U1_ฟังก์ชัน_PPT

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ฟังกช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล
และฟังก์ชนั ลอการิทึม

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 3 เรขาคณิตวเิ คราะห์

ผลการเรียนรู้
1. หาผลลพั ธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหาร

ฟังก์ชนั หาฟังก์ชนั ประกอบและฟังกช์ นั ผกผนั
2. ใชส้ มบตั ิของฟังก์ชนั ในการแกป้ ัญหา

1/69

การตรวจสอบวา่ ความสมั พนั ธ์น้นั เป็นฟังก์ชนั ทาไดโ้ ดย ความสมั พนั ธ์
1. แทนค่า x ลงในสมการ 1 คา่ ตอ้ งไดค้ ่า y เพียง 1 ค่าเท่าน้นั ฟังก์ชนั
2. ลากเส้นตรงขนานกบั แกน Y แลว้ ตดั กราฟไม่เกิน 1 จุด การบวก การลบ การคูณ การหารฟังก์ชนั
ฟังกช์ นั ประกอบ
นกั เรียนจะมีวธิ ีตรวจสอบอยา่ งไรวา่ ฟังก์ชนั ผกผนั
ความสมั พนั ธ์น้นั เป็นฟังก์ชนั หรือไม่ แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิ

2/69

1.1 ผลคูณคาร์ทเี ซียน

การจบั ครู่ ะหวา่ งสิ่งสองส่ิงท่ีมีความสมั พนั ธ์กนั และเขียนแสดงสิ่งที่มีความสัมพนั ธ์กนั ในวงเลบ็ โดยมี
เคร่ืองหมายจุลภาค ( , ) คนั่ สิ่งเหลา่ น้ี สิ่งที่ไดเ้ หล่าน้ี เรียกวา่ คู่อันดับ

คู่อนั ดบั จะประกอบดว้ ยสมาชิก 2 ตวั คือสมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั โดยท่ีสมาชิกตวั หนา้ และ
สมาชิกตวั หลงั สลบั ท่ีกนั ไม่ได้

บทนิยาม จะเห็นไดว้ า่ (a, b) (b, a)
ยกเวน้ a = b เท่าน้นั

คอู่ นั ดบั (a, b) = (c, d) กต็ อ่ เม่ือ a = c และ b = d

3/69

บทนิยาม

ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตใดๆ ผลคณู คาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B หมายถึง เซตของคอู่ นั ดบั ท้งั หมด
ที่สมาชิกตวั หนา้ ของคอู่ นั ดบั เป็นสมาชิกของเซต A และสมาชิกตวั หลงั ของคอู่ นั ดบั เป็นสมาชิกของเซต B ผลคูณ
คาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย A  B

นนั่ คือ A  B = {(x, y) | x  A และ y  B}

ในกรณีทว่ั ไป ถา้ เซต A เป็ นเซตจากดั มีสมาชิกจานวน m ตวั
และเซต B เป็นเซตจากดั มีสมาชิก n ตวั จะไดว้ ่า จานวนสมาชิกของ
เซต A  B มี m  n คอู่ นั ดบั

4/69

ทฤษฎีบท สาหรับเซต A และเซต B ใดๆ
A = หรือ B = กต็ ่อเม่ือ A  B = ที่ไม่เป็นเซตวา่ ง จะไดว้ า่

“ถา้ A B แลว้ A  B B  A”

ตัวอย่าง จงหา A  B และ B  A เม่ือกาหนด A = {1, 2} และ B = {4, 5, 8} 5/69
และพจิ ารณาวา่ A  B = B  A หรือไม่

วธิ ีทา A  B = {(1, 4), (1, 5), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 8)}

B  A = {(4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2), (8, 1), (8, 2)}

ดงั น้นั A  B  B  A

สมบตั ิของผลคูณคาร์ทเี ซียน 5.
6. ถา้ แลว้
ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ 7. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ และ B เป็นเซตจากดั
1. A  B = B  A กต็ ่อเม่ือ A = B
ซ่ึง B แลว้ A  B เป็นเซตอนนั ต์
หรือ A = หรือ B =
2. A  = =  A 6/69
3.

4.

1.2 ความสัมพนั ธ์ ข้อตกลง

บทนิยาม ถา้ r เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป A จะเรียก r ว่าเป็ น
ความสมั พนั ธ์ในเซต A
เรียก r วา่ เป็นความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B ถา้ r เป็นความสัมพนั ธ์จาก R ไป R จะเรียก r วา่ เป็ น
กต็ ่อเมื่อ ความสัมพนั ธ์ในเซต R
เมื่อกล่าวถึงความสมั พนั ธ์ในเซต R อาจละไวใ้ นฐานที่
เขา้ ใจวา่ r เป็นความสัมพนั ธ์ในเซตของจานวนจริงได้
เช่น r = {(x, y)  R  R | y = x2} อาจจะเขียน
แทนดว้ ย r = {(x, y) | y = x2}

7/69

ตัวอย่าง กาหนดให้ A = {1, 3, 5} และ r = {(x, y)  A  A | y = 2x–1} เป็นความสมั พนั ธ์ในเซต A

จงเขียนเซต r แบบแจกแจงสมาชิก

วธิ ีทา จากเซต r จะไดว้ า่ (x, y)  A  A โดยที่ y = 2x–1

เนื่องจาก y = 2x – 1 โดยท่ี x  A และ y  A

เมื่อ x = 1 จะได้ y = 2(1) – 1 = 1 โดยที่ 1  A ดงั น้นั (1, 1)  r

เม่ือ x = 3 จะได้ y = 2(3) – 1 = 5 โดยที่ 3  A และ 5  A ดงั น้นั (3, 5)  r

เมื่อ x = 5 จะได้ y = 2(5) – 1 = 9 โดยที่ 5  A แต่ 9  A ดงั น้นั (5, 9)  r

ดงั น้นั เขียนเซต r แบบแจกแจงสมาชิกไดเ้ ป็น r = {(1, 1), (3, 5)}

8/69

1.3 โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ ตัวอย่าง กาหนดให้ A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5, 7}
r = {(x, y)  A  B | y = 2x} จงเขียน r และ
บทนิยาม หาโดเมนและเรนจข์ อง r

ให้ r เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป B วธิ ีทา r = {(1, 2), (2, 4)}
นน่ั คือ r = {(a, b)  a  A และ b  B} Dr = {1, 2} และ Rr = {2, 4}
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของ
คอู่ นั ดบั ของความสัมพนั ธ์ r เขียนแทนดว้ ย Dr 9/69
นน่ั คือ Dr = {x  (x, y)  r}
เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตวั หลงั ของ
คู่อนั ดบั ของความสมั พนั ธ์ r เขียนแทนดว้ ย Rr
นนั่ คือ Rr = {y  (x, y)  r}

วธิ ีหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์
วิธีที่ 1 ถา้ ความสมั พนั ธ์ r เป็นเซตท่ีเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ จะหาโดเมนและเรนจไ์ ดโ้ ดยวิธีแจกแจงสมาชิก

ตัวอย่าง กาหนดให้ A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r = {(a, b)  A  B | b = 2a + 1}

วธิ ีทา เนื่องจาก (a, b)  A  B จึงไดว้ า่ a  A, b  B และ a กบั b จบั คกู่ นั โดยมีเง่ือนไขวา่ b = 2a + 1

เมื่อ a = 1 จะได้ b = 2(1) + 1 = 3 โดยที่ 1  A และ 3  B ดงั น้นั (1, 3)  r

เมื่อ a = 2 จะได้ b = 2(2) + 1 = 5 โดยที่ 2  A และ 5  B ดงั น้นั (2, 5)  r

เมื่อ a = 4 จะได้ b = 2(4) + 1 = 9 โดยที่ 4  A แต่ 9  B ดงั น้นั (4, 9)  r

นนั่ คือ r = {(1, 3), (2, 5)}

ดงั น้นั Dr = {1, 2} และ Rr = {3, 5}

10/69

วิธีท่ี 2 ถา้ ความสมั พนั ธ์ r เป็นเซตที่เขียนบอกเง่ือนไข และ จะหาโดเมนและเรนจแ์ บบบอกเง่ือนไข

ซ่ึงท้งั สองเซตเป็นเซตยอ่ ยของจานวนจริง โดยมีหลกั ในการหาดงั น้ี

การหาโดเมนของความสัมพนั ธ์ r การหาเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ r

1. ใหเ้ ขียนค่า y อยใู่ นเทอมของ x 1. ใหเ้ ขียนคา่ x อยใู่ นเทอมของ y
2. หาค่าของ x ที่ทาให้ y มีค่าเป็ นจานวนจริง จะไดว้ ่า x 2. หาค่าของ y ที่ทาให้ x มีค่าเป็นจานวนจริง จะไดว้ า่ y

ท่ีหาไดเ้ ป็ นสมาชิกในเซตของโดเมนของ r หรืออาจหา ที่หาไดเ้ ป็นสมาชิกในเซตของเรนจ์ของ r หรืออาจหา
โดเมนของ r โดยหาจากคอมพลีเมนต์ของเซตแทน เรนจ์ของ r โดยหาจากจากคอมพลีเมนตข์ องเซตแทน
นน่ั คือ จะหาเซต C ท่ีเซตของค่า x ทาใหไ้ ดค้ ่า y ไม่เป็ น นน่ั คือ จะหาเซต D ท่ีเซตของคา่ y ทาใหไ้ ดค้ ่า x ไม่เป็น
จานวนจริง แลว้ จึงสรุปวา่ Dr = R – C จานวนจริง แลว้ จึงสรุปวา่ Rr = R – D

11/69

ตัวอย่าง จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ หาเรนจ์ จาก
วธิ ีทา หาโดเมน จาก จะได้

จะได้

จะเห็นวา่ มีจานวนจริง x = 3 เพยี งคา่ เดียว จะเห็นวา่ มีจานวนจริง y = 1 เพียงคา่ เดียว
ที่ทาให้ x  R
ท่ีทาให้ y  R ดงั น้นั Rr = R – {1}
ดงั น้นั Dr = R – { 3}
12/69

1.4 กราฟของความสัมพนั ธ์ การเขยี นกราฟของความสัมพนั ธ์ อาจทาไดด้ งั น้ี
1. ถา้ r เป็ นเซตจากดั จะเขียนจุดท่ีใชแ้ ทนสมาชิกของ r
บทนิยาม
ทุกสมาชิก หรือเขียนจุดท่ีใชแ้ ทนสมาชิกของ r เพียง
ถา้ r เป็ นความสัมพนั ธ์ในเซต R แลว้ 3 สมาชิกแรกและสมาชิกสุดทา้ ย (จุดที่ใชแ้ ทนสมาชิก
กราฟของความสัมพนั ธ์ r คือ เซตของจุดใน อ่ืนๆ จะเวน้ ไวใ้ นฐานที่เขา้ ใจ)
ระนาบ XY ซ่ึงแต่ละจุดใช้แทนสมาชิกของ r 2. ถา้ r เป็ นเซตอนนั ท์ จะเขียนจุดท่ีใชแ้ ทนสมาชิกของ r
แต่ละสมาชิก เพียง 5 ถึง 10 สมาชิก โดยเวน้ จุดให้ห่างเป็ นระยะๆ
จะทาใหไ้ ดก้ ราฟของ r อยา่ งคร่าวๆ

13/69

ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ี

(1) r1 = {(1, 4), (2, 5), (3, 7)}
(2) r2 = {(x, y)  I  I | y = |x|}
วธิ ีทา (1) กราฟของ r1 คือจุด 3 จุด ดงั รูป

14/69

(2) จากเงื่อนไขท่ีวา่ y = |x| เมื่อแทนค่า x ดว้ ยจานวนเตม็ จะไดพ้ ิกดั ของจุดซ่ึงแทนสมาชิกของ r2 ดงั ตาราง และ
จะไดก้ ราฟของ r2 ดงั รูป

15/69

กรณีท่ีสมาชิกของความสมั พนั ธ์เป็น (x, y)  R  R และเงื่อนไขของความสัมพนั ธ์อยใู่ นรูปสมการ สมการน้ีเรียกว่า
สมการของความสัมพันธ์ กราฟของจุดในความสัมพนั ธ์จะวางเรียงต่อเนื่องกนั จนมองเห็นเป็ นเส้นตรงหรือเส้นโคง้ และ

มีจุดนบั ไม่ถว้ น การเขียนกราฟแบบน้ีจะใชว้ ิธีพิจารณาแนวทางเดินของจุด (x, y) บนกราฟ โดยหาพิกดั ของจุด 5 ถึง 10 จุด
ห่างกนั เป็นระยะๆ แลว้ ลากเส้นไปตามแนวของกราฟของจุดเหล่าน้นั จะทาใหไ้ ดก้ ราฟของความสัมพนั ธ์อยา่ งคร่าวๆ

ในสมการของความสัมพนั ธ์ที่อยใู่ นรูป y = ax + b เม่ือ ถา้ ทราบวา่ กราฟของความสมั พนั ธ์
a, b เป็นจานวนจริงที่ a ≠ 0 กราฟของความสัมพนั ธ์จะอยใู่ น เป็นรูปเส้นตรง ใหห้ าจุดท่ีอยบู่ น
แนวเสน้ ตรง กราฟเพยี ง 2 จุด แลว้ ลากเสน้ ตรง

ในสมการของความสัมพนั ธ์ที่อยใู่ นรูป y = ax2 + bx + c ผา่ นจุดท้งั สอง
เม่ือ a, b, c เป็นจานวนจริงท่ี a ≠ 0 กราฟของความสัมพนั ธ์
จะอยใู่ นรูปพาราโบลา

16/69

ตวั อย่าง จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ี
(1)

(2)

วธิ ีทา (1) จากสมการ y = 2x – 1 เม่ือแทนค่า x ดว้ ยจานวนจริงบางค่า
จะไดพ้ กิ ดั ซ่ึงแทนสมาชิกของ r1 บางสมาชิกดงั ตาราง และ

จะไดก้ ราฟของ r1 ดงั รูป

17/69

(2) จากสมการ y = เม่ือแทนค่า x ดว้ ยจานวนจริงบางค่า จะไดพ้ กิ ดั ซ่ึงแทนสมาชิกของ r2 บางสมาชิก
ดงั ตาราง และจะไดก้ ราฟของ r2 ดงั รูป

18/69

1.5 ความสัมพนั ธ์ผกผนั เขียน r–1 ในรูปเซตแบบบอกเง่ือนไข

บทนิยาม ไดเ้ ป็น r–1 = {(y, x)  (x, y)  r}
ถา้ r เป็นความสัมพนั ธจ์ าก A ไป B
ความสัมพนั ธผ์ กผนั ของ r คือ ความสัมพนั ธ์ซ่ึงเกิดจาก แลว้ r–1 จะเป็นความสมั พนั ธ์จาก B ไป A
การสลบั ท่ีของสมาชิกตวั หน้าและสมาชิกตวั หลงั ในแต่ละ
คู่อนั ดบั ท่ีเป็ นสมาชิกของ r ความสัมพนั ธ์ผกผนั ของ r เขียน
แทนดว้ ย r–1

19/69

วธิ ีการหาความสัมพนั ธ์ผกผัน
1. ถา้ โจทยก์ าหนดความสัมพนั ธ์ท่ีเขียนในรูปแจกแจงสมาชิก

ใหส้ ลบั ท่ีระหว่างสมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั ในแต่ละ
คอู่ นั ดบั

ตัวอย่าง กาหนดให้ r = {(a, b), (c, d), (e, f)} จงหา r–1
วธิ ีทา r–1 = {(b, a), (d, c), (f, e)}

20/69

2. ถา้ โจทยก์ าหนดความสมั พนั ธใ์ นรูปบอกเง่ือนไข ใหส้ ลบั ที่ระหวา่ ง x กบั y ที่เง่ือนไข โดยเปลี่ยน x เป็น y
และเปล่ียน y เป็น x แลว้ เขียน y ในเทอมของ x

ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดให้ r = {(x, y)  R  R | y = 2x + 1} จงหา r–1

วธิ ีทา จาก y = 2x+1

เปล่ียน x เป็น y และเปล่ียน y เป็น x แลว้ หา y ในเทอมของ x

จะได้

ดงั น้นั

21/69

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ r = {(x, y)  R  R | y = 2x – 1} จงหา r–1
และเขียนกราฟของ r และ r–1 บนระบบพิกดั ฉาก XY

วธิ ีทา จาก
จะได้

ดงั น้นั

กราฟของความสัมพนั ธ์ผกผนั ของ r–1 คือภาพสะทอ้ นของกราฟ
ของความสมั พนั ธ์ r ท่ีมีเสน้ ตรง y = x เป็นเส้นสะทอ้ น

22/69

(หนงั สือเรียนหนา้ 25)

23/69

ใหน้ กั เรียนจบั คูก่ นั แขง่ กนั หาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์

เม่ือ I แทนเซตของจานวนเตม็ พร้อมท้งั หา Dr – Rr
จะได้ Dr = {– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}

Rr = {– 7, – 2, 1, 2}
และ Dr – Rr = {– 3, – 1, 0, 3}

24/69

2.1 ความหมายของฟังก์ชัน จะเห็นวา่ - สมาชิกแต่ละตวั ในโดเมนของ r1 จับคู่
กบั สมาชิกในเรนจข์ อง r1 เพียงตวั เดียว
พิจารณาความสมั พนั ธ์ r1 = {(1, a), (2, b), (3, c)} - สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนของ r2จับคู่
r2 = {(1, c), (2, d), (3, กบั สมาชิกในเรนจข์ อง r2 เพียงตวั เดียว
- สมาชิกบางตวั ในโดเมนของ r3 จบั คู่กบั
d)} สมาชิกในเรนจข์ อง r3 สองตวั
r3 = {(1, e), (1, f), (2,
เรียกความสัมพนั ธ์ที่มีลกั ษณะเดียวกบั ความสัมพนั ธ์
g)} r1 และ r2 ว่าฟังก์ชัน ส่วนความสัมพนั ธ์ r3 ไม่เป็ น
เขียนแสดง r1, r2 และ r3 ดว้ ยแผนภาพแสดงการจบั คู่ ฟังกช์ นั

ของสมาชิกดงั น้ี 25/69

บทนิยาม ถา้ f เป็นฟังกช์ นั และ (x, y)  f แลว้
จะกลา่ ววา่ y เป็นค่าของฟังกช์ นั f ที่ x
ฟังก์ชัน คือความสัมพนั ธ์ซ่ึงสมาชิกในโดเมน และเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ y = f(x)
แต่ละตวั จับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของความสัมพนั ธ์
เพยี งตวั เดียวเท่าน้นั

26/69

วธิ ีตรวจสอบว่าความสัมพนั ธ์ที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชันหรือไม่

1. กรณีท่ีความสัมพนั ธ์น้ันเป็ นเซตท่ีแจกแจงสมาชิกได้

การตรวจสอบโดยวิธีน้ีจะตอ้ งพิจารณาว่าสมาชิกแต่ละตวั ในโดเมนของความสัมพนั ธ์จบั คู่กบั สมาชิกในเรนจ์ของ

ความสัมพนั ธ์เพียงตวั เดียวเท่าน้นั ความสัมพนั ธ์ท่ีกาหนดใหจ้ ึงจะเป็ นฟังกช์ นั ถา้ มีสมาชิกบางตวั ในโดเมนของความสัมพนั ธ์
จบั คูก่ บั สมาชิกในเรนจข์ องความสมั พนั ธ์มากกวา่ 1 ตวั ความสัมพนั ธ์ท่ีกาหนดใหก้ จ็ ะไม่เป็นฟังกช์ นั

2. กรณที ่ีความสัมพนั ธ์น้ันมีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจานวนจริงท่ีไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้

จะตรวจสอบวา่ ความสมั พนั ธ์ดงั กลา่ วน้ีเป็นฟังกช์ นั หรือไม่

สามารถทาโดยวิธีต่อไปน้ีคือ

วิธีพิจารณาจากเงื่อนไขของความสัมพันธ์

ถา้ พิจารณาไดว้ า่ “ทุกคร้ังที่แทนคา่ x ลงในสมการ 1 ค่า

ทาใหไ้ ดค้ า่ y เพียง 1 คา่ ซ่ึงหมายถึงสมาชิกแตล่ ะตวั ในโดเมนจบั คู่

ตวั ละคร้ังเดียว” ในกรณีน้ีความสัมพนั ธน์ ้นั จะเป็นฟังกช์ นั 27/69

ตัวอย่าง ความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั หรือไม่ (2) g = {(x,
(1) f = {(x, y)  R  R | y = 2x}

y)  R  R | y2 = x}
วธิ ีทา (1) พิจารณาสมการ y = 2x

เมื่อแทนคา่ x = 1 ทาใหไ้ ดค้ ่า y = 2 เพียงคา่ เดียว
แทนคา่ x = –2 ทาใหไ้ ดค้ ่า y = –4 เพยี งคา่ เดียว

แทนคา่ x = ทาใหไ้ ดค้ า่ y = เพยี งค่าเดียว

แทนค่า x = ทาใหไ้ ดค้ ่า y = เพยี งคา่ เดียว

จะไดว้ า่ ทุกคร้ังท่ีแทนค่า x ลงในสมการ 1 คา่ ทาใหไ้ ดค้ า่ y เพยี งค่าเดียวเสมอ 28/69
ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั
(2) พิจารณาสมการ y2 = x

เมื่อแทนค่า x = 1 จะได้ y = 1 มี 2 คา่ ซ่ึงหมายความวา่ มีคอู่ นั ดบั (1, –1) และ (1, 1) อยใู่ น g

ดงั น้นั g ไม่เป็นฟังกช์ นั

วิธีพิจารณาจากกราฟของความสัมพนั ธ์ f

ถา้ ลากเส้นตรงที่ขนานกบั แกน Y แลว้ ตดั กราฟของ f มากกวา่ 1 จุดแลว้ f จะไม่เป็นฟังกช์ นั (เพราะวา่
มี x บางค่าจบั ค่กู บั ค่า y เกิน 1 คร้ัง) ถา้ ลากเสน้ ตรงที่ขนานกบั แกน Y แลว้ ตดั กราฟของ f ไม่เกินหน่ึงจุดเสมอ
จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั เช่น

f เป็นฟังกช์ นั g ไม่เป็นฟังกช์ นั 29/69

2.2 รูปแบบการเขยี นฟังก์ชัน

การเขียนฟังกช์ นั มีหลายรูปแบบ แตร่ ูปแบบที่พบบ่อยๆ มี 5 รูปแบบ คือ
รูปแบบที่ 1 การเขียนฟังกช์ นั โดยการแจกแจงสมาชิก

รูปแบบน้ีเป็นการเขียนฟังกช์ นั f ในรูปเซต และเขียนสมาชิกแต่ละตวั ของ f ซ่ึงเป็นคอู่ นั ดบั ลงในเซต เช่น
f = {(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)}
รูปแบบที่ 2 การเขียนฟังกช์ นั โดยใชแ้ ผนภาพ
รูปแบบน้ีเป็นการนาคอู่ นั ดบั ซ่ึงเป็น สมาชิกของฟังกช์ นั มาเขียนแสดงใหเ้ ห็นการจบั คู่อยา่ งชดั เจน
เช่น

30/69

รูปแบบท่ี 3 การเขียนฟังกช์ นั โดยการใชต้ าราง การเขียนฟังกช์ นั ในรูปแบบที่ 4 นิยมเขียน
รูปแบบน้ีเป็นการนาคู่อนั ดบั ซ่ึงเป็นสมาชิกของ f เฉพาะเงื่อนไขที่ x กบั y มีความสัมพนั ธก์ นั
แตล่ ะสมาชิกเขียนไวใ้ นตาราง เช่น แทนการเขียนเซต f โดยเขียนเป็น y = 2x

รูปแบบที่ 4 การเขียนฟังกช์ นั แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต

รูปแบบน้ีเกิดจากการเขียนฟังกช์ นั ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข
โดยใชค้ อู่ นั ดบั (x, y) แทนสมาชิกใดๆ ในเซต f แลว้ มีเง่ือนไข
บอกให้ทราบว่า x กบั y มีความสัมพนั ธ์กันดว้ ยกฎเกณฑ์ใด

เช่น f = {(x, y)  R  R | y = 2x}

31/69

รูปแบบท่ี 5 การเขียนฟังกช์ นั โดยใชก้ ราฟ
รูปแบบน้ีเกิดจากการนาคู่อนั ดบั (x, y) ท่ีอยใู่ น f ไปเขียนเป็นจุดบนระนาบ
ซ่ึงจะไดเ้ ซตของจุดมากมายที่เห็นเป็นรูปกราฟแบบตา่ งๆ เช่น

32/69

ฟังก์ชันทคี่ วรรู้จัก บทนิยาม

1. ฟังก์ชันจาก A ไป B f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B กต็ ่อเม่ือ Df = A และ
f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

2. ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B บทนิยาม

f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไปทว่ั ถึง B กต็ ่อเม่ือ Df = A และ Rf = B
f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไปทว่ั ถึง B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ทว่ั ถึง

33/69

3. ฟังก์ชันหน่ึงต่อหน่ึง บทนิยาม
จาก A ไป B
f เป็ นฟังก์ชันหน่ึงต่อหน่ึงจาก A ไป B ก็ต่อเม่ือ f เป็ นฟังก์ชันจาก A ไป B ซ่ึงถา้ y  Rf
จะมี x  Df เพียงตวั เดียวเท่าน้นั ท่ีทาให้ (x, y)  f

f เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึงจาก A ไป B เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

4. ฟังก์ชันหน่ึงต่อหนึ่ง บทนิยาม
จาก A ไปท่ัวถึง B
f เป็นฟังกช์ นั หน่ึงตอ่ หน่ึงจาก A ไปทวั่ ถึง B กต็ อ่ เม่ือ Df = A และ Rf = B
f เป็นฟังกช์ นั หน่ึงตอ่ หน่ึงจาก A ไปทว่ั ถึง B เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ ทวั่ ถึง

34/69

ฟังก์ชันเพมิ่ และฟังก์ชันลด ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x) = 2x + 5 จงพิจารณาฟังก์ชัน

บทนิยาม ที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชันเพ่ิมหรือฟังก์ชันลด

ให้ f เป็นฟังกช์ นั ซ่ึงมีโดเมนและเรนจเ์ ป็ นสับเซตของ ในเซตของจานวนจริง
เซตของจานวนจริง และ A เป็นสับเซตของโดเมน
วธิ ีทา ให้ x1, x2  R ถา้ x1 < x2
1. f เป็ นฟังก์ชันเพ่ิมบน A ก็ต่อเมื่อ สาหรับสมาชิก จะได้ 2x1 < 2x2
x1, x2 ใด ๆ ใน A ถา้ x1 < x2 แลว้ f(x1) < f(x2) 2x1 + 5 < 2x2 + 5
นน่ั คือ f(x1) < f(x2)
2. f เป็ นฟังก์ชันลดบน A ก็ต่อเม่ือ สาหรับสมาชิก ดงั น้นั f เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ ในเซตของจานวนจริง
x1, x2 ใด ๆ ใน A ถา้ x1 < x2 แลว้ f(x1) > f(x2)

35/69

2.3 การหาค่าของฟังก์ชัน ตัวอย่าง กาหนดให้ f = {(x, y)  R  R | y = 2x+1}
จงหาคา่ ของ f(2), f(–3) และ f(u) เมื่อ u  R
การหาค่าของฟังก์ชัน หมายถึง การหาค่าผลลพั ธ์
ท่ีถกู กาหนดดว้ ยฟังกช์ นั โดยข้ึนกบั ค่าที่นามาจากโดเมน วธิ ีทา เน่ืองจาก (x, y)  f จึงไดว้ า่ y = f(x) .....(1)
ของฟังกช์ นั นนั่ เอง วิธีหาค่าของฟังกช์ นั f ที่ a ที่นิยมกนั แต่ y = 2x+1 .....(2)
โดยทว่ั ไปมี 2 แบบ คือ จาก (1) และ (2) จะได้ f(x) = 2x+1
f(2) = 2(2)+1 = 5
แบบท่ี 1 การหาคา่ ฟังกช์ นั อยา่ งง่าย f(–3) = 2(–3)+1 = –5
การหาค่าฟังกช์ นั f ที่ a อยา่ งง่าย จะใชว้ ิธีแทนค่า f(u) = 2u +1
x = a ลงในสมการของฟังกช์ นั ก็จะไดค้ ่าของฟังกช์ นั f
ท่ี a ตามตอ้ งการ

36/69

แบบท่ี 2 การหาค่าของฟังกช์ นั โดยวิธีเปลี่ยนตวั แปร

พิจารณาสมการ f(x+1) = 2x – 5 .....(1) เมื่อหา f(x) ไดแ้ ลว้ จะทาใหส้ ามารถ
หาค่าของฟังกช์ นั f ท่ี x เท่ากบั ค่าใดกไ็ ด้
ถา้ เราตอ้ งการหา f(x) สามารถดาเนินการไดด้ งั น้ี โดยการแทนคา่ x เท่ากบั คา่ น้นั ใน f(x)

กาหนดให้ a = x+1 37/69

จะได้ x = a–1

แทนค่า x = a–1 ใน (1)

จะได้ f((a–1)+1) = 2(a–1)–5

f(a) = 2a–2–5

f(a) = 2a–7

นน่ั คือ f(x) = 2x–7

ตัวอย่าง กาหนดให้ f(a–3) = 4a+7 จงหา

(1) f(x) (2) f(2)

วธิ ีทา (1) จาก f(a – 3) = 4a + 7 (2) จาก f(x) = 4x + 19

.....(1) แทนคา่ x = 2 จะได้

กาหนดให้ a – 3 = x f(2) = 4(2) + 19

ดงั น้นั a = x + 3 = 8 + 19

แทนค่า a ใน (1) จะได้ = 27

f((x+ 3) – 3) = 4(x + 3) + 7

f(x) = 4(x + 3) + 7

= 4x + 12 + 7

= 4x + 19

38/69

(หนงั สือเรียนหนา้ 42)

39/69

1. ให้นกั เรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 5-6 คน แต่ละกลุ่มสร้างสถานการณ์เพ่ือทาแบบจาลองฟังกช์ ัน แลว้ แทนค่าสมาชิกใน
โดเมนเพอ่ื หาคา่ ของฟังกช์ นั ในแบบจาลองท่ีสร้างข้ึน

2. นาสถานการณ์มาสร้างแบบจาลองในรูปฟังกช์ นั โดยฟังกช์ นั จะเป็ นเงื่อนไขบงั คบั ที่กาหนดผลลพั ธ์ที่ข้ึนกบั ส่ิงที่นาเขา้
3. แตล่ ะกลุ่มออกมานาเสนอและสรุปการหาค่าของฟังกช์ นั ท่ีได้

เช่น ใหน้ กั เรียนต้งั กลุ่มขายน้าผลไมป้ ั่นโดยมีผลไมท้ ่ีใชใ้ นการปั่นคือ ส้ม ฝรั่ง สับปะรด แตงโม มะนาว และอ่ืนๆ
น้าผลไมป้ ่ันที่ไดจ้ ะมีราคาต่อแกว้ ข้ึนอยกู่ บั จานวนชนิดผลไม้ กาหนดดงั น้ี ผลไม้ 1 ชนิด เมื่อปั่นเสร็จจะคิดในราคา
25 บาท ถา้ ป่ันผลไม้ 2 ชนิดจะคิดในราคา 30 บาท และป่ันผลไม้ 3 ชนิดจะคิดในราคา 35 บาท เช่นน้ีเร่ือยๆ จาก
ตวั อยา่ งของการขายน้าผลไมป้ ่ันขา้ งตน้ ราคาของน้าผลไมป้ ั่นเป็นฟังกช์ นั ที่ข้ึนกบั จานวนผลไมก้ ล่าวคือ คู่อนั ดบั
(1, 25), (2, 30), ... เป็นคู่อนั ดบั ของฟังกช์ นั นนั่ คือ สามารถกาหนดฟังกช์ นั ไดด้ งั น้ี f(x) = 5x + 20

ส้ม

คาตอบอาจแตกต่างกนั 40/69

บทนิยาม

กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ที่มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจริง ผลบวก ผลตา่ ง ผลคณู และผลหาร
ของ f และ g เขียนแทนดว้ ย f+g, f–g, fg และ ตามลาดบั เป็นฟังกช์ นั ซ่ึงกาหนดคา่ โดย

โดยที่ 41/69
และ และ

ตัวอย่าง ให้ f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9)} และ g = {(0, –5), (1, 5), (2, 0)} จงหา f+g และ พร้อมท้งั หาโดเมนของแตล่ ะฟังกช์ นั

วธิ ีทา โดเมนของ f คือ {1, 2, 3} และโดเมนของ g คือ {0, 1, 2}

โดเมนของ f + g คือ = {1, 2}

(f+g)(1) = f(1)+g(1) = 1+5 = 6 จะได้ (1, 6) อยใู่ น f+g

(f+g)(2) = f(2)+g(2) = 4+0 = 4 จะได้ (2, 4) อยใู่ น f+g

ดงั น้นั f+g = {(1, 6), (2, 4)}

โดเมนของ คือ {x  R | x  และ g(x) ≠ 0}

จะไดโ้ ดเมนของ เท่ากบั {1}

จะได้ อยใู่ น

ดงั น้นั 42/69

(หนงั สือเรียนหนา้ 45)

43/69

ใหน้ กั เรียนจบั คู่กนั ช่วยกนั สร้างโจทย์ 2-3 ขอ้
นักเรียนคนท่ี 1 สร้างโจทยเ์ ก่ียวกบั การบวกและการลบของฟังกช์ นั พร้อมท้งั แสดงวธิ ีการหาคาตอบ

ตัวอย่างโจทย์เก่ียวกับการบวกและการลบของฟังก์ชัน
กาหนดให้

จงหา และ
ตอบ

44/69

นักเรียนคนท่ี 2 สร้างโจทยเ์ ก่ียวกบั การคูณและการหารของฟังกช์ นั พร้อมท้งั แสดงวิธีการหาคาตอบ
ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกบั การคูณและการหารของฟังก์ชัน
กาหนดให้

จงหา และ
ตอบ

แตล่ ะคู่ออกมานาเสนอผลงานหนา้ ช้นั เรียน

45/69

บทนิยาม ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ดงั แสดงในแผนภาพ

ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั โดยที่ จากแผนภาพจะได้
นน่ั คือ
ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ ย

คือ ฟังกช์ นั ท่ีโดเมนคือ และ

สาหรับทุกค่าของ x ท่ี

ดงั น้นั

46/69

ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x) = 3x–5 และ g(x) = 1–x2 จะมี และ หรือไม่ เพราะเหตใุ ด ถา้ มีจงหา และ

พร้อมท้งั หาโดเมน 47/69

วธิ ีทา จาก f(x) = 3x–5 จะได้ Df = R และ Rf = R
และจาก g(x) = 1–x2 จะได้ Dg = R และ Rg =

หา พิจารณา =R หา พิจารณา =

เพราะฉะน้นั หา ได้ เพราะฉะน้นั หา ได้

= g(3x–5) = f(g(x))

= 1–(3x–5)2 = f(1– x2)

= –9x2+30x–24 = 3(1– x2)–5

จะได้ = R = – 3x2– 2

จะได้ = R

1. ไม่จาเป็นตอ้ งเท่ากบั
2.
ข้อสังเกต 3.

ถา้ มี และ
แลว้ จะไดว้ า่

48/69

(หนงั สือเรียนหนา้ 50)

49/69