เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง สถิติเบื้องต้น

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |50

2. จากตารางแสดงคะแนนการสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรียนของนักเรียน 50 คน เป็นดงั นี้
คะแนน ความถ่ี

1 - 10 3

11 – 20 7

21 – 30 8

31 – 40 11

41 – 50 11

51 - 60 10

จงสรา้ งฮีสโทแกรม และรูปหลายเหล่ยี มของความถี่ในกราฟเดยี วกนั

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |51

3. จากตารางแสดงนำ้ หนักของนักเรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 จำนวน 30 คน เป็นดงั น้ี

น้ำหนัก(กก.) ความถี่

30 – 39 5

40 – 49 10

50 – 59 9

60 – 69 3

70 - 79 3

จงสร้างฮีสโทแกรม รปู หลายเหลีย่ มของความถ่ี และเส้นโค้งของความถี่ในกราฟเดยี วกนั

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |52

4. จากตารางแจกแจงความถี่ที่กำหนดให้
คะแนน ความถ่ี

0–3 3

4–7 5

8 – 11 10

12 – 15 7

16 - 19 5

จงสรา้ งฮสี โทแกรม รูปหลายเหล่ียมของความถ่ี และเส้นโค้งของความถี่ในกราฟเดยี วกัน

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |53

ใบความรู้ท่ี 4

เรือ่ ง แผนภาพ ต้น – ใบ

การจดั ข้อมลู เปน็ กลุ่มโดยใชแ้ ผนภาพ ต้น – ใบ เป็นการจดั การข้อมูลใหเ้ ป็นกลมุ่ อีกวิธีหนึ่งเพื่อนำข้อมูลที่
ไดไ้ ปวเิ คราะห์ โดยการใช้แผนภาพ ตน้ – ใบ นม้ี ีลกั ษณะเดน่ คอื ช่วยใหเ้ ราทราบรายละเอยี ดของข้อมูลว่ามีข้อมูล
ใดอย่บู า้ ง ซึ่งแตกตา่ งจากการสร้างตารางแจกแจงความถี่ และฮสี โทแกรมที่ไม่สามารถบอกได้รายละเอียดของ
ขอ้ มูลได้เพราะว่าเป็นการจดั ขอ้ มลู ออกเปน็ ชว่ ง ๆ จึงบอกได้แค่ว่าแต่ละชว่ งมขี ้อมูลมากน้อยเพยี งใด

วิธีการสร้างแผนภาพ ต้น – ใบ

1. การสรา้ งตน้ (stem) การสร้างต้นเปน็ วิธกี ารสร้างขอ้ มูลออกเปน็ กลุม่ ๆ ซ่ึงแบ่งโดยใช้ตวั เลขหลักทาง
ซา้ ยมือหลกั เดยี วหรอื สองหลักเปน็ ตัวแบ่ง แล้วนำตัวเลขน้ันไปวางเรียงลำดบั ในแนวตงั้ เรยี กวา่ “ต้น”
ตวั อยา่ งที่ 1 พิจารณาคะแนนสอบของนักเรียนเปน็ ดังนี้ 35, 21, 32, 35, 26, 40, 45, 37, 39, 23, 35, 31 จง

สรา้ งส่วนของ ตน้ ในแผนภาพ ต้น – ใบ
วิธีทำ 1. การสรา้ งต้นทำไดโ้ ดย แบ่งข้อมลู ออกเป็น 3 กลุ่ม

- กล่มุ ที่หลักสบิ เป็น 2 หมายถึง อันตรภาคชัน้ 20 – 29
- กลมุ่ ทห่ี ลักสบิ เปน็ 3 หมายถึง อนั ตรภาคชัน้ 30 – 39
- กลมุ่ ทหี่ ลกั สิบเปน็ 4 หมายถงึ อันตรภาคชนั้ 40 – 49
ดงั นนั้ “ต้น” สร้างเปน็ แผนภาพได้ดงั น้ี

2
3
4

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |54

2. การสร้างใบ (leaf) นำตัวเลขหลักถัดจากตน้ มาเขียนเป็นใบ โดยวางในแถวทตี่ รงกับตน้

ตวั อยา่ งที่ 2 พิจารณาคะแนนสอบของนกั เรียนเปน็ ดังนี้ 35, 21, 32, 35, 26, 40, 45, 37, 39, 23, 35, 31 จง
สร้างแผนภาพ ต้น – ใบ

วิธีทำ 1. การสรา้ งตน้ ทำได้โดย แบ่งขอ้ มูลออกเป็น 3 กลุ่ม คอื
- กลมุ่ ทห่ี ลักสิบเปน็ 2 หมายถงึ อนั ตรภาคชนั้ 20 – 29
- กลุ่มทห่ี ลกั สิบเปน็ 3 หมายถงึ อันตรภาคช้ัน 30 – 39
ดังน้นั “ตน้ ” สรา้ งเป็นแผนภาพได้ดงั น้ี

2
3
4

2. การสร้างใบทำไดโ้ ดย พจิ ารณา 3 กล่มุ ของ “ต้น” คือ
- กลุ่มทต่ี ้นเป็น 2 จะได้ใบเป็น 1, 6, 3 (ซงึ่ ได้มากจาก 21, 26, 23)
- กลุม่ ที่ตน้ เปน็ 3 จะได้ใบเป็น 5, 2, 5, 7, 9, 5, 1 (ซ่ึงได้มาจาก 35, 32, 35, 37, 39, 35, 31)
- กล่มุ ทต่ี น้ เป็น 4 จะได้ใบเป็น 0 และ 5 (ซง่ึ ไดม้ าจาก 40, 45)
เมือ่ นำ “ใบ” มาเขียนรวมกบั “ต้น” จะไดด้ ังนี้
2 163
3 5257951
4 05

เพื่อง่ายตอ่ การนำไปใช้ส่วนใหญ่จะนิยมเขียนเรยี งลำดบั ใบจากนอ้ ยไปหามาก

2 136
3 1255579
4 05

แผนภาพในลกั ษณะนี้เรยี กวา่ “แผนภาพ ตน้ – ใบ”
การวิเคราะห์แผนภาพตน้ ใบข้างต้นน้ี จะเหน็ ได้วา่
- กลุ่มท่มี คี วามถีม่ ากสุด คอื กลุ่มท่ี “ตน้ ” เท่ากบั 3 มี หรือ อนั ตรภาคชั้น 30 – 39 โดยมคี วามถี่เปน็ 7
- กลมุ่ ทมี่ ีความถี่นอ้ ยสดุ คือ กลุม่ ท่ี “ตน้ ” เทา่ กับ 4 มี หรือ อนั ตรภาคชั้น 40 – 49 โดยมคี วามถี่เปน็ 2
- ค่าท่ีมคี วามถ่ีมากทส่ี ุด คือ 35 ในกล่มุ ที่ “ตน้ ” เท่ากับ 3 หรอื อนั ตรภาคชั้น 30 – 39

การสร้างแผนภาพตน้ – ใบ ในกรณที ่ีข้อมูลเชงิ ปริมาณถกู แบง่ เป็น 2 กลุม่ ตามหลักษณะเชิงคุณภาพ เช่น
แบง่ ตามเพศ แบ่งตามวชิ า แบ่งตามความชอบ เปน็ ตน้ เม่ือนำข้อมูลเหล่านี้มาแจกแจงความถโ่ี ดยใช้แผนภาพ ตน้
– ใบ เราอาจแสดงแผนภาพโดยใช้ “ตน้ ” รว่ มกนั และแบ่งใบออกเป็น 2 ด้าน ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |55

ตัวอยา่ งท่ี 3 จากตารางต่อไปน้ีแสดงคะแนนสอบของนักเรยี น 50 คน โดยแยกตามเพศ จงสร้างแผนภาพต้นใบ
แสดงคะแนนสอบดังกล่าวโดยแยกตามเพศและใช้ “ต้น” รว่ มกนั

เพศชาย 42 50 71 53 46 61 48 75 60 75
เพศหญิง 70 36 61 57 57 48 78 31 54 66
82 86 68 52 59 42 30 49 64 51

78 71 50 57 60 44 54 95 45 60
65 63 66 72 64 76 81 75 79 88

วธิ ที ำ 1. การสรา้ งต้น ทำไดโ้ ดยพจิ ารณาข้อมูลต่ำสดุ คือ 30 และข้อมูลสูงสุด คือ 95 ดงั นนั้ จึงแบ่งข้อมูล
ออกเป็น 7 กล่มุ คือ อนั ตรภาคชั้นท่ี 30 – 39, 40 – 49, 50 – 59, 60 – 69, 70 – 79, 80 – 89, 90 – 99 ดังน้นั
สว่ นท่ีเป็น “ต้น” คือ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2. การสรา้ งใบทำได้โดย พจิ ารณา 7 กลุ่ม ของ “ต้น” โดยจะแบง่ “ใบ” ออกเปน็ 2 ข้าง แยกตามเพศ
ชาย และเพศหญงิ ดงั น้ี

ใบ (เพศชาย) ตน้ ใบ (เพศหญิง)

610 3

988622 4 45

97743210 5 047

864110 6 003456

85510 7 125689

62 8 18

95

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |56

ใบงานท่ี 4.1

ชอื่ ……………………………………………………………………………. ช้นั ……………………… เลขที่ ……………..

คำชีแ้ จง จงตอบคำถามตอ่ ไปนี้

1. พิจารณาข้อมูลทแ่ี สดงคะแนนสอบของนักเรยี น 20 คน ดงั นี้
33 22 38 35 28 29 34 26 38 40
38 19 28 18 20 36 38 25 31 37

1.1 จงแจกแจงความถ่ีโดยใช้ แผนภาพต้น – ใบ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
1.2 จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1) อนั ตรภาคชั้นใดมีความถ่ีมากทีส่ ดุ และมีความถ่เี ป็นเท่าใด
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) อนั ตรภาคชนั้ ใดมีความถี่น้อยทส่ี ุด และมคี วามถีเ่ ป็นเท่าใด
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) นกั รยี นท่ีได้คะแนนมากกว่า 29 มีจำนวน เท่าใด
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) คะแนนสอบที่มีนักเรยี นได้เหมือนกันมากท่สี ดุ คือก่ีคะแนน และได้ทั้งหมดกี่คน
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |57

2. ขอ้ มูลตอ่ ไปน้ีเปน็ ขอ้ มลู ของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่ง จำนวน 36 คน

24 28 36 41 42 35

33 27 29 46 57 26

26 32 33 54 25 29

25 27 42 48 24 24

31 29 38 52 25 32

40 32 42 27 26 29

2.1 จงสรา้ งแผนภาพ ต้น – ใบ ของอายุพนักงานบริษัทนี้

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

2.2 อายุตำ่ สุดและสูงสุดของพนักงานเท่ากับเทา่ ใด

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3 พนกั งานบริษัทนมี้ ีอายุส่วนใหญอ่ ยู่ในชว่ งใด

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จากแผนภาพต้นใบแสดงนำ้ หนักสม้ (กรัม) สำหรับน้ำซึ่งสมุ่ มาจากตระกร้า เป็นดังน้ี
9 158
10 4 4 5 6
11 1 2 3 8
12 2 2 4 5 8 8
13 3 3 4
3.1 ส้มทั้งหมดท่สี ุ่มมากจากตะกรา้ มีจำนวนกผ่ี ล

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |58

3.2 ส้มทน่ี ำมาค้ันส่วนใหญม่ ีนำ้ หนกั อยใู่ นช่วงใด

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.3 สม้ ที่มนี ้ำหนกั อยา่ งน้อย 120 กรัม มีกี่เปอรเ์ ซ็นต์

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ข้อมลู ตอ่ ไปนีเ้ ป็นความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรยี นกลุ่มหน่ึง
171 138 144 145 151
155 154 139 154 175
137 146 175 152 172
143 137 173 145 180
185 183 158 148 143

4.1 จงสรา้ งแผนภาพตน้ – ใบ ของความสงู ของนกั เรยี นกลมุ่ นี้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
4.2 นักเรยี นท่ีมคี วามสงู มากที่สดุ ในกลุ่มนีส้ ูงกี่เซนตเิ มตร
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
4.3 นักเรียนที่สูง 150 – 159 เซนตเิ มตร ในกลุ่มนมี้ ีก่ีคน
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
4.4 นักเรียนท่ีสงู 160 – 169 เซนตเิ มตร ในกลุ่มน้มี กี ่ีคน
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. แผนภาพต้นใบ แสดงค่าประมาณเป็นเมตรของความยาวของผา้ ผนื หนง่ึ โดยนักเรียนกลุม่ หน่งึ จำนวน 20 คน
เป็นผู้บอกค่าประมาณเป็นดังนี้ (กำหนด 2|4 แทน 2.4 เมตร)

2 4556
3 0122457
4 00111235
50

5.1 ค่าประมาณสงู สดุ ของความยาวผ้าตา่ งจากค่าประมาณต่ำสุดของความยาวผ้าเท่าใด
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |59

5.2 ถา้ ความยาวจริงของผ้าผืนนี้เท่ากบั 3.5 เมตร มีนักเรียนกเี่ ปอร์เซน็ ต์ทป่ี ระมาณค่าต่ำกว่า ความ
ยาวจรงิ
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
5.3 นักเรยี นส่วนใหญป่ ระมาณความยาวผ้าอยู่ในชว่ งใด และนักเรียนกลมุ่ น้มี กี ี่เปอร์เซ็นต์
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ มผี ลการสอบวชิ าที่ 1 และวิชาที่ 2 ซ่งึ แตล่ ะวิชามีคะแนนเตม็ 100 คะแนน เป็นดังน้ี

วิชาที่ 1 30 42 45 52 48 57 58 59 60 62
วิชาที่ 2 64 68 68 72 75 84 85 85 92 98

45 49 49 53 56 59 62 64 69 69
73 75 75 79 79 86 87 94 95 100

6.1 จงสรา้ งแผนภาพตน้ -ใบ เพอ่ื แสดงคะแนนสอบของทั้งสองวชิ าน้ี ใหใ้ ชเ้ ลขโดดจากหลกั สิบของคะแนนแต่
ละวิชาสร้างเป็นลำต้นรว่ มกัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
6.2 นักเรียนสว่ นใหญไ่ ดค้ ะแนนวิชาท่ี 1 อย่ใู นชว่ งใด
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
6.3 นกั เรยี นสว่ นใหญ่ไดค้ ะแนนวิชาที่ 2 อยใู่ นช่วงใด
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………
6.4 ความแตกตา่ งของคะแนนสงู สดุ และต่ำสุดของวชิ าท่ี 1 เทา่ กับเท่าใด
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |60

ใบงานที่ 4.1

ชอ่ื ……………………………………………………………………………. ช้นั ……………………… เลขที่ ……………..

คำชี้แจง จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1. คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยของนักเรียนชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหน่งึ จำนวน 27 คน ซ่งึ มคี ะแนนเต็ม 100
คะแนน โดยเรยี งข้อมลู จากน้อยไปมาก แสดงได้ดงั นี้

59 60 61 63 65 66 66 66 68
69 69 70 71 72 72 75 75 75
76 79 81 88 88 89 90 92 97
จงเขยี นแผนภาพกลอ่ งเพอื่ นำเสนอข้อมลู ชดุ นี้
วิธที ำ ข้อมูลตำ่ สุดคือ.........................ขอ้ มลู สงู สดุ คือ......................
Q1 อยตู่ ำแหนง่ ที่ ......................................................................... ดงั นัน้ Q1 = ……………….

Q2 อย่ตู ำแหน่งที่ .......................................................................... ดังนนั้ Q2 = ……………….

Q3 อยตู่ ำแหน่งท่ี .......................................................................... ดงั นั้น Q3 = ……………….

หา Q1 – 1.5(Q3 – Q1) = ……………………………………………………………………………….……………

หา Q3 + 1.5(Q3 – Q1) = …………………………………………………………………………….………………

เขียนแผนภาพกล่องได้ดังนี้

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |61

2. ขอ้ มลู จำนวนครัง้ ของการทำธรุ กรรมผา่ นเครอื ขา่ ยอนิ เทอร์เน็ตของครูในโรงเรยี นแหง่ หนง่ึ ในหน่ึงเดอื นแสดงได้
ดงั น้ี

00 0 0 2 2 2 3
33 3 3 3 4 5 5
55 5 6 6 6 6 6
7 9 10 11 12 12 14
จงเขียนแผนภาพกลอ่ งเพ่อื นำเสนอข้อมูลชุดนี้ พรอ้ มทงั้ อธิบายลกั ษณะการกระจายของข้อมูล
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
เขียนแผนภาพกล่องไดด้ งั น้ี

อธิบายลักษณะของขอ้ มลู
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................
............................................................................................................................. .......................................................

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |62

3. ราตรีไดจ้ ดบนั ทกึ จำนวนรถยนต์ท่ีมาจอดบริเวณหน้าบ้านในชว่ งเวลา 12:00 – 09:00 น. ของแต่ละวัน เป็น
เวลา 1 เดอื น ไดข้ ้อมลู ดังนี้

1720 18 5 9 9 7 10 11 18
106 7 20 16 12 14 18 14 17
1213 15 8 6 10 16 19 15 16 17
1) จงหา Q1, Q2, Q3
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
2) ขอ้ มลู ชุดนม้ี คี ่านอกเกณฑ์หรอื ไม่ ถา้ มีคือค่าใด
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
3) จงเขยี นแผนภาพกลอ่ งเพ่ือนำเสนอข้อมูลชุดนี้

4) จงอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมลู ชดุ น้ี
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |63

4. คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 6/2 และ 6/3 แสดงดว้ ยแผนภาพกล่องได้ดังน้ี
นักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6/2

60 67 75 88 100

นักเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6/3

64 77 85 91 98

ตอบคำถามต่อไปนี้
1) กลมุ่ นักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6/2 ท่ีไดค้ ะแนนต่ำสุดมจี ำนวนประมาณ 25% ของนกั เรียนทั้งหอ้ ง จงหา
คะแนนต่ำสุดและคะแนนสูงสุดของนักเรียนกลุ่มน้ี
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………
2) มนี ักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6/3 กเ่ี ปอร์เซ็นต์ท่ีได้คะแนนมากกว่า 77 คะแนน
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………
3) ถ้านกั เรยี นทงั้ สองห้องมีจำนวนนักเรยี นเท่ากัน และนักเรียนได้เกรด 4 ก็ต่อเม่ือนักเรยี นได้คะแนนตั้งแต่ 80
คะแนนข้นึ ไป จงพจิ ารณาว่าหอ้ งใดน่าจะมีนักเรยี นไดเ้ กรด 4 มากกว่ากัน พร้อมทง้ั ให้เหตผุ ลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |64

ใบความรูท้ ่ี 5
เร่อื ง การวดั ตำแหนง่ ที่ของข้อมูล

ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ ค32102 เรื่องสถิติของนักเรียนห้องหนงึ่ จำนวน 40 คนปรากฏวา่ นาย
สมชายสอบไดค้ ะแนน 70 คะแนน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน เราสามารถบอกไดห้ รือไมว่านายสมชายสอบได้
คะแนนสูงเม่อื เทยี บกบั เพื่อนในห้องเดียวกัน

แน่นอนว่าไมส่ ามารถบอกไดว้ ่านายสมชายสอบได้คะแนนดีหรือไมเ่ มื่อนำคะแนนไปเปรยี บเทียบกับเพ่ือน
ในห้องเดยี วกัน เพราะไม่ทราบว่าคะแนน 70 คะแนน ทไ่ี ด้นน้ั อยใู่ นตำแหน่งท่เี ทา่ ไหร่ของหอ้ ง ดังนน้ั การวดั แหนง่
ของขอ้ มลู จงึ เป็นเปน็ สงิ่ สำคญั ในการใชเ้ พ่ือตัดสินใจวา่ ข้อมูลท่ีเราสนใจนัน้ อย่ใู นตำแหน่งท่ีเท่าไรจากข้อมลู ทั้งหมด

การวดั ตำแหน่งของข้อมลู โดยทัว่ ไปมีสถติ ิที่ใช้ 3 รูปแบบ คือ
1. ควอรไ์ ทล์ (Quartile)
2. เดไซด์ (Decile)
3. เปอร์เซ็นตไ์ ทล์ (Percentile)

ความหมายของ ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซน็ ไทล์

1. ควอร์ไทล์ (Quartile) เป็นการวดั ตำแหนง่ ท่ีแบง่ ข้อมูลท้ังหมดที่เรียงจากนอ้ ยไปหามาก ออกเป็น 4

สว่ นเทา่ ๆ กนั แตล่ ะสว่ นประกอบดว้ ยจำนวนขอ้ มูล จำนวน เมอ่ื N แทนจำนวนขอ้ มูลทง้ั หมด ใช้สญั ลักษณ์ Q

ข้อมูลน้อย ข้อมูลมาก

Q1 Q2 Q3
ข้อมูลที่มตี ำแหน่งตรงกับ Q1 (ควอร์ไทลท์ ี่ 1) คือ ข้อมูลที่มีขอ้ มลู ตวั อนื่ ๆ ท่ีมคี ่าน้อยกว่ามันอยู่ประมาณ
1 ส่วน และมากกว่าค่านอี้ ยู่ประมาณ 3 สว่ น เมื่อแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 4 สว่ นเท่า ๆ กัน

ข้อมลู ท่ีมีตำแหน่งตรงกับ Q2 (ควอร์ไทลท์ ี่ 2) คอื ข้อมูลท่ีมีข้อมูลตัวอืน่ ๆ ทีม่ ีค่าน้อยกว่ามนั อยู่ประมาณ
2 สว่ น และมากกวา่ คา่ นอ้ี ยู่ประมาณ 2 สว่ น เมื่อแบ่งข้อมูลออกเปน็ 4 ส่วนเทา่ ๆ กัน

ข้อมลู ท่ีมีตำแหน่งตรงกับ Q3 (ควอร์ไทล์ที่ 3) คือ ข้อมลู ท่ีมีตัวข้อมูลอ่ืน ๆ ท่ีมคี ่าน้อยกวา่ มันอยู่ประมาณ
3 สว่ น และมากกว่าค่านอี้ ยู่ประมาณ 1 สว่ น เมื่อแบ่งข้อมูลออกเปน็ 4 สว่ นเทา่ ๆ กัน

2. เดไซล์ (Decile) เป็นการวดั ตำแหนง่ ท่แี บง่ ขอ้ มลู ทง้ั หมดทีเ่ รยี งจากน้อยไปหามาก ออกเปน็ 10 สว่ น

เท่า ๆ กนั แต่ละส่วนประกอบด้วยจำนวนขอ้ มูล N จำนวน เมอ่ื N แทนจำนวนข้อมูลทงั้ หมด ใช้

10
สญั ลักษณ์ D

ข้อมูลนอ้ ย ขอ้ มูลมาก

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
จดุ ทแ่ี บง่ ข้อมูลออกเปน็ 10 ส่วน มี 9 จดุ เรียกว่า เดไซลท์ ี่ 1 (D1), เดไซล์ที่ 2 (D2), เดไซล์ที่ 3 (D3),
…….., เดไซลท์ ่ี 9(D9) ตามลำดับ เช่น D4 คือ ข้อมลู ทมี่ ีข้อมูลตัวอ่ืน ๆ ทีม่ ีค่าน้อยกว่ามนั อยู่ประมาณ 4 ส่วน และ
มากกว่ามันอยู่ประมาณ 6 สว่ น เม่ือแบง่ ขอ้ มูลออกเปน็ 10 สว่ นเทา่ ๆ กัน

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |65

3. เปอรเ์ ซ็นไทล์ (Percentile) เป็นการวดั ตำแหนง่ ที่ท่แี บง่ ขอ้ มลู ทัง้ หมดท่เี รียงจากน้อยไปหามาก

ออกเป็น 100 สว่ นเท่า ๆ กัน แตล่ ะสว่ นประกอบด้วยจำนวนข้อมลู N จำนวน เมื่อ N แทนจำนวนข้อมลู ทั้งหมด

100
ใช้สัญลักษณ์ P

ข้อมลู น้อย ข้อมลู มาก

P1 P2 P3 P99

จุดทแ่ี บ่งข้อมลู ออกเป็น 100 ส่วนน้ันจะมี 99 จดุ เรียกวา่ เปอรเ์ ซ็นไทล์ท่ี 1 (p1) ,เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 2

(p3),เปอ รเ์ ซ็นไทลท์ ่ี 3 (p3), ………., เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 99 (p99) , ตามลำดับ เช่น P70 คือ ข้อมลู ที่ขอ้ มลู ตัวอ่นื ๆ ท่ี

มคี า่ นอ้ ยกว่ามนั อยู่ประมาณ 70 ส่วนและมากกวา่ มันอยู่ประมาณ 30 สว่ น เม่อื แบง่ ข้อมูลออกเปน็ 100

สว่ น เท่าๆกัน

การเปรยี บเทียบค่าของ P, D, Q
ข้อมลู ชดุ ทีห่ นงึ่ เรยี งจากน้อยไปหามาก และสามารถอ่านค่าของตำแหน่งดว้ ย P,D และ Q

ดงั นี้
P 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q0 1 2 3 4

จากแผนผังขา้ งบนจะได้วา่

1. P10 = D1 , P20=D2 , P30 = D3 ,…, P90 = D9

2. P25 = D2.5 = Q1 , P50 = D5 = Q75 , P75 = D7.5 = Q3
3. P50 = D5 = Q2

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |66

ใบงานที่ 5

คำชีแ้ จง จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. นักเรยี นจะตอ้ งสอบได้ตำแหนง่ ควอร์ไทลท์ เี่ ท่าไร จึงจะมนี ักเรียนประมาณหน่ึงในส่ีของชน้ั ไดค้ ะแนนสูงกวา่
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. นักเรยี นจะต้องสอบได้ตำแหน่งควอร์ไทลท์ เ่ี ท่าไร จึงจะมีนกั เรียนประมาณหนึง่ ในส่ีของช้ัน ไดค้ ะแนนต่ำกว่า
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………3.
นกั เรียนจะต้องสอบได้ตำแหน่งเดไซล์ทเ่ี ทา่ ไร จงึ จะมีผสู้ อบไดค้ ะแนนน้อยกวา่ 6 ใน 10
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………4.
จงหาตำแหน่งเดไซดข์ องคะแนนทม่ี จี ำนวนนักเรียนสอบได้คะแนนน้อยกวา่ คะแนนนี้อยู่ 4 ใน 10
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………5.
นักเรียนจะต้องสอบได้ตำแหน่งเดไซด์ทเ่ี ท่าไร จึงจะมีนักเรยี นประมาณ 1 ใน 10 ของชน้ั ได้คะแนนสงู กวา่
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………6.
จงหาตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนที่มจี ำนวนนกั เรียน ซ่งึ ได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนน้อี ยปู่ ระมาณร้อยละ 40
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………7.
จงหาตำแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทลข์ องคะแนนท่ีมีจำนวนนักเรยี น ซึ่งได้คะแนนมากกวา่ คะแนนนี้อยู่ประมาณร้อยละ 60
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………8.
นักเรียนจะต้องสอบไดต้ ำแหนง่ เดไซด์ ควอไทล์ แลเ้ ปอร์เซนไทล์ทีเ่ ท่าไร จึงจะมีนักเรยี นประมาณ 1 ใน 10 ของ
ชั้นไดค้ ะแนนสูงกวา่
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………9.
จงหาตำแหน่งของคะแนนท่มี ีจำนวนนักเรยี นสอบได้คะแนนน้อยกวา่ คะแนนนี้อยู่ 4 ใน 10
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………10.
จากผลการสอบของนักเรยี นห้องหน่ึงจำนวน 20 คน ปรากฏว่านงนุชสอบไดเ้ ปอร์เซน็ ไทล์ท่ี 80 จงหาว่ามนี กั เรียน
ก่ีคนท่ีสอบได้คะแนนต่ำกว่านงนชุ
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |67

ใบความรทู้ ี่ 6
เร่อื ง การวดั ตำแหนง่ ท่ีของข้อมูลแบบไม่แจกแจงความถ่ี

การหาตำแหน่งทแี่ ละค่าของควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ ของข้อมลู ที่ไม่แจกแจงความถี่
มลี ำดับข้นั ตอนในการหา ดังนี้

ข้นั ท่ี 1 เรียงข้อมลู จากนอ้ ยไปหามาก กำหนดใหข้ ้อมูลที่มีค่าน้อยท่สี ุดเปน็ ข้อมูลตำแหน่งท่ี 1 เร่ือยไป
จนถงึ คา่ สูงสดุ เปน็ ข้อมูลตำแหนง่ ที่ N เมือ่ N เป็นจำนวนข้อมลู ทั้งหมด

ข้นั ท่ี 2 หาตำแหนง่ ของควอรไ์ ทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ โดยใช้สูตร ดงั น้ี

ตำแหนง่ ของ Qr = r (N + 1)
4

ตำแหนง่ ของ Dr = r (N + 1)
10

ตำแหนง่ ของ Pr = r (N + 1)
100

ขน้ั ท่ี 3 เมหอ่ืาค่าrของแคทวนอร์ไตทำลแ์ หเดนไชง่ ขลอ์ แงลคะวเอปรอ์ไทรเ์ลซ์ น็ ไเทดไลชท์ ลี่ต์ อ้ งแกลาะรเโปดอยรก์เาซรน็ นไทบั ลถ์ า้ ลงตวั พอดขี ้อมูลตวั นัน้ กจ็ ะ
เป็นคำตอบ ถ้าไมล่ งตNวั ใหแ้เททนียบบจัญำนญวตันไิ ขต้อรมยูลาทงคงั้ เ์หพม่ือดหาขอ้ มูลตวั น้ัน

ตัวอย่างท่ี 1 คะแนนการสอบของนักเรียน 9 คน เป็นดงั น้ี
34 8 6 22 38 2 40 18 30
จงหา P30 และ D5

วิธที ำ ขนั้ ท่ี 1 เรยี งข้อมลู จากน้อยไปหามาก

ตำแหน่งของข้อมลู 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ขอ้ มูล 2 6 8 18 22 30 34 38 40

ขนั้ ที่ 2 หาตำแหนง่ ของ P30 และ D5

จากตำแหน่งของ Pr = r (N + 1)
100
30
 ตำแหน่งของ P30 = 100 (9 + 1)

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |68

=3

และจากตำแหนง่ ของ Dr = r (N + 1)
10
5
 ตำแหน่งของ D5 = 10 (9 + 1)

=5

ขน้ั ที่ 3 หาตำแหน่งของ P30 และ D5 จะได้
P30 = 8
D5 = 22

ตอบ P30 = 8, D5 = 22

ตวั อยา่ งท่ี 2 ถา้ ขอ้ มลู เปน็ ดงั นี้
52 42 57 53 44 39 33 35

จงหา 1. Q1 2. D7 3. P50
วิธีทำ

ขัน้ ท่ี 1 เรยี งข้อมลู จากน้อยไปหามาก (N = 8) ได้ดงั น้ี

ตำแหน่งของข้อมูล 1 2 3 4 5 6 7 8
ข้อมูล 33 35 39 42 44 52 53 57

ข้ันท่ี 2 หาตำแหน่งของ Q1 , D7 และ P50 จากสูตร

จากตำแหน่งของ Qr = r (N + 1)
4
1
 ตำแหนง่ ของ Q1 = 4 (8 + 1) = 2.25

และ จากตำแหนง่ ของ Dr = r (N + 1)
10
7
 ตำแหนง่ ของ D1 = 10 (8 + 1) = 6.3

และ จากตำแหน่งของ Pr = r (N + 1)
100
50
 ตำแหนง่ ของ P50 = 100 (8 + 1) = 4.50

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |69

ขนั้ ที่ 3 หาค่าของ Q1 , D7 และ P50 จะได้

หา Q1 : Q1 มคี า่ อยู่ระหว่าง 35 กบั 39

ตำแหนง่ ตา่ งกนั 1 ขอ้ มลู ตา่ งกนั 4

ตำแหนง่ ต่างกัน 0.25 ขอ้ มูลต่างกนั 4  0.25 = 1
1

 Q1 = 35 + 1 = 36

คา่ ของ D7 : D7 มคี ่าอยูร่ ะหว่าง 52 กบั 53
ตำแหนง่ ต่างกนั 1 ข้อมูลตา่ งกัน 1

ตำแหนง่ ตา่ งกนั 0.3 ข้อมลู ตา่ งกัน 1 0.3 = 0.3
1

 Q7 = 52 + 0.3 = 52.3

ค่าของ P50 : P50 มีค่าอยู่ระหว่าง 42 กับ 44

ตำแหน่งต่างกัน 1 ขอ้ มลู ต่างกัน 2

ตำแหน่งตา่ งกนั 0.5 ข้อมลู ต่างกัน 2  0.5 = 1
1

 P7 = 42 + 1 = 43

ตอบ Q1 = 36, D7 = 52.3, P50 = 43

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |70

ใบงานที่ 6

คำชีแ้ จง จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1. จงหา Q1, Q2, Q3 ของขอ้ มลู 16, 14, 19, 13, 14, 18, 20

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. จงหา D2, D5, Q2 ของข้อมูล 38, 31, 20, 27, 23, 29, 35, 21, 28

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3. จงหา P25, P50, P75 ของข้อมูล 8, 11, 14, 13, 10, 12, 14, 12, 16, 8, 15, 18

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. จากข้อมลู ความสงู (เซนติเมตร) ของนกั เรียน 6 คน มดี ังนี้ 156, 152, 157, 150, 156, 159 จงหา

Q2, D7 และ P40

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5. ราคาห้นุ ตัวหนึง่ มีมลู คา่ รายวันตดิ ต่อกัน 6 วนั ดงั นี้ 20.81, 20.83, 20.81, 20.79, 20.75, 20.75 จงหา

Q2 และ D7

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |71

6. จากการทดสอบ IQ ของนักเรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 จำนวน 20 คน มีคะแนนดังนี้
82 84 86 90 93 94 95 95 97 98
100 102 104 105 105 108 110 112 115 120
จงหา P80, Q3, D8

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
7. ขอ้ มูลตอ่ ไปน้เี ป็นข้อมูลความสูง (เซนติเมตร) ของนกั เรียนกลุม่ หนง่ึ จำนวน 40 คน

120 124 124 126 127 129 132 132 134 135
136 138 139 139 143 146 147 147 148 148
149 152 156 156 157 157 157 158 159 161
161 162 163 164 164 165 167 169 170 172
จงหา P50, P70 และ P75
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

8. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรพ้ืนฐาน เรื่องตารางแจกแจงความถ่ี คะแนนทน่ี ักเรียนห้องหนง่ึ ทำได้มีดงั น้ี
30 36 42 44 48 48 49 49 52 53
54 56 56 58 59 60 62 63 63 64
66 67 69 69 70 71 72 73 74 75 78

จงหาคะแนนท่ีมจี ำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนนี้อยปู่ ระมาณร้อยละ 30
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |72

ใบความร้ทู ่ี 7
เรื่อง การวัดตำแหนง่ ท่ีของข้อมลู แบบแจกแจงความถ่ี

ในการหาตำแหน่งทแ่ี ละคา่ ของควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอร์เซน็ ไทล์ ของข้อมลู แบบแจกแจงความถี่ แบง่ ได้
2 กรณี คือ
1. การหาตำแหน่งท่แี ละค่าของควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูลแบบแจกแจงความถี่ตามค่าขอ้ มูล
(ไม่เป็นอนั ตรภาคช้ัน)
2. การหาตำแหน่งทแ่ี ละค่าของควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอร์เซน็ ไทล์ ของข้อมูลแบบแจกแจงความถีต่ ามช่วงขอ้ มูล
(จดั เป็นอันตรภาคชัน้ )

1. การหาตำแหน่งทีแ่ ละคา่ ของควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ ของข้อมูลแบบแจกแจงความถต่ี ามคา่
ข้อมูล (ไมเ่ ป็นอนั ตรภาคช้นั )
มีข้นั ตอนดังน้ี
1. เรยี งข้อมลู จากนอ้ ยไปหามาก
2. สรา้ งตารางความถ่ีสะสม (ตวั เลขในช่องน้ี คือ ตำแหน่งของข้อมูล)
3. หาตำแหน่งของควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอร์เซน็ ไทล์ โดยใชส้ ตู ร ดงั นี้

ตำแหนง่ ของ Qr = r (N + 1) r = 1,2,3
4

ตำแหน่งของ Dr = r (N + 1) r = 1,2,3,…,9
10

4. หาคา่ ของควอร์ไทล์ เดไชล์ ตำแหน่งของ ตาPrม=ตำ1แ0rห0น(Nง่ ท+ี่ค1)ำนวณr =ได1้ใน,2ข,3้อ,…3,99
และเปอร์เซน็ ไทล์

ตวั อย่างที่ 1 กำหนดข้อมลู ดังตาราง

คะแนน ความถ่ี

32

53

85

10 3

20 4

รวม 17

จงหา 1. P50

2. D7

3. Q3

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |73

วธิ ีทำ คะแนน ความถ่ี (f) ความถส่ี ะสม (F)

32 2

53 5

85 10

10 3 13

20 4 17

N = 17

หาตำแหน่งของ P50 , D7 และ Q3 : P50 = 50 (17 + 1)
ตำแหน่งของ P50 100

=9

 P50 = 8

ตำแหน่งของ D7 : D7 = 7 (17 + 1)
10
= 12.6

 D7 = 10

ตำแหนง่ ของ Q3 : Q3 = 3 (17 + 1)
4
= 13.5

 Q3 = 15

2. การหาตำแหน่งทแ่ี ละค่าของควอรไ์ ทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ ของข้อมูลแบบแจกแจงความถี่ตามช่วง
ข้อมูล (เป็นอันตรภาคชนั้ )

มีข้นั ตอนดังนี้
1. สรา้ งตารางความถส่ี ะสม
2. หาตำแหนง่ ของควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ โดยใชส้ ตู ร ดังน้ี

ตำแหนง่ ของ Qr = r (N + 1) r = 1,2,3
4

ตำแหน่งของ Dr = r (N + 1) r = 1,2,3,…,9
10

ตำแหน่งของ Pr = r (N + 1) r = 1,2,3,…,99
100

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |74

3. หาอันตรภาคชัน้ ท่คี วอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ทต่ี อ้ งการอยู่
4. คำนวณหาคา่ ควอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ทต่ี ้องการจากสตู ร

Qr = L + I ( rN − FL )
f 4

Dr = L + I ( rN − FL )
f 10

เมื่อ Qr แทน ควอรไ์ ทล์ท่ี r

Dr แทน เดไซลท์ ี่ r

Pr แทน เปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ r

L แทน ขอบลา่ งของอันตรภาคชั้นทค่ี วอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอร์เซ็นไทล์ทีต่ ้องการอยู่

I แทน ความกว้างของอนั ตรภาคชน้ั ท่คี วอรไ์ ทล์ เดไชล์ และเปอร์เซ็นไทล์ท่ีต้องการอยู่

f แทน ความถขี่ องอนั ตรภาคชนั้ ทค่ี วอร์ไทล์ เดไชล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ที่ต้องการอยู่

FL แทน ผลรวมความถ่สี ะสมของอนั ตรภาคชน้ั ท่ตี ่ำกว่า อันตรภาคชั้นท่คี วอร์ไทล์

เดไชล์ และเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ต่ี ้องการอยู่ 1 ชั้น

N แทน จำนวนขอ้ มลู ทัง้ หมด

ตวั อย่างท่ี 2 จงหา D4 จากตารางแจกแจงความถี่ ตอ่ ไปน้ี

อันตรภาคชนั้ 11 – 15 16 – 20 21 – 25 36 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45
ความถ่ี 5 11 15 18 12 10 9

วธิ ีทำ ขน้ั ท่ี 1 สรา้ งตารางความถ่ีสะสม

คะแนน ความถ่ี (f) ความถ่สี ะสม (F)
11 – 15 5 5
16 – 20 11 16
21 – 25 15 31
26 – 30 18 49
31 – 35 12 61
36 – 40 10 71
41 – 45 9 80

รวม N = 80

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |75

ขัน้ ที่ 2 หาตำแหน่งของ D4 โดยใชส้ ตู ร

 ตำแหน่งของ = D4 = 4 (N)
10
4
 ตำแหนง่ ของ = 10 (80)

= 32

ขนั้ ท่ี 3 หาอนั ตรภาคช้ัน D4 อยู่ ซึง่ ตรงกับอนั ตรภาคชน้ั 26 – 30

ข้ันที่ 4 คำนวณหาคา่ เดไชลจ์ ากสูตร
I rN
Dr = L + f ( 10 − FL )

จากโจทย์ จะได้ว่า r = 4 , I = 5 , f = 18 , FL = 31 , N = 80 และ L = 25.5

แทนคา่ ในสูตร

D4 = 25.5 + 5 ( 4(80) − 31)
18 10
= 25.5 + 0.28

= 25.78

ตอบ D4 มคี า่ เท่ากับ 25.78

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |76

ใบงานที่ 7
คำชี้แจง จงตอบคำถามต่อไปน้ี
1. ข้อมูลตอ่ ไปนเ้ี ป็นเงิน (บาท) คา่ อาหารกลางวนั ของนักเรยี น 60 คน จงหา P50 และ P70

เงิน (บาท) จำนวนนักเรียน
68
8 10
10 15
12 18
15 4
20 5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. ข้อมลู ตอ่ ไปน้เี ป็นเงนิ (บาท) คา่ จา้ งรายวันของบริษัทแห่งหนึ่ง จงหาค่าจา้ งรายวันท่ีตรงกบั Q3, D9, P25

เงนิ (บาท) ความถี่

160 38

180 22

200 29

220 32

240 48

260 30

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |77

3. ตารางตอ่ ไปน้เี ปน็ คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรยี น 120 คน จงหา P65

คะแนน จำนวนนักเรยี น

30 – 39 1

40 – 49 4

50 – 59 10

60 – 69 22

70 – 79 45

80 – 89 30

90 – 99 8

3.1 จงหา P65

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.2 คะแนนท่ี 72 ตรงกบั ตำแหน่งเปอรเ์ ซน็ ไทล์ทเี่ ทา่ ใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.3 คะแนนตำ่ สุดของกลุม่ ท่ีได้คะแนนสงู สดุ ซึงนักเรียนกลุ่มนม้ี ี 30% ของนักเรยี นทง้ั หมดเทา่ กับ

ก่คี ะแนน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |78

4. ตารางแจกแจงความถ่ีของนำ้ หนักของเดก็ กลมุ่ หนึ่งเปน็ ดังนี้

น้ำหนัก จำนวนเดก็
30 - 43 2
35 – 39 6
40 – 44 9
45 – 49 25
50 – 54 7
55 – 59 10
60 – 64 7

4.1 เดก็ ทมี่ นี ้ำหนัก 49.5 กิโลกรมั จะตรงกบั เปอรเ์ ซนไทลท์ ่เี ทา่ ไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4.2 ถ้าน้ำหนักของเด็กคนหน่ึงตรงกบั เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 75 แสดงว่าเดก็ คนน้ีหนักเท่าไร
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |79

ใบความร้ทู ี่ 8
เรื่อง การวดั ค่ากลางของขอ้ มูล

ในการวิเคราะห์ข้อมูลเบ้ืองต้น นอกจากจะทำโดยตารางแจกแจงความถ่ีแล้ว การหาค่ากลางมาเป็น
ตัวแทนของข้อมูลท้ังหมด จะทำให้สะดวกในการจดจำหรือสรุปเร่ืองราวที่เก่ียวกับข้อมูลน้ันๆ ได้มากขึ้น เช่น
ผู้บริหารโรงเรียนต้องการทราบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4, 5 และ 6 หัวหน้า
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องรายงานผลการเรียนของนักเรียนแต่ละคนให้ผู้บริหารทราบ แต่จะ
รายงานเพียงค่าเฉลี่ยหรือค่ากลางของคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนแต่ละชั้นก็เพียงพอท่ีจะตัดสินใจได้โดย
กว้างๆ ว่า ผลการเรียนคณิตศาสตร์ของนักเรียนแต่ละชั้นเป็นอย่างไร ในการหาค่ากลางของข้อมลู มีวิธีหาได้หลาย
วธิ ี แต่ละวิธีต่างก็มีข้อดีและข้อเสีย และมีความเหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกัน ข้ึนอยู่กับลักษณะของข้อมูล
และวตั ถุประสงคข์ องผู้ใช้ข้อมูลชนิดนนั้ ๆ ค่ากลางของขอ้ มูลทีน่ ิยมใช้มอี ยู่ 3 ชนดิ คอื

1. ค่าเฉลีย่ เลขคณิต (Arithmetic mean)
2. มัธยฐาน (Median)
3. ฐานนิยม (Mode)

คา่ เฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetic mean)
เป็นค่าท่ีได้จากการเฉลี่ยข้อมูลท้งั หมด ค่าเฉลยี่ เลขคณิตเหมาะทจี่ ะนำมาใชเ้ ป็นคา่ กลางของข้อมลู เมอ่ื

ข้อมูลน้ันๆ ไมม่ ีคา่ ใดคา่ หนงึ่ หรือหลายๆ ค่าซึง่ สงู หรือตำ่ กวา่ คา่ อน่ื ๆ ทเี่ หลอื อยา่ งผดิ ปกติ เชน่ คะแนนสอบวิชา
คณิตศาสตร์ของนกั เรยี น 8 คน เป็นดงั นี้

4, 5, 10, 10, 11, 16, 18, 19
เม่ือนำข้อมลู ดังกลา่ วมาจดั เรียงใหมจ่ ากน้อยไปหามาก ดงั นี้
4, 5, 10, 10, 11, 16, 18, 19
จะพบว่า ข้อมูลสว่ นใหญ่กระจายอยู่ในชว่ ง 4 - 19 และค่าตำ่ สดุ – ค่าสงู สดุ ของขอ้ มลู ชดุ นตี้ ่างกัน 15
คะแนน ดงั นนั้ ใช้ค่าเฉลยี่ เลขคณิตเป็นค่ากลางหรือเปน็ ตวั แทนของข้อมูลชุดนไ้ี ด้ดี

ข้อสงั เกต - การหาค่าเฉล่ยี เลขคณิตของกลุม่ ตัวอย่างจะใชส้ ัญลกั ษณ์ x แทนค่าเฉลีย่ เลขคณติ และให้ n แทน

จำนวนขอ้ มูลทั้งหมดจากกลุ่มตัวอยา่ ง

- การหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของประชากรจะใชส้ ญั ลักษณ์  แทนค่าเฉลยี่ เลขคณติ และให้ N แทน

จำนวนข้อมูลทั้งหมดของประชากร

การหาคา่ เฉล่ียเลขคณิต

แบบที่ 1 - กรณที ีข่ ้อมูลไมไ่ ด้แจกความถี่ของกลุ่มตัวอย่าง

ถา้ x1, x2, x3, …, xn เปน็ ข้อมูล และ n เปน็ จำนวนตวั อยา่ ง จะได้

ผลรวมของขอ้ มลู ทั้งหมด n x i



x = = i=1

จานวนขอ้ มูลท้ังหมด n

- กรณที ่ขี ้อมูลไมไ่ ด้แจกความถ่ีของประชากร

ถา้ x1, x2, x3, …, xN เป็นขอ้ มูล และ N เป็นจำนวนประชากร จะได้

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |80

ผลรวมของประชากรท้ังหมด N x i
จานวนประชากรทั้งหมด


 = = i=1

N

แบบที่ 2 การหาคา่ เฉลีย่ เลขคณิตแบบถ่วงนำ้ หนัก (weight arithmetic mean)

w1x1 + w2x2 + ... + wnxn n w i x i
w1 + w2 + ... + wn


x = = i=1

n w i



i=1

เมื่อ w1 แทนน้ำหนักถว่ งหรือความสำคัญของ x1
w2 แทนน้ำหนกั ถว่ งหรือความสำคัญของ x2

wn แทนน้ำหนักถว่ งหรือความสำคัญของ xn

แบบที่ 3 การหาค่าเฉลยี่ เลขคณิตรวม (Combined arithmetic mean)

x = n1x1 + n2x2 + n3x3 + ... + nk xk = i=k1ni x i
n1 + n2 + n3 + ... + nk i=k 1n i

เมอื่ k แทนจำนวนตัวแปร x ทีม่ ีคา่ ต่างกัน

ni แทน จำนวนขอ้ มูลในชดุ ท่ี 1, 2, 3, …, k

x แทน คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของข้อมลู ชุดท่ี 1, 2, 3, …, k

ตัวอย่างที่ 1 นกั เรยี นกลุ่มหนึ่งมี 10 คน สอบวชิ าสถติ ิไดค้ ะแนน 18, 20, 16, 14, 17, 15, 18, 16, 19, 17

คะแนน นักเรียนกล่มุ น้ีได้คะแนนเฉล่ียเท่าไร

n x i


i=1
วิธที ำ จาก x =
n
18 + 20 + 16 + 14 + 17 + 15 + 18 + 16 + 19 + 17
x = 10 = 17

ตอบ นักเรยี นกลุ่มนสี้ อบสถิติไดค้ ะแนนเฉล่ยี 17 คะแนน

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |81

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงคำนวณเกรดเฉลีย่ ของนักศึกษาคนหน่งึ ซึ่งลงทะเบยี นเรียน 5 วชิ า ซงึ่ แต่ละวชิ ามหี น่วยกติ ไม่
เท่ากันดงั นี้

วิชาที่ 1 2 3 4 5
หนว่ ยกติ 3.0 2.0 3.0 1.0 2.0
เกรดทีไ่ ด้ 4 4 3 2 3

วิธีทำ จาก k w i x i



x = i=1

k w i



i =1

x = 3(4) + 2(4) + 3(3) + 1(2) + 2(3)  3.36
3+2+3+1+2

ตอบ คะแนนเฉลย่ี มีคา่ ประมาณ 3.36 คะแนน

ตวั อยา่ งท่ี 3 นกั เรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 โรงเรียนแหง่ หน่ึงมีจำนวน 4 ห้อง แต่ละหอ้ งมีจำนวนนักเรียนไม่
เท่ากนั และจากข้อมลู เกรดเฉลยี่ วิชาคณติ ศาสตร์ในแตล่ ะห้อง จงหาเกรดเฉลี่ยรวมทั้ง 5 ห้อง ของนกั เรียน
โรงเรียนน้ี

ห้องท่ี 1 2 3 4
จำนวนนักเรยี น 40 42 38 50
เกรดเฉล่ียท่ไี ด้ 2.8 3.2 3.6 2.6

วธิ ที ำ จาก x = i=k1ni x i
i=k 1n i

x = 40(2.8) + 42(3.2) + 38(3.6) + 50(2.6)  3.02
40 + 42 + 38 + 50

ตอบ คะแนนเฉล่ยี วิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทง้ั 4 ห้อง มีคา่ ประมาณ 3.02 คะแนน

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |82

มัธยฐาน (Median)

มธั ยฐานเปน็ ค่ากลางอีกชนดิ หนึง่ ซ่งึ จะหมายถึง ค่าท่มี จี ำนวนข้อมูลที่มากกวา่ และน้อยกว่าคา่ นีอ้ ยู่เทา่ ๆ กัน

การหาค่ามธั ยฐานกรณที ขี่ ้อมูลไมไ่ ด้จดั เป็นอันตรภาคชัน้

1. เรยี งลำดบั ขอ้ มูลจากมากไปนอ้ ยหรือจากนอ้ ยไปมาก

2. หาคา่ ท่ีอยู่ตรงกลาง

- เม่อื n เป็นเลขค่ี Med = คา่ สงั เกตของข้อมลู ที่อยู่ในตำแหนง่ ที่ 1 (n + 1)
2
n n
- เมอ่ื n เปน็ เลขคู่ Med = ผลบวกของค่าสังเกตของขอ้ มูลคู่ที่อยู่ในตำแหนง่ 2 และ 2 + 1หาร

ดว้ ย 2

ตัวอยา่ งท่ี 4 นักเรียนกลมุ่ หน่งึ มี 10 คน สอบวิชาสถติ ิได้คะแนน 18, 20, 16, 14, 17, 15, 18, 16, 19, 17

คะแนน จงหาวา่ นักเรยี นกลุ่มนี้มีมัธยฐานเทา่ กบั เทา่ ไร

วิธีทำ เรียงข้อมลู จากน้อยไปมากไดเ้ ป็น 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 20

จะได้ว่า ข้อมลู ท่ีอยตู่ รงกลาง คอื ตำแหน่งท่ี 10 = 5 และ 10 +1 = 6 ซ่งึ ตรงกบั 17 และ 17
2 2
ดงั นน้ั Med = 17 + 17
2
ตอบ มธั ยฐานของคะแนนสอบวิชาสถติ ินักเรียนกลมุ่ นเ้ี ท่ากบั 17 คะแนน

ฐานนยิ ม (Mode)
ฐานนิยมเปน็ คา่ กลางของข้อมูล การหาฐานนิยมของข้อมลู หาไดจ้ ากการดวู ่าข้อมลู ใดมคี วามถ่ีสูงสุดหรือ

ปรากฏบ่อยครั้งท่สี ดุ ข้อมูลน้ันจะเปน็ ฐานนิยมของขอ้ มูลชุดน้ัน สว่ นใหญจ่ ะใชก้ บั ข้อมูลเชงิ คณุ ภาพ เชน่ ข้อมลู ที่
เป็นขนาดรองเท้า ชนิดของน้ำมันทีใ่ ชก้ ับรถยนต์ ยี่ห้อเครอื่ งดมื่ เป็นตน้

การหาคา่ ฐานนิยมกรณที ่ขี ้อมูลไม่ไดจ้ ัดเป็นอนั ตรภาคชัน้ (Mode)
Mo = ค่าสงั เกตตัวท่มี ีความถี่สงู ท่สี ุดของขอ้ มลู ชดุ น้ัน

ตวั อยา่ งท่ี 5 นกั เรยี นกลมุ่ หนึง่ มี 10 คน สอบวิชาสถิติได้คะแนน 18, 20, 16, 14, 17, 15, 18, 16, 19, 17
คะแนน จงหาว่านักเรยี นกลมุ่ นี้มีฐานนยิ มเท่ากบั เท่าไร
ตอบ จากข้อมลู ข้างตน้ จะเหน็ วา่ ข้อมูลมคี วามถ่ีสงู สดุ คือ 16, 17, 18 ซึง่ มีความถี่เท่ากัน คือ 2

จึงสรปุ ไดว้ า่ ขอ้ มูลคะแนนสอบวชิ าสถิตขิ องนักเรยี นกลุ่มน้ีไม่มฐี านนยิ ม

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |83

ใบงานท่ี 8.1
เรื่อง ค่าเฉล่ียเลขคณติ กรณขี อ้ มูลไมแ่ จกแจงความถ่ี

คำส่ัง จงแสดงวธิ ีการหาคำตอบตอ่ ไปน้ี
1. ขอ้ มลู ชดุ หน่ึงประกอบด้วยจำนวน 7, 16, 9, 10, 7, 8 จงหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู ชุดนี้
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
2. ปจั จุบนั อายุของคนกลุ่มหนงึ่ เปน็ 12, 15, 18, 21, 27, 29 และ 29 ปี จงหาค่าเฉลยี่ เลขคณิตของอายุกลุม่ นี้

ในอกี 5 ปีขา้ งหน้า
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
3. ในการสอบวิชาสถิติ 3 คร้ัง กำหนดใหน้ ้ำหนกั ในการสอบเปน็ 20%, 30% และ 50% ตามลำดบั นักเรยี นคน

หนงึ่ สอบวิชาสถติ ิได้คะแนนแต่ละครั้งเปน็ 84, 68 และ 75 ตามลำดับ จงหาคะแนนเฉลี่ยในการสอบวชิ าสถติ ิ
ของนักศึกษาคนน้ี
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
4. ในการสอบคร้งั หน่ึง นกั เรียนชาย 40 คน มคี ะแนนสอบเฉลย่ี คดิ เป็น 75 คะแนน นักเรยี นหญงิ 30 คน มี
คะแนนสอบเฉล่ีย 70 คะแนน จงหาคะแนนสอบเฉล่ยี ของนักเรยี นทั้งกล่มุ นี้
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
5. ขอ้ มูลชุดหนึง่ มี 6 จำนวน แต่หายไปจำนวนหนง่ึ คงเหลือเพยี ง 35, 29, 28, 28, 32 ถา้ คา่ เฉล่ียเลขคณิต
ของข้อมูลชุดน้ีเปน็ 30 แล้ว ข้อมลู ท่หี ายไปคือจำนวนใด
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |84

6. ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของอายนุ ักศึกษากลุ่มหน่งึ เป็น 21.6 ปี นกั ศึกษา 5 คน เป็นคู่แฝด 1 คู่ สว่ นอกี 3 คน
อายุ 19, 22 และ 27 ปี จงหาวา่ คู่แฝดแต่ละคนอายกุ ่ีปี

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
7. ข้อมูลชดุ หนงึ่ มี 10 จำนวน มคี ่าเฉลี่ยเลขคณติ เป็น 8.5 แต่ผคู้ ำนวณอ่านขอ้ มลู ผดิ ไป 1 จำนวนคอื อา่ น

2.0 เปน็ 0.2 จงหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตทถี่ กู ต้องของข้อมลู
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
8. ขอ้ มูลชดุ หน่ึง นับคร้งั แรกได้ 24 จำนวน คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 8 หลงั จากนับใหม่ พบวา่ แทจ้ รงิ มี

ขอ้ มลู 25 จำนวน คำนวณค่าเฉลย่ี เลขคณติ ได้ 8.2 จงหาวา่ ขอ้ มูลที่นบั ตกหล่นไปคร้ังแรกนนั้ มคี า่ เทา่ ใด
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
9. นักเรียน 10 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้ 58 คะแนน จำนวน 3 คน ได้ 61 คะแนน จำนวน 2 คน ได้ 64

คะแนน จำนวน 2 คน และได้คะแนน 69, 73, 75 อย่างละ 1 คน คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบน้ีเท่ากับก่ี
คะแนน
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
10.บริษทั แห่งหนง่ึ จำแนกลกู จา้ งได้ 2 กลุ่ม คือ คนงานและพนักงานโดยทคี่ นงานมีค่าจ้างรายวนั เฉล่ีย 120 บาท
ต่อคน พนักงานมคี า่ จา้ งรายวันเฉลี่ย 440 บาทต่อคน ถ้าจำนวนคนงานเปน็ 3 เทา่ ของจำนวนพนักงาน แลว้
ลกู จา้ งของบริษทั มคี า่ จ้างรายวันเฉลยี่ ตอ่ คนกี่บาท
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
11.นักเรียนห้องหนงึ่ มจี ำนวนนักเรียนชายและนกั เรียนหญงิ เทา่ กัน ค่าเฉลยี่ เลขคณิตของอายุของนักเรียนทั้งห้อง
เป็น 15 ปี ถา้ คดิ คา่ เฉลี่ยเลขคณติ เฉพาะนักเรียนชายจะได้ 16 ปี จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของอายุนกั เรยี นหญงิ
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |85

ใบงานท่ี 8.2
เร่ือง มัธยฐาน และฐานนิยม กรณขี อ้ มูลไม่แจกแจงความถ่ี

คำสั่ง จงแสดงวธิ ีการหาคำตอบตอ่ ไปนี้

มัธยฐาน

1. มธั ยฐานของข้อมลู 18, 20, 19, 22, 20, 18 และ 19 เป็นเทา่ ไร
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
2. มัธยฐานของข้อมลู 7, 8, 6, 8, 9, 9, 10, 6, 11 และ 12 เปน็ เท่าไร
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
3. โอมีอายุ 10 ปี นิดหน่อยมีอายุ 12 และ 15 ปี เบยี รอ์ ายุนอ้ ยที่สุด จงหามธั ยฐานของข้อมูลคนท้ัง 4
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
4. พนกั งานกล่มุ หนง่ึ มี 5 คน เม่ือ 3 ปที แ่ี ลว้ กิง่ มีอายุ 20 ปี แกว้ มอี ายุ 26 ปี กลา้ มีอายุ 22 ปี สว่ นแกน่ และไก่

มอี ายุ 18 ปี และ 30 ปตี ามลำดบั จงหาว่าปจั จุบันคา่ มัธยฐานของพนกั งานกล่มุ นีเ้ ปน็ เท่าไร
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

ฐานนยิ ม

5. จงหาฐานนิยมของคะแนน 4, 5, 3, 2, 4, 1, 5, 4, 2, 1, 4, 3
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
6. จงหาฐานนิยมของคะแนน 8, 6, 2, 0, 8, 6, 2, 4, 5, 8, 3, 6
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
7. จงหาฐานนิยมของคะแนน 1, 2, 4, 9, 9, 1, 4, 2, 1, 9, 2, 4
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
8. กำหนดข้อมูล 10, 30, 20, 10, 40, 30, 10, 20, 10, 30 ถา้ นำ 10 ไปหารขอ้ มลู ทกุ จำนวน และนำ 6 บวก

เขา้ กับขอ้ มูลใหม่ท่ีไดท้ ุกจำนวน ขอ้ มูลชุดใหมม่ ีฐานนยิ มเป็นเท่าไร
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |86

ประยุกต์

9. จากแผนภาพตน้ – ใบ แสดงนำ้ หนกั สัมภาระ(กโิ ลกรัม) ของผโู้ ดยสารเครื่องบินกลุ่มหนึง่ จำนวน 25 คน จงหา

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยมของน้ำหนักสัมภาระของผโู้ ดยสารกล่มุ น้ี

0 67 ………………………………………………………………….….

1 93466 ………………………………………………………………….….

2 0012224 ………………………………………………………………….….

3 7 ………………………………………………………………….….

4 3581321 ………………………………………………………………….….

112

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

10. ถ้าค่าเฉลีย่ เลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ 5 ครงั้ ของน้อยหนา่ คือ 86 คะแนน มัธยฐาน คือ 87

คะแนน และฐานนยิ ม คือ 80 คะแนน อยากทราบวา่ คะแนนสอบทสี่ ูงท่สี ุดที่เป็นไปไดข้ องข้อมลู ชดุ นี้ควรจะ

เท่ากบั เท่าใด

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

11. ขอ้ มูลชดุ หนึง่ ประกอบดว้ ยจำนวน 18, 15, 12, 9 และ x จงหาค่าของ x ท่ที ำให้ค่าเฉลย่ี เลขคณติ และมัธย

ฐาน ของข้อมูลข้อมูลชุดนีม้ ีค่าเทา่ กัน

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………….…………………………….………………

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |87

ใบความรู้ที่ 9
เรอ่ื ง การหาคา่ กลางของข้อมลู แจกแจงความถี่

ค่าเฉล่ียเลขคณิต (Mean)

กำหนดให้ f1, f2, f3, …, fn เปน็ คา่ ความถ่ีของขอ้ มูลชุดหนึ่ง และ x1, x2, x3, …, xn เปน็ ค่าจากการ
สงั เกตข้อมูล โดยท่ี

- ถ้าข้อมลู แจกแจงความถ่ีแบบไม่เป็นอันตรภาคช้ัน x1, x2, x3, …, xn คอื ค่าขอ้ มูลในแต่ละชนั้
- ถ้าข้อมูลแจกแจงความถ่ีแบบอันตรภาคชน้ั x1, x2, x3, …, xn คือ ค่ากง่ึ กลางข้อมูลในแตล่ ะชนั้
ค่าเฉลย่ี เลขคณิต สามารถหาได้จาก

x f1x1 + f2x2 + f3x3 + ... + fnxn n fi x i
f1 + f2 + f3 + ... + fn
= = 

i=1

n fi



i=1

สมบัตขิ องคา่ เฉลีย่

1. i=n1Xi = nX

2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมลู ชุดหนึ่งเท่ากบั X ถา้ นำค่าคงท่ี k ไปรวมกบั เลขทุกตวั ในข้อมลู ชุดนั้น

ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่เท่ากบั X + k

3. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของข้อมลู ชุดหนึ่งเท่ากบั X ถ้านำค่าคงที่ a ไปคณู กบั เลขทุกตัวในขอ้ มูลชุดนน้ั

คา่ เฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มูลชุดใหมเ่ ท่ากบั aX

4. ผลรวมของความแตกตา่ งระหว่างตวั เลขแตล่ ะตัวของข้อมลู กับค่าเฉลยี่ เลขคณติ มีค่าเท่ากับ 0 เสมอ

น่ันคอื n (X i − X) = 0



i=1
5. กำลังสองของผลต่างระหว่างตวั เลขแต่ละตัวในข้อมูลกับค่าคงที่ k เมือ่ นำมารวมกันแลว้ จะมคี ่าน้อย

ที่สดุ เม่อื k = X น่นั คอื

N (X i − k)2 มคี ่าน้อยทส่ี ดุ เมื่อ k = X



i=1

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู จากตารางต่อไปนี้

คะแนน ความถี่ (fi)

1–5 2

6 – 10 3

11 – 15 5

16 – 20 10

21 – 25 7

26 – 30 3

วิธที ำ หาผลรวมของความถ่ี จดุ กง่ึ กลางชัน้ และผลคูณของจดุ กึง่ กลางชัน้ กับความถี่

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |88

คะแนน ความถี่ (fi) จุดกึง่ กลางช้นั (xi) fi xi
1–5 2 3 6
6 – 10 3 8 24
11 – 15 13 65
16 – 20 5 18 180
21 – 25 23 161
26 – 30 10 28 84

จะได้ค่าเฉลยี่ เลขคณิต ( x )= 7  17.33

3

6
 =fi xi
520
i =1
6 30

fi
i =1

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ โดยใช้วิธกี ารทอนค่าขอ้ มลู
ในกรณที ี่ข้อมลู มีอนั ตรภาคชั้นมาก หรอื ข้อมูลแตล่ ะชนั้ มีความถ่ขี องข้อมูลแตล่ ะช้ันมาก สว่ นใหญ่มักจะใช้

การทอนขอ้ มูลเขา้ มาชว่ ยในการหาค่าเฉล่ียเลขคณิต โดยสว่ นใหญ่จะใชว้ ิธกี ารเลือกจุดกึง่ กลางของอนั ตรภาคช้ันใด
อันตรภาคช้นั หนง่ึ ซง่ึ สว่ นใหญ่จะเลือกจากอนั ตรภาคช้ันที่มีความถ่สี ูงที่สุดมาเพือ่ ชว่ ยลดข้ันตอนในการคำนวณให้
ย่งุ ยากนอ้ ยลง โดยมีขั้นตอนดังนี้

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตจากข้อมลู ในตารางต่อไปน้ี

คะแนน ความถี่ (fi)

11 – 15 1

16 – 20 6

21 – 25 10

26 – 30 4

31 – 35 5

36 – 40 4

วิธีทำ

1. หาจุดก่งึ กลางช้นั (xi) และเลือกจดุ กึง่ กลางช้นั ที่มีความถส่ี ูงสดุ (A)

2. หาค่า di จาก di = xi − A เมื่อ I คือความกวา้ งของอันตรภาคชนั้
I
3. หาค่า fidi เม่ือ fi คือความถี่ในแตล่ ะช้นั

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |89

คะแนน ความถี่ (fi) จุดกึง่ กลางช้นั (xi) xi – a di = xi −A fidi
I
11 – 15 1 13 -10 - 2 -2

16 – 20 6 18 -5 -1 -6

21 – 25 10 A = 23 0 0 0

26 – 30 4 28 514

31 – 35 5 33 10 2 10

36 – 40 4 38 15 3 12

รวม 30 18

4. หาค่า x จาก x = A + I n fidi



i=1
n
fi


i=1

x = 23 + 5 18  = 26
 30 

ดังนน้ั ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ของอายุมีคา่ เท่ากบั 26 ปี

มธั ยฐาน (Median)

มธั ยฐาน คือ คา่ ของขอ้ มลู ท่ีอยู่ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมลู ทั้งหมด เมอ่ื นำขอ้ มูลมาเรียงจากค่าน้อยไปหาค่ามาก

ใชส้ ัญลกั ษณ์ Me หรอื Med แทนมธั ยฐาน

มัธยฐานของข้อมลู ที่มกี ารแจกแจงความถ่ี มวี ธิ ีการหาดังน้ี

1. สรา้ งตารางแจกแจงความถสี่ ะสม

2. ตำแหนง่ ของมัธยฐาน ตรงกับความถี่สะสม N
2

3. หาค่าของมัธยฐานไดจ้ าก Med =L + I  n − FL 
 2 fM 
 

เม่อื L คอื ขอบล่างของอันตรภาคช้ันที่มีมัธยฐานอยู่

FL คอื ผลรวมความถ่ีของทุกอนั ตรภาคช้ันที่เป็นช่วงคะแนนต่ำกวา่ ชนั้ ท่ีมีมัธยฐานอยู่

fm คอื ความถข่ี องชั้นท่มี ีมัธยฐานอยู่

I คอื ความกว้างของอนั ตรภาคช้ัน

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |90

สมบัตขิ องมัธยฐาน

1. ผลรวมของค่าสมั บรู ณ์ของผลต่างระหวา่ งข้อมูลแต่ละตัวกับมธั ยฐานจะมีคา่ น้อยที่สุด น่นั คือ

N | xi − k | มีคา่ นอ้ ยท่สี ดุ ก็ต่อเมื่อ k = มัธยฐาน



i=1
2. ให้ x1, x2 , x3 ,…, xN เป็นข้อมูลชดุ หนงึ่ ท่มี ีมธั ยฐานเทา่ กับ a ถ้า kเป็นค่าคงตัว จะไดว้ า่
x1 + k , x2 + k , x3 + k ,…, xN + k เปน็ ขอ้ มูลทม่ี ีมัธยมฐานเทา่ กบั a+k
ตัวอย่าง มธั ยฐานของอายนุ ักเรียน 30 คน เท่ากบั 17 ปี ในอีก 5 ปขี ้างหนา้ อายุของ

นกั เรยี นทง้ั 30 คนน้จี ะมีมัธยฐานเท่ากบั เทา่ ใด

ดังนั้น มัธยฐานของอายุอกี 5 ปีข้างหน้า จะเทา่ กับ 17 + 5 = 22 ปี

3. ให้ x1, x2 , x3 ,…, xN เป็นข้อมลู ชุดหนึง่ ทีม่ ีมัธยฐานเทา่ กบั a ถา้ k เป็นค่าคงตวั จะได้ว่า
x1k , x2k , x3k ,…, xNk เปน็ ข้อมลู ทม่ี ีมธั ยมฐานเท่ากับ ak

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหามัธยฐานจากข้อมูลในตารางต่อไปนี้

คะแนน ความถ่ี (fi)

1 – 10 2

11 – 20 6

21 – 30 10

31 – 40 3

41 – 50 7

51 – 60 2

วิธีทำ

1. สร้างตารางแจกแจงความถ่ีสะสม

คะแนน ความถ่ี (fi) ความถ่สี ะสม(F)

1 – 10 2 2

11 – 20 6 8

21 – 30 10 18

31 – 40 3 21

41 – 50 7 28

51 – 60 2 30

2. หาตำแหน่งของมธั ยฐาน เมื่อ N = 30

ตำแหนง่ ของมธั ยฐาน = N = 30 = 15
2 2
นัน่ คือ มัธยฐานอยู่อันตรภาคช้นั ท่ี 3

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |91

3. หาคา่ ของมัธยฐานได้จาก Med =L + I  n − FL 
 2 fM 
 

Med = 20.5 + 10  15 − 8  = 27.5
 10 

ดังน้นั มัธยฐานของขอ้ มลู ชุดนเ้ี ท่ากับ 27.5

ฐานนยิ ม (Mode)

ฐานนิยม คือ ค่าของขอ้ มูลท่ีมคี วามถีส่ งู ที่สุด ใชส้ ญั ลักษณ์ “Mo” การหาฐานนยิ มของขอ้ มูลแบบแจกแจง
ความถ่ีนั้นมี 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 ความกวา้ งของอันตรภาคชัน้ เทา่ กันทัง้ หมด

หลกั การ 1. หาอันตรภาคช้นั ท่ีมคี วามถีส่ ูงสดุ
2. หาฐานนิยมโดยใชส้ ตู ร

Mo = L + I d1 d1 d2 
+

โดยที่ d1 แทนผลตา่ งของความถี่ของชนั้ ทม่ี ีฐานนิยมกบั ความถี่ของชัน้ ทต่ี ำ่ กว่าทีอ่ ยู่ถัดไป
d2 แทนผลต่างของความถี่ของชน้ั ทม่ี ีฐานนิยมกับความถขี่ องชนั้ ทีส่ ูงกว่าท่ีอยูถ่ ดั ไป
L แทนขอบลา่ งของอันตรภาคชั้นทีม่ ฐี านนิยม

I แทนความกว้างของอันตรภาคช้ัน

กรณที ่ี 2 ความกว้างของอนั ตรภาคชนั้ ไมเ่ ทา่ กนั

หลักการ 1. หาอัตราสว่ น f
I
f
2. หาอนั ตรภาคชน้ั ทมี่ ี I สูงสุด

3. หาฐานนิยมโดยใชส้ ูตร Mo = L + I d1 d1 d2 
+

โดยที่ d1 แทนผลตา่ งของ f ของชัน้ ที่มีฐานนยิ มกบั f ของช้นั ที่ต่ำกว่าท่ีอยู่ถัดไป
I I
f f
d2 แทนผลตา่ งของ I ของช้นั ที่มีฐานนยิ มกบั I ของชั้นที่สงู กวา่ ท่อี ยู่ถดั ไป

L แทนขอบลา่ งของอันตรภาคชนั้ ทีม่ ีฐานนิยม

I แทนความกวา้ งของอันตรภาคชนั้

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |92

สมบตั ิของฐานนิยม
1. ฐานนยิ มเป็นคา่ กลางของข้อมลู ท่สี ามารถหาไดจ้ ากฮิสโทแกรม
2. การเปล่ยี นแปลงคา่ ในขอ้ มูล โดยท่ีความถ่ีของคา่ เหล่านั้นยังนอ้ ยกว่าความถี่มากทส่ี ดุ จะไม่ทำใหฐ้ าน
นิยมเปลย่ี นแปลง

ตวั อย่างที่ 4 จากข้อมลู ต่อไปนี้จงหาฐานนิยม

อายุ(ชั่วโมง) f
118-122 2
123-127 8
128-138 15
133-137 11
138-142 3
143-147 1
40
รวม

วธิ ีทำ 1. อนั ตรภาชั้นท่ีมคี วามถีส่ ูงสุด คือช้ันท่ี 3

อายุ(ชว่ั โมง) fi
118-122 2

123-127 8

128-138 15

133-137 11

138-142 3

143-147 1

รวม 40

จากตาราง จะได้ d1 = 15 − 8 = 7 และ d2 = 15−11= 4

แทนคา่ ในสตู ร Mo = L + I d1 d1 d2 
+

= 127.5 + 5 7 7 4 
 + 

= 127.5 + 3.18

Mo =130.68

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |93

ตัวอย่างที่ 5 จากการสอบถามรายไดข้ องคนไทยในบรษิ ัทแห่งหนึ่ง

รายได้(บาท) จำนวน(คน)

51-80 6

81-100 15

101-120 10

121-150 9

จงหาฐานนิยมของรายได้ของคนงานดงั กล่าว

วธิ ีทำ

รายได้(บาท) จำนวน(คน) f
I
6
51-80 6 30 = 0.20

81-100 15 15 = 0.75
20
10
101-120 10 20 = 0.50

121-150 9 9 = 0.30
30
พบว่าอนั ตรภาคชน้ั 81-100 เป็นอนั ตรภาคชน้ั ทม่ี ีอัตราสว่ นดังกล่าวมคี า่ มากที่สุด แสดงว่า ฐาน

นิยมตอ้ งอยูอ่ ันตรภาคช้ัน 81-100

แทนค่าในสตู ร Mo = L + I d1 d1 
+ d2

= 80.5 + 20 0.55 
 0.55 + 0.25 

Mo = 80.5 +13.75 = 94.25 บาท

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |94

ขอ้ ดี – ข้อเสียของค่ากลางชนิดตา่ งๆ

คา่ เฉลี่ยเลขคณิต
ขอ้ ดี
1. เขา้ ใจง่ายและมคี า่ แนน่ อน
2. คำนวณไดง้ า่ ยและใช้ทุกค่าของข้อมลู ในการคำนวณ
3. นำไปใชใ้ นการวิเคราะห์ทางสถิติข้ันสงู ได้
4. สามารถหาได้โดยแบง่ ข้อมูลออกเป็นกลุ่มๆ
ข้อเสยี
1. ถา้ ข้อมลู มีค่าสงู สุดหรือต่ำสดุ ท่ีต่างไปจากค่าสว่ นใหญ่อย่างผดิ ปกติ คา่ เฉล่ยี เลขคณติ จะไมเ่ ป็นตวั แทนทีด่ ี
2. ถ้าข้อมลู ไม่สมบูรณ์จะหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ไม่ได้
3. ถา้ ขอ้ มูลไม่ต่อเน่ือง คา่ เฉล่ยี เลขคณติ จะไม่ตรงกับความจริง
4. ใชไ้ ดเ้ ฉพาะข้อมูลเชิงปรมิ าณเท่านน้ั

มัธยฐาน
ขอ้ ดี
1. ถ้าขอ้ มูลเป็นจำนวนคี่ มธั ยฐานจะตรงกบั คา่ ของข้อมลู ตัวที่อยูต่ รงกลางเม่ือเรยี งข้อมูลแล้ว
2. ถา้ ข้อมูลไมส่ มบูรณ์ สามารถหาคา่ มัธยฐานได้
3. ค่าสงู สดุ หรอื ค่าตำ่ สุดที่ต่างไปจากคา่ ส่วนใหญ่อย่างผิดปกติ จะไมก่ ระทบกระเทือนคา่ ของมัธยฐาน
4. สามารถประมาณค่ามธั ยฐานได้จากโค้งความถ่ีสะสม
ข้อเสยี
1. ไมเ่ หมาะกับการนำไปใช้ในการวิเคราะห์ทางสถิติขนั้ สูง
2. ใชไ้ ดเ้ ฉพาะข้อมูลเชงิ ปรมิ าณเทา่ น้ัน
3. ถ้าข้อมูลมีจำนวนมากจะมีความลำบากในการจัดเรียงขอ้ มูล

ฐานนยิ ม
ข้อดี
1. ใช้ไดก้ ับข้อมลู ท้ังเชงิ ปริมาณและคุณภาพ
2. ถา้ ขอ้ มูลไม่สมบูรณ์ สามารถหาฐานนิยมได้
3. ค่าสูงสดุ หรอื ค่าตำ่ สดุ ท่ตี า่ งไปจากคา่ สว่ นใหญอ่ ย่างผดิ ปกติ จะไมก่ ระทบกระเทอื นค่าของฐานนยิ ม
4. ใชไ้ ด้กบั ข้อมูลท่จี ำแนกตามสมบัตไิ ด้ดว้ ย
5. สามารถประมาณค่าฐานนิยมได้จากฮสี โทแกรม
ขอ้ เสีย
1. อาจมีมากกว่า 1 คา่
2. ไมเ่ หมาะกับการนำไปในการวิเคราะหท์ างสถิตขิ น้ั สงู
3. ไมส่ ามารถหาไดโ้ ดยการแบ่งขอ้ มูลเปน็ กลมุ่

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |95

ใบงานท่ี 9
เรอ่ื ง การหาค่ากลางของข้อมลู แจกแจงความถ่ี

คำสงั่ จงแสดงวธิ ีการหาคำตอบต่อไปน้ี
1. จากข้อมลู ในตารางทก่ี ำหนดให้

คะแนน 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
ความถ่ี 2 2 3 5 8 4 9 11 6 10

จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิต
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

2. กำหนดตารางแสดงนำ้ หนักของคน 15 คน เป็นดงั น้ี

น้ำหนัก(กิโลกรมั ) จำนวนคน

65 4

A5

75 6

ถ้าคา่ เฉลีย่ เลขคณิตของน้ำหนักกลุ่มน้เี ปน็ 70 กิโลกรมั จงหาคา่ ของ A

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

3. ในการสำรวจ I.Q. ของเด็ก 20 คน ในชั้นประถมของโรงเรียนแหง่ หนึ่งปรากฏผลดงั ตารางต่อไปนี้

I.Q. (%) จำนวนนกั เรยี น

60 – 62 1

63 – 65 4

66 – 68 10

69 – 71 3

72 – 74 2

จงหาคา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของ I.Q. ของนักเรยี นชนั้ น้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |96

4. คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูลจากตารางต่อไปน้ี

อนั ตรภาคชน้ั ความถ่ี

0–4 3

5–9 7

10 – 14 17

15 – 19 19

20 – 24 20

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

5. คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของน้ำหนักข้าวสารเป็น 126.4375 กโิ ลกรมั ขา้ วสารซ่งึ มีนำ้ หนัก 111 - 120 กโิ ลกรมั มี

ความถีเ่ ทา่ ไร

นำ้ หนัก(กโิ ลกรมั ) ความถ่ี

101 – 110 7

111 – 120 x

121 – 130 5

131 – 140 8

141 – 150 7

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

6. จากตารางแจกแจงความถีต่ ่อไปน้ี จงหาคา่ เฉล่ียเลขคณิต

อันตรภาคช้นั ความถ่ี

76 – 80 3

81 – 85 6

86 – 90 28

91 – 95 30

96 – 100 22

101 – 105 14

106 – 110 7

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |97

7. ตารางแจกแจงความถ่ตี ่อไปน้ีเป็นรายไดต้ ่อสปั ดาห์ของพนักงานในบริษัทแห่งหนึ่ง

รายไดต้ ่อสัปดาห์ (บาท) จำนวน (คน)

450 – 599 43

600 – 749 99

750 – 899 152

900 – 1,049 178

1,050 – 1,199 160

1,200 – 1,349 40

1,350 – 1,499 25

1,500 – 1649 3

จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของรายไดต้ อ่ สัปดาหข์ องพนักงานเหลา่ น้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

8. จากผลคะแนนสอบไลว่ ิชาคณิตศาสตรข์ องนกั เรียนกลุ่มหนึ่ง จำนวน 80 คน พบวา่ คะแนนท่ีไดม้ ีการกระจาย

ดงั ตารางการแจกแจงความถี่ดังตาราง จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของคะแนนสอบ

คะแนน จำนวนนกั ศึกษา

50 – 54 1

55 – 59 2

60 – 64 11

65 – 69 10

70 – 74 12

75 – 79 21

80 – 84 6

85 – 89 9

90 – 94 4

95 – 99 4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |98

9. มธั ยฐานของราคาสินคา้ ซ่งึ แจกแจงความถีใ่ นตารางมคี ่าเท่าไร

ราคาสินคา้ (บาท) ความถ่ี

10 – 19 7

20 – 29 3

30 – 39 5

40 – 49 10

50 - 59 13

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

10. กำหนดตาราง

คะแนน ความถี่

9 – 13 4

14 – 18 3

19 – 23 3

24 – 28 2

29 – 33 5

จงหามัธยฐานของข้อมูล

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

11. กำหนดตาราง

อนั ตรภาคช้นั ความถ่ี

12 – 15 3

16 – 25 4

26 – 40 2

41 – 50 9

51 – 60 10

61 – 75 12

จงหามธั ยฐานของข้อมูล

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

สถิติเบอื้ งต้น หน้า |99

12. กำหนดตาราง

คะแนน ความถี่

15 – 18 4

19 – 22 6

23 – 26 4

27 – 30 x

31 – 34 3

จงหาคา่ x เม่ือข้อมูลมีมธั ยฐานเปน็ 24

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

13. จงหามัธยฐานของอายุคน 50 คน ซ่งึ มีอายุดังตารางท่ีกำหนดให้

อาย(ุ ป)ี จำนวนคน

น้อยกวา่ 50 10

50 – 53 4

54 – 57 8

58 – 61 7

62 – 65 11

มากกวา่ 65 10

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

14. หาฐานนิยมของนำ้ หนักซึง่ แจกแจงความถใี่ นตาราง

น้ำหนกั (กโิ ลกรัม) ความถ่ี

30 – 34 3

35 – 39 7

40 – 44 10

45 – 49 5

50 – 54 1

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....