Va/Vb, usamos el resultado
de la sección 19-9, ecuación 19-15, PVg ϭ constante durante los procesos adiabáticos
ab y cd. Por lo tanto,

Pa Vga = Pb Vbg y Pc Vcg = Pd Vgd .
Usamos la ley del gas ideal, P ϭ nRT/V, y sustituimos P en estas dos ecuaciones

Ta Vga - 1 = Tb Vbg - 1 y Tc Vcg - 1 = Td Vdg - 1 .
Entonces, la eficiencia (véase arriba) es

Td - Ta Tc AVc͞Vd Bg-1 - TbA Vb͞Va B g - 1
Tc - Tb Tc - Tb
e = 1 - c d = 1 - c d .

Los procesos bc y da son a volumen constante, así que Vc ϭ Vb y Vd ϭ Va. En conse-
cuencia, Vc/Vd ϭ Vb/Va y

AVb͞VaBg - 1ATc - TbB d Vb g - 1 Va 1 - g
Tc - Tb Va Vb
e = 1 - c = 1 - a b = 1 - a b .

b) Para moléculas diatómicas (sección 19-8), g ϭ CP/CV ϭ 1.4, así que

FIGURA 20–9 Diagrama de e = 1 - (8.0)1-g = 1 - (8.0)–0.4 = 0.56.
transferencia de energía para un
refrigerador o acondicionador de aire. Las máquinas reales no alcanzan esta alta eficiencia porque no siguen de manera per-
fecta el ciclo de Otto; además, hay fricción, turbulencia, pérdida de calor y combus-
TH tión incompleta de los gases.

QH 20–4 Refrigeradores, acondicionadores

Refrigerador o W de aire y bombas térmicas
acondicionador
de aire El principio operativo de los refrigeradores, los acondicionadores de aire y las bombas
térmicas es justo el inverso del principio de una máquina térmica. Cada uno opera para
QL transferir calor de un ambiente frío hacia un ambiente caliente. Como se indica en la fi-
TL gura 20-9, al realizar trabajo W, el calor se toma de una región de baja temperatura, TL
(como el interior de un refrigerador), y se expulsa una mayor cantidad de calor a una
temperatura alta, TH (la habitación). Con frecuencia usted puede sentir este aire caliente
soplar por debajo de un refrigerador. El trabajo W por lo general se realiza mediante un
motor eléctrico que comprime un fluido, como se ilustra en la figura 20-10.

536 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

Baja presión

Válvula de Presión alta FIGURA 20–10 a) Sistema de un

Serpentines de expansión Serpentines de refrigerador típico. El motor
condensador
(afuera del compresor eléctrico fuerza a un gas a
refrigerador)
enfriamiento alta presión a través de un
(dentro del QH
refrigerador) Sensor (al exterior) intercambiador de calor

(condensador) en la pared exterior

Q(dLel interior del QL QH trasera del refrigerador, donde se
refrigerador a W arroja QH y el gas se enfría para
los serpentines) volverse líquido. El líquido pasa
Motor
de una región de alta presión,

mediante una válvula, a unos tubos de

baja presión en las paredes interiores

del refrigerador; el líquido se evapora

Vapor a baja a esta presión más baja y, por lo tanto,

presión Vapor a presión absorbe calor (QL) del interior del
W alta refrigerador. El fluido regresa al

compresor, donde el ciclo comienza

de nuevo. b) Diagrama esquemático

como la figura 20-9.

a) Motor Enchufe b) Enchufe

compresor

No es posible que exista un refrigerador perfecto, es decir, uno en el que no se re-
quiera trabajo para llevar calor desde la región de baja temperatura a la región de alta
temperatura. Éste es el enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinámica,
ya mencionado en la sección 20-1, que se puede expresar formalmente como

Es imposible que exista un dispositivo cuyo único efecto sea transferir calor de un SEGUNDA LEY DE LA
sistema a una temperatura TL a un segundo sistema a una temperatura más alta TH. TERMODINÁMICA

Para hacer que fluya calor de un objeto (o sistema) a baja temperatura a uno a mayor tem- (enunciado de Clausius)
peratura, se debe realizar trabajo. Por lo tanto, no puede haber un refrigerador perfecto. FÍSICA APLICADA
Refrigerador
El coeficiente de operación (COP, por las siglas de coefficient of performance) de
un refrigerador se define como el calor QL removido del área de baja temperatura FÍSICA APLICADA
(dentro de un refrigerador) dividido entre el trabajo W realizado para remover el calor Acondicionador de aire
(figura 20-9 o 20-10b):

COP = QL . c refrigerador y aire d (20–4a)
W acondicionador de

Esto tiene sentido porque, cuanto más calor QL se pueda remover del interior del refri-
gerador mediante una cantidad dada de trabajo, más eficiente será el refrigerador. La
energía se conserva, así que, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica, pode-
mos escribir (véase la figura 20-9 o 20-10b) QL ϩ W ϭ QH, o W ϭ QHϪQL. Así, la
ecuación 20-4a se convierte en

COP = QL = QL . c refrigerador y aire d (20–4b)
W QH - QL acondicionador de

Para un refrigerador ideal (no uno perfecto, que es imposible), lo mejor que se puede
hacer es

COPideal = TL , c refrigerador y aire d (20–4c)
TH - TL acondicionador de

análogo a una máquina ideal (de Carnot), ecuaciones 20-2 y 20.3.
Un acondicionador de aire funciona en forma muy parecida a un refrigerador,

aunque los detalles de la construcción real son diferentes: un acondicionador de aire
lleva calor QL desde el interior de una habitación o edificio a baja temperatura, y de-
posita calor QH afuera, en el ambiente a una temperatura más alta. Las ecuaciones 20-4
también describen el coeficiente de operación para un acondicionador de aire.

SECCIÓN 20–4 Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas 537

EJEMPLO 20–4 Elaboración de hielo. Un congelador tiene un COP de 3.8 y
utiliza 200 W de potencia. ¿Cuánto tardaría este congelador (de otra forma vacío) en
congelar una charola de cubos de hielo que contiene 600 g de agua a 0°C?

PLANTEAMIENTO En la ecuación 20-4b, QL es el calor que se debe transferir hacia
fuera del agua para que se convierta en hielo. Para determinar QL, utilizamos el calor
latente de fusión L del agua y la ecuación 19-3, Q ϭ mL.
SOLUCIÓN De la tabla 19-2, L ϭ 333 kJ/kg. Por lo tanto, Q = mL =
(0.600 kg)A3.33 * 105 J͞kgB = 2.0 * 105 J es la energía total que se necesita remover
del agua. El congelador funciona a la tasa de 200 W ϭ 200 J/s ϭ W/t, que es el trabajo
W que puede realizar en t segundos. Despejamos t: t ϭ W/(200 J/s). Para W, usamos la
ecuación 20-4a: W ϭ QL/COP. Por lo tanto,

t = W = QL͞COP
200 J͞s 200 J͞s

= A2.0 * 105 JB͞A3.8B = 260 s,
200 J͞s

o aproximadamente 4 1 min.
2

FÍSICA APLICADA El calor fluye naturalmente de una temperatura alta a una temperatura baja. Los
Bomba térmica refrigeradores y los acondicionadores de aire realizan trabajo para lograr lo opuesto:
hacer que el calor fluya de una región fría a una caliente. Se puede decir que “bom-
Frío exterior Interior cálido bean” calor de las áreas frías a las áreas más calientes, contra la tendencia natural del
QL de la casa calor de fluir de las áreas calientes a las áreas frías, de la misma forma como el agua se
QH puede bombear cuesta arriba, contra la tendencia natural de fluir cuesta abajo. El tér-
mino bomba térmica por lo general se reserva para un dispositivo que puede calentar una
Bomba casa en invierno utilizando un motor eléctrico que efectúa trabajo W para llevar calor
térmica QL del exterior a baja temperatura y entregar calor QH al interior de la casa, que se en-
W cuentra más caliente; véase la figura 20-11. Como en un refrigerador, hay un intercam-
biador de calor adentro y otro afuera (serpentines del refrigerador) y un motor
FIGURA 20–11 Una bomba térmica compresor eléctrico. El principio operativo es como el de un refrigerador o acondicio-
usa un motor eléctrico para “bombear” nador de aire; sin embargo, el objetivo de una bomba de calor es calentar (entregar
calor del frío exterior al interior cálido QH) en vez de enfriar (remover QL). Por eso, el coeficiente de operación de una bom-
de una casa. ba térmica se define de manera diferente al de un acondicionador de aire, pues ahora
lo que importa es el calor QH entregado al interior de la casa:

COP = QH . [bomba térmica] (20–5)
W

CUIDADO El COP necesariamente es mayor que 1. La mayoría de las bombas térmicas se pueden
Las bombas térmicas y los “invertir” y utilizarse como acondicionadores de aire en el verano.

acondicionadores de aire tienen EJEMPLO 20–5 Bomba térmica. Una bomba térmica tiene un coeficiente de
diferentes definiciones de COP operación de 3.0 y se clasifica para trabajar a 1500 W. a) ¿Cuánto calor puede agregar
a una habitación por segundo? b) Si la bomba térmica se invierte para actuar como
acondicionador de aire en el verano, ¿cuál sería su coeficiente de operación, si se su-
pone que todo lo demás permanece igual?
PLANTEAMIENTO Usamos las definiciones de coeficiente de operación, que son di-
ferentes para los dos dispositivos en a) y b).
SOLUCIÓN a) Usamos la ecuación 20-5 para la bomba térmica y, dado que el disposi-
tivo realiza 1500 J de trabajo por segundo, puede verter calor en la habitación a una
tasa de

QH = COP * W = 3.0 * 1500 J = 4500 J
por segundo, o a una tasa de 4500 W.

538 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

b) Si el dispositivo se invierte en verano, puede llevar calor QL del interior de la casa,
realizando 1500 J de trabajo por segundo, para luego descargar QH ϭ 4500 J por se-
gundo al exterior caliente. La energía se conserva, de manera que QL ϩ W ϭ QH
(véase la figura 20-11, pero invierta el interior y el exterior de la casa). Entonces,

QL = QH - W = 4500 J - 1500 J = 3000 J.
El coeficiente de operación como acondicionador de aire sería entonces (ecuación
20-4a)

COP = QL = 3000 J = 2.0.
W 1500 J

20–5 Entropía

Hasta el momento, la segunda ley de la termodinámica se planteó en el marco de situa-
ciones específicas. Lo que realmente necesitamos es un enunciado general de la segunda
ley de la termodinámica que cubra todas las situaciones, incluidas aquellas analizadas
anteriormente en este capítulo que no se observan en la naturaleza, aun cuando no vio-
len la primera ley de la termodinámica. No fue sino hasta la última mitad del siglo XIX
que finalmente se enunció la segunda ley de la termodinámica en una forma general,
en términos de una cantidad llamada entropía, que introdujo Clausius en la década de
1860. En la sección 20-7 veremos que la entropía se puede interpretar como una medi-
da del orden o el desorden de un sistema.

Cuando se trata con la entropía, al igual que con la energía potencial, lo importan-
te es el cambio en la entropía durante un proceso, no la cantidad absoluta. De acuerdo
con Clausius, el cambio en la entropía S de un sistema, cuando se le agrega una canti-
dad de calor Q mediante un proceso reversible a temperatura constante, está dado por

¢S = Q, (20–6)
T

donde T es la temperatura Kelvin.
Si la temperatura no es constante, la entropía S se define por la relación

dS = dQ . (20–7)
T

Entonces, el cambio en la entropía de un sistema es un proceso reversible entre dos es-
tados a y b está dado por†

b b dQ .
aT
dS =

a
Ύ Ύ¢S = Sb - Sa = [proceso reversible] (20–8)

Un análisis cuidadoso (véase la siguiente página) indica que el cambio en la entropía,
cuando un sistema pasa por un proceso reversible de cualquier estado a a otro estado
b, no depende del proceso. Esto es, ⌬S ϭ Sb Ϫ Sa sólo depende de los estados a y b del
sistema. Por lo tanto, la entropía (a diferencia del calor) es una variable de estado.
Cualquier sistema en un estado determinado tiene una temperatura, un volumen, una
presión y también tiene un valor particular de entropía.

Es fácil ver por qué la entropía es una variable de estado para un ciclo de Carnot.
En la ecuación 20-2 vimos que QL/QH ϭ TL/TH, que se reescribe como

QL = QH .
TL TH

En el diagrama PV para un ciclo de Carnot (figura 20-7), el cambio en la entropía ⌬S
ϭ Q/T al pasar del estado a al estado c a lo largo de la trayectoria abc (ϭ QH/TH ϩ 0)
es, por consiguiente, el mismo que al recorrer la trayectoria adc. Esto es, el cambio en
la entropía es independiente de la trayectoria: sólo depende de los estados inicial y fi-
nal del sistema.

†La ecuación 20-8 no dice nada acerca del valor absoluto de S; sólo da el cambio en S. Esto es muy pa-
recido a la energía potencial (capítulo 8). Sin embargo, una forma de la llamada tercera ley de la termo-
dinámica (véase también la sección 20-10) afirma que, conforme T S 0, S S 0.

SECCIÓN 20–5 Entropy 539

*Demostración de que la entropía es una variable de estado

En el estudio del ciclo de Carnot encontramos (ecuación 20-2) que QL/QH ϭ TL/TH.
Reescribimos esto como

b QH = QL .
P TH TL

a En esta relación, tanto QH como QL son positivos. Pero ahora recordemos la conven-
0V ción original que se utilizó en la primera ley (sección 19-6), que Q es positivo cuando
FIGURA 20–12 Cualquier ciclo representa un flujo de calor hacia el sistema (como QH) y negativo para un flujo de ca-
reversible se puede aproximar como lor hacia fuera del sistema (como ϪQL). Entonces esta relación se convierte en
una serie de ciclos de Carnot. (Las
líneas punteadas representan QH + QL = 0. [ciclo de Carnot] (20–9)
isotermas). TH TL

FIGURA 20–13 La integral, ͛ dS, de Ahora considere cualquier ciclo reversible, representado mediante la curva suave
la entropía para un ciclo reversible es (de forma oval) en la figura 20-12. Cualquier ciclo reversible se puede aproximar como
cero. Por lo tanto, la diferencia en la una serie de ciclos de Carnot. La figura 20-12 muestra sólo seis —las isotermas (líneas
entropía entre los estados a y b, punteadas) están conectadas mediante trayectorias adiabáticas para cada una—, y la
aproximación se vuelve cada vez mejor si incrementamos el número de ciclos de Car-
Sb - Sa = ͐ab dS, es la misma para la not. La ecuación 20-9 es válida para cada uno de estos ciclos, así que podemos escribir

trayectoria I que para la trayectoria II. © Q = 0 [ciclos de Carnot] (20–10)
T
b para la suma de todos estos ciclos. Sin embargo, note que la salida de calor QL de un ci-
I clo cruza la frontera debajo de él y es aproximadamente igual al negativo de la entra-
P da de calor, QH, del ciclo debajo de él (la igualdad real ocurre en el límite de un
número infinito de ciclos de Carnot infinitamente delgados). De esta forma, el calor
II que fluye en las trayectorias interiores de todos estos ciclos de Carnot se cancela, así
a que el calor neto transferido, y el trabajo realizado, es igual para la serie de ciclos de
0V Carnot que para el ciclo original. En consecuencia, en el límite de un número infinito
de ciclos de Carnot, la ecuación 20-10 se aplica a cualquier ciclo reversible. En este ca-
so, la ecuación 20-10 se convierte en

§ dQ = 0, [ciclo reversible] (20–11)
T

donde dQ representa un flujo de calor infinitesimal.† El símbolo ͛ significa que la inte-
gral se toma alrededor de una trayectoria cerrada; la integral puede comenzar en cual-
quier punto en la trayectoria, como en a o b en la figura 20-12, y procede en cualquier
dirección. Si dividimos el ciclo de la figura 20-12 en dos partes, como se indica en la fi-
gura 20-13, entonces

Ύ Ύb dQ + a dQ = 0.
bT
aT
I II

El primer término es la integral desde el punto a hasta el punto b a lo largo de la tra-
yectoria I en la figura 20-13, y el segundo término es la integral de b de regreso hasta
a, a lo largo de la trayectoria II. Si la trayectoria II se toma a la inversa, dQ en cada
punto se convierte en ϪdQ, pues la trayectoria es reversible. Por lo tanto,

Ύ Ύb dQ = b dQ . [trayectorias reversibles] (20–12)
aT
aT
I II

La integral de dQ/T entre cualesquiera dos estados de equilibrio, a y b, no depende de
la trayectoria del proceso. Al definir la entropía como dS ϭ dQ/T (ecuación 20-7), ve-
mos, de acuerdo con la ecuación 20-12, que el cambio en la entropía entre cualesquiera
dos estados a lo largo de una trayectoria reversible es independiente de la trayectoria
entre dos puntos a y b. Por lo tanto, la entropía es una variable de estado, su valor sólo
depende del estado del sistema y no del proceso o de la forma como llegó ahí.‡ Ésta es
una clara distinción con Q y W, que no son variables de estado; sus valores sí dependen
de los procesos efectuados.

†Con frecuencia, dQ se escribe d–Q: éase la nota a pie de página al final de la sección 19-6.

‡Los procesos reales son irreversibles. Puesto que la entropía es una variable de estado, el cambio en la
entropía ⌬S para un proceso irreversible se puede determinar al calcular ⌬S para un proceso reversible
entre los mismos dos estados.

540 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

20–6 Entropía y la segunda ley de la

termodinámica

Definimos una nueva cantidad, S, la entropía, que se puede usar para describir el esta-
do del sistema, junto con P, T, V, Eint y n. Pero, ¿qué tiene que ver con la segunda ley de
la termodinámica esta cantidad más bien abstracta? Para responder esto, considere al-
gunos ejemplos en los que calculamos los cambios de entropía durante procesos par-
ticulares. Advierta antes que la ecuación 20-8 se puede aplicar sólo a procesos
reversibles. ¿Cómo, entonces, calculamos ⌬S ϭ SbϪSa para un proceso real que es irre-
versible? Lo que podemos hacer es lo siguiente: imaginamos algún otro proceso rever-
sible que lleve al sistema entre los mismos dos estados y calculamos ⌬S para ese
proceso reversible. Esto igualará ⌬S para el proceso irreversible, pues ⌬S depende sólo
de los estados inicial y final del sistema.

Si la temperatura varía durante un proceso, con frecuencia se puede calcular una su-
ma del flujo de calor con base en la temperatura cambiante, usando el cálculo o una compu-
tadora. Sin embargo, si el cambio de temperatura no es muy grande, se puede hacer una
aproximación razonable usando el valor promedio de la temperatura, como se indica
en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 20–6 ESTIMACIÓN Cambio en la entropía cuando se mezcla
agua. Una muestra de 50.0 kg de agua a 20.00°C se mezcla con 50.0 kg de agua a
24.00°C. Estime el cambio en la entropía.
PLANTEAMIENTO La temperatura final de la mezcla será 22.00°C, pues comenza-
mos con iguales cantidades de agua. Usamos el calor específico del agua y los méto-
dos de calorimetría (secciones 19-3 y 19-4) para determinar el calor transferido.
Luego, usamos la temperatura promedio de cada muestra de agua para estimar el
cambio en la entropía (⌬Q/T).
SOLUCIÓN Una cantidad de calor,

Q = mc ¢T = (50.0 kg)(4186 J͞kg и C°)(2.00 C°) = 4.186 * 105 J,

fluye hacia fuera del agua caliente conforme ésta se enfría de 24 a 22°C, y ese calor flu-
ye hacia el agua fría conforme se calienta de 20 a 22°C. El cambio total en la entro-
pía, ⌬S, será la suma de los cambios en la entropía del agua caliente, ⌬SH, y del agua
fría, ⌬SC:

¢S = ¢SH + ¢SC .
Estimamos los cambios en la entropía al escribir ¢S = Q͞T, donde T es una tempe-
ratura “promedio” para cada proceso, que debe dar una estimación razonable, ya que
el cambio de temperatura es pequeño. Para el agua caliente usamos una temperatura
promedio de 23°C (296 K) y para el agua fría una temperatura promedio de 21°C
(294 K). Por lo tanto,

¢SH L – 4.186 * 105 J = –1414 J͞K
296 K

que es negativo porque este calor fluye hacia fuera, mientras que se agrega calor al
agua fría:

¢SC L 4.186 * 105 J = 1424 J͞K.
294 K

La entropía del agua caliente (SH) disminuye, pues el calor fluye hacia fuera del agua
caliente. Sin embargo, la entropía del agua fría (SC) aumenta por una cantidad mayor.
El cambio total en la entropía es

¢S = ¢SH + ¢SC L – 1414 J͞K + 1424 J͞K L 10 J͞K.
Vemos que, aunque la entropía de una parte del sistema disminuye, la entropía de la
otra parte aumenta por una cantidad mayor, de manera que el cambio neto en la en-
tropía de todo el sistema es positivo.

SECCIÓN 20–6 Entropía y la segunda ley de la termodinámica 541

Ahora podemos demostrar en general que, para un sistema aislado de dos objetos,
el flujo de calor del objeto de temperatura más alta (TH) al objeto de temperatura más
baja (TL) siempre da por resultado un aumento en la entropía total. Al final, los dos
objetos llegan a alguna temperatura intermedia, TM. El calor que pierde el objeto más
caliente (QH ϭ ϪQ, donde Q es positivo) es igual al calor que gana el objeto más frío
(QL ϭ Q), de manera que el cambio total en la entropía es

¢S = ¢SH + ¢SL = – Q + Q,
THM TLM

donde THM es alguna temperatura intermedia entre TH y TM para el objeto caliente
conforme se enfría de TH a TM, y TLM es la contraparte para el objeto frío. Puesto que
la temperatura del objeto caliente es, en todo momento durante el proceso, mayor que la
del objeto frío, entonces THM Ͼ TLM. Por lo tanto,

¢S = Q ¢ 1 - 1 7 0.
TLM THM ≤

Un objeto disminuye en entropía, mientras el otro gana entropía; sin embargo, el cam-
bio total es positivo.

EJEMPLO 20–7 Cambios en entropía en una expansión libre. Considere la
expansión adiabática libre de n moles de un gas ideal del volumen V1 al volumen V2,
donde V2 Ͼ V1, como se explicó en la sección 19-7 (figura 19-14). Calcule el cambio
en la entropía a) del gas y b) del ambiente circundante. c) Evalúe ⌬S para 1.00 mol,
con V2 ϭ 2.00 V1.
PLANTEAMIENTO En la sección 19-7 vimos que el gas inicialmente está en un conte-
nedor cerrado de volumen V1 y que, al abrir una válvula, se expande de forma adia-
bática en un contenedor previamente vacío. El volumen total de los dos contenedores
es V2. Todo el aparato está térmicamente aislado del entorno, así que no fluye calor
hacia el gas, Q ϭ 0. El gas no realiza trabajo, W ϭ 0, de manera que no hay cambio en
la energía interna, ⌬Eint ϭ 0, y la temperatura de los estados inicial y final es la mis-
ma, T2 ϭ T1 ϭ T. El proceso tiene lugar muy rápidamente y, por lo tanto, es irreversi-
ble. En consecuencia, no podemos aplicar la ecuación 20-8 a este proceso. En vez de
ello, debemos pensar en un proceso reversible que lleve al gas del volumen V1 a V2 a
la misma temperatura, y usamos la ecuación 20-8 en este proceso reversible para ob-
tener ⌬S. Un proceso isotérmico reversible “hará el truco”; en tal proceso, la energía
interna no cambia, así que, de acuerdo con la primera ley,

dQ = dW = P dV.
SOLUCIÓN a) Para el gas,

Ύ Ύ¢Sgas = dQ = 1 V2
T T
P dV.

V1

La ley del gas ideal nos dice que P ϭ nRT/V, de manera que

Ύ¢Sgas = nRT V2 dV = nR ln V2 .
T V1 V V1

Dado que V2 Ͼ V1, ⌬Sgas Ͼ 0.

b) Puesto que no se transfiere calor al ambiente circundante, no hay cambio de esta-
do del ambiente debido a este proceso. Por lo tanto, ⌬Sambiente ϭ 0. Note que el cam-
bio total en la entropía, ⌬Sgas ϩ ⌬Sambiente, es mayor que cero.
c) Dado que n ϭ 1.00 y V2 ϭ 2.00 V1, entonces ¢Sgas = R ln 2.00 = 5.76 J͞K.

542 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

EJEMPLO 20–8 Transferencia de calor. Una pieza de hierro de 2.00 kg al rojo
vivo, a temperatura T1 ϭ 880 K, se lanza en un gran lago cuya temperatura es T2 ϭ
280 K. Suponga que el lago es tan grande que su aumento de temperatura es insigni-
ficante. Determine el cambio en la entropía a) del hierro y b) del ambiente circun-
dante (el lago).

PLANTEAMIENTO El proceso es irreversible, aunque ocurrirá el mismo cambio en la en-
tropía para un proceso reversible; usamos el concepto de calor específico (ecuación 19-2).
SOLUCIÓN a) Suponemos que el calor específico del hierro es constante a c ϭ 450
J/kgиK. Entonces, dQ ϭ mc dT y en un proceso reversible cuasiestático

Ύ Ύ¢Shierro = dQ = mc T2 dT = mc ln T2 = – mc ln T1 .
T T1 T T1 T2

Al colocar los números, encontramos que

¢Shierro = – (2.00 kg)(450 J͞kg и K) ln 880 K = –1030 J͞K.
280 K

b) Las temperaturas inicial y final del lago son iguales, T ϭ 280 K. El lago recibe del
hierro una cantidad de calor

Q = mcAT2 - T1B = (2.00 kg)(450 J͞kg и K)(880 K - 280 K) = 540 kJ.

En sentido estricto, éste es un proceso reversible (el lago se calienta localmente antes
de alcanzar el equilibrio); sin embargo, es equivalente a una transferencia isotérmica
reversible de calor Q ϭ 540 kJ a T ϭ 280 K. Por lo tanto,

¢Sambiente = 540 kJ = 1930 J͞K.
280 K

En consecuencia, aunque la entropía del hierro en realidad disminuye, el cambio total en
la entropía del hierro más la del ambiente es positivo: 1930 J/K Ϫ 1030 J/K ϭ 900 J/K.

EJERCICIO D Un trozo de 1.00 kg de hielo a 0°C se funde muy lentamente hasta conver-
tirse en agua a 0°C. Suponga que el hielo está en contacto con un depósito de calor cuya
temperatura sólo es infinitesimalmente mayor que 0°C. Determine el cambio en la entro-
pía de a) el cubo de hielo y b) el depósito de calor.

En cada uno de estos ejemplos, la entropía del sistema más la del ambiente (o los
alrededores) permaneció constante, o bien, aumentó. Para cualquier proceso reversible,
como el del ejercicio D, el cambio total en la entropía es cero. Esto se puede ver en ge-
neral como sigue: cualquier proceso reversible se puede considerar como una serie de
transferencias isotérmicas cuasiestáticas de calor ⌬Q entre un sistema y el ambiente,
que difiere en temperatura sólo por una cantidad infinitesimal. Por lo tanto, el cambio
en la entropía del sistema o del ambiente es ⌬Q/T y el del otro es Ϫ⌬Q/T, así que el
total es

¢S = ¢Ssistema + ¢Sambiente = 0. [cualquier proceso reversible]
En los ejemplos 20-6, 20-7 y 20-8, encontramos que la entropía total del sistema
más la del ambiente aumenta. De hecho, se encontró que, para todos los procesos rea-
les (irreversibles), la entropía total aumenta. No se han encontrado excepciones. De es-
ta forma, podemos plantear el enunciado general de la segunda ley de la termodinámica
del modo siguiente:

La entropía de un sistema aislado nunca disminuye. Permanece constante (en los
procesos reversibles) o aumenta (en los procesos irreversibles).

Puesto que todos los procesos reales son irreversibles, la segunda ley se puede enunciar SEGUNDA LEY DE LA
también como: TERMODINÁMICA
(enunciado general)
La entropía total de cualquier sistema más la de su ambiente aumenta como resul-
tado de cualquier proceso natural:

¢S = ¢Ssistema + ¢Sambiente 7 0. (20–13)

Aunque la entropía de una parte del universo puede disminuir en cualquier proceso
(véase los ejemplos anteriores), la entropía de alguna otra parte del universo siempre
aumenta por una cantidad mayor, así que la entropía total siempre aumenta.

SECCIÓN 20–6 Entropía y la segunda ley de la termodinámica 543

SEGUNDA LEY DE LA Ahora que finalmente tenemos un enunciado general cuantitativo de la segunda ley
TERMODINÁMICA de la termodinámica, vemos que es una ley inusual. Difiere considerablemente de otras
(enunciado general) leyes de la física, que por lo general son igualdades (como F ϭ ma) o leyes de conser-
vación (como la de la energía y la cantidad de movimiento). La segunda ley de la termo-
dinámica introduce una nueva cantidad, la entropía, S, pero no dice que se conserve.
Todo lo contrario. La entropía no se conserva en los procesos naturales. La entropía
siempre aumenta con el tiempo.

“Flecha del tiempo”

La segunda ley de la termodinámica resume cuáles procesos se observan en la natura-
leza y cuáles no. O, dicho de otra forma, nos indica la dirección en la que marchan los
procesos. Para el inverso de cualquiera de los procesos en los últimos ejemplos, la en-
tropía disminuiría; y nunca los observamos. Por ejemplo, nunca vemos que el calor flu-
ya espontáneamente de un objeto frío a un objeto caliente, a la inversa del ejemplo
20-8. Tampoco vemos que un gas se comprima espontáneamente a sí mismo en un vo-
lumen menor, el inverso del ejemplo 20-7 (los gases siempre se expanden para llenar
sus contenedores). Ni vemos que la energía térmica se transforme en energía cinética de
una piedra de manera que ésta se eleve espontáneamente del suelo. Cualquiera de es-
tos procesos sería congruente con la primera ley de la termodinámica (conservación de
la energía). Sin embargo, no son congruentes con la segunda ley de la termodinámica,
y por eso es necesaria la segunda ley. Si usted ve correr una película hacia atrás, proba-
blemente se daría cuenta de ello inmediatamente, porque vería ocurrencias extrañas,
como rocas que se elevan espontáneamente del suelo, o aire que sale de la atmósfera
para llenar un globo vacío (lo contrario de la expansión libre). Cuando ve una película o
un video, usted recibe información de una falsa inversión del tiempo al observar si la
entropía aumenta o disminuye. Por eso, la entropía recibe el nombre de flecha del
tiempo, ya que nos puede decir en qué dirección transcurre el tiempo.

20–7 Del orden al desorden

El concepto de entropía, como se ha discutido hasta el momento, más bien parece abstrac-
to. Sin embargo, podemos relacionarlo con los conceptos más ordinarios de orden y desor-
den. De hecho, la entropía de un sistema se puede considerar una medida del desorden del
sistema. Así, la segunda ley de la termodinámica se puede enunciar simplemente como:

Los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado de mayor desorden.
Aunque no siempre queda claro qué es exactamente lo que se quiere decir con desor-
den; así que consideremos unos ejemplos. Algunos de ellos nos mostrarán cómo este
enunciado muy general de la segunda ley se aplica más allá de lo que generalmente se
considera como termodinámica.

Observemos los procesos simples mencionados en la sección 20-1. Primero, un fras-
co que contiene capas separadas de sal y pimienta está más ordenado que cuando la sal
y la pimienta se mezclan. Agitar un frasco que contiene capas separadas da por resultado
una mezcla, y ninguna cantidad de agitación separará las capas de nuevo. El proceso na-
tural es de un estado de relativo orden (capas) a uno de relativo desorden (una mezcla),
y no al contrario. Esto es, el desorden aumenta. A continuación, una taza de café sólida es
un objeto más “ordenado” y útil que los trozos de una taza rota. Las tazas se rompen
cuando caen, y nunca se reparan espontáneamente a sí mismas (como la engañosa figura
20-1). De nuevo, el curso normal de los acontecimientos es un aumento del desorden.

Consideremos algunos procesos para los cuales realmente calculamos el cambio en
la entropía; vemos que un aumento en la entropía da por resultado un aumento en el
desorden (o viceversa). Cuando el hielo se funde para convertirse en agua a 0°C, la en-
tropía del agua aumenta (ejercicio D). Intuitivamente, podemos considerar al agua só-
lida, es decir, el hielo, como un estado más ordenado que el estado fluido menos
ordenado capaz de fluir por todo el lugar. Este cambio de orden a desorden se puede
ver más claramente desde el punto de vista molecular: el arreglo ordenado de las mo-
léculas de agua en un cristal de hielo cambió al movimiento desordenado y un tanto
aleatorio de las moléculas en el estado fluido.

Cuando un objeto caliente se pone en contacto con un objeto frío, el calor fluye de
la temperatura alta a la baja, hasta que los dos objetos alcanzan la misma temperatura
intermedia. Al principio del proceso podemos distinguir dos clases de moléculas: las

544 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

que tienen una elevada energía cinética promedio (las del objeto caliente) y las que
tienen baja energía cinética promedio (las del objeto más frío). Después del proceso en
el que fluye calor, todas las moléculas están en una clase con la misma energía cinética
promedio. Ya no se tiene el arreglo más ordenado de moléculas en dos clases. El orden
se convirtió en desorden. Más aún, los objetos caliente y frío separados podrían funcio-
nar como las regiones de temperatura caliente y fría de una máquina térmica y, por en-
de, se podrían usar para obtener trabajo útil. Sin embargo, una vez que los dos objetos
se ponen en contacto y llegan a la misma temperatura, no se puede obtener trabajo. El
desorden aumentó, pues un sistema que tiene la capacidad de realizar trabajo segura-
mente se considerará como un sistema que tiene un mayor orden que un sistema que
ya no es capaz de efectuar trabajo.

Cuando una piedra cae al suelo, su energía cinética macroscópica se transforma en
energía térmica. La energía térmica se asocia con el movimiento desordenadamente
aleatorio de las moléculas; sin embargo, las moléculas en la piedra que cae tienen (to-
das ellas) la misma velocidad hacia abajo, además de sus propias velocidades aleatorias.
En consecuencia, la energía cinética más ordenada de la piedra como un todo cambia a
energía térmica desordenada cuando la piedra golpea el suelo. El desorden aumenta en
este proceso, como ocurre en todos los procesos que se presentan en la naturaleza.

*Evolución biológica FÍSICA APLICADA
Evolución y desarrollo biológico
Un interesante ejemplo del aumento en la entropía se relaciona con la evolución biológica
y el crecimiento de los organismos. A todas luces, un ser humano es un organismo suma-
mente ordenado. La teoría de la evolución describe el proceso de transformación desde las
primeras macromoléculas y formas de vida simples hasta el Homo sapiens, un proceso de
orden creciente. Asimismo, el desarrollo de un individuo desde que es una sola célula hasta
que se convierte en una persona adulta es un proceso de orden creciente. ¿Estos procesos
violan la segunda ley de la termodinámica? No. En los procesos de evolución y crecimiento, e
incluso durante la vida madura de un individuo, los productos de desecho se eliminan. Es-
tas pequeñas moléculas que permanecen como resultado del metabolismo son simples mo-
léculas sin mucho orden. Por lo tanto, representan desorden relativamente mayor o
entropía. De hecho, la entropía total de las moléculas desechadas por los organismos du-
rante los procesos de evolución y crecimiento es mayor que la disminución en la entropía
asociada con el orden del individuo en crecimiento o las especies en evolución.

20–8 Indisponibilidad de energía:

Muerte térmica

En el proceso de conducción térmica de un objeto caliente a uno frío, hemos visto que la
entropía aumenta y que el orden tiende al desorden. Los objetos caliente y frío, por sepa-
rado, podrían funcionar como las regiones de temperatura alta y baja de una máquina
térmica y, por consiguiente, podrían utilizarse para obtener trabajo útil. Sin embargo, des-
pués de que los dos objetos se ponen en contacto uno con otro y alcanzan la misma tem-
peratura uniforme, ya no se puede obtener trabajo de ellos. Por lo que respecta a la
capacidad de realizar trabajo útil, el orden se convirtió en desorden en este proceso.

Lo mismo se puede decir acerca de una piedra que cae y llega al reposo al golpear
el suelo. Antes de golpear el suelo, toda la energía cinética de la piedra podría haberse
utilizado para realizar trabajo útil. Sin embargo, una vez que la energía mecánica de la
piedra se convierte en energía térmica, ya no es posible la realización de trabajo útil.

Ambos ejemplos ilustran otro importante aspecto de la segunda ley de la termodi-
námica:

En cualquier proceso natural, parte de la energía deja de estar disponible para
realizar trabajo útil.
En cualquier proceso, jamás se pierde energía (siempre se conserva). Más bien, la energía
se vuelve menos útil: puede realizar menos trabajo útil. Conforme pasa el tiempo, la ener-
gía se degrada en cierto sentido; tarde o temprano pasa de formas más ordenadas (como
la mecánica) a la forma menos ordenada de energía interna o térmica. La entropía es un
factor en este caso, porque la cantidad de energía que deja de estar disponible para reali-
zar trabajo es proporcional al cambio en la entropía durante cualquier proceso.†

†Es posible demostrar que la cantidad de energía que deja de estar disponible para realizar trabajo útil 545
es igual a TL⌬S, donde TL es la menor temperatura disponible y ⌬S es el aumento total en la entropía
durante el proceso.

SECCIÓN 20–8 Indisponibilidad de energía: Muerte térmica

Un resultado natural de la degradación de la energía es la predicción de que, con-
forme transcurre el tiempo, el universo debería aproximarse a un estado de máximo
desorden. La materia se volvería una mezcla uniforme y el calor fluiría de las regiones de
alta temperatura a las de baja temperatura hasta que todo el universo esté a una mis-
ma temperatura. Entonces no se podría realizar ningún trabajo. Toda la energía del
universo se habrá degradado a energía térmica. Esta predicción, llamada muerte térmica
del universo, se ha discutido mucho; sin embargo, se encuentra muy lejana en el futuro.
Es un tema complicado, y algunos científicos cuestionan qué modelo termodinámico
del universo es posible o adecuado.

*20–9 Interpretación estadística de la

entropía y la segunda ley

Las ideas de entropía y desorden quedan más claras si se utiliza el análisis estadístico o
probabilístico del estado molecular de un sistema. Este enfoque estadístico, que Lud-
wig Boltzmann (1844-1906) aplicó por primera vez hacia finales del siglo XIX, hace una
distinción clara entre el “macroestado” y el “microestado” de un sistema. El microestado
de un sistema se especifica al dar la posición y la velocidad de cada partícula (o mo-
lécula). El macroestado de un sistema se especifica al dar las propiedades macroscópi-
cas de un sistema: temperatura, presión, número de moles, etcétera. En realidad, sólo
podemos conocer el macroestado de un sistema. Existen demasiadas moléculas en un
sistema como para tener la capacidad de conocer la velocidad y posición de cada una
en un momento dado. No obstante, podemos hipotetizar una gran cantidad de diferen-
tes microestados que puedan corresponder al mismo macroestado.

Veamos un ejemplo muy sencillo. Suponga que usted repetidamente agita cuatro
monedas en su mano y las deja caer sobre una mesa. Especificar el número de caras y el
número de cruces que aparecen en un lanzamiento dado es el macroestado de este sis-
tema. Especificar cada moneda como una cara o una cruz es el microestado del sistema.
En la siguiente tabla vemos cuántos microestados corresponden a cada macroestado:

Macroestado Microestados posibles Número de
(H = cara, T = cruz) microestados

4 caras HHHH 1
4
3 caras, 1 cruz H H H T, H H T H, H T H H, T H H H 6
4
2 caras, 2 cruces H H T T, H T H T, T H H T, H T T H, T H T H, T T H H 1

1 cara, 3 cruces T T T H, T T H T, T H T T, H T T T

4 caras TTTT

Una suposición básica detrás del enfoque estadístico es que cada microestado es
igualmente probable. Por lo tanto, el número de microestados que dan el mismo ma-
croestado corresponde a la probabilidad relativa de que ocurra ese macroestado. El
macroestado de dos caras y dos cruces es el más probable en el caso de lanzar cuatro
monedas; del total de 16 posibles microestados, seis corresponden a dos caras y dos
cruces, así que la probabilidad de obtener dos caras y dos cruces es de 6 en 16, o del
38%. La probabilidad de obtener una cara y tres cruces es 4 de 16, o del 25%. La pro-
babilidad de obtener cuatro caras es de sólo 1 en 16, o del 6%. Si usted lanzó las mone-
das 16 veces, quizá encuentre que dos caras y dos cruces no aparecen exactamente 6
veces, o que cuatro cruces no aparecen exactamente una vez. Éstas son sólo probabili-
dades o promedios. Sin embargo, si usted realizó 1600 lanzamientos, muy cerca del
38% de ellos corresponderían a dos caras y dos cruces. Cuanto mayor sea el número de
intentos, más cerca estarán los porcentajes de las probabilidades calculadas.

EJERCICIO E En la tabla anterior, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos dos caras?
1 1 1 3 11
a) 2 ; b) 16 ; c) 8 ; d) 8 ; e) 16 .

546 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

Si lanzamos más monedas (por ejemplo, 100, todas al mismo tiempo), la probabili-
dad relativa de que todas resulten caras (o todas cruces) se reduce enormemente. Sólo
hay un microestado que corresponde a todas caras. Para 99 caras y 1 cruz, hay 100 mi-
croestados, pues cada una de las monedas podría ser la única cruz. En la tabla 20-1 se
dan las probabilidades relativas para otros macroestados. Son posibles aproximada-
mente 1.3 ϫ 1030 microestados.† Por lo tanto, la probabilidad relativa de que todas las
monedas caigan en cara es 1 en 1030, ¡un evento increíblemente improbable! La proba-
bilidad de obtener 50 caras y 50 cruces (véase la tabla 20-1) es (1.0 ϫ 1029)/1.3 ϫ 1030 ϭ
0.08 o del 8%. La probabilidad de obtener cualquier resultado entre 45 y 55 caras es de
más del 70%.

TABLA 20–1 Probabilidades de varios macroestados para el lanzamiento
de 100 monedas

Macroestado Número de
microestados
Caras Cruces Probabilidad

100 0 1 7.9 * 10–31
99 1 1.0 * 102 7.9 * 10–29
1.7 * 1013 1.4 * 10–17
90 10

80 20 5.4 * 1020 4.2 * 10–10

60 40 1.4 * 1028 0.01

55 45 6.1 * 1028 0.05

50 50 1.0 * 1029 0.08

45 55 6.1 * 1028 0.05

40 60 1.4 * 1028 0.01

20 80 5.4 * 1020 4.2 * 10–10

10 90 1.7 * 1013 1.4 * 10–17

1 99 1.0 * 102 7.9 * 10–29
0 100 1 7.9 * 10–31
FIGURA 20–14 a) Distribución más
De esta manera, vemos que, conforme aumenta el número de monedas, la probabi- probable de rapideces moleculares enFracción de moléculas
lidad de obtener el arreglo más ordenado (todas caras o todas cruces) se vuelve extre- un gas (maxwelliana o aleatoria);
madamente improbable. El arreglo menos ordenado (mitad caras, mitad cruces) es el b) distribución de rapideces ordenada
más probable, y la probabilidad de estar entre, digamos, el 5% del arreglo más proba- (pero enormemente improbable)
ble aumenta enormemente conforme el número de monedas aumenta. Estas mismas en la que todas las moléculas tienen
ideas se pueden aplicar a las moléculas de un sistema. Por ejemplo, el estado más pro- casi la misma rapidez
bable de un gas (como el aire en una habitación) es uno en el que las moléculas ocupan
todo el espacio y se mueven aleatoriamente; esto corresponde a una distribución max- 0 Rapidez, v
welliana (figura 20-14a; véase también la sección 18-2). Por otra parte, el arreglo muy a)
ordenado de todas las moléculas ubicadas en una esquina de la habitación y todas mo-
viéndose con la misma velocidad (figura 20-14b) es extremadamente improbable.

A partir de estos ejemplos, es claro que la probabilidad se relaciona directamente
con el desorden y, por lo tanto, con la entropía. Es decir, el estado más probable es
aquel con mayor entropía o mayor desorden y aleatoriedad. Boltzmann demostró, en
concordancia con la definición de Clausius (dS ϭ dQ/T), que la entropía de un sistema
en un (macro) estado dado se puede representar como

S = k ln w , (20–14) Fracción de moléculas

donde k es la constante de Boltzmann Ak = R͞NA = 1.38 * 10–23 J͞KB y w es el nú-
mero de microestados que corresponden al macroestado dado. De esta forma, w es
proporcional a la probabilidad de ocurrencia de ese estado. w se llama la probabilidad
termodinámica o, en ocasiones, el parámetro de desorden.

†Cada moneda tiene dos posibilidades: cara o cruz. Entonces, el número posible de microestados es 0 Rapidez, v
2 * 2 * 2 * p = 2100 = 1.27 * 1030 (utilizando una calculadora o logaritmos). b)

*SECCIÓN 20–9 Interpretación estadística de la entropía y la segunda ley 547

EJEMPLO 20–9 Expansión libre: determinación estadística de la entropía.
Utilice la ecuación 20-14 para determinar el cambio en la entropía para la expansión
adiabática libre de un gas, un cálculo que hicimos microscópicamente en el ejemplo
20-7. Suponga que w , el número de microestados para cada macroestado, es el núme-
ro de posiciones posibles.

PLANTEAMIENTO Suponemos que el número de moles es n ϭ 1, y entonces el nú-
mero de moléculas es N ϭ nNA ϭ NA. Dejamos que el volumen se duplique, como en
el ejemplo 20-7. Puesto que el volumen se duplica, el número de posiciones posibles
para cada molécula se duplica.

SOLUCIÓN Cuando el volumen se duplica, cada molécula tiene disponibles el doble
de posiciones (microestados). Para dos moléculas, el número de microestados totales
aumenta por 2 ϫ 2 ϭ 22. Para *NApmo=lé2cNuAla. s, el número total de microestados aumen-
ta en un factor de 2 * 2 *2

w2 = 2NA.
w1

El cambio en la entropía es, a partir de la ecuación 20-14,

¢S = S2 - S1 = kAln w 2 - ln w 1B = k ln w 2 = k ln 2NA = kNA ln 2 = R ln 2
w 1

que es el mismo resultado obtenido en el ejemplo 20-7.

En términos de probabilidad, la segunda ley de la termodinámica —que nos dice
que la entropía aumenta en cualquier proceso— se reduce al enunciado de que ocu-
rren aquellos procesos que son más probables. Así, la segunda ley se convierte en un
enunciado trivial. Sin embargo, ahora hay un elemento adicional. La segunda ley en
términos de probabilidad no prohíbe una disminución en la entropía. En vez de ello, di-
ce que la probabilidad es extremadamente baja. No es imposible que la sal y la pimien-
ta puedan separarse espontáneamente en capas, o que una taza de té rota se pueda
reparar a sí misma. Incluso es posible que un lago pueda congelarse en un caluroso día
de verano (esto es, que el calor fluya fuera del frío lago hacia el entorno más cálido).
Sin embargo, la probabilidad de que ocurran tales eventos es extremadamente peque-
ña. En los ejemplos de las monedas, vimos que aumentar el número de monedas de 4 a
100 reduce drásticamente la probabilidad de grandes desviaciones del arreglo prome-
dio, o más probable. En los sistemas ordinarios no se trata con 100 moléculas, sino con
números increíblemente grandes de moléculas: en solo 1 mol hay 6 ϫ 1023 moléculas.
En consecuencia, la probabilidad de desviación lejos del promedio es increíblemente
pequeña. Por ejemplo, se ha calculado que la probabilidad de que una piedra en repo-
so sobre el suelo transforme 1 cal de energía térmica en energía mecánica y se eleve en
el aire es mucho menor que la probabilidad de que un grupo de monos que teclean al
azar, por casualidad, produzcan las obras completas de Shakespeare.

*20–10 Temperatura termodinámica:

Tercera ley de la termodinámica

En la sección 20-3 vimos que, para un ciclo de Carnot, la razón entre el calor absorbi-
do QH del depósito de alta temperatura y el calor expulsado QL hacia el depósito de
baja temperatura se relaciona directamente con la razón de las temperaturas de los dos
depósitos (ecuación 20-2):

QL = TL .
QH TH

Este resultado es válido para cualquier máquina reversible y no depende de la sustan-
cia operativa. Por lo tanto, puede servir como la base para la escala de temperatura
Kelvin o termodinámica.

Utilizamos esta relación y la escala de temperatura de gas ideal (sección 17-10) para
completar la definición de la escala termodinámica: asignamos el valor Ttp ϭ 273.16 K
al punto triple del agua, de manera que

548 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

T = (273.16 K) ¢ Q ≤ ,
Qtp

donde Q y Qtp son las magnitudes de los calores intercambiados por una máquina de
Carnot con depósitos a temperaturas T y Ttp. Entonces, la escala termodinámica es
idéntica a la escala de gas ideal sobre el rango de validez de esta última.
Las temperaturas muy bajas son difíciles de obtener experimentalmente. Cuanto
más cerca del cero absoluto esté la temperatura, más difícil es reducir la temperatura
aún más, y por lo general se acepta que no es posible alcanzar el cero absoluto en cual-
quier número finito de procesos. Este último enunciado es una forma de expresar† la
tercera ley de la termodinámica. Puesto que la máxima eficiencia que puede tener cual-
quier máquina térmica es la eficiencia de Carnot

e = 1- TL ,
TH
y dado que TL nunca puede ser cero, vemos que no es posible una máquina térmica
100% eficiente.

FIGURA 20–15 a) Un arreglo de espejos enfoca la luz solar sobre un calentador para producir vapor en una instalación de energía solar.
b) Una planta de vapor de combustible fósil (que utiliza productos de desecho forestal, biomasa). c) Grandes torres de enfriamiento en una

planta generadora de electricidad.

a) b) c)

*20–11 Contaminación térmica, calenta- FIGURA 20–16 La energía
mecánica se transforma en energía
miento global y recursos energéticos eléctrica con una turbina y un
generador.
Mucha de la energía que se emplea en la vida diaria (desde los vehículos automotores
hasta la mayor parte de la electricidad generada en las plantas eléctricas) utiliza una Fuente de energía:
máquina térmica. La electricidad producida por el agua que cae en los diques, por mo- agua,
linos de viento o por celdas solares (figura 20-15a) no implica una máquina térmica. En vapor
Estados Unidos más del 90% de la energía producida se genera en plantas de vapor de
combustible fósil (carbón, petróleo o gas, véase la figura 20-15b), las cuales utilizan una o viento
máquina térmica (en esencia máquinas de vapor). En las plantas eléctricas, el vapor im-
pulsa las turbinas y los generadores (figura 20-16) cuya salida es energía eléctrica. Los Generador
diversos medios para hacer girar la turbina se exponen brevemente en la tabla 20-2 (de eléctrico
la siguiente página), junto con algunas de las ventajas y desventajas de cada uno. Inclu-
so las plantas nucleares utilizan combustible nuclear para poner en funcionamiento Turbina
una máquina de vapor.
Energía
La salida de calor QL de toda máquina térmica, desde las plantas eléctricas hasta eléctrica
los automóviles, se conoce como contaminación térmica porque el ambiente debe ab-
sorber este calor (QL) por medio del agua de los ríos o lagos, o por medio del aire con FÍSICA APLICADA
la ayuda de grandes torres de enfriamiento (figura 20-15c). Cuando el agua es el refri- Máquinas térmicas y contaminación
gerante, este calor eleva la temperatura del agua, lo que altera la ecología natural de la térmica
vida acuática (principalmente porque el agua más caliente retiene menos oxígeno). En
el caso de las torres de enfriamiento de aire, el calor de salida QL eleva la temperatura
de la atmósfera, lo que afecta al clima.

†Véase también el enunciado en la nota al pie de la página 539.

*ECCIÓN 20–11 Contaminación térmica, calentamiento global y recursos energéticos 549

TABLA 20–2 Recursos de energía eléctrica

Forma de producción Porcentaje de producción (aprox.) Ventajas Desventajas
de energía eléctrica EUA Mundial Contaminación del aire;
contaminación térmica; eficiencia
Plantas de vapor de combustible fósil: 71 66 Se sabe cómo construirlas; por ahora limitada; devastación de terrenos por
Quema de carbón, petróleo o gas natural relativamente poco costosas. la extracción de materias primas
para hervir agua, lo que produce vapor a (minería); calentamiento global;
alta presión que impulsa la turbina de un accidentes como derrames de petróleo
generador (figuras 20-3b, 20-16); utiliza en el mar; suministro limitado de
una máquina térmica. combustible (las estimaciones varían
de un par de décadas a unos cuantos
Energía nuclear: 20 16 Por lo general casi siglos).
Fisión: Núcleos de átomos de uranio o 0 no contaminan el
plutonio se dividen (“fisionan”) aire; menos Contaminación térmica; los accidentes
liberando energía (capítulo 42) que contribución al pueden liberar radiactividad dañina;
calienta vapor; utiliza una máquina calentamiento dificultad para desechar los productos
térmica. global; relativamente barata. radiactivos; posible desviación del
material nuclear por terroristas;
Fusión: Energía liberada cuando 0 Relativamente “limpia”; vasto limitado suministro de combustible.
isótopos de hidrógeno (u otros núcleos suministro de combustible (hidrógeno Todavía no es factible.
pequeños) se combinan o se “funden” en las moléculas de agua en los
(capítulo 42). océanos); menor contribución al
calentamiento global.

Hidroeléctrica: 7 16 No se necesita máquina térmica; no Los depósitos detrás de las presas
El agua que cae hay contaminación del aire, del agua o inundan terrenos panorámicos o
impulsa turbinas térmica; relativamente barata; alta habitados; las presas bloquean la
en la base de una eficiencia; las presas ayudan a migración corriente arriba del salmón
presa. controlar inundaciones. y otras especies de peces para su
reproducción; quedan pocas
ubicaciones para nuevas presas;
sequías.

Geotérmica: Vapor natural del interior de 61 6 1 No se necesita máquina térmica; Pocos sitios adecuados; escasa
la Tierra llega a la superficie (fuentes 61 escasa contaminación del aire; buena producción; el contenido mineral del
termales, géiseres, respiraderos de vapor); 61 eficiencia; relativamente barata y agua caliente empleada es
o el agua fría que pasa y entra en contacto “limpia”. contaminante.
con roca seca y caliente para convertirse
en vapor. 6 1 No requiere máquina térmica; no hay Los enormes molinos de viento
Potencia eólica: contaminación del aire, del agua o pueden afectar el clima y resultan
Molinos de viento térmica; relativamente barata. antiestéticos; implican riesgos para las
de 3 a 5 kW (las aves migratorias; los vientos no
aspas tienen siempre son fuertes.
envergadura de
hasta 50 m) 61
impulsan un
generador. No se necesita Limitaciones de espacio; requieren un
máquina térmica; no respaldo; relativamente caro; es menos
Energía solar: hay contaminación efectivo cuando está nublado.
Calentamiento solar activo: Paneles del aire o térmica;
solares sobre los techos absorben los suministro ilimitado Protector Sol de
rayos solares, que calientan agua en de combustible. solar de verano
tubos destinada al calentamiento de verano
espacios y al suministro de agua
caliente. No se necesita máquina térmica; no Casi Ventana Sol de
hay contaminación del aire o térmica; ninguna, invierno
Calentamiento solar pasivo: relativamente barato. pero
Dispositivos arquitectónicos: ventanas
dirigidas hacia los rayos solares, persianas también se
sobre las ventanas para mantener fuera necesitan
los rayos solares en el verano. otros Suelo que absorbe energía

métodos.

Celdas solares (celdas fotovoltaicas): No se requiere de máquina térmica; Costosas; contaminación química al
Convierten la luz solar directamente en muy baja contaminación térmica, del fabricarlas; se necesitan grandes áreas
electricidad sin usar una máquina aire y agua; buena eficiencia de terreno cuando la energía del Sol
térmica. (Ͼ 30% y mejorando). no se concentra.

550 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

La contaminación del aire (provocada por las sustancias que se liberan de la que-
ma de combustibles fósiles en automóviles, plantas eléctricas y hornos industriales) ori-
gina el esmog y otros problemas. Otro tema del que se habla mucho es la acumulación
de CO2 en la atmósfera de la Tierra como resultado de la quema de combustibles fósi-
les. El CO2 absorbe parte de la radiación infrarroja que emite naturalmente la Tierra
(sección 19-10) y, por consiguiente, contribuye al calentamiento global, un serio proble-
ma que se puede reducir limitando la quema de combustibles fósiles.

Sin embargo, la contaminación térmica es inevitable. Los ingenieros pueden intentar
diseñar y construir motores que sean más eficientes, pero no pueden rebasar la eficien-
cia de Carnot y deben aceptar la idea de que TL es a lo más la temperatura ambiente
del agua o del aire. La segunda ley de la termodinámica nos indica el límite impuesto
por la naturaleza. Lo que podemos hacer, a la luz de la segunda ley de la termodinámi-
ca, es usar menos energía y conservar las fuentes de combustibles.

RESOLUCIÓ N DE PROBLEMAS

Termodinámica 4. Las temperaturas por lo general se deben expresar en kel-
vin; las diferencias de temperatura se expresan en °C o K.
1. Defina el sistema con el que trata; distinga del entorno
el sistema que somete a estudio. 5. La eficiencia (o coeficiente de operación) es una razón
de dos transferencias de energía: la salida útil dividida
2. Tenga cuidado con los signos asociados con trabajo y ca- entre la entrada requerida. La eficiencia (pero no el
lor. En la primera ley, el trabajo realizado por el sistema coeficiente de operación) siempre tiene un valor menor
es positivo; el trabajo realizado sobre el sistema es negati- que 1 y, por eso, con frecuencia se expresa como por-
vo. El calor agregado al sistema es positivo, pero el calor centaje.
removido de él es negativo. Con las máquinas térmicas,
por lo general la admisión de calor, el calor expulsado y el 6. La entropía de un sistema aumenta cuando se agrega
trabajo realizado se consideran como positivos. calor al sistema, y disminuye cuando se extrae calor. Si
el calor se transfiere del sistema A al sistema B, el cam-
3. Observe las unidades usadas para trabajo y calor; el tra- bio en la entropía de A es negativo y el cambio en la
bajo con mucha frecuencia se expresa en joules y el calor entropía de B es positivo.
puede estar en calorías, kilocalorías o joules. Sea consis-
tente: elija sólo una unidad para trabajar un problema.

Resumen

Una máquina térmica es un dispositivo para transformar energía Una bomba térmica realiza trabajo W para llevar calor QL del
térmica en trabajo útil mediante flujo de calor. exterior frío y entregar calor QH para calentar el interior de un lu-
gar. El coeficiente de operación de una bomba térmica es
La eficiencia de una máquina térmica se define como la razón
entre el trabajo W realizado por la máquina y la entrada de calor COP = QH . [bomba térmica] (20–5)
QH. De acuerdo con la conservación de la energía, la salida de tra- W
bajo es igual a QH Ϫ QL, donde QL es el calor que escapa hacia el La segunda ley de la termodinámica se puede enunciar en va-
ambiente; por lo tanto, la eficiencia es rias formas equivalentes:

W QL . (20–1) a) El calor fluye espontáneamente de un objeto caliente a
QH QH
e = = 1 - uno frío, pero no a la inversa;

La máquina de Carnot (idealizada) consiste en dos procesos b) No puede haber una máquina térmica 100% eficiente, es

decir, una que pueda convertir por completo una cantidad

isotérmicos y dos adiabáticos en un ciclo reversible. Para una má- dada de calor en trabajo;

quina de Carnot, o cualquier máquina reversible que opere entre c) los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado
de mayor desorden o mayor entropía.
dos temperaturas TH y TL (en kelvin), la eficiencia es
El inciso c) es el enunciado más general de la segunda ley de la ter-
= 1- TL . (20–3)
eideal TH modinámica y se puede expresar como: la entropía total, S, de cual-

Las máquinas irreversibles (reales) tienen una eficiencia menor que quier sistema más la de su entorno aumenta como resultado de

esto. cualquier proceso natural:

La operación de refrigeradores y acondicionadores de aire es ¢S 7 0. (20–13)

el inverso de la de una máquina térmica: se realiza trabajo para ex- La entropía, que es una variable de estado, es una medida cuan-

traer calor de una región fría y expulsarlo hacia una región con una titativa del desorden de un sistema. El cambio en la entropía de un

temperatura más alta. El coeficiente de operación (COP) para refri- sistema durante un proceso reversible está dado por ¢S = ͐dQ͞T.

geradores y acondicionadores de aire es La segunda ley de la termodinámica nos indica en cuál direc-

ción tienden a avanzar los procesos; por eso, a la entropía se le lla-

QL , refrigerador o ma “flecha del tiempo”.
W acondicionador de
COP = c aire d (20–4a) Conforme trascurre el tiempo, la energía se degrada a formas

donde W es el trabajo necesario para remover calor QL del área a la menos útiles, es decir, está menos disponible para realizar trabajo útil.
temperatura baja. [*Todas las máquinas térmicas originan contaminación térmica,
porque expulsan calor al ambiente].

Resumen 551

Preguntas 14. a) ¿Qué ocurre si usted retira la tapa de una botella que contiene
gas cloro? b) ¿Alguna vez ocurre el proceso inverso? c) ¿Puede
1. ¿La energía mecánica alguna vez se puede transformar por pensar en otros dos ejemplos de irreversibilidad?
completo en calor o energía interna? ¿Puede ocurrir lo contra-
rio? En cada caso, si su respuesta es no, explique por qué; si res- 15. Se le pide probar una máquina que el inventor llama “acondi-
ponde afirmativamente, dé uno o dos ejemplos. cionador de aire interior”: una gran caja, que está en medio de
la habitación, con un cable que se enchufa en un tomacorriente.
2. ¿Es posible calentar una cocina en invierno si se deja la puerta del Cuando la máquina se enciende, usted siente una corriente de
horno abierta? ¿Es posible enfriar la cocina en un día caluroso de aire frío que sale de ella. ¿Cómo sabe usted que esta máquina
verano si se deja abierta la puerta del refrigerador? Explique. no puede enfriar la habitación?

3. ¿Sería útil una definición de la eficiencia de una máquina tér- 16. Piense en varios procesos (distintos a los ya mencionados) que
mica como e ϭ W/QL? Explique. obedecerían la primera ley de la termodinámica pero que, si
realmente ocurrieran, violarían la segunda ley.
4. ¿Cuáles son las áreas de alta temperatura y de baja temperatu-
ra en a) un motor de combustión interna y b) un motor de va- 17. Suponga que un montón de papeles se tiran en el suelo; luego
por? En sentido estricto, ¿son depósitos de calor? usted los apila cuidadosamente. ¿Esto viola la segunda ley de la
termodinámica? Explique.
5. ¿Cuál modificación daría la mayor eficiencia de una máquina de
Carnot: un aumento de 10 C° en el depósito de alta temperatura, 18. La primera ley de la termodinámica a veces se enuncia capri-
o una disminución de 10 C° en el depósito de baja temperatura? chosamente como “Es imposible obtener algo a cambio de na-
da”, y la segunda ley como “No se puede salir sin ganar o
6. Los océanos contienen una enorme cantidad de energía térmica perder”. Explique cómo estos enunciados podrían ser equiva-
(interna). ¿Por qué, en general, no es posible convertir esta lentes a los enunciados formales.
energía en trabajo útil?
19. Se agrega muy lentamente (cuasiestáticamente) leche en polvo
7. Discuta los factores que evitan que las máquinas reales alcan- al agua mientras se agita. ¿Es éste un proceso reversible? Expli-
cen la eficiencia de Carnot. que.

8. La válvula de expansión en un sistema de refrigeración (figura 20. Dos sistemas idénticos se llevan del estado a al estado b me-
20-10) es crucial para enfriar el fluido. Explique cómo ocurre el diante dos procesos irreversibles diferentes. ¿El cambio en la
enfriamiento. entropía del sistema será el mismo para cada proceso? ¿Para el
ambiente? Responda de forma cuidadosa y exhaustiva.
9. Describa un proceso en la naturaleza que sea casi reversible.
21. Se puede decir que el cambio total en la entropía durante un
10. a) Describa cómo se podría agregar calor a un sistema de ma- proceso es una medida de la irreversibilidad del proceso. Discu-
nera reversible. b) ¿Podría usar un quemador de estufa para ta por qué esto es válido, comenzando con el hecho de que ⌬Stotal
agregar calor a un sistema de manera reversible? Explique. ϭ ⌬Ssistema ϩ ⌬Sambiente ϭ 0 para un proceso reversible.

11. Suponga que un gas se expande al doble de su volumen original 22. Utilice argumentos, distintos al principio de aumento de entro-
a) adiabáticamente y b) isotérmicamente. ¿Cuál proceso daría pía, para demostrar que, para un proceso adiabático, ⌬S ϭ 0 si
por resultado un mayor cambio en la entropía? Explique. se realiza reversiblemente y ⌬S Ͼ 0 si se realiza irreversible-
mente.
12. Dé tres ejemplos, distintos a los mencionados en este capítulo,
de procesos que ocurren naturalmente en los que el orden se
convierte en desorden. Discuta la naturaleza observable del
proceso inverso.

13. ¿Cuál cree que tenga mayor entropía: 1 kg de hierro sólido o 1
kg de hierro líquido? ¿Por qué?

Problemas 5. (II) La quema de gasolina en un automóvil libera aproximada-
mente 3.0 ϫ 104 kcal/gal. Si un automóvil promedia 38 km/gal
20–2 Máquinas térmicas
1. (I) Una máquina térmica expulsa 7800 J de calor mientras reali- cuando se conduce a 95 km/h, lo que requiere de 25 hp, ¿cuál es

za 2600 J de trabajo útil. ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina? la eficiencia del motor en estas condiciones?

2. (I) Cierta planta eléctrica entrega 580 MW de potencia eléctri- 6. (II) La figura 20-17 es un diagrama PV para una máquina tér-
ca. Estime la descarga de calor por segundo, si se supone que la
planta tiene una eficiencia del 35%. mica reversible en la que 1.0 mol de argón, un gas mo-

3. (II) Un automóvil compacto experimenta una fuerza de arras- noatómico casi ideal, inicialmente se encuentra
tre total a 55 mi/h de aproximadamente 350 N. Si este automó-
vil rinde 35 millas por galón de gasolina a esta rapidez, y un a PTE (punto a). Los puntos b y c están en
litro de gasolina (1 gal ϭ 3.8 L) libera aproximadamente 3.2 ϫ
107 J cuando se quema, ¿cuál es la eficiencia del automóvil? b una isoterma a T ϭ 423 K. El proceso ab
es a volumen constante, y el proceso ac
4. (II) Un motor de gasolina de cuatro cilindros tiene una eficien-
cia de 0.22 y entrega 180 J de trabajo por ciclo por cilindro. El es a presión constante. a) ¿La trayec-
motor enciende a 25 ciclos por segundo. a) Determine el traba-
jo realizado por segundo. b) ¿Cuál es la entrada de calor total P T = 42 toria del ciclo se realiza en sentido
por segundo de la gasolina? c) Si el contenido energético de la
gasolina es de 130 MJ por galón, ¿cuánto dura un galón? 3K horario o en sentido contrario?
b) ¿Cuál es la eficiencia de esta
552 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica
máquina?
ac

0V FIGURA 20–17
Problema 6.

7. (III) La operación de un motor diesel se puede idealizar me- 14. (II) Una máquina de Carnot realiza trabajo a una tasa de 520
kW, con una entrada de 950 kcal de calor por segundo. Si la
diante el ciclo que se representa en la figura 20-18. El aire entra temperatura de la fuente de calor es de 560°C, ¿a qué tempera-
tura se expulsa el calor de desecho?
al cilindro durante la carrera de admisión (que no es parte del
15. (II) Suponga que un alpinista de 65 kg necesita 4.0 ϫ 103 kcal de
ciclo idealizado). El aire se comprime adiabáticamente, trayec- energía para suministrar el valor energético requerido del metabo-
lismo de un día. Estime la altura máxima a la que la persona pue-
toria ab. En el punto b, el combustible diesel se inyecta en el ci- de escalar en un día, usando sólo esta cantidad de energía. Como
una predicción aproximada, considere al individuo como una má-
lindro e inmediatamente se quema, pues la temperatura es muy quina térmica aislada, que opera entre la temperatura interna de
37°C (98.6°F) y la temperatura ambiental del aire de 20°C.
alta. La combustión es lenta y, durante la primera parte de la
16. (II) Un automóvil particular realiza trabajo a una tasa aproxima-
carrera de potencia, el gas se expande a presión (casi) constan- da de 7.0 kJ/s cuando viaja con una rapidez estable de 20.0 m/s
a lo largo de un camino horizontal. Éste es el trabajo realizado
te, trayectoria bc. Después de quemarse, el resto de la carrera contra la fricción. El automóvil puede viajar 17 km con 1 L de
gasolina a esta rapidez (aproximadamente 40 mi/gal). ¿Cuál es
de potencia es adiabática, trayectoria cd. La trayectoria da co- el valor mínimo de TH si TL es de 25°C? La energía disponible
de 1 L de gas es 3.2 ϫ 107 J.
rresponde a la carrera de escape. a) Demuestre que, para una
17. (II) Una máquina térmica utiliza una fuente de calor a 580°C y
máquina reversible cuasiestática que experimenta este ciclo tiene una eficiencia de Carnot del 32%. Para aumentar la eficien-
cia al 38%, ¿cuál debe ser la temperatura de la fuente de calor?
usando un gas ideal, la eficiencia ideal es
18. (II) La sustancia operativa de cierta máquina de Carnot es 1.0
e = 1 - AVa͞VcB–g - AVa͞VbB–g , mol de un gas monoatómico ideal. Durante la porción de ex-
g C AVa͞VcB–1 - AVa͞VbB–1 D pansión isotérmica del ciclo de esta máquina, el volumen del
gas se duplica, mientras que, durante la expansión adiabática,
donde Va/Vb es la “razón de compresión”, Va/Vc es la “razón de el volumen aumenta en un factor de 5.7. La salida de trabajo de
expansión” y g se define mediante la ecua- la máquina es de 920 J en cada ciclo. Calcule las temperaturas
de los dos depósitos entre los que opera la máquina.
P b QH c ción 19-14. b) Si Va/Vb ϭ 16 y Va/Vc ϭ
4.5, calcule la eficiencia, suponiendo 19. (III) Un ciclo de Carnot (figura 20-7) tiene las siguientes condi-
que el gas es diatómico (como ciones: Va ϭ 7.5 L, Vb ϭ 15.0 L, TH ϭ 470°C y TL ϭ 260°C. El
gas empleado en el ciclo es 0.50 mol de un gas diatómico, g ϭ
d N2 y O2) e ideal. 1.4. Calcule a) las presiones en a y b; b) los volúmenes en c y d.
c) ¿Cuál es el trabajo realizado a lo largo del proceso ab? d)
QL ¿Cuál es la pérdida de calor a lo largo del proceso cd? e) Calcu-
le el trabajo neto realizado durante todo el ciclo. f) ¿Cuál es la
a eficiencia del ciclo, usando la definición e ϭ W/QH? Demuestre
FIGURA 20–18 que esta definición es igual a la de la ecuación 20-3.

0 V Problema 7. 20. (III) Un mol de un gas monoatómico experimenta un ciclo de
Carnot con TH ϭ 350°C y TL ϭ 210°C. La presión inicial es
20–3 Máquina de Carnot de 8.8 atm. Durante la expansión isotérmica, el volumen se du-
plica. a) Encuentre los valores de la presión y el volumen en los
8. (I) ¿Cuál es la eficiencia máxima de una máquina térmica cuyas puntos a, b, c y d (véase la figura 20-7). b) Determine Q, W y
temperaturas de operación son 550 y 365°C? ⌬Eint para cada segmento del ciclo. c) Calcule la eficiencia del
ciclo usando las ecuaciones 20-1 y 20-3.
9. (I) No es necesario que el ambiente caliente de una máquina tér-
mica sea más caliente que la temperatura ambiente. El nitrógeno * 21. (III) En un motor que aproxima el ciclo de Otto (figura 20-8),
líquido (77 K) es aproximadamente tan barato como el agua se debe encender vapor de gasolina, al final de la compresión
embotellada. ¿Cuál sería la eficiencia de una máquina que utilice adiabática del cilindro, mediante la chispa de una bujía. La tem-
el calor transferido del aire a temperatura ambiente (293 K) al peratura de ignición de vapor de gasolina de 87 octanos es
“combustible” aproximadamente de 430°C y, suponiendo que el gas operativo
de nitrógeno lí- es diatómico y entra al cilindro a 25°C, determine la máxima ra-
quido (figura zón de compresión del motor.
20-19)?
20–4 Refrigeradores, acondicionadores de aire,
FIGURA 20–19 bombas térmicas
Problema 9.
22. (I) Si un refrigerador ideal mantiene su contenido a 3.0°C cuan-
10. (II) Una máquina térmica expulsa su calor a 340°C y tiene una do la temperatura de la casa es de 22°C, ¿cuál es su coeficiente de
eficiencia de Carnot del 38%. ¿Qué temperatura de escape le operación?
permitiría lograr una eficiencia de Carnot del 45%?
23. (I) La temperatura baja del serpentín de enfriamiento de un
11. (II) a) Demuestre que el trabajo realizado por una máquina de congelador es de Ϫ15°C y la temperatura de descarga es de
Carnot es igual al área encerrada por el ciclo de Carnot en un 33°C. ¿Cuál es el máximo coeficiente de operación teórico?
diagrama PV, figura 20-7. (Véase la sección 19-7.) b) Generali-
ce esto a cualquier ciclo reversible. 24. (II) Una máquina ideal (de Carnot) tiene una eficiencia del
38%. Si fuera posible invertir su funcionamiento como el de
12. (II) Las temperaturas de operación de una máquina de Carnot una bomba térmica, ¿cuál sería su coeficiente de operación?
son 210 y 45°C. La salida de potencia de la máquina es 950 W.
Calcule la tasa de salida de calor.

13. (II) Una planta eléctrica nuclear opera al 65% de su máxima
eficiencia teórica (de Carnot) entre temperaturas de 660 y
330°C. Si la planta produce energía eléctrica a la tasa de 1.2
GW, ¿cuánto calor de escape se descarga por hora?

Problemas 553

25. (II) Una bomba térmica ideal se usa para mantener la tempera- 34. (I) ¿Cuál es el cambio en la entropía de 1.00 m3 de agua a 0°C
tura interior de una casa a Tent ϭ 22°C cuando la temperatura cuando se congela para convertirse en hielo a 0°C?
exterior es Text. Suponga que, cuando opera, la bomba de calor
realiza trabajo a una tasa de 1500 W. También suponga que la 35. (II) Si 1.00 m3 de agua a 0°C se congela se y enfría a Ϫ10°C al
casa pierde calor mediante conducción a través de sus paredes estar en contacto con una gran cantidad de hielo a Ϫ10°C, esti-
y otras superficies a una tasa dada por (650 W/C°)(Tent Ϫ Text). me el cambio total en la entropía del proceso.
a) ¿A qué temperatura exterior tendría que operar la bomba
térmica en todo momento con la finalidad de mantener la casa 36. (II) Si 0.45 kg de agua a 100°C, mediante un proceso reversible,
a una temperatura interior de 22°C? b) Si la temperatura exterior se convierten en vapor a 100°C, determine el cambio en la en-
es de 8°C, ¿qué porcentaje del tiempo tiene que operar la bom- tropía de a) el agua, b) el entorno y c) el universo como un to-
ba térmica para mantener la casa a una temperatura interior de do. d) ¿Cómo diferirían sus respuestas si el proceso fuera
22°C? irreversible?

26. (II) El refrigerador de un restaurante tiene un coeficiente de 37. (II) Una varilla de aluminio conduce 9.50 cal/s desde una fuen-
operación de 5.0. Si la temperatura en la cocina afuera del refri- te de calor, que se mantiene a 225°C, hacia un gran cuerpo de
gerador es de 32°C, ¿cuál es la menor temperatura que podría agua a 22°C. Calcule la tasa a la que aumenta la entropía en es-
obtenerse dentro del refrigerador si éste fuera ideal? te proceso.

27. (II) Se emplea una bomba térmica para mantener caliente una 38. (II) Un pieza de aluminio de 2.8 kg a 43.0°C se coloca en 1.0 kg
casa a 22°C. ¿Cuánto trabajo se requiere para que la bomba en- de agua en un contenedor de poliestireno a temperatura am-
tregue 3100 J de calor a la casa, si la temperatura exterior es a) biente (20°C). Estime el cambio neto en la entropía del sistema.
0°C, b) Ϫ15°C? Suponga un comportamiento ideal (de Carnot).
39. (II) Un gas ideal se expande isotérmicamente (T ϭ 410 K) des-
28. (II) a) Dado que el coeficiente de operación de un refrigerador de un volumen de 2.50 L y una presión de 7.5 atm, a una pre-
se define (ecuación 20-4a) como sión de 1.0 atm. ¿Cuál es el cambio en la entropía para este
proceso?
COP = QL ,
W 40. (II) Cuando 2.0 kg de agua a 12.0°C se mezclan con 3.0 kg de
agua a 38.0°C en un contenedor bien aislado, ¿cuál es el cambio
demuestre que, para un refrigerador ideal (de Carnot), en la entropía del sistema? a) Realice una estimación; b) use la

COPideal = TL . integral ¢S = ͐dQ͞T.
TH - TL
41. (II) a) Un cubo de hielo de masa m a 0°C se coloca en una gran
b) Escriba el COP en términos de la eficiencia e de la máquina habitación a 20°C. El calor fluye (de la habitación al cubo de
térmica reversible obtenida al invertir el funcionamiento del re- hielo) de tal forma que el cubo de hielo se funde y el agua líqui-
frigerador. c) ¿Cuál es el coeficiente de operación para un refri- da se calienta a 20°C. La habitación es tan grande que su tem-
gerador ideal que mantiene un compartimiento congelador a peratura permanece casi en 20°C en todo momento. Calcule el
Ϫ18°C cuando la temperatura del condensador es de 24°C? cambio en la entropía del sistema (agua ϩ habitación) causado
por este proceso. ¿Este proceso ocurrirá naturalmente? b) Una
29. (II) Un refrigerador “de Carnot” (el inverso de una máquina de masa m de agua líquida a 20°C se coloca en una gran habita-
Carnot) absorbe calor del compartimiento congelador a una ción a 20°C. El calor fluye (del agua a la habitación) de tal for-
temperatura de Ϫ17°C y lo expulsa en la habitación a 25°C. a) ma que el agua líquida se enfría a 0°C y luego se congela en un
¿Cuánto trabajo debe realizar el refrigerador para convertir cubo de hielo a 0°C. La habitación es tan grande que su tempe-
0.40 kg de agua a 25°C en hielo a Ϫ17°C? b) Si la salida del ratura permanece en 20°C en todo momento. Calcule el cambio
compresor es de 180 W, ¿qué tiempo mínimo se necesita para en la entropía del sistema (agua ϩ habitación) causado por este
tomar 0.40 kg de agua a 25°C y congelarla a 0°C? proceso. ¿Este proceso ocurrirá naturalmente?

30. (II) Una bomba térmica central que opera como un acondicio- 42. (II) La temperatura de 2.0 moles de un gas diatómico ideal va
nador de aire extrae 33,000 Btu por hora de un edificio y opera de 25 a 55°C a un volumen constante. ¿Cuál es el cambio en la
entre las temperaturas de 24 y 38°C. a) Si su coeficiente de ope-
ración es 0.20 el de un acondicionador de aire de Carnot, ¿cuál entropía? Use ¢S = ͐dQ͞T.
es el coeficiente de operación efectivo? b) ¿Cuál es la potencia
(kW) requerida del motor compresor? c) ¿Cuál es la poten- 43. (II) Calcule el cambio en la entropía de 1.00 kg de agua cuando
cia en términos de hp? se calienta de 0 a 75°C. a) Realice una estimación; b) use la in-

31. (II) ¿Qué volumen de agua a 0°C puede convertir un congela- tegral ¢S = ͐dQ͞T. c) ¿La entropía del entorno cambia? Si es
dor en cubos de hielo en 1.0 h, si el coeficiente de operación de
la unidad enfriadora es 7.0 y la entrada de potencia es 1.2 kilo- así, ¿en cuánto?
watts?
44. (II) Un gas ideal de n moles experimenta el proceso reversible
20–5 y 20–6 Entropía ab que se muestra en el diagrama PV de la figura 20-20. La
32. (I) ¿Cuál es el cambio en la entropía de 250 g de vapor a 100°C temperatura T del gas es la misma en los puntos a y b. Determi-
ne el cambio en la entropía del gas causado por este proceso.
cuando se condensa para convertirse en agua a 100°C?
P
33. (I) Una caja de 7.5 kg que tiene una rapidez inicial de 4.0 m/s se
desliza a lo largo de una tabla áspera y llega al reposo. Estime a
el cambio total en la entropía del universo. Suponga que todos
los objetos están a temperatura ambiente (293 K). b

554 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica 0 Va Vb V FIGURA 20–20
Problema 44.

45. (II) Dos muestras de un gas ideal inicialmente están a la misma * 20–9 Interpretación estadística de la entropía
temperatura y presión. Cada una se comprime reversiblemente
de un volumen V a un volumen V/2, una isotérmicamente y la * 54. (I) Use la ecuación 20-14 para determinar la entropía de cada uno
otra adiabáticamente. a) ¿En cuál muestra la presión final es de los cinco macroestados que se listan en la tabla de la página 546.
mayor? b) Determine mediante integración el cambio en la en-
tropía del gas para cada proceso. c) ¿Cuál es el cambio en la entro- * 55. (II) Suponga que usted agita repetidamente seis monedas en su
pía del ambiente para cada proceso? mano y las deja caer al suelo. Construya una tabla que muestre

46. (II) Una taza aislada de aluminio de 150 g a 15°C se llena con el número de microestados que corresponden a cada macroes-
215 g de agua a 100°C. Determine a) la temperatura final de la
mezcla y b) el cambio total en la entropía como resultado del tado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a) tres caras y tres

proceso de mezcla (use ¢S = ͐dQ͞T). cruces y b) seis caras?

47. (II) a) ¿Por qué esperaría que el cambio total en la entropía en * 56. (II) Calcule las probabilidades relativas, cuando usted lanza dos
un ciclo de Carnot fuera cero? b) Efectúe un cálculo para de- dados, de obtener a) un 7, b) un 11, c) un 4.
mostrar que es cero.
* 57. (II) a) Suponga que usted tiene cuatro monedas, todas con cru-
48. (II) 1.00 mol de gas nitrógeno (N2) y 1.00 mol de gas argón ces hacia arriba. Ahora las arregla de manera que dos caras y
(Ar) están en contenedores aislados separados, de igual tamaño
y a la misma temperatura. Luego, los contenedores se conectan y dos cruces estén hacia arriba. ¿Cuál fue el cambio en la entro-
se permite que los gases (que se suponen ideales) se mezclen.
¿Cuál es el cambio en la entropía a) del sistema y b) del am- pía de las monedas? b) Suponga que su sistema está constituido
biente? c) Repita el inciso a) sólo que ahora suponga que un
contenedor es el doble de grande que el otro. por las 100 monedas de la tabla 20-1; ¿cuál es el cambio en la

49. (II) Los procesos termodinámicos a veces se representan en entropía de las monedas si inicialmente están mezcladas de ma-
diagramas TS (temperatura-entropía), y no en diagramas PV.
Determine la pendiente de un proceso a volumen constante en nera aleatoria, 50 caras y 50 cruces, y usted las coloca de mane-
un diagrama TS, para un sistema con n moles de gas ideal, con
calor específico molar a volumen constante CV se mantiene a ra que las 100 sean caras? c) Compare estos cambios en la
temperatura T.
entropía con los cambios en la entropía termodinámica ordina-
50. (III) El calor específico por mol de potasio a bajas temperatu-
ras está dado por CV ϭ aT ϩ bT3, donde a ϭ 2.08 mJ/molиK2 y ria, como en los ejemplos 20-6, 20-7 y 20-8.
b ϭ 2.57 mJ/molиK4. Determine (por integración) el cambio en
la entropía de 0.15 mol de potasio cuando su temperatura se re- * 58. (III) Considere un sistema aislado parecido a un gas que consis-
duce de 3.0 K a 1.0 K. te en una caja que contiene N ϭ 10 átomos distinguibles, cada

51. (III) Considere un gas ideal de n moles con calores específicos mo- uno en movimiento con la misma rapidez v. El número de for-
lares CV y CP. a) Comience con la primera ley y demuestre que,
cuando la temperatura y el volumen de este gas cambian median- mas únicas en que estos átomos se pueden ordenar de manera
te un proceso reversible, su cambio en la entropía está dado por
que NI átomos estén dentro de la mitad izquierda de la caja y
ND átomos estén dentro de la mitad derecha de la caja está da-
do por N!/NI!ND!, donde, por ejemplo, el factorial 4! ϭ 4и3и2и1
(la única excepción es que 0! ϭ 1). Defina cada arreglo único de
átomos dentro de la caja como un microestado de este sistema.

Ahora imagine los siguientes dos macroestados posibles: el esta-

do A, donde todos los átomos están dentro de la mitad izquierda

de la caja y ninguno está dentro de la mitad derecha; y el estado

B, donde la distribución es uniforme (esto es, hay el mismo nú-

mero de átomos en cada mitad). Véase la figura 20-21. a) Supon-

ga que el sistema inicialmente se encuentra en el estado A y, en

un momento posterior, se encuentra en el estado B. Determine

el cambio en la entropía del sistema. ¿Este proceso puede ocu-

dT dV rrir naturalmente? b) Suponga que el sistema inicialmente se en-
T V
dS = nCV + nR . cuentra en el estado B y, en un momento posterior, se encuentra

en el estado A. Determine Estado A (NL ϭ 10, NR ϭ 0)
el cambio en la entropía
b) Demuestre que la expresión en el inciso a) se puede escribir
como del sistema. ¿Este proceso v
puede ocurrir natural-

dP dV . mente?
P V
dS = nCV + nCP

c) Con la expresión del inciso b), demuestre que, si dS ϭ 0 para Estado B (NL ϭ 5, NR ϭ 5)
el proceso reversible (esto es, el proceso es adiabático), enton-
ces PVg ϭ constante, donde g ϭ CP/CV. FIGURA 20–21 Problema 58.

20–8 Indisponibilidad de la energía * 20–11 Recursos de energía
52. (III) Un teorema general afirma que la cantidad de energía que * 59. (II) La energía se puede almacenar para su uso durante la de-

deja de estar disponible para realizar trabajo útil en cualquier manda pico mediante el bombeo de agua hacia un gran depósi-
proceso es igual a TL ⌬S, donde TL es la menor temperatura to cuando la demanda es baja y luego liberándola para activar
disponible y ⌬S es el cambio total en la entropía durante el pro- turbinas cuando se necesite. Suponga que el agua se bombea a
ceso. Demuestre que esto es válido en los casos específicos de un lago a 135 m por arriba de las turbinas, a una tasa de 1.35 ϫ
a) una piedra que cae y llega al reposo cuando golpea el suelo; 105 kg/s durante 10.0 h en al noche. a) ¿Cuánta energía (kWh)
b) la expansión adiabática libre de un gas ideal; y c) la conduc- se necesita para efectuar esta operación cada noche? b) Si toda
ción de calor, Q, desde un depósito de alta temperatura (TH) esta energía se libera durante 14 h en un día, con un 75% de
hasta un depósito a baja temperatura (TL). [Sugerencia: En el eficiencia, ¿cuál es la salida de potencia promedio?
inciso c), compare con una máquina de Carnot].

53. (III) Determine el trabajo disponible en un bloque de cobre de
3.5 kg a 490 K, si el entorno está a 290 K. Utilice los resultados
del problema 52.

Problemas 555

* 60. (II) Las celdas solares (figura 20-22) producen aproximada- * 61. (II) En un lago artificial, creado por una presa, se almacena
mente 40 W de electricidad por metro cuadrado de área super- agua (figura 20-23). La profundidad del agua es de 38 m en la
ficial si están directamente frente al Sol. ¿Cuál debe ser su presa y, a través de las turbinas hidroeléctricas instaladas cerca
superficie para satisfacer las necesidades de una casa que re- de la base de la presa, se mantiene una tasa de flujo estable de
quiere 22 kWh/día? ¿Un panel de estas dimensiones cabría en 32 m3/s. ¿Cuánta potencia eléctrica se puede generar?
el techo de una casa promedio? (Suponga que el Sol brilla
aproximadamente 9 h/día).

FIGURA 20–22 Problema 60. FIGURA 20–23 Problema 61.

Problemas generales 64. Una taza aislada de aluminio de 126.5 g a 18.00°C se llena con
132.5 g de agua a 46.25°C. Después de algunos minutos, se al-
62. Se ha sugerido que podría desarrollarse una máquina térmica canza el equilibrio. Determine a) la temperatura final y b) el
que utilice la diferencia de temperatura entre el agua en la su- cambio total en la entropía.
perficie del océano y el agua a varios cientos de metros de pro-
fundidad. En los trópicos, las temperaturas pueden ser 27°C y 65. a) En una planta eléctrica a vapor, las máquinas de vapor traba-
4°C, respectivamente. a) ¿Cuál es la máxima eficiencia que tal jan en pares, y la salida de calor de la primera es aproximada-
máquina podría tener? b) ¿Por qué sería factible tal máquina, a mente la entrada de calor de la segunda. Las temperaturas de
pesar de la baja eficiencia? c) ¿Puede imaginar algún efecto ad- operación de la primera son 710 y 430°C, y las de la segunda
verso en el ambiente provocado por la máquina en cuestión? son 415 y 270°C. Si el calor de la combustión de carbón es 2.8 ϫ
107 J/kg, ¿a qué tasa se debe quemar el carbón si la planta debe
63. Una máquina térmica lleva un gas diatómico alrededor del ciclo entregar 950 MW de potencia? Suponga que la eficiencia de las
que se muestra en la figura 20-24. a) Con la ley del gas ideal, de- máquinas es el 65% de la eficiencia ideal (de Carnot). b) Para
termine cuántos moles de gas hay en esta máquina. b) Determi- enfriar la planta se utiliza agua. Si se permite que la temperatu-
ne la temperatura en el punto c. c) Calcule la entrada de calor al ra del agua aumente por no más de 5.5 C°, estime cuánta agua
gas durante el proceso a volumen constante del punto b al punto c. debe pasar a través de la planta por hora..
d) Calcule el trabajo realizado por el gas durante el proceso iso-
térmico del punto a al punto b. e) Calcule el trabajo realizado 66. (II) Las unidades de refrigeración se pueden clasificar en “tone-
por el gas durante el proceso adiabático del punto c al punto a. ladas”. Un sistema de acondicionamiento de 1 ton de aire puede
f ) Determine la eficiencia de la máquina. g) ¿Cuál es la máxima remover suficiente energía para congelar 1 tonelada británica
eficiencia posible para una máquina que opera entre Ta y Tc? (2000 libras ϭ 909 kg) de agua a 0°C en hielo a 0°C en las 24
horas de un día. Si, en un día a 35°C, el interior de una casa se
P mantiene a 22°C mediante la operación continua de un sistema
de acondicionamiento de aire de 5 ton, ¿cuánto le cuesta al
c dueño de la casa este enfriamiento por hora? Suponga que el
trabajo realizado por la unidad de refrigeración se impulsa me-
b sotérmicoiabático diante electricidad que cuesta $0.10 por kWh y que el coeficien-
Ad te de operación de la unidad es el 15% del coeficiente de un
I refrigerador ideal. 1 kWh ϭ 3.60 ϫ 106 J.

1.0 atm a Ta ϭ 67. Una planta eléctrica con eficiencia del 35% entrega 920 MW de
300 K potencia eléctrica. Se utilizan torres de enfriamiento para expul-
sar el calor. a) Si se permite que la temperatura del aire (15°C)
0.0050 m3 0.010 m3 V se eleve 7.0 C°, estime qué volumen de aire (en km3) se calienta
por día. ¿El clima local se calentará significativamente? b) Si
FIGURA 20–24 Problema 63. el aire calentado formara una capa de 150 m de grosor, estime el
área que se cubriría durante 24 h de operación. Suponga que el aire
tiene una densidad de 1.2 kg/m3 y que su calor específico es
aproximadamente 1.0 kJ/kgиC° a presión constante.

556 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

68. a) ¿Cuál es el coeficiente de operación de una bomba térmica 73. Dos automóviles de 1100 kg viajan a 75 km/h en direcciones
ideal que extrae calor del aire en el exterior a 11°C y deposita opuestas cuando chocan y llegan al reposo. Estime el cambio en
calor dentro de una casa a 24°C? b) Si esta bomba térmica ope- la entropía del universo como resultado de esta colisión. Supon-
ra a 1400 W de potencia eléctrica, ¿cuál es el máximo calor que ga que T ϭ 15°C.
puede entregar a la casa cada hora?
74. Metabolizar 1.0 kg de grasa da por resultado aproximadamente
69. La operación de cierta máquina térmica lleva un gas monoató- 3.7 ϫ 107 J de energía interna en el cuerpo. a) En un día, ¿cuán-
ta grasa quema el cuerpo para mantener la temperatura corpo-
mico ideal a través del ciclo que se muestra como el rectángulo ral de una persona que permanece en cama y metaboliza a una
tasa promedio de 95 W? b) ¿Cuánto tardará en quemar 1.0 kg
en el diagrama PV de la figura 20-25. a) Determine la eficiencia de grasa de esta forma, si se supone que no hay ingesta de ali-
mento?
de esta máquina. Sean QH y QL la entrada de calor total y la sa-
lida de calor total durante un ciclo de esta máquina. b) Compa-

re (como razón) la eficiencia de esta

P máquina con la de la máquina 75. Una unidad de enfriamiento para un nuevo congelador tiene un
3Po área superficial interna de 6.0 m2 y está acotada por paredes de
de Carnot que opera entre TH 12 cm de grosor, con una conductividad térmica de 0.050
y TL, donde TH y TL son las W/mиK. El interior se debe mantener a Ϫ10°C en una habita-
c d temperaturas máxima y ción que está a 20°C. El motor para la unidad de enfriamiento
funciona no más del 15% del tiempo. ¿Cuál es el requerimiento
mínima alcanzadas. mínimo de potencia del motor de enfriamiento?

Po b a 76. Un acondicionador de aire ideal mantiene la temperatura dentro
de una habitación a 21°C cuando la temperatura exterior es de
Vo 2Vo V FIGURA 20–25 32°C. Si 3.3 kW de potencia entran a una habitación a través
Problema 69. de las ventanas en la forma de radiación directa del Sol, ¿cuánta
potencia eléctrica se ahorraría si las ventanas estuvieran sombrea-
70. El motor de un automóvil, cuya salida de potencia es de 155 hp, das, de manera que sólo pudieran pasar 500 W a través de ellas?
opera aproximadamente con un 15% de eficiencia. Suponga
que la temperatura del agua del motor de 95°C es su depósito 77. El ciclo de Stirling, que se muestra en la figura 20-27, es útil para
de temperatura fría (de salida) y 495°C es su temperatura de
“admisión” térmica (la temperatura de la mezcla de gas-aire describir motores de combustión interna, así como sistemas de
que explota). a) ¿Cuál es la razón entre su eficiencia relativa y
su máxima eficiencia posible (de Carnot)? b) Estime cuánta po- energía solar. Determine la eficiencia del ciclo en
tencia (en watts) se usa para mover el automóvil, y cuánto ca-
lor, en joules y en kcal, sale al aire en 1.0 h. términos de los parámetros que se
P muestran, si se supone que un
71. Suponga que una planta eléctrica entrega energía a 850 MW a gas monoatómico es la sus-
usando turbinas de vapor. El vapor va a las turbinas sobrecalen-
tadas a 625 K y deposita su calor no utilizado en el agua de un tancia operativa. Los proce-
río a 285 K. Suponga que la turbina opera como una máquina TH sos ab y cd son isotérmicos,
de Carnot ideal. a) Si la tasa de flujo del río es de 34 m3/s, esti-
me el aumento de temperatura promedio del agua del río inme- b mientras que bc y da son
diatamente corriente abajo de la planta. b) ¿Cuál es el aumento isocónicos. ¿Cómo se com-
en la entropía por kilogramo de agua del río corriente abajo, en d para con la eficiencia de
J/kgиK?
TL c Carnot?
72. 0.75 moles de un gas monoatómico ideal a PTE experimentan
primero una expansión isotérmica, de manera que el volumen FIGURA 20–27
en b es 2.5 veces el volumen en a (figura 20-26). A continua- Va Vb V Problema 77.
ción, se extrae calor a un volumen constante, de manera que la
presión disminuye. Luego, el gas se comprime adiabáticamente 78. Una turbina de gas opera bajo el ciclo de Brayton, que se mues-
de regreso al estado original. a) Calcule las presiones en b y c. tra en el diagrama PV de la figura 20-28. En el proceso ab, la
b) Determine la temperatura en c. c) Determine el trabajo rea- mezcla aire-combustible experimenta una compresión adiabáti-
lizado, la entrada o extracción de calor, y el cambio en la entro- ca. A continuación, en el proceso bc, hay un calentamiento iso-
pía para cada proceso. d) ¿Cuál es la eficiencia de este ciclo? bárico (presión constante) por combustión. El proceso cd es
una expansión adiabática con expulsión de los productos a la
atmósfera. El paso de regreso, da, tiene lugar a presión constan-
te. Si el gas operativo se comporta como un
gas ideal, demuestre que la eficien-
cia del ciclo de Brayton es

b c Pb 1 - g
P ico Pa g
= 1- .
ad
Pa Adiabát e ¢ ≤
Adiabático
otérmico
Is Adiabátic
b FIGURA 20–28
V Problema 78.

o 79. Los procesos termodinámicos se pueden representar no sólo en
c diagramas PV y PT; otra representación útil es un diagrama TS
(temperatura-entropía). a) Dibuje un diagrama TS para un ci-
22.4 L 56.0 L FIGURA 20–26 clo de Carnot. a) ¿Qué representa el área dentro de la curva?
V Problema 72.

Problemas generales 557

80. Una lata de aluminio, con capacidad calorífica despreciable, se * 82. Un tazón contiene un gran número de gomitas de dulce rojas,
llena con 450 g de agua a 0°C y luego se lleva a contacto térmi- anaranjadas y verdes. Usted va a formar una línea de tres gomi-
co con una lata similar llena con 450 g de agua a 50°C. Determi- tas. a) Construya una tabla que muestre el número de microes-
ne el cambio en la entropía del sistema si no se permite tados que corresponden a cada macroestado. Luego determine
la probabilidad de obtener b) tres gomitas rojas y c) 2 gomitas
intercambiar calor con el entorno. Use ¢S = ͐dQ͞T. verdes y 1 anaranjada.

81. Un deshumidificador es, en esencia, un “refrigerador con la *Problemas numéricos/por computadora
puerta abierta”. El aire húmedo se lleva hacia dentro mediante
un ventilador y se guía a un serpentín frío, cuya temperatura es * 83. (II) A baja temperatura, el calor específico del diamante varía
menor que el punto de rocío; parte del agua del aire se conden- con la temperatura absoluta T, de acuerdo con la ecuación de
sa. Después de que esta agua se extrae, el aire se calienta para Debye, CV = 1.88 * 103 AT͞TDB3 J и mol–1 и K–1 donde la
que tenga de nuevo su temperatura original y se envía a la ha- temperatura Debye para el diamante es TD ϭ 2230 K. Use una
bitación. En un deshumidificador bien diseñado, el calor se in- hoja de cálculo e integración numérica para determinar el cam-
tercambia entre el aire entrante y el saliente. De esta forma, el bio en la entropía de 1.00 mol de diamante cuando se calienta a
calor que se elimina por el serpentín del refrigerador proviene volumen constante de 4 a 40 K. Su resultado debe concordar
principalmente de la condensación de vapor de agua a líquido. dentro del 2% con el resultado obtenido al integrar la expre-
Estime cuánta agua elimina un deshumidificador ideal en 1.0 h, sión para dS. [Sugerencia: dS ϭ nCV dT/T, donde n es el núme-
si la temperatura de la habitación es de 25°C, el agua se con- ro de moles].
densa a 8°C y el deshumidificador realiza trabajo a la tasa de
650 W de potencia eléctrica.

Respuestas a los ejercicios D: 1220 J/K; _1220 J/K. (Note que el cambio en la entropía total,
⌬Shielo ϩ ⌬Sdepósito, es cero).
A: No. La eficiencia no tiene sentido para un solo proceso. Se defi-
ne (ecuación 20-1) sólo para procesos cíclicos que regresan al E: e).
estado inicial.

B: d).
C: c).

558 CAPÍTULO 20 Segunda ley de la termodinámica

AP ÉND IC E

A Fórmulas matemáticas
A–1 Fórmula cuadrática

Si ax2 + bx + c = 0

entonces x = – b & 3b2 - 4ac
2a

A–2 Expansión binomial

(1 & x)n = 16nx + n(n - 1) x26n(n - 1)(n - 2) x3 + p
2! 3!

(x + y)n = xn a 1 + yn = xn ¢ 1 + n y + n(n - 1) y2 + p≤
xb x 2! x2

A–3 Otras expansiones

ex = 1+x+ x2 + x3 +p
2! 3!

ln(1 + x) = x- x2 + x3 - x4 +p
2 3 4

sen u = u- u3 + u5 -p
3! 5!

cos u = 1- u2 + u4 -p
2! 4!

tan u = u+ u3 + 2 u5 + p ∑u∑ 6 p
3 15 2

En general: f(x) = f(0) + a df x + ¢ d2f x2 +p
dx b ≤
dx2 2!
0 0

A–4 Exponentes

AanBAamB = an+m 1 = a–n
an
AanB AbnB = (ab)n
AanBm = anm ana–n = a0 = 1
1

a2 = 1a

A–5 Áreas y volúmenes

Objeto Área superficial Volumen

Círculo, radio r pr2 —
Esfera, radio r 4pr2
Cilindro circular recto, radio r, altura h 2pr2 + 2prh 4 pr3
Cono circular recto, radio r, altura h pr2 + pr3r2 + h2 3
pr2h

1 pr2h A-1
3

A–6 Geometría plana

1. Ángulos 2. Ángulos a2 b2
iguales: iguales:
θ1 θ2 b1
θ2
a1
a2 θ1 a1
FIGURA A–2 Si a1 ⊥ a2
FIGURA A–1 Si la línea a1 es paralela y b1 ⊥ b2, entonces u1 ϭ u2.
a la línea a2, entonces u1 = u2.

3. La suma de los ángulos en cualquier triángulo plano es 180°.

4. Teorema de Pitágoras:
En cualquier triángulo recto (un ángulo = 90°) de lados a, b y c:

θ2 cb a2 + b2 = c2
a3 a1 90°
donde c es la longitud de la hipotenusa (opuesta al ángulo de
a 90°).
FIGURA A–3

θ1 a2 θ3 5. Triángulos similares: Se dice que dos triángulos son similares si sus tres ángulos
son iguales (en la figura A-4, u1 = f1, u2 = f2 y u3 = f3). Los triángulos similares
b3 pueden tener diferentes tamaños y diferentes orientaciones.
a) Dos triángulos son similares si cualesquier dos de sus ángulos son iguales. (Es-
φ1 φ2 to se sigue porque los terceros ángulos también deben ser iguales porque la suma
b1 FIGURA A–4 de los ángulos de un triángulo es 180°).
b2 φ3 b) Las razones de los lados correspondientes de dos triángulos similares son
iguales (figura A-4):

a1 = a2 = a3 .
b1 b2 b3

6. Triángulos congruentes: Dos triángulos son congruentes si uno se puede colocar
precisamente encima del otro. Esto es: son triángulos similares y tienen el mismo
tamaño. Dos triángulos son congruentes si se cumple cualquiera de los siguientes
enunciados:
(a) Los tres lados correspondientes son iguales.
(b) Dos lados y el ángulo encerrado son iguales (“lado-ángulo-lado”).
(c) Dos ángulos y el lado encerrado son iguales (“ángulo-lado-ángulo”).

A–7 Logaritmos

Los logaritmos se definen en la forma siguiente:
si y = Ax, entonces x = logA y.

Esto es: el logaritmo de un número y a la base A es aquel número que, como exponen-
te de A, da de vuelta el número y. Para logaritmos comunes, la base es 10, de modo que

si y = 10x, entonces x = log y.

El subíndice 10 en log10 por lo general se omite cuando se trata con logaritmos comu-
nes. Otra base importante es la base exponencial e = 2.718…, un número natural. Tales
logaritmos se llaman logaritmos naturales y se escriben ln. Por tanto,

si y = ex, entonces x = ln y.

Para cualquier número y, los dos tipos de logaritmo se relacionan mediante

ln y = 2.3026 log y.

Algunas reglas simples para logaritmos son las siguientes:

log(ab) = log a + log b, (i)

A-2 APÉNDICE A que es cierto porque, si a = 10n y b = 10m, entonces ab = 10nϩm. A partir de la defini-
ción de logaritmo, log a ϭ n, log a ϭ m y log(ab) ϭ n ϩ m; por tanto, log(ab) ϭ n ϩ
m ϭ log a ϩ log b. En forma similar, se puede demostrar que

log a a b = log a - log b (ii)
b (iii)
y
log an = n log a.

Estas tres reglas se aplican a cualquier tipo de logaritmo.
Si usted no tiene una calculadora que calcule logaritmos, puede usar fácilmente

una tabla de logaritmos, como la pequeña que se muestra aquí (Tabla A-1): el número
N cuyo logaritmo se quiere se da a dos dígitos. El primer dígito está en la columna ver-
tical a la izquierda, el segundo dígito está en la hilera horizontal a lo largo de la parte
superior. Por ejemplo, la Tabla A-1 dice que log 1.0 ϭ 0.000, log 1.1 ϭ 0.041 y log 4.1 ϭ
0.613. La Tabla A-1 no incluye el punto decimal. La tabla da los logaritmos para núme-
ros entre 1.0 y 9.9. Para números más grandes o más pequeños, use la regla (i) anterior,
log(ab) ϭ log a ϩ log b. Por ejemplo, log(380) ϭ log(3.8 ϫ 102) ϭ log(3.8) ϩ log(102).
De la tabla, log 3.8 ϭ 0.580; y de la regla (iii) anterior, log(102) ϭ 2 log(10) ϭ 2, pues
log(10) ϭ 1. [Esto se sigue de la definición del logaritmo: si 10 ϭ 101, entonces 1 ϭ log
(10)]. Por ende,

log(380) = log(3.8) + logA102B

= 0.580 + 2
= 2.580.
De igual modo,
log(0.081) = log(8.1) + logA10–2B

= 0.908 - 2 = –1.092.

El proceso inverso para encontrar el número N cuyo logaritmo es, por decir, 2.670,
se llama “sacar el antilogaritmo”. Para hacer esto, el número 2.670 se separa en dos
partes, y la separación se hace en el punto decimal:

log N = 2.670 = 2 + 0.670
= log 102 + 0.670.

Ahora observe la tabla A-1 para ver cuál número tiene su logaritmo igual a 0.670; nin-
guno lo tiene, así que debe interpolar: se ve que log 4.6 ϭ 0.663 y log 4p.o7rϭ97 .0P.6o7d2e.mAossí
que el número que se quiere está entre 4.6 y 4.7, y más cerca del último
decir que aproximadamente log 4.68 ϭ 0.670. Por tanto

log N = 2 + 0.670
= logA102B + log(4.68) = logA4.68 * 102B,

así que N = 4.68 * 102 = 468.
Si el logaritmo dado es negativo, digamos, Ϫ2.180, procedemos de la siguiente

manera:

log N = –2.180 = –3 + 0.820
= log 10–3 + log 6.6 = log 6.6 * 10–3,

así que N ϭ 6.6 ϫ 10Ϫ3. Note que al logaritmo dado se agregó el siguiente entero más
grande (3 en este caso) así que se tiene un entero, más un número decimal entre 0 y 1.0
cuyo antilogaritmo se puede buscar en la tabla.

TABLA A–1 Tabla corta de logaritmos comunes (base 10)

N 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 000 041 079 114 146 176 204 230 255 279
2 301 322 342 362 380 398 415 431 447 462
3 477 491 505 519 531 544 556 568 580 591
4 602 613 623 633 643 653 663 672 681 690
5 699 708 716 724 732 740 748 756 763 771
6 778 785 792 799 806 813 820 826 833 839
7 845 851 857 863 869 875 881 886 892 898
8 903 908 914 919 924 929 935 940 944 949
9 954 959 964 968 973 978 982 987 991 996

SECCIÓN A–7 Logaritmos A-3

A–8 Vectores

La suma vectorial se cubrió en las secciones 3-2 a 3-5.
La multiplicación vectorial se cubrió en las secciones 3-3, 7-2 y 11-2.

h o A–9 Funciones e identidades
90°
trigonométricas

θ Las funciones trigonométricas se definen del modo siguiente (véase la figura A-5, o ϭ
FIGURA A–5 lado opuesto, a ϭ lado adyacente, h ϭ hipotenusa. Los valores están en la tabla A-2):

a sen u = o csc u = 1 = h
h sen u o

cos u = a sec u = 1 = h
h cos u a

tan u = o = sen u cot u = 1 = a
a cos u tan u o
y recuerde que

FIGURA A–6 a2 + o2 = h2 [teorema de Pitágoras].

Primer cuadrante Segundo cuadrante La figura A-6 muestra los signos (ϩ o Ϫ) que toman coseno, seno y tangente para ángu-
(0° a 90°) (90° a 180°) los u en los cuatro cuadrantes (0° a 360°). Note que los ángulos se miden en sentido anti-
x> 0 x< 0 horario desde el eje x positivo, como se muestra; los ángulos negativos se miden abajo del
y> 0 y> 0 eje x, en sentido horario: por ejemplo, Ϫ30° ϭ ϩ330°, etcétera.

yr ry Las siguientes son algunas identidades útiles entre las funciones trigonométricas:
θ θ
x sen2 u + cos2 u = 1
x
sec2 u - tan2 u = 1, csc2 u - cot2 u = 1

sen 2u = 2 sen u cos u

cos 2u = cos2 u - sen2 u = 2 cos2 u - 1 = 1 - 2 sen2 u

senθ = y/r> 0 sen θ > 0 tan 2u = 2 tan u
cosθ = x/r> 0 cosθ < 0 1 - tan2 u
tanθ = y/x> 0 tan θ < 0
sen(A&B) = sen A cos B&cos A sen B
Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
(180° a 270°) (270° a 360°) cos(A&B) = cos A cos B7sen A sen B
x< 0 x> 0
y< 0 y< 0 tan(A&B) = tan A&tan B
17tan A tan B

sen(180° - u) = sen u

θ x cos(180° - u) = –cos u
x r
θ sen(90° - u) = cos u
ry y
cos(90° - u) = sen u

sen θ < 0 senθ < 0 sen(–u) = –sen u
cos θ < 0 cosθ > 0
tan θ > 0 tanθ < 0 cos(–u) = cos u

tan(–u) = –tan u

sen 1 u = 1 - cos u , cos 1 u = 1 + cos u , tan 1 u = 1 - cos u
2 B2 2 B2 2 B 1 + cos u

FIGURA A–7 sen A& sen B = 2 sen a A&B b cos a A7B b.
2 2

cβ a Para cualquier triángulo (véase la figura A-7):
γ
α sen a = sen b = sen g [ley de senos]
b a b c

A-4 APÉNDICE A c2 = a2 + b2 - 2ab cos g. [ley de cosenos]

La tabla A-2 da los valores de seno, coseno y tangente.

TABLA A–2 Tabla trigonométrica: valores numéricos de sen, cos, tan

Ángulo Ángulo Seno Coseno Tangente Ángulo Ángulo Seno Coseno Tangente
en en en en
0.719
grados radianes grados radianes 0.731
0.743
0° 0.000 0.000 1.000 0.000 0.803 0.755
0.820 0.766
1° 0.017 0.017 1.000 0.017 46° 0.838 0.695 1.036
47° 0.855 0.777 0.682 1.072
2° 0.035 0.035 0.999 0.035 48° 0.873 0.788 0.669 1.111
49° 0.799 0.656 1.150
3° 0.052 0.052 0.999 0.052 50° 0.890 0.809 0.643 1.192
0.908 0.819
4° 0.070 0.070 0.998 0.070 0.925 0.629 1.235
0.942 0.829 0.616 1.280
5° 0.087 0.087 0.996 0.087 0.960 0.839 0.602 1.327
0.848 0.588 1.376
6° 0.105 0.105 0.995 0.105 51° 0.977 0.857 0.574 1.428
52° 0.995 0.866
7° 0.122 0.122 0.993 0.123 53° 1.012 0.559 1.483
54° 1.030 0.875 0.545 1.540
8° 0.140 0.139 0.990 0.141 55° 1.047 0.883 0.530 1.600
0.891 0.515 1.664
9° 0.157 0.156 0.988 0.158 1.065 0.899 0.500 1.732
1.082 0.906
10° 0.175 0.174 0.985 0.176 1.100 0.485 1.804
1.117 0.914 0.469 1.881
11° 0.192 0.191 0.982 0.194 56° 1.134 0.921 0.454 1.963
57° 0.927 0.438 2.050
12° 0.209 0.208 0.978 0.213 58° 1.152 0.934 0.423 2.145
59° 1.169 0.940
13° 0.227 0.225 0.974 0.231 60° 1.187 0.407 2.246
1.204 0.946 0.391 2.356
14° 0.244 0.242 0.970 0.249 1.222 0.951 0.375 2.475
0.956 0.358 2.605
15° 0.262 0.259 0.966 0.268 1.239 0.961 0.342 2.747
1.257 0.966
16° 0.279 0.276 0.961 0.287 61° 1.274 0.326 2.904
62° 1.292 0.970 0.309 3.078
17° 0.297 0.292 0.956 0.306 63° 1.309 0.974 0.292 3.271
64° 0.978 0.276 3.487
18° 0.314 0.309 0.951 0.325 65° 1.326 0.982 0.259 3.732
1.344 0.985
19° 0.332 0.326 0.946 0.344 1.361 0.242 4.011
1.379 0.988 0.225 4.331
20° 0.349 0.342 0.940 0.364 1.396 0.990 0.208 4.705
0.993 0.191 5.145
21° 0.367 0.358 0.934 0.384 66° 1.414 0.995 0.174 5.671
67° 1.431 0.996
22° 0.384 0.375 0.927 0.404 68° 1.449 0.156 6.314
69° 1.466 0.998 0.139 7.115
23° 0.401 0.391 0.921 0.424 70° 1.484 0.999 0.122 8.144
0.999 0.105 9.514
24° 0.419 0.407 0.914 0.445 1.501 1.000 0.087 11.43
1.518 1.000
25° 0.436 0.423 0.906 0.466 1.536 0.070 14.301
1.553 0.052 19.081
26° 0.454 0.438 0.899 0.488 71° 1.571 0.035 28.636
72° 0.017 57.290
27° 0.471 0.454 0.891 0.510 73° 0.000
74° q
28° 0.489 0.469 0.883 0.532 75°

29° 0.506 0.485 0.875 0.554

30° 0.524 0.500 0.866 0.577

31° 0.541 0.515 0.857 0.601 76°
77°
32° 0.559 0.530 0.848 0.625 78°
79°
33° 0.576 0.545 0.839 0.649 80°

34° 0.593 0.559 0.829 0.675

35° 0.611 0.574 0.819 0.700

36° 0.628 0.588 0.809 0.727 81°
82°
37° 0.646 0.602 0.799 0.754 83°
84°
38° 0.663 0.616 0.788 0.781 85°

39° 0.681 0.629 0.777 0.810

40° 0.698 0.643 0.766 0.839

41° 0.716 0.656 0.755 0.869 86°
87°
42° 0.733 0.669 0.743 0.900 88°
89°
43° 0.750 0.682 0.731 0.933 90°

44° 0.768 0.695 0.719 0.966

45° 0.785 0.707 0.707 1.000

SECCIÓN A–9 Funciones e identidades trigonométricas A-5

AP EÉND IC

B Derivadas e integrales
B–1 Derivadas: reglas generales

(Véase también la sección 2-3).

dx = 1
dx

d [af(x)] = a df (a ϭ constante)
dx dx

d [f(x) + g(x)] = df + dg
dx dx dx

d [f(x)g(x)] = df g + f dg
dx dx dx

d [f(y)] = df dy [regla de la cadena]
dx dy dx

dx = 1 si dy Z 0.
dy dy dx
a dx b

B–2 Derivadas: funciones particulares

da = 0 (a ϭ constante)
dx

d xn = nxn - 1
dx

d sen ax = a cos ax
dx

d cos ax = –a sen ax
dx

d tan ax = a sec2 ax
dx

d ln ax = 1
dx x

d eax = aeax
dx
B–3 Integrales indefinidas:
reglas generales

(Véase también la sección 7-3).

Ύdx = x

Ύ Ύa f(x) dx = a f(x) dx (a ϭ constante)

Ύ Ύ Ύ[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

A-6

Ύ Ύu dv = uv - v du (integración por partes)

B–4 Integrales indefinidas:

funciones particulares

(Se puede agregar una constante arbitraria al lado derecho de cada ecuación).

Ύa dx = ax (a ϭ constante)

Ύxm dx = m 1 1 xm + 1 (m Z –1)
+

Ύ sen ax dx = – 1 cos ax
a

Ύ cos ax dx = 1 sen ax
a

Ύ tan ax dx = 1 ln∑sec ax∑
a

Ύ1 dx = ln x
x

Ύeax dx = 1 eax
a

Ύ dx = 1 tan–1 x
x2 + a2 a a

Ύ dx = 1 ln a x - a b Ax2 7 a2B
x2 - a2 2a x + a

= – 1 ln a a + x b Ax2 6 a2B
2a a - x

Ύ dx = lnAx + 3x2 & a2B
3x2 & a2

Ύ dx = sen–1 a x b = – cos–1 a x b si x2 Յ a2
3a2 - x2 a a

Ύ dx 3 = &x
Ax2 & a2B 2 a23x2 & a2

Ύ x dx 3 = –1
Ax2 & a2B 2 3x2 & a2

Ύsen2 ax dx = x - sen 2ax
2 4a

Ύ xe–ax dx = – e–ax (ax + 1)
a2

Ύ x2e–ax dx = – e–ax Aa2x2 + 2ax + 2B
a3

B–5 Algunas integrales definidas

Ύq = n! Ύq 2e–ax2 dx = p
xne–ax dx an + 1 x A 16a3
0
0

Ύ qe–ax2 dx = p Ύ0q 3e–ax2 dx = 1
0 A 4a =
qx2ne–ax2 dxx 2a2
1и3и5 p (2n - 1) p
Ύ qxe–ax2 dx = 1 Ύ0
0 2a 2n + 1an Aa SECCIÓN B–5 A-7

A PÉ D I CE
N

Más acerca del análisis

C dimensional
Un uso importante del análisis dimensional (sección 1-7) es obtener la forma de una
ecuación: es decir, cómo depende una cantidad de otras. Para tener un ejemplo concre-
to, intente encontrar una expresión para el periodo T de un péndulo simple. Primero,
intente imaginar de qué podría depender T y haga una lista de estas variables. Puede
depender de su longitud l, o de la masa m de la lenteja, o del ángulo de oscilación u
y de la aceleración debida a la gravedad g. También puede depender de la resistencia
del aire (usaría viscosidad del aire), el jalón gravitacional de la Luna, etcétera; pero la
experiencia cotidiana sugiere que la gravedad de la Tierra es la principal fuerza involu-
crada, así que se ignoran las otras fuerzas posibles. Así pues, suponga que T es una fun-
ción de l, m, u y g, y que cada uno de estos factores está presente a alguna potencia:

T = Clwmxuygz.

C es una constante adimensional y w, x, y y z son exponentes que se quieren deter-
minar. Escriba la ecuación dimensional (sección 1-7) para esta relación:

[T] = [L]w[M]x[L͞T2]z.

Puesto que u no tiene dimensiones (un radián es una longitud dividida por una longi-
tud, véase la ecuación 10-1a), no aparece. Simplifique y obtenga

[T] = [L]w + z[M]x[T]–2z

Para tener consistencia dimensional, debe tener

1 = – 2z
0 = w+z
0 = x.
1 1
Al resolver estas ecuaciones se encuentra que z = – 2 , w = 2 , y x = 0. Por tanto, la
ecuación deseada debe ser

T = C 2l͞g f(u), (C–1)

donde f(u) es alguna función de u que no se puede determinar con el uso de esta técni-
ca. Tampoco se puede determinar de esta forma la constante adimensional C. (Para ob-
tener C y f, tiene que hacer un análisis como el del capítulo 14 que usa las leyes de
Newton, que revela que C ϭ 2p y f L 1 para u pequeño). Pero observe lo que se encon-
tró, sólo con el uso de la consistencia dimensional. Se obtuvo la forma de la expresión
que relaciona el periodo de un péndulo simple con las principales variables de la situa-
ción, l y g (véase la ecuación 14-12c) y se vio que no depende de la masa m.

¿Cómo se hizo esto? ¿Y cuán útil es esta técnica? Básicamente, se tiene que usar la
intuición acerca de cuáles variables son importantes y cuáles no lo son. Esto no siempre
es fácil y con frecuencia requiere mucha intuición. Por utilidad, el resultado final en el
ejemplo se podía obtener a partir de las leyes de Newton, como en el capítulo 14. Pero
en muchas situaciones físicas, no se puede realizar tal derivación a partir de otras leyes.
En dichas situaciones, el análisis dimensional puede ser una herramienta poderosa.

Al final, cualquier expresión derivada por el uso de análisis dimensional (o por
cualquier otro medio, de hecho) se debe comprobar contra los experimentos. Por ejem-
plo, en la derivación de la ecuación C-1, se pueden comparar los periodos de dos pén-
dulos de diferentes longitudes, l1 y l2, cuyas amplitudes (u) sean iguales. Por lo que, con
la ecuación C-1, se tendría

T1 = C2l1͞g f(u) = l1 .
T2 C2l2͞g f(u) B l2

Puesto que C y f(u) son las mismas para ambos péndulos, se cancelan, así que experi-
mentalmente se puede determinar si la razón de los periodos varía como la razón de
las raíces cuadradas de las longitudes. Esta comparación con el experimento comprue-
ba la derivación, al menos en parte; C y f(u) se podrían determinar mediante otros ex-

A-8 perimentos.

A PÉ D I CE

N Fuerza gravitacional debida
a una distribución esférica

D de la masa
En el capítulo 6 se afirmó que la fuerza gravitacional ejercida por o sobre una esfera uni-
forme actúa como si toda la masa de la esfera estuviese concentrada en su centro, si el
otro objeto (que ejerce o siente la fuerza) está afuera de la esfera. En otras palabras, la
fuerza gravitacional que una esfera uniforme ejerce sobre una partícula afuera de ella es

F = G mM , [m afuera de la esfera de masa M]
r2

donde m es la masa de la partícula, M la masa de la esfera y r la distancia de m desde
el centro de la esfera. Ahora se derivará este resultado. Se usarán los conceptos de can-
tidades infinitesimalmente pequeñas e integración.

Primero considere un cascarón esférico uniforme muy delgado (como un balón de
básquetbol de pared delgada) de masa M cuyo grosor t es pequeño en comparación
con su radio R (figura D-1). La fuerza sobre una partícula de masa m a una distancia r
desde el centro del cascarón se puede calcular como la suma vectorial de las fuerzas
debidas a todas las partículas del cascarón. Imagine el cascarón dividido en delgadas ti-
ras circulares (infinitesimales) de modo que todos los puntos en la tira están equidis-
tantes de la partícula m. Una de estas tiras circulares, marcada AB, se muestra en la
figura D-1. Tiene ancho R du, grosor t y un radio R sen u. La fuerza sobre la partícula
m debida a un pequeño trozo de la tira en el punto A se representa mediante el vector
FBA que se muestra. La fuerza debida a un pequeño trozo de la tira en el punto B, que
es diametralmente opuesto a A, es la fuerza FBB. Considere que los dos trozos en A y B
tienen igual masa, así que FA ϭ FB. Los componentes horizontales de FBA y FBB son cada
uno igual a

FA cos f
y apuntan hacia el centro del cascarón. Los componentes verticales de FBA y FBB son de
igual magnitud y apuntan en direcciones opuestas, así que se cancelan. Dado que, para
cada punto en la tira hay un punto correspondiente diametralmente opuesto (como
con A y B), se ve que la fuerza neta debida a toda la tira apunta hacia el centro del cas-
carón. Su magnitud será

dF = G m dM cos f,
l2

donde dM es la masa de toda la tira circular y l es la distancia desde todos los puntos
sobre la tira a m, como se muestra en la figura. Se escribe dM en términos de la densi-
dad r; por densidad se entiende la masa por unidad de volumen (sección 13-2). Por tan-
to, dM ϭ r dV, donde dV es el volumen de la tira y es igual a (2pR sen u)(t)(R du).
Entonces la fuerza dF debida a la tira circular que se muestra es

dF = G mr2pR2t sen u du cos f. (D–1)
l2

Rdθ

A
dθ
t l FIGURA D–1 Cálculo de la fuerza
R R senθ r gravitacional sobre una partícula de
θ f FA m masas m debida a un cascarón esférico
f uniforme de radio R y masa M.
C
FB
l

B A-9

Rdθ

FIGURA D–1 (repetida) dθ A
Cálculo de la fuerza gravitacional
sobre una partícula de masa m debida t R R senθ l
a un cascarón esférico uniforme de r
radio R y masa M. θ f FA m
C f
FB
l

B

Para obtener la fuerza total F que ejerce todo el cascarón sobre la partícula m, se
debe integrar sobre todas las tiras circulares; esto es: integre

dF = G mr2pR2t sen u du cos f (D–1)
l2

desde u ϭ 0° hasta u ϭ 180°. Pero la expresión para dF contiene l y f, que son funcio-
nes de u. A partir de la figura D-1 se puede ver que

l cos f = r - R cos u.

Más aún, se puede escribir la ley de cosenos para el triángulo CmA:

cos u = r2 + R2 - l2 . (D–2)
2rR

Con estas dos expresiones las tres variables (l, u, f) se pueden reducir a sólo una, que
se elige l. Con la ecuación D-2 se hacen dos cosas: (1) se pone en la ecuación para lcos
f anterior:

cos f = 1 (r - R cos u) = r2 + l2 - R2 .
l 2rl

y (2) se saca la diferencial de ambos lados de la ecuación D-2 (porque sen u du apare-
ce en la expresión para dF, ecuación D-1), al considerar que r y R son constantes cuan-
do se suman sobre las tiras:

–sen u du = – 2l dl o sen u du = l dl .
2rR rR

Esto se inserta en la ecuación D-1 para dF y se encuentra

dF = Gmrpt R ¢1 + r2 - R2 ≤ dl.
r2 l2

Ahora integre para obtener la fuerza neta sobre el cascarón delgado de radio R. Para
integrar sobre todas las tiras (u ϭ 0° a 180°), se debe ir de l ϭ r Ϫ R a l ϭ r ϩ R (véase
la figura D-1). Por tanto,

F = Gmrpt R Bl - r2 - R2 l = r + R
r2 R
l l=r-R

= Gmrpt R (4R).
r2

El volumen V del cascarón esférico es su área (4pR2) por el grosor t. De ahí la masa M
ϭ rV ϭ r4pR2t y finalmente

F = G mM . c partícula de masa m afuera de un cascarón d
r2 esférico delgado uniforme de masa M

Este resultado da la fuerza que un cascarón delgado ejerce sobre una partícula de ma-
sa m a una distancia r del centro del cascarón, y afuera del cascarón. Se ve que la fuerza
es la misma que la que existe entre m y una partícula de masa M en el centro del cas-
carón. En otras palabras, para propósitos de calcular la fuerza gravitacional ejercida so-
bre o por un cascarón esférico uniforme, se puede considerar que toda su masa está
concentrada en su centro.

Lo que se derivó para un cascarón se sostiene también para una esfera sólida, pues
una esfera sólida se puede considerar constituida de muchos cascarones concéntricos,
desde R ϭ 0 hasta R ϭ R0, donde R0 es el radio de la esfera sólida. ¿Por qué? Porque
si cada cascarón tiene masa dM, para cada cascarón se escribe dF ϭ Gm dM/r2, donde

A-10 APÉNDICE D

r es la distancia desde el centro C a la masa m y es la misma para todos los cascarones.
Entonces la fuerza total es igual a la suma o integral sobre dM, que da la masa total M.
Por tanto, el resultado

F = G mM c partícula de masa m afuera de d (D–3)
r2 una esfera sólida de masa M

es válido para una esfera sólida de masa M, incluso si la densidad varía con la distancia
desde el centro. (No es válida si la densidad varía dentro de cada cascarón; esto es si la
densidad no depende sólo de R.) Por tanto, la fuerza gravitacional ejercida sobre o por
objetos esféricos, incluidos los objetos casi esféricos como la Tierra, el Sol y la Luna, se
puede considerar que actúa como si los objetos fuesen partículas puntuales.

Este resultado, ecuación D-3, es verdadera sólo si la masa m está afuera de la esfe-
ra. A continuación considere una masa puntual m que se ubica adentro del cascarón es-
férico de la figura D-1. Aquí, r sería menor que R, y la integración sobre l sería de l ϭ
R Ϫ r a l ϭ R ϩ r, así que

cl - r2 - R2 R + r = 0.
l d

R-r

Por lo tanto, la fuerza sobre cualquier masa dentro del cascarón sería cero. Este resul-
tado tiene particular importancia para la fuerza electrostática, que también es una ley
de cuadrado inverso. Para la situación gravitacional, se ve que en puntos dentro de una
esfera sólida, por decir a 1000 km por abajo de la superficie de la Tierra, sólo la masa has-
ta dicho radio contribuye a la fuerza neta. Los cascarones exteriores más allá del pun-
to en cuestión aportan cero efecto gravitacional neto.

Los resultados obtenidos aquí también se pueden obtener usando la analogía gra-
vitacional de la ley de Gauss para electrostática (capítulo 22).

APÉNDICE D Fuerza gravitacional debida a una distribución esférica de la masa A-11

AP EÉND IC

Forma diferencial de las

E ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en otra forma que con frecuencia es más
conveniente que las ecuaciones 31-5. Este material por lo general se cubre en cursos
más avanzados y aquí se incluye simplemente por completud.

Aquí se citan dos teoremas, sin prueba, que se derivan en textos de análisis vecto-
rial. El primero se llama teorema de Gauss o teorema de la divergencia, que relaciona
la integral sobre una superficie de cualquier función vectorial FB con una integral de vo-
lumen sobre el volumen encerrado por la superficie:

§ ΎFB иdAB = ١B и FB dV.
Área A
Volumen V

El operador ١B es el operador del nabla, que en coordenadas cartesianas se define como

١B = iˆ 0 + jˆ 0 + kˆ 0 .
0x 0y 0z

La cantidad

١B и FB = 0Fx + 0Fy + 0Fz
0x 0y 0z

se llama la divergencia de FB. El segundo teorema es el teorema de Stokes, y relaciona
una integral de línea alrededor de una trayectoria cerrada con una integral de superfi-
cie sobre cualquier superficie encerrada por dicha trayectoria:

§ ΎFB иdBL = ١B * FB и dAB .
Línea Área A

La cantidad ١B * FB se llama rotacional de FB. (Véase la sección 11-2 acerca del produc-
to vectorial).

Ahora se usarán estos dos teoremas para obtener la forma diferencial de las ecua-
ciones de Maxwell en el espacio libre. El teorema de Gauss se aplica a la ecuación 31-5a
(ley de Gauss):

§ ΎEB иdAB = ١B и EB dV = Q.
A ⑀0

Ahora la carga Q se puede escribir como una integral de volumen sobre la densidad de

carga r: Q = ͐r dV. Entonces

Ύ Ύ١B иEB dV = 1 r dV.
⑀0

Ambos lados contienen integrales de volumen sobre el mismo volumen, y para que es-
to sea cierto sobre cualquier volumen, sea cual sea su tamaño o forma, los integrandos
deben ser iguales:

١B и EB = r. (E–1)
⑀0

Esta es la forma diferencial de la ley de Gauss. La segunda ecuación de Maxwell,
͛BB и dAB = 0, se trata de la misma forma y se obtiene

١B и BB = 0. (E–2)

A-12

A continuación, se aplica el teorema de Stokes a la tercera de las ecuaciones de Maxwell,

§ ΎEB иdBL = ١B * EB и dAB = – d£B .
dt

Dado que el flujo magnético £B = ͐BB и dAB , se tiene

Ύ Ύ١B * EB иdAB = – 0 BB и dAB
0t

donde se usa la derivada parcial, 0BB ͞0t, pues B también puede depender de la posi-

ción. Estas son integrales de superficie sobre la misma área, y para que sea cierto sobre
cualquier área, incluso una muy pequeña, se debe tener

١B * EB = – 0BB . (E–3)
0t

Esta es la tercera de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. Finalmente, a la
última de las ecuaciones de Maxwell,

§ BB и dBL = m0 I + m0 ⑀0 d£E ,
dt

se aplica el teorema de Stokes y se escribe £E = ͐EB и dAB :

Ύ Ύ١B * BB иdAB = m0 I + 0 EB и dAB .
m0 ⑀ 0 0t

La corriente de conducción I se puede escribir en términos de la densidad de corriente
Bj, usando la ecuación 25-12:

ΎI = Bj и dAB .

Entonces la cuarta ecuación de Maxwell se convierte en:

Ύ Ύ Ύ١B * BB иdAB 0 EB и dAB .
= m0 Bj и dAB + m0 ⑀ 0 0t

Para que esto sea cierto sobre cualquier área A, sea cual sea su tamaño o forma, los in-
tegrandos en cada lado de la ecuación deben ser iguales:

١B * BB = m0 Bj + m0 ⑀0 0EB . (E–4)
0t

Las ecuaciones E-1, 2, 3 y 4 son las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial en el
vacío. Se resumen en la tabla E-1.

TABLA E–1 Ecuaciones de Maxwell en espacio libre†

Forma integral Forma diferencial

§EB иdAB = Q ١B и EB = r
⑀0 ⑀0

§BB иdAB = 0 ١B и BB = 0

§ EB и dBL = – d£B ١B * EB = – 0BB
dt 0t

§ BB и dBL = m0 I + m0 ⑀ 0 d£E ١B * BB = m0 Bj + m0 ⑀ 0 0EB
dt 0t

†١B representa al operador del nabla ١B = iˆ 0 + jˆ 0 + kˆ 0 en coordenadas
cartesianas. 0x 0y 0z

APÉNDICE E Forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell A-13

AP ÉND ICE

F Isótopos seleccionados

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Número Número % Abundancia Vida media
atómico Elemento Símbolo de masa Masa (o modo de decaimiento‡ (si es radiactivo)
(Neutrón) n atómica† 10.23 min
Z Hidrógeno H A radiactivo) 12.33 años
0 Deuterio doD 1.008665
1 Tritio toT 1 1.007825 b– 53.22 días
Helio He 1 2.014102 99.9885%
2 Li 2 3.016049 0.0115% 20.39 min
Litio Be 3 3.016029 5730 años
3 B 3 4.002603 b–
Berilio C 4 6.015123 0.000137% 9.965 min
4 6 7.016005 99.999863% 122.24 s
Boro N 7 7.016930 7.59%
5 7 9.012182 92.41% 2.6027 años
Carbono O 9 10.012937 14.959 h
6 10 11.009305 CE, g
F 11 11.011434 157.3 min
7 Nitrógeno Ne 11 12.000000 100% 14.262 días
Na 12 13.003355 19.9%
8 Oxígeno 13 14.003242 80.1%
Mg 14 13.005739 b±, CE
9 Flúor Al 13 14.003074
10 Neón Si 14 15.000109 98.93%
11 Sodio P 15 15.003066 1.07%
15 15.994915
12 Magnesio 16 17.999161 b–
13 Aluminio 18 18.998403 b±, CE
14 Silicio 19 19.992440
15 Fósforo 20 21.991385 99.632%
22 21.994436 0.368%
22 22.989769 b±, CE
23 23.990963
24 23.985042 99.757%
24 26.981539 0.205%
27 27.976927 100%
28 30.975363 90.48%
31 30.973762 9.25%
31 31.973907 b±, CE, g
32
100%
b–, g

78.99%
100%

92.2297%
b–, g

100%
b–

† Las masas en la columna (5) son las del átomo neutro, incluidos los Z electrones
‡ Capítulo 41; CE ϭ captura de electrón.

A-14

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Número Número % Abundancia
atómico Elemento Símbolo de masa Masa (o modo de decaimiento‡ Vida media
atómica (si es radiactivo)
Z Azufre S A radiactivo)
31.972071
16 Cloro Cl 32 34.969032 94.9% 87.51 días
35 34.968853 b– 1.248 ϫ 109 años
17 Argón Ar 35 36.965903 5.2711 años
Potasio K 37 39.962383 75.78%
18 40 38.963707 24.22% 28.79 años
19 Calcio Ca 39 39.963998 99.600% 4.2 ϫ 106 años
Escandio Sc 40 93.258% 4.41 ϫ 1014 años
20 Titanio Ti 39.962591 0.0117%
21 Vanadio V 40 44.955912 b–, EC, g, b±
22 Cromo Cr 45 47.947946 96.94%
23 Manganeso Mn 48 50.943960 100%
24 Hierro Fe 51 51.940508 73.72%
25 Cobalto Co 52 54.938045 99.750%
26 55 55.934938 83.789%
27 Níquel Ni 56 58.933195 100%
59 59.933817 91.75%
28 Cobre Cu 60 57.935343 100%
58 59.930786
29 Cinc Zn 60 62.929598 b–, g
63 64.927790 68.077%
30 Galio Ga 65 63.929142 26.223%
Germanio Ge 64 65.926033 69.17%
31 66 68.925574 30.83%
32 Arsénico As 69 71.922076 48.6%
Selenio Se 72 73.921178 27.9%
33 Bromo Br 74 74.921596 60.108%
34 Criptón Kr 75 79.916521 27.5%
35 Rubidio Rb 80 78.918337 36.3%
36 Estroncio Sr 79 83.911507 100%
37 84 84.911790 49.6%
38 Itrio Y 85 85.909260 50.69%
Circonio Zr 86 87.905612 57.00%
39 Niobio Nb 88 89.907738 72.17%
40 Molibdeno Mo 90 88.905848 9.86%
41 Tecnecio Tc 89 89.904704 82.58%
42 Rutenio Ru 90 92.906378
43 Rodio Rh 93 97.905408 b–
44 Paladio Pd 98 97.907216
45 Plata Ag 98 101.904349 100%
46 102 102.905504 51.4%
47 Cadmio Cd 103 105.903486
Indio In 106 106.905097 100%
48 Estaño Sn 107 108.904752 24.1%
49 Antimonio Sb 109 113.903359 b–, g
50 114 114.903878 31.55%
51 115 119.902195
120 120.903816 100%
121 27.33%
51.839%
48.161%
28.7%
95.71%; b–
32.58%
57.21%

APÉNDICE F Isótopos seleccionados A-15

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Número Número % Abundancia
atómico Elemento Símbolo de masa Masa (o modo de decaimiento‡ Vida media
atómica (si es radiactivo)
Z Telurio Te A radiactivo)
Yodo I 129.906224
52 130 34.1%; b–b– 7 7.9 * 1022 años
53 Xenón Xe 126.904473 8.0207 días
127 130.906125 100%
54 Cesio Cs 131 131.904154 b–, g 7 3.6 * 1020 años
Bario Ba 132
55 135.907219 26.89% 17.7 años
56 Lantano La 136 132.905452 8.87%; b–b–
133 136.905827 100% 7 3 * 1017 años
57 Cerio Ce 137 137.905247 11.232% 4.35 * 1010 años
58 138 138.906353 71.70% 15.4 días
59 Praseodimio Pr 139 139.905439 99.910%
60 140 140.907653 88.45% 22.20 años
61 Neodimio Nd 141 141.907723 100% 36.1 min
62 142 144.912749 27.2% 10.64 h
63 Prometio Pm 145 151.919732 26.8 min
64 152 152.921230 EC, a 2.14 min
65 Samario Sm 153 157.924104 26.75% 138.376 días
66 158 158.925347 52.19% 164.3 ms
67 Europio Eu 159 163.929175 24.84% 1.5 s
68 164 164.930322 100%
69 Gadolinio Gd 165 165.930293 28.2%
70 166 168.934213 100%
71 Terbio Tb 169 173.938862 33.6%
72 174 174.940772 100%
73 Disprosio Dy 175 179.946550 31.8%
74 180 180.947996 97.41%
75 Holmio Ho 181 35.08%
76 183.950931 99.988%
Erbio Er 184 186.955753
77 187 190.960930 30.64%; a
Tulio Tm 191 191.961481 62.60%; b–
78 192 190.960594
79 Iterbio Yb 191 192.962926 b–, g
80 193 194.964791 40.78%
Lutecio Lu 195 196.966569 37.3%
81 197 198.968280 62.7%
82 Hafnio Hf 199 201.970643 33.832%
202 204.974428 100%
83 Tántalo Ta 205 205.974465 16.87%
206 206.975897 29.9%
84 Tungsteno (wolframio) W 207 207.976652 70.476%
208 209.984188 24.1%
85 Renio Re 210 210.988737 22.1%
Osmio Os 211 211.991898 52.4%
212 213.999805
Ir 214 208.980399 b–, g, a
209 210.987269 b–, g
Platino Pt 211 209.982874 b–, g
Oro Au 210 213.995201 b–, g
Mercurio Hg 214 218.008694
218 100%
Talio Tl a, g, b–
Plomo Pb a, g, EC
a, g
Bismuto Bi a, b–
Polonio Po
Astatino At

A-16 APÉNDICE F Isótopos seleccionados