U1_ฟังก์ชัน_PPT

1. ใหน้ กั เรียนแบ่งเป็น 2 กลุ่มเท่าๆ กนั แลว้ ช่วยกนั หาคาตอบของโจทยต์ ่อไปน้ี 50/69
ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถา้ f : R → R เป็นฟังกช์ นั หน่ึงตอ่ หน่ึงซ่ึงสอดคลอ้ งกบั สมการ
สาหรับทุกจานวนจริง x  R แลว้ จงหาคา่ ของ f(5)

2. กลุ่มท่ีหาคาตอบไดก้ ่อนจะเป็นฝ่ ายชนะ
จากสมการ
แทนค่า

ให้ f(5) = a จะได้

ดงั น้นั

กาหนดให้ f = {(x, y)  R  R | y = f(x)} เป็ นฟังกช์ นั เม่ือสลบั ท่ีระหว่างสมาชิกตวั หนา้ กบั สมาชิกตวั หลงั
ในคู่อนั ดบั เดียวกนั ทุกคู่อนั ดบั ในฟังกช์ นั ความสมั พนั ธท์ ี่ไดเ้ รียกวา่ ตัวผกผันของฟังก์ชัน ใชส้ ัญลกั ษณ์ f–1 และถา้ f–1
เป็นฟังกช์ นั จะเรียก f–1 วา่ ฟังก์ชันผกผัน

พิจารณา f = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึง
จะได้ f–1 = {(4, 2), (6, 3), (8, 4)} เป็นฟังกช์ นั
ดงั น้นั เรียก f–1 วา่ เป็นฟังกช์ นั ผกผนั ของ f
แต่ถา้ g = {(2, 4), (3, 4), (4, 8)} ไม่เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึง
จะได้ g–1 = {(4, 2), (4, 3), (8, 4)} ไม่เป็นฟังกช์ นั
ดงั น้นั g–1 เป็นตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั g แต่ g–1 ไม่เป็นฟังกช์ นั ผกผนั

51/69

ทฤษฎีบท ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x) = x2–1 จงหา f–1 และพิจารณาวา่ f–1

ให้ f เป็นฟังกช์ นั f มีฟังกช์ นั ผกผนั กต็ ่อเม่ือ เป็นฟังกช์ นั หรือไม่
f เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึง
วธิ ีทา จาก f(x) = x2–1

f = {(x, y) | y = x2–1}

1. Df = และ = Rf f–1 = {(x, y) | x = y2–1}
2. ถา้ f เป็นฟังกช์ นั และ f–1 เป็นฟังกช์ นั
หรือ f–1 = {(x, y) | x = y2–1 หรือ y = }
แลว้ (x, y)  f กต็ ่อเม่ือ (y, x)  f–1
ข้อสังเกต เนื่องจากฟังกช์ นั f ไม่เป็นฟังกช์ นั 1-1

ดงั น้นั f–1 ไม่เป็นฟังกช์ นั

52/69

(หนงั สือเรียนหนา้ 53)

53/69

ใหน้ กั เรียนจบั คู่กนั แลว้ ตรวจสอบวา่ f เป็นฟังกช์ นั ผกผนั ของ g หรือไม่

1. และ 2. และ

ไม่เป็น เป็น

3. และ 4. และ
เป็ น ไม่เป็ น

54/69

คู่อนั ดบั (a, b) = (c, d) กต็ อ่ เมื่อ a = c และ b = d

ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตใดๆ โดยมีสมาชิก m และ n ตวั r เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B กต็ ่อเม่ือ
ตามลาดบั ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B หมายถึง ถา้ จะเรียก r วา่ เป็นความสัมพนั ธ์ใน
เซตของคู่อนั ดับท้ังหมดที่สมาชิกตวั หน้าของคู่อนั ดับเป็ น เซต A
สมาชิกของเซต A และสมาชิกตวั หลงั ของคอู่ นั ดบั เป็นสมาชิก ถา้ จะเรียก r วา่ เป็นความสมั พนั ธ์ใน
ของเซต B ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนดว้ ย เซต R ในกรณีน้ีอาจละไวใ้ นฐานท่ีเขา้ ใจวา่ r เป็น
ความสัมพนั ธ์ในเซตของจานวนจริงได้
A  B นนั่ คือ A  B = {(x, y) | x  A และ y  B} จานวน
สมาชิกเท่ากบั m n คู่อนั ดบั และโดยทว่ั ไป AB ≠ B A 55/69

ให้ r เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B นนั่ คือ r = {(a, b) | a  A และ b  B}
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคอู่ นั ดบั ของความสัมพนั ธ์ r เขียนแทนดว้ ย Dr
นนั่ คือ Dr = {x | (x, y)  r}
เรนจข์ อง r คือ เซตของสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ของความสมั พนั ธ์ r เขียนแทนดว้ ย Rr
นนั่ คือ Rr = {y | (x, y)  r}

การหาโดเมนของความสัมพนั ธ์ r ใหเ้ ขียนค่า y ใหอ้ ยใู่ นเทอมของ x
การหาเรนจข์ องความสัมพนั ธ์ r ใหเ้ ขียนค่า x ใหอ้ ยใู่ นเทอมของ y

56/69

กราฟของความสมั พนั ธ์

ในสมการของความสมั พนั ธ์ท่ีอยใู่ นรูป y = ax+b เม่ือ a, b เป็นจานวนจริงท่ี a ≠ 0 กราฟของความสัมพันธ์
จะอยใู่ นแนวเสน้ ตรง

ในสมการของความสมั พนั ธท์ ่ีอยใู่ นรูป y = ax2+bx+c เม่ือ a, b, c เป็นจานวนจริงที่ a ≠ 0 กราฟของความสัมพนั ธ์
จะอยใู่ นรูปเส้นโคง้

ถา้ ทราบว่ากราฟของความสัมพนั ธ์เป็ นรูปเส้นตรง จะเขียนกราฟเส้นตรงไดง้ ่ายโดยหาจุดที่อย่บู นกราฟเพียง
2 จุด แลว้ ลากเสน้ ตรงผา่ นจุดท้งั สองกจ็ ะไดก้ ราฟของเส้นตรงน้นั ตามตอ้ งการ

ฟังกช์ นั คือ ความสมั พนั ธซ์ ่ึงสมาชิกในโดเมนแต่ละตวั ถา้ f เป็ นฟังกช์ นั และ (x, y)  f แลว้ จะกล่าววา่ y เป็น
จบั คู่กบั สมาชิกในเรนจข์ องความสมั พนั ธ์เพยี งตวั เดียว ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
เท่าน้นั y = f(x)

57/69

การหาค่าฟังกช์ นั f ท่ี a อยา่ งง่าย จะใชว้ ิธีแทนค่า การบวก การลบ การคณู และการหารของฟังกช์ นั
x = a ลงในสมการของฟังกช์ นั ก็จะไดค้ ่าของ เป็นการนาฟังกช์ นั มา บวก ลบ คูณ และหารกนั
ฟังกช์ นั f ที่ a ตามตอ้ งการ

ฟังกช์ นั ประกอบของ f และ g เขียนแทนดว้ ย เป็นฟังกช์ นั ที่มี f มีฟังกช์ นั ผกผนั กต็ อ่ เม่ือ
f เป็นฟังกช์ นั หน่ึงตอ่ หน่ึง
โดเมนคือ และ

สาหรับทุก x ใน

ในกรณีที่ f มีฟังกช์ นั ผกผนั (f–1 เป็นฟังกช์ นั ) โดเมนของ f–1 เท่ากบั เรนจข์ อง f และเรนจข์ อง f–1 เท่ากบั โดเมนของ f

58/69

1. ถา้ คอู่ นั ดบั (x–5y, 2x–3y) = (9, 4) แลว้ จงหาค่า x และ y 59/69
x = –1, y = –2

2. ถา้ A = {1, 2, 3}, B = {2, 4} และ C = {1, 4} แลว้ จงหา (A  B)–(A  C)
{(1, 2), (2, 2), (3, 2)}

3. กาหนด A = {1, 2, 7, 8, 9, 10} และ B = {2, 3, 4, 5}
(1) ถา้ r1 แทนความสมั พนั ธ์ “เป็นคร่ึงหน่ึงจาก A ไป B” แลว้ จงเขียน r1 แบบบอกเง่ือนไข
{(1, 2), (2, 4)}
(2) ถา้ r2 = {(x, y)  A  B | |x – y | < 2} แลว้ จงเขียน r2 แบบแจกแจงสมาชิก
{(1, 2), (2, 2), (2, 3)}

4. ถา้ r = {(x, y) R  R | y = } แลว้ จงหา Dr และ Rr

Dr = {x|x 8} และ Rr = {y|y 0}

5. จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ r = {(x, y)  R  R | y = 3 – |x|} พร้อมท้งั หา Dr และ Rr

60/69

6. จากความสมั พนั ธ์ที่กาหนดให้ จงพจิ ารณาวา่ เป็นฟังกช์ นั หรือไม่ 61/69

(1) r =

เป็ น

(2) r = {(4, a), (9, a), (4, b), (9, b)}
ไม่เป็ น

(3) r = {(x, y)  A  B | y = x} ; A = {1, 2}, B = {– 2, 2}
เป็ น

(4) r = {(x, y) | y2 = 6x–3}
ไม่เป็ น

(5)
เป็ น

(6)
ไม่เป็ น

62/69

7. กาหนดให้ f = {(–1, 7), (3, –1), (4, 3), (7, –2)}

(1) จงหา f(7) (2) ถา้ f(a) = 3 แลว้ จงหาคา่ a

24

(3) จงหา f–1(–1)–2f(3)

5

8. กาหนดให้ f(x+5) = 2x+1 จงหา 63/69
(1) f(8)
7
(2) f(x)
2x–9

9. กาหนดให้ g(x) = x2+2x+1 และ เมื่อ
เม่ือ
จงหา (2) h(2) เมื่อ
(1) g(2) 1
(3) g(–3)+h(–5)
9 –2

64/69

10. กาหนดให้ A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}

f1 = {(3, 3), (2, 4), (1, 3)} f5 = {(3, 4), (2, 3), (1, 2)}
f2 = {(3, 3), (2, 2), (1, 4)} f6 = {(3, 3), (2, 3), (1, 3)}
f3 = {(4, 1), (3, 3), (2, 1)} f7 = {(4, 1), (3, 3), (2, 2)}
f4 = {(2, 3), (3, 3), (1, 2)}
จงพจิ ารณาฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหว้ า่ มีฟังกช์ นั ใดบา้ งท่ีมีลกั ษณะดงั ตอ่ ไปน้ี

(1) ฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึง (2) ฟังกช์ นั จาก A ไป B (3) ฟังกช์ นั จาก B ไปทว่ั ถึง A
f7
f2, f5, f7 f1, f4, f6

65/69

11. ถา้ f(x) = แลว้ จงหา f–1(x)

12. ฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั เพิ่มหรือเป็นฟังกช์ นั ลด
(1) f(x) = 2+3x

ฟังกช์ นั เพ่ิม
(2) f(x) = –x2+5 บนช่วง [–2, 2]

ฟังกช์ นั เพม่ิ บนช่วง [–2, 0) และฟังกช์ นั ลดบนช่วง (0, 2]

66/69

13. กาหนดฟังกช์ นั f = {(–3, 1), (4, 2), (11, –1)} (2)
g = {(–3, 0), (1, 2), (4, –1)} {(4, –2)}

จงหา
(1) (f+g)(4)

1

14. กาหนดฟังกช์ นั f(x) = และ g(x) = จงหา (fg)(x) และ Dfg
และ

67/69

15. ถา้ f(x) = x2+x–3 และ (f+g)(x) = x4–3x2+5 แลว้ จงหา g(x)
x4 – 4x2 – x + 8

16. กาหนด f = {(–1, 3), (–2, 6), (0, 1), (3, 2)}
g = {(– 2, 3), (3, 4), (6, 7), (4, 5)} จงหา

(1) g–1

(2)

68/69

17. กาหนดให้ f(x) = และ g(x) = จงหา

18. กาหนดให้ f–1(x) = และ = จงหา
(1) (2)

69/69